第 11 章 · 万有引力与航天

项目	内容
课标主题	必修 2 · 曲线运动与万有引力定律（万有引力定律的发现与内容、人造卫星的环绕速度、三种宇宙速度）；牛顿力学的局限性与相对论初步
人教版（2019）	必修第二册 第七章“万有引力与宇宙航行”：1 行星的运动；2 万有引力定律；3 万有引力理论的成就；4 宇宙航行；5 相对论时空观与牛顿力学的局限性
考试地位	新课标卷和山东、广东、浙江、江苏、湖南、湖北六省卷几乎每卷一道选择题，常以我国空间站、探月、火星探测等任务为情境；常考卫星参量的比较、天体质量和密度、变轨；双星偶考；相对论偶考概念
前置知识	第 10 章向心力 $F_{\text{n}} = m\dfrac{v^2}{r} = m\omega^2 r = m\dfrac{4\pi^2}{T^2}r$ 和离心运动；第 6 章牛顿第二、第三定律；第 1 章 1.5 估算与数量级

这一章只有一条新规律：万有引力定律。其余内容几乎都是同一个式子“万有引力提供向心力”在不同情境下的用法：求天体质量、比较卫星快慢、算宇宙速度、分析变轨和双星。丢分很少是因为不会列式，而是把半径用错（轨道半径 $r$ 和星球半径 $R$ 混用，双星的间距 $L$ 和轨道半径 $r_1$ 混用），或者把赤道上随地球自转的物体当成卫星来算。

11.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
11.2 开普勒定律	轨道是椭圆，太阳在焦点；近日点快、远日点慢；$\dfrac{a^3}{T^2} = k$，$k$ 只由中心天体决定	常作选择题一个选项；第三定律在变轨中求周期
11.3 万有引力定律	$F = G\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$，$G = 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N \cdot m^2/kg^2}$；地面附近 $GM = gR^2$	必用；物理学史偶考
11.4 天体质量与密度	环绕法 $M = \dfrac{4\pi^2 r^3}{GT^2}$，表面重力法 $M = \dfrac{gR^2}{G}$；只能求中心天体	常考
11.5 卫星的运动参量与轨道半径的关系	$v$、$\omega$、$a$ 随 $r$ 增大而减小，$T$ 随 $r$ 增大而增大：高轨低速长周期；同步卫星轨道唯一	必考，选择题高频
11.6 三种宇宙速度与变轨	$7.9$、$11.2$、$16.7\ \mathrm{km/s}$；加速升轨、减速降轨，同一点加速度相同	常考
11.7 双星	两星角速度相同，$m_1 r_1 = m_2 r_2$；总质量 $m_1 + m_2 = \dfrac{4\pi^2 L^3}{GT^2}$	偶考
11.8 牛顿力学的局限性与相对论初步	牛顿力学只适用于低速、宏观、弱引力；光速不变，运动的钟变慢、运动的尺缩短	偶考概念

11.2 开普勒定律

说明

开普勒三定律描述行星怎样绕太阳运动，也适用于卫星绕行星运动。

• 第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
• 第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
• 第三定律（周期定律）：所有行星轨道的半长轴 $a$ 的三次方跟它的公转周期 $T$ 的二次方的比都相等：

$$\frac{a^3}{T^2} = k$$

$k$ 与行星无关，只由中心天体（这里是太阳）决定。绕地球运动的卫星也满足 $\dfrac{a^3}{T^2} = k'$，但 $k' \ne k$。

近似处理：太阳系各行星的轨道都很接近圆（地球轨道的偏心率约 0.017）。高中计算中，没有特别说明时，把行星和卫星的轨道看成圆，太阳（或地球）在圆心，行星做匀速圆周运动，第三定律写成 $\dfrac{r^3}{T^2} = k$。

使用场景

• 题目给出椭圆轨道，问近日点（近地点）和远日点（远地点）速度的大小关系或比值 → 绕同一焦点的椭圆运动 → 第二定律，两端点处 $v_1 r_1 = v_2 r_2$。
• 几个天体绕同一个中心天体运动，已知一个的周期和轨道半径（半长轴），求另一个 → 同一中心天体的 $k$ 相同 → 第三定律列比例。
• 选择题问开普勒定律的内容、谁发现、依据什么数据 → 物理学史和定律表述 → 对照三条定律原文判断。

注意点

• 第二定律说的是同一个行星在相等时间内扫过的面积相等；不同行星在相等时间内扫过的面积并不相等。
• $v_1 r_1 = v_2 r_2$ 只在近日点和远日点成立，因为这两处速度和半径垂直；椭圆上其他点速度和半径不垂直，不能这样算。
• 第三定律的 $k$ 只对同一个中心天体相同。拿地球卫星和月球比可以，拿地球卫星和火星比不行。
• 第三定律中的 $a$ 是半长轴，不是近日点或远日点到太阳的距离。椭圆的半长轴等于近日点距离和远日点距离的平均值：$a = \dfrac{r_{\text{近}} + r_{\text{远}}}{2}$。
• 开普勒定律只描述“怎么运动”，没有说“为什么”。原因由牛顿的万有引力定律给出（11.3）。

推导

开普勒定律是由观测数据总结出来的经验规律，不是推出来的。

来历：丹麦天文学家第谷（Tycho Brahe）用肉眼仪器对行星做了二十多年的精确观测。他的助手、德国天文学家开普勒（Johannes Kepler）接手这些数据后，发现用圆轨道计算火星位置，和第谷的数据总差约 $8'$（八角分）。开普勒相信第谷数据的精度，放弃了沿用两千年的“天体做匀速圆周运动”的观念，改用椭圆，结果与观测吻合。他在 1609 年出版的《新天文学》中发表了前两条定律，1619 年在《宇宙和谐论》中发表了第三条。

由第二定律推出 $v_1 r_1 = v_2 r_2$：在近日点取一段极短的时间 $\Delta t$，行星走过的弧长约 $v_1\Delta t$，和太阳连线扫过的图形近似一个直角三角形，面积约 $\dfrac{1}{2}r_1 v_1 \Delta t$。在远日点同样得 $\dfrac{1}{2}r_2 v_2 \Delta t$。第二定律说两者相等，所以

$$v_1 r_1 = v_2 r_2$$

（关键一步：把小扇形近似为直角三角形。$\Delta t$ 很短时弧近似为直线，而近日点、远日点处速度恰好垂直于半径，所以三角形是直角三角形，面积等于两直角边乘积的一半。）

第三定律的 $k$ 是什么：学了万有引力定律后可以由“万有引力提供向心力”推出（11.3 推导第 1 步）：圆轨道时 $k = \dfrac{GM}{4\pi^2}$，$M$ 是中心天体质量。这正说明 $k$ 只和中心天体有关。椭圆轨道的情形严格推导要用到大学的微积分和矢量力学，高中不要求。

例题

例 1　（场景：近日点与远日点的速度）一颗卫星沿椭圆轨道绕地球运行，近地点 $A$ 到地心的距离为 $r_1$，远地点 $B$ 到地心的距离为 $3r_1$。卫星经过 $A$ 点时的速度为 $9.0\ \mathrm{km/s}$，求它经过 $B$ 点时的速度。

解：

研究对象：卫星。

过程划分：只比较轨道上的两个位置 $A$、$B$。

分析：卫星绕地球沿椭圆运动，地心在焦点上；$A$、$B$ 是长轴的两端，速度都垂直于半径。用第二定律的推论 $v_1 r_1 = v_2 r_2$。

列式求解：

$$v_B = \frac{v_A r_A}{r_B} = \frac{9.0 \times r_1}{3r_1}\ \mathrm{km/s} = 3.0\ \mathrm{km/s}$$

方向与 $AB$ 连线垂直，沿轨道切线。

检验：远地点速度小于近地点速度，符合“近快远慢”；距离是 3 倍，速度是 $\dfrac{1}{3}$，比值合理。

容易卡在：用 $\dfrac{v_A}{v_B} = \sqrt{\dfrac{r_B}{r_A}}$（11.5 圆轨道卫星的结论）。那是两个不同圆轨道之间的比较，不能用于同一椭圆轨道上的两点。

例 2　（场景：同一中心天体，已知周期求轨道半径）某小行星绕太阳运动的周期约为 8 年，把它的轨道看成圆。地球的公转半径约为 $1.5 \times 10^{11}\ \mathrm{m}$，求这颗小行星的轨道半径。

解：

研究对象：小行星和地球，它们都绕太阳运动。

过程划分：不涉及过程。

分析：中心天体都是太阳，$k$ 相同，用第三定律列比例。地球的周期 $T_{\text{地}} = 1$ 年。

列式求解：由 $\dfrac{r^3}{T^2} = \dfrac{r_{\text{地}}^3}{T_{\text{地}}^2}$ 得

$$r = r_{\text{地}}\left(\frac{T}{T_{\text{地}}}\right)^{\frac{2}{3}} = 1.5 \times 10^{11} \times 8^{\frac{2}{3}}\ \mathrm{m} = 1.5 \times 10^{11} \times 4\ \mathrm{m} = 6.0 \times 10^{11}\ \mathrm{m}$$

检验：周期比地球长，轨道比地球大，合理。比例式中周期的单位只要两边一致，用“年”不必换算成秒。

容易卡在：$8^{\frac{2}{3}}$ 不会算。先开立方再平方：$\sqrt[3]{8} = 2$，$2^2 = 4$。

例 3　（场景：定律内容与物理学史）关于行星的运动，下列说法正确的是（　）。

A. 所有行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳在圆心 B. 太阳位于行星椭圆轨道的中心 C. 同一行星离太阳越近，运行速率越大 D. 开普勒第三定律中的 $k$ 与行星的质量有关

解：C。

判断依据：对照开普勒三定律的原文。

A、B 错：轨道是椭圆，太阳在焦点上，不在中心。C 对：由第二定律，近日点附近相同时间扫过相同面积，半径短，弧长就要长，速率大。D 错：$k = \dfrac{GM}{4\pi^2}$，只由太阳质量决定，与行星无关。

常用推论

• 近快远慢：$\dfrac{v_{\text{近}}}{v_{\text{远}}} = \dfrac{r_{\text{远}}}{r_{\text{近}}}$，只在近日点和远日点成立（本节推导）。
• 圆轨道时 $\dfrac{r^3}{T^2} = \dfrac{GM}{4\pi^2}$（11.3 推导第 1 步）。
• 绕同一中心天体，半长轴相同的椭圆轨道和圆轨道，周期相同。变轨问题求椭圆轨道上的运行时间就用这一条（11.6 例 4）。

易错点

• 错在哪：拿地球卫星的 $\dfrac{r^3}{T^2}$ 和行星的 $\dfrac{r^3}{T^2}$ 列等式。 为什么错：$k$ 由中心天体决定。卫星绕地球、行星绕太阳，中心天体不同，$k$ 不同。 正确做法：先问“它们绕谁转”，中心天体相同才能用第三定律列比例。
• 错在哪：认为“相等时间扫过相等面积”对所有行星成立，比较地球和火星扫过的面积。 为什么错：第二定律只对同一个行星成立。 正确做法：比较不同行星，用第三定律或 11.5 的卫星参量关系。
• 错在哪：椭圆轨道上任一点都用 $v_1 r_1 = v_2 r_2$。 为什么错：只有近日点和远日点的速度垂直于半径，小扇形才是直角三角形。 正确做法：高中只在长轴两端用这个比例。

