第 8 章 · 曲线运动与运动的合成分解

项目	内容
课标主题	必修 2 · 曲线运动与万有引力定律（通过实验，了解曲线运动，知道物体做曲线运动的条件；会用运动合成与分解的方法分析平抛运动，体会将复杂运动分解为简单运动的物理思想）
人教版（2019）	必修第二册 第五章“抛体运动”：1 曲线运动；2 运动的合成与分解
考试地位	很少单独成大题。曲线运动的条件常出选择题（由轨迹判断力的方向、速率变化），在电场中由粒子轨迹判断电场力方向时必用；运动的合成与分解是平抛、类平抛的基本方法，几乎每卷都用；渡河、关联速度偶考选择题，关联速度常和机械能守恒一起考
前置知识	第 1 章 1.3 矢量与平行四边形定则；第 2 章 2.4 瞬时速度；第 4 章 4.5 力的分解；第 6 章牛顿第二定律（加速度与合力同向）

前七章讲的都是直线运动，速度方向不变，用正负号就能处理。从本章开始，物体在平面里拐弯，速度的方向也成了要算的量。本章给两样工具：一是判断“会不会拐、往哪边拐”（曲线运动的条件），二是把一个拐弯的运动拆成两个直线运动来算（运动的合成与分解）。后面的平抛、类平抛、带电粒子偏转都靠它。丢分常在两处：把物体的实际速度和分速度弄反（绳端速度分解最典型），以及以为“水流快了过河就慢”这类分运动互相影响的直觉。

8.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
8.2 曲线运动的条件	速度沿轨迹切线；合力与速度不共线就做曲线运动，轨迹弯向合力一侧	常考选择题；电场中判断轨迹时必用
8.3 运动的合成与分解	位移、速度、加速度都按平行四边形定则合成分解；各分运动独立、时间相同	必用，平抛和类平抛的基础
8.4 小船渡河	过河时间只看垂直河岸的分速度；最短时间船头垂直河岸，最短位移看船速和水速谁大	偶考选择题
8.5 关联速度	绳、杆连着的物体：实际速度沿绳（杆）和垂直绳（杆）分解，两端沿绳（杆）的分速度相等	偶考选择题，常和机械能守恒一起考

8.2 曲线运动的条件

说明

曲线运动：轨迹是曲线的运动。本节把物体看成质点。

速度方向：质点在某一点的速度方向，沿轨迹在这一点的切线方向，指向运动的一侧。

由此得到：曲线运动的速度方向时刻在变，所以曲线运动一定是变速运动，一定有加速度，所受合力一定不为零。

物体做曲线运动的条件：合力（或加速度）的方向与速度方向不在同一条直线上。

• 共线：合力只改变速度的大小，物体做直线运动（第 3 章）。
• 不共线：物体做曲线运动。

轨迹和合力的位置关系：轨迹夹在速度方向和合力方向之间，向合力的一侧弯曲；合力指向轨迹的凹侧。

合力的两个效果：把合力 $\vec{F}$ 沿速度方向和垂直速度方向分解：

• 沿速度方向的分力 $F_{\text{切}}$ 改变速度的大小：与速度同向则加速，反向则减速；
• 垂直速度方向的分力 $F_{\text{法}}$ 改变速度的方向，使轨迹弯曲。

所以合力与速度的夹角决定速率怎么变：锐角时速率增大，钝角时速率减小，始终垂直时速率不变（匀速圆周运动，第 10 章）。

按合力是否恒定分类：合力是恒力，加速度不变，叫匀变速曲线运动（平抛、斜抛，第 9 章）；合力方向在变，是非匀变速曲线运动（圆周运动，第 10 章）。

使用场景

• 题目给出初速度方向和合力（或加速度）方向，问做直线还是曲线运动、轨迹往哪边弯 → 质点受恒力或已知方向的力 → 看两者是否共线；不共线则轨迹向合力一侧弯。
• 给出一段轨迹和速率的变化（“速率逐渐减小”“先减后增”），问某点合力的方向；或给出合力，问速率怎么变 → 合力指向凹侧 → 再看合力与速度夹角是锐角还是钝角。
• 物体原来在几个力作用下平衡（静止或匀速），撤去一个力或加上一个恒力，问之后的运动 → 剩下的合力是恒力 → 加速度不变，是匀变速运动；合力与速度共线为直线，不共线为曲线。

注意点

• 判断的是合力（或加速度）与速度的方向关系，不是某一个力。受几个力时先求合力。
• “曲线运动一定是变速运动”说的是速度矢量在变，速度的大小可以不变（匀速圆周运动）。
• 恒力也能产生曲线运动：平抛运动只受重力，重力不变，轨迹却是曲线。曲线运动不一定是变力作用。
• 合力指向凹侧，但不一定指向“圆心”或“曲率中心”；只有匀速圆周运动的合力才正好指向圆心。
• 本节的结论建立在质点模型上；物体有转动时（如旋转的乒乓球），说的是质心（重心）的轨迹。

推导

速度为什么沿切线：质点从 $A$ 运动到 $B$，这段时间的平均速度 $\bar{\vec{v}} = \dfrac{\Delta\vec{x}}{\Delta t}$，方向就是位移 $\Delta\vec{x}$ 的方向，即割线 $AB$ 的方向。让 $\Delta t$ 越来越小，$B$ 沿曲线向 $A$ 靠近（图中 $B \to B'$），割线绕 $A$ 转动，越来越接近 $A$ 点的切线。

（关键一步：瞬时速度是 $\Delta t \to 0$ 时平均速度的极限（第 2 章 2.4），而平均速度的方向始终沿割线，所以瞬时速度的方向就是割线的极限位置，也就是切线。）

为什么不共线才做曲线运动：由牛顿第二定律（第 6 章），加速度与合力同向。在一段很短的时间 $\Delta t$ 内，速度的变化 $\Delta\vec{v} = \vec{a}\,\Delta t$ 与合力同向，新速度 $\vec{v}_2 = \vec{v}_1 + \Delta\vec{v}$（三角形定则，第 1 章 1.3）。

• 如果 $\vec{F}$ 与 $\vec{v}_1$ 共线，$\Delta\vec{v}$ 也与 $\vec{v}_1$ 共线，$\vec{v}_2$ 方向不变，只是变长或变短，物体沿直线运动。
• 如果不共线，$\Delta\vec{v}$ 有垂直于 $\vec{v}_1$ 的分量，$\vec{v}_2$ 的方向向合力一侧偏转；每一小段都这样偏，轨迹就向合力一侧弯曲，合力在凹侧。

把 $\vec{F}$ 分解成 $F_{\text{切}}$ 和 $F_{\text{法}}$：$F_{\text{切}}$ 产生的 $\Delta v$ 沿速度方向，只改变大小；$F_{\text{法}}$ 产生的 $\Delta v$ 垂直于速度，在 $\Delta t$ 很小时只改变方向、不改变大小（直角三角形的斜边和长直角边几乎一样长）。

严格的说法是把加速度分解成切向加速度 $\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$ 和法向加速度 $\dfrac{v^2}{\rho}$（$\rho$ 是曲率半径），要用到大学的自然坐标系和求导；高中只要求定性结论，法向加速度在圆周运动里写成 $\dfrac{v^2}{r}$（第 10 章）。

例题

例 1　（场景：由速度和合力判断轨迹）小钢球在光滑水平桌面上向右做匀速直线运动，在桌面上放一块条形磁铁。下列说法正确的是（　）。

A. 磁铁放在钢球运动方向的正前方，钢球做曲线运动 B. 磁铁放在钢球运动方向的正前方，钢球做减速直线运动 C. 磁铁放在钢球运动路线的一侧，钢球的轨迹向远离磁铁的一侧弯曲 D. 磁铁放在钢球运动路线的一侧，钢球的轨迹向磁铁一侧弯曲

解：D。

判断依据：合力与速度共线做直线运动，不共线做曲线运动，轨迹弯向合力一侧（本节“物体做曲线运动的条件”）。

磁铁吸引钢球。放在正前方时，吸引力与速度同向，钢球做加速直线运动，A、B 都错。放在一侧时，吸引力与速度不共线，钢球做曲线运动，轨迹向吸引力一侧，也就是向磁铁一侧弯曲，C 错 D 对。这正是课本上演示曲线运动条件的实验。

