第 5 章 · 共点力的平衡

项目	内容
课标主题	必修 1 · 相互作用与运动定律（能用共点力的平衡条件分析生产生活中的问题）
人教版（2019）	必修第一册 第三章“相互作用——力”第 5 节“共点力的平衡”；整体法与隔离法、动态平衡、临界与极值是这一节例题和习题的延伸，课本不单列成节
考试地位	常考。选择题常考动态平衡（图解法、相似三角形）和用整体法求地面对系统的力；计算题里平衡常作第一问，或和电场、磁场结合（带电小球、通电导体棒的平衡）
前置知识	第 4 章 4.5 力的合成与分解、正交分解，4.6 受力分析；三角函数和正弦定理（见《高中数学知识点梳理》第 11–13、16 章）

第 4 章把力找全、画对，这一章用“合力为零”把它们列成方程。平衡题本身不难，丢分丢在三处：几个物体放在一起时，整体和隔离分不清，该整体的硬拆、该隔离的没拆；“缓慢转动”一类的动态平衡只算头尾两个状态，漏掉中间“先减小后增大”；“恰好”“最大”这类临界题找不到临界条件，或者只考虑了一个方向。本章四个知识点就对着这三处写。

5.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
5.2 共点力的平衡条件	静止或匀速直线运动时合力为零；三力用合成法，四力以上用正交分解	必用，平衡题和动力学题的基础
5.3 整体法与隔离法	只问外界对系统的力用整体法，问物体之间的力必须隔离；先整体后隔离	常考，选择题常问地面的支持力和摩擦力
5.4 动态平衡：图解法	三力缓慢变化，一力恒定、一力方向不变时画力的三角形，看边长变化；夹角不变时用辅助圆	常考，选择题
5.5 动态平衡：相似三角形法	力的三角形和装置里的几何三角形对应边平行时，力与对应边成比例	常考，选择题
5.6 平衡中的临界与极值	找“恰好”对应的条件：静摩擦达最大、绳拉力为零或达最大、支持力为零；求最小值看垂直	常考，计算题和选择题都有

5.2 共点力的平衡条件

说明

平衡状态：物体保持静止或匀速直线运动的状态。两种状态的共同点是加速度为零。

共点力的平衡条件：物体所受的合力为零。

矢量式：

$$\vec{F}_{\text{合}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \cdots + \vec{F}_n = 0$$

正交分解后的标量式（第 4 章 4.5）：

$$F_{x\text{合}} = 0, \qquad F_{y\text{合}} = 0$$

几种常用的等价说法：

• 二力平衡：两个力等大、反向、共线。
• 三力平衡：任意两个力的合力与第三个力等大、反向；三个力首尾相接，构成一个闭合三角形。
• 多力平衡：任意一个力与其余所有力的合力等大、反向；所有力首尾相接构成闭合多边形。

理想模型：物体看成质点，所有力画在一点（共点力）；轻绳不计质量，拉力沿绳，同一根轻绳绕过光滑的滑轮或挂钩，各处拉力大小相等；“光滑”表示没有摩擦力；“缓慢移动”表示每一时刻都看作平衡状态。

使用场景

• 物体静止或匀速，只受三个力，其中两个力垂直或成特殊角 → 三力平衡 → 合成法：把其中两个力合成，合力与第三个力等大反向，在直角三角形里解边角。
• 物体受四个或更多的力，或者三个力的角度都不特殊 → 多力平衡 → 正交分解：选坐标轴使尽量多的力落在轴上，列 $F_{x\text{合}} = 0$、$F_{y\text{合}} = 0$。
• 选择题问“哪个物体处于平衡状态”“速度为零是不是平衡” → 平衡状态的定义 → 看加速度是否为零，不看速度是否为零。
• 同一根轻绳绕过光滑挂钩或滑轮（晾衣绳、动滑轮吊重物）→ 轻绳模型 → 两段绳拉力相等，再由平衡条件和几何关系求角度。

注意点

• 平衡的判据是加速度为零，不是速度为零。竖直上抛到最高点的瞬间速度为零，但只受重力，加速度是 $g$，不是平衡状态。
• 匀速圆周运动速度大小不变，但方向在变，有加速度，不是平衡状态（第 10 章）。
• 列标量式前要写清坐标轴的正方向。沿斜面运动的物体一般取沿斜面和垂直斜面为两轴；只有水平、竖直方向的力时取水平、竖直两轴。
• 题目说“缓慢”“徐徐”“轻轻地”拉，都按平衡处理；说“突然”“迅速”，就不再是平衡，要用牛顿第二定律（第 6、7 章）。
• 静摩擦力的大小由平衡条件求，不能用 $\mu F_{\text{N}}$；只有滑动摩擦力或“恰好要滑”的最大静摩擦力才用 $\mu F_{\text{N}}$（第 4 章 4.4）。
• 物体不能看成质点、力不交于一点时（梯子斜靠墙、一端用铰链固定的杆），除了合力为零，还要满足不转动的条件（力矩平衡），课标对此不作定量要求。高中题里的轻杆一般用“两端用铰链连接的轻杆，弹力沿杆”来处理（5.5 例 2）。

推导

平衡条件从哪里来：牛顿第二定律 $\vec{F}_{\text{合}} = m\vec{a}$（第 6 章）。静止和匀速直线运动的加速度都是零，所以合力为零；反过来，合力为零时加速度为零，物体保持静止或匀速直线运动（这也是牛顿第一定律的内容）。

（关键一步：平衡的两种状态“静止”和“匀速直线运动”在动力学上没有区别，都是 $\vec{a} = 0$。所以一个静止的物体和一个匀速运动的物体可以一起用整体法分析，5.3 例 1 就用到这一点。）

实验依据：课本用三个弹簧测力计互成角度拉一个小圆环，使圆环静止，记下三个力的大小和方向，按同一标度作出力的图示。以其中两个力为邻边作平行四边形，对角线与第三个力在误差范围内等长、反向；把三个力的图示首尾相接，恰好围成一个三角形。

三力平衡的两种等价说法：由 $\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = 0$ 移项得 $\vec{F}_1 + \vec{F}_2 = -\vec{F}_3$，就是“两个力的合力与第三个力等大反向”。把 $\vec{F}_2$ 平移到 $\vec{F}_1$ 的末端，再把 $\vec{F}_3$ 平移到 $\vec{F}_2$ 的末端，三个矢量之和为零，意味着终点回到起点，三条边围成闭合三角形（第 1 章 1.3 三角形定则）。这个闭合三角形是 5.4、5.5 两种动态平衡方法的出发点。

正交分解的标量式：一个矢量为零，当且仅当它的两个垂直分量都为零。把 $\vec{F}_{\text{合}} = 0$ 投影到 $x$、$y$ 轴，就得到两个标量方程，最多能解两个未知量。

例题

例 1　（场景：三力平衡，合成法）质量 $m = 2\ \mathrm{kg}$ 的光滑小球用细绳挂在竖直墙上，绳的延长线过球心，绳与墙的夹角为 $37^\circ$。求绳对球的拉力和墙对球的支持力。

解：

研究对象：小球。

过程划分：静止，一个状态。

分析：小球受三个力：重力 $G = mg = 20\ \mathrm{N}$，竖直向下；绳的拉力 $T$，沿绳斜向上；墙的支持力 $F_{\text{N}}$，垂直墙面水平向右。墙光滑，没有摩擦力。三力平衡，用合成法（本节“三力平衡”一条）：$F_{\text{N}}$ 与 $G$ 的合力 $F'$ 与 $T$ 等大反向。

列式求解：$F'$、$G$、$F_{\text{N}}$ 构成直角三角形，$F'$ 与竖直方向的夹角也是 $37^\circ$：

$$T = F' = \frac{G}{\cos 37^\circ} = \frac{20}{0.8}\ \mathrm{N} = 25\ \mathrm{N}$$ $$F_{\text{N}} = G\tan 37^\circ = 20 \times 0.75\ \mathrm{N} = 15\ \mathrm{N}$$

拉力 $25\ \mathrm{N}$，沿绳斜向上；支持力 $15\ \mathrm{N}$，水平向右（垂直墙面指向球）。

检验：$T$ 是直角三角形的斜边，应比 $G$、$F_{\text{N}}$ 都大，$25 > 20 > 15$，合理。夹角为 $0$ 时（绳竖直）$F_{\text{N}} = 0$、$T = G$，公式也对。

另一种解法：正交分解。取水平、竖直两轴，竖直方向 $T\cos 37^\circ = G$，水平方向 $T\sin 37^\circ = F_{\text{N}}$，结果相同。三个力里有两个互相垂直时，合成法直接在直角三角形里读结果，最快；力多于三个或角度都不特殊时，正交分解更不容易出错。

例 2　（场景：四个力，正交分解）质量 $m = 1\ \mathrm{kg}$ 的物块放在倾角 $37^\circ$ 的粗糙斜面上，物块与斜面间的动摩擦因数 $\mu = 0.5$。用水平推力 $F$ 推物块，使它沿斜面匀速向上滑动。求推力 $F$ 和斜面对物块的支持力。

解：

研究对象：物块。

过程划分：匀速上滑，一个过程，平衡状态。

分析：物块受四个力：重力 $G = 10\ \mathrm{N}$，竖直向下；水平推力 $F$；斜面的支持力 $F_{\text{N}}$，垂直斜面向上；物块相对斜面向上滑，滑动摩擦力 $f = \mu F_{\text{N}}$，沿斜面向下。四个力，用正交分解（本节标量式）。

列式求解：取沿斜面向上为 $x$ 轴正方向、垂直斜面向上为 $y$ 轴正方向。推力 $F$ 沿斜面向上的分量为 $F\cos 37^\circ$，垂直斜面压向斜面的分量为 $F\sin 37^\circ$。

