第 12 章 · 功与功率

项目	内容
课标主题	必修 2 · 机械能及其守恒定律（理解功和功率；了解生产生活中常见机械的功率大小及其意义）
人教版（2019）	必修第二册 第八章“机械能守恒定律” 第 1 节“功与功率”
考试地位	选择题常考功的正负判断、摩擦力做功、瞬时功率、机车启动的图像；计算题里功是动能定理和功能关系的第一步，机车启动常和牛顿第二定律、动能定理一起考
前置知识	第 4 章受力分析；第 1 章 1.4 节图像的面积（$F$-$x$ 图面积是功）；第 6 章牛顿第二定律；第 9 章平抛运动的速度分解；向量的数量积（见《高中数学知识点梳理》第 14、15 章）

这一章是“能量”这条线的起点：功是能量转化的量度，第 13、14 章的动能定理、机械能守恒、功能关系，算的都是功。丢分常在三处：夹角找错（把力与水平面的夹角当成力与位移的夹角），正负判断凭感觉（以为摩擦力一定做负功），瞬时功率漏了 $\cos\alpha$（平抛中重力的功率用 $mgv$ 去算）。机车启动是本章唯一的“过程题”，关键是分清恒定功率和恒定加速度两条路。

12.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
12.2 功的定义与计算	恒力的功 $W = Fl\cos\alpha$，$l$ 是对地位移，$\alpha$ 是力与位移的夹角；总功是各力功的代数和	必用，动能定理的第一步
12.3 功的正负与摩擦力做功	$\alpha$ 小于、等于、大于 $90^\circ$ 分别做正功、不做功、做负功；摩擦力做功可正、可负、可为零	选择题常考
12.4 变力的功	图像面积、平均力、微元法（大小不变且总沿运动方向的力 $W = \pm Fs$）、转换研究对象、$W = Pt$	常考，多在选择题和计算题的一问
12.5 功率	平均功率 $P = \dfrac{W}{t}$，瞬时功率 $P = Fv\cos\alpha$	常考，瞬时功率最易错
12.6 机车启动	恒定功率：$a$ 越来越小，最终 $v_{\text{m}} = \dfrac{P}{f}$；恒定加速度：先匀加速到额定功率，再按恒定功率到 $v_{\text{m}}$	常考，配 $v$-$t$ 图像

12.2 功的定义与计算

说明

功：一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了位移，就说这个力对物体做了功。两个要素缺一不可：力，和在力的方向上的位移。

恒力做功的公式：

$$W = Fl\cos\alpha$$

• $F$：力的大小，要求是恒力（大小、方向都不变）。
• $l$：力的作用点的位移大小。高中一律取对地位移。
• $\alpha$：力的方向与位移方向的夹角，$0 \le \alpha \le 180^\circ$。

功是标量，单位焦耳：$1\ \mathrm{J} = 1\ \mathrm{N \cdot m}$（第 1 章 1.2 节）。功有正负，但正负不表示方向（12.3 节）。

两种等价读法：$W = F \cdot (l\cos\alpha)$，力乘“位移在力方向上的分量”；$W = (F\cos\alpha) \cdot l$，“力在位移方向上的分量”乘位移。用向量写，功就是力与位移的数量积 $W = \vec{F} \cdot \vec{l}$。

总功：物体受几个力时，合力做的功叫总功，有两种算法：

$$W_{\text{总}} = W_1 + W_2 + \cdots + W_n$$ $$W_{\text{总}} = F_{\text{合}}\,l\cos\alpha \quad （\text{各力都是恒力，物体可看成质点}）$$

第一种是各力功的代数和（带正负号相加），任何情况都能用；第二种要求合力是恒力，且各力的作用点位移相同。

理想模型：公式建立在“恒力 + 质点”上。物体可看成质点时，所有力的作用点位移都等于物体的位移；物体会转动或形变时，要看每个力自己的作用点怎么移动。

使用场景

• 题目给出恒力的大小、方向和物体的位移，力与位移成角度（斜拉、斜推）→ 恒力做功 → $W = Fl\cos\alpha$，$\alpha$ 取力与位移的夹角。
• 物体受几个恒力，问各力的功和总功（斜面上滑动、拉着箱子在粗糙地面走）→ 先受力分析，再逐个求功 → 代数和，或先求合力再乘位移。
• 选择题问“某力是否做功”（提着水桶水平走、举着杠铃不动、推车没推动）→ 看两个要素 → 有力、有位移、且位移在力的方向上有分量，才做功。

注意点

• $\alpha$ 是力与位移的夹角，不是力与水平面、与斜面的夹角。物体沿斜面运动时，重力与位移的夹角不是斜面倾角。
• $l$ 是对地位移。传送带、板块问题里，物块对地的位移和相对传送带、木板的位移不同，算功要用对地位移（12.3 节例 2）。
• 公式只适用于恒力。力的大小或方向在变时，要用 12.4 节的办法。
• 功是过程量：要说“哪个力在哪个过程中做的功”。同一个力在不同过程中做的功一般不同。
• 计算总功时，各个功的正负号必须带上一起加，不能都按大小相加。
• 单位：$F$ 用 $\mathrm{N}$、$l$ 用 $\mathrm{m}$，功才是 $\mathrm{J}$。

推导

从初中的定义推广：初中学过，力与位移同向时 $W = Fl$。力与位移成 $\alpha$ 角时，把 $\vec{F}$ 沿位移方向和垂直位移方向分解：

$$F_1 = F\cos\alpha \quad（\text{沿位移}），\qquad F_2 = F\sin\alpha \quad（\text{垂直位移}）$$

$F_1$ 与位移同向，做功 $F_1 l = Fl\cos\alpha$；$F_2$ 方向上物体没有位移，不做功。所以

$$W = Fl\cos\alpha$$

（关键一步：垂直于位移的分力不做功。这是按功的定义“在力的方向上发生位移”得出的；分力 $F_2$ 的方向上位移为零，它对物体运动的“推进”没有贡献。课本也可以把位移分解，结果相同。）

总功等于合力的功：每个力的功 $W_i = \vec{F_i} \cdot \vec{l}$，各力作用点的位移都是 $\vec{l}$ 时，

$$W_1 + W_2 + \cdots + W_n = (\vec{F_1} + \vec{F_2} + \cdots + \vec{F_n}) \cdot \vec{l} = \vec{F}_{\text{合}} \cdot \vec{l}$$

这一步用的是数量积对加法的分配律（《高中数学知识点梳理》第 14 章）。

例题

例 1　（场景：恒力与位移成角度）用与水平方向成 $37^\circ$ 角、斜向上的拉力 $F = 100\ \mathrm{N}$ 拉箱子，箱子沿水平地面向右移动了 $5\ \mathrm{m}$。求拉力对箱子做的功（$\cos 37^\circ = 0.8$）。

解：

研究对象：箱子，看成质点。

过程划分：一个过程，箱子沿地面移动 $5\ \mathrm{m}$。

分析：拉力是恒力；位移水平向右，拉力斜向右上方，两者夹角 $\alpha = 37^\circ$。

列式求解：由 $W = Fl\cos\alpha$（本节公式）：

$$W = 100 \times 5 \times 0.8\ \mathrm{J} = 400\ \mathrm{J}$$

检验：单位 $\mathrm{N \cdot m} = \mathrm{J}$，对。$400\ \mathrm{J}$ 小于“力和位移同向”时的 $500\ \mathrm{J}$，因为只有水平分力 $80\ \mathrm{N}$ 在推进，合理。

例 2　（场景：多个力的功和总功）质量 $m = 2\ \mathrm{kg}$ 的物块沿倾角 $37^\circ$ 的粗糙斜面下滑 $l = 5\ \mathrm{m}$，物块与斜面间的动摩擦因数 $\mu = 0.5$。求下滑过程中重力、支持力、摩擦力各做多少功，以及总功（$\sin 37^\circ = 0.6$，$\cos 37^\circ = 0.8$）。

解：

研究对象：物块，看成质点。

过程划分：一个过程，沿斜面下滑 $5\ \mathrm{m}$。

分析：物块受重力 $G$、支持力 $F_{\text{N}}$、沿斜面向上的滑动摩擦力 $f$（第 4 章 4.4 节）。位移沿斜面向下。

• 重力竖直向下，与位移（沿斜面向下）的夹角是 $90^\circ - 37^\circ = 53^\circ$。
• 支持力垂直斜面，与位移夹角 $90^\circ$。
• 摩擦力与位移反向，夹角 $180^\circ$。$F_{\text{N}} = mg\cos 37^\circ = 16\ \mathrm{N}$，$f = \mu F_{\text{N}} = 8\ \mathrm{N}$。

列式求解：

$$W_G = mgl\cos 53^\circ = 20 \times 5 \times 0.6\ \mathrm{J} = 60\ \mathrm{J}$$ $$W_{\text{N}} = F_{\text{N}}\,l\cos 90^\circ = 0$$ $$W_f = fl\cos 180^\circ = -8 \times 5\ \mathrm{J} = -40\ \mathrm{J}$$ $$W_{\text{总}} = 60\ \mathrm{J} + 0 + (-40\ \mathrm{J}) = 20\ \mathrm{J}$$