容易卡在：B 选项。吸引力指向磁铁，与运动方向相同，是加速不是减速。

例 2　（场景：由轨迹和速率变化判断合力方向）物体沿图中曲线从 $M$ 向 $N$ 运动，经过 $P$ 点时速率正在减小。图中画出了 $P$ 点合力的四个可能方向，其中可能正确的是（　）。

解：C。

判断依据：合力指向轨迹凹侧；速率减小说明合力与速度成钝角（本节“合力的两个效果”）。

第一步看凹侧：轨迹向下弯，凹侧在曲线下方。$A$ 竖直向上、$D$ 向左偏上，都指向凸侧，排除。第二步看夹角：$P$ 点速度沿切线指向右上方。$B$ 指向右下，与速度夹角小于 $90^\circ$，物体会加速，排除；$C$ 指向左下，与速度夹角大于 $90^\circ$，物体减速，符合。

容易卡在：只做第一步，在 $B$、$C$ 之间犹豫。两个条件要都用上：凹侧定“哪一边”，夹角定“往前偏还是往后偏”。

例 3　（场景：撤去一个力后的运动性质）物体在三个恒力 $F_1$、$F_2$、$F_3$ 作用下做匀速直线运动。若突然撤去 $F_1$，其余两个力不变，则此后物体（　）。

A. 一定做匀加速直线运动 B. 一定做匀变速运动 C. 可能做匀速圆周运动 D. 一定做曲线运动

解：B。

判断依据：撤去 $F_1$ 后，合力等于 $-\vec{F}_1$，是恒力，加速度恒定，所以一定是匀变速运动；直线还是曲线看合力与速度是否共线。

原来三力平衡，$\vec{F}_2 + \vec{F}_3 = -\vec{F}_1$。撤去 $F_1$ 后合力大小等于 $F_1$、方向与 $F_1$ 相反，不变，B 对。如果 $F_1$ 与速度方向相反，合力与速度同向，物体匀加速直线运动；如果 $F_1$ 与速度同向，物体匀减速直线运动；不共线时做匀变速曲线运动。三种都可能，A、D 错。匀速圆周运动的合力方向时刻在变，恒力做不到，C 错。

常用推论

• 轨迹夹在速度方向和合力方向之间，向合力一侧弯曲；合力指向轨迹凹侧。由本节推导中”$\Delta\vec{v}$ 与合力同向“得出。
• 合力与速度夹角为锐角时速率增大，钝角时减小，始终垂直时速率不变。由 $F_{\text{切}}$ 的方向得出。
• 恒力作用下的曲线运动是匀变速曲线运动，速度方向越来越接近合力方向，但永远不会与合力方向相同。推导：垂直于合力方向上没有力，这个方向的分速度保持不变、不为零，所以速度不会转到与合力平行（平抛运动的速度永远不会竖直，第 9 章）。
• 物体做曲线运动，合力一定不为零；但合力不为零的运动不一定是曲线运动（竖直上抛）。

易错点

• 错在哪：认为物体受力指向哪里，就往哪里运动；画轨迹时让物体沿合力方向走。 为什么错：这是“力决定运动方向”的直觉（亚里士多德式的“力是维持运动的原因”）。力决定的是速度怎么变，不是速度朝哪。平抛的物体受力竖直向下，却一直在向前飞。 正确做法：速度沿切线，合力只让速度向它这一侧偏转，轨迹在速度和合力之间。
• 错在哪：认为曲线运动一定是变力作用的结果。 为什么错：把曲线运动都想成圆周运动。平抛只受恒定的重力，轨迹是抛物线。 正确做法：做曲线运动只要求合力与速度不共线，合力可以是恒力。
• 错在哪：画轨迹时，让轨迹从合力的另一侧绕过去（合力指向凸侧）。 为什么错：受“转弯时人往外甩”的感觉影响，把惯性的效果当成了力的方向。人往外甩是因为合力不够大，合力本身仍指向弯的内侧。 正确做法：合力指向凹侧，先画速度切线，再在凹侧画力。
• 错在哪：认为曲线运动的速度大小一定变化。 为什么错：把“速度在变”理解成“快慢在变”。速度是矢量，方向变也是变。 正确做法：匀速圆周运动速率不变，速度在变；判断速率要看合力与速度的夹角。

直观理解

开车转弯：油门和刹车管快慢（沿速度方向的力），方向盘管方向（垂直速度方向的力）。三种情况画在一起：

一句话记法：速度沿切线，合力在凹侧；锐角加速，钝角减速。

关联知识点

• 前置：第 2 章 2.4 瞬时速度，切线方向的来源。
• 前置：第 6 章牛顿第二定律，加速度与合力同向。
• 前置：第 4 章 4.5 力的分解，把合力分解成切向和法向。
• 后续：第 9 章抛体运动，恒力作用下的匀变速曲线运动。
• 后续：第 10 章圆周运动，合力始终垂直速度时速率不变，法向的力就是向心力。
• 常一起考：第 15、16 章，带电粒子在电场中的轨迹弯向电场力一侧，由此判断电性、电场力做功的正负和电势能的变化。
• 后续：第 26 章，洛伦兹力始终垂直于速度，只改变速度方向。

8.3 运动的合成与分解

说明

合运动与分运动：物体实际发生的运动叫合运动；物体同时参与的几个运动叫分运动。由分运动求合运动叫运动的合成，由合运动求分运动叫运动的分解。本节把物体看成质点。

法则：位移、速度、加速度都是矢量，合成与分解都遵从平行四边形定则（第 1 章 1.3）。矢量式：

$$\vec{x} = \vec{x}_1 + \vec{x}_2, \qquad \vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2, \qquad \vec{a} = \vec{a}_1 + \vec{a}_2$$

合运动和分运动的三个关系：

• 等时性：各分运动与合运动同时开始、同时结束，经历的时间相同。
• 独立性：各分运动独立进行，互不影响。
• 等效性：各分运动合起来的效果与合运动相同。

正交分解：平面内的运动，常沿互相垂直的 $x$、$y$ 轴分解成两个直线运动，每个方向用直线运动的公式（第 3 章），再合成。标量式：

$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}, \quad \tan\theta = \frac{v_y}{v_x}; \qquad s = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \tan\alpha = \frac{y}{x}$$

其中 $\theta$ 是速度与 $x$ 轴的夹角，$\alpha$ 是位移与 $x$ 轴的夹角。一般 $\theta \ne \alpha$：速度沿轨迹切线，位移沿从起点到该点的连线。

两个直线运动合成后是什么运动：合加速度恒定就是匀变速；直线还是曲线，看合初速度和合加速度是否共线（8.2 的条件）。

分运动	合运动
两个匀速直线运动	匀速直线运动
一个匀速直线运动 + 一个匀变速直线运动，不共线	匀变速曲线运动（平抛就是这样）
两个初速度为零的匀加速直线运动	初速度为零的匀加速直线运动
两个匀变速直线运动（初速度不全为零）	合初速度与合加速度共线：匀变速直线；不共线：匀变速曲线

