第 23 章 · 光的折射与全反射

项目	内容
课标主题	选择性必修 1 · 光及其应用：光的折射定律与折射率的测量；全反射及其条件，光纤
人教版（2019）	选择性必修第一册 第四章“光”：4.1”光的折射”、4.2”全反射”
考试地位	常考。新课标卷和山东、广东、湖南、湖北等省卷几乎每年有一道几何光学题，选择题或计算题，考折射率、临界角和光路作图；色散常在选择题里和第 24 章干涉、第 35 章光电效应一起比较不同色光
前置知识	初中的光的反射定律和折射现象；第 22 章波速、频率和波长的关系 $v = \lambda f$；三角函数和特殊角的值（见《高中数学知识点梳理》第 11–13 章）

这一章讲光走到两种介质的分界面时怎样拐弯：拐多少（折射定律），不同颜色拐得不一样（色散），什么时候完全拐不出去（全反射）。物理上只有两条公式，$n = \dfrac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}$ 和 $\sin C = \dfrac{1}{n}$；丢分几乎都丢在作图和几何上：法线没画或画错、把入射角当成光线和界面的夹角、光从玻璃射向空气时忘了先判断会不会全反射、角度在三角形里传不下去。所以本章每道光路题都配图，解答先画图、再列式。

23.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
23.2 折射定律与折射率	入射角正弦和折射角正弦之比是常数 $n$，$n = \dfrac{c}{v}$；光路可逆	必考，光学计算题的第一步
23.3 光的色散	同一介质对频率越高的光折射率越大：紫光偏折最大、速度最小、临界角最小	常考选择题，比较几种色光
23.4 全反射与光导纤维	光从光密介质射向光疏介质、入射角不小于临界角时只有反射光；$\sin C = \dfrac{1}{n}$	必考，常和光路题一起出
23.5 光路问题	平行玻璃砖、三棱镜、半圆形玻璃砖：画法线、判全反射、用几何关系传角度	常考计算题，难点在几何

23.2 折射定律与折射率

说明

光的折射：光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向在分界面上发生改变。同时在分界面上还有一部分光被反射回原介质。

几个名词：过入射点垂直于界面的直线叫法线；入射光线、反射光线、折射光线和法线的夹角分别叫入射角 $\theta_1$、反射角 $\theta_1'$、折射角 $\theta_2$。注意都是和法线的夹角，不是和界面的夹角。

折射定律（斯涅耳定律）：

1. 折射光线、入射光线和法线在同一平面内，折射光线和入射光线分居法线两侧；
2. 入射角的正弦与折射角的正弦成正比：

$$\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = n_{12}$$

$n_{12}$ 是一个由两种介质决定的常数。

折射率：光从真空射入某种介质时，$\dfrac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}$ 这个常数叫这种介质的绝对折射率，简称折射率，记作 $n$：

$$n = \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}\quad(\theta_1 \text{ 是真空中的角，} \theta_2 \text{ 是介质中的角})$$

空气的折射率约 $1.0003$，题目里把空气当真空处理。

折射率和光速：介质的折射率等于光在真空中的速度 $c$ 与光在这种介质中的速度 $v$ 之比：

$$n = \frac{c}{v}$$

$c = 3.0 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$。任何介质中 $v < c$，所以 $n > 1$。几种常见介质：水约 $1.33$（题目常取 $\dfrac{4}{3}$），普通玻璃约 $1.5$，金刚石约 $2.42$。

光路可逆：光沿原来折射光线的反方向射回去，就会沿原来入射光线的反方向射出。所以光从介质射入空气时，公式照样写成 $n = \dfrac{\sin\theta_{\text{空}}}{\sin\theta_{\text{介}}}$。

理想模型：光线是从光束里抽象出来的几何线，不考虑光的波长（光通过的孔、物体都比波长大得多时成立，否则要考虑衍射，见第 24 章）；界面是光滑平面或光滑曲面；介质均匀、各向同性。

使用场景

• 题目给出入射角和折射角，或者给出反射光与折射光的几何关系（垂直、某个夹角）→ 光在界面上折射 → 先由几何求出两个角，再用 $n = \dfrac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}$。
• 题目问光在介质中的速度、穿过介质用的时间，或者给出光速求折射率 → 折射率和光速的关系 → $n = \dfrac{c}{v}$，时间 $t = \dfrac{\text{路程}}{v}$。
• 光从水、玻璃射入空气（水中的灯、鱼眼看岸上、光从玻璃砖射出）→ 光路可逆 → 仍写 $\sin\theta_{\text{空}} = n\sin\theta_{\text{介}}$，空气中的角大。
• 从水面上方近乎竖直往下看水中物体（池底、鱼）、问看到的深度 → 光从水折射进空气，人眼按直线反推像的位置 → 视深 $h' = \dfrac{h}{n}$。

注意点

• 入射角、折射角都是光线和法线的夹角。题目给的是光线和界面的夹角时，先用 $90^\circ$ 减。
• $n = \dfrac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}$ 里 $\theta_1$ 必须是真空（空气）中的角。光从介质射向空气时，空气中的角放分子，不要机械地把“入射角”放分子。
• 折射率由介质和光的频率（颜色）决定（23.3 节），和入射角无关。入射角变了，折射角跟着变，比值不变。
• 光垂直射到界面时，入射角为 $0$，折射角也为 $0$，不改变方向，但速度变了。
• 两种介质比较时，折射率大的叫光密介质，折射率小的叫光疏介质，这是相对的：水对空气是光密介质，对玻璃是光疏介质。光从光疏介质进入光密介质，折射角小于入射角，光线偏向法线；反过来偏离法线。
• 介质的“光密”与密度无关：酒精的密度比水小，折射率却比水大。

推导

实验依据：让一束光从空气斜射到半圆形玻璃砖的平面圆心上（沿半径射出时在圆弧面上不再偏折，见 23.5 节），改变入射角，测出对应的折射角。托勒密曾列出过入射角和折射角的对照表，但角度本身之比并不恒定。1621 年前后，斯涅耳从测量数据中发现两个角的正弦之比是常数；笛卡儿 1637 年也发表了同样的结论。这就是折射定律。测量步骤见第 41 章“测量玻璃的折射率”。

为什么比值等于 $\dfrac{c}{v}$：用惠更斯原理解释（波面上每一点都可以看作发出子波的波源，下一时刻的波面是这些子波的包络面，第 22 章波的折射用的是同一方法）。

1. 一列平面光波斜射到界面上，某时刻波面 $AC$ 的 $A$ 端刚到界面。
2. 再经过时间 $t$，$C$ 端在空气中以速度 $v_1$ 走到界面上的 $B$ 点：$CB = v_1 t$。
3. 同一段时间里，$A$ 点发出的子波在介质中以速度 $v_2$ 走出半径 $AD = v_2 t$ 的半圆；从 $B$ 点作这个半圆的切线 $BD$，就是新的波面。
4. 波面和界面的夹角等于光线和法线的夹角，所以 $\angle CAB = \theta_1$，$\angle ABD = \theta_2$。在两个直角三角形里：

$$\sin\theta_1 = \frac{CB}{AB} = \frac{v_1 t}{AB},\qquad \sin\theta_2 = \frac{AD}{AB} = \frac{v_2 t}{AB}$$

两式相除：

$$\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{v_1}{v_2}$$

（关键一步：$CB$ 和 $AD$ 用的是同一段时间 $t$，而两个直角三角形共用斜边 $AB$。所以正弦之比只剩下速度之比，和入射角无关，这就是比值是常数的原因。）

光从真空射入介质时 $v_1 = c$、$v_2 = v$，得 $n = \dfrac{c}{v}$。波面和光线垂直，法线和界面垂直，所以“波面与界面的夹角”等于“光线与法线的夹角”（两边分别垂直的两个锐角相等）。

