第 22 章 · 机械波

项目	内容
课标主题	选择性必修 1 · 机械振动与机械波（机械波的形成和描述、波速与波长和频率的关系、波的反射折射衍射、波的干涉、多普勒效应）
人教版（2019）	选择性必修第一册 第三章“机械波”：1 波的形成；2 波的描述；3 波的反射、折射和衍射；4 波的干涉；5 多普勒效应
考试地位	新高考常考，一般是一道选择题或填空题，常和第 21 章的振动图像一起考：读波形图、由振动图像推波形图（或反过来）、判断质点振动方向、两个时刻波形的多解；干涉的加强点减弱点偶考，常和第 24 章光的干涉放在一起；反射折射衍射、多普勒效应偶考概念
前置知识	第 21 章简谐运动（振幅、周期、频率，振动图像，受迫振动）；第 1 章 1.4 图像的斜率；正弦函数的图像（见《高中数学知识点梳理》第 12 章）

机械波是“振动的传播”：一个质点的振动带动旁边的质点振动，一个接一个传下去。本章的公式只有一个 $v = \lambda f$，难点全在图上：波形图和振动图像长得一模一样，一张是“许多质点在同一时刻”，一张是“一个质点在许多时刻”，看错了图，后面全错。另一个丢分点是多解：只给两个时刻的波形，波可能向左也可能向右传，可能传了不到一个波长也可能传了好几个，漏掉一种就扣分。本章把这两件事讲透。

22.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
22.2 波的形成与描述	波传播的是振动形式和能量，质点不随波走；波长、频率、波速满足 $v = \lambda f = \dfrac{\lambda}{T}$	常考，多和波形图一起考
22.3 波形图与振动图像	波形图（$y$-$x$）是某时刻所有质点的位置，振动图像（$y$-$t$）是一个质点在各时刻的位置；两张图互推、判断振动方向、多解	必考核心，振动和波的选择题几乎都考它
22.4 波的反射、折射与衍射	反射、折射时频率不变；障碍物或孔的尺寸比波长小或差不多时，衍射明显	偶考概念
22.5 波的干涉	两个频率相同的波源，波程差是波长整数倍处加强，是半波长奇数倍处减弱	常考，选择题或和光的干涉一起考
22.6 多普勒效应	波源和观察者靠近时接收到的频率变高，远离时变低	偶考概念

本章把质点离开平衡位置的位移记作 $y$（第 21 章记作 $x$），因为 $x$ 要留给“质点在波传播方向上的位置”。所以第 21 章的振动图像（$x$-$t$ 图）在本章写作 $y$-$t$ 图，两者是同一种图；波形图写作 $y$-$x$ 图。

22.2 波的形成与描述

说明

机械波：机械振动在介质中的传播。产生机械波要两个条件：波源（振动的物体）和介质（传播振动的物质，如绳、水、空气）。真空中没有介质，机械波不能传播。

波是怎样形成的：介质由许多质点组成，相邻质点之间有相互作用力。波源先振动，带动旁边的质点振动，这个质点又带动下一个……后面的质点总是重复前面质点的振动，只是晚一些开始。下图是绳上波的形成：质点 1 是波源，从 $t = 0$ 开始向上振动，每过 $\dfrac{T}{4}$，振动向右传出 $\dfrac{\lambda}{4}$。

几个要点：

• 质点只在自己的平衡位置附近振动，不随波迁移。波传过去的是振动形式和能量（还能传递信息）。
• 每个质点都在做受迫振动（第 21 章），驱动力来自前一个质点，所以各质点的振动周期、频率都等于波源的周期、频率。
• 每个质点开始振动的方向（起振方向）都和波源开始振动的方向相同。

横波和纵波：

• 横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直。凸起的最高处叫波峰，凹下的最低处叫波谷。例：绳波。
• 纵波：质点的振动方向与波的传播方向在同一直线上。质点分布密的地方叫密部，疏的地方叫疏部。例：空气中的声波、弹簧上的疏密波。
• 地震波既有横波（S 波）又有纵波（P 波）。水面波既不是纯横波也不是纯纵波，高中按横波画。

描述波的三个物理量：

• 波长 $\lambda$：在波的传播方向上，振动情况总是相同的两个相邻质点间的距离。横波中相邻两个波峰（或波谷）的距离，纵波中相邻两个密部（或疏部）的距离，都是一个波长。等价说法：波在一个周期内传播的距离。
• 周期 $T$、频率 $f$：各质点的振动周期、频率，等于波源的周期、频率，$f = \dfrac{1}{T}$。
• 波速 $v$：振动（波形）在介质中传播的快慢。

三者的关系：

$$v = \frac{\lambda}{T} = \lambda f$$

谁决定谁：

• 频率 $f$ 由波源决定，波从一种介质进入另一种介质时频率不变。
• 波速 $v$ 由介质决定（还与温度等有关），与频率无关。空气中的声速约 $340\ \mathrm{m/s}$，水中约 $1500\ \mathrm{m/s}$。
• 波长 $\lambda = \dfrac{v}{f}$ 由波源和介质共同决定。

这里的模型是理想的简谐波：波源做简谐运动，介质均匀，传播过程不损失能量，各质点振幅相同。

使用场景

• 选择题问“哪种是横波、哪种是纵波”“质点会不会随波移动”“波传递的是什么” → 波的形成模型 → 看振动方向和传播方向的关系；质点只在平衡位置附近振动。
• 题目给出波长（相邻波峰间距）和周期或频率（浮标在一段时间内振动几次），求波速，或已知其中两个求第三个 → 简谐波 → $v = \lambda f = \dfrac{\lambda}{T}$。
• 问某质点在一段时间内走过的路程、波在这段时间内传了多远 → 质点做简谐运动、波形匀速传播 → 质点路程按“一个周期 $4A$“数，波传播距离用 $\Delta x = v\Delta t$。

注意点

• 区分波速和质点振动速度：波速 $v$ 是波形向前推进的速度，在同一均匀介质中不变；质点的振动速度时刻在变，平衡位置最大、最大位移处为零。两者完全是两回事，横波中两者方向还互相垂直。
• 波长定义里的“相邻”不能丢：相距 $2\lambda$、$3\lambda$ 的质点振动情况也总相同，但它们之间的距离不叫波长。
• 频率由波源定、波速由介质定。不要由 $v = \lambda f$ 得出“频率越高波速越大”：同一介质中频率变高，是波长变短，波速不变。
• 质点“一个周期走 $4A$、半个周期走 $2A$“对任何起点都成立；“四分之一周期走 $A$“只在从平衡位置或最大位移处出发时成立。
• 单位：振幅常用 $\mathrm{cm}$，波长用 $\mathrm{m}$，算路程时注意别混。

推导

为什么 $v = \dfrac{\lambda}{T}$：

1. 波源完成一次全振动用时 $T$。在这段时间里，振动从波源传到了某个质点 $Q$，$Q$ 恰好要开始振动（上图 $t = T$ 时的质点 17）。
2. $Q$ 开始振动时，波源也刚好回到开始时的状态。之后 $Q$ 重复波源的振动，只晚 $T$；而简谐运动每隔 $T$ 重复一次，晚一个 $T$ 等于不晚，所以 $Q$ 和波源的振动情况总是相同。中间没有别的质点和波源振动情况总相同，所以波源到 $Q$ 的距离就是一个波长 $\lambda$。
3. 所以波在时间 $T$ 内传播了距离 $\lambda$：

$$v = \frac{\lambda}{T} = \lambda f$$

（关键一步：第 2 步“晚一个周期等于不晚”。它把波长的两种说法连起来：一个周期内传播的距离，就是振动情况总相同的相邻两质点的距离。）

为什么频率由波源决定、过界面不变：每个质点都被前一个质点带着做受迫振动，受迫振动的频率等于驱动力的频率（第 21 章）。一个接一个推下去，所有质点的频率都等于波源的频率。到了两种介质的界面，界面另一侧的质点被界面上的质点带动，频率还是一样，只是新介质的波速不同，波长 $\lambda = \dfrac{v}{f}$ 跟着变。

为什么波速由介质决定：振动传得快不快，取决于介质被带动后“恢复”得多快（绳绷得多紧、介质多“硬”）和质点多“重”（惯性多大）。弦上波速 $v = \sqrt{\dfrac{F}{\mu}}$（$F$ 是张力，$\mu$ 是单位长度的质量）这类公式要用牛顿定律对一小段介质列方程再取极限（大学物理的波动方程），高中课标不要求。