检验：$W_G = mgl\sin 37^\circ = mgh$，$h = 3\ \mathrm{m}$ 是下降的高度，重力做功只看高度差，合理。总功为正，物块在加速（$mg\sin 37^\circ = 12\ \mathrm{N} > f = 8\ \mathrm{N}$），合理。

容易卡在：重力与位移的夹角写成 $37^\circ$，得 $W_G = 80\ \mathrm{J}$。$37^\circ$ 是斜面与水平面的夹角，不是重力与位移的夹角。

另一种解法：先求合力。垂直斜面方向合力为零；沿斜面方向 $F_{\text{合}} = mg\sin 37^\circ - f = 12\ \mathrm{N} - 8\ \mathrm{N} = 4\ \mathrm{N}$，沿斜面向下，与位移同向，$W_{\text{总}} = F_{\text{合}}\,l = 4 \times 5\ \mathrm{J} = 20\ \mathrm{J}$。只问总功、且合力好求时用合力法最快；题目还要各个力的功，或者各力作用的过程不同（某个力只作用一段），就逐个求再相加。

例 3　（场景：判断力是否做功）下列情形中，人（或机械）对物体做了功的是（　）。

A. 人提着水桶沿水平路面匀速前进　B. 举重运动员举着杠铃静止 $3\ \mathrm{s}$　C. 人用力推汽车，没有推动　D. 起重机吊着货物匀速上升

解：D。

判断依据：做功要有力，并且在力的方向上有位移（$\cos\alpha \ne 0$、$l \ne 0$）。

A：拉力竖直向上，位移水平，夹角 $90^\circ$，不做功。B、C：有力，但没有位移，不做功。D：拉力向上，位移向上，做正功。

常用推论

• 总功等于各力功的代数和，也等于合力的功（恒力、质点）。由本节推导的分配律得出。
• 重力做功 $W_G = mgh$，$h$ 是初、末位置的高度差，下降为正、上升为负，与路径无关。由 $W_G = mg \cdot (l\cos\alpha)$，$l\cos\alpha$ 正是位移的竖直分量；曲线路径分成小段再相加（第 14 章详讲）。
• 力始终与速度垂直，这个力不做功：匀速圆周运动的向心力、带电粒子在磁场中受的洛伦兹力（第 26 章）。每一小段位移都与力垂直，每段的功都是零。
• 物体沿斜面滑下时，重力的功只和高度有关，和斜面倾角、长短无关（例 2 检验）。

易错点

• 错在哪：把力与水平面（或斜面）的夹角当成 $\alpha$。 为什么错：公式里的 $\alpha$ 是力与位移的夹角。例 1 碰巧位移水平，两个角相同；例 2 中位移沿斜面，两个角就不同了。 正确做法：先画出力和位移两个箭头，把它们的起点放在一起，再量夹角。
• 错在哪：认为“用了力、出了汗”就是做了功。 为什么错：日常的“做功”指花了力气，物理的功只看力和位移。举着杠铃不动，肌肉在消耗能量，但对杠铃不做功（例 3）。 正确做法：只问两件事：有没有位移，位移在力的方向上有没有分量。
• 错在哪：求总功时把各个功的大小直接相加。 为什么错：功是标量但有正负，负功表示这个力在“拖后腿”。例 2 若相加得 $100\ \mathrm{J}$，远大于实际的 $20\ \mathrm{J}$。 正确做法：每个功带正负号代数相加。

直观理解

功就是“力在位移方向上帮了多少忙”：力和位移方向一致，全力在帮忙；斜着拉，只有一个分量在帮忙；垂直，一点没帮；反着，就是在拖后腿。$W = Fl\cos\alpha$ 里的 $\cos\alpha$，就是“帮忙的比例”。

关联知识点

• 前置：第 4 章受力分析，先找全力才能逐个求功；第 1 章 1.2 节焦耳的导出。
• 前置：向量的数量积 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$，见《高中数学知识点梳理》第 14、15 章；功就是力与位移的数量积。
• 后续：第 13 章动能定理，$W_{\text{总}} = \Delta E_{\text{k}}$，等号左边就是本节的总功。
• 后续：第 14 章重力做功与重力势能、弹力做功与弹性势能。
• 后续：第 16 章电场力做功 $W = qU$，同样与路径无关。

12.3 功的正负与摩擦力做功

说明

由 $W = Fl\cos\alpha$，功的正负由 $\cos\alpha$ 决定：

夹角	$\cos\alpha$	功	含义
$0 \le \alpha < 90^\circ$	正	正功	力是动力，帮助物体运动
$\alpha = 90^\circ$	零	不做功	力既不帮也不阻
$90^\circ < \alpha \le 180^\circ$	负	负功	力是阻力，阻碍物体运动

负功的另一种说法：力 $F$ 对物体做负功 $-W$，也说成“物体克服 $F$ 做功 $W$”（取正值）。如“克服摩擦力做功 $40\ \mathrm{J}$“就是”摩擦力做功 $-40\ \mathrm{J}$“。

功的正负不表示方向，功是标量。正负表示力是动力还是阻力，也表示能量是“输入”还是“输出”（第 13 章）。比较做功多少看绝对值：$-40\ \mathrm{J}$ 的功比 $+20\ \mathrm{J}$ 多。

曲线运动：力与速度的夹角在变，判断某一时刻力做正功还是负功，看力与速度的夹角（速度方向就是这一瞬间的位移方向）。

摩擦力做功：摩擦力阻碍的是相对运动（第 4 章 4.4 节），不一定阻碍物体对地的运动，所以做功可正、可负、可为零。

摩擦力	做正功的例子	做负功的例子	不做功的例子
滑动摩擦力	物块轻放在运动的传送带上，被带着加速	物块在地面上滑行减速	物块在地面上滑行时，物块对地面的摩擦力（地面不动）
静摩擦力	随加速的卡车一起加速的箱子	随减速的卡车一起减速的箱子	手握瓶子静止不动；随水平转盘匀速转动的物块（静摩擦力指向圆心，与速度垂直）

一对相互作用力的功：作用力和反作用力大小相等、方向相反，但两个受力物体的位移可以不同，所以两个功之间没有固定关系：可以都做正功、都做负功、一正一负、一个做功一个不做功。

使用场景

• 判断某个力做正功、负功还是不做功，尤其是物体在运动的支撑面上（斜面体会后退、车厢在加速）→ 先确定物体对地的位移或速度方向 → 看力与它的夹角和 $90^\circ$ 的大小关系。
• 摩擦力对哪个物体做功、做多少（传送带、板块、叠放物体）→ 分别求两个物体的对地位移 → $W = \pm fl_{\text{对地}}$，按摩擦力与该物体位移的方向定正负。
• 判断一对作用力与反作用力做功的关系 → 两个物体分别看 → 举一个反例（互相排斥的两辆小车、地面上滑行的物块）检验每个选项。

注意点

• 判断正负的位移是对地位移。斜面、车厢、木板自己在动时，物体对地的位移方向和它相对支撑面的方向不同（例 1）。
• 摩擦力方向与相对运动（或相对运动趋势）方向相反，做功的正负看它与对地位移的夹角。两个“方向”不要混。
• 静摩擦力作用下物体也可以有对地位移（随车加速的箱子），所以“静摩擦力不做功”是错的。
• “克服某力做功”是正值，代入动能定理时要换回负值。

推导

正负的来源：由 $W = Fl\cos\alpha$，$F$、$l$ 都是大小（非负），符号只来自 $\cos\alpha$。$\alpha$ 从 $0$ 增大到 $180^\circ$，$\cos\alpha$ 从 $1$ 减到 $-1$，在 $90^\circ$ 处变号。

一对静摩擦力的功之和为零：两个物体之间是静摩擦，说明它们相对静止，对地位移相同，设为 $\vec{l}$。两个摩擦力大小相等、方向相反，各自的功 $W_1 = fl\cos\alpha$，$W_2 = fl\cos(180^\circ - \alpha) = -fl\cos\alpha$，所以

$$W_1 + W_2 = 0$$

一对滑动摩擦力的功之和为负：两个物体有相对滑动，设物体 1 对地位移 $l_1$，物体 2 对地位移 $l_2$（沿同一直线）。对每个物体，摩擦力都与它相对另一物体的运动方向相反。取物体 1 相对物体 2 的运动方向为正，物体 1 受的摩擦力为负方向，物体 2 受的摩擦力为正方向：

$$W_1 + W_2 = -fx_1 + fx_2 = -f(x_1 - x_2) = -fs_{\text{相对}}$$

其中 $x_1$、$x_2$ 是两物体沿该方向的对地位移（带符号），$s_{\text{相对}} = x_1 - x_2 > 0$ 是相对滑动的距离。

（关键一步：两个摩擦力大小相等、方向相反（牛顿第三定律），只有位移不同；两功之和只剩“位移之差”，也就是相对位移。相对位移只要不为零，和就一定是负的。）

这部分减少的机械能变成了内能，就是第 14 章的摩擦生热 $Q = fs_{\text{相对}}$。

例题

例 1　（场景：支撑面在动，判断功的正负）光滑水平面上放着一个光滑斜面体，物块从斜面顶端由静止滑下，斜面体同时向后退。在物块下滑过程中，斜面对物块的支持力（　）。

