第 17 章 · 恒定电流

项目	内容
课标主题	必修 3 · 电路及其应用（了解金属导体的电阻与材料、长度和横截面积的定量关系；了解串、并联电路电阻的特点；理解电功、电功率及焦耳定律，能用焦耳定律解释生产生活中的电热现象）
人教版（2019）	必修第三册 第十一章“电路及其应用”：1 电源和电流；2 导体的电阻；4 串联电路和并联电路（含电表的改装）。第十二章“电能　能量守恒定律”：1 电路中的能量转化
考试地位	很少单独出计算大题；选择题常考电动机等非纯电阻电路的功率、$I$-$U$ 图像（小灯泡）、串并联的比例关系；电表改装是电学实验题的常客（第 40 章）；本章的串并联和功率是第 18 章闭合电路的计算基本功
前置知识	第 1 章 1.4 图像的斜率；第 15 章电荷与元电荷；第 16 章电势差 $U$、电场力做功 $W = qU$

这一章从“电荷在导线里怎么动”讲到“电能变成了什么”。公式都不难，真正丢分的是三个地方：$I$-$U$ 曲线上用切线算电阻；电动机正在转的时候用 $I = \dfrac{U}{R}$ 或 $P = \dfrac{U^2}{R}$；电路一画得弯弯绕绕，就分不清谁和谁串联、谁和谁并联。本章把电流和电阻从定义讲清，再把串并联、电表改装、电功率三件实用的事各讲一遍，第 18 章的闭合电路、第 40 章的电学实验都直接用这里的结论。

17.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
17.2 电流	$I = \dfrac{q}{t}$；微观上 $I = nqSv$，自由电荷定向移动的速率很小	偶考，选择题考微观表达式和等效电流
17.3 电阻定律	$R = \rho\dfrac{l}{S}$，电阻由材料、长度、横截面积决定；电阻率随温度变化	常考，导线拉长、对折是高频小题；测电阻率实验在第 40 章
17.4 欧姆定律与 $I$-$U$ 图像	$I = \dfrac{U}{R}$ 只适用于纯电阻；直线看斜率，曲线上一点的电阻看与原点的连线	常考，小灯泡的伏安特性曲线是热点
17.5 串联电路和并联电路	串联电流相同、电压按电阻正比分；并联电压相同、电流按电阻反比分	必用，所有电路题的基础
17.6 电表的改装	电流计串联大电阻改成电压表，并联小电阻改成电流表	常考，多在实验题里出
17.7 电功、电功率与焦耳定律	$W = UIt$ 是电流做的总功，$Q = I^2Rt$ 是其中的发热；纯电阻两者相等，电动机不相等	常考，电动机的功率是选择题的高频点

17.2 电流

说明

电流的形成：导体里有大量能自由移动的电荷（金属里是自由电子，电解液里是正、负离子）。导体两端有电压时，导体内有电场，自由电荷在电场力作用下定向移动，形成电流。

电源的作用：把正电荷从低电势处搬到高电势处（电源内部），使导体两端始终保持电压，电流才能持续。电源怎样做到这一点、能力多大，是第 18 章电动势的内容。

电流的定义：单位时间内通过导体某一横截面的电荷量。

$$I = \frac{q}{t}$$

单位安培 $\mathrm{A}$，是国际单位制的基本单位；$1\ \mathrm{A} = 1\ \mathrm{C/s}$，$1\ \mathrm{mA} = 10^{-3}\ \mathrm{A}$，$1\ \mathrm{\mu A} = 10^{-6}\ \mathrm{A}$。

电流的方向：规定为正电荷定向移动的方向。金属中自由电子带负电，电子定向移动的方向和电流方向相反。在电源外部，电流从电源正极流向负极；在电源内部，从负极流向正极。电流有方向，但它是标量（第 1 章 1.3）。

恒定电流：大小和方向都不随时间变化的电流。电路接通后，导线中的电场由电源和导线表面、接头处积累的电荷共同产生，很快达到稳定，叫恒定电场；恒定电场下的电流就是恒定电流。

电流的微观表达式：设导体单位体积内的自由电荷数为 $n$，每个自由电荷的电荷量为 $q$，导体横截面积为 $S$，自由电荷定向移动的平均速率为 $v$，则

$$I = nqSv$$

模型：自由电荷看成以同一平均速率 $v$ 沿导线定向移动，不管它们各自杂乱无章的热运动（热运动在各个方向上平均起来为零，不形成电流）。

使用场景

• 题目给出一段时间内通过截面的电荷量或离子个数（电解液、气体放电、粒子束）→ 电流的定义 → $I = \dfrac{q}{t}$；正、负离子反向移动时，两者的电荷量相加。
• 题目问自由电子定向移动的速率，或给出导线的材料、粗细问电流 → 微观模型 → $I = nqSv$。
• 电荷绕圈转动（电子绕原子核转、带电圆环旋转）→ 等效电流 → 一个周期内通过某截面的电荷量就是总电荷量，$I = \dfrac{q}{T}$。

注意点

• 电解液中正离子向一个方向、负离子向相反方向移动，两者形成的电流同向，$q$ 取两种离子电荷量的绝对值之和，不是相减。
• 用 $I = nqSv$ 时，$q$ 是一个自由电荷的电荷量（金属中是 $e = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$），$n$ 是单位体积内的个数，单位 $\mathrm{m^{-3}}$；横截面积从 $\mathrm{mm^2}$ 换成 $\mathrm{m^2}$ 要乘 $10^{-6}$。
• 式中 $v$ 是定向移动的速率，约 $10^{-4}\ \mathrm{m/s}$ 的量级；它不是电流的传导速率（电场建立的速率，接近光速 $3 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$），也不是电子热运动的速率（约 $10^5\ \mathrm{m/s}$ 的量级）。
• 同一根导线粗细不均时，串联的各处电流相同，细的地方 $S$ 小，电子定向移动得快。

推导

$I = nqSv$ 的推导（如图）：在导体中取两个横截面，相距 $l = v\Delta t$。

1. 在 $\Delta t$ 时间内，自由电荷向右移动距离 $v\Delta t$，所以两截面之间的电荷，在 $\Delta t$ 内恰好全部穿过右边的截面。
2. 这一段导体的体积是 $S v\Delta t$，其中的自由电荷数是 $n S v\Delta t$，电荷量 $\Delta q = n q S v \Delta t$。
3. 由电流的定义：

$$I = \frac{\Delta q}{\Delta t} = \frac{nqSv\Delta t}{\Delta t} = nqSv$$

（关键一步：第 1 步“两截面之间的电荷恰好在 $\Delta t$ 内全部穿过”。这把“单位时间穿过截面的电荷”变成了“一段体积里的电荷”，而后者可以用 $n$ 和体积直接数出来。）

为什么开灯时灯立刻亮：电子定向移动很慢，但闭合开关后，电场以接近光速沿导线建立起来，导线各处的自由电子几乎同时开始定向移动，不需要等开关处的电子“跑”到灯泡。

例题

例 1　（场景：给出离子个数求电流）电解槽中，$2\ \mathrm{s}$ 内有 $1.0 \times 10^{19}$ 个一价正离子向右通过某截面，同时有 $1.0 \times 10^{19}$ 个一价负离子向左通过该截面。求电解液中的电流大小和方向（$e = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$）。

解：

研究对象：通过该截面的正、负离子。

过程划分：只看这 $2\ \mathrm{s}$。

分析：正离子向右移动，形成向右的电流；负离子向左移动，相当于正电荷向右移动，形成的电流也向右。两种离子的电荷量相加（本节“注意点”第一条）。

列式求解：

$$q = (1.0 \times 10^{19} + 1.0 \times 10^{19}) \times 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C} = 3.2\ \mathrm{C}$$ $$I = \frac{q}{t} = \frac{3.2}{2}\ \mathrm{A} = 1.6\ \mathrm{A}$$

电流大小 $1.6\ \mathrm{A}$，方向向右。

检验：单位 $\mathrm{C/s} = \mathrm{A}$，对。方向与正离子移动方向相同，符合电流方向的规定。

容易卡在：正负电荷相减得 0，认为没有电流。

例 2　（场景：自由电子定向移动的速率）横截面积 $1.0\ \mathrm{mm^2}$ 的铜导线中通有 $1.28\ \mathrm{A}$ 的电流，铜中自由电子的数密度 $n = 8.0 \times 10^{28}\ \mathrm{m^{-3}}$。求自由电子定向移动的平均速率（$e = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$）。

解：

研究对象：导线中的自由电子。

过程划分：电流恒定，不涉及过程。

分析：已知 $I$、$n$、$S$，求 $v$，用 $I = nqSv$。先换单位：$S = 1.0\ \mathrm{mm^2} = 1.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^2}$。

列式求解：

$$v = \frac{I}{neS} = \frac{1.28}{8.0 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1.0 \times 10^{-6}}\ \mathrm{m/s} = 1.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{m/s}$$

检验：单位：$\dfrac{\mathrm{A}}{\mathrm{m^{-3} \cdot C \cdot m^2}} = \dfrac{\mathrm{C/s}}{\mathrm{C/m}} = \mathrm{m/s}$，对。量级：每秒 $0.1\ \mathrm{mm}$，走 $1\ \mathrm{m}$ 要将近 3 小时，比直觉慢得多，这正是本节要说明的；它和电场的传播速率不是一回事。

容易卡在：$\mathrm{mm^2}$ 只乘 $10^{-3}$，结果差 1000 倍。

例 3　（场景：等效电流）按经典模型，氢原子的电子绕原子核做匀速圆周运动，周期 $T = 1.6 \times 10^{-16}\ \mathrm{s}$。求电子运动形成的等效电流的大小和方向（$e = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$）。

解：

研究对象：绕核运动的电子。

过程划分：取一个周期。

分析：在轨道上任取一个截面，每个周期电子通过它一次，通过的电荷量是 $e$。

列式求解：

$$I = \frac{e}{T} = \frac{1.6 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-16}}\ \mathrm{A} = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{A}$$

