第 1 章 · 集合

项目	内容
课标主题	必修 · 预备知识 · 集合
人教 A 版	必修第一册 第一章 1.1–1.3
考试地位	必考。几乎每年都是前三道选择题之一，常和不等式的解集、函数的定义域一起考
前置知识	初中的数、方程和不等式

集合是高中数学的“语言”。后面讲不等式的解集、函数的定义域和值域、概率里的事件，用的都是集合的写法。这一章的题目不难，难在细节：元素不能重复、空集不能忘、描述法里代表元素是谁。丢分几乎都丢在这几处。

1.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
1.2 集合的概念与表示	一组确定的、互不相同的对象，用列举法或描述法写出来；连续数集可简写成区间	常考，多和其他知识结合
1.3 集合间的基本关系	子集、真子集、相等；空集是任何集合的子集	常考，含参数的题最容易漏空集
1.4 集合的基本运算	交集、并集、补集，数集用数轴，有限集用 Venn 图	必考

1.2 集合的概念与表示

说明

集合：把一些确定的对象放在一起看成一个整体，就是一个集合，通常用大写字母 $A, B, C$ 表示。集合里的每个对象叫元素，通常用小写字母表示。

元素有三个特性：

• 确定性：一个对象是不是这个集合的元素，必须能明确判断。“高个子的同学”不能构成集合，“身高超过 1.8 米的同学”可以。
• 互异性：同一个集合里的元素互不相同。$\{1, 1, 2\}$ 应写成 $\{1, 2\}$。
• 无序性：元素的排列顺序无关紧要，$\{1, 2\} = \{2, 1\}$。

元素与集合的关系：$a$ 是 $A$ 的元素，记作 $a \in A$，读作”$a$ 属于 $A$“；否则记作 $a \notin A$。

常用数集：

记号	含义	注意
$\mathbf{N}$	自然数集	含 0
$\mathbf{N}^*$ 或 $\mathbf{N}_+$	正整数集	不含 0
$\mathbf{Z}$	整数集
$\mathbf{Q}$	有理数集
$\mathbf{R}$	实数集

怎么表示一个集合：课标的要求是“能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合”。自然语言就是用话说，如“小于 5 的自然数”；图形语言是 Venn 图（1.3、1.4 节）和数轴；符号语言是下面两种写法，人教 A 版在 1.1 节讲的就是这两种：

• 列举法：把元素一一写在大括号里，如 $\{1, 2, 3\}$。适合元素少的有限集。
• 描述法：写成 $\{x \mid x \text{ 满足的条件}\}$，竖线前是代表元素，竖线后是条件。如 $\{x \mid x^2 - 1 = 0\}$。描述法什么集合都能写：数集、点集、有限集、无限集都可以。

区间：连续数集的简写。数集里最常见的是“一段连续的实数”，比如 $\{x \mid -1 < x \le 2\}$。这类集合用描述法写比较长，所以另有一种简写，叫区间。区间不是第三种表示方法，课本是用描述法来定义区间的：设 $a < b$，满足 $a \le x \le b$ 的实数 $x$ 的集合叫闭区间，记作 $[a, b]$，其余几种同理。所以每个区间都能改写成描述法，但描述法写的集合大多不能写成区间，比如 $\{x \mid x^2 = 1\} = \{-1, 1\}$（两个孤立的数）、$\{x \in \mathbf{Z} \mid x > 0\}$（整数，不连续）、$\{(x, y) \mid y = x^2\}$（点集）。人教 A 版到第三章“函数的概念”才引入区间，因为写定义域和值域时最常用；本书提前放在这里，是因为后面几章解不等式就要用它写答案。设 $a < b$：

