第 2 章 · 常用逻辑用语

项目	内容
课标主题	必修 · 预备知识 · 常用逻辑用语
人教 A 版	必修第一册 第一章 1.4–1.5
考试地位	常考。充分必要条件的判断多以选择题出现，常和不等式、函数、数列、向量、立体几何一起考；含量词命题的否定偶尔单独出一道选择题
前置知识	第 1 章集合（子集、补集）；初中的一元二次方程和根与系数的关系

这一章讲数学里“推出”“所有”“存在”这几个词的准确用法。它本身的题不多，但后面每一章判断条件、写证明、求参数都离不开它。丢分主要丢在三处：充分和必要的方向搞反，用集合判断时大小搞反，写否定时只否结论不改量词。

新课标（2017 年版 2020 年修订）把常用逻辑用语放进必修，只要求充分条件与必要条件、全称量词与存在量词、含量词命题的否定；旧教材里的“四种命题”（逆命题、否命题、逆否命题）和逻辑联结词“且”“或”“非”不再单列，人教 A 版（2019）也没有这些小节。用旧资料复习时，这部分可以跳过。

2.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
2.2 充分条件与必要条件	$p \Rightarrow q$ 时，$p$ 是 $q$ 的充分条件，$q$ 是 $p$ 的必要条件；小范围推出大范围	常考，几乎都和别的章节结合
2.3 充要条件	$p \Leftrightarrow q$；证明时两个方向都要证，求的时候每一步都要等价	常考
2.4 全称量词与存在量词	“所有”和“存在”；全称命题举一个反例就假，存在命题举一个例子就真	常考，多化成恒成立和有解问题
2.5 含量词命题的否定	改量词、否结论，范围不变	偶考，选择题

2.2 充分条件与必要条件

说明

命题：能判断真假的陈述句。判断为真的叫真命题，判断为假的叫假命题。高中常把命题写成“若 $p$，则 $q$“的形式，$p$ 叫条件，$q$ 叫结论。

推出：如果“若 $p$，则 $q$“是真命题，就说由 $p$ 可以推出 $q$，记作 $p \Rightarrow q$；如果是假命题，记作 $p \nRightarrow q$。

充分条件与必要条件：若 $p \Rightarrow q$，就说

• $p$ 是 $q$ 的充分条件：有 $p$ 就足够保证 $q$；
• $q$ 是 $p$ 的必要条件：要有 $p$，必须先有 $q$。没有 $q$ 就一定没有 $p$。

这两句话说的是同一件事 $p \Rightarrow q$，只是站的位置不同。

四种关系：判断”$p$ 是 $q$ 的什么条件”，两个方向各看一次：

$p \Rightarrow q$	$q \Rightarrow p$	结论
成立	不成立	$p$ 是 $q$ 的充分不必要条件
不成立	成立	$p$ 是 $q$ 的必要不充分条件
成立	成立	$p$ 是 $q$ 的充要条件（见 2.3 节）
不成立	不成立	$p$ 是 $q$ 的既不充分也不必要条件

集合的说法：设 $A = \{x \mid p(x)\}$ 是使 $p$ 成立的对象组成的集合，$B = \{x \mid q(x)\}$ 是使 $q$ 成立的对象组成的集合，则

集合关系	条件关系
$A \subseteq B$	$p \Rightarrow q$，$p$ 是 $q$ 的充分条件
$A \subsetneqq B$	$p$ 是 $q$ 的充分不必要条件
$B \subsetneqq A$	$p$ 是 $q$ 的必要不充分条件
$A = B$	$p$ 是 $q$ 的充要条件
互不包含	既不充分也不必要

一句话记：小范围推出大范围，小的是大的充分条件，大的是小的必要条件。

和定理的关系：数学中的判定定理给出的是充分条件（如“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”），性质定理给出的是必要条件（如“平行四边形的对角线互相平分”）。

使用场景

• 题目问”$p$ 是 $q$ 的什么条件”，$p$、$q$ 是两个式子或两句话：分两个方向，能推的给推导，推不出的举反例。
• $p$、$q$ 都是变量的取值范围（不等式、方程的解）：先把两个范围解出来，比较集合的大小。
• 已知”$p$ 是 $q$ 的充分（必要）不必要条件”，求参数：转化成集合的真包含关系，列端点不等式，再检验端点能否相等。
• 题目里出现”$p$ 的否定是 $q$ 的否定的什么条件”：要么直接求两个否定的范围，要么先判断 $p$ 和 $q$ 的关系再倒过来。

