第 24 章 · 光的波动性

项目	内容
课标主题	选择性必修 1 · 光及其应用（观察光的干涉、衍射和偏振现象，了解产生条件和应用；知道光是横波；会用双缝干涉实验测量光的波长；了解激光的特性和应用）
人教版（2019）	选择性必修第一册 第四章 4.3”光的干涉”、4.5”光的衍射”、4.6”光的偏振 激光”（4.4 是实验“用双缝干涉测量光的波长”，见第 41 章）
考试地位	多为选择题：双缝干涉条纹间距 $\Delta x = \dfrac{l}{d}\lambda$ 和亮暗条件常考；薄膜干涉（肥皂膜、检查平整度、增透膜）、干涉与衍射图样的辨别、偏振现象常考概念；激光偶考。常和第 23 章折射率、色散放在同一道选择题里
前置知识	第 22 章波的干涉和衍射（路程差、相干条件、明显衍射条件）；第 23 章折射率、色散（不同色光的折射率和介质中的波长）

上一章把光当成“光线”，只管它往哪走；这一章讲光是一种波，会干涉、会衍射、会偏振。规律和第 22 章的机械波是同一套，只是光的波长只有几百纳米，所以条件更苛刻、现象更细小。丢分多在三处：$\Delta x = \dfrac{l}{d}\lambda$ 里谁在分子谁在分母记反；分不清干涉条纹和衍射条纹；薄膜干涉不知道是“哪两束光”在叠加。

24.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
24.2 光的双缝干涉	同一光源经双缝分成两束相干光，路程差是波长整数倍处亮、半波长奇数倍处暗；条纹等间距，$\Delta x = \dfrac{l}{d}\lambda$	常考，选择题为主，也作实验题的原理
24.3 薄膜干涉	薄膜前后两个表面的反射光叠加；同一厚度对应同一条纹；增透膜厚度是膜中波长的 $\dfrac{1}{4}$	常考现象判断，增透膜偶有计算
24.4 光的衍射	孔、缝、障碍物的尺寸跟波长差不多或更小时，光明显绕到阴影里；单缝衍射中央亮纹最宽最亮	常考现象和图样辨别
24.5 光的偏振	偏振片只让沿透振方向振动的光通过；偏振现象说明光是横波	常考概念，选择题一个选项
24.6 激光	人工产生的相干光，相干性好、平行度好、亮度高，各自对应一类应用	偶考，多为“利用了哪个特点”

24.2 光的双缝干涉

说明

光的干涉：两列光波在空间叠加，某些区域始终加强（亮），某些区域始终减弱（暗），出现稳定的明暗相间的条纹。干涉是波特有的现象，所以它证明了光是一种波。

相干条件（和第 22 章机械波相同）：两列光的频率相同、相位差恒定、振动方向相同。两盏独立的灯、同一盏灯的不同部分发的光，相位随时乱变，都不相干。获得相干光的办法是把同一束光一分为二：双缝干涉是从波面上分出两部分，薄膜干涉（24.3）是让同一束光在两个表面各反射一次。

杨氏双缝实验：1801 年英国物理学家托马斯·杨（T. Young）完成，是光的波动说的关键证据。现代课本的装置如下：光源发出的光经滤光片变成单色光，通过单缝 $S$ 成为一个“线光源”，再照到两条靠得很近的平行狭缝 $S_1$、$S_2$ 上。$S_1$、$S_2$ 到 $S$ 的距离相等，它们发出的光是相干光，在屏上叠加出明暗相间的条纹。

亮纹和暗纹的条件：设屏上某点 $P$ 到 $S_1$、$S_2$ 的距离为 $r_1$、$r_2$，路程差 $\Delta r = |r_2 - r_1|$。

$$\Delta r = k\lambda \quad (k = 0, 1, 2, \cdots) \qquad \text{亮条纹}$$ $$\Delta r = (2k + 1)\frac{\lambda}{2} \quad (k = 0, 1, 2, \cdots) \qquad \text{暗条纹}$$

屏的中央 $O$ 点到两缝距离相等，$\Delta r = 0$，是亮条纹，叫中央亮纹（零级亮纹）。

条纹间距：相邻两条亮纹（或相邻两条暗纹）中心之间的距离

$$\Delta x = \frac{l}{d}\lambda$$

其中 $l$ 是双缝到屏的距离，$d$ 是两缝之间的距离，$\lambda$ 是光的波长。条纹是等间距的，各条亮纹的宽度和亮度也基本相同。

颜色和波长：可见光的波长大约在 $400 \sim 760\ \mathrm{nm}$（$1\ \mathrm{nm} = 10^{-9}\ \mathrm{m}$）之间，从紫到红波长依次变长。同一装置下红光的条纹间距最大，紫光最小。用白光做实验，中央亮纹是白色（各色光在 $O$ 点都加强），两侧是彩色条纹，每一级都是内紫外红。

光在介质中的波长：光从真空进入折射率为 $n$ 的介质，频率不变，速度变为 $v = \dfrac{c}{n}$，波长变为 $\lambda' = \dfrac{\lambda}{n}$（第 23 章）。整套装置浸在介质里，公式中的 $\lambda$ 要换成 $\lambda'$。

使用场景

• 题目给出屏上某点到两缝的路程差（或距离），问是亮纹还是暗纹、第几级 → 两束相干光叠加 → 把 $\Delta r$ 除以 $\dfrac{\lambda}{2}$：偶数倍亮、奇数倍暗。
• 题目给出 $l$、$d$、条纹间距（或几条亮纹的总宽度），求波长；或反过来求间距 → 双缝干涉 → $\Delta x = \dfrac{l}{d}\lambda$，先由总宽度算出 $\Delta x$。
• 题目说换色光、改 $d$、改 $l$、把装置放进水里，问条纹怎样变化 → 双缝干涉 → $\Delta x \propto \dfrac{l\lambda}{d}$，用比例；介质中 $\lambda' = \dfrac{\lambda}{n}$。
• 题目问遮住一条缝、两缝前放不同颜色的滤光片、用白光、用两个灯泡，屏上是什么 → 先查相干条件 → 不相干就没有干涉条纹，只有光强的简单相加。

注意点

• 公式 $\Delta x = \dfrac{l}{d}\lambda$ 成立的条件是 $l \gg d$ 且只看屏中央附近（小角度）。实验里 $d$ 约零点几毫米、$l$ 约 $1\ \mathrm{m}$，条件总是满足。
• $\lambda$ 是光在装置所处介质中的波长。题目给的一般是真空（空气）中的波长，装置在水中要先除以 $n$。
• 单位：$d$、$\Delta x$ 常给毫米，$\lambda$ 常给纳米，代入前全部换成米。
• 单缝的作用是得到一个线光源，使照到两缝的光来自同一处，相位差恒定；用激光做实验时激光本身相干性好，可以去掉单缝（24.6）。滤光片的作用是得到单色光。
• 亮纹条件里 $k$ 从 0 开始，第 $k$ 级亮纹离中央 $x_k = k\dfrac{l}{d}\lambda$；暗纹没有“零级”在中央，第一条暗纹离中央 $\dfrac{\Delta x}{2}$。
• 本节讨论的是两缝处光的相位相同的情形（光源 $S$ 在两缝的中垂线上）。$S$ 偏离中垂线时，到达两缝时已有路程差，中央亮纹要移动（见常用推论）。

推导

亮暗条件：和第 22 章机械波一样。两列相干光在 $P$ 点各自引起振动，路程差是波长的整数倍时，两列波到达 $P$ 时步调相同，振动加强；路程差是半波长的奇数倍时步调相反，振动减弱。$S_1$、$S_2$ 的光来自同一个 $S$ 且 $SS_1 = SS_2$，两缝处的振动步调始终相同，所以 $P$ 点的亮暗只由 $\Delta r$ 决定，不随时间变化，条纹稳定。

条纹间距 $\Delta x = \dfrac{l}{d}\lambda$：

设 $P$ 点离中央 $O$ 的距离为 $x$。按图建立关系（课本的做法）：

$$r_1^2 = l^2 + \left(x - \frac{d}{2}\right)^2, \qquad r_2^2 = l^2 + \left(x + \frac{d}{2}\right)^2$$