集合	区间	集合	区间
$\{x \mid a \le x \le b\}$	$[a, b]$	$\{x \mid x \ge a\}$	$[a, +\infty)$
$\{x \mid a < x < b\}$	$(a, b)$	$\{x \mid x > a\}$	$(a, +\infty)$
$\{x \mid a \le x < b\}$	$[a, b)$	$\{x \mid x \le b\}$	$(-\infty, b]$
$\{x \mid a < x \le b\}$	$(a, b]$	$\mathbf{R}$	$(-\infty, +\infty)$

方括号表示含端点，圆括号表示不含端点。$\infty$ 不是数，所以它那一侧永远用圆括号。

不含任何元素的集合叫空集，记作 $\varnothing$。

使用场景

• 判断一组对象能不能构成集合：看“是不是”能不能明确判断。
• 已知某个数属于集合，求参数：解出参数后，代回去检查元素是否互不相同。
• 读懂描述法表示的集合：先看代表元素是 $x$、$y$ 还是点 $(x, y)$，再看条件。
• 把不等式的解写成集合或区间：考试的答案常要求这种形式。

注意点

• 课标和教材里 $\mathbf{N}$ 含 0。题目说“自然数”就包括 0，说“正整数”才不含 0。
• 区间只能表示数集，而且要求左端点小于右端点。$[2, 1]$ 没有意义。
• $\varnothing$、$\{0\}$、$\{\varnothing\}$ 是三个不同的集合：第一个没有元素，后两个各有一个元素。
• 描述法里的代表元素决定集合是什么。$\{x \mid y = x^2\}$、$\{y \mid y = x^2\}$、$\{(x, y) \mid y = x^2\}$ 是三个完全不同的集合。

证明

集合是数学里最基本的概念之一，高中不给它下严格定义，所以没有“证明”可言。但互异性和无序性不是凭空规定的，它们来自一条更基本的约定：

两个集合相等，当且仅当它们的元素完全相同。

由这条约定：

1. $\{1, 1, 2\}$ 和 $\{1, 2\}$ 的元素都是 1 和 2，所以它们是同一个集合。重复写的元素没有意义，于是约定不重复写，这就是互异性。
2. $\{1, 2\}$ 和 $\{2, 1\}$ 的元素也都是 1 和 2，所以相等。顺序不影响集合，这就是无序性。

也就是说，集合只关心“谁在里面”，不关心“写了几次”“按什么顺序写”。

严格的集合论（大学课程中的公理化集合论）把这条约定写成“外延公理”。

例题

例 1　（场景：判断能否构成集合）下列各组对象中，能构成集合的是（　）。

A. 我们班学习好的同学　B. 不超过 5 的自然数　C. 接近 0 的数　D. 很大的正整数

解：B。不超过 5 的自然数是 $0, 1, 2, 3, 4, 5$，每个数是不是都能明确判断。A、C、D 里的“学习好”“接近”“很大”没有标准，不满足确定性。

例 2　（场景：已知元素求参数）已知 $A = \{a + 2, (a + 1)^2, a^2 + 3a + 3\}$，且 $1 \in A$，求 $a$。

解：1 可能等于三个元素中的任何一个，分三种情况：

1. $a + 2 = 1$，得 $a = -1$。此时三个元素是 $1, 0, 1$，有两个 1，违反互异性，舍去。
2. $(a + 1)^2 = 1$，得 $a = 0$ 或 $a = -2$。
   • $a = 0$：三个元素是 $2, 1, 3$，符合。
   • $a = -2$：三个元素是 $0, 1, 1$，舍去。
3. $a^2 + 3a + 3 = 1$，即 $a^2 + 3a + 2 = 0$，得 $a = -1$ 或 $a = -2$，前面已检验都要舍去。

所以 $a = 0$。

容易卡在：解出 $a$ 就停，忘了代回去检查互异性。

例 3　（场景：读懂描述法）设 $A = \{x \mid y = x^2 - 1\}$，$B = \{y \mid y = x^2 - 1\}$，$C = \{(x, y) \mid y = x^2 - 1\}$，分别说出它们是什么集合。

