第 30 章 · 电磁振荡、电磁波与传感器

项目	内容
课标主题	必修 3 · 电磁场与电磁波初步；选择性必修 2 · 电磁振荡与电磁波；选择性必修 2 · 传感器
人教版（2019）	必修第三册 第十三章“电磁感应与电磁波初步”：4 电磁波的发现及应用。选择性必修第二册 第四章“电磁振荡与电磁波”：1 电磁振荡；2 电磁场与电磁波；3 无线电波的发射和接收；4 电磁波谱。第五章“传感器”：1 认识传感器；2 常见传感器的工作原理及应用；3 利用传感器制作简单的自动控制装置。必修三先学初步、选择性必修再深入：必修三讲电磁波的发现、电磁波谱和应用，选择性必修二补上 LC 振荡、发射接收和传感器
考试地位	以选择题为主，偶考：LC 振荡的过程判断、$T = 2\pi\sqrt{LC}$ 的定性比较、电磁波的性质、电磁波谱的顺序和应用、物理学史。传感器单独出题少，常出现在实验题里（热敏电阻、光敏电阻的特性曲线和控制电路，见第 42 章），霍尔效应常和第 26 章一起考
前置知识	第 16 章 16.6 电容器与电容；第 17、18 章电路和动态分析；第 21 章简谐运动、受迫振动与共振；第 22 章波长、频率、波速；第 26 章洛伦兹力与霍尔效应；第 28 章自感

这一章是电磁学的收尾，概念多、计算少。前半章从 LC 振荡电路出发：电容器放电、线圈阻碍电流变化，电荷在两极板间来回“晃”，像弹簧振子；把电路“打开”，振荡的电场和磁场就离开电路传出去，成了电磁波。后半章讲传感器：把光、温度、力、磁场变成电学量，再用第 17、18 章的电路知识分析。丢分多在三处：LC 振荡中“电流在增大还是减小”判断反了；电磁波谱的顺序和用途记混；传感器电路里阻值变了，不会顺着串联分压推下去。

30.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
30.2 LC 振荡过程	电容器放电时电流增大、电场能变成磁场能；电流流向正极板时在充电，电流减小、磁场能变成电场能	偶考，选择题判断状态
30.3 振荡的周期和频率	$T = 2\pi\sqrt{LC}$，由电路本身决定；$C$ 变 4 倍，$T$ 变 2 倍	偶考，多为定性比较
30.4 麦克斯韦电磁场理论与电磁波	变化的磁场产生电场，变化的电场产生磁场；电磁波是横波，真空中速度 $c$，$c = \lambda f$	偶考，概念和物理学史
30.5 电磁波的发射与接收	发射要高频和开放电路，信号靠调制（调幅、调频）加到载波上；接收靠调谐选台、解调取信号	偶考，选择题
30.6 电磁波谱	按波长从长到短：无线电波、红外线、可见光、紫外线、X 射线、γ 射线；各有典型用途	偶考，选择题
30.7 传感器与敏感元件	把非电学量变成电学量；光敏电阻、热敏电阻、应变片、霍尔元件各自“感受”什么、阻值或电压怎么变	常在实验题和选择题中出现
30.8 传感器的应用电路	敏感元件的阻值一变，按串联分压和闭合电路欧姆定律推出电表示数、控制电路怎么动作	常考，多在实验题

30.2 LC 振荡过程

说明

振荡电流：大小和方向都做周期性变化的电流。能产生振荡电流的电路叫振荡电路，最简单的是由线圈 $L$ 和电容器 $C$ 组成的 LC 振荡电路。

怎么让它振荡起来：如图，先闭合 $S_1$ 让电源给电容器充电，再断开 $S_1$、闭合 $S_2$，电容器就通过线圈放电，电路开始振荡。

一个周期的四个阶段（从电容器充满电、开始放电时计时）：

阶段	电容器	电荷量 $q$	电流 $i$	能量转化
$0 \sim \dfrac{T}{4}$	放电	由最大减到 0	由 0 增到最大	电场能 → 磁场能
$\dfrac{T}{4} \sim \dfrac{T}{2}$	反向充电	由 0 增到最大（极性反过来）	由最大减到 0，方向不变	磁场能 → 电场能
$\dfrac{T}{2} \sim \dfrac{3T}{4}$	放电	由最大减到 0	反向由 0 增到最大	电场能 → 磁场能
$\dfrac{3T}{4} \sim T$	充电	由 0 增到最大（恢复原极性）	反向由最大减到 0	磁场能 → 电场能

两组同步变化的量：

• 电容器的电荷量 $q$、两极板间电压 $u$、极板间电场强度 $E$、电场能：同时最大、同时为零。
• 电路中的电流 $i$、线圈中的磁感应强度 $B$、磁场能：同时最大、同时为零。
• 两组错开四分之一周期：$q$ 最大时 $i = 0$，$i$ 最大时 $q = 0$。

从放电开始计时，$q$-$t$ 图像是余弦曲线，$i$-$t$ 图像是正弦曲线（规定放电开始时的电流方向为正）。

理想模型：以上是无阻尼振荡，假设电路没有电阻、也不向外辐射能量，电场能和磁场能的总和不变，振幅不变。实际电路有电阻发热、还向外辐射电磁波，振幅逐渐减小，是阻尼振荡。要维持等幅振荡，就得像荡秋千一样按时补充能量（用晶体管等组成的振荡器）。

使用场景

• 题目给出某时刻电流方向和极板带电情况（或电场方向、磁场方向）→ 看电流是流向正极板还是流出正极板 → 流向正极板是充电（电流减小、磁场能变成电场能），流出正极板是放电（电流增大、电场能变成磁场能）。
• 给出 $q$-$t$ 或 $i$-$t$ 图像，问某段时间的状态 → 看 $q$ 的大小在增大还是减小 → $|q|$ 增大是充电，$|q|$ 减小是放电；$i$ 和 $q$ 此消彼长。
• 问某时刻哪些量最大、哪些为零（电压、电流、自感电动势、电场能、磁场能）→ 把量分成“跟 $q$ 走”和“跟 $i$ 走”两组 → 一组最大时另一组为零。

注意点

• “放电”和“充电”指的是电容器，判断看 $|q|$ 在减小还是增大，和电流方向的正负无关：第 ② 阶段电流方向没变，但电容器已经从放电变成反向充电。
• 电流最大的时刻，正是电容器刚放完电、$q = 0$ 的时刻，此时电流的变化率为零，线圈的自感电动势为零。
• 自感电动势跟 $q$ 同步：理想电路中线圈两端电压就是电容器两端电压，$q$ 最大时自感电动势最大，这时 $i = 0$ 但 $i$ 变化最快。
• 电场能和磁场能都只有大小，变化周期是 $\dfrac{T}{2}$，不是 $T$：一个周期里电场能两次最大、两次为零。
• 一个周期内电容器充电两次、放电两次，电流方向改变两次。

推导

为什么放完电后电流不会停下：电容器放电时，电流从 0 开始增大，线圈产生自感电动势阻碍电流增大，所以电流只能逐渐增大，不能突变（第 28 章自感）。到 $q = 0$ 时，电容器两端已没有电压，但线圈里的电流正大，电流要减小时，线圈又产生自感电动势阻碍它减小，继续推着电荷沿原方向流动，于是给电容器反向充电。

（关键一步：线圈的自感作用让电流“有惯性”，既不能突然增大，也不能突然消失，所以电荷在两极板之间冲过头，来回往复。这和弹簧振子到平衡位置时速度最大、因为惯性冲过平衡位置一样（第 21 章）。）

能量的账：电容器带电时，能量储存在极板间的电场中；线圈中有电流时，能量储存在线圈的磁场中。没有电阻、不辐射时，两种能量之和不变：放电时电场能减少、磁场能增加，充电时反过来。

为什么 $q$ 和 $i$ 错开四分之一周期：电流就是电荷量的变化率，$i = \dfrac{\Delta q}{\Delta t}$，是 $q$-$t$ 图像切线斜率的大小。$q$ 最大处图线最平，斜率为零，$i = 0$；$q = 0$ 处图线最陡，$i$ 最大。这和简谐运动中位移最大时速度为零、在平衡位置速度最大是同一个道理（第 21 章 21.2）。严格写出 $q = Q_{\text{m}}\cos\omega t$ 要解微分方程，大学电路课讲，高中只要求定性理解。

例题

例 1　（场景：由电流方向和极板带电判断状态）LC 振荡电路某时刻的情况如图：电容器上极板带正电，电路中电流沿上方导线向左。判断此时电容器在充电还是放电，电流在增大还是减小，能量怎样转化。

解：

判断依据：电流流向正极板，正电荷在往正极板上堆，是充电；流出正极板是放电（本节使用场景第一条）。

电流沿上方导线向左，正流向带正电的上极板，所以电容器在充电，$|q|$ 增大。充电阶段电流减小，磁场能转化为电场能。这一时刻处在四个阶段中的 ② 或 ④，具体是哪一个要看规定的正方向和计时起点，本题不需要。

容易卡在：看到电流向左就想“向左是负方向”，去套 $i$-$t$ 图。判断充放电只看电流和正极板的关系，不用正方向。

例 2　（场景：由图像判断状态）LC 振荡电路中电流随时间的变化如图，周期 $T = 4\ \mathrm{ms}$，规定电容器开始放电时的电流方向为正。在 $1 \sim 2\ \mathrm{ms}$ 内，电容器在充电还是放电？电场能在增大还是减小？$t = 2\ \mathrm{ms}$ 时，线圈的自感电动势和电容器的电荷量各处于什么状态？

解：

判断依据：$i$ 和 $q$ 此消彼长；$|i|$ 减小时 $|q|$ 增大，是充电。

$1 \sim 2\ \mathrm{ms}$ 内电流为正、大小由最大减到 0，所以电荷量的大小由 0 增到最大，电容器在反向充电，磁场能转化为电场能，电场能增大。

