第 19 章 · 空间点、直线、平面的位置关系

项目	内容
课标主题	必修 · 几何与代数 · 立体几何初步
人教 A 版	必修第二册 第八章 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系，8.5 空间直线、平面的平行，8.6 空间直线、平面的垂直
考试地位	必考。立体几何解答题的第一问几乎总是证明平行或垂直；选择题常考位置关系的判断；求角的第二问多用空间向量（第 27 章），但角的定义来自本章
前置知识	初中平面几何（平行线、全等、勾股定理）；第 18 章空间几何体

这一章是立体几何的“语法”：哪些事实可以直接用，平行和垂直怎么证，空间里的角怎么定义。证明题的分数常常不是丢在想不到，而是丢在写不全：判定定理的条件少写一条（“直线在平面外”“两条直线相交”），阅卷就扣分。另一个丢分点是把平面几何的结论搬到空间：平面里“垂直于同一条直线的两条直线平行”，到了空间就不对了。

19.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
19.2 基本事实与空间位置关系	三点定面、两点定线在面内、两面交于一线；空间两条直线有平行、相交、异面三种关系	常考，选择题判断真假，解答题证共点、共线、共面和作截面
19.3 直线、平面平行的判定与性质	线线平行推线面平行，两条相交直线推面面平行；反过来由性质定理推回线线平行	必考，解答题第一问的常见设问
19.4 直线、平面垂直的判定与性质	垂直于面内两条相交直线就垂直于平面；面内有另一个面的垂线就面面垂直	必考，解答题第一问最常见的设问
19.5 空间角的定义	异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角，都化成一个平面角来量	常考，小题直接求角，大题求角用向量但要先懂定义

19.2 基本事实与空间位置关系

说明

平面是向四周无限延展的，没有厚度。画图时通常画成平行四边形，记作平面 $\alpha$、平面 $ABCD$ 或平面 $AC$（用对角顶点）。

点、线、面之间的关系用集合符号写：点 $A$ 在直线 $l$ 上记 $A \in l$，点 $A$ 在平面 $\alpha$ 内记 $A \in \alpha$；直线 $l$ 在平面 $\alpha$ 内记 $l \subset \alpha$，不在记 $l \not\subset \alpha$；平面 $\alpha$、$\beta$ 相交于直线 $l$ 记 $\alpha \cap \beta = l$。

四个基本事实（课本不证明，直接承认，相当于“公理”）：

基本事实	内容	用途
基本事实 1	过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面	确定平面
基本事实 2	如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内	判断直线在平面内
基本事实 3	如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线	找两个平面的交线，证点共线
基本事实 4	平行于同一条直线的两条直线平行	空间里传递平行

三个推论（由基本事实 1 推出，确定平面的另外三种方式）：

1. 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
2. 经过两条相交直线，有且只有一个平面。
3. 经过两条平行直线，有且只有一个平面。

空间两条直线的位置关系：

关系	是否共面	公共点
相交	共面	恰有一个
平行	共面	没有
异面	不同在任何一个平面内	没有

直线与平面：直线在平面内（无数个公共点）、直线与平面相交（一个公共点）、直线与平面平行（没有公共点）。后两种合称“直线在平面外”。

两个平面：平行（没有公共点）或相交（有一条公共直线）。

等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

使用场景

• 判断“几个点、几条直线能确定几个平面”一类命题的真假：逐条对照基本事实 1 和三个推论，找反例。
• 证明三点共线或三线共点：说明这些点同时在两个平面内，由基本事实 3 它们都在交线上。
• 证明四点共面或几条直线共面：先用其中一部分确定一个平面，再证其余的点、线也在这个平面内。
• 判断空间两条直线的位置关系，特别是判断异面：看两条直线能不能放进同一个平面。
• 作几何体的截面：在同一个面内的两点直接连线，不在同一个面内的，先延长线段找交点。

注意点

• “三点确定一个平面”必须是不共线的三点。共线的三点有无数个平面经过。
• 异面直线不是“不在同一个平面内的两条直线”，而是”不同在任何一个平面内”。分别画在两个平面里的两条直线，可能是平行的。
• 没有公共点的两条直线不一定平行：在空间里还可能异面。平行要求“共面且没有公共点”。
• 平面几何里成立的结论，到空间里要重新检验。“垂直于同一条直线的两条直线平行”在空间不成立；“平行于同一条直线的两条直线平行”在空间成立，那是基本事实 4。
• 等角定理的结论是“相等或互补”：两组边方向都相同或都相反时相等，一组同向一组反向时互补。

证明

四个基本事实是承认的出发点，不证明。下面证明由它们推出的结论。

推论 1：经过直线 $l$ 和 $l$ 外一点 $A$，有且只有一个平面。

在 $l$ 上取两点 $B$、$C$。$A$ 不在 $l$ 上，所以 $A$、$B$、$C$ 不共线，由基本事实 1，过这三点有且只有一个平面 $\alpha$。$B$、$C$ 都在 $\alpha$ 内，由基本事实 2，$l \subset \alpha$。所以 $\alpha$ 经过 $l$ 和 $A$。

唯一性：任何经过 $l$ 和 $A$ 的平面都经过 $A$、$B$、$C$ 三点，而过这三点的平面只有一个。

推论 2：两条直线相交于 $O$，在两条直线上各取一个异于 $O$ 的点 $A$、$B$，三点 $O$、$A$、$B$ 不共线，同推论 1 的做法即得。

推论 3：两条平行直线 $a$、$b$，按定义它们共面，所以存在平面经过它们；在 $b$ 上取一点 $A$，经过 $a$ 和 $A$ 的平面只有一个（推论 1），所以经过 $a$、$b$ 的平面也只有一个。

等角定理（两组边方向都相同的情形）：设 $\angle BAC$ 和 $\angle B'A'C'$ 中，$AB \parallel A'B'$，$AC \parallel A'C'$，且方向相同。

在两组边上分别截取 $AD = A'D'$，$AE = A'E'$。

1. $AD$ 与 $A'D'$ 平行且相等，所以四边形 $AA'D'D$ 是平行四边形，$AA'$ 与 $DD'$ 平行且相等。
2. 同理 $AA'$ 与 $EE'$ 平行且相等。
3. 由基本事实 4，$DD'$ 与 $EE'$ 平行，并且长度都等于 $AA'$（关键一步：$DD'$ 和 $EE'$ 不一定在同一个平面里，不能用平面几何的平行线传递，只能靠基本事实 4）。所以 $DD'E'E$ 是平行四边形，$DE = D'E'$。
4. $\triangle ADE \cong \triangle A'D'E'$（三边对应相等），所以 $\angle BAC = \angle B'A'C'$。

一组边反向时，把那条边换成它的反向延长线，得到的角与原角互补。

例题

例 1　（场景：判断确定平面的命题）下列说法正确的是（　）。

A. 三个点确定一个平面　B. 一条直线和一个点确定一个平面　C. 两两相交的三条直线确定一个平面　D. 梯形一定是平面图形

解：D。

• A 错：三点共线时，经过它们的平面有无数个。
• B 错：点在直线上时，经过它们的平面有无数个。
• C 错：三条直线交于同一点时（如正方体同一个顶点出发的三条棱），它们可以不共面，能确定三个平面。
• D 对：梯形有一组对边平行，由推论 3 这两条边确定一个平面，另外两条边的端点都在这个平面内，由基本事实 2 也在平面内。