A. 不做功　B. 做正功　C. 做负功　D. 无法判断

解：C。

判断依据：看支持力与物块对地位移的夹角。

支持力垂直斜面向外。如果斜面体固定，物块的位移沿斜面，与支持力垂直，支持力不做功。现在斜面体后退，物块对地的位移等于“沿斜面的相对位移”加上“随斜面体后退的位移”，方向比斜面更陡，与支持力的夹角大于 $90^\circ$，所以支持力做负功。

也可以从能量看：斜面体由静止开始向后运动，动能增加，是物块对斜面的压力对它做了正功；水平面光滑，系统机械能守恒（第 14 章），斜面体增加的动能来自物块，所以物块受的支持力做负功。

容易卡在：只记住“支持力与接触面垂直，一定不做功”。这个结论只在支撑面不动时成立。

例 2　（场景：摩擦力对两个物体分别做功）水平传送带以 $v = 4\ \mathrm{m/s}$ 的速度向右匀速运动，把质量 $m = 1\ \mathrm{kg}$ 的物块轻放到传送带左端，物块与传送带间的动摩擦因数 $\mu = 0.2$，传送带足够长。求从放上到与传送带共速的过程中，摩擦力对物块做的功、物块对传送带的摩擦力对传送带做的功。

解：

研究对象：物块；传送带。

过程划分：只看从放上到共速这一段。物块相对传送带向左滑，受向右的滑动摩擦力，做匀加速运动；传送带匀速。

分析：物块受摩擦力 $f = \mu mg$，向右；传送带受物块的摩擦力 $f'$，向左，大小也是 $\mu mg$。分别求两者的对地位移。

列式求解：取向右为正方向。$f = \mu mg = 0.2 \times 1 \times 10\ \mathrm{N} = 2\ \mathrm{N}$，物块加速度 $a = \dfrac{f}{m} = 2\ \mathrm{m/s^2}$。

共速用时 $t = \dfrac{v}{a} = 2\ \mathrm{s}$。物块对地位移 $x_1 = \dfrac{1}{2}at^2 = 4\ \mathrm{m}$，传送带对地位移 $x_2 = vt = 8\ \mathrm{m}$。

$$W_1 = fx_1 = 2 \times 4\ \mathrm{J} = 8\ \mathrm{J}$$ $$W_2 = -f'x_2 = -2 \times 8\ \mathrm{J} = -16\ \mathrm{J}$$

滑动摩擦力对物块做正功 $8\ \mathrm{J}$，对传送带做负功 $-16\ \mathrm{J}$。

检验：物块由静止加速到 $4\ \mathrm{m/s}$，动能增加 $\dfrac{1}{2} \times 1 \times 4^2\ \mathrm{J} = 8\ \mathrm{J}$，正好等于摩擦力对它做的功（第 13 章动能定理），对。两功之和 $-8\ \mathrm{J}$，等于 $-fs_{\text{相对}} = -2 \times (8 - 4)\ \mathrm{J}$，和本节推导一致。

容易卡在：用相对位移 $4\ \mathrm{m}$ 算物块的功，或认为“滑动摩擦力一定做负功”。物块对地向右运动，摩擦力也向右，做正功。

例 3　（场景：一对相互作用力的功）关于一对作用力与反作用力做的功，下列说法正确的是（　）。

A. 作用力做正功，反作用力一定做负功　B. 两个力做功一定大小相等　C. 两个力可能都做正功　D. 作用力不做功时，反作用力一定也不做功

解：C。

判断依据：作用力与反作用力作用在两个物体上，两个物体的位移可以不同，所以两个功没有必然联系；逐项找反例。

两辆装着磁铁、互相排斥的小车，由静止释放后向两边分开：每辆车受的斥力都与自己的位移同向，都做正功，A 错、C 对。物块在固定的地面上滑行：地面对物块的摩擦力做负功，物块对地面的摩擦力不做功（地面没有位移），B 错；把这对力的“作用力”和“反作用力”对调，就是 D 的反例，D 错。

常用推论

• 摩擦力（静摩擦或滑动摩擦）做功可正、可负、可为零。由本节说明的表格得出。
• 一对静摩擦力做功之和为零；一对滑动摩擦力做功之和为 $-fs_{\text{相对}}$，即系统损失的机械能、产生的内能（第 14 章）。推导见本节。
• 一对作用力与反作用力的功无必然关系；但两物体位移相同（相对静止）时，两功之和为零。
• 物体在运动的支撑面上（可后退的斜面、加速的升降机），支持力可以做功；支撑面固定时，支持力与位移垂直，不做功。
• 曲线运动中，力与速度夹角为锐角时速率增大，为钝角时速率减小，为直角时速率不变（第 8 章）。这正是功的正负在曲线运动里的表现。

易错点

• 错在哪：认为摩擦力总是做负功，静摩擦力总不做功。 为什么错：直觉把“摩擦”等同于“阻碍运动”。摩擦力阻碍的是两物体之间的相对运动，对地运动可以被它带动。反例：传送带把物块带走（例 2），随卡车加速的箱子靠静摩擦力加速。 正确做法：先定摩擦力方向（看相对运动），再看该物体的对地位移，按夹角定正负。
• 错在哪：认为 $-40\ \mathrm{J}$ 的功比 $20\ \mathrm{J}$ 小。 为什么错：把功的负号当成数学上的“小”。负号只说明这个力是阻力。 正确做法：比较做功多少看绝对值。
• 错在哪：认为作用力做正功，反作用力就一定做负功，两者的功相互抵消。 为什么错：把“力等大反向”误推成“功等大反号”。功还取决于各自物体的位移，两个物体位移不同，功就不同（例 3）。 正确做法：两个物体分别求功；只有两物体位移相同时，两功之和才为零。

直观理解

功的正负像记账：正功是给物体“存钱”（动能增加的来源），负功是从物体“取钱”。摩擦力像一个“让两边保持同步”的力：后面的被它往前拉（存钱），前面的被它往后拖（取钱）。一对滑动摩擦力，拖后腿的那一份总比帮忙的多，差额变成了热。

关联知识点

• 前置：第 4 章 4.4 节摩擦力的方向由相对运动决定；第 6 章牛顿第三定律。
• 前置：第 8 章曲线运动中力与速度的夹角决定速率增减。
• 后续：第 7 章传送带和板块问题的能量部分；第 13 章动能定理中逐个判断各力功的正负。
• 后续：第 14 章功能关系，摩擦生热 $Q = fs_{\text{相对}}$。
• 常一起考：第 20 章动量守恒中的板块模型，用一对滑动摩擦力做功之和求系统损失的动能。

12.4 变力的功

说明

$W = Fl\cos\alpha$ 只适用于恒力。力的大小或方向在变时，高中常用下面几种办法：

方法	适用情形	做法
图像法	已知 $F$-$x$ 图像，或 $F$ 与 $x$ 的关系简单	图线与 $x$ 轴围成的面积就是功（第 1 章 1.4 节）
平均力法	力的方向不变，大小随位移线性变化	$W = \dfrac{F_1 + F_2}{2} \cdot x$，$F_1$、$F_2$ 是始末的力
微元法	力的大小不变，方向始终与速度共线（摩擦力、空气阻力沿曲线或往返运动）	$W = \pm F \cdot s$，$s$ 是路程
转换研究对象	绳跨过定滑轮，人用恒力拉绳，绳对物体的拉力方向在变	绳对物体做的功等于人对绳做的功 $W = F\Delta l$，$\Delta l$ 是绳端被拉过的长度
功率法	功率恒定（机车以恒定功率行驶）	$W = Pt$（12.6 节例 3）
动能定理	以上都不行，但能求出动能变化	$W_{\text{变}} + W_{\text{其他}} = \Delta E_{\text{k}}$（第 13 章）

理想模型：平均力法、图像法要求力的方向与位移共线（或沿位移的分量已知）；转换研究对象要求绳是轻绳、滑轮光滑，绳上各处拉力大小相等。

使用场景

• 题目给出 $F$-$x$ 图像（折线、曲线）→ 力随位移变化 → 求图线下的面积，横轴下方的面积取负。
• 力的方向不变、大小与位移成正比或线性变化（弹簧弹力、阻力与深度成正比）→ 线性变力 → 平均力 $\dfrac{F_1 + F_2}{2}$ 乘位移，或三角形、梯形面积。
• 力的大小不变、方向总与速度相反（或相同），物体沿曲线运动或往返运动（拉磨、圆周上的摩擦力、上抛下落时的空气阻力）→ 微元法 → $W = -fs_{\text{路程}}$。
• 绳跨过定滑轮，人以恒力拉绳，物体被斜拉着移动 → 转换研究对象 → 人对绳端做的功 $F\Delta l$，$\Delta l$ 由几何关系求绳长的变化。