两式相减：

$$r_2^2 - r_1^2 = (r_2 + r_1)(r_2 - r_1) = 2dx$$

（关键一步：$l$ 约 $1\ \mathrm{m}$，而 $d$、$x$ 只有毫米量级，$r_1$、$r_2$ 都几乎等于 $l$，所以 $r_2 + r_1 \approx 2l$。注意只能对“和”做这个近似；“差” $r_2 - r_1$ 本身就很小，正是要求的量，不能也近似成 0。）

于是

$$\Delta r = r_2 - r_1 \approx \frac{d}{l}x$$

亮纹处 $\Delta r = k\lambda$，得 $x_k = k\dfrac{l}{d}\lambda$。相邻两条亮纹 $k$ 和 $k + 1$ 的距离

$$\Delta x = x_{k+1} - x_k = \frac{l}{d}\lambda$$

与 $k$ 无关，所以条纹等间距。暗纹位置 $x = (2k + 1)\dfrac{l\lambda}{2d}$，相邻暗纹间距也是 $\dfrac{l}{d}\lambda$。

另一种看法（几何法）：从 $S_1$ 向 $S_2P$ 作垂线，因为 $l \gg d$，$S_1P$ 和 $S_2P$ 几乎平行，$S_2$ 一侧多出的那一小段就是路程差，$\Delta r \approx d\sin\theta$；又 $\tan\theta = \dfrac{x}{l}$，$\theta$ 很小时 $\sin\theta \approx \tan\theta$，同样得 $\Delta r \approx \dfrac{d}{l}x$。小角度近似 $\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta$（弧度）见《高中数学知识点梳理》第 11–13 章三角函数。

例题

例 1　（场景：由路程差判断亮暗）用波长 $\lambda = 600\ \mathrm{nm}$ 的单色光做双缝干涉实验。屏上 $P$ 点到两缝的路程差为 $1.8\ \mathrm{\mu m}$，$Q$ 点到两缝的路程差为 $1.5\ \mathrm{\mu m}$。$P$、$Q$ 两点分别是亮纹还是暗纹？各是中央亮纹一侧的第几条？

解：

判断依据：路程差是半波长的偶数倍（波长的整数倍）为亮，奇数倍为暗（本节亮暗条件）。

$\dfrac{\lambda}{2} = 300\ \mathrm{nm} = 0.3\ \mathrm{\mu m}$。

$P$ 点：$\dfrac{1.8}{0.3} = 6$，是半波长的偶数倍，$\Delta r = 3\lambda$，亮纹，$k = 3$，即中央亮纹一侧的第 3 条亮纹。

$Q$ 点：$\dfrac{1.5}{0.3} = 5$，是半波长的奇数倍，$\Delta r = (2 \times 2 + 1)\dfrac{\lambda}{2}$，暗纹。$k = 0, 1, 2$ 分别对应第 1、2、3 条暗纹，所以 $Q$ 是中央亮纹一侧的第 3 条暗纹。

容易卡在：暗纹的级数数错。中央是亮纹，向外依次是“第 1 条暗纹、第 1 条亮纹、第 2 条暗纹……”，$\Delta r = \dfrac{5}{2}\lambda$ 落在第 2 条和第 3 条亮纹之间，是第 3 条暗纹。

例 2　（场景：由条纹求波长）双缝干涉实验中，双缝间距 $d = 0.20\ \mathrm{mm}$，双缝到屏的距离 $l = 1.0\ \mathrm{m}$，测得第 1 条亮纹到第 6 条亮纹中心之间的距离为 $12.0\ \mathrm{mm}$。求这种光的波长。

解：

研究对象：通过双缝的单色光。

过程划分：不涉及过程，装置示意图和几何关系见本节“说明”和“推导”的两张图。

分析：第 1 条到第 6 条亮纹之间有 5 个间隔，先求条纹间距，再用 $\Delta x = \dfrac{l}{d}\lambda$ 反求 $\lambda$。

列式求解：

$$\Delta x = \frac{12.0\ \mathrm{mm}}{6 - 1} = 2.40\ \mathrm{mm} = 2.40 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}$$ $$\lambda = \frac{d\,\Delta x}{l} = \frac{2.0 \times 10^{-4} \times 2.40 \times 10^{-3}}{1.0}\ \mathrm{m} = 4.8 \times 10^{-7}\ \mathrm{m} = 480\ \mathrm{nm}$$

检验：单位 $\dfrac{\mathrm{m} \cdot \mathrm{m}}{\mathrm{m}} = \mathrm{m}$，对。$480\ \mathrm{nm}$ 在可见光 $400 \sim 760\ \mathrm{nm}$ 之内，是蓝光，量级合理。

容易卡在：把 $12.0\ \mathrm{mm}$ 除以 6。6 条亮纹之间只有 5 个间隔，和“6 棵树之间有 5 段”一样。这正是第 41 章测波长实验的数据处理方法。

例 3　（场景：改变条件看条纹变化）用某单色光做双缝干涉，双缝间距 $d = 0.40\ \mathrm{mm}$，双缝到屏的距离 $l = 0.80\ \mathrm{m}$，在空气中测得相邻亮纹间距为 $1.2\ \mathrm{mm}$。现把双缝到屏的距离增大到 $1.20\ \mathrm{m}$，同时把整套装置浸入折射率 $n = \dfrac{4}{3}$ 的水中，求新的条纹间距。

解：

研究对象：通过双缝的单色光。

过程划分：前后两种情况：空气中、$l = 0.80\ \mathrm{m}$；水中、$l' = 1.20\ \mathrm{m}$。

分析：光进入水中频率不变，波长变为 $\lambda' = \dfrac{\lambda}{n}$。先由空气中的数据求出 $\lambda$，再代入新条件。

列式求解：空气中

$$\lambda = \frac{d\,\Delta x}{l} = \frac{4.0 \times 10^{-4} \times 1.2 \times 10^{-3}}{0.80}\ \mathrm{m} = 6.0 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$$

水中 $\lambda' = \dfrac{\lambda}{n} = \dfrac{3}{4} \times 6.0 \times 10^{-7}\ \mathrm{m} = 4.5 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$，新的间距

$$\Delta x' = \frac{l'}{d}\lambda' = \frac{1.20}{4.0 \times 10^{-4}} \times 4.5 \times 10^{-7}\ \mathrm{m} = 1.35 \times 10^{-3}\ \mathrm{m} = 1.35\ \mathrm{mm}$$

检验：$l$ 增大到 1.5 倍使间距变大，进入水中波长变短使间距变小，净效果 $1.5 \times \dfrac{3}{4} = 1.125$ 倍，$1.2 \times 1.125 = 1.35$，一致。

另一种解法：比例法。$d$ 不变，$\Delta x \propto l\lambda$：

$$\frac{\Delta x'}{\Delta x} = \frac{l'}{l} \cdot \frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{1.20}{0.80} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{8}, \qquad \Delta x' = \frac{9}{8} \times 1.2\ \mathrm{mm} = 1.35\ \mathrm{mm}$$

根本用不到 $d$ 和 $\lambda$ 的具体值。题目只问“变成多少倍”“变为多少”时用比例法最快；题目还要问波长本身，或几个量同时变且关系不明显时，老老实实先求 $\lambda$ 更不容易出错。

例 4　（场景：查相干条件）用白光做双缝干涉实验，在双缝中的一条缝前放红色滤光片（只让红光通过），另一条缝前放绿色滤光片（只让绿光通过）。屏上（　）。

A. 只有红色和绿色的干涉条纹　B. 仍有彩色条纹，中央为白色　C. 没有干涉条纹，但仍有光亮　D. 一片黑暗

解：C。

判断依据：干涉要求两束光频率相同（相干条件）。

通过两条缝的分别是红光和绿光，频率不同，不是相干光，叠加后不会形成稳定的明暗条纹，所以没有干涉条纹。但两条缝都有光透过，屏上仍然有光，是红光和绿光各自照亮的区域简单相加。

