第 10 章 · 圆周运动

项目	内容
课标主题	必修 2 · 曲线运动与万有引力定律（会用线速度、角速度、周期描述匀速圆周运动；知道匀速圆周运动向心加速度的大小和方向；通过实验探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系；能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力；了解生产生活中的离心现象及其产生的原因）
人教版（2019）	必修第二册 第六章“圆周运动”：1 圆周运动；2 向心力；3 向心加速度；4 生活中的圆周运动。实验“探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系”见第 39 章
考试地位	常考。水平转盘、圆锥摆、火车转弯、竖直面内的临界速度常出选择题；竖直面内的圆周运动常和动能定理、机械能守恒合成计算题；第 11 章卫星、第 26 章带电粒子在磁场中的运动用的都是本章的向心力方程
前置知识	第 1 章 1.3 矢量的差；第 4 章受力分析；第 6 章牛顿第二定律；第 8 章曲线运动的速度方向沿切线；数学的弧度制（见《高中数学知识点梳理》第 11 章）

圆周运动是第一种“速度大小可以不变、却一直有加速度”的运动。这一章的方程只有一条：沿半径方向的合力等于 $\dfrac{mv^2}{r}$。难的是用对它：圆心在哪、半径多长、哪几个力沿半径方向、最高点的速度最小能到多少。丢分大多丢在受力图上多画了一个“向心力”、把圆锥摆的半径当成绳长、把轻杆当成轻绳。

10.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
10.2 描述圆周运动的物理量	线速度 $v$、角速度 $\omega$、周期 $T$、转速 $n$，由 $v = \omega r$、$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi n$ 互换；同轴转动 $\omega$ 相等，皮带、齿轮传动边缘 $v$ 相等	常考，传动比例题是选择题常客
10.3 向心加速度	$a_{\text{n}} = \dfrac{v^2}{r} = \omega^2 r$，方向始终指向圆心，只改变速度的方向	常考，多和传动、天体问题一起出
10.4 向心力	$F_{\text{n}} = m\dfrac{v^2}{r} = m\omega^2 r$，是按效果命名的力，由物体所受的力沿半径方向的合力提供	必考，所有圆周运动题的核心方程
10.5 水平面内的圆周运动	竖直方向合力为零，水平方向指向圆心的合力等于 $m\omega^2 r$；圆锥摆、火车转弯、转盘、汽车水平转弯	常考，临界角速度、设计速度是高频点
10.6 竖直面内的圆周运动	只在最高点、最低点列径向方程；轻绳模型最高点 $v \ge \sqrt{gR}$，轻杆模型最高点 $v \ge 0$	必考，常和机械能守恒合成计算题
10.7 离心现象	提供的向心力小于所需的 $m\omega^2 r$ 时，物体远离圆心；合力突然消失时沿切线飞出	偶考概念和生活应用

10.2 描述圆周运动的物理量

说明

物体沿圆周运动，看成质点。描述它“转得多快”有四个量：

• 线速度 $v$：质点通过的弧长 $\Delta s$ 与所用时间 $\Delta t$ 之比，$v = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}$，单位 $\mathrm{m/s}$。它是矢量，方向沿圆周的切线方向（第 8 章：曲线运动的速度方向沿切线）。
• 角速度 $\omega$：半径转过的角度 $\Delta\theta$ 与所用时间之比，$\omega = \dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}$，角度用弧度，单位 $\mathrm{rad/s}$。高中按标量处理。
• 周期 $T$：转一圈所用的时间，单位 $\mathrm{s}$。
• 转速 $n$：单位时间转过的圈数，单位 $\mathrm{r/s}$（转每秒）或 $\mathrm{r/min}$（转每分）。

四个量的关系（$r$ 是圆周半径）：

$$v = \frac{2\pi r}{T}, \qquad \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi n, \qquad v = \omega r$$

其中 $n$ 要用 $\mathrm{r/s}$ 代入。

匀速圆周运动：线速度大小处处相等的圆周运动。“匀速”只指速率不变，速度的方向时刻在变，所以匀速圆周运动是变速运动。它的 $\omega$、$T$、$n$ 都不变。

两种传动（转轴固定，皮带、链条、齿轮不打滑）：

• 同轴转动：同一个转动物体上的各点（同一轮子上、同轴固定的两个轮子上），转一圈用的时间相同，所以 $\omega$ 相同、$T$ 相同；线速度 $v = \omega r$ 与半径成正比。
• 皮带传动、链条传动、齿轮咬合、摩擦传动：两轮边缘接触处在相同时间内走过的弧长相同，所以两轮边缘的线速度大小相等；角速度 $\omega = \dfrac{v}{r}$ 与半径成反比。

使用场景

• 题目给出转速（$\mathrm{r/min}$）、周期或角速度中的一个，求另一个量（风扇、车轮、砂轮、钟表）→ 匀速圆周运动 → 用 $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi n$ 和 $v = \omega r$ 互换。
• 同一个转动物体上的几点比较快慢（地球上不同纬度的点、同一转盘上内外两点、同轴的大小两轮）→ 同轴转动 → $\omega$ 相等，$v \propto r$。
• 两个轮子用皮带、链条连接或齿轮咬合，比较两轮各点（再加上某个轮上的另一点）→ 先用“边缘 $v$ 相等”连接两轮，再用“同轴 $\omega$ 相等”连接同一轮上的点 → 两条规则交替用。

注意点

• 角速度必须用弧度：$\omega = \dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}$ 里的 $\Delta\theta$ 用角度（度）代入，$v = \omega r$ 就不成立。转一圈是 $2\pi\ \mathrm{rad}$。
• 转速常用 $\mathrm{r/min}$，代入前先除以 60 化成 $\mathrm{r/s}$。
• 地球自转的轴是地轴，不是地心：纬度为 $\varphi$ 的地面点绕地轴转动的半径是 $R\cos\varphi$，不是地球半径 $R$。
• “皮带传动线速度相等”只对皮带接触的边缘成立。同一个轮上离轴更近的点，要用同轴的规则另算。
• 传动问题默认“不打滑”。打滑时两轮边缘线速度不相等，本节的规则不能用。

推导

$v = \omega r$ 从哪里来：弧度的定义是“弧长除以半径”，半径转过 $\Delta\theta$ 时，质点走过的弧长

$$\Delta s = r\,\Delta\theta$$

两边除以 $\Delta t$：

$$v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = r\frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \omega r$$

（关键一步：$\Delta s = r\Delta\theta$ 只在角度用弧度时成立，这正是物理里角速度必须用 $\mathrm{rad/s}$ 的原因。用度数时要写成 $\Delta s = \dfrac{\pi}{180} r\Delta\theta$，多出一个系数。）

$v = \dfrac{2\pi r}{T}$、$\omega = \dfrac{2\pi}{T}$：匀速圆周运动中，一个周期 $T$ 内走过一整圈，弧长 $2\pi r$，转过的角度 $2\pi$，分别除以 $T$ 即得。转速 $n$ 是每秒转的圈数，$n = \dfrac{1}{T}$，所以 $\omega = 2\pi n$。

传动规则：同轴的各点是“焊在一起”转的，任何一段时间里转过的角度都相同，所以 $\omega$ 相同。皮带不打滑时，皮带上每一点和轮缘接触点同速运动；皮带不可伸长，皮带上各点速率相同，所以两轮边缘的线速度大小都等于皮带的速率。

例题

例 1　（场景：由转速求角速度和线速度）电风扇的转速为 $1200\ \mathrm{r/min}$，扇叶末端到转轴的距离为 $0.2\ \mathrm{m}$。求扇叶转动的周期、角速度和扇叶末端的线速度大小（$\pi$ 取 3.14）。

解：

研究对象：扇叶末端的一点，看成质点。

过程划分：一个过程，匀速圆周运动。

分析：已知转速，先换成 $\mathrm{r/s}$，再用本节的关系式互换。

列式求解：$n = 1200\ \mathrm{r/min} = \dfrac{1200}{60}\ \mathrm{r/s} = 20\ \mathrm{r/s}$。

$$T = \frac{1}{n} = \frac{1}{20}\ \mathrm{s} = 0.05\ \mathrm{s}$$ $$\omega = 2\pi n = 2 \times 3.14 \times 20\ \mathrm{rad/s} \approx 126\ \mathrm{rad/s}$$ $$v = \omega r = 125.6 \times 0.2\ \mathrm{m/s} \approx 25\ \mathrm{m/s}$$

检验：单位：$\mathrm{rad/s} \times \mathrm{m} = \mathrm{m/s}$（弧度当纯数字）。量级：$25\ \mathrm{m/s}$ 合 $90\ \mathrm{km/h}$，扇叶末端很快，这也是风扇要加护罩的原因，合理。

容易卡在：直接用 $1200$ 代入 $\omega = 2\pi n$，得到大了 60 倍的结果。

例 2　（场景：同轴转动）地球自转周期取 $24\ \mathrm{h}$，地球半径 $R = 6.4 \times 10^6\ \mathrm{m}$。求赤道上的点 $Q$ 和北纬 $60^\circ$ 的点 $P$ 随地球自转的角速度和线速度大小（$\pi$ 取 3.14）。

解：

研究对象：地面上的 $P$、$Q$ 两点。

过程划分：一个过程，两点都绕地轴做匀速圆周运动。

分析：$P$、$Q$ 都在地球上，同轴转动，角速度相同。半径要看到地轴的距离：$Q$ 是 $R$，$P$ 是 $R\cos 60^\circ$。

列式求解：$T = 24 \times 3600\ \mathrm{s} = 86400\ \mathrm{s}$。

$$\omega_P = \omega_Q = \frac{2\pi}{T} = \frac{2 \times 3.14}{86400}\ \mathrm{rad/s} \approx 7.3 \times 10^{-5}\ \mathrm{rad/s}$$ $$v_Q = \omega R \approx 7.27 \times 10^{-5} \times 6.4 \times 10^6\ \mathrm{m/s} \approx 4.7 \times 10^2\ \mathrm{m/s}$$ $$v_P = \omega R\cos 60^\circ = \frac{1}{2} v_Q \approx 2.3 \times 10^2\ \mathrm{m/s}$$

检验：同轴，$v \propto r$，$P$ 的半径是 $Q$ 的一半，线速度也是一半，一致。量级：赤道上的人随地球转动约 $465\ \mathrm{m/s}$，比声速还快，但人和大气一起转，感觉不到。