直观理解

太阳在焦点上，不在中心，所以行星一会儿离太阳近、一会儿远。近的时候“半径短”，要在相同时间里扫出相同面积，只能跑得快；远的时候跑得慢。一句话：近快远慢，轨道越大周期越长。

关联知识点

• 前置：第 10 章匀速圆周运动；椭圆的焦点、长轴，见《高中数学知识点梳理》第 30 章。
• 后续：11.3 用第三定律和向心力公式推出万有引力与距离平方成反比。
• 后续：11.6 变轨，用第三定律比较椭圆和圆轨道的周期。
• 常一起考：11.5 卫星参量的比较。

11.3 万有引力定律

说明

万有引力定律：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，大小与两个物体质量的乘积成正比，与它们之间距离的二次方成反比：

$$F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$$

方向（矢量）：$m_1$ 受到的引力 $\vec{F}_{12}$ 沿两者连线指向 $m_2$；$m_2$ 受到的引力 $\vec{F}_{21}$ 指向 $m_1$。$\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$，两者是一对作用力与反作用力，大小总相等，与两个质量是否相等无关。

引力常量：$G = 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N \cdot m^2/kg^2}$（国际推荐值 $6.674 \times 10^{-11}$），由英国物理学家卡文迪什用扭秤测出。

适用对象（理想模型）：

• 两个质点，$r$ 是两质点间距离；
• 两个质量均匀分布的球体，$r$ 是两球心间距离；
• 一个均匀球体和球外一个质点，$r$ 是质点到球心的距离。

重力与万有引力的关系：地球表面的物体受到的万有引力 $F$ 指向地心。物体随地球自转做圆周运动，需要一个指向地轴的向心力 $F_{\text{n}}$。万有引力的一个分力提供这个向心力，另一个分力就是重力 $mg$。

• 两极：$F_{\text{n}} = 0$，$mg = G\dfrac{Mm}{R^2}$，重力最大。
• 赤道：三个力在一条直线上，$mg = G\dfrac{Mm}{R^2} - m\omega^2 R$，重力最小。
• 其他纬度：重力方向不严格指向地心。

$m\omega^2 R$ 在赤道上也只有 $G\dfrac{Mm}{R^2}$ 的约 $0.3\%$（例 3），所以不考虑自转时认为

$$mg = G\frac{Mm}{R^2} \quad \Rightarrow \quad GM = gR^2$$

这个式子常被称为“黄金代换”：题目不给 $G$ 和 $M$、给 $g$ 和 $R$ 时，用 $gR^2$ 代替 $GM$。

离地面高 $h$ 处的重力加速度：

$$g_h = \frac{GM}{(R + h)^2} = g\frac{R^2}{(R + h)^2}$$

本章常用的数据：

量	取值
引力常量 $G$	$6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N \cdot m^2/kg^2}$
地球半径 $R$	$6.4 \times 10^6\ \mathrm{m}$（平均半径 $6371\ \mathrm{km}$）
地球质量 $M$	$6.0 \times 10^{24}\ \mathrm{kg}$（$5.97 \times 10^{24}\ \mathrm{kg}$）
地面重力加速度 $g$	$9.8\ \mathrm{m/s^2}$，题目常取 $10\ \mathrm{m/s^2}$
地球自转周期	$24\ \mathrm{h}$（严格是 $23\ \mathrm{h}\ 56\ \mathrm{min}$，高中取 $24\ \mathrm{h}$）
月球到地心的距离	$3.84 \times 10^8\ \mathrm{m}$，约 $60R$
月球绕地球的周期	$27.3$ 天
地球到太阳的距离	$1.5 \times 10^{11}\ \mathrm{m}$
太阳质量	$2.0 \times 10^{30}\ \mathrm{kg}$

使用场景

• 求两个物体（质点或均匀球体）之间的引力，或判断质量、距离变化后引力怎么变 → 质点或球体模型 → $F = G\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$，$r$ 取质心（球心）距离。
• 求离地面某高度处或另一个星球表面的重力加速度 → 不计自转，重力等于万有引力 → $mg' = G\dfrac{Mm}{r^2}$，常和 $GM = gR^2$ 合用。
• 题目说“考虑地球自转”，比较两极和赤道的重力，或问自转多快物体会“飘起来” → 万有引力分解为向心力和重力 → 赤道上 $G\dfrac{Mm}{R^2} - mg = m\omega^2 R$。
• 选择题问月地检验、扭秤实验、谁测出 $G$ → 物理学史 → 对照本节推导中的史实。

注意点

• $r$ 是两个质心之间的距离。人造卫星离地面高 $h$，到地心的距离是 $R + h$，不是 $h$。
• 两个物体靠得很近、又不能看成质点或均匀球体时（比如两个紧挨着的长方体），不能直接用这个公式。$r \to 0$ 时公式“算出无穷大”，原因就是模型不成立了，不是引力真的无穷大。
• 日常物体之间的引力极小（例 1），受力分析时一律不画；只有涉及天体的质量时引力才显著。
• $GM = gR^2$ 是不计自转时、在星球表面才成立的代换；$g$ 和 $R$ 必须是同一个星球的。
• $G$ 是有单位的常量，单位 $\mathrm{N \cdot m^2/kg^2}$ 由公式反推：$G = \dfrac{Fr^2}{m_1 m_2}$。

推导

万有引力定律是牛顿在开普勒定律的基础上推出、再用月地检验验证、最后由卡文迪什的实验测定常量的。牛顿在 1687 年出版的《自然哲学的数学原理》中发表了这一定律。

第 1 步：太阳对行星的引力 $F \propto \dfrac{m}{r^2}$。把行星轨道看成圆，太阳对行星的引力提供向心力：

$$F = m\frac{4\pi^2}{T^2}r$$

由开普勒第三定律 $T^2 = \dfrac{r^3}{k}$ 代入：

$$F = m\frac{4\pi^2 r}{r^3/k} = 4\pi^2 k\frac{m}{r^2}$$

（关键一步：用第三定律把周期 $T$ 消掉。$k$ 对所有行星相同，于是引力只剩下对行星质量 $m$ 和距离 $r$ 的依赖：$F \propto \dfrac{m}{r^2}$。）

第 2 步：$F \propto \dfrac{Mm}{r^2}$。由牛顿第三定律，行星吸引太阳的力和太阳吸引行星的力大小相等。按同样道理，行星对太阳的引力应与太阳质量 $M$ 成正比。两个物体在这个力中地位对称，所以 $F \propto \dfrac{Mm}{r^2}$，写成等式 $F = G\dfrac{Mm}{r^2}$。顺带得到 $4\pi^2 k = GM$，即 $k = \dfrac{GM}{4\pi^2}$。

第 3 步：月地检验。让苹果落地的力和让月球绕地球转的力，是不是同一种力？如果是，它们都满足平方反比。月球到地心的距离约为地球半径的 60 倍，所以月球的加速度应该是地面重力加速度的 $\dfrac{1}{60^2}$：

$$a_{\text{月}} = \frac{g}{60^2} = \frac{9.8}{3600}\ \mathrm{m/s^2} \approx 2.7 \times 10^{-3}\ \mathrm{m/s^2}$$

另一方面，由月球的轨道半径 $r = 3.84 \times 10^8\ \mathrm{m}$ 和周期 $T = 27.3$ 天 $\approx 2.36 \times 10^6\ \mathrm{s}$，按圆周运动算出它的向心加速度：

$$a_{\text{月}} = \frac{4\pi^2 r}{T^2} = \frac{4 \times 3.14^2 \times 3.84 \times 10^8}{(2.36 \times 10^6)^2}\ \mathrm{m/s^2} \approx 2.7 \times 10^{-3}\ \mathrm{m/s^2}$$

两者吻合，说明地面物体受的重力和天体之间的引力是同一种性质的力，“万有”二字由此而来。

第 4 步：测出 $G$。牛顿没能测出 $G$：普通物体间的引力太小。1798 年，英国物理学家卡文迪什（Henry Cavendish）用扭秤完成了测量（扭秤装置最早由米切尔设计）。

• 装置：一根轻杆两端各固定一个小铅球，杆用细金属丝悬挂；在两个小球旁边各放一个大铅球。
• 原理：两对引力对杆产生同方向的力矩，使杆转过一个小角度；金属丝被扭转，产生反向的扭转力矩。两个力矩平衡时，由转角和金属丝的扭转性质（事先测定）可算出引力 $F$，再由 $G = \dfrac{Fr^2}{Mm}$ 求出 $G$。
• 放大的思想：引力只有约 $10^{-7}\ \mathrm{N}$ 的量级，转角极小。课本示意图用小镜子反射光线，转角变化引起远处光点明显移动（光杠杆）；卡文迪什本人是把装置封在房间里，从室外用望远镜读杆端的刻度，以避免气流和体温的干扰。
• 结果：卡文迪什的实验直接给出的是地球的平均密度，约为水的 5.5 倍；由它换算出的 $G$ 与今天的值相差约 1%。能由 $G$ 和 $g$ 算出地球质量（11.4 例 2），所以这个实验被称为“称量地球”的实验。

为什么均匀球体可以当成质点：把球体分成许多小块，每一块对球外质点的引力都按平方反比计算，再按矢量合成。牛顿证明了合力恰好等于把全部质量集中在球心时的引力。严格证明要用到大学的积分，高中只记结论。

例题

例 1　（场景：两个物体间的引力）两名质量都是 $50\ \mathrm{kg}$ 的同学相距 $1\ \mathrm{m}$，把他们看成质点，求他们之间的万有引力，并与每人受的重力比较（$g$ 取 $10\ \mathrm{m/s^2}$）。

解：

研究对象：两名同学，看成质点。

过程划分：不涉及过程。

分析：直接用万有引力定律。

列式求解：

$$F = G\frac{m_1 m_2}{r^2} = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{50 \times 50}{1^2}\ \mathrm{N} \approx 1.7 \times 10^{-7}\ \mathrm{N}$$

每人重力 $mg = 500\ \mathrm{N}$，约是这个引力的 $3 \times 10^9$ 倍。

检验：单位 $\mathrm{N \cdot m^2/kg^2} \times \dfrac{\mathrm{kg^2}}{\mathrm{m^2}} = \mathrm{N}$，对。量级：日常生活中从未感到人和人互相吸引，引力小到 $10^{-7}\ \mathrm{N}$，合理。这就是受力分析时不画物体之间引力的原因。

例 2　（场景：某高度处的重力加速度）地球表面重力加速度 $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$，地球半径为 $R$。不计地球自转，求离地面高度 $h = R$ 处的重力加速度。

解：

研究对象：在该高度处的物体（质量 $m$）。

过程划分：不涉及过程。

分析：不计自转，重力等于万有引力。地面：$mg = G\dfrac{Mm}{R^2}$；高度 $h$ 处：$mg' = G\dfrac{Mm}{(R + h)^2}$。题目没给 $G$、$M$，用 $GM = gR^2$ 代换。

列式求解：

$$g' = \frac{GM}{(R + h)^2} = \frac{gR^2}{(2R)^2} = \frac{g}{4} = 2.5\ \mathrm{m/s^2}$$

方向竖直向下（指向地心）。

检验：离地心的距离是 2 倍，引力变为 $\dfrac{1}{4}$，平方反比，合理。

容易卡在：把“离地面高度 $R$“当成”离地心 $R$“，得到 $g' = g$。

另一种解法：直接写比例 $\dfrac{g'}{g} = \dfrac{R^2}{(R + h)^2} = \dfrac{1}{4}$，一步出结果。只问“是地面的几倍”时，比例法最快；还要接着算卫星速度、周期时，先写出 $GM = gR^2$ 更方便，后面的式子都能用。