容易卡在：以为“两种颜色各自干涉”。每种颜色只通过一条缝，单独一条缝的红光找不到能和它干涉的另一束红光。

常用推论

• 中央 $O$ 点一定是亮纹（两缝处光的相位相同时）。由 $\Delta r = 0$ 得出。
• $\Delta x \propto \dfrac{l\lambda}{d}$：$l$ 越大、$\lambda$ 越长、$d$ 越小，条纹越宽。同一装置下 $\Delta x_{\text{红}} > \Delta x_{\text{绿}} > \Delta x_{\text{紫}}$。
• 整套装置放入折射率为 $n$ 的介质中，条纹间距变为原来的 $\dfrac{1}{n}$。由 $\lambda' = \dfrac{\lambda}{n}$ 得出。
• 第 $1$ 条到第 $n$ 条亮纹中心的距离为 $a$，则 $\Delta x = \dfrac{a}{n - 1}$（例 2）。亮纹中心到相邻暗纹中心的距离是 $\dfrac{\Delta x}{2}$。
• 白光的干涉条纹：中央白色，两侧彩色，每一级内紫外红。由各色光 $\Delta x$ 不同、只有中央 $\Delta r = 0$ 对所有色光都是亮纹得出。
• 光源 $S$ 向上（向 $S_1$ 一侧）平移，中央亮纹向下移。推导：$S$ 上移后 $SS_1 < SS_2$，要使总路程差 $(SS_2 + r_2) - (SS_1 + r_1) = 0$，需 $r_1 > r_2$，即零级亮纹落在中心下方；条纹间距不变。

易错点

• 错在哪：记成 $\Delta x = \dfrac{d}{l}\lambda$，或以为双缝间距越大条纹越宽。 为什么错：直觉觉得“缝开得大，花样也大”。实际上两缝离得越远，屏上走一小段路程差就变化得越快（$\Delta r \approx \dfrac{d}{l}x$），条纹反而越密。 正确做法：记住 $\Delta x = \dfrac{l}{d}\lambda$，两种写法的单位都是 $\mathrm{m}$，单位检验查不出来，要靠”$d$ 越大越密“这句话记。
• 错在哪：用 $n$ 条亮纹的总距离除以 $n$ 得到条纹间距。 为什么错：$n$ 条亮纹之间只有 $n - 1$ 个间隔。 正确做法：$\Delta x = \dfrac{a}{n - 1}$，先数清是“第几条到第几条”。
• 错在哪：认为两个相同的灯泡（或同一个灯泡发出的两束光不经分光）照到屏上也能干涉。 为什么错：把“频率相同”当成相干的全部条件。普通光源的光由大量原子随机发出，两个光源之间的相位差瞬息万变，屏上的明暗也瞬息万变，平均下来就是均匀照亮。 正确做法：普通光源要得到相干光，只能把同一束光一分为二（双缝或薄膜）。
• 错在哪：认为暗纹处的光能量消失了，违背能量守恒。 为什么错：干涉只是把能量重新分配：暗纹处少了，亮纹处多了（亮纹处的光强是一束光单独照射时的 4 倍，不是 2 倍），总能量不变。 正确做法：把干涉理解为能量在空间上的重新分布。

直观理解

双缝干涉就是第 22 章水波干涉的“光版本”：两个同步振动的波源，到某点的路程差决定那里是加强还是减弱。光的波长太小，所以要用很窄、很近的两条缝和较远的屏，把条纹“放大”到肉眼能看见：$\Delta x = \dfrac{l}{d}\lambda$ 里的 $\dfrac{l}{d}$ 就是放大倍数，约几千倍，把几百纳米的波长放大成几毫米的条纹。

一句话记法：“屏远缝近光长，条纹就宽。”

关联知识点

• 前置：第 22 章波的干涉，加强和减弱的路程差条件、相干条件，和本节完全相同。
• 前置：第 23 章折射率与色散，$\lambda' = \dfrac{\lambda}{n}$，不同色光波长不同。
• 前置：小角度近似，见《高中数学知识点梳理》第 11–13 章三角函数。
• 后续：第 41 章实验“用双缝干涉实验测量光的波长”，用本节的 $\Delta x = \dfrac{l}{d}\lambda$ 和测量头读数。
• 后续：第 35 章光的波粒二象性，单个光子通过双缝，大量光子的落点分布就是干涉条纹（概率波）。
• 常一起考：24.4 衍射图样与干涉图样的辨别。

24.3 薄膜干涉

说明

薄膜干涉：光照到透明薄膜上，在膜的前表面和后表面各反射一次，两束反射光来自同一束入射光，是相干光，它们叠加产生干涉。肥皂泡、水面油膜的彩色，就是白光的薄膜干涉。

等厚干涉：两束反射光的路程差由膜的厚度决定（光垂直入射时，后表面的反射光多走了约 $2d$，$d$ 是该处膜厚）。所以厚度相同的地方亮暗相同，条纹就是膜的“等厚线”。

• 竖直肥皂膜：受重力作用，膜上薄下厚，同一高度厚度相同，所以条纹是水平的。单色光照射是明暗相间的水平条纹，白光照射是彩色水平条纹。
• 空气劈尖：两块平板玻璃一端接触、另一端夹一薄片或细丝，中间形成楔形空气层。条纹是平行于棱（接触边）的等间距直条纹。相邻两条亮纹（或暗纹）对应的空气层厚度相差 $\dfrac{\lambda}{2}$。
• 检查平整度：把待测工件和标准样板叠成空气劈尖，工件表面平整时条纹是平行直线；某处条纹弯曲，说明那里不平。
• 牛顿环：把一个曲率半径很大的平凸透镜放在平板玻璃上，空气层中心厚度为零，向外越来越厚，而且越来越陡，条纹是以接触点为圆心、内疏外密的同心圆环。

增透膜：在镜头表面镀一层透明薄膜，厚度为光在膜中波长的 $\dfrac{1}{4}$：

$$d = \frac{\lambda'}{4} = \frac{\lambda}{4n}$$

这时膜前后两个表面的反射光路程差为 $2d = \dfrac{\lambda'}{2}$，互相抵消，反射光减弱，透射光增强。$\lambda$ 是真空中的波长，$n$ 是膜的折射率。

使用场景

• 题目描述肥皂膜、油膜、肥皂泡的彩色条纹，问条纹方向、来源 → 薄膜干涉，等厚线 → 找出“厚度相同的地方”在哪里，条纹就沿着那里走；参与干涉的是前后两个表面的反射光。
• 题目问镜头增透膜的最小厚度，或为什么镜头呈淡紫色 → 增透膜 → $d = \dfrac{\lambda}{4n}$，以人眼最敏感的绿光为准。
• 题目给出空气劈尖的条纹间距或条纹数，求细丝直径、劈尖角，或问夹的东西变厚时条纹怎样变 → 空气劈尖 → 相邻条纹对应厚度差 $\dfrac{\lambda}{2}$。
• 题目给出检查平整度时条纹弯曲的图，问工件凹还是凸 → 等厚线的弯曲 → 弯向棱（薄的一侧）是凹，弯离棱是凸。
• 题目问牛顿环的形状、疏密，或换曲率半径更大的透镜后环怎样变 → 空气层厚度从中心向外非均匀增加 → 圆环、内疏外密；空气层越平缓，环越疏。

注意点

• 观察薄膜干涉要和光源在同一侧，看的是反射光。肥皂膜干涉的两束光是膜的前、后表面反射的，不是“前表面反射的光和透过去的光”。
• 劈尖和牛顿环中，形成干涉的是空气层的上下两个表面的反射光，不是玻璃板本身的上下表面（玻璃板太厚，两表面的反射光不能形成可见的条纹）。
• 劈尖中“相邻条纹厚度差 $\dfrac{\lambda}{2}$“里的 $\lambda$ 是空气层中的波长；若层中充满折射率为 $n$ 的液体，厚度差变为 $\dfrac{\lambda}{2n}$，条纹变密。
• 增透膜公式里用膜中的波长 $\lambda' = \dfrac{\lambda}{n}$，不是空气中的波长。$d = \dfrac{\lambda'}{4}$ 是最小厚度，$\dfrac{3\lambda'}{4}$、$\dfrac{5\lambda'}{4}$ 也能抵消。
• 增透膜只对一种波长完全抵消。一般按人眼最敏感的绿光（约 $550\ \mathrm{nm}$）设计，红光和紫光的反射没有完全抵消，所以镜头看上去呈淡紫色。
• 光在某些界面反射时相位会突变（大学里叫“半波损失”），它决定了膜极薄处（肥皂膜顶部、牛顿环中心）是暗的。课标不要求这一点，高中题只用“相邻条纹厚度差 $\dfrac{\lambda}{2}$“和增透膜的 $\dfrac{\lambda'}{4}$，这两个结论不受它影响。