$t = 2\ \mathrm{ms}$ 时 $i = 0$，电容器电荷量最大（极性与 $t = 0$ 时相反）；此刻图线最陡，电流变化最快，自感电动势最大。

另一种解法：直接按四个阶段对号。$T = 4\ \mathrm{ms}$，$1 \sim 2\ \mathrm{ms}$ 就是 $\dfrac{T}{4} \sim \dfrac{T}{2}$，查本节说明的表格：反向充电、磁场能 → 电场能。按表对号快，适合选择题；从图像看 $i$ 的大小变化再推 $q$，不用记表，题目换成 $q$-$t$ 图、换了计时起点也能用。

例 3　（场景：哪些量同时最大）在理想 LC 振荡电路中，当电路中的电流为零时，下列说法正确的是（　）。

A. 电容器两极板间的电压为零　B. 线圈中的磁场能最大　C. 线圈的自感电动势最大　D. 电容器的电场能为零

解：C。

判断依据：$q$、$u$、电场能、自感电动势一组，$i$、$B$、磁场能一组，一组为零时另一组最大。

电流为零，磁场能为零（B 错）；此时电容器电荷量最大，电压最大（A 错），电场能最大（D 错）。线圈两端电压等于电容器电压，也最大，即自感电动势最大（C 对）。

容易卡在：以为“电流为零，线圈就什么都没有”。电流为零时电流变化最快，自感电动势取决于变化快慢，不取决于电流本身。

常用推论

• 一个周期内电容器充电两次、放电两次，电流方向改变两次，电场能（或磁场能）两次达到最大。由本节说明的四阶段表得出。
• 电场能、磁场能的变化周期都是 $\dfrac{T}{2}$。因为能量只看大小，$q$ 正向最大和反向最大时电场能一样大。
• 放电过程中电流越来越大，但增大得越来越慢；充电过程中电流越来越小，减小得越来越快。看 $i$-$t$ 正弦曲线的斜率即得。

易错点

• 错在哪：认为电容器放电完毕（$q = 0$）时电流也为零。 为什么错：直觉上“电容器没电了，电流就该停了”，忘了线圈的自感。放完电的瞬间恰好是电流最大的时刻。 正确做法：记住 $q$ 和 $i$ 此消彼长：$q = 0$ 时 $i$ 最大。
• 错在哪：认为电流为零时线圈的自感电动势也为零。 为什么错：把自感电动势当成和电流成正比。自感电动势和电流的变化率成正比，电流为零时恰恰变化最快。 正确做法：自感电动势和电容器电压同步，跟 $q$ 一组。
• 错在哪：电流方向没变，就认为电容器一直在放电。 为什么错：第 ② 阶段电流方向和第 ① 阶段相同，但电荷已经开始在另一个极板上堆积。 正确做法：看 $|q|$ 增大还是减小，或看电流流向正极板还是流出正极板。

直观理解

LC 振荡和弹簧振子一一对应：电荷量 $q$ 像位移，电流 $i$ 像速度，电场能像弹性势能，磁场能像动能。振子在最远处速度为零、弹性势能最大，在平衡位置速度最大、动能最大；电容器充满电时电流为零、电场能最大，放完电时电流最大、磁场能最大。

关联知识点

• 前置：第 16 章 16.6 电容器的充放电，电荷量与电压成正比。
• 前置：第 28 章自感，线圈阻碍电流变化，是振荡得以持续的原因。
• 前置：第 21 章 21.2、21.4 简谐运动的图像和能量，LC 振荡的图像、能量转化与之一一对应。
• 后续：30.3 节周期公式；30.5 节发射电磁波要用振荡电路产生高频电流。
• 常一起考：第 40 章“观察电容器的充放电现象”，用电流传感器看放电电流随时间的变化。

30.3 振荡的周期和频率

说明

LC 电路完成一次全振荡的时间叫周期 $T$，一秒内完成全振荡的次数叫频率 $f$。电路没有外界干预、自己振荡时的周期和频率叫固有周期和固有频率：

$$T = 2\pi\sqrt{LC}$$ $$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$

单位：$L$ 用亨利 $\mathrm{H}$，$C$ 用法拉 $\mathrm{F}$，$T$ 得秒 $\mathrm{s}$，$f$ 得赫兹 $\mathrm{Hz}$。常用换算：$1\ \mathrm{mH} = 10^{-3}\ \mathrm{H}$，$1\ \mathrm{\mu F} = 10^{-6}\ \mathrm{F}$，$1\ \mathrm{pF} = 10^{-12}\ \mathrm{F}$。

$T$ 只由 $L$、$C$ 决定，和电容器充了多少电、电流多大无关（类比单摆周期和振幅无关）。改变 $L$、$C$ 的办法：

改变什么	怎么改	结果
电容 $C$	平行板电容器 $C = \dfrac{\varepsilon_{\text{r}} S}{4\pi kd}$：增大正对面积 $S$、减小间距 $d$、插入电介质	$C$ 增大，$T$ 变长，$f$ 变小
自感系数 $L$	增加线圈匝数、增大横截面积、插入铁芯	$L$ 增大，$T$ 变长，$f$ 变小

收音机调台用的可变电容器，就是转动动片改变两组极板的正对面积来改变 $C$。

使用场景

• 已知 $L$、$C$，求周期、频率，或求某个状态（电流最大、反向充满）第一次出现的时刻 → 理想 LC 振荡 → $T = 2\pi\sqrt{LC}$，再按四分之一周期一段对号。
• 已知要产生或接收的频率，求需要多大的 $C$（或 $L$）→ 固有频率等于目标频率 → 由 $f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ 反解。
• 可变电容器从最小调到最大，问频率范围 → 只有 $C$ 变 → 用比例 $f \propto \dfrac{1}{\sqrt{C}}$。
• 改变极板间距、正对面积、插入电介质或铁芯，问频率怎样变 → 先判断 $C$ 或 $L$ 怎样变 → 再由 $T = 2\pi\sqrt{LC}$ 定性判断。

注意点

• 公式里的 $C$、$L$ 必须用国际单位，$\mathrm{pF}$、$\mathrm{\mu F}$、$\mathrm{mH}$ 先换算。
• 周期和 $\sqrt{LC}$ 成正比，不是和 $LC$ 成正比：$C$ 变为 4 倍，$T$ 变为 2 倍。
• 电容器充电电压高低只影响电流、电荷量的最大值（振幅），不影响周期。
• 本节公式只对理想 LC 电路成立。有电阻时振幅衰减，但只要电阻不太大，周期仍近似用 $T = 2\pi\sqrt{LC}$。
• 电场能、磁场能的变化周期是 $\dfrac{T}{2}$，题目问“电场能变化的周期”时别直接答 $T$。

推导

高中不推导这个公式，直接给出使用。它的定性结论可以用实验检验：换用自感系数更大的线圈或电容更大的电容器，用示波器或电流传感器看到振荡变慢。

为什么 $L$、$C$ 越大振荡越慢：

• $L$ 越大，线圈阻碍电流变化的本领越强，电流增大、减小都更慢，一个周期就更长。
• $C$ 越大，同样的电压下极板要装的电荷越多，搬运这些电荷要更长时间，周期也更长。

和弹簧振子类比得出公式的形式：弹簧振子的周期是 $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$（第 21 章 21.5）。把两个系统对照：

弹簧振子	LC 电路	对应的理由
位移 $x$	电荷量 $q$	都是来回变化的“位置”
速度 $v$	电流 $i$	都是“位置”的变化率
质量 $m$（惯性，阻碍速度变化）	自感系数 $L$（阻碍电流变化）	都表示“惯性”
劲度系数 $k$（$F = kx$）	$\dfrac{1}{C}$（$u = \dfrac{q}{C}$）	都表示“把它拉回去”的强弱

（关键一步：两个系统满足同一种形式的方程，“惯性”对应 $m \leftrightarrow L$，“回复的强弱”对应 $k \leftrightarrow \dfrac{1}{C}$，所以周期公式里把 $m$ 换成 $L$、$k$ 换成 $\dfrac{1}{C}$，就得到 $T = 2\pi\sqrt{LC}$。）

严格推导要列出电路方程 $L\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + \dfrac{q}{C} = 0$，它和 $m\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} + kx = 0$ 形式相同，解二阶微分方程得周期，这是大学物理的内容。

单位检验（第 1 章 1.2）：$1\ \mathrm{H} = 1\ \mathrm{V \cdot s/A}$，$1\ \mathrm{F} = 1\ \mathrm{C/V} = 1\ \mathrm{A \cdot s/V}$，所以 $LC$ 的单位是 $\mathrm{\dfrac{V \cdot s}{A} \cdot \dfrac{A \cdot s}{V}} = \mathrm{s^2}$，$\sqrt{LC}$ 的单位是 $\mathrm{s}$，对。

例题

例 1　（场景：求周期和状态出现的时刻）如图，线圈的自感系数 $L = 0.1\ \mathrm{H}$，电容器的电容 $C = 10\ \mathrm{\mu F}$。先闭合 $S_1$ 使电容器充满电，再断开 $S_1$、闭合 $S_2$。求振荡周期，以及从闭合 $S_2$ 起，电路中电流第一次达到最大所用的时间（$\pi$ 取 3.14）。

解：

研究对象：电容器 $C$ 和线圈 $L$ 组成的 LC 振荡电路。

过程划分：闭合 $S_2$ 时电容器充满电、开始放电，这是第 ① 阶段的起点；电流第一次最大是放电结束的时刻。

分析：周期由 $T = 2\pi\sqrt{LC}$ 算；从开始放电到放电结束是 $\dfrac{T}{4}$（30.2 节四阶段表）。

列式求解：$C = 10\ \mathrm{\mu F} = 1 \times 10^{-5}\ \mathrm{F}$。

$$T = 2\pi\sqrt{LC} = 2 \times 3.14 \times \sqrt{0.1 \times 1 \times 10^{-5}}\ \mathrm{s} = 6.28 \times 10^{-3}\ \mathrm{s}$$ $$t = \frac{T}{4} = 1.57 \times 10^{-3}\ \mathrm{s}$$