$y$ 方向：

$$F_{\text{N}} - mg\cos 37^\circ - F\sin 37^\circ = 0$$

$x$ 方向：

$$F\cos 37^\circ - mg\sin 37^\circ - \mu F_{\text{N}} = 0$$

代入数值：$F_{\text{N}} = 8 + 0.6F$，$0.8F - 6 - 0.5(8 + 0.6F) = 0$，即 $0.5F = 10$：

$$F = 20\ \mathrm{N}, \qquad F_{\text{N}} = 8\ \mathrm{N} + 0.6 \times 20\ \mathrm{N} = 20\ \mathrm{N}$$

推力 $20\ \mathrm{N}$，水平方向；支持力 $20\ \mathrm{N}$，垂直斜面向上。

检验：摩擦力 $f = 0.5 \times 20\ \mathrm{N} = 10\ \mathrm{N}$；沿斜面方向 $16\ \mathrm{N} = 6\ \mathrm{N} + 10\ \mathrm{N}$，平衡。支持力 $20\ \mathrm{N}$ 大于 $mg\cos 37^\circ = 8\ \mathrm{N}$，因为推力把物块压向斜面，合理。

容易卡在：支持力写成 $mg\cos 37^\circ$。水平推力有垂直斜面的分量，支持力要由 $y$ 方向的平衡求，不能套“斜面上 $F_{\text{N}} = mg\cos\theta$”。

例 3　（场景：判断平衡状态）下列物体处于平衡状态的是（　）。

A. 竖直上抛到达最高点的小球 B. 在水平路面上匀速转弯的汽车 C. 沿光滑斜面下滑的木块 D. 在平直公路上匀速行驶的汽车

解：D。

判断依据：平衡状态是加速度为零的状态（静止或匀速直线运动），不看速度是否为零。

A 中小球在最高点速度为零，但只受重力，加速度为 $g$，不平衡。B 中汽车速率不变但方向在变，有指向弯道内侧的加速度，不平衡。C 中木块受重力和支持力，合力为 $mg\sin\theta$，沿斜面加速下滑，不平衡。D 中汽车做匀速直线运动，牵引力与阻力平衡、重力与支持力平衡，处于平衡状态。

例 4　（场景：同一根轻绳绕过光滑挂钩）晾衣绳长 $L = 5\ \mathrm{m}$，两端分别系在相距 $d = 4\ \mathrm{m}$ 的两根竖直杆上，两端高度不同。用光滑挂钩把重 $G = 12\ \mathrm{N}$ 的衣服挂在绳上，静止后求绳的拉力。

解：

研究对象：挂钩（连同衣服），看成一个点。

过程划分：静止，一个状态。

分析：挂钩受三个力：重力 $G$，两段绳的拉力 $T_1$、$T_2$。挂钩光滑，绳在挂钩处可以自由滑动，同一根轻绳拉力处处相等：$T_1 = T_2 = T$（本节“理想模型”一条）。水平方向 $T_1\sin\theta_1 = T_2\sin\theta_2$，所以两段绳与竖直方向的夹角也相等，记为 $\theta$。

列式求解：设两段绳长分别为 $L_1$、$L_2$，水平投影之和等于两杆间距：

$$L_1\sin\theta + L_2\sin\theta = d \quad\Rightarrow\quad \sin\theta = \frac{d}{L} = \frac{4}{5} = 0.8$$

所以 $\cos\theta = 0.6$。取竖直向上为正方向，竖直方向平衡：

$$2T\cos\theta = G \quad\Rightarrow\quad T = \frac{G}{2\cos\theta} = \frac{12}{2 \times 0.6}\ \mathrm{N} = 10\ \mathrm{N}$$

检验：两段绳一起承担 $12\ \mathrm{N}$，每段竖直分量 $6\ \mathrm{N}$，拉力 $10\ \mathrm{N}$ 大于 $6\ \mathrm{N}$，因为绳是斜的，合理。

容易卡在：看到两端高度不同，就以为两段绳的倾角不同，设两个未知角。关键是“同一根绳、光滑挂钩”推出拉力相等，再由水平方向平衡推出角度相等。

常用推论

• 物体受 $n$ 个力平衡，撤去其中一个力 $\vec{F}_1$（其余不变），其余力的合力与 $\vec{F}_1$ 等大反向。由多力平衡的等价说法得出。
• 物体沿斜面匀速下滑（只受重力、支持力、滑动摩擦力）时，$\mu = \tan\theta$。由 $mg\sin\theta = \mu mg\cos\theta$ 得出。反过来，$\mu \ge \tan\theta$ 时物体放在斜面上能静止（“自锁”，5.6 常用推论）。
• 晾衣绳模型：光滑挂钩两侧绳与竖直方向的夹角 $\theta$ 满足 $\sin\theta = \dfrac{d}{L}$，只由两杆间距 $d$ 和绳长 $L$ 决定（例 4）。所以把一端沿杆上下移动，$\theta$ 和拉力都不变；把两杆拉开（$d$ 增大），$\theta$ 增大，拉力增大。
• 用两根等长的绳对称悬挂重物，每根绳与竖直方向成 $\theta$ 时，$T = \dfrac{G}{2\cos\theta}$；$\theta = 60^\circ$ 时 $T = G$，夹角越大绳越容易断。

易错点

• 错在哪：认为速度为零就是平衡，“竖直上抛的最高点是平衡位置”。 为什么错：把“静止”理解成“某一瞬间速度为零”。静止是速度一直为零，加速度也为零；最高点只是瞬间速度为零，加速度仍是 $g$。 正确做法：判断平衡看加速度（或合力）是否为零。
• 错在哪：斜面上的物体，不论受什么力，都写 $F_{\text{N}} = mg\cos\theta$。 为什么错：这是“只受重力、支持力、摩擦力”时的结果。有推力、拉力时，它们垂直斜面的分量会改变支持力（例 2）。 正确做法：支持力总是由垂直斜面方向的平衡方程求出来，不背结论。
• 错在哪：静止的物体，摩擦力直接写成 $\mu F_{\text{N}}$。 为什么错：静摩擦力的大小由平衡条件决定，可以是 $0$ 到最大静摩擦力之间的任意值；$\mu F_{\text{N}}$ 是滑动摩擦力。 正确做法：先判断是静摩擦还是滑动摩擦；静摩擦力的大小由平衡方程求。
• 错在哪：晾衣绳、动滑轮问题中，两段绳设成不同的拉力和角度。 为什么错：没有用上“同一根轻绳、光滑挂钩，拉力处处相等”这个条件。 正确做法：先写 $T_1 = T_2$，再由水平方向平衡得两侧角度相等。

直观理解

三力平衡就是“三个力首尾相接走一圈回到原点”：把三个力的箭头依次接起来，必定围成一个闭合三角形。缺口没闭合，说明还有合力，物体就要加速。后面的动态平衡，都是在这个三角形上看哪条边变长、哪条边变短。

关联知识点

• 前置：第 4 章 4.5 力的合成与正交分解；4.6 受力分析，列平衡方程之前要把力找全。
• 前置：三角函数，见《高中数学知识点梳理》第 11 章。
• 后续：第 6 章牛顿第一定律和第二定律，平衡是 $a = 0$ 的特殊情形。
• 后续：第 15 章带电小球在电场中的平衡，第 25 章通电导体棒在磁场中的平衡，受力里多了电场力或安培力，方法不变。
• 常一起考：第 38 章实验“探究两个互成角度的力的合成规律”。

5.3 整体法与隔离法

说明

系统、内力和外力：几个物体组成的研究对象叫系统。系统内物体之间的作用力叫内力，系统外的物体对系统内物体的作用力叫外力。

整体法：把几个物体看成一个整体，只分析外力。内力成对出现、等大反向，在整体的合力里相互抵消，所以不画也不求。

隔离法：把某一个物体单独取出来，分析它受的所有力。物体之间的力在隔离以后变成了“外力”，才能求出来。

整体法的条件：系统内各物体的加速度相同。在平衡问题里，只要每个物体都处于平衡状态（加速度都为零）就可以用，哪怕一个静止、一个匀速运动。

平衡时，整体法的方程是：

$$\vec{F}_{\text{外}1} + \vec{F}_{\text{外}2} + \cdots = 0$$

使用场景

• 几个物体都处于平衡状态（可以一个静止、一个匀速），只问外界对系统的力（地面的支持力、摩擦力，悬挂点的拉力）→ 整体法 → 只画外力列平衡方程，内力不出现。
• 问的是物体之间的作用力（$A$ 对 $B$ 的推力、两物体间的摩擦力）→ 先整体后隔离 → 整体法求出外力，再隔离受力少的那个物体求内力。
• 几个物体用绳串在一起，问每一段绳的拉力或角度 → 从下往上隔离 → 每段绳以下的部分看成一个整体，这段绳的拉力就是它的外力。

注意点

• 整体法只能求外力，求不出内力；要求内力必须隔离。
• 隔离时优先选受力少的物体，方程少、不容易漏力。
• 内力和外力是相对的：同一个力，取 $A$、$B$ 为整体时是内力，隔离 $B$ 时就是外力。
• 平衡问题中用整体法，要求每个物体加速度都为零。一个物体在斜面上加速下滑时，不能再直接用“整体合力为零”（第 7 章连接体会讲加速度不同时怎么办）。
• 隔离以后，相互作用力用牛顿第三定律（第 6 章）联系：$A$ 对 $B$ 的力和 $B$ 对 $A$ 的力等大反向，画在两张不同的受力图上。