使用场景

• 物体同时参与两个已知运动（蜡块在移动的玻璃管里上升、人在行驶的车厢里走、降落伞遇到水平风）→ 两个分运动合成 → 按平行四边形定则合成速度和位移，两者时间相同。
• 给出 $x$、$y$ 两个方向的运动规律（分速度、分加速度，或 $x$、$y$ 随 $t$ 变化的式子），问某时刻的速度或一段时间的位移 → 正交分解 → 每个方向按直线运动算，再合成。
• 问两个分运动合成后是直线还是曲线、是否匀变速 → 合初速度和合加速度 → 用 8.2 的条件判断。
• 已知物体的实际运动，问它在某个方向上的分运动（飞机爬升时每秒上升多少、斜坡上的车水平方向走多快）→ 按题目问的方向分解 → 实际速度是平行四边形的对角线。

注意点

• 合运动是物体实际的运动：实际的轨迹、实际的速度。分解时，实际速度一定画成平行四边形的对角线，不能当成一条边。8.4、8.5 的错误几乎都出在这里。
• 合速度不一定大于分速度。两个分速度夹角大于 $90^\circ$ 时，合速度可能比两个分速度都小（和力的合成一样，第 4 章 4.5）。
• 时间是联系各分运动的桥梁：常在一个方向上求出时间，再用到另一个方向。
• 独立性的前提是各方向的受力互不影响。物体只受恒力（重力、匀强电场的力）时成立；受到大小与速率有关的空气阻力时，水平方向的阻力会因竖直速度增大而增大，两个方向互相牵连，独立性只是近似。题目说“不计空气阻力”就是在保证独立性。
• 运动的分解方向可以任选，但要选使问题变简单的方向：沿实际效果、沿受力方向，或沿题目所问的方向。

推导

位移的合成（实验依据）：人教版用“红蜡块”实验：竖直玻璃管里注满清水，管内的红蜡块能匀速上升。蜡块上升的同时，把玻璃管水平向右匀速移动。以蜡块的出发点为原点，水平向右为 $x$ 轴、竖直向上为 $y$ 轴，经过时间 $t$：

$$x = v_x t, \qquad y = v_y t$$

消去 $t$ 得 $y = \dfrac{v_y}{v_x} x$，是一条过原点的直线。实验中观察到蜡块确实沿斜向上的直线运动，位置与上式相符。蜡块的位移 $\vec{s}$ 是从原点指向 $(x, y)$ 的有向线段，正好是以两个分位移为邻边的平行四边形的对角线。

速度的合成：在任意一段很短的时间 $\Delta t$ 内，两个分位移 $\Delta\vec{x}_1$、$\Delta\vec{x}_2$ 合成为合位移 $\Delta\vec{x}$。两边同除以 $\Delta t$：

$$\frac{\Delta\vec{x}}{\Delta t} = \frac{\Delta\vec{x}_1}{\Delta t} + \frac{\Delta\vec{x}_2}{\Delta t}, \quad \text{即} \quad \vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$$

（关键一步：两边能除以同一个 $\Delta t$，靠的是等时性：两个分位移是在同一段时间里发生的。）

加速度用同样的办法由速度的合成得出。

独立性的依据：牛顿第二定律可以写成分量式 $F_x = ma_x$、$F_y = ma_y$（第 6 章）：$x$ 方向的加速度只由 $x$ 方向的力决定，与 $y$ 方向的力无关。所以只要各方向的力互不影响，各方向的运动就互不影响。第 9 章“两球同时落地”的实验是它的直接证据。

合运动性质表的来源：把两个分加速度合成为 $\vec{a}$，两个分初速度合成为 $\vec{v}_0$。$\vec{a}$ 恒定就是匀变速运动；再用 8.2 的条件：$\vec{v}_0$ 与 $\vec{a}$ 共线（或 $\vec{v}_0 = 0$）是直线，不共线是曲线。

例题

例 1　（场景：两个分运动合成）长 $1.0\ \mathrm{m}$ 的竖直玻璃管内注满清水，红蜡块从管底以 $0.04\ \mathrm{m/s}$ 的速度匀速上升；与此同时，玻璃管以 $0.03\ \mathrm{m/s}$ 的速度水平向右匀速移动。求蜡块的实际速度，以及蜡块从管底到管顶所用的时间和这段时间内的位移。

解：

研究对象：红蜡块，看成质点。

过程划分：一个过程，蜡块同时参与竖直向上和水平向右两个匀速直线运动。

分析：两个匀速直线运动的合运动是匀速直线运动（本节“合运动性质表”）。到达管顶只由竖直方向决定，时间在竖直方向求，再用到水平方向（等时性）。

列式求解：取水平向右为 $x$ 轴、竖直向上为 $y$ 轴。实际速度

$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{0.03^2 + 0.04^2}\ \mathrm{m/s} = 0.05\ \mathrm{m/s}$$

设 $v$ 与水平方向的夹角为 $\theta$，$\tan\theta = \dfrac{v_y}{v_x} = \dfrac{4}{3}$，$\theta = 53^\circ$。

竖直方向：$t = \dfrac{L}{v_y} = \dfrac{1.0}{0.04}\ \mathrm{s} = 25\ \mathrm{s}$。

水平方向：$x = v_x t = 0.03 \times 25\ \mathrm{m} = 0.75\ \mathrm{m}$。

位移

$$s = \sqrt{x^2 + L^2} = \sqrt{0.75^2 + 1.0^2}\ \mathrm{m} = 1.25\ \mathrm{m}$$

方向斜向右上，与水平方向成 $53^\circ$（$\tan\alpha = \dfrac{1.0}{0.75} = \dfrac{4}{3}$）。

检验：用合运动直接算：$s = vt = 0.05 \times 25\ \mathrm{m} = 1.25\ \mathrm{m}$，一致。两个匀速运动合成，速度方向和位移方向相同，都是 $53^\circ$，符合“匀速直线运动”。

容易卡在：以为管子水平移动，蜡块走的是斜线、路更长，到顶的时间就更长。时间只由竖直方向决定，管子动不动都是 $25\ \mathrm{s}$。

例 2　（场景：已知两个方向的运动规律）质点在 $xOy$ 平面内运动，位置坐标随时间的变化为 $x = 3t$、$y = t^2$（各量均为国际单位）。求 $t = 2\ \mathrm{s}$ 时质点速度的大小和方向，以及 $0 \sim 2\ \mathrm{s}$ 内的位移。

解：

研究对象：质点。

过程划分：$0 \sim 2\ \mathrm{s}$ 一个过程，分解成 $x$、$y$ 两个方向的直线运动。

分析：对照第 3 章的公式：$x = 3t$ 是 $x = v_x t$ 的形式，$x$ 方向匀速，$v_x = 3\ \mathrm{m/s}$；$y = t^2$ 是 $y = \dfrac{1}{2}a_y t^2$ 的形式，$y$ 方向初速度为零的匀加速，$\dfrac{1}{2}a_y = 1$，$a_y = 2\ \mathrm{m/s^2}$。一个匀速、一个匀加速，互相垂直，合运动是匀变速曲线运动。

列式求解：$t = 2\ \mathrm{s}$ 时，$v_y = a_y t = 2 \times 2\ \mathrm{m/s} = 4\ \mathrm{m/s}$。

$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{3^2 + 4^2}\ \mathrm{m/s} = 5\ \mathrm{m/s}$$

$\tan\theta = \dfrac{v_y}{v_x} = \dfrac{4}{3}$，速度方向与 $x$ 轴正方向成 $53^\circ$，指向右上方。

$0 \sim 2\ \mathrm{s}$ 内：$x = 3 \times 2\ \mathrm{m} = 6\ \mathrm{m}$，$y = 2^2\ \mathrm{m} = 4\ \mathrm{m}$。

$$s = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{6^2 + 4^2}\ \mathrm{m} = 2\sqrt{13}\ \mathrm{m} \approx 7.2\ \mathrm{m}$$

位移方向与 $x$ 轴正方向的夹角 $\alpha$ 满足 $\tan\alpha = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$。

检验：单位对。速度方向（$\tan\theta = \dfrac{4}{3}$）比位移方向（$\tan\alpha = \dfrac{2}{3}$）更陡，与图中切线比连线陡一致；而且 $\tan\theta = 2\tan\alpha$，正是本节“常用推论”的结论。