电子带负电，等效电流的方向与电子绕行的方向相反。

检验：单位对。方向：负电荷运动的反方向是电流方向，对。

常用推论

• 电荷量为 $Q$ 的圆环绕中心轴以角速度 $\omega$ 匀速转动，等效电流 $I = \dfrac{Q}{T} = \dfrac{Q\omega}{2\pi}$。由 $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$（第 10 章）代入 $I = \dfrac{Q}{T}$ 得出。
• 同一电流流过粗细不同的导线（同种材料），$nqS v$ 相同，所以 $v \propto \dfrac{1}{S}$：越细的地方电子定向移动越快。
• $I$-$t$ 图像与 $t$ 轴围成的面积是通过的电荷量（第 1 章 1.4），电容器放电的电荷量常这样求（第 16 章、第 40 章）。

易错点

• 错在哪：电解液中正、负离子反向移动，电流按两者电荷量之差算。 为什么错：把“方向相反”直接当成“相互抵消”。负电荷向左移动和正电荷向右移动效果相同，形成的电流同向。 正确做法：两种离子的电荷量取绝对值相加。
• 错在哪：认为开灯后电子从开关“跑”到灯泡，灯才亮；或反过来，认为电子定向移动速率就是光速。 为什么错：把“电荷的移动”和“电场的建立”混为一谈。 正确做法：区分三个速率：定向移动约 $10^{-4}\ \mathrm{m/s}$，热运动约 $10^5\ \mathrm{m/s}$，电场传播约 $3 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$。
• 错在哪：电流有方向，就当作矢量。 为什么错：判断矢量要看相加时是否遵从平行四边形定则。电流在节点处汇合按代数相加。 正确做法：电流是标量，“方向”只说明电荷沿导线往哪边走（第 1 章 1.3 例 4）。

直观理解

电流像河水的流量：不看水流得多快，看每秒钟有多少水流过某个断面。$I = nqSv$ 就是“流量 = 水的密度 × 河道截面积 × 流速”。导线里的电子像挤满人的走廊：每个人都只挪了一小步，但队伍一动，整条走廊几乎同时动起来。

关联知识点

• 前置：第 15 章元电荷，电荷量是 $e$ 的整数倍。
• 前置：第 16 章电势差，导体两端有电压，内部才有电场推动电荷。
• 后续：17.4 节欧姆定律，电流和电压的关系。
• 后续：第 18 章电动势，电源怎样维持电压。
• 后续：第 26 章洛伦兹力：安培力是导线中定向移动的电荷所受洛伦兹力的合力，推导时用 $I = nqSv$；霍尔效应也用它。

17.3 电阻定律

说明

电阻：导体对电流的阻碍作用。定义式

$$R = \frac{U}{I}$$

单位欧姆 $\mathrm{\Omega}$，$1\ \mathrm{\Omega} = 1\ \mathrm{V/A}$。这个式子是用来计算和测量电阻的，电阻的大小并不由 $U$、$I$ 决定。

电阻定律：同种材料的导体，电阻与长度 $l$ 成正比，与横截面积 $S$ 成反比，还与材料有关：

$$R = \rho\frac{l}{S}$$

这是电阻的决定式。模型：导体粗细均匀，电流沿长度方向均匀流过整个截面，温度一定。

电阻率 $\rho$：反映材料导电性能的物理量，单位 $\mathrm{\Omega \cdot m}$，与导体的形状无关，与材料和温度有关。几种材料在 $20\ ^\circ\mathrm{C}$ 时的电阻率：

材料	$\rho/(\mathrm{\Omega \cdot m})$	材料	$\rho/(\mathrm{\Omega \cdot m})$
银	$1.6 \times 10^{-8}$	钨	$5.3 \times 10^{-8}$
铜	$1.7 \times 10^{-8}$	铁	$1.0 \times 10^{-7}$
铝	$2.9 \times 10^{-8}$	镍铬合金	$1.0 \times 10^{-6}$

电阻率与温度：

• 金属的电阻率随温度升高而增大（灯丝冷的时候电阻小，发光时电阻大很多）。可以做电阻温度计。
• 有些合金（锰铜、康铜）的电阻率几乎不随温度变化，用来做标准电阻。
• 半导体的电阻率一般随温度升高而减小，可以做热敏电阻（第 30 章传感器）。
• 超导：某些材料在温度降到某一值以下时，电阻率突然变为零。1911 年昂内斯发现汞在约 $4.2\ \mathrm{K}$ 时电阻消失。

使用场景

• 同一根导线被均匀拉长、对折、截去一段 → 材料不变、体积不变（截去时体积按比例变）→ 先求新的 $l$、$S$，再用 $R = \rho\dfrac{l}{S}$，或用比例。
• 已知导线的长度、截面和电阻，求材料或求长度（输电线、绕线电阻）→ 电阻定律 → $\rho = \dfrac{RS}{l}$，查表认材料。
• 同一块长方体（或薄片）导体从不同方向通电 → 电流方向上的长度是 $l$，垂直于电流的截面是 $S$ → 分别代入 $R = \rho\dfrac{l}{S}$。
• 选择题考电阻、电阻率由什么决定，或灯丝冷热电阻不同 → 区分定义式和决定式，金属电阻率随温度升高而增大 → 不由 $U$、$I$ 决定。

注意点

• $R = \dfrac{U}{I}$ 是定义式，$R = \rho\dfrac{l}{S}$ 是决定式。“导体电阻与电压成正比、与电流成反比”是错的。
• 公式里的 $l$ 是沿电流方向的长度，$S$ 是垂直于电流方向的横截面积，同一块导体换个方向通电，$l$ 和 $S$ 都变。
• 横截面积常给直径：$S = \dfrac{\pi d^2}{4}$，直径变为原来的 2 倍，面积变为 4 倍。
• 拉长时“体积不变”是隐含条件：$lS$ 不变，长度变为 $n$ 倍，横截面积变为 $\dfrac{1}{n}$。
• 电阻率随温度变化，所以 $R = \rho\dfrac{l}{S}$ 中的 $\rho$ 要用该温度下的值；题目不说就认为温度不变。

推导

实验依据（控制变量法）：人教版的探究实验取 $a$、$b$、$c$、$d$ 四段导体，$b$ 与 $a$ 只有长度不同，$c$ 与 $a$ 只有横截面积不同，$d$ 与 $a$ 只有材料不同，四段串联接入电路，用电压表分别测各段两端的电压。

1. 串联时电流相同，由 $R = \dfrac{U}{I}$，各段电阻之比等于电压之比，只要比较电压。
2. 结果：长度是 $a$ 的 2 倍的 $b$，电压是 $a$ 的 2 倍，说明 $R \propto l$；横截面积是 $a$ 的 2 倍的 $c$，电压是 $a$ 的一半，说明 $R \propto \dfrac{1}{S}$；材料不同的 $d$，电压不同，说明 $R$ 与材料有关。

（关键一步：第 1 步把四段导体串联。电流处处相同，比较电阻就变成比较电压，只用一只电压表就能做，省掉了测电流的误差。）

逻辑推理：把 $n$ 段相同的导体首尾串联，长度变为 $n$ 倍，由串联电阻相加（17.5 节）电阻变为 $n$ 倍，所以 $R \propto l$；把 $n$ 根相同的导体并排并联，横截面积变为 $n$ 倍，电阻变为 $\dfrac{1}{n}$，所以 $R \propto \dfrac{1}{S}$。比例系数和材料有关，记作 $\rho$。

测量金属丝电阻率的实验（螺旋测微器测直径、伏安法测电阻）见第 40 章。

例题

例 1　（场景：导线拉长、对折）一根粗细均匀的电阻丝电阻为 $4\ \mathrm{\Omega}$。（1）把它均匀拉长到原来的 2 倍，电阻变为多少？（2）把原来的电阻丝对折后当作一根使用，电阻变为多少？

解：

研究对象：电阻丝。

过程划分：两种变形分别计算，材料和体积都不变。

分析：体积 $V = lS$ 不变，长度变了，横截面积跟着变，用 $R = \rho\dfrac{l}{S}$ 比较前后。

列式求解：原来 $R = \rho\dfrac{l}{S} = 4\ \mathrm{\Omega}$。

（1）拉长后 $l_1 = 2l$，$S_1 = \dfrac{S}{2}$：

$$R_1 = \rho\frac{2l}{S/2} = 4\rho\frac{l}{S} = 16\ \mathrm{\Omega}$$

（2）对折后 $l_2 = \dfrac{l}{2}$，$S_2 = 2S$：

$$R_2 = \rho\frac{l/2}{2S} = \frac{1}{4}\rho\frac{l}{S} = 1\ \mathrm{\Omega}$$

检验：拉长后又长又细，电阻变大；对折后又短又粗，电阻变小，方向都对。

容易卡在：拉长时只考虑长度变 2 倍，忘了横截面积也变，得出 $8\ \mathrm{\Omega}$。

另一种解法：体积不变时 $S = \dfrac{V}{l}$，代入得 $R = \rho\dfrac{l^2}{V} \propto l^2$。拉长到 2 倍，电阻变为 $2^2 = 4$ 倍，$16\ \mathrm{\Omega}$；对折相当于长度变为 $\dfrac{1}{2}$，电阻变为 $\dfrac{1}{4}$，$1\ \mathrm{\Omega}$。选择题用 $R \propto l^2$ 一步得结果；对折后又并联、截去一段再拉长这类组合变化，按 $l$、$S$ 分别写更不容易错。

例 2　（场景：由电阻求材料）一根长 $200\ \mathrm{m}$、横截面积 $2.0\ \mathrm{mm^2}$ 的导线，两端加 $3.4\ \mathrm{V}$ 电压时，通过的电流是 $2.0\ \mathrm{A}$。求导线的电阻率，并对照本节的表判断它是什么材料。

解：

研究对象：导线。

过程划分：不涉及过程，温度不变。

分析：由 $U$、$I$ 用定义式求出电阻，再由电阻定律求电阻率。$S = 2.0\ \mathrm{mm^2} = 2.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^2}$。

列式求解：

$$R = \frac{U}{I} = \frac{3.4}{2.0}\ \mathrm{\Omega} = 1.7\ \mathrm{\Omega}$$ $$\rho = \frac{RS}{l} = \frac{1.7 \times 2.0 \times 10^{-6}}{200}\ \mathrm{\Omega \cdot m} = 1.7 \times 10^{-8}\ \mathrm{\Omega \cdot m}$$