解：

• $A$ 的代表元素是 $x$。$x$ 取任何实数，$y = x^2 - 1$ 都有意义，所以 $A = \mathbf{R}$。
• $B$ 的代表元素是 $y$。因为 $x^2 \ge 0$，所以 $y = x^2 - 1 \ge -1$，$B = [-1, +\infty)$。
• $C$ 的代表元素是有序数对 $(x, y)$，$C$ 是抛物线 $y = x^2 - 1$ 上所有点组成的集合，它是点集，不是数集。

容易卡在：只看竖线后面的式子，不看竖线前面的代表元素。

例 4　（场景：把不等式的解写成集合）解不等式 $3x - 2 > x + 4$，把解集用描述法和区间各写一次。

解：移项得 $2x > 6$，$x > 3$。解集是 $\{x \mid x > 3\}$，区间写作 $(3, +\infty)$。

常用推论

• $\mathbf{N}^* \subsetneqq \mathbf{N} \subsetneqq \mathbf{Z} \subsetneqq \mathbf{Q} \subsetneqq \mathbf{R}$（包含关系的记号见 1.3 节）。
• 若 $a \in A$ 且 $A$ 用列举法写出，含参数时解出的每个值都要代回检验互异性。
• 两个集合相等，就是元素完全相同：用列举法写出的两个集合相等时，可以对应元素列方程，但每组解都要检验。

易错点

• 错在哪：例 2 这类题，解出 $a = -1$ 就作为答案。 为什么错：$a = -1$ 时集合里出现两个 1，这个集合根本不存在。 正确做法：每个解都代回原集合，检查元素是否互不相同。
• 错在哪：认为 $\{x \mid y = x^2\}$ 和 $\{y \mid y = x^2\}$ 是同一个集合。 为什么错：前者是 $x$ 的取值范围（$\mathbf{R}$），后者是 $y$ 的取值范围（$[0, +\infty)$）。 正确做法：先找竖线前的代表元素，再看它在条件下能取哪些值。
• 错在哪：认为 $0 \notin \mathbf{N}$。 为什么错：国内课标规定自然数包括 0。 正确做法：记住 $\mathbf{N} = \{0, 1, 2, \dots\}$，$\mathbf{N}^* = \{1, 2, 3, \dots\}$。

直观理解

集合像一个袋子：袋子里装了什么才是重要的，同一样东西放两次还是一样，摆放顺序也不重要。描述法像一张“入袋规则”：竖线前写“往袋里放的是什么”，竖线后写“满足什么条件才能放”。

关联知识点

• 后续：1.3 集合间的基本关系、1.4 集合的基本运算都建立在元素和集合的写法上。
• 后续：第 4 章一元二次不等式的解集，用区间写答案。
• 后续：第 5 章函数的定义域和值域，就是用描述法表示的数集。
• 后续：第 21 章概率里的样本空间和事件，也是集合。

1.3 集合间的基本关系

说明

子集：如果集合 $A$ 的每一个元素都是集合 $B$ 的元素，就说 $A$ 是 $B$ 的子集，记作 $A \subseteq B$（或 $B \supseteq A$）。

相等：若 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$，则 $A = B$。

真子集：若 $A \subseteq B$，且 $B$ 中至少有一个元素不属于 $A$，就说 $A$ 是 $B$ 的真子集，记作 $A \subsetneqq B$。

空集的规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

子集的个数：含 $n$ 个元素的集合有

• $2^n$ 个子集；
• $2^n - 1$ 个真子集；
• $2^n - 2$ 个非空真子集（$n \ge 1$）。

使用场景

• 判断两个集合之间的关系：先把集合化简成列举法或区间，再比较。
• 已知包含关系求参数：把”$B \subseteq A$“翻译成端点之间的不等式，并且单独讨论 $B = \varnothing$。
• 求子集或满足条件的集合的个数：用 $2^n$ 公式，或者固定必选的元素后再数。