光路可逆也可以从这里看出：把图里所有光线反向，两个三角形不变，比值还是 $\dfrac{v_1}{v_2}$。

例题

例 1　（场景：由几何关系求折射率）一束光从空气射到某种介质的平整表面上，入射角为 $60^\circ$，测得反射光线与折射光线恰好垂直。求这种介质的折射率和光在其中的传播速度。

解：

研究对象：在界面上反射和折射的这束光。

过程划分：一次折射，一个过程。

分析：反射角等于入射角，为 $60^\circ$，反射光线与界面夹角 $30^\circ$；折射光线在界面另一侧，与界面夹角 $90^\circ - \theta_2$。这两个角拼成反射光与折射光的夹角：$30^\circ + (90^\circ - \theta_2) = 90^\circ$，得 $\theta_2 = 30^\circ$。也可以沿法线看：上、下两段法线成 $180^\circ$，所以反射角 + $90^\circ$ + 折射角 $= 180^\circ$。

列式求解：用折射定律：

$$n = \frac{\sin 60^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3} \approx 1.73$$ $$v = \frac{c}{n} = \frac{3.0 \times 10^8}{\sqrt{3}}\ \mathrm{m/s} = \sqrt{3} \times 10^8\ \mathrm{m/s} \approx 1.7 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$$

检验：$n > 1$，$v < c$，合理；折射角 $30^\circ$ 小于入射角 $60^\circ$，光进入光密介质偏向法线，方向对。

容易卡在：求折射角时用“光线和界面的夹角”，把 $\theta_2$ 算成 $60^\circ$。

例 2　（场景：求介质中的光速和传播时间）一束光垂直射入厚 $3.0\ \mathrm{cm}$ 的玻璃砖，玻璃的折射率 $n = 1.5$。求光在玻璃中的速度和穿过玻璃砖所用的时间，并和穿过同样厚度的空气相比。

解：

研究对象：穿过玻璃砖的光。

过程划分：垂直入射不偏折，光在玻璃中沿直线匀速走过 $3.0\ \mathrm{cm}$。

分析：用 $n = \dfrac{c}{v}$ 求速度，再用路程除以速度。

列式求解：

$$v = \frac{c}{n} = \frac{3.0 \times 10^8}{1.5}\ \mathrm{m/s} = 2.0 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$$ $$t = \frac{d}{v} = \frac{3.0 \times 10^{-2}}{2.0 \times 10^8}\ \mathrm{s} = 1.5 \times 10^{-10}\ \mathrm{s}$$

在空气中 $t_0 = \dfrac{d}{c} = 1.0 \times 10^{-10}\ \mathrm{s}$，玻璃中用时是空气中的 $1.5$ 倍，正好是 $n$ 倍。

检验：单位 $\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{m/s}} = \mathrm{s}$，对；光走几厘米只要 $10^{-10}\ \mathrm{s}$ 量级，合理。

容易卡在：厘米不换成米。

例 3　（场景：光从水射入空气，光路可逆）水中光源 $S$ 发出的一条光线射向水面，入射角为 $37^\circ$。水的折射率取 $\dfrac{4}{3}$，求这条光线进入空气后的折射角（$\sin 37^\circ = 0.6$，$\sin 53^\circ = 0.8$）。

解：

研究对象：$S$ 发出的这条光线。

过程划分：一次折射，由水进入空气。

分析：光从水（光密）射向空气（光疏），先确认不会全反射：$\sin C = \dfrac{1}{n} = 0.75$，入射角的正弦 $0.6 < 0.75$，能射出（全反射见 23.4 节）。由光路可逆，空气中的角放分子。

列式求解：设空气中的折射角为 $\theta$：

$$n = \frac{\sin\theta}{\sin 37^\circ}\ \Rightarrow\ \sin\theta = \frac{4}{3} \times 0.6 = 0.8$$

所以 $\theta = 53^\circ$。

检验：光从光密进入光疏，折射角大于入射角，$53^\circ > 37^\circ$，对。

容易卡在：照“入射角放分子”写成 $\dfrac{\sin 37^\circ}{\sin\theta} = \dfrac{4}{3}$，得 $\sin\theta = 0.45$，折射角反而变小了，违反“空气中的角大”。

例 4　（场景：视深）池水深 $h = 2.0\ \mathrm{m}$，人在池边几乎竖直往下看池底，水的折射率取 $\dfrac{4}{3}$。求人看到的池底离水面多深。

解：

研究对象：池底一点 $S$ 发出、进入人眼的光线。

过程划分：光从水进入空气，一次折射。

分析：人眼看到的像在进入眼睛的光线反向延长线的交点 $S'$。取两条光线：一条沿法线竖直向上，不偏折；另一条在水中与法线成小角 $i$，射出后与法线成 $r$，它在水面的出射点离法线的距离为 $x$。

列式求解：由几何关系 $x = h\tan i = h'\tan r$，所以

$$h' = h\,\frac{\tan i}{\tan r}$$

几乎竖直看时 $i$、$r$ 都很小，$\tan i \approx \sin i$，$\tan r \approx \sin r$（关键一步：小角时正切和正弦近似相等，见《高中数学知识点梳理》第 12 章三角函数的图像），又由光路可逆 $\dfrac{\sin r}{\sin i} = n$，得

$$h' \approx h\,\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{h}{n} = \frac{2.0}{4/3}\ \mathrm{m} = 1.5\ \mathrm{m}$$

检验：$h' < h$，看起来变浅，和“水比看上去深”的生活经验一致。

容易卡在：以为像在 $S$ 的正上方以外的地方。竖直看时，竖直那条光线不偏折，像一定在 $S$ 正上方，只是变浅。

常用推论

• 光从空气斜射入介质，折射角小于入射角，光线偏向法线；从介质射入空气，折射角大于入射角，偏离法线。由 $n > 1$ 和 $\sin\theta_{\text{空}} = n\sin\theta_{\text{介}}$ 得出。
• 光垂直射到界面上，方向不变。
• 反射光与折射光垂直时，$\theta_2 = 90^\circ - \theta_1$，代入折射定律得 $\tan\theta_1 = n$（例 1 中 $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$）。这个入射角叫布儒斯特角，此时反射光是偏振光（第 24 章）。
• 视深：近乎竖直看，$h' = \dfrac{h}{n}$（例 4）；反过来从水中看水面上的物体，物体显得更高，高度变为 $n$ 倍。
• 光在介质中走过路程 $s$ 所用时间 $t = \dfrac{ns}{c}$，相当于在真空中走了 $ns$（光程）。

易错点

• 错在哪：把入射角说成光线与界面的夹角。 为什么错：初中画光路时习惯看光线和镜面，而定律里的角都是相对法线定义的。界面是曲面时（半圆砖、球），“和界面的夹角”更说不清。 正确做法：每次先画法线（虚线），角度一律从法线量起。
• 错在哪：光从玻璃射向空气时写 $n = \dfrac{\sin\theta_{\text{入}}}{\sin\theta_{\text{折}}}$，算出 $n < 1$ 或折射角变小。 为什么错：把“入射角放分子”当成规则，其实定律定义的是“真空中的角放分子”。 正确做法：记“大角在空气里”：$\sin\theta_{\text{空}} = n\sin\theta_{\text{介}}$，不管光往哪个方向走。
• 错在哪：认为入射角越大折射率越大。 为什么错：把折射率当成每次实验算出来的结果，忘了它是介质的属性。 正确做法：同一介质、同一种色光，$n$ 是常数；入射角变化只让折射角跟着变。
• 错在哪：认为密度大的介质折射率大。 为什么错：“光密”这个名字让人想到“密度大”。 正确做法：光密、光疏只按折射率比较；酒精密度比水小，折射率比水大。

直观理解

把光想成一排并肩前进的士兵，从水泥地斜着走进沙地：先进沙地的那一端先慢下来，整排队伍就朝沙地一侧“转身”，偏向法线。走得越慢（$v$ 越小、$n$ 越大），转得越多。