注意点

• 两个说法方向相反，必须分清：“$p$ 是 $q$ 的充分条件”是 $p \Rightarrow q$；“$p$ 的充分条件是 $q$“是 $q \Rightarrow p$。动笔前先把题目改写成”谁推出谁”。
• 判断 $p \nRightarrow q$，举一个反例就够；判断 $p \Rightarrow q$，要给出对所有情况都成立的推导，举几个例子不算。
• 用集合判断时，$A$ 和 $B$ 必须在同一个范围里讨论（同一个变量、同一个全集）。
• 求参数时，“充分不必要”要求真包含，端点全部相等时两个集合相等，要排除。

证明

结论 1：$p \Rightarrow q$ 当且仅当 $A \subseteq B$。 其中 $A = \{x \mid p(x)\}$，$B = \{x \mid q(x)\}$。

• 若 $p \Rightarrow q$：任取 $x \in A$，则 $p(x)$ 成立，于是 $q(x)$ 成立，即 $x \in B$。所以 $A \subseteq B$。
• 若 $A \subseteq B$：任取一个使 $p$ 成立的 $x$，则 $x \in A$，于是 $x \in B$，$q(x)$ 成立。所以 $p \Rightarrow q$。

（关键一步：“使 $p$ 成立的 $x$“和”$x \in A$“是同一件事，所以”推出“可以原样翻译成”属于”。这就是为什么条件题都能化成集合题。）

由结论 1：$A \subsetneqq B$ 表示 $A \subseteq B$ 且 $B \not\subseteq A$，即 $p \Rightarrow q$ 且 $q \nRightarrow p$，正是“充分不必要”。其余几行同理。

结论 2：推出关系可以传递。 若 $p \Rightarrow q$，$q \Rightarrow r$，则 $p \Rightarrow r$。

用集合说：$A \subseteq B$，$B \subseteq C$，由第 1 章 1.3 节的结论 2 得 $A \subseteq C$。

结论 3：$p \Rightarrow q$ 当且仅当”$q$ 不成立 $\Rightarrow$ $p$ 不成立”。

在全集 $U$ 中，使 $p$ 不成立的对象组成 $\complement_U A$，使 $q$ 不成立的对象组成 $\complement_U B$。要证的是 $A \subseteq B \iff \complement_U B \subseteq \complement_U A$。

• 若 $A \subseteq B$：任取 $x \in \complement_U B$，即 $x \notin B$。假如 $x \in A$，由 $A \subseteq B$ 得 $x \in B$，矛盾。所以 $x \notin A$，$x \in \complement_U A$。
• 反过来，对 $\complement_U B \subseteq \complement_U A$ 用同样的论证，得 $\complement_U(\complement_U A) \subseteq \complement_U(\complement_U B)$，即 $A \subseteq B$。

（关键一步：一个元素不在 $B$ 里，它也不可能在 $B$ 的子集 $A$ 里，大圈外面的点一定在小圈外面。）

例题

例 1　（场景：两个式子之间的条件关系）判断下列各题中 $p$ 是 $q$ 的什么条件（$a$、$b$、$x$ 都是实数）。

（1）$p$：$x > 2$，$q$：$x^2 > 4$；（2）$p$：$a > b$，$q$：$a^2 > b^2$；（3）$p$：$ab = 0$，$q$：$a = 0$；（4）$p$：$x = 1$，$q$：$x^2 - 2x + 1 = 0$。

解：每题两个方向各看一次。

（1）$x > 2$ 时 $x^2 > 4$，所以 $p \Rightarrow q$。反过来，取 $x = -3$，$x^2 = 9 > 4$，但 $x < 2$，所以 $q \nRightarrow p$。$p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。

（2）取 $a = 1$，$b = -2$：$a > b$ 但 $a^2 = 1 < 4 = b^2$，所以 $p \nRightarrow q$。取 $a = -2$，$b = 1$：$a^2 > b^2$ 但 $a < b$，所以 $q \nRightarrow p$。$p$ 是 $q$ 的既不充分也不必要条件。

（3）取 $a = 1$，$b = 0$：$ab = 0$ 但 $a \ne 0$，所以 $p \nRightarrow q$。$a = 0$ 时一定有 $ab = 0$，所以 $q \Rightarrow p$。$p$ 是 $q$ 的必要不充分条件。

