第 16 章 · 静电场的能的性质

项目	内容
课标主题	必修 3 · 静电场（知道静电场中的电荷具有电势能；了解电势能、电势和电势差的含义；知道匀强电场中电势差与电场强度的关系；能分析带电粒子在电场中的运动情况；观察常见的电容器，了解电容器的电容，观察电容器的充、放电现象）
人教版（2019）	必修第三册 第十章“静电场中的能量”：1 电势能和电势；2 电势差；3 电势差与电场强度的关系；4 电容器的电容；5 带电粒子在电场中的运动。第 4 节的实验“观察电容器的充、放电现象”见第 40 章
考试地位	电势、电势能、等势面的判断几乎每卷都有一道选择题；电容器的动态分析常考选择题；带电粒子的加速和偏转常作计算题，也常和第 26 章的磁场组合成压轴题的前几问
前置知识	第 15 章电场强度、电场线；第 12 章功；第 13 章动能定理；第 14 章重力势能与功能关系；第 9 章平抛运动

第 15 章从“力”的角度描述电场：电荷放进去受多大的力。这一章换成“能”的角度：电荷在电场里移动，静电力做多少功，电势能怎么变。两个角度对应力学里的牛顿定律和能量方法，很多题用能的角度做要简单得多。丢分集中在三处：电势、电势能、电势差的正负号弄混；电容器动态分析不先判断“电压不变还是电荷量不变”；偏转题里把静电力做的功写成 $qU$（$U$ 是整个偏转电压）。

16.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
16.2 电势能与电势	静电力做功与路径无关，所以有电势能；电势 $\varphi = \dfrac{E_{\text{p}}}{q}$ 由电场本身决定，沿电场线方向降低	必考，选择题比较电势和电势能
16.3 电势差	$U_{AB} = \varphi_A - \varphi_B$，$W_{AB} = qU_{AB}$，任何电场都能用，三个量都带符号	必用，求功和电势的基本工具
16.4 电势差与电场强度的关系	匀强电场中 $U = Ed$，$d$ 是沿电场线方向的距离；直线上电势均匀变化	常考，平行板和“等分法”找等势线
16.5 等势面	等势面与电场线垂直，电场线从高电势指向低电势；等差等势面密处场强大	必考，常和带电粒子的轨迹一起出选择题
16.6 电容器与电容	$C = \dfrac{Q}{U}$ 是定义，$C = \dfrac{\varepsilon_{\text{r}} S}{4\pi k d}$ 是决定式；动态分析先判断 $U$ 不变还是 $Q$ 不变	常考选择题
16.7 带电粒子在电场中的加速和偏转	加速用动能定理 $qU = \Delta E_{\text{k}}$；垂直射入匀强电场做类平抛运动	常考计算题，也是电磁组合题的开头

16.2 电势能与电势

说明

静电力做功的特点：电荷在静电场中从 $A$ 移到 $B$，静电力做的功只与始末位置有关，与路径无关。在匀强电场中：

$$W_{AB} = qEd$$

$d$ 是 $A$、$B$ 沿电场方向的距离（位移在电场方向上的投影）。

电势能：因为做功与路径无关，电荷在电场中某一位置就有确定的势能，叫电势能，记作 $E_{\text{p}}$。静电力做的功等于电势能的减少量：

$$W_{AB} = E_{\text{p}A} - E_{\text{p}B}$$

静电力做正功，电势能减少；做负功，电势能增加。电势能是相对的，要先规定零势能位置，通常取无穷远处或大地为零。电荷在 $A$ 点的电势能，等于把它从 $A$ 移到零势能位置时静电力做的功。

电势：电荷在某点的电势能与它的电荷量之比，叫这一点的电势：

$$\varphi = \frac{E_{\text{p}}}{q}$$

单位是伏特，$1\ \mathrm{V} = 1\ \mathrm{J/C}$。电势由电场本身和零电势位置决定，与放不放试探电荷、放多大的电荷无关。电势是标量，有正负：正值表示比零电势高，负值表示比零电势低（第 1 章 1.3 节注意点：电势的正负不表示方向）。

反过来，电荷在某点的电势能：

$$E_{\text{p}} = q\varphi$$

$q$ 和 $\varphi$ 都带正负号代入。

沿电场线方向，电势逐渐降低。

理想模型：试探电荷，电荷量足够小，放进去不改变原来的电场。

力学	静电场
重力做功与路径无关	静电力做功与路径无关
重力势能 $E_{\text{p}} = mgh$	电势能 $E_{\text{p}} = q\varphi$
高度 $h$（与质量无关）	电势 $\varphi$（与电荷量无关）
重力做正功，重力势能减少	静电力做正功，电势能减少

使用场景

• 题目问电荷从一点移到另一点，静电力做了多少功、电势能怎么变（匀强电场，给了场强和位置）→ 恒力做功 → $W = qEd$，再由 $W_{AB} = E_{\text{p}A} - E_{\text{p}B}$ 求电势能和电势。
• 给出电场线分布，比较两点电势高低，或判断移动电荷时静电力做功的正负 → 电场线方向就是电势降低的方向 → 先比电势，再看电荷正负定功的正负。
• 已知两点电势和电荷的正负，比较电势能大小或求功 → 电势能 → $E_{\text{p}} = q\varphi$，$q$、$\varphi$ 都带符号。

注意点

• 正负号：$E_{\text{p}} = q\varphi$ 中，负电荷在电势高的地方电势能小。$q = -2\ \mathrm{C}$ 放在 $\varphi = 10\ \mathrm{V}$ 处，$E_{\text{p}} = -20\ \mathrm{J}$；放在 $\varphi = -10\ \mathrm{V}$ 处，$E_{\text{p}} = 20\ \mathrm{J}$，反而更大。
• 电势和电势能的数值都与零点的选取有关；换零点，所有点的电势同加同减一个数，电势的高低顺序不变。
• 电势由电场决定，场强也由电场决定，但两者没有大小上的对应：场强大的地方电势不一定高，电势为零的地方场强不一定为零。
• $W_{AB} = qEd$ 只适用于匀强电场；非匀强电场求功用 16.3 节的 $W_{AB} = qU_{AB}$。
• 单位：$\mathrm{J}$、$\mathrm{C}$、$\mathrm{V}$。电荷量常给成 $\mu\mathrm{C}$（$10^{-6}\ \mathrm{C}$）、$\mathrm{nC}$（$10^{-9}\ \mathrm{C}$），列式前换算。

推导

匀强电场中静电力做功与路径无关：电荷 $q$ 从 $A$ 移到 $B$，比较三条路径。

1. 沿直线 $AB$：静电力 $qE$ 是恒力，做功 $W = qE \cdot |AB|\cos\theta = qE \cdot |AC|$。
2. 沿折线 $A \to C \to B$：$AC$ 沿电场方向，做功 $qE \cdot |AC|$；$CB$ 垂直电场方向，静电力不做功。总功 $qE \cdot |AC|$。
3. 沿任意曲线：把曲线分成许多小段，每一小段都可以看成“沿电场方向走一小步、再垂直电场方向走一小步”。垂直的小步不做功，沿电场方向的小步加起来，总是 $|AC|$。

（关键一步：静电力是恒力，只有沿电场方向的位移才做功，所以功只取决于始末两点沿电场方向相距多远。）

非匀强电场也是如此：每一小段路径上电场近似匀强，结论对每一小段成立。严格的证明要用大学电磁学的“静电场是保守场”（环路积分为零），高中承认这个结论即可。

为什么能定义电势能：和重力一样（第 14 章），做功与路径无关的力，才能定义一个只和位置有关的势能。如果功与路径有关（如摩擦力），从 $A$ 到 $B$ 的“势能差”就说不清。

为什么电势与 $q$ 无关：取 $O$ 为零势能点，$E_{\text{p}A} = W_{AO}$。在匀强电场中 $W_{AO} = qEd_{AO}$，与 $q$ 成正比；一般电场中每一小段的功也都与 $q$ 成正比。所以 $\dfrac{E_{\text{p}A}}{q}$ 只由电场和位置决定。这和”$\dfrac{F}{q}$ 与 $q$ 无关，所以用它定义场强”（第 15 章）是同一种比值定义法。

为什么沿电场线电势降低：把正电荷顺着电场线移动，静电力与位移同向，做正功，电势能减少；$q > 0$，$\varphi = \dfrac{E_{\text{p}}}{q}$ 随之减小。

例题

例 1　（场景：匀强电场中求功和电势能）匀强电场的场强 $E = 2.0 \times 10^3\ \mathrm{N/C}$，方向水平向右。把电荷量 $q = +2.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$ 的点电荷从 $A$ 点移到 $B$ 点，$AB = 0.5\ \mathrm{m}$，$AB$ 与电场方向成 $60^\circ$ 角。求：（1）静电力做的功；（2）电势能变化了多少；（3）若取 $A$ 点为零势能点，电荷在 $B$ 点的电势能和 $B$ 点的电势。

解：

研究对象：点电荷 $q$。

过程划分：一个过程，从 $A$ 到 $B$。

分析：匀强电场，静电力 $qE$ 是恒力、方向向右。做功只看沿电场方向的距离 $d = AM$。

列式求解：（1）$d = AB\cos 60^\circ = 0.5 \times 0.5\ \mathrm{m} = 0.25\ \mathrm{m}$。

$$W_{AB} = qEd = 2.0 \times 10^{-6} \times 2.0 \times 10^3 \times 0.25\ \mathrm{J} = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{J}$$

（2）静电力做正功，电势能减少 $1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{J}$（用的是 $W_{AB} = E_{\text{p}A} - E_{\text{p}B}$）。

（3）$E_{\text{p}A} = 0$，所以 $E_{\text{p}B} = E_{\text{p}A} - W_{AB} = -1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{J}$。

$$\varphi_B = \frac{E_{\text{p}B}}{q} = \frac{-1.0 \times 10^{-3}}{2.0 \times 10^{-6}}\ \mathrm{V} = -500\ \mathrm{V}$$

检验：单位 $\mathrm{C} \times \mathrm{N/C} \times \mathrm{m} = \mathrm{N \cdot m} = \mathrm{J}$，对。方向：$B$ 在 $A$ 的“电场线下游”，电势应比 $A$ 低，$\varphi_B < \varphi_A = 0$，对。

容易卡在：直接用 $W = qE \cdot AB$，忘了乘 $\cos 60^\circ$。

例 2　（场景：由电场线比较电势和功的正负）一条电场线上有 $A$、$B$ 两点，电场线方向由 $A$ 指向 $B$。把一个负电荷从 $A$ 移到 $B$。下列说法正确的是（　）。

A. $A$ 点电势低于 $B$ 点　B. 静电力对负电荷做正功　C. 负电荷的电势能增加　D. $A$ 点场强一定大于 $B$ 点

解：C。

判断依据：沿电场线方向电势降低；负电荷所受静电力与电场方向相反。

电场线由 $A$ 指向 $B$，所以 $\varphi_A > \varphi_B$，A 错。负电荷受力方向由 $B$ 指向 $A$，与位移相反，静电力做负功，B 错；做负功则电势能增加，C 对（也可由 $E_{\text{p}} = q\varphi$ 判断：$q < 0$，$\varphi$ 降低，$E_{\text{p}}$ 增大）。一条电场线看不出疏密，场强大小无法比较，D 错。