对照表格，是铜。

检验：单位 $\dfrac{\mathrm{\Omega \cdot m^2}}{\mathrm{m}} = \mathrm{\Omega \cdot m}$，对。量级：金属的电阻率在 $10^{-8} \sim 10^{-6}\ \mathrm{\Omega \cdot m}$，合理。

例 3　（场景：同一导体不同方向通电）一块长方体金属导体，长 $a = 4\ \mathrm{cm}$、宽 $b = 2\ \mathrm{cm}$、高 $c = 1\ \mathrm{cm}$。电流沿长 $a$ 的方向通过时电阻为 $R_1$，沿高 $c$ 的方向通过时电阻为 $R_2$，求 $R_1 : R_2$。

解：

研究对象：长方体导体。

过程划分：两种通电方向分别计算。

分析：沿 $a$ 通电时，$l = a$，横截面是 $b \times c$ 的面；沿 $c$ 通电时，$l = c$，横截面是 $a \times b$ 的面。

列式求解：

$$R_1 = \rho\frac{a}{bc}, \quad R_2 = \rho\frac{c}{ab}$$ $$\frac{R_1}{R_2} = \frac{a}{bc} \cdot \frac{ab}{c} = \frac{a^2}{c^2} = \frac{4^2}{1^2} = 16$$

所以 $R_1 : R_2 = 16 : 1$。

检验：沿 $a$ 方向又长、截面又小，电阻大；沿 $c$ 方向又短、截面又大，电阻小，比值大于 1，对。比值无单位，长度单位约掉，不必换算成米。

例 4　（场景：电阻、电阻率由什么决定）下列说法正确的是（　）。

A. 由 $R = \dfrac{U}{I}$ 可知，导体的电阻与两端电压成正比

B. 把一根导线截去一半，剩下部分的电阻率变为原来的一半

C. 白炽灯正常发光时的电阻比不发光时大

D. 电阻率越大的导体，电阻一定越大

解：C。

判断依据：电阻由材料、长度、横截面积和温度决定；电阻率只由材料和温度决定。

A 错：$R = \dfrac{U}{I}$ 只是计算式，电压加倍时电流也加倍，电阻不变。B 错：电阻率和长短无关，截去一半后电阻变为一半，电阻率不变。C 对：灯丝是金属钨，发光时温度两千多摄氏度，电阻率比常温大得多。D 错：电阻还和长度、横截面积有关。

常用推论

• 同一导线体积不变地拉长或压短：$R \propto l^2$，或写成 $R \propto \dfrac{1}{S^2}$。由 $S = \dfrac{V}{l}$ 代入 $R = \rho\dfrac{l}{S}$ 得出（例 1）。
• 同种材料、长度相同的导线，直径之比为 $1 : 2$ 时，电阻之比为 $4 : 1$。由 $S \propto d^2$ 得出。
• 一根导线均分成 $n$ 段后再并联，电阻变为原来的 $\dfrac{1}{n^2}$：每段 $\dfrac{R}{n}$，$n$ 段并联再除以 $n$。
• 正方形薄片导体（边长 $L$、厚度 $h$）沿一边方向通电，$R = \rho\dfrac{L}{Lh} = \dfrac{\rho}{h}$，与边长无关。由例 3 的方法得出，芯片里的薄膜电阻用到这个结论。

易错点

• 错在哪：认为“电阻与电压成正比、与电流成反比”。 为什么错：把定义式当成决定式，就像把“密度 = 质量 ÷ 体积”读成“密度与质量成正比”。 正确做法：电阻看 $R = \rho\dfrac{l}{S}$；$R = \dfrac{U}{I}$ 只用来算和测。
• 错在哪：导线拉长 2 倍，电阻按 2 倍算。 为什么错：只盯着 $l$，忘了体积不变带来的 $S$ 变化。 正确做法：拉长、对折一律先写“体积不变”，同时求新的 $l$ 和 $S$。
• 错在哪：认为导线截短了，电阻率也变小了。 为什么错：把“电阻”和“电阻率”混成一个量。电阻率是材料的属性，像密度一样和形状无关。 正确做法：截短、拉长都只改变 $R$，不改变 $\rho$（温度不变时）。

直观理解

电阻像一条走廊对人群的阻碍：走廊越长越难走（$R \propto l$），越宽越好走（$R \propto \dfrac{1}{S}$），地面越黏越难走（$\rho$ 大）。电阻率是“地面”的性质，电阻是“整条走廊”的性质。

关联知识点

• 前置：第 1 章 1.2 单位换算，$\mathrm{mm^2}$ 换成 $\mathrm{m^2}$ 要乘 $10^{-6}$。
• 后续：17.4 节欧姆定律，灯丝电阻随温度变化使小灯泡的 $I$-$U$ 图线弯曲。
• 后续：第 30 章传感器，热敏电阻、金属热电阻利用电阻率随温度变化。
• 常一起考：第 40 章“测量金属丝的电阻率”实验，由 $\rho = \dfrac{RS}{l} = \dfrac{\pi d^2 R}{4l}$ 求电阻率；第 37 章 37.2 螺旋测微器读数。

17.4 欧姆定律与 $I$-$U$ 图像

说明

部分电路欧姆定律：导体中的电流 $I$ 跟导体两端的电压 $U$ 成正比，跟导体的电阻 $R$ 成反比：

$$I = \frac{U}{R}$$

适用范围：金属导体和电解液导电（纯电阻）。对气体导电、二极管等半导体元件、正在转动的电动机，$I = \dfrac{U}{R}$ 不成立。

伏安特性曲线：以电压 $U$ 为横轴、电流 $I$ 为纵轴画出的 $I$-$U$ 图像。

• 线性元件：$I$-$U$ 图线是过原点的直线，电阻不随电压变化（定值电阻）。斜率 $k = \dfrac{\Delta I}{\Delta U} = \dfrac{1}{R}$，越陡电阻越小。
• 非线性元件：图线是曲线。小灯泡的 $I$-$U$ 曲线越来越平，是因为电压越大、灯丝温度越高、电阻越大（17.3 节）；二极管正向电压超过一定值才明显导电，反向几乎不导电。

曲线上某点的电阻：工作在 $(U_0, I_0)$ 时，电阻 $R = \dfrac{U_0}{I_0}$，就是这一点与原点连线斜率的倒数，不是切线斜率的倒数。

$U$-$I$ 图像：横轴、纵轴对调后，线性元件的斜率 $\dfrac{\Delta U}{\Delta I} = R$，越陡电阻越大。读图前先看清哪个轴是 $U$（第 1 章 1.4）。

使用场景

• 给出几个线性元件的 $I$-$U$（或 $U$-$I$）图像，比较电阻或求串并联时的分配 → 线性元件 → 斜率与 $R$ 的关系（$I$-$U$ 图斜率是 $\dfrac{1}{R}$，$U$-$I$ 图斜率是 $R$）。
• 给出小灯泡等非线性元件的伏安特性曲线，问某个工作状态的电阻 → 非线性元件 → $R = \dfrac{U}{I}$，看该点与原点的连线。
• 非线性元件和定值电阻串联接在已知电压上，问元件的实际电流、电压 → 两个约束同时满足 → 把定值电阻的约束 $U_{\text{元件}} + IR = U$ 画成直线，与元件曲线的交点就是工作点。

注意点

• 先看坐标轴：$I$-$U$ 图越陡电阻越小，$U$-$I$ 图越陡电阻越大，正好相反。
• 斜率要按坐标的刻度和单位算，不能量图线与横轴的夹角再取正切：两轴的标度不同，几何角度没有物理意义。
• 曲线上某点的电阻是 $\dfrac{U}{I}$，不是切线斜率的倒数 $\dfrac{\Delta U}{\Delta I}$。切线斜率的倒数在高中没有要求的物理意义，题目也不用它。
• 欧姆定律中 $U$、$I$、$R$ 必须对应同一段导体、同一时刻。
• 电动机卡住不转时就是一个纯电阻，可以用 $I = \dfrac{U}{R}$；一旦转起来就不行了（17.7 节）。

推导

实验依据：1826 年欧姆用实验得出这条规律，1827 年发表。当时化学电池的电压不稳，他改用温差电偶（两个接点分别放在沸水和冰水里）做电源，电压稳定；用扭秤式的电流计测电流（电流的磁效应使磁针偏转，扭转角度表示电流大小）。他把不同长度的导线接入电路，发现电流和“电压除以电阻”成正比。

今天的课堂实验：用电压表测定值电阻两端的电压，用电流表测电流，改变电压测多组数据，在 $I$-$U$ 坐标系中描点，各点落在一条过原点的直线上，说明 $I \propto U$；换不同的电阻重做，直线斜率不同，斜率越小电阻越大，说明 $I \propto \dfrac{1}{R}$。

（关键一步：数据点落在过原点的直线上。过原点说明 $U = 0$ 时 $I = 0$，直线说明比值 $\dfrac{U}{I}$ 不随 $U$ 变，两条合起来才是“成正比”。）

为什么小灯泡的图线弯曲：电压升高，电流增大，灯丝发热增多、温度升高，钨的电阻率变大，电阻 $\dfrac{U}{I}$ 随之变大，所以 $I$-$U$ 图线上各点与原点连线的斜率越来越小，曲线越来越平。描绘小灯泡伏安特性曲线要用分压接法从零调起，电路设计见第 37 章 37.6 节。

例题

例 1　（场景：比较线性元件的电阻）两个电阻 $a$、$b$ 的 $I$-$U$ 图像如图所示。（1）求 $R_a$、$R_b$；（2）把它们串联接入电路，两端电压之比是多少？并联呢，电流之比是多少？

解：

研究对象：电阻 $a$、$b$。

过程划分：不涉及过程。

分析：图线都是过原点的直线，是线性元件。$I$-$U$ 图的斜率是 $\dfrac{1}{R}$，取图线上的点算 $R = \dfrac{U}{I}$。串联电压按电阻正比分，并联电流按电阻反比分（17.5 节）。

列式求解：

$$R_a = \frac{2}{0.4}\ \mathrm{\Omega} = 5\ \mathrm{\Omega}, \quad R_b = \frac{4}{0.2}\ \mathrm{\Omega} = 20\ \mathrm{\Omega}$$