例 3　（场景：考虑地球自转）地球半径 $R = 6.4 \times 10^6\ \mathrm{m}$，自转周期 $T = 24\ \mathrm{h}$，$g$ 取 $10\ \mathrm{m/s^2}$。（1）求赤道上的物体随地球自转的向心加速度，并与 $g$ 比较；（2）如果地球自转加快，赤道上的物体恰好“飘起来”（对地面压力为零），自转周期应为多少？

解：

研究对象：赤道上质量为 $m$ 的物体。

过程划分：不涉及过程，两问各是一个状态。

分析：受力情况见本节“说明”的图：在赤道上，万有引力 $F$、地面支持力 $F_{\text{N}}$ 都在过地心的直线上，合力提供向心力 $m\omega^2 R$。第（2）问“飘起来”即 $F_{\text{N}} = 0$，万有引力全部提供向心力。

列式求解：（1）$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2 \times 3.14}{8.64 \times 10^4}\ \mathrm{rad/s} \approx 7.3 \times 10^{-5}\ \mathrm{rad/s}$，

$$a_{\text{n}} = \omega^2 R = (7.27 \times 10^{-5})^2 \times 6.4 \times 10^6\ \mathrm{m/s^2} \approx 3.4 \times 10^{-2}\ \mathrm{m/s^2}$$

只有 $g$ 的约 $0.3\%$。所以一般不计自转，重力近似等于万有引力。

（2）万有引力全部提供向心力，而万有引力近似等于 $mg$：

$$mg = m\frac{4\pi^2}{T'^2}R \quad \Rightarrow \quad T' = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}} = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{6.4 \times 10^6}{10}}\ \mathrm{s} \approx 5.0 \times 10^3\ \mathrm{s}$$

约 $1.4\ \mathrm{h}$。

检验：单位 $\sqrt{\mathrm{m}/(\mathrm{m/s^2})} = \mathrm{s}$，对。量级：要比现在快约 17 倍，物体才会飘起，说明自转的影响确实很小。$T'$ 恰好等于近地卫星的周期（11.5），因为此时赤道上的物体就像一颗贴地飞行的卫星。

例 4　（场景：物理学史）下列说法正确的是（　）。

A. 牛顿用扭秤实验测出了引力常量 B. 月地检验表明，使苹果落地的力与使月球绕地球运动的力是同一种性质的力 C. 开普勒在第谷观测数据的基础上发现了万有引力定律 D. 引力常量 $G$ 是一个没有单位的比例系数

解：B。

判断依据：按本节推导中的史实逐项对照。

A 错：测出 $G$ 的是卡文迪什（1798 年）。C 错：开普勒总结的是行星运动的三定律，万有引力定律是牛顿发现的。D 错：$G$ 的单位是 $\mathrm{N \cdot m^2/kg^2}$。B 对，这正是月地检验的结论。

常用推论

• $GM = gR^2$（不计自转，星球表面）。由 $mg = G\dfrac{Mm}{R^2}$ 得出。
• 高度 $h$ 处：$g_h = g\dfrac{R^2}{(R + h)^2}$，离地心距离变为 $n$ 倍，$g$ 变为 $\dfrac{1}{n^2}$。
• 自转的影响：赤道上 $mg = G\dfrac{Mm}{R^2} - m\omega^2 R$，两极 $mg = G\dfrac{Mm}{R^2}$。所以 $g$ 随纬度升高而增大。
• 赤道上物体恰好飘起时，自转周期等于该星球近地卫星的周期 $2\pi\sqrt{\dfrac{R}{g}}$（例 3）。

易错点

• 错在哪：卫星离地面高 $h$，代入 $F = G\dfrac{Mm}{h^2}$。 为什么错：$r$ 是两个球心之间的距离，卫星到地心是 $R + h$。 正确做法：先画出地心，再标出 $r = R + h$。
• 错在哪：认为大质量的物体对小质量物体的引力更大，比如“地球吸引月球的力大于月球吸引地球的力”。 为什么错：直觉以为“大的力气大”。万有引力是一对作用力与反作用力，大小相等。地球运动状态改变得少，是因为它质量大、加速度小，不是受力小。 正确做法：两个物体之间的引力大小用同一个公式算，只有一个值。
• 错在哪：认为两物体距离趋于零时，引力趋于无穷大。 为什么错：距离很小时物体不能再看成质点，公式的前提不成立。 正确做法：只对质点、均匀球体使用，$r$ 取质心距离。
• 错在哪：认为重力就是万有引力，方向处处指向地心。 为什么错：重力是万有引力的一个分力，另一个分力提供自转的向心力；只有两极和赤道上重力才指向地心。 正确做法：一般计算不计自转，把两者看成相等；题目说“考虑自转”时按本节“说明”的图分解。

直观理解

“引力和距离的平方成反比”可以这样想：从地心向外看，引力像灯光一样均匀散开，距离加倍，同样的“引力”摊在 4 倍大的球面上，每处只剩 $\dfrac{1}{4}$。月球离地心 60 倍远，加速度就只剩地面的 $\dfrac{1}{3600}$。

一句话：万有引力处处有，日常物体之间小到感觉不到，天体之间大到决定一切轨道。

关联知识点

• 前置：第 10 章向心力公式；第 6 章牛顿第三定律（相互作用的引力大小相等）。
• 前置：11.2 开普勒第三定律，推导第 1 步用到它。
• 后续：11.4 天体质量与密度、11.5 卫星参量，都从“万有引力提供向心力”出发。
• 后续：第 15 章库仑定律 $F = k\dfrac{q_1 q_2}{r^2}$ 与万有引力定律形式相同，扭秤也用于库仑的实验。
• 常一起考：第 6 章超重与失重，卫星中的物体处于完全失重状态。

11.4 天体质量与密度

说明

两种方法，前提都是把中心天体看成质量均匀分布的球体。

环绕法：已知某个环绕天体（行星、卫星）绕中心天体做匀速圆周运动的轨道半径 $r$ 和周期 $T$，万有引力提供向心力：

$$G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{4\pi^2}{T^2}r \quad \Rightarrow \quad M = \frac{4\pi^2 r^3}{GT^2}$$

已知 $v$ 和 $r$ 时 $M = \dfrac{v^2 r}{G}$；已知 $\omega$ 和 $r$ 时 $M = \dfrac{\omega^2 r^3}{G}$。环绕天体的质量 $m$ 两边约掉了，所以只能求中心天体的质量。

表面重力法：已知星球表面的重力加速度 $g$ 和星球半径 $R$，不计自转：

$$mg = G\frac{Mm}{R^2} \quad \Rightarrow \quad M = \frac{gR^2}{G}$$

密度：$\rho = \dfrac{M}{V}$，$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$（$R$ 是中心天体自身的半径）。

已知	质量	密度
环绕天体的 $r$、$T$，中心天体半径 $R$	$M = \dfrac{4\pi^2 r^3}{GT^2}$	$\rho = \dfrac{3\pi r^3}{GT^2 R^3}$
近表面环绕（$r = R$）的周期 $T$	$M = \dfrac{4\pi^2 R^3}{GT^2}$	$\rho = \dfrac{3\pi}{GT^2}$
表面重力加速度 $g$、半径 $R$	$M = \dfrac{gR^2}{G}$	$\rho = \dfrac{3g}{4\pi GR}$

使用场景

• 题目给出行星或卫星绕某天体运动的轨道半径和周期（或线速度、角速度）→ 环绕天体做匀速圆周运动 → 环绕法，万有引力提供向心力。
• 题目给出某星球表面的重力加速度和半径 → 不计自转，重力等于万有引力 → 表面重力法 $M = \dfrac{gR^2}{G}$。
• 只给近表面卫星（“贴近表面飞行”“近地轨道”）的周期，问密度 → $r = R$ 的环绕法 → $\rho = \dfrac{3\pi}{GT^2}$，与半径无关。
• 宇航员在某星球表面做落体、竖直上抛、平抛实验，再问星球质量 → 先由运动学求出该星球的 $g$ → 再用表面重力法。

注意点

• 环绕法求出的是中心天体的质量。由月球绕地球的数据能求地球质量，不能求月球质量。
• 区分三个“半径”：轨道半径 $r$（环绕天体到中心天体球心）、中心天体半径 $R$（算体积用）、高度 $h = r - R$。算密度时，体积一定用 $R$。
• 表面重力法忽略了自转；题目给的是赤道或两极的 $g$ 并要求考虑自转时，按 11.3 的分解处理。
• 周期的单位换算成秒：$1$ 天 $= 8.64 \times 10^4\ \mathrm{s}$，$1$ 年 $\approx 3.15 \times 10^7\ \mathrm{s}$。

推导

两种方法都是把 11.3 的万有引力定律和第 10 章的向心力公式（或重力）接起来：

环绕法：环绕天体只受中心天体的引力，做匀速圆周运动，引力就是向心力：

$$G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{4\pi^2}{T^2}r$$

（关键一步：等式两边都有环绕天体的质量 $m$，约掉之后只剩中心天体的 $M$。这说明不论卫星多重，在同一轨道上周期都一样；也说明用这个式子求不出 $m$。）

整理得 $M = \dfrac{4\pi^2 r^3}{GT^2}$。代入 $\rho = \dfrac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$ 得 $\rho = \dfrac{3\pi r^3}{GT^2 R^3}$；当 $r = R$ 时化简为 $\rho = \dfrac{3\pi}{GT^2}$。

表面重力法：由 $mg = G\dfrac{Mm}{R^2}$ 得 $M = \dfrac{gR^2}{G}$，代入密度公式：

$$\rho = \frac{gR^2/G}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{3g}{4\pi GR}$$

例题

例 1　（场景：环绕法求中心天体质量）地球绕太阳公转的轨道半径约为 $r = 1.5 \times 10^{11}\ \mathrm{m}$，周期约为 $T = 3.15 \times 10^7\ \mathrm{s}$（1 年），把轨道看成圆。求太阳的质量（$G = 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N \cdot m^2/kg^2}$）。

解：

研究对象：地球（环绕天体），求的是中心天体太阳的质量 $M$。

过程划分：地球做匀速圆周运动，一个状态。

分析：太阳对地球的引力提供地球的向心力，已知 $r$、$T$，用环绕法。

列式求解：

$$M = \frac{4\pi^2 r^3}{GT^2} = \frac{4 \times 3.14^2 \times (1.5 \times 10^{11})^3}{6.67 \times 10^{-11} \times (3.15 \times 10^7)^2}\ \mathrm{kg} \approx 2.0 \times 10^{30}\ \mathrm{kg}$$

检验：单位 $\dfrac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{N \cdot m^2/kg^2} \times \mathrm{s^2}} = \dfrac{\mathrm{m^3 \cdot kg^2}}{\mathrm{kg \cdot m^3}} = \mathrm{kg}$，对。量级：太阳质量约是地球的 $3 \times 10^5$ 倍，与公认值 $2.0 \times 10^{30}\ \mathrm{kg}$ 一致。

容易卡在：周期用“1 年”直接代入，没换成秒。

例 2　（场景：表面重力法）地球表面的重力加速度 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$，地球半径 $R = 6.4 \times 10^6\ \mathrm{m}$，$G = 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N \cdot m^2/kg^2}$。不计地球自转，求地球的质量和平均密度。