注意点

• 平均力法只适用于力随位移线性变化。力随时间线性变化时，$\dfrac{F_1 + F_2}{2}$ 不是对位移的平均，不能这样用。
• 微元法的 $s$ 是路程，不是位移。往返一次回到原处，位移为零，摩擦力做的功却不是零。
• $F$-$x$ 图的面积按坐标刻度和单位算，不按图上的格子比例。
• 转换研究对象时，绳对物体的拉力大小不变（等于 $F$），但方向在变，所以不能用 $F \times$ 物体位移 $\times \cos 37^\circ$ 之类的式子直接算；要算绳端移动的距离。
• 弹簧弹力做功的大小 $\dfrac{1}{2}kx^2$（第 1 章 1.4 节例 4）只适用于从原长开始；从 $x_1$ 拉到 $x_2$，是 $\dfrac{1}{2}k(x_2^2 - x_1^2)$，不是 $\dfrac{1}{2}k(x_2 - x_1)^2$。

推导

微元法的思路：把整个过程分成许多小段。每一小段位移 $\Delta l_i$ 很短，可以看成直线；这一小段时间内力几乎不变，可以看成恒力。每段的功 $\Delta W_i = F_i\,\Delta l_i\cos\alpha_i$，把所有小段加起来就是总功：

$$W = \Delta W_1 + \Delta W_2 + \cdots + \Delta W_n$$

（关键一步：每一小段内把变力当恒力。段分得越细，这个近似越准，极限下误差为零。）

大小不变、方向总与速度相反的力：每段都有 $\alpha_i = 180^\circ$、$F_i = f$，所以

$$W = -f\Delta l_1 - f\Delta l_2 - \cdots - f\Delta l_n = -f(\Delta l_1 + \Delta l_2 + \cdots + \Delta l_n) = -fs$$

各小段长度之和就是轨迹的总长度，即路程 $s$。

图像法：方向不变的变力，每一小段的功 $F_i\,\Delta x_i$ 是 $F$-$x$ 图上一个窄矩形的面积，加起来就是图线下的面积。这和第 1 章 1.4 节”$v$-$t$ 图面积是位移“的道理完全一样。

平均力法：力随位移线性变化时，$F$-$x$ 图线是直线，图线下是梯形，面积 $\dfrac{F_1 + F_2}{2} \cdot x$，所以可以用始末力的平均值当“等效恒力”。

严格的推导要用大学的定积分和曲线积分：$W = \int_A^B \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{l}$。高中不要求，用微元法理解就够了。

例题

例 1　（场景：给出 $F$-$x$ 图像）物体在水平拉力作用下沿直线运动，拉力方向始终与运动方向相同，拉力 $F$ 随位移 $x$ 变化的图像如图所示。求物体从 $x = 0$ 运动到 $x = 4\ \mathrm{m}$ 的过程中拉力做的功。

解：

研究对象：拉力 $F$。

过程划分：$0 \sim 2\ \mathrm{m}$ 拉力不变，$2 \sim 4\ \mathrm{m}$ 拉力均匀减小，分两段。

分析：拉力与位移同向，方向不变、大小变化，功等于 $F$-$x$ 图线下的面积。

列式求解：

$$W = 10 \times 2\ \mathrm{J} + \frac{1}{2} \times 2 \times 10\ \mathrm{J} = 20\ \mathrm{J} + 10\ \mathrm{J} = 30\ \mathrm{J}$$

检验：如果全程都是 $10\ \mathrm{N}$，功是 $40\ \mathrm{J}$；后一半拉力变小，功小于 $40\ \mathrm{J}$，合理。

例 2　（场景：线性变力）用铁锤把钉子钉入木板，木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。设每次锤击对钉子做的功相同，第一次锤击使钉子进入木板 $d = 1\ \mathrm{cm}$。第二次锤击能使钉子再进入多深？（钉子的重力和动能变化不计，每次锤击做的功全部用来克服阻力）

解：

研究对象：钉子。

过程划分：第一次锤击：深度 $0 \to d$；第二次锤击：深度 $d \to x_2$。

分析：阻力 $f = kx$，方向不变，大小随深度线性增大，用平均力求功。每次锤击做的功 $W$ 等于这一次克服阻力做的功。

列式求解：第一次：平均阻力 $\dfrac{0 + kd}{2}$，

$$W = \frac{kd}{2} \cdot d = \frac{1}{2}kd^2$$

第二次：平均阻力 $\dfrac{kd + kx_2}{2}$，

$$W = \frac{kd + kx_2}{2}(x_2 - d) = \frac{1}{2}k(x_2^2 - d^2)$$

两次的功相等：$\dfrac{1}{2}k(x_2^2 - d^2) = \dfrac{1}{2}kd^2$，得 $x_2 = \sqrt{2}\,d \approx 1.41\ \mathrm{cm}$。第二次再进入

$$\Delta x = x_2 - d = (\sqrt{2} - 1)d \approx 0.41\ \mathrm{cm}$$

检验：越钉越深阻力越大，同样的功钉进去的深度变小，$0.41\ \mathrm{cm} < 1\ \mathrm{cm}$，合理。$k$ 约掉了，答案只和 $d$ 有关，量纲是长度，对。

容易卡在：以为每次钉入一样深；或者用 $\dfrac{1}{2}k(x_2 - d)^2$ 算第二次的功，那是把第二次的平均阻力错当成从零开始。

另一种解法：画 $f$-$x$ 图，过原点的直线下，从 $0$ 到 $d$ 的三角形面积是 $W$，从 $0$ 到 $x_2$ 的三角形面积是 $2W$。三角形面积与边长的平方成正比，面积变成 2 倍，边长变成 $\sqrt{2}$ 倍，立刻得 $x_2 = \sqrt{2}\,d$。问“第 $n$ 次能钉多深”这类比例题，图像法几乎不用列式；需要具体的力或功的数值时，用平均力法列式更直接。

例 3　（场景：大小不变、方向总与速度相反的力）质量 $m = 1\ \mathrm{kg}$ 的物块在粗糙水平面上，被一根绳拉着沿半径 $R = 2\ \mathrm{m}$ 的圆周运动一周回到出发点，物块与水平面间的动摩擦因数 $\mu = 0.1$。求这一周内摩擦力做的功（$\pi$ 取 3.14）。

解：

研究对象：物块受的滑动摩擦力。

过程划分：一个过程，沿圆周运动一周。

分析：滑动摩擦力 $f = \mu mg$ 大小不变，方向始终与速度相反，是变力；转一周位移为零，但不能说功为零。用微元法。

列式求解：$f = \mu mg = 0.1 \times 1 \times 10\ \mathrm{N} = 1\ \mathrm{N}$。路程 $s = 2\pi R = 4\pi\ \mathrm{m}$。由 $W = -fs$（本节推导）：

$$W = -1 \times 2 \times 3.14 \times 2\ \mathrm{J} \approx -12.6\ \mathrm{J}$$

摩擦力做负功，物块克服摩擦力做功约 $12.6\ \mathrm{J}$。

检验：若用 $W = Fl\cos\alpha$ 且 $l = 0$，会得出功为零，但物块一路都在受阻力、一路在消耗能量，零显然不对。

容易卡在：用位移代替路程。

例 4　（场景：绳跨过定滑轮，转换研究对象）人站在高台上，用大小恒为 $F = 50\ \mathrm{N}$ 的水平力拉绳，绳跨过高台边缘的定滑轮系在水平地面上的物块上，滑轮比绳与物块的系点高 $h = 3\ \mathrm{m}$。物块从绳与水平方向成 $37^\circ$ 处被拉到成 $53^\circ$ 处。不计绳重和滑轮摩擦，求这一过程中绳的拉力对物块做的功（$\sin 37^\circ = 0.6$，$\sin 53^\circ = 0.8$）。

解：

研究对象：先看绳端（人手处），再转到物块。

过程划分：一个过程，绳与水平方向的夹角从 $37^\circ$ 变到 $53^\circ$。

分析：绳对物块的拉力大小始终为 $F$，但方向一直在变，是变力，不能用 $W = Fl\cos\alpha$ 直接算。轻绳、光滑滑轮不消耗能量，绳对物块做的功等于人对绳做的功；人的拉力是恒力，绳端被拉过的长度等于滑轮到物块那段绳缩短的长度。

列式求解：滑轮到物块的绳长：

$$L_1 = \frac{h}{\sin 37^\circ} = \frac{3}{0.6}\ \mathrm{m} = 5\ \mathrm{m}, \qquad L_2 = \frac{h}{\sin 53^\circ} = \frac{3}{0.8}\ \mathrm{m} = 3.75\ \mathrm{m}$$

绳端被拉过 $\Delta l = L_1 - L_2 = 1.25\ \mathrm{m}$，所以

$$W = F\Delta l = 50 \times 1.25\ \mathrm{J} = 62.5\ \mathrm{J}$$

检验：物块水平移动了 $\dfrac{3}{0.75}\ \mathrm{m} - \dfrac{3}{4/3}\ \mathrm{m} = 4\ \mathrm{m} - 2.25\ \mathrm{m} = 1.75\ \mathrm{m}$。如果拉力始终水平，功是 $50 \times 1.75\ \mathrm{J} = 87.5\ \mathrm{J}$；实际拉力斜向上，水平分量在 $40\ \mathrm{N}$ 到 $30\ \mathrm{N}$ 之间，功应在 $30 \times 1.75 = 52.5\ \mathrm{J}$ 和 $40 \times 1.75 = 70\ \mathrm{J}$ 之间，$62.5\ \mathrm{J}$ 在范围内，合理。

