第 41 章 · 选择性必修实验（一）

项目	内容
课标主题	选择性必修 1 的学生必做实验：验证动量守恒定律；用单摆测量重力加速度的大小；测量玻璃的折射率；用双缝干涉实验测量光的波长
人教版（2019）	选择性必修第一册：第一章 4”实验：验证动量守恒定律”；第二章 5”实验：用单摆测量重力加速度”；第四章 1”光的折射”（测量玻璃的折射率在这一节里做，不单列一节）；第四章 4”实验：用双缝干涉测量光的波长”
考试地位	实验题常考。单摆测 $g$ 和验证动量守恒最常出，考读数、图像斜率、误差偏大偏小；折射率常考插针法的步骤和界线画偏的误差；双缝干涉考测量头读数和 $\lambda = \dfrac{d\Delta x}{l}$ 的计算
前置知识	第 37 章读数、误差、数据处理（本章只引用）；第 9 章平抛运动；第 20 章动量守恒；第 21 章单摆周期公式；第 23 章折射定律；第 24 章双缝干涉条纹间距

这四个实验各测一个量，原理都是课本里一条现成的公式：动量守恒、$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$、$n = \dfrac{\sin i}{\sin r}$、$\Delta x = \dfrac{l}{d}\lambda$。难的不是公式，是“不好直接测的量换成什么来测”：速度换成平抛的水平位移，周期换成几十次全振动的总时间，光线换成大头针连线，波长换成几条条纹的总宽度。丢分丢在细节上：摆长忘加半径、从最高点开始计时、玻璃砖界线画偏、条纹间距除以 $n$ 而不是 $n - 1$。读数、误差和有效数字、图像法这些基本功在第 37 章，本章只引用。

41.1 实验一览

实验	测什么或验证什么	方法归类
41.2 验证动量守恒定律	碰撞前后两物体的 $m_1v_1 + m_2v_2$ 是否相等	转换法：平抛时间相同，用水平位移代替速度；或光电门测速度
41.3 用单摆测量重力加速度的大小	当地的 $g$	累积法测周期；图像法 $T^2$-$l$ 求斜率
41.4 测量玻璃的折射率	玻璃的折射率 $n$	插针法确定光路；正弦之比或单位圆法求 $n$
41.5 用双缝干涉实验测量光的波长	单色光的波长 $\lambda$	放大法和累积法：测 $n$ 条亮纹的总距离求条纹间距

41.2 验证动量守恒定律

目的与原理

目的：验证两个物体碰撞前后总动量守恒，即

$$m_1v_0 = m_1v_1 + m_2v_2$$

$m_1$ 是入射球（碰前运动），$m_2$ 是被碰球（碰前静止），$v_0$ 是 $m_1$ 碰前的速度，$v_1$、$v_2$ 是碰后两球的速度。依据第 20 章动量守恒定律：系统所受合外力为零（或内力远大于外力）时总动量不变。

方案一：斜槽末端碰撞（用水平位移代替速度）。速度不好直接测，就让小球碰后都从同一高度水平飞出。平抛运动的下落时间只由高度决定（第 9 章），$t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$，两球下落高度相同，飞行时间 $t$ 相同，水平位移 $x = vt$ 和速度成正比。

设槽口正下方地面上的点为 $O$，不放被碰球时入射球的平均落点为 $P$，碰后入射球、被碰球的平均落点为 $M$、$N$，则 $v_0 = \dfrac{OP}{t}$，$v_1 = \dfrac{OM}{t}$，$v_2 = \dfrac{ON}{t}$。代入动量守恒式，两边约去 $t$：

$$m_1 \cdot OP = m_1 \cdot OM + m_2 \cdot ON$$

（关键一步：约去 $t$ 的前提是三次飞行时间相同，所以两球必须从同一高度水平抛出，斜槽末端必须水平。）这样只要测质量和三段水平距离，不用测时间，也不用测高度。

若碰撞是弹性碰撞，动能也守恒，由第 20 章弹性碰撞的结论 $v_0 + v_1 = v_2$，还有 $OP + OM = ON$。

方案二：气垫导轨上的滑块碰撞（光电门测速度）。气垫导轨向上喷气，滑块浮在导轨上，摩擦可以忽略。滑块上装宽度为 $d$ 的遮光片，经过光电门的挡光时间为 $\Delta t$，速度 $v = \dfrac{d}{\Delta t}$（$d$ 很小，平均速度近似等于瞬时速度）。分别测碰前、碰后的速度，算 $m_Av_A + m_Bv_B$ 是否不变。

器材与装置

方案一：斜槽、两个半径相同、质量不同的小球、天平、毫米刻度尺（米尺）、白纸、复写纸、重垂线、圆规。

• 入射球质量大于被碰球，$m_1 > m_2$：由第 20 章弹性碰撞的结论，$v_1 = \dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_0$。$m_1 < m_2$ 时入射球被弹回，滚上斜槽再滚下来，落点不再代表碰后速度。
• 两球半径相同：保证是对心碰撞（碰撞时球心在同一水平线上，碰后速度沿同一直线），且两球从同一高度飞出。
• 天平测质量；刻度尺测水平距离，读到 $\mathrm{mm}$ 的下一位（第 37 章 37.2）；不需要秒表，因为时间被约掉了。
• 重垂线确定槽口正下方的 $O$ 点；白纸加复写纸记录落点；圆规画圆找平均落点。

方案二：气垫导轨（含气源）、两个带遮光片的滑块、两个光电门和数字计时器、天平、游标卡尺（测遮光片宽度）；滑块端部可装弹簧片（近似弹性碰撞）、撞针和橡皮泥或尼龙搭扣（碰后粘在一起）。

步骤

方案一：

1. 用天平测出两球质量 $m_1$、$m_2$，确认 $m_1 > m_2$。为什么：原理式里要用质量。
2. 安装斜槽，调末端水平：把小球放在末端的水平段，小球在任何位置都能静止，说明末端水平。为什么：末端水平小球才做平抛，飞行时间才相同。
3. 铺纸，定 $O$ 点：地上铺白纸，白纸上放复写纸；用重垂线把槽口的竖直投影标在白纸上，记为 $O$。为什么：$O$ 是三段水平距离的共同起点。
4. 不放被碰球，让入射球从斜槽上某一固定位置由静止释放，重复约 10 次，用圆规画一个尽量小的圆把落点圈在里面，圆心就是平均落点 $P$。为什么：每次落点有偶然的散布，取平均减小偶然误差（第 37 章 37.3）。
5. 把被碰球放在槽口，让入射球从同一位置由静止释放，碰撞后两球飞出，重复约 10 次，用同样方法找出平均落点 $M$、$N$。为什么：同一位置释放，入射球每次到槽口的速度相同，碰前速度才等于第 4 步测的那个速度。
6. 测量 $OM$、$OP$、$ON$，计算 $m_1 \cdot OP$ 与 $m_1 \cdot OM + m_2 \cdot ON$，比较是否在误差范围内相等。

方案二：先打开气源，调导轨水平（滑块放上去任何位置都能静止，或轻推后经过两个光电门的挡光时间相等）；用天平测滑块质量；让 A 以一定速度撞静止的 B，记下碰前、碰后的挡光时间；换弹簧片、橡皮泥等不同的碰撞方式重复。