检验：单位：$\sqrt{\mathrm{H \cdot F}} = \mathrm{s}$，对。量级：频率 $f = \dfrac{1}{T} \approx 159\ \mathrm{Hz}$，大电感、大电容组成的电路振荡慢，在声频范围内，合理。

容易卡在：$\mathrm{\mu F}$ 忘了换成 $10^{-6}\ \mathrm{F}$，算出的周期大了约 300 倍。

例 2　（场景：由目标频率求电容）收音机接收电路中线圈的自感系数 $L = 0.2\ \mathrm{mH}$。要接收频率为 $500\ \mathrm{kHz}$ 的电台，可变电容器应调到多大（$\pi^2$ 取 10）？

解：

研究对象：接收电路中的 LC 回路。

过程划分：不涉及过程，只看回路的固有频率。

分析：接收电路的固有频率等于电台频率时，回路中的电流最强（30.5 节调谐）。由 $f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ 反解 $C$。

列式求解：$L = 2 \times 10^{-4}\ \mathrm{H}$，$f = 5 \times 10^5\ \mathrm{Hz}$。两边平方得 $f^2 = \dfrac{1}{4\pi^2 LC}$：

$$C = \frac{1}{4\pi^2 f^2 L} = \frac{1}{4 \times 10 \times (5 \times 10^5)^2 \times 2 \times 10^{-4}}\ \mathrm{F} = 5 \times 10^{-10}\ \mathrm{F} = 500\ \mathrm{pF}$$

检验：单位：$\dfrac{1}{\mathrm{s^{-2}} \cdot \mathrm{H}} = \dfrac{\mathrm{s^2}}{\mathrm{H}} = \mathrm{F}$（由 $\mathrm{H \cdot F} = \mathrm{s^2}$）。量级：收音机可变电容器一般是几十到几百皮法，合理。若 $\pi^2$ 用 9.87，得 $C \approx 507\ \mathrm{pF}$，差别不大。

例 3　（场景：可变电容调节范围求频率范围）某收音机调谐电路的线圈不变，可变电容器的最大电容是最小电容的 9 倍。电容调到最小时，接收的频率是 $1500\ \mathrm{kHz}$。求这个收音机能接收的频率范围。

解：

研究对象：调谐电路。

过程划分：只比较电容最小、最大两个状态。

分析：$L$ 不变，$f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ 中只有 $C$ 变，$f \propto \dfrac{1}{\sqrt{C}}$。电容最小时频率最高，最大时频率最低。

列式求解：

$$\frac{f_{\min}}{f_{\max}} = \sqrt{\frac{C_{\min}}{C_{\max}}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$$ $$f_{\min} = \frac{1500}{3}\ \mathrm{kHz} = 500\ \mathrm{kHz}$$

能接收的频率范围是 $500 \sim 1500\ \mathrm{kHz}$。

检验：电容大、频率低，方向对。中波广播大致就在这个范围，合理。

另一种解法：先由 $f_{\max}$ 和 $C_{\min}$ 算出 $L$，再代入 $C_{\max}$ 算 $f_{\min}$。本题没给 $L$ 和 $C$ 的具体值，这条路走不通；即使给了，也要算两次带根号的数。只有一个量变化时用比例，一行就出结果；题目问具体的 $C$ 或 $L$ 值时才代公式。

例 4　（场景：改变电容器或线圈，判断频率变化）LC 振荡电路中，下列做法能使振荡频率增大的是（　）。

A. 增大电容器两极板的正对面积　B. 在线圈中插入铁芯　C. 增大电容器两极板间的距离　D. 在电容器两极板间插入电介质

解：C。

判断依据：$f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$，频率增大要求 $L$ 或 $C$ 减小。

由 $C = \dfrac{\varepsilon_{\text{r}} S}{4\pi kd}$（第 16 章 16.6）：增大正对面积 $S$、插入电介质，$C$ 增大，频率减小（A、D 错）；增大间距 $d$，$C$ 减小，频率增大（C 对）。插入铁芯 $L$ 增大，频率减小（B 错）。

常用推论

• $T \propto \sqrt{L}$、$T \propto \sqrt{C}$；$f \propto \dfrac{1}{\sqrt{L}}$、$f \propto \dfrac{1}{\sqrt{C}}$。只改一个量时用比例最快（例 3）。
• 电容变为 $n$ 倍，频率变为原来的 $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$；要使频率变为原来的 $k$ 倍，电容要变为原来的 $\dfrac{1}{k^2}$。由 $f \propto \dfrac{1}{\sqrt{C}}$ 得出。
• 从电容器充满电开始计时，电流第一次最大在 $\dfrac{T}{4}$，电容器第一次反向充满在 $\dfrac{T}{2}$，第一次恢复原状在 $T$。由 30.2 节四阶段表得出。

易错点

• 错在哪：电容变为 4 倍，认为周期也变为 4 倍。 为什么错：把 $T = 2\pi\sqrt{LC}$ 当成 $T \propto LC$，漏了根号。 正确做法：写出比例式 $\dfrac{T_2}{T_1} = \sqrt{\dfrac{C_2}{C_1}}$ 再算。
• 错在哪：认为电容器充电电压越高，振荡越快。 为什么错：直觉以为“电压大，推得快”。电压高时电荷多、电流大，但完成一次振荡的时间不变，就像单摆振幅大了周期不变。 正确做法：周期只看 $L$ 和 $C$。
• 错在哪：问“电场能变化的周期”，答成 $2\pi\sqrt{LC}$。 为什么错：电场能没有正负，一个周期里两次最大。 正确做法：能量变化的周期是 $\pi\sqrt{LC}$，即 $\dfrac{T}{2}$。

直观理解

$L$ 是电路的“质量”，$C$ 是“弹簧的软硬”：质量越大、弹簧越软（$C$ 越大），振得越慢。记法：“$L$、$C$ 大，振得慢。”

关联知识点

• 前置：第 16 章 16.6 平行板电容器 $C = \dfrac{\varepsilon_{\text{r}} S}{4\pi kd}$，判断 $C$ 怎样变。
• 前置：第 21 章 21.5 弹簧振子周期 $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$、21.6 单摆周期与振幅无关，与本节类比。
• 后续：30.5 节调谐，改变 $C$ 使接收电路的固有频率等于电台频率。
• 常一起考：30.4 节 $c = \lambda f$，由 $L$、$C$ 算出振荡频率，再求发射的电磁波的波长。

30.4 麦克斯韦电磁场理论与电磁波

说明

麦克斯韦电磁场理论的两个基本观点：

1. 变化的磁场产生电场。这是电磁感应（第 27、28 章）的推广：线圈里出现感应电流，是因为变化的磁场在空间产生了电场，推动导线中的电荷运动；没有导线，这个电场照样存在。
2. 变化的电场产生磁场。这是麦克斯韦提出的假设：不只是电流能产生磁场，变化的电场也能。

产生的场怎样，取决于原来的场怎样变：

原来的场	产生的场
稳定（不变）	不产生
均匀变化	稳定的场
非均匀变化	变化的场
周期性变化（振荡）	同频率周期性变化的场

电磁场与电磁波：周期性变化的电场产生周期性变化的磁场，它又产生周期性变化的电场……变化的电场和磁场交替产生，由近及远传播出去，这就是电磁波。变化的电场和磁场是一个整体，叫电磁场。

电磁波的特点：

• 横波：电场 $\vec{E}$、磁场 $\vec{B}$、传播方向 $\vec{v}$ 两两垂直。
• 不需要介质：能在真空中传播。真空中的速度都等于光速 $c = 3.0 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$，和频率无关。
• 波长、频率、波速的关系和机械波一样（第 22 章）：

$$c = \lambda f$$

• 进入介质后频率不变，速度变小（$v = \dfrac{c}{n}$，第 23 章），波长变短。
• 具有波的一切特性：反射、折射、干涉、衍射；因为是横波，还能偏振。
• 传递能量和信息：微波炉加热食物、太阳光晒热地面都是电磁波传递能量；广播、电视、手机是用电磁波传递信息。电磁场具有能量，说明它和实物一样是一种物质。

光是电磁波：麦克斯韦算出电磁波的速度等于当时测得的光速，由此预言光是一种电磁波。

电磁波和机械波的比较：

	机械波	电磁波
本质	介质中质点振动的传播	变化的电场和磁场的传播
是否需要介质	需要，真空中不能传播	不需要，真空中也能传播
波速	由介质决定	真空中都是 $c$；介质中比 $c$ 小
横波还是纵波	都有（绳波是横波，声波是纵波）	只有横波
共同点	$v = \lambda f$；能反射、折射、干涉、衍射；传递能量	同左

使用场景

• 题目问“变化的电场（磁场）周围产生什么场”，给出均匀变化、周期性变化等条件 → 麦克斯韦理论 → 按“稳定不产生、均匀变化产生稳定的场、振荡产生同频振荡的场”判断。
• 题目比较电磁波和机械波，或判断电磁波性质的说法（是否需要介质、横波纵波、速度）→ 电磁波的特点 → 对照本节比较表。
• 已知频率求波长（或反过来），或电磁波进入介质 → 波的基本关系 → $c = \lambda f$，进入介质频率不变。
• 物理学史题，问谁提出电磁场理论、谁证实电磁波存在 → 麦克斯韦预言、赫兹证实 → 按人物和贡献对号。

注意点

• “变化的电场产生磁场”不要求周围有导线，也不要求有电荷。空间中只要电场在变，就有磁场。
• 均匀变化的电场产生的是稳定的磁场，稳定的磁场不再产生电场，所以不能形成电磁波。只有周期性变化（非均匀变化）的场才能“一个接一个”地传出去。
• 电磁波在真空中速度都是 $c$，与频率无关；在同一种介质中，不同频率的电磁波速度不同（这就是色散，第 23 章）。
• 电磁波进入介质：频率由波源决定不变，速度变小，波长变短（$\lambda = \dfrac{v}{f}$）。
• 计算用 $c = 3.0 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$，空气中的速度近似等于 $c$。

推导

赫兹实验：电磁波存在的实验依据。麦克斯韦在 1865 年前后从理论上预言了电磁波，并指出它的速度等于光速，但当时没有人用实验验证。1886—1888 年间，德国物理学家赫兹做了一系列实验：