容易卡在：把速度方向和位移方向当成同一个角。曲线运动中两者不同。

例 3　（场景：判断合运动的性质）关于两个分运动的合运动，下列说法正确的是（　）（多选）。

A. 两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动 B. 一个匀速直线运动和一个匀加速直线运动的合运动一定是曲线运动 C. 两个匀加速直线运动的合运动一定是直线运动 D. 两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动

解：AD。

判断依据：合加速度恒定是匀变速；合初速度与合加速度共线是直线，不共线是曲线（8.2 的条件）。

A：合加速度为零，合速度恒定，是匀速直线运动，对。B：两个运动在同一直线上时（竖直下抛 = 向下的匀速 + 自由落体），合运动是直线，“一定”错。C：合初速度和合加速度一般不共线，可能是曲线，错。D：合初速度为零，物体从静止开始沿合加速度方向运动，一定是匀加速直线运动，对。

例 4　（场景：按需要的方向分解实际运动）飞机以 $200\ \mathrm{m/s}$ 的速度沿与水平方向成 $30^\circ$ 角的方向斜向上匀速爬升。求飞机水平方向和竖直方向的分速度，以及 $20\ \mathrm{s}$ 内飞机上升的高度。

解：

研究对象：飞机，看成质点。

过程划分：一个过程，匀速直线运动。

分析：$200\ \mathrm{m/s}$ 是飞机的实际速度，是合速度，画成平行四边形的对角线；题目问水平和竖直方向，就沿这两个方向分解。

列式求解：

$$v_x = v\cos 30^\circ = 200 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{m/s} = 100\sqrt{3}\ \mathrm{m/s} \approx 173\ \mathrm{m/s}$$ $$v_y = v\sin 30^\circ = 200 \times \frac{1}{2}\ \mathrm{m/s} = 100\ \mathrm{m/s}$$

竖直方向匀速，$20\ \mathrm{s}$ 内上升 $h = v_y t = 100 \times 20\ \mathrm{m} = 2000\ \mathrm{m}$。

检验：$v_x^2 + v_y^2 = 30000 + 10000 = 40000 = 200^2$，对。两个分速度都比合速度小，符合“实际速度是对角线”。

另一种解法：先算合位移再分解：$20\ \mathrm{s}$ 内沿航线飞行 $s = vt = 4000\ \mathrm{m}$，上升高度 $h = s\sin 30^\circ = 2000\ \mathrm{m}$。只问一个方向的位移时，两种方法一样快；如果还要问某一时刻的分速度，或两个方向的运动不同（一个匀速、一个变速），只能先分解速度，所以先分解速度的做法更通用。

常用推论

• 合运动与各分运动时间相等：常在一个方向上求时间，再用到另一个方向（渡河、平抛都这样）。由等时性得出。
• 一个方向匀速（速度 $v_0$）、垂直方向从静止开始匀加速（加速度 $a$）时，速度方向角 $\theta$ 和位移方向角 $\alpha$（都与匀速方向的夹角）满足 $\tan\theta = 2\tan\alpha$。推导：$\tan\theta = \dfrac{at}{v_0}$，$\tan\alpha = \dfrac{\frac{1}{2}at^2}{v_0 t} = \dfrac{at}{2v_0}$。平抛运动是 $a = g$ 的情形（第 9 章）。
• 合运动的性质看合初速度和合加速度：加速度恒定为匀变速，两者共线为直线（本节性质表）。
• 两个分速度大小一定时，合速度在 $|v_1 - v_2|$ 和 $v_1 + v_2$ 之间（第 1 章 1.3 的推论）。

易错点

• 错在哪：把某个分速度当成物体的实际速度，比如例 1 中说“蜡块的速度是 $0.04\ \mathrm{m/s}$”。 为什么错：$0.04\ \mathrm{m/s}$ 是蜡块相对玻璃管的速度，是分速度。站在地上看到的才是实际速度。 正确做法：先问“实际的运动是哪个”，它是对角线；分速度是边。
• 错在哪：认为一个方向的运动会影响另一个方向，比如“玻璃管移得越快，蜡块到顶越慢”“水平风越大，降落伞落地越晚”。 为什么错：直觉觉得斜着走路程长，所以费时间。实际上竖直方向的运动只由竖直方向的力决定，与水平速度无关。 正确做法：时间只在决定它的那个方向上求（竖直上升、竖直下落），水平运动只影响水平位移和合速度。
• 错在哪：认为“一个匀速直线运动加一个匀加速直线运动”一定是曲线运动。 为什么错：忽略了两者可能共线。竖直下抛就是向下匀速和自由落体的合成，是直线。 正确做法：先看合初速度和合加速度是否共线。
• 错在哪：认为合速度一定比分速度大。 为什么错：把矢量合成当成数的相加。 正确做法：作平行四边形看对角线；分速度夹角越大，合速度越小。

直观理解

频闪照片最能看出“各管各的”：每隔相同时间记一次位置，往 $x$ 轴上投影，间隔相等（匀速）；往 $y$ 轴上投影，间隔按 $1 : 3 : 5 : 7$ 增大（初速度为零的匀加速，第 3 章）；两个方向合起来，就是一条抛物线。

一句话记法：分运动各走各的，时间共用一块表。

关联知识点

• 前置：第 1 章 1.3 平行四边形定则；第 4 章 4.5 正交分解。矢量的坐标运算见《高中数学知识点梳理》第 14、15 章。
• 前置：第 3 章匀变速直线运动的公式，分解后每个方向都用它。
• 前置：8.2 曲线运动的条件，用来判断合运动的性质。
• 后续：8.4 小船渡河、8.5 关联速度，都是“找出实际速度、按平行四边形分解”。
• 后续：第 9 章平抛运动 = 水平匀速 + 竖直自由落体。
• 后续：第 16 章带电粒子在电场中的偏转（类平抛）。
• 常一起考：第 6 章牛顿第二定律的分量式，每个方向的加速度由该方向的力决定。

8.4 小船渡河

说明

模型：两岸是平行直线，河宽 $d$；水流速度 $v_{\text{水}}$ 处处相同，平行于河岸；船在静水中的速度 $v_{\text{船}}$（船头指向的方向）大小不变，方向可以调。船看成质点。

船的两个分运动：随水漂流（$v_{\text{水}}$，沿河岸向下游）和相对水划行（$v_{\text{船}}$，沿船头方向）。船的实际速度是两者的合速度 $\vec{v}_{\text{合}} = \vec{v}_{\text{船}} + \vec{v}_{\text{水}}$。

设船头与上游河岸的夹角为 $\theta$，沿垂直河岸和平行河岸分解（取指向下游为平行河岸的正方向）：

$$v_{\perp} = v_{\text{船}}\sin\theta, \qquad v_{\parallel} = v_{\text{水}} - v_{\text{船}}\cos\theta$$

渡河时间只由垂直河岸的分速度决定：

$$t = \frac{d}{v_{\text{船}}\sin\theta}$$

两种典型渡法：

要求	条件	船头方向	结果
时间最短	任何情况	垂直河岸（$\theta = 90^\circ$）	$t_{\min} = \dfrac{d}{v_{\text{船}}}$，向下游漂移 $x = \dfrac{v_{\text{水}}d}{v_{\text{船}}}$
位移最短	$v_{\text{船}} > v_{\text{水}}$	偏向上游，$\cos\theta = \dfrac{v_{\text{水}}}{v_{\text{船}}}$	合速度垂直河岸，$s_{\min} = d$，$t = \dfrac{d}{\sqrt{v_{\text{船}}^2 - v_{\text{水}}^2}}$
位移最短	$v_{\text{船}} < v_{\text{水}}$	偏向上游，$\cos\theta = \dfrac{v_{\text{船}}}{v_{\text{水}}}$，此时 $\vec{v}_{\text{船}} \perp \vec{v}_{\text{合}}$	不能到达正对岸，$s_{\min} = \dfrac{v_{\text{水}}d}{v_{\text{船}}}$