例题

例 1　（场景：横波纵波、质点是否随波迁移）关于机械波，下列说法正确的是（　）。

A. 空气中的声波是横波 B. 地震波中既有横波，也有纵波 C. 横波传播时，介质中的质点沿波的传播方向迁移 D. 纵波中，质点的振动方向与波的传播方向垂直

解：B。

判断依据：横波的振动方向与传播方向垂直，纵波的振动方向与传播方向在同一直线上；无论横波纵波，质点都只在平衡位置附近振动。

A 错：空气中的声波是纵波，空气被一疏一密地压缩、拉开。C 错：质点不随波迁移，波传的是振动形式和能量。D 错：说的是横波。B 对：地震时纵波（P 波）先到，横波（S 波）后到。

例 2　（场景：由波长和周期求波速）湖面上一列水波向岸边传来，测得相邻两个波峰之间的距离为 $3\ \mathrm{m}$，水面上的一只浮标在 $1\ \mathrm{min}$ 内完成了 20 次全振动。求：（1）这列波的周期、频率和波速；（2）波从浮标处传到 $30\ \mathrm{m}$ 外的岸边需要多长时间。

解：

研究对象：水波，以及随波上下振动的浮标。

过程划分：一个过程，波在水面上匀速传播。

分析：相邻波峰间距就是波长，$\lambda = 3\ \mathrm{m}$。浮标的振动周期就是波的周期。波在同一均匀介质中匀速传播。

列式求解：（1）周期和频率：

$$T = \frac{60\ \mathrm{s}}{20} = 3\ \mathrm{s}, \quad f = \frac{1}{T} = \frac{1}{3}\ \mathrm{Hz}$$

波速（用本节 $v = \dfrac{\lambda}{T}$）：

$$v = \frac{\lambda}{T} = \frac{3}{3}\ \mathrm{m/s} = 1\ \mathrm{m/s}$$

（2）波传播 $30\ \mathrm{m}$ 所用时间：

$$t = \frac{\Delta x}{v} = \frac{30}{1}\ \mathrm{s} = 30\ \mathrm{s}$$

检验：单位 $\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 对。量级：湖面小波每秒走一米左右，合理。也可以数周期：$30\ \mathrm{m}$ 是 10 个波长，每传一个波长用一个周期 $3\ \mathrm{s}$，共 $30\ \mathrm{s}$，一致。

容易卡在：把“1 min 内上下浮动 20 次”的 20 当成频率（$20\ \mathrm{Hz}$）。频率是每秒的全振动次数。

例 3　（场景：质点路程和波传播距离）一列简谐横波沿 $x$ 轴传播，波速 $v = 2\ \mathrm{m/s}$，波长 $\lambda = 4\ \mathrm{m}$，振幅 $A = 5\ \mathrm{cm}$。求在 $3\ \mathrm{s}$ 内：（1）波传播的距离；（2）介质中任一质点通过的路程；（3）若 $t = 0$ 时某质点 $P$ 在平衡位置，$t = 3\ \mathrm{s}$ 时 $P$ 的位移。

解：

研究对象：（1）是波形；（2）（3）是介质中的一个质点。

过程划分：一个过程，$0 \sim 3\ \mathrm{s}$。

分析：波形以波速匀速推进；质点不随波走，只在平衡位置附近做简谐运动，周期等于波的周期。先求周期，再看 $3\ \mathrm{s}$ 是几个周期。

列式求解：（1）$\Delta x = v\Delta t = 2 \times 3\ \mathrm{m} = 6\ \mathrm{m}$。

（2）周期 $T = \dfrac{\lambda}{v} = \dfrac{4}{2}\ \mathrm{s} = 2\ \mathrm{s}$，$3\ \mathrm{s} = 1.5T$。一个周期路程 $4A$，半个周期路程 $2A$，与起点无关：

$$s = 4A + 2A = 6A = 6 \times 5\ \mathrm{cm} = 30\ \mathrm{cm}$$

（3）$P$ 从平衡位置出发，经过 $1.5T$（整数个半周期）又回到平衡位置，位移为 0。

检验：（1）是 $6\ \mathrm{m}$，（2）是 $30\ \mathrm{cm}$，两个量差了二十倍，正说明“波传得远，质点只在原地附近动”。（2）不需要知道质点的起点，因为 $1.5T$ 是半周期的整数倍。

容易卡在：把波传播的 $6\ \mathrm{m}$ 当成质点走的路程。质点不随波迁移。

常用推论

• 各质点的起振方向都和波源的起振方向相同，也就等于此刻波最前端那个质点的振动方向。由“后面的质点重复前面质点的振动”得出（本节说明）。
• 相距 $\lambda$ 整数倍的两个质点，振动情况总相同（位移、速度都相同）；相距 $\dfrac{\lambda}{2}$ 奇数倍的两个质点，振动情况总相反（位移、速度都等大反向）。由“晚一个周期等于不晚、晚半个周期正好反相”得出。
• 质点在 $\Delta t = n \cdot \dfrac{T}{2}$（$n = 1, 2, 3, \dots$）内的路程是 $2nA$，与起点无关（例 3）。
• 波在时间 $t$ 内传播的距离 $\Delta x = vt$；每经过一个周期，波向前推进一个波长。

易错点

• 错在哪：认为波传过来，水面上的树叶会被推向岸边。 为什么错：直觉把“波在走”当成“水在走”。树叶只随水面上下起伏，波传过去它还留在原处（不计风和水流）。 正确做法：记住波传的是振动形式和能量，介质质点只在平衡位置附近振动。
• 错在哪：由 $v = \lambda f$ 认为，频率加倍，波速也加倍。 为什么错：把数学关系当成因果关系。波速由介质决定，同一介质里频率加倍，波长减半，波速不变。 正确做法：先问“变的是波源还是介质”：换波源，$f$ 变、$v$ 不变；换介质，$v$ 变、$f$ 不变；$\lambda$ 跟着算。
• 错在哪：把波速当成质点的振动速度，说“质点以 $2\ \mathrm{m/s}$ 的速度上下振动”。 为什么错：两个速度说的是不同的东西：一个是波形推进的快慢，一个是质点来回运动的快慢。 正确做法：题目问质点的速度，要回到简谐运动（第 21 章）：平衡位置最大，最大位移处为零。

直观理解

体育场里的“人浪”：每个观众只是站起来再坐下（质点在原地振动），可“浪”绕着看台跑了一圈（振动形式在传播）。人浪传得快不快，取决于观众反应快不快（介质），和每个人站起坐下的节奏（频率）无关。

关联知识点

• 前置：第 21 章简谐运动的振幅、周期、频率，以及受迫振动的频率等于驱动力频率。
• 后续：22.3 波形图与振动图像，本节的 $\lambda$、$A$、$v = \lambda f$ 都要从图上读。
• 后续：第 30 章电磁波，同样满足 $c = \lambda f$，但电磁波不需要介质。
• 后续：第 35 章物质波，德布罗意波长也用 $\lambda$ 表示。
• 常一起考：第 24 章光的干涉，光从一种介质进入另一种介质，同样频率不变、波长变。

22.3 波形图与振动图像

说明

波形图（波的图像，$y$-$x$ 图）：横轴是各质点的平衡位置 $x$，纵轴是同一时刻各质点离开平衡位置的位移 $y$。简谐波的波形图是正弦曲线。它像一张照片：拍下某一瞬间所有质点在哪儿。

振动图像（$y$-$t$ 图）：横轴是时间 $t$，纵轴是某一个质点在各时刻的位移 $y$，就是第 21 章的振动图像。它像一段录像：盯住一个质点看它怎么动。

两张图对照：

	波形图（$y$-$x$）	振动图像（$y$-$t$）
研究对象	介质中所有质点	一个质点
横轴	各质点的平衡位置 $x$	时间 $t$
相邻两个波峰的距离	波长 $\lambda$	周期 $T$
能直接读出	振幅 $A$、波长 $\lambda$、该时刻各质点的位移	振幅 $A$、周期 $T$、该质点各时刻的位移
质点振动方向	图上看不出，要结合传播方向判断	看下一时刻的位移（图线的走向）
随时间的变化	整个波形沿传播方向平移	图线向后延伸，已画的部分不变

由波形图判断质点的振动方向（已知传播方向；反过来也可以由某质点的振动方向判断传播方向）。三种等价的方法：

• 同侧法：在质点所在位置画一个表示传播方向的水平箭头，再画一个表示振动方向的竖直箭头，两个箭头要在波形曲线的同一侧。
• 带动法：后面的质点跟着前面的质点动。“前面”指离波源更近的一侧（波从哪边来，哪边就是前面）。看该质点前面的邻居在它上方还是下方，它就向那边运动。
• 平移法：把波形沿传播方向平移一小段，画出下一时刻的波形，看该质点的位置是变高了还是变低了。