容易卡在：C 只想到三条直线交于三个不同点的情形（这时确实共面），漏掉交于一点的情形。

例 2　（场景：证明点共线）空间四边形 $ABCD$ 中，$E$、$H$ 分别在 $AB$、$AD$ 上，$F$、$G$ 分别在 $CB$、$CD$ 上，直线 $EH$ 与 $FG$ 相交于点 $P$。求证：点 $P$ 在直线 $BD$ 上。

解：

1. $P \in EH$，而 $E \in AB$、$H \in AD$，所以 $EH \subset$ 平面 $ABD$（基本事实 2），$P \in$ 平面 $ABD$。
2. 同理 $P \in FG \subset$ 平面 $CBD$，$P \in$ 平面 $CBD$。
3. 平面 $ABD$ 与平面 $CBD$ 不重合（$ABCD$ 是空间四边形，四点不共面），它们有公共点 $B$、$D$，由基本事实 3，它们的交线是直线 $BD$。
4. $P$ 是两个平面的公共点，所以 $P$ 在交线 $BD$ 上。

容易卡在：想不到“两个平面”。证共线的套路是：找两个平面，让要证的点都是它们的公共点。

例 3　（场景：证明四点共面）正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中，$E$、$F$ 分别是 $AB$、$AA_1$ 的中点。求证：$E$、$C$、$D_1$、$F$ 四点共面。

解：连接 $A_1B$。

1. 在 $\triangle AA_1B$ 中，$E$、$F$ 是 $AB$、$AA_1$ 的中点，所以 $EF \parallel A_1B$（中位线）。
2. 正方体中 $A_1D_1$ 与 $BC$ 平行且相等，所以四边形 $A_1BCD_1$ 是平行四边形，$A_1B \parallel D_1C$。
3. 由基本事实 4，$EF \parallel D_1C$。
4. 两条平行直线确定一个平面（推论 3），所以 $E$、$F$、$C$、$D_1$ 四点共面。

容易卡在：第 3 步。$EF$ 和 $D_1C$ 不在同一个面上，要借 $A_1B$ 当“中转站”，用的是基本事实 4。

例 4　（场景：判断两条直线的位置关系）正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中，判断下列各对直线的位置关系：（1）$AB$ 与 $CC_1$；（2）$A_1B$ 与 $D_1C$；（3）$A_1C$ 与 $BD_1$；（4）$A_1B$ 与 $B_1C$。

解：

1. 异面。$CC_1 \subset$ 平面 $BCC_1B_1$，$AB$ 与这个平面只交于 $B$，而 $B \notin CC_1$。用的是判断异面的常用方法：平面内一点和平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线异面。
2. 平行。例 3 已证 $A_1BCD_1$ 是平行四边形。
3. 相交。$A_1B$ 与 $D_1C$ 平行且相等，所以 $A_1BCD_1$ 是平行四边形，$A_1C$ 和 $BD_1$ 是它的两条对角线，相交于中点 $O$。
4. 异面。$B_1C \subset$ 平面 $BCC_1B_1$，$A_1B$ 与这个平面只交于 $B$，而 $B \notin B_1C$。

容易卡在：（3）。两条体对角线看起来“交叉而过”，但它们在同一个矩形 $A_1BCD_1$ 里，是相交的。

例 5　（场景：作截面）正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 2，$E$、$F$ 分别是 $AB$、$BC$ 的中点。作出过 $E$、$F$、$D_1$ 三点的截面，并说出截面的形状。

解：

1. $E$、$F$ 都在底面 $ABCD$ 内，直接连 $EF$。
2. $D_1$ 和 $E$、$F$ 不在同一个面内，要先找截面和底面所在平面的交线。直线 $EF$ 就是这条交线。延长 $EF$，分别交直线 $DA$、$DC$ 于 $M$、$N$。
3. $M$ 在平面 $ADD_1A_1$ 内，$D_1$ 也在，连 $MD_1$，交 $AA_1$ 于 $G$。同理连 $ND_1$，交 $CC_1$ 于 $H$。
4. 依次连 $E$、$F$、$H$、$D_1$、$G$，得截面。

求 $G$ 的位置：$\angle AEM = \angle BEF = 45°$，所以 $AM = AE = 1$，$DM = 3$。在平面 $ADD_1A_1$ 内，$\triangle MAG \sim \triangle MDD_1$，$\dfrac{AG}{DD_1} = \dfrac{MA}{MD} = \dfrac{1}{3}$，$AG = \dfrac{2}{3}$。同理 $CH = \dfrac{2}{3}$。$G$、$H$ 都在棱上，所以截面是五边形 $EFHD_1G$。

容易卡在：第 2 步。截面在每个面上留下一条线段，$D_1$ 和 $E$ 不在同一个面上，不能直接连。要先在某个面所在平面上找到截面的第二个点，靠的是基本事实 3：两个平面的公共点都在交线上。

常用推论

• 判断异面直线：平面内一点与平面外一点的连线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。推导：若它们共面，这个平面就包含平面内的那条直线和那个点，由推论 1 它就是原平面，于是平面外的点也在原平面内，矛盾。
• 正方体中与一条棱异面的棱有 4 条，平行的有 3 条，相交的有 4 条。数法见例 4 的分类。
• 截面多边形的边数不超过几何体的面数：截面和每个面最多交出一条线段。正方体的截面最多是六边形。

易错点

• 错在哪：认为“没有公共点的两条直线平行”。 为什么错：空间里没有公共点的两条直线还可能异面，如正方体的 $AB$ 和 $CC_1$。 正确做法：说平行要同时说明共面，或者用基本事实 4、判定定理等证出来。
• 错在哪：认为“分别在两个平面内的两条直线是异面直线”。 为什么错：两个平面里的直线可能平行或相交。正方体中 $AB \subset$ 平面 $ABCD$，$C_1D_1 \subset$ 平面 $A_1B_1C_1D_1$，它们却是平行的。 正确做法：异面要求“不同在任何一个平面内”，常用反证法或上面的判断方法证明。
• 错在哪：作截面时把不在同一个面上的两点直接连起来。 为什么错：截面和几何体表面的交线在每个面上各是一段，连线穿过几何体内部的线段不是截面的边。 正确做法：只连同一个面上的两点；不在同一面上时，延长已有的截线，在相邻面所在平面上找交点。

直观理解

三条腿的凳子放在地上一定稳，四条腿的可能晃：三个不共线的点确定一个平面，第四个点不一定在上面。这就是基本事实 1。

把书本打开立在桌面上，两页的交线是书脊：两个平面相交是一条直线，不是一个点或一段。这就是基本事实 3。

立交桥上下两条路既不相交也不平行，是异面直线最常见的样子。

关联知识点

• 前置：第 18 章空间几何体，本章的例题几乎都在正方体、棱柱、棱锥上做。
• 后续：19.3、19.4 证明平行和垂直，每一步都建立在这几条基本事实上；基本事实 4 是“传递平行”的依据。
• 后续：19.5 异面直线所成角的定义要用等角定理保证“和选哪个点无关”。
• 后续：第 26 章空间向量，“三个向量共面”的条件和这里“四点共面”是同一件事的代数写法。