串联：$U_a : U_b = R_a : R_b = 1 : 4$。并联：$I_a : I_b = R_b : R_a = 4 : 1$。

检验：$a$ 的图线更陡，同样的电压下电流更大，电阻更小，与 $5\ \mathrm{\Omega} < 20\ \mathrm{\Omega}$ 一致。

容易卡在：看到 $a$ 更陡就以为 $a$ 的电阻大。那是 $U$-$I$ 图的读法。

例 2　（场景：非线性元件某状态的电阻）小灯泡的 $I$-$U$ 曲线如图，曲线上 $P$ 点的坐标为 $(2\ \mathrm{V}, 0.25\ \mathrm{A})$，过 $P$ 点的切线与纵轴交于 $0.1875\ \mathrm{A}$。求灯泡两端电压为 $2\ \mathrm{V}$ 时的电阻。某同学用切线斜率算得 $\dfrac{1}{k} = 32\ \mathrm{\Omega}$，错在哪里？

解：

判断依据：某一工作状态的电阻是这一状态下的 $\dfrac{U}{I}$，即该点与原点连线斜率的倒数（本节“说明”）。

$$R = \frac{U}{I} = \frac{2}{0.25}\ \mathrm{\Omega} = 8\ \mathrm{\Omega}$$

切线斜率 $k = \dfrac{0.25 - 0.1875}{2 - 0}\ \mathrm{A/V} = 0.03125\ \mathrm{A/V}$，$\dfrac{1}{k} = 32\ \mathrm{\Omega}$。切线斜率表示电压在 $2\ \mathrm{V}$ 附近变一点、电流跟着变多少，不是“电压除以电流”，所以 $32\ \mathrm{\Omega}$ 不是灯泡此时的电阻。

容易卡在：把“曲线上一点的斜率”和“直线的斜率”等同起来。对过原点的直线两者相同，对曲线不同。

例 3　（场景：非线性元件与电阻串联）例 2 的小灯泡与 $R = 8\ \mathrm{\Omega}$ 的定值电阻串联，接在电压恒为 $U = 4\ \mathrm{V}$ 的电源上。求灯泡两端的电压、通过的电流和此时的功率。

解：

研究对象：灯泡。

过程划分：电路稳定后的一个状态。

分析：灯泡的电阻随电压变，不能先求电阻再分压。灯泡的 $U_{\text{L}}$、$I$ 同时满足两个条件：在灯泡的伏安特性曲线上；满足串联电路的电压关系 $U_{\text{L}} + IR = U$。把第二个条件改写成 $I = \dfrac{U - U_{\text{L}}}{R}$，画在同一张图上，两线的交点就是答案。

列式求解：约束直线 $I = \dfrac{4 - U_{\text{L}}}{8}$，过 $(4\ \mathrm{V}, 0)$ 和 $(0, 0.5\ \mathrm{A})$。由图，交点为 $(2\ \mathrm{V}, 0.25\ \mathrm{A})$，即

$$U_{\text{L}} = 2\ \mathrm{V}, \quad I = 0.25\ \mathrm{A}, \quad P = U_{\text{L}} I = 2 \times 0.25\ \mathrm{W} = 0.5\ \mathrm{W}$$

检验：电阻两端电压 $IR = 0.25 \times 8\ \mathrm{V} = 2\ \mathrm{V}$，两者之和 $4\ \mathrm{V}$，对。

容易卡在：直接用某个“灯泡电阻”按比例分压。灯泡电阻随工作状态变，不知道电压就不知道电阻，只能用图像。

常用推论

• 线性元件的 $I$-$U$ 图上，图线在 $U$ 轴上方越陡电阻越小；$U$-$I$ 图上越陡电阻越大。由 $I = \dfrac{U}{R}$ 得出。
• 定值电阻 $R = \dfrac{U}{I} = \dfrac{\Delta U}{\Delta I}$，可以用电压、电流的变化量求电阻；非线性元件只能用 $\dfrac{U}{I}$。
• 非线性元件与定值电阻串联在恒定电压 $U$ 上，工作点是元件曲线与直线 $I = \dfrac{U - U_{\text{元件}}}{R}$ 的交点（例 3）。第 18 章元件接在有内阻的电源上时，直线换成电源的 $U$-$I$ 图线，做法相同。

易错点

• 错在哪：用小灯泡 $I$-$U$ 曲线上某点的切线斜率求电阻。 为什么错：把“斜率表示电阻”这条只对过原点直线成立的结论，推广到了曲线。 正确做法：曲线上某点的电阻 $= \dfrac{U}{I}$，看该点与原点的连线（例 2）。
• 错在哪：量图线与横轴的夹角 $\theta$，用 $R = \dfrac{1}{\tan\theta}$ 求电阻。 为什么错：两坐标轴的单位和标度不同，同一条图线换个标度画，夹角就变了，电阻却没变。 正确做法：在图线上取两点，按坐标值算 $\dfrac{\Delta I}{\Delta U}$。
• 错在哪：正在转的电动机，用 $I = \dfrac{U}{R_{\text{线圈}}}$ 求电流。 为什么错：欧姆定律只适用于电能全部变成内能的纯电阻；电动机还把电能变成机械能，电流比 $\dfrac{U}{R}$ 小得多。 正确做法：电动机转动时按 17.7 节的能量关系算。

直观理解

$I$-$U$ 图像回答“加多大电压，能推出多大电流”：图线越陡，越“好推”，电阻越小。小灯泡越推越热、越热越难推，所以曲线越往右越平。某一状态的电阻是从原点“看过去”的那条连线，不是那一点附近的走势。

关联知识点

• 前置：第 1 章 1.4 图像的斜率，“纵轴量除以横轴量”。
• 前置：17.3 节金属电阻率随温度升高而增大，解释小灯泡曲线弯曲。
• 后续：第 18 章闭合电路欧姆定律和电源的 $U$-$I$ 图像；元件图线与电源图线的交点是工作点。
• 常一起考：第 37 章 37.6 节描绘小灯泡伏安特性曲线的分压接法、内外接；第 40 章测电阻的实验。

17.5 串联电路和并联电路

说明

串联：元件首尾依次相连，电流只有一条路径。

	串联	并联
电流	处处相等 $I = I_1 = I_2 = \cdots$	总电流等于各支路之和 $I = I_1 + I_2 + \cdots$
电压	总电压等于各部分之和 $U = U_1 + U_2 + \cdots$	各支路电压相等 $U = U_1 = U_2 = \cdots$
总电阻	$R = R_1 + R_2 + \cdots$	$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \cdots$
分配关系	电压与电阻成正比 $\dfrac{U_1}{U_2} = \dfrac{R_1}{R_2}$	电流与电阻成反比 $\dfrac{I_1}{I_2} = \dfrac{R_2}{R_1}$
功率分配	$\dfrac{P_1}{P_2} = \dfrac{R_1}{R_2}$	$\dfrac{P_1}{P_2} = \dfrac{R_2}{R_1}$

两个电阻并联：$R = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$。$n$ 个相同的电阻 $R_0$ 并联：$R = \dfrac{R_0}{n}$。

理想电表：理想电流表内阻为零，在电路中相当于一根导线；理想电压表内阻无穷大，相当于断路。题目给出电表内阻时，电表就是一个能读出自身电流或电压的电阻。

混联电路的分析方法：

1. 理想电流表当导线，理想电压表当断路，先去掉。
2. 找节点：用导线（或理想电流表）直接相连的点电势相等，标成同一个字母。
3. 按节点重画电路：两端接在同一对节点之间的元件是并联的。
4. 从里往外逐层化简：先算并联部分，再算串联部分。

使用场景

• 几个电阻有串有并，已知总电压，求各部分的电流、电压 → 混联电路 → 先求等效电阻和总电流，再按串联分压、并联分流逐层拆开。
• 电压表、电流表的内阻不能忽略（题目给出电表内阻，或电压表内阻和被测电阻相当）→ 电表是一个电阻 → 把电表当电阻接入电路，用串并联规律算出电表的读数。
• 电路里有导线或理想电流表跨接，一眼看不出谁和谁串联、谁和谁并联 → 等电势点合并 → 标节点、重画电路，再按串并联计算；电流表的读数看流过它的是哪几个支路的电流。

注意点

• 并联的总电阻比其中最小的那个电阻还小；串联的总电阻比其中最大的还大。
• 无论串联还是并联，其中任何一个电阻增大，总电阻都增大。并联时这一点容易判断反：支路电阻变大，那一支路的电流变小，总电流变小，总电阻变大。
• 并联电路中再并入一个电阻（不管多大），总电阻减小。
• 分压、分流的比例关系只对同一串联段或同一组并联支路成立，跨层级不能直接用。
• 理想电压表“相当于断路”是指它不分走电流，但它仍然读出它两端的电压；电压表直接串在电路里时，电路几乎没有电流，电压表读数接近电源电压。

推导

串联：

• 电流处处相等：电路稳定后，导线中任何地方都不会持续积累电荷（否则电场会变，电流就不恒定），所以单位时间流过各截面的电荷量相同。
• 电压相加：电压是电势差。$U_{AB} = \varphi_A - \varphi_B$，中间经过 $C$ 点，$U_{AB} = (\varphi_A - \varphi_C) + (\varphi_C - \varphi_B) = U_{AC} + U_{CB}$（第 16 章）。
• 电阻相加：$U = U_1 + U_2 = IR_1 + IR_2$，等效电阻 $R = \dfrac{U}{I} = R_1 + R_2$。

并联：

• 电压相等：各支路两端接在同两个点上，这两点的电势差是确定的。
• 电流相加：节点处不积累电荷，流入节点的电荷量等于流出的电荷量（电荷守恒）。
• 电阻倒数相加：$I = I_1 + I_2 = \dfrac{U}{R_1} + \dfrac{U}{R_2}$，等效电阻满足 $\dfrac{1}{R} = \dfrac{I}{U} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}$。

（关键一步：电流规律来自“节点和导线中不积累电荷”，电压规律来自“电势差可以分段相加”。两条都是恒定电流的性质，其余公式都由它们和 $R = \dfrac{U}{I}$ 推出。）

任一电阻增大，并联总电阻增大：$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}$，$R_1$ 增大时 $\dfrac{1}{R_1}$ 减小，$\dfrac{1}{R}$ 减小，$R$ 增大。