一句话记法：大角在空气里，比值是折射率，$n$ 也是光速之比。

关联知识点

• 前置：三角函数的定义和特殊角的值，见《高中数学知识点梳理》第 11–13 章；光路里的角度关系用到平面几何。
• 前置：第 22 章波的折射，机械波的折射也满足 $\dfrac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \dfrac{v_1}{v_2}$，本节推导用的是同一方法。
• 后续：23.3 节色散，折射率还和光的频率有关。
• 后续：23.4 节全反射，光从光密射向光疏时折射角先达到 $90^\circ$。
• 后续：第 24 章光的偏振，反射光和折射光垂直时反射光是偏振光。
• 常一起考：第 41 章“测量玻璃的折射率”，实验原理就是本节的折射定律。

23.3 光的色散

说明

色散：复色光分解为单色光的现象。白光是由红、橙、黄、绿、青、蓝、紫各种色光组成的复色光，让一束白光通过三棱镜，在光屏上会得到一条彩色光带（光谱），从顶角一侧到底边一侧依次是红到紫。

原因：同一种介质对不同颜色（不同频率）的光，折射率不同。在可见光范围内，光的频率越高，折射率越大：

$$n_{\text{红}} < n_{\text{橙}} < n_{\text{黄}} < n_{\text{绿}} < n_{\text{青}} < n_{\text{蓝}} < n_{\text{紫}}$$

普通玻璃对红光的折射率约 $1.51$，对紫光约 $1.53$。差别很小，但足以把白光分开。

由此依次推出（红光到紫光）：

量	红光 → 紫光	依据
频率 $f$	增大	光的颜色由频率决定
折射率 $n$	增大	实验结论
同一入射角下的偏折程度	增大	折射定律，$n$ 大则 $\theta_2$ 小
介质中的光速 $v$	减小	$v = \dfrac{c}{n}$
真空中的波长 $\lambda_0$	减小	$\lambda_0 = \dfrac{c}{f}$
临界角 $C$	减小	$\sin C = \dfrac{1}{n}$（23.4 节）

光从一种介质进入另一种介质：频率由光源决定，不变；速度变为 $v = \dfrac{c}{n}$；波长随之变为

$$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{\lambda_0}{n}$$

光的颜色由频率决定，所以红光进入水中仍是红光，虽然它在水中的波长变短了。

理想模型：把每种色光看成单一频率的单色光；“频率越高折射率越大”指透明介质在可见光范围内的情形（正常色散），高中不讨论例外。

使用场景

• 白光（复色光）射入三棱镜、玻璃砖或水滴，问光屏上各色光的排列、哪种色光偏折大 → 色散，各色光折射率不同 → 紫光折射率最大、偏折最大，靠近棱镜底边；红光偏折最小。
• 两束单色光 $a$、$b$ 经同一界面折射（或经同一棱镜）偏折程度不同，要比较 $n$、$f$、$v$、$\lambda$、临界角 → 偏折大的折射率大 → 照上表一串推下去。
• 光从一种介质进入另一种介质，问频率、速度、波长、颜色怎么变 → 频率不变 → $v = \dfrac{c}{n}$，$\lambda = \dfrac{\lambda_0}{n}$，颜色不变。

注意点

• 进入介质时变的是速度和波长，不变的是频率。判断“变不变”时，先抓住频率不变。
• 比较波长时要说清是真空中的波长还是介质中的波长。同一介质中，紫光的波长比红光短（$\lambda_0$ 小，$n$ 又大，$\dfrac{\lambda_0}{n}$ 更小）。
• 三棱镜色散时，光在两个面上各折射一次，都向底边偏，所以紫光离底边最近；不要把光屏上的顺序记反。
• 真空中各色光速度都是 $c$，没有色散；色散只发生在介质里。
• 平行玻璃砖也有色散，但出射光都和入射光平行，各色光只是平移了不同距离，一般看不出彩色。

推导

实验依据：牛顿 1666 年前后做了棱镜实验（1672 年发表）。

1. 让一束太阳光穿过窗板上的小孔，再通过三棱镜，墙上得到一条由红到紫的彩色光带，而不是一个白色圆斑。
2. 在光带中只让某一种色光通过第二个小孔，再射入第二个三棱镜：这束色光只偏折，不再分出别的颜色，偏折程度和它在第一个棱镜中的一样。

（关键一步：第 2 步说明颜色不是棱镜“加”给光的。如果棱镜能产生颜色，单色光通过第二个棱镜也应该再分出颜色。所以白光本来就由各种色光组成，棱镜只是把折射率不同的色光分开。）

为什么频率越高折射率越大：这和介质中电子对不同频率电磁波的响应有关，要用到大学电磁学的色散理论，高中只要求记住实验结论。

$\lambda = \dfrac{\lambda_0}{n}$ 的推导：在真空中 $c = \lambda_0 f$，在介质中 $v = \lambda f$，频率相同，两式相除：

$$\frac{\lambda}{\lambda_0} = \frac{v}{c} = \frac{1}{n}$$

频率为什么不变：界面两侧的光波在界面上必须“接得上”，界面上每一点每秒振动的次数在两侧相同，所以频率由光源决定，与介质无关（第 22 章机械波进入另一种介质时频率也不变）。

例题

例 1　（场景：白光通过三棱镜）一束白光射入三棱镜，在光屏上形成彩色光带。下列说法正确的是（　）。

A. 光带中最靠近棱镜底边一侧的是红光 B. 红光在玻璃中的传播速度比紫光大 C. 紫光在玻璃中的波长比在空气中长 D. 色散说明三棱镜改变了光的频率

解：B。

判断依据：同一介质对紫光折射率最大、对红光最小；进入介质频率不变。

光路见本节“说明”的图。紫光折射率最大，两次折射都偏折最多，最靠近底边，A 错。$v = \dfrac{c}{n}$，红光折射率小，速度大，B 对。紫光进入玻璃后波长变为 $\dfrac{\lambda_0}{n}$，变短，C 错。光的频率由光源决定，三棱镜只是把不同频率的光按折射率分开，D 错。

例 2　（场景：比较两束单色光）$a$、$b$ 两束单色光以相同的入射角 $60^\circ$ 从空气射到同一块玻璃上，$a$ 的折射角比 $b$ 的大。比较两束光的折射率、频率、在玻璃中的速度、真空中的波长，以及从玻璃射向空气时的临界角。

解：

判断依据：入射角相同时，折射角大的偏折小，折射率小。

由 $n = \dfrac{\sin 60^\circ}{\sin\theta_2}$，$\theta_{2a} > \theta_{2b}$，所以 $n_a < n_b$。依次推出：

• 频率：折射率小的频率低，$f_a < f_b$；
• 玻璃中的速度：$v = \dfrac{c}{n}$，$v_a > v_b$；
• 真空中的波长：$\lambda_0 = \dfrac{c}{f}$，$\lambda_{0a} > \lambda_{0b}$；
• 临界角：$\sin C = \dfrac{1}{n}$，$C_a > C_b$，$b$ 更容易发生全反射。

如果 $b$ 是绿光，$a$ 可能是红光或黄光，不可能是紫光。

容易卡在：把“折射角大”理解成“偏折大”。偏折看的是折射光偏离原来方向多少，折射角大反而偏得少。

例 3　（场景：光进入介质时频率、速度、波长的变化）真空中波长为 $600\ \mathrm{nm}$ 的单色光射入折射率为 $1.5$ 的玻璃。求这种光的频率，以及它在玻璃中的速度和波长；它在玻璃中的颜色变不变？