数据处理

方案一：多次落点用尽量小的圆圈住，圆心是平均落点；从 $O$ 分别量到 $M$、$P$、$N$。

物理量	$m_1/\mathrm{g}$	$m_2/\mathrm{g}$	$OM/\mathrm{cm}$	$OP/\mathrm{cm}$	$ON/\mathrm{cm}$
数值

算出 $p_{\text{前}} = m_1 \cdot OP$，$p_{\text{后}} = m_1 \cdot OM + m_2 \cdot ON$（单位用 $\mathrm{g \cdot cm}$ 即可，两边单位相同，不必换算成 $\mathrm{kg \cdot m/s}$），再算相对差 $\dfrac{|p_{\text{前}} - p_{\text{后}}|}{p_{\text{前}}}$，在百分之几以内就认为动量守恒得到验证。

想进一步判断是否为弹性碰撞，比较 $OP + OM$ 与 $ON$ 是否相等，或比较 $m_1 \cdot OP^2$ 与 $m_1 \cdot OM^2 + m_2 \cdot ON^2$（与动能成正比）。

方案二：列表记 $m_A$、$m_B$、$d$、各次挡光时间，算出 $v = \dfrac{d}{\Delta t}$，碰后速度方向与碰前相反的记负值，再比较碰前、碰后的总动量。

误差分析

系统误差：

• 斜槽末端不水平：小球不是平抛，飞行时间不等，“用水平位移代替速度”失效。减小办法：步骤 2 调平。
• 碰撞不是对心正碰：碰后速度有横向分量，落点偏离 $OP$ 连线。减小办法：两球等大，被碰球放正。
• 小球受空气阻力：小球密度大、速度不大时影响很小，一般忽略。
• 方案二导轨不水平：重力沿导轨有分力，碰撞前后速度在变。

偶然误差：落点位置的散布、刻度尺读数。减小办法：每组释放约 10 次，取平均落点；量距离时刻度尺放直、估读一位。

不影响结果的因素：

• 斜槽有摩擦不影响。实验只要求入射球每次到槽口的速度相同，从同一位置由静止释放就能保证，摩擦只是让这个速度小一些，但每次一样。
• 释放高度的具体值、槽口离地的高度不用测，都被约掉了。

注意事项

• 斜槽末端切线必须水平：保证平抛、飞行时间相同。
• 入射球每次从同一位置由静止释放：保证碰前速度不变。
• 入射球质量大于被碰球：防止入射球反弹。
• 实验过程中白纸不能移动，复写纸可以挪：$O$ 点和落点都标在白纸上，白纸一动，距离全部作废。
• 方案二先开气源再放滑块，结束时先取下滑块再关气源：没有气垫时滑块直接压在导轨上，会磨损导轨表面。

例题

例 1　（场景：斜槽方案的数据处理）用斜槽装置验证动量守恒定律，入射球质量 $m_1 = 30.0\ \mathrm{g}$，被碰球质量 $m_2 = 10.0\ \mathrm{g}$，两球半径相同。找出平均落点后测得 $OM = 23.50\ \mathrm{cm}$，$OP = 44.80\ \mathrm{cm}$，$ON = 63.60\ \mathrm{cm}$（见上面“数据处理”中的落点图）。（1）$P$、$M$、$N$ 分别是哪个球、什么情况下的落点？（2）计算碰前、碰后的 $m \cdot x$ 之和，在误差范围内能否验证动量守恒？（3）这次碰撞是弹性碰撞吗？（4）本实验还必须用到下列器材中的哪些：秒表、天平、刻度尺、打点计时器？

解：

研究对象：入射球和被碰球组成的系统。

过程划分：碰撞（时间极短，水平方向动量守恒）→ 两球从同一高度平抛（飞行时间相同）。

分析：（1）$m_1 > m_2$，碰后入射球速度变小，被碰球速度最大。所以 $P$ 是不放被碰球时入射球的落点，$M$ 是碰后入射球的落点（最近），$N$ 是碰后被碰球的落点（最远）。飞行时间相同，水平位移代表速度，验证的式子是 $m_1 \cdot OP = m_1 \cdot OM + m_2 \cdot ON$。

列式求解：（2）

$$m_1 \cdot OP = 30.0 \times 44.80\ \mathrm{g \cdot cm} = 1344\ \mathrm{g \cdot cm}$$ $$m_1 \cdot OM + m_2 \cdot ON = (30.0 \times 23.50 + 10.0 \times 63.60)\ \mathrm{g \cdot cm} = (705 + 636)\ \mathrm{g \cdot cm} = 1341\ \mathrm{g \cdot cm}$$

相对差 $\dfrac{1344 - 1341}{1344} \approx 0.2\%$，在误差范围内相等，动量守恒得到验证。

（3）若是弹性碰撞，应有 $OP + OM = ON$。$OP + OM = 68.30\ \mathrm{cm}$，而 $ON = 63.60\ \mathrm{cm}$，差得较多，不是弹性碰撞。也可以比较动能：$m_1 \cdot OP^2 \approx 6.02 \times 10^4\ \mathrm{g \cdot cm^2}$，$m_1 \cdot OM^2 + m_2 \cdot ON^2 \approx 1.66 \times 10^4 + 4.04 \times 10^4 = 5.70 \times 10^4\ \mathrm{g \cdot cm^2}$，碰后动能少了约 $5\%$，有机械能损失。

（4）天平（测质量）和刻度尺（测水平距离）。不需要秒表，飞行时间在式子两边约掉了；也不需要打点计时器。

检验：碰后总“动量”略小于碰前，符合有少量外界影响的实际情况；碰后动能小于碰前，符合“碰撞中动能不会增加”（第 20 章 20.5）。若算出碰后动能大于碰前，一定是落点找错了。

容易卡在：（1）把 $P$ 当成碰后某个球的落点。记住 $P$ 在中间：比碰后的入射球远，比被碰球近。

例 2　（场景：气垫导轨方案）在水平气垫导轨上，滑块 A 质量 $m_A = 0.200\ \mathrm{kg}$，滑块 B 质量 $m_B = 0.100\ \mathrm{kg}$，B 静止。A 上遮光片宽 $d = 1.00\ \mathrm{cm}$，A 经过光电门 1 的挡光时间 $\Delta t_1 = 0.0250\ \mathrm{s}$；A 与 B 碰后粘在一起，经过光电门 2 的挡光时间 $\Delta t_2 = 0.0380\ \mathrm{s}$。（1）求碰前、碰后的总动量，判断是否守恒；（2）碰撞中损失的动能约占碰前动能的几分之几？

解：

研究对象：滑块 A 和 B 组成的系统。

过程划分：碰前 A 匀速运动 → 碰撞（粘在一起，完全非弹性碰撞）→ 碰后一起匀速运动。

分析：导轨水平、摩擦不计，系统水平方向不受外力，动量应守恒。速度用 $v = \dfrac{d}{\Delta t}$ 算，取 A 碰前的运动方向为正方向。

列式求解：（1）

$$v_A = \frac{d}{\Delta t_1} = \frac{1.00 \times 10^{-2}}{0.0250}\ \mathrm{m/s} = 0.400\ \mathrm{m/s}$$ $$v = \frac{d}{\Delta t_2} = \frac{1.00 \times 10^{-2}}{0.0380}\ \mathrm{m/s} \approx 0.263\ \mathrm{m/s}$$