容易卡在：把 $P$ 的半径当成地球半径 $R$，得出 $P$、$Q$ 线速度相等。

例 3　（场景：皮带传动与同轴组合）如图，大轮半径 $2r$，小轮半径 $r$，两轮用皮带连接，皮带不打滑。$A$、$B$ 分别是大轮、小轮边缘上的点，$C$ 是大轮上离转轴 $r$ 的点。求 $A$、$B$、$C$ 三点的线速度之比和角速度之比。

解：

研究对象：$A$、$B$、$C$ 三点。

过程划分：不涉及过程，比较同一时刻的运动量。

分析：$A$、$B$ 是皮带连接的两轮边缘，线速度大小相等；$A$、$C$ 在同一轮上，角速度相等。

列式求解：

由皮带传动：$v_A = v_B$；$\omega_A : \omega_B = \dfrac{v_A}{2r} : \dfrac{v_B}{r} = 1 : 2$。

由同轴转动：$\omega_C = \omega_A$；$v_C : v_A = r : 2r = 1 : 2$。

合起来：

$$v_A : v_B : v_C = 2 : 2 : 1, \qquad \omega_A : \omega_B : \omega_C = 1 : 2 : 1$$

检验：小轮半径小，同样的皮带速度下转得快，$\omega_B$ 最大，合理。$C$ 和 $A$ 同轴、半径小，线速度最小，合理。

容易卡在：先比哪两个点。找一个和其他两点都有关系的点（这里是 $A$）当“中转站”，分别用两条规则连过去。

常用推论

• 同轴转动：$\omega$、$T$、$n$ 都相等，$v \propto r$。由 $v = \omega r$ 得出。
• 皮带、链条、齿轮传动（不打滑）：边缘 $v$ 相等，$\omega \propto \dfrac{1}{r}$，$T \propto r$。由 $\omega = \dfrac{v}{r}$ 得出。
• 齿轮咬合时，齿的大小相同，齿数 $N$ 与半径成正比，所以 $\omega \propto \dfrac{1}{N}$：$\dfrac{\omega_1}{\omega_2} = \dfrac{N_2}{N_1}$。
• 钟表：秒针、分针、时针的周期分别是 $1\ \mathrm{min}$、$1\ \mathrm{h}$、$12\ \mathrm{h}$，角速度之比 $720 : 12 : 1$。
• 地面上纬度 $\varphi$ 处随地球自转：$\omega$ 处处相同，$v = \omega R\cos\varphi$，赤道最大，两极为零。

易错点

• 错在哪：认为匀速圆周运动是匀速运动，速度不变。 为什么错：日常说的“匀速”只看快慢。速度是矢量（第 1 章 1.3），方向变了速度就变了。匀速圆周运动只是速率不变。 正确做法：说“线速度大小不变、方向时刻改变”，它是变速运动。
• 错在哪：皮带传动中认为两轮角速度相等。 为什么错：直觉觉得“两个轮子是连在一起转的”，就应该转得一样快。但连在一起的是边缘，边缘走的路程一样长，小轮周长短，转的圈数就多。自行车的大小齿轮就是反例：脚踏转一圈，后轮转好几圈。 正确做法：皮带相连看边缘 $v$ 相等，同轴相连看 $\omega$ 相等。
• 错在哪：用角度制的度数代入 $v = \omega r$，或者转速 $\mathrm{r/min}$ 不换算。 为什么错：$v = \omega r$ 是由弧度的定义推出的；$\omega = 2\pi n$ 中的 $n$ 是每秒的转数。 正确做法：角速度用 $\mathrm{rad/s}$，转速化成 $\mathrm{r/s}$ 再代入。

直观理解

想象操场跑道上排成一横排、一起“转弯”的一列学生：每个人转过的角度一样（$\omega$ 相同），外圈的人要跑得更快才能跟上（$v \propto r$）。这就是同轴转动。

皮带传动像两个齿轮的齿一个对一个地咬合：两轮“过齿”的速度一样（边缘 $v$ 相同），齿少的轮子转得快。

关联知识点

• 前置：第 2 章位移与路程，弧长是路程、弦是位移；第 8 章曲线运动的速度方向沿切线。
• 前置：弧度制与弧长公式 $l = \alpha r$，见《高中数学知识点梳理》第 11 章。
• 后续：10.3 节向心加速度，同轴、皮带的比例关系直接用来比较加速度。
• 后续：第 11 章卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系；第 26 章带电粒子在磁场中运动的周期。
• 后续：第 21 章简谐运动的角频率 $\omega$，单位也是 $\mathrm{rad/s}$。
• 常一起考：第 39 章“探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系”，用皮带连接的两个塔轮改变角速度之比。

10.3 向心加速度

说明

做匀速圆周运动的物体，速度大小不变、方向时刻在变，所以有加速度。这个加速度指向圆心，叫向心加速度 $a_{\text{n}}$：

$$a_{\text{n}} = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r = \omega v = \frac{4\pi^2}{T^2}r$$

• 方向：始终沿半径指向圆心，与线速度垂直。
• 作用：只改变速度的方向，不改变速度的大小。
• 匀速圆周运动中，$a_{\text{n}}$ 大小不变、方向时刻改变，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动，不是匀变速运动。

变速圆周运动（速度大小也在变，如竖直面内的圆周运动）：加速度一般不指向圆心，可以分解成两个分量：

• 沿半径指向圆心的法向分量 $a_{\text{n}} = \dfrac{v^2}{r}$，改变速度的方向，$v$ 取该时刻的速度；
• 沿切线的切向分量 $a_{\text{t}}$，改变速度的大小。

模型：质点；圆周运动的半径 $r$ 不变。

使用场景

• 已知 $v$、$\omega$、$T$、$r$ 中的两个，求或比较向心加速度（传动装置上各点、天体）→ 匀速圆周运动 → 选合适的式子：同轴比较用 $a_{\text{n}} = \omega^2 r$，皮带传动的边缘比较用 $a_{\text{n}} = \dfrac{v^2}{r}$。
• 选择题问向心加速度的方向、是否恒定、圆周运动是什么性质的运动 → 匀速圆周运动的运动学 → 方向指向圆心、时刻在变。
• 速度大小在变的圆周运动（摆动、竖直面内转动），问某一位置的加速度 → 变速圆周运动 → 分成法向 $\dfrac{v^2}{r}$ 和切向两部分，再合成。

注意点

• 说”$a_{\text{n}}$ 与 $r$ 成正比“还是”成反比”，要看哪个量不变：$v$ 不变时 $a_{\text{n}} = \dfrac{v^2}{r} \propto \dfrac{1}{r}$；$\omega$ 不变时 $a_{\text{n}} = \omega^2 r \propto r$。不说前提，两种说法都不对。
• 向心加速度只说明速度方向变化的快慢。$a_{\text{n}}$ 大，速度方向转得快，不代表速度大小变得快。
• 变速圆周运动中，只有法向分量满足 $a_{\text{n}} = \dfrac{v^2}{r}$，合加速度一般不指向圆心。速度为零的瞬间，$a_{\text{n}} = 0$，加速度沿切线。
• 公式用到的 $r$ 是质点做圆周运动的轨道半径，即到圆心的距离，不一定是绳长或到某个点的距离（圆锥摆、地球上的点）。

推导

课本第 2 节先由实验得到向心力公式（10.4 节），第 3 节再由牛顿第二定律得到 $a_{\text{n}} = \dfrac{F_{\text{n}}}{m} = \dfrac{v^2}{r} = \omega^2 r$；从速度变化量出发的几何推导放在第 3 节后的“拓展学习”栏目。下面给出这个不依赖受力、只从运动本身出发的推导。

用速度矢量三角形推导：质点做匀速圆周运动，速率为 $v$，经过很短的时间 $\Delta t$ 从 $A$ 运动到 $B$，半径转过 $\Delta\theta$。

1. 速度变化量 $\Delta\vec{v} = \vec{v}_B - \vec{v}_A$（第 1 章 1.3 矢量的差）。把 $\vec{v}_A$、$\vec{v}_B$ 平移到同一起点，$\Delta\vec{v}$ 从 $\vec{v}_A$ 的末端指向 $\vec{v}_B$ 的末端。
2. 速度和半径垂直，半径转过 $\Delta\theta$，速度方向也转过 $\Delta\theta$。所以速度三角形是腰长 $v$、顶角 $\Delta\theta$ 的等腰三角形；$\triangle OAB$ 是腰长 $r$、顶角 $\Delta\theta$ 的等腰三角形。两个三角形相似：

$$\frac{|\Delta\vec{v}|}{v} = \frac{AB}{r}$$

3. $\Delta t$ 很短时，弦 $AB$ 约等于弧长 $\overset{\frown}{AB} = v\Delta t$，所以

$$|\Delta\vec{v}| = \frac{v}{r} \cdot v\Delta t, \qquad a_{\text{n}} = \frac{|\Delta\vec{v}|}{\Delta t} = \frac{v^2}{r}$$

（关键一步：第 2 步的相似三角形。它把“速度方向转了多少”换成了“位置转了多少”，两者用同一个角 $\Delta\theta$ 联系起来。第 3 步用弦代弧，$\Delta t \to 0$ 时误差趋于零。）

4. 方向：$\Delta t \to 0$ 时 $\Delta\theta \to 0$，等腰三角形的两个底角都趋于 $90^\circ$，$\Delta\vec{v}$ 与 $\vec{v}$ 垂直，指向圆心。

再由 $v = \omega r$ 代入，得 $a_{\text{n}} = \omega^2 r = \omega v$；由 $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ 得 $a_{\text{n}} = \dfrac{4\pi^2}{T^2}r$。严格的推导要对速度矢量求导（大学的矢量微积分），高中用上面的极限说明就够了。

例题

例 1　（场景：传动装置上各点比较向心加速度）在 10.2 节例 3 的皮带传动中（大轮半径 $2r$，小轮半径 $r$，$C$ 在大轮上离轴 $r$ 处），求 $A$、$B$、$C$ 三点向心加速度之比。

解：

研究对象：$A$、$B$、$C$ 三点。

过程划分：不涉及过程。

分析：10.2 节例 3 已求出 $v_A : v_B : v_C = 2 : 2 : 1$，$\omega_A : \omega_B : \omega_C = 1 : 2 : 1$。用 $a_{\text{n}} = \omega v$，两个比值直接相乘最快。