$v_{\text{船}} = v_{\text{水}}$ 时，船头越接近上游方向，合速度越接近垂直河岸，但到不了正对岸，高中很少考。

使用场景

• 题目问“最短时间渡河”或说“船头始终垂直河岸” → 渡河时间只看垂直河岸的分速度 → $t = \dfrac{d}{v_{\text{船}}}$，漂移 $x = v_{\text{水}}t$。
• 问“最短位移”或“到达正对岸”，且 $v_{\text{船}} > v_{\text{水}}$ → 合速度垂直河岸 → 船头偏上游，$v_{\text{船}}\cos\theta = v_{\text{水}}$。
• 问最短位移，且 $v_{\text{船}} < v_{\text{水}}$ → 到不了正对岸，找偏离最小的合速度方向 → 矢量三角形作圆找切线，$\vec{v}_{\text{船}} \perp \vec{v}_{\text{合}}$。
• 水速突然变化或随位置变化，船头方向不变，问渡河时间或靠岸位置 → 分运动的独立性 → 时间由垂直分速度决定、不变；漂移和轨迹随水速变。

注意点

• $v_{\text{船}}$ 是船相对静水的速度，方向是船头指向，不是船的实际运动方向。船头指向对岸，船却斜着走。
• 看清题目的角度是船头与上游还是下游河岸的夹角，与本节约定（上游）不同时自己换算。
• 最短时间和最短位移是两种不同的渡法，一般不能同时做到；只有 $v_{\text{水}} = 0$ 时两者重合。
• $v_{\text{船}} < v_{\text{水}}$ 时，最短位移不是 $d$，按 $\cos\theta = \dfrac{v_{\text{水}}}{v_{\text{船}}}$ 求会得到大于 1 的余弦值，说明无解，这时要换用作圆的方法。
• 模型假设水速处处相同。实际河流中间快、岸边慢，船头垂直河岸时渡河时间仍是 $\dfrac{d}{v_{\text{船}}}$，但轨迹是曲线，漂移要分段算。

推导

渡河时间：水速平行河岸，在垂直河岸方向没有分量，所以垂直河岸的分速度只来自 $v_{\text{船}}$，等于 $v_{\text{船}}\sin\theta$。由等时性，$t = \dfrac{d}{v_{\text{船}}\sin\theta}$。

（关键一步：渡河时间只看垂直河岸方向，水速再大也不影响它，这是 8.3 独立性的直接应用。）

$\sin\theta \le 1$，$\theta = 90^\circ$ 时取等号，时间最短 $\dfrac{d}{v_{\text{船}}}$。

$v_{\text{船}} > v_{\text{水}}$ 的最短位移：位移最短是 $d$，要求合速度垂直河岸，即平行河岸的分速度为零：$v_{\text{水}} - v_{\text{船}}\cos\theta = 0$，$\cos\theta = \dfrac{v_{\text{水}}}{v_{\text{船}}}$。只有 $v_{\text{船}} > v_{\text{水}}$ 时这个 $\theta$ 存在。此时 $v_{\text{合}} = \sqrt{v_{\text{船}}^2 - v_{\text{水}}^2}$，$t = \dfrac{d}{v_{\text{合}}}$。

$v_{\text{船}} < v_{\text{水}}$ 的最短位移：用三角形定则：先画 $\vec{v}_{\text{水}}$，再从它的末端画 $\vec{v}_{\text{船}}$。$\vec{v}_{\text{船}}$ 大小一定、方向可调，它的末端落在以 $\vec{v}_{\text{水}}$ 末端为圆心、$v_{\text{船}}$ 为半径的圆上；从起点指向这个末端的就是 $\vec{v}_{\text{合}}$（图见例 3）。圆整个在起点的一侧，合速度不可能垂直河岸。

要位移最短，合速度与河岸的夹角 $\beta$ 要尽量大。从起点作圆的切线时 $\beta$ 最大；切线垂直于半径，所以 $\vec{v}_{\text{船}} \perp \vec{v}_{\text{合}}$，在直角三角形中

$$\sin\beta = \frac{v_{\text{船}}}{v_{\text{水}}}, \qquad s_{\min} = \frac{d}{\sin\beta} = \frac{v_{\text{水}}d}{v_{\text{船}}}$$

（关键一步：把“找最佳船头方向”变成“从一点作圆的切线”：$\vec{v}_{\text{合}}$ 的末端只能在圆上，与河岸夹角最大的那条线必然与圆相切。）

船头方向：$\vec{v}_{\text{船}}$ 与 $\vec{v}_{\text{合}}$ 垂直，船头与上游河岸的夹角 $\theta = 90^\circ - \beta$，$\cos\theta = \sin\beta = \dfrac{v_{\text{船}}}{v_{\text{水}}}$。

例题

例 1　（场景：最短时间渡河）河宽 $d = 120\ \mathrm{m}$，水流速度 $v_{\text{水}} = 3\ \mathrm{m/s}$，船在静水中的速度 $v_{\text{船}} = 5\ \mathrm{m/s}$。要使渡河时间最短，船头应朝什么方向？最短时间是多少？船在何处靠岸？船的位移多大？

解：

研究对象：船，看成质点。

过程划分：一个过程，船同时参与随水漂流和相对水划行两个匀速直线运动。

分析：渡河时间只由垂直河岸的分速度决定，船头垂直河岸时这个分速度最大，等于 $v_{\text{船}}$（本节“渡河时间”）。

列式求解：船头垂直河岸，

$$t_{\min} = \frac{d}{v_{\text{船}}} = \frac{120}{5}\ \mathrm{s} = 24\ \mathrm{s}$$

沿河岸向下游漂移 $x = v_{\text{水}}t = 3 \times 24\ \mathrm{m} = 72\ \mathrm{m}$，即在正对岸下游 $72\ \mathrm{m}$ 处靠岸。位移

$$s = \sqrt{d^2 + x^2} = \sqrt{120^2 + 72^2}\ \mathrm{m} = 24\sqrt{34}\ \mathrm{m} \approx 140\ \mathrm{m}$$

检验：漂移与河宽之比 $\dfrac{72}{120} = \dfrac{3}{5} = \dfrac{v_{\text{水}}}{v_{\text{船}}}$，与速度平行四边形相似，合理。

另一种解法：直接用合速度：$v_{\text{合}} = \sqrt{5^2 + 3^2}\ \mathrm{m/s} = \sqrt{34}\ \mathrm{m/s}$，船做匀速直线运动，$s = v_{\text{合}}t = 24\sqrt{34}\ \mathrm{m}$。问靠岸位置（漂移多少）时分方向算最直接；只问实际路程时，合速度乘时间一步到位。

例 2　（场景：$v_{\text{船}} > v_{\text{水}}$ 的最短位移）条件同例 1。要使船到达正对岸，船头应朝什么方向？渡河时间是多少？

解：

研究对象：船。

过程划分：一个过程，匀速直线运动。

分析：到达正对岸，合速度必须垂直河岸，船头要偏向上游，用 $v_{\text{船}}$ 沿河岸的分量抵消水速（本节”$v_{\text{船}} > v_{\text{水}}$ 的最短位移”）。

列式求解：设船头与上游河岸夹角为 $\theta$，平行河岸方向的分速度为零：

$$v_{\text{船}}\cos\theta = v_{\text{水}}, \quad \cos\theta = \frac{3}{5}, \quad \theta = 53^\circ$$