两张图互推：

• 由振动图像推波形图：从振动图像读 $T$ 和该质点在某时刻的位移、振动方向；结合波长（或波速）和该质点在波形图上的位置，用同侧法定传播方向，画出该时刻的波形。
• 由波形图推振动图像：从波形图读 $A$、$\lambda$ 和某质点此刻的位移，用同侧法定它此刻的振动方向，由 $T = \dfrac{\lambda}{v}$ 得周期，从此刻的位置和方向出发画正弦曲线。

两个时刻的波形求波速——多解性：只给 $t_1$、$t_2$ 两个时刻的波形，从图上只能看出波形平移了“不足一个波长的那一段” $\Delta x_0$，而实际传播的距离可能还多了整数个波长；传播方向不知道时，向两边传都有可能。所以：

$$\Delta x = n\lambda + \Delta x_0, \quad v = \frac{\Delta x}{t_2 - t_1} \quad (n = 0, 1, 2, \dots)$$

向左、向右各写一组，$\Delta x_0$ 不同。

使用场景

• 给出波形图和传播方向，问某质点此刻向哪儿振动、谁先回到平衡位置（或反过来，由质点振动方向判断传播方向）→ 波形图 → 同侧法、带动法或平移法。
• 同时给出波形图和其中某质点的振动图像，问波速、传播方向 → 两张图配合 → 波形图读 $\lambda$，振动图像读 $T$ 和该质点的振动方向，$v = \dfrac{\lambda}{T}$，再用同侧法定方向。
• 给出某时刻的波形和波速，问一段时间后某质点的位移、路程，或要画某质点的振动图像 → 由波形图推振动图像 → 先定该质点此刻的位置和振动方向，再按周期往后数。
• 给出两个时刻的波形（实线、虚线），问波速或周期的可能值 → 波形平移 → $\Delta x = n\lambda + \Delta x_0$，两个方向各一组，再用题目的附加条件（如 $\Delta t < T$）筛选。

注意点

• 拿到图先看横轴：是 $x$ 就是波形图，是 $t$ 就是振动图像。两张图外形可以一模一样。
• 波形图上一个质点的振动方向不能只看图，必须知道传播方向；振动图像上质点的振动方向直接看图：下一时刻图线往上走就是向上振动（就是 $y$-$t$ 图的斜率正负，第 1 章 1.4）。
• 波形图中波峰、波谷处的质点速度为零，不能用同侧法说它“向上”或“向下”；它下一刻一定朝平衡位置运动。
• 用波形图和振动图像配合时，两张图必须对应同一时刻、同一质点。振动图像要读的是“波形图那一时刻”的振动方向，不一定是 $t = 0$。
• 多解题里”$n = 0, 1, 2, \dots$“不能漏写；题目有”$\Delta t$ 小于一个周期”“波速小于某值”之类的条件，才能定出具体的 $n$。
• 本书波形图的纵轴单位常用 $\mathrm{cm}$，横轴用 $\mathrm{m}$，读图时看清。

推导

同侧法为什么对（由平移法推出）：设波向右传播。经过很短的时间 $\Delta t$，整个波形向右平移 $\Delta x = v\Delta t$。这时站在 $x$ 处的质点，位移变成了原来 $x - \Delta x$ 处（它左边一点）的位移。

• 如果波形在 $x$ 处是“向右上坡”（左低右高），左边一点比它低，它下一刻变低，向下振动。
• 如果是“向右下坡”（左高右低），左边一点比它高，它向上振动。

画出来就是：传播方向的箭头和振动方向的箭头总在曲线的同一侧。

（关键一步：波的传播就是波形整体平移。所以”$x$ 处质点下一刻的位移“等于”此刻它上游邻居的位移”，这就是带动法；把它画成箭头，就是同侧法。三种方法是一回事。）

波形图和振动图像出自同一个式子：以波源在 $x = 0$、$t = 0$ 时从平衡位置向上振动、波向 $x$ 正方向传播为例。$x$ 处的质点比波源晚 $\dfrac{x}{v}$ 开始同样的振动，所以

$$y = A\sin\frac{2\pi}{T}\left(t - \frac{x}{v}\right) = A\sin 2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right)$$

把 $t$ 固定，$y$ 随 $x$ 变化，就是该时刻的波形图；把 $x$ 固定，$y$ 随 $t$ 变化，就是该质点的振动图像。高中课标不要求这个式子（叫作波函数），这里只用来说明两张图是同一个波的两个“切面”。用它算质点的振动速度要对 $t$ 求偏导数，那是大学的内容。

多解从哪来：波形是周期性的，平移 $\Delta x_0$ 和平移 $\Delta x_0 + \lambda$、$\Delta x_0 + 2\lambda$……得到的图完全一样，只看两张图分不出来；向左平移 $\lambda - \Delta x_0$ 得到的图也一样。

例题

例 1　（场景：由波形图和传播方向判断振动方向）一列简谐横波沿 $x$ 轴负方向传播，某时刻的波形如图所示，$K$、$L$ 是平衡位置分别在 $x = 3\ \mathrm{m}$、$x = 5\ \mathrm{m}$ 的两个质点。判断此刻 $K$、$L$ 的振动方向，并判断哪个质点先回到平衡位置。

解：

判断依据：本节同侧法：传播方向和振动方向的箭头在波形曲线的同一侧。

在 $K$ 处画向左的传播箭头。$K$ 在 $x = 2\ \mathrm{m}$ 的波峰右侧，曲线向右下坡（左高右低）；向左的箭头要和竖直箭头在曲线同一侧，竖直箭头只能向下。所以 $K$ 向下振动。

$L$ 在 $x = 4\ \mathrm{m}$ 的平衡位置与 $x = 6\ \mathrm{m}$ 的波谷之间，曲线也是向右下坡，同理 $L$ 也向下振动。

$K$ 在平衡位置上方、向下振动，正朝平衡位置走；$L$ 在平衡位置下方、向下振动，正离开平衡位置，要先到波谷再返回。所以 $K$ 先回到平衡位置。

容易卡在：看到 $K$、$L$ 振动方向相同，就以为它们同时回到平衡位置。要看各自是“朝着”还是“背离”平衡位置走。

另一种解法：用带动法。波向左传，波源在右边，每个质点跟着它右边的邻居动。$K$ 右边的邻居比它低（曲线往右在下降），$K$ 向下；$L$ 右边的邻居更靠近波谷，也比它低，$L$ 向下。也可以用平移法：把波形向左挪一点，$K$、$L$ 处的曲线都变低了。同侧法画两个箭头就能出答案，选择题最快；带动法和平移法讲得出道理，同侧法记混时用它们验证。

例 2　（场景：波形图和振动图像配合求波速和方向）图甲是一列简谐横波在 $t = 0$ 时刻的波形图，$P$ 是平衡位置在 $x = 2\ \mathrm{m}$ 处的质点；图乙是质点 $P$ 的振动图像。求这列波的波速，并判断传播方向。

解：

研究对象：这列波；质点 $P$。

过程划分：只看 $t = 0$ 这一时刻，两张图对应的都是这一时刻。

分析：波长从甲图读，周期从乙图读，用 $v = \dfrac{\lambda}{T}$ 求波速；$P$ 在 $t = 0$ 的振动方向从乙图读，再到甲图上用同侧法定传播方向。

列式求解：甲图：$\lambda = 4\ \mathrm{m}$。乙图：$T = 0.4\ \mathrm{s}$。

$$v = \frac{\lambda}{T} = \frac{4}{0.4}\ \mathrm{m/s} = 10\ \mathrm{m/s}$$

乙图中 $t = 0$ 之后 $P$ 的位移变为负，所以 $t = 0$ 时 $P$ 向下（$y$ 负方向）振动。甲图中 $P$ 在 $x = 1\ \mathrm{m}$ 的波峰与 $x = 3\ \mathrm{m}$ 的波谷之间，曲线向右下坡。竖直向下的箭头在曲线的左下方一侧，传播箭头也要在这一侧，只能向左。所以波沿 $x$ 轴负方向传播。

检验：带动法验证：波向左传，$P$ 跟着右边的邻居动，右边的邻居靠近波谷、在 $P$ 下方，$P$ 向下，与乙图一致。量级：$10\ \mathrm{m/s}$ 对绳波、水波合理。