（4）$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 = 0 \iff x = 1$，两个方向都成立。$p$ 是 $q$ 的充要条件。

容易卡在：第（2）题想当然认为“大的数平方也大”。负数会让不等式的方向变化，举反例时优先试负数和 0。

例 2　（场景：条件是取值范围）已知 $p$：$x^2 - 2x - 3 < 0$，$q$：$0 < x < 2$。$p$ 是 $q$ 的什么条件？

解：先把 $p$ 解出来：$x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) < 0$，得 $-1 < x < 3$。

记 $A = (-1, 3)$（$p$ 对应的集合），$B = (0, 2)$（$q$ 对应的集合）。画在数轴上：

$B \subsetneqq A$：$B$ 是小范围，$A$ 是大范围。小范围推出大范围，所以 $q \Rightarrow p$，$p \nRightarrow q$。$p$ 是 $q$ 的必要不充分条件。

容易卡在：看出 $B \subsetneqq A$ 以后，把结论写成”$p$ 是 $q$ 的充分不必要条件”。$A$ 大，$p$ 是“被推出”的一方，是必要条件。

例 3　（场景：已知条件关系求参数）已知 $p$：$-1 \le x \le 3$，$q$：$x^2 - 2x + 1 - m^2 \le 0$（$m > 0$）。若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求 $m$ 的取值范围。

解：先解 $q$。$x^2 - 2x + 1 - m^2 = (x - 1)^2 - m^2 = (x - 1 - m)(x - 1 + m) \le 0$，因为 $m > 0$，$1 - m < 1 + m$，所以 $1 - m \le x \le 1 + m$。

记 $A = [-1, 3]$，$B = [1 - m, 1 + m]$。$p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，即 $A \subsetneqq B$：$A$ 要整个落在 $B$ 里，且 $A \ne B$。

端点条件：

$$\begin{cases} 1 - m \le -1, \\ 1 + m \ge 3, \end{cases}$$

解得 $m \ge 2$。

再检验端点：$m = 2$ 时 $B = [-1, 3] = A$，这时 $p$ 是 $q$ 的充要条件，不是“充分不必要”，要舍去。所以 $m > 2$，即 $m$ 的取值范围是 $(2, +\infty)$。

容易卡在：列完端点不等式就写答案 $[2, +\infty)$，没检验两个端点同时相等的情况。

例 4　（场景：两个否定之间的条件关系）已知 $p$：$x^2 - 5x + 4 \le 0$，$q$：$x \le 5$。“$p$ 不成立”是”$q$ 不成立“的什么条件？

解：$x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4) \le 0$，得 $1 \le x \le 4$。

• $p$ 不成立：$x < 1$ 或 $x > 4$，对应集合 $C = (-\infty, 1) \cup (4, +\infty)$；
• $q$ 不成立：$x > 5$，对应集合 $D = (5, +\infty)$。

$D \subsetneqq C$，所以”$q$ 不成立”$\Rightarrow$“$p$ 不成立”，反过来不成立（$x = 0$ 时 $p$ 不成立，但 $q$ 成立）。“$p$ 不成立”是”$q$ 不成立“的必要不充分条件。

另一种解法：不求否定，先比较 $p$ 和 $q$。$[1, 4] \subsetneqq (-\infty, 5]$，所以 $p \Rightarrow q$，$q \nRightarrow p$。由本节证明的结论 3，$p \Rightarrow q$ 等价于”$q$ 不成立 $\Rightarrow$ $p$ 不成立”；$q \nRightarrow p$ 等价于”$p$ 不成立 $\nRightarrow$ $q$ 不成立”。所以”$p$ 不成立“是”$q$ 不成立“的必要不充分条件。原条件的范围好写、否定的范围是好几段时，用这种方法更快；否定本身很简单时，直接求更不容易绕晕。