推导

为什么内力可以不画：设系统由 $A$、$B$ 两个物体组成。隔离 $A$：$\vec{F}_{A\text{外}} + \vec{F}_{BA} = 0$；隔离 $B$：$\vec{F}_{B\text{外}} + \vec{F}_{AB} = 0$。两式相加：

$$\vec{F}_{A\text{外}} + \vec{F}_{B\text{外}} + (\vec{F}_{BA} + \vec{F}_{AB}) = 0$$

由牛顿第三定律，$\vec{F}_{BA} = -\vec{F}_{AB}$，括号里为零，剩下

$$\vec{F}_{A\text{外}} + \vec{F}_{B\text{外}} = 0$$

这就是整体法的方程：外力的合力为零。

（关键一步：两个物体各自的平衡方程相加时，内力成对抵消。这一步只用到“每个物体合力为零”，不要求两个物体都静止，所以一个静止、一个匀速也可以相加。）

物体更多时，把所有物体的平衡方程相加，所有内力都成对抵消，结论不变。

例题

例 1　（场景：只问外界对系统的力，一个静止一个匀速）质量 $M = 4\ \mathrm{kg}$、倾角 $37^\circ$ 的斜面体静止在水平地面上，质量 $m = 1\ \mathrm{kg}$ 的物块沿斜面匀速下滑，斜面体始终静止。求地面对斜面体的支持力和摩擦力。

解：

研究对象：先隔离物块，再隔离斜面体。

过程划分：物块匀速下滑，斜面体静止，两者都处于平衡状态。

分析：

• 物块：重力 $mg = 10\ \mathrm{N}$；斜面的支持力 $F_{\text{N}1}$，垂直斜面向上；物块相对斜面向下滑，滑动摩擦力 $f_1$ 沿斜面向上。
• 斜面体：重力 $Mg = 40\ \mathrm{N}$；地面支持力 $F_{\text{N}2}$；物块对它的压力 $F_{\text{N}1}'$（垂直斜面向下）和摩擦力 $f_1'$（沿斜面向下）；地面摩擦力待定。

列式求解：物块匀速，沿斜面、垂直斜面两个方向平衡：

$$F_{\text{N}1} = mg\cos 37^\circ = 8\ \mathrm{N}, \qquad f_1 = mg\sin 37^\circ = 6\ \mathrm{N}$$

由牛顿第三定律，物块对斜面体的压力 $F_{\text{N}1}' = 8\ \mathrm{N}$，摩擦力 $f_1' = 6\ \mathrm{N}$。把这两个力分解到水平、竖直方向（压力与竖直方向成 $37^\circ$，摩擦力与水平方向成 $37^\circ$）：

水平方向：压力的水平分量 $8 \times 0.6\ \mathrm{N} = 4.8\ \mathrm{N}$，摩擦力的水平分量 $6 \times 0.8\ \mathrm{N} = 4.8\ \mathrm{N}$，两者方向相反，正好抵消。所以斜面体在水平方向不需要地面摩擦力：$f_{\text{地}} = 0$。

竖直方向（取向上为正）：

$$F_{\text{N}2} - Mg - F_{\text{N}1}'\cos 37^\circ - f_1'\sin 37^\circ = 0$$ $$F_{\text{N}2} = 40\ \mathrm{N} + 6.4\ \mathrm{N} + 3.6\ \mathrm{N} = 50\ \mathrm{N}$$

地面对斜面体的支持力 $50\ \mathrm{N}$，竖直向上；摩擦力为零。

检验：物块对斜面体的压力和摩擦力的合力是 $\sqrt{8^2 + 6^2}\ \mathrm{N} = 10\ \mathrm{N}$，竖直向下，正好等于物块的重力。物块匀速时，斜面对它的作用力只是“托住它的重力”，合理。

另一种解法：整体法。物块和斜面体加速度都为零，可以看成整体（本节“整体法的条件”一条）。整体受的外力只有总重力 $(M + m)g = 50\ \mathrm{N}$、地面支持力 $F_{\text{N}2}$ 和可能的地面摩擦力 $f$。竖直方向 $F_{\text{N}2} = 50\ \mathrm{N}$；水平方向没有别的外力，所以 $f = 0$。

只问地面对系统的力时，整体法两行就完，还能避开分解压力和摩擦力；要问物块和斜面之间的力，只能隔离。

容易卡在：觉得“物块在动、斜面不动，不能看成整体”。整体法看的是加速度，两个都是零就可以。

例 2　（场景：问物体之间的力，先整体后隔离）质量 $m_A = 2\ \mathrm{kg}$、$m_B = 3\ \mathrm{kg}$ 的木块 $A$、$B$ 并排放在水平地面上，与地面的动摩擦因数都是 $\mu = 0.2$。用水平推力 $F$ 推 $A$，使 $A$、$B$ 一起向右匀速运动。求推力 $F$ 和 $A$ 对 $B$ 的作用力。

解：

研究对象：先取 $A$、$B$ 整体，再隔离 $B$。

过程划分：一起匀速运动，平衡状态。

分析：整体水平方向只受推力 $F$ 和地面对 $A$、$B$ 的滑动摩擦力，$A$、$B$ 之间的推力是内力。隔离 $B$，水平方向只受 $A$ 的推力 $F_{AB}$ 和地面摩擦力 $f_B$，比 $A$ 少一个力，所以隔离 $B$。

列式求解：整体，竖直方向支持力 $F_{\text{N}} = (m_A + m_B)g = 50\ \mathrm{N}$，水平方向（取向右为正）：

$$F = \mu (m_A + m_B) g = 0.2 \times 50\ \mathrm{N} = 10\ \mathrm{N}$$

隔离 $B$：

$$F_{AB} = f_B = \mu m_B g = 0.2 \times 30\ \mathrm{N} = 6\ \mathrm{N}$$

推力 $10\ \mathrm{N}$，水平向右；$A$ 对 $B$ 的作用力 $6\ \mathrm{N}$，水平向右。

检验：隔离 $A$ 验算：$F - F_{BA} - \mu m_A g = 10\ \mathrm{N} - 6\ \mathrm{N} - 4\ \mathrm{N} = 0$，平衡。$A$ 对 $B$ 的推力只需克服 $B$ 的摩擦力，小于 $F$，合理。

容易卡在：以为推力 $F$ 直接“传”到 $B$ 上，$F_{AB} = F$。$F$ 有一部分用来克服 $A$ 自己受的摩擦力，传给 $B$ 的只是 $B$ 需要的那一部分。

例 3　（场景：几个物体用绳串在一起）质量 $m_A = 1\ \mathrm{kg}$ 的小球 $A$ 用细绳挂在天花板上，$A$ 下面再用细绳挂质量 $m_B = 3\ \mathrm{kg}$ 的小球 $B$。用水平向右的力 $F = 30\ \mathrm{N}$ 拉 $B$，系统静止。求上、下两段绳的拉力和它们与竖直方向的夹角。

解：

研究对象：上段绳拉力，取 $A$、$B$ 整体；下段绳拉力，隔离 $B$。

过程划分：静止，一个状态。

分析：整体受总重力 $(m_A + m_B)g = 40\ \mathrm{N}$、水平力 $F$、上段绳拉力 $T_1$，两球之间的绳拉力是内力。隔离 $B$，受重力 $m_Bg = 30\ \mathrm{N}$、$F$、下段绳拉力 $T_2$。两次都是三力平衡，用合成法。

列式求解：整体，设上段绳与竖直方向夹角为 $\alpha$：

$$\tan\alpha = \frac{F}{(m_A + m_B)g} = \frac{30}{40} = 0.75, \qquad \alpha = 37^\circ$$ $$T_1 = \sqrt{F^2 + [(m_A + m_B)g]^2} = \sqrt{30^2 + 40^2}\ \mathrm{N} = 50\ \mathrm{N}$$

隔离 $B$，设下段绳与竖直方向夹角为 $\beta$：

$$\tan\beta = \frac{F}{m_B g} = \frac{30}{30} = 1, \qquad \beta = 45^\circ$$ $$T_2 = \sqrt{30^2 + 30^2}\ \mathrm{N} = 30\sqrt{2}\ \mathrm{N} \approx 42\ \mathrm{N}$$

上段绳拉力 $50\ \mathrm{N}$，与竖直方向成 $37^\circ$ 斜向左上；下段绳拉力约 $42\ \mathrm{N}$，与竖直方向成 $45^\circ$ 斜向左上。

检验：下段绳只承担 $B$ 的重力，水平力相同，所以比上段绳更偏，$\beta > \alpha$，合理。若 $F = 0$，两段绳都竖直，$T_1 = 40\ \mathrm{N}$、$T_2 = 30\ \mathrm{N}$，公式也对。

容易卡在：先隔离 $A$。$A$ 受重力和上下两段绳的拉力，两个拉力的大小和方向都未知，解不出来；先整体、后隔离 $B$，每次只有一个未知力。

常用推论

• 一个物体在静止的斜面体上匀速下滑或静止时，地面对斜面体没有摩擦力，支持力等于两者的总重力（例 1）。由整体法：两者加速度都为零，水平方向没有其他外力。斜面对物块的作用力（支持力和摩擦力的合力）竖直向上，大小等于物块重力。
• 几个物体并排放在同一水平面上（动摩擦因数相同），推 $A$ 使它们一起匀速运动时，$A$ 对 $B$ 的力按质量分配：$F_{AB} = \dfrac{m_B}{m_A + m_B}F$（例 2：$\dfrac{3}{5} \times 10\ \mathrm{N} = 6\ \mathrm{N}$）。由整体得 $F = \mu(m_A + m_B)g$、隔离 $B$ 得 $F_{AB} = \mu m_B g$，两式相除得出。
• 串挂的几个物体受水平力时，每段绳与竖直方向的夹角满足 $\tan\theta = \dfrac{\text{这段绳以下的水平外力}}{\text{这段绳以下的总重力}}$（例 3）。