• 装置：感应圈给两根金属杆加高电压，杆的内端各有一个小金属球，中间留一个小间隙。电压高到一定程度时间隙中跳过火花，两根杆组成的电路里产生高频振荡电流，这是一个“开放”的振荡电路（30.5 节）。
• 接收：在几米外放一个导线环，环的两端也留一个很小的间隙。发射端跳火花时，接收环的间隙中也跳出火花。两者之间没有导线相连，能量只能是经过空间传过去的。
• 进一步：赫兹让电磁波在金属板上反射，和入射波叠加形成驻波，测出波长，再由已知频率算出波速，结果和光速一致；他还观察到电磁波的反射、折射和偏振。
• 结论：电磁波确实存在，它的传播速度等于光速，具有和光一样的波动性质，证实了麦克斯韦的理论。

（关键一步：接收环里出现火花，说明有能量不靠导线、穿过空间到达了接收环；测出的波速等于光速，说明这种波就是麦克斯韦预言的电磁波，光也是其中一种。）

为纪念赫兹，频率的单位以他的名字命名。麦克斯韦理论的完整形式是一组方程（麦克斯韦方程组），要用到矢量微积分，大学电磁学讲。

例题

例 1　（场景：变化的场产生什么场）关于电磁场，下列说法正确的是（　）。

A. 稳定的电场周围产生稳定的磁场 B. 均匀变化的磁场周围产生均匀变化的电场 C. 均匀变化的电场周围产生稳定的磁场 D. 电场周围一定存在磁场

解：C。

判断依据：产生的场取决于原来的场的变化率：不变则不产生，均匀变化（变化率恒定）则产生稳定的场。

A：稳定电场不产生磁场，错。B：均匀变化的磁场产生稳定的电场，错。C 对。D：只有变化的电场才产生磁场，错。

容易卡在：把“均匀变化”理解成“产生的场也均匀变化”。产生的场由变化快慢决定，变化快慢不变，产生的场就不变。

例 2　（场景：电磁波与机械波比较）下列关于电磁波和机械波的说法中，正确的是（　）。

A. 电磁波和机械波都需要介质才能传播 B. 电磁波和机械波都能发生干涉和衍射 C. 电磁波和机械波都有横波和纵波 D. 电磁波从空气进入水中，频率变小

解：B。

判断依据：对照本节的比较表：电磁波不需要介质、只有横波，频率由波源决定。

A：电磁波可在真空中传播，错。B：干涉、衍射是一切波的特性，对。C：电磁波只有横波，错。D：进入介质频率不变，速度和波长变小，错。

例 3　（场景：$c = \lambda f$ 计算）某调频广播电台的频率是 $100\ \mathrm{MHz}$。求它发射的电磁波在空气中的波长；这列电磁波进入折射率为 1.5 的玻璃后，波长变为多少？

解：

研究对象：电台发射的电磁波。

过程划分：空气中和玻璃中两段，频率不变。

分析：空气中速度取 $c$，由 $c = \lambda f$ 求波长；进入玻璃后 $v = \dfrac{c}{n}$，频率不变，$\lambda' = \dfrac{v}{f}$。

列式求解：$f = 100\ \mathrm{MHz} = 1.0 \times 10^8\ \mathrm{Hz}$。

$$\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3.0 \times 10^8}{1.0 \times 10^8}\ \mathrm{m} = 3.0\ \mathrm{m}$$ $$\lambda' = \frac{v}{f} = \frac{c}{nf} = \frac{\lambda}{n} = \frac{3.0}{1.5}\ \mathrm{m} = 2.0\ \mathrm{m}$$

检验：单位 $\dfrac{\mathrm{m/s}}{\mathrm{Hz}} = \mathrm{m}$，对。调频广播的波长是米的量级（属于超短波），合理。进入玻璃后波长变短，方向对。

容易卡在：$\mathrm{MHz}$ 是 $10^6\ \mathrm{Hz}$，不是 $10^3\ \mathrm{Hz}$。

例 4　（场景：物理学史）下列关于电磁波发现的说法，正确的是（　）。

A. 法拉第预言了电磁波的存在 B. 麦克斯韦用实验证实了电磁波的存在 C. 赫兹用实验证实了电磁波的存在，并测出其速度等于光速 D. 赫兹建立了完整的电磁场理论

解：C。

判断依据：麦克斯韦建立理论、预言电磁波；赫兹用实验证实。

法拉第发现了电磁感应（第 27 章），没有预言电磁波，A 错。麦克斯韦是理论预言者，没有做证实实验，B 错，D 中“建立电磁场理论”的是麦克斯韦，D 错。

常用推论

• 电磁波在真空中的波长 $\lambda = \dfrac{c}{f}$：频率越高，波长越短。由 $c$ 不变得出。
• 电磁波从一种介质进入另一种介质，频率不变，$\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2} = \dfrac{v_1}{v_2}$。由 $v = \lambda f$、$f$ 不变得出（和机械波相同，第 22 章）。
• 能形成电磁波的，只能是周期性变化（或非均匀变化）的电场、磁场；恒定电流、匀速变化的电流周围不辐射电磁波。由本节说明的表格得出。

易错点

• 错在哪：认为有电场的地方就有磁场。 为什么错：把“电和磁相互联系”理解成“总是同时存在”。静电场周围没有磁场。 正确做法：只有变化的电场才产生磁场。
• 错在哪：认为电磁波和声波一样，需要空气才能传播。 为什么错：用机械波的经验类推。太阳光穿过真空到达地球，就是反例。 正确做法：电磁波是电磁场本身在传播，不需要介质。
• 错在哪：认为频率越高的电磁波在真空中跑得越快。 为什么错：把“能量高”和“速度大”混在一起。 正确做法：真空中所有电磁波速度都是 $c$，频率高的只是波长短。

直观理解

电场和磁场像两个人接力：变化的电场“生出”磁场，变化的磁场又“生出”电场，一棒接一棒往外传，不需要跑道（介质）。这根接力棒就是电磁波，跑的速度就是光速。

关联知识点

• 前置：第 27、28 章电磁感应，“变化的磁场产生电场”是它的推广。
• 前置：第 22 章 22.2 波长、频率和波速的关系，$c = \lambda f$ 是它在电磁波上的应用。
• 前置：第 24 章 24.5 光的偏振，说明光是横波，和电磁波是横波一致。
• 后续：30.5 节电磁波的发射和接收；30.6 节电磁波谱。
• 后续：第 35 章光的粒子性，电磁波的能量是一份一份的。
• 常一起考：附录 D 物理学史年表，麦克斯韦、赫兹与法拉第、奥斯特的贡献常放在一道题里。

30.5 电磁波的发射与接收

说明

有效发射电磁波的两个条件：

1. 频率足够高。电磁波辐射能量的本领随频率升高而迅速增大，频率越高，发射越有效。
2. 开放电路。闭合的 LC 电路里，电场集中在电容器两极板之间，磁场集中在线圈里，几乎不向外辐射。把极板拉开，最后变成一端接天线、一端接地，电场和磁场就分布到大范围的空间中去。

调制：声音、图像信号的频率低，不能直接有效发射。办法是用高频电磁波做“运载工具”（载波），把信号“加”到载波上，这叫调制。两种调制方式：

• 调幅（AM）：使载波的振幅随信号变化。中波、短波广播多用调幅。
• 调频（FM）：使载波的频率随信号变化。调频广播、电视伴音多用调频，抗干扰能力强。

接收：

• 电谐振与调谐：接收天线中各个电台的电磁波都会激起感应电流。当接收电路的固有频率等于某个电磁波的频率时，这个频率的感应电流最强，这种现象叫电谐振，相当于机械振动中的共振（第 21 章 21.7）。调节接收电路的固有频率（通常是转动可变电容器改变 $C$），使它等于要接收的电台频率，这个过程叫调谐，也就是“选台”。
• 解调：选出的高频电流中含有信号，要把信号取出来，这是调制的逆过程，叫解调。调幅波的解调也叫检波。
• 解调出的信号再经放大，送到扬声器或显示屏。

电磁波的传播：

• 地波：沿地球表面传播，适合波长较长的长波、中波。
• 天波：靠电离层反射传播，适合短波。
• 直线传播（空间波）：微波、超短波沿直线传播，远距离要靠中继站或通信卫星转发。

雷达：用微波测距、定位。雷达天线发射微波脉冲，遇到目标反射回来，测出从发射到接收的时间 $t$，目标距离为

$$s = \frac{ct}{2}$$

使用场景

• 题目问怎样有效发射电磁波、为什么要调制、调幅和调频的区别 → 发射过程 → 高频、开放电路；调幅改振幅、调频改频率。
• 题目给出要接收的电台频率变高或变低，问可变电容器应怎样调 → 调谐 → 使固有频率 $f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ 等于电台频率。
• 题目给出接收过程的几个步骤，要求排序或判断名称 → 接收流程 → 调谐（选台）→ 解调（取信号）→ 放大。
• 题目给出雷达回波时间，问目标距离 → 电磁波往返 → $s = \dfrac{ct}{2}$。

注意点

• 调制是发射端的步骤，调谐、解调是接收端的步骤，名字容易混：调制在发、调谐选台、解调取信号。
• “调谐”改变的是接收电路的固有频率，不是电磁波的频率。
• 调谐、电谐振只能把某一频率的电流“放大”出来，得到的仍是高频电流；不解调，耳机里听不到声音。
• 雷达测距的 $t$ 是往返时间，距离要除以 2。
• 雷达用微波：波长短、方向性好、遇到飞机这类目标容易反射。

推导

调谐为什么能选台：接收天线就像一排受迫振动的弹簧振子，所有电台的电磁波都在“推”它。由第 21 章 21.7 的共振曲线，驱动力频率等于固有频率时振幅最大，偏离越远振幅越小。接收电路也是这样：固有频率等于哪个电台的频率，哪个电台的感应电流就远比其他电台强，其他电台的信号被压得很弱。