列式求解：

$$a_A : a_B : a_C = (1 \times 2) : (2 \times 2) : (1 \times 1) = 2 : 4 : 1$$

检验：$A$、$B$ 线速度相等，$a_{\text{n}} = \dfrac{v^2}{r} \propto \dfrac{1}{r}$，$a_A : a_B = r : 2r = 1 : 2$，与 $2 : 4$ 一致；$A$、$C$ 角速度相等，$a_{\text{n}} = \omega^2 r \propto r$，$a_A : a_C = 2 : 1$，一致。

另一种解法：分两步用“不变的量”：$A$、$B$ 比较用 $\dfrac{v^2}{r}$（$v$ 相同），得 $a_A : a_B = 1 : 2$；$A$、$C$ 比较用 $\omega^2 r$（$\omega$ 相同），得 $a_A : a_C = 2 : 1$；再统一成连比 $2 : 4 : 1$。已经求出 $v$、$\omega$ 之比时用 $a_{\text{n}} = \omega v$ 一步到位；只问加速度时，分两步用“不变的量”更不容易出错。

例 2　（场景：向心加速度的方向和运动性质）关于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是（　）。

A. 加速度为零　B. 加速度恒定不变，是匀变速运动　C. 加速度大小不变、方向始终指向圆心　D. 加速度方向与速度方向相同

解：C。

判断依据：匀速圆周运动的加速度是向心加速度，大小 $\dfrac{v^2}{r}$ 不变，方向始终指向圆心。

速度方向在变，加速度不为零，A 错。加速度方向随物体位置变化，不是恒定的，匀速圆周运动是变加速运动，B 错。向心加速度与速度垂直，D 错。

例 3　（场景：变速圆周运动中的加速度）长 $L = 0.4\ \mathrm{m}$ 的细绳一端固定在 $O$ 点，另一端拴一小球。把小球拉到绳与竖直方向成 $60^\circ$ 的位置，由静止释放，小球摆到最低点时速度为 $2\ \mathrm{m/s}$。不计空气阻力，求小球在释放瞬间和最低点的加速度。

解：

研究对象：小球。

过程划分：只看两个瞬间：① 释放瞬间，速度为零；② 最低点，速度 $2\ \mathrm{m/s}$。

分析：小球沿圆弧运动，速度大小在变，是变速圆周运动。加速度分成法向（指向 $O$）和切向两部分。切向只有重力的分力 $mg\sin\theta$ 起作用（绳的拉力沿半径，没有切向分量）。

列式求解：

① 释放瞬间：$v = 0$，法向 $a_{\text{n}} = \dfrac{v^2}{L} = 0$。切向：

$$a_{\text{t}} = g\sin 60^\circ = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{m/s^2} \approx 8.7\ \mathrm{m/s^2}$$

加速度 $8.7\ \mathrm{m/s^2}$，方向垂直于绳、沿圆弧切线斜向下。

② 最低点：重力和拉力都在竖直方向，切向分量为零，$a_{\text{t}} = 0$。法向：

$$a_{\text{n}} = \frac{v^2}{L} = \frac{2^2}{0.4}\ \mathrm{m/s^2} = 10\ \mathrm{m/s^2}$$

加速度 $10\ \mathrm{m/s^2}$，方向竖直向上，指向 $O$ 点。

检验：释放瞬间速度为零，就像刚开始下滑的物体，加速度沿运动将要发生的方向，合理。最低点速度方向水平，正在由下降转为上升，加速度向上，合理。

容易卡在：认为圆周运动的加速度都指向圆心，于是释放瞬间也写成“沿绳指向 $O$”。

常用推论

• 同轴转动：$a_{\text{n}} = \omega^2 r \propto r$；皮带传动的两轮边缘：$a_{\text{n}} = \dfrac{v^2}{r} \propto \dfrac{1}{r}$。
• 已知 $v$、$\omega$ 的比值时，$a_{\text{n}} = \omega v$ 一步得出加速度之比（例 1）。
• 地球表面随自转的向心加速度，赤道上最大，约 $\dfrac{4\pi^2}{T^2}R \approx 0.034\ \mathrm{m/s^2}$，不到 $g$ 的 $0.4\%$，所以一般不区分重力和万有引力（第 4 章 4.2、第 11 章）。
• 变速圆周运动中，速度为零的位置 $a_{\text{n}} = 0$；切向合力为零的位置（如只受重力和径向力时的最高点、最低点）$a_{\text{t}} = 0$，加速度指向圆心。

易错点

• 错在哪：由 $a_{\text{n}} = \dfrac{v^2}{r}$ 直接说“向心加速度与半径成反比”。 为什么错：这句话默认 $v$ 不变。同轴的两点 $\omega$ 相同，$a_{\text{n}} = \omega^2 r$，半径大的加速度反而大。 正确做法：先找哪个量相同，再选含这个量的式子。
• 错在哪：认为匀速圆周运动是匀变速运动，或者“加速度不变”。 为什么错：把“加速度大小不变”当成“加速度不变”。加速度是矢量，方向在变就是在变。 正确做法：匀变速运动要求加速度的大小、方向都不变（如平抛）；匀速圆周运动是变加速运动。
• 错在哪：做变速圆周运动的物体，加速度也一律画成指向圆心。 为什么错：指向圆心的只是法向分量。例 3 的释放瞬间，加速度完全沿切线。 正确做法：速度大小在变时，加速度 = 法向分量 + 切向分量。

直观理解

向心加速度管“拐弯”，不管“快慢”。开车转弯时方向盘打得越急（半径越小）、车速越快，车里的人越觉得被甩向外侧，说明需要的向心加速度越大：$a_{\text{n}} = \dfrac{v^2}{r}$ 里速度是平方，车速加倍，转同一个弯需要的加速度变成四倍。

关联知识点

• 前置：第 1 章 1.3 矢量的差 $\Delta\vec{v}$；第 2 章加速度的定义；第 8 章曲线运动的加速度指向轨迹凹侧。
• 前置：弧度制和弧长公式，见《高中数学知识点梳理》第 11 章。
• 后续：10.4 节向心力，$F_{\text{n}} = ma_{\text{n}}$。
• 后续：第 11 章卫星的向心加速度等于所在处的重力加速度 $\dfrac{GM}{r^2}$。
• 常一起考：10.2 节传动比例，两节合成一道选择题。

10.4 向心力

说明

做匀速圆周运动的物体有指向圆心的加速度，由牛顿第二定律，它受到的合力也指向圆心。这个指向圆心的合力叫向心力 $F_{\text{n}}$：

$$F_{\text{n}} = ma_{\text{n}} = m\frac{v^2}{r} = m\omega^2 r = m\omega v = m\frac{4\pi^2}{T^2}r$$

矢量式：$\vec{F}_{\text{n}} = m\vec{a}_{\text{n}}$，方向始终指向圆心。

向心力是按效果命名的力，不是一种新的力。它由物体实际受到的重力、弹力、摩擦力、电场力等提供：可以是某一个力（光滑桌面上绳的拉力），可以是几个力的合力（圆锥摆中重力和拉力的合力），也可以是某个力的分力。画受力图时只画按性质命名的力，列方程时再由它们沿半径方向合成出向心力。

变速圆周运动：合力 $\vec{F}$ 不指向圆心，分解为

• 沿半径的分力 $F_{\text{n}}$，提供向心力，改变速度的方向：$F_{\text{n}} = m\dfrac{v^2}{r}$；
• 沿切线的分力 $F_{\text{t}}$，改变速度的大小：$F_{\text{t}} = ma_{\text{t}}$。

模型：质点；绳、杆、弹簧为轻质。

使用场景

• 物体做匀速圆周运动，已知运动求某个力（或已知力求转速），力的来源单一（光滑水平面上绳或弹簧拉着的物体）→ 合力就是这个力 → $F = m\omega^2 r$，注意 $r$ 可能随弹簧伸长变化。
• 选择题问“什么力提供向心力”“受力图里要不要画向心力”→ 向心力是效果力 → 找沿半径方向的合力由哪些性质力组成。
• 速度大小在变的圆周运动，问某一位置的某个力（绳的拉力、轨道的支持力）→ 变速圆周运动 → 只沿半径方向列 $F_{\text{径向合}} = m\dfrac{v^2}{r}$，切向不用管。

注意点

• 正方向：沿半径方向列式时，取指向圆心为正方向，指向圆心的力取正，背离圆心的力取负，等式右边的 $m\dfrac{v^2}{r}$ 恒为正。
• 先找圆心和轨道平面，再分解力。圆心不一定在绳的悬点（圆锥摆），也不一定在地心（地面上的物体随地球自转，圆心在地轴上）。
• $v$ 用的是该时刻相对圆心的速度；$r$ 是该时刻的轨道半径。弹簧拉着的物体，半径是弹簧原长加伸长量。
• 轻绳只能拉、不能推，拉力 $F_{\text{T}} \ge 0$；轻杆可拉可推；支持力 $F_N \ge 0$。这些“不能为负”的条件，是 10.6 节临界速度的来源。

推导

实验依据：课本用向心力演示器做实验（第 39 章“探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系”）。用控制变量法，每次只改变一个量：

1. 半径、角速度相同，换不同质量的小球：向心力与质量成正比，$F_{\text{n}} \propto m$。
2. 质量、角速度相同，改变半径：$F_{\text{n}} \propto r$。
3. 质量、半径相同，用塔轮改变角速度之比：角速度变为 2 倍，向心力变为 4 倍，$F_{\text{n}} \propto \omega^2$。

合起来 $F_{\text{n}} \propto m\omega^2 r$。在国际单位制中比例系数为 1，$F_{\text{n}} = m\omega^2 r$。

与牛顿第二定律的关系：牛顿第二定律 $\vec{F}_{\text{合}} = m\vec{a}$ 对任何加速度都成立。匀速圆周运动的加速度是 $a_{\text{n}} = \omega^2 r$（10.3 节），代入就得 $F_{\text{合}} = m\omega^2 r$，方向指向圆心，与实验一致。

（关键一步：向心力公式不是新的定律，而是牛顿第二定律在圆周运动这种特殊加速度下的写法。所以向心力不需要新的施力物体，它就是合力。）

变速圆周运动的分解：把牛顿第二定律沿半径和切线两个方向分解：法向 $F_{\text{n}} = ma_{\text{n}} = m\dfrac{v^2}{r}$，切向 $F_{\text{t}} = ma_{\text{t}}$。法向方程只关心该瞬间的 $v$，所以竖直面内的圆周运动可以在某一点单独列式。