易错点

• 错在哪：物块在斜面上滑动、斜面体静止，就认为不能用整体法，只好一个个隔离。 为什么错：把“整体法”理解成“物体之间没有相对运动”。整体法的依据是各物体加速度相同，平衡问题里加速度都为零就满足。 正确做法：每个物体都静止或匀速，就可以整体；有一个在加速，就要隔离（或用第 7 章的方法）。
• 错在哪：用整体法求物体之间的力。 为什么错：内力在整体法的方程里成对抵消了，根本不出现。 正确做法：问内力，必须隔离其中一个物体，让这个内力变成它受的外力。
• 错在哪：认为推力 $F$ 作用在 $A$ 上，$A$ 对 $B$ 的力就等于 $F$（例 2）。 为什么错：直觉“力会原样传过去”。$A$ 自己也受摩擦力，推力要分一部分克服它。 正确做法：隔离 $B$，由 $B$ 的平衡求 $A$ 对它的力。
• 错在哪：整体法受力图里画进了 $A$、$B$ 之间的弹力和摩擦力。 为什么错：内力和外力分不清。 正确做法：画整体受力图时，用一个虚线框把系统框起来，只画穿过框的力。

直观理解

整体法像把几个物体装进一个看不见的箱子，只看外面的世界怎么推它、拉它；箱子里的人互相推推搡搡，从外面看不出来。想知道箱子里谁推了谁，就得打开箱子（隔离）。

关联知识点

• 前置：第 4 章 4.6 整体法、隔离法的受力分析；5.2 平衡条件。
• 前置：第 6 章牛顿第三定律，隔离后两个物体之间的力用它联系。
• 后续：第 7 章连接体，加速度相同时整体法照样用（合力 $= (m_A + m_B)a$）。
• 后续：第 20 章动量守恒，系统、内力、外力的概念再次出现：内力不改变系统的总动量。
• 常一起考：第 7 章板块模型、第 15 章两个带电小球的平衡。

5.4 动态平衡：图解法

说明

动态平衡：物体在力的缓慢变化中移动，每一时刻都处于平衡状态。题目的信号是“缓慢”“徐徐”“逐渐”，问的是某个力“怎样变化”（增大、减小、先减小后增大）。

本节讨论三力动态平衡。三个力首尾相接总是构成闭合三角形（5.2），力的变化就是这个三角形的边长和角度的变化。按三个力的特点选方法：

三个力的特点	方法	怎么做
一个力恒定（大小、方向都不变，常是重力），一个力方向不变，第三个力方向在变	图解法	画闭合三角形，恒力为固定边，方向不变的力画在一条固定直线上，第三个力从这条直线上转到恒力的起点；看各边长短怎么变
一个力恒定，另两个力方向都变，但它们的夹角不变	辅助圆	三角形中与恒力相对的角不变，这个顶点在以恒力为弦的圆上移动
角度作为变量直接给出	解析法	把各力写成角度的函数，看函数的增减
一个力恒定，另两个力方向都变，装置里有几何三角形与力的三角形对应边平行	相似三角形	见 5.5

图解法的最小值：方向不变的力和方向在变的力，当方向在变的力与方向不变的力垂直时，方向在变的力最小（点到直线的距离，垂线段最短）。

理想模型：缓慢移动看作平衡；接触面光滑；轻绳、轻挡板不计质量。

使用场景

• 三力动态平衡，一个力恒定、一个力方向不变（挡板转动挡住斜面上的球、绳的一端移动而另一个力方向固定）→ 图解法 → 画力的三角形，转动第三个力，看各边长短；第三个力与方向不变的力垂直时最小。
• 题目给出角度变化的范围，问各力的变化或具体数值（水平力把悬挂的小球缓慢拉开 $\theta$ 角）→ 解析法 → 由平衡写出 $F(\theta)$、$T(\theta)$，看函数单调性。
• 一个力恒定，另两个力方向都变但夹角保持不变（两根绳一起转动，夹角不变）→ 辅助圆 → 以恒力为弦作圆，另两力的交点在圆上移动；某个力成为直径时最大。

注意点

• 只比较开始和结束两个状态会漏掉“先减小后增大”这种情况。必须把中间过程连续画出来，看三角形的边是否经过最短（垂直）位置。
• 图解法画三角形时，三个力要首尾相接，箭头依次相连，不是从同一点出发。
• 先确认三个力中哪个恒定、哪个方向不变。支持力的方向由接触面决定：接触面不转，支持力方向就不变；挡板转动，挡板的弹力方向跟着转。
• 图解法只适用于三个力。四个力时，先把其中两个方向不变的力合成为一个（或用解析法）。
• 动态平衡题问“大小怎样变化”，一般不要求算出数值；但选择题常问最小值，最小值要会算（例 1）。

推导

图解法的依据：三力平衡 $\vec{G} + \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = 0$，三个力首尾相接构成闭合三角形（5.2 推导）。设 $\vec{G}$ 恒定、$\vec{F}_1$ 方向不变。把 $\vec{G}$ 画成固定边 $AB$（从 $A$ 指向 $B$），从 $B$ 出发沿 $\vec{F}_1$ 的方向画一条射线，$\vec{F}_1$ 的末端 $C$ 一定在这条射线上；$\vec{F}_2$ 从 $C$ 指回 $A$，三角形才闭合。

$\vec{F}_2$ 的方向变化时，$C$ 在射线上移动：$BC$ 的长度是 $F_1$，$CA$ 的长度是 $F_2$。

（关键一步：$A$ 是固定点，$C$ 在一条固定直线上移动，$CA$ 最短时 $CA$ 垂直于这条直线。这就是“第三个力与方向不变的力垂直时最小”。最小值 $F_{2\min} = G\sin\varphi$，$\varphi$ 是 $\vec{G}$ 与 $\vec{F}_1$ 所在直线的夹角。）

辅助圆的依据：$\vec{F}_1$、$\vec{F}_2$ 的夹角不变时，闭合三角形中这两边所夹的内角也不变（等于 $180^\circ$ 减去两力的夹角）。三角形的一边 $G$ 固定，它所对的角不变，由圆周角定理，这个顶点在一段固定的圆弧上（弦 $AB$ 所对的圆周角相等）。某个力恰好是直径时最长。用正弦定理（见《高中数学知识点梳理》第 16 章）可以算出各力：

$$\frac{G}{\sin\gamma} = \frac{F_1}{\sin\alpha} = \frac{F_2}{\sin\beta}$$

其中 $\gamma$ 是 $G$ 所对的不变角，$\alpha$、$\beta$ 分别是 $F_1$、$F_2$ 所对的角。

例题

例 1　（场景：一力恒定、一力方向不变，图解法）重 $G = 10\ \mathrm{N}$ 的光滑小球放在倾角 $37^\circ$ 的光滑斜面上，被一块挡板挡住。挡板下端 $O$ 可以转动，开始时挡板竖直。现使挡板绕 $O$ 缓慢顺时针转动，直到挡板水平。求：（1）开始时斜面和挡板对球的弹力；（2）转动过程中两个弹力怎样变化，挡板弹力的最小值是多少。

解：

研究对象：小球。

过程划分：挡板缓慢转动，每一时刻小球都平衡。先算开始时刻，再看整个过程。

分析：小球受三个力：重力 $G$，恒定；斜面的支持力 $F_{\text{N}1}$，垂直斜面，斜面不动，所以方向不变；挡板的弹力 $F_{\text{N}2}$，垂直挡板，挡板转动，方向从水平逐渐转到竖直向上。符合图解法的条件（本节表格第一行）。

列式求解：（1）开始时挡板竖直，$F_{\text{N}2}$ 水平。三力平衡，$F_{\text{N}2}$ 与 $G$ 的合力与 $F_{\text{N}1}$ 等大反向，$F_{\text{N}1}$ 与竖直方向成 $37^\circ$：

$$F_{\text{N}1} = \frac{G}{\cos 37^\circ} = 12.5\ \mathrm{N}, \qquad F_{\text{N}2} = G\tan 37^\circ = 7.5\ \mathrm{N}$$

$F_{\text{N}1}$ 垂直斜面斜向上，$F_{\text{N}2}$ 水平指向斜面一侧。

（2）画力的三角形：$G$ 为竖直的固定边，$F_{\text{N}1}$ 沿一条固定的射线，$F_{\text{N}2}$ 从射线上的点指回 $G$ 的起点。挡板顺时针转动时，$F_{\text{N}2}$ 由水平逐渐转向竖直。

从图上看：$F_{\text{N}1}$ 的末端沿射线一直向 $G$ 的终点移动，$F_{\text{N}1}$ 一直减小，挡板水平时减为零（球只压在挡板上）。$F_{\text{N}2}$ 先减小后增大，与 $F_{\text{N}1}$ 垂直时最小，此时挡板与斜面垂直：

$$F_{\text{N}2\min} = G\sin 37^\circ = 6\ \mathrm{N}$$

挡板水平时 $F_{\text{N}2} = G = 10\ \mathrm{N}$。

检验：三个特殊位置：开始 $F_{\text{N}2} = 7.5\ \mathrm{N}$，最小 $6\ \mathrm{N}$，最后 $10\ \mathrm{N}$，确实先减小后增大。最小时 $F_{\text{N}1} = G\cos 37^\circ = 8\ \mathrm{N}$，$\sqrt{6^2 + 8^2} = 10$，三角形闭合，合理。

容易卡在：只比较开始（$7.5\ \mathrm{N}$）和结束（$10\ \mathrm{N}$），得出“挡板弹力一直增大”。

例 2　（场景：角度直接给出，解析法）质量 $m = 1\ \mathrm{kg}$ 的小球用细绳悬挂在 $O$ 点。用一个始终水平的力 $F$ 把小球缓慢拉开，直到绳与竖直方向的夹角 $\theta = 60^\circ$。（1）写出 $F$ 和绳拉力 $T$ 随 $\theta$ 的关系，判断它们怎样变化；（2）求 $\theta = 37^\circ$ 和 $\theta = 60^\circ$ 时 $F$ 和 $T$ 的大小。