（关键一步：电谐振和机械共振是同一个规律，“驱动”是电磁波，“固有频率”是 $\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$。改变 $C$ 就是改变“弹簧”，让它和想要的频率共振。）

为什么频率越高发射越有效：振荡电路单位时间辐射的能量随频率升高而迅速增大（大致和频率的四次方成正比），这个结论要用大学电动力学的电偶极辐射公式，高中只要求知道“频率要足够高”。

例题

例 1　（场景：发射的条件和调制方式）下列关于电磁波发射的说法，正确的是（　）。

A. 只要有振荡电路，就能有效地向外发射电磁波 B. 为了有效发射电磁波，振荡电路的频率要足够低 C. 使载波的频率随信号变化的调制方式叫调幅 D. 声音信号要先加到高频载波上才能有效发射，这个过程叫调制

解：D。

判断依据：有效发射要“高频 + 开放电路”；调幅改振幅，调频改频率。

A：闭合电路几乎不辐射，错。B：频率要足够高，错。C：频率随信号变化是调频，错。D 对。

例 2　（场景：调谐时电容怎样调）收音机正在接收频率为 $600\ \mathrm{kHz}$ 的电台，现在要改收 $1200\ \mathrm{kHz}$ 的电台，可变电容器的电容应怎样调？调后的电容是原来的几倍？

解：

判断依据：调谐就是使接收电路的固有频率 $f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ 等于电台频率；$L$ 不变时 $f \propto \dfrac{1}{\sqrt{C}}$。

频率要变为原来的 2 倍，$\sqrt{C}$ 要变为原来的 $\dfrac{1}{2}$，所以电容应减小到原来的 $\dfrac{1}{4}$（30.3 节常用推论）。对可变电容器来说，就是把动片旋出一些，减小正对面积。

例 3　（场景：接收流程排序）收音机从天线接收到电磁波，到扬声器发出声音，要经过以下步骤：① 解调；② 调谐；③ 放大。正确的顺序是（　）。

A. ①②③　B. ②①③　C. ②③①　D. ③②①

解：B。

判断依据：先从所有电台中选出一个（调谐），再从选出的高频电流中取出声音信号（解调），最后放大推动扬声器。

不先调谐，就是所有电台混在一起解调；不先解调，放大的是高频电流，扬声器发不出要的声音。

例 4　（场景：雷达测距）某雷达向一架飞机发射微波脉冲，从发射到接收到反射回来的脉冲，经历的时间为 $2 \times 10^{-4}\ \mathrm{s}$。这架飞机离雷达多远？若雷达每秒发射 2000 个脉冲，为了不把前后两个脉冲的回波弄混，它能测的最大距离是多少？

解：

研究对象：雷达发出的微波脉冲。

过程划分：去程和回程两段，路程相等，速度都是 $c$。

分析：总路程 $ct$ 是距离的 2 倍。要不弄混，回波必须在下一个脉冲发出前回到雷达，即往返时间不超过脉冲间隔 $\Delta t = \dfrac{1}{2000}\ \mathrm{s}$。

列式求解：

$$s = \frac{ct}{2} = \frac{3 \times 10^8 \times 2 \times 10^{-4}}{2}\ \mathrm{m} = 3 \times 10^4\ \mathrm{m}$$ $$s_{\max} = \frac{c\,\Delta t}{2} = \frac{3 \times 10^8 \times 5 \times 10^{-4}}{2}\ \mathrm{m} = 7.5 \times 10^4\ \mathrm{m}$$

飞机离雷达 $30\ \mathrm{km}$；最大测量距离 $75\ \mathrm{km}$。

检验：单位 $\mathrm{m/s} \times \mathrm{s} = \mathrm{m}$，对。量级：几十千米是雷达跟踪飞机的常见距离，合理。

容易卡在：忘了除以 2，把往返路程当成距离。

常用推论

• 要接收的频率变为原来的 $k$ 倍，电容要变为原来的 $\dfrac{1}{k^2}$（$L$ 不变）。由 $f \propto \dfrac{1}{\sqrt{C}}$ 得出。
• 雷达最大测距 $s_{\max} = \dfrac{c}{2N}$，$N$ 是每秒发射的脉冲数。由例 4 第二问得出。
• 发射端：振荡 → 调制 → 天线；接收端：天线 → 调谐 → 解调 → 放大。两端的步骤一一对应：调制对解调。

易错点

• 错在哪：把“调谐”当成“解调”，认为调谐就能把声音取出来。 为什么错：两个词都有“调”，名字像。调谐只是选出某一频率的高频电流。 正确做法：记“调谐选台，解调取声”。
• 错在哪：要收频率更高的电台，把可变电容器的电容调大。 为什么错：直觉以为“频率高，要的东西多”。$f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$，$C$ 越大频率越低。 正确做法：频率高，$C$ 调小。
• 错在哪：认为调频是改变载波的振幅。 为什么错：AM、FM 两个名字记反。 正确做法：调“幅”改振幅，调“频”改频率，看名字里的那个字。

直观理解

载波像货车，信号像货物：货物（声音）自己走不远，装上货车（调制）才能跑；到了目的地，先在一大片车里认出自己的那辆（调谐），再把货卸下来（解调）。

关联知识点

• 前置：30.3 节固有频率 $f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$，调谐就是改变它。
• 前置：第 21 章 21.7 受迫振动与共振，电谐振是它在电路中的对应。
• 后续：30.6 节电磁波谱中无线电波和微波的应用。
• 常一起考：30.4 节 $c = \lambda f$，题目常先给频率再问波长、问属于哪个波段。

30.6 电磁波谱

说明

按波长（或频率）把电磁波排列起来，就是电磁波谱。按波长从长到短（频率从低到高）：

名称	大致波长	主要特性	典型应用
无线电波	大于 $1\ \mathrm{mm}$（其中 $1\ \mathrm{m}$ 到 $1\ \mathrm{mm}$ 的叫微波）	波长长，容易衍射；微波方向性好	广播、电视、手机通信、卫星通信、导航；微波炉、雷达
红外线	$1\ \mathrm{mm}$ 到 $760\ \mathrm{nm}$	热效应显著；一切物体都在辐射，温度越高辐射越强	红外加热、红外体温计、遥控器、夜视仪、红外遥感
可见光	$760\ \mathrm{nm}$ 到 $400\ \mathrm{nm}$	能引起视觉；按波长从长到短为红、橙、黄、绿、青、蓝、紫	照明、摄影、光纤通信
紫外线	$400\ \mathrm{nm}$ 到几纳米	化学作用强，能使荧光物质发光，能杀菌	紫外线消毒、验钞（荧光）；适量照射帮助人体合成维生素 D
X 射线	约 $10\ \mathrm{nm}$ 到 $10^{-11}\ \mathrm{m}$	穿透能力强	医学透视、CT、安检、研究晶体结构
γ 射线	小于约 $10^{-11}\ \mathrm{m}$	频率最高、能量最大，穿透能力最强	放射治疗（γ 刀）、工业探伤；由原子核衰变产生（第 36 章）

几点共性：

• 它们本质相同，都是电磁波，真空中速度都是 $c$。
• 波长越长，越容易发生衍射（无线电波能绕过建筑物）；频率越高，穿透能力越强、能量越大（X 射线、γ 射线能穿透人体和金属）。
• 相邻波段之间没有截然分开的界限，有重叠：X 射线和 γ 射线的区分主要看产生方式（X 射线来自原子内层电子跃迁或高速电子打靶，γ 射线来自原子核）。
• 电磁波有利也有弊：过量的紫外线伤皮肤和眼睛，X 射线、γ 射线过量照射损害人体，所以医用 X 光检查要控制剂量，放射工作要防护。

使用场景

• 题目给出几种电磁波，要求按波长或频率排序 → 电磁波谱的顺序 → 无线电波、红外线、可见光、紫外线、X 射线、γ 射线（波长递减、频率递增）。
• 题目描述某种用途或特性（热效应、荧光、穿透、遥控、夜视、杀菌、透视），问用的是哪种电磁波 → 按特性对号 → 热找红外，荧光杀菌找紫外，透视找 X 射线，治疗探伤找 γ 射线。
• 已知某电磁波的频率或波长，问属于哪个波段 → 先由 $c = \lambda f$ 换算 → 再对照波谱表。

注意点

• 可见光内部的顺序：红光波长最长、频率最低，紫光波长最短、频率最高。红外线在红光外侧，紫外线在紫光外侧，名字就说明了位置。
• 遥控器、夜视仪、红外体温计用的是红外线，不是紫外线；验钞机用的是紫外线。
• 微波是无线电波的一部分，不是单独排在红外线之后的一类。
• 医院“拍片子”用的是 X 射线；放疗、“γ 刀”用的是 γ 射线。
• 各波段的界限只是大致范围，选择题考顺序和用途，一般不考精确的界限数值。

推导

本知识点没有需要推导的公式，因为电磁波谱是按实验测得的波长把已知的各种辐射排列起来的。各波段的发现史可以作为“它们本质相同”的依据：

• 1800 年，赫歇尔用温度计测太阳光谱各色光的热效应，发现红光外侧温度升得最高，发现了红外线。
• 1801 年，里特发现紫光外侧的不可见辐射能使氯化银变黑，发现了紫外线。
• 1895 年，伦琴发现 X 射线；1912 年劳厄等人用晶体做光栅，观察到 X 射线的衍射，证明它是波长很短的电磁波。
• 1900 年，维拉德在镭发出的射线中发现 γ 射线。