例 3　（场景：用 $E_{\text{p}} = q\varphi$ 比较电势能）电场中 $A$ 点电势 $\varphi_A = 20\ \mathrm{V}$，$B$ 点电势 $\varphi_B = -10\ \mathrm{V}$。电荷量 $q = -3.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$ 的点电荷在哪一点电势能大？把它从 $A$ 移到 $B$，静电力做多少功？

解：

研究对象：点电荷 $q$。

过程划分：从 $A$ 到 $B$，一个过程。

分析：已知两点电势和电荷量，用 $E_{\text{p}} = q\varphi$ 求两点的电势能，再用 $W_{AB} = E_{\text{p}A} - E_{\text{p}B}$ 求功。

列式求解：

$$E_{\text{p}A} = q\varphi_A = (-3.0 \times 10^{-6}) \times 20\ \mathrm{J} = -6.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{J}$$ $$E_{\text{p}B} = q\varphi_B = (-3.0 \times 10^{-6}) \times (-10)\ \mathrm{J} = 3.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{J}$$

$E_{\text{p}B} > E_{\text{p}A}$，在 $B$ 点电势能大。

$$W_{AB} = E_{\text{p}A} - E_{\text{p}B} = -6.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{J} - 3.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{J} = -9.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{J}$$

静电力做负功 $9.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{J}$。

检验：负电荷从高电势移到低电势，电势能应增加，静电力做负功，和结果一致。

容易卡在：只比较电势，以为“电势高的地方电势能大”。这句话只对正电荷成立。

常用推论

• 正电荷在电势高处电势能大，负电荷在电势高处电势能小。由 $E_{\text{p}} = q\varphi$ 直接得出。
• 静电力做正功，电势能一定减少，与电荷的正负无关。由 $W_{AB} = E_{\text{p}A} - E_{\text{p}B}$ 得出。
• 只有静电力做功时，动能和电势能之和保持不变；还有重力做功时，动能、重力势能、电势能三者之和不变。推导和机械能守恒相同（第 14 章）：每种力做的功都等于对应势能的减少，合起来等于动能的增加。
• 取无穷远为零电势：正点电荷周围各点电势为正，离电荷越近越高；负点电荷周围各点电势为负，离电荷越近越低。由“沿电场线电势降低”得出（正电荷的电场线指向无穷远）。

易错点

• 错在哪：认为场强大的地方电势一定高。 为什么错：把“电场强”和“电势高”当成一回事，像把“坡陡”当成“地势高”。反例：负点电荷附近场强很大，电势却很低（取无穷远为零时是负值）。 正确做法：场强看电场线疏密，电势看电场线方向，两件事分开判断。
• 错在哪：认为电势为零的地方场强也为零。 为什么错：电势的零点是人为选的。等量异种电荷连线的中点，取无穷远为零时电势为零，场强却不为零（16.5 节）。 正确做法：电势是否为零只取决于零点怎么选；场强是否为零看各电荷的场是否抵消。
• 错在哪：负电荷代入 $E_{\text{p}} = q\varphi$ 时不带负号，得出“负电荷在高电势处电势能大”。 为什么错：直觉把电势能当成和电势同步变化的量，忽略了 $q$ 的符号。 正确做法：$q$、$\varphi$ 都带符号代入，比较时按代数大小比，$3 > -6$。

直观理解

把电势想成“电的高度”：电场线就是下坡方向。正电荷像石块，顺着下坡滚，电势能减少；负电荷像氢气球，往“上坡”飘才是自发的方向，被拉着下坡时电势能反而增加。

关联知识点

• 前置：第 14 章重力势能、功能关系，电势能的引入和它完全平行。
• 前置：第 15 章电场线，电场线方向决定电势高低。
• 前置：第 1 章 1.3 节，电势是有正负的标量。
• 后续：16.3 节电势差，把“两点电势之差”和功直接联系起来。
• 后续：第 34 章玻尔模型，氢原子的能级为负值，就是因为取无穷远为电势能零点。
• 常一起考：16.5 节等势面与粒子轨迹，判断电势能和动能的变化。

16.3 电势差

说明

电势差：电场中两点电势之差，也叫电压：

$$U_{AB} = \varphi_A - \varphi_B, \qquad U_{BA} = \varphi_B - \varphi_A = -U_{AB}$$

下标的顺序表示“从 $A$ 到 $B$”。$U_{AB} > 0$ 表示 $A$ 点电势比 $B$ 点高。电势差与零电势的选取无关。

电势差与静电力做功：

$$W_{AB} = qU_{AB}, \qquad U_{AB} = \frac{W_{AB}}{q}$$

这个式子对任何静电场都成立，不要求匀强。$U_{AB}$ 由电场中 $A$、$B$ 两点的位置决定，与移动的电荷、与是否移动电荷都无关，$\dfrac{W_{AB}}{q}$ 是它的比值定义。

符号约定：$W_{AB}$、$q$、$U_{AB}$ 三个量都带正负号代入。$W_{AB} > 0$ 表示静电力做正功。

电子伏特：一个电子（或质子）经过 $1\ \mathrm{V}$ 电势差，静电力做功的大小叫 $1\ \mathrm{eV}$：

$$1\ \mathrm{eV} = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C} \times 1\ \mathrm{V} = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}$$

使用场景

• 电场不是匀强的（点电荷的场、不规则的场），已知两点电势差，问移动电荷时静电力做的功 → 不能用 $W = qEd$ → 用 $W_{AB} = qU_{AB}$。
• 已知移动电荷时静电力做的功，求两点电势差或某点的电势 → 比值定义 → $U_{AB} = \dfrac{W_{AB}}{q}$，再由 $U_{AB} = \varphi_A - \varphi_B$ 和选定的零点求电势。
• 带电体只受静电力（或其他力不做功），从一点运动到另一点，问速度 → 动能定理 → $qU_{AB} = \dfrac{1}{2}mv_B^2 - \dfrac{1}{2}mv_A^2$。

注意点

• 下标顺序不能随意颠倒：$U_{AB}$ 和 $U_{BA}$ 互为相反数。求功时，电荷从哪点到哪点，就用哪个顺序。
• 两种处理符号的方法，选一种用到底：一是 $q$、$U$、$W$ 都带符号代入；二是只用绝对值算大小，再用“正电荷从高电势到低电势，静电力做正功”判断正负。混用最容易出错。
• 电势差和高度差一样与零点无关；电势和高度一样与零点有关。
• $W_{AB} = qU_{AB}$ 求的只是静电力做的功；有其他力做功时，用动能定理要把其他力的功一起算上。
• 电子伏特是能量单位，不是电压单位。

推导

由 16.2 节，$W_{AB} = E_{\text{p}A} - E_{\text{p}B}$，而 $E_{\text{p}A} = q\varphi_A$，$E_{\text{p}B} = q\varphi_B$：

$$W_{AB} = q\varphi_A - q\varphi_B = q(\varphi_A - \varphi_B) = qU_{AB}$$

（关键一步：$E_{\text{p}A}$ 和 $E_{\text{p}B}$ 是对同一个零点算的，相减时零点的影响抵消，所以 $W_{AB}$ 和 $U_{AB}$ 都与零点无关。这也是为什么 $W_{AB} = qU_{AB}$ 不要求匀强电场：推导中只用到了“做功与路径无关”。）

例题

例 1　（场景：非匀强电场中求功）点电荷的电场中，$A$、$B$ 两点间的电势差 $U_{AB} = 60\ \mathrm{V}$。把一个电子从 $A$ 移到 $B$，静电力做多少功？电子的电势能怎么变？（电子电荷量 $-e = -1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$）

解：

研究对象：电子。

过程划分：从 $A$ 到 $B$，一个过程。

分析：点电荷的电场不是匀强电场，不能用 $W = qEd$，用 $W_{AB} = qU_{AB}$，$q$、$U$ 都带符号。

列式求解：

$$W_{AB} = qU_{AB} = (-1.6 \times 10^{-19}) \times 60\ \mathrm{J} = -9.6 \times 10^{-18}\ \mathrm{J}$$

即 $-60\ \mathrm{eV}$。静电力做负功，电子的电势能增加 $9.6 \times 10^{-18}\ \mathrm{J}$（$60\ \mathrm{eV}$）。

检验：$U_{AB} > 0$，$A$ 点电势高；电子带负电，从高电势移到低电势，电势能应增加，一致。

另一种解法：只算大小：$|W| = e|U| = 1.6 \times 10^{-19} \times 60\ \mathrm{J} = 9.6 \times 10^{-18}\ \mathrm{J}$。再定正负：$U_{AB} > 0$ 说明 $A$ 高 $B$ 低，负电荷从高电势到低电势，电势能增加，静电力做负功。选择题只问“做正功还是负功”“电势能增大还是减小”时，绝对值法更快；多步计算（几段连着算、要求某点电势）时，带符号代入不容易乱。

例 2　（场景：由功求电势差和电势）把电荷量 $q = 2.0 \times 10^{-8}\ \mathrm{C}$ 的正电荷从 $A$ 点移到 $B$ 点，静电力做功 $4.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{J}$；再从 $B$ 点移到 $C$ 点，静电力做功 $-6.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{J}$。（1）求 $U_{AB}$、$U_{BC}$、$U_{AC}$；（2）若取 $B$ 点电势为零，求 $A$、$C$ 两点的电势。

解：

研究对象：电荷 $q$。

过程划分：$A \to B$、$B \to C$ 两段。

分析：已知每段的功，用 $U = \dfrac{W}{q}$ 求每段的电势差；$U_{AC} = U_{AB} + U_{BC}$。

列式求解：（1）

$$U_{AB} = \frac{W_{AB}}{q} = \frac{4.0 \times 10^{-6}}{2.0 \times 10^{-8}}\ \mathrm{V} = 200\ \mathrm{V}, \qquad U_{BC} = \frac{W_{BC}}{q} = \frac{-6.0 \times 10^{-6}}{2.0 \times 10^{-8}}\ \mathrm{V} = -300\ \mathrm{V}$$ $$U_{AC} = U_{AB} + U_{BC} = 200\ \mathrm{V} + (-300\ \mathrm{V}) = -100\ \mathrm{V}$$

（2）$\varphi_B = 0$。由 $U_{AB} = \varphi_A - \varphi_B$ 得 $\varphi_A = 200\ \mathrm{V}$；由 $U_{BC} = \varphi_B - \varphi_C$ 得 $\varphi_C = 300\ \mathrm{V}$。

检验：$U_{AC} = \varphi_A - \varphi_C = 200\ \mathrm{V} - 300\ \mathrm{V} = -100\ \mathrm{V}$，和第（1）问一致。直接算 $A \to C$ 的总功 $4.0 \times 10^{-6} - 6.0 \times 10^{-6} = -2.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{J}$，除以 $q$ 也是 $-100\ \mathrm{V}$。