例题

例 1　（场景：混联电路求各部分的电流、电压）如图，$R_1 = 4\ \mathrm{\Omega}$，$R_2 = 6\ \mathrm{\Omega}$，$R_3 = 3\ \mathrm{\Omega}$，电路两端电压恒为 $U = 12\ \mathrm{V}$。求通过各电阻的电流和各电阻两端的电压。

解：

研究对象：整个电路。

过程划分：电路稳定后的一个状态。

分析：$R_2$、$R_3$ 接在同一对节点之间，是并联；并联部分再与 $R_1$ 串联。先合并 $R_2$、$R_3$，再算总电流，再逐层拆开。

列式求解：并联部分

$$R_{23} = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} = \frac{6 \times 3}{6 + 3}\ \mathrm{\Omega} = 2\ \mathrm{\Omega}$$

总电阻 $R = R_1 + R_{23} = 6\ \mathrm{\Omega}$，总电流 $I = \dfrac{U}{R} = \dfrac{12}{6}\ \mathrm{A} = 2\ \mathrm{A}$，也就是通过 $R_1$ 的电流。

$$U_1 = IR_1 = 8\ \mathrm{V}, \quad U_{23} = IR_{23} = 4\ \mathrm{V}$$ $$I_2 = \frac{U_{23}}{R_2} = \frac{4}{6}\ \mathrm{A} = \frac{2}{3}\ \mathrm{A} \approx 0.67\ \mathrm{A}, \quad I_3 = \frac{U_{23}}{R_3} = \frac{4}{3}\ \mathrm{A} \approx 1.33\ \mathrm{A}$$

检验：$U_1 + U_{23} = 12\ \mathrm{V}$，$I_2 + I_3 = 2\ \mathrm{A}$，都对得上。

另一种解法：用比例。串联部分电压按电阻正比分：$U_1 : U_{23} = 4 : 2 = 2 : 1$，所以 $U_1 = 8\ \mathrm{V}$、$U_{23} = 4\ \mathrm{V}$；并联部分电流按电阻反比分：$I_2 : I_3 = 3 : 6 = 1 : 2$，总电流 $2\ \mathrm{A}$ 按 $1 : 2$ 分成 $\dfrac{2}{3}\ \mathrm{A}$ 和 $\dfrac{4}{3}\ \mathrm{A}$。选择题只问比值或某一处的电压时，比例法不用算总电流，更快；要求全部电流电压时，按步骤算更不容易漏。

例 2　（场景：电压表内阻不能忽略）两个阻值都是 $6\ \mathrm{k\Omega}$ 的电阻 $R_1$、$R_2$ 串联，接在电压恒为 $12\ \mathrm{V}$ 的电源上。用内阻 $R_{\text{V}} = 6\ \mathrm{k\Omega}$ 的电压表测 $R_2$ 两端的电压，读数是多少？

解：

研究对象：接入电压表后的电路。

过程划分：接入电压表后的稳定状态。

分析：电压表内阻和 $R_2$ 一样大，不能当成断路。它与 $R_2$ 并联，并联部分再与 $R_1$ 串联。电压表的读数就是并联部分两端的电压。

列式求解：

$$R_{2\text{V}} = \frac{R_2 R_{\text{V}}}{R_2 + R_{\text{V}}} = \frac{6 \times 6}{6 + 6}\ \mathrm{k\Omega} = 3\ \mathrm{k\Omega}$$ $$U_{\text{V}} = \frac{R_{2\text{V}}}{R_1 + R_{2\text{V}}}U = \frac{3}{6 + 3} \times 12\ \mathrm{V} = 4\ \mathrm{V}$$

检验：不接电压表时 $R_2$ 两端是 $6\ \mathrm{V}$；接入后并联部分电阻变小，分到的电压变小，$4\ \mathrm{V} < 6\ \mathrm{V}$，方向对。

容易卡在：直接答 $6\ \mathrm{V}$。用同一只电压表再测 $R_1$，读数也是 $4\ \mathrm{V}$，两次之和 $8\ \mathrm{V}$ 小于 $12\ \mathrm{V}$，就是电压表分流造成的。

例 3　（场景：导线跨接，重画电路）如图，$R_1 = R_2 = R_3 = 6\ \mathrm{\Omega}$，电源电压恒为 $U = 6\ \mathrm{V}$，左边为正极，电流表 $A_1$、$A_2$ 都是理想电流表。求两只电流表的读数和电源输出的总电流。

解：

研究对象：整个电路。

过程划分：电路稳定后的一个状态。

分析：理想电流表相当于导线。$A_1$ 把 $c$ 和 $b$ 连通，$c$、$b$ 电势相等；$A_2$ 把 $d$ 和 $a$ 连通，$d$、$a$ 电势相等。于是 $R_1$ 接在 $a$、$c$（即 $a$、$b$）之间，$R_2$ 接在 $c$、$d$（即 $b$、$a$）之间，$R_3$ 接在 $d$、$b$（即 $a$、$b$）之间：三个电阻都接在 $a$、$b$ 之间，是并联。

列式求解：每个电阻两端电压都是 $6\ \mathrm{V}$，电流都是 $\dfrac{6}{6}\ \mathrm{A} = 1\ \mathrm{A}$。总电流 $I = 3\ \mathrm{A}$。

电流表的读数要回到原图看：$a$ 点电势高。$R_1$ 的电流从 $a$ 流到 $c$，$R_2$ 的电流从 $d$ 流到 $c$，两股电流在 $c$ 点汇合后经 $A_1$ 流到 $b$，所以 $A_1$ 读数 $2\ \mathrm{A}$。$R_2$、$R_3$ 的电流都从 $d$ 流出，它们由 $a$ 经 $A_2$ 供给，所以 $A_2$ 读数 $2\ \mathrm{A}$。

检验：流入 $b$ 的电流：$R_3$ 的 $1\ \mathrm{A}$ 加 $A_1$ 的 $2\ \mathrm{A}$，共 $3\ \mathrm{A}$；从 $a$ 流出的电流：$R_1$ 的 $1\ \mathrm{A}$ 加 $A_2$ 的 $2\ \mathrm{A}$，共 $3\ \mathrm{A}$，和总电流一致。

容易卡在：重画后以为每只电流表测“一个电阻”的电流。重画只用来判断连接方式，电流表读数要回原图，看哪几股电流流过它。

常用推论

• 并联总电阻小于任一支路电阻；两个电阻并联，一个远大于另一个时，总电阻接近小的那个。由 $R = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \dfrac{R_2}{1 + R_2/R_1}$ 得出。
• 无论串联还是并联，任一电阻增大，总电阻增大（本节推导）。第 18 章电路动态分析的第一步就用它。
• 两个电阻并联：$I_1 = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2}I$，$I_2 = \dfrac{R_1}{R_1 + R_2}I$。由 $I_1 R_1 = I_2 R_2$ 和 $I_1 + I_2 = I$ 得出。
• 两个电阻串联在电压 $U$ 上：$U_1 = \dfrac{R_1}{R_1 + R_2}U$。
• 两个阻值之和一定的电阻并联，两者相等时并联电阻最大，为 $\dfrac{R_1 + R_2}{4}$。由 $R_1 R_2 \le \left(\dfrac{R_1 + R_2}{2}\right)^2$ 得出（均值不等式）。

易错点

• 错在哪：并联电路中一个支路电阻变大，认为总电阻变小。 为什么错：直觉以为“并联越多越小”，就把“并联”和“变小”绑在一起。 正确做法：记住“任一电阻增大，总电阻增大”，不论串并联。
• 错在哪：电压表内阻和被测电阻相当时，仍把电压表当断路（例 2 答成 $6\ \mathrm{V}$）。 为什么错：理想电表是近似；电压表的内阻有限，并上去就分走了电流，改变了原电路。 正确做法：题目给出电表内阻时，把电表当电阻画进电路。
• 错在哪：重画电路后，把电流表测的电流当成某一个电阻的电流。 为什么错：重画时电流表被当成导线“缩掉”了，它的位置信息丢了。 正确做法：重画只用来定连接方式和各电阻的电流；电流表读数回到原图，在节点处按“流入等于流出”数（例 3）。

直观理解

串联像一条单车道接连过几道收费站：车流量处处一样，每道站“卡掉”的时间（电压）按它的难度（电阻）分。并联像几条并排的车道：两头的落差一样，好走的车道（电阻小）分到的车多。

关联知识点

• 前置：第 16 章电势差，电压分段相加；第 15 章电荷守恒，节点电流相加。
• 后续：17.6 节电表的改装，就是串联分压、并联分流的应用。
• 后续：第 18 章闭合电路欧姆定律和电路的动态分析。
• 常一起考：第 37 章 37.6 节内接、外接的误差来源就是电表的分压和分流；滑动变阻器的分压、限流接法。
• 数学工具：两个电阻和一定时并联电阻的最大值用到基本不等式，见《高中数学知识点梳理》第 3 章。

17.6 电表的改装

说明

表头（灵敏电流计）G：电压表和电流表都是由小量程的电流计改装来的。表头有三个参数：

• 满偏电流 $I_{\text{g}}$：指针偏转到最大刻度时的电流，通常是微安到毫安量级。
• 内阻 $R_{\text{g}}$：表头线圈的电阻，通常几十到几百欧。
• 满偏电压 $U_{\text{g}} = I_{\text{g}} R_{\text{g}}$：满偏时表头两端的电压，通常很小。

表头指针偏转的角度与通过它的电流成正比。不管改装成什么表，指针转多少，只看流过表头的电流。

改装成电压表：表头串联一个大电阻 $R$，分担多出来的电压。量程为 $U$ 时，

$$R = \frac{U}{I_{\text{g}}} - R_{\text{g}} = (n - 1)R_{\text{g}}, \quad n = \frac{U}{U_{\text{g}}}$$

改装后电压表的内阻 $R_{\text{V}} = R_{\text{g}} + R = \dfrac{U}{I_{\text{g}}}$，量程越大，内阻越大。

改装成电流表：表头并联一个小电阻 $R$，分走多出来的电流。量程为 $I$ 时，

$$R = \frac{I_{\text{g}} R_{\text{g}}}{I - I_{\text{g}}} = \frac{R_{\text{g}}}{n - 1}, \quad n = \frac{I}{I_{\text{g}}}$$

改装后电流表的内阻 $R_{\text{A}} = \dfrac{R R_{\text{g}}}{R + R_{\text{g}}}$，比 $R$ 还小，量程越大，内阻越小。