例题

例 1　（场景：单一的力提供向心力）劲度系数 $k = 100\ \mathrm{N/m}$、原长 $L_0 = 0.2\ \mathrm{m}$ 的轻弹簧，一端固定在光滑水平桌面上的 $O$ 点，另一端拴一个质量 $m = 0.5\ \mathrm{kg}$ 的小球。小球以角速度 $\omega = 10\ \mathrm{rad/s}$ 绕 $O$ 点在桌面上做匀速圆周运动。求弹簧的伸长量和小球的线速度大小。

解：

研究对象：小球。

过程划分：一个过程，匀速圆周运动。

分析：小球受重力、桌面支持力、弹簧弹力。重力和支持力在竖直方向平衡；水平方向只有弹簧弹力，指向 $O$ 点，它就是向心力。半径是弹簧此时的长度 $L_0 + x$。

列式求解：取指向圆心为正方向，由胡克定律（第 4 章）和向心力公式：

$$kx = m\omega^2 (L_0 + x)$$ $$100x = 0.5 \times 10^2 \times (0.2 + x)$$

解得 $x = 0.2\ \mathrm{m}$。半径 $r = 0.4\ \mathrm{m}$，线速度

$$v = \omega r = 10 \times 0.4\ \mathrm{m/s} = 4\ \mathrm{m/s}$$

检验：弹力 $kx = 20\ \mathrm{N}$，$m\omega^2 r = 0.5 \times 100 \times 0.4\ \mathrm{N} = 20\ \mathrm{N}$，相等。特殊情形：若 $m\omega^2 \ge k$，方程无正解，弹簧会被无限拉长，说明转速太高时这个装置不能稳定转动，合理。

容易卡在：半径直接用原长 $0.2\ \mathrm{m}$，得 $x = 0.1\ \mathrm{m}$。弹簧伸长后半径也变大了。

例 2　（场景：判断向心力的来源）下列关于向心力的说法，正确的是（　）。

A. 做圆周运动的物体，除了受其他力，还要受一个向心力 B. 水平转盘上随盘一起匀速转动的物块，向心力由静摩擦力提供 C. 圆锥摆的小球，向心力由绳的拉力提供 D. 做变速圆周运动的物体，所受合力就是向心力

解：B。

判断依据：向心力是沿半径方向的合力，由性质力提供，不单独存在。

A 错：向心力不是另外的力，受力分析时不能多画（第 4 章 4.6）。B 对：物块受重力、支持力、静摩擦力，前两个竖直平衡，水平方向只有静摩擦力指向转轴。C 错：圆锥摆的向心力是重力和拉力的合力（水平指向圆心），拉力沿绳斜向上，不指向圆心。D 错：变速圆周运动的合力还有切向分量，只有沿半径的分力才是向心力。

例 3　（场景：变速圆周运动中求某一位置的力）沿用 10.3 节例 3：绳长 $L = 0.4\ \mathrm{m}$，小球质量 $m = 0.2\ \mathrm{kg}$，从绳与竖直方向成 $60^\circ$ 处由静止释放，到最低点速度 $2\ \mathrm{m/s}$。求释放瞬间和最低点绳的拉力。

解：

研究对象：小球。

过程划分：两个瞬间：① 释放瞬间；② 最低点。

分析：小球受重力 $mg$ 和绳的拉力 $F_{\text{T}}$。只沿半径（绳）方向列式：沿半径的合力 $= m\dfrac{v^2}{L}$。

列式求解：取指向圆心 $O$ 为正方向。

① 释放瞬间 $v = 0$，径向合力为零：

$$F_{T1} - mg\cos 60^\circ = 0, \qquad F_{T1} = 0.2 \times 10 \times 0.5\ \mathrm{N} = 1\ \mathrm{N}$$

② 最低点：

$$F_{T2} - mg = m\frac{v^2}{L}, \qquad F_{T2} = 2\ \mathrm{N} + 0.2 \times \frac{2^2}{0.4}\ \mathrm{N} = 4\ \mathrm{N}$$

两个拉力都沿绳指向 $O$ 点。

检验：释放瞬间拉力小于重力，最低点拉力是重力的 2 倍，与“荡秋千在最低点被压得最紧”的感受一致。

容易卡在：释放瞬间写成 $F_{\text{T}} = mg$。小球不是静止平衡，而是沿半径方向合力为零，重力有一部分在切线方向。

常用推论

• 匀速圆周运动：合力全部提供向心力，合力大小不变、方向始终指向圆心。
• 变速圆周运动：径向合力 $= m\dfrac{v^2}{r}$，切向合力改变速率；速度为零的瞬间，径向合力为零（例 3 ①）。
• 绳拉着物体在最低点：$F_{\text{T}} = mg + m\dfrac{v^2}{r} > mg$，速度越大拉力越大。
• 同一个物体在同一位置，所需向心力与 $v^2$ 成正比：速度加倍，需要的向心力变为四倍。

易错点

• 错在哪：受力图里画出“向心力”，列方程时又把它和拉力、重力加在一起，比如圆锥摆写成”$F_{\text{T}}$、$mg$、$F_{\text{n}}$ 三力平衡”。 为什么错：把“向心力”当成和重力、拉力并列的一个力（第 4 章 4.6 已经说明它没有施力物体）。这样既多算了一个力，又把“做圆周运动”错当成“平衡”：做圆周运动的物体合力不为零，不是平衡状态。 正确做法：受力图只画性质力；列方程写“沿半径方向的合力 $= m\dfrac{v^2}{r}$”。
• 错在哪：认为做圆周运动的物体，所受合力一定指向圆心。 为什么错：只有匀速圆周运动才是这样。荡秋千时合力有切向分量，所以速率会变。 正确做法：匀速圆周运动，合力指向圆心；变速圆周运动，只有合力的径向分量指向圆心。
• 错在哪：在最低点列式时把重力和拉力的方向弄反，写成 $mg - F_{\text{T}} = m\dfrac{v^2}{r}$。 为什么错：没有先规定正方向。向心力必须指向圆心，最低点的圆心在上方。 正确做法：先写“取指向圆心为正方向”，指向圆心的力减去背离圆心的力。

直观理解

向心力是一个“岗位”，不是一个“人”：谁站在指向圆心的方向上，谁就来当向心力。卫星的岗位由万有引力担任，转盘上的物块由静摩擦力担任，光滑桌面上的小球由绳的拉力担任。受力图上只画“人”，不画“岗位”。

关联知识点

• 前置：第 4 章受力分析，向心力不是单独的力；第 6 章牛顿第二定律 $F = ma$。
• 前置：10.3 节向心加速度。
• 后续：10.5、10.6 节各种实例的方程都是本节的 $F_{\text{径向合}} = m\dfrac{v^2}{r}$。
• 后续：第 11 章万有引力提供卫星的向心力；第 26 章洛伦兹力提供带电粒子的向心力 $qvB = m\dfrac{v^2}{r}$。
• 常一起考：第 39 章向心力演示器的实验，控制变量法和数据处理。

10.5 水平面内的圆周运动

说明

物体在水平面内做匀速圆周运动，圆心在轨道所在的水平面内。列方程的套路：

• 竖直方向：没有加速度，合力为零；
• 水平方向：指向圆心的合力 $= m\dfrac{v^2}{r} = m\omega^2 r$。

四个典型情境：

情境	受力	向心力由谁提供	结论
圆锥摆（细线拴小球在水平面内转）	重力、拉力	重力和拉力的合力 $mg\tan\theta$	$\omega = \sqrt{\dfrac{g}{L\cos\theta}}$
火车在倾斜弯道上转弯	重力、支持力（设计速度时轮缘不受侧压）	重力和支持力的合力 $mg\tan\theta$	设计速度 $v_0 = \sqrt{gr\tan\theta}$
水平转盘上的物块	重力、支持力、静摩擦力	静摩擦力	不滑动的最大角速度 $\omega_{\max} = \sqrt{\dfrac{\mu g}{r}}$
汽车在水平弯道上转弯	重力、支持力、静摩擦力	静摩擦力（侧向）	不侧滑的最大速度 $v_{\max} = \sqrt{\mu g r}$

表中 $\theta$ 是绳与竖直方向的夹角或路面的倾角，$\mu$ 是动摩擦因数（最大静摩擦力按滑动摩擦力算，第 4 章 4.4）。

火车转弯：弯道处外轨略高于内轨。速度等于设计速度 $v_0$ 时，重力和支持力的合力恰好提供向心力，轮缘与铁轨之间没有侧向挤压；$v > v_0$ 时所需向心力变大，外轨对外侧轮缘有指向内侧的弹力来补；$v < v_0$ 时内轨对内侧轮缘有指向外侧的弹力。

模型：质点；轻绳；路面倾角很小时 $\tan\theta \approx \sin\theta = \dfrac{h}{L}$（$h$ 是内外轨高度差，$L$ 是两轨间距）。

使用场景

• 细线拴小球在水平面内转动，或小球在光滑碗、圆锥筒内壁的某一高度转圈 → 圆锥摆模型 → 竖直方向 $F_{\text{T}}\cos\theta = mg$，水平方向 $F_{\text{T}}\sin\theta = m\omega^2 r$，$r = L\sin\theta$。
• 火车、汽车在内低外高的倾斜弯道上转弯，问设计速度或速度偏大偏小时哪边受挤压 → 重力和支持力的合力提供向心力 → $mg\tan\theta = m\dfrac{v_0^2}{r}$。
• 物体随水平转盘一起转动、汽车在水平路面转弯，问静摩擦力或最大转速 → 静摩擦力提供向心力 → $f = m\omega^2 r \le \mu mg$，临界时取等号。

注意点

• 圆心在轨道平面内：圆锥摆的圆心在悬点正下方、与小球同高的 $O'$ 点，半径 $r = L\sin\theta$，不是绳长 $L$。向心力水平指向 $O'$，不是沿绳指向悬点。
• 火车转弯的向心力是水平的（轨道平面水平），所以重力和支持力的合力是水平的；不要把支持力沿斜面分解成“下滑分力”去当向心力。
• 静摩擦力提供向心力时，静摩擦力的大小由 $m\omega^2 r$ 决定，不是 $\mu mg$。只有在“恰好要滑动”的临界状态，才有 $f = \mu mg$。
• 转盘上物块的临界角速度与质量无关；几个物块同在一个转盘上，离轴远的先滑动。