容易卡在：由 $U_{BC} = -300\ \mathrm{V}$ 写成 $\varphi_C = -300\ \mathrm{V}$。$U_{BC} = \varphi_B - \varphi_C$，$\varphi_C$ 前面有负号。

例 3　（场景：只有静电力做功，求速度）光滑绝缘水平面上固定一个正点电荷，质量 $m = 1.0\ \mathrm{g}$、电荷量 $q = +1.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{C}$ 的小球从 $A$ 点由静止释放，被推开后经过 $B$ 点。已知 $U_{AB} = 200\ \mathrm{V}$，求小球经过 $B$ 点时的速度。

解：

研究对象：小球。

过程划分：从 $A$ 由静止到 $B$，一个过程。

分析：水平面光滑，重力和支持力竖直、不做功，只有静电力做功。静电力随距离变化，加速度不恒定，不能用匀变速公式，用动能定理（第 13 章）。

列式求解：$m = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{kg}$。由动能定理：

$$qU_{AB} = \frac{1}{2}mv_B^2 - 0$$ $$v_B = \sqrt{\frac{2qU_{AB}}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.0 \times 10^{-5} \times 200}{1.0 \times 10^{-3}}}\ \mathrm{m/s} = 2\ \mathrm{m/s}$$

方向沿 $A$ 指向 $B$（背离点电荷）。

检验：单位：$\sqrt{\dfrac{\mathrm{C \cdot V}}{\mathrm{kg}}} = \sqrt{\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}}} = \mathrm{m/s}$，对。$U_{AB} > 0$、$q > 0$，静电力做正功，速度增大，对。

容易卡在：想用 $F = \dfrac{kQq}{r^2}$ 求加速度再用运动学公式。力在变，那条路走不通；用功和能只看始末两点。

常用推论

• $U_{AC} = U_{AB} + U_{BC}$。由 $U_{AB} = \varphi_A - \varphi_B$ 相加得出，和“高度差相加”一样。
• 静电力做功与路径无关，$W_{AB} = qU_{AB}$ 对任何路径成立。
• 带电量为 $e$ 的粒子经过电势差 $U$（单位 $\mathrm{V}$），动能变化 $U$ 个电子伏特：电子从静止经 $100\ \mathrm{V}$ 加速，动能为 $100\ \mathrm{eV}$。由 $W = qU$ 和电子伏特的定义得出，原子物理里常用（第 34–36 章）。
• 只有静电力做功：$qU_{AB} = E_{\text{k}B} - E_{\text{k}A}$，不论电场是否匀强、轨迹是直线还是曲线。

易错点

• 错在哪：由 $U_{AB} = \dfrac{W_{AB}}{q}$ 得出“电势差与静电力做的功成正比，与电荷量成反比”。 为什么错：把比值定义式当成决定式。$q$ 加倍，$W_{AB}$ 也加倍，比值不变。和”$R = \dfrac{U}{I}$ 不表示电阻由电压决定“是一个道理。 正确做法：$U_{AB}$ 由电场和两点的位置决定；$\dfrac{W}{q}$ 只是测它、算它的办法。
• 错在哪：电荷从 $B$ 移到 $A$，用 $W = qU_{AB}$ 算功。 为什么错：下标顺序代表移动方向，用反了正负号就反了。 正确做法：从 $B$ 到 $A$ 用 $W_{BA} = qU_{BA} = -qU_{AB}$。
• 错在哪：负电荷代入时只用大小，又按带符号的规则判断正负，结果符号错。 为什么错：两种符号处理方法混用。 正确做法：要么全部带符号，要么全部用绝对值再单独定正负（例 1）。

直观理解

电势差就是“电的高度差”。如例 2 的台阶图：把 $B$ 定为地面，$A$ 在 200 处，$C$ 在 300 处；如果改把 $A$ 定为地面，整个台阶上下平移，每级台阶的高度差不变。$U_{AB}$ 就是“从 $A$ 走到 $B$ 下降了多少”，下降为正，上升为负。

关联知识点

• 前置：16.2 节电势能和电势，$W_{AB} = qU_{AB}$ 由 $E_{\text{p}} = q\varphi$ 推出。
• 前置：第 13 章动能定理，例 3 这类题都是动能定理加 $W = qU$。
• 后续：16.4 节 $U = Ed$；16.7 节带电粒子的加速。
• 后续：第 17 章电路中的电压就是电势差，$W = qU = UIt$ 是电功的来源。
• 后续：第 35 章光电效应的遏止电压 $eU_{\text{c}} = E_{\text{k}}$，用的是同一个关系。

16.4 电势差与电场强度的关系

说明

匀强电场中：

$$U_{AB} = Ed, \qquad E = \frac{U_{AB}}{d}$$

$d$ 是 $A$、$B$ 两点沿电场线方向的距离，不是 $A$、$B$ 之间的直线距离。

由 $E = \dfrac{U}{d}$，场强的单位也可以写成 $\mathrm{V/m}$，$1\ \mathrm{V/m} = 1\ \mathrm{N/C}$。

电场强度的方向是电势降低最快的方向：从 $A$ 出发走同样的距离，沿电场线方向走，$d$ 最大，电势降得最多。

匀强电场中的两条规律：

• 沿任意一条直线（不与电场线垂直），电势均匀变化：等距离的两段，电势差相等。
• 两条平行且相等的线段，两端电势差相等：若 $AB \parallel DC$ 且 $AB = DC$，则 $\varphi_A - \varphi_B = \varphi_D - \varphi_C$。

非匀强电场：$U = Ed$ 不能定量用，但可以定性用：场强越大的地方，同样的距离电势差越大。

理想模型：匀强电场（平行金属板之间，忽略边缘效应）。

使用场景

• 平行金属板间（匀强电场），已知板间电压和距离，求场强、两点间的电势差或某点电势 → 匀强电场 → $E = \dfrac{U}{d}$，两点间 $U = Ed$，$d$ 取沿电场线方向的投影。
• 匀强电场中已知几个点的电势，求另一点的电势或场强的大小和方向 → 电势沿直线均匀变化 → 等分法找等势点，连成等势线，电场线与它垂直。
• 非匀强电场中，比较两段等长距离上的电势差，或判断中点电势 → 定性用 $U = Ed$ → 场强大的那段电势差大。

注意点

• 只有匀强电场能用 $U = Ed$ 定量计算。
• $d$ 必须是沿电场线方向的距离。$A$、$B$ 连线与电场线夹角为 $\theta$ 时，$d = AB\cos\theta$；连线与电场线垂直时 $d = 0$，两点等势。
• 公式只给大小。电势哪边高，看电场线方向：沿电场线方向电势降低。
• 平行板电容器两板间 $E = \dfrac{U}{d}$ 里的 $d$ 是板间距，$U$ 是两板间电压。

推导

在匀强电场中，把电荷 $q$ 从 $A$ 移到 $B$，用两种方法写静电力做的功：

• 由 16.3 节：$W_{AB} = qU_{AB}$。
• 由 16.2 节（匀强电场，恒力做功）：$W_{AB} = qEd$。

两式相等，消去 $q$：

$$U_{AB} = Ed$$

（关键一步：同一次移动的同一个功，用“能”的语言和“力”的语言各写一遍。这一步把电场的两种描述（场强和电势）连在一起。）

电势沿直线均匀变化：直线 $AB$ 与电场线成 $\theta$ 角，线上一点 $P$ 到 $A$ 的距离为 $s$，则 $U_{AP} = Es\cos\theta$，与 $s$ 成正比。所以等距离的两段电势差相等，中点电势是两端电势的平均值。

例题

例 1　（场景：平行板间求场强和电势）两块平行金属板水平放置，间距 $5\ \mathrm{cm}$，上板电势 $+100\ \mathrm{V}$，下板接地。板间 $P$ 点距下板 $2\ \mathrm{cm}$；$A$ 点距上板 $1\ \mathrm{cm}$，$B$ 点距下板 $1\ \mathrm{cm}$，$A$、$B$ 左右错开。求：（1）板间场强；（2）$P$ 点的电势；（3）$U_{AB}$；（4）把一个电子从 $A$ 移到 $B$，静电力做多少功（用 $\mathrm{eV}$ 表示）。

解：

研究对象：板间的匀强电场，以及第（4）问中的电子。

过程划分：第（4）问一个过程，从 $A$ 到 $B$。

分析：板间是匀强电场，方向由上板（高电势）指向下板，竖直向下。各点到下板的竖直距离就是沿电场线的距离。

列式求解：（1）

$$E = \frac{U}{d} = \frac{100}{0.05}\ \mathrm{V/m} = 2000\ \mathrm{V/m}$$

方向竖直向下。

（2）$P$ 与下板沿电场线相距 $0.02\ \mathrm{m}$，$U_{P\text{下}} = Ed = 2000 \times 0.02\ \mathrm{V} = 40\ \mathrm{V}$，下板电势为零，所以 $\varphi_P = 40\ \mathrm{V}$。

（3）$A$、$B$ 沿电场线方向相距 $5 - 1 - 1 = 3\ \mathrm{cm}$，$A$ 在上方：

$$U_{AB} = Ed = 2000 \times 0.03\ \mathrm{V} = 60\ \mathrm{V}$$

（4）$W_{AB} = qU_{AB} = (-e) \times 60\ \mathrm{V} = -60\ \mathrm{eV}$，静电力做负功。

检验：$\varphi_A = 2000 \times 0.04\ \mathrm{V} = 80\ \mathrm{V}$，$\varphi_B = 2000 \times 0.01\ \mathrm{V} = 20\ \mathrm{V}$，$U_{AB} = 60\ \mathrm{V}$，一致。电势都在 $0 \sim 100\ \mathrm{V}$ 之间，合理。

容易卡在：$A$、$B$ 左右错开，量了 $A$、$B$ 的直线距离代入。左右方向与电场线垂直，不贡献电势差。

例 2　（场景：等分法求电势和场强）匀强电场的方向平行于正方形 $ABCD$ 所在的平面，正方形的对角线长 $6\ \mathrm{cm}$。已知 $\varphi_A = 12\ \mathrm{V}$，$\varphi_B = 3\ \mathrm{V}$，$\varphi_C = -6\ \mathrm{V}$。求 $D$ 点的电势，以及场强的大小和方向。

解：

研究对象：正方形所在平面内的匀强电场。

过程划分：不涉及过程。

分析：匀强电场中，平行且相等的线段两端电势差相等；直线上电势均匀变化。先求 $\varphi_D$，再找等势线，电场线垂直等势线。

列式求解：$AB \parallel DC$ 且 $AB = DC$，所以 $\varphi_A - \varphi_B = \varphi_D - \varphi_C$：

$$\varphi_D = \varphi_A - \varphi_B + \varphi_C = 12\ \mathrm{V} - 3\ \mathrm{V} + (-6\ \mathrm{V}) = 3\ \mathrm{V}$$