解：

研究对象：小球。

过程划分：缓慢拉开，$\theta$ 从 $0$ 增大到 $60^\circ$，每一时刻都平衡。

分析：小球受重力 $G = 10\ \mathrm{N}$、水平力 $F$、绳的拉力 $T$（沿绳指向 $O$）。角度 $\theta$ 是题目给的变量，用解析法（本节表格第三行）。

列式求解：（1）取水平向右、竖直向上为正方向：

$$T\sin\theta = F, \qquad T\cos\theta = mg$$ $$F = mg\tan\theta, \qquad T = \frac{mg}{\cos\theta}$$

$\theta$ 从 $0$ 增大到 $60^\circ$ 时，$\tan\theta$ 增大、$\cos\theta$ 减小，所以 $F$ 和 $T$ 都一直增大。

（2）$\theta = 37^\circ$：$F = 10 \times 0.75\ \mathrm{N} = 7.5\ \mathrm{N}$，$T = \dfrac{10}{0.8}\ \mathrm{N} = 12.5\ \mathrm{N}$。

$\theta = 60^\circ$：$F = 10\sqrt{3}\ \mathrm{N} \approx 17.3\ \mathrm{N}$，$T = \dfrac{10}{0.5}\ \mathrm{N} = 20\ \mathrm{N}$。

检验：$\theta = 0$ 时 $F = 0$、$T = mg$，就是单纯悬挂，对。$\theta$ 接近 $90^\circ$ 时 $F$、$T$ 都趋于无穷大，说明用水平力不可能把绳拉到水平，和经验一致。

另一种解法：图解法。$G$ 恒定，$F$ 方向始终水平（方向不变），$T$ 方向在变，符合图解法条件。画力的三角形：$G$ 竖直向下，$F$ 从 $G$ 的末端水平画出，$T$ 从 $F$ 的末端指回 $G$ 的起点。$\theta$ 增大时，$F$ 的末端沿水平线向外移动，$F$ 和 $T$ 两条边都变长。

选择题只问“怎样变化”时，图解法画一下就能判断；要求具体数值时，解析法直接代角度更快。

例 3　（场景：两力夹角不变，辅助圆）重 $G = 30\ \mathrm{N}$ 的物体用两根轻绳 $OA$、$OB$ 系住，结点为 $O$，两绳夹角始终为 $120^\circ$。开始时 $OA$ 水平向左、$OB$ 斜向右上与水平方向成 $60^\circ$。保持结点 $O$ 的位置和两绳夹角不变，使两绳绕 $O$ 缓慢顺时针转动，直到 $OA$ 竖直向上。求：（1）开始时两绳的拉力；（2）转动过程中两绳拉力怎样变化，$OA$ 拉力的最大值。

解：

研究对象：结点 $O$。

过程划分：两绳缓慢转动 $90^\circ$，每一时刻结点平衡。

分析：结点受三个力：物体的拉力，等于 $G$，竖直向下，恒定；$OA$ 的拉力 $T_A$、$OB$ 的拉力 $T_B$，方向都在变，但两者夹角始终 $120^\circ$。闭合三角形中 $T_A$、$T_B$ 两边的夹角是 $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$，就是 $G$ 所对的角，不变，用辅助圆（本节表格第二行）。

列式求解：（1）开始时，取水平向右、竖直向上为正方向：

$$T_B\cos 60^\circ - T_A = 0, \qquad T_B\sin 60^\circ - G = 0$$ $$T_B = \frac{G}{\sin 60^\circ} = \frac{30}{\sqrt{3}/2}\ \mathrm{N} = 20\sqrt{3}\ \mathrm{N} \approx 34.6\ \mathrm{N}, \qquad T_A = T_B\cos 60^\circ = 10\sqrt{3}\ \mathrm{N} \approx 17.3\ \mathrm{N}$$

（2）由正弦定理，$\dfrac{G}{\sin 60^\circ} = \dfrac{T_A}{\sin\alpha} = \dfrac{T_B}{\sin\beta}$，其中 $\alpha$、$\beta$ 是三角形中 $T_A$、$T_B$ 所对的角，$\alpha + \beta = 120^\circ$。

• 开始时 $T_B$ 与竖直方向成 $30^\circ$，$\alpha = 30^\circ$、$\beta = 90^\circ$；转到 $OA$ 竖直时，$T_A$ 与 $G$ 共线，$\alpha = 120^\circ$、$\beta = 0$。
• $T_A = \dfrac{G\sin\alpha}{\sin 60^\circ}$，$\alpha$ 从 $30^\circ$ 增大到 $120^\circ$，$\sin\alpha$ 先增大后减小，$\alpha = 90^\circ$ 时最大（$T_A$ 是辅助圆的直径，此时 $OB$ 水平）。所以 $T_A$ 先增大后减小：

$$T_{A\max} = \frac{G}{\sin 60^\circ} = 20\sqrt{3}\ \mathrm{N} \approx 34.6\ \mathrm{N}$$

转到最后 $T_A = G = 30\ \mathrm{N}$。

• $T_B = \dfrac{G\sin\beta}{\sin 60^\circ}$，$\beta$ 从 $90^\circ$ 减小到 $0$，$T_B$ 一直减小，最后为零。

检验：几个位置的数值：$T_A$ 依次为 $17.3\ \mathrm{N}$、$34.6\ \mathrm{N}$（最大）、$30\ \mathrm{N}$；$T_B$ 从 $34.6\ \mathrm{N}$ 减到 $0$。最后 $OA$ 竖直，物体相当于只挂在 $OA$ 上，$T_A = G$，$T_B = 0$，合理。

容易卡在：想用图解法，但这里没有方向不变的力；要抓住“两力夹角不变”，它对应三角形里一个不变的角。

常用推论

• 一个力恒定、一个力方向不变时，第三个力的最小值是 $G\sin\varphi$（$\varphi$ 为恒力与方向不变的力之间的夹角），此时第三个力与方向不变的力垂直（例 1）。
• 斜面上用挡板挡住的光滑球，挡板由竖直转到水平：斜面的支持力一直减小，挡板的弹力先减小后增大，挡板与斜面垂直时最小（例 1）。
• 水平力缓慢拉开悬挂的小球：水平力和绳的拉力都一直增大（例 2）。
• 两力夹角不变时，恒力 $G$ 所对的角 $\gamma$ 不变，另一个力成为辅助圆的直径时最大，最大值为 $\dfrac{G}{\sin\gamma}$（例 3）。

易错点

• 错在哪：只比较开始和结束两个状态，判断“一直增大”或“一直减小”。 为什么错：力的三角形中第三边可能经过与固定直线垂直的位置，长度先减后增；两头比较看不出中间的极值。 正确做法：在力的三角形里多画几个中间位置，看第三边是否经过垂直位置。
• 错在哪：画力的三角形时，三个力都从同一点出发。 为什么错：从同一点出发画的是受力图，不是闭合三角形，看不出哪条边长哪条边短。 正确做法：三个力首尾相接，最后一个力的箭头回到第一个力的起点。
• 错在哪：认为挡板转动时，斜面的支持力方向也跟着变。 为什么错：把“挡板转动”当成整个装置在转。弹力方向只由接触面决定，斜面不动，斜面的支持力方向就不变。 正确做法：逐个判断三个力中哪个恒定、哪个方向不变、哪个方向在变，再选方法。
• 错在哪：两力夹角不变的题硬用图解法。 为什么错：图解法要求有一个力方向不变；两根绳一起转时没有这样的力。 正确做法：两力夹角不变，用辅助圆或正弦定理。

直观理解

把力的三角形想成一根固定的竖直木棍（恒力）、一根方向不变的滑轨（方向不变的力），以及一根从滑轨上的滑块连到木棍顶端的橡皮筋（方向在变的力）。滑块沿滑轨滑动，橡皮筋先缩短后伸长，和滑轨垂直的那一刻最短。

关联知识点

• 前置：5.2 三力平衡构成闭合三角形；第 4 章 4.5 力的合成。
• 前置：正弦定理，见《高中数学知识点梳理》第 16 章；圆周角定理（初中几何）。
• 后续：5.5 相似三角形法，处理没有方向不变的力的情形；5.6 临界与极值，图解法求最小值。
• 后续：第 15 章带电小球在电场中的动态平衡，电场力恒定时同样用图解法。
• 常一起考：第 4 章 4.5 常用推论“已知合力和一个分力的方向，另一个分力的最小值”，与本节最小值同一道理。

5.5 动态平衡：相似三角形法

说明

相似三角形法：三力平衡，一个力恒定（常是重力），另两个力方向都在变，但装置里能找到一个几何三角形，它的三条边分别平行于三个力。这时力的三角形与几何三角形相似，对应边成比例：

$$\frac{G}{H} = \frac{F_1}{L_1} = \frac{F_2}{L_2}$$

$H$、$L_1$、$L_2$ 是几何三角形中分别与 $G$、$F_1$、$F_2$ 平行的边长。哪条边长度不变，对应的力就不变；哪条边变短，对应的力就变小。

常见的几何三角形由三条线组成：绳（拉力沿绳）、半径或轻杆（光滑球面的支持力沿半径，铰链轻杆的弹力沿杆）、过悬点的竖直线（与重力平行）。

理想模型：小球看成质点；球面光滑，支持力沿半径；轻杆两端用铰链连接、只在两端受力，弹力沿杆；滑轮光滑、不计大小。

使用场景

• 光滑半球面（或圆环）上的小球，用绳绕过球心正上方的滑轮缓慢拉动 → 几何三角形“球心—小球—滑轮” → 支持力沿半径、拉力沿绳、重力平行于“球心—滑轮”竖直线，用相似三角形。
• 轻杆一端用铰链固定在墙上，另一端用绳拉住并挂重物，绳长或悬点缓慢变化 → 几何三角形“铰链—杆端—绳在墙上的固定点” → 杆的弹力沿杆、拉力沿绳、重力平行于墙，用相似三角形。