解：

研究对象：这束单色光。

过程划分：从真空进入玻璃，看前后两个状态。

分析：频率不变，用真空中的数据求；速度由 $n = \dfrac{c}{v}$ 求；波长用 $\lambda = \dfrac{\lambda_0}{n}$。

列式求解：

$$f = \frac{c}{\lambda_0} = \frac{3.0 \times 10^8}{600 \times 10^{-9}}\ \mathrm{Hz} = 5.0 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}$$ $$v = \frac{c}{n} = \frac{3.0 \times 10^8}{1.5}\ \mathrm{m/s} = 2.0 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$$ $$\lambda = \frac{\lambda_0}{n} = \frac{600}{1.5}\ \mathrm{nm} = 400\ \mathrm{nm}$$

颜色由频率决定，频率不变，颜色不变。

检验：用玻璃中的量核对：$\lambda f = 400 \times 10^{-9} \times 5.0 \times 10^{14}\ \mathrm{m/s} = 2.0 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$，等于 $v$，对。

容易卡在：看到玻璃中波长是 $400\ \mathrm{nm}$，就以为光变成了紫光。真空中 $400\ \mathrm{nm}$ 的光才是紫光，判断颜色要看频率。

常用推论

• 红 → 紫：$f$、$n$、偏折程度增大，$v$、$\lambda$（真空中和同一介质中）、临界角 $C$ 减小。由 $n$ 随频率增大，再用 $v = \dfrac{c}{n}$、$\lambda_0 = \dfrac{c}{f}$、$\sin C = \dfrac{1}{n}$ 推出。
• 光从一种介质进入另一种介质：$f$ 不变，$\lambda \propto v \propto \dfrac{1}{n}$。由 $v = \lambda f$ 得出。
• 和后面章节连起来：频率高的光（偏紫），双缝干涉条纹间距小（第 24 章），光子能量 $h\nu$ 大、更容易发生光电效应（第 35 章）。选择题常把这三处放在一题里比较。
• 彩虹是太阳光在水滴里折射、反射、再折射时的色散，主虹外侧红、内侧紫。

易错点

• 错在哪：认为光进入水中颜色变了，或者认为频率随介质变化。 为什么错：把“波长变了”当成“颜色变了”，忘了颜色由频率决定，频率由光源决定。 正确做法：跨介质时频率不变，变的是 $v$ 和 $\lambda$。
• 错在哪：认为紫光在玻璃中速度最大，或者“折射率大的光跑得快”。 为什么错：把“偏折得厉害”想成“冲得更猛”。 正确做法：$v = \dfrac{c}{n}$，折射率越大，速度越小，紫光最慢。
• 错在哪：认为折射角大的光折射率大。 为什么错：入射角相同时，折射角大说明光线离法线远、偏折少。 正确做法：同一入射角下比较，折射角越小（越靠近法线），折射率越大（例 2）。

直观理解

还是那排士兵：紫光的士兵在沙地里陷得最深（$n$ 最大、$v$ 最小），转弯最急；红光陷得最浅，转弯最缓。一束白光是各种颜色的士兵混编的队伍，一进沙地就各转各的，队伍散开成彩带。

一句话记法：紫光“最折”——折射率最大、偏折最大、最慢、临界角最小。

关联知识点

• 前置：23.2 节折射定律和 $n = \dfrac{c}{v}$。
• 前置：第 22 章 $v = \lambda f$，波进入另一种介质时频率不变。
• 后续：23.4 节全反射，各色光的临界角不同。
• 后续：第 24 章光的干涉，不同色光条纹间距不同；薄膜干涉的彩色条纹。
• 后续：第 35 章光电效应，频率决定光子能量。
• 常一起考：第 30 章电磁波谱，可见光在电磁波谱中的位置。

23.4 全反射与光导纤维

说明

光从光密介质射向光疏介质（如从玻璃、水射向空气）时，折射角大于入射角。入射角增大，折射角增大得更快，折射光越来越弱、反射光越来越强。当折射角增大到 $90^\circ$ 时，折射光沿界面掠过、强度趋于零；入射角再增大，折射光完全消失，只剩反射光，这种现象叫全反射。

临界角：折射角恰好等于 $90^\circ$ 时的入射角，记作 $C$。光从折射率为 $n$ 的介质射向真空（空气）时：

$$\sin C = \frac{1}{n}$$

发生全反射的条件（两条都要满足）：

1. 光从光密介质射向光疏介质；
2. 入射角大于或等于临界角。

几个常用值：水（$n = \dfrac{4}{3}$）$C \approx 49^\circ$，玻璃（$n = 1.5$）$C \approx 42^\circ$，金刚石（$n \approx 2.42$）$C \approx 24^\circ$。临界角越小越容易发生全反射，金刚石切割后光在内部多次全反射，所以显得格外闪亮。

全反射的应用：

• 全反射棱镜：横截面是等腰直角三角形的玻璃棱镜，光在斜边上入射角 $45^\circ$，大于玻璃的临界角，发生全反射，可以让光转 $90^\circ$ 或 $180^\circ$。全反射几乎没有能量损失，比镀银的平面镜反射得更彻底。
• 光导纤维（光纤）：很细的玻璃丝，由内芯和外套两层组成，内芯的折射率比外套大。光从一端射入，在内芯和外套的界面上不断全反射，沿弯曲的光纤传到另一端。用于光纤通信（容量大、损耗小、抗电磁干扰）和医用内窥镜。
• 水中的气泡、玻璃中的裂缝看起来特别亮，也是光从水（玻璃）射向空气时发生了全反射。

理想模型：界面光滑；把空气当真空；不计介质对光的吸收。

使用场景

• 光从水、玻璃射向空气（或其他光疏介质），问光能不能射出、射出后走向 → 可能全反射 → 先算 $\sin C = \dfrac{1}{n}$，入射角 $\ge C$ 就只有反射光，否则用折射定律。
• 水下点光源，问水面上有光射出的区域（透光圆的半径、面积）→ 射到水面的光入射角从 $0$ 增大，到 $C$ 为止 → 透光区是半径 $r = h\tan C$ 的圆。
• 要让光改变方向 $90^\circ$ 或 $180^\circ$（潜望镜、自行车尾灯、望远镜中的棱镜）→ 全反射棱镜 → 光在斜边上的入射角 $45^\circ$ 要不小于 $C$，即 $n \ge \sqrt{2}$。
• 光纤、细长玻璃棒导光，问光能否沿光纤传出去、传播时间 → 光在端面折射、在侧面全反射 → 端面用折射定律，侧面入射角 $= 90^\circ -$ 端面折射角，和 $C$ 比较；传播时间看路程和 $v = \dfrac{c}{n}$。

注意点

• 光从光疏介质射向光密介质（从空气射入水、玻璃）不会发生全反射，入射角再大也有折射光。
• $\sin C = \dfrac{1}{n}$ 只适用于光从介质射向真空（空气）。光从折射率 $n_1$ 的介质射向折射率 $n_2$ 的介质（$n_1 > n_2$）时，$\sin C = \dfrac{n_2}{n_1}$，光纤内芯和外套之间就是这种情形。
• 入射角恰好等于 $C$ 时，题目一般就按“恰好发生全反射”处理。
• 光路题中光从介质射向空气的每一个界面，都要先判断会不会全反射，再决定用反射定律还是折射定律。
• 全反射时反射光遵守反射定律：反射角等于入射角。
• 临界角和颜色有关：紫光临界角最小，入射角逐渐增大时，紫光最先发生全反射（23.3 节）。

推导

$\sin C = \dfrac{1}{n}$：光从介质射向空气，由光路可逆，$\sin\theta_{\text{空}} = n\sin\theta_{\text{介}}$。临界状态下空气中的折射角 $\theta_{\text{空}} = 90^\circ$，介质中的入射角 $\theta_{\text{介}} = C$：

$$\sin 90^\circ = n\sin C\ \Rightarrow\ \sin C = \frac{1}{n}$$

（关键一步：入射角再大，$\sin\theta_{\text{空}} = n\sin\theta_{\text{介}} > 1$，不存在这样的折射角，所以没有折射光。全反射就是折射定律“无解”的情形，不是另一条新规律。）