推导

相邻条纹的厚度差为 $\dfrac{\lambda}{2}$：光垂直照射时，空气层下表面的反射光比上表面的反射光多走一个来回，路程差约为 $2d$。从一条亮纹到相邻的下一条亮纹，路程差增加一个波长：

$$2d_{k+1} - 2d_k = \lambda \quad \Rightarrow \quad d_{k+1} - d_k = \frac{\lambda}{2}$$

（关键一步：路程差是厚度的两倍，因为光在空气层里走了一个来回。所以条纹每“跳”一级，厚度只需变化半个波长。）

劈尖条纹等间距：劈尖角为 $\theta$，沿板面每前进 $\Delta x$，空气层厚度增加 $\Delta x\tan\theta$。令它等于 $\dfrac{\lambda}{2}$：

$$\Delta x = \frac{\lambda}{2\tan\theta} \approx \frac{\lambda}{2\theta}$$

$\theta$ 不变，$\Delta x$ 不变，条纹等间距；$\theta$ 越大（夹的细丝越粗），条纹越密。

牛顿环内疏外密：透镜下表面是半径为 $R$ 的球面，离中心 $r$ 处空气层厚度为 $e$，由几何关系 $R^2 = r^2 + (R - e)^2$，$e$ 很小时略去 $e^2$，得

$$e \approx \frac{r^2}{2R}$$

厚度随 $r$ 的平方增长，越往外越陡，厚度每增加 $\dfrac{\lambda}{2}$ 所需的 $\Delta r$ 越来越小，所以环内疏外密。第 $k$ 个环的半径 $r_k \propto \sqrt{k}$。这个定量关系课标不要求，知道“内疏外密、$R$ 越大环越疏”即可。

增透膜厚度：膜厚为 $d$ 时两束反射光的路程差约 $2d$，要使它们抵消，需 $2d = \dfrac{\lambda'}{2}$，得 $d = \dfrac{\lambda'}{4} = \dfrac{\lambda}{4n}$。

例题

例 1　（场景：肥皂膜条纹）把一个铁丝圈浸入肥皂液后竖直放置，用单色光照射，从光源一侧观察肥皂膜。下列说法正确的是（　）。

A. 条纹是竖直的，由膜的前表面反射光和透射光叠加形成 B. 条纹是水平的，由膜的前、后两个表面的反射光叠加形成 C. 把铁丝圈在竖直面内转过 $90^\circ$，条纹也随之转过 $90^\circ$ D. 换用白光照射，条纹消失

解：B。

判断依据：薄膜干涉是前后两表面反射光的叠加；条纹沿等厚线分布。

肥皂膜在重力作用下上薄下厚，同一高度厚度相同，条纹水平（图见本节“说明”）。转动铁丝圈，肥皂液仍在重力下流成上薄下厚，条纹仍然水平，C 错。白光照射时各色光的亮纹位置不同，形成彩色条纹，不会消失，D 错。

例 2　（场景：增透膜厚度）照相机镜头上镀了一层折射率 $n = 1.38$ 的氟化镁增透膜，要使波长 $\lambda = 552\ \mathrm{nm}$ 的绿光（真空中波长）在垂直入射时反射最弱，膜的最小厚度是多少？

解：

研究对象：绿光在增透膜前后两个表面的反射光（光路图见本节“说明”）。

过程划分：不涉及过程，一次叠加。

分析：两束反射光的路程差约为 $2d$，要互相抵消，路程差应为膜中波长的一半。膜中波长 $\lambda' = \dfrac{\lambda}{n}$。

列式求解：

$$2d = \frac{\lambda'}{2} = \frac{\lambda}{2n} \quad \Rightarrow \quad d = \frac{\lambda}{4n} = \frac{552}{4 \times 1.38}\ \mathrm{nm} = 100\ \mathrm{nm} = 1.00 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$$

检验：$100\ \mathrm{nm}$ 比光的波长还小，确实是“薄膜”，量级合理。若误用空气中的波长，得 $138\ \mathrm{nm}$，偏大。

容易卡在：直接写 $d = \dfrac{\lambda}{4}$，忘了光在膜里波长变短。

例 3　（场景：空气劈尖求细丝直径）两块平板玻璃一端接触，另一端夹一根细丝，形成空气劈尖。细丝到接触边的距离 $L = 5.0\ \mathrm{cm}$。用波长 $\lambda = 600\ \mathrm{nm}$ 的单色光垂直照射，测得相邻两条亮纹的间距 $\Delta x = 0.50\ \mathrm{mm}$。求细丝的直径 $D$。

解：

研究对象：空气劈尖上下表面的反射光（示意图见本节“推导”）。

过程划分：不涉及过程。

分析：相邻亮纹对应空气层厚度差 $\dfrac{\lambda}{2}$。从接触边到细丝，条纹数为 $\dfrac{L}{\Delta x}$，厚度从 0 增加到 $D$。

列式求解：条纹间隔数

$$N = \frac{L}{\Delta x} = \frac{5.0 \times 10^{-2}}{5.0 \times 10^{-4}} = 100$$ $$D = N \cdot \frac{\lambda}{2} = 100 \times \frac{6.0 \times 10^{-7}}{2}\ \mathrm{m} = 3.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{m} = 30\ \mathrm{\mu m}$$

检验：$30\ \mathrm{\mu m}$ 约是头发丝直径的一半，量级合理。单位：$N$ 是纯数，$D$ 的单位是 $\mathrm{m}$，对。

另一种解法：相似三角形。劈尖角 $\theta$ 满足 $\tan\theta = \dfrac{D}{L}$，又由相邻条纹 $\tan\theta = \dfrac{\lambda/2}{\Delta x}$，所以

$$D = \frac{L\lambda}{2\Delta x} = \frac{5.0 \times 10^{-2} \times 6.0 \times 10^{-7}}{2 \times 5.0 \times 10^{-4}}\ \mathrm{m} = 3.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{m}$$

题目给“一共数到多少条条纹”时用数条纹法最直接；题目给条纹间距、劈尖角这类连续量时，用相似三角形一步写出公式更快，也便于讨论“细丝变粗条纹怎样变”。

例 4　（场景：检查平整度）用标准平板检查工件表面，标准平板在上、工件在下，左端接触形成空气劈尖。用单色光垂直照射，看到的条纹如图所示，中间一条在某处向左（向棱的一侧）弯曲。工件表面在该处是凸起还是凹陷？

解：凹陷。

判断依据：同一条条纹上空气层厚度处处相同（等厚线）。

这条条纹的直线部分对应某个厚度 $d$。弯曲处这条条纹跑到了左边，那里按劈尖本来的倾斜，空气层应该比 $d$ 薄；现在它的厚度仍是 $d$，说明该处空气层被“加厚”了，也就是工件表面往下凹。

容易卡在：凭“条纹往左鼓”就判断工件“凸”。要用“同一条纹厚度相同”推，而不是看形状像什么。记法：弯向薄处（棱）是凹，弯向厚处是凸。

例 5　（场景：牛顿环）关于牛顿环，下列说法正确的是（　）。

A. 牛顿环是透镜上下两个表面的反射光干涉形成的 B. 圆环等间距分布 C. 换用曲率半径更大的平凸透镜，圆环变疏 D. 换用波长更短的光，圆环变疏

解：C。

判断依据：牛顿环是透镜下表面与平板之间空气层上下表面的反射光干涉；空气层厚度 $e \approx \dfrac{r^2}{2R}$（本节推导）。

A 错，参与干涉的是空气层两表面的反射光。B 错，厚度随 $r^2$ 增长，环内疏外密。C 对，$R$ 越大，空气层越平缓，厚度增加 $\dfrac{\lambda}{2}$ 所需的半径变化越大，环变疏。D 错，波长越短，相邻环的厚度差 $\dfrac{\lambda}{2}$ 越小，环变密。