解：

研究对象：地球表面质量为 $m$ 的物体。

过程划分：不涉及过程。

分析：不计自转，物体的重力等于地球对它的万有引力，用表面重力法。

列式求解：

$$M = \frac{gR^2}{G} = \frac{9.8 \times (6.4 \times 10^6)^2}{6.67 \times 10^{-11}}\ \mathrm{kg} \approx 6.0 \times 10^{24}\ \mathrm{kg}$$ $$\rho = \frac{3g}{4\pi GR} = \frac{3 \times 9.8}{4 \times 3.14 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^6}\ \mathrm{kg/m^3} \approx 5.5 \times 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$$

检验：量级：地球平均密度约为水的 5.5 倍，比地表岩石（约 $2.7 \times 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$）大，说明地球内部有密度更大的物质（铁镍地核），合理。这正是卡文迪什“称量地球”得到的结果。

例 3　（场景：近表面卫星的周期求密度）一艘探测器贴近某行星表面做匀速圆周运动，测得周期 $T = 6.0 \times 10^3\ \mathrm{s}$。求该行星的平均密度（$G = 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N \cdot m^2/kg^2}$，$\pi$ 取 3.14）。

解：

研究对象：探测器。

过程划分：匀速圆周运动，一个状态。

分析：贴近表面，轨道半径 $r$ 等于行星半径 $R$。环绕法：$G\dfrac{Mm}{R^2} = m\dfrac{4\pi^2}{T^2}R$，$M = \dfrac{4\pi^2 R^3}{GT^2}$，再除以体积 $\dfrac{4}{3}\pi R^3$。

列式求解：

$$\rho = \frac{3\pi}{GT^2} = \frac{3 \times 3.14}{6.67 \times 10^{-11} \times (6.0 \times 10^3)^2}\ \mathrm{kg/m^3} \approx 3.9 \times 10^3\ \mathrm{kg/m^3}$$

检验：量级是 $10^3\ \mathrm{kg/m^3}$，在岩石行星的范围内，合理。地球近地卫星周期约 $5.1 \times 10^3\ \mathrm{s}$，密度 $5.5 \times 10^3$；这颗行星周期更长，密度更小，与 $\rho \propto \dfrac{1}{T^2}$ 一致。

容易卡在：以为不知道半径就求不出密度。$R$ 在质量和体积中都以 $R^3$ 出现，约掉了。

例 4　（场景：星球表面做实验求质量）宇航员在某星球表面以 $v_0 = 6\ \mathrm{m/s}$ 的速度竖直向上抛出一个小球，经 $t = 4\ \mathrm{s}$ 小球落回抛出点。已知该星球半径 $R = 2.0 \times 10^6\ \mathrm{m}$，不计阻力和星球自转，求该星球的质量（$G = 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N \cdot m^2/kg^2}$）。

解：

研究对象：小球（先求 $g$），再到星球表面的物体（求 $M$）。

过程划分：小球上升和下落加速度相同，按第 3 章竖直上抛的做法，全过程看成一个匀变速运动。

分析：取竖直向上为正方向，小球的加速度为 $-g$（$g$ 是该星球表面的重力加速度）。回到抛出点时位移为零。求出 $g$ 后用表面重力法。

列式求解：由 $x = v_0 t - \dfrac{1}{2}gt^2 = 0$ 得

$$g = \frac{2v_0}{t} = \frac{2 \times 6}{4}\ \mathrm{m/s^2} = 3\ \mathrm{m/s^2}$$ $$M = \frac{gR^2}{G} = \frac{3 \times (2.0 \times 10^6)^2}{6.67 \times 10^{-11}}\ \mathrm{kg} \approx 1.8 \times 10^{23}\ \mathrm{kg}$$

检验：该星球 $g$ 约为地球的 $\dfrac{1}{3}$，半径约为地球的 $\dfrac{1}{3}$，由 $M \propto gR^2$，质量约为地球的 $\dfrac{1}{27}$，即 $2 \times 10^{23}\ \mathrm{kg}$ 的量级，与结果一致。

容易卡在：直接用地球的 $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$。别的星球上 $g$ 要由题目给的运动数据重新求。

常用推论

• 近表面环绕：$\rho = \dfrac{3\pi}{GT^2}$，只需测周期（例 3）。
• 表面法：$\rho = \dfrac{3g}{4\pi GR}$，即 $\rho \propto \dfrac{g}{R}$，两个星球比较密度时常用比例。
• $M \propto gR^2$：两个星球比较质量时直接列比例，不必代入 $G$。
• 星球表面的抛体实验：竖直上抛 $g = \dfrac{2v_0}{t}$；平抛已知高度 $h$ 和时间 $t$ 时 $g = \dfrac{2h}{t^2}$（第 9 章）。

易错点

• 错在哪：由月球绕地球的周期和半径求月球质量。 为什么错：环绕天体的质量在等式两边约掉了，求出的是中心天体（地球）的质量。 正确做法：要求谁的质量，就找绕“谁”转的天体的数据，或者“谁”表面的 $g$。
• 错在哪：算密度时，体积用轨道半径 $r$：$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$。 为什么错：密度是中心天体自身的，体积要用它自己的半径 $R$。只有近表面环绕时 $r = R$。 正确做法：写出 $\rho = \dfrac{3\pi r^3}{GT^2 R^3}$，看清哪个是 $r$、哪个是 $R$。
• 错在哪：在别的星球表面计算时，仍用 $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$。 为什么错：$g = \dfrac{GM}{R^2}$ 由星球的质量和半径决定，每个星球都不同。 正确做法：用题目给的实验数据先求该星球的 $g$（例 4）。

直观理解

“称”一个天体，就是看它能把绕着它转的东西“拉”得多紧：同样的轨道半径，转得越快（周期越短），说明中心天体越重。卫星自己多重无所谓，就像不同质量的物体自由下落一样快。

关联知识点

• 前置：11.3 万有引力定律和 $GM = gR^2$；第 10 章向心力公式。
• 前置：第 3 章竖直上抛、第 9 章平抛，用于例 4 这类“先求 $g$“的题。
• 后续：11.5 卫星参量，同一个式子换一个未知量。
• 常一起考：第 1 章 1.5 估算与数量级；附录 C 天文数据。

11.5 卫星的运动参量与轨道半径的关系

说明

模型：人造卫星绕地球做匀速圆周运动，只受地球的引力，引力提供向心力。圆轨道的圆心必须是地心，所以轨道平面一定过地心。

$$G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{v^2}{r} = m\omega^2 r = m\frac{4\pi^2}{T^2}r = ma$$

分别解出：

参量	表达式	$r$ 增大时
线速度	$v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$	减小
角速度	$\omega = \sqrt{\dfrac{GM}{r^3}}$	减小
周期	$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}$	增大
向心加速度	$a = \dfrac{GM}{r^2}$	减小

这就是”高轨低速长周期“：轨道越高，$v$、$\omega$、$a$ 越小，$T$ 越大。所有参量只由 $r$（和中心天体）决定，与卫星质量无关。

近地卫星：轨道半径近似等于地球半径，$r \approx R$。

• $v = \sqrt{\dfrac{GM}{R}} = \sqrt{gR} \approx 7.9\ \mathrm{km/s}$，是所有圆轨道卫星中最大的环绕速度；
• $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{R}{g}} \approx 5.1 \times 10^3\ \mathrm{s}$，约 85 分钟，是地球卫星中最短的周期。

地球同步卫星（地球静止轨道卫星）：相对地面静止，总在赤道上某一点的正上方。

• 轨道平面与赤道平面重合；
• 绕行方向与地球自转方向相同；
• 周期等于地球自转周期 $T = 24\ \mathrm{h}$；
• 由 $T$ 确定的轨道半径是唯一的：$r \approx 4.2 \times 10^7\ \mathrm{m} \approx 6.6R$，离地高度约 $3.6 \times 10^7\ \mathrm{m}$；
• 线速度约 $3.1\ \mathrm{km/s}$。

所有地球静止轨道卫星都在同一个圆上，只是位置不同。周期也是 $24\ \mathrm{h}$ 但轨道平面倾斜的叫倾斜地球同步轨道卫星（我国北斗系统中就有），它不是总在同一地点上空。

赤道上的物体不是卫星：它除了引力还受地面支持力，引力只有极小一部分提供向心力，不满足 $G\dfrac{Mm}{r^2} = m\dfrac{v^2}{r}$。它与同步卫星的周期、角速度相同，可以用 $v = \omega r$、$a = \omega^2 r$ 和同步卫星比较。

使用场景

• 几颗卫星绕同一天体在不同圆轨道上运动，比较 $v$、$\omega$、$T$、$a$ 或求比值 → 万有引力提供向心力 → 高轨低速长周期，比值由 $r$ 的比值算。
• 已知地面 $g$、地球半径和卫星高度，求卫星的速度或周期 → 不给 $G$、$M$ → 用 $GM = gR^2$ 代换，$r = R + h$。
• 题目出现“同步卫星”“静止轨道卫星”“相对地面静止” → 周期等于自转周期 → 轨道在赤道平面、半径唯一，由 $T$ 求 $r$。
• 赤道上的物体、近地卫星、同步卫星三者比较 → 赤道物体不是卫星 → 卫星之间用引力提供向心力比较；赤道物体与同步卫星用 $\omega$ 相同比较。

注意点

• 公式 $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ 等只对只受引力、做匀速圆周运动的天体成立。赤道上的物体、椭圆轨道上的卫星都不能直接用。
• 由 $v = \omega r$ 看，好像 $r$ 越大 $v$ 越大，这只在 $\omega$ 相同时成立（同步卫星与赤道物体）；不同轨道的卫星 $\omega$ 不同，要用 $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ 判断。
• 卫星的向心加速度 $a = \dfrac{GM}{r^2}$ 就是该处的重力加速度 $g_h$。卫星内的物体处于完全失重状态（第 6 章），重力并没有消失，全部用来提供向心力。
• 同步卫星的高度、速度、周期都是定值，不能定点在北京等非赤道地区上空，也不能“在更低的轨道上同步”。

推导

由 $G\dfrac{Mm}{r^2} = m\dfrac{v^2}{r}$ 得 $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$；由 $v = \omega r$、$T = \dfrac{2\pi r}{v}$ 得

$$\omega = \frac{v}{r} = \sqrt{\frac{GM}{r^3}}, \qquad T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}$$

（关键一步：卫星的向心力由引力“供给”，引力随 $r$ 按平方反比减小，所以高处的卫星只需要、也只能有较小的速度。这不是“卫星离得远所以慢”的直觉，而是供需平衡的要求：速度大了引力拉不住，速度小了会掉下来。）

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}$ 两边平方即 $\dfrac{r^3}{T^2} = \dfrac{GM}{4\pi^2}$，正是开普勒第三定律（11.2）。

同步卫星的高度：由 $G\dfrac{Mm}{r^2} = m\dfrac{4\pi^2}{T^2}r$ 和 $GM = gR^2$ 得 $r = \sqrt[3]{\dfrac{gR^2 T^2}{4\pi^2}}$，代入 $T = 24\ \mathrm{h}$ 计算见例 3。

例题

例 1　（场景：比较不同轨道的卫星）$a$、$b$、$c$ 三颗人造卫星在同一平面内绕地球做匀速圆周运动，轨道半径 $r_a < r_b < r_c$。（1）比较它们的线速度、角速度、周期、向心加速度的大小；（2）若 $r_c = 4r_a$，求 $a$、$c$ 的线速度之比和周期之比。