推导

圆锥摆：小球受重力 $mg$、绳的拉力 $F_{\text{T}}$，绳与竖直方向成 $\theta$。竖直方向平衡，水平方向提供向心力：

$$F_{\text{T}}\cos\theta = mg, \qquad F_{\text{T}}\sin\theta = m\omega^2 (L\sin\theta)$$

两式相除：$\tan\theta = \dfrac{\omega^2 L\sin\theta}{g}$，即

$$\omega = \sqrt{\frac{g}{L\cos\theta}} = \sqrt{\frac{g}{h}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{h}{g}}$$

其中 $h = L\cos\theta$ 是悬点到轨道平面的高度。

（关键一步：竖直方向用“平衡”。小球在竖直方向没有运动，加速度为零；所有的加速度都在水平面内指向圆心。这一步定下了 $F_{\text{T}}$，水平方向才能求 $\omega$。）

火车转弯的设计速度：轮缘不受侧向力时，火车只受重力和垂直于轨道平面的支持力 $F_N$。竖直方向 $F_N\cos\theta = mg$，水平方向 $F_N\sin\theta = m\dfrac{v_0^2}{r}$，相除得

$$v_0 = \sqrt{gr\tan\theta}$$

水平转盘和水平弯道：竖直方向 $F_N = mg$；水平方向 $f = m\omega^2 r$。静摩擦力有最大值 $\mu mg$，所以 $m\omega^2 r \le \mu mg$，得 $\omega \le \sqrt{\dfrac{\mu g}{r}}$。换成线速度，就是汽车水平转弯的 $v \le \sqrt{\mu g r}$。

例题

例 1　（场景：圆锥摆）长 $L = 0.5\ \mathrm{m}$ 的细线上端固定，下端拴一个质量 $m = 0.1\ \mathrm{kg}$ 的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角 $\theta = 37^\circ$。求细线的拉力和小球的角速度（$\sin 37^\circ = 0.6$，$\cos 37^\circ = 0.8$）。

解：

研究对象：小球。

过程划分：一个过程，水平面内的匀速圆周运动。

分析：小球受重力和拉力两个力。圆心 $O'$ 在悬点正下方、与小球同高，半径 $r = L\sin\theta = 0.3\ \mathrm{m}$。两个力的合力水平指向 $O'$，提供向心力。

列式求解：竖直方向：

$$F_{\text{T}}\cos 37^\circ = mg, \qquad F_{\text{T}} = \frac{0.1 \times 10}{0.8}\ \mathrm{N} = 1.25\ \mathrm{N}$$

拉力 $1.25\ \mathrm{N}$，沿细线指向悬点。水平方向，取指向圆心为正方向：

$$F_{\text{T}}\sin 37^\circ = m\omega^2 r, \qquad 1.25 \times 0.6 = 0.1 \times \omega^2 \times 0.3$$

解得 $\omega^2 = 25\ \mathrm{rad^2/s^2}$，$\omega = 5\ \mathrm{rad/s}$。

检验：用推论 $\omega = \sqrt{\dfrac{g}{h}}$，$h = L\cos 37^\circ = 0.4\ \mathrm{m}$，$\omega = \sqrt{25}\ \mathrm{rad/s} = 5\ \mathrm{rad/s}$，一致。拉力大于重力，因为拉力的竖直分量才等于重力，合理。

容易卡在：半径用绳长 $0.5\ \mathrm{m}$，得 $\omega = \sqrt{15}\ \mathrm{rad/s}$。

另一种解法：直接合成。两个力的合力水平，由图中的直角三角形，$F_{\text{合}} = mg\tan 37^\circ = 0.75\ \mathrm{N}$，于是 $0.75 = 0.1 \times \omega^2 \times 0.3$，$\omega = 5\ \mathrm{rad/s}$；拉力 $F_{\text{T}} = \dfrac{mg}{\cos 37^\circ} = 1.25\ \mathrm{N}$。只有两个力时，合成法（画平行四边形）比正交分解少写一个方程；力多于两个时用正交分解。

例 2　（场景：倾斜弯道上的设计速度）某段铁路弯道的半径 $r = 900\ \mathrm{m}$，两轨间距 $L$ 取 $1.5\ \mathrm{m}$，设计速度 $v_0 = 108\ \mathrm{km/h}$。（1）外轨应比内轨高多少？（2）一列货车以 $72\ \mathrm{km/h}$ 通过该弯道，哪一侧的铁轨对轮缘有侧向挤压？（路面倾角很小，$\tan\theta \approx \sin\theta$）

解：

研究对象：火车。

过程划分：一个过程，在弯道上做匀速圆周运动，轨道平面水平。

分析：以设计速度行驶时，火车只受重力和支持力，支持力垂直于倾斜的轨道平面，两者的合力水平指向弯道圆心，提供向心力。

列式求解：（1）$v_0 = 108\ \mathrm{km/h} = 30\ \mathrm{m/s}$。由 $mg\tan\theta = m\dfrac{v_0^2}{r}$：

$$\tan\theta = \frac{v_0^2}{gr} = \frac{30^2}{10 \times 900} = 0.1$$

高度差 $h = L\sin\theta \approx L\tan\theta = 1.5 \times 0.1\ \mathrm{m} = 0.15\ \mathrm{m}$。外轨比内轨高约 $0.15\ \mathrm{m}$。

（2）$72\ \mathrm{km/h} = 20\ \mathrm{m/s} < v_0$。所需向心力 $m\dfrac{v^2}{r}$ 小于重力和支持力的合力 $mg\tan\theta$，火车有向内侧滑的趋势，内轨对内侧轮缘有指向外侧的挤压力。

检验：答案与质量无关，所以设计速度对客车、货车都一样，合理。实际铁路外轨超高在一百多毫米的量级，合理。

容易卡在：（2）题凭感觉说“慢了就挤外轨”。先比较“需要的”$m\dfrac{v^2}{r}$ 和“已有的”$mg\tan\theta$：已有的多了，物体被拉向内侧。

例 3　（场景：静摩擦力提供向心力及临界）水平转盘上放一个质量 $m = 0.5\ \mathrm{kg}$ 的小物块，到转轴的距离 $r = 0.25\ \mathrm{m}$，物块与转盘间的动摩擦因数 $\mu = 0.4$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。（1）转盘以 $\omega = 2\ \mathrm{rad/s}$ 匀速转动、物块相对转盘静止时，求物块受的摩擦力。（2）要使物块不滑动，转盘的角速度最大为多少？

解：

研究对象：物块。

过程划分：（1）（2）都是匀速圆周运动，（2）是将要滑动的临界状态。

分析：物块受重力、支持力、静摩擦力。竖直方向平衡，$F_N = mg$；水平方向只有静摩擦力，指向转轴，提供向心力。

列式求解：取指向转轴为正方向。

（1）

$$f = m\omega^2 r = 0.5 \times 2^2 \times 0.25\ \mathrm{N} = 0.5\ \mathrm{N}$$

摩擦力 $0.5\ \mathrm{N}$，水平指向转轴。最大静摩擦力 $\mu mg = 2\ \mathrm{N}$，$0.5\ \mathrm{N} < 2\ \mathrm{N}$，物块确实不滑动。

（2）临界时静摩擦力达到最大值：

$$\mu mg = m\omega_{\max}^2 r, \qquad \omega_{\max} = \sqrt{\frac{\mu g}{r}} = \sqrt{\frac{0.4 \times 10}{0.25}}\ \mathrm{rad/s} = 4\ \mathrm{rad/s}$$

检验：（1）中用 $\mu mg = 2\ \mathrm{N}$ 当摩擦力就错了，那是最大值，不是实际值。（2）的结果与 $m$ 无关，换一个更重的物块，临界角速度不变，合理（需要的向心力和能提供的最大摩擦力都与 $m$ 成正比）。

容易卡在：（1）题直接写 $f = \mu mg$。静摩擦力的大小要由运动状态算出来。

常用推论

• 圆锥摆：$\omega = \sqrt{\dfrac{g}{h}}$，$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{h}{g}}$，只与悬点到轨道平面的高度 $h$ 有关。几个悬点相同、在同一水平面内转动的圆锥摆，角速度、周期都相同，与绳长、质量无关。由本节推导得出。
• 小球在光滑碗（半球形内壁）里某一高度做水平圆周运动，与圆锥摆同理：支持力代替拉力，指向球心，$\omega = \sqrt{\dfrac{g}{h}}$，$h$ 为球心到轨道平面的高度。
• 光滑圆锥筒（顶点朝下、轴线竖直）内壁上做水平圆周运动的小球：支持力垂直于筒壁、方向不随高度变，向心力 $F_{\text{n}} = mg\cot\alpha$ 与高度无关（$\alpha$ 为母线与竖直方向的夹角）。所以轨道越高（$r$ 越大），$v$ 越大、$\omega$ 越小。由竖直方向 $F_N\sin\alpha = mg$、水平方向 $F_N\cos\alpha = F_{\text{n}}$ 得出。
• 火车（汽车）倾斜弯道：$v_0 = \sqrt{gr\tan\theta}$，与质量无关；$v > v_0$ 挤外轨，$v < v_0$ 挤内轨。
• 水平转盘：$\omega_{\max} = \sqrt{\dfrac{\mu g}{r}}$，与质量无关，离轴远的先滑；汽车水平转弯 $v_{\max} = \sqrt{\mu g r}$。

易错点

• 错在哪：圆锥摆的半径取绳长 $L$，向心力方向画成沿绳指向悬点。 为什么错：把“绕悬点摆动”的印象套到了水平面内的转动上。小球的轨迹是一个水平的圆，圆心在悬点正下方。 正确做法：先画出轨迹圆，找到圆心 $O'$，$r = L\sin\theta$，向心力水平指向 $O'$。
• 错在哪：转盘上的物块，静摩擦力一律写成 $\mu mg$。 为什么错：把静摩擦力当成滑动摩擦力（第 4 章 4.4）。静摩擦力的大小随需要变化，转得慢需要的少。 正确做法：静摩擦力 $f = m\omega^2 r$；只有“恰好不滑动”时才等于 $\mu mg$。
• 错在哪：火车速度大于设计速度时，认为内轨受挤压。 为什么错：凭“开快了车身往里倒”的错觉。实际上速度大，需要的向心力大，重力和支持力的合力不够，火车有向外滑的趋势，只能由外轨把它往里推。 正确做法：比较 $m\dfrac{v^2}{r}$ 与 $mg\tan\theta$：需要的多，挤外轨；需要的少，挤内轨。