常用推论

• 小范围推出大范围：$A \subsetneqq B$ 时，$p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，$q$ 是 $p$ 的必要不充分条件。推导见本节“证明”结论 1。
• 倒过来的结论：若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，则”$q$ 不成立“是”$p$ 不成立“的充分不必要条件，”$p$ 不成立“是”$q$ 不成立“的必要不充分条件。推导见本节”证明“结论 3。
• 传递：$p \Rightarrow q$，$q \Rightarrow r$，则 $p$ 是 $r$ 的充分条件，$r$ 是 $p$ 的必要条件。推导见本节“证明”结论 2。
• 求参数时，“$p$ 是 $q$ 的充分不必要条件”$\iff A \subsetneqq B$；“$p$ 是 $q$ 的必要不充分条件”$\iff B \subsetneqq A$。端点的不等式取等号后要检验两个集合是否相等。

易错点

• 错在哪：“$p$ 的充分条件是 $q$“当成 $p \Rightarrow q$。 为什么错：这句话的主语是 $q$，说的是”$q$ 是 $p$ 的充分条件”，即 $q \Rightarrow p$。 正确做法：先把句子改写成“谁是谁的什么条件”的标准形式，再翻译成箭头：充分条件在箭头尾部，必要条件在箭头头部。
• 错在哪：$A \subsetneqq B$，判断成”$q$ 是 $p$ 的充分条件”。 为什么错：大范围推不出小范围。$B$ 里有不在 $A$ 里的元素，满足 $q$ 不一定满足 $p$。 正确做法：记住“小推大”：集合小的一方是充分条件。
• 错在哪：判断 $p \Rightarrow q$ 时，代了两三个数都成立，就说成立。 为什么错：几个例子成立不能保证所有情况成立。 正确做法：说“成立”要给推导；说“不成立”举一个反例就够。
• 错在哪：例 3 这类题不检验端点，得到 $m \ge 2$。 为什么错：$m = 2$ 时两个集合相等，是充要条件，不是充分不必要条件。 正确做法：把端点不等式的等号情况一个个代回去，看两个集合是否完全相等。

直观理解

用 Venn 图看：$p \Rightarrow q$ 就是使 $p$ 成立的圈 $A$ 整个装在使 $q$ 成立的圈 $B$ 里。

“充分”和“必要”可以用生活里的例子记：“下雨”是“地面湿”的充分条件（下雨就足够让地面湿，但洒水也能让地面湿）；“地面湿”是“下雨”的必要条件（下了雨地面一定湿，地面不湿就一定没下雨）。

关联知识点

• 前置：第 1 章 1.3 集合间的基本关系。条件关系就是集合的包含关系，求参数的方法也完全一样。
• 后续：2.3 充要条件，是四种关系中“两个方向都成立”的那一种。
• 常一起考：第 3 章不等式的性质，“$a > b$ 是 $a^2 > b^2$ 的什么条件”这类题要用不等式性质推导、找反例。
• 常一起考：第 4 章一元二次不等式，条件是取值范围时要先解不等式。
• 常一起考：第 19 章空间点、直线、平面的位置关系，判定定理给充分条件，性质定理给必要条件，选择题常问某个位置关系是另一个的什么条件。

2.3 充要条件

说明

充要条件：若 $p \Rightarrow q$ 且 $q \Rightarrow p$，就记作 $p \Leftrightarrow q$，说 $p$ 是 $q$ 的充分必要条件，简称充要条件。这时 $q$ 也是 $p$ 的充要条件，两者互为充要条件。

等价的说法：

• $p$ 是 $q$ 的充要条件；
• $p$ 与 $q$ 等价；
• $p$ 当且仅当 $q$；
• 使 $p$ 成立的集合与使 $q$ 成立的集合相等：$A = B$。

证明充要条件要证两个方向：

题目的说法	充分性要证	必要性要证
$p$ 是 $q$ 的充要条件	$p \Rightarrow q$	$q \Rightarrow p$
$p$ 的充要条件是 $q$	$q \Rightarrow p$	$p \Rightarrow q$

规律：谁是“条件”，充分性就从谁出发。

求充要条件：从结论出发，每一步都做等价变形（每一步都能倒推回去），最后得到的就是充要条件。

使用场景

• 题目要求“证明 $p$ 是 $q$ 的充要条件”或“求证……的充要条件是……”：分充分性、必要性两步写。
• 题目要求“求……成立的充要条件”，通常是求参数的范围：把结论逐步等价变形成参数满足的条件。
• 选择题问”$q$ 的一个充分不必要（必要不充分）条件是”：先求出 $q$ 的充要条件，即准确范围，再在选项里找比它小（大）的范围。