注意点

• $\in$ 用在元素和集合之间，$\subseteq$ 用在集合和集合之间。$1 \in \{1, 2\}$ 对，$\{1\} \subseteq \{1, 2\}$ 对，$1 \subseteq \{1, 2\}$ 错。
• 题目说”$B \subseteq A$“而 $B$ 含参数时，$B$ 可能是空集，必须先讨论。
• 求参数时，端点能不能取等号要单独检验，最稳的办法是把端点值代回去看。

证明

结论 1：空集是任何集合的子集。

要证 $\varnothing \subseteq A$，按定义要说明”$\varnothing$ 的每一个元素都属于 $A$“。用反证法：假设 $\varnothing \not\subseteq A$，那么 $\varnothing$ 中至少有一个元素不属于 $A$。但 $\varnothing$ 中根本没有元素，矛盾。所以 $\varnothing \subseteq A$。

结论 2：子集关系可以传递。 若 $A \subseteq B$，$B \subseteq C$，则 $A \subseteq C$。

任取 $x \in A$。因为 $A \subseteq B$，所以 $x \in B$；又因为 $B \subseteq C$，所以 $x \in C$。$A$ 的每个元素都在 $C$ 中，所以 $A \subseteq C$。

结论 3：含 $n$ 个元素的集合有 $2^n$ 个子集。

设集合为 $\{a_1, a_2, \dots, a_n\}$。构造一个子集，要对每个元素做一次选择：放进去，或不放进去。

• 对 $a_1$ 有 2 种选择，对 $a_2$ 有 2 种选择，……，对 $a_n$ 有 2 种选择。
• 关键一步：每一种选择组合恰好对应一个子集，不同的组合对应不同的子集。所以子集个数等于选择组合的个数。
• 由分步乘法计数原理（第 34 章），共有 $2 \times 2 \times \dots \times 2 = 2^n$ 种组合。

全都不放对应 $\varnothing$，全都放对应集合本身。去掉集合本身得 $2^n - 1$ 个真子集，再去掉 $\varnothing$ 得 $2^n - 2$ 个非空真子集。

例题

例 1　（场景：判断集合间的关系）设 $A = \{x \mid x^2 - 3x + 2 = 0\}$，$B = \{1, 2\}$，$C = \{x \in \mathbf{N} \mid x < 3\}$，判断 $A$、$B$、$C$ 之间的关系。

解：化成列举法：$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0$，所以 $A = \{1, 2\}$；$C = \{0, 1, 2\}$（$\mathbf{N}$ 含 0）。

所以 $A = B$，$A \subsetneqq C$，$B \subsetneqq C$。

例 2　（场景：已知包含关系求参数）已知 $A = \{x \mid -2 \le x \le 5\}$，$B = \{x \mid m + 1 \le x \le 2m - 1\}$，且 $B \subseteq A$，求实数 $m$ 的取值范围。

解：分两种情况。

1. $B = \varnothing$：此时 $m + 1 > 2m - 1$，即 $m < 2$。空集是任何集合的子集，满足 $B \subseteq A$。
2. $B \ne \varnothing$：此时 $m \ge 2$，并且 $B$ 要整个落在 $A$ 里：

$$\begin{cases} m + 1 \ge -2, \\ 2m - 1 \le 5, \end{cases}$$

解得 $m \ge -3$ 且 $m \le 3$。结合 $m \ge 2$，得 $2 \le m \le 3$。

合并两种情况：$m$ 的取值范围是 $(-\infty, 3]$。

容易卡在：直接写端点不等式，漏掉 $B = \varnothing$ 的情况，得到错误答案 $[2, 3]$。

另一种解法：先画数轴把”$B$ 落在 $A$ 里“看清楚，再分情况。这道题的端点条件 $m + 1 \ge -2$、$2m - 1 \le 5$ 从图上一眼就能读出来；画图的价值在于端点能否取等号，图上看 $-2$ 和 $5$ 都是实心点，$B$ 的端点可以与它们重合，所以都取等号。