$B$、$D$ 电势都是 $3\ \mathrm{V}$，$BD$ 是一条等势线。正方形的对角线互相垂直，所以电场线沿 $AC$ 方向，由高电势的 $A$ 指向低电势的 $C$。

$$E = \frac{U_{AC}}{AC} = \frac{12 - (-6)}{0.06}\ \mathrm{V/m} = 300\ \mathrm{V/m}$$

检验：对角线中点 $O$ 的电势应是 $A$、$C$ 的平均值 $\dfrac{12 + (-6)}{2} = 3\ \mathrm{V}$，与 $B$、$D$ 相同，三点共线，一致。

容易卡在：找到 $\varphi_D$ 后不知道场强方向。找两个等势点连成等势线，电场线和它垂直，指向电势低的一侧。

例 3　（场景：非匀强电场中定性比较）正点电荷的电场中，一条电场线上依次有 $A$、$B$、$C$ 三点，$AB = BC$，$\varphi_A = 30\ \mathrm{V}$，$\varphi_C = 10\ \mathrm{V}$。则 $B$ 点的电势（　）。

A. 等于 $20\ \mathrm{V}$　B. 大于 $20\ \mathrm{V}$　C. 小于 $20\ \mathrm{V}$　D. 无法判断

解：C。

判断依据：非匀强电场中定性用 $U = Ed$：场强大的一段，同样距离的电势差大。

电势从 $A$ 到 $C$ 降低，所以 $A$ 离点电荷最近。$AB$ 段离电荷近，场强大；$BC$ 段场强小。距离相等，所以 $U_{AB} > U_{BC}$。又 $U_{AB} + U_{BC} = 20\ \mathrm{V}$，得 $U_{AB} > 10\ \mathrm{V}$，$\varphi_B = \varphi_A - U_{AB} < 20\ \mathrm{V}$。

常用推论

• 匀强电场中，任一线段中点的电势等于两端电势的平均值。由“电势沿直线均匀变化”得出。
• 匀强电场中，平行四边形 $ABCD$ 的对边电势差相等：$\varphi_A - \varphi_B = \varphi_D - \varphi_C$，即 $\varphi_A + \varphi_C = \varphi_B + \varphi_D$（例 2）。
• $\varphi$-$x$ 图像的斜率的绝对值等于沿 $x$ 方向的场强分量的大小，图线向下倾斜表示场强沿 $+x$ 方向。由 $E = \dfrac{\Delta\varphi}{\Delta x}$（大小）得出，是第 1 章 1.4 节“斜率”的又一个例子。
• 非匀强电场中，电场线越密，沿电场线等距离的电势差越大（例 3）。

易错点

• 错在哪：$d$ 用两点之间的直线距离。 为什么错：凭“距离就是两点连线”的习惯，忘了只有沿电场方向的位移才让静电力做功。 正确做法：先画电场线，把两点投影到同一条电场线上，量投影距离。
• 错在哪：在点电荷的电场中用 $U = Ed$ 算出具体数值。 为什么错：$U = Ed$ 是从恒力做功推出来的，只有匀强电场的 $E$ 处处相同。 正确做法：非匀强电场只做定性比较；定量求电势差用 $U = \dfrac{W}{q}$ 或题目给的电势。
• 错在哪：由 $E = \dfrac{U}{d}$ 认为“电压越大，场强越大”在任何情况下都成立。 为什么错：$E = \dfrac{U}{d}$ 是 $U$ 和 $d$ 共同决定的；电容器充电后断开电源再拉开两板，$U$ 变大，$E$ 却不变（16.6 节）。 正确做法：讨论 $E$ 怎么变，先弄清 $U$、$d$ 谁变谁不变。

直观理解

把匀强电场的电势画成 $\varphi$-$x$ 图：沿电场线方向是一条下降的直线，斜率的大小就是场强。这和“坡度 = 高度差 ÷ 水平距离”一样：场强就是电势的“坡度”，沿电场线是最陡的方向，垂直电场线是平地（等势）。

关联知识点

• 前置：16.2、16.3 节，$U = Ed$ 由两种功的写法相等推出。
• 前置：第 1 章 1.4 节图像的斜率，$\varphi$-$x$ 图的斜率是场强。
• 后续：16.5 节等差等势面的疏密；16.6 节平行板电容器 $E = \dfrac{U}{d}$；16.7 节偏转电场的加速度 $a = \dfrac{qU}{md}$。
• 常一起考：16.5 节等势面，等分法找出等势线后画电场线。

16.5 等势面

说明

等势面：电场中电势相同的各点构成的面。画在纸面上是一条条等势线。为了比较场强，常画等差等势面：相邻两个等势面间的电势差相等。

等势面的性质：

1. 在同一等势面上移动电荷，静电力不做功。
2. 等势面一定与电场线垂直。
3. 电场线总是从电势高的等势面指向电势低的等势面。
4. 等差等势面越密的地方，场强越大。
5. 两个不同的等势面不相交。

几种典型的等势面：

• 匀强电场：一簇与电场线垂直的平行平面，等差时等间距。
• 点电荷：以点电荷为球心的一簇球面。等差时越往外越稀（电势与距离成反比，相同电势差对应的半径差越来越大）。

• 等量异种点电荷：连线的中垂面是一个等势面，取无穷远为零时它的电势为零；靠近正电荷一侧电势为正，靠近负电荷一侧为负。

• 等量同种点电荷：连线中点场强为零；中垂线不是等势线。
• 处于静电平衡的导体：整个导体是一个等势体，表面是等势面（第 15 章）。

使用场景

• 给出等势面（或电场线）的分布图，判断各点场强大小、方向和电势高低 → 等势面的性质 → 电场线垂直等势面、从高指向低；等差等势面密处场强大。
• 给出带电粒子只受静电力时的运动轨迹（一条曲线）和等势面，判断粒子电性、速度和电势能的变化 → 曲线运动的合力指向轨迹凹侧，静电力又垂直等势面 → 先定静电力方向，再用 $W = qU$ 和功能关系。
• 等量同种或等量异种电荷的连线、中垂线上，比较各点场强和电势，或求移动电荷时的功 → 记住两种典型等势面图 → 用对称性：等量异种的中垂线电势为零，关于中点对称的两点电势互为相反数。

注意点

• 等势面是为了形象描述电场而画的，实际不存在。
• 只有等差等势面才能用疏密比较场强；任意画几个等势面，疏密没有意义。
• 同一等势面上各点电势相等，场强不一定相等。等量异种电荷的中垂线是等势线，但中点场强最大，越往外越小。
• 电荷沿等势面移动，静电力不做功，但不是不受静电力：静电力垂直于等势面，与位移垂直。
• 带电粒子的运动轨迹一般不是电场线，也不沿等势面；它只说明受力指向轨迹的凹侧。

推导

等势面为什么与电场线垂直：用反证法。假设某处电场线与等势面不垂直，场强就有一个沿等势面的分量。沿等势面移动正电荷一小段，这个分量会做功，$W \ne 0$。但同一等势面上两点 $U = 0$，由 $W = qU$ 应有 $W = 0$，矛盾。

（关键一步：把“电势相等”翻译成“移动电荷不做功”，再把“不做功”翻译成“力与位移垂直”。$W = qU$ 是连接两种语言的桥。）

电场线从高电势指向低电势：16.2 节已证沿电场线方向电势降低。

等差等势面密处场强大：相邻等势面间电势差 $U$ 相同，由 $U = Ed$（在一小段上电场近似匀强），间距 $d$ 小的地方 $E$ 大。

等量异种电荷的中垂面是等势面：中垂面上任一点，两个电荷到它的距离相等，产生的场强大小相等；按平行四边形合成，合场强平行于两电荷的连线，由正电荷一侧指向负电荷一侧，和中垂面垂直。所以沿中垂面移动电荷不做功。中垂面延伸到无穷远，所以面上各点电势等于无穷远处的电势，取无穷远为零时就是零。

例题

例 1　（场景：读等势面分布图判断场强和电势）（多选）如图，两个等量正点电荷固定，$O$ 为连线中点，$a$ 点在连线上（$O$ 与左侧电荷之间），$b$ 点在中垂线上。取无穷远处电势为零。下列说法正确的是（　）。

A. $O$ 点场强为零，电势也为零 B. $a$ 点电势高于 $O$ 点电势 C. $b$ 点场强方向沿中垂线背离 $O$ D. 把正电荷从 $O$ 沿中垂线移到无穷远，电势能先增大后减小

解：BC。

判断依据：电场线从电势高处指向电势低处；静电力做正功电势能减少。

A：两个电荷在 $O$ 点的场强等大反向，合场强为零；但两个正电荷周围电势都为正，$O$ 点电势为正，不为零。A 错。B：连线上，电场线从两个电荷分别指向 $O$，沿电场线电势降低，$O$ 是连线上电势最低的点，$\varphi_a > \varphi_O$。B 对。C：中垂线上，两个电荷的场强合成后沿中垂线向外，背离 $O$。C 对。D：从 $O$ 沿中垂线向外，正电荷受力一直向外，静电力一直做正功，电势能一直减小。D 错。

例 2　（场景：由轨迹和等势面判断能量变化）图中竖直的四条实线是匀强电场中的等差等势线，电势依次为 $40\ \mathrm{V}$、$30\ \mathrm{V}$、$20\ \mathrm{V}$、$10\ \mathrm{V}$。一个电子只在静电力作用下从 $M$ 点运动到 $N$ 点，轨迹如图中曲线。已知电子在 $M$ 点的动能为 $30\ \mathrm{eV}$，求它在 $N$ 点的动能，并判断电子从 $M$ 到 $N$ 电势能怎么变。

解：

研究对象：电子。

过程划分：从 $M$ 到 $N$，一个过程，只有静电力做功。

分析：电场线垂直等势线，从高电势指向低电势，所以场强水平向右。电子带负电，受力水平向左。核对轨迹：曲线运动的合力指向轨迹凹侧，图中轨迹向左弯，一致。

列式求解：$M$ 在 $30\ \mathrm{V}$ 等势线上，$N$ 在 $10\ \mathrm{V}$ 等势线上，$U_{MN} = 30\ \mathrm{V} - 10\ \mathrm{V} = 20\ \mathrm{V}$。

$$W_{MN} = qU_{MN} = (-e) \times 20\ \mathrm{V} = -20\ \mathrm{eV}$$

由动能定理：$E_{\text{k}N} = E_{\text{k}M} + W_{MN} = 30\ \mathrm{eV} - 20\ \mathrm{eV} = 10\ \mathrm{eV}$。

静电力做负功 $20\ \mathrm{eV}$，电势能增加 $20\ \mathrm{eV}$。

检验：动能加电势能守恒：在 $M$ 点 $E_{\text{p}M} = (-e)(30\ \mathrm{V}) = -30\ \mathrm{eV}$，总能量 $0$；在 $N$ 点 $E_{\text{p}N} = -10\ \mathrm{eV}$，$E_{\text{k}N} = 10\ \mathrm{eV}$，总能量也是 $0$，一致。$E_{\text{k}N} > 0$，电子确实能到达 $N$。