碰前 $p_{\text{前}} = m_Av_A = 0.200 \times 0.400\ \mathrm{kg \cdot m/s} = 0.0800\ \mathrm{kg \cdot m/s}$；碰后 $p_{\text{后}} = (m_A + m_B)v = 0.300 \times 0.263\ \mathrm{kg \cdot m/s} \approx 0.0789\ \mathrm{kg \cdot m/s}$，方向都沿正方向。相对差约 $1\%$，在误差范围内守恒。

（2）碰前动能 $E_{\text{k前}} = \dfrac{1}{2} \times 0.200 \times 0.400^2\ \mathrm{J} = 0.0160\ \mathrm{J}$；碰后 $E_{\text{k后}} = \dfrac{1}{2} \times 0.300 \times 0.263^2\ \mathrm{J} \approx 0.0104\ \mathrm{J}$。损失约 $0.0056\ \mathrm{J}$，占碰前动能的 $\dfrac{0.0056}{0.0160} \approx 35\%$，约三分之一。

检验：完全非弹性碰撞损失的动能占比理论值是 $\dfrac{m_B}{m_A + m_B} = \dfrac{1}{3}$（第 20 章 20.4），与测量结果一致。

容易卡在：碰后用的遮光片宽度。两滑块粘在一起后，挡光的是其中一块上的遮光片，宽度仍是 $d$，不要把两块遮光片的宽度相加。

易错点

• 错在哪：选被碰球比入射球重，“这样被碰球飞得更远、好测”。 为什么错：直觉以为“撞得越重越明显”。$m_1 < m_2$ 时入射球被弹回，滚上斜槽再滚下，它的落点不再是碰后的速度。 正确做法：入射球质量大于被碰球，两球半径相同。
• 错在哪：认为斜槽有摩擦会让实验失败，要求用光滑斜槽。 为什么错：把“动量守恒的条件”套到了斜槽上。动量守恒只要求碰撞那一瞬间；斜槽只负责每次给入射球相同的初速度，摩擦让速度小一点，但每次一样。 正确做法：只要求斜槽末端水平、每次从同一位置由静止释放；斜槽是否光滑不影响结果。
• 错在哪：验证时写成 $m_1 \cdot OP = m_1 \cdot OM + m_2 \cdot OP$，或者把三段距离的起点量错。 为什么错：没弄清哪个点对应哪个速度。三个落点里，$P$ 代表碰前，$M$、$N$ 代表碰后，起点都是 $O$。若题目装置把被碰球放在槽口前方的立柱上，被碰球的抛出点不在 $O$ 正上方，它的水平位移起点要相应改变，这时看题目给的起点。 正确做法：先按”$m_1$ 碰后最近、单独飞出居中、$m_2$ 最远“认清 $M$、$P$、$N$，再写 $m_1 \cdot OP = m_1 \cdot OM + m_2 \cdot ON$。
• 错在哪：每次落点取“最清楚的那一个”，或者取离得最远的。 为什么错：把偶然误差当成可以挑掉的错误。落点的散布是随机的，只挑一个点等于放弃了多次测量。 正确做法：用尽量小的圆把大部分落点圈住，明显离群的个别点可以舍去，取圆心。

关联知识点

• 前置：第 20 章 20.2 动量守恒定律，本实验验证的就是它；20.3 弹性碰撞，入射球质量为什么要大、怎样判断弹性碰撞。
• 前置：第 9 章平抛运动，同一高度平抛时间相同，水平位移与初速度成正比，是“用位移代替速度”的依据。
• 前置：第 37 章 37.3 误差与有效数字（多次测量取平均）、37.5 实验设计的常用思路（转换法）。
• 同类实验：第 38 章、第 39 章里用光电门、打点计时器测速度的力学实验，测速度的办法与方案二相同。

41.3 用单摆测量重力加速度的大小

目的与原理

目的：用单摆测出当地的重力加速度 $g$。

原理：摆角很小时，单摆做简谐运动，周期（第 21 章 21.6）

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

变形得

$$g = \frac{4\pi^2 l}{T^2}$$

测出摆长 $l$ 和周期 $T$ 就能算出 $g$。单摆是理想模型：细线不可伸长、质量不计，摆球可看作质点，空气阻力不计。

摆长是悬点到摆球球心的距离：

$$l = l_0 + \frac{d}{2}$$

$l_0$ 是摆线长（悬点到球的上端），$d$ 是小球直径。

周期用累积法测：测 $n$ 次全振动的总时间 $t$，$T = \dfrac{t}{n}$（第 37 章 37.5）。一次全振动只有约 $2\ \mathrm{s}$，人按秒表的反应时间约 $0.1 \sim 0.2\ \mathrm{s}$，直接测一次的相对误差太大；测 30 到 50 次，同样的反应误差分摊到每个周期上就很小了。

器材与装置

铁架台（带铁夹）、中心有孔的小钢球、约 $1\ \mathrm{m}$ 长的细线、米尺、游标卡尺、秒表。

• 小球选密度大、体积小的钢球：空气阻力相对重力小，更接近理想单摆；摆长相对小球半径大，小球可看作质点。
• 细线选细而不易伸长的：长度在摆动中不变；线的质量远小于球的质量。
• 线长约 $1\ \mathrm{m}$：周期约 $2\ \mathrm{s}$，便于计数；摆长大，长度测量的相对误差小。
• 悬点用铁夹夹紧，不要把线绕在铁杆上：绕着的线摆动时会松动，摆长在变，悬点也不固定。
• 米尺测线长（读到 $\mathrm{mm}$ 的下一位），游标卡尺测小球直径（读数见第 37 章 37.2），秒表计时。

步骤

1. 做单摆：细线一端穿过小球的孔打结，另一端用铁夹夹紧在铁架台上，让摆球自然下垂。为什么：悬点固定，摆长才不变。
2. 测摆长：摆球静止下垂时，用米尺量悬点到球上端的线长 $l_0$；用游标卡尺测小球直径 $d$，在不同方向测几次取平均；$l = l_0 + \dfrac{d}{2}$。为什么：摆长是到球心，不是到球的上端或下端。
3. 测周期：把摆球拉开一个小角度（不超过 $5^\circ$）由静止释放，让它在竖直平面内摆动；等摆动稳定后，在摆球经过平衡位置（最低点）时按下秒表并数“0”，以后每经过最低点同方向一次数一次，数到 $n$（30 到 50）时停表，记下时间 $t$，$T = \dfrac{t}{n}$。为什么：摆角小才是简谐运动，周期公式才成立；最低点摆球速度最大，经过的时刻最好判断，计时误差最小；在最高点附近摆球很慢，看不准什么时候“到了”。
4. 改变摆长重复：改变线长，重复第 2、3 步，测 5 组左右。为什么：用于取平均或作 $T^2$-$l$ 图像。
5. 计算 $g$，与当地重力加速度的公认值比较。

数据处理

次数	$l_0/\mathrm{m}$	$d/\mathrm{cm}$	$l/\mathrm{m}$	全振动次数 $n$	$t/\mathrm{s}$	$T/\mathrm{s}$	$g/(\mathrm{m \cdot s^{-2}})$
1
2