例 3　（场景：求满足条件的集合个数）满足 $\{1, 2\} \subseteq M \subsetneqq \{1, 2, 3, 4, 5\}$ 的集合 $M$ 有多少个？

解：$M$ 一定含 1 和 2，剩下要决定的是 3、4、5 放不放进 $M$。$\{3, 4, 5\}$ 的子集有 $2^3 = 8$ 个，所以 $M$ 有 8 种。但 $M$ 是 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 的真子集，要去掉 $M = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ 这一种，所以共 $8 - 1 = 7$ 个。

常用推论

• 含 $n$ 个元素的集合：子集 $2^n$ 个，真子集 $2^n - 1$ 个，非空真子集 $2^n - 2$ 个。推导见本节“证明”结论 3。
• 若 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$，则 $A = B$。证明两个集合相等，常用的就是“互相包含”。
• 数集 $B = [p, q]$ 是 $A = [a, b]$ 的子集（$B$ 非空），等价于 $a \le p$ 且 $q \le b$。

易错点

• 错在哪：含参数的集合求 $B \subseteq A$，不讨论 $B = \varnothing$。 为什么错：$B = \varnothing$ 时 $B \subseteq A$ 一定成立，这部分参数也是答案。 正确做法：先问”$B$ 能不能是空集”，能的话单独算一遍。
• 错在哪：把 $\{0\}$ 当成空集，或者写 $\varnothing \in \{0\}$。 为什么错：$\{0\}$ 有一个元素 0；$\varnothing$ 不是 $\{0\}$ 的元素，是它的子集。 正确做法：$\varnothing \subsetneqq \{0\}$，$0 \in \{0\}$。
• 错在哪：数 $\{1, 2\} \subseteq M \subsetneqq U$ 的个数时，把 $M = \{1, 2\}$ 也去掉。 为什么错：左边是 $\subseteq$，$M$ 可以等于 $\{1, 2\}$；只有右边的 $\subsetneqq$ 才排除相等。 正确做法：看清两边的符号，哪边带“真”就去掉哪边的相等情况。

直观理解

子集就是“装在里面”：画成 Venn 图，$A \subseteq B$ 就是 $A$ 的圈整个在 $B$ 的圈里面。数集的子集在数轴上更直观：$B \subseteq A$ 就是 $B$ 的那一段整个落在 $A$ 的那一段上。

子集个数 $2^n$ 可以想成开关：每个元素一个开关，开表示在子集里，关表示不在，$n$ 个开关共有 $2^n$ 种状态。

关联知识点

• 前置：1.2 集合的概念与表示。
• 后续：1.4 集合的基本运算，“$A \cap B = A$“等条件都要转化成包含关系。
• 后续：第 2 章充分条件与必要条件。“$p$ 是 $q$ 的充分条件”等价于”$p$ 对应的集合是 $q$ 对应的集合的子集”。
• 后续：第 34 章计数原理，$2^n$ 的推导用的是分步乘法计数原理。

1.4 集合的基本运算

说明

运算	定义	记号
交集	既属于 $A$ 又属于 $B$ 的元素组成的集合	$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\}$
并集	属于 $A$ 或属于 $B$ 的元素组成的集合	$A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\}$
补集	全集 $U$ 中不属于 $A$ 的元素组成的集合	$\complement_U A = \{x \mid x \in U \text{ 且 } x \notin A\}$

全集：研究的问题中，所有元素都属于的那个集合，通常记作 $U$。补集一定是相对某个全集说的。

运算性质：

• $A \cap B = B \cap A$，$A \cup B = B \cup A$。
• $A \cap \varnothing = \varnothing$，$A \cup \varnothing = A$。
• $A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B$。
• $A \cap (\complement_U A) = \varnothing$，$A \cup (\complement_U A) = U$，$\complement_U(\complement_U A) = A$。