解：

研究对象：三颗卫星。

过程划分：各自做匀速圆周运动，一个状态。

分析：只受地球引力，引力提供向心力，用本节的四个表达式。

列式求解：（1）由 $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$、$\omega = \sqrt{\dfrac{GM}{r^3}}$、$a = \dfrac{GM}{r^2}$、$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}$：

$$v_a > v_b > v_c, \quad \omega_a > \omega_b > \omega_c, \quad a_a > a_b > a_c, \quad T_a < T_b < T_c$$

（2）

$$\frac{v_a}{v_c} = \sqrt{\frac{r_c}{r_a}} = \sqrt{4} = 2, \qquad \frac{T_a}{T_c} = \sqrt{\frac{r_a^3}{r_c^3}} = \sqrt{\frac{1}{64}} = \frac{1}{8}$$

即 $v_a : v_c = 2 : 1$，$T_a : T_c = 1 : 8$。

检验：周期比也可由开普勒第三定律检验：$\dfrac{T_c}{T_a} = \left(\dfrac{r_c}{r_a}\right)^{\frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{2}} = 8$，一致。

例 2　（场景：用 $GM = gR^2$ 求卫星参量）地球表面重力加速度 $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$，地球半径 $R = 6.4 \times 10^6\ \mathrm{m}$。一颗卫星在离地面高 $h = R$ 的圆轨道上运行，求它的线速度和周期。

解：

研究对象：卫星。

过程划分：匀速圆周运动，一个状态。

分析：轨道半径 $r = R + h = 2R$。引力提供向心力，题目不给 $G$、$M$，用 $GM = gR^2$ 代换。

列式求解：

$$v = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{gR^2}{2R}} = \sqrt{\frac{gR}{2}} = \sqrt{\frac{10 \times 6.4 \times 10^6}{2}}\ \mathrm{m/s} \approx 5.7 \times 10^3\ \mathrm{m/s}$$ $$T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} = 2\pi\sqrt{\frac{8R^3}{gR^2}} = 2\pi\sqrt{\frac{8R}{g}} = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{8 \times 6.4 \times 10^6}{10}}\ \mathrm{s} \approx 1.4 \times 10^4\ \mathrm{s}$$

约 $3.9\ \mathrm{h}$。速度方向沿轨道切线。

检验：$v$ 小于 $8\ \mathrm{km/s}$（$g$ 取 10 时的近地环绕速度），$T$ 介于近地卫星的约 $1.4\ \mathrm{h}$ 和同步卫星的 $24\ \mathrm{h}$ 之间，合理。

容易卡在：$r$ 代成 $h$，或者把 $GM = gR^2$ 写成 $GM = gr^2$。$g$ 是地面的，配的是地球半径 $R$。

另一种解法：和近地卫星比。近地卫星 $v_1 = \sqrt{gR} = 8.0\ \mathrm{km/s}$，$T_1 = 2\pi\sqrt{\dfrac{R}{g}} \approx 5.0 \times 10^3\ \mathrm{s}$。$r$ 变为 2 倍，$v$ 变为 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$，$T$ 变为 $2\sqrt{2}$ 倍：$v = \dfrac{8.0}{1.41}\ \mathrm{km/s} \approx 5.7\ \mathrm{km/s}$，$T \approx 2.83 \times 5.0 \times 10^3\ \mathrm{s} \approx 1.4 \times 10^4\ \mathrm{s}$。记住近地卫星的两个数时，比例法最快；题目给的是别的星球、数据不熟时，按主解法从头列式更稳。

例 3　（场景：同步卫星）地球半径 $R = 6.4 \times 10^6\ \mathrm{m}$，$g = 10\ \mathrm{m/s^2}$，地球自转周期 $T = 24\ \mathrm{h}$。求地球同步卫星的轨道半径、离地高度和线速度。

解：

研究对象：同步卫星。

过程划分：匀速圆周运动，一个状态。

分析：同步卫星的周期等于自转周期 $T = 8.64 \times 10^4\ \mathrm{s}$。引力提供向心力，$GM = gR^2$。

列式求解：由 $G\dfrac{Mm}{r^2} = m\dfrac{4\pi^2}{T^2}r$：

$$r = \sqrt[3]{\frac{gR^2 T^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{10 \times (6.4 \times 10^6)^2 \times (8.64 \times 10^4)^2}{4 \times 3.14^2}}\ \mathrm{m} \approx 4.3 \times 10^7\ \mathrm{m}$$ $$h = r - R \approx 4.3 \times 10^7\ \mathrm{m} - 0.64 \times 10^7\ \mathrm{m} \approx 3.6 \times 10^7\ \mathrm{m}$$ $$v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2 \times 3.14 \times 4.26 \times 10^7}{8.64 \times 10^4}\ \mathrm{m/s} \approx 3.1 \times 10^3\ \mathrm{m/s}$$

检验：$r$ 约为 $6.6R$，$v$ 约为近地卫星的 $\dfrac{1}{\sqrt{6.6}} \approx 0.39$ 倍，$8.0 \times 0.39 \approx 3.1\ \mathrm{km/s}$，一致。（$g$ 取 9.8 时 $r \approx 4.2 \times 10^7\ \mathrm{m}$，与实际值相符。）

容易卡在：开立方。可以先算出括号里约 $7.7 \times 10^{22}$，写成 $77 \times 10^{21}$，$\sqrt[3]{77} \approx 4.3$，$\sqrt[3]{10^{21}} = 10^7$。

例 4　（场景：赤道上的物体与卫星比较）$A$ 是静止在赤道地面上的物体，$B$ 是近地卫星，$C$ 是地球同步卫星，三者都在赤道平面内做圆周运动。比较它们的线速度、向心加速度和周期的大小。

解：$v_B > v_C > v_A$，$a_B > a_C > a_A$，$T_A = T_C > T_B$。

判断依据：$B$、$C$ 都是卫星，用“高轨低速长周期”；$A$ 不是卫星，只能与周期相同的 $C$ 比较。

• $B$ 与 $C$：$r_B < r_C$，所以 $v_B > v_C$，$a_B > a_C$，$T_B < T_C$。
• $A$ 与 $C$：同步卫星与地球自转同步，$T_A = T_C$，$\omega_A = \omega_C$。由 $v = \omega r$、$a = \omega^2 r$，$r_A < r_C$，所以 $v_A < v_C$，$a_A < a_C$。

合起来就是上面的结论。

容易卡在：对 $A$ 也用 $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$，得出 $v_A \approx v_B$。$A$ 还受地面支持力，引力几乎全被支持力抵消，只有很小一部分提供向心力（11.3 例 3 算过，$a_A \approx 0.034\ \mathrm{m/s^2}$）。

常用推论

• 高轨低速长周期：$r$ 增大，$v$、$\omega$、$a$ 减小，$T$ 增大（本节推导）。比值：$v \propto \dfrac{1}{\sqrt{r}}$，$\omega \propto \dfrac{1}{\sqrt{r^3}}$，$T \propto \sqrt{r^3}$，$a \propto \dfrac{1}{r^2}$。
• 地球卫星的最大环绕速度 $7.9\ \mathrm{km/s}$，最小周期约 85 分钟（$r = R$ 时）。任何地球卫星的周期都不可能是 1 小时。
• 同步卫星：$T = 24\ \mathrm{h}$，$r \approx 6.6R$，$h \approx 3.6 \times 10^7\ \mathrm{m}$，$v \approx 3.1\ \mathrm{km/s}$，在赤道上空（例 3）。
• 同一轨道上的卫星，$v$、$T$、$a$ 都相同，与质量无关。
• 卫星所在处的向心加速度等于该处的重力加速度：$a = g\dfrac{R^2}{r^2}$。

易错点

• 错在哪：由 $v = \omega r$ 推出“轨道越高，卫星速度越大”。 为什么错：$v = \omega r$ 中 $\omega$ 也随 $r$ 变，不同轨道的卫星 $\omega$ 不同，不能只看 $r$。 正确做法：比较卫星一律从 $G\dfrac{Mm}{r^2} = m\dfrac{v^2}{r}$ 出发，得 $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$。
• 错在哪：认为“卫星质量越大，需要的速度越大”，或“重的卫星轨道低”。 为什么错：直觉以为“重的东西更容易掉下来”。引力和需要的向心力都正比于 $m$，$m$ 约掉了，和“轻重物体下落一样快”是同一个道理。 正确做法：卫星的 $v$、$T$ 只由轨道半径和中心天体决定。
• 错在哪：用 $G\dfrac{Mm}{R^2} = m\dfrac{v^2}{R}$ 计算赤道上物体随地球自转的速度。 为什么错：赤道上的物体还受支持力，引力不等于它需要的向心力。按此算出的 $7.9\ \mathrm{km/s}$ 是近地卫星的速度，赤道上的物体实际只有约 $0.47\ \mathrm{km/s}$。 正确做法：赤道物体用 $v = \omega R$，$\omega$ 由 24 小时的自转周期求。
• 错在哪：认为同步卫星可以定点在北京上空。 为什么错：卫星轨道的圆心必须是地心，定点在北京上空的轨道圆心在地轴上而不在地心，引力不能指向这个圆心。 正确做法：静止轨道卫星只能在赤道正上方。

直观理解

图线说明一切：越往外，速度越慢；而且越往外，路程还越长，所以周期增长得比半径还快（$T \propto r^{3/2}$）。一句话：高轨低速长周期，只有周期一个变大。

关联知识点

• 前置：11.3 万有引力定律和 $GM = gR^2$；第 10 章向心力的四种写法。
• 前置：第 6 章超重与失重，卫星中的完全失重。
• 后续：11.6 变轨，圆轨道上的速度是比较的基准。
• 后续：第 14 章机械能，卫星轨道越高，机械能越大。
• 常一起考：11.2 开普勒第三定律；11.4 天体质量。

11.6 三种宇宙速度与变轨

说明

三种宇宙速度（都是在地面附近的发射速度）：

名称	数值	意义
第一宇宙速度（环绕速度）	$7.9\ \mathrm{km/s}$	物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度；是卫星的最小发射速度，也是圆轨道卫星的最大环绕速度
第二宇宙速度（逃逸速度）	$11.2\ \mathrm{km/s}$	达到这个速度，物体就能挣脱地球引力的束缚，不再绕地球运动
第三宇宙速度	$16.7\ \mathrm{km/s}$	达到这个速度，物体能挣脱太阳引力的束缚，飞出太阳系

第一宇宙速度：

$$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{gR} = \sqrt{9.8 \times 6.4 \times 10^6}\ \mathrm{m/s} \approx 7.9\ \mathrm{km/s}$$

发射速度在不同范围时，物体的轨道：

• $v = 7.9\ \mathrm{km/s}$：近地圆轨道；
• $7.9\ \mathrm{km/s} < v < 11.2\ \mathrm{km/s}$：绕地球的椭圆轨道，发射点是近地点；
• $11.2\ \mathrm{km/s} \le v < 16.7\ \mathrm{km/s}$：脱离地球，绕太阳运动，成为人造行星；
• $v \ge 16.7\ \mathrm{km/s}$：飞出太阳系。

任何星球都有自己的第一宇宙速度 $\sqrt{\dfrac{GM}{R}}$，由它的质量和半径决定。

变轨：卫星从一个轨道转到另一个轨道，靠发动机短时间点火改变速度。以从低圆轨道 1 经椭圆轨道 2 转到高圆轨道 3 为例（轨道 2 分别在 $P$、$Q$ 两点与轨道 1、3 相切）：