公式法：每组用 $g = \dfrac{4\pi^2 l}{T^2}$ 算出一个 $g$，再取平均。

图像法（化曲为直）：$T$ 与 $l$ 的关系是 $T \propto \sqrt{l}$，画成 $T$-$l$ 是一条曲线，不好判断、不好求参数。改用 $T^2$ 作纵坐标、$l$ 作横坐标：

$$T^2 = \frac{4\pi^2}{g} \cdot l$$

图像是过原点的直线，斜率 $k = \dfrac{4\pi^2}{g}$，所以

$$g = \frac{4\pi^2}{k}$$

求斜率时在直线上取两个相距较远的点（不一定是数据点），$k = \dfrac{\Delta (T^2)}{\Delta l}$（第 37 章 37.4）。

图像不过原点时斜率不受影响。若每次都忘了加小球半径，把线长 $l_0$ 当摆长，则真实摆长 $l = l_0 + r$，

$$T^2 = \frac{4\pi^2}{g}(l_0 + r) = \frac{4\pi^2}{g} l_0 + \frac{4\pi^2}{g} r$$

以 $l_0$ 为横坐标，图线斜率仍是 $\dfrac{4\pi^2}{g}$，只是整条线向左平移了 $r$，与横轴交在 $-r$ 处（纵轴截距为正）。（关键一步：每组摆长都差同一个常数 $r$，常数只改变截距，不改变斜率。）所以用斜率求 $g$ 不受这个错误的影响，用公式法逐组计算则 $g$ 偏小。反过来，若每次多算了一个常数（比如把摆长量到球的下端，多了一个 $r$），图线向右平移，与横轴交在 $+r$ 处，斜率同样不变。

误差分析

系统误差：

• 摆长测量错误（偏差固定方向）。由 $g = \dfrac{4\pi^2 l}{T^2}$，代入的 $l$ 偏小则 $g$ 偏小：忘加半径、把线长量到球的上端而真实摆长更长都属此类；把摆长量到球的下端，$l$ 偏大，$g$ 偏大。
• 悬点没夹紧，摆动中线变长：代入的是开始量的较短摆长，实际周期却按变长后的摆长变大，$T$ 偏大，$g$ 偏小。
• 摆角过大：实际周期比 $2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$ 略大，$T$ 偏大，$g$ 偏小。
• 摆球在水平面内做圆周运动（圆锥摆）：圆锥摆的周期 $2\pi\sqrt{\dfrac{l\cos\theta}{g}}$ 比单摆小，$T$ 偏小，$g$ 偏大。
• 全振动次数数错：把 $n$ 次记成 $n + 1$ 次（如按下秒表时数“1”），$T = \dfrac{t}{n+1}$ 偏小，$g$ 偏大；少数一次则 $g$ 偏小。

偶然误差：主要来自计时（按表的反应时间）。减小办法：从平衡位置开始计时，测 30 到 50 次全振动，改变摆长多测几组，取平均或用图像法。

不影响结果的因素：摆球的质量（周期与质量无关，第 21 章）；用 $T^2$-$l$ 图像的斜率求 $g$ 时，摆长统一加错一个常数也不影响。

注意事项

• 摆角不超过 $5^\circ$：小角度下才是简谐运动，周期公式才成立。
• 摆球在同一竖直平面内摆动，不要形成圆锥摆：圆锥摆周期不同。
• 从摆球经过平衡位置时开始计时，按下秒表时数“0”：最低点计时误差最小；数“0”才不会多数一次。
• 悬点用铁夹夹紧：保证摆长不变。
• 测摆长时让摆球自然下垂，量到球心：摆长定义是悬点到球心。

例题

例 1　（场景：读数、计算与误差判断）某同学用单摆测重力加速度。摆球自然下垂时用米尺量得悬点到球上端的线长为 $98.93\ \mathrm{cm}$，用 20 分度游标卡尺测得小球直径为 $21.50\ \mathrm{mm}$；摆球经过最低点时开始计时并数“0”，数到第 50 次经过最低点（同方向）时停表，秒表示数为 $1\ \mathrm{min}\ 40.4\ \mathrm{s}$。（1）求摆长和周期；（2）求 $g$；（3）以下操作中，会使测得的 $g$ 偏大的是哪几项？A. 摆线上端未夹紧，摆动中出现松动；B. 开始计时时，秒表按下得稍迟；C. 把 50 次全振动记成 51 次；D. 计算时用线长作为摆长。

解：

研究对象：单摆（摆球）。

过程划分：只有一个过程，小角度下的简谐运动，周期由 $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$ 给出。

分析：摆长要加半径；数“0”开始、数到 50，是 50 次全振动。误差判断用 $g = \dfrac{4\pi^2 l}{T^2}$：$l$ 偏大或 $T$ 偏小都使 $g$ 偏大。

列式求解：（1）小球半径 $r = \dfrac{21.50\ \mathrm{mm}}{2} = 10.75\ \mathrm{mm} = 1.075\ \mathrm{cm}$，

$$l = 98.93\ \mathrm{cm} + 1.075\ \mathrm{cm} \approx 100.00\ \mathrm{cm} = 1.0000\ \mathrm{m}$$

$t = 60\ \mathrm{s} + 40.4\ \mathrm{s} = 100.4\ \mathrm{s}$，

$$T = \frac{t}{n} = \frac{100.4}{50}\ \mathrm{s} = 2.008\ \mathrm{s}$$

（2）

$$g = \frac{4\pi^2 l}{T^2} = \frac{4 \times 3.142^2 \times 1.0000}{2.008^2}\ \mathrm{m/s^2} \approx 9.79\ \mathrm{m/s^2}$$

（3）选 B、C。A：线松动后实际摆长变长，$T$ 变大，而代入的仍是原摆长，$g$ 偏小。B：秒表按得迟，测得的 $t$ 偏小，$T$ 偏小，$g$ 偏大。C：$T = \dfrac{t}{51}$ 偏小，$g$ 偏大。D：$l$ 偏小，$g$ 偏小。

检验：$g$ 在 $9.78 \sim 9.83\ \mathrm{m/s^2}$ 的地表范围内，合理；$T \approx 2\ \mathrm{s}$，正是摆长 $1\ \mathrm{m}$ 的单摆周期。

容易卡在：（1）“经过最低点数到 50”有两种计法。“同方向经过”一次是一个全振动，数“0”开始到“50”是 50 个；若题目说“每经过最低点一次数一次（两个方向都数）”，那么数到 $N$ 只有 $\dfrac{N}{2}$ 个全振动。看清题目怎么数。

例 2　（场景：$T^2$-$l$ 图像法）某同学用单摆测 $g$ 时，每次都把摆线长 $l$ 当作摆长，忘了加小球半径。测得数据如下：

$l/\mathrm{m}$	0.490	0.590	0.690	0.790	0.890
$T^2/\mathrm{s^2}$	2.01	2.39	2.81	3.19	3.61

（1）作 $T^2$-$l$ 图像，由图像求 $g$（$\pi^2$ 取 $9.87$）；（2）图线是否过原点？忘加半径对用图像求出的 $g$ 有没有影响？（3）若只用第一组数据代公式 $g = \dfrac{4\pi^2 l}{T^2}$ 算，结果怎样？