19.3 直线、平面平行的判定与性质

说明

定理	条件	结论	一句话
线面平行的判定	$a \not\subset \alpha$，$b \subset \alpha$，$a \parallel b$	$a \parallel \alpha$	线线平行 → 线面平行
线面平行的性质	$a \parallel \alpha$，$a \subset \beta$，$\alpha \cap \beta = b$	$a \parallel b$	线面平行 → 线线平行
面面平行的判定	$a \subset \beta$，$b \subset \beta$，$a \cap b = P$，$a \parallel \alpha$，$b \parallel \alpha$	$\beta \parallel \alpha$	两条相交直线平行于面 → 面面平行
面面平行的性质	$\alpha \parallel \beta$，$\gamma \cap \alpha = a$，$\gamma \cap \beta = b$	$a \parallel b$	面面平行 → 线线平行

面面平行还有一条直接用的性质：两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面（按定义，两个平面没有公共点，这条直线和另一个平面也就没有公共点）。

这几条定理连成一个循环：线线平行 ⇄ 线面平行 ⇄ 面面平行。证明题就是沿着这个循环一步步走。

使用场景

• 证线面平行，题目里有中点：在平面内找一条和已知直线平行的线，最常用的是三角形中位线。
• 证线面平行，中位线连不出来：在平面内构造平行四边形，让已知直线成为平行四边形的一条边；或者先证面面平行。
• 证面面平行：在一个平面里找两条相交直线，分别证它们平行于另一个平面（常常是平行于另一个平面里的两条直线）。
• 已知线面平行，要推出线线平行：找一个经过这条直线的平面，和已知平面的交线就和这条直线平行。
• 已知两个平行平面被直线所截，求线段长度：被第三个平面所截的交线平行，再用相似三角形。

注意点

• 线面平行的判定三个条件缺一不可，“$a \not\subset \alpha$“最容易漏写。少了它，$a$ 可能就在 $\alpha$ 内。
• 面面平行的判定要求两条直线相交。一个平面内的两条平行直线都平行于另一个平面，两个平面仍可能相交。
• 线面平行时，平面内的直线和它的关系是平行或异面，不是都平行。性质定理只说“经过它的平面与已知平面的交线”和它平行。
• 证明题的书写要把定理的条件逐条列出，最后写“由线面平行的判定定理”。阅卷按条件给分。

证明

线面平行的判定：课本由直观得出，这里用反证法证明。

$a \parallel b$，所以 $a$、$b$ 确定一个平面 $\beta$（推论 3），$\beta \cap \alpha = b$。

假设 $a$ 与 $\alpha$ 有公共点 $P$。$P \in a \subset \beta$，又 $P \in \alpha$，所以 $P$ 是 $\alpha$、$\beta$ 的公共点，在交线 $b$ 上（关键一步：$\alpha$、$\beta$ 的公共点只能在交线上，这是基本事实 3）。于是 $P$ 是 $a$、$b$ 的公共点，和 $a \parallel b$ 矛盾。又 $a \not\subset \alpha$，所以 $a$ 与 $\alpha$ 没有公共点，$a \parallel \alpha$。

线面平行的性质：$a \subset \beta$，$b \subset \beta$，所以 $a$、$b$ 共面。$a \parallel \alpha$，$a$ 与 $\alpha$ 没有公共点；$b \subset \alpha$，所以 $a$ 与 $b$ 没有公共点。共面且没有公共点，所以 $a \parallel b$。

面面平行的判定：用反证法。假设 $\beta$ 与 $\alpha$ 相交，交线为 $c$。

• $a \parallel \alpha$，$a \subset \beta$，$\beta \cap \alpha = c$，由线面平行的性质，$a \parallel c$。
• 同理 $b \parallel c$。
• 由基本事实 4，$a \parallel b$，和 $a$、$b$ 相交矛盾（关键一步：这里用到了“相交”这个条件。如果 $a \parallel b$，就推不出矛盾，这正是条件不能换成“两条平行直线”的原因）。

所以 $\beta \parallel \alpha$。

面面平行的性质：$a$、$b$ 都在 $\gamma$ 内，所以共面。$a \subset \alpha$，$b \subset \beta$，$\alpha$ 与 $\beta$ 没有公共点，所以 $a$ 与 $b$ 没有公共点。共面且没有公共点，所以 $a \parallel b$。

例题

例 1　（场景：证线面平行，用中位线）四棱锥 $P\text{-}ABCD$ 的底面 $ABCD$ 是平行四边形，$E$ 是 $PC$ 的中点。求证：$PA \parallel$ 平面 $BDE$。

解：连接 $AC$，交 $BD$ 于 $O$，连接 $OE$。

1. 平行四边形的对角线互相平分，所以 $O$ 是 $AC$ 的中点。
2. 在 $\triangle PAC$ 中，$O$、$E$ 分别是 $AC$、$PC$ 的中点，所以 $OE \parallel PA$。
3. $OE \subset$ 平面 $BDE$，$PA \not\subset$ 平面 $BDE$。
4. 由线面平行的判定定理，$PA \parallel$ 平面 $BDE$。

容易卡在：找不到 $O$。要在平面 $BDE$ 里找和 $PA$ 平行的线，就看哪个三角形同时含 $PA$ 和平面 $BDE$ 里的点：$\triangle PAC$ 含 $PA$ 和 $E$，它和平面 $BDE$ 的交线就是 $OE$。

例 2　（场景：证线面平行，构造平行四边形）四棱锥 $P\text{-}ABCD$ 的底面 $ABCD$ 是平行四边形，$M$、$N$ 分别是 $AB$、$PC$ 的中点。求证：$MN \parallel$ 平面 $PAD$。

解：取 $PD$ 的中点 $Q$，连接 $AQ$、$NQ$。

1. 在 $\triangle PCD$ 中，$N$、$Q$ 是 $PC$、$PD$ 的中点，所以 $NQ \parallel CD$，$NQ = \dfrac{1}{2}CD$。
2. 底面是平行四边形，$AB \parallel CD$，$AB = CD$；$M$ 是 $AB$ 中点，所以 $AM \parallel CD$，$AM = \dfrac{1}{2}CD$。
3. 所以 $NQ$ 与 $AM$ 平行且相等，四边形 $AMNQ$ 是平行四边形，$MN \parallel AQ$。
4. $AQ \subset$ 平面 $PAD$，$MN \not\subset$ 平面 $PAD$，由线面平行的判定定理，$MN \parallel$ 平面 $PAD$。

容易卡在：直接找三角形中位线找不到。$M$、$N$ 两个中点不在同一个三角形里时，就再取一个中点，凑出“平行且等于一半”的两条线段，构成平行四边形。

另一种解法：取 $CD$ 的中点 $R$，连接 $MR$、$NR$。$M$、$R$ 是 $AB$、$CD$ 的中点，所以 $MR \parallel AD$；$N$、$R$ 是 $PC$、$CD$ 的中点，所以 $NR \parallel PD$。于是 $MR \parallel$ 平面 $PAD$，$NR \parallel$ 平面 $PAD$，且 $MR$、$NR$ 相交于 $R$，由面面平行的判定定理，平面 $MNR \parallel$ 平面 $PAD$。$MN \subset$ 平面 $MNR$，所以 $MN \parallel$ 平面 $PAD$。

构造平行四边形的书写短，但要想到取哪个中点；面面平行的方法步骤多，好处是取的中点总是和已知中点“同一条棱的对边”，找起来不费脑子。考场上一时找不到平行四边形，就换面面平行。