为什么光从空气射入介质不会全反射：此时 $\sin\theta_{\text{介}} = \dfrac{\sin\theta_{\text{空}}}{n} < \dfrac{1}{n} < 1$，总有解。

能量去哪儿了：入射角接近 $C$ 时折射光越来越弱，反射光越来越强；达到 $C$ 后，入射光的能量全部反射。折射光、反射光强度随入射角变化的定量关系（菲涅耳公式）是大学光学的内容，高中只要求定性知道。

光纤为什么用两层：只用一根裸玻璃丝，表面沾上油污、灰尘或和别的光纤接触，接触处折射率变了，全反射条件被破坏，光就漏出去。外面包一层折射率较小的外套，全反射发生在内芯和外套之间，不受外界影响。1966 年高锟提出用高纯度玻璃纤维做通信传输介质的理论，因此获 2009 年诺贝尔物理学奖。

例题

例 1　（场景：判断能否射出）某玻璃的折射率为 $\sqrt{2}$。求它的临界角；光从这种玻璃射向空气，入射角分别为 $30^\circ$ 和 $60^\circ$ 时，光线各怎样传播？若光从空气以 $60^\circ$ 入射角射向这种玻璃呢？

解：

研究对象：射到玻璃与空气界面上的光。

过程划分：每种情况只看一次在界面上的反射和折射。

分析：光从玻璃射向空气是光密到光疏，可能全反射，先求临界角；光从空气射向玻璃不会全反射。光路见本节“说明”的图。

列式求解：

$$\sin C = \frac{1}{n} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2},\quad C = 45^\circ$$

入射角 $30^\circ < 45^\circ$：有折射光，$\sin\theta_{\text{空}} = \sqrt{2}\sin 30^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，折射角 $45^\circ$；同时有较弱的反射光。

入射角 $60^\circ > 45^\circ$：发生全反射，没有折射光，反射角 $60^\circ$。

光从空气以 $60^\circ$ 射入玻璃：不会全反射，$\sin\theta_2 = \dfrac{\sin 60^\circ}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{6}}{4} \approx 0.61$，折射角约 $38^\circ$。

检验：从玻璃射出时折射角 $45^\circ$ 大于入射角 $30^\circ$，偏离法线，对。

容易卡在：光从空气射入玻璃也去比较临界角。全反射的第一个条件就排除了这种情况。

例 2　（场景：水下点光源的透光区）游泳池中深 $h = 2.0\ \mathrm{m}$ 处有一个点光源 $S$，水的折射率取 $\dfrac{4}{3}$。求水面上有光射出的区域的面积（$\pi$ 取 $3.14$）。

解：

研究对象：$S$ 射向水面的光。

过程划分：只看光在水面上的一次折射或全反射。

分析：射到水面上离 $S$ 正上方越远的点，入射角越大。入射角等于 $C$ 的那一圈是边界，圈内能射出，圈外全反射。所以透光区是以 $S$ 正上方为圆心的圆，半径 $r$ 满足 $\tan C = \dfrac{r}{h}$。

列式求解：$\sin C = \dfrac{1}{n} = \dfrac{3}{4}$，$\cos C = \sqrt{1 - \dfrac{9}{16}} = \dfrac{\sqrt{7}}{4}$，$\tan C = \dfrac{3}{\sqrt{7}}$。

$$r = h\tan C = \frac{3 \times 2.0}{\sqrt{7}}\ \mathrm{m} \approx 2.3\ \mathrm{m}$$ $$S = \pi r^2 = \pi \times \frac{36}{7}\ \mathrm{m^2} \approx 16\ \mathrm{m^2}$$

检验：$r$ 和 $h$ 是同一量级，$C$ 接近 $49^\circ$，$\tan C$ 略大于 $1$，$r$ 略大于 $h$，合理。

另一种解法：不求 $\tan C$，直接在直角三角形里写正弦：$\sin C = \dfrac{r}{\sqrt{r^2 + h^2}} = \dfrac{3}{4}$，平方得 $16r^2 = 9r^2 + 9h^2$，$r^2 = \dfrac{9h^2}{7} = \dfrac{36}{7}\ \mathrm{m^2}$，面积 $\pi r^2$ 直接出来，连开方都省了。题目问面积时用这种写法更快；问半径或要画图时，先求 $\tan C$ 更直观。

例 3　（场景：全反射棱镜）横截面为等腰直角三角形 $ABC$ 的玻璃棱镜，$\angle B = 90^\circ$，折射率 $n = 1.5$。一束光垂直于 $BC$ 面射入。（1）画出光路，判断光在斜边 $AC$ 上能否发生全反射；（2）若换成折射率 $1.3$ 的材料，结果怎样？

解：

研究对象：射入棱镜的光。

过程划分：三段：从 $BC$ 面射入；射到斜边 $AC$；从 $AB$ 面射出。

分析：光垂直射入 $BC$ 面，方向不变。到 $AC$ 面时，光线竖直、$AC$ 与水平面成 $45^\circ$，法线与竖直方向也成 $45^\circ$，入射角为 $45^\circ$。光从玻璃射向空气，要比较 $45^\circ$ 和临界角。

列式求解：（1）$\sin C = \dfrac{1}{1.5} = \dfrac{2}{3} \approx 0.67$，而 $\sin 45^\circ \approx 0.71 > 0.67$，所以 $45^\circ > C$，在 $AC$ 面上发生全反射。反射角 $45^\circ$，反射光水平射向 $AB$ 面，垂直射出，光的方向改变了 $90^\circ$。

（2）$n = 1.3$ 时 $\sin C = \dfrac{1}{1.3} \approx 0.77 > 0.71$，$C > 45^\circ$，不能发生全反射，大部分光从 $AC$ 面折射出去。

检验：要在 $45^\circ$ 时全反射，需要 $\sin C \le \sin 45^\circ$，即 $n \ge \sqrt{2} \approx 1.41$。$1.5$ 满足，$1.3$ 不满足，结论一致。

例 4　（场景：光导纤维）一根长 $L = 3.0\ \mathrm{km}$ 的光纤，可看成置于空气中、折射率 $n = 1.5$ 的细直玻璃丝（不计外套）。（1）证明：从端面中心以任意入射角射入的光，都能在侧面发生全反射；（2）求光从一端传到另一端所用时间的范围。

解：

研究对象：从端面射入光纤的光。

过程划分：两段：在端面上折射；在侧面上反复反射，沿光纤前进。

分析：端面的法线沿光纤轴线，侧面的法线垂直于轴线，两条法线互相垂直，所以侧面上的入射角 $i = 90^\circ - r$（关键一步：两条法线垂直，$r$ 和 $i$ 是一个直角三角形的两个锐角）。$\theta$ 越大，$r$ 越大，$i$ 越小，最容易漏光的是 $\theta$ 接近 $90^\circ$ 的光。

列式求解：（1）$\theta$ 最大接近 $90^\circ$，此时 $\sin r = \dfrac{\sin 90^\circ}{n} = \dfrac{2}{3}$，$r$ 最大，就等于临界角 $C$（$\sin C = \dfrac{2}{3}$，$C \approx 42^\circ$）。所以侧面入射角最小为 $i = 90^\circ - C \approx 48^\circ > C$，任意角度射入的光都能在侧面全反射。

（2）光在光纤中的速度 $v = \dfrac{c}{n} = 2.0 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$。沿轴线射入（$\theta = 0$）的光路程最短，为 $L$：

$$t_{\min} = \frac{L}{v} = \frac{3.0 \times 10^3}{2.0 \times 10^8}\ \mathrm{s} = 1.5 \times 10^{-5}\ \mathrm{s}$$

折射角为 $r$ 的光走折线，每前进轴向距离 $\Delta x$，实际路程是 $\dfrac{\Delta x}{\cos r}$，总路程 $\dfrac{L}{\cos r}$。$r$ 最大为 $C$ 时路程最长，$\cos C = \sqrt{1 - \dfrac{4}{9}} = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$：

$$t_{\max} = \frac{L}{v\cos C} = \frac{3.0 \times 10^3}{2.0 \times 10^8 \times \sqrt{5}/3}\ \mathrm{s} \approx 2.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{s}$$