解：

研究对象：单摆。

过程划分：只有一个过程。数据处理用图像法：$T^2 = \dfrac{4\pi^2}{g}(l + r)$，以 $l$ 为横坐标是直线。

分析：五个点几乎在一条直线上，画直线让点均匀分布在两侧。斜率 $k = \dfrac{4\pi^2}{g}$，与 $r$ 无关。

列式求解：（1）在直线上取相距较远的两点 $(0.490\ \mathrm{m},\ 2.00\ \mathrm{s^2})$ 和 $(0.890\ \mathrm{m},\ 3.60\ \mathrm{s^2})$：

$$k = \frac{3.60 - 2.00}{0.890 - 0.490}\ \mathrm{s^2/m} = 4.00\ \mathrm{s^2/m}$$ $$g = \frac{4\pi^2}{k} = \frac{4 \times 9.87}{4.00}\ \mathrm{m/s^2} \approx 9.87\ \mathrm{m/s^2}$$

（2）直线方程 $T^2 = 4.00(l + 0.010)$，延长后与横轴交于 $l = -0.010\ \mathrm{m}$，不过原点；横轴上的截距的大小就是小球半径 $r = 1.0\ \mathrm{cm}$。斜率不受影响，用图像求出的 $g$ 是准确的。

（3）$g = \dfrac{4 \times 9.87 \times 0.490}{2.01}\ \mathrm{m/s^2} \approx 9.62\ \mathrm{m/s^2}$，偏小，因为代入的 $l$ 比真实摆长少了 $r$。

检验：斜率单位 $\mathrm{s^2/m}$，$\dfrac{4\pi^2}{k}$ 的单位是 $\mathrm{m/s^2}$，对。

另一种解法：用“差值”直接列式。两组数据相减，$T_2^2 - T_1^2 = \dfrac{4\pi^2}{g}(l_2 - l_1)$，未知的 $r$ 在相减时消掉，$g = \dfrac{4\pi^2(l_2 - l_1)}{T_2^2 - T_1^2}$。这和图像法求斜率是同一个道理：只有两组数据、不要求作图时用差值法最快；数据有五六组时作图，能看出哪个点偏离、自动平均掉偶然误差。

容易卡在：直接用某个数据点的 $\dfrac{T^2}{l}$ 当斜率。图线不过原点时，$\dfrac{T^2}{l}$ 不等于斜率，必须用两点的差值。

易错点

• 错在哪：把线长当摆长，或者量到球的下端。 为什么错：直觉把“绳子多长”当成“摆多长”。单摆的模型是质点，质量集中在球心，摆长是悬点到球心。 正确做法：$l = l_0 + \dfrac{d}{2}$，$l_0$ 量到球的上端，$d$ 用游标卡尺测。
• 错在哪：从摆球到达最高点（释放时）开始计时。 为什么错：以为“从头开始”最自然。最高点附近摆球几乎不动，很难判断它哪一刻到达；最低点速度最大，经过的瞬间最好判断。 正确做法：等摆动稳定，摆球经过最低点时开始计时并数“0”。
• 错在哪：图线不过原点，就认为数据有问题、$g$ 求不出来，或者改用某一个点的 $\dfrac{T^2}{l}$ 求 $g$。 为什么错：把“不过原点”和“斜率错了”混为一谈。摆长统一差一个常数只让图线平移，斜率不变。 正确做法：照样用斜率 $k$ 求 $g = \dfrac{4\pi^2}{k}$；横轴截距在负半轴说明摆长少算了（漏加半径），在正半轴说明多算了。
• 错在哪：认为换用更重的摆球，周期会变，测得的 $g$ 会变。 为什么错：“重的东西摆得快”的直觉。单摆周期与摆球质量无关。 正确做法：选重球是为了减小空气阻力的相对影响，不是为了改变周期。

关联知识点

• 前置：第 21 章 21.6 单摆，周期公式 $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$ 和小角度条件是本实验的原理。
• 前置：第 37 章 37.2 游标卡尺、秒表的读数；37.4 图像法和化曲为直（第 37 章例 3 也是 $T^2$-$l$ 图像）；37.5 累积法。
• 前置：第 11 章万有引力，$g$ 随纬度和高度的变化，解释为什么不同地点测得的 $g$ 不同。
• 同类实验：41.5 双缝干涉测波长也用累积法（测多条条纹的总距离）；第 39 章里用图像斜率求物理量的力学实验。

41.4 测量玻璃的折射率

目的与原理

目的：测定玻璃砖的折射率 $n$。

原理：折射定律（第 23 章 23.2），光从空气射入玻璃，

$$n = \frac{\sin i}{\sin r}$$

$i$ 是空气中的入射角，$r$ 是玻璃中的折射角。玻璃里的光线看不见，就用大头针在玻璃砖两侧确定入射光线和出射光线，再把玻璃中的光路连出来，这叫插针法。

对两面平行的玻璃砖，出射光线与入射光线平行（侧移了一段），这一点可以用来检查作图是否正确，但求 $n$ 用不到它。

器材与装置

两面平行的玻璃砖（长方体，宽 $5\ \mathrm{cm}$ 以上）、白纸、木板（或泡沫板）、大头针 4 枚、图钉、量角器（或圆规和刻度尺）、铅笔。

• 玻璃砖宽一些好：玻璃中的光路 $OO'$ 越长，画线和量角的相对误差越小。
• 也可以用半圆形玻璃砖、三棱镜、梯形玻璃砖，原理相同；用半圆形砖时让光射向圆心，沿半径方向的光在圆弧面上不偏折（第 23 章 23.5）。

步骤

1. 铺纸画界线：把白纸用图钉固定在木板上，画一条直线 $aa'$ 作为玻璃砖的一个界面，过 $aa'$ 上一点 $O$ 画法线 $NN'$，再画一条与法线成 $i$ 角的线段作为入射光线。为什么：先定好入射点和入射角，后面只需找出射光线。
2. 放玻璃砖，画另一界线：让玻璃砖的一个长边与 $aa'$ 对齐，用铅笔沿另一长边画出 $bb'$（或在两端各点一个点再连线）。为什么：$bb'$ 决定出射点 $O'$。不能拿玻璃砖当尺子沿着它画线，会弄脏、磨损光学面。
3. 插 $P_1$、$P_2$：在入射光线上竖直插两枚大头针 $P_1$、$P_2$，间距尽量大一些。
4. 插 $P_3$、$P_4$：在玻璃砖另一侧透过玻璃砖观察 $P_1$、$P_2$ 的像，调整视线使 $P_2$ 的像挡住 $P_1$ 的像；插 $P_3$，使 $P_3$ 挡住 $P_1$、$P_2$ 的像；再插 $P_4$，使 $P_4$ 挡住 $P_3$ 以及 $P_1$、$P_2$ 的像。为什么：从 $P_1$、$P_2$ 出发经过玻璃的那条光线最后沿 $P_3P_4$ 射出，“互相挡住”说明它们在同一条光线上。
5. 作光路：移去玻璃砖，连接 $P_3P_4$ 并延长交 $bb'$ 于 $O'$，连接 $OO'$，就是玻璃中的折射光线。用量角器量出入射角 $i$ 和折射角 $r$。
6. 改变入射角重复：入射角取 $30^\circ$ 到 $60^\circ$ 之间的几个值，重复第 3 到 5 步。