例 3　（场景：证面面平行）正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中，求证：平面 $AB_1D_1 \parallel$ 平面 $C_1BD$。

解：

1. $BB_1$ 与 $DD_1$ 平行且相等，所以四边形 $BB_1D_1D$ 是平行四边形，$B_1D_1 \parallel BD$。$BD \subset$ 平面 $C_1BD$，$B_1D_1 \not\subset$ 平面 $C_1BD$，所以 $B_1D_1 \parallel$ 平面 $C_1BD$。
2. $AB$ 与 $C_1D_1$ 平行且相等，所以四边形 $ABC_1D_1$ 是平行四边形，$AD_1 \parallel BC_1$。同理 $AD_1 \parallel$ 平面 $C_1BD$。
3. $B_1D_1$ 与 $AD_1$ 相交于 $D_1$，且都在平面 $AB_1D_1$ 内。
4. 由面面平行的判定定理，平面 $AB_1D_1 \parallel$ 平面 $C_1BD$。

例 4　（场景：由线面平行推线线平行）四棱锥 $P\text{-}ABCD$ 的底面 $ABCD$ 是平行四边形，平面 $PAD$ 与平面 $PBC$ 的交线为 $l$。求证：$l \parallel BC$。

解：

1. 底面是平行四边形，$BC \parallel AD$。$AD \subset$ 平面 $PAD$，$BC \not\subset$ 平面 $PAD$，所以 $BC \parallel$ 平面 $PAD$。
2. $BC \subset$ 平面 $PBC$，平面 $PBC \cap$ 平面 $PAD = l$。
3. 由线面平行的性质定理，$BC \parallel l$。

容易卡在：交线 $l$ 在图上没画出来，不知道从哪里下手。思路是：要证直线和“交线”平行，就先证这条直线平行于其中一个平面，再用性质定理。

例 5　（场景：平行平面截线段）平面 $\alpha \parallel$ 平面 $\beta$，点 $S$ 在两个平面的同侧（$\alpha$ 离 $S$ 更近）。过 $S$ 的两条直线分别交 $\alpha$ 于 $A$、$C$，交 $\beta$ 于 $B$、$D$。已知 $SA = 2$，$AB = 3$，$SC = 4$，求 $CD$。

解：两条相交直线 $SB$、$SD$ 确定一个平面 $\gamma$，$\gamma \cap \alpha = AC$，$\gamma \cap \beta = BD$。由面面平行的性质定理，$AC \parallel BD$。

所以 $\triangle SAC \sim \triangle SBD$，

$$\frac{SA}{SB} = \frac{SC}{SD}, \quad \frac{2}{2 + 3} = \frac{4}{SD},$$

得 $SD = 10$，$CD = SD - SC = 6$。

常用推论

• 两个平面平行，一个平面内的任意直线平行于另一个平面。由定义：两个平面没有公共点。
• 夹在两个平行平面间的平行线段相等。推导：两条平行线段确定一个平面，它截两个平行平面得到两条平行的交线，四个端点组成平行四边形。
• 平行于同一个平面的两个平面平行。推导：在第三个平面内取两条相交直线，过它们各作平面截另外两个平面，用两次面面平行的性质得到两组平行线，再用面面平行的判定。
• 一条直线平行于两个相交平面，则它平行于这两个平面的交线。推导：设 $a \parallel \alpha$，$a \parallel \beta$，$\alpha \cap \beta = l$。过 $a$ 作平面截 $\alpha$ 得 $b$，由线面平行的性质 $a \parallel b$；同样过 $a$ 作平面截 $\beta$ 得 $c$，$a \parallel c$。于是 $b \parallel c$（基本事实 4），$c \subset \beta$，所以 $b \parallel \beta$（$b$ 若在 $\beta$ 内就是 $l$，结论已成立）。$b \subset \alpha$，$\alpha \cap \beta = l$，再用一次性质得 $b \parallel l$，所以 $a \parallel l$。

易错点

• 错在哪：证线面平行只写”$OE \parallel PA$，所以 $PA \parallel$ 平面 $BDE$“。 为什么错：判定定理有三个条件，漏写”$OE \subset$ 平面 $BDE$“”$PA \not\subset$ 平面 $BDE$“，阅卷会扣分。 正确做法：每次用判定定理，把”面外、面内、平行“三条都写出来。
• 错在哪：认为“一个平面内有两条直线平行于另一个平面，两个平面就平行”。 为什么错：这两条直线如果互相平行，两个平面可能相交。正方体中，平面 $ABB_1A_1$ 里的 $AA_1$ 和 $AB$、$A_1B_1$ 中点的连线都平行于平面 $BCC_1B_1$，但这两个平面相交于 $BB_1$。 正确做法：判定定理要求两条直线相交，书写时写出”$a \cap b = P$“。
• 错在哪：例 5 这类题不分 $S$ 的位置，一律写 $SD = SC + CD$。 为什么错：$S$ 在两个平面之间时，$A$、$B$ 在 $S$ 两侧，$C$、$D$ 也在 $S$ 两侧，这时 $SB = AB - SA$，$CD = SC + SD$。比例式 $\dfrac{SA}{SB} = \dfrac{SC}{SD}$ 照样成立，但各段长度的关系变了。 正确做法：先画图确定 $S$ 在两个平面同侧还是之间，再列比例和长度关系。

直观理解

线面平行像一根晾衣杆架在地面上方：杆子和地上的一条影子线平行，杆子就不会碰到地面。性质定理反过来说：一面竖直的墙经过这根杆子，墙和地面的交线一定和杆子平行。

面面平行像书架的两层隔板：一块竖着的挡板插进去，和两层隔板留下的两道印子一定平行。

关联知识点

• 前置：19.2 基本事实，尤其是基本事实 3（交线）和基本事实 4（平行的传递）。
• 前置：初中三角形中位线定理、平行四边形的判定，是找平行线的两个主要工具。
• 后续：19.4 垂直的判定与性质，“垂直于同一平面的两条直线平行”把垂直和平行连起来。
• 后续：第 27 章用空间向量证平行：直线方向向量与平面法向量垂直，就是线面平行。
• 常一起考：第 18 章空间几何体的体积。证完线面平行，常用“直线上各点到平面的距离相等”换顶点求体积。

19.4 直线、平面垂直的判定与性质

说明

直线与平面垂直：如果直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 内的任意一条直线都垂直，就说 $l \perp \alpha$。$l$ 叫平面的垂线，交点叫垂足。

空间里两条直线垂直包括异面垂直：两条异面直线所成角是 $90°$ 时也叫垂直（所成角的定义见 19.5）。

平面与平面垂直：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（$90°$），就说这两个平面互相垂直（二面角的定义见 19.5）。

定理	条件	结论	一句话
线面垂直的判定	$l \perp m$，$l \perp n$，$m, n \subset \alpha$，$m \cap n = P$	$l \perp \alpha$	垂直于面内两条相交直线
线面垂直的性质	$a \perp \alpha$，$b \perp \alpha$	$a \parallel b$	垂直于同一平面的两条直线平行
面面垂直的判定	$l \subset \beta$，$l \perp \alpha$	$\beta \perp \alpha$	一个面经过另一个面的垂线
面面垂直的性质	$\alpha \perp \beta$，$\alpha \cap \beta = c$，$a \subset \beta$，$a \perp c$	$a \perp \alpha$	面内垂直于交线的直线垂直于另一个面