常用推论

• 薄膜干涉条纹沿等厚线分布：竖直肥皂膜条纹水平；劈尖条纹平行于棱；牛顿环是同心圆。由“路程差只由厚度决定”得出。
• 空气劈尖：相邻条纹厚度差 $\dfrac{\lambda}{2}$，条纹间距 $\Delta x \approx \dfrac{\lambda}{2\theta}$；夹的东西变厚（$\theta$ 变大）条纹变密，变薄条纹变疏；条纹数 $N = \dfrac{2D}{\lambda}$（本节推导）。
• 检查平整度：条纹弯向棱（薄的一侧）是凹陷，弯离棱（厚的一侧）是凸起（例 4）。
• 增透膜最小厚度 $d = \dfrac{\lambda}{4n}$；按绿光设计，镜头呈淡紫色。

易错点

• 错在哪：认为肥皂膜干涉是膜前表面的反射光和“透射出去的光”叠加。 为什么错：观察者在光源同一侧，看到的只有反射光；参与干涉的是同一束光在前、后两个表面各反射一次得到的两束反射光。 正确做法：画出两条反射光线（像本节增透膜图那样），说清“哪两束光”。
• 错在哪：劈尖、牛顿环问题中，以为干涉发生在玻璃板的上下两个表面。 为什么错：玻璃板有几毫米厚，两表面反射光的路程差远大于光的相干长度（普通光），也太大使条纹密得看不见。真正起作用的是很薄的空气层。 正确做法：认准“薄的那一层”：劈尖、牛顿环里是空气层，肥皂膜里是肥皂液膜。
• 错在哪：增透膜厚度用 $\dfrac{\lambda}{4}$（空气中波长）计算。 为什么错：路程差发生在膜里，要用膜中的波长 $\lambda' = \dfrac{\lambda}{n}$。 正确做法：$d = \dfrac{\lambda}{4n}$。
• 错在哪：认为增透膜让“光的能量消失了”或“增加了”光能。 为什么错：反射光减弱，能量转到了透射光里，总能量守恒。增透的意思是“透射增加”。 正确做法：反射减弱 = 透射增强，两句话是同一件事。

直观理解

薄膜干涉就是一张“厚度地图”：每一条条纹都是一条等厚线，相邻两条之间厚度差半个波长（几百纳米）。所以它是极灵敏的尺子：条纹弯了一点点，说明表面高低差了几十纳米，这就是光学车间用它检查镜面的原因。

一句话记法：“条纹是等厚线，一条差半波长。”

关联知识点

• 前置：24.2 节相干条件和路程差条件；第 23 章 $\lambda' = \dfrac{\lambda}{n}$。
• 前置：几何关系 $R^2 = r^2 + (R - e)^2$、相似三角形，见《高中数学知识点梳理》第 16 章解三角形。
• 后续：第 41 章“用双缝干涉实验测量光的波长”，和本节一样用“数条纹、求间距”的方法。
• 常一起考：24.4 衍射，“彩色条纹的成因”选择题常把肥皂泡（干涉）、雨后彩虹（第 23 章色散）、透过狭缝看灯（衍射）放在一起。

24.4 光的衍射

说明

光的衍射：光绕过障碍物、进入几何阴影区域，并在阴影边缘附近形成明暗相间条纹的现象。衍射也是波特有的现象。

发生明显衍射的条件：障碍物或孔、缝的尺寸跟光的波长差不多，或比波长小（和第 22 章机械波相同）。可见光波长只有 $10^{-7}\ \mathrm{m}$ 量级，日常的障碍物都比它大得多，所以光看上去沿直线传播；“光沿直线传播”是衍射不明显时的近似。

几种衍射图样：

• 单缝衍射：中央亮纹最宽、最亮，宽度约为两侧亮纹的两倍；两侧亮纹较窄，亮度迅速减弱。缝越窄，中央亮纹越宽（衍射越明显），但越暗；波长越长，中央亮纹越宽。白光照射时中央是白色，两侧是彩色。
• 圆孔衍射：孔较大时屏上是一个和孔形状相同的亮斑（直线传播）；孔小到一定程度，出现中央亮斑和外围明暗相间的同心圆环；孔再小，亮斑变大变暗。
• 不透明圆板衍射：用点光源照射不透明的小圆板，在圆板阴影的中心出现一个亮斑，叫泊松亮斑，阴影外还有明暗相间的圆环。
• 衍射光栅：许多等宽、等间距的平行狭缝。光栅的衍射条纹是很细、很亮的亮线，彼此相隔较远，用来精确测量波长、分析光谱。

泊松亮斑的历史：1818 年法国科学院举行关于光的衍射的征文，菲涅耳（A. Fresnel）用波动理论解释衍射。评委泊松（S. Poisson）按菲涅耳的理论推出：圆板阴影的中心应该有一个亮斑。他认为这很荒谬，想以此驳倒波动说；阿拉果（F. Arago）随后做实验，真的看到了亮斑。这个本想反驳波动说的推论，成了波动说的有力证据。

干涉条纹与衍射条纹的区别：

	双缝干涉	单缝衍射
条纹宽度	各条亮纹宽度相等，等间距	中央亮纹最宽（约为两侧的两倍），两侧越来越窄
亮度	各条亮纹亮度基本相同	中央最亮，两侧迅速变暗
共同点	都是明暗相间的条纹；都是波的叠加；波长越长条纹越宽；白光照射中央白、两侧彩色

使用场景

• 题目问某种情形能不能发生明显衍射，或比较声波和光波绕过障碍物的能力 → 衍射条件 → 比较孔、缝、障碍物的尺寸和波长的数量级。
• 题目说单缝变窄（或变宽）、换波长更长（或更短）的光，问中央亮纹的宽度和亮度怎样变 → 单缝衍射 → 缝越窄、波长越长，中央亮纹越宽；缝变窄透过的光少，亮度降低。
• 题目给出几张条纹图样，问哪些是干涉、哪些是衍射，哪张对应哪种色光 → 先看是否等间距，再比较宽窄 → 等间距是干涉，中央宽是衍射；同一装置下条纹宽的波长长。
• 题目描述泊松亮斑、圆孔衍射环、透过手指缝或羽毛看灯出现彩色条纹，问说明了什么 → 衍射现象 → 说明光是一种波（波动说）。

注意点

• “明显衍射”的条件不是“能否衍射”的条件。衍射总在发生，只是障碍物比波长大得多时不明显。
• 单缝变窄时，中央亮纹变宽，但亮度变暗（通过的光少了）。不要说“衍射越明显，亮纹越亮”。
• 双缝干涉的图样严格说也受每条缝自身衍射的影响（亮纹的亮度在远处会变暗），但中央附近各亮纹近似等宽等亮，题目一律按“干涉等间距”处理。
• 衍射和干涉不是两种不同的机理，都是相干波的叠加：干涉是有限几束光的叠加，衍射是缝内无数个子波源的叠加。
• 泊松亮斑要用不透明圆板，而且要足够小、用点光源；中心亮斑出现在阴影里，不是出现在孔的中心（那是圆孔衍射）。

推导

衍射条纹的定量计算要用到大学的积分（菲涅耳积分、夫琅禾费衍射），高中只要求定性理解。下面是高中能懂的说明。

惠更斯原理：波面上每一点都可以看作发射子波的波源。光通过单缝时，缝中的每一点都向各个方向发出子波，它们在屏上叠加。缝很宽时，各子波在阴影区的叠加几乎完全抵消，表现为直线传播；缝窄到和波长相近时，抵消不完全，光就明显进入阴影区。

为什么单缝中央亮纹宽度和 $\dfrac{\lambda}{a}$ 有关（了解）：设缝宽为 $a$。在偏离中央方向 $\theta$ 处，把缝分成上下两半，若上半缝每一点和下半缝对应点到屏的路程差都是 $\dfrac{\lambda}{2}$，两半的子波两两抵消，这里就是暗纹。上下两半对应点相距 $\dfrac{a}{2}$，路程差约 $\dfrac{a}{2}\sin\theta$，令其等于 $\dfrac{\lambda}{2}$，得第一条暗纹的方向

$$a\sin\theta = \lambda$$

（关键一步：把缝“两两配对”，每一对的子波相位相反、互相抵消，所以整条缝的光在这个方向上抵消为零。）

所以 $a$ 越小或 $\lambda$ 越大，$\theta$ 越大，中央亮纹越宽。$a \gg \lambda$ 时 $\theta \approx 0$，中央亮纹缩成缝的几何像，回到直线传播。这一段课标不要求，用来理解“缝越窄、波长越长，衍射越明显”。