刻度：改装后表盘重新标刻度，表头的每一格对应的电压（或电流）放大 $n$ 倍，刻度仍然均匀。

使用场景

• 给出表头的 $I_{\text{g}}$、$R_{\text{g}}$，要做成量程为 $U$ 的电压表 → 串联分压 → 满偏时表头电流 $I_{\text{g}}$，总电压 $U$，求串联电阻。
• 给出表头参数，要做成量程为 $I$ 的电流表 → 并联分流 → 满偏时表头电流 $I_{\text{g}}$、电压 $I_{\text{g}}R_{\text{g}}$，其余电流走并联电阻。
• 同一种表头改装的两只表串联或并联在一起，比较读数和指针偏角 → 偏角只看流过表头的电流 → 串联时找相同的电流，并联时找相同的电压。
• 改装后与标准表核对，读数偏大或偏小，问电阻该调大还是调小 → 校准 → 读数偏小说明流过表头的电流偏小，倒推分压或分流电阻偏大还是偏小。

注意点

• 电压表“串大”、电流表“并小”，不要接反：表头直接并联一个小电阻会被短路，几乎不偏转。
• 计算时用“满偏时”的状态：表头电流 $I_{\text{g}}$，表头电压 $I_{\text{g}}R_{\text{g}}$。
• 改装后的表是一个整体，它的读数是整个虚线框两端的电压（或流过整个虚线框的电流），不是表头自己的。
• 改装后的电压表内阻有限，电流表内阻不为零，实验中引起误差的就是它们（第 37 章 37.6 节）。
• 多用电表的欧姆挡也由表头改装，但还要加电源，原理和用法在第 40 章。

推导

电压表：满偏时，表头和串联电阻 $R$ 中的电流都是 $I_{\text{g}}$，两者电压之和等于量程 $U$（17.5 节串联规律）：

$$I_{\text{g}}(R_{\text{g}} + R) = U \quad \Rightarrow \quad R = \frac{U}{I_{\text{g}}} - R_{\text{g}}$$

令 $n = \dfrac{U}{U_{\text{g}}} = \dfrac{U}{I_{\text{g}}R_{\text{g}}}$，则 $R = nR_{\text{g}} - R_{\text{g}} = (n - 1)R_{\text{g}}$。

电流表：满偏时，表头电流 $I_{\text{g}}$，两端电压 $I_{\text{g}}R_{\text{g}}$；并联电阻两端电压相同，电流是 $I - I_{\text{g}}$（17.5 节并联规律）：

$$(I - I_{\text{g}})R = I_{\text{g}}R_{\text{g}} \quad \Rightarrow \quad R = \frac{I_{\text{g}} R_{\text{g}}}{I - I_{\text{g}}}$$

令 $n = \dfrac{I}{I_{\text{g}}}$，分子分母同除以 $I_{\text{g}}$，得 $R = \dfrac{R_{\text{g}}}{n - 1}$。

（关键一步：改装不改变表头本身，满偏时表头的电流仍是 $I_{\text{g}}$。所有计算都从“表头满偏”这个状态出发，用串联或并联规律把表头和附加电阻连起来。）

为什么刻度仍均匀：改装后，表头电流与总电压（或总电流）成正比，比例系数是常数，所以表头偏角与被测量成正比。

例题

例 1　（场景：改装成电压表）一个表头的满偏电流 $I_{\text{g}} = 1\ \mathrm{mA}$，内阻 $R_{\text{g}} = 100\ \mathrm{\Omega}$。要把它改装成量程为 $0 \sim 3\ \mathrm{V}$ 的电压表，应怎样连接一个多大的电阻？改装后电压表的内阻多大？表头指针指在 $0.5\ \mathrm{mA}$ 处时，被测电压是多少？

解：

研究对象：表头和要接入的电阻（电路如本节“说明”中的电压表改装图）。

过程划分：取满偏状态求电阻，再看半偏状态。

分析：改电压表要串联电阻分压。满偏时电流 $I_{\text{g}}$，总电压 $3\ \mathrm{V}$。

列式求解：

$$R = \frac{U}{I_{\text{g}}} - R_{\text{g}} = \left(\frac{3}{1 \times 10^{-3}} - 100\right)\ \mathrm{\Omega} = 2900\ \mathrm{\Omega}$$

应串联一个 $2900\ \mathrm{\Omega}$ 的电阻。改装后内阻 $R_{\text{V}} = R_{\text{g}} + R = 3000\ \mathrm{\Omega}$。

指针在 $0.5\ \mathrm{mA}$ 处时，被测电压 $U' = I'R_{\text{V}} = 0.5 \times 10^{-3} \times 3000\ \mathrm{V} = 1.5\ \mathrm{V}$。

检验：表头满偏电压 $U_{\text{g}} = 0.1\ \mathrm{V}$，要扩大 30 倍，$R = (30 - 1) \times 100\ \mathrm{\Omega} = 2900\ \mathrm{\Omega}$，一致。半偏对应半量程，刻度均匀，对。

例 2　（场景：改装成电流表）把例 1 的表头改装成量程为 $0 \sim 0.6\ \mathrm{A}$ 的电流表，应怎样连接一个多大的电阻？改装后电流表的内阻约多大？

解：

研究对象：表头和并联电阻（电路如本节“说明”中的电流表改装图）。

过程划分：取满偏状态。

分析：改电流表要并联电阻分流。满偏时表头电流 $1\ \mathrm{mA}$，电压 $U_{\text{g}} = I_{\text{g}} R_{\text{g}} = 0.1\ \mathrm{V}$；并联电阻分走 $0.6\ \mathrm{A} - 0.001\ \mathrm{A} = 0.599\ \mathrm{A}$。

列式求解：

$$R = \frac{I_{\text{g}} R_{\text{g}}}{I - I_{\text{g}}} = \frac{0.1}{0.599}\ \mathrm{\Omega} \approx 0.17\ \mathrm{\Omega}$$

应并联一个约 $0.17\ \mathrm{\Omega}$ 的电阻。改装后的内阻 $R_{\text{A}} = \dfrac{U_{\text{g}}}{I} = \dfrac{0.1}{0.6}\ \mathrm{\Omega} \approx 0.17\ \mathrm{\Omega}$。

检验：并联电阻远小于 $R_{\text{g}}$，绝大部分电流走它，表头只分 $\dfrac{1}{600}$，合理。改装后的内阻略小于 $0.17\ \mathrm{\Omega}$ 的并联电阻，与“并联电阻小于任一支路”一致。

另一种解法：$n = \dfrac{0.6\ \mathrm{A}}{1\ \mathrm{mA}} = 600$，直接用 $R = \dfrac{R_{\text{g}}}{n - 1} = \dfrac{100}{599}\ \mathrm{\Omega} \approx 0.17\ \mathrm{\Omega}$。记住倍数公式，选择题一步出结果；实验题给的数据不整齐时，回到“表头满偏电压 = 分流电阻电压”列式更稳。

例 3　（场景：两只改装表串联，比较读数和偏角）用两个完全相同的表头分别改装成量程为 $0 \sim 3\ \mathrm{V}$ 的电压表 $V_1$ 和 $0 \sim 15\ \mathrm{V}$ 的电压表 $V_2$，把两表串联后接到电路中。下列说法正确的是（　）。

A. 两表读数相同，指针偏角相同

B. 两表读数之比为 $1 : 5$，指针偏角相同

C. 两表读数相同，指针偏角之比为 $5 : 1$

D. 两表读数之比为 $1 : 5$，指针偏角之比为 $1 : 5$

解：B。

判断依据：指针偏角只由流过表头的电流决定；改装表的读数等于它两端的电压，等于电流乘它的内阻。

两表串联，流过两个表头的电流相同，所以偏角相同。两表内阻 $R_{\text{V}} = \dfrac{U}{I_{\text{g}}}$ 与量程成正比，$R_{\text{V1}} : R_{\text{V2}} = 3 : 15 = 1 : 5$，串联时电压之比等于内阻之比，读数之比 $1 : 5$。

如果把两表并联：两端电压相同，读数相同；而流过表头的电流 $\dfrac{U}{R_{\text{V}}}$ 与内阻成反比，偏角之比为 $5 : 1$（选项 C 描述的是并联的情形）。

例 4　（场景：校准）用图示电路把例 2 改装好的电流表（虚线框）与标准电流表串联进行校准。发现标准表读数为 $0.60\ \mathrm{A}$ 时，改装表读数只有 $0.58\ \mathrm{A}$。应把并联电阻 $R$ 换成稍大一些的还是稍小一些的？

解：

判断依据：改装表的读数由流过表头的电流决定；两表串联，通过的总电流相同。

总电流相同，而改装表读数偏小，说明流过表头的电流偏小，并联电阻 $R$ 分走的电流偏多。分流过多是因为 $R$ 偏小（或表头实际内阻比标称的大）。所以应把 $R$ 换成稍大一些的，让表头多分一点电流。

如果是改装的电压表读数偏小：校准时它与标准电压表并联，两端电压相同，读数偏小说明表头电流偏小，表头与串联电阻的总电阻偏大，即串联电阻偏大，应换成稍小一些的。

常用推论

• 电压表量程扩大为 $n$ 倍，串联电阻 $R = (n - 1)R_{\text{g}}$；电流表量程扩大为 $n$ 倍，并联电阻 $R = \dfrac{R_{\text{g}}}{n - 1}$（本节推导）。
• 同一表头改装的电压表，内阻与量程成正比：$R_{\text{V}} = \dfrac{U}{I_{\text{g}}}$。所以常说电压表的“每伏欧姆数”是 $\dfrac{1}{I_{\text{g}}}$。
• 同一表头改装的电流表，内阻与量程成反比：$R_{\text{A}} = \dfrac{I_{\text{g}}R_{\text{g}}}{I}$。由满偏时 $R_{\text{A}} = \dfrac{U_{\text{g}}}{I}$ 得出（例 2）。
• 同一表头改装的两只表：串联时偏角相同，读数与内阻成正比；并联时读数相同，偏角与内阻成反比（例 3）。
• 校准时，改装电流表读数偏小 → 并联电阻偏小 → 换大一点；改装电压表读数偏小 → 串联电阻偏大 → 换小一点（例 4）。