数据处理

次数	$i$	$r$	$\sin i$	$\sin r$	$n = \dfrac{\sin i}{\sin r}$
1
2
3

计算法：每次算出 $n$，取平均。

图像法：以 $\sin r$ 为横坐标、$\sin i$ 为纵坐标作图，得到过原点的直线，斜率就是 $n$。

单位圆法（不用量角器、不用查正弦值）：以入射点 $O$ 为圆心、适当长度 $R$ 为半径画圆，交入射光线于 $A$、交折射光线 $OO'$ 于 $C$；过 $A$、$C$ 分别向法线作垂线，垂足为 $B$、$D$。则 $\sin i = \dfrac{AB}{R}$，$\sin r = \dfrac{CD}{R}$，

$$n = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{AB}{CD}$$

只要用刻度尺量两段长度。

误差分析

系统误差：

• 界线画偏。$bb'$ 画得比玻璃砖实际边界偏外（两条界线间距画大了）：$P_3P_4$ 的延长线与画出的 $bb'$ 交得更远，连出的折射光线更斜，$r$ 偏大，$n$ 偏小（见例 2 的图）。同理，界线间距画小了，$r$ 偏小，$n$ 偏大。
• 玻璃砖整体平移：画好界线后玻璃砖平行移动了一点，但 $aa'$、$bb'$ 的间距不变，测得的 $n$ 不变（作图得到的折射光线与真实的平行）。

偶然误差：大头针位置、角度测量。减小办法：

• 大头针间距大一些（$P_1P_2$、$P_3P_4$ 各相距几厘米以上），确定的光线方向更准。
• 入射角适中，在 $30^\circ$ 到 $60^\circ$ 之间：太小时 $i$、$r$ 都小，量角的相对误差大；太大时反射光强、折射光弱，透过玻璃看到的像又暗又模糊，不好对准。
• 多测几组取平均，或用图像法。

不影响结果的因素：玻璃砖的两个面是否平行不影响 $n$ 的测量（只要能确定 $O$、$O'$，就能连出折射光线）；入射角具体取多少不影响 $n$（$n$ 是材料的性质）。

注意事项

• 大头针要竖直插：斜插时“挡住”的是针的某一段，定出的光线不准。
• 实验过程中玻璃砖不能移动：一动，界线和实际光路就对不上。
• 不要用手摸玻璃砖的光学面，不能把玻璃砖当尺子画线：保持光学面清洁、平整。
• 入射角取 $30^\circ \sim 60^\circ$：理由见误差分析。
• 光线从空气射入玻璃时不会发生全反射，所以从上表面入射总能找到出射光线；用三棱镜或半圆砖时要留意光从玻璃射向空气的那一面是否发生了全反射（第 23 章 23.4）。

例题

例 1　（场景：插针步骤与单位圆法求 $n$）用插针法测玻璃砖的折射率。（1）在玻璃砖另一侧插 $P_3$、$P_4$ 时，应使 $P_3$ ＿＿＿，$P_4$ ＿＿＿。（2）作出光路后，以入射点 $O$ 为圆心、$R = 5.00\ \mathrm{cm}$ 为半径作圆（如单位圆法的图），测得 $A$ 到法线的距离 $AB = 3.00\ \mathrm{cm}$，$C$ 到法线的距离 $CD = 2.00\ \mathrm{cm}$，求折射率。（3）另一次实验用量角器量得 $i = 60^\circ$，$r = 35^\circ$（$\sin 35^\circ \approx 0.574$），求折射率。

解：（1）$P_3$ 挡住 $P_1$、$P_2$ 的像；$P_4$ 挡住 $P_3$ 和 $P_1$、$P_2$ 的像。（2）$n = 1.50$。（3）$n \approx 1.51$。

判断依据：插针法靠“互相挡住”让四枚针在同一条光线上；$n = \dfrac{\sin i}{\sin r}$，单位圆法中 $\sin i = \dfrac{AB}{R}$、$\sin r = \dfrac{CD}{R}$。

（1）$P_4$ 不但要挡住 $P_3$，还要同时挡住 $P_1$、$P_2$ 的像，这样 $P_3P_4$ 才是从 $P_1P_2$ 那条光线出来的出射光线。

（2）

$$n = \frac{\sin i}{\sin r} = \frac{AB/R}{CD/R} = \frac{AB}{CD} = \frac{3.00}{2.00} = 1.50$$

半径 $R$ 约掉了，所以圆的大小可以随意取，但两条光线必须用同一个圆截取。

（3）

$$n = \frac{\sin 60^\circ}{\sin 35^\circ} \approx \frac{0.866}{0.574} \approx 1.51$$

容易卡在：（2）把 $OB$、$OD$（垂足到圆心的距离，是余弦）当成正弦的长度。入射角、折射角是光线与法线的夹角，对边是光线上的点到法线的距离。

例 2　（场景：界线画偏的误差分析）用插针法测玻璃砖折射率，下列两种情况，测得的折射率与真实值相比偏大、偏小还是不变？（1）甲同学画 $bb'$ 时画得离 $aa'$ 远了一些（两界线间距比玻璃砖宽），其他操作正确；（2）乙同学画好 $aa'$、$bb'$ 后，不小心把玻璃砖向上平移了一小段，两界面仍与 $aa'$、$bb'$ 平行，再插针。

解：（1）偏小；（2）不变。

判断依据：$n = \dfrac{\sin i}{\sin r}$，入射角 $i$ 由 $P_1P_2$ 和 $aa'$ 确定，看画出的折射光线与真实的相比是更斜还是更陡。

（1）真实光路从 $O'$ 射出，出射光线 $P_3P_4$ 是对的。$P_3P_4$ 延长后交画出的 $bb'$（偏外）于 $O''$，$O''$ 在 $O'$ 的外侧更远处。连出的 $OO''$ 比真实的 $OO'$ 更偏离法线，测得的 $r$ 偏大，$i$ 不变，$n$ 偏小。

（2）玻璃砖平移后，实际光路整体平移，作图得到的入射点、出射点虽然不是真实的，但画出的折射光线与真实折射光线平行，角度相同，$n$ 不变。

容易卡在：（1）凭感觉说“画大了所以偏大”。界线画偏的题一定要画图：先画对的光路，再找出射光线与错误界线的交点，比较两条连线哪条更斜。

易错点

• 错在哪：$P_4$ 只挡住 $P_3$ 就插下。 为什么错：以为两点确定一条直线就够了。$P_3P_4$ 必须是 $P_1P_2$ 那条光线的出射光线，只挡 $P_3$ 不能保证它也在这条光线上。 正确做法：$P_3$ 挡住 $P_1$、$P_2$ 的像，$P_4$ 挡住 $P_3$ 和 $P_1$、$P_2$ 的像。
• 错在哪：把光线与界面的夹角当成入射角、折射角。 为什么错：直觉量“光线和玻璃面的夹角”。折射定律里的角是光线与法线的夹角。 正确做法：先过 $O$ 画法线，量光线与法线的夹角；用单位圆法时量到法线的垂线段。
• 错在哪：入射角取得越大越好（或越小越好）。 为什么错：只看到一面。太小，角度的相对误差大；太大，透过玻璃看到的像暗，插针对不准。 正确做法：入射角取 $30^\circ$ 到 $60^\circ$。
• 错在哪：认为玻璃砖两面不平行（梯形砖、三棱镜）就不能测折射率。 为什么错：把“出射光线与入射光线平行”当成了实验原理的一部分。原理只用到入射面上的折射定律。 正确做法：只要能确定入射点 $O$ 和出射点 $O'$，连 $OO'$ 就是玻璃中的光线，照样求 $n$。