所用时间在 $1.5 \times 10^{-5}\ \mathrm{s}$ 到约 $2.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{s}$ 之间（$\theta$ 只能接近 $90^\circ$，上限取不到）。

检验：时间都是 $10^{-5}\ \mathrm{s}$ 量级，几千米的光纤里光比真空中慢一些，合理。最长和最短相差三成多，说明同时射入的光会先后到达，这就是实际光纤要把内芯做得很细的原因之一。

另一种解法：把光速分解到沿光纤轴线方向，$v_{\text{轴}} = v\cos r$，轴向距离始终是 $L$，所以 $t = \dfrac{L}{v\cos r}$，不用逐段算折线。这和第 8 章“运动的合成与分解”是同一思路；多次反射的路程题用分速度最省事，只反射一两次、要画出具体位置时才逐段算。

容易卡在：把侧面的入射角当成 $r$。端面和侧面的法线不同，角度要换算。

常用推论

• $\sin C = \dfrac{1}{n}$；$n$ 越大，$C$ 越小，越容易全反射。
• 等腰直角全反射棱镜要求 $n \ge \sqrt{2}$（例 3）。
• 水下深 $h$ 的点光源，透光圆半径 $r = h\tan C = \dfrac{h}{\sqrt{n^2 - 1}}$（由 $\sin C = \dfrac{1}{n}$ 得 $\tan C = \dfrac{1}{\sqrt{n^2 - 1}}$，例 2）。
• 置于空气中的光纤（不计外套），从端面射入的光能在侧面全反射的最大入射角满足 $\sin\theta_{\max} = \sqrt{n^2 - 1}$；当 $n \ge \sqrt{2}$ 时，任意角度射入的光都能全反射。推导：侧面恰好全反射时 $\cos r = \sin C = \dfrac{1}{n}$，$\sin r = \dfrac{\sqrt{n^2 - 1}}{n}$，$\sin\theta = n\sin r = \sqrt{n^2 - 1}$。
• 长 $L$ 的光纤中，以折射角 $r$ 传播的光用时 $t = \dfrac{nL}{c\cos r}$；侧面恰好全反射（$\cos r = \dfrac{1}{n}$）时为 $\dfrac{n^2 L}{c}$。
• 光从空气射入平行玻璃砖，在下表面不会发生全反射：下表面入射角等于上表面折射角 $\theta_2$，$\sin\theta_2 = \dfrac{\sin\theta_1}{n} < \dfrac{1}{n} = \sin C$。

易错点

• 错在哪：光从空气射入水中，入射角很大，就说发生全反射。 为什么错：只记住了“入射角大于临界角”，漏了“光密射向光疏”。 正确做法：两个条件依次查：先看光往哪儿走，再比角度。
• 错在哪：光从玻璃射向空气，直接用折射定律求折射角，算出 $\sin\theta > 1$ 还不知道哪里错了。 为什么错：没有先判断全反射。$\sin\theta > 1$ 正是“没有折射光”的信号。 正确做法：凡光从介质射向空气，先算 $C$ 和入射角比较。
• 错在哪：认为全反射时折射光“很弱”，而不是没有。 为什么错：把入射角接近 $C$ 时的情形和入射角大于 $C$ 时的情形混了。 正确做法：$i < C$ 时折射光随 $i$ 增大逐渐变弱；$i \ge C$ 时折射光消失，全部反射。
• 错在哪：光纤里把内芯的折射率说成比外套小。 为什么错：全反射需要从光密射向光疏，光要留在内芯，内芯就得是光密的一侧。 正确做法：内芯折射率大，外套折射率小。

直观理解

想象折射角是个上限为 $90^\circ$ 的指针：光从玻璃射向空气时，折射角总比入射角转得快，入射角才到 $C$，折射角已经顶到 $90^\circ$ 贴着界面了；入射角再大，折射光“没有地方可去”，只能全部弹回来。

一句话记法：密到疏、角够大，光就出不去；$\sin C = \dfrac{1}{n}$。

关联知识点

• 前置：23.2 节折射定律和光路可逆；23.3 节各色光临界角不同。
• 前置：三角函数的同角关系（由 $\sin C$ 求 $\cos C$、$\tan C$），见《高中数学知识点梳理》第 11 章。
• 后续：23.5 节光路问题，每到一个出射面都要判断全反射。
• 后续：第 30 章电磁波的应用，光纤通信传输的是光波这种电磁波。
• 常一起考：第 41 章“测量玻璃的折射率”，有的题让学生用半圆形玻璃砖找临界角来测折射率。

23.5 光路问题

说明

光路问题是把 23.2 到 23.4 节的规律放到具体的透明器件里：光进一个面、出一个面，中间在器件里沿直线走。规律只有两条（折射定律、全反射条件），难点是作图和几何。

解光路题的四步：

1. 找入射点，画法线。平面的法线垂直于界面；圆弧面（半圆形、圆形玻璃砖，球）的法线沿半径，过圆心。
2. 判断方向：光从空气射入，直接用折射定律；光从介质射向空气，先比较入射角和 $C$，判断是否全反射。
3. 用折射定律或反射定律求出新的角。
4. 用几何关系把角度和长度传到下一个面：三角形内角和、平行线的同位角和内错角、直角三角形的边角关系、圆的半径相等（等腰三角形）。

三种典型器件：

器件	特点	结论
平行玻璃砖	上下表面平行	出射光与入射光平行，只有侧移
三棱镜	两个折射面不平行	出射光向底边偏折
半圆形（圆形）玻璃砖	一面是圆弧	沿半径射向圆心或从圆心射出的光，在圆弧面上不偏折

理想模型：光线模型；器件表面光滑；不计在界面上的多次反射（除非题目要求）。

使用场景

• 光斜射过平行玻璃砖，问出射方向、侧移、在砖中的时间 → 两次折射，上表面的折射角等于下表面的入射角 → 出射光与入射光平行，侧移 $\Delta x = \dfrac{d\sin(\theta_1 - \theta_2)}{\cos\theta_2}$。
• 光穿过三棱镜（直角棱镜、等边棱镜），问出射方向、偏折角或求折射率 → 每个面单独画法线 → 第一个面的折射角和第二个面的入射角由顶角联系起来，第二个面先判全反射。
• 光射入半圆形玻璃砖，问弧面上哪里有光射出 → 圆弧面的法线沿半径 → 入射角由光线到圆心的距离决定：$\sin i = \dfrac{x}{R}$，再和 $C$ 比较。
• 题目给出入射点、出射点的位置（长度）而不给折射角，要求折射率 → 光在介质中沿直线走 → 由几何长度求出折射角的正弦，再用折射定律。

注意点

• 圆弧面上的法线是过入射点的半径，不是过入射点的竖直线或水平线。
• 三棱镜第二个面上的入射角不等于第一个面上的折射角（除非两面平行），要用顶角换算。
• 光每到一个从介质射向空气的面，都要判断全反射，即使上一面刚刚折射进来。
• 求时间用介质中的路程和介质中的光速 $v = \dfrac{c}{n}$。
• 作图题要求画出法线（虚线）、标箭头，全反射处要画出反射光，不画折射光。
• 题目给的常见角度一般是 $30^\circ$、$37^\circ$、$45^\circ$、$53^\circ$、$60^\circ$，算出 $\sin$ 值后先对照特殊角，不必查表。

推导

平行玻璃砖出射光与入射光平行：设上表面入射角 $\theta_1$、折射角 $\theta_2$。上下表面平行，两条法线平行，光在砖内的直线和两条法线所成的角相等（内错角），所以下表面的入射角也是 $\theta_2$。由光路可逆，出射角 $\theta_3$ 满足 $\sin\theta_3 = n\sin\theta_2 = \sin\theta_1$，得 $\theta_3 = \theta_1$，出射光平行于入射光。