1. 在轨道 1 上，引力恰好等于所需的向心力。
2. 在 $P$ 点加速：速度变大，所需向心力 $m\dfrac{v^2}{r}$ 大于引力，卫星做离心运动，进入椭圆轨道 2，$P$ 是近地点。
3. 沿轨道 2 从 $P$ 到 $Q$，离地越来越远，引力做负功，速度减小。
4. 到 $Q$ 点（远地点）时速度小于轨道 3 所需的速度，引力大于所需向心力，如果不处理会沿椭圆落回。在 $Q$ 点再加速，进入圆轨道 3。

速度、加速度和周期的关系：

$$v_{2P} > v_1 > v_3 > v_{2Q}$$ $$a_{1P} = a_{2P}, \quad a_{2Q} = a_{3Q}, \qquad T_1 < T_2 < T_3$$

从高轨道回到低轨道（返回、降轨）则在对应位置减速。

使用场景

• 求某个星球的第一宇宙速度（近表面环绕速度）→ 近表面卫星的匀速圆周运动 → $v_1 = \sqrt{\dfrac{GM}{R}} = \sqrt{gR}$，常用与地球的比值。
• 选择题问发射速度为某值时卫星怎么运动，或问 $7.9$、$11.2$、$16.7\ \mathrm{km/s}$ 的意义 → 对照三种宇宙速度的含义 → 发射速度与环绕速度区分开。
• 卫星在圆轨道和椭圆轨道之间转换，比较切点处的速度、加速度、周期、机械能 → 离心与近心运动 → 速度看“供需”，加速度看 $a = \dfrac{GM}{r^2}$，周期看开普勒第三定律。
• 问卫星沿椭圆转移轨道从近地点到远地点用多长时间 → 椭圆轨道的周期 → 开普勒第三定律，半长轴 $a = \dfrac{r_1 + r_3}{2}$，所求时间是半个周期。

注意点

• 宇宙速度是发射速度，不是在轨道上的运行速度。高轨道卫星的运行速度小于 $7.9\ \mathrm{km/s}$，但发射时需要的速度大于 $7.9\ \mathrm{km/s}$（多出的能量用来爬高）。
• “第一宇宙速度是最大环绕速度、最小发射速度”，两个“最”说的对象不同，都对。
• 同一点（如 $P$）在两个轨道上的加速度相同，因为加速度只由该点到地心的距离决定：$a = \dfrac{GM}{r^2}$；速度不同。
• 椭圆轨道上的速度不能用 $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ 计算，这个式子只对圆轨道成立。
• 同一轨道上，后面的飞船直接加速追不上前面的：一加速就离心到更高的轨道，反而更慢。交会对接时追赶的飞船先在较低轨道上运行，到合适位置再加速升轨。
• 第二宇宙速度 $11.2\ \mathrm{km/s} = \sqrt{2} \times 7.9\ \mathrm{km/s}$，推导要用到引力势能 $E_{\text{p}} = -\dfrac{GMm}{r}$，它是由变力做功求和（大学用积分）得到的，高中记住这个数值即可。

推导

第一宇宙速度：物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动，轨道半径近似为 $R$，引力（即重力）提供向心力：

$$G\frac{Mm}{R^2} = m\frac{v_1^2}{R} \quad \Rightarrow \quad v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$$

或者 $mg = m\dfrac{v_1^2}{R}$，$v_1 = \sqrt{gR}$。

（关键一步：为什么它是“最小发射速度”？轨道半径不可能小于 $R$（否则撞上地面），而 $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ 随 $r$ 增大而减小，所以 $r = R$ 时环绕速度最大；同时，发射到更高的轨道要克服引力做功，发射速度只会更大。）

变轨中的速度比较：

• $v_{2P} > v_1$：在 $P$ 点加速才进入轨道 2。
• $v_1 > v_3$：圆轨道，高轨低速（11.5）。
• $v_3 > v_{2Q}$：在 $Q$ 点要加速才能进入轨道 3。

串起来就是 $v_{2P} > v_1 > v_3 > v_{2Q}$。

变轨中的周期比较：轨道 1、2、3 的半长轴（圆的半径）依次增大，由开普勒第三定律 $\dfrac{a^3}{T^2} = k$，$T_1 < T_2 < T_3$。

为什么加速会离心：在圆轨道上，引力恰好等于所需向心力 $m\dfrac{v^2}{r}$。速度突然变大后，所需向心力变大，引力“拉不住”，卫星偏离圆周向外运动（第 10 章离心运动）。减速则相反，引力大于所需向心力，卫星向内运动。

例题

例 1　（场景：其他星球的第一宇宙速度）火星的质量约为地球质量的 $\dfrac{1}{10}$，半径约为地球半径的 $\dfrac{1}{2}$，地球的第一宇宙速度为 $7.9\ \mathrm{km/s}$。求火星的第一宇宙速度。

解：

研究对象：在火星表面附近做匀速圆周运动的探测器。

过程划分：匀速圆周运动，一个状态。

分析：第一宇宙速度 $v_1 = \sqrt{\dfrac{GM}{R}}$，对地球和火星分别写出，相比。

列式求解：

$$\frac{v_{\text{火}}}{v_{\text{地}}} = \sqrt{\frac{M_{\text{火}}}{M_{\text{地}}} \cdot \frac{R_{\text{地}}}{R_{\text{火}}}} = \sqrt{\frac{1}{10} \times 2} = \sqrt{0.2} \approx 0.45$$ $$v_{\text{火}} \approx 0.45 \times 7.9\ \mathrm{km/s} \approx 3.5\ \mathrm{km/s}$$

检验：火星小而轻，第一宇宙速度小于地球的，合理；实际值约 $3.55\ \mathrm{km/s}$，一致。

容易卡在：把比值写反，或只考虑质量不考虑半径。写成 $\sqrt{\dfrac{M}{R}}$ 的形式后，分子分母分别相比。

例 2　（场景：宇宙速度的意义）关于宇宙速度，下列说法正确的是（　）。

A. 第一宇宙速度是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最小速度 B. 在地面以 $10\ \mathrm{km/s}$ 的速度发射的卫星，将沿椭圆轨道绕地球运行 C. 同步卫星的运行速度大于 $7.9\ \mathrm{km/s}$ D. 从地面以 $12\ \mathrm{km/s}$ 的速度发射的物体，将飞出太阳系

解：B。

判断依据：对照三种宇宙速度的含义和“高轨低速”。

A 错：$7.9\ \mathrm{km/s}$ 是圆轨道卫星的最大环绕速度、最小发射速度。B 对：$10\ \mathrm{km/s}$ 在 $7.9$ 与 $11.2\ \mathrm{km/s}$ 之间，沿椭圆绕地球运行。C 错：同步卫星轨道高，运行速度约 $3.1\ \mathrm{km/s}$。D 错：$12\ \mathrm{km/s}$ 介于 $11.2$ 与 $16.7\ \mathrm{km/s}$ 之间，能脱离地球，但仍绕太阳运动。

例 3　（场景：变轨中比较速度、加速度、周期）卫星先在近地圆轨道 1 上运行，在 $P$ 点点火进入椭圆轨道 2，到远地点 $Q$ 再次点火进入圆轨道 3，如图。判断：（1）$P$、$Q$ 两次点火是加速还是减速；（2）比较 $v_{1}$、$v_{2P}$、$v_{2Q}$、$v_3$；（3）比较卫星在轨道 1 上经过 $P$ 点和在轨道 2 上经过 $P$ 点的加速度；（4）比较三个轨道的周期。

解：

判断依据：速度看“引力与所需向心力的供需关系”，加速度看 $a = \dfrac{GM}{r^2}$，周期看开普勒第三定律。

（1）$P$ 点要从圆轨道进入向外伸展的椭圆，需要离心运动，所以加速；$Q$ 点要从椭圆进入更大的圆，也要加速。

（2）$v_{2P} > v_1 > v_3 > v_{2Q}$。理由：$P$ 点加速得 $v_{2P} > v_1$；圆轨道高轨低速得 $v_1 > v_3$；$Q$ 点加速才进入轨道 3，得 $v_3 > v_{2Q}$。

（3）相等。加速度只由引力决定，同一点到地心的距离相同，$a = \dfrac{GM}{r^2}$ 相同，与在哪条轨道上无关。

（4）$T_1 < T_2 < T_3$。三个轨道的半长轴依次增大，由 $\dfrac{a^3}{T^2} = k$。

容易卡在：（3）题认为“椭圆轨道上 $P$ 点速度大，所以向心加速度 $\dfrac{v^2}{r}$ 也大”。$P$ 点在椭圆上的曲率半径不等于它到地心的距离，$\dfrac{v^2}{r}$ 中的 $r$ 不能取地心距离；从受力看最直接：同一点引力相同，加速度就相同。

例 4　（场景：转移轨道上的运行时间）卫星在近地圆轨道（半径约为地球半径 $R$）上运行，在 $P$ 点加速后沿椭圆轨道运动，到达远地点 $Q$ 时距地心 $3R$。已知 $R = 6.4 \times 10^6\ \mathrm{m}$，$g = 10\ \mathrm{m/s^2}$，求卫星从 $P$ 运动到 $Q$ 所用的时间。

解：

研究对象：卫星。

过程划分：两段：先在近地圆轨道上运动；在 $P$ 点加速后沿椭圆从 $P$ 到 $Q$，所求的是后一段，即半个椭圆周期。过程图同例 3 的图（轨道 1 为近地圆轨道，$Q$ 距地心 $3R$）。

分析：椭圆轨道的半长轴 $a = \dfrac{R + 3R}{2} = 2R$。椭圆和近地圆轨道绕同一中心天体，用开普勒第三定律求椭圆周期。近地圆轨道周期 $T_1 = 2\pi\sqrt{\dfrac{R}{g}}$（11.5）。

列式求解：近地轨道周期

$$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}} = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{6.4 \times 10^6}{10}}\ \mathrm{s} \approx 5.0 \times 10^3\ \mathrm{s}$$

由 $\dfrac{a^3}{T_2^2} = \dfrac{R^3}{T_1^2}$：

$$T_2 = T_1\left(\frac{2R}{R}\right)^{\frac{3}{2}} = 2\sqrt{2}\,T_1$$

从 $P$ 到 $Q$ 是半个周期：

$$t = \frac{T_2}{2} = \sqrt{2}\,T_1 \approx 1.41 \times 5.0 \times 10^3\ \mathrm{s} \approx 7.1 \times 10^3\ \mathrm{s}$$

约 $2\ \mathrm{h}$。

检验：$t$ 介于近地轨道半周期（约 $0.7\ \mathrm{h}$）和半径 $3R$ 圆轨道的半周期（$3^{1.5} \times 0.7\ \mathrm{h} \approx 3.6\ \mathrm{h}$）之间，合理。

容易卡在：把椭圆的半长轴取成 $3R$（远地点距离）。半长轴是近地点距离和远地点距离的平均值。

常用推论

• 第一宇宙速度 $v_1 = \sqrt{\dfrac{GM}{R}} = \sqrt{gR}$，两个星球比较时 $v_1 \propto \sqrt{\dfrac{M}{R}}$（例 1）。
• 变轨速度链：$v_{2P} > v_1 > v_3 > v_{2Q}$（升轨两次加速）；同一点加速度相同；周期随半长轴增大（本节推导）。
• 卫星从低轨到高轨，发动机两次做正功，机械能增大：$E_1 < E_2 < E_3$。在同一椭圆轨道上运行时只有引力做功，机械能守恒（第 14 章）。
• 第二宇宙速度是第一宇宙速度的 $\sqrt{2}$ 倍：$11.2 \approx 1.41 \times 7.9$。