注意点

• 证明时两个方向缺一不可。只证一个方向，证明的只是充分条件或必要条件。
• 求充要条件时，变形必须步步可逆。例如两边平方、两边乘一个可能为 0 的式子，都可能不可逆，要加条件或检验。
• “$q$ 的一个充分不必要条件”答案不唯一，选择题里比 $q$ 的范围小的选项可能不止一个，按题目问的选。

证明

结论 1：$p \Leftrightarrow q$ 当且仅当 $A = B$。

由 2.2 节的结论 1，$p \Rightarrow q \iff A \subseteq B$，$q \Rightarrow p \iff B \subseteq A$。两者同时成立，等价于 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$，即 $A = B$（第 1 章 1.3 节“相等”的定义）。

结论 2：等价关系可以传递。 若 $p \Leftrightarrow q$，$q \Leftrightarrow r$，则 $p \Leftrightarrow r$。

$p \Leftrightarrow q$ 与 $q \Leftrightarrow r$ 分别说的是 $A = B$ 与 $B = C$，于是 $A = C$，即 $p \Leftrightarrow r$。

（关键一步：结论 2 保证了“一串等价变形”的结果和出发点等价。求充要条件时，从结论 $q$ 出发做 $q \Leftrightarrow q_1 \Leftrightarrow q_2 \Leftrightarrow \dots \Leftrightarrow q_n$，最后的 $q_n$ 就是 $q$ 的充要条件。只要中间有一步只能单向推出，链条就断了，得到的只是必要条件或充分条件。）

例题

例 1　（场景：证明充要条件）求证：关于 $x$ 的方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \ne 0$）有一个正根和一个负根的充要条件是 $ac < 0$。

解：这里“条件”是 $ac < 0$，所以充分性从 $ac < 0$ 出发。

充分性（$ac < 0 \Rightarrow$ 方程有一正根一负根）：因为 $ac < 0$，所以 $-4ac > 0$，判别式 $\Delta = b^2 - 4ac > 0$，方程有两个不相等的实根 $x_1$、$x_2$。由根与系数的关系，

$$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{ac}{a^2} < 0,$$

两根异号，即一正一负。

必要性（方程有一正根一负根 $\Rightarrow ac < 0$）：设两根为 $x_1 > 0$，$x_2 < 0$，则 $x_1 x_2 < 0$。由根与系数的关系 $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$，所以 $\dfrac{c}{a} < 0$，两边乘 $a^2 > 0$，得 $ac < 0$。

综上，命题得证。

容易卡在：充分性里直接用根与系数的关系，没先说明方程有实根。根与系数的关系只在方程有实根时才能用，所以先算判别式。

例 2　（场景：求充要条件）求关于 $x$ 的方程 $x^2 - 2x + m = 0$ 有两个不相等的正实根的充要条件。

解：设两根为 $x_1$、$x_2$。

方程有两个不相等的正实根 $\iff$ 方程有两个不相等的实根，且两根都为正

$$\iff \begin{cases} \Delta = 4 - 4m > 0, \\ x_1 + x_2 = 2 > 0, \\ x_1 x_2 = m > 0, \end{cases}$$

（关键一步：两个实数都为正，等价于它们的和与积都为正。积为正说明同号，和为正说明同为正，反过来也成立，所以这一步可逆。）

解得 $m < 1$ 且 $m > 0$。所以充要条件是 $0 < m < 1$。

另一种解法：数形结合。设 $f(x) = x^2 - 2x + m$，图像开口向上，对称轴 $x = 1$ 在 $y$ 轴右边。两个交点都在 $x$ 轴正半轴，等价于：图像和 $y$ 轴的交点在 $x$ 轴上方，即 $f(0) = m > 0$；最低点在 $x$ 轴下方，即 $f(1) = m - 1 < 0$。得 $0 < m < 1$。

根与系数的关系适合“两根都正（负）、一正一负”这种只看符号的问题；数形结合适合“两根都大于 1”“一根在 (0, 1) 内”这种根和某个数比大小的问题，那时根与系数的关系不好用。