注意点

• 相似的依据是对应边平行，所以要先确认三个力的方向分别平行于几何三角形的哪条边。找错对应边，比例就全错了。
• 相似三角形法只能用于三力平衡，且几何三角形的边长要能从题目里读出或判断变化。
• 光滑球面的支持力沿半径向外，所以对应“球心—小球”这条边；轻绳拉力沿绳，对应“小球—滑轮”这条边。
• 轻杆的弹力沿杆，只限于“两端铰链、不计质量、只在两端受力”的轻杆。插在墙里固定的杆，弹力不一定沿杆（第 4 章 4.3）。
• 求力的数值时，几何三角形用实际长度，力的三角形用力的大小，比例与单位无关。

推导

为什么相似：三力平衡时，三个力首尾相接构成闭合三角形（5.2）。若装置中有一个几何三角形，三条边分别平行于三个力，那么两个三角形的三组对应边分别平行，对应角相等（两边分别平行的角相等或互补；在闭合三角形里取内角，可以证明三组对应角都相等），所以两个三角形相似。

（关键一步：力的三角形和几何三角形对应边平行，因而对应角相等，三角形相似。相似之后，力的比等于边的比，力的变化就转成了边长的变化，而边长往往一眼就能看出变不变：半径不变，杆长不变，竖直距离不变。）

由相似得 $\dfrac{G}{H} = \dfrac{F_1}{L_1} = \dfrac{F_2}{L_2}$，$G$ 和 $H$ 都不变时，比值是常数，$F_1 \propto L_1$、$F_2 \propto L_2$。

例题

例 1　（场景：光滑半球面上的小球，绳绕过正上方的滑轮）半径 $R = 0.3\ \mathrm{m}$ 的光滑半球固定在水平地面上，球心 $O$ 正上方 $P$ 点固定一个小滑轮，$OP = 0.5\ \mathrm{m}$。质量 $m = 2\ \mathrm{kg}$ 的小球放在半球面上，细绳一端系小球，另一端绕过滑轮用手拉住。开始时绳 $AP$ 长 $0.4\ \mathrm{m}$。（1）求此时绳的拉力和球面对小球的支持力；（2）缓慢拉绳，使小球沿球面上移，到 $AP = 0.25\ \mathrm{m}$ 时，拉力和支持力各多大？两者在拉动过程中怎样变化？

解：

研究对象：小球，看成质点。

过程划分：缓慢拉动，每一时刻平衡。先算开始时刻，再算终了时刻，最后看整个过程。

分析：小球受三个力：重力 $G = mg = 20\ \mathrm{N}$，竖直向下；球面的支持力 $F_{\text{N}}$，沿半径 $OA$ 向外；绳的拉力 $T$，沿 $AP$ 指向滑轮。$F_{\text{N}}$、$T$ 方向都在变。几何三角形 $OAP$ 中，$OP$ 竖直，与 $G$ 平行；$OA$ 与 $F_{\text{N}}$ 平行；$AP$ 与 $T$ 平行。力的三角形与 $\triangle OAP$ 相似（本节说明）。

列式求解：（1）由相似：

$$\frac{G}{OP} = \frac{F_{\text{N}}}{OA} = \frac{T}{AP}$$ $$F_{\text{N}} = G\cdot\frac{R}{OP} = 20 \times \frac{0.3}{0.5}\ \mathrm{N} = 12\ \mathrm{N}, \qquad T = G\cdot\frac{AP}{OP} = 20 \times \frac{0.4}{0.5}\ \mathrm{N} = 16\ \mathrm{N}$$

支持力 $12\ \mathrm{N}$，沿半径向外；拉力 $16\ \mathrm{N}$，沿绳指向滑轮。

（2）$AP = 0.25\ \mathrm{m}$ 时，$OP$、$OA$ 不变：

$$F_{\text{N}} = 12\ \mathrm{N}, \qquad T = 20 \times \frac{0.25}{0.5}\ \mathrm{N} = 10\ \mathrm{N}$$

拉动过程中 $AP$ 一直变短，$OA = R$、$OP$ 不变，所以支持力大小不变，拉力一直减小。

检验：开始时 $OA = 0.3\ \mathrm{m}$、$AP = 0.4\ \mathrm{m}$、$OP = 0.5\ \mathrm{m}$ 是直角三角形，$F_{\text{N}} \perp T$，$\sqrt{12^2 + 16^2}\ \mathrm{N} = 20\ \mathrm{N} = G$，合理。小球越接近顶端，绳越短越竖直，拉力分担的重力越少，变小合理。

容易卡在：想用图解法，但 $F_{\text{N}}$ 和 $T$ 方向都在变，找不到方向不变的力；用正交分解又要设两个变角。找到 $\triangle OAP$ 就只剩比例。

例 2　（场景：铰链轻杆加绳，绳长变化）轻杆 $BC$ 的 $B$ 端用铰链固定在竖直墙上，$C$ 端挂重 $G = 60\ \mathrm{N}$ 的物体，并用细绳 $AC$ 拉住，$A$ 点在 $B$ 点正上方。已知 $AB = 0.6\ \mathrm{m}$、$BC = 0.8\ \mathrm{m}$、$AC = 1.0\ \mathrm{m}$。（1）求绳的拉力和杆对 $C$ 端的弹力；（2）若 $A$ 点不动，缓慢收短绳 $AC$，使杆绕 $B$ 向上转动，绳的拉力和杆的弹力怎样变化？

解：

研究对象：杆的 $C$ 端（结点 $C$）。

过程划分：（1）一个静止状态；（2）缓慢转动，每一时刻平衡。

分析：$C$ 端受三个力：重物的拉力，等于 $G$，竖直向下；绳的拉力 $T$，沿 $CA$ 指向 $A$；杆的弹力 $F$，轻杆两端铰链，弹力沿杆，杆把 $C$ 端往外推，方向由 $B$ 指向 $C$。三个力分别平行于 $AB$（竖直墙）、$CA$、$BC$，力的三角形与 $\triangle ABC$ 相似。

列式求解：（1）由相似：

$$\frac{G}{AB} = \frac{F}{BC} = \frac{T}{AC}$$ $$F = 60 \times \frac{0.8}{0.6}\ \mathrm{N} = 80\ \mathrm{N}, \qquad T = 60 \times \frac{1.0}{0.6}\ \mathrm{N} = 100\ \mathrm{N}$$

杆对 $C$ 端的弹力 $80\ \mathrm{N}$，沿杆由 $B$ 指向 $C$（杆受压）；绳的拉力 $100\ \mathrm{N}$，沿绳由 $C$ 指向 $A$。

（2）收短绳时，$AB$、$BC$ 都不变，$AC$ 变短。所以杆的弹力 $F = G\cdot\dfrac{BC}{AB}$ 大小不变，绳的拉力 $T = G\cdot\dfrac{AC}{AB}$ 一直减小。

检验：（1）中 $AB \perp BC$，杆水平，可以用正交分解验算：竖直方向 $T\cdot\dfrac{0.6}{1.0} = 60\ \mathrm{N}$，$T = 100\ \mathrm{N}$；水平方向 $F = T\cdot\dfrac{0.8}{1.0} = 80\ \mathrm{N}$，一致。

容易卡在：杆的弹力方向画成“由 $C$ 指向 $B$”。杆在这里被重物和绳压着，对 $C$ 端是向外的推力；判断方法是看去掉杆后 $C$ 端会往哪边摆（会向墙摆），杆的力就反过来阻止它。

常用推论

• 光滑半球面上的小球，用绳绕过球心正上方的定滑轮缓慢拉动：支持力大小不变，等于 $G\dfrac{R}{OP}$；拉力随绳长 $AP$ 变短而减小（例 1）。
• 铰链轻杆 $BC$ 一端在墙上、另一端用绳 $AC$ 拉住并挂重物，$A$ 在 $B$ 正上方：只改变绳长时，杆的弹力大小不变，绳拉力与绳长成正比（例 2）。
• 找几何三角形的口诀：重力找竖直线，支持力找半径（或垂直接触面的线），拉力找绳，杆力找杆。

易错点

• 错在哪：力的三角形和几何三角形的对应边配错，比如把 $F_{\text{N}}$ 对应到 $OP$。 为什么错：凭边的位置或长短去对，没有按“平行”对。 正确做法：逐个写”$G \parallel OP$、$F_{\text{N}} \parallel OA$、$T \parallel AP$“，再列比例。
• 错在哪：所有杆的弹力都当成沿杆。 为什么错：只有两端铰链、不计质量、只在两端受力的轻杆，弹力才沿杆；插进墙里固定的杆，弹力方向由平衡决定。 正确做法：先看杆是铰链连接还是固定，铰链轻杆才用“沿杆”。
• 错在哪：看到小球在动，就认为支持力一定在变。 为什么错：方向在变，大小可以不变。支持力对应的边是半径，半径长度不变。 正确做法：用比例式判断：对应边长度不变，力的大小就不变。

直观理解

力的三角形是装置里那个几何三角形的“缩小照片”：形状一样，只是比例尺不同。照片里哪条边没变，对应的力就没变；哪条边变短了，对应的力就变小了。

关联知识点

• 前置：5.2 三力平衡构成闭合三角形；5.4 图解法（有方向不变的力时用它）。
• 前置：相似三角形的判定和性质（初中几何）。
• 后续：第 15 章两个带电小球用绳悬挂的平衡，库仑力沿两球连线，常用相似三角形求库仑力或间距。
• 常一起考：第 4 章 4.3 轻杆、轻绳弹力的方向。