易错点

• 错在哪：认为高轨道卫星运行速度小，所以发射它需要的速度也小。 为什么错：把“运行速度”和“发射速度”混为一谈。卫星升高要克服引力做功，发射时必须给更多动能。 正确做法：发射速度不小于 $7.9\ \mathrm{km/s}$，轨道越高发射速度越大，运行速度越小。
• 错在哪：认为卫星在椭圆轨道上经过 $P$ 点速度大，加速度也一定比在圆轨道上经过 $P$ 点时大。 为什么错：加速度由合力决定。同一点引力相同，加速度就相同；速度不同只影响轨道的弯曲程度。 正确做法：比较加速度只看到地心的距离：$a = \dfrac{GM}{r^2}$。
• 错在哪：想让后面的飞船在同一轨道上加速追上前面的空间站。 为什么错：直觉以为“加速就追得快”。加速后飞船离心升高，到了更高的轨道，周期变长，反而越落越远。 正确做法：从低轨道追，在合适位置加速升轨与目标会合。
• 错在哪：在椭圆轨道上用 $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ 求某点速度。 为什么错：这个式子来自“引力恰好等于所需向心力”，只对圆轨道成立；椭圆轨道上引力与所需向心力不相等。 正确做法：椭圆轨道两端的速度用开普勒第二定律比较（11.2），具体数值高中一般不要求。

直观理解

变轨就像在山坡上开车换道：想往高处去，先踩油门（加速），车冲上坡后速度自然变慢；到了高处再踩一脚油门，才能在高处那条路上稳稳地跑。所以升轨两次加速，最后的速度反而比原来小。

一句话：加速升轨，减速降轨；同点同加速度，周期看半长轴。

关联知识点

• 前置：11.5 圆轨道卫星的速度；11.2 开普勒第二、第三定律；第 10 章离心运动。
• 后续：第 14 章机械能守恒，卫星在椭圆轨道上机械能守恒、变轨时发动机做功改变机械能。
• 后续：第 20 章反冲，火箭靠喷气获得速度。
• 常一起考：11.5 同步卫星（发射同步卫星正是“近地轨道—转移轨道—同步轨道”三步）。

11.7 双星

说明

双星：两颗相距较近的恒星，在彼此的万有引力作用下绕它们连线上的某一点 $O$ 做匀速圆周运动，其他天体的影响忽略不计。

特点：

• 两星始终在同一条过 $O$ 的直线上，角速度和周期相同：$\omega_1 = \omega_2$，$T_1 = T_2$。
• 两星间的引力是一对作用力与反作用力，分别提供各自的向心力，向心力大小相等。
• 轨道半径之和等于两星间距：$r_1 + r_2 = L$。

由此得：

$$G\frac{m_1 m_2}{L^2} = m_1\omega^2 r_1 = m_2\omega^2 r_2$$ $$m_1 r_1 = m_2 r_2, \qquad r_1 = \frac{m_2}{m_1 + m_2}L, \qquad r_2 = \frac{m_1}{m_1 + m_2}L$$ $$m_1 + m_2 = \frac{4\pi^2 L^3}{GT^2}$$

使用场景

• 已知双星的周期和间距，求总质量（再给半径比就能求各自的质量）→ 双星模型 → $m_1 + m_2 = \dfrac{4\pi^2 L^3}{GT^2}$，$m_1 r_1 = m_2 r_2$。
• 已知两星质量比，比较轨道半径、线速度、向心加速度、向心力 → 角速度相同 → $r \propto \dfrac{1}{m}$，$v = \omega r$、$a = \omega^2 r$ 都与 $r$ 成正比。

注意点

• 万有引力公式中的距离是两星间距 $L$；向心力公式中的半径是各自到 $O$ 的距离 $r_1$、$r_2$。两者不能混用，这是双星题最常见的错误。
• 质量大的星离 $O$ 近、半径小、速度小；质量小的星绕大圈。$O$ 点就是两星的质心。
• 双星中没有“中心天体”，不能把其中一颗当成静止的中心，用 $G\dfrac{Mm}{L^2} = m\dfrac{4\pi^2}{T^2}L$ 计算（那样算出的是只有一颗星的质量，而且式子本身不成立）。

推导

对 $m_1$：引力提供向心力，$G\dfrac{m_1 m_2}{L^2} = m_1\omega^2 r_1$，得 $Gm_2 = \omega^2 r_1 L^2$。

对 $m_2$：$G\dfrac{m_1 m_2}{L^2} = m_2\omega^2 r_2$，得 $Gm_1 = \omega^2 r_2 L^2$。

两式相加：

$$G(m_1 + m_2) = \omega^2(r_1 + r_2)L^2 = \omega^2 L^3$$

（关键一步：利用 $r_1 + r_2 = L$，把两个未知的半径合成已知的间距。这一步之后 $r_1$、$r_2$ 都消失了，只剩总质量。）

代入 $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ 得 $m_1 + m_2 = \dfrac{4\pi^2 L^3}{GT^2}$。

两式相除得 $\dfrac{m_2}{m_1} = \dfrac{r_1}{r_2}$，即 $m_1 r_1 = m_2 r_2$。

例题

例 1　（场景：由周期和间距求质量）某双星系统中，两星间距 $L = 3.0 \times 10^{11}\ \mathrm{m}$，绕行周期 $T = 6.0 \times 10^7\ \mathrm{s}$，观测到两星的轨道半径之比 $r_1 : r_2 = 1 : 2$。求两星的总质量和各自的质量（$G = 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N \cdot m^2/kg^2}$）。

解：

研究对象：两颗恒星，分别列方程。

过程划分：各自做匀速圆周运动，一个状态。

分析：受力和轨道见本节“说明”的图。两星间的引力提供各自的向心力，角速度相同，$r_1 + r_2 = L$。

列式求解：由本节推导，

$$m_1 + m_2 = \frac{4\pi^2 L^3}{GT^2} = \frac{4 \times 3.14^2 \times (3.0 \times 10^{11})^3}{6.67 \times 10^{-11} \times (6.0 \times 10^7)^2}\ \mathrm{kg} \approx 4.4 \times 10^{30}\ \mathrm{kg}$$

由 $m_1 r_1 = m_2 r_2$，$\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{r_2}{r_1} = 2$，所以

$$m_1 = \frac{2}{3} \times 4.4 \times 10^{30}\ \mathrm{kg} \approx 3.0 \times 10^{30}\ \mathrm{kg}, \qquad m_2 = \frac{1}{3} \times 4.4 \times 10^{30}\ \mathrm{kg} \approx 1.5 \times 10^{30}\ \mathrm{kg}$$

检验：两星质量都是太阳质量（$2.0 \times 10^{30}\ \mathrm{kg}$）的量级，合理。半径小的 $m_1$ 质量大，符合“重的绕小圈”。

容易卡在：列 $m_1$ 的方程时把引力中的距离写成 $r_1$。

例 2　（场景：比较两星的运动参量）双星中 $m_1 = 3m_2$，比较两星的轨道半径、线速度、向心加速度、向心力之比。

解：$r_1 : r_2 = 1 : 3$，$v_1 : v_2 = 1 : 3$，$a_1 : a_2 = 1 : 3$，向心力之比 $1 : 1$。

判断依据：双星的角速度相同、向心力相等。

• 半径：$m_1 r_1 = m_2 r_2$，$\dfrac{r_1}{r_2} = \dfrac{m_2}{m_1} = \dfrac{1}{3}$。
• 线速度：$v = \omega r$，$\omega$ 相同，$v_1 : v_2 = r_1 : r_2 = 1 : 3$。
• 向心加速度：$a = \omega^2 r$，$a_1 : a_2 = 1 : 3$。也可以用 $a = \dfrac{F}{m}$：力相同，质量比 $3 : 1$，加速度比 $1 : 3$，一致。
• 向心力：都等于两星间的引力，相等。

常用推论

• 质量与半径成反比：$m_1 r_1 = m_2 r_2$；线速度、向心加速度与半径成正比（本节推导）。
• 总质量 $m_1 + m_2 = \dfrac{4\pi^2 L^3}{GT^2}$，与开普勒第三定律形式相同，只是 $M$ 换成总质量、$r$ 换成间距 $L$。
• 由上式，总质量不变时 $T \propto L^{3/2}$：两星间距变为原来的 4 倍，周期变为 8 倍。

易错点

• 错在哪：引力公式写成 $G\dfrac{m_1 m_2}{r_1^2}$。 为什么错：直觉把“轨道半径”当成“两天体的距离”，这在卫星问题中成立（中心天体在圆心），在双星中不成立：圆心 $O$ 处没有天体。 正确做法：引力用两星间距 $L$，向心力用各自的轨道半径。
• 错在哪：认为质量大的星向心力大，或线速度大。 为什么错：两星向心力来自同一对相互作用力，大小相等；角速度相同时，半径小的线速度小。 正确做法：先写”$\omega$ 相同，$F$ 相同”，再由 $m_1 r_1 = m_2 r_2$ 推其他量。

直观理解

双星像两个人手拉手转圈：两人转一圈的时间一样，体重大的站得离中心近、几乎原地转，体重小的绕大圈跑。拉手的力对两个人一样大。

关联知识点

• 前置：11.3 万有引力定律；第 10 章同轴转动角速度相同、向心力公式。
• 前置：第 6 章牛顿第三定律，两星的引力大小相等。
• 后续：第 20 章动量守恒中的质心；双星的 $m_1 r_1 = m_2 r_2$ 与人船模型的 $m_1 x_1 = m_2 x_2$ 形式相同。
• 常一起考：11.4 天体质量的求法。

11.8 牛顿力学的局限性与相对论初步

说明

牛顿力学（经典力学）的适用范围：低速（速度远小于光速 $c$）、宏观、弱引力场。在这个范围内，牛顿力学极其精确，航天器的轨道计算至今仍用它。超出这个范围：

• 高速（速度接近光速）：要用爱因斯坦的狭义相对论；
• 微观（分子、原子、电子）：要用量子力学（第 35 章）；
• 强引力（中子星、黑洞附近，或需要极高精度的天体运动）：要用广义相对论。例如水星近日点的进动，比牛顿力学的计算值每百年多出约 $43''$，广义相对论给出了解释。

相对论和量子力学没有否定牛顿力学：当速度远小于光速时，相对论的结论回到牛顿力学，牛顿力学是相对论在低速下的特例。

狭义相对论的两个基本假设（爱因斯坦，1905 年）：

1. 相对性原理：在不同的惯性参考系中，一切物理规律都是相同的。
2. 光速不变原理：真空中的光速在不同的惯性参考系中都是相同的，$c = 3.0 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$，与光源和观察者的运动无关。

相对论时空观的几个结论：

• 同时的相对性：在一个参考系中同时发生的两件事，在另一个相对它运动的参考系中可能不同时。
• 时间延缓（运动的钟变慢）：在相对于钟静止的参考系中测得的时间间隔为 $\Delta\tau$，在钟以速度 $v$ 运动的参考系中测得

$$\Delta t = \frac{\Delta\tau}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}$$