容易卡在：把乙图的横轴当成 $x$，从乙图读出“波长 $0.4$”。乙图横轴是 $t$，两个波峰之间是周期。

例 3　（场景：由波形图推某质点的振动图像和以后的位移）仍是例 2 的这列波（沿 $x$ 轴负方向传播，$v = 10\ \mathrm{m/s}$，$t = 0$ 时的波形见例 2 甲图）。$O$ 是平衡位置在 $x = 0$ 处的质点。（1）画出 $O$ 从 $t = 0$ 起的振动图像；（2）求 $t = 0.1\ \mathrm{s}$ 时 $O$ 的位移；（3）求 $0 \sim 0.5\ \mathrm{s}$ 内 $O$ 通过的路程。

解：

研究对象：质点 $O$。

过程划分：$O$ 从 $t = 0$ 开始做简谐运动，一个过程。

分析：先定 $O$ 在 $t = 0$ 的位置和振动方向，再由周期画振动图像。$t = 0$ 时 $O$ 在平衡位置；$O$ 处曲线向右上坡（右边是 $x = 1\ \mathrm{m}$ 的波峰），波向左传，用同侧法，向左的传播箭头在曲线左上方一侧，振动箭头也要在这一侧，所以 $O$ 向上振动。周期 $T = 0.4\ \mathrm{s}$（例 2）。

列式求解：（1）$O$ 从平衡位置向上开始振动，振动图像是从原点出发、先向上的正弦曲线，周期 $0.4\ \mathrm{s}$，振幅 $5\ \mathrm{cm}$：

（2）$t = 0.1\ \mathrm{s} = \dfrac{T}{4}$，$O$ 从平衡位置向上走了四分之一周期，到达波峰，位移 $y = 5\ \mathrm{cm}$，方向沿 $y$ 轴正方向。

（3）$0.5\ \mathrm{s} = T + \dfrac{T}{4}$。一个周期路程 $4A$；$O$ 从平衡位置出发，再过 $\dfrac{T}{4}$ 又走 $A$：

$$s = 4A + A = 5A = 25\ \mathrm{cm}$$

检验：（3）用了“四分之一周期走 $A$”，前提是 $O$ 从平衡位置出发，这里满足（经过一个整周期后 $O$ 又回到平衡位置向上）。

容易卡在：（3）直接按 $\dfrac{0.5}{0.4} \times 4A$ 算比例，对这里碰巧对，若 $O$ 不在平衡位置或最大位移处出发就错了。

另一种解法：（2）用平移法。$0.1\ \mathrm{s}$ 内波向左传 $\Delta x = v\Delta t = 1\ \mathrm{m}$，所以 $t = 0.1\ \mathrm{s}$ 时 $O$ 处的位移，等于 $t = 0$ 时 $x = 1\ \mathrm{m}$ 处（波峰）的位移，即 $5\ \mathrm{cm}$。只问某一时刻某质点的位移时，平移法一步出答案；要问路程或画振动图像，还是按质点的振动来数更清楚。

例 4　（场景：两个时刻的波形求波速，多解）一列简谐横波沿 $x$ 轴传播，图中实线是 $t = 0$ 时的波形，虚线是 $t = 0.5\ \mathrm{s}$ 时的波形，虚线的波峰在实线波峰右侧 $1\ \mathrm{m}$。（1）写出波速的所有可能值；（2）若这列波的周期大于 $0.5\ \mathrm{s}$，求波速；（3）若波速为 $34\ \mathrm{m/s}$，判断传播方向。

解：

研究对象：这列波的波形。

过程划分：$0 \sim 0.5\ \mathrm{s}$，波形平移一段距离，方向未知。

分析：$\lambda = 4\ \mathrm{m}$。从图上看，实线向右平移 $1\ \mathrm{m}$ 或向左平移 $3\ \mathrm{m}$ 都能和虚线重合；再加上任意整数个波长，结果一样。两个方向分别列式。

列式求解：（1）若波向 $x$ 正方向传播：

$$\Delta x = n\lambda + 1\ \mathrm{m} = (4n + 1)\ \mathrm{m}, \quad v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = (8n + 2)\ \mathrm{m/s} \quad (n = 0, 1, 2, \dots)$$

若波向 $x$ 负方向传播：

$$\Delta x = n\lambda + 3\ \mathrm{m} = (4n + 3)\ \mathrm{m}, \quad v = (8n + 6)\ \mathrm{m/s} \quad (n = 0, 1, 2, \dots)$$

（2）$T > 0.5\ \mathrm{s}$，即 $0.5\ \mathrm{s}$ 内波传播的距离小于一个波长，只能取 $n = 0$：向正方向传播时 $v = 2\ \mathrm{m/s}$，向负方向传播时 $v = 6\ \mathrm{m/s}$。验算周期：$T = \dfrac{4}{2}\ \mathrm{s} = 2\ \mathrm{s}$，$T = \dfrac{4}{6}\ \mathrm{s} \approx 0.67\ \mathrm{s}$，都大于 $0.5\ \mathrm{s}$，两解都成立。

（3）$0.5\ \mathrm{s}$ 内传播 $\Delta x = 34 \times 0.5\ \mathrm{m} = 17\ \mathrm{m} = 4 \times 4\ \mathrm{m} + 1\ \mathrm{m}$，属于”$4n + 1$“一组（$n = 4$），波沿 $x$ 轴正方向传播。

检验：（3）若属于负方向一组，需 $4n + 3 = 17$，$n = 3.5$ 不是整数，排除，结论唯一。

容易卡在：（2）只写出一个答案。方向没定，两个方向的 $n = 0$ 都要验。

常用推论

• 三种方法判断振动方向：同侧法、带动法、平移法，结论相同（本节推导）。另一种常见记法“上坡下、下坡上”：沿着传播方向看，处在“上坡”段的质点向下振动，“下坡”段的向上振动。它也是由平移法推出来的。
• 波形图上：波峰、波谷处的质点速度为零、加速度最大（指向平衡位置）；平衡位置处的质点速度最大、加速度为零。由简谐运动的规律得出（第 21 章）。
• 经过 $nT$，波形与原来完全相同；经过 $\dfrac{T}{2}$，波形关于 $x$ 轴翻转（等于平移 $\dfrac{\lambda}{2}$）。
• 两个时刻的波形求波速：$\Delta x = n\lambda + \Delta x_0$，两个方向的 $\Delta x_0$ 加起来正好是 $\lambda$（例 4 中 $1\ \mathrm{m} + 3\ \mathrm{m} = 4\ \mathrm{m}$）。
• 由振动图像读出 $T$、由波形图读出 $\lambda$ 后，$v = \dfrac{\lambda}{T}$；这是“两图配合”题求波速的唯一途径。

易错点

• 错在哪：把振动图像的横轴当成 $x$，把两个波峰之间的时间读成波长。 为什么错：两张图都是正弦曲线，直觉只看形状不看坐标轴。 正确做法：先看横轴：$x$ 是波形图，$t$ 是振动图像。
• 错在哪：波形图上，看到质点在平衡位置上方，就说它“向上运动”。 为什么错：把“位置”当成“运动方向”。位置在上方的质点可能正在往下走（例 1 的 $K$）。 正确做法：振动方向一定要结合传播方向，用同侧法判断。
• 错在哪：两个时刻的波形求波速，只写出一个值。 为什么错：习惯“一道题一个答案”，忘了波形平移一个波长后和原来重合，也忘了传播方向可能有两个。 正确做法：写出 $\Delta x = n\lambda + \Delta x_0$ 的通式，两个方向各一组；有附加条件再定 $n$。
• 错在哪：认为波形图随时间“长”出来，已画的部分不变。 为什么错：把振动图像的特点套到波形图上。振动图像随时间向后延伸，前面已画的不变；波形图是整个曲线一起平移。 正确做法：画下一时刻的波形，把整条曲线沿传播方向平移 $v\Delta t$。

直观理解

波形图是照片，振动图像是录像。照片上看得出每个人站在哪儿，看不出谁在往哪边动——要知道风往哪边吹（传播方向）才能推断；录像只拍一个人，但他什么时候往上、什么时候往下，一目了然。

同侧法的一句话记法：“波往哪儿走，振动箭头和传播箭头在曲线同一边。”

关联知识点

• 前置：第 21 章振动图像（$x$-$t$ 图）、简谐运动中速度和加速度在各位置的情况。
• 前置：第 1 章 1.4 图像的斜率，振动图像上切线斜率的正负就是质点振动方向。
• 前置：正弦函数的图像和平移，见《高中数学知识点梳理》第 12 章。波形平移就是函数图像的左右平移。
• 后续：22.5 波的干涉，要判断某点是两列波的波峰还是波谷相遇。
• 常一起考：第 21 章单摆、弹簧振子，“振动和波”在选择题里常合成一道。