合速度 $v_{\text{合}} = v_{\text{船}}\sin\theta = 5 \times 0.8\ \mathrm{m/s} = 4\ \mathrm{m/s}$，

$$t = \frac{d}{v_{\text{合}}} = \frac{120}{4}\ \mathrm{s} = 30\ \mathrm{s}$$

船头偏向上游，与上游河岸成 $53^\circ$，渡河 $30\ \mathrm{s}$。

检验：$v_{\text{合}} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4\ \mathrm{m/s}$，一致。$30\ \mathrm{s} > 24\ \mathrm{s}$：位移最短时时间不是最短，符合注意点。

容易卡在：把船头直接对准对岸，结果被冲到下游。要到正对岸，船头必须“迎着水”偏一点。

例 3　（场景：$v_{\text{船}} < v_{\text{水}}$ 的最短位移）河宽 $d = 120\ \mathrm{m}$，水流速度 $v_{\text{水}} = 5\ \mathrm{m/s}$，船在静水中的速度 $v_{\text{船}} = 3\ \mathrm{m/s}$。求船渡河的最短位移、此时船头的方向和渡河时间。

解：

研究对象：船。

过程划分：一个过程，匀速直线运动。

分析：$v_{\text{船}} < v_{\text{水}}$，船不可能到达正对岸。按三角形定则作圆：$\vec{v}_{\text{船}}$ 的末端在以 $\vec{v}_{\text{水}}$ 末端为圆心、半径 $3\ \mathrm{m/s}$ 的圆上，从 $A$ 作圆的切线，得到与河岸夹角最大的合速度（本节”$v_{\text{船}} < v_{\text{水}}$ 的最短位移”）。

列式求解：合速度与河岸的夹角 $\beta$：

$$\sin\beta = \frac{v_{\text{船}}}{v_{\text{水}}} = \frac{3}{5}, \quad \beta = 37^\circ$$

最短位移

$$s_{\min} = \frac{d}{\sin\beta} = \frac{120}{0.6}\ \mathrm{m} = 200\ \mathrm{m}$$

船头与上游河岸的夹角 $\theta$ 满足 $\cos\theta = \dfrac{v_{\text{船}}}{v_{\text{水}}} = \dfrac{3}{5}$，$\theta = 53^\circ$。渡河时间看垂直河岸的分速度：

$$t = \frac{d}{v_{\text{船}}\sin\theta} = \frac{120}{3 \times 0.8}\ \mathrm{s} = 50\ \mathrm{s}$$

检验：合速度 $v_{\text{合}} = \sqrt{v_{\text{水}}^2 - v_{\text{船}}^2} = 4\ \mathrm{m/s}$（直角三角形），$s = v_{\text{合}}t = 4 \times 50\ \mathrm{m} = 200\ \mathrm{m}$，一致。靠岸点在正对岸下游 $\sqrt{200^2 - 120^2}\ \mathrm{m} = 160\ \mathrm{m}$ 处。

容易卡在：照搬例 2，写 $\cos\theta = \dfrac{v_{\text{水}}}{v_{\text{船}}} = \dfrac{5}{3}$。余弦大于 1，说明合速度不可能垂直河岸，要换成作圆找切线。

例 4　（场景：水速变化）船头始终垂直河岸渡河，船行至河中央时，上游放水使水流速度突然增大。与水速不变时相比，下列说法正确的是（　）。

A. 渡河时间变长，靠岸点更偏下游 B. 渡河时间不变，靠岸点更偏下游 C. 渡河时间变短，靠岸点不变 D. 渡河时间不变，靠岸点不变

解：B。

判断依据：分运动的独立性：渡河时间只由垂直河岸的分速度决定，水速只影响沿河岸的漂移。

船头始终垂直河岸，垂直分速度一直是 $v_{\text{船}}$，渡河时间 $\dfrac{d}{v_{\text{船}}}$ 不变。后半程水速变大，相同时间内向下游漂得更远，靠岸点更偏下游。

常用推论

• 最短渡河时间 $t_{\min} = \dfrac{d}{v_{\text{船}}}$，与水速无关。由“渡河时间”推导得出。
• $v_{\text{船}} > v_{\text{水}}$ 时，最短位移等于河宽 $d$，船头偏上游 $\cos\theta = \dfrac{v_{\text{水}}}{v_{\text{船}}}$，用时 $\dfrac{d}{\sqrt{v_{\text{船}}^2 - v_{\text{水}}^2}}$，比最短时间长。
• $v_{\text{船}} < v_{\text{水}}$ 时，最短位移 $\dfrac{v_{\text{水}}d}{v_{\text{船}}}$，此时船头方向与合速度垂直。由作圆找切线得出。
• 船头垂直河岸时，漂移 $x = \dfrac{v_{\text{水}}}{v_{\text{船}}}d$，与水速成正比。

易错点

• 错在哪：认为船头对准正对岸，船就能到正对岸。 为什么错：“指哪走哪”的直觉，忘了船同时随水漂流。船头方向是 $\vec{v}_{\text{船}}$ 的方向，实际速度是合速度。 正确做法：画平行四边形，实际速度是对角线；要到正对岸，船头必须偏向上游。
• 错在哪：认为水流越快，渡河时间越长。 为什么错：直觉觉得被冲得越远、走的路越长，时间就越长。但水速平行河岸，对垂直河岸的运动没有贡献。 正确做法：时间只看垂直河岸的分速度，水速只管漂多远。
• 错在哪：认为位移最短时用时也最短。 为什么错：位移最短要让船头偏向上游，垂直河岸的分速度变小了。 正确做法：两种要求分别算：时间最短船头垂直河岸，位移最短看合速度方向。
• 错在哪：$v_{\text{船}} < v_{\text{水}}$ 时仍说最短位移是河宽 $d$。 为什么错：船速抵消不了水速，合速度总有向下游的分量。 正确做法：先比较 $v_{\text{船}}$ 和 $v_{\text{水}}$；船速小时用作圆法，最短位移是 $\dfrac{v_{\text{水}}d}{v_{\text{船}}}$。

直观理解

想象在一条向前移动的自动步道上横着走到对面：你走到对面要几步，只看你横着走得多快，步道开得再快也不会让你多走一步，只会把你带得更远。

一句话记法：过河时间看横向，漂多远看顺水；船快能到对岸，船慢作圆切线。

关联知识点

• 前置：8.3 运动的合成与分解，独立性和等时性。
• 前置：第 1 章 1.3 三角形定则。三角函数和解直角三角形见《高中数学知识点梳理》第 11–13、16 章。
• 后续：8.5 关联速度，同样是“实际速度是对角线”。
• 后续：第 9 章平抛运动，同样由一个方向决定时间、另一个方向决定水平距离。
• 常一起考：8.3 的合速度计算，常和渡河放在同一道选择题的不同选项里。

8.5 关联速度

说明

关联速度：两个物体用轻绳或轻杆连在一起，它们的速度之间存在确定的关系。高中最常见的是绳端、杆端的速度分解。

模型：轻绳不可伸长且始终绷紧；轻杆不可伸长也不可压缩。

规则：

1. 找出绳（杆）端物体的实际速度，它是合速度，画成平行四边形的对角线。
2. 把实际速度沿绳（杆）方向和垂直绳（杆）方向分解。
3. 绳（杆）两端沿绳（杆）方向的分速度大小相等。

沿绳的分速度表示绳在这一端伸长或缩短的快慢；垂直绳的分速度表示绳绕某一点转动的快慢。

设绳两端物体的速度分别为 $v_1$、$v_2$，与绳的夹角分别为 $\alpha$、$\beta$：

$$v_1\cos\alpha = v_2\cos\beta$$

一端的绳经过定滑轮被匀速收进（或放出）时，这一端沿绳的速度就是收绳的速度。轻杆两端的关系完全相同，把“绳”换成“杆”。分解的画法见例 1 的图。

使用场景

• 用绳拉物体，物体的运动方向与绳不共线（岸上收绳拉船、绳绕过定滑轮拉水平面上的物块）→ 物体的实际速度是合速度 → 沿绳、垂直绳分解，沿绳的分速度等于收绳速度。
• 绳的两端都连着运动的物体（汽车经定滑轮拉起重物、穿在竖直杆上的滑环拉物块）→ 两端沿绳的分速度相等 → $v_1\cos\alpha = v_2\cos\beta$。
• 轻杆两端被约束在两个方向上滑动（靠在墙角滑下的杆、用杆连接的两个滑块）→ 杆不可伸缩 → 两端沿杆的分速度相等。