容易卡在：不知道从哪里下手判断力的方向。两条线索任选其一：受力指向轨迹凹侧；负电荷受力与场强反向。两条互相印证。

例 3　（场景：等量异种电荷，用对称性求功）等量异种点电荷 $+Q$、$-Q$ 固定，$O$ 为连线中点，$P$ 在中垂线上，$A$、$A'$ 在连线上且关于 $O$ 对称，$A$ 靠近 $+Q$（见本节“说明”中的图）。取无穷远处电势为零。把电荷量 $q = +2.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{C}$ 的点电荷从 $P$ 移到 $A$，静电力做功 $-4.0 \times 10^{-7}\ \mathrm{J}$。求：（1）$A$ 点的电势；（2）把该电荷从 $A$ 移到 $A'$，静电力做的功。

解：

研究对象：点电荷 $q$。

过程划分：$P \to A$ 和 $A \to A'$ 两段。

分析：中垂线是电势为零的等势线，$\varphi_P = 0$。等量异种电荷的电场关于中垂面“反对称”：把 $+Q$、$-Q$ 互换，$A$ 和 $A'$ 的情形互换，所以 $\varphi_{A'} = -\varphi_A$。

列式求解：（1）

$$U_{PA} = \frac{W_{PA}}{q} = \frac{-4.0 \times 10^{-7}}{2.0 \times 10^{-9}}\ \mathrm{V} = -200\ \mathrm{V}$$

$U_{PA} = \varphi_P - \varphi_A = 0 - \varphi_A$，所以 $\varphi_A = 200\ \mathrm{V}$。

（2）$\varphi_{A'} = -200\ \mathrm{V}$，$U_{AA'} = 200\ \mathrm{V} - (-200\ \mathrm{V}) = 400\ \mathrm{V}$。

$$W_{AA'} = qU_{AA'} = 2.0 \times 10^{-9} \times 400\ \mathrm{J} = 8.0 \times 10^{-7}\ \mathrm{J}$$

检验：$A$ 靠近正电荷，电势为正，对；正电荷从 $A$ 移到 $A'$，顺着电场线（由 $+Q$ 指向 $-Q$），静电力做正功，对。

容易卡在：不知道 $P$ 点电势。题目说“取无穷远为零”，又点明 $P$ 在中垂线上，就是在提示 $\varphi_P = 0$。

常用推论

• 等量异种电荷：连线上从正电荷到负电荷电势一直降低，中点场强在连线上最小；中垂线是等势线（取无穷远为零时电势为零），中点场强在中垂线上最大，向外逐渐减小，方向都平行于连线、指向负电荷一侧。
• 等量同种正电荷：中点场强为零；连线上中点电势最低；中垂线上中点电势最高，向外一直降低，场强从零先增大后减小。等量负电荷的情形，电势的高低全部反过来。
• 只受静电力的粒子，轨迹弯向哪一侧，静电力就指向哪一侧，并且垂直于等势面。由曲线运动的条件（第 8 章）和等势面的性质得出。
• 粒子在等差等势面之间运动，每跨过一个间隔，静电力做功相同，动能变化相同。由 $W = qU$ 得出。

易错点

• 错在哪：认为同一等势面上各点场强相等。 为什么错：把“电势相等”和“场强相等”混在一起。反例：等量异种电荷的中垂线电势处处为零，中点场强最大，越往外越小。 正确做法：等势面只说明电势相同；场强看等差等势面的疏密。
• 错在哪：把带电粒子的运动轨迹当成电场线。 为什么错：直觉认为“粒子顺着电场线走”。电场线方向是受力方向，不是速度方向；只有从静止释放、电场线是直线时，轨迹才和电场线重合。 正确做法：轨迹只用来判断受力指向凹侧；电场线要和等势面垂直。
• 错在哪：认为电荷在等势面上移动不受静电力。 为什么错：静电力不做功不等于没有静电力。 正确做法：静电力垂直于等势面，和沿等势面的位移垂直，所以不做功。

直观理解

等势面就是地图上的等高线，电场线就是“最陡的下坡方向”：水从山上往下流，总是垂直等高线流；等高线越密，坡越陡（场强越大）。等量异种电荷像“一座山和一个坑”，中垂线是正好在海平面高度的那条线；等量同种正电荷像“两座山”，中点是两山之间的鞍部。

关联知识点

• 前置：第 15 章电场线和几种典型电场的电场线分布，等势面图就是在电场线图上画上垂线。
• 前置：第 8 章曲线运动的条件，判断轨迹题时用“合力指向凹侧”。
• 前置：16.4 节 $U = Ed$，等差等势面疏密与场强的关系由它得出。
• 前置：第 15 章静电平衡，导体内部场强为零，所以整个导体是等势体、表面是等势面。
• 后续：第 26 章带电粒子在电场、磁场中的轨迹题，判断受力方向的思路相同。
• 常一起考：16.2 节电势能和 16.3 节 $W = qU$，轨迹题最后都要算能量。

16.6 电容器与电容

说明

电容器：两个彼此绝缘又相距很近的导体就组成一个电容器。最简单的是平行板电容器：两块正对的平行金属板，中间是空气或其他电介质。

• 充电：把电容器两极接到电源上，两板带上等量异种电荷。电容器所带的电荷量 $Q$ 指一个极板所带电荷量的绝对值。
• 放电：用导线把两板接通，正负电荷中和，电容器储存的电场能转化为其他形式的能。

电容：电容器所带的电荷量 $Q$ 与两极板间电势差 $U$ 之比：

$$C = \frac{Q}{U} = \frac{\Delta Q}{\Delta U}$$

单位是法拉，$1\ \mathrm{F} = 1\ \mathrm{C/V}$。常用微法 $\mu\mathrm{F}$（$10^{-6}\ \mathrm{F}$）、皮法 $\mathrm{pF}$（$10^{-12}\ \mathrm{F}$）。电容表示电容器容纳电荷的本领，由电容器本身决定，与 $Q$、$U$ 无关。

平行板电容器的电容（决定式）：

$$C = \frac{\varepsilon_{\text{r}} S}{4\pi k d}$$

$S$ 是两板的正对面积，$d$ 是板间距离，$\varepsilon_{\text{r}}$ 是电介质的相对介电常数（真空为 1，空气约为 1），$k$ 是静电力常量。

板间场强：

$$E = \frac{U}{d} = \frac{Q}{Cd} = \frac{4\pi k Q}{\varepsilon_{\text{r}} S}$$

理想模型：两板间是匀强电场，忽略板边缘的电场。

电容器的两类动态分析：

情况	不变量	$C$	$Q$ 或 $U$	$E$
始终与电源相连	$U$ 不变	由 $C = \dfrac{\varepsilon_{\text{r}} S}{4\pi k d}$ 判断	$Q = CU$，随 $C$ 变	$E = \dfrac{U}{d}$，只随 $d$ 变
充电后与电源断开	$Q$ 不变	由 $C = \dfrac{\varepsilon_{\text{r}} S}{4\pi k d}$ 判断	$U = \dfrac{Q}{C}$，随 $C$ 反向变	$E = \dfrac{4\pi k Q}{\varepsilon_{\text{r}} S}$，与 $d$ 无关

使用场景

• 已知电容器的电荷量和电压（或它们的变化量），求电容或互求 → 定义式 → $C = \dfrac{Q}{U} = \dfrac{\Delta Q}{\Delta U}$。
• 电容器一直接在电源上，改变板间距离、正对面积或插入电介质，问 $C$、$Q$、$E$ 怎么变，或板间带电微粒怎么运动 → $U$ 不变 → 先由决定式判断 $C$，再由 $Q = CU$、$E = \dfrac{U}{d}$ 判断。
• 电容器充电后与电源断开（或题目说“带电荷量不变”），改变板的位置，问 $U$、$E$、某点电势怎么变 → $Q$ 不变 → 先判断 $C$，再由 $U = \dfrac{Q}{C}$；$E = \dfrac{4\pi k Q}{\varepsilon_{\text{r}} S}$ 只看 $S$ 和 $\varepsilon_{\text{r}}$。

注意点

• 动态分析的第一步永远是判断”$U$ 不变还是 $Q$ 不变”，看电容器是否一直和电源相连。
• $C = \dfrac{Q}{U}$ 是定义式，不能说”$C$ 与 $Q$ 成正比”；$C = \dfrac{\varepsilon_{\text{r}} S}{4\pi k d}$ 是决定式，只适用于平行板电容器。
• $Q$ 是一个极板的电荷量，不是两板之和（两板之和为零），也不是两倍。
• 电容器有额定电压（耐压值），超过击穿电压电介质会被击穿；电解电容器有正负极，不能接反。
• 板间某点的电势要找一个电势已知的板（通常是接地板）作参考：$\varphi_P =$ 该点与接地板之间的电势差，正负看电场方向。

推导

$C = \dfrac{Q}{U}$ 的实验依据：把电容器接到不同电压的电源上充电，再用电流传感器记录放电电流随时间的变化，$I$-$t$ 图线下的面积就是电荷量 $Q$（第 1 章 1.4 节，$I$-$t$ 图的面积是电荷量）。实验发现，同一个电容器 $Q$ 与 $U$ 成正比，不同电容器的比值不同。所以用这个比值描述电容器本身的性质。这就是第 40 章的实验“观察电容器的充、放电现象”。

平行板电容器决定式的实验依据：给平行板电容器充电后断开电源，两板电荷量 $Q$ 不变；把一块极板接静电计，静电计指针张角反映两板间电势差 $U$。（关键一步：$Q$ 不变，由 $C = \dfrac{Q}{U}$，$U$ 增大就说明 $C$ 减小。张角的变化把看不见的 $C$ 变成看得见的现象。）

• 增大板间距离 $d$，张角变大，$U$ 增大，$C$ 减小：$C$ 随 $d$ 增大而减小。
• 两板错开，正对面积 $S$ 减小，张角变大，$C$ 减小：$C$ 随 $S$ 减小而减小。
• 两板间插入电介质（如有机玻璃板），张角变小，$C$ 增大。

精确实验表明 $C \propto \dfrac{\varepsilon_{\text{r}} S}{d}$，比例系数 $\dfrac{1}{4\pi k}$ 要用大学电磁学的高斯定理从理论上推出，高中直接用。

$E = \dfrac{4\pi k Q}{\varepsilon_{\text{r}} S}$：把决定式代入 $E = \dfrac{U}{d} = \dfrac{Q}{Cd}$，$d$ 消掉。物理图景：$Q$ 不变时，板上电荷的面密度 $\dfrac{Q}{S}$ 不变，板间电场线的疏密不变，所以拉开两板，场强不变。

例题

例 1　（场景：由电荷量和电压求电容）一个电容器两极板间的电压从 $10\ \mathrm{V}$ 升高到 $15\ \mathrm{V}$ 时，所带电荷量增加了 $3.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{C}$。求这个电容器的电容，以及电压为 $15\ \mathrm{V}$ 时所带的电荷量。