22.4 波的反射、折射与衍射

说明

波面与波线：同一时刻振动情况相同的点连成的面叫波面（最前面的波面叫波前），与波面垂直、表示传播方向的线叫波线。从点波源发出的波，波面是球面（水面上是圆）；离波源很远时，一小块波面可以看成平面。

惠更斯原理：介质中任一波面上的各点，都可以看作发射子波的波源；其后任一时刻，这些子波在波前进方向的包络面就是新的波面。它是解释反射、折射、衍射的统一工具。

波的反射：波遇到障碍物会返回来继续传播。反射定律：反射线、入射线与法线在同一平面内，反射线和入射线分居法线两侧，反射角等于入射角。反射波和入射波在同一介质中，波速、波长、频率都不变。回声就是声波的反射。

波的折射：波从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向发生偏折。折射时频率不变，波速变，波长随之变，$\lambda = \dfrac{v}{f}$。进入波速较小的介质时，波线向法线偏折。

波的衍射：波绕过障碍物或通过孔（缝）后，传到“阴影区”里的现象。衍射是一切波都有的特性。发生明显衍射的条件：

缝、孔的宽度或障碍物的尺寸，跟波长相差不多，或者比波长更小。

本节课标只要求定性了解（知道现象、知道条件），不做定量计算。

使用场景

• 题目说“回声”“对着山崖喊”“声呐测距” → 波的反射，反射波波速不变 → 声音往返的路程 $= v \times$ 时间，距离取一半。
• 波从一种介质进入另一种介质（声音从空气进入水中、水波从深水区传到浅水区）→ 折射 → 频率不变，用 $\lambda = \dfrac{v}{f}$ 分别算两种介质中的波长。
• 问能否观察到明显衍射、怎样让衍射更明显（“闻其声不见其人”、水波通过窄缝）→ 衍射 → 比较缝、孔或障碍物的尺寸与波长。

注意点

• 衍射总在发生，题目问的是”明显“不明显。说”缝太宽所以不发生衍射“是错的，应说”衍射不明显”。
• 明显衍射的条件只看尺寸与波长的比较，与振幅、波速单独的大小无关。要让衍射更明显，可以把缝变窄，或者让波长变长（降低波源频率，介质不变时）。
• 缝越窄衍射越明显，但通过的能量越少，现象可能变得不容易看清；高中题目一般只问“是否明显”。
• 反射、折射、衍射都不改变频率；改变波长的只有“波速变了”（换了介质）。
• 课标对反射、折射只要求“知道波的反射和折射现象”。本节的惠更斯原理和折射的定量关系 $\dfrac{\sin i}{\sin r} = \dfrac{v_1}{v_2}$ 只作了解，不用于机械波计算；光的折射定律在第 23 章定量讲。

推导

用惠更斯原理解释反射角等于入射角：一束平面波斜射到界面上，波前 $AB$ 的 $A$ 端先到界面。$A$ 到界面后立刻成为子波源，向回发出子波；$B$ 端还要再走一段距离 $BC$ 才到界面的 $C$ 点。在 $B$ 走到 $C$ 的同一段时间里，$A$ 发出的子波也走了同样长的距离（同一介质，波速相同）。新波面是过 $C$ 点、与 $A$ 的子波相切的面。两个直角三角形斜边公共（$AC$），一条直角边相等（都等于 $v\Delta t$），所以全等，对应的角相等，就是反射角等于入射角。

（关键一步：反射前后在同一种介质里，子波“走得一样快”，所以两个三角形全等。）

折射：同样的作图，只是 $A$ 的子波进入介质 2，走得慢（$v_2 < v_1$），在同一段时间里走的距离只有 $v_2\Delta t$，新波面就“拐”向法线。由两个直角三角形共斜边可得 $\dfrac{\sin i}{\sin r} = \dfrac{v_1}{v_2}$，作为了解。

衍射为什么“缝小才明显”：按惠更斯原理，缝上每一点都是子波源，发出向各个方向展开的子波。缝很宽时，缝中间的子波叠加后仍是一个直的波面，只有边缘一小段弯曲，弯曲部分相对于整个波面很小，看不出来。缝窄到和波长差不多时，整个缝就像一个子波源，发出以缝为圆心的圆形波，阴影区里都有波。严格计算衍射图样要用到光学里的菲涅耳—基尔霍夫衍射积分，高中只要求定性。

实验依据：在水波槽里用挡板做一个宽度可调的缝，让平面水波通过。缝宽远大于波长时，缝后波基本直线前进；逐渐把缝调窄，缝后的波逐渐展开，缝宽和波长差不多时，缝后几乎是半圆形的波。保持缝宽不变、改变振源频率（改变波长），也能看到波长越长衍射越明显。

例题

例 1　（场景：波的反射测距离）某人站在山崖前大喊一声，经过 $1.2\ \mathrm{s}$ 听到回声。声音在空气中的传播速度取 $340\ \mathrm{m/s}$，求人到山崖的距离。

解：

研究对象：人发出的声波。

过程划分：声波从人传到山崖，反射后再传回来，两段路程相等，用时合计 $1.2\ \mathrm{s}$。

分析：反射前后都在空气中，波速不变，全程匀速。声音走过的总路程是距离的 2 倍。

列式求解：

$$2d = vt, \quad d = \frac{vt}{2} = \frac{340 \times 1.2}{2}\ \mathrm{m} = 204\ \mathrm{m}$$

检验：$1.2\ \mathrm{s}$ 声音走 $408\ \mathrm{m}$，一来一回，单程约 $200\ \mathrm{m}$，合理。若人能分辨回声需要回声比原声晚约 $0.1\ \mathrm{s}$ 以上，对应距离约 $17\ \mathrm{m}$，所以在小房间里听不到单独的回声。

容易卡在：忘了除以 2，得 $408\ \mathrm{m}$。

例 2　（场景：波从一种介质进入另一种介质）频率为 $500\ \mathrm{Hz}$ 的声波从空气传入水中。已知声音在空气中的速度为 $340\ \mathrm{m/s}$，在水中的速度为 $1500\ \mathrm{m/s}$。求声波在空气中和在水中的波长，并说明频率是否改变。

解：

研究对象：这列声波。

过程划分：两段：在空气中、在水中。

分析：频率由波源决定，进入水中后不变，仍为 $500\ \mathrm{Hz}$；波速由介质决定，变大；波长用 $\lambda = \dfrac{v}{f}$ 分别算。

列式求解：

$$\lambda_1 = \frac{v_1}{f} = \frac{340}{500}\ \mathrm{m} = 0.68\ \mathrm{m}, \quad \lambda_2 = \frac{v_2}{f} = \frac{1500}{500}\ \mathrm{m} = 3\ \mathrm{m}$$

频率不变，水中波长是空气中的 $\dfrac{1500}{340} \approx 4.4$ 倍。

检验：波长之比等于波速之比，$\dfrac{3}{0.68} \approx 4.4$，一致。

容易卡在：以为“声音进水后音调变了”。音调由频率决定，频率不变。

例 3　（场景：判断衍射是否明显）在水波槽中，用振源产生波长为 $1\ \mathrm{cm}$ 的水波，让它分别通过下列宽度的缝。衍射现象最明显的是（　）。

A. $0.5\ \mathrm{cm}$　B. $3\ \mathrm{cm}$　C. $5\ \mathrm{cm}$　D. $10\ \mathrm{cm}$

解：A。

判断依据：缝宽跟波长差不多或比波长小时，衍射明显；缝越窄，衍射越明显。

四个缝宽中只有 $0.5\ \mathrm{cm}$ 小于波长 $1\ \mathrm{cm}$，衍射最明显。$10\ \mathrm{cm}$ 是波长的 10 倍，衍射仍会发生，但不明显。

容易卡在：选 D，以为缝宽才能“放进更多的波”。衍射看的是波能不能“绕”进阴影区，缝越宽，波越像直线通过。

常用推论

• 反射：频率、波速、波长都不变。由“同一介质、同一波源”得出。
• 折射：频率不变，$\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2} = \dfrac{v_1}{v_2}$。由 $\lambda = \dfrac{v}{f}$、$f$ 不变得出（例 2）。
• 要让衍射更明显：减小缝宽或障碍物尺寸，或增大波长。
• 声波波长在分米到米的量级（$340\ \mathrm{m/s}$ 除以几十到几千赫兹），和门、墙角的尺寸差不多，容易明显衍射；可见光波长约 $4 \times 10^{-7} \sim 7.6 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$，日常物体比它大得多，光的衍射不容易看到（第 24 章）。