由定义直接得到：$l \perp \alpha$，$a \subset \alpha$，则 $l \perp a$。这是“线面垂直推线线垂直”，证异面直线垂直全靠它。

使用场景

• 证两条异面直线垂直：证其中一条垂直于经过另一条的某个平面。
• 证线面垂直：在平面里找两条相交直线，分别证它们和已知直线垂直。
• 题目里有等腰三角形（两边相等）：取底边中点，连出两条垂直于底边的中线。
• 题目给的是边长而不是角：用勾股定理的逆定理算出直角。
• 证面面垂直：在其中一个平面里找一条直线，证它垂直于另一个平面。
• 已知面面垂直：在一个平面内作交线的垂线，它就垂直于另一个平面，常用来找高、求体积。

注意点

• 线面垂直的判定要求两条直线相交。只垂直于平面内两条平行直线，甚至无数条平行直线，都推不出线面垂直。
• 已知直线垂直于平面内某一条直线，推不出它垂直于这个平面。
• 面面垂直的性质有两个条件：直线在其中一个平面内，并且垂直于交线。只垂直于另一个平面内的某条直线不行。
• 空间里“垂直于同一条直线的两条直线”可能平行、相交或异面。平面几何的这条结论在空间不能用。
• 书写证明时，“线面垂直 → 线线垂直 → 线面垂直”往往要转好几次，每次都要写出依据。

证明

线面垂直的判定：课本由实验得出结论，严格证明放到选择性必修用向量完成（第 27 章）。下面给一个只用全等三角形的证明。

设 $m$、$n$ 交于 $O$，不妨设 $l$ 也过 $O$（不过 $O$ 时，过 $O$ 作 $l$ 的平行线 $l'$。$l'$ 与平面内任一直线所成的角，和 $l$ 与这条直线所成的角相等，这是 19.5 异面直线所成角的定义。所以证出 $l' \perp \alpha$，$l \perp \alpha$ 也就成立）。任取平面内过 $O$ 的直线 $g$，要证 $l \perp g$。

1. 在 $l$ 上取 $A$、$A'$，使 $OA = OA'$ 且分在 $O$ 两侧。
2. 在 $\alpha$ 内作一条直线，分别交 $m$、$n$、$g$ 于 $B$、$C$、$D$。
3. $m$ 垂直平分 $AA'$（在 $l$ 与 $m$ 确定的平面里），所以 $AB = A'B$；同理 $AC = A'C$。
4. $\triangle ABC \cong \triangle A'BC$（三边相等），所以 $\angle ABD = \angle A'BD$。
5. $\triangle ABD \cong \triangle A'BD$（两边夹一角），所以 $AD = A'D$（关键一步：$D$ 到 $A$、$A'$ 等距，这是把 $m$、$n$ 上的信息“传”到任意直线 $g$ 上，传递要借 $B$、$C$ 两个点，所以需要两条相交直线）。
6. 在 $\triangle ADA'$ 中，$AD = A'D$，$O$ 是 $AA'$ 中点，所以 $DO \perp AA'$，即 $g \perp l$。

线面垂直的性质（课本证明）：设 $a \perp \alpha$，$b \perp \alpha$，用反证法。假设 $b$ 与 $a$ 不平行，设 $b \cap \alpha = O$，过 $O$ 作 $b' \parallel a$，则 $b' \perp \alpha$。$b$、$b'$ 是过同一点 $O$ 的两条直线，确定平面 $\beta$，设 $\beta \cap \alpha = c$。在平面 $\beta$ 内，$b \perp c$，$b' \perp c$，过 $O$ 有两条直线垂直于 $c$，和平面几何“过一点只有一条直线垂直于已知直线”矛盾。所以 $a \parallel b$。

面面垂直的判定：设 $\alpha \cap \beta = c$，$l \cap \alpha = B$（$B$ 在 $c$ 上）。在 $\alpha$ 内过 $B$ 作 $BE \perp c$。

$l \perp \alpha$，所以 $l \perp c$，$l \perp BE$。$l \subset \beta$ 且 $l \perp c$，$BE \subset \alpha$ 且 $BE \perp c$，按二面角平面角的定义（19.5），$l$ 与 $BE$ 所成的角就是二面角 $\alpha\text{-}c\text{-}\beta$ 的平面角，它等于 $90°$。所以 $\beta \perp \alpha$。

面面垂直的性质：设 $a \cap c = A$，在 $\alpha$ 内过 $A$ 作 $AB \perp c$。

$a \perp c$，$AB \perp c$，所以 $a$ 与 $AB$ 所成的角是二面角的平面角。$\alpha \perp \beta$，这个角是 $90°$，所以 $a \perp AB$。$a$ 垂直于 $\alpha$ 内两条相交直线 $c$ 和 $AB$，由判定定理，$a \perp \alpha$（关键一步：$a \perp c$ 这个条件不能少，正是它保证了 $a$ 和 $AB$ 的夹角是平面角）。

例题

例 1　（场景：证异面直线垂直）正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中，求证：$BD \perp A_1C$。

解：连接 $AC$。

1. 底面 $ABCD$ 是正方形，$BD \perp AC$。
2. $AA_1 \perp$ 平面 $ABCD$，$BD \subset$ 平面 $ABCD$，所以 $BD \perp AA_1$。
3. $AC$、$AA_1$ 是平面 $AA_1C$ 内的两条相交直线，所以 $BD \perp$ 平面 $AA_1C$。
4. $A_1C \subset$ 平面 $AA_1C$，所以 $BD \perp A_1C$。

另一种解法：用三垂线定理（见本节常用推论）。$AA_1 \perp$ 底面，所以 $A_1C$ 在底面上的射影是 $AC$。底面内的直线 $BD \perp AC$，由三垂线定理，$BD \perp A_1C$。

在解答题里，三垂线定理不在课本正文中，最好按主解法写全“线面垂直 → 线线垂直”；选择题和填空题里判断垂直，三垂线定理一眼就能看出，省掉找平面的步骤。

例 2　（场景：证线面垂直）正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中，求证：$A_1C \perp$ 平面 $BC_1D$。

解：

1. 由例 1，$A_1C \perp BD$。
2. 同理：$BC_1 \perp B_1C$（正方形 $BCC_1B_1$ 的对角线），$BC_1 \perp A_1B_1$（$A_1B_1 \perp$ 平面 $BCC_1B_1$），所以 $BC_1 \perp$ 平面 $A_1B_1C$，$BC_1 \perp A_1C$。
3. $BD$、$BC_1$ 是平面 $BC_1D$ 内的两条相交直线，所以 $A_1C \perp$ 平面 $BC_1D$。

容易卡在：第 2 步。正方体的六个面地位相同，把例 1 的论证“换一个面”重做一遍即可：例 1 用的是底面，这里用右侧面 $BCC_1B_1$。

例 3　（场景：等腰三角形取中点）三棱锥 $P\text{-}ABC$ 中，$PA = PB$，$CA = CB$。求证：$AB \perp PC$。

解：取 $AB$ 的中点 $D$，连接 $PD$、$CD$。

1. $PA = PB$，$D$ 是 $AB$ 中点，所以 $PD \perp AB$（等腰三角形三线合一）。
2. 同理 $CD \perp AB$。
3. $PD$、$CD$ 相交于 $D$，所以 $AB \perp$ 平面 $PCD$。
4. $PC \subset$ 平面 $PCD$，所以 $AB \perp PC$。