容易卡在：用物块的位移 $1.75\ \mathrm{m}$ 乘某个固定角的余弦。拉力方向在变，取哪个角都不对。

常用推论

• 弹簧从原长伸长（或压缩）$x$，弹力做功的大小 $\dfrac{1}{2}kx^2$；从 $x_1$ 变到 $x_2$，弹力做功 $-\dfrac{1}{2}k(x_2^2 - x_1^2)$（伸长量增大时做负功）。由 $F$-$x$ 图的三角形、梯形面积得出（第 1 章 1.4 节例 4，第 14 章弹性势能）。
• 大小不变的滑动摩擦力或空气阻力，做功 $W = -fs_{\text{路程}}$，与路径长度有关。由本节微元法推导。
• 以恒定功率工作的机器，在时间 $t$ 内做功 $W = Pt$，不管力怎么变。由功率的定义 $P = \dfrac{W}{t}$（12.5 节）得出。
• 轻绳跨过光滑定滑轮，绳对物体做的功等于拉绳端的力做的功。轻绳不储存能量，滑轮光滑不消耗能量。

易错点

• 错在哪：沿圆周或往返运动一周，认为摩擦力做功为零，因为位移为零。 为什么错：$W = Fl\cos\alpha$ 只适用于恒力；摩擦力方向一直在变，是变力。直觉把“回到原处”当成“什么都没发生”，但能量一直在消耗（例 3）。 正确做法：大小不变、总与速度反向的力，用 $W = -fs$，$s$ 是路程。
• 错在哪：力随时间线性变化，也用 $\dfrac{F_1 + F_2}{2}$ 乘位移求功。 为什么错：平均力法用的是“对位移的平均”。力对时间线性变化时，物体在各时段走的距离不同，对位移的平均不等于 $\dfrac{F_1 + F_2}{2}$。 正确做法：只在 $F$ 随 $x$ 线性变化时用平均力；其他情况用动能定理（第 13 章）。
• 错在哪：弹簧从伸长 $x_1$ 拉到 $x_2$，用 $\dfrac{1}{2}k(x_2 - x_1)^2$ 求功。 为什么错：$\dfrac{1}{2}kx^2$ 是从原长开始的三角形面积；从 $x_1$ 开始，图线下是梯形，起点处的力已经是 $kx_1$ 了（例 2 同理）。 正确做法：$\dfrac{1}{2}k(x_2^2 - x_1^2)$，或用平均力 $\dfrac{kx_1 + kx_2}{2}$ 乘 $(x_2 - x_1)$。

直观理解

变力做功的各种办法，都是把变力“化成”恒力：微元法是切成小段，每段当恒力；图像法是把小段的功画成窄条，拼成面积；平均力法是找一个“等效的恒力”；转换研究对象是换一个受恒力的对象来算。记一句话：变力不能直接乘，先想办法变成恒力或面积。

关联知识点

• 前置：第 1 章 1.4 节 $F$-$x$ 图面积是功、弹簧拉力做功（例 4）；第 4 章 4.3 节胡克定律。
• 前置：第 8 章关联速度（绳端速度与物体速度的关系），和例 4 的绳长变化是同一类几何。
• 后续：第 13 章动能定理是求变力功最通用的办法。
• 后续：第 14 章弹性势能 $\dfrac{1}{2}kx^2$、重力做功与路径无关（也用微元法）。
• 后续：第 16 章电场力做功 $W = qU$；第 28 章安培力做功，常用能量守恒求。

12.5 功率

说明

功率：功与完成这些功所用时间之比，表示做功的快慢。

$$P = \frac{W}{t}$$

单位瓦特：$1\ \mathrm{W} = 1\ \mathrm{J/s}$；常用千瓦 $1\ \mathrm{kW} = 10^3\ \mathrm{W}$。功率是标量。

功率与速度：力 $F$ 与速度 $v$ 的夹角为 $\alpha$ 时，

$$P = Fv\cos\alpha$$

• $v$ 取平均速度，得平均功率（要求 $F$ 是恒力）；$v$ 取瞬时速度，得瞬时功率。
• 力与速度同向时，$P = Fv$。

平均功率与瞬时功率：

	公式	说的是
平均功率	$P = \dfrac{W}{t}$；恒力时也可 $P = F\bar{v}\cos\alpha$	一段时间内做功的平均快慢
瞬时功率	$P = Fv\cos\alpha$（$v$ 为瞬时速度）	某一时刻做功的快慢

额定功率与实际功率：额定功率是机器长时间正常工作的最大输出功率，标在铭牌上；实际功率是工作时实际的输出功率，可以小于额定功率，短时间内也可以略大于额定功率，但长时间超过会损坏机器。机车类问题里的 $P$ 指牵引力的功率，不是合力的功率。

常见功率的数量级（估算用）：人长时间劳动约 $10^2\ \mathrm{W}$，短时间爬楼可达几百瓦；家用小汽车发动机几十到一百多千瓦。

使用场景

• 问一段时间内某力做功的平均快慢 → 平均功率 → $P = \dfrac{W}{t}$，先求这段时间的功。
• 问某一时刻（某一位置）某力的功率，尤其是力和速度不共线（平抛、斜面上滑下）→ 瞬时功率 → $P = Fv\cos\alpha$，常写成“力 × 速度在力方向上的分量”。
• 估算人或机器的功率（跑上楼、提重物）→ 克服重力做功 → $P = \dfrac{mgh}{t}$，用常识取数据。
• 功率一定时，问牵引力和速度的关系（汽车上坡换低速挡）→ $P = Fv$，$P$ 不变 → $F$ 与 $v$ 成反比。

注意点

• 先分清问的是平均功率还是瞬时功率：“第 $2\ \mathrm{s}$ 内”“前 $2\ \mathrm{s}$ 内”是平均；“第 $2\ \mathrm{s}$ 末”“落地时”“到达底端时”是瞬时。
• 瞬时功率的 $\alpha$ 是力与速度的夹角。平抛、斜面上的物体，重力的瞬时功率是 $mgv_y$，不是 $mgv$。
• 求的是哪个力的功率要说清：重力的功率、牵引力的功率、合力的功率各不相同。
• $P = Fv\cos\alpha$ 用平均速度求平均功率时，要求 $F$ 是恒力；变力的平均功率只能用 $\dfrac{W}{t}$。
• 单位：功率用 $\mathrm{W}$、速度用 $\mathrm{m/s}$、力用 $\mathrm{N}$。题目常给 $\mathrm{kW}$ 和 $\mathrm{km/h}$，先换算。

推导

由定义推出 $P = Fv\cos\alpha$：恒力 $F$ 在时间 $t$ 内使物体发生位移 $l$，

$$P = \frac{W}{t} = \frac{Fl\cos\alpha}{t} = F \cdot \frac{l}{t} \cdot \cos\alpha = F\bar{v}\cos\alpha$$

这是平均功率。把 $t$ 取得很短（$\Delta t \to 0$），这段时间内力和速度几乎不变，$\dfrac{\Delta l}{\Delta t}$ 就是瞬时速度 $v$，得到瞬时功率 $P = Fv\cos\alpha$。

（关键一步：$\Delta t \to 0$ 时，平均速度变成瞬时速度，这和第 2 章由平均速度得到瞬时速度是同一个极限。力是变力也没关系，因为极短时间内它可以看成恒力。）

严格说法是功对时间的导数 $P = \dfrac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} = \vec{F} \cdot \vec{v}$（《高中数学知识点梳理》第 24 章讲导数），高中用极限的说法理解即可。

例题

例 1　（场景：平均功率）质量 $m = 2\ \mathrm{kg}$ 的物体从离地 $20\ \mathrm{m}$ 高处由静止自由下落，不计空气阻力。求下落过程中重力做功的平均功率，以及落地时重力的瞬时功率。

解：

研究对象：物体。

过程划分：一个过程，自由落体到地面。

分析：平均功率用 $\dfrac{W}{t}$，需要重力的功和下落时间；瞬时功率用 $P = mgv$，重力与速度同向（竖直向下），$\alpha = 0$。

列式求解：由 $h = \dfrac{1}{2}gt^2$（第 3 章），$t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} = \sqrt{\dfrac{2 \times 20}{10}}\ \mathrm{s} = 2\ \mathrm{s}$。

$$W = mgh = 2 \times 10 \times 20\ \mathrm{J} = 400\ \mathrm{J}, \qquad \bar{P} = \frac{W}{t} = \frac{400}{2}\ \mathrm{W} = 200\ \mathrm{W}$$

落地速度 $v = gt = 20\ \mathrm{m/s}$，

$$P = mgv = 2 \times 10 \times 20\ \mathrm{W} = 400\ \mathrm{W}$$

检验：速度从 0 均匀增大到 $20\ \mathrm{m/s}$，重力的功率也从 0 均匀增大到 $400\ \mathrm{W}$，平均正好是一半 $200\ \mathrm{W}$，合理。