易错点

• 错在哪：认为缝比波长大得多时“不发生衍射”。 为什么错：把“明显”漏掉了。衍射是一切波的特性，任何情况下都发生，只是程度不同。 正确做法：说“衍射不明显”，判断标准是尺寸与波长的比较。
• 错在哪：认为声音从空气进入水中，频率变大了（因为波速变大了）。 为什么错：把 $v = \lambda f$ 中的 $f$ 当成随 $v$ 变化的量。频率由波源定。 正确做法：换介质时 $f$ 不变，$\lambda$ 和 $v$ 同比例变化。
• 错在哪：认为要让衍射明显，可以提高波源的频率。 为什么错：同一介质中，频率越高波长越短，衍射反而越不明显。 正确做法：降低频率（增大波长）或减小缝宽。

直观理解

“闻其声不见其人”：隔着门缝，说话声（波长约 $1\ \mathrm{m}$）能绕过门框传进来，光（波长不到 $10^{-6}\ \mathrm{m}$）几乎只能直线走，所以听得见看不见。

衍射的一句话记法：“缝比波长小，波就绕着走；缝比波长大得多，波就直着走。”

关联知识点

• 前置：22.2 频率由波源定、波速由介质定。
• 后续：第 23 章光的反射和折射定律，同样的定律在光学里定量计算。
• 后续：第 24 章光的衍射，条件和机械波完全相同，只是光的波长很短。
• 后续：第 30 章电磁波，长波能绕过山丘传播（衍射），短波、微波更接近直线传播。

22.5 波的干涉

说明

波的独立传播与叠加原理：几列波相遇时，各自保持原来的波长、频率、振幅和传播方向，互不干扰地传播（独立性）；在相遇的区域里，每个质点的位移等于各列波单独引起的位移的矢量和（叠加原理）。

波的干涉：频率相同、相位差恒定、振动方向相同的两列波叠加，某些区域的振动始终加强，某些区域的振动始终减弱，并且加强区和减弱区相互间隔、位置稳定不变。这种现象叫波的干涉，形成的图样叫干涉图样。满足上述条件的两个波源叫相干波源。

加强点与减弱点（两个波源振动情况完全相同，即同相）：设某点到两个波源的距离为 $r_1$、$r_2$，波程差 $\Delta r = |r_1 - r_2|$。

	条件	振幅	在干涉图上
振动加强点	$\Delta r = n\lambda$（$n = 0, 1, 2, \dots$）	$A_1 + A_2$	波峰与波峰、波谷与波谷相遇
振动减弱点	$\Delta r = (2n + 1)\dfrac{\lambda}{2}$（$n = 0, 1, 2, \dots$）	$\lvert A_1 - A_2 \rvert$	波峰与波谷相遇

“加强点”的意思是振幅最大，不是位移始终最大：加强点仍在做简谐运动，位移在 $-(A_1 + A_2)$ 和 $A_1 + A_2$ 之间变化，某些时刻也经过平衡位置。两列波振幅相等时，减弱点的振幅为零，始终不动。

干涉和衍射一样，是波特有的现象。一种东西能发生干涉、衍射，就可以判定它是波。

使用场景

• 题目给出两个波源到某点的距离和波长（或波速和频率），问该点是加强还是减弱、振幅多大 → 两个相干波源叠加 → 算波程差，与 $\lambda$、$\dfrac{\lambda}{2}$ 比较。
• 问两个波源连线上（或某条线段上）有几个加强点、减弱点 → 波程差的取值范围 → 列出 $\Delta r$ 的范围，数满足 $n\lambda$ 或 $(2n+1)\dfrac{\lambda}{2}$ 的个数。
• 给出干涉图样（实线波峰、虚线波谷），判断各点的振动情况、经过一段时间后的位置 → 叠加原理 → 峰峰、谷谷相遇是加强点，峰谷相遇是减弱点；加强点振幅大但位移在变。

注意点

• 上表的条件只对同相波源成立。如果两个波源振动情况相反（一个向上时另一个向下），结论对调：$\Delta r = n\lambda$ 处减弱，$\Delta r = (2n+1)\dfrac{\lambda}{2}$ 处加强。
• 能形成稳定干涉的必要条件是频率相同。频率不同的两列波照样叠加，但加强、减弱的位置随时间变，形不成稳定图样。
• “加强点”指振动加强，不指位移最大；“减弱点”振幅等于 $|A_1 - A_2|$，两振幅不等时它仍在振动。
• 加强点、减弱点的位置是固定的，不会随时间互换。半个周期后，原来峰峰相遇的点变成谷谷相遇，仍是加强点。
• 波程差用的是两个距离之差，不是两个波源之间的距离。

推导

叠加原理的实验依据：在长绳两端各抖出一个脉冲，让它们相向传播。相遇时，绳上各点的位移是两个脉冲位移之和（两个向上的脉冲叠成更高的脉冲，一上一下的部分抵消）；分开后，两个脉冲的形状、大小和传播方向和相遇前一模一样，好像没有相遇过（上图）。振幅不太大时，这个规律对各种机械波都成立。

加强、减弱的条件：设两个波源振动情况相同，周期为 $T$，波速为 $v$。

1. $S_1$ 的振动传到 $P$ 点要用时 $\dfrac{r_1}{v}$，$S_2$ 的振动传到 $P$ 要用时 $\dfrac{r_2}{v}$。所以 $P$ 点参与的两个振动，一个比另一个晚 $\dfrac{\Delta r}{v}$。
2. 这个时间差折合成周期数：$\dfrac{\Delta r / v}{T} = \dfrac{\Delta r}{vT} = \dfrac{\Delta r}{\lambda}$。
3. 若 $\Delta r = n\lambda$，两个振动相差整数个周期，等于没有差别（22.2 推导“晚一个周期等于不晚”），两个振动步调一致，总是同时到达波峰、同时到达波谷，叠加后振幅为 $A_1 + A_2$。
4. 若 $\Delta r = (2n + 1)\dfrac{\lambda}{2}$，两个振动相差半周期的奇数倍，步调相反，一个在波峰时另一个在波谷，叠加后振幅为 $|A_1 - A_2|$。

（关键一步：第 2 步把“路程差”换成“时间差”再换成“相差几个周期”。$\lambda$ 正好是一个周期内波走的路，所以波程差除以波长，就是两个振动相差的周期数。）

严格说，两个同频率简谐运动合成后振幅为 $\sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi}$，要用三角恒等变换或旋转矢量（见《高中数学知识点梳理》第 13 章），高中只要求两个极端情况。

例题

例 1　（场景：由波程差判断加强还是减弱）水面上有两个振动情况完全相同的波源 $S_1$、$S_2$，振动频率为 $2\ \mathrm{Hz}$，产生的水波波速为 $4\ \mathrm{m/s}$，两列波的振幅都是 $3\ \mathrm{cm}$。水面上 $P$ 点到 $S_1$、$S_2$ 的距离分别为 $7\ \mathrm{m}$、$4\ \mathrm{m}$，$Q$ 点到 $S_1$、$S_2$ 的距离分别为 $8\ \mathrm{m}$、$4\ \mathrm{m}$。判断 $P$、$Q$ 是振动加强点还是减弱点，并求各自的振幅。

解：

研究对象：$P$、$Q$ 两点处的水面质点。

过程划分：不涉及过程，两列波已稳定叠加。

分析：先求波长，再算各点的波程差，与 $\lambda$、$\dfrac{\lambda}{2}$ 比较（本节加强、减弱条件，波源同相）。

列式求解：

$$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{4}{2}\ \mathrm{m} = 2\ \mathrm{m}$$

$P$：$\Delta r = 7\ \mathrm{m} - 4\ \mathrm{m} = 3\ \mathrm{m} = 1.5\lambda = 3 \times \dfrac{\lambda}{2}$，是半波长的奇数倍，$P$ 是减弱点，振幅 $|3 - 3|\ \mathrm{cm} = 0$，$P$ 始终不动。

$Q$：$\Delta r = 8\ \mathrm{m} - 4\ \mathrm{m} = 4\ \mathrm{m} = 2\lambda$，是波长的整数倍，$Q$ 是加强点，振幅 $3\ \mathrm{cm} + 3\ \mathrm{cm} = 6\ \mathrm{cm}$。