直观理解

水平面内的圆周运动，就是“竖直方向站稳，水平方向拐弯”：竖直方向的力互相抵消，只剩水平方向指向圆心的合力负责拐弯。圆锥摆、火车、转盘只是“谁来负责拐弯”不同。

关联知识点

• 前置：第 4 章摩擦力和最大静摩擦力；第 5 章共点力的平衡（竖直方向）。
• 前置：10.4 节向心力；三角函数 $\tan\theta$，见《高中数学知识点梳理》第 12 章。
• 后续：第 26 章带电粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，列式套路相同。
• 后续：10.7 节离心现象，超过临界速度后物块滑出、汽车侧滑。
• 常一起考：第 7 章动力学中的临界问题，“恰好”“最大”“最小”对应静摩擦力达到最大值或弹力为零。

10.6 竖直面内的圆周运动

说明

物体在竖直面内做圆周运动，重力有时沿切线方向，速度大小一般在变，是变速圆周运动。高中只在最高点和最低点列径向方程（这两点重力沿半径方向，若其他力也沿半径或为零，切向合力为零），两点之间的速度关系用动能定理或机械能守恒（第 13、14 章）。

汽车过拱桥和凹桥（看成圆弧的一部分，半径 $R$）：

位置	径向方程（取指向圆心为正）	压力	超重还是失重
拱桥最高点（圆心在下方）	$mg - F_N = m\dfrac{v^2}{R}$	$F_N = mg - m\dfrac{v^2}{R} < mg$	失重
凹桥最低点（圆心在上方）	$F_N - mg = m\dfrac{v^2}{R}$	$F_N = mg + m\dfrac{v^2}{R} > mg$	超重

拱桥上 $v$ 越大压力越小；$v = \sqrt{gR}$ 时压力为零，汽车将离开桥面。

两种模型的最高点：

模型	典型装置	最高点能提供的力	最高点速度的条件
轻绳模型	细绳拴小球、沿圆轨道内侧运动（过山车、水流星）	绳只能拉、轨道只能压，力只能向下或为零	$v \ge \sqrt{gR}$
轻杆模型	轻杆拴小球、小球在光滑圆管内运动	杆可拉可撑，管的外壁、内壁都能给力	$v \ge 0$

轻绳模型在最高点：$mg + F_{\text{T}} = m\dfrac{v^2}{R}$，$F_{\text{T}} \ge 0$。$F_{\text{T}} = 0$ 时只有重力提供向心力，速度最小，$v_{\min} = \sqrt{gR}$，叫临界速度。

轻杆模型在最高点：杆对球的力 $F$ 可以向下（拉）也可以向上（撑）。

• $v = \sqrt{gR}$ 时，$F = 0$；
• $v > \sqrt{gR}$ 时，杆拉球，$F = m\dfrac{v^2}{R} - mg$；
• $0 \le v < \sqrt{gR}$ 时，杆撑球，$F = mg - m\dfrac{v^2}{R}$，$v = 0$ 时 $F = mg$。

模型：质点；轻绳、轻杆不计质量；轨道、圆管光滑。

使用场景

• 汽车过拱桥最高点或凹桥最低点，问对桥面的压力、能不能离开桥面 → 竖直方向的圆周运动 → 在该点列径向方程，再用牛顿第三定律（第 6 章）求压力。
• 细绳拴小球、过山车、水流星在竖直面内转动，问最高点的力或“能否通过最高点” → 轻绳模型 → $mg + F_{\text{T}} = m\dfrac{v^2}{R}$，$F_{\text{T}} \ge 0$，临界速度 $\sqrt{gR}$。
• 轻杆拴小球、小球在圆管内运动，问最高点杆（管）对球的力 → 轻杆模型 → 以 $\sqrt{gR}$ 为分界判断力的方向；或先假设方向列式，由正负号定方向。
• 题目同时涉及最高点和最低点（“恰好通过最高点，求最低点的拉力”）→ 圆周运动 + 能量 → 两点各列径向方程，两点之间用机械能守恒或动能定理。

注意点

• 正方向：每个位置都取指向圆心为正方向。最高点圆心在下方，向下为正；最低点圆心在上方，向上为正。
• 求的是“对桥的压力”“球对杆的作用力”时，先求桥（杆）对物体的力，再用牛顿第三定律说明大小相等、方向相反。
• 判断属于哪种模型，看最高点能提供的力能不能向上：绳和轨道内侧只能向下，属轻绳模型；杆和圆管可以向上，属轻杆模型。小球沿圆轨道外侧运动（拱桥）又是另一种：最高点 $v \le \sqrt{gR}$ 才不会离开轨道。
• 轻绳模型中，小球到不了最高点时：能量少的在圆心以下来回摆动，能量稍多的会在圆心以上某处绳子松弛、脱离圆周做斜抛运动；高中一般只问“能不能通过”，不算脱离点。
• 只在最高点、最低点列方程。其他位置重力有切向分量，速度也要由能量求，高中考得少。

推导

轻绳模型的临界速度：最高点小球受重力和绳的拉力，都竖直向下指向圆心。取向下为正：

$$mg + F_{\text{T}} = m\frac{v^2}{R}$$

绳只能拉不能推，$F_{\text{T}} \ge 0$，所以 $m\dfrac{v^2}{R} \ge mg$，即

$$v \ge \sqrt{gR}$$

（关键一步：$F_{\text{T}} \ge 0$。临界条件来自绳的物理性质，而不是公式本身。等号对应“绳恰好松弛、只有重力提供向心力”。）

轻杆模型：杆能提供向上的支撑力，最高点的向心力可以小到零（$v = 0$ 时杆的支持力等于重力，合力为零）。所以速度只要求 $v \ge 0$。设杆对球的力向下为正，$F + mg = m\dfrac{v^2}{R}$，$F = m\dfrac{v^2}{R} - mg$：$F > 0$ 是拉，$F < 0$ 是撑，$F = 0$ 时 $v = \sqrt{gR}$。

两点的联系（轻绳模型）：最高点速度 $v_1$，最低点速度 $v_2$，下降高度 $2R$，只有重力做功（拉力始终与速度垂直，不做功），由机械能守恒（第 14 章）：

$$\frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + mg \cdot 2R$$

最高点 $F_{T1} = m\dfrac{v_1^2}{R} - mg$，最低点 $F_{T2} = mg + m\dfrac{v_2^2}{R}$，相减并代入上式：

$$F_{T2} - F_{T1} = 2mg + \frac{m(v_2^2 - v_1^2)}{R} = 2mg + 4mg = 6mg$$

例题

例 1　（场景：汽车过拱桥和凹桥）质量 $m = 1.0 \times 10^3\ \mathrm{kg}$ 的汽车，以 $v = 10\ \mathrm{m/s}$ 的速度分别通过半径都为 $R = 40\ \mathrm{m}$ 的拱桥最高点和凹桥最低点。（1）求两种情况下汽车对桥面的压力。（2）汽车在拱桥最高点的速度不能超过多少，才不会离开桥面？

解：

研究对象：汽车，看成质点。

过程划分：两个瞬间：拱桥最高点、凹桥最低点；（2）是压力为零的临界状态。

分析：在最高点和最低点，重力和支持力都在竖直方向，合力指向圆心，提供向心力。拱桥最高点圆心在下方，凹桥最低点圆心在上方。

列式求解：（1）拱桥最高点，取向下（指向圆心）为正：

$$mg - F_{N1} = m\frac{v^2}{R}, \qquad F_{N1} = 1.0 \times 10^4\ \mathrm{N} - 1.0 \times 10^3 \times \frac{10^2}{40}\ \mathrm{N} = 7.5 \times 10^3\ \mathrm{N}$$

凹桥最低点，取向上（指向圆心）为正：

$$F_{N2} - mg = m\frac{v^2}{R}, \qquad F_{N2} = 1.0 \times 10^4\ \mathrm{N} + 2.5 \times 10^3\ \mathrm{N} = 1.25 \times 10^4\ \mathrm{N}$$

由牛顿第三定律，汽车对拱桥的压力 $7.5 \times 10^3\ \mathrm{N}$，对凹桥的压力 $1.25 \times 10^4\ \mathrm{N}$，方向都竖直向下。

（2）压力为零时只有重力提供向心力：

$$mg = m\frac{v_{\max}^2}{R}, \qquad v_{\max} = \sqrt{gR} = \sqrt{10 \times 40}\ \mathrm{m/s} = 20\ \mathrm{m/s}$$

检验：拱桥上压力小于重力（失重），凹桥上大于重力（超重），与坐过山车的感受一致。凹桥压力大，所以桥梁一般建成拱形而不是凹形，合理。

例 2　（场景：轻绳模型的最高点）长 $R = 0.4\ \mathrm{m}$ 的细绳一端固定，另一端拴一个质量 $m = 0.2\ \mathrm{kg}$ 的小球，使小球在竖直面内做圆周运动。（1）小球要能通过最高点，在最高点的速度至少多大？（2）若小球通过最高点时速度为 $4\ \mathrm{m/s}$，求绳的拉力。

解：

研究对象：小球。

过程划分：只看最高点这一瞬间。

分析：细绳只能拉，属于轻绳模型。最高点小球受重力和绳的拉力，都竖直向下，指向圆心。

列式求解：取竖直向下（指向圆心）为正方向。

（1）拉力恰好为零时速度最小：

$$mg = m\frac{v_{\min}^2}{R}, \qquad v_{\min} = \sqrt{gR} = \sqrt{10 \times 0.4}\ \mathrm{m/s} = 2\ \mathrm{m/s}$$

（2）

$$mg + F_{\text{T}} = m\frac{v^2}{R}, \qquad F_{\text{T}} = 0.2 \times \frac{4^2}{0.4}\ \mathrm{N} - 2\ \mathrm{N} = 6\ \mathrm{N}$$

拉力 $6\ \mathrm{N}$，方向竖直向下（沿绳指向圆心）。

检验：$4\ \mathrm{m/s} > 2\ \mathrm{m/s}$，能通过最高点，拉力为正，自洽。单位 $\mathrm{kg \cdot m^2/s^2 / m} = \mathrm{N}$，对。