例题

例 1　（场景：明显衍射的条件）隔着一堵墙，能听到墙另一侧的人说话，却看不到人。下列解释正确的是（　）。

A. 声波是纵波，光波是横波，只有纵波能衍射 B. 声波的波长与墙的尺寸相近，衍射明显；光的波长远小于墙的尺寸，衍射不明显 C. 光的传播速度太快，来不及绕过墙 D. 声波能量大，光波能量小

解：B。

判断依据：发生明显衍射的条件是障碍物尺寸跟波长差不多或比波长小。

人说话的声波频率约几百赫兹，在空气中波速约 $340\ \mathrm{m/s}$，波长约 $1\ \mathrm{m}$，和门窗、墙的尺度相当，衍射明显。可见光波长约 $5 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$，比墙小 6 个数量级以上，衍射极不明显。A 错，横波纵波都能衍射；C、D 与衍射无关。

例 2　（场景：单缝宽度和波长对衍射的影响）用红色激光照射一条宽度可调的单缝，在缝后的屏上观察衍射条纹。把缝宽逐渐减小，屏上中央亮纹将（　）；若保持缝宽不变，改用蓝色激光，中央亮纹将（　）。

解：变宽且变暗；变窄。

判断依据：单缝衍射中，缝越窄、波长越长，中央亮纹越宽（本节推导 $a\sin\theta = \lambda$）。

缝宽减小，$\theta$ 增大，中央亮纹变宽；通过缝的光减少，又分布到更宽的范围上，亮度变暗。蓝光波长比红光短，同样缝宽下 $\theta$ 小，中央亮纹变窄。

容易卡在：以为缝越窄、“光越集中”，亮纹越窄。直线传播的直觉只在缝远大于波长时成立；缝窄到和波长相近，规律反过来。

例 3　（场景：辨别干涉和衍射图样）用同一套装置，分别让红光、蓝光通过同一个双缝和同一个单缝，在屏上得到图中甲、乙、丙、丁四种图样（黑色为暗区）。下列判断正确的是（　）。

A. 甲、乙是干涉图样，丙、丁是衍射图样 B. 甲是红光的干涉图样，丙是蓝光的干涉图样 C. 乙是红光的衍射图样，丁是蓝光的衍射图样 D. 甲是蓝光的干涉图样，丁是红光的衍射图样

解：B。

判断依据：等间距、等宽的是干涉，中央亮纹特别宽的是衍射；同一装置下波长越长，条纹越宽。

甲、丙等间距，是双缝干涉；乙、丁中央亮纹宽、两侧窄，是单缝衍射，A 错。红光波长比蓝光长，条纹宽：干涉中较疏的甲是红光、较密的丙是蓝光，B 对、D 错；衍射中中央亮纹较宽的丁是红光、乙是蓝光，C 错。

容易卡在：只看“疏密”不先分类。先用“是否等间距”分出干涉和衍射，再在同类里比宽窄。

例 4　（场景：衍射现象的识别与意义）下列现象中，属于光的衍射的是（　）。

A. 雨后天空出现彩虹 B. 阳光下肥皂泡呈现彩色 C. 用点光源照射不透明小圆板，阴影中心出现亮斑 D. 水中的筷子看起来向上弯折

解：C。

判断依据：衍射是光绕过障碍物进入阴影区；彩虹是折射和色散，肥皂泡是薄膜干涉，筷子“弯折”是折射。

C 是泊松亮斑，光绕过圆板边缘进入阴影中心并相互加强，是衍射，它是光的波动说的有力证据。A、D 属于第 23 章的折射和色散，B 属于 24.3 的薄膜干涉。

常用推论

• 衍射明显的条件：孔、缝、障碍物的尺寸 $\le$ 波长的数量级。波长越长越容易衍射：声波 > 无线电长波 > 可见光（红 > 紫）。
• 单缝衍射：缝越窄、波长越长，中央亮纹越宽；缝变窄时亮度降低（本节推导）。
• 辨图口诀：等间距是干涉，中央宽是衍射；同一装置下条纹宽的是红光（波长长）。
• 白光的单缝衍射和双缝干涉都是中央白色、两侧彩色，不能凭“有没有彩色”区分，只能凭条纹是否等间距区分。

易错点

• 错在哪：认为光不能发生衍射，或认为只有缝小于波长才“发生”衍射。 为什么错：把“明显衍射的条件”当成“衍射的条件”。衍射总在发生，大障碍物只是让它不明显。 正确做法：说“发生明显衍射的条件”。
• 错在哪：单缝越窄，中央亮纹越窄、越亮。 为什么错：直线传播的直觉：“缝窄，光束就细”。这在缝远大于波长时成立，缝和波长相近后，越窄衍射越明显，亮纹越宽。 正确做法：缝和波长相近时，用“缝窄纹宽”判断；亮度看通过的光量，缝窄则暗。
• 错在哪：看到彩色条纹就判断是干涉。 为什么错：白光的干涉、衍射、色散都能出现彩色。 正确做法：先问成因：两表面反射（薄膜干涉）、通过狭缝或绕过障碍（衍射）、经过棱镜或水滴折射（色散）。
• 错在哪：认为泊松亮斑说明光是粒子（“光点”）。 为什么错：亮斑在几何阴影的正中心，按直线传播（粒子观点）那里应该最暗，只有波绕过圆板边缘在中心同相叠加才解释得了。 正确做法：泊松亮斑是衍射，支持波动说。

直观理解

干涉像“两个人合唱”，几条声音整齐叠加，强弱交替得很均匀；衍射像“一群人从门口挤出去”，大部分挤在正前方（中央亮纹），少数人散到两边，越往外越少。

一句话记法：“干涉等间距，衍射中央宽。”

关联知识点

• 前置：第 22 章波的衍射，明显衍射的条件相同；惠更斯原理。
• 前置：24.2 节干涉，两种图样的对比。
• 后续：第 35 章电子衍射，证明实物粒子也有波动性（物质波）。
• 常一起考：第 23 章光的色散、24.3 节薄膜干涉，“彩色条纹的成因”辨析题；第 22 章声波的衍射，和光的衍射对比。

24.5 光的偏振

说明

横波和纵波的区别（第 22 章）：横波的振动方向和传播方向垂直，纵波的振动方向和传播方向在一条直线上。对横波来说，在垂直于传播方向的平面内，振动可以沿不同方向，这叫横波的偏振；纵波没有偏振。

偏振片：由特定材料制成，它上面有一个特殊方向叫透振方向，只有沿透振方向振动的光才能通过。

• 自然光：太阳、电灯等普通光源发出的光，包含垂直于传播方向的一切方向的振动，各方向的强度都相同。
• 偏振光：只沿某一个特定方向振动的光。自然光通过偏振片后变成偏振光。

两块偏振片的实验：让自然光依次通过偏振片 $P$ 和 $Q$。转动 $Q$：两块的透振方向平行时，透过的光最强；垂直时，几乎没有光透过；转动 $Q$ 一周，透射光出现两次最强、两次最暗。这个现象只有横波才有，所以光的偏振现象说明光是横波。

生活中的偏振光：除了直接从光源发出的光，我们看到的光很多是偏振光。自然光在玻璃、水面等表面反射时，反射光和折射光都成为部分偏振光；入射角合适时（反射光与折射光垂直），反射光是完全偏振光。

应用：

• 拍摄水下景物、橱窗内的物品时，在镜头前加偏振滤光片，转到合适方向，就能滤掉水面、玻璃的反射光，使像清晰。
• 立体电影：两台放映机分别用透振方向互相垂直的偏振光投出左右眼画面，观众戴的眼镜两片偏振片透振方向也互相垂直，每只眼只看到一个画面，产生立体感。
• 液晶显示器利用偏振片和液晶对偏振光的控制来显示图像。