关联知识点

• 前置：第 23 章 23.2 折射定律与折射率，本实验的原理；23.5 光路问题，平行玻璃砖的侧移、半圆砖的作图。
• 前置：三角函数的定义和特殊角的值，单位圆法就是正弦的定义，见《高中数学知识点梳理》第 11 章。
• 前置：第 37 章 37.4 图像法（$\sin i$-$\sin r$ 图像的斜率）。
• 同类实验：41.2 验证动量守恒定律也是“测不到的量换成能画在纸上的点和线”（转换法）。

41.5 用双缝干涉实验测量光的波长

目的与原理

目的：观察双缝干涉条纹，测定单色光的波长。

原理：双缝干涉中相邻两条亮纹（或暗纹）中心的距离（第 24 章 24.2）

$$\Delta x = \frac{l}{d}\lambda$$

$l$ 是双缝到屏的距离，$d$ 是双缝间距。变形得

$$\lambda = \frac{d}{l}\Delta x$$

$d$ 由双缝片标出，$l$ 用米尺量，只需测出条纹间距 $\Delta x$。$\Delta x$ 只有一两毫米，直接量一条的相对误差太大，所以用测量头测出第 1 条和第 $n$ 条亮纹的位置，再除以中间的间隔数：

$$\Delta x = \frac{a_n - a_1}{n - 1}$$

（关键一步：第 1 条到第 $n$ 条亮纹之间有 $n - 1$ 个间距，不是 $n$ 个，就像 $n$ 棵树之间有 $n - 1$ 个空当。）

器材与装置

双缝干涉仪：光具座、光源、凸透镜、滤光片、单缝、双缝、遮光筒、毛玻璃屏、测量头；另有米尺。

• 凸透镜把光会聚到单缝上，使单缝更亮。
• 滤光片让一种颜色的光通过，得到单色光；不加滤光片看到的是白光的彩色条纹。
• 单缝获得线光源，使照到两缝的光来自同一处，是相干光（第 24 章）。单缝与双缝要互相平行。
• 遮光筒挡住外界的光，条纹才看得清。
• 测量头由分划板、目镜、手轮组成。转动手轮，分划板左右移动，中心刻线依次对准各条亮纹；分划板的位置从手轮上读出。测量头读数方法与螺旋测微器（或游标卡尺）相同，以题图为准：螺旋测微器式估读到 $0.001\ \mathrm{mm}$，游标式不估读，读数方法见第 37 章 37.2。

步骤

1. 调共轴：把光源、遮光筒、毛玻璃屏依次装在光具座上，先不装单缝和双缝；打开光源，调节光源的高度和角度，使光束沿遮光筒的轴线把屏照亮。为什么：各元件的中心在同一轴线上，屏上才有足够亮的光。
2. 装单缝、双缝：装上单缝和双缝，使单缝与双缝平行、竖直，两者间距约 $5 \sim 10\ \mathrm{cm}$，这时在屏上能看到白光的彩色干涉条纹。为什么：单缝与双缝不平行时，条纹模糊甚至看不到。
3. 加滤光片：在单缝和光源之间放上滤光片，观察单色光的干涉条纹。
4. 测条纹位置：转动测量头使分划板刻线与条纹平行；转动手轮，使分划板中心刻线对准某条亮纹的中心，记为第 1 条，读出 $a_1$；继续转动手轮，使中心刻线移到第 $n$ 条亮纹中心，读出 $a_n$。为什么：测多条的总距离减小相对误差；刻线与条纹平行，测的才是条纹的垂直间距。
5. 量 $l$：用米尺测出双缝到屏的距离 $l$，记下双缝间距 $d$。
6. 换滤光片重复：换不同颜色的滤光片，测出不同色光的波长；同一种光可改变 $n$ 或重新对准，多测几次取平均。

数据处理

色光	$d/\mathrm{mm}$	$l/\mathrm{m}$	$n$	$a_1/\mathrm{mm}$	$a_n/\mathrm{mm}$	$\Delta x/\mathrm{mm}$	$\lambda/\mathrm{nm}$
红
绿

先算 $\Delta x = \dfrac{a_n - a_1}{n - 1}$，再算 $\lambda = \dfrac{d\Delta x}{l}$。代入前把单位统一成米：$d$ 和 $\Delta x$ 常以毫米给出，$1\ \mathrm{mm} = 10^{-3}\ \mathrm{m}$；结果常写成纳米，$1\ \mathrm{nm} = 10^{-9}\ \mathrm{m}$。可见光的波长在 $400 \sim 760\ \mathrm{nm}$ 之间，算出来不在这个范围，多半是单位换错了。

误差分析

系统误差：

• 分划板刻线与条纹不平行：手轮移动方向与条纹不垂直，测得的是斜向距离，$\Delta x$ 偏大，$\lambda$ 偏大。减小办法：先转测量头使刻线与条纹平行。
• 间隔数用错：用 $\dfrac{a_n - a_1}{n}$ 计算，$\Delta x$ 偏小，$\lambda$ 偏小。
• $l$ 的测量：双缝和屏的位置不易准确对准刻度，量得的 $l$ 有偏差，$l$ 偏大则 $\lambda$ 偏小。

偶然误差：中心刻线对准亮纹中心不准、读数估读。减小办法：测多条亮纹（$n$ 取大一些）的总距离；多测几次取平均。

不影响结果的因素：从哪一条亮纹开始数（只要相隔的条数数对）；单缝到双缝的距离（只影响亮度和清晰度，不影响条纹间距）。

注意事项

• 单缝与双缝必须平行：否则条纹不清晰。
• 光源、各元件中心与遮光筒轴线共轴：否则屏上亮度不够，看不清条纹。
• 分划板中心刻线与条纹平行，对准亮纹的中心：保证测得的是条纹的垂直间距。
• 数条纹时第 1 条记作“1”，数到第 $n$ 条，间隔数是 $n - 1$：最常见的计算错误。
• 不要用手触摸光学元件的表面：沾上污渍会散射光，条纹变模糊。

例题

例 1　（场景：测量头读数与计算波长）用双缝干涉仪测某单色光的波长，双缝间距 $d = 0.20\ \mathrm{mm}$，双缝到屏的距离 $l = 0.700\ \mathrm{m}$。用螺旋测微器式测量头测量，分划板中心刻线对准第 1 条亮纹时读数 $a_1 = 2.320\ \mathrm{mm}$；转动手轮，中心刻线对准第 6 条亮纹时示数如图。（1）读出 $a_6$；（2）求相邻亮纹间距 $\Delta x$；（3）求这种光的波长。

解：

研究对象：通过双缝的单色光在屏上形成的干涉条纹。

过程划分：只有一个过程。先读数，再求条纹间距，最后用 $\lambda = \dfrac{d}{l}\Delta x$。

分析：螺旋测微器读数 = 固定刻度（含半毫米）+ 可动刻度格数 × $0.01\ \mathrm{mm}$，估读一位（第 37 章 37.2）。第 1 条到第 6 条之间有 5 个间距。

列式求解：（1）固定刻度 $13.5\ \mathrm{mm}$，可动刻度 $37.0$ 格：

$$a_6 = 13.5\ \mathrm{mm} + 37.0 \times 0.01\ \mathrm{mm} = 13.870\ \mathrm{mm}$$

（2）

$$\Delta x = \frac{a_6 - a_1}{6 - 1} = \frac{13.870 - 2.320}{5}\ \mathrm{mm} = 2.310\ \mathrm{mm}$$