使用场景

• 求数集的交、并、补：把集合画在数轴上，注意端点是空心还是实心。
• 求有限集的交、并、补：用列举法或画 Venn 图。
• 已知运算结果求参数：把 $A \cap B = A$、$A \cup B = B$ 这类条件转化为包含关系，再按 1.3 节的方法做。
• 计数问题：两个集合的元素个数、交集个数之间的关系，用容斥原理。

注意点

• 数集求补集时，端点的开闭要反过来：$A = (-1, 2)$ 时，$\complement_{\mathbf{R}} A = (-\infty, -1] \cup [2, +\infty)$。
• “或”在数学里包括“两者都满足”，所以 $A \cup B$ 包含 $A \cap B$。
• 求补集一定要先看清全集是什么。题目没说全集时，通常默认是 $\mathbf{R}$，但要确认。
• 条件 $A \cup B = A$ 或 $A \cap B = B$ 都意味着 $B \subseteq A$，此时仍要讨论 $B = \varnothing$。

证明

结论 1：$A \cap B = A \iff A \subseteq B \iff A \cup B = B$。

先证 $A \cap B = A \iff A \subseteq B$：

• （$\Rightarrow$）若 $A \cap B = A$，任取 $x \in A$，则 $x \in A \cap B$，所以 $x \in B$。于是 $A \subseteq B$。
• （$\Leftarrow$）若 $A \subseteq B$，任取 $x \in A$，则 $x \in B$，所以 $x \in A \cap B$，得 $A \subseteq A \cap B$；又 $A \cap B \subseteq A$ 总成立，所以 $A \cap B = A$。

$A \subseteq B \iff A \cup B = B$ 同理可证：$A \subseteq B$ 时 $A$ 的元素都在 $B$ 里，并上 $A$ 不会多出新元素。

结论 2：德摩根律。 $\complement_U(A \cap B) = (\complement_U A) \cup (\complement_U B)$，$\complement_U(A \cup B) = (\complement_U A) \cap (\complement_U B)$。

证第一个。对全集中任一元素 $x$：

$x \in \complement_U(A \cap B)$ $\iff$ $x \notin A \cap B$ $\iff$ “$x \in A$ 且 $x \in B$“不成立 $\iff$ $x \notin A$ 或 $x \notin B$（关键一步：“两件事都成立”的否定是“至少一件不成立”） $\iff$ $x \in \complement_U A$ 或 $x \in \complement_U B$ $\iff$ $x \in (\complement_U A) \cup (\complement_U B)$。

两边元素完全相同，所以两个集合相等。第二个同理，关键一步换成”’$x \in A$ 或 $x \in B$‘的否定是’$x \notin A$ 且 $x \notin B$’“。

结论 3：容斥原理。 对有限集，$\mathrm{card}(A \cup B) = \mathrm{card}(A) + \mathrm{card}(B) - \mathrm{card}(A \cap B)$，其中 $\mathrm{card}$ 表示元素个数。

把 $\mathrm{card}(A)$ 和 $\mathrm{card}(B)$ 相加时，$A \cap B$ 里的每个元素在 $A$ 里数了一次、在 $B$ 里又数了一次，多数了一次，所以要减去 $\mathrm{card}(A \cap B)$。

例题

例 1　（场景：数集的交、并、补）已知 $A = \{x \mid x^2 - x - 2 < 0\}$，$B = \{x \mid x \ge 1\}$，求 $A \cap B$、$A \cup B$、$\complement_{\mathbf{R}} A$。

解：$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) < 0$，得 $-1 < x < 2$，所以 $A = (-1, 2)$；$B = [1, +\infty)$。画在数轴上：

• $A \cap B = [1, 2)$：1 属于 $B$ 也属于 $A$，取到；2 不属于 $A$，取不到。
• $A \cup B = (-1, +\infty)$。
• $\complement_{\mathbf{R}} A = (-\infty, -1] \cup [2, +\infty)$。