例 3　（场景：找一个充分不必要条件）$x^2 < 1$ 的一个充分不必要条件是（　）。

A. $-1 < x < 1$　B. $0 < x < 1$　C. $-1 < x < 2$　D. $x < 1$

解：先求 $x^2 < 1$ 的充要条件：$x^2 < 1 \iff -1 < x < 1$，对应集合 $(-1, 1)$。

$x^2 < 1$ 的充分不必要条件，要能推出 $x^2 < 1$，又不能被 $x^2 < 1$ 推出，所以它对应的集合要是 $(-1, 1)$ 的真子集。

• A：集合等于 $(-1, 1)$，是充要条件。
• B：$(0, 1) \subsetneqq (-1, 1)$，是充分不必要条件。
• C：$(-1, 2) \supsetneqq (-1, 1)$，是必要不充分条件。
• D：$(-\infty, 1) \supsetneqq (-1, 1)$，是必要不充分条件。

选 B。

容易卡在：“$x^2 < 1$ 的充分条件”和”$x^2 < 1$ 是……的充分条件“分不清。前者要找能推出 $x^2 < 1$ 的，也就是更小的范围。

常用推论

• $p$ 是 $q$ 的充要条件 $\iff$ 使 $p$、$q$ 成立的集合相等。推导见本节“证明”结论 1。
• 找”$q$ 的一个充分不必要条件”，就是找 $q$ 的准确范围的一个真子集；找”$q$ 的一个必要不充分条件”，就是找一个真包含 $q$ 的准确范围的集合。由 2.2 节“小推大”直接得到。
• 一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \ne 0$）的根的符号：一正一负 $\iff ac < 0$（本节例 1）；两个不等正根 $\iff \Delta > 0$，$-\dfrac{b}{a} > 0$，$\dfrac{c}{a} > 0$；两个不等负根 $\iff \Delta > 0$，$-\dfrac{b}{a} < 0$，$\dfrac{c}{a} > 0$。推导同本节例 2，用根与系数的关系。

易错点

• 错在哪：要求“证明 $p$ 是 $q$ 的充要条件”，只证了 $p \Rightarrow q$。 为什么错：只证一个方向，只说明了 $p$ 是 $q$ 的充分条件。 正确做法：分“充分性”“必要性”两段写，两段都写完才算证完。
• 错在哪：“$q$ 的充要条件是 $p$”，充分性证成了 $q \Rightarrow p$。 为什么错：这句话里 $p$ 是条件，充分性说的是”$p$ 足够推出 $q$“，即 $p \Rightarrow q$。 正确做法：先找出”条件“是谁，充分性从条件出发推结论，必要性从结论出发推条件。
• 错在哪：例 2 只写 $x_1 x_2 = m > 0$，或者漏写 $\Delta > 0$。 为什么错：只有积为正，两根可能都是负的；没有 $\Delta > 0$，方程可能根本没有实根，和与积的式子都无从谈起。 正确做法：判别式、两根之和、两根之积三个条件一起写，并检查每一步能不能倒推回去。

直观理解

充要条件就是“换一种说法”：$p$ 和 $q$ 描述的是同一批对象，就像“三边相等的三角形”和“三个角都是 $60^\circ$ 的三角形”说的是同一种三角形。画成 Venn 图，两个圈完全重合。

求充要条件像翻译：把题目的话一步步翻译成参数的不等式，每一步都不能多出意思，也不能丢掉意思。

关联知识点

• 前置：2.2 充分条件与必要条件，充要条件是“两个方向都成立”的特殊情形。
• 前置：第 1 章 1.3 集合间的基本关系，“两个集合相等”就是互相包含。
• 后续：第 4 章一元二次函数、方程和不等式，“方程的根满足什么条件”类问题，用的就是本节例 2 的等价转化。
• 后续：第 15 章平面向量的数量积，“$\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} \iff \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0$“是典型的充要条件，常被拿来出条件判断题。
• 常一起考：第 22 章等差数列，“某个式子成立是数列为等差数列的什么条件”是常见的选择题。

2.4 全称量词与存在量词

说明

全称量词：“所有的”“任意一个”“每一个”“一切”“任给”这类表示全部的词，用符号 $\forall$ 表示。

存在量词：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有的”“对某个”这类表示部分的词，用符号 $\exists$ 表示。