（关键一步：这些辐射都能发生干涉、衍射，测出的速度都等于光速，所以它们和无线电波、可见光是同一种东西，只是波长不同。）

例题

例 1　（场景：按波长排序）下列电磁波按波长由长到短排列，正确的是（　）。

A. 紫外线、红外线、X 射线、无线电波 B. 无线电波、红外线、紫外线、X 射线 C. 红外线、无线电波、X 射线、紫外线 D. X 射线、紫外线、红外线、无线电波

解：B。

判断依据：电磁波谱的顺序：无线电波、红外线、可见光、紫外线、X 射线、γ 射线，波长依次变短。

D 是由短到长的顺序，问的是由长到短，不选。

例 2　（场景：由用途判断是哪种电磁波）下列应用与所用电磁波对应正确的是（　）。

A. 电视遥控器——紫外线 B. 验钞机检验钞票上的荧光标记——红外线 C. 医院用 CT 检查——X 射线 D. 夜视仪——γ 射线

解：C。

判断依据：按特性对号：遥控、夜视、热效应用红外线；荧光、杀菌用紫外线；透视用 X 射线。

A 应为红外线；B 应为紫外线；D 夜视仪接收人体等物体发出的红外线，应为红外线。

例 3　（场景：由频率判断波段）家用微波炉的工作频率约为 $2450\ \mathrm{MHz}$。求它发出的电磁波的波长，并说明属于电磁波谱的哪一部分。

解：

研究对象：微波炉发出的电磁波。

过程划分：不涉及过程。

分析：由 $c = \lambda f$ 求波长，再对照波谱表。

列式求解：$f = 2450\ \mathrm{MHz} = 2.45 \times 10^9\ \mathrm{Hz}$。

$$\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3.0 \times 10^8}{2.45 \times 10^9}\ \mathrm{m} \approx 0.12\ \mathrm{m}$$

波长约 $12\ \mathrm{cm}$，在 $1\ \mathrm{m}$ 到 $1\ \mathrm{mm}$ 之间，属于无线电波中的微波。

检验：单位对。和名字“微波炉”一致，合理。

常用推论

• 波长越长越容易衍射，适合绕过障碍远距离通信；频率越高穿透本领越强，适合透视、探伤。由第 22 章 22.4 衍射条件和“频率越高能量越大”（第 35 章）得出。
• 一切物体都辐射红外线，温度越高辐射越强、波长越短的成分越多。红外测温、红外遥感就靠这一点。
• 真空中，频率排序和波长排序正好相反。由 $\lambda = \dfrac{c}{f}$ 得出。

易错点

• 错在哪：认为验钞机、遥控器用的都是“看不见的光”，随便选红外或紫外。 为什么错：只记了“不可见”，没记特性。 正确做法：紫外线的特性是荧光、杀菌；红外线的特性是热效应、穿透烟雾能力较强。验钞看荧光（紫外），遥控、夜视靠红外。
• 错在哪：认为 γ 射线在真空中传播得比无线电波快。 为什么错：把“能量大、穿透强”当成“跑得快”。 正确做法：真空中所有电磁波速度都是 $c$。
• 错在哪：把微波排在红外线和可见光之间。 为什么错：“微”字让人以为它波长很短。 正确做法：微波波长在毫米到米之间，是无线电波中波长最短的一段，紧挨红外线的长波一侧。

直观理解

把电磁波谱想成一条按波长排的长队：最左边是“高个子”无线电波，能绕过楼房；中间是一小段看得见的彩虹（红到紫）；越往右“个子”越小、“力气”越大，到 X 射线和 γ 射线已经能穿透人体。记顺序：“无红可紫 X γ”。

关联知识点

• 前置：30.4 节 $c = \lambda f$；第 24 章光的波动性，光是电磁波的一部分。
• 后续：第 34 章氢原子光谱，可见光、紫外线的谱线来自原子能级跃迁。
• 后续：第 35 章黑体辐射和光子能量 $\varepsilon = h\nu$，解释“频率越高能量越大”。
• 后续：第 36 章放射性衰变，γ 射线的来源。
• 常一起考：第 23 章光的色散，可见光内部的波长和频率顺序。

30.7 传感器与敏感元件

说明

传感器：能感受力、温度、光、声、磁场等非电学量，并按一定规律把它们转换成电压、电流等电学量（或转换为电路的通断）的元件或装置。转换成电学量，是因为电学量便于测量、传输、处理和控制。

传感器的组成：

• 敏感元件：直接感受被测的非电学量，并输出与它有确定关系的物理量。
• 转换元件和转换电路：把敏感元件的输出变成电学量。

常见敏感元件：

元件	感受什么	怎样变化	原理
光敏电阻（常用硫化镉）	光照强弱	光照越强，电阻越小	半导体材料受光照后，能导电的载流子增多
热敏电阻（NTC，负温度系数）	温度	温度越高，电阻越小，变化灵敏	半导体材料温度升高，载流子增多
金属热电阻（如铂电阻）	温度	温度越高，电阻越大，近似线性	金属温度升高，电阻率增大（第 17 章 17.3）
电阻应变片	形变（力、压力）	拉伸时电阻变大，压缩时电阻变小	金属丝拉长变细，由 $R = \rho\dfrac{l}{S}$ 电阻变大
霍尔元件	磁感应强度	输出电压 $U_{\text{H}}$ 与 $B$ 成正比	载流子受洛伦兹力偏转，在两侧积累电荷（第 26 章）
电容式传感器	位移、压力、液面高度、角度	改变 $d$、$S$ 或电介质，电容变化	$C = \dfrac{\varepsilon_{\text{r}} S}{4\pi kd}$（第 16 章）
干簧管	磁场	有磁场时两簧片被磁化相吸而接通	磁化，作磁控开关

霍尔元件：一块通有电流 $I$ 的半导体薄片，放在磁场 $B$ 中（$B$ 垂直于薄片），在垂直于电流和磁场的两个侧面之间出现电压 $U_{\text{H}}$，叫霍尔电压：

$$U_{\text{H}} = k\frac{IB}{d}$$

$d$ 是薄片沿磁场方向的厚度，$k$ 是由材料决定的霍尔系数。$I$ 一定时，$U_{\text{H}} \propto B$，所以霍尔元件能把磁感应强度转换成电压，用来测磁场、测转速、做位置开关。

电阻应变片与电子秤：

力越大，梁弯曲越厉害，$R_1$ 增大、$R_2$ 减小得越多，两者两端电压的差值越大。测出这个差值，就知道力的大小。

使用场景

• 题目描述一个装置（自动门、声光控楼道灯、电子秤、红外体温计、烟雾报警器、手机自动调亮度）问用了什么传感器 → 找被测的非电学量 → 测光用光敏，测温用热敏，测力用应变片或压力传感器，测磁用霍尔元件或干簧管。
• 霍尔元件题，问哪个侧面电势高，或求霍尔电压、载流子浓度 → 载流子在电场力和洛伦兹力作用下平衡 → 先用左手定则定偏转方向，再由 $qvB = q\dfrac{U}{b}$、$I = nqvS$ 列式。
• 给出电阻随温度（或光照）变化的图像，问是哪种元件、某温度下阻值多大 → 读图 → 下降的是热敏电阻（NTC），上升且近似直线的是金属热电阻。

注意点

• 热敏电阻有两种：NTC 温度升高电阻减小（高中题一般指这种），PTC 温度升高电阻增大。题目给了图像就按图像判断，不凭记忆。
• 霍尔元件判断电势高低时，要先看载流子是正是负。电流方向一定时，正、负载流子受力方向相同（都偏向同一侧），但积累的电荷符号相反，所以哪侧电势高相反。金属和 N 型半导体的载流子是电子，P 型半导体可看作正电荷导电。
• 霍尔电压公式中的 $d$ 是沿磁场方向的厚度，不是测电压的那两个侧面之间的宽度。
• 光敏电阻、热敏电阻的阻值变化不是线性的，题目给出 $R$-$t$ 或 $R$-光照的图像时按图像读数。
• 传感器输出的往往是微弱的电信号，实际使用还要放大，题目一般不考。

推导

霍尔电压的推导（用第 26 章洛伦兹力）：设薄片宽为 $b$（测电压的两侧面之间的距离），沿磁场方向厚为 $d$，单位体积内载流子数为 $n$，每个载流子电荷量为 $q$，定向移动速度为 $v$。

1. 载流子受洛伦兹力 $qvB$ 向一侧偏转，两侧面积累正负电荷，形成电场 $E = \dfrac{U_{\text{H}}}{b}$。
2. 电荷越积越多，电场力越来越大，直到电场力和洛伦兹力平衡：

$$q\frac{U_{\text{H}}}{b} = qvB$$

（关键一步：两侧电荷不会无限积累。电场力和洛伦兹力平衡后，后来的载流子不再偏转，电压稳定。这和第 26 章速度选择器的平衡条件相同。）

3. 电流的微观表达式 $I = nqvS$，其中横截面积 $S = bd$（第 17 章 17.2），得 $v = \dfrac{I}{nqbd}$。代入上式：

$$U_{\text{H}} = Bvb = \frac{IB}{nqd}$$

令 $k = \dfrac{1}{nq}$，就是 $U_{\text{H}} = k\dfrac{IB}{d}$。$n$ 越小，$U_{\text{H}}$ 越大，所以霍尔元件用载流子浓度小的半导体做，不用金属。

应变片阻值为什么会变：金属丝被拉长时，长度 $l$ 增大、横截面积 $S$ 减小，由电阻定律 $R = \rho\dfrac{l}{S}$，电阻增大；被压缩时相反。半导体应变片还因为电阻率本身随应力变化，灵敏度更高。

例题

例 1　（场景：判断装置用的传感器）下列装置与其主要使用的传感器对应错误的是（　）。

A. 电子秤——压力传感器 B. 楼道里的声光控灯——声传感器和光传感器 C. 空调自动控制室温——温度传感器 D. 自动门感应到人走近就打开——压力传感器

解：D。

判断依据：找被测的非电学量是什么。

A 测力，用压力传感器（应变片）；B 夜里有声音才亮，要同时测声和光；C 测温度。D 自动门在人还没有接触门时就打开，测的是人体发出的红外线（或反射的微波），用的是红外传感器（或微波雷达），不是压力传感器。

例 2　（场景：霍尔元件）如图，霍尔元件平放在纸面内，宽 $b$（上、下两侧面 $M$、$N$ 之间的距离），沿磁场方向厚 $d = 1 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}$，载流子是电子，单位体积内电子数 $n = 1 \times 10^{21}\ \mathrm{m^{-3}}$。磁场垂直纸面向里，$B = 0.5\ \mathrm{T}$，通入向右的电流 $I = 1.6\ \mathrm{mA}$。判断 $M$、$N$ 哪个侧面电势高，并求稳定时的霍尔电压（电子电荷量 $e = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$）。