解：

研究对象：电容器。

过程划分：电压从 $10\ \mathrm{V}$ 升到 $15\ \mathrm{V}$，一个过程。

分析：电容由电容器本身决定，充电过程中不变，$Q$ 与 $U$ 成正比，所以 $C = \dfrac{\Delta Q}{\Delta U}$。

列式求解：

$$C = \frac{\Delta Q}{\Delta U} = \frac{3.0 \times 10^{-5}}{15 - 10}\ \mathrm{F} = 6.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{F} = 6.0\ \mu\mathrm{F}$$ $$Q = CU = 6.0 \times 10^{-6} \times 15\ \mathrm{C} = 9.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{C}$$

检验：$10\ \mathrm{V}$ 时 $Q = 6.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{C}$，增加量 $9.0 \times 10^{-5} - 6.0 \times 10^{-5} = 3.0 \times 10^{-5}\ \mathrm{C}$，一致。微法量级是常见的电容器，合理。

例 2　（场景：$U$ 不变的动态分析）平行板电容器水平放置，始终与电压恒定的电源相连，上板接电源正极。两板间一个带电油滴恰好静止。现把上板缓慢向上平移，使板间距离变为原来的 2 倍。问：电容器的电容、电荷量、板间场强各变为原来的几倍？油滴将怎样运动，加速度多大？（$g$ 取 $10\ \mathrm{m/s^2}$）

解：

研究对象：电容器；油滴。

过程划分：上板移动前（油滴静止）和移动后两个状态。

分析：电容器一直接在电源上，$U$ 不变。上板带正电，场强竖直向下；油滴静止，静电力向上与重力平衡，所以油滴带负电。

列式求解：$d' = 2d$。

电容：$C = \dfrac{\varepsilon_{\text{r}} S}{4\pi k d} \propto \dfrac{1}{d}$，变为原来的 $\dfrac{1}{2}$。

电荷量：$Q = CU$，$U$ 不变，变为原来的 $\dfrac{1}{2}$。

场强：$E = \dfrac{U}{d}$，变为原来的 $\dfrac{1}{2}$。

油滴：原来 $qE = mg$；现在静电力 $qE' = \dfrac{1}{2}mg$。取竖直向下为正方向：

$$a = \frac{mg - qE'}{m} = \frac{mg - \frac{1}{2}mg}{m} = \frac{1}{2}g = 5\ \mathrm{m/s^2}$$

油滴由静止开始竖直向下做匀加速直线运动，加速度 $5\ \mathrm{m/s^2}$，方向竖直向下。

检验：特殊情形：如果把板间距离缩小，$E$ 增大，静电力大于重力，油滴应向上加速，与“拉开向下”相反，合理。

容易卡在：忘了先判断哪个量不变，套用”$Q$ 不变时 $E$ 不变”，得出油滴仍静止。

例 3　（场景：$Q$ 不变的动态分析）平行板电容器水平放置，两板间距 $6\ \mathrm{cm}$，充电到 $120\ \mathrm{V}$ 后与电源断开，上板带正电，下板接地。板间 $P$ 点距下板 $2\ \mathrm{cm}$。现将上板向下平移 $2\ \mathrm{cm}$。求：（1）两板间的电压；（2）板间场强；（3）$P$ 点的电势，以及放在 $P$ 点的正电荷的电势能是否变化。

解：

研究对象：电容器及板间电场。

过程划分：上板移动前、移动后两个状态。

分析：充电后断开电源，$Q$ 不变。上板下移，$d$ 从 $6\ \mathrm{cm}$ 变为 $4\ \mathrm{cm}$，$S$、$\varepsilon_{\text{r}}$ 不变。

列式求解：（1）$C \propto \dfrac{1}{d}$，$C' = \dfrac{6}{4}C = 1.5C$。$Q$ 不变：

$$U' = \frac{Q}{C'} = \frac{U}{1.5} = \frac{120}{1.5}\ \mathrm{V} = 80\ \mathrm{V}$$

（2）

$$E' = \frac{U'}{d'} = \frac{80}{0.04}\ \mathrm{V/m} = 2000\ \mathrm{V/m}$$

原来 $E = \dfrac{120}{0.06}\ \mathrm{V/m} = 2000\ \mathrm{V/m}$，场强不变，方向竖直向下。

（3）下板接地，电势为零，$P$ 比下板高：$\varphi_P = E' \times 0.02\ \mathrm{m} = 40\ \mathrm{V}$，与移动前相同。正电荷在 $P$ 点的电势能 $E_{\text{p}} = q\varphi_P$ 不变。

检验：$U' < U$，因为 $C$ 变大而 $Q$ 不变，合理。$\varphi_P = 40\ \mathrm{V}$ 在 $0$ 和 $80\ \mathrm{V}$ 之间，合理。

另一种解法：直接用 $E = \dfrac{4\pi k Q}{\varepsilon_{\text{r}} S}$：$Q$、$S$、$\varepsilon_{\text{r}}$ 都不变，所以 $E$ 不变，仍为 $2000\ \mathrm{V/m}$；$P$ 到下板的距离不变，$\varphi_P$ 不变；$U' = Ed' = 2000 \times 0.04\ \mathrm{V} = 80\ \mathrm{V}$。选择题只问“变大、变小、不变”时，记住”$Q$ 不变只改 $d$，$E$ 不变“一步到位；要求具体数值或同时改变 $S$ 时，按 $C \to U \to E$ 的顺序算更稳。

容易卡在：以为上板移动后 $P$ 点电势变了。$\varphi_P$ 要从接地的下板算起，下板没动，$P$ 到下板的距离和场强都没变。

常用推论

• 充电后断开电源（$Q$ 不变），只改变板间距离 $d$：$E$ 不变，板间某点到不动的那块板之间的电势差不变。由 $E = \dfrac{4\pi k Q}{\varepsilon_{\text{r}} S}$ 得出。
• 一直接电源（$U$ 不变）：$Q \propto C$，$E = \dfrac{U}{d} \propto \dfrac{1}{d}$，改变 $S$ 或 $\varepsilon_{\text{r}}$ 不影响 $E$。
• 两板间插入与板平行、厚度为 $t$ 的金属板（不接触极板），相当于板间距离变为 $d - t$，电容增大。因为金属板内部场强为零，是等势体（第 15 章静电平衡）。
• 电容器两端电压改变时，电荷量的变化 $\Delta Q = C\Delta U$。电路中的电容器问题（第 18 章含容电路）常用这一条求通过某电阻的电荷量。

易错点

• 错在哪：认为电容器带的电荷越多，电容越大。 为什么错：把定义式 $C = \dfrac{Q}{U}$ 当成决定式。$Q$ 增大时 $U$ 同比例增大，比值不变；不带电的电容器电容也不是零。 正确做法：电容只看 $\varepsilon_{\text{r}}$、$S$、$d$；$Q$ 和 $U$ 由电容和电路决定。
• 错在哪：动态分析时不分情况，一律认为电压不变，或一律认为电荷量不变。 为什么错：凭“电容器接着电源”或“电容器带着电”的印象做题，没看题目条件。 正确做法：第一步写出”$U$ 不变“或”$Q$ 不变”，理由是“一直与电源相连”或“充电后断开”。
• 错在哪：把两板电荷量相加作为电容器的电荷量，得到 0 或 $2Q$。 为什么错：两板带等量异种电荷，相加为零；定义里的 $Q$ 是一块板的电荷量。 正确做法：$Q$ 取一个极板所带电荷量的绝对值。

直观理解

把电容器想成一个圆柱形水桶：电荷量 $Q$ 是装的水量，电压 $U$ 是水面高度，电容 $C$ 是桶的底面积。同样的水深，底面积大的桶装得多；桶的粗细由桶本身决定，和装了多少水无关。

$Q$-$U$ 图像是过原点的直线，斜率就是电容；图线下的三角形面积等于充电时电源克服板间电场做的功，也就是电容器储存的电能（大小 $\dfrac{1}{2}QU$，课标不要求记这个公式）。

关联知识点

• 前置：16.4 节 $E = \dfrac{U}{d}$，平行板间是匀强电场。
• 前置：第 1 章 1.4 节，$I$-$t$ 图的面积是电荷量，$Q$-$U$ 图的斜率是电容。
• 后续：第 18 章含容电路，电容器在直流电路中相当于断路，两端电压等于与它并联部分的电压。
• 后续：第 30 章 LC 振荡电路，电容器反复充放电。
• 后续：第 40 章实验“观察电容器的充、放电现象”。
• 常一起考：16.7 节，平行板电容器同时就是带电粒子的加速或偏转装置。

16.7 带电粒子在电场中的加速和偏转

说明

重力是否计入：

• 基本粒子（电子、质子、$\alpha$ 粒子、离子）质量极小，静电力远大于重力，一般不计重力（题目不说明时也不计）。
• 带电微粒（油滴、尘埃、带电小球）一般要计重力，题目明确说明可以忽略的除外。

加速：带电粒子从静止开始（或初速度沿电场线方向）在电场中运动，由动能定理：

$$qU = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2$$

从静止开始：$v = \sqrt{\dfrac{2qU}{m}}$。这个式子对任何电场都成立。

偏转：粒子以速度 $v_0$ 垂直电场线射入匀强电场（板长 $L$、板间距 $d$、偏转电压 $U$），只受静电力，做类平抛运动：

• 垂直电场方向：不受力，匀速直线运动，$x = v_0 t$；
• 沿电场方向：初速度为零的匀加速直线运动，$a = \dfrac{qE}{m} = \dfrac{qU}{md}$。

飞出电场时（$t = \dfrac{L}{v_0}$）：

$$y = \frac{1}{2}at^2 = \frac{qUL^2}{2mdv_0^2}, \qquad \tan\theta = \frac{v_y}{v_0} = \frac{qUL}{mdv_0^2}$$

$y$ 是偏移量（沿电场方向的侧移），$\theta$ 是偏转角（出射速度与入射方向的夹角）。

先加速后偏转：粒子由静止经电压 $U_1$ 加速，再垂直射入偏转电压为 $U_2$ 的电场，把 $v_0^2 = \dfrac{2qU_1}{m}$ 代入：

$$y = \frac{U_2 L^2}{4U_1 d}, \qquad \tan\theta = \frac{U_2 L}{2U_1 d}$$

与粒子的 $q$、$m$ 无关。

理想模型：不计重力的点电荷；板间匀强电场，忽略边缘效应；速度远小于光速。

使用场景

• 带电粒子由静止释放，或初速度沿电场线方向射入，问获得的速度或动能 → 直线加速 → 动能定理 $qU = \Delta E_{\text{k}}$，电场匀强与否都能用。
• 带电粒子垂直电场线射入平行板间的匀强电场，问偏移量、偏转角、能否飞出 → 类平抛 → 分解成垂直电场的匀速直线运动和沿电场的匀加速直线运动（第 9 章的方法）。
• 粒子先经加速电场、再进入偏转电场（示波管、几种粒子能否分开）→ 两段组合 → 前段动能定理求 $v_0$，后段类平抛；结果与 $q$、$m$ 无关。
• 题目是带电微粒（小球、油滴），重力不能忽略，在匀强电场中运动 → 重力和静电力都是恒力，合力恒定 → 按匀变速运动处理：从静止释放时沿合力方向做匀加速直线运动；也可用动能定理。