注意点

• 分解的是物体的实际速度，不是绳的速度。实际速度在对角线上，沿绳分速度是一条边。
• 分解的方向是沿绳和垂直绳，不是水平和竖直。
• 速度关系只对某一瞬时成立；运动中夹角在变，所以一端匀速，另一端一般不匀速（收绳匀速，船在加速）。
• 这个规则只用于速度，不能照搬到加速度：绳绕滑轮转动还带来指向滑轮的向心加速度（第 10 章），沿绳方向的加速度关系更复杂，超出高中要求。求加速度时只定性判断：看速度随夹角怎么变。
• 绳必须绷紧。绳松弛时两端没有约束；绳突然从松弛变为绷紧时，沿绳的分速度会突变，机械能有损失（第 14 章）。

推导

为什么两端沿绳的分速度相等：绳不可伸长，绳长不变（或只在收绳处按收绳速度变化）。如果绳两端沿绳方向的速度不相等，单位时间内一端向外拉出的长度和另一端向里收进的长度不同，绳就会被拉长或压缩，与“不可伸长且绷紧”矛盾。垂直于绳的分速度只让绳转动，不改变绳长，所以不受约束。

用微元法看岸上拉船：人在高处 $P$ 收绳，船在水面上从 $B$ 移到 $B'$，位移 $\Delta x$。以 $P$ 为圆心、$PB'$ 为半径画弧，交 $PB$ 于 $C$，绳缩短的长度 $\Delta L = BC$。

当 $\Delta t$ 很小时，弧 $B'C$ 几乎是一条垂直于 $PB$ 的线段，三角形 $BB'C$ 近似是直角三角形，$\Delta L \approx \Delta x\cos\theta$。两边除以 $\Delta t$ 并令 $\Delta t \to 0$：

$$\frac{\Delta L}{\Delta t} = \frac{\Delta x}{\Delta t}\cos\theta, \quad \text{即} \quad v_0 = v_{\text{船}}\cos\theta$$

（关键一步：$\Delta t$ 很小时，$B'$ 离 $B$ 很近，绳转过的角度很小，弧 $B'C$ 可以当作垂直于 $PB$ 的直线段，这一近似引起的误差随 $\Delta t \to 0$ 趋于零。）

这正是把船的实际速度 $v_{\text{船}}$ 分解到沿绳方向得到的结果。严格推导可以设船到岸的水平距离为 $x$、高度为 $h$，绳长 $L = \sqrt{h^2 + x^2}$，对时间求导得 $\dfrac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t} = \dfrac{x}{L}\cdot\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = v_{\text{船}}\cos\theta$，要用到复合函数求导（见《高中数学知识点梳理》第 24 章），高中用微元法理解即可。

例题

例 1　（场景：收绳拉物体）人站在高岸上，通过绳以 $v_0 = 3\ \mathrm{m/s}$ 的速度匀速收绳，拉动水面上的船靠岸。当绳与水平面的夹角 $\theta = 37^\circ$ 时，求船的速度。船靠岸的过程中做什么运动？

解：

研究对象：船，看成质点。

过程划分：求某一瞬时的速度，不分过程；再看夹角变化时速度怎么变。

分析：船的实际运动是水平向左靠岸，$v_{\text{船}}$ 是合速度，沿绳和垂直绳分解；沿绳的分速度等于收绳速度 $v_0$（本节“规则”第 3 条）。

列式求解：

$$v_{\text{船}}\cos\theta = v_0, \qquad v_{\text{船}} = \frac{v_0}{\cos\theta} = \frac{3}{0.8}\ \mathrm{m/s} = 3.75\ \mathrm{m/s}$$

方向水平指向岸边。垂直绳的分速度 $v_2 = v_{\text{船}}\sin\theta = 3.75 \times 0.6\ \mathrm{m/s} = 2.25\ \mathrm{m/s}$。

船靠岸时 $\theta$ 越来越大，$\cos\theta$ 越来越小，$v_0$ 不变，$v_{\text{船}} = \dfrac{v_0}{\cos\theta}$ 越来越大：船做加速运动（加速度也在变，不是匀加速）。

检验：$v_{\text{船}} > v_0$：船速是对角线，比沿绳的分速度大，合理。特殊情形：$\theta \to 0$（船离岸很远，绳几乎水平）时 $v_{\text{船}} \to v_0$，合理。

容易卡在：把收绳速度当合速度去分解，写成 $v_{\text{船}} = v_0\cos\theta = 2.4\ \mathrm{m/s}$。船才是实际在动的物体，它的速度是对角线。

另一种解法：用功率。轻绳不储存能量，人拉绳的功率等于绳拉船的功率。设绳的拉力为 $F$：人拉绳的功率 $Fv_0$；绳拉船的力沿绳，与船速夹角 $\theta$，功率 $Fv_{\text{船}}\cos\theta$（第 12 章）。两者相等，$v_{\text{船}} = \dfrac{v_0}{\cos\theta}$。这个方法不用想“谁是合速度”，适合拿来检查分解有没有弄反；但它要用到功率，学完第 12 章才能用，初学时先用速度分解。

例 2　（场景：绳两端都在运动）汽车通过绕过定滑轮的绳吊起重物。汽车以 $v_{\text{车}} = 5\ \mathrm{m/s}$ 的速度向右匀速行驶，当车端的绳与水平方向的夹角 $\theta = 60^\circ$ 时，求重物的速度。重物上升过程中，绳的拉力与重物的重力哪个大？

解：

研究对象：先研究汽车上的绳端 $C$（求速度），再研究重物（判断拉力）。

过程划分：求某一瞬时的速度；再看汽车继续右行时夹角怎么变。

分析：汽车的实际速度水平向右，是合速度。把它沿绳和垂直绳分解，沿绳的分速度就是车端的绳被拉出的速度；重物一端的绳竖直，重物的速度就等于沿绳的速度（两端沿绳分速度相等）。

列式求解：

$$v_{\text{物}} = v_{\text{车}}\cos\theta = 5 \times \cos 60^\circ\ \mathrm{m/s} = 2.5\ \mathrm{m/s}$$

方向竖直向上。

汽车向右行驶，车端的绳越来越接近水平，$\theta$ 减小，$\cos\theta$ 增大，$v_{\text{物}}$ 增大：重物加速上升，加速度向上。对重物，取竖直向上为正方向，由牛顿第二定律 $F_{\text{T}} - mg = ma > 0$，所以绳的拉力大于重力（超重，第 6 章）。

检验：$v_{\text{物}} < v_{\text{车}}$，沿绳分速度是边，比对角线小，合理。特殊情形：$\theta = 90^\circ$（车在滑轮正下方）时 $v_{\text{物}} = 0$；$\theta \to 0$ 时 $v_{\text{物}} \to v_{\text{车}}$，合理。

容易卡在：以为汽车匀速，重物也匀速，于是拉力等于重力。

例 3　（场景：轻杆两端约束滑动）长为 $L$ 的轻杆 $AB$ 靠在竖直墙上，$A$ 端沿墙向下滑，$B$ 端沿水平地面向右滑。当杆与地面的夹角为 $37^\circ$、$A$ 端速度 $v_A = 4\ \mathrm{m/s}$ 时，求 $B$ 端的速度。