例 4　（场景：用长度算出直角）直三棱柱 $ABC\text{-}A_1B_1C_1$ 中，$AC = 3$，$BC = 4$，$AB = 5$。求证：$AC \perp BC_1$。

解：

1. $AC^2 + BC^2 = 9 + 16 = 25 = AB^2$，由勾股定理的逆定理，$AC \perp BC$。
2. 直三棱柱的侧棱垂直于底面，$CC_1 \perp$ 平面 $ABC$，所以 $CC_1 \perp AC$。
3. $BC$、$CC_1$ 相交于 $C$，所以 $AC \perp$ 平面 $BCC_1B_1$。
4. $BC_1 \subset$ 平面 $BCC_1B_1$，所以 $AC \perp BC_1$。

容易卡在：第 1 步。题目只给数字，很多人不会想到用这三个数验证直角。看到三边长度，先算平方关系。

例 5　（场景：证面面垂直）四棱锥 $P\text{-}ABCD$ 中，$PA \perp$ 底面 $ABCD$，底面是正方形。求证：平面 $PCD \perp$ 平面 $PAD$。

解：

1. 正方形 $ABCD$ 中，$CD \perp AD$。
2. $PA \perp$ 底面，$CD \subset$ 底面，所以 $CD \perp PA$。
3. $AD$、$PA$ 相交于 $A$，且都在平面 $PAD$ 内，所以 $CD \perp$ 平面 $PAD$。
4. $CD \subset$ 平面 $PCD$，由面面垂直的判定定理，平面 $PCD \perp$ 平面 $PAD$。

容易卡在：选哪条线去证“垂直于另一个面”。看两个平面的交线 $PD$，在一个面里找和交线垂直的线，通常就是它。

例 6　（场景：已知面面垂直，找面的垂线）四棱锥 $P\text{-}ABCD$ 的底面是边长为 2 的正方形，侧面 $PAD$ 是正三角形，且平面 $PAD \perp$ 平面 $ABCD$。$E$ 是 $AD$ 的中点。（1）求证：$PE \perp$ 平面 $ABCD$；（2）求四棱锥的体积和 $PB$ 的长。

解：

（1）$\triangle PAD$ 是正三角形，$E$ 是 $AD$ 中点，所以 $PE \perp AD$。平面 $PAD \perp$ 平面 $ABCD$，交线是 $AD$，$PE \subset$ 平面 $PAD$ 且 $PE \perp AD$，由面面垂直的性质定理，$PE \perp$ 平面 $ABCD$。

（2）$PE = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = \sqrt{3}$，它就是四棱锥的高，

$$V = \frac{1}{3} \times 2^2 \times \sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}.$$

$PE \perp$ 底面，所以 $PE \perp EB$。$EB = \sqrt{AE^2 + AB^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$，

$$PB = \sqrt{PE^2 + EB^2} = \sqrt{3 + 5} = 2\sqrt{2}.$$

常用推论

• 三垂线定理（拓展，课本正文不讲，解答题里要按线面垂直写出推导）：$PO \perp \alpha$ 于 $O$，$PA$ 是斜线，$OA$ 是它在 $\alpha$ 内的射影，$a \subset \alpha$。若 $a \perp OA$，则 $a \perp PA$；反过来，若 $a \perp PA$，则 $a \perp OA$（逆定理）。推导：$PO \perp \alpha$ 得 $a \perp PO$；又 $a \perp OA$，所以 $a \perp$ 平面 $POA$，从而 $a \perp PA$。逆定理把 $OA$ 换成 $PA$ 同样推。
• 过一点有且只有一条直线垂直于已知平面；过一点有且只有一个平面垂直于已知直线。由线面垂直的性质定理推出唯一性。
• 一条直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个。推导：在另一个平面内任取直线，过它和这条垂线作平面，截两个平行平面得到平行交线，垂直关系转过去。
• 两个相交平面都垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面。推导：设 $\alpha \perp \gamma$，$\beta \perp \gamma$，$\alpha \cap \beta = l$。在 $\alpha$ 内作 $\alpha$ 与 $\gamma$ 交线的垂线 $a$，由面面垂直的性质 $a \perp \gamma$；同样在 $\beta$ 内得 $b \perp \gamma$。由线面垂直的性质 $a \parallel b$，于是 $a \parallel \beta$（$a$ 若在 $\beta$ 内就是 $l$，结论已成立），再由线面平行的性质 $a \parallel l$。$l$ 平行于 $\gamma$ 的垂线 $a$，所以 $l \perp \gamma$。教室的两面墙都垂直于地面，墙角线也垂直于地面。
• 正方体的体对角线垂直于和它不共顶点的面对角线组成的三角形平面，例如 $A_1C \perp$ 平面 $BC_1D$。推导见例 2。

易错点

• 错在哪：证线面垂直时只证了直线垂直于平面内的一条直线，或两条平行直线。 为什么错：判定定理要两条相交直线。只垂直于一组平行线，直线可以斜着穿过平面。 正确做法：找两条相交直线，书写时写明”$m \cap n = P$“或”$m$、$n$ 相交”。
• 错在哪：已知平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta$，就认为 $\alpha$ 内的任意直线都垂直于 $\beta$。 为什么错：只有 $\alpha$ 内垂直于交线的直线才垂直于 $\beta$。墙面和地面垂直，但墙上斜着的一条线并不垂直于地面。 正确做法：用性质定理前，先确认这条直线在其中一个面内且垂直于交线。
• 错在哪：认为空间里垂直于同一条直线的两条直线平行。 为什么错：正方体中 $AB$、$AD$ 都垂直于 $AA_1$，它们却相交。 正确做法：空间里能推出平行的是“垂直于同一个平面的两条直线平行”。
• 错在哪：例 6 中直接写”$PE \perp$ 底面”，理由写”$\triangle PAD$ 是正三角形”。 为什么错：正三角形只给出 $PE \perp AD$，要由面面垂直的性质才能推到 $PE \perp$ 底面，这一步是得分点。 正确做法：写全“面面垂直，交线是 $AD$，$PE$ 在平面 $PAD$ 内且垂直于交线”。

直观理解

旗杆立在操场上：只要从两个不同方向看它都是直的（垂直于地面上两条相交的线），它就是竖直的，不需要从所有方向看。这就是线面垂直的判定只要两条相交直线的原因。

门轴垂直于地面，门绕门轴转到任何位置，门面都垂直于地面：经过一条垂线的平面都垂直于这个平面，这就是面面垂直的判定。

关联知识点

• 前置：19.3 平行的判定与性质，证明的书写格式一样；线面垂直的性质又给出一种证平行的方法。
• 前置：初中等腰三角形三线合一、勾股定理及其逆定理，是找垂直的主要工具。
• 后续：19.5 空间角，线面角要先作平面的垂线找射影，二面角的平面角要作棱的垂线。
• 后续：第 27 章用向量证垂直：直线方向向量与平面法向量平行就是线面垂直，两个法向量垂直就是面面垂直。
• 常一起考：第 18 章空间几何体的体积。证出线面垂直，就找到了锥体的高。