5.6 平衡中的临界与极值

说明

临界状态：物理现象从一种状态转变为另一种状态时，恰好处在转折点上的状态。题目的信号是“恰好”“刚好”“刚要”“至少”“最大”“最多”“不超过”。

临界条件：在临界状态，某个量取特殊值。平衡问题中常见的几种：

现象	临界条件
两物体恰好不发生相对滑动	静摩擦力达到最大静摩擦力，$f = f_{\max}$；题目没有特别说明时取 $f_{\max} = \mu F_{\text{N}}$
物体恰好离开接触面	支持力 $F_{\text{N}} = 0$
绳恰好伸直或恰好松弛	拉力 $T = 0$
绳恰好被拉断	拉力 $T = T_{\max}$

极值问题：在力的变化过程中，求某个力的最大值或最小值。两种方法：

• 解析法：由平衡方程写出该力关于某个角度的函数，用三角函数（辅助角公式）或二次函数求最值。
• 图解法：画力的三角形，找最短边；方向可调的力与方向固定的力垂直时最小（5.4）。

全反力与摩擦角：接触面对物体的支持力 $F_{\text{N}}$ 和摩擦力 $f$ 的合力叫全反力 $F_{\text{R}}$。物体滑动（或恰好要滑动）时 $f = \mu F_{\text{N}}$，全反力与接触面法线的夹角 $\varphi$ 满足

$$\tan\varphi = \frac{f}{F_{\text{N}}} = \mu$$

$\varphi$ 叫摩擦角，只由 $\mu$ 决定。用全反力代替支持力和摩擦力，四力问题就变成三力问题，可以用图解法。

使用场景

• 物体在斜面或水平面上静止，外力可以在一定范围内变化，问“外力在什么范围内物体能保持静止” → 最大静摩擦的两个方向 → 分别取“恰好不下滑”（静摩擦力沿斜面向上达最大）和“恰好不上滑”（静摩擦力沿斜面向下达最大）两个临界状态。
• 几根绳共同悬挂重物，各绳最大承受拉力已知，问“最多能挂多重” → 绳拉力达到最大 → 先求各绳拉力与重力的比例，判断哪根先达到最大，用它算。
• 外力方向可以选，问“最小需要多大的力”“沿什么方向最省力” → 极值 → 写成角的函数用三角函数求最值，或用全反力化成三力，图解找垂直。

注意点

• 静摩擦力有两个可能的方向，“保持静止的范围”要两个方向都考虑，不能只算一个。
• 最大静摩擦力严格说略大于滑动摩擦力，题目说“最大静摩擦力等于滑动摩擦力”或没有特别说明时，才取 $f_{\max} = \mu F_{\text{N}}$。
• 几根绳悬挂的题，不能把每根绳都取最大拉力代入，因为几根绳的拉力之间有固定比例，只能有一根先达到最大。
• 求最小拉力时，拉力的方向变了，支持力和摩擦力也跟着变，不能把支持力当成 $mg$。
• 临界状态既属于“平衡”也属于“恰好要变”，列方程时仍用平衡条件，再加上临界条件。

推导

拉动物体的最小拉力（解析法）：质量 $m$ 的物体放在水平面上，动摩擦因数 $\mu$，用与水平方向成 $\alpha$ 角斜向上的拉力 $F$ 使它匀速运动。竖直方向 $F_{\text{N}} = mg - F\sin\alpha$，水平方向 $F\cos\alpha = \mu F_{\text{N}}$：

$$F = \frac{\mu mg}{\cos\alpha + \mu\sin\alpha}$$

分母用辅助角公式（见《高中数学知识点梳理》第 13 章）：设 $\tan\varphi = \mu$，则

$$\cos\alpha + \mu\sin\alpha = \sqrt{1 + \mu^2}\,\cos(\alpha - \varphi)$$

（关键一步：把 $\cos\alpha + \mu\sin\alpha$ 合成一个余弦函数，最大值 $\sqrt{1 + \mu^2}$ 在 $\alpha = \varphi$ 时取到。分母最大，$F$ 最小。）

$$F_{\min} = \frac{\mu mg}{\sqrt{1 + \mu^2}} = mg\sin\varphi, \qquad \text{此时 } \alpha = \varphi,\ \tan\alpha = \mu$$

同一结果的图解法：支持力和滑动摩擦力的合力（全反力）与竖直方向的夹角恒为 $\varphi$（$\tan\varphi = \mu$），物体受重力、全反力、拉力三个力，重力恒定，全反力方向不变，正是 5.4 图解法的条件：拉力与全反力垂直时最小，$F_{\min} = mg\sin\varphi$，方向与水平成 $\varphi$ 角。两种方法得到同一结果。

自锁条件：物体放在倾角 $\theta$ 的斜面上，不受其他力，能静止的条件是重力沿斜面的分力不超过最大静摩擦力：$mg\sin\theta \le \mu mg\cos\theta$，即 $\mu \ge \tan\theta$。

例题

例 1　（场景：外力在一定范围内物体保持静止）质量 $m = 1\ \mathrm{kg}$ 的物块放在倾角 $37^\circ$ 的斜面上，物块与斜面间的动摩擦因数 $\mu = 0.5$（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。用沿斜面向上的力 $F$ 作用在物块上，要使物块保持静止，$F$ 的取值范围是多少？

解：

研究对象：物块。

过程划分：静止；分两个临界状态：恰好不下滑、恰好不上滑。

分析：物块受重力、支持力、$F$、静摩擦力。$\mu = 0.5 < \tan 37^\circ = 0.75$，不加 $F$ 物块会下滑。$F$ 较小时物块有下滑趋势，静摩擦力沿斜面向上；$F$ 较大时有上滑趋势，静摩擦力沿斜面向下。两个临界状态都是静摩擦力达到最大 $f_{\max} = \mu F_{\text{N}}$（本节临界条件表第一行）。

列式求解：垂直斜面方向：$F_{\text{N}} = mg\cos 37^\circ = 8\ \mathrm{N}$，最大静摩擦力 $f_{\max} = \mu F_{\text{N}} = 4\ \mathrm{N}$。取沿斜面向上为正方向。

恰好不下滑（摩擦力沿斜面向上）：

$$F_{\min} + f_{\max} - mg\sin 37^\circ = 0 \quad\Rightarrow\quad F_{\min} = 6\ \mathrm{N} - 4\ \mathrm{N} = 2\ \mathrm{N}$$

恰好不上滑（摩擦力沿斜面向下）：

$$F_{\max} - f_{\max} - mg\sin 37^\circ = 0 \quad\Rightarrow\quad F_{\max} = 6\ \mathrm{N} + 4\ \mathrm{N} = 10\ \mathrm{N}$$

所以 $2\ \mathrm{N} \le F \le 10\ \mathrm{N}$，方向沿斜面向上。

检验：$F = 6\ \mathrm{N}$ 时恰好等于重力沿斜面的分力，静摩擦力为零，在范围中间，合理。范围宽度 $8\ \mathrm{N} = 2f_{\max}$，正好是静摩擦力从“向上最大”变到“向下最大”。

容易卡在：只算了一个临界值，得出”$F \ge 2\ \mathrm{N}$“。$F$ 太大物块会被推上去，上限同样存在。

例 2　（场景：几根绳的最大承受拉力）重物用两根细绳 $OA$、$OB$ 挂在水平天花板上，$OA$ 与竖直方向成 $37^\circ$，$OB$ 与竖直方向成 $53^\circ$，两绳能承受的最大拉力都是 $100\ \mathrm{N}$。为使两绳都不断，所挂重物的重力最大是多少？

解：

研究对象：结点 $O$。

过程划分：静止；临界状态是某一根绳的拉力恰好达到 $100\ \mathrm{N}$。

分析：结点受重物的拉力 $G$（竖直向下）、$T_A$、$T_B$。$37^\circ + 53^\circ = 90^\circ$，两绳互相垂直。先求 $T_A$、$T_B$ 与 $G$ 的比例，判断哪根绳先达到最大（本节临界条件表最后一行）。

列式求解：两绳垂直，$T_A$、$T_B$ 的合力与 $G$ 等大反向，$T_A$、$T_B$ 是以 $G$ 为斜边的直角三角形的两条直角边：

$$T_A = G\cos 37^\circ = 0.8G, \qquad T_B = G\cos 53^\circ = 0.6G$$

$T_A > T_B$，$OA$ 先达到最大拉力。令 $T_A = 100\ \mathrm{N}$：

$$G_{\max} = \frac{100}{0.8}\ \mathrm{N} = 125\ \mathrm{N}$$

此时 $T_B = 0.6 \times 125\ \mathrm{N} = 75\ \mathrm{N} < 100\ \mathrm{N}$，$OB$ 不断。所挂重物最重 $125\ \mathrm{N}$。

检验：若误用 $OB$ 达到最大，$G = \dfrac{100}{0.6}\ \mathrm{N} \approx 167\ \mathrm{N}$，这时 $T_A \approx 133\ \mathrm{N}$，$OA$ 早就断了，说明必须取较小的那个值。

容易卡在：两根绳都取 $100\ \mathrm{N}$ 代入，算出 $G = \sqrt{100^2 + 100^2}\ \mathrm{N}$。两绳拉力的比例由角度决定，不能同时取最大。

例 3　（场景：外力方向可选，求最小值）质量 $m = 10\ \mathrm{kg}$ 的木箱放在水平地面上，木箱与地面间的动摩擦因数 $\mu = 0.75$。用斜向上的拉力 $F$ 拉木箱，使它沿地面匀速前进。拉力与水平方向的夹角 $\alpha$ 为多大时最省力？最小拉力是多少？