使用场景

• 题目问哪个现象说明光是横波，或给出干涉、衍射、偏振、光电效应几个选项 → 偏振 → 只有偏振能区分横波和纵波；干涉、衍射只说明光是波。
• 题目描述两块偏振片，一块固定、转动另一块，问透射光强怎样变化 → 两偏振片 → 透振方向平行最亮、垂直最暗；转一周两亮两暗。
• 题目问拍摄橱窗、水下用偏振滤光片，或立体电影、液晶显示的原理 → 偏振光的应用 → 反射光是偏振光，可以被偏振片滤掉；互相垂直的偏振光互不干扰。

注意点

• 偏振片只“挑选”振动方向，不改变光的频率和颜色。
• 自然光通过一块偏振片，无论偏振片怎样转动，透射光强都不变（约为原来的一半），因为自然光各方向振动强度相同。只有对偏振光转动偏振片，光强才变化。
• “透振方向垂直时没有光通过”是指偏振片理想的情形；题目中说“几乎没有光”或“最暗”。
• 偏振说明光是横波，但不说明光是电磁波；光是电磁波由麦克斯韦理论预言、赫兹实验证实（第 30 章）。
• 两块偏振片透振方向成任意角 $\theta$ 时，透射光强 $I = I_0\cos^2\theta$（马吕斯定律），课标不要求，知道”$\theta$ 从 $0^\circ$ 到 $90^\circ$ 光强逐渐减弱到零“即可。

推导

为什么偏振现象说明光是横波：用绳子上的波作对比。

1. 让绳上的横波穿过一条竖直的狭缝：振动方向竖直时，绳可以在缝里上下振动，波通过；振动方向水平时，绳被缝挡住，波不能通过。
2. 让弹簧上的纵波穿过同样的狭缝：振动沿弹簧方向，无论缝竖直还是水平，都不妨碍振动，波总能通过。
3. 光通过两块偏振片，第二块转动时透射光强会变化、甚至消失，表现和横波过狭缝完全相同，和纵波不同。

（关键一步：纵波的振动方向就是传播方向，绕传播方向转动狭缝，对它来说没有任何区别；只有振动方向垂直于传播方向的横波，才会对“狭缝朝哪个方向”敏感。）

所以光是横波。光的横波性质由电磁理论给出：光是电磁波，电场和磁场的振动方向都垂直于传播方向。

例题

例 1　（场景：哪个现象说明光是横波）下列现象中，能说明光是横波的是（　）。

A. 光的干涉　B. 光的衍射　C. 光的偏振　D. 光的色散

解：C。

判断依据：只有偏振是横波特有的现象。

干涉和衍射是一切波（横波和纵波）都有的现象，只能说明光是波，不能区分横纵；声波是纵波，也能干涉、衍射。色散说明不同色光的折射率不同。偏振只有横波才有，所以 C 正确。

例 2　（场景：两块偏振片）如图所示，自然光依次通过偏振片 $P$ 和 $Q$，两者的透振方向互相垂直。保持 $P$ 不动，把 $Q$ 绕光的传播方向缓慢转动一周，在 $Q$ 后面观察透射光。下列说法正确的是（　）。

A. 始终没有光透过 B. 光的亮度不变 C. 先变亮后变暗，转一周出现两次最亮、两次最暗 D. 先变亮后变暗，转一周出现一次最亮、一次最暗

解：C。

判断依据：$P$、$Q$ 透振方向平行时透射光最强，垂直时最暗（本节说明）。

图见本节“说明”，开始时两者垂直，最暗。$Q$ 转过 $90^\circ$ 与 $P$ 平行，最亮；转过 $180^\circ$ 又垂直，最暗；$270^\circ$ 再平行，最亮；$360^\circ$ 回到最暗。一周里两次最亮、两次最暗。

容易卡在：以为转 $180^\circ$ 才回到原状态，选 D。透振方向是一条“直线方向”，转 $180^\circ$ 就和原来重合了。

例 3　（场景：偏振的应用）摄影师隔着商店橱窗拍摄里面的商品，玻璃表面的反射光使照片上有一片白亮的反光。在镜头前加一片偏振滤光片并适当转动，反光明显减弱。这样做的原理是（　）。

A. 偏振片增大了玻璃的透光率 B. 玻璃的反射光是偏振光，偏振片的透振方向与它垂直时能把它挡住 C. 偏振片使反射光发生干涉相消 D. 偏振片使反射光发生衍射，偏离镜头

解：B。

判断依据：自然光经玻璃表面反射后变成（部分）偏振光，偏振片可以挡住与透振方向垂直的偏振光。

转动滤光片，使它的透振方向和反射光的振动方向垂直，反射光大部分被挡住；橱窗里商品射来的光是自然光，仍有约一半能透过，所以商品清晰、反光变弱。

常用推论

• 判断横纵波：能发生偏振的一定是横波；干涉、衍射不能区分横纵波。
• 两块偏振片：透振方向平行最亮，垂直最暗；其中一块转动一周，两亮两暗（例 2）。
• 自然光通过一块偏振片后光强约减为一半，转动这块偏振片光强不变；对偏振光转动偏振片，光强才变化。
• 反射光、折射光都是部分偏振光；入射角满足反射光与折射光垂直时，反射光是完全偏振光（课标不要求定量）。

易错点

• 错在哪：认为光的干涉、衍射说明光是横波。 为什么错：把“光是波”和“光是横波”混为一谈。声波是纵波，同样能干涉、衍射。 正确做法：干涉、衍射 → 光是波；偏振 → 光是横波。
• 错在哪：认为自然光通过一块偏振片后，转动这块偏振片，透射光亮度会变。 为什么错：自然光各方向振动强度相同，偏振片转到哪个方向，挑出的都是同样强的一部分。 正确做法：只有入射光本身是偏振光（经过另一块偏振片、或经过反射），转动偏振片才看得到明暗变化。
• 错在哪：转动偏振片一周，认为只出现一次最暗。 为什么错：把透振方向当成“有箭头的方向”。透振方向是一条直线，转 $180^\circ$ 就回到原来的方向。 正确做法：一周 $360^\circ$ 里，平行和垂直各出现两次。

直观理解

偏振片像一排竖直的栅栏，横波像抖动的绳子：上下抖的绳子能从栅栏缝里穿过去，左右抖的就被卡住。两道栅栏一竖一横，什么都过不去。纵波像来回推拉的弹簧，栅栏怎么转都挡不住它，所以纵波没有偏振。

一句话记法：“能被栅栏挡住的是横波。”

关联知识点

• 前置：第 22 章横波和纵波，振动方向和传播方向的关系。
• 后续：第 30 章电磁波，光是电磁波，电场、磁场的振动都垂直于传播方向，所以是横波。
• 常一起考：24.2、24.4 节，“光的波动性”选择题常把干涉、衍射、偏振放在一起，问各自说明了什么。

24.6 激光

说明

激光：利用受激辐射原理，由激光器人工产生的光。1917 年爱因斯坦提出受激辐射的理论，1960 年美国物理学家梅曼（T. Maiman）制成第一台激光器（红宝石激光器）。

激光的特点和应用（高中常按三个特点归纳，“单色性好”并入相干性）：

特点	含义	应用
相干性好	频率单一（单色性好），相位差恒定，是理想的相干光	光纤通信（像无线电波一样调制、传递信息）；全息照相；做干涉实验不需要单缝
平行度好	方向性好，传播很远仍几乎不发散，能会聚到很小的点	激光测距、激光雷达；读取光盘上的信息；准直
亮度高	能在很小的空间、很短的时间内集中很大的能量	切割、焊接、打孔；医学上的激光手术刀；激光核聚变

使用场景

• 题目给出一种激光应用（测距、切割、全息、光纤通信、读光盘），问利用了哪个特点 → 激光三特点 → 按“传信息、做干涉看相干性；测距、读盘看平行度；加工、手术看亮度”对号。
• 题目给出激光往返时间求距离（激光测月、激光雷达） → 激光沿直线以光速往返 → $s = \dfrac{ct}{2}$。
• 题目问用激光做双缝干涉实验为什么可以不用单缝、滤光片 → 激光是相干性好的单色光 → 它本身就满足相干条件。

注意点

• 激光仍然是电磁波，遵从光的一切规律（反射、折射、干涉、衍射、偏振），只是相干性、方向性、亮度特别好。
• “平行度好”不等于完全不发散。激光射到月球上，光斑直径仍有几千米量级，只是比普通光小得多。
• 强激光会严重伤害眼睛，实验时不能直视激光或其镜面反射光。
• 激光测距的时间是往返时间，距离要除以 2。