例 2　（场景：有限集的运算）设 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$，$A = \{1, 2, 3, 5\}$，$B = \{2, 4, 5, 7\}$，求 $A \cap B$、$A \cup B$、$\complement_U(A \cup B)$、$(\complement_U A) \cap B$。

解：

• $A \cap B = \{2, 5\}$。
• $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 7\}$。
• $\complement_U(A \cup B) = \{6, 8\}$。
• $\complement_U A = \{4, 6, 7, 8\}$，所以 $(\complement_U A) \cap B = \{4, 7\}$。

另一种解法：求 $\complement_U(A \cup B)$ 时，用德摩根律先求 $\complement_U A = \{4, 6, 7, 8\}$ 和 $\complement_U B = \{1, 3, 6, 8\}$，再取交集得 $\{6, 8\}$。这道题直接算更快；但当 $A \cup B$ 不好求、补集好求时（比如 $A$、$B$ 都是由“不满足某条件”定义的），先求补集再取交集更省事。

例 3　（场景：已知运算结果求参数）已知 $A = \{x \mid x^2 - 3x + 2 = 0\}$，$B = \{x \mid ax - 2 = 0\}$，且 $A \cup B = A$，求实数 $a$ 的所有可能值。

解：$A = \{1, 2\}$。$A \cup B = A$ 等价于 $B \subseteq A$。

1. $a = 0$：方程 $0 \cdot x = 2$ 无解，$B = \varnothing \subseteq A$，符合。
2. $a \ne 0$：$B = \left\{\dfrac{2}{a}\right\}$，要求 $\dfrac{2}{a} \in A$。
   • $\dfrac{2}{a} = 1$，得 $a = 2$；
   • $\dfrac{2}{a} = 2$，得 $a = 1$。

所以 $a$ 的值为 $0$、$1$ 或 $2$。

容易卡在：漏掉 $a = 0$。$a = 0$ 时方程不是一次方程，$B$ 是空集。

例 4　（场景：容斥原理计数）某班 50 名学生，参加数学兴趣小组的有 30 人，参加物理兴趣小组的有 26 人，两个小组都没参加的有 4 人。两个小组都参加的有多少人？

解：设参加数学小组的学生组成集合 $A$，参加物理小组的组成集合 $B$。至少参加一个小组的有 $50 - 4 = 46$ 人，即 $\mathrm{card}(A \cup B) = 46$。由容斥原理：

$$\mathrm{card}(A \cap B) = \mathrm{card}(A) + \mathrm{card}(B) - \mathrm{card}(A \cup B) = 30 + 26 - 46 = 10.$$

两个小组都参加的有 10 人。

另一种解法：画 Venn 图，设两个都参加的有 $x$ 人，则只参加数学的 $30 - x$ 人，只参加物理的 $26 - x$ 人。四块加起来是全班：$(30 - x) + x + (26 - x) + 4 = 50$，解得 $x = 10$。Venn 图法不用记公式，三个集合的计数题也照样能用。

常用推论

• $A \cap B = A \iff A \subseteq B \iff A \cup B = B$。推导见本节“证明”结论 1。
• 德摩根律：$\complement_U(A \cap B) = (\complement_U A) \cup (\complement_U B)$，$\complement_U(A \cup B) = (\complement_U A) \cap (\complement_U B)$。口诀“补的交等于并的补，补的并等于交的补”。
• 容斥原理（两个集合）：$\mathrm{card}(A \cup B) = \mathrm{card}(A) + \mathrm{card}(B) - \mathrm{card}(A \cap B)$。
• 三个集合的容斥原理：$\mathrm{card}(A \cup B \cup C) = \mathrm{card}(A) + \mathrm{card}(B) + \mathrm{card}(C) - \mathrm{card}(A \cap B) - \mathrm{card}(B \cap C) - \mathrm{card}(A \cap C) + \mathrm{card}(A \cap B \cap C)$。推导和两个集合一样：画 Venn 图，数每一块被加了几次、减了几次。