另一种解法：重力是恒力，平均功率可以用 $\bar{P} = mg\bar{v}$，自由落体平均速度 $\bar{v} = \dfrac{0 + 20}{2}\ \mathrm{m/s} = 10\ \mathrm{m/s}$，$\bar{P} = 20 \times 10\ \mathrm{W} = 200\ \mathrm{W}$。已经知道速度时用 $F\bar{v}$ 更快；力是变力，或者不好求平均速度时，只能用 $\dfrac{W}{t}$。

例 2　（场景：力与速度不共线的瞬时功率）质量 $m = 1\ \mathrm{kg}$ 的小球以 $v_0 = 10\ \mathrm{m/s}$ 的速度水平抛出，不计空气阻力。求抛出后 $1\ \mathrm{s}$ 末重力的瞬时功率，以及这 $1\ \mathrm{s}$ 内重力的平均功率。

解：

研究对象：小球。

过程划分：只看抛出后的前 $1\ \mathrm{s}$（平抛，第 9 章）。

分析：重力竖直向下，$1\ \mathrm{s}$ 末的速度斜向下。瞬时功率要用重力与速度的夹角，等价于只用速度的竖直分量。

列式求解：$1\ \mathrm{s}$ 末 $v_x = 10\ \mathrm{m/s}$，$v_y = gt = 10\ \mathrm{m/s}$，速度大小 $v = 10\sqrt{2}\ \mathrm{m/s}$，与竖直方向夹角 $45^\circ$。

$$P = mgv\cos 45^\circ = mgv_y = 1 \times 10 \times 10\ \mathrm{W} = 100\ \mathrm{W}$$

$1\ \mathrm{s}$ 内下落 $h = \dfrac{1}{2}gt^2 = 5\ \mathrm{m}$，重力做功 $W = mgh = 50\ \mathrm{J}$，

$$\bar{P} = \frac{W}{t} = 50\ \mathrm{W}$$

检验：竖直方向是自由落体，重力功率只随 $v_y$ 均匀增大，平均值是末值的一半，$50 = 100/2$，合理。水平速度与重力垂直，对重力的功率没有贡献。

容易卡在：用 $P = mgv = 1 \times 10 \times 10\sqrt{2}\ \mathrm{W} \approx 141\ \mathrm{W}$，漏了 $\cos\alpha$。

例 3　（场景：估算功率）一个中学生用 $12\ \mathrm{s}$ 从一楼跑上四楼，估算他上楼时克服重力做功的平均功率。

解：

研究对象：中学生。

过程划分：一个过程，一楼到四楼，上升三层。

分析：克服重力做功 $mgh$，除以时间。取常识数据：质量约 $50\ \mathrm{kg}$，每层楼高约 $3\ \mathrm{m}$（第 1 章 1.5 节），上升 $h \approx 9\ \mathrm{m}$。

列式求解：

$$P = \frac{mgh}{t} \approx \frac{50 \times 10 \times 9}{12}\ \mathrm{W} = 375\ \mathrm{W} \approx 4 \times 10^2\ \mathrm{W}$$

检验：几百瓦，比人长时间劳动的约 $100\ \mathrm{W}$ 大，因为是短时间冲刺，合理。

容易卡在：从一楼到四楼按 4 层算。上升的是三层的高度。

例 4　（场景：功率一定时牵引力与速度的关系）汽车上坡时，司机往往换成低速挡，使车速减小。这样做的目的是（　）。

A. 减小功率，节省燃油　B. 增大功率，获得更大的牵引力　C. 功率一定时，减小速度以获得更大的牵引力　D. 减小速度，以减小上坡时受到的阻力

解：C。

判断依据：$P = Fv$。

发动机的输出功率有上限，一般在额定功率附近工作。上坡时要克服重力沿坡向下的分力，需要更大的牵引力；$P$ 一定时 $F = \dfrac{P}{v}$，速度越小牵引力越大。A、B 说的是功率变化，不是换挡的目的；D：阻力（摩擦、空气阻力）不会因为换挡就明显变小，上坡主要难在重力的分力。

常用推论

• 恒力的平均功率 $\bar{P} = F\bar{v}\cos\alpha$；匀变速直线运动中 $\bar{v} = \dfrac{v_0 + v}{2}$（第 3 章），所以从静止开始的匀加速运动，恒力的平均功率是末时刻瞬时功率的一半（例 1、例 2）。
• 重力的瞬时功率 $P_G = mgv_y$，只看竖直分速度。由 $P = Fv\cos\alpha$，$v\cos\alpha$ 是速度在力方向上的分量。
• $P$-$t$ 图线与 $t$ 轴围成的面积等于功（第 1 章 1.4 节）。
• 功率一定时 $F \propto \dfrac{1}{v}$；牵引力一定时 $P \propto v$。这是 12.6 节机车启动两种方式的依据。

易错点

• 错在哪：平抛或沿斜面下滑的物体，重力的瞬时功率用 $mgv$ 计算。 为什么错：直觉把“功率 = 力 × 速度”当成两个大小相乘，忘了只有速度在力方向上的分量才“出功”（例 2）。 正确做法：$P = Fv\cos\alpha$；重力的功率用 $mgv_y$。
• 错在哪：把“第 $2\ \mathrm{s}$ 末”的功率算成前 $2\ \mathrm{s}$ 的平均功率，或反过来。 为什么错：没分清“时刻”和“时间段”（第 2 章）。 正确做法：“末”“时”对应瞬时功率，用 $Fv$；“内”对应平均功率，用 $\dfrac{W}{t}$。
• 错在哪：认为功率大的机器做功一定多。 为什么错：功率表示做功快慢，做功多少还取决于时间，$W = Pt$。 正确做法：比较做功多少看 $W$，比较快慢才看 $P$。

直观理解

功是“做了多少”，功率是“做得多快”，关系就像路程和速度。$P = Fv$ 的意思是：用同样的功率，可以“大力慢走”，也可以“小力快跑”，汽车的挡位就是在这两者之间换。

关联知识点

• 前置：12.2 节功；第 2 章平均速度与瞬时速度；第 9 章平抛运动的速度分解。
• 后续：12.6 节机车启动，$P = Fv$ 的直接应用。
• 后续：第 17 章电功率 $P = UI$，同样是“做功的快慢”；第 18 章电源的输出功率。
• 后续：第 28 章导体棒切割磁感线，外力的功率等于电功率。
• 常一起考：第 13 章动能定理，题目常同时问某段的功和某时刻的功率。

12.6 机车启动

说明

模型：汽车（或火车）在水平直路上从静止启动，牵引力 $F$ 沿运动方向，阻力 $f$ 大小不变（题目一般这样设），发动机的输出功率就是牵引力的功率 $P = Fv$，最大不超过额定功率 $P_{\text{额}}$。两条规律同时用：

$$P = Fv, \qquad F - f = ma$$

方式一：以恒定功率启动（$P = P_{\text{额}}$ 不变）

$$v \uparrow \ \Rightarrow\ F = \frac{P}{v} \downarrow \ \Rightarrow\ a = \frac{F - f}{m} \downarrow$$

速度增大、加速度减小，做加速度越来越小的加速运动；$a$ 减到零时 $F = f$，速度达到最大速度，此后匀速：

$$v_{\text{m}} = \frac{P_{\text{额}}}{f}$$

方式二：以恒定加速度启动

1. 匀加速阶段：$a$ 不变，$F = f + ma$ 不变，$P = Fv$ 随 $v$ 均匀增大。当 $P$ 增大到 $P_{\text{额}}$ 时匀加速结束，此时速度 $$v_1 = \frac{P_{\text{额}}}{f + ma}, \qquad t_1 = \frac{v_1}{a}$$
2. 恒定功率阶段：功率不能再增大，以后与方式一相同，$a$ 逐渐减小，最终达到 $v_{\text{m}} = \dfrac{P_{\text{额}}}{f}$。

$v_1 < v_{\text{m}}$：匀加速结束时，牵引力仍大于阻力，车还在加速。

使用场景

• 题目说“以额定功率（恒定功率）启动”，问最大速度、某速度时的加速度 → 恒定功率启动 → $v_{\text{m}} = \dfrac{P}{f}$；某速度 $v$ 时 $F = \dfrac{P}{v}$，$a = \dfrac{F - f}{m}$。
• 题目说“以恒定加速度（由静止匀加速）启动”，问匀加速能维持多久、匀加速结束时的速度 → 两阶段 → 先 $F = f + ma$，再 $v_1 = \dfrac{P_{\text{额}}}{F}$，$t_1 = \dfrac{v_1}{a}$。
• 恒定功率阶段问牵引力做的功、行驶的距离 → 牵引力是变力 → $W = Pt$，距离用动能定理 $Pt - fx = \dfrac{1}{2}mv^2 - \dfrac{1}{2}mv_0^2$（第 13 章）。
• 给出 $v$-$t$、$F$-$v$ 或 $F$-$\dfrac{1}{v}$ 图像 → 从图像读出两个阶段 → 水平段是牵引力不变（匀加速），过原点的直线段（$F$-$\dfrac{1}{v}$ 图）是功率不变，斜率就是功率。