易错点

• 错在哪：改电流表时串联电阻，改电压表时并联电阻。 为什么错：凭“要变大就加”的直觉，没想清电阻是分压还是分流。 正确做法：电压表要承受大电压，串联电阻分压；电流表要通过大电流，并联电阻分流。
• 错在哪：认为量程大的电压表指针偏得多。 为什么错：偏角只看流过表头的电流。量程大的表内阻大，串联时电流相同，偏角相同；并联时电流反而小，偏角更小。 正确做法：比较偏角时先找流过表头的电流（例 3）。
• 错在哪：改装电流表读数偏小，就把并联电阻换小。 为什么错：把“读数偏小”直接理解成“电阻要变小”，没有沿电路推理。 正确做法：读数偏小 → 表头电流偏小 → 分流电阻分得太多 → 分流电阻偏小 → 换大（例 4）。

直观理解

表头是一把只能量很小东西的秤。要量大电压，就在旁边串一个“替身”扛下绝大部分电压，表头只扛一小份；要量大电流，就并一条“分洪道”让绝大部分电流绕过表头。表头始终只看到它扛得住的那一份，按比例换算回去就是读数。

关联知识点

• 前置：17.5 节串联分压、并联分流。
• 后续：第 37 章 37.6 节电表的内阻对测量的影响（内接、外接），量程不合适时用已知内阻的电表改装。
• 后续：第 40 章“用多用电表测量电学中的物理量”，多用电表的电流挡、电压挡、欧姆挡都是表头改装。
• 常一起考：第 37 章 37.2 节电流表、电压表的读数。

17.7 电功、电功率与焦耳定律

说明

电功：电流做的功，等于电场力移动电荷做的功，也就是消耗的电能：

$$W = UIt$$

单位焦耳 $\mathrm{J}$。生活中用千瓦时 $\mathrm{kW \cdot h}$（俗称“度”）：$1\ \mathrm{kW \cdot h} = 3.6 \times 10^6\ \mathrm{J}$。

电功率：单位时间内电流做的功，表示电流做功的快慢：

$$P = \frac{W}{t} = UI$$

焦耳定律：电流通过导体产生的热量（电热）

$$Q = I^2Rt$$

热功率 $P_{\text{热}} = I^2R$。

纯电阻与非纯电阻：

	纯电阻电路	非纯电阻电路
例子	电热器、电炉、白炽灯、不转动的电动机	转动的电动机、电解槽、给电池充电
能量转化	电能全部变成内能	电能一部分变成内能，其余变成机械能、化学能等
关系	$W = Q$，$UIt = I^2Rt$	$W > Q$，$UIt = I^2Rt + E_{\text{其他}}$
欧姆定律	成立，$U = IR$	不成立，$U > IR$
功率公式	$P = UI = I^2R = \dfrac{U^2}{R}$ 都能用	总功率只能用 $UI$，热功率只能用 $I^2R$

额定值与实际值：用电器铭牌上的”$220\ \mathrm{V}$　$100\ \mathrm{W}$“是额定电压和额定功率，即正常工作时的电压和功率。实际电压不等于额定电压时，实际功率也不等于额定功率；纯电阻用电器的电阻可以认为不变（题目说明时），由 $P = \dfrac{U^2}{R}$ 求实际功率。

使用场景

• 电动机正常转动（提升重物、带动风扇），求输入功率、发热功率、输出功率或效率 → 非纯电阻 → $P_{\text{入}} = UI$，$P_{\text{热}} = I^2r$，$P_{\text{出}} = UI - I^2r$，$\eta = \dfrac{P_{\text{出}}}{P_{\text{入}}}$。
• 电动机不转（卡住、电压太低带不动），或题目给出不转时的电压、电流 → 此时是纯电阻 → 用 $r = \dfrac{U}{I}$ 求线圈电阻，再用于转动时的计算。
• 纯电阻用电器的实际电压和额定电压不同，求实际功率 → 电阻不变 → 由额定值求 $R = \dfrac{U_{\text{额}}^2}{P_{\text{额}}}$，再求 $P = \dfrac{U^2}{R}$。
• 几个纯电阻用电器串联或并联，比较亮暗或求功率分配 → 串联电流相同、并联电压相同 → 串联用 $P = I^2R$（$P \propto R$），并联用 $P = \dfrac{U^2}{R}$（$P \propto \dfrac{1}{R}$）。

注意点

• $W = UIt$、$P = UI$ 对任何电路都成立，求的是总电功和总功率。$Q = I^2Rt$ 对任何电路都成立，求的是发热。
• $P = \dfrac{U^2}{R}$ 和 $W = \dfrac{U^2}{R}t$ 是用欧姆定律代换出来的，只适用于纯电阻。电动机转动时用 $\dfrac{U^2}{r}$ 算出来的既不是总功率也不是热功率。
• 电动机转动时线圈也有电流，有反向的“感应电动势”（第 28 章），所以电流比 $\dfrac{U}{r}$ 小得多；一旦卡住，电流变成 $\dfrac{U}{r}$，发热急剧增加，容易烧坏。
• 灯泡的亮度由实际功率决定，不由额定功率决定。
• 实际中灯丝电阻随温度变化，“电阻不变”是题目给的近似；电压降低后灯丝变冷、电阻变小，实际功率比按电阻不变算的略大。

推导

电功 $W = UIt$：时间 $t$ 内通过这段电路的电荷量 $q = It$（17.2 节），电场力移动电荷做的功 $W = qU$（第 16 章），所以

$$W = qU = UIt$$

（关键一步：电流做功的本质是电场力对定向移动的电荷做功。这一步只用到 $W = qU$ 和 $q = It$，没有用欧姆定律，所以对任何电路都成立。）

焦耳定律的实验依据：1840 年前后，焦耳把电阻丝浸在水中通电，测水温的升高来求放出的热量。改变电流、电阻和通电时间分别测量，得出热量与电流的二次方、电阻、时间都成正比。

纯电阻电路中 $W = Q$：电能全部变成内能，$UIt = I^2Rt$，约去 $It$ 得 $U = IR$，这正是欧姆定律。所以欧姆定律成立和“电能全部变成内能”是同一件事。

非纯电阻电路中 $W > Q$：能量守恒，$UIt = I^2Rt + E_{\text{其他}}$，$E_{\text{其他}} > 0$，所以 $UI > I^2R$，即 $U > IR$，欧姆定律不成立。

例题

例 1　（场景：电动机正常转动）如图，线圈电阻 $r = 1\ \mathrm{\Omega}$ 的电动机接在电压恒为 $U = 12\ \mathrm{V}$ 的电源上，正常工作时电流表读数 $I = 2\ \mathrm{A}$，电动机通过绳子匀速竖直提升质量 $m = 4\ \mathrm{kg}$ 的重物。不计摩擦和绳重，求：（1）电动机的输入功率、发热功率和输出功率；（2）电动机的效率；（3）重物上升的速度（$g$ 取 $10\ \mathrm{m/s^2}$）。

解：

研究对象：电动机（求功率），重物（求速度）。

过程划分：重物匀速上升，电动机工作状态不变，取一个稳定状态。

分析：电动机正在转动，是非纯电阻。能量的账：输入的电功率 $UI$ = 线圈发热 $I^2r$ + 输出的机械功率。重物匀速上升，绳的拉力等于重力，输出功率 $P_{\text{出}} = Fv = mgv$（第 12 章）。

列式求解：

（1）

$$P_{\text{入}} = UI = 12 \times 2\ \mathrm{W} = 24\ \mathrm{W}, \quad P_{\text{热}} = I^2r = 2^2 \times 1\ \mathrm{W} = 4\ \mathrm{W}$$ $$P_{\text{出}} = P_{\text{入}} - P_{\text{热}} = 20\ \mathrm{W}$$

（2）$\eta = \dfrac{P_{\text{出}}}{P_{\text{入}}} = \dfrac{20}{24} \approx 83\%$。

（3）由 $P_{\text{出}} = mgv$：

$$v = \frac{P_{\text{出}}}{mg} = \frac{20}{4 \times 10}\ \mathrm{m/s} = 0.5\ \mathrm{m/s}$$

方向竖直向上。

检验：若误用 $I = \dfrac{U}{r}$，电流应为 $12\ \mathrm{A}$，与读数 $2\ \mathrm{A}$ 矛盾，说明电动机确实不能当纯电阻。功率单位 $\mathrm{N \cdot m/s} = \mathrm{W}$，对。

容易卡在：用 $\dfrac{U^2}{r} = 144\ \mathrm{W}$ 当输入功率，或用 $I^2 r$ 当输入功率。

例 2　（场景：电动机不转时求线圈电阻）用图示电路研究一台玩具电动机。调节滑动变阻器，当电压表读数为 $0.4\ \mathrm{V}$ 时，电动机不转，电流表读数为 $0.2\ \mathrm{A}$；当电压表读数为 $6.0\ \mathrm{V}$ 时，电动机正常转动，电流表读数为 $1.0\ \mathrm{A}$。电表均为理想电表。求：（1）电动机线圈的电阻；（2）正常转动时的输出功率和效率；（3）若正常工作时转子突然被卡住（设电动机两端电压仍为 $6.0\ \mathrm{V}$），电动机的发热功率是多少。

解：

研究对象：电动机。

过程划分：两个状态：① 不转（$0.4\ \mathrm{V}$、$0.2\ \mathrm{A}$）；② 正常转动（$6.0\ \mathrm{V}$、$1.0\ \mathrm{A}$）。另问 ③ 在 $6.0\ \mathrm{V}$ 下卡住。

分析：状态 ① 不转，电能全部变成内能，是纯电阻，用欧姆定律求线圈电阻 $r$。状态 ② 转动，是非纯电阻，按能量的账算。状态 ③ 又是纯电阻。

列式求解：

（1）状态 ①：$r = \dfrac{U_1}{I_1} = \dfrac{0.4}{0.2}\ \mathrm{\Omega} = 2\ \mathrm{\Omega}$。

（2）状态 ②：

$$P_{\text{入}} = U_2 I_2 = 6.0\ \mathrm{W}, \quad P_{\text{热}} = I_2^2 r = 1.0^2 \times 2\ \mathrm{W} = 2.0\ \mathrm{W}$$ $$P_{\text{出}} = 6.0\ \mathrm{W} - 2.0\ \mathrm{W} = 4.0\ \mathrm{W}, \quad \eta = \frac{4.0}{6.0} \approx 67\%$$