检验：$P$ 的波程差除以半波长得 3（奇数），$Q$ 的得 4（偶数）。“除以半波长看奇偶”是一个快速核对的办法：偶数加强，奇数减弱。

容易卡在：用 $r_1 + r_2$ 或者 $S_1S_2$ 的距离去比较。比较的是差。

例 2　（场景：数连线上加强点、减弱点的个数）两个振动情况完全相同的波源 $S_1$、$S_2$ 相距 $5\ \mathrm{m}$，发出的波波长为 $2\ \mathrm{m}$。在 $S_1$、$S_2$ 的连线上（不含两个波源），振动加强点和减弱点各有几个？

解：

研究对象：$S_1S_2$ 连线上的各点。

过程划分：不涉及过程。

分析：设连线上某点到 $S_1$ 的距离为 $x$，则到 $S_2$ 的距离为 $5 - x$，带符号的波程差 $d = x - (5 - x) = 2x - 5$。$x$ 在 $0$ 到 $5\ \mathrm{m}$ 之间（不含端点），$d$ 在 $-5\ \mathrm{m}$ 到 $5\ \mathrm{m}$ 之间（不含端点）。

列式求解：加强点：$d = n\lambda = 2n$（$n$ 为整数），$-5 < 2n < 5$，$n = -2, -1, 0, 1, 2$，共 5 个，对应 $x = 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5\ \mathrm{m}$。

减弱点：$d = (2n + 1) \times 1$，$-5 < 2n + 1 < 5$，$2n + 1 = -3, -1, 1, 3$，共 4 个，对应 $x = 1, 2, 3, 4\ \mathrm{m}$。

检验：加强点和减弱点交替排列，中点 $x = 2.5\ \mathrm{m}$（波程差为零）是加强点，合理。

容易卡在：只取 $n \ge 0$，漏掉中点另一侧的点。在连线上波程差有正有负，要么带符号算，要么数完一侧再乘 2 加中点。

另一种解法：连线上两列波相向传播，相邻两个加强点相距 $\dfrac{\lambda}{2} = 1\ \mathrm{m}$，相邻加强点和减弱点相距 $\dfrac{\lambda}{4} = 0.5\ \mathrm{m}$。中点一定是加强点，从中点 $2.5\ \mathrm{m}$ 处向两边每隔 $1\ \mathrm{m}$ 一个：$0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5\ \mathrm{m}$，共 5 个；减弱点在它们中间，共 4 个。只问连线上的个数时，这种“从中点往两边数”的办法最快；问连线以外的区域（比如以 $S_1S_2$ 为直径的圆上）时，还得回到波程差的范围去数。

例 3　（场景：读干涉图样判断各点的振动情况）$S_1$、$S_2$ 是两个振动情况完全相同的波源，振幅相等，某时刻的干涉图样如图（见本节说明）所示，实线表示波峰，虚线表示波谷，$a$ 是两列波的波峰相遇点，$b$ 是波谷相遇点，$c$ 是一列波的波峰与另一列波的波谷相遇点。下列说法正确的是（　）。

A. $a$ 点始终处于波峰 B. $b$ 点是振动减弱点 C. $c$ 点始终静止不动 D. 再经过半个周期，$a$ 点变为振动减弱点

解：C。

判断依据：峰峰相遇、谷谷相遇是加强点，峰谷相遇是减弱点；加强点振幅最大但位移在变化；加强、减弱的位置不随时间改变。

A 错：$a$ 是加强点，振幅为 $2A$，但它在做振动，半个周期后到达波谷。B 错：谷谷相遇，两列波在 $b$ 处的位移都向下、同步，是加强点。C 对：$c$ 是减弱点，振幅 $|A - A| = 0$，始终不动。D 错：半个周期后 $a$ 变成谷谷相遇，仍是加强点。

常用推论

• 同相波源：$\Delta r$ 除以 $\dfrac{\lambda}{2}$，得偶数是加强点，得奇数是减弱点（例 1）。反相波源结论对调。
• 两个波源连线上，相邻两个加强点（或两个减弱点）相距 $\dfrac{\lambda}{2}$，相邻加强点和减弱点相距 $\dfrac{\lambda}{4}$（例 2）。由带符号波程差 $d = 2x - L$ 每变化 $\lambda$，$x$ 变化 $\dfrac{\lambda}{2}$ 得出。
• 同相波源两连线的中垂线上各点波程差为零，都是加强点。
• 两列波振幅相等时，减弱点始终静止；振幅不等时，减弱点以 $|A_1 - A_2|$ 振动。
• 加强区是一族以两个波源为焦点的双曲线（波程差为定值），课本图上的“加强线”“减弱线”就是它们（双曲线的定义见《高中数学知识点梳理》第 31 章）。

易错点

• 错在哪：认为加强点的位移总是最大，减弱点的位移总是最小。 为什么错：把“振幅”和“位移”混了。加强点振幅大，但它仍在振动，位移时大时小，也会经过零。 正确做法：说“振幅最大”“振动加强”，不说“位移最大”。
• 错在哪：认为谷谷相遇的点“两个都在下面”，是减弱点。 为什么错：直觉把“波谷”等同于“弱”。两列波在该点同时向下，步调一致，是加强。 正确做法：看两列波在该点是否步调一致：峰峰、谷谷都是一致，峰谷是相反。
• 错在哪：两个波源振动情况相反时，仍用”$\Delta r = n\lambda$ 加强”。 为什么错：那个条件的前提是两个波源同相。反相时，波程差为零的点（中垂线）两个振动正好相反，是减弱点。 正确做法：先看题目说的是“振动情况相同”还是“相反”，相反时结论对调。
• 错在哪：认为两列频率不同的波相遇时不叠加。 为什么错：叠加原理对任何波都成立；频率不同只是形不成稳定的干涉图样。 正确做法：区分“叠加”（总会发生）和“干涉”（频率相同等条件下才有稳定图样）。

直观理解

两个人在跷跷板两端同时用力向下压，力“同步”就加强；一个往下一个往上，就抵消。两列波在某点相遇，就看它们在这一点是不是“同步”：差整数个波长就同步，差半个波长就相反。

一句话记法：“波程差整波长加强，半波长奇数倍减弱；峰峰谷谷是加强，峰谷相遇是减弱。”

关联知识点

• 前置：22.2 相距 $\lambda$ 整数倍振动相同、相距 $\dfrac{\lambda}{2}$ 奇数倍振动相反；第 21 章振幅与位移的区别。
• 后续：第 24 章光的双缝干涉，明暗条纹的条件就是本节的加强减弱条件，$\Delta r = n\lambda$ 处亮、$(2n+1)\dfrac{\lambda}{2}$ 处暗。
• 后续：第 24 章薄膜干涉，两束反射光的“波程差”是膜厚的两倍。
• 常一起考：22.3 波形图，干涉题常要先判断两列波在某点是波峰还是波谷。

22.6 多普勒效应

说明

多普勒效应：波源和观察者之间有相对运动时，观察者接收到的频率与波源发出的频率不同。

• 两者相互靠近时，观察者接收到的频率升高（大于波源频率）。
• 两者相互远离时，观察者接收到的频率降低（小于波源频率）。
• 两者相对静止时，接收频率等于波源频率。

波源本身的频率没有变，变的只是观察者“接收到”的频率。

1842 年奥地利物理学家多普勒首先提出这一效应。生活中最常见的例子：救护车鸣笛驶来时笛声尖，驶过后笛声变低沉。

应用：交通测速雷达（测反射波的频率变化得出车速）、医学“彩超”测血流速度、天文学中根据星光谱线的移动判断星体在靠近还是远离（红移表示远离）。

课标只要求定性：知道现象，能解释原因，能举出应用。不要求计算接收频率。

使用场景

• 题目描述鸣笛的车、火车驶近或驶离，问听到的音调（频率）怎么变 → 多普勒效应 → 靠近升高，远离降低，波源频率不变。
• 选择题问哪些技术用到了多普勒效应 → 应用 → 凡是“由接收频率的变化反推运动速度”的都是；“由回声时间测距离”不是。
• 观察者与波源之间的距离不变（绕圈、同速同向运动）→ 没有沿连线方向的相对运动 → 接收频率不变。

注意点

• 判断依据是”相互靠近还是远离“，不是”谁在动”：波源动、观察者动、两者都动，只要在靠近，接收频率就升高。
• 匀速靠近时，接收到的频率是一个高于原频率的定值，不是“越来越高”。救护车驶来时笛声尖而稳定，驶过的那一刻突然变低，这才是多普勒效应的听感。
• “声音越来越响”是因为距离近了、振幅大了，那是响度变化，和多普勒效应（音调变化）是两回事。
• 多普勒效应是一切波都有的现象，机械波、电磁波（光、雷达波）都有。