易错点

• 错在哪：$A = (-1, 2)$，写 $\complement_{\mathbf{R}} A = (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$。 为什么错：$-1$ 和 $2$ 不属于 $A$，所以属于 $A$ 的补集。 正确做法：求补集时端点开闭互换，原来空心变实心，原来实心变空心。
• 错在哪：例 3 只考虑 $a \ne 0$。 为什么错：$ax = 2$ 在 $a = 0$ 时无解，$B$ 是空集，也满足 $B \subseteq A$。 正确做法：含参数的方程或不等式，先看最高次项的系数能否为 0。
• 错在哪：求 $A \cap B$ 时端点只看一个集合。 为什么错：交集的端点要两个集合同时取得到才能取。例 1 中 2 属于 $B$，但不属于 $A$，所以 $A \cap B$ 不含 2。 正确做法：在数轴上看端点：交集取端点要两边都是实心，并集取端点只要一边是实心。

直观理解

在数轴上，交集是两段的重叠部分，并集是两段盖住的全部，补集是没被盖住的部分。在 Venn 图上一样：交集是两个圈重叠的地方，并集是两个圈加起来的地方，补集是圈外面的地方。

德摩根律可以这样记：“不是（既 A 又 B）“等于”不是 A，或者不是 B”。比如“不是（会英语且会日语）“就是”不会英语或者不会日语”。

关联知识点

• 前置：1.3 集合间的基本关系，运算结果的条件常转化成包含关系。
• 后续：第 2 章常用逻辑用语，“且”“或”“非”对应交、并、补。
• 后续：第 4 章一元二次不等式，不等式组的解集就是各个不等式解集的交集。
• 后续：第 21 章概率，事件的和、积、对立事件分别对应并集、交集、补集。

1.5 知识点之间的关系

本章三个知识点是一条线：先会写集合（1.2），才能比较两个集合（1.3），才能对集合做运算（1.4）。运算的条件（如 $A \cup B = A$）最后又常常要转化回包含关系来解。

集合在高中数学里主要作为工具使用：不等式的解集、函数的定义域和值域都用集合表示；包含关系对应第 2 章的充分条件与必要条件；交、并、补对应逻辑里的“且”“或”“非”，也对应概率里的事件运算。

考试里的典型组合是：先解一个不等式（第 4 章）或求一个定义域（第 5 章）得到两个数集，再求交、并、补。所以本章真正的难点常常不在集合本身，而在前面那一步解不等式。

1.6 自测

1. 已知 $A = \{0, 1, 2\}$，$B = \{x \mid x = 2a, a \in A\}$，求 $A \cap B$。
2. 集合 $\{x \in \mathbf{N} \mid x < 4\}$ 有多少个真子集？
3. 已知 $A = \{x \mid -1 \le x < 3\}$，$B = \{x \mid x > a\}$，若 $A \cap B \ne \varnothing$，求 $a$ 的取值范围。
4. 设全集 $U = \mathbf{R}$，$A = \{x \mid x < 1 \text{ 或 } x > 3\}$，求 $\complement_U A$。
5. 已知 $A = \{x \mid x^2 = 1\}$，$B = \{x \mid mx = 1\}$，若 $B \subseteq A$，求 $m$ 的所有可能值。
6. 某班 40 人，会英语的 28 人，会日语的 15 人，两种都会的 8 人。两种都不会的有多少人？

答案：1. $\{0, 2\}$；2. 15；3. $a < 3$；4. $[1, 3]$；5. $m = 0$、$1$ 或 $-1$；6. 5 人。

1.7 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，有按人教版章节排列的高中数学同步课程和教材电子版。
• Khan Academy · Sets：集合的交、并、补和 Venn 图的英文视频讲解，配练习题。
• Wolfram MathWorld · Set：集合相关术语的英文定义，查记号和英文说法时用。