（3）状态 ③：卡住后是纯电阻，电流 $I_3 = \dfrac{U_2}{r} = \dfrac{6.0}{2}\ \mathrm{A} = 3.0\ \mathrm{A}$，发热功率 $P_3 = I_3^2 r = 3.0^2 \times 2\ \mathrm{W} = 18\ \mathrm{W}$。

检验：卡住时发热 $18\ \mathrm{W}$，是正常转动时的 9 倍，这就是电动机卡住容易烧坏的原因，合理。

容易卡在：用状态 ② 的 $\dfrac{6.0}{1.0}\ \mathrm{\Omega} = 6\ \mathrm{\Omega}$ 当线圈电阻。

例 3　（场景：实际电压与额定电压不同）一盏”$220\ \mathrm{V}$　$100\ \mathrm{W}$“的白炽灯，接在 $110\ \mathrm{V}$ 的电压上，实际功率是多少（灯丝电阻视为不变）？

解：

研究对象：白炽灯。

过程划分：一个状态。

分析：白炽灯是纯电阻，电阻不变。先用额定值求电阻，再求实际功率。

列式求解：

$$R = \frac{U_{\text{额}}^2}{P_{\text{额}}} = \frac{220^2}{100}\ \mathrm{\Omega} = 484\ \mathrm{\Omega}, \quad P = \frac{U^2}{R} = \frac{110^2}{484}\ \mathrm{W} = 25\ \mathrm{W}$$

检验：电阻不变时 $P \propto U^2$，电压减半，功率变为 $\dfrac{1}{4}$，$100\ \mathrm{W} \times \dfrac{1}{4} = 25\ \mathrm{W}$，一致。

容易卡在：电压减半，功率也按减半算成 $50\ \mathrm{W}$。电压减半时电流也减半，功率是两者之积。

例 4　（场景：串联用电器的功率分配）“$220\ \mathrm{V}$　$100\ \mathrm{W}$“的灯 $L_1$ 和”$220\ \mathrm{V}$　$25\ \mathrm{W}$“的灯 $L_2$ 串联后接在 $220\ \mathrm{V}$ 的电压上，哪盏灯更亮？各自的实际功率是多少（灯丝电阻视为不变）？

解：

研究对象：两盏灯。

过程划分：一个状态。

分析：两灯都是纯电阻，串联电流相同。先求电阻，再求电流和各自的功率。亮暗看实际功率。

列式求解：

$$R_1 = \frac{220^2}{100}\ \mathrm{\Omega} = 484\ \mathrm{\Omega}, \quad R_2 = \frac{220^2}{25}\ \mathrm{\Omega} = 1936\ \mathrm{\Omega}$$ $$I = \frac{U}{R_1 + R_2} = \frac{220}{2420}\ \mathrm{A} = \frac{1}{11}\ \mathrm{A}$$ $$P_1 = I^2R_1 = \frac{484}{121}\ \mathrm{W} = 4\ \mathrm{W}, \quad P_2 = I^2R_2 = \frac{1936}{121}\ \mathrm{W} = 16\ \mathrm{W}$$

$L_2$（额定功率小的那盏）更亮。

检验：两灯实际功率之和 $20\ \mathrm{W}$，等于 $\dfrac{U^2}{R_1 + R_2} = \dfrac{220^2}{2420}\ \mathrm{W} = 20\ \mathrm{W}$，对。两灯都没有达到额定电压，功率都小于额定功率，合理。

另一种解法：额定电压相同时 $R = \dfrac{U_{\text{额}}^2}{P_{\text{额}}} \propto \dfrac{1}{P_{\text{额}}}$，所以 $R_1 : R_2 = 25 : 100 = 1 : 4$；串联时 $P \propto R$，$P_1 : P_2 = 1 : 4$，$L_2$ 更亮。总功率 $\dfrac{U^2}{R_1 + R_2} = 20\ \mathrm{W}$ 按 $1 : 4$ 分，得 $4\ \mathrm{W}$ 和 $16\ \mathrm{W}$。只问亮暗时比例法一步出结论；要求具体功率时两种都可以，比例法少算一个电流。

常用推论

• 纯电阻用电器电阻不变时，$P \propto U^2$：电压变为 $k$ 倍，功率变为 $k^2$ 倍（例 3）。
• 额定电压相同的纯电阻用电器，额定功率越大，电阻越小：$R = \dfrac{U_{\text{额}}^2}{P_{\text{额}}}$。串联时额定功率小的更亮，并联（都在额定电压下）时额定功率大的更亮（例 4）。
• 电动机：$P_{\text{出}} = UI - I^2r$，效率 $\eta = 1 - \dfrac{Ir}{U}$。由 $\eta = \dfrac{UI - I^2r}{UI}$ 化简得出。
• 电动机卡住时电流变为 $\dfrac{U}{r}$，远大于正常工作电流，发热功率急剧增大（例 2）。
• $1\ \mathrm{kW \cdot h} = 1000\ \mathrm{W} \times 3600\ \mathrm{s} = 3.6 \times 10^6\ \mathrm{J}$。

易错点

• 错在哪：电动机转动时用 $P = \dfrac{U^2}{r}$ 或 $I = \dfrac{U}{r}$ 计算。 为什么错：直觉把所有用电器都当成“电阻”，忘了电动机把电能变成了机械能，欧姆定律不成立。 正确做法：先问“电能是不是全部变成内能”。不是的，总功率用 $UI$，发热用 $I^2r$，其余是输出（例 1）。
• 错在哪：用电动机正常转动时的 $\dfrac{U}{I}$ 当线圈电阻。 为什么错：$\dfrac{U}{I}$ 只在纯电阻时等于电阻，转动时 $U > Ir$。 正确做法：线圈电阻用不转时的数据求（例 2），或由题目直接给出。
• 错在哪：认为额定功率大的灯一定更亮。 为什么错：亮度看实际功率。串联时电流相同，电阻大（额定功率小）的分到的功率大。 正确做法：先求电阻，再按串联 $P \propto R$、并联 $P \propto \dfrac{1}{R}$ 比较（例 4）。

直观理解

电流做的功像发工资（$UIt$），焦耳热像交的税（$I^2Rt$）：任何电路都要交税。电热器把工资全交了税，所以 $W = Q$；电动机交完税还剩下一大部分拿去干活（机械能）。一旦电动机卡住，“干活”那部分没了，全部变成税，线圈就烫了。

关联知识点

• 前置：第 16 章电场力做功 $W = qU$；17.2 节 $q = It$。
• 前置：第 12 章功率 $P = Fv$，电动机提升重物、带动车辆的输出功率。
• 后续：第 18 章电源的总功率、输出功率和效率；第 28 章电磁感应中的焦耳热；第 29 章远距离输电的线路损耗 $I^2R$。
• 常一起考：第 14 章能量守恒，电能转化为内能、机械能。

17.8 知识点之间的关系

本章六个知识点分三层：17.2、17.3 说明电流和电阻是什么、由什么决定；17.4、17.5 讲一段电路中电流、电压、电阻的关系和怎样化简电路；17.6、17.7 是两个应用，前者用串并联改电表，后者用能量的账算功率。拿到题目，先看问的是什么，按下图选规律；电路一复杂，就先回到 17.5 节标节点、重画。

17.9 自测

1. $2\ \mathrm{s}$ 内有 $1.25 \times 10^{19}$ 个电子通过导线的某一横截面，导线中的电流多大？电流方向与电子运动方向有什么关系？
2. 一根粗细均匀的电阻丝阻值为 $10\ \mathrm{\Omega}$。截去一半长度后，再把剩下的部分均匀拉长到原来的总长度，电阻变为多少？
3. 某元件两端加 $6\ \mathrm{V}$ 电压时电流为 $0.3\ \mathrm{A}$，加 $12\ \mathrm{V}$ 时电流为 $0.5\ \mathrm{A}$。两种状态下它的电阻各是多少？它是线性元件吗？
4. $R_1 = 3\ \mathrm{\Omega}$ 和 $R_2 = 6\ \mathrm{\Omega}$ 并联后，再与 $R_3 = 2\ \mathrm{\Omega}$ 串联，接在电压恒为 $12\ \mathrm{V}$ 的电源上。求总电阻和通过 $R_1$ 的电流。
5. 表头满偏电流 $200\ \mathrm{\mu A}$、内阻 $500\ \mathrm{\Omega}$。（1）改装成量程 $0 \sim 10\ \mathrm{V}$ 的电压表，要串联多大的电阻？（2）改装成量程 $0 \sim 1\ \mathrm{mA}$ 的电流表，要并联多大的电阻？
6. 线圈电阻 $0.5\ \mathrm{\Omega}$ 的电动机接在 $10\ \mathrm{V}$ 电压上正常工作，电流为 $2\ \mathrm{A}$。求它的输出功率。
7. “$6\ \mathrm{V}$　$3\ \mathrm{W}$“的小灯泡接在 $3\ \mathrm{V}$ 电压上，实际功率是多少（电阻视为不变）？

答案：1. $1.0\ \mathrm{A}$，电流方向与电子运动方向相反；2. $20\ \mathrm{\Omega}$；3. $20\ \mathrm{\Omega}$ 和 $24\ \mathrm{\Omega}$，电阻随电压变化，不是线性元件；4. 总电阻 $4\ \mathrm{\Omega}$，通过 $R_1$ 的电流 $2\ \mathrm{A}$；5. （1）$4.95 \times 10^4\ \mathrm{\Omega}$，（2）$125\ \mathrm{\Omega}$；6. $18\ \mathrm{W}$；7. $0.75\ \mathrm{W}$。

17.10 深入阅读

• PhET · 欧姆定律：拖动滑块改变电压和电阻，看电流怎样随之变化，直观理解 I = U/R。
• PhET · 导线的电阻：改变导线的电阻率、长度和横截面积，看电阻怎样变化，对应电阻定律 R = ρl/S。
• PhET · 电路实验套件：直流：自己搭串联、并联电路，接电流表、电压表测量，还能看到电子在导线中的定向移动。
• 维基百科 · 焦耳定律：焦耳定律的表述、焦耳的实验和电流热效应的应用。