推导

观察者靠近静止的波源（定性说明）：波源频率为 $f$，波速为 $v$，波长 $\lambda = \dfrac{v}{f}$。观察者静止时，$1\ \mathrm{s}$ 内有 $v$ 那么长的一段波经过他，接收到 $\dfrac{v}{\lambda} = f$ 个完整波。观察者以速度 $u$ 迎着波走，$1\ \mathrm{s}$ 内经过他的波多了 $u$ 那么长一段，接收到 $\dfrac{v + u}{\lambda}$ 个完整波，比 $f$ 多，接收频率升高。远离时同理变成 $\dfrac{v - u}{\lambda}$，降低。

波源向静止的观察者运动：波源每发出一个波面，自己就向前挪一段，下一个波面的圆心也跟着往前挪。所以波源前方的波面被挤密（波长变短），后方被拉疏（波长变长）。波速由介质决定、不变，前方波长短，单位时间到达的波面多，接收频率就高（上图）。

（关键一步：接收频率就是“单位时间内到达观察者的完整波数”。相对运动改变的是这个数，而不是波源每秒发出的波数。）

以上两段推导中的式子只用来说明道理，课标不要求记忆和计算。

例题

例 1　（场景：鸣笛的车驶近、驶离）一辆救护车鸣着频率一定的警笛，沿平直公路匀速驶过路边静止的行人。下列说法正确的是（　）。

A. 车驶近时，行人听到的音调越来越高 B. 车驶近时，行人听到的音调比警笛实际的音调高；驶离后比实际的低 C. 车驶离时，警笛发出的频率变低了 D. 行人听到的音调高低只与车离他的远近有关

解：B。

判断依据：相互靠近，接收频率升高；相互远离，接收频率降低；波源频率本身不变。

A 错：匀速驶近时，接收频率是一个比原频率高的定值，不是越来越高。C 错：警笛发出的频率不变，变的是行人接收到的频率。D 错：音调由接收频率决定，取决于相对运动是靠近还是远离，不取决于远近；远近影响的是响度。B 对。

例 2　（场景：判断哪些应用利用了多普勒效应）下列应用中，没有利用多普勒效应的是（　）。

A. 交警用雷达测速仪测量汽车的速度 B. 医生用彩色超声波检查血管中血液的流速 C. 天文学家根据星系光谱的红移判断星系在远离地球 D. 渔船用声呐发出声波，根据回声返回的时间测量鱼群的深度

解：D。

判断依据：多普勒效应是“接收频率因相对运动而变化”，应用它的技术都是由频率的变化反推速度。

A、B、C 都是测量反射波或光的频率变化，得出运动速度或运动方向。D 是测回声往返的时间，用的是波的反射（22.4 例 1 的道理），和频率变化无关。

例 3　（场景：波源和观察者距离不变）一个小孩坐在旋转木马上做匀速圆周运动，旋转木马的中心轴上装着一个发出固定频率声音的喇叭。下列关于小孩听到的声音的说法正确的是（　）。

A. 音调忽高忽低 B. 音调始终比喇叭发出的高 C. 音调与喇叭发出的相同 D. 音调始终比喇叭发出的低

解：C。

判断依据：多普勒效应要求波源和观察者之间沿连线方向有相对运动（距离在变）。

小孩绕着喇叭转，他到喇叭的距离始终等于半径，既不靠近也不远离，接收到的频率等于喇叭的频率。如果喇叭不在中心而在场地边上，小孩一会儿靠近、一会儿远离，才会听到音调忽高忽低。

容易卡在：看到“小孩在运动”就选 A。要看的是距离变不变。

常用推论

• 相互靠近 → 接收频率 $>$ 波源频率；相互远离 → 接收频率 $<$ 波源频率；距离不变 → 相等。由本节推导得出。
• 相对速度越大，接收频率偏离原频率越多（由 $\dfrac{v \pm u}{\lambda}$ 看出）。
• 波源在运动时，前方波长变短、后方波长变长；观察者在运动时，波长不变，变的是单位时间迎上的波数。

易错点

• 错在哪：认为多普勒效应中波源发出的频率变了。 为什么错：直觉“听到的就是发出的”。警笛的振动没有变，变的是到达耳朵的波面的疏密。 正确做法：区分“波源频率”和“接收频率”，多普勒效应只改变后者。
• 错在哪：认为车靠近时音调越来越高，离开时越来越低。 为什么错：把响度随距离的变化（越来越响）和音调的变化混在一起。匀速靠近时接收频率是定值。 正确做法：音调只看“靠近还是远离”和相对速度大小，不看距离。
• 错在哪：认为只有声波才有多普勒效应。 为什么错：多普勒效应是一切波的共性，光、雷达用的电磁波都有。 正确做法：记住红移、雷达测速都是电磁波的多普勒效应。

直观理解

迎着海浪往海里走，每秒拍到身上的浪比站着不动时多；背着海浪往岸上走，每秒被拍到的少。海浪本身的节奏没变，变的是你“接收”的节奏。

一句话记法：“近则高，远则低，距离不变不改变。”

关联知识点

• 前置：22.2 频率、波长、波速的关系，频率由波源决定。
• 后续：第 30 章电磁波，雷达测速用的是电磁波的多普勒效应。
• 后续：第 24 章光的波动性。光也是波，同样有多普勒效应，本节应用里的光谱红移就是一例。

22.7 知识点之间的关系

本章五个知识点围绕一件事：一个质点的振动怎样在介质里传开。22.2 讲传开的过程和 $v = \lambda f$；22.3 讲怎样用两张图描述它，是解题的主战场；22.4 和 22.5 讲波遇到界面、障碍物、另一列波时会怎样；22.6 讲波源或观察者运动时接收到的频率怎样变。拿到一道题，先看它问的是哪一类：

22.8 自测

1. 一列波的波长为 $2\ \mathrm{m}$，频率为 $5\ \mathrm{Hz}$，求波速。
2. 一列简谐波的振幅为 $4\ \mathrm{cm}$，周期为 $0.2\ \mathrm{s}$，求介质中某质点在 $0.5\ \mathrm{s}$ 内通过的路程。
3. 一列简谐横波沿 $x$ 轴正方向传播，某时刻 $x = 3\ \mathrm{m}$ 处的质点在平衡位置，它右侧紧邻的质点在平衡位置上方。此刻 $x = 3\ \mathrm{m}$ 处的质点向哪个方向振动？
4. 某简谐横波的波长为 $4\ \mathrm{m}$，波中某质点的振动图像显示周期为 $0.2\ \mathrm{s}$，求波速。
5. 一列简谐横波的波长为 $8\ \mathrm{m}$，沿 $x$ 轴正方向传播，$t = 0.2\ \mathrm{s}$ 时的波形相对 $t = 0$ 时的波形向右错开 $2\ \mathrm{m}$，写出波速的所有可能值。
6. 波长为 $0.5\ \mathrm{m}$ 的水波分别通过宽 $0.4\ \mathrm{m}$ 和宽 $4\ \mathrm{m}$ 的两个缝，哪个缝后的衍射更明显？
7. 两个振动情况完全相同的波源发出波长为 $0.4\ \mathrm{m}$ 的波，$P$ 点到两个波源的距离分别为 $3.0\ \mathrm{m}$ 和 $3.6\ \mathrm{m}$。$P$ 是振动加强点还是减弱点？
8. 判断对错：两列波干涉时，振动加强点的位移始终最大。
9. 火车鸣笛驶离站台，站台上的人听到的笛声音调比汽笛发出的高还是低？

答案：1. $10\ \mathrm{m/s}$；2. $40\ \mathrm{cm}$（$0.5\ \mathrm{s} = 2.5T$，路程 $10A$）；3. 向下（$y$ 轴负方向）；4. $20\ \mathrm{m/s}$；5. $v = (40n + 10)\ \mathrm{m/s}$，$n = 0, 1, 2, \dots$；6. 宽 $0.4\ \mathrm{m}$ 的缝；7. 减弱点（波程差 $0.6\ \mathrm{m} = 1.5\lambda$）；8. 错，加强点振幅最大，位移随时间变化；9. 低。

22.9 深入阅读

• PhET · 波在弦上：抖动一根弦，调频率、振幅和张力，看波长、波速怎样变，质点只上下振动不随波走。
• PhET · 波的干涉：水波、声波和光的双波源干涉与单缝衍射，可以改缝宽和频率，直观看加强区、减弱区和衍射条件。
• 维基百科 · 多普勒效应：多普勒效应的原理、公式和在雷达、医学、天文学中的应用。
• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，有按人教版选择性必修第一册“机械波”一章排列的同步课程。