容易卡在：认为最高点“速度为零也能过”。绳子不能把球撑住，速度不够时球在到达最高点前就掉下来了。

例 3　（场景：轻杆模型的最高点）长 $L = 0.4\ \mathrm{m}$ 的轻杆一端固定在光滑转轴 $O$ 上，另一端固定一个质量 $m = 0.5\ \mathrm{kg}$ 的小球，使小球在竖直面内做圆周运动。求小球通过最高点的速度分别为 $1\ \mathrm{m/s}$ 和 $4\ \mathrm{m/s}$ 时，杆对小球的作用力。

解：

研究对象：小球。

过程划分：最高点的两种情况。

分析：轻杆可拉可撑。分界速度 $\sqrt{gL} = 2\ \mathrm{m/s}$：$1\ \mathrm{m/s}$ 小于它，杆撑球；$4\ \mathrm{m/s}$ 大于它，杆拉球。

列式求解：取竖直向下（指向圆心）为正方向。

$v_1 = 1\ \mathrm{m/s}$：杆的力向上，

$$mg - F_1 = m\frac{v_1^2}{L}, \qquad F_1 = 5\ \mathrm{N} - 0.5 \times \frac{1^2}{0.4}\ \mathrm{N} = 3.75\ \mathrm{N}$$

杆对球的力 $3.75\ \mathrm{N}$，竖直向上（支撑力）。

$v_2 = 4\ \mathrm{m/s}$：杆的力向下，

$$mg + F_2 = m\frac{v_2^2}{L}, \qquad F_2 = 0.5 \times \frac{4^2}{0.4}\ \mathrm{N} - 5\ \mathrm{N} = 15\ \mathrm{N}$$

杆对球的力 $15\ \mathrm{N}$，竖直向下（拉力）。

检验：$v = 2\ \mathrm{m/s}$ 时两式都给出 $F = 0$，两种情况在分界点衔接，自洽。

另一种解法：不预先判断方向，统一假设杆对球的力 $F$ 竖直向下：$F + mg = m\dfrac{v^2}{L}$，$F = m\dfrac{v^2}{L} - mg$。代入 $v_1 = 1\ \mathrm{m/s}$ 得 $F = -3.75\ \mathrm{N}$，负号说明实际方向向上；代入 $v_2 = 4\ \mathrm{m/s}$ 得 $F = 15\ \mathrm{N}$，方向向下。选择题、方向一眼看不出时用假设法最稳，一个式子管所有情况；分界速度好算时先判断方向，受力图更直观。

例 4　（场景：最高点与最低点的联系）长 $R = 0.4\ \mathrm{m}$ 的细绳拴一个质量 $m = 0.2\ \mathrm{kg}$ 的小球，在竖直面内做圆周运动，小球恰好能通过最高点。不计空气阻力，求小球运动到最低点时的速度和绳的拉力。

解：

研究对象：小球。

过程划分：① 最高点（恰好通过）；② 从最高点到最低点，下降 $2R$；③ 最低点。

分析：① 恰好通过，拉力为零，只有重力提供向心力，得最高点速度。② 下摆过程中绳的拉力始终与速度垂直，不做功，只有重力做功，机械能守恒（第 14 章）。③ 最低点列径向方程。

列式求解：

① 取向下为正：$mg = m\dfrac{v_1^2}{R}$，$v_1 = \sqrt{gR} = 2\ \mathrm{m/s}$。

② 以最低点为参考平面（零势能面）：

$$\frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + mg \cdot 2R$$ $$v_2^2 = v_1^2 + 4gR = 4 + 4 \times 10 \times 0.4 = 20\ \mathrm{m^2/s^2}, \qquad v_2 = 2\sqrt{5}\ \mathrm{m/s} \approx 4.5\ \mathrm{m/s}$$

③ 取向上为正：

$$F_{\text{T}} - mg = m\frac{v_2^2}{R}, \qquad F_{\text{T}} = 2\ \mathrm{N} + 0.2 \times \frac{20}{0.4}\ \mathrm{N} = 12\ \mathrm{N}$$

最低点速度约 $4.5\ \mathrm{m/s}$，方向水平；拉力 $12\ \mathrm{N}$，竖直向上。

检验：$12\ \mathrm{N} = 6mg$，与推论“恰好过最高点时，最低点拉力为 $6mg$“一致；也满足”最低点与最高点拉力差 $6mg$“（最高点拉力为零）。

容易卡在：② 中忘了高度差是直径 $2R$，写成 $R$。

常用推论

• 轻绳模型（绳、圆轨道内侧）最高点：$v \ge \sqrt{gR}$；轻杆模型（杆、圆管）最高点：$v \ge 0$，$\sqrt{gR}$ 是杆的力为拉还是为撑的分界。由本节推导得出。
• 轻绳模型恰好通过最高点：最低点速度 $\sqrt{5gR}$，拉力 $6mg$（例 4 中代入 $v_1^2 = gR$，$v_2^2 = gR + 4gR = 5gR$）。
• 轻绳模型完成整圈时，最低点与最高点的拉力之差恒为 $6mg$，与速度无关。由本节推导得出。
• 拱桥最高点 $v \le \sqrt{gR}$ 才不离开桥面；物体沿圆弧外侧运动都适用。
• 光滑圆管中的小球，最高点 $v \ge 0$ 即可通过，此时从最低点出发至少需要 $v_2 = \sqrt{4gR} = 2\sqrt{gR}$（由 $\dfrac{1}{2}mv_2^2 = mg \cdot 2R$ 得出）。

易错点

• 错在哪：轻绳模型认为小球到最高点时速度为零也能通过。 为什么错：把绳当成了杆。“速度为零”意味着需要的向心力为零，但重力 $mg$ 仍在，绳又不能向上推，合力不可能为零。 正确做法：先判断是绳还是杆：绳（轨道内侧）$v_{\min} = \sqrt{gR}$，杆（圆管）$v_{\min} = 0$。
• 错在哪：轻杆模型的最高点，杆对球的力总是画成向下的拉力。 为什么错：凭“杆拴着球就是在拉它”的直觉。速度小于 $\sqrt{gR}$ 时，重力已经多于所需的向心力，杆要向上撑住球（例 3 中 $v = 1\ \mathrm{m/s}$）。 正确做法：先和 $\sqrt{gR}$ 比较，或者假设一个方向，由结果的正负号定方向。
• 错在哪：认为汽车过拱桥时对桥面的压力等于重力。 为什么错：把“在桥上”当成“在平地上静止”。汽车在做圆周运动，有向下的向心加速度，处于失重状态。 正确做法：在最高点列 $mg - F_N = m\dfrac{v^2}{R}$。
• 错在哪：轻绳模型恰好过最高点时，说“小球受力平衡”或“不受力”。 为什么错：此时绳的拉力为零，但重力还在，重力正好提供向心力，合力为 $mg$，不平衡。 正确做法：说“只受重力，重力提供向心力”。

直观理解

水流星（杯子拴绳甩一圈）表演里，杯口朝下时水不洒，是因为杯子转得够快：最高点需要的向心力 $m\dfrac{v^2}{R}$ 大于重力，杯底还要额外往下压水；速度小于 $\sqrt{gR}$，重力“用不完”，水就落下来了。

杆和绳的区别，一句话：绳只会拉，杆还会顶。会顶，最高点就允许慢到零。

关联知识点

• 前置：10.4 节向心力和变速圆周运动；第 6 章超重与失重、牛顿第三定律。
• 后续：第 13 章动能定理、第 14 章机械能守恒，连接最高点和最低点的速度。
• 后续：带电小球在匀强电场和重力场中做圆周运动，用第 15 章 15.7 节的“等效重力”（重力与电场力的合力），“最高点”换成与等效重力方向相反的“等效最高点”。
• 常一起考：第 9 章平抛运动，小球从圆轨道最高点水平飞出后平抛，落点距离由 $v \ge \sqrt{gR}$ 限定范围。

10.7 离心现象

说明

做圆周运动的物体，需要的向心力是 $m\dfrac{v^2}{r} = m\omega^2 r$。外界能提供的、沿半径方向的合力记为 $F$。比较两者：

供需关系	运动
$F = m\omega^2 r$	做圆周运动
$F = 0$（向心力突然消失）	沿切线方向飞出，做匀速直线运动
$F < m\omega^2 r$（向心力不足）	逐渐远离圆心，做离心运动
$F > m\omega^2 r$（向心力过剩）	逐渐靠近圆心，做近心运动

离心运动的本质是惯性：物体本来要沿切线方向走直线，是向心力把它不断拉向圆心；拉的力不够，它就沿着比圆“弯得少”的路线走，离圆心越来越远。不存在把物体“甩出去”的离心力。

应用：洗衣机脱水桶（水滴与衣物的附着力不足以提供向心力，水从桶壁小孔甩出）、离心分离机、制作棉花糖、链球投掷。

防止：汽车、火车转弯限速（10.5 节）；砂轮、飞轮限制最高转速（转速过高时，材料内部的作用力不足以提供所需向心力，会破裂）。

模型：在惯性参考系（地面）中分析。

使用场景

• 圆周运动中某个力突然消失或减小（绳断、松手、转速变大），问物体此后怎样运动 → 比较供需 → 力消失沿切线飞出，力不足做离心运动。
• 解释离心现象的应用，或计算设备转动时需要多大的向心力（脱水桶、离心机）→ 匀速圆周运动 → $F_{\text{n}} = m\omega^2 r$，与物体能得到的力比较。
• 汽车在弯道上会不会侧滑、雨天应限速多少 → 离心现象的防止 → 用 10.5 节 $v_{\max} = \sqrt{\mu gr}$，$\mu$ 变小时限速降低。

注意点

• 离心运动是“向心力不足”的结果，不是“受到离心力”。在地面参考系中分析时，受力图上没有离心力。
• 向心力突然消失时，物体沿切线飞出，不是沿半径方向飞出。
• 离心运动的轨迹是曲线（力不足但不为零）或直线（力为零），都不是圆。
• 转速增大时，所需的 $m\omega^2 r$ 随 $\omega^2$ 增大；提供向心力的力（静摩擦力、附着力）有上限，超过上限就发生离心运动。

推导

为什么向心力消失后沿切线飞出：向心力消失的瞬间，物体所受合力为零（或沿半径方向的力为零），由牛顿第一定律，物体保持该时刻的速度做匀速直线运动。该时刻速度沿切线方向，所以沿切线飞出。