注意点

• 先判断是否计重力，再画受力图。
• 偏转中静电力做的功是 $qU' = qE y = \dfrac{qUy}{d}$，$U'$ 是入射点与出射点之间的电势差，不是整个偏转电压 $U$（除非粒子从一块板边缘进、打到另一块板上）。
• 能否飞出：从两板中线射入时，要求 $y \le \dfrac{d}{2}$；算出 $y > \dfrac{d}{2}$ 说明粒子打在板上，这时运动时间不再是 $\dfrac{L}{v_0}$。
• 偏转公式里的 $U$ 是偏转电压、$d$ 是偏转板间距，加速电压 $U_1$ 只用来求 $v_0$。
• 电子经几千伏加速，速度可达光速的十分之一，高中仍按牛顿力学处理；电压再高（几十万伏以上）就要用相对论，高中不涉及。

推导

加速：粒子只受静电力，静电力做功 $W = qU$（16.3 节，对任何电场成立），由动能定理（第 13 章）$qU = \dfrac{1}{2}mv^2 - \dfrac{1}{2}mv_0^2$。

偏转：取入射方向为 $x$ 轴，电场方向为 $y$ 轴。

1. 粒子在 $x$ 方向不受力，$v_x = v_0$ 不变，穿过板长 $L$ 用时 $t = \dfrac{L}{v_0}$。
2. 粒子在 $y$ 方向受恒力 $qE = \dfrac{qU}{d}$，初速度为零，$a = \dfrac{qU}{md}$。
3. $y = \dfrac{1}{2}at^2 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{qU}{md} \cdot \dfrac{L^2}{v_0^2}$；$v_y = at = \dfrac{qUL}{mdv_0}$，$\tan\theta = \dfrac{v_y}{v_0}$。

（关键一步：第 1 步。静电力只沿电场方向，垂直方向不受力、速度不变，所以穿越时间只由板长和入射速度决定。这和平抛运动中水平方向匀速完全一样，只是把重力加速度 $g$ 换成了 $\dfrac{qU}{md}$。）

先加速后偏转：把 $\dfrac{1}{2}mv_0^2 = qU_1$ 即 $mv_0^2 = 2qU_1$ 代入 $y$ 和 $\tan\theta$，分子分母的 $q$ 约去，$m$ 也随 $mv_0^2$ 一起消失：

$$y = \frac{qU_2L^2}{2d \cdot 2qU_1} = \frac{U_2 L^2}{4U_1 d}, \qquad \tan\theta = \frac{qU_2 L}{d \cdot 2qU_1} = \frac{U_2 L}{2U_1 d}$$

例题

例 1　（场景：直线加速）电子从阴极 $K$ 由静止出发，经 $K$ 与阳极 $A$ 之间 $2500\ \mathrm{V}$ 的电压加速。求电子到达阳极时的速度。（电子质量 $m = 9.1 \times 10^{-31}\ \mathrm{kg}$，电荷量 $e = 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$，不计重力）

解：

研究对象：电子。

过程划分：从 $K$ 由静止到 $A$，一个过程，只受静电力。

分析：电子带负电，从低电势的 $K$ 运动到高电势的 $A$，静电力做正功 $eU$。用动能定理，不需要知道板间距离，也不需要知道电场是否匀强。

列式求解：

$$eU = \frac{1}{2}mv^2$$ $$v = \sqrt{\frac{2eU}{m}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2500}{9.1 \times 10^{-31}}}\ \mathrm{m/s} \approx 3.0 \times 10^7\ \mathrm{m/s}$$

方向由 $K$ 指向 $A$。

检验：单位 $\sqrt{\dfrac{\mathrm{C \cdot V}}{\mathrm{kg}}} = \mathrm{m/s}$。量级：约为光速的十分之一，仍远小于光速，可以用牛顿力学；电子很轻，几千伏就能加速到这个量级，合理。

另一种解法：若知道 $K$、$A$ 间距 $d$ 且板间是匀强电场，也可以用牛顿第二定律：$a = \dfrac{eU}{md}$，再由 $v^2 = 2ad$ 得 $v^2 = \dfrac{2eU}{m}$，$d$ 消掉，结果相同。牛顿定律的方法要求电场匀强、要先求加速度；动能定理只看始末两点的电势差，不论电场是否匀强、板间距是多少都能用，所以加速问题首选动能定理；题目要求加速时间时才需要牛顿定律。

例 2　（场景：垂直射入匀强电场的偏转）带正电的粒子比荷 $\dfrac{q}{m} = 5.0 \times 10^7\ \mathrm{C/kg}$，以 $v_0 = 1.0 \times 10^5\ \mathrm{m/s}$ 沿两板中线垂直电场方向射入偏转电场。板长 $L = 10\ \mathrm{cm}$，板间距 $d = 4\ \mathrm{cm}$，偏转电压 $U = 16\ \mathrm{V}$，上板带正电。不计重力。求：（1）粒子飞出电场时的偏移量；（2）飞出时速度的大小和方向；（3）要使粒子能飞出电场，偏转电压最大为多少。

解：

研究对象：粒子。

过程划分：只看在两板之间的运动，一个过程。

分析：不计重力，只受竖直向下的静电力（上板正，场强向下，粒子带正电），与初速度垂直，做类平抛运动。取入射方向为 $x$ 轴，竖直向下为 $y$ 轴正方向。

列式求解：

$$a = \frac{qU}{md} = 5.0 \times 10^7 \times \frac{16}{0.04}\ \mathrm{m/s^2} = 2.0 \times 10^{10}\ \mathrm{m/s^2}, \qquad t = \frac{L}{v_0} = \frac{0.10}{1.0 \times 10^5}\ \mathrm{s} = 1.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{s}$$

（1）

$$y = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \times 2.0 \times 10^{10} \times (1.0 \times 10^{-6})^2\ \mathrm{m} = 1.0 \times 10^{-2}\ \mathrm{m} = 1.0\ \mathrm{cm}$$

$y < \dfrac{d}{2} = 2\ \mathrm{cm}$，粒子能飞出。偏移方向竖直向下。

（2）$v_y = at = 2.0 \times 10^{10} \times 1.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{m/s} = 2.0 \times 10^4\ \mathrm{m/s}$。

$$v = \sqrt{v_0^2 + v_y^2} = \sqrt{(1.0 \times 10^5)^2 + (2.0 \times 10^4)^2}\ \mathrm{m/s} \approx 1.02 \times 10^5\ \mathrm{m/s}$$

$\tan\theta = \dfrac{v_y}{v_0} = 0.2$，速度方向与入射方向成 $\theta$ 角斜向下。

（3）$y = \dfrac{qUL^2}{2mdv_0^2} \propto U$。恰好飞出时 $y = 2\ \mathrm{cm}$，是 $U = 16\ \mathrm{V}$ 时的 2 倍，所以 $U_{\max} = 32\ \mathrm{V}$。

检验：$\tan\theta = 0.2$，而 $\dfrac{y}{L/2} = \dfrac{1}{5} = 0.2$，与“出射速度反向延长线过板长中点”一致。量级：$v_y$ 只有 $v_0$ 的五分之一，偏转不大，与 $y$ 比 $L$ 小得多相符。

另一种解法：求出射速度的大小可用动能定理。入射点和出射点沿电场方向相距 $y$，电势差 $U' = Ey = \dfrac{U}{d}y = \dfrac{16}{0.04} \times 0.01\ \mathrm{V} = 4\ \mathrm{V}$：

$$qU' = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 \implies v^2 = v_0^2 + 2\frac{q}{m}U' = 1.0 \times 10^{10} + 2 \times 5.0 \times 10^7 \times 4 = 1.04 \times 10^{10}\ (\mathrm{m/s})^2$$

$v \approx 1.02 \times 10^5\ \mathrm{m/s}$，相同。只问速度大小或动能时，动能定理少一步；要问方向，还得用分解法求 $v_y$。注意这里用的是 $4\ \mathrm{V}$，不是整个 $16\ \mathrm{V}$。

容易卡在：第（3）问把 $y$ 的上限写成 $d$。粒子从中线射入，离每块板只有 $\dfrac{d}{2}$。

例 3　（场景：先加速后偏转）质子和 $\alpha$ 粒子（电荷量是质子的 2 倍、质量是质子的 4 倍）分别由静止经 $U_1 = 1000\ \mathrm{V}$ 的电压加速，再沿中线垂直射入偏转电场，偏转电压 $U_2 = 200\ \mathrm{V}$，板长 $L = 10\ \mathrm{cm}$，板间距 $d = 4\ \mathrm{cm}$。不计重力。（1）求它们飞出偏转电场时的偏移量和偏转角的正切；（2）两种粒子的轨迹是否相同？（3）它们刚进入偏转电场时的动能之比是多少？

解：

研究对象：质子、$\alpha$ 粒子。

过程划分：两段：加速电场中直线加速；偏转电场中类平抛。

分析：第一段用动能定理求 $v_0$，第二段用类平抛。两段公式合并后，$q$、$m$ 都约掉。

列式求解：（1）用本节推导的结论：

$$y = \frac{U_2 L^2}{4U_1 d} = \frac{200 \times 0.10^2}{4 \times 1000 \times 0.04}\ \mathrm{m} = 1.25 \times 10^{-2}\ \mathrm{m} = 1.25\ \mathrm{cm}$$ $$\tan\theta = \frac{U_2 L}{2U_1 d} = \frac{200 \times 0.10}{2 \times 1000 \times 0.04} = 0.25$$

$y = 1.25\ \mathrm{cm} < \dfrac{d}{2} = 2\ \mathrm{cm}$，能飞出。

（2）$y$ 和 $\tan\theta$ 都与 $q$、$m$ 无关；同样的推导对偏转电场中任一位置 $x$ 都成立（把 $L$ 换成 $x$），所以两种粒子的轨迹完全相同，从同一点、沿同一方向飞出。

（3）$E_{\text{k}} = qU_1$，$U_1$ 相同，动能与电荷量成正比：$E_{\text{k}p} : E_{\text{k}\alpha} = 1 : 2$。

检验：特殊情形：$U_2 = 0$ 时 $y = 0$，不偏转，对。$U_1$ 越大，粒子越快，在板间时间越短，偏得越少，与 $y \propto \dfrac{1}{U_1}$ 一致。