推导

本知识点没有课本要求的推导，因为激光的产生原理（受激辐射、粒子数反转、谐振腔）属于大学原子物理和激光物理的内容。

高中可以这样理解它为什么“相干性好”：普通光源中，大量原子各自独立、随机地发光，发出的光频率、相位、方向各不相同，所以普通光源发出的光不相干（24.2）。激光器中，一个光子经过处于激发态的原子时，“诱导”原子发出一个和它频率、相位、方向、偏振都完全相同的光子（受激辐射），光子越“复制”越多，于是得到大量步调一致的光，这就是相干性好、平行度好的来源；能量集中在一个方向、一个频率上，所以亮度高。

（关键一步：受激辐射产生的光子和入射光子完全相同，这一点决定了激光的三个特点都来自同一个原因：发光过程是“整齐的”，而不是“杂乱的”。）

例题

例 1　（场景：应用对应特点）下列激光应用与所利用的特点对应正确的是（　）。

A. 激光切割金属——相干性好 B. 激光测距——平行度好 C. 全息照相——亮度高 D. 光纤通信——亮度高

解：B。

判断依据：按“传信息、做干涉看相干性；测距、读盘看平行度；加工、手术看亮度”对号（本节说明的表）。

切割利用亮度高（能量集中），A 错；测距利用平行度好，传很远不发散，B 对；全息照相要记录光的干涉，利用相干性好，C 错；光纤通信要对光进行调制，利用相干性好，D 错。

例 2　（场景：激光测距）从地球向月球表面的反射器发射一束激光脉冲，测得从发射到接收到反射回来的激光共用时 $2.56\ \mathrm{s}$。光速取 $3.0 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$，求此时地月之间的距离。

解：

研究对象：激光脉冲。

过程划分：激光从地球到月球，再反射回地球，往返两段，路程相等。

分析：激光在真空中沿直线以光速匀速传播（平行度好，传到月球仍能被接收），单程时间是总时间的一半。

列式求解：

$$s = \frac{ct}{2} = \frac{3.0 \times 10^8 \times 2.56}{2}\ \mathrm{m} \approx 3.8 \times 10^8\ \mathrm{m}$$

检验：与第 1 章估算表中地月距离约 $3.8 \times 10^8\ \mathrm{m}$ 一致，量级合理。单位 $\mathrm{m/s} \times \mathrm{s} = \mathrm{m}$，对。

容易卡在：忘了除以 2，得到 $7.7 \times 10^8\ \mathrm{m}$，是地月距离的两倍。

例 3　（场景：激光做干涉实验）用激光做双缝干涉实验时，可以把激光直接照射到双缝上，不需要滤光片和单缝。原因是（　）。

A. 激光亮度高，条纹更清楚 B. 激光平行度好，光能全部进入双缝 C. 激光是频率单一、相位差恒定的相干光，本身就满足相干条件 D. 激光波长特别短

解：C。

判断依据：双缝干涉要求照到两缝的光是相干光（24.2 节）；普通光源用滤光片得到单色光，用单缝得到“同一处”发出的光。

激光频率单一，代替了滤光片的作用；激光各处相位关系恒定，照到两缝的光自然是相干的，代替了单缝的作用。A、B 只能让实验更方便，不是可以省掉单缝的原因；D 错，激光的波长并不特别短（如常用的红色氦氖激光约 $633\ \mathrm{nm}$）。

常用推论

• 三特点对号：相干性好 → 光纤通信、全息照相、干涉实验；平行度好 → 测距、激光雷达、读光盘；亮度高 → 切割、焊接、手术刀、核聚变。
• 激光测距：$s = \dfrac{ct}{2}$，$t$ 是往返时间（例 2）。

易错点

• 错在哪：认为激光切割利用的是“平行度好”。 为什么错：平行度好使激光能会聚到很小的点，但真正熔化金属靠的是单位面积上集中的巨大能量，所以归为“亮度高”。 正确做法：加工、手术一律归“亮度高”。
• 错在哪：认为激光不是电磁波，不发生衍射。 为什么错：被“激光很直”的印象误导。激光照到细缝上同样衍射，实验室里做单缝衍射正是用激光。 正确做法：激光是一种特别“整齐”的光，光的一切规律都适用。
• 错在哪：激光测距用总时间乘光速。 为什么错：测到的是往返时间。 正确做法：$s = \dfrac{ct}{2}$。

直观理解

普通光源像一群人各走各的、各唱各的，嘈杂而分散；激光像一支步调整齐、齐声合唱的队伍，同一个音高（单色）、同一个节拍（相干）、朝同一个方向（平行），声音自然又响又远（亮度高）。

一句话记法：“整齐的光：一样的颜色、一样的步调、一样的方向。”

关联知识点

• 前置：24.2 节相干光的条件，激光是理想的相干光源。
• 后续：第 34 章原子的能级跃迁，激光来自原子在能级间的受激跃迁。
• 后续：第 41 章双缝干涉测波长，可用激光代替光源、滤光片和单缝。
• 常一起考：第 23 章全反射与光导纤维，光纤通信用激光作载波。

24.7 知识点之间的关系

本章五个知识点都回答同一个问题：“光是什么样的波”。干涉（24.2、24.3）和衍射（24.4）说明光是波，偏振（24.5）说明光是横波，激光（24.6）是人工造出的理想相干光。解题时先看现象：有明暗相间的条纹，就问“是哪两束光在叠加”：双缝分出的两束是双缝干涉，薄膜两个表面的反射光是薄膜干涉，一条缝或一个障碍物“自己”产生的是衍射；转动偏振片看到明暗变化是偏振；问用途的是激光。干涉和衍射的规律与第 22 章机械波完全相同，可以对照着记。

24.8 自测

1. 双缝间距 $d = 0.25\ \mathrm{mm}$，双缝到屏的距离 $l = 1.0\ \mathrm{m}$，用波长 $500\ \mathrm{nm}$ 的光照射，求相邻亮纹的间距。
2. 用波长 $600\ \mathrm{nm}$ 的光做双缝干涉，屏上某点到两缝的路程差为 $2.1\ \mathrm{\mu m}$，该点是亮纹还是暗纹？
3. 双缝干涉实验中，要使屏上条纹间距变大，可以（　）。A. 改用绿光代替红光　B. 增大双缝间距　C. 增大双缝到屏的距离　D. 减小单缝到双缝的距离
4. 在折射率为 $1.5$ 的镜片上镀增透膜，膜的折射率为 $1.25$，要使真空中波长 $600\ \mathrm{nm}$ 的光反射最弱，膜的最小厚度是多少？
5. 空气劈尖中夹的细丝换成更粗的，条纹变疏还是变密？
6. 单缝宽度由 $0.4\ \mathrm{mm}$ 减小到 $0.1\ \mathrm{mm}$，中央亮纹宽度和亮度怎样变化？
7. 泊松亮斑是光的什么现象？它支持光的哪种学说？
8. 自然光通过两块透振方向互相垂直的偏振片，能否看到光？若只转动第二块偏振片一周，会出现几次最暗？
9. 用激光切割钢板、用激光读取光盘，分别利用了激光的什么特点？

答案：1. $2.0\ \mathrm{mm}$；2. 暗纹（$2.1\ \mathrm{\mu m} = 3.5\lambda$，半波长的 7 倍）；3. C；4. $120\ \mathrm{nm}$（$d = \dfrac{\lambda}{4n} = \dfrac{600}{4 \times 1.25}\ \mathrm{nm}$）；5. 变密；6. 变宽，变暗；7. 衍射，波动说；8. 几乎看不到光，2 次；9. 亮度高，平行度好。

24.9 深入阅读

• PhET · 波的干涉：用水波、声波和光波做双缝干涉和单缝衍射，拖动缝宽、缝距、波长，直接看条纹间距怎样变。
• 维基百科 · 双缝实验：杨氏双缝实验的历史、装置和条纹间距公式，以及单个光子、电子的双缝实验。
• 维基百科 · 偏振：横波的偏振、偏振片和马吕斯定律，反射光的偏振（布儒斯特角）和立体电影等应用。