解：

研究对象：木箱。

过程划分：匀速运动，平衡状态。

分析：木箱受重力 $mg = 100\ \mathrm{N}$、拉力 $F$、支持力 $F_{\text{N}}$、滑动摩擦力 $f = \mu F_{\text{N}}$。拉力有向上的分量，会减小支持力和摩擦力，所以水平拉不一定最省力。四个力，用解析法（本节推导）。

列式求解：取水平向右、竖直向上为正方向：

$$F\cos\alpha - \mu F_{\text{N}} = 0, \qquad F_{\text{N}} + F\sin\alpha - mg = 0$$

消去 $F_{\text{N}}$：

$$F = \frac{\mu mg}{\cos\alpha + \mu\sin\alpha} = \frac{75}{\cos\alpha + 0.75\sin\alpha}\ \mathrm{N}$$

分母 $\cos\alpha + 0.75\sin\alpha = 1.25(0.8\cos\alpha + 0.6\sin\alpha) = 1.25\cos(\alpha - 37^\circ)$，$\alpha = 37^\circ$ 时最大为 $1.25$：

$$F_{\min} = \frac{75}{1.25}\ \mathrm{N} = 60\ \mathrm{N}$$

拉力与水平方向成 $37^\circ$ 斜向上时最省力，最小拉力 $60\ \mathrm{N}$。

检验：$\alpha = 37^\circ$、$F = 60\ \mathrm{N}$ 时，$F_{\text{N}} = 100\ \mathrm{N} - 36\ \mathrm{N} = 64\ \mathrm{N}$，$f = 0.75 \times 64\ \mathrm{N} = 48\ \mathrm{N}$，等于 $F\cos 37^\circ = 48\ \mathrm{N}$，平衡。水平拉时 $F = \mu mg = 75\ \mathrm{N}$，比 $60\ \mathrm{N}$ 大，说明斜拉确实省力。

另一种解法：全反力图解。支持力和滑动摩擦力的合力 $F_{\text{R}}$ 与竖直方向的夹角 $\varphi$ 满足 $\tan\varphi = \mu = 0.75$，$\varphi = 37^\circ$，不随 $F$ 变化。木箱只受 $G$、$F_{\text{R}}$、$F$ 三个力：$G$ 恒定，$F_{\text{R}}$ 方向不变，用 5.4 图解法，$F$ 与 $F_{\text{R}}$ 垂直时最短：

$$F_{\min} = mg\sin\varphi = 100 \times 0.6\ \mathrm{N} = 60\ \mathrm{N}$$

$F$ 与 $F_{\text{R}}$ 垂直，即与水平方向成 $\varphi = 37^\circ$。

选择题只问最小值和方向时，全反力图解一步就出结果，不用辅助角公式；计算题要写出 $F$ 与 $\alpha$ 的关系或讨论其他角度时，解析法更完整。

常用推论

• 自锁：物体静止在倾角 $\theta$ 的斜面上（不受其他力）的条件是 $\mu \ge \tan\theta$；$\mu$ 一定时，斜面倾角增大到 $\theta = \arctan\mu$ 时物体恰好开始下滑。由本节推导得出。
• 沿斜面向上的力 $F$ 使物体静止的范围：$mg\sin\theta - \mu mg\cos\theta \le F \le mg\sin\theta + \mu mg\cos\theta$（例 1；若左端为负，下限取 $0$）。
• 水平面上拉物体匀速运动，最省力的方向是与水平方向成摩擦角 $\varphi$（$\tan\varphi = \mu$）斜向上，最小拉力 $F_{\min} = \dfrac{\mu mg}{\sqrt{1 + \mu^2}} = mg\sin\varphi$（例 3）。
• 两根绳悬挂重物，与竖直方向夹角小的那根拉力大，最大承受拉力相同时它先断（例 2）。由水平方向平衡 $T_A\sin\alpha = T_B\sin\beta$ 得出。

易错点

• 错在哪：求“保持静止的范围”时，只考虑静摩擦力沿一个方向。 为什么错：直觉以为摩擦力总是“阻碍”外力，方向固定。静摩擦力的方向取决于相对运动趋势，$F$ 小时物体有下滑趋势，$F$ 大时有上滑趋势，方向相反。 正确做法：分别取两个临界状态，静摩擦力各沿一个方向达到最大。
• 错在哪：认为水平拉物体最省力。 为什么错：直觉以为“力全用在前进方向上最划算”。斜向上拉时，向上的分量减小了压力，摩擦力也随之减小，总的拉力反而可以更小（例 3：$60\ \mathrm{N} < 75\ \mathrm{N}$）。 正确做法：写出 $F(\alpha)$ 求最值，或用全反力图解。
• 错在哪：几根绳都取最大拉力，算出最大重力。 为什么错：各绳拉力的比例由几何关系决定，不能独立取值。 正确做法：先求出各绳拉力与重力的比例，比例最大的那根先达到最大拉力，用它求重力。
• 错在哪：临界状态下的静摩擦力，仍按“由平衡求出的任意值”处理，少了一个方程。 为什么错：没有写出临界条件。临界状态的价值正在于多了一个等式：$f = \mu F_{\text{N}}$、$T = 0$、$F_{\text{N}} = 0$ 等。 正确做法：每道临界题先写“临界条件：……”，再列平衡方程。

直观理解

临界状态像天平上的“刚好翘起”：再多放一粒米，状态就变了。找临界条件，就是问“再变一点点，哪个力先撑不住”：静摩擦力到顶了、绳快断了、支持力减到零了。

最小力问题记一句话：方向可调的力，和方向固定的那个力垂直时最小。

关联知识点

• 前置：第 4 章 4.4 最大静摩擦力与静摩擦力的方向；5.2 平衡条件；5.4 图解法求最小值。
• 前置：辅助角公式，见《高中数学知识点梳理》第 13 章；三角函数的最值，见第 12 章。
• 后续：第 7 章动力学中的临界问题（板块恰好不相对滑动、物体恰好离开斜面），临界条件相同，只是平衡方程换成牛顿第二定律。
• 后续：第 10 章竖直面内圆周运动的临界（绳的拉力为零），第 26 章带电粒子在有界磁场中的临界轨迹。
• 常一起考：5.3 整体法，几个物体叠放时“恰好不滑动”的外力范围。

5.7 知识点之间的关系

拿到一个平衡题，先确认是平衡状态（静止、匀速或缓慢），再按下图选方法：几个物体时先决定整体还是隔离（5.3）；力不变时，三力用合成法、多力用正交分解（5.2）；力缓慢变化时，按三个力的特点选图解法、辅助圆、相似三角形或解析法（5.4、5.5）；题目出现“恰好”“最大”“最小”时，先写临界条件（5.6）。

5.8 自测

1. 物体受四个共点力作用处于平衡状态，其中 $F_1 = 6\ \mathrm{N}$，方向向东。若撤去 $F_1$，其余三个力不变，它们的合力是多少？
2. 质量 $2\ \mathrm{kg}$ 的物块沿倾角 $30^\circ$ 的斜面匀速下滑，求物块与斜面间的动摩擦因数和摩擦力。
3. 重 $20\ \mathrm{N}$ 的灯笼用两根等长细绳对称悬挂，每根绳与竖直方向成 $60^\circ$，求每根绳的拉力。
4. 质量 $M$ 的斜面体静止在水平地面上，质量 $m$ 的物块静止在斜面上。地面对斜面体的支持力和摩擦力各是多少？
5. 木块 $A$（$2\ \mathrm{kg}$）叠放在木板 $B$（$3\ \mathrm{kg}$）上，用水平力 $F = 10\ \mathrm{N}$ 拉 $B$，$A$、$B$ 一起向右匀速运动。求地面对 $B$ 的摩擦力和 $A$、$B$ 之间的摩擦力。
6. 光滑小球用细绳挂在光滑竖直墙上（绳的延长线过球心）。把绳加长（悬点不变），绳的拉力和墙的支持力怎样变化？
7. 5.5 例 1 中，若把绳拉到 $AP = 0.3\ \mathrm{m}$，拉力和支持力各是多少？
8. 重物用两根绳对称悬挂，每根绳与竖直方向成 $60^\circ$，每根绳最大承受拉力 $100\ \mathrm{N}$，最多能挂多重的物体？
9. 物块与斜面间的动摩擦因数 $\mu = 0.75$，斜面倾角从零缓慢增大，倾角增大到多少时物块开始下滑？

答案：1. $6\ \mathrm{N}$，方向向西；2. $\mu = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.58$，摩擦力 $10\ \mathrm{N}$，沿斜面向上；3. $20\ \mathrm{N}$；4. 支持力 $(M + m)g$，摩擦力为零；5. 地面对 $B$ 的摩擦力 $10\ \mathrm{N}$，水平向左，$A$、$B$ 之间没有摩擦力；6. 都减小（$T = \dfrac{G}{\cos\theta}$、$F_{\text{N}} = G\tan\theta$，$\theta$ 变小）；7. 拉力 $12\ \mathrm{N}$，支持力 $12\ \mathrm{N}$；8. $100\ \mathrm{N}$；9. $37^\circ$。

5.9 深入阅读

• 维基百科 · 静力学：静力平衡的两个条件（合力为零、合力矩为零）和平衡方程，可以看到高中只用其中第一个条件的原因。
• 维基百科 · 拉密定理：三力平衡时每个力与另两力夹角正弦之比相等，是 5.4 辅助圆、正弦定理解法的一般形式。
• PhET · 矢量加法：拖动三个箭头首尾相接，看合力为零时力的三角形怎样闭合、各边怎样随角度变化。