容易卡在：以为比荷小的 $\alpha$ 粒子偏转得少。比荷小，加速后速度也小，在板间停留更久，两个因素恰好抵消。

例 4　（场景：计重力的带电微粒）水平向右的匀强电场中，质量 $m = 1.0 \times 10^{-2}\ \mathrm{kg}$、电荷量 $q = +1.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$ 的带电小球由静止释放，场强 $E = 7.5 \times 10^4\ \mathrm{N/C}$。求：（1）小球的运动轨迹和加速度；（2）释放后 $0.4\ \mathrm{s}$ 内小球的位移和此时的速度；（3）这段时间内小球电势能的变化。

解：

研究对象：带电小球（是微粒，要计重力）。

过程划分：由静止释放后，一个过程。

分析：小球受竖直向下的重力和水平向右的静电力，两者都是恒力，合力恒定。初速度为零，所以沿合力方向做初速度为零的匀加速直线运动。

列式求解：（1）$mg = 1.0 \times 10^{-2} \times 10\ \mathrm{N} = 0.10\ \mathrm{N}$，$qE = 1.0 \times 10^{-6} \times 7.5 \times 10^4\ \mathrm{N} = 0.075\ \mathrm{N}$。

$$F = \sqrt{(mg)^2 + (qE)^2} = \sqrt{0.10^2 + 0.075^2}\ \mathrm{N} = 0.125\ \mathrm{N}, \qquad \tan\alpha = \frac{qE}{mg} = 0.75$$

$\alpha = 37^\circ$，合力方向与竖直方向成 $37^\circ$ 斜向右下。轨迹是沿这个方向的直线。

$$a = \frac{F}{m} = \frac{0.125}{1.0 \times 10^{-2}}\ \mathrm{m/s^2} = 12.5\ \mathrm{m/s^2}$$

（2）

$$s = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \times 12.5 \times 0.4^2\ \mathrm{m} = 1.0\ \mathrm{m}, \qquad v = at = 12.5 \times 0.4\ \mathrm{m/s} = 5.0\ \mathrm{m/s}$$

位移和速度方向都与竖直方向成 $37^\circ$ 斜向右下。

（3）水平位移 $x = s\sin 37^\circ = 0.6\ \mathrm{m}$，静电力做功 $W = qEx = 0.075 \times 0.6\ \mathrm{J} = 0.045\ \mathrm{J}$，电势能减少 $0.045\ \mathrm{J}$。

检验：特殊情形：$E = 0$ 时 $\alpha = 0$，$a = g$，变成自由落体，对。加速度 $12.5\ \mathrm{m/s^2} > g$，因为多了一个水平力，合理。

另一种解法：用能量求速度。竖直下落 $h = s\cos 37^\circ = 0.8\ \mathrm{m}$，水平位移 $0.6\ \mathrm{m}$。由动能定理：

$$mgh + qEx = \frac{1}{2}mv^2 \implies 0.10 \times 0.8 + 0.075 \times 0.6 = \frac{1}{2} \times 1.0 \times 10^{-2} \times v^2$$

$0.125 = 0.005v^2$，$v = 5.0\ \mathrm{m/s}$，相同。已知位移求速度时能量法省去求合力的大小和方向；题目给的是时间，或问轨迹形状，就要用合力和运动学。也可以把运动分解成竖直方向的自由落体（$h = \dfrac{1}{2}gt^2 = 0.8\ \mathrm{m}$）和水平方向的匀加速（$a_x = \dfrac{qE}{m} = 7.5\ \mathrm{m/s^2}$，$x = 0.6\ \mathrm{m}$），两个方向各算各的，适合初速度不沿合力、轨迹是曲线的情形。

容易卡在：以为小球会沿抛物线运动。从静止释放、合力恒定，运动一定是沿合力方向的直线；只有初速度与合力不共线时才是曲线。

常用推论

• 由静止经同一加速电场、再进入同一偏转电场的不同带电粒子（同号），偏移量、偏转角、轨迹都相同，与 $q$、$m$ 无关（本节推导、例 3）。
• 类平抛的出射速度反向延长线交于板长的中点 $\dfrac{L}{2}$ 处：$\dfrac{y}{\tan\theta} = \dfrac{L}{2}$。由 $y = \dfrac{qUL^2}{2mdv_0^2}$ 和 $\tan\theta = \dfrac{qUL}{mdv_0^2}$ 相除得出，和平抛运动的推论相同（第 9 章）。所以粒子飞出后好像是从板中点沿直线射出的，示波管计算屏上偏移时常用。
• 速度偏转角与位移偏转角 $\alpha$ 的关系：$\tan\theta = 2\tan\alpha$，其中 $\tan\alpha = \dfrac{y}{L}$。与上一条等价，也是平抛的推论。
• 从中线射入能飞出的条件：$y \le \dfrac{d}{2}$，即 $U \le \dfrac{md^2v_0^2}{qL^2}$。
• 偏转过程中静电力做功 $W = qEy = \dfrac{qUy}{d}$，不是 $qU$。

易错点

• 错在哪：求偏转后的动能时，写 $qU = \Delta E_{\text{k}}$，$U$ 用整个偏转电压。 为什么错：把“加速电压全部做功”的经验搬到偏转里。粒子只在电场方向上移动了 $y$，经过的电势差只是 $\dfrac{Uy}{d}$。 正确做法：$W = qEy$，或用入射点和出射点的电势差。
• 错在哪：带电小球、油滴也不计重力。 为什么错：把“带电粒子不计重力”的习惯推广到所有带电体。小球的重力和静电力常在同一量级（例 4 中 $0.10\ \mathrm{N}$ 对 $0.075\ \mathrm{N}$）。 正确做法：电子、质子、离子不计重力；小球、油滴、尘埃计重力，题目另有说明的除外。
• 错在哪：认为比荷大的粒子在同样的加速和偏转电场中偏得更多。 为什么错：只看偏转电场中的加速度 $a = \dfrac{qU}{md}$，忘了比荷大的粒子加速后也更快、在板间时间更短。 正确做法：先加速后偏转时用 $y = \dfrac{U_2 L^2}{4U_1 d}$，偏移与 $q$、$m$ 无关；只有以相同速度射入时，比荷大的才偏得多。
• 错在哪：算出 $y > \dfrac{d}{2}$ 仍按飞出处理。 为什么错：$t = \dfrac{L}{v_0}$ 的前提是粒子穿过整块板；打到板上时运动时间更短。 正确做法：先算 $y$ 和 $\dfrac{d}{2}$ 比较，打到板上时由 $\dfrac{d}{2} = \dfrac{1}{2}at^2$ 求时间，再求水平距离。

直观理解

偏转就是“电场里的平抛”：把平抛运动的图转 $90^\circ$，竖直向下的重力换成沿电场方向的静电力，$g$ 换成 $\dfrac{qU}{md}$，其余公式和推论（反向延长线过中点、$\tan\theta = 2\tan\alpha$）照搬第 9 章。加速则像“从斜坡上滑下”：不管坡的形状如何，滑到底的动能只由高度差决定，这里由电势差决定。

关联知识点

• 前置：第 9 章平抛运动的规律和推论，偏转的处理方法完全相同。
• 前置：第 13 章动能定理，加速问题的首选方法。
• 前置：第 6 章牛顿第二定律，求偏转加速度 $a = \dfrac{qE}{m}$。
• 后续：第 26 章带电粒子在磁场中的运动，以及电场、磁场的组合场（质谱仪先用电场加速、回旋加速器每圈经电场加速一次）。
• 后续：第 35 章光电效应，用反向电压使光电子减速（遏止电压），是“减速”情形的加速公式。
• 常一起考：16.6 节，平行板电容器既提供加速电场，也提供偏转电场。

16.8 知识点之间的关系

本章六个知识点围绕一个式子展开：$W_{AB} = qU_{AB} = E_{\text{p}A} - E_{\text{p}B}$。16.2 节由“静电力做功与路径无关”引出电势能和电势，16.3 节把功和电势差连起来，16.4 节在匀强电场中把电势差和场强连起来（$U = Ed$），16.5 节用等势面把电势的分布画出来。16.6 节的电容器是产生匀强电场的装置，16.7 节是带电粒子在这种电场里的运动：加速用能量（16.3），偏转用力和运动的分解（第 9 章）。

拿到题目，先看问什么，再按下图选规律：

16.9 自测

1. 把电荷量 $q = +4.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$ 的点电荷从 $A$ 点移到 $B$ 点，静电力做功 $-8.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{J}$。电荷的电势能增加还是减少，变化多少？若取 $A$ 点电势为零，$B$ 点电势是多少？
2. 负电荷沿着电场线方向移动，它的电势能增大还是减小？
3. 已知 $U_{AB} = -50\ \mathrm{V}$，$A$、$B$ 哪点电势高？把一个电子从 $A$ 移到 $B$，静电力做多少功（用 $\mathrm{eV}$ 表示）？
4. 匀强电场的场强 $E = 500\ \mathrm{V/m}$，$A$、$B$ 两点相距 $4\ \mathrm{cm}$，连线与电场线成 $60^\circ$ 角。$A$、$B$ 间的电势差多大？
5. 匀强电场中 $a$、$b$、$c$ 三点在一条直线上，$ab = bc$，$\varphi_a = 8\ \mathrm{V}$，$\varphi_c = 2\ \mathrm{V}$，求 $\varphi_b$。
6. 等量异种点电荷连线的中垂线上，各点场强的方向如何？取无穷远为零电势，中垂线上各点的电势是多少？
7. 平行板电容器充电后与电源断开，再增大两板间的距离。电容 $C$、两板间电压 $U$、板间场强 $E$ 各怎样变化？
8. 电容为 $4\ \mu\mathrm{F}$ 的电容器接在 $6\ \mathrm{V}$ 的电源上，所带电荷量是多少？
9. 质子和 $\alpha$ 粒子由静止经同一电压加速，获得的动能之比和速度之比各是多少？
10. 电子垂直射入平行板间的匀强电场并能飞出。其他条件不变，只把偏转电压加倍（仍能飞出），偏移量变为原来的几倍？

答案：1. 增加 $8.0 \times 10^{-4}\ \mathrm{J}$，$\varphi_B = 200\ \mathrm{V}$（$U_{AB} = -200\ \mathrm{V}$）；2. 增大；3. $B$ 点高，$W = +50\ \mathrm{eV}$；4. $10\ \mathrm{V}$（$d = 2\ \mathrm{cm}$）；5. $5\ \mathrm{V}$；6. 都平行于连线，指向负电荷一侧，电势都为零；7. $C$ 减小，$U$ 增大，$E$ 不变；8. $2.4 \times 10^{-5}\ \mathrm{C}$；9. 动能之比 $1 : 2$，速度之比 $\sqrt{2} : 1$；10. 2 倍。

16.10 深入阅读

• PhET · 电荷和场：摆放正负电荷，用电压表探头描出等势线，看等势线和电场线怎样垂直。
• PhET · 电容器实验室：基础：改变板间距离和正对面积，看电容、电荷量、板间场强怎样变化，对照两类动态分析。
• 维基百科 · 电势：电势的定义、与电场强度的关系和点电荷的电势公式。
• 维基百科 · 电容：电容的定义、平行板电容器公式和常见电容器的种类。