全称量词命题：含有全称量词的命题，一般写成

$$\forall x \in M, \ p(x),$$

读作“对 $M$ 中任意一个 $x$，$p(x)$ 成立”。

存在量词命题：含有存在量词的命题，一般写成

$$\exists x \in M, \ p(x),$$

读作“存在 $M$ 中的元素 $x$，使 $p(x)$ 成立”。

省略量词的命题：很多全称量词命题不写“所有”，例如“正方形是矩形”“平行四边形的对角线互相平分”，意思都是“所有的”。

真假的判断：

命题	为真	为假
$\forall x \in M, \ p(x)$	要证明对 $M$ 中每一个 $x$ 都成立	举出一个使 $p(x)$ 不成立的 $x$（反例）即可
$\exists x \in M, \ p(x)$	举出一个使 $p(x)$ 成立的 $x$ 即可	要证明对 $M$ 中每一个 $x$ 都不成立

使用场景

• 题目要求判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，或用符号改写：找量词，注意省略了量词的命题。
• 题目要求判断含量词命题的真假：全称命题先想反例，存在命题先想例子。
• 题目给出“对任意实数 $x$，某个二次式 $> 0$“为真，求参数：二次函数在整个实数轴上恒正，用判别式。
• 题目给出“对任意 $x \in D$“或”存在 $x \in D$“使某个不等式成立，$D$ 是一个区间，求参数：转化为最小值或最大值。

注意点

• 量词限定的范围 $M$ 是命题的一部分。同一个式子换了范围，真假可能变，比如 $\forall x \in \mathbf{N}^*, \ x \ge 1$ 是真的，$\forall x \in \mathbf{Z}, \ x \ge 1$ 是假的。
• “存在一个”的意思是“至少一个”，有两个、三个、全部都满足也算存在。
• 区间上的最值取不到时（如开区间的端点），转化成参数不等式后，端点能否取等号要单独检验。例如 $\forall x \in (1, 2), \ x > a$ 成立的条件是 $a \le 1$，不是 $a < 1$。
• 函数的最大值、最小值在第 6 章才系统讲，本章只用二次函数在区间上的最值，初中就会。

证明

结论 1：全称量词命题，一个反例就能说明为假；存在量词命题，一个例子就能说明为真。

记 $S = \{x \in M \mid p(x) \text{ 成立}\}$。“$\forall x \in M, \ p(x)$“说的是 $S = M$；”$\exists x \in M, \ p(x)$“说的是 $S \ne \varnothing$。

• 找到一个 $x_0 \in M$ 使 $p(x_0)$ 不成立，则 $x_0 \notin S$，$S \ne M$，全称命题为假。
• 找到一个 $x_0 \in M$ 使 $p(x_0)$ 成立，则 $x_0 \in S$，$S \ne \varnothing$，存在命题为真。

反过来，说明全称命题为真要说明 $S = M$，也就是每一个都成立，不能只举例子。

结论 2：恒成立与有解转化为最值。 设 $f(x)$ 在 $D$ 上有最小值 $m$ 和最大值 $M$，$a$ 是常数，则

$$\forall x \in D, \ f(x) \ge a \iff m \ge a; \qquad \exists x \in D, \ f(x) \ge a \iff M \ge a.$$

先证第一个。设最小值在 $x_0$ 处取到，即 $f(x_0) = m$。

• 若对所有 $x \in D$ 都有 $f(x) \ge a$，取 $x = x_0$ 得 $m = f(x_0) \ge a$。
• 若 $m \ge a$，则对所有 $x \in D$，$f(x) \ge m \ge a$。

再证第二个。设最大值在 $x_1$ 处取到，即 $f(x_1) = M$。

• 若存在 $x_2 \in D$ 使 $f(x_2) \ge a$，则 $M \ge f(x_2) \ge a$。
• 若 $M \ge a$，则 $x_1$ 就是使 $f(x) \ge a$ 的那个 $x$。

（关键一步：最值能“取到”，即存在 $x_0$、$x_1$ 使 $f(x_0) = m$、$f(x_1) = M$。所以“所有值都 $\ge a$“可以只看最小的那个，“有一个值 $\ge a$“可以只看最大的那个。最值取不到时这一步不能走，要像注意点里那样单独看端点。）

例题

例 1　（场景：判断命题类型并用符号表示）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用量词符号写出来。