注意点

• $P = Fv$ 里的 $F$ 是牵引力，不是合力。合力是 $F - f$。
• 匀加速结束时的速度 $v_1 = \dfrac{P_{\text{额}}}{f + ma}$ 不是最大速度，不要把它当成 $v_{\text{m}}$。
• 恒定功率阶段是变加速运动，不能用匀变速公式求时间或位移；求位移靠动能定理，求时间一般不要求。
• 理论上恒定功率从静止启动时，$v \to 0$ 时 $F = \dfrac{P}{v}$ 会趋于无穷，实际中受轮胎与地面的最大静摩擦力等限制，做不到。这是模型的理想化，题目中按“恒定功率”处理即可。
• 坡路上或阻力随速度变化时，$v_{\text{m}}$ 的式子要改：上坡匀速时 $F = f + mg\sin\theta$，$v_{\text{m}} = \dfrac{P}{f + mg\sin\theta}$。
• “达到最大速度”在恒定功率下是逐渐趋近，题目说“经过时间 $t$ 达到最大速度”时，按题意近似处理。

推导

两条规律从哪里来：$P = Fv$ 由 12.5 节瞬时功率 $P = Fv\cos\alpha$ 得出（牵引力与速度同向，$\alpha = 0$）；$F - f = ma$ 是牛顿第二定律（第 6 章）。

恒定功率：$P$ 不变时，由 $F = \dfrac{P}{v}$，速度越大牵引力越小；由 $a = \dfrac{F - f}{m}$，牵引力越小加速度越小。只要 $F > f$，车就在加速，$v$ 继续增大，$F$ 继续减小，直到 $F = f$，$a = 0$，速度不再增大：

$$P = fv_{\text{m}} \ \Rightarrow\ v_{\text{m}} = \frac{P}{f}$$

（关键一步：最大速度出现在 $a = 0$、$F = f$ 的时刻。加速度方向与速度相同、大小减小，速度越来越慢地增大（第 2 章 2.5 节例 5），$a$ 减到零时速度最大。）

恒定加速度：$a$ 不变，由牛顿第二定律 $F = f + ma$ 不变，$P = Fv = (f + ma)at$ 随时间均匀增大。发动机功率不能超过 $P_{\text{额}}$，所以 $P$ 达到 $P_{\text{额}}$ 时匀加速结束：$P_{\text{额}} = (f + ma)v_1$。此后功率保持 $P_{\text{额}}$，速度还在增大，牵引力只能减小，进入恒定功率的过程。

例题

例 1　（场景：恒定功率启动）汽车质量 $m = 2 \times 10^3\ \mathrm{kg}$，额定功率 $P = 60\ \mathrm{kW}$，在水平路面上行驶时受到的阻力恒为车重的 $0.1$ 倍。汽车以额定功率由静止启动，求：(1) 汽车能达到的最大速度；(2) 速度为 $10\ \mathrm{m/s}$ 时的加速度。

解：

研究对象：汽车，看成质点。

过程划分：以恒定功率加速，加速度逐渐减小，直到达到最大速度。

分析：受牵引力 $F$（向前）、阻力 $f$（向后），竖直方向重力与支持力平衡。$f = 0.1mg = 2 \times 10^3\ \mathrm{N}$。用 $P = Fv$ 和 $F - f = ma$。

列式求解：取运动方向为正方向。

(1) 速度最大时 $a = 0$，$F = f$：

$$v_{\text{m}} = \frac{P}{f} = \frac{6 \times 10^4}{2 \times 10^3}\ \mathrm{m/s} = 30\ \mathrm{m/s}$$

(2) $v = 10\ \mathrm{m/s}$ 时，$F = \dfrac{P}{v} = \dfrac{6 \times 10^4}{10}\ \mathrm{N} = 6 \times 10^3\ \mathrm{N}$，

$$a = \frac{F - f}{m} = \frac{6 \times 10^3 - 2 \times 10^3}{2 \times 10^3}\ \mathrm{m/s^2} = 2\ \mathrm{m/s^2}$$

方向与运动方向相同。

检验：$30\ \mathrm{m/s} = 108\ \mathrm{km/h}$，是小汽车的常见高速，合理。$v = 10\ \mathrm{m/s} < v_{\text{m}}$，此时牵引力大于阻力，加速度为正，合理。

例 2　（场景：恒定加速度启动）例 1 中的汽车从静止开始以 $a = 1\ \mathrm{m/s^2}$ 的加速度做匀加速直线运动，阻力不变。求：(1) 匀加速运动能维持多长时间；(2) 第 $5\ \mathrm{s}$ 末发动机的实际功率；(3) 汽车最终能达到的最大速度。

解：

研究对象：汽车。

过程划分：两个阶段：匀加速阶段（牵引力不变，功率增大），功率达到额定值后的恒定功率阶段（加速度减小，直到匀速）。

分析：匀加速阶段由牛顿第二定律求牵引力；功率达到 $P_{\text{额}}$ 时匀加速结束。

列式求解：取运动方向为正方向。

(1) 匀加速阶段牵引力：

$$F = f + ma = 2 \times 10^3\ \mathrm{N} + 2 \times 10^3 \times 1\ \mathrm{N} = 4 \times 10^3\ \mathrm{N}$$

匀加速结束时 $P = P_{\text{额}}$，

$$v_1 = \frac{P_{\text{额}}}{F} = \frac{6 \times 10^4}{4 \times 10^3}\ \mathrm{m/s} = 15\ \mathrm{m/s}, \qquad t_1 = \frac{v_1}{a} = 15\ \mathrm{s}$$

(2) 第 $5\ \mathrm{s}$ 末仍在匀加速阶段，$v = at = 5\ \mathrm{m/s}$，

$$P = Fv = 4 \times 10^3 \times 5\ \mathrm{W} = 2 \times 10^4\ \mathrm{W} = 20\ \mathrm{kW}$$

(3) 最终 $F = f$，$v_{\text{m}} = \dfrac{P_{\text{额}}}{f} = 30\ \mathrm{m/s}$，和以恒定功率启动相同。

检验：$v_1 = 15\ \mathrm{m/s} < v_{\text{m}} = 30\ \mathrm{m/s}$，匀加速结束时车还在加速，合理。$5\ \mathrm{s}$ 末功率 $20\ \mathrm{kW}$，小于额定功率，说明确实还在匀加速阶段，合理。

容易卡在：把 $v_1 = 15\ \mathrm{m/s}$ 当成最大速度，或用 $v_{\text{m}} = 30\ \mathrm{m/s}$ 除以 $a$ 求匀加速时间，得 $30\ \mathrm{s}$。

例 3　（场景：恒定功率阶段求功和位移）例 1 中的汽车以额定功率由静止启动，经过 $t = 60\ \mathrm{s}$ 速度达到最大值 $30\ \mathrm{m/s}$（按达到最大速度处理）。求这段时间内牵引力做的功和汽车行驶的距离。

解：

研究对象：汽车。

过程划分：一个过程，以恒定功率从静止加速到 $v_{\text{m}}$，是变加速运动。

分析：牵引力随速度减小，是变力，不能用 $Fl$；功率恒定，用 $W = Pt$（12.4 节）。变加速运动不能用匀变速公式求位移，用动能定理（第 13 章）：牵引力做正功、阻力做负功，总功等于动能的增加。

列式求解：

$$W_F = Pt = 6 \times 10^4 \times 60\ \mathrm{J} = 3.6 \times 10^6\ \mathrm{J}$$

由动能定理 $W_F - fx = \dfrac{1}{2}mv_{\text{m}}^2 - 0$：

$$x = \frac{W_F - \frac{1}{2}mv_{\text{m}}^2}{f} = \frac{3.6 \times 10^6 - \frac{1}{2} \times 2 \times 10^3 \times 30^2}{2 \times 10^3}\ \mathrm{m} = \frac{3.6 \times 10^6 - 9 \times 10^5}{2 \times 10^3}\ \mathrm{m} = 1350\ \mathrm{m}$$

检验：平均速度 $\dfrac{1350}{60}\ \mathrm{m/s} = 22.5\ \mathrm{m/s}$，大于 $\dfrac{v_{\text{m}}}{2} = 15\ \mathrm{m/s}$。恒定功率启动的 $v$-$t$ 图线向上凸，在“从 0 到 $v_{\text{m}}$ 的直线”上方，图线下面积比三角形大，平均速度应大于 $\dfrac{v_{\text{m}}}{2}$，合理。

容易卡在：用 $x = \dfrac{v_{\text{m}}}{2}t = 900\ \mathrm{m}$。那是匀加速的公式，这里加速度在变。

例 4　（场景：机车启动的图像）质量 $m = 2 \times 10^3\ \mathrm{kg}$ 的汽车在水平路面上由静止启动，阻力恒定。其牵引力 $F$ 与速度倒数 $\dfrac{1}{v}$ 的关系如图所示：$AB$ 段平行于横轴，$F = 3 \times 10^3\ \mathrm{N}$；$BC$ 段的延长线过原点，$B$ 点横坐标 $0.1\ \mathrm{s/m}$；到 $C$ 点（$F = 1 \times 10^3\ \mathrm{N}$）后速度不再增大。求：(1) 汽车的额定功率和最大速度；(2) 匀加速阶段的加速度和持续时间。

解：

研究对象：汽车。

过程划分：汽车由静止加速，速度增大，$\dfrac{1}{v}$ 减小，图上从右往左读。$A \to B$：牵引力不变，匀加速；$B \to C$：$F$ 与 $\dfrac{1}{v}$ 成正比，$F \cdot v$ 不变，功率恒定；$C$ 点：速度最大。