（3）

$$\lambda = \frac{d\Delta x}{l} = \frac{0.20 \times 10^{-3} \times 2.310 \times 10^{-3}}{0.700}\ \mathrm{m} = 6.6 \times 10^{-7}\ \mathrm{m} = 660\ \mathrm{nm}$$

检验：$660\ \mathrm{nm}$ 在可见光范围内，是红光，合理。单位：$\dfrac{\mathrm{m} \times \mathrm{m}}{\mathrm{m}} = \mathrm{m}$。$d$ 只给了两位有效数字，结果保留两位，写 $6.6 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$。

容易卡在：（2）除以 6，得 $1.925\ \mathrm{mm}$，波长算成 $550\ \mathrm{nm}$。（1）可动刻度正好对齐第 37 格，估读位写 0，读数 $13.870\ \mathrm{mm}$ 末尾的 0 不能省。

例 2　（场景：改变条纹间距与误差判断）用双缝干涉仪观察并测量光的波长。（1）若想在目镜中看到更多条亮纹（使条纹间距变小），下列做法可行的是：A. 将红色滤光片换成绿色滤光片；B. 增大双缝到屏的距离；C. 换用双缝间距更大的双缝片；D. 增大单缝到双缝的距离。（2）测量时，分划板中心刻线与亮纹不平行（有一个小夹角），其他操作正确，测得的波长偏大还是偏小？（3）某同学把第 1 条到第 $n$ 条亮纹间的距离除以 $n$ 作为 $\Delta x$，测得的波长偏大还是偏小？

解：（1）A、C；（2）偏大；（3）偏小。

判断依据：$\Delta x = \dfrac{l}{d}\lambda$；测量值 $\lambda = \dfrac{d}{l}\Delta x$ 与测得的 $\Delta x$ 成正比。

（1）条纹间距变小，要减小 $\lambda$、减小 $l$ 或增大 $d$。绿光波长比红光短，A 可行；B 增大 $l$，间距变大，不行；C 增大 $d$，可行；D 单缝到双缝的距离不在公式里，不改变间距。

（2）刻线与条纹不平行，说明测量头相对条纹转了一个小角度 $\theta$，分划板的移动方向不再垂直于条纹。从对准第 1 条到对准第 $n$ 条，分划板斜着走过的距离是垂直间距的 $\dfrac{1}{\cos\theta}$ 倍，测得的 $\Delta x$ 偏大，$\lambda$ 偏大。

（3）实际间隔数是 $n - 1$，除以 $n$ 使 $\Delta x$ 偏小，$\lambda$ 偏小。

容易卡在：（1）选 B，以为“屏离得远，看到的条纹多”。离得越远条纹越宽，视野里的条数反而少。

易错点

• 错在哪：$\Delta x = \dfrac{a_n - a_1}{n}$。 为什么错：“第 $n$ 条”让人直觉除以 $n$。从第 1 条到第 $n$ 条只有 $n - 1$ 个间距。 正确做法：$\Delta x = \dfrac{a_n - a_1}{n - 1}$；若题目说“第 1 条到第 $n$ 条暗纹”，一样是 $n - 1$；若说“相邻 $n$ 个间距”或”$n$ 条亮纹的宽度”，按字面数清楚间隔数。
• 错在哪：$\lambda = \dfrac{d\Delta x}{l}$ 中 $d$、$\Delta x$ 用毫米，$l$ 用米，直接相乘除。 为什么错：图省事不统一单位。结果差 $10^3$ 或 $10^6$ 倍。 正确做法：全部换成米再算，最后换成纳米；用“可见光 $400 \sim 760\ \mathrm{nm}$“检验。
• 错在哪：认为单缝的作用是“让光变成单色光”。 为什么错：把单缝和滤光片的作用混了。滤光片选颜色，单缝得到线光源、保证两缝的光相干。 正确做法：滤光片 → 单色光；单缝 → 线光源，两缝的光来自同一处；双缝 → 分成两束相干光。
• 错在哪：测量头读数时把螺旋测微器式按游标卡尺读，或漏了半毫米刻线。 为什么错：没看清测量头是哪种结构。 正确做法：先认结构：带套筒和可动刻度的按螺旋测微器读，估读到 $0.001\ \mathrm{mm}$；带游标的按游标卡尺读，不估读（第 37 章 37.2）。

关联知识点

• 前置：第 24 章 24.2 光的双缝干涉，$\Delta x = \dfrac{l}{d}\lambda$ 是本实验的原理；相干条件解释单缝、滤光片的作用。
• 前置：第 37 章 37.2 螺旋测微器和游标卡尺的读数，测量头的读法与之相同；37.5 累积法和放大法。
• 后续：第 35 章波粒二象性，干涉条纹是光的波动性的证据，测出的波长可用于计算光子能量 $E = h\dfrac{c}{\lambda}$。
• 同类实验：41.3 单摆测周期，同样测多个周期（多个间距）的总量再平均。

41.6 自测

1. 用斜槽验证动量守恒定律时，为什么入射球的质量必须大于被碰球的质量？斜槽是否必须光滑？
2. 在气垫导轨上，质量 $0.300\ \mathrm{kg}$ 的滑块 A 以 $0.50\ \mathrm{m/s}$ 撞击静止的滑块 B（质量 $0.200\ \mathrm{kg}$），碰后 A 的速度为 $0.10\ \mathrm{m/s}$，方向不变。若动量守恒，B 碰后的速度应是多少？
3. 用单摆测 $g$，测得摆长 $0.800\ \mathrm{m}$，40 次全振动用时 $71.8\ \mathrm{s}$，求 $g$（$\pi^2$ 取 $9.87$，结果保留三位有效数字）。
4. 用单摆测 $g$ 时，把摆长量到了摆球的下端，用 $T^2$-$l$ 图像的斜率求出的 $g$ 偏大、偏小还是不变？图线与横轴的交点在原点哪一侧？
5. 插针法中，若入射角为 $45^\circ$，测得折射角为 $30^\circ$，玻璃的折射率是多少？
6. 双缝间距 $0.30\ \mathrm{mm}$，双缝到屏 $0.90\ \mathrm{m}$，测得第 1 条到第 5 条亮纹中心的距离为 $6.00\ \mathrm{mm}$，求光的波长。

答案：1. 防止入射球碰后反弹（滚回斜槽再滚下，落点不代表碰后速度）；斜槽不必光滑，每次从同一位置由静止释放即可；2. $0.60\ \mathrm{m/s}$，方向与 A 原来的运动方向相同；3. $9.80\ \mathrm{m/s^2}$；4. 不变，在原点右侧（横轴正半轴）；5. $\sqrt{2} \approx 1.41$；6. $\Delta x = 1.50\ \mathrm{mm}$，$\lambda = 5.0 \times 10^{-7}\ \mathrm{m} = 500\ \mathrm{nm}$。

41.7 深入阅读

• PhET · 碰撞实验室：在一维轨道上改变两球质量和弹性，看碰撞前后各自的动量和总动量，体会入射球轻于被碰球时为什么会反弹。
• PhET · 摆实验室：改变摆长、质量、摆角和重力加速度，用内置秒表测周期，验证周期与质量无关、与摆长的平方根成正比。
• PhET · 光的折射：用激光射向不同介质，量角器直接测入射角和折射角，可当作插针法的虚拟版本练习求折射率。
• PhET · 波的干涉：双缝模式下改变光的颜色、缝间距和屏的距离，看条纹间距怎样随 λ、d、l 变化。