$\Delta t > \Delta\tau$。

• 长度收缩（运动的尺缩短）：杆静止时长度为 $l_0$，沿杆的方向以速度 $v$ 运动时，测得长度

$$l = l_0\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$$

$l < l_0$，只在运动方向上收缩，垂直方向不变。

在牛顿力学中，时间和长度都是“绝对的”，与参考系无关；在相对论中，它们与观察者的运动有关。

使用场景

• 选择题问某个情境能否用牛顿力学处理 → 看速度是否接近光速、对象是否是微观粒子、引力是否极强 → 低速宏观弱引力就能用。
• 物体以接近光速的速度运动，问另一个参考系测得的时间或长度 → 狭义相对论 → 时间延缓、长度收缩公式，先分清谁测的是“静止时”的量。
• 问运动光源发出的光速、或“光速加上光源速度” → 光速不变原理 → 任何惯性系中测得的光速都是 $c$。

注意点

• 两个公式中，$\Delta\tau$ 和 $l_0$ 都是在相对物体静止的参考系中测得的（固有时间、固有长度），它们是同类量中的最小时间、最大长度。
• 效果是相互的：地面上的人看飞船上的钟变慢，飞船上的人也看地面上的钟变慢。
• 低速时 $\dfrac{v^2}{c^2}$ 极小，$\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} \approx 1$，效应可以忽略。以 $7.9\ \mathrm{km/s}$ 运行的卫星，$\dfrac{v^2}{c^2} \approx 7 \times 10^{-10}$。但卫星导航要求极高的时间精度，北斗、GPS 卫星的时钟都要做相对论修正。
• 物体的速度不能超过真空中的光速 $c$。

推导

实验基础：19 世纪末，迈克耳孙和莫雷用干涉仪测量地球沿不同方向运动时的光速，按牛顿力学的速度合成，应该测到差别，结果没有测到（1887 年）。爱因斯坦把“光速不变”作为基本假设，建立了狭义相对论。

由光速不变推出时间延缓（光钟）：设想飞船里有一个“光钟”：上下两面镜子相距 $d$，光在两镜间往返一次算一次“嘀嗒”。

• 飞船上的人看：光竖直往返，路程 $2d$，用时 $\Delta\tau = \dfrac{2d}{c}$。
• 地面上的人看：飞船以 $v$ 向右运动，光走斜线。设地面测得一次往返用时 $\Delta t$，光上行半程的时间内，飞船前进 $\dfrac{v\Delta t}{2}$，光走过的斜边长 $\dfrac{c\Delta t}{2}$。由勾股定理：

$$\left(\frac{c\Delta t}{2}\right)^2 = d^2 + \left(\frac{v\Delta t}{2}\right)^2$$

（关键一步：地面上的人测得的光速仍是 $c$，不是牛顿力学中的 $\sqrt{c^2 + v^2}$。正因为光速不变而路程变长，所用时间才变长。）

解得 $\Delta t = \dfrac{2d}{\sqrt{c^2 - v^2}} = \dfrac{\Delta\tau}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}$。

长度收缩公式可以由时间延缓推出（同一段距离，两个参考系测得的相对速度相同、时间不同），这里不展开，记住结论即可。

实验验证：宇宙线在高空产生的 $\mu$ 子，静止时的平均寿命约 $2.2\ \mu\mathrm{s}$，即使以光速飞行，按牛顿力学平均也只能走约 $660\ \mathrm{m}$，却有大量 $\mu$ 子从十几千米高空到达地面。按相对论，高速运动的 $\mu$ 子在地面看来寿命延长了许多倍，与观测相符。

例题

例 1　（场景：牛顿力学的适用范围）下列运动中，不能用牛顿力学准确描述的是（　）。

A. 高铁以 $350\ \mathrm{km/h}$ 的速度行驶 B. 人造卫星以 $7.9\ \mathrm{km/s}$ 的速度绕地球运行 C. 粒子加速器中速度达到 $0.9c$ 的电子的运动 D. 地球绕太阳的公转

解：C。

判断依据：牛顿力学适用于低速、宏观、弱引力的情形。

A、B、D 的速度都远小于光速（卫星的 $\dfrac{v}{c}$ 约 $2.6 \times 10^{-5}$），对象是宏观物体，牛顿力学适用。C 中电子速度接近光速，要用相对论。

例 2　（场景：高速运动的时间和长度）一艘飞船以 $v = 0.8c$ 的速度相对地面沿船身方向飞行，飞船静止时长 $100\ \mathrm{m}$。飞船上的宇航员测得某次实验持续了 $3.0\ \mathrm{s}$。求：（1）地面上的观察者测得的飞船长度；（2）地面上的观察者测得这次实验持续的时间。

解：

研究对象：飞船（长度）和飞船上的实验（时间）。

过程划分：不涉及过程，比较两个参考系的测量结果。

分析：$100\ \mathrm{m}$ 是飞船静止时的长度，即固有长度 $l_0$；$3.0\ \mathrm{s}$ 是在飞船（相对实验静止）上测得的，即固有时间 $\Delta\tau$。地面看飞船在运动，用长度收缩和时间延缓公式。先算 $\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} = \sqrt{1 - 0.64} = 0.6$。

列式求解：

$$l = l_0\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = 100 \times 0.6\ \mathrm{m} = 60\ \mathrm{m}$$ $$\Delta t = \frac{\Delta\tau}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} = \frac{3.0}{0.6}\ \mathrm{s} = 5.0\ \mathrm{s}$$

检验：方向：运动的尺缩短（$60 < 100$），运动的钟变慢（地面测得的时间更长，$5.0 > 3.0$），合理。若 $v \to 0$，两个结果都回到 $100\ \mathrm{m}$ 和 $3.0\ \mathrm{s}$，与牛顿力学一致。

容易卡在：分不清哪个是固有量。问自己：这个量是在相对物体静止的参考系里测的吗？是，就是 $l_0$ 或 $\Delta\tau$。

例 3　（场景：光速不变）一艘飞船以 $0.5c$ 的速度相对地面飞行，向正前方发出一束光。地面上的观察者测得这束光的速度是多少？

解：$c$。

判断依据：光速不变原理：真空中的光速在任何惯性参考系中都是 $c$，与光源的运动无关。

按牛顿力学的速度合成会得到 $1.5c$，这在高速情形下不成立。牛顿力学的速度合成只在低速时近似正确。

常用推论

• 固有时间最短、固有长度最长：任何相对物体运动的观察者测得的时间都更长，长度都更短（本节说明的两个公式）。
• $\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}$ 的常用值：$v = 0.6c$ 时为 $0.8$，$v = 0.8c$ 时为 $0.6$。
• $v \ll c$ 时相对论回到牛顿力学，日常和航天计算不用考虑相对论效应（导航授时等极高精度场合除外）。

易错点

• 错在哪：认为相对论推翻了牛顿力学，牛顿力学“错了”。 为什么错：相对论在低速时的结论与牛顿力学完全一致，牛顿力学是它的特例，在适用范围内依然正确。 正确做法：说“牛顿力学有适用范围”，而不是“牛顿力学是错的”。
• 错在哪：认为运动的物体在各个方向都缩短。 为什么错：长度收缩只发生在运动方向上，垂直于运动方向的长度不变。 正确做法：只有沿速度方向的长度乘 $\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}$。
• 错在哪：认为只有地面的人看飞船的钟变慢，飞船上的人看地面的钟变快。 为什么错：直觉以为存在一个“真正静止”的参考系。两个惯性系地位平等，彼此都看到对方的钟变慢。 正确做法：先确定“谁测量、被测的东西相对谁静止”，再套公式。

直观理解

把 $\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}$ 看成一个“缩放因子”：日常速度下它几乎就是 1，所以我们感觉时间、长度是绝对的；只有速度接近光速时它才明显小于 1。牛顿力学是“慢速世界”的规律，相对论是“任意速度”的规律。一句话：运动的钟变慢，运动的尺缩短，光速对谁都一样。

关联知识点

• 前置：第 2 章参考系；第 8 章运动的合成（牛顿力学的速度合成，高速时不成立）。
• 后续：第 35 章波粒二象性，微观领域牛顿力学的局限。
• 后续：第 36 章质量亏损与结合能，用到质能方程 $E = mc^2$，同样来自狭义相对论。
• 常一起考：附录 D 物理学史（牛顿、爱因斯坦、迈克耳孙–莫雷实验）。

11.9 知识点之间的关系

本章的主线是一个式子：万有引力提供向心力。11.3 给出引力，第 10 章给出向心力，两者相等，换不同的未知量就是 11.4（求 $M$）、11.5（求 $v$、$T$）、11.6（$r = R$ 时的第一宇宙速度）和 11.7（两颗星各写一个）。开普勒定律（11.2）既是万有引力定律的来源，又在变轨中用来比较周期。11.8 给整个牛顿力学划定了边界：速度接近光速时，这一切要改用相对论。

11.10 自测

1. 哈雷彗星绕太阳运行的周期约为 76 年，它的轨道半长轴约是地球公转半径的多少倍？
2. 某行星近日点到太阳的距离与远日点到太阳的距离之比为 $2 : 3$，求它在近日点和远日点的速度之比。
3. 两个质点间的距离变为原来的 2 倍，两个质点的质量都变为原来的 2 倍，它们之间的万有引力变为原来的多少倍？
4. 不计地球自转，离地面高度等于地球半径 2 倍处的重力加速度是地面的多少倍？
5. 某星球表面的重力加速度为 $4\ \mathrm{m/s^2}$，半径为 $3.0 \times 10^6\ \mathrm{m}$，不计自转，求该星球的质量（$G = 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N \cdot m^2/kg^2}$）。
6. 两颗地球卫星的轨道半径之比为 $1 : 4$，求它们的线速度之比和周期之比。
7. 下列说法正确的是（　）。A. 同步卫星可以定点在北京正上方　B. 同步卫星的线速度大于 $7.9\ \mathrm{km/s}$　C. 所有地球静止轨道卫星离地面的高度都相同　D. 质量大的同步卫星轨道低
8. 某星球的质量和半径都是地球的 2 倍，它的第一宇宙速度是多少？（地球的为 $7.9\ \mathrm{km/s}$）
9. 卫星从圆轨道 1 上的 $P$ 点加速进入椭圆轨道 2。卫星在轨道 1 上经过 $P$ 点的加速度与在轨道 2 上经过 $P$ 点的加速度相比，哪个大？
10. 双星的质量之比 $m_1 : m_2 = 1 : 2$，求它们的轨道半径之比和线速度之比。
11. 飞船以 $0.6c$ 的速度相对地面飞行，飞船上测得某过程用时 $4.0\ \mathrm{s}$，地面测得用时多少？飞船静止时长 $50\ \mathrm{m}$，地面测得船长多少？

答案：1. 约 18 倍；2. $3 : 2$；3. 1 倍（不变）；4. $\dfrac{1}{9}$；5. 约 $5.4 \times 10^{23}\ \mathrm{kg}$；6. 线速度之比 $2 : 1$，周期之比 $1 : 8$；7. C；8. $7.9\ \mathrm{km/s}$；9. 相等；10. 轨道半径之比 $2 : 1$，线速度之比 $2 : 1$；11. $5.0\ \mathrm{s}$，$40\ \mathrm{m}$。

11.11 深入阅读

• PhET · 引力与轨道：调节恒星、行星、卫星的质量和距离，看轨道怎么变；可以关掉引力看物体沿切线飞走。
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