（1）每一个正方形都是矩形；（2）有的实数的平方等于它本身；（3）平行四边形的对角线互相平分；（4）有一个质数是偶数。

解：

（1）全称量词命题。记 $M$ 为正方形组成的集合，写作 $\forall x \in M$，$x$ 是矩形。

（2）存在量词命题：$\exists x \in \mathbf{R}, \ x^2 = x$。

（3）全称量词命题，省略了“所有的”。记 $M$ 为平行四边形组成的集合，写作 $\forall x \in M$，$x$ 的对角线互相平分。

（4）存在量词命题。记 $M$ 为质数组成的集合，写作 $\exists x \in M$，$x$ 是偶数。

容易卡在：第（3）题没有量词词语，误判为“不是含量词的命题”。数学定理说的几乎都是“所有的”。

例 2　（场景：判断真假）判断下列命题的真假。

（1）$\forall x \in \mathbf{R}, \ x^2 + 1 > 0$；（2）$\forall x \in \mathbf{N}, \ x^2 \ge 1$；（3）$\exists x \in \mathbf{Q}, \ x^2 = 2$；（4）$\exists x \in \mathbf{R}, \ x^2 - 2x - 3 = 0$。

解：

（1）真。对任意实数 $x$，$x^2 \ge 0$，所以 $x^2 + 1 \ge 1 > 0$。

（2）假。反例：$x = 0 \in \mathbf{N}$，$0^2 = 0 < 1$。

（3）假。$x^2 = 2$ 的解只有 $x = \pm\sqrt{2}$，都是无理数，没有一个有理数满足。

（4）真。$x = 3$ 时 $9 - 6 - 3 = 0$。

容易卡在：第（2）题忘了 $\mathbf{N}$ 含 0，判断成真命题。

例 3　（场景：二次式在实数集上恒成立）若命题”$\forall x \in \mathbf{R}, \ x^2 - 2x + a > 0$“为真命题，求实数 $a$ 的取值范围。

解：$y = x^2 - 2x + a$ 的图像是开口向上的抛物线。对所有实数 $x$ 都有 $y > 0$，即整条抛物线都在 $x$ 轴上方，和 $x$ 轴没有公共点，等价于方程 $x^2 - 2x + a = 0$ 没有实根：

$$\Delta = (-2)^2 - 4a = 4 - 4a < 0,$$

解得 $a > 1$。

另一种解法：配方。$x^2 - 2x + a = (x - 1)^2 + (a - 1)$，它的最小值是 $a - 1$（$x = 1$ 时取到）。由本节“证明”结论 2，对所有 $x$ 都大于 0 等价于最小值大于 0：$a - 1 > 0$，$a > 1$。判别式法只适用于定义域是全体实数的二次式；配方法求最小值的思路，在 $x$ 限定在某个区间时照样能用。

例 4　（场景：区间上的任意与存在）已知 $p$：$\forall x \in [1, 2], \ x^2 - a \ge 0$；$q$：$\exists x \in [1, 2], \ x^2 - a \ge 0$。分别求 $p$ 为真、$q$ 为真时实数 $a$ 的取值范围。

解：两个命题都是”$x^2 \ge a$“，区别只在量词。$y = x^2$ 在 $[1, 2]$ 上随 $x$ 增大而增大，最小值是 $1^2 = 1$，最大值是 $2^2 = 4$。

• $p$ 为真：$[1, 2]$ 上所有的 $x^2$ 都 $\ge a$，只要最小的那个 $\ge a$：$a \le 1$。
• $q$ 为真：$[1, 2]$ 上有一个 $x^2 \ge a$ 就行，只要最大的那个 $\ge a$：$a \le 4$。

所以 $p$ 为真时 $a \in (-\infty, 1]$，$q$ 为真时 $a \in (-\infty, 4]$。

容易卡在：分不清该用最大值还是最小值。“任意”要求最差的情况也满足，“存在”只要最好的情况满足。

常用推论

• 恒成立与有解（$f(x)$ 在 $D$ 上有最值）：

  • $\forall x \in D, \ f(x) \ge a \iff f(x)$ 的最小值 $\ge a$；$\forall x \in D, \ f(x) \le a \iff f(x)$ 的最大值 $\le a$；
  • $\exists x \in D, \ f(x) \ge a \iff f(x)$ 的最大值 $\ge a$；$\exists x \in D, \ f(x) \le a \iff f(x)$ 的最小值 $\le a$。

  推导见本节“证明”结论 2，“$\le$“的情形把不等号反过来同理。

• 二次式恒正：$ax^2 + bx + c > 0$ 对一切实数 $x$ 成立 $\iff a = b = 0, \ c > 0$，或 $a > 0, \ \Delta < 0$。推导：$a = 