19.5 空间角的定义

说明

空间里的三种角，都化成一个平面角来量。

角	定义	范围
异面直线所成的角	过空间任一点 $O$ 作 $a' \parallel a$，$b' \parallel b$，$a'$ 与 $b'$ 所成的锐角或直角	$\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right]$
直线与平面所成的角	平面的斜线和它在平面内的射影所成的锐角；直线在平面内或与平面平行时为 $0$，垂直时为 $\dfrac{\pi}{2}$	$\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$
二面角	从一条直线出发的两个半平面组成的图形；它的大小用平面角度量：在棱上取一点 $O$，在两个半平面内分别作 $OA \perp l$、$OB \perp l$，$\angle AOB$ 就是平面角	$[0, \pi]$

两条直线所成角的范围合起来是 $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$：平行或重合时为 $0$，异面时大于 $0$。

斜线、射影：直线与平面相交但不垂直，叫平面的斜线。从斜线上一点 $P$ 向平面作垂线，垂足 $O$ 与斜足 $A$ 的连线 $AO$ 叫斜线在平面内的射影，$\angle PAO$ 是线面角。

二面角记作 $\alpha\text{-}l\text{-}\beta$，或用两个面上的点和棱表示，如 $A_1\text{-}BD\text{-}A$。平面角是直角的二面角叫直二面角。

使用场景

• 求异面直线所成角：把其中一条（或两条）平移，使它们交于一点，放进一个三角形里用余弦定理或特殊三角形求。
• 求直线与平面所成角：从斜线上找一点作平面的垂线，连出射影，在直角三角形里求。
• 求二面角：在棱上找一点作两条垂线，常借助等腰三角形的中线或三垂线定理；只要余弦值时也可以用射影面积。
• 判断空间角的概念和范围：选择题里辨析定义，注意每种角的取值范围不同。

注意点

• 异面直线所成角不能是钝角。用余弦定理算出 $\cos\theta < 0$ 时，所成角是 $\pi - \theta$，余弦取绝对值。
• 线面角是斜线和射影的夹角，不是斜线和平面内随便一条直线的夹角。找射影必须先有垂线。
• 二面角的平面角两条边都要垂直于棱，缺一条就不是平面角。二面角可以是钝角，要从图上判断是锐角还是钝角。
• 两个平面相交成四个二面角，题目说“平面与平面所成的角”时取不超过 $\dfrac{\pi}{2}$ 的那个；说“二面角 $A\text{-}l\text{-}B$“时按指定的两个半平面算，可以是钝角。
• 求角的书写分三步：作出角、证明它就是所求的角、计算。中间那一步最容易省略，是扣分点。

证明

定义合理性：三种角的定义里都有“任取一点”，要说明结果和点的选取无关，否则定义不成立。

异面直线所成角与 $O$ 的选取无关：换一个点 $O'$，作 $a'' \parallel a$，$b'' \parallel b$。由基本事实 4，$a'' \parallel a'$，$b'' \parallel b'$。由等角定理（19.2），$a''$ 与 $b''$ 所成的角和 $a'$ 与 $b'$ 所成的角相等或互补；取锐角或直角后就相等。

二面角的平面角与 $O$ 的选取无关：在棱 $l$ 上另取一点 $O'$，作 $O'A' \perp l$，$O'B' \perp l$，分别在两个半平面内。$OA$ 和 $O'A'$ 在同一个半平面内，都垂直于 $l$，所以 $OA \parallel O'A'$，并且方向相同（关键一步：同一个平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，这是平面几何，可以用；它们又在同一个半平面里，所以同向）。同理 $OB \parallel O'B'$ 且同向。由等角定理，$\angle AOB = \angle A'O'B'$。

线面角是斜线与平面内所有直线所成角中最小的：见常用推论的“三余弦公式”。

例题

例 1　（场景：求异面直线所成角）正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中，求异面直线 $A_1B$ 与 $B_1C$ 所成的角。

解：连接 $A_1D$、$BD$。

1. $A_1B_1$ 与 $DC$ 平行且相等，所以四边形 $A_1B_1CD$ 是平行四边形，$A_1D \parallel B_1C$。
2. 所以 $\angle BA_1D$（或其补角）就是 $A_1B$ 与 $B_1C$ 所成的角。
3. $A_1B$、$A_1D$、$BD$ 都是正方体的面对角线，长度相等，$\triangle A_1BD$ 是正三角形，$\angle BA_1D = 60°$。

所以 $A_1B$ 与 $B_1C$ 所成的角是 $60°$。

容易卡在：第 1 步平移到哪里。平移的目标是让两条直线有公共端点，最好平移到正方体的面对角线或棱上，这样三角形的边长都能直接写出。

例 2　（场景：求线面角）正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中，求 $A_1B$ 与平面 $BB_1D_1D$ 所成的角。

解：设棱长为 1。连接 $A_1C_1$，交 $B_1D_1$ 于 $O_1$，连接 $BO_1$。

1. 正方形 $A_1B_1C_1D_1$ 中，$A_1O_1 \perp B_1D_1$。
2. $BB_1 \perp$ 平面 $A_1B_1C_1D_1$，所以 $A_1O_1 \perp BB_1$。
3. $B_1D_1$、$BB_1$ 相交，所以 $A_1O_1 \perp$ 平面 $BB_1D_1D$，$BO_1$ 是 $A_1B$ 在这个平面内的射影，$\angle A_1BO_1$ 就是所求的角。
4. 在 $\mathrm{Rt}\triangle A_1O_1B$ 中，$A_1O_1 = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$A_1B = \sqrt{2}$，

$$\sin\angle A_1BO_1 = \frac{A_1O_1}{A_1B} = \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2},$$

所以 $\angle A_1BO_1 = 30°$。

$A_1B$ 与平面 $BB_1D_1D$ 所成的角是 $30°$。

容易卡在：找垂线。从斜线上选一个点（这里选 $A_1$），找它到平面的垂线；正方体里，正方形对角线互相垂直加上侧棱垂直于底面，往往就能拼出这条垂线。

例 3　（场景：求二面角）正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 1，求二面角 $A_1\text{-}BD\text{-}A$ 的正切值。

解：连接 $AC$，交 $BD$ 于 $O$，连接 $A_1O$。

1. 正方形 $ABCD$ 中，$AO \perp BD$。
2. $A_1B = A_1D$（都是面对角线），$O$ 是 $BD$ 中点，所以 $A_1O \perp BD$。
3. 所以 $\angle A_1OA$ 是二面角 $A_1\text{-}BD\text{-}A$ 的平面角。
4. $AA_1 \perp$ 底面，所以 $AA_1 \perp AO$。在 $\mathrm{Rt}\triangle A_1AO$ 中，$AA_1 = 1$，$AO = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，

$$\tan\angle A_1OA = \frac{AA_1}{AO} = \frac{1}{\sqrt{2}/2} = \sqrt{2}.$$

另一种解法：射影面积法（见常用推论）。$\triangle A_1BD$ 在底面上的射影是 $\triangle ABD$，

$$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2}, \quad S_{\triangle A_1BD} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\sqrt{2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{2},$$

所以二面角的余弦 $\cos\varphi = \dfrac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle A_1BD}} = \dfrac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$，$\sin\varphi = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$，$\tan\varphi = \sqrt{2}$。

平面角容易作出来时（像这里有等腰三角形），主解法步骤清楚；平面角不好作、而两个三角形的面积好算时，射影面积法省掉“作角、证角”两步。解答题用射影面积法要先说明射影关系，课本不单列这个公式，稳妥起见大题仍以作平面角或向量法为主。