侧移公式：光在砖内走的路程 $OB = \dfrac{d}{\cos\theta_2}$。入射光的延长线和砖内光线 $OB$ 的夹角是 $\theta_1 - \theta_2$，从 $B$ 向延长线作垂线，垂线段就是侧移：

$$\Delta x = OB\sin(\theta_1 - \theta_2) = \frac{d\sin(\theta_1 - \theta_2)}{\cos\theta_2}$$

（关键一步：出射光与入射光平行，所以两线间的距离处处相等，从 $B$ 点作垂线量出的就是它。）

三棱镜向底边偏折：光在两个面上都从法线一侧偏向另一侧，两次偏折的方向都朝着底边（较厚的一侧）。对顶角为 $A$ 的棱镜，第一面的折射角 $r_1$ 和第二面的入射角 $i_2$ 满足 $r_1 + i_2 = A$：两条法线和两个面围成四边形，法线与面垂直，两法线的夹角等于 $180^\circ - A$，再在两法线和棱镜内光线组成的三角形里用内角和即得。

沿半径的光不偏折：圆弧面的法线就是半径，沿半径射入的光入射角为 $0$，不改变方向。所以让光射到半圆形玻璃砖平面的圆心上，出射光沿半径从弧面射出时不再偏折，测出的就是平面上的折射角，这是测折射率实验常用半圆砖的原因（第 41 章）。

例题

例 1　（场景：平行玻璃砖的侧移）一束光以 $60^\circ$ 的入射角射到厚 $d = 3.0\ \mathrm{cm}$ 的平行玻璃砖上表面 $O$ 点，玻璃的折射率 $n = \sqrt{3}$。求：（1）出射光的方向；（2）出射光相对入射光的侧移；（3）光在玻璃砖中传播的时间。

解：

研究对象：这束光。

过程划分：三段：在上表面 $O$ 折射；在砖内沿直线从 $O$ 到 $B$；在下表面 $B$ 折射射出。

分析：上表面：$\sin\theta_2 = \dfrac{\sin 60^\circ}{\sqrt{3}} = \dfrac{1}{2}$，$\theta_2 = 30^\circ$。下表面入射角也是 $30^\circ$，由 23.4 节推论，不会全反射。

列式求解：（1）由光路可逆，出射角 $60^\circ$，出射光与入射光平行。

（2）砖内路程 $OB = \dfrac{d}{\cos 30^\circ} = \dfrac{3.0}{\sqrt{3}/2}\ \mathrm{cm} = 2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。

$$\Delta x = OB\sin(60^\circ - 30^\circ) = 2\sqrt{3} \times \frac{1}{2}\ \mathrm{cm} = \sqrt{3}\ \mathrm{cm} \approx 1.7\ \mathrm{cm}$$

（3）$v = \dfrac{c}{n} = \sqrt{3} \times 10^8\ \mathrm{m/s}$：

$$t = \frac{OB}{v} = \frac{2\sqrt{3} \times 10^{-2}}{\sqrt{3} \times 10^8}\ \mathrm{s} = 2.0 \times 10^{-10}\ \mathrm{s}$$

检验：侧移 $1.7\ \mathrm{cm}$ 小于砖厚 $3.0\ \mathrm{cm}$，合理；入射角为 $0$ 时侧移应为 $0$，代入公式 $\sin 0 = 0$，对。

另一种解法：用水平距离算。入射光延长线到达下表面时，水平前进了 $d\tan 60^\circ = 3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$；实际光线到 $B$ 只前进了 $d\tan 30^\circ = \sqrt{3}\ \mathrm{cm}$；两者在下表面上相差 $2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。这段水平距离与两条平行光线的垂直距离之间夹着 $60^\circ$ 角（等于入射角），所以 $\Delta x = 2\sqrt{3} \times \cos 60^\circ\ \mathrm{cm} = \sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。题目只给角度和厚度时，用水平距离差加一次投影，不用记侧移公式；需要砖内路程（求时间）时，先求 $OB$ 更顺手。

例 2　（场景：三棱镜）横截面为直角三角形 $ABC$ 的三棱镜，$\angle B = 90^\circ$，顶角 $\angle A = 30^\circ$。一束光垂直 $AB$ 面射入，从 $AC$ 面射出，出射光相对入射光向底边 $BC$ 偏转了 $30^\circ$。求棱镜的折射率；判断光在 $AC$ 面上会不会发生全反射，并求光在棱镜中的速度。

解：

研究对象：穿过棱镜的光。

过程划分：两段：垂直穿过 $AB$ 面；在 $AC$ 面 $P$ 点折射射出。

分析：光垂直 $AB$ 射入，方向不变，在棱镜中垂直于 $AB$。$AC$ 面的法线垂直于 $AC$，光线垂直于 $AB$，两条直线的夹角等于 $AB$、$AC$ 的夹角，即入射角 $i = \angle A = 30^\circ$（关键一步：两条直线分别垂直于两个面，它们的夹角等于两个面的夹角）。出射光偏转 $30^\circ$，出射角 $r = i + \delta = 60^\circ$。

列式求解：光从玻璃射出，由光路可逆：

$$n = \frac{\sin 60^\circ}{\sin 30^\circ} = \sqrt{3} \approx 1.73$$

临界角：$\sin C = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.58$，而 $\sin 30^\circ = 0.5 < 0.58$，入射角小于临界角，不会全反射（光确实射出了，自洽）。

$$v = \frac{c}{n} = \frac{3.0 \times 10^8}{\sqrt{3}}\ \mathrm{m/s} \approx 1.7 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$$

检验：出射光偏向底边 $BC$，符合“三棱镜向底边偏折”。

容易卡在：把偏转角 $30^\circ$ 当成出射角。偏转角是出射光和原方向的夹角，出射角是出射光和法线的夹角。

例 3　（场景：半圆形玻璃砖）半圆形玻璃砖的半径 $R = 10\ \mathrm{cm}$，折射率 $n = \sqrt{2}$。一束平行光垂直射到它的平面（直径所在的面）上，光束覆盖整个平面。求圆弧面上有光射出的部分对应的圆心角和弧长，以及平面上入射光中能从弧面射出的那部分的宽度（$\pi$ 取 $3.14$）。

解：

研究对象：从平面射入、射到弧面上的各条光线。

过程划分：两段：垂直穿过平面，不偏折；射到弧面上折射或全反射。

分析：弧面上的法线是过入射点的半径。一条离圆心距离为 $x$ 的光线竖直向上射到弧面，它和半径的夹角 $i$ 满足 $\sin i = \dfrac{x}{R}$。$x$ 越大入射角越大，$\sin i \ge \dfrac{1}{n}$ 的光全反射，射不出。

列式求解：$\sin C = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$，$C = 45^\circ$。恰好全反射的光线满足 $\dfrac{x}{R} = \sin 45^\circ$：

$$x = R\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \times 10\ \mathrm{cm} \approx 7.1\ \mathrm{cm}$$

左右对称，能射出的光在平面上的宽度 $2x = 10\sqrt{2}\ \mathrm{cm} \approx 14\ \mathrm{cm}$。

边界点 $M$ 处的半径与竖直方向成 $45^\circ$，$N$ 处同理，$M$、$N$ 之间的圆心角是 $2 \times 45^\circ = 90^\circ$，弧长

$$s = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times 2\pi R = \frac{\pi R}{2} \approx 15.7\ \mathrm{cm}$$

检验：$x = 0$ 的光沿半径射到弧面，不偏折，从顶点竖直射出；离圆心越远越容易全反射，符合图像。宽度 $14\ \mathrm{cm}$ 小于直径 $20\ \mathrm{cm}$，合理。