解：

研究对象：霍尔元件中做定向移动的电子。

过程划分：电子开始偏转、两侧积累电荷，直到电场力与洛伦兹力平衡、电压稳定，只看稳定状态。

分析：电流向右，电子向左运动。由左手定则（四指指向正电荷运动方向，即电流方向，向右；磁感线垂直纸面向里穿过掌心），对正电荷的力向上；电子带负电，但它的速度也反向，两次反向抵消，所受洛伦兹力仍向上。电子聚到上侧面 $M$，$M$ 带负电，$N$ 带正电。

列式求解：$N$ 侧面电势高。稳定时 $e\dfrac{U_{\text{H}}}{b} = evB$，$I = nevbd$，得

$$U_{\text{H}} = \frac{IB}{ned} = \frac{1.6 \times 10^{-3} \times 0.5}{1 \times 10^{21} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1 \times 10^{-3}}\ \mathrm{V} = 5 \times 10^{-3}\ \mathrm{V}$$

检验：单位：$\dfrac{\mathrm{A \cdot T}}{\mathrm{m^{-3} \cdot C \cdot m}} = \dfrac{\mathrm{A \cdot T \cdot m^2}}{\mathrm{C}}$，由 $\mathrm{T} = \dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{A \cdot m}}$、$\mathrm{C} = \mathrm{A \cdot s}$ 化为 $\dfrac{\mathrm{N \cdot m}}{\mathrm{A \cdot s}} = \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{C}} = \mathrm{V}$，对。量级：几毫伏，是霍尔元件的典型输出，合理。结果与 $b$ 无关，题目不给 $b$ 也能算。

容易卡在：直接用电子速度方向套左手定则，又忘了电子带负电，结果方向判反。最省事的做法：四指始终指电流方向，得到的力就是载流子受的力（无论正负），再看积累的是正电荷还是负电荷。

例 3　（场景：由 $R$-$t$ 图像识别元件）某同学测得甲、乙两个元件的电阻随温度变化如图（红线为甲，蓝线为乙）。关于两元件，下列说法正确的是（　）。

A. 甲是金属热电阻，乙是热敏电阻 B. 甲的阻值随温度变化更灵敏，适合做温度报警器的感温元件 C. 乙的阻值与温度近似成正比 D. 温度升高时甲、乙的阻值都增大

解：B。

判断依据：阻值随温度升高而减小、曲线陡的是 NTC 热敏电阻；阻值随温度升高近似线性增大的是金属热电阻。

A 说反了。B：甲的曲线陡，温度变化一点阻值就变化很多，灵敏，对。C：乙是一次函数关系（纵截距不为零），不是正比，错。D：甲减小，错。

容易卡在：把“线性”当成“正比”。$R = R_0(1 + \alpha t)$ 在 $t = 0$ 时 $R = R_0 \ne 0$。

常用推论

• 霍尔电压 $U_{\text{H}} = \dfrac{IB}{nqd}$：与 $I$、$B$ 成正比，与沿磁场方向的厚度 $d$ 成反比，与宽度 $b$ 无关。由本节推导得出。
• 电流方向一定时，不论载流子正负，都偏向同一侧；载流子为负时，偏向的一侧电势低。由例 2 的分析得出。
• 应变片拉伸电阻变大、压缩电阻变小；悬臂梁上表面受拉、下表面受压（力向下时）。

易错点

• 错在哪：霍尔元件中载流子是电子，仍按“正电荷偏向一侧，这侧电势高”判断。 为什么错：默认导电的是正电荷，这是从电流方向的规定带来的习惯。 正确做法：先定偏转方向，再看偏过去的是什么电荷；电子偏过去的那一侧电势低。
• 错在哪：认为所有热敏电阻都是温度越高电阻越小。 为什么错：只记了常见的 NTC，忘了还有 PTC 和金属热电阻。 正确做法：题目给图像按图像判断；没给时按 NTC 处理，金属电阻随温度升高而增大。
• 错在哪：认为光敏电阻在强光下电阻变大。 为什么错：把“光强，电阻挡得更多”当成直觉。实际上光照让半导体中能导电的载流子增多。 正确做法：光敏电阻“见光变小”。

直观理解

敏感元件像各种“感官”：光敏电阻是眼睛，热敏电阻是皮肤，应变片是触觉，霍尔元件是能感知磁场的“第六感”。它们感受到变化，就用阻值或电压的变化“报告”给电路。

关联知识点

• 前置：第 17 章 17.3 电阻定律，应变片和金属热电阻的阻值变化。
• 前置：第 26 章洛伦兹力和霍尔效应，霍尔元件的原理；速度选择器的平衡条件。
• 前置：第 16 章 16.6 电容器，电容式传感器的原理。
• 后续：30.8 节把敏感元件接进电路，分析电表示数和控制电路的动作。
• 后续：第 42 章“利用传感器制作简单的自动控制装置”，用热敏电阻或光敏电阻控制继电器。

30.8 传感器的应用电路

说明

传感器接进电路后，阻值的变化引起电流、电压的变化，这些变化再被测量或用来控制别的电路。分析时把敏感元件看成一个阻值会变的电阻，按第 17、18 章的方法处理：

1. 由外界条件（温度、光照、压力）判断敏感元件的阻值怎样变；
2. 按串联分压、并联分流，或“局部 → 整体 → 局部”的动态分析（第 18 章），推出电流、各部分电压怎样变；
3. 若是测量电路（如称重表、温度计），用闭合电路欧姆定律写出电流（或电压）与被测量的关系式。

串联分压电路是最常用的转换电路：敏感元件和定值电阻串联接在电源上，敏感元件阻值变大，它分到的电压变大，定值电阻分到的电压变小。

控制电路：传感器输出的电压控制电磁继电器（或晶体管、门电路），由它接通或断开工作电路。例如温度报警器：温度升高 → 热敏电阻阻值减小 → 控制电路电流增大 → 继电器的电磁铁吸下衔铁 → 报警电路接通。动手做法见第 42 章“利用传感器制作简单的自动控制装置”。

刻度不均匀：若敏感元件的阻值随被测量线性变化，串联电路中的电流 $I = \dfrac{E}{R_{\text{总}}}$ 和被测量不是线性关系，所以用电流表改装的称重表、温度表刻度不均匀。

使用场景

• 敏感元件与定值电阻串联，外界条件变化，问电表示数怎样变 → 把敏感元件看成可变电阻 → 按第 18 章动态分析，或用串联分压直接判断。
• 设计或补全控制电路，问敏感元件和定值电阻应怎样放、输出端接在哪里 → 串联分压 → 要求“条件出现时输出电压升高”，输出端就接在那时阻值变大的元件两端。
• 敏感元件阻值与被测量的关系式给定，用电流表或电压表改装成测量仪表 → 闭合电路欧姆定律 → 写出 $I$ 与被测量的关系，求量程、某读数对应的被测量。

注意点

• 先判断阻值怎样变，再推电表：两步都要对，任一步方向错，结论就反了。最好在草稿上写成箭头链：“$t \uparrow \to R_{\text{T}} \downarrow \to I \uparrow \to U_1 \uparrow$”。
• 电源有内阻时，总电阻要加上 $r$；路端电压随总电流增大而减小（第 18 章）。
• 改装的仪表刻度一般不均匀，零刻度不一定在电流表的零刻度处（例 3 中不放东西时电流不为零）。
• 保护电阻的作用：防止敏感元件阻值变得很小时电流过大，烧坏电表或电源。
• 控制电路中，继电器有“吸合电流”：电流达到某值才吸下衔铁。题目问“在多高温度报警”，就是求控制电路电流恰好等于吸合电流时的温度。

推导

串联分压的规律（第 17 章 17.5）：$R_1$、$R_2$ 串联接在电动势 $E$、内阻不计的电源上，

$$U_2 = \frac{R_2}{R_1 + R_2}E = \frac{E}{\frac{R_1}{R_2} + 1}$$

（关键一步：把 $U_2$ 改写成只含比值 $\dfrac{R_1}{R_2}$ 的形式。$R_2$ 增大或 $R_1$ 减小，$\dfrac{R_1}{R_2}$ 都减小，$U_2$ 都增大。所以“谁的阻值相对变大，谁分到的电压就变大”，不用每次重新列式。）

称重表的刻度为什么不均匀：设压力传感器的电阻 $R = R_1 - kF$，与保护电阻 $R_0$、电流表串联，电源电动势 $E$、内阻 $r$，

$$I = \frac{E}{R_0 + r + R_1 - kF}$$

$I$ 和 $F$ 不成线性关系（$F$ 在分母里），所以相等的 $F$ 间隔对应的电流间隔不相等，越往大力一端，刻度越稀。

例题

例 1　（场景：热敏电阻电路的动态分析）如图，$R_{\text{T}}$ 是 NTC 热敏电阻，$R_1$ 是定值电阻，电源内阻不计，电压表测 $R_1$ 两端的电压。当 $R_{\text{T}}$ 所在处的温度升高时，电压表的示数怎样变化？电路的总功率怎样变化？

解：

判断依据：先由温度判断 $R_{\text{T}}$ 的变化，再按串联分压判断（本节推导：“谁的阻值相对变大，谁分到的电压就变大”）。

温度升高，NTC 热敏电阻阻值减小，总电阻减小，电流 $I = \dfrac{E}{R_{\text{T}} + R_1}$ 增大，$R_1$ 两端电压 $U_1 = IR_1$ 增大，所以电压表示数增大。总功率 $P = EI$，$E$ 不变、$I$ 增大，总功率增大。

箭头链：$t \uparrow \to R_{\text{T}} \downarrow \to I \uparrow \to U_1 \uparrow$，$P \uparrow$。