解：

研究对象：杆的两端 $A$ 和 $B$。

过程划分：只求某一瞬时，不分过程。

分析：$A$ 的实际速度竖直向下，$B$ 的实际速度水平向右，都沿杆和垂直杆分解。杆不可伸缩，两端沿杆的分速度相等（本节“规则”）。

列式求解：$v_A$ 与杆的夹角是 $90^\circ - 37^\circ = 53^\circ$，沿杆分量 $v_A\cos 53^\circ = v_A\sin 37^\circ$；$v_B$ 与杆的夹角是 $37^\circ$，沿杆分量 $v_B\cos 37^\circ$。

$$v_A\sin 37^\circ = v_B\cos 37^\circ, \qquad v_B = v_A\tan 37^\circ = 4 \times 0.75\ \mathrm{m/s} = 3\ \mathrm{m/s}$$

方向水平向右。

检验：特殊情形：杆与地面成 $45^\circ$ 时两端速度相等，符合对称；杆接近竖直（夹角接近 $90^\circ$）时 $\tan$ 很大，$B$ 端比 $A$ 端快得多，与“杆刚开始倒时上端几乎不动、下端滑得快”一致。

另一种解法：用几何关系。设 $A$ 的高度为 $y$、$B$ 到墙角的距离为 $x$，杆长不变：$x^2 + y^2 = L^2$。经过很短的时间 $\Delta t$，$(x + \Delta x)^2 + (y + \Delta y)^2 = L^2$，略去 $\Delta x^2$、$\Delta y^2$ 这些更小的量，得 $x\Delta x + y\Delta y \approx 0$，除以 $\Delta t$：$xv_B = yv_A$（$\Delta y$ 为负，取大小），$v_B = v_A\dfrac{y}{x} = v_A\tan 37^\circ = 3\ \mathrm{m/s}$。几何法不用判断分速度的方向，适合约束复杂、分解时不好找角度的情形；分解法画一张图就能写出式子，常规题更快。

常用推论

• 人匀速收绳拉船：$v_{\text{船}} = \dfrac{v_0}{\cos\theta} > v_0$，船越靠岸越快，做变加速运动。由例 1 得出。
• 车匀速经定滑轮拉重物：$v_{\text{物}} = v_{\text{车}}\cos\theta < v_{\text{车}}$，车远离滑轮时 $\theta$ 减小，重物加速上升，绳的拉力大于重力。由例 2 得出。
• 绳（杆）两端：$v_1\cos\alpha = v_2\cos\beta$，$\alpha$、$\beta$ 是各端速度与绳（杆）的夹角。
• 某一端的速度恰好与绳垂直时，这一瞬间它沿绳的分速度为零，另一端（若速度沿绳）的速度也为零。例如穿在竖直杆上的滑环经过与定滑轮等高的位置时，绳另一端吊着的物体速度为零。由 $v_1\cos 90^\circ = 0$ 得出。

易错点

• 错在哪：把收绳的速度当合速度分解，得到 $v_{\text{船}} = v_0\cos\theta$。 为什么错：直觉以为“人是主动的，人拉绳的速度是源头，所以分它”。但分解的对象应是物体的实际速度。反例：船快到岸边、绳接近竖直时，$v_0\cos\theta$ 趋近于零，船几乎不动；实际上此时收一点点绳，船就要在水面上走很远，船应该很快。 正确做法：先问“哪个物体的实际运动方向已知”，它的速度是对角线；沿绳的分速度才等于收绳速度。
• 错在哪：按水平和竖直方向分解绳端速度。 为什么错：把“正交分解都用水平竖直”的习惯带了进来。绳只约束沿绳方向的运动，水平竖直方向和绳的约束无关。 正确做法：沿绳和垂直绳两个方向分解。
• 错在哪：认为一端匀速，另一端也匀速。 为什么错：忘了夹角在变。速度关系 $v_1\cos\alpha = v_2\cos\beta$ 中，角度一变，比例就变。 正确做法：写出速度关系后，看运动中角度怎么变，再判断另一端加速还是减速。
• 错在哪：认为绳两端物体的速度大小相等。 为什么错：只在两端速度都沿绳时才相等（如绳跨过滑轮、两端竖直挂两个物体）。 正确做法：相等的是沿绳的分速度，不是速度本身。

直观理解

绳只能“管”沿绳方向：它能拉、能被收进，但管不着侧向的摆动。所以两端各自的速度可以五花八门，只要沿绳那一份一样大，绳就不会被拉断也不会松。

一句话记法：实际速度做对角线，沿绳相等，垂直不管。

关联知识点

• 前置：8.3 运动的合成与分解，实际速度是合速度。
• 前置：第 1 章 1.3 平行四边形定则；三角函数见《高中数学知识点梳理》第 11–13 章。
• 后续：第 10 章圆周运动，垂直绳的分速度就是绳端绕定点转动的线速度。
• 常一起考：第 6 章超重与失重（例 2 由速度变化判断拉力与重力的关系）。
• 常一起考：第 14 章机械能守恒，绳或杆连接的两个物体组成系统，用本节的速度关系把两个动能写成同一个速度。
• 后续：第 12 章功率，例 1 的另一种解法。

8.6 知识点之间的关系

本章的思路是一条线：先用 8.2 判断物体会不会拐弯、往哪边拐；一旦是曲线运动，就用 8.3 拆成两个直线运动来算；8.4、8.5 是拆法的两个典型情境，平抛（第 9 章）是第三个。遇到题目时，按下图选工具。

8.7 自测

1. 关于曲线运动，下列说法正确的是（　）。A. 速度大小一定变化　B. 加速度一定变化　C. 速度方向一定变化　D. 合力方向一定变化
2. 质量 $1\ \mathrm{kg}$ 的物体在光滑水平面上以 $4\ \mathrm{m/s}$ 的速度向东匀速运动，从某时刻起受到一个向北的 $2\ \mathrm{N}$ 恒力。求 $2\ \mathrm{s}$ 末速度的大小和方向，并说明物体做什么运动。
3. 降落伞在无风时以 $4\ \mathrm{m/s}$ 的速度匀速竖直下落。若有 $3\ \mathrm{m/s}$ 的水平风，降落伞落地时的速度多大？下落时间与无风时相比如何？
4. 一个匀速直线运动和一个初速度为零的匀加速直线运动合成，两者不在同一直线上，合运动是什么运动？
5. 河宽 $60\ \mathrm{m}$，水流速度 $4\ \mathrm{m/s}$，船在静水中的速度 $5\ \mathrm{m/s}$。求最短渡河时间，以及以最短位移渡河所用的时间。
6. 河宽 $60\ \mathrm{m}$，水流速度 $5\ \mathrm{m/s}$，船在静水中的速度 $4\ \mathrm{m/s}$。求船渡河的最短位移。
7. 人在岸上以 $4\ \mathrm{m/s}$ 的速度匀速收绳拉船，当绳与水平面的夹角为 $60^\circ$ 时，船的速度多大？
8. 轻杆两端分别沿竖直墙和水平地面滑动，杆与地面成 $45^\circ$ 时上端向下的速度为 $3\ \mathrm{m/s}$，求下端的速度。

答案：1. C；2. $4\sqrt{2}\ \mathrm{m/s} \approx 5.7\ \mathrm{m/s}$，东偏北 $45^\circ$，匀变速曲线运动；3. $5\ \mathrm{m/s}$，下落时间不变；4. 匀变速曲线运动；5. $12\ \mathrm{s}$，$20\ \mathrm{s}$；6. $75\ \mathrm{m}$；7. $8\ \mathrm{m/s}$；8. $3\ \mathrm{m/s}$，水平向远离墙的方向。

8.8 深入阅读

• PhET · 矢量加法：拖动箭头练习速度的合成与分解，看清实际速度是平行四边形的对角线。
• Khan Academy · 二维运动：二维运动的分解、分速度与合速度的讲解和练习（英文）。
• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，有人教版必修第二册“曲线运动”“运动的合成与分解”的同步课程和教材电子版。