例 4　（场景：概念与范围辨析）下列说法中正确的是（　）。（多选）

A. 两条异面直线所成的角可以是 $0°$ B. 直线与平面所成角的范围是 $[0°, 90°]$ C. 二面角的范围是 $[0°, 180°]$ D. 平面的斜线与平面所成的角，是它与平面内所有直线所成角中最小的

解：BCD。

• A 错：异面直线不平行，所成角大于 $0°$，范围是 $(0°, 90°]$。
• B 对：直线在平面内或平行时为 $0°$，垂直时为 $90°$。
• C 对：两个半平面重合时为 $0°$，展开成一个平面时为 $180°$。
• D 对：由三余弦公式 $\cos\theta = \cos\theta_1 \cos\theta_2 \le \cos\theta_1$，所以 $\theta \ge \theta_1$（见常用推论）。

常用推论

• 三余弦公式（最小角定理，拓展，课本正文不讲）：斜线 $PA$ 与平面 $\alpha$ 所成角为 $\theta_1$，射影 $AO$ 与平面内直线 $AB$ 的夹角为 $\theta_2$，$PA$ 与 $AB$ 的夹角为 $\theta$，则 $\cos\theta = \cos\theta_1 \cos\theta_2$。推导：在 $AB$ 上取点 $B$ 使 $OB \perp AB$，由三垂线定理 $PB \perp AB$，于是 $\cos\theta = \dfrac{AB}{PA} = \dfrac{AB}{AO} \cdot \dfrac{AO}{PA} = \cos\theta_2 \cos\theta_1$。因为 $\cos\theta_2 \le 1$，所以 $\theta \ge \theta_1$，线面角最小。
• 射影面积公式（拓展，课本正文不讲）：平面 $\beta$ 内的多边形面积为 $S$，它在平面 $\alpha$ 上的射影面积为 $S'$，二面角（取锐角）为 $\varphi$，则 $\cos\varphi = \dfrac{S'}{S}$。推导：先看一条边在棱上的三角形，射影不改变这条底边，高从 $h$ 变成 $h\cos\varphi$（高和它的射影就是平面角的两边），面积按同样比例缩小；一般多边形切成这样的三角形相加。
• 线面角的正弦 $= \dfrac{\text{点到平面的距离}}{\text{斜线段长}}$。点到平面的距离不好直接作时，用等体积法求（第 18 章）。
• 平移后三角形里那个角的余弦为负时，异面直线所成角是它的补角，所成角的余弦等于这个负值的绝对值。

易错点

• 错在哪：例 1 这类题用余弦定理算出 $\cos\angle = -\dfrac{1}{2}$，答“所成角为 $120°$”。 为什么错：异面直线所成角不超过 $90°$，平移后三角形里的角可能是所成角的补角。 正确做法：余弦取绝对值，答 $60°$。
• 错在哪：求线面角时，直接取斜线与平面内某条直线的夹角。 为什么错：只有和射影的夹角才是线面角，和其他直线的夹角都更大（三余弦公式）。 正确做法：先作垂线、连射影，再在直角三角形里求。
• 错在哪：求二面角时，在两个面里各作一条线，交于棱上一点，就把它们的夹角当平面角。 为什么错：两条线都要垂直于棱。只有一条垂直于棱，夹角比平面角大或小都有可能。 正确做法：作完角后写出”$OA \perp l$，$OB \perp l$“，证明它是平面角。
• 错在哪：用射影面积法时，二面角明显是钝角，仍答锐角。 为什么错：$\dfrac{S'}{S}$ 只给出二面角余弦的绝对值。 正确做法：从图上判断二面角是锐角还是钝角，钝角时 $\cos\varphi = -\dfrac{S'}{S}$。

直观理解

• 异面直线所成角：两条路一上一下立体交叉，从正上方俯视，看到的两条路的夹角就是它们所成的角。
• 线面角：斜靠在墙边的梯子，梯子和它在地上的影子的夹角就是梯子和地面的夹角。太阳在正上方时影子最“贴”着梯子，所以它比梯子和地上任何一条线的夹角都小。
• 二面角：打开的书本或笔记本电脑，屏幕和键盘的张角。量这个角时，要在两个面上各画一条和合页（棱）垂直的线，再量这两条线的夹角。

关联知识点

• 前置：19.2 等角定理，保证三种角的定义与选的点无关。
• 前置：19.4 垂直的判定与性质，作线面角要找垂线，作二面角要找棱的垂线。
• 前置：第 16 章解三角形，求角的最后一步常用余弦定理。
• 后续：第 27 章用空间向量求角：异面直线所成角用方向向量的夹角取绝对值，线面角的正弦等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值，二面角用两个法向量的夹角。这些公式的来历都在本节的定义里。
• 常一起考：19.3、19.4 的证明题。解答题常是第一问证平行或垂直，第二问求角。

19.6 知识点之间的关系

本章的四个知识点是一条线：基本事实（19.2）规定哪些事可以直接用；平行（19.3）和垂直（19.4）各自在“线线、线面、面面”三个层次之间来回转化；空间角（19.5）把立体的角化成平面角，作角时要用到垂直。

证明题的总思路是“降维”：要证面面关系，先证线面关系；要证线面关系，先证线线关系；线线关系最后落到平面几何（中位线、平行四边形、等腰三角形、勾股定理）。平行和垂直之间有一座桥：垂直于同一平面的两条直线平行，垂直于同一直线的两个平面平行。

考试里，本章最常见的组合是：第一问用 19.3 或 19.4 的判定定理证平行或垂直，第二问用第 27 章的向量法求 19.5 定义的角。所以本章的定理要写得全，角的定义要懂，计算交给向量。

19.7 自测

1. 三条直线两两相交，它们最多能确定几个平面？
2. 正方体的 12 条棱中，与棱 $AB$ 异面的有几条？
3. 正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中，$E$ 是 $DD_1$ 的中点。判断直线 $BD_1$ 与平面 $ACE$ 的位置关系。
4. 平面 $\alpha \parallel$ 平面 $\beta$，点 $P$ 在两个平面之间。过 $P$ 的两条直线分别交 $\alpha$ 于 $A$、$C$，交 $\beta$ 于 $B$、$D$。已知 $PA = 3$，$PB = 6$，$AC = 4$，求 $BD$。
5. 四棱锥 $P\text{-}ABCD$ 的底面是矩形，$PA \perp$ 底面。判断直线 $BC$ 与平面 $PAB$ 的位置关系。
6. 正方体中，判断平面 $ACC_1A_1$ 与平面 $BDD_1B_1$ 的位置关系。
7. 正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中，求直线 $BC_1$ 与平面 $ABCD$ 所成的角。
8. 正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长为 $\sqrt{5}$，求侧面与底面所成二面角的大小。

答案：1. 3 个；2. 4 条；3. 平行；4. 8；5. 垂直；6. 垂直；7. $45°$；8. $60°$。

19.8 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，有人教版必修第二册第八章立体几何初步的同步课程和教材电子版。
• GeoGebra 3D 计算器：免费的三维作图工具，可以画出正方体和截面、拖动视角，看清异面直线和二面角。
• Wolfram MathWorld · Skew Lines：异面直线的英文定义和距离公式，查英文术语时用。
• 维基百科 · 二面角：二面角的定义、平面角和用法向量计算的方法，可与第 27 章对照。