把电压表示数和温度对应起来标在表盘上，这个电路就是一个简易电子温度计：温度越高，示数越大。

例 2　（场景：控制电路中输出端接在哪里）如图，光敏电阻 $R_{\text{G}}$ 与定值电阻 $R$ 串联，$A$、$B$ 两端接路灯的控制电路，要求 $A$、$B$ 间电压升高到一定值时路灯自动点亮。天黑时路灯能否自动点亮？若把 $R_{\text{G}}$ 与 $R$ 互换位置，结果怎样？

解：

判断依据：串联分压，阻值变大的元件分到的电压变大；光敏电阻“见光变小”，天黑时阻值变大。

$A$、$B$ 接在 $R_{\text{G}}$ 两端。天黑时 $R_{\text{G}}$ 增大，由 $U_{AB} = \dfrac{R_{\text{G}}}{R + R_{\text{G}}}E$，$U_{AB}$ 增大，达到设定值时路灯点亮，能自动点亮；白天 $R_{\text{G}}$ 很小，$U_{AB}$ 很小，路灯不亮。

若把 $R_{\text{G}}$ 与 $R$ 互换，$A$、$B$ 间变成定值电阻 $R$ 的电压，天黑时 $R_{\text{G}}$ 增大，$R$ 分到的电压反而减小，结果变成白天亮、天黑灭，不符合要求。

容易卡在：只想到“天黑电阻大、电流小”，就认为输出电压一定变小。电流小了，但 $R_{\text{G}}$ 本身变大得更多，它两端的电压是增大的；要看的是电压分配，不是电流。

例 3　（场景：用电流表改装称重表）如图，压力传感器的电阻 $R$ 随所受压力 $F$ 变化的关系为 $R = (30 - 0.01F)\ \mathrm{\Omega}$（$F$ 的单位为 $\mathrm{N}$），与保护电阻 $R_0 = 10\ \mathrm{\Omega}$、量程为 $0.3\ \mathrm{A}$ 的电流表串联，电源电动势 $E = 6\ \mathrm{V}$，内阻和电流表内阻都不计。求：（1）不放物体时电流表的示数；（2）这台秤能称的最大压力。

解：

研究对象：电源、$R_0$、压力传感器 $R$ 和电流表组成的串联电路。

过程划分：两个状态：（1）$F = 0$；（2）电流达到电流表量程 $0.3\ \mathrm{A}$。

分析：串联电路，$I = \dfrac{E}{R_0 + R}$。压力越大 $R$ 越小，电流越大；电流不能超过量程，量程对应最大压力。

列式求解：

（1）$F = 0$ 时 $R = 30\ \mathrm{\Omega}$：

$$I_0 = \frac{E}{R_0 + R} = \frac{6}{10 + 30}\ \mathrm{A} = 0.15\ \mathrm{A}$$

（2）$I = 0.3\ \mathrm{A}$ 时，总电阻 $R_0 + R = \dfrac{E}{I} = \dfrac{6}{0.3}\ \mathrm{\Omega} = 20\ \mathrm{\Omega}$，所以 $R = 10\ \mathrm{\Omega}$：

$$30 - 0.01F_{\max} = 10, \quad F_{\max} = 2000\ \mathrm{N}$$

检验：单位：$0.01$ 的单位是 $\mathrm{\Omega/N}$，$0.01F$ 的单位是 $\mathrm{\Omega}$，对。$F_{\max} = 2000\ \mathrm{N}$ 时 $R = 10\ \mathrm{\Omega} > 0$，传感器仍在正常范围内，合理。取中间值验证刻度：$F = 1000\ \mathrm{N}$ 时 $I = \dfrac{6}{10 + 20}\ \mathrm{A} = 0.2\ \mathrm{A}$，不在 $0.15$ 和 $0.3$ 的正中间，说明刻度不均匀（本节推导）。

容易卡在：以为不放物体时电流为零。零压力对应的是 $0.15\ \mathrm{A}$ 刻度，不是电流表的零刻度。

另一种解法：先写出通式 $I = \dfrac{6}{40 - 0.01F}$，再令 $F = 0$、$I = 0.3\ \mathrm{A}$ 分别求解。通式写一次，后面问任意压力对应的电流、任意电流对应的压力都直接代，适合题目连问好几个读数的情况；只问一两个状态时，像主解法那样逐个状态算总电阻更直接。

常用推论

• 串联电路中，敏感元件阻值变大，它两端的电压变大，其余部分的电压变小、电流变小。由本节推导的 $U_2 = \dfrac{E}{R_1/R_2 + 1}$ 得出。
• 要让“某条件出现时输出电压升高”，输出端接在该条件下阻值变大的元件两端；要输出电压降低，接在另一个元件两端。由例 2 得出。
• 用电流表改装的称重表、温度表刻度不均匀，零刻度一般不在电流表零点。由本节推导的 $I$ 与 $F$ 的关系得出。

易错点

• 错在哪：看到“电流减小”就认为所有电压都减小。 为什么错：只看了 $U = IR$ 中的 $I$，忘了 $R$ 也在变。变化的那个元件，电流和电阻一减一增，要看分压。 正确做法：定值电阻的电压跟着电流变；变化元件的电压用“总电压减去其余部分的电压”或分压公式判断。
• 错在哪：称重表不放物体时，以为指针指在电流表的零刻度。 为什么错：把改装表当成原来的电流表，忘了 $F = 0$ 时电路里照样有电流。 正确做法：用 $F = 0$ 代入求出零压力对应的电流，那才是称重表的零点。
• 错在哪：认为 $R$ 随 $F$ 线性变化，改装的表刻度就均匀。 为什么错：$R$ 是线性的，但电流 $I = \dfrac{E}{R_{\text{总}}}$ 是 $R$ 的反比例函数，不是线性的。 正确做法：判断刻度均不均匀，要看电表示数和被测量是否成线性关系。

直观理解

串联分压就像两个人分一块蛋糕，谁的“胃口”（电阻）相对变大，谁就分得多。敏感元件的胃口随光、温度、力变化，电路就是靠“它分到多少电压”来感知外界的。

关联知识点

• 前置：第 17 章 17.5 串联分压；第 18 章闭合电路欧姆定律与动态分析。
• 前置：30.7 节各种敏感元件的阻值怎样变。
• 后续：第 42 章“利用传感器制作简单的自动控制装置”，用热敏电阻、光敏电阻和继电器做控温或光控电路。
• 后续：第 40 章“用多用电表测量电学中的物理量”，可用欧姆挡观察热敏电阻、光敏电阻的阻值变化。
• 常一起考：第 37 章 37.6 电学实验的电路设计，测热敏电阻特性曲线时电表和接法的选择。

30.9 知识点之间的关系

本章两条线。第一条是电磁波：LC 电路里电场能和磁场能来回转化（30.2），快慢由 $T = 2\pi\sqrt{LC}$ 决定（30.3）；把电路打开，振荡的电场和磁场按麦克斯韦理论互相激发、传播出去，就是电磁波（30.4）；用调制把信号装上去，用调谐和解调取下来（30.5）；所有电磁波按波长排成电磁波谱（30.6）。第二条是传感器：敏感元件把非电学量变成阻值或电压的变化（30.7），接进电路后按第 17、18 章分析（30.8）。拿到题先问“题目问的是哪一类”，就能分到下图的某一支。

30.10 自测

1. 理想 LC 振荡电路中，电流达到最大时，电容器的电荷量和电场能各是多少？
2. LC 振荡电路中某时刻电流正在减小，此时电容器在充电还是放电？能量怎样转化？
3. 线圈自感系数 $L = 1\ \mathrm{mH}$，电容器电容 $C = 0.4\ \mathrm{\mu F}$，求振荡周期（$\pi$ 取 3.14）。
4. LC 电路中电容器的电容变为原来的 4 倍，振荡频率变为原来的几倍？
5. 判断：均匀增大的磁场周围产生稳定的电场。（对或错）
6. 中波广播某电台的波长为 $600\ \mathrm{m}$，它的频率是多少？
7. 收音机要改收频率更高的电台，可变电容器的电容应调大还是调小？
8. 雷达发出的微波脉冲经 $1 \times 10^{-4}\ \mathrm{s}$ 收到回波，目标距雷达多远？
9. 把红外线、无线电波、X 射线、紫外线按频率由低到高排列。
10. 验钞机使钞票上的荧光标记发光，用的是哪种电磁波？
11. 一个 NTC 热敏电阻，温度升高时阻值怎样变？光敏电阻在光照增强时阻值怎样变？
12. 在 30.7 节例 2 中，若把霍尔元件换成载流子为正电荷的材料，其他条件不变，$M$、$N$ 哪侧电势高？
13. 在 30.8 节例 3 中，压力为 $500\ \mathrm{N}$ 时电流表的示数是多少（保留两位有效数字）？

答案：1. 电荷量为零，电场能为零；2. 充电，磁场能转化为电场能；3. $1.256 \times 10^{-4}\ \mathrm{s}$（约 $1.3 \times 10^{-4}\ \mathrm{s}$）；4. $\dfrac{1}{2}$；5. 对；6. $5 \times 10^5\ \mathrm{Hz}$（$500\ \mathrm{kHz}$）；7. 调小；8. $1.5 \times 10^4\ \mathrm{m}$；9. 无线电波、红外线、紫外线、X 射线；10. 紫外线；11. 减小，减小；12. $M$ 侧；13. 约 $0.17\ \mathrm{A}$。

30.11 深入阅读

• PhET · 无线电波和电磁场：让发射天线中的电子上下振动，看电场怎样一圈圈传到接收天线、带动那里的电子振动，直观理解电磁波的产生和接收。
• PhET · 法拉第电磁实验室：磁铁靠近线圈时产生感应电流，可对照本章“变化的磁场产生电场”；其中的发电机部分可看交变电流。
• 维基百科 · 电磁波谱：各波段的波长和频率范围、产生方式和应用，有一张从无线电波到 γ 射线的全谱图。
• IEEE 工程技术史 · 电磁波的首次产生与实验证明（1886—1888）：赫兹在卡尔斯鲁厄做电磁波实验的史实和装置说明，含反射、折射、偏振和测速的结果（英文）。