为什么向心力不足时远离圆心：设物体以速度 $v$ 在半径 $r$ 处运动，沿半径方向的合力 $F < m\dfrac{v^2}{r}$。如果它按半径 $r'$ 的圆弧弯曲，所需的力是 $m\dfrac{v^2}{r'}$。现在只有 $F$，对应的弯曲半径 $r' = \dfrac{mv^2}{F} > r$，轨迹弯得比原来的圆更缓，于是落到原来圆的外侧，离圆心越来越远。

（关键一步：把“力决定速度方向改变的快慢”换成“力决定轨迹弯曲的程度”：同样的速度，力越小，轨迹越直。这里的 $r'$ 是轨迹在该点的弯曲半径（曲率半径），大学微积分里才严格定义，高中用“按这个半径弯”理解即可。）

例题

例 1　（场景：向心力突然消失）在光滑水平桌面上，用细线拴着小球做匀速圆周运动。某时刻细线突然断了，此后小球将（　）。

A. 沿半径方向背离圆心飞出　B. 沿切线方向做匀速直线运动 C. 做逐渐远离圆心的曲线运动　D. 继续做半径不变的圆周运动

解：B。

判断依据：线断后小球在水平方向不受力，由牛顿第一定律，保持线断瞬间的速度做匀速直线运动。

线断瞬间速度沿切线方向，所以沿切线飞出，A 错。水平方向合力为零，不会做曲线运动，C、D 错。

例 2　（场景：离心现象的应用）洗衣机脱水桶的半径 $r = 0.2\ \mathrm{m}$，脱水时转速为 $1200\ \mathrm{r/min}$。求附着在桶壁衣物上的水滴做圆周运动所需的向心力是它所受重力的多少倍，并说明水为什么会被甩出（$\pi$ 取 3.14）。

解：

研究对象：桶壁处的一个水滴，质量为 $m$。

过程划分：一个过程，随桶做匀速圆周运动（若能保持）。

分析：所需向心力 $m\omega^2 r$，与重力 $mg$ 相比；水滴靠与衣物之间的附着力提供向心力。

列式求解：$n = 20\ \mathrm{r/s}$，$\omega = 2\pi n = 125.6\ \mathrm{rad/s}$。

$$\frac{m\omega^2 r}{mg} = \frac{125.6^2 \times 0.2}{10} \approx 3.2 \times 10^2$$

所需向心力约为重力的 $320$ 倍。水滴与衣物之间的附着力远不足以提供这么大的力，水滴做离心运动，穿过桶壁上的小孔甩出；衣物被桶壁挡住，留在桶内。

检验：结果与水滴质量无关，任何水滴都一样，合理。量级：$\omega^2 r$ 约 $3 \times 10^3\ \mathrm{m/s^2}$，远大于 $g$，这也是离心机能快速分离物质的原因。

例 3　（场景：弯道限速）汽车在半径 $r = 50\ \mathrm{m}$ 的水平弯道上转弯。晴天时轮胎与路面间的动摩擦因数 $\mu_1 = 0.8$，雨天时 $\mu_2 = 0.2$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。分别求晴天和雨天汽车转弯不侧滑的最大速度。

解：

研究对象：汽车。

过程划分：一个过程，水平面内的匀速圆周运动；求的是恰好不侧滑的临界状态。

分析：汽车受重力、支持力、侧向静摩擦力。竖直方向 $F_N = mg$；水平方向静摩擦力指向弯道圆心，提供向心力。速度超过临界值时，最大静摩擦力不足以提供向心力，汽车做离心运动（侧滑）。

列式求解：取指向圆心为正方向。临界时 $\mu mg = m\dfrac{v_{\max}^2}{r}$，$v_{\max} = \sqrt{\mu g r}$。

$$v_1 = \sqrt{0.8 \times 10 \times 50}\ \mathrm{m/s} = 20\ \mathrm{m/s} = 72\ \mathrm{km/h}$$ $$v_2 = \sqrt{0.2 \times 10 \times 50}\ \mathrm{m/s} = 10\ \mathrm{m/s} = 36\ \mathrm{km/h}$$

检验：雨天 $\mu$ 是晴天的 $\dfrac{1}{4}$，最大速度是晴天的 $\dfrac{1}{2}$，符合 $v_{\max} \propto \sqrt{\mu}$。量级：弯道限速几十千米每时，合理。

容易卡在：认为侧滑是因为“离心力大于摩擦力”。地面参考系里没有离心力，正确的说法是“最大静摩擦力不足以提供所需的向心力”。

常用推论

• 提供的径向力 $F$ 与需要的 $m\omega^2 r$ 比较：相等做圆周运动，小于做离心运动，为零沿切线飞出，大于做近心运动。
• 转盘上几个物块（$\mu$ 相同），离轴越远越先做离心运动（10.5 节 $\omega_{\max} = \sqrt{\dfrac{\mu g}{r}}$）。
• 弯道最大速度 $v_{\max} = \sqrt{\mu g r} \propto \sqrt{\mu}$：路面摩擦因数降为 $\dfrac{1}{4}$，限速降为一半。
• 卫星减速后，万有引力大于所需的向心力，做近心运动，轨道降低；加速后做离心运动，轨道升高。第 11 章变轨问题用的就是这个供需比较。

易错点

• 错在哪：认为离心运动是因为物体受到了“离心力”，受力图上画一个背离圆心的力。 为什么错：坐车转弯时人被“甩向外侧”的感觉让人以为有一个向外的力。实际上是人由于惯性要保持原来的直线运动，车往里拐了，人相对车向外。 正确做法：在地面参考系中分析，说“向心力不足”，受力图上不画离心力。
• 错在哪：绳断后，认为小球沿半径方向飞出。 为什么错：把“远离圆心”和“沿半径”混为一谈。绳断瞬间速度沿切线，没有沿半径的速度。 正确做法：力消失后物体沿该时刻的速度方向（切线）做匀速直线运动。
• 错在哪：脱水桶中认为“转速越大，水受到的离心力越大，所以被甩出”。 为什么错：同样是假想的离心力在作怪。转速越大，所需的向心力越大，附着力越不够。 正确做法：说“所需向心力 $m\omega^2 r$ 随转速增大，超过附着力能提供的最大值，水做离心运动”。

直观理解

拿一根绳拴住小球甩圈，手一松，小球沿松手那一刻的切线飞出去，像链球运动员出手的那一下。离心运动就是“拉不住了”：手的拉力（向心力）是让小球拐弯的唯一原因，拉力不够，球就按惯性往直里走。

关联知识点

• 前置：第 6 章牛顿第一定律与惯性；10.4 节向心力；10.5 节临界速度。
• 后续：第 11 章卫星变轨，加速做离心运动、减速做近心运动。
• 常一起考：10.5 节水平转盘上物块滑动的临界、汽车弯道限速。

10.8 知识点之间的关系

本章所有题目都走同一条路：先找轨道平面和圆心，判断速度大小变不变，再沿半径方向列“供 = 需”的方程。10.2、10.3 节给出“需”的大小 $m\dfrac{v^2}{r} = m\omega^2 r$；10.4 节说明“供”只能来自性质力；10.5、10.6 节按水平面、竖直面分出不同的列式套路；10.7 节讨论“供”和“需”不相等时会怎样。

10.9 自测

1. 钟表的分针与时针都做匀速圆周运动，分针与时针的角速度之比是多少？
2. 自行车脚踏转动的大齿轮半径是后轮上小齿轮半径的 3 倍，后轮半径 $0.3\ \mathrm{m}$。脚踏每秒转 1 圈时，自行车前进的速度是多少（用 $\pi$ 表示）？
3. 汽车以 $10\ \mathrm{m/s}$ 的速率通过半径 $50\ \mathrm{m}$ 的水平弯道，向心加速度多大？
4. 下列关于匀速圆周运动的说法正确的是（　）。A. 是匀速运动　B. 是匀变速运动　C. 是变加速运动　D. 加速度恒定
5. 质量 $1\ \mathrm{kg}$ 的物体在半径 $0.5\ \mathrm{m}$ 的圆周上做匀速圆周运动，周期为 $\pi\ \mathrm{s}$，求所需向心力的大小。
6. 两个圆锥摆悬点相同，绳长不同，两小球在同一水平面内做匀速圆周运动，它们的角速度之比是多少？
7. 水平转盘上距轴 $0.2\ \mathrm{m}$ 处的物块与盘间的动摩擦因数为 $0.5$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。转盘的角速度最大为多少时物块不滑动？
8. 汽车通过半径 $90\ \mathrm{m}$ 的拱桥最高点时，对桥面恰好没有压力，此时车速多大？
9. 长 $0.9\ \mathrm{m}$ 的轻杆拴一小球在竖直面内转动，小球过最高点的速度为 $3\ \mathrm{m/s}$ 时，杆对小球的作用力多大？
10. 用细绳拴着水杯在竖直面内做“水流星”表演，绳长 $0.4\ \mathrm{m}$（看成水做圆周运动的半径），水杯过最高点的速度至少多大，水才不会洒出？
11. 汽车在水平弯道上转弯时发生侧滑，下列解释正确的是（　）。A. 汽车受到的离心力大于摩擦力　B. 最大静摩擦力不足以提供所需的向心力　C. 汽车所受合力沿半径向外

答案：1. $12 : 1$；2. $1.8\pi\ \mathrm{m/s} \approx 5.7\ \mathrm{m/s}$；3. $2\ \mathrm{m/s^2}$，指向弯道圆心；4. C；5. $2\ \mathrm{N}$；6. $1 : 1$；7. $5\ \mathrm{rad/s}$；8. $30\ \mathrm{m/s}$；9. 0（$v = \sqrt{gL}$）；10. $2\ \mathrm{m/s}$；11. B。

10.10 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，有按人教版章节排列的高中物理同步课程，必修第二册第六章“圆周运动”可以对照本章复习。
• 维基百科 · 圆周运动：匀速与非匀速圆周运动的描述、向心加速度和切向加速度的推导。
• 维基百科 · 向心力：向心力的定义和公式，说明它是指向圆心的合外力，并区分向心力与离心力。
• Khan Academy · Centripetal force and gravitation：向心加速度和向心力的视频讲解与练习，含竖直圆周和转弯的例题（英文）。