分析：$BC$ 段 $F = P \cdot \dfrac{1}{v}$，斜率就是功率。$C$ 点之后速度不变，$a = 0$，牵引力等于阻力，$f = 1 \times 10^3\ \mathrm{N}$。

列式求解：取运动方向为正方向。

(1) 由 $B$ 点：$v_B = 10\ \mathrm{m/s}$，

$$P = F_Bv_B = 3 \times 10^3 \times 10\ \mathrm{W} = 3 \times 10^4\ \mathrm{W} = 30\ \mathrm{kW}$$ $$v_{\text{m}} = \frac{P}{f} = \frac{3 \times 10^4}{1 \times 10^3}\ \mathrm{m/s} = 30\ \mathrm{m/s}$$

(2) 匀加速阶段：

$$a = \frac{F - f}{m} = \frac{3 \times 10^3 - 1 \times 10^3}{2 \times 10^3}\ \mathrm{m/s^2} = 1\ \mathrm{m/s^2}, \qquad t_1 = \frac{v_B}{a} = 10\ \mathrm{s}$$

检验：$C$ 点的横坐标应为 $\dfrac{1}{30}\ \mathrm{s/m} \approx 0.033\ \mathrm{s/m}$，在 $B$ 点左边，与图一致。$v_B = 10\ \mathrm{m/s} < v_{\text{m}}$，合理。

容易卡在：图上从左往右读，以为汽车在减速。横轴是 $\dfrac{1}{v}$，速度增大时点向左走。

另一种解法：画成 $v$-$t$ 图更直观：$0 \sim 10\ \mathrm{s}$ 是过原点的倾斜直线（斜率 $1\ \mathrm{m/s^2}$），之后图线逐渐变平，趋近 $30\ \mathrm{m/s}$。$F$-$\dfrac{1}{v}$ 图的好处是功率恒定的一段变成直线，斜率直接读出功率；$v$-$t$ 图便于看时间和位移（面积）。题目给哪种图就在哪种图上读，必要时自己画另一种对照。

常用推论

• 两种启动方式的最大速度相同：$v_{\text{m}} = \dfrac{P_{\text{额}}}{f}$。由 $a = 0$ 时 $F = f$ 得出（本节推导）。
• 匀加速阶段的末速度 $v_1 = \dfrac{P_{\text{额}}}{f + ma} < v_{\text{m}}$，持续时间 $t_1 = \dfrac{v_1}{a}$；这一阶段功率 $P = (f + ma)at$ 与时间成正比。
• 以速度 $v$（$v < v_{\text{m}}$）行驶、功率为 $P_{\text{额}}$ 时，加速度 $a = \dfrac{1}{m}\left(\dfrac{P_{\text{额}}}{v} - f\right)$。
• 恒定功率阶段的位移用动能定理：$Pt - fx = \dfrac{1}{2}mv_2^2 - \dfrac{1}{2}mv_1^2$（第 13 章）。
• 上坡（倾角 $\theta$）的最大速度 $v_{\text{m}} = \dfrac{P}{f + mg\sin\theta}$，比平路小。由匀速时 $F = f + mg\sin\theta$ 得出。

易错点

• 错在哪：恒定加速度启动时，把匀加速结束时的速度当成最大速度。 为什么错：匀加速结束只是功率“顶满”了，牵引力 $f + ma$ 仍大于阻力，车还在加速。 正确做法：匀加速末速度用 $\dfrac{P_{\text{额}}}{f + ma}$，最大速度用 $\dfrac{P_{\text{额}}}{f}$，两者分开求（例 2）。
• 错在哪：用 $P = F_{\text{合}}v$，即 $(F - f)v$ 求功率。 为什么错：发动机的功率是牵引力的功率，不是合力的功率。 正确做法：$P = Fv$ 中 $F$ 是牵引力；合力只用在 $F - f = ma$ 里。
• 错在哪：以恒定功率启动，认为速度均匀增大，用匀变速公式求时间和位移。 为什么错：直觉认为“功率不变，加速就不变”。其实 $F = \dfrac{P}{v}$ 随速度减小，加速度一直在减小（例 3）。 正确做法：恒定功率阶段用 $W = Pt$ 和动能定理，不用匀变速公式。

直观理解

发动机的功率像一个“额度”，$P = Fv$ 是额度在“力”和“速度”之间的分配：车慢时额度可以全换成大的牵引力，车越快，能分给牵引力的就越少，直到牵引力只够抵消阻力，车就不再加速了，这时的速度就是最大速度。恒定加速度启动是先“不用满额度”、保持牵引力不变，等额度用满了，再按恒定功率走完剩下的路。

关联知识点

• 前置：12.5 节 $P = Fv$；第 6 章牛顿第二定律；第 2 章加速度减小的加速运动（2.5 节例 5，“最大速度”在那里第一次出现）。
• 后续：第 13 章动能定理，求恒定功率阶段的位移。
• 后续：第 28 章导体棒在磁场中加速，安培力随速度增大，最后达到收尾速度，分析方法与恒定功率启动完全相同。
• 常一起考：第 3 章匀变速直线运动（匀加速阶段）；第 1 章 1.4 节图像的斜率和面积。

12.7 知识点之间的关系

求功时先问力是不是恒力：恒力用 $W = Fl\cos\alpha$（12.2），正负看夹角（12.3）；变力按特点选办法（12.4），实在不行交给第 13 章动能定理。求功率时先问平均还是瞬时（12.5）；瞬时功率 $P = Fv$ 和牛顿第二定律一起用，就是机车启动（12.6）。

12.8 自测

1. 用 $20\ \mathrm{N}$ 的水平拉力拉着物体在水平面上前进 $3\ \mathrm{m}$，再用同样大小、与水平成 $60^\circ$ 斜向上的拉力拉着它前进 $3\ \mathrm{m}$。两次拉力做的功各是多少？
2. 质量 $2\ \mathrm{kg}$ 的物体被竖直向上的拉力从静止以 $2\ \mathrm{m/s^2}$ 的加速度提升 $5\ \mathrm{m}$。求拉力做的功、重力做的功和总功。
3. 人站在匀加速上升的电梯里，电梯对人的支持力做什么功？站在加速向右运动的车厢里、相对车厢静止的箱子，受的静摩擦力做什么功？
4. 木板静止在光滑水平面上，物块以一定速度滑上木板，最后两者共速。物块对地滑行 $3\ \mathrm{m}$，木板对地移动 $1\ \mathrm{m}$，两者间滑动摩擦力为 $4\ \mathrm{N}$。求摩擦力对物块、对木板做的功，以及两功之和。
5. 质量 $0.5\ \mathrm{kg}$ 的小球从地面竖直上抛，上升 $4\ \mathrm{m}$ 后落回原处，空气阻力大小恒为 $0.5\ \mathrm{N}$。整个过程中空气阻力做多少功？重力做多少功？
6. 劲度系数 $100\ \mathrm{N/m}$ 的弹簧，从伸长 $0.1\ \mathrm{m}$ 拉到伸长 $0.3\ \mathrm{m}$，拉力至少做多少功？
7. 质量 $1\ \mathrm{kg}$ 的物体从倾角 $30^\circ$ 的光滑斜面顶端由静止滑下，滑到底端时速度为 $4\ \mathrm{m/s}$，求此时重力的瞬时功率。
8. 汽车额定功率 $80\ \mathrm{kW}$，在平直公路上行驶时阻力恒为 $4 \times 10^3\ \mathrm{N}$，最大速度是多少？以 $10\ \mathrm{m/s}$ 的速度、额定功率行驶时，牵引力是多少？
9. 质量 $5 \times 10^3\ \mathrm{kg}$ 的汽车额定功率 $60\ \mathrm{kW}$，阻力恒为 $5 \times 10^3\ \mathrm{N}$，由静止以 $0.5\ \mathrm{m/s^2}$ 的加速度匀加速启动，匀加速能维持多长时间？

答案：1. $60\ \mathrm{J}$，$30\ \mathrm{J}$；2. 拉力 $120\ \mathrm{J}$，重力 $-100\ \mathrm{J}$，总功 $20\ \mathrm{J}$；3. 正功；正功；4. 对物块 $-12\ \mathrm{J}$，对木板 $4\ \mathrm{J}$，和为 $-8\ \mathrm{J}$；5. 空气阻力 $-4\ \mathrm{J}$，重力 $0$；6. $4\ \mathrm{J}$；7. $20\ \mathrm{W}$；8. $20\ \mathrm{m/s}$，$8 \times 10^3\ \mathrm{N}$；9. $16\ \mathrm{s}$（$F = 7.5 \times 10^3\ \mathrm{N}$，$v_1 = 8\ \mathrm{m/s}$）。

12.9 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，有按人教版必修第二册第八章排列的“功与功率”同步课程和教材电子版。
• Khan Academy · 功和能量：功的定义、正负、变力做功和功率的视频与练习（英文），和本章及第 13、14 章对应。
• 维基百科 · 功率：功率的定义、单位瓦特的来历，以及平均功率与瞬时功率 P = F·v 的关系。