另一种解法：利用对称性，只看右半边。边界光线在弧面的入射角就是半径 $OM$ 与竖直方向的夹角（同位角），所以直接得 $\angle MO(\text{竖直}) = C = 45^\circ$，圆心角 $2C = 90^\circ$，宽度 $2R\sin C$。凡“平行光垂直射入半圆砖”的题，结论都是：出射弧对应圆心角 $2C$，入射宽度 $2R\sin C = \dfrac{2R}{n}$，记住这一组可以直接写。

容易卡在：把弧面上的法线画成竖直线，以为所有光都垂直射出。

例 4　（场景：由几何长度求折射率）一束光以 $53^\circ$ 的入射角射到厚 $4.0\ \mathrm{cm}$ 的平行玻璃砖上表面 $O$ 点，从下表面的 $B$ 点射出。$O'$ 是 $O$ 正下方在下表面上的点，测得 $O'B = 3.0\ \mathrm{cm}$。求玻璃的折射率和光在砖中的传播时间（$\sin 53^\circ = 0.8$）。

解：

研究对象：这束光。

过程划分：在 $O$ 点折射，在砖内从 $O$ 到 $B$ 走直线。

分析：折射角 $\theta_2$ 是 $OB$ 与法线 $OO'$ 的夹角，在直角三角形 $OO'B$ 中求。

列式求解：$OB = \sqrt{4.0^2 + 3.0^2}\ \mathrm{cm} = 5.0\ \mathrm{cm}$，$\sin\theta_2 = \dfrac{O'B}{OB} = \dfrac{3.0}{5.0} = 0.6$：

$$n = \frac{\sin 53^\circ}{\sin\theta_2} = \frac{0.8}{0.6} = \frac{4}{3} \approx 1.33$$ $$t = \frac{OB}{v} = \frac{n \cdot OB}{c} = \frac{(4/3) \times 5.0 \times 10^{-2}}{3.0 \times 10^8}\ \mathrm{s} \approx 2.2 \times 10^{-10}\ \mathrm{s}$$

检验：$\theta_2 = 37^\circ < 53^\circ$，进入光密介质偏向法线，对。$n \approx 1.33$，比普通玻璃小，说明这是一种折射率较低的材料，数值在合理范围内。

这正是第 41 章“测量玻璃的折射率”的思路：插针确定入射光和砖内光线，量出长度，用正弦的比求 $n$。

常用推论

• 平行玻璃砖：出射光与入射光平行；侧移 $\Delta x = \dfrac{d\sin(\theta_1 - \theta_2)}{\cos\theta_2}$，砖越厚、入射角越大、折射率越大，侧移越大（本节推导）。
• 三棱镜：出射光向底边偏折；顶角 $A$、第一面折射角 $r_1$、第二面入射角 $i_2$ 满足 $r_1 + i_2 = A$（本节推导）。光垂直射入一个面时，另一个面上的入射角就等于顶角（例 2）。
• 半圆形玻璃砖：沿半径射向圆心或从圆心沿半径射出的光，在弧面上不偏折；平行光垂直射入平面，弧面上有光射出的部分对应圆心角 $2C$（例 3）。
• 由几何长度求折射率：光在介质中走的直线是直角三角形的斜边，折射角的正弦 = 对边 ÷ 斜边（例 4）。
• 光在介质中走路程 $s$ 的时间 $t = \dfrac{ns}{c}$。

易错点

• 错在哪：圆弧面上的法线画成竖直线或水平线。 为什么错：习惯了平面界面的法线方向，忘了曲面每一点的法线不同。 正确做法：圆弧面的法线一律连圆心，是过入射点的半径。
• 错在哪：三棱镜第二面上直接用第一面的折射角当入射角。 为什么错：把三棱镜当成平行玻璃砖，两条法线不平行，角度不会原样传过去。 正确做法：用 $r_1 + i_2 = A$，或者在法线和光线组成的三角形里用内角和。
• 错在哪：光从棱镜内射向空气的面，直接用折射定律，没检查全反射。 为什么错：前面的面都在折射，惯性地以为下一个面也折射。 正确做法：每个“介质 → 空气”的面都先比 $i$ 和 $C$。
• 错在哪：把偏折角（出射光与入射光方向的夹角）和折射角、出射角混为一谈。 为什么错：三个角都和“拐弯”有关，题目用词又相近。 正确做法：画图时把三个角分别标出：入射角、折射角从法线量起，偏折角从原方向量起。

直观理解

光路题就是“一面一面地过关”：每到一个面，问三句——法线在哪？光从哪儿到哪儿（要不要判全反射）？角度怎么传到下一个面？三句问完，再复杂的器件也只是几道简单的折射题串起来。

平行砖“错一步不拐弯”，三棱镜“拐向厚的一边”，半圆砖“沿半径不拐”。

关联知识点

• 前置：23.2 节折射定律、23.4 节全反射条件。
• 前置：平面几何的平行线、三角形内角和；直角三角形边角关系和特殊角，见《高中数学知识点梳理》第 11–13 章；两角差的正弦（侧移公式）见第 13 章。
• 后续：第 24 章薄膜干涉，光在薄膜上下表面的反射。
• 常一起考：第 41 章“测量玻璃的折射率”，插针法用的就是平行玻璃砖光路和例 4 的几何方法。
• 常一起考：第 8 章运动的合成与分解，例 4 的光纤传播时间可以用分速度算。

23.6 知识点之间的关系

本章四个知识点是一条链：折射定律（23.2）回答“拐多少”；色散（23.3）说明折射率随颜色变，于是各色光拐得不同；全反射（23.4）是折射定律在“光密射向光疏、入射角太大”时无解的情形；光路问题（23.5）把这三条放进具体器件，一面一面地用。做题时先看光从哪种介质射向哪种，按下图选规律。

23.7 自测

1. 光从空气以 $45^\circ$ 入射角射入某介质，折射角为 $30^\circ$。求该介质的折射率和光在其中的速度。
2. 真空中波长 $500\ \mathrm{nm}$ 的光射入折射率为 $1.25$ 的介质，求它的频率和在介质中的波长。
3. 红光和紫光以相同入射角从空气射入同一块玻璃，折射角较大的是哪种光？在玻璃中速度较大的是哪种光？
4. 某材料的折射率为 $2$，求它的临界角。
5. 水的折射率取 $\dfrac{4}{3}$，光从水中以 $60^\circ$ 入射角射向水面，能否射入空气？
6. 光以 $60^\circ$ 入射角射到厚 $6.0\ \mathrm{cm}$、折射率 $\sqrt{3}$ 的平行玻璃砖上，求出射光的侧移。
7. 顶角 $30^\circ$ 的直角三棱镜（同 23.5 节例 2 的形状），折射率为 $\sqrt{2}$，光垂直 $AB$ 面射入。求光从 $AC$ 面射出时的出射角和偏转角。
8. 折射率为 $2$ 的半圆形玻璃砖，半径为 $R$，平行光垂直射到它的整个平面上，平面上能从弧面射出的光的宽度是多少？

答案：1. $\sqrt{2} \approx 1.41$，约 $2.1 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$；2. $6.0 \times 10^{14}\ \mathrm{Hz}$，$400\ \mathrm{nm}$；3. 都是红光；4. $30^\circ$；5. 不能，$\sin 60^\circ \approx 0.87 > \dfrac{3}{4}$，发生全反射；6. $2\sqrt{3}\ \mathrm{cm} \approx 3.5\ \mathrm{cm}$；7. 出射角 $45^\circ$，偏转角 $15^\circ$（偏向底边）；8. $R$。

23.8 深入阅读

• PhET · 光的折射：改变入射角和两种介质的折射率，读出折射角，看临界角和全反射怎样出现，还能用棱镜看白光色散。
• 维基百科 · 全内反射：全反射的条件、临界角公式和光纤、全反射棱镜等应用，配有示意图。
• 维基百科 · 光纤：光纤的内芯与包层结构、导光原理和光纤通信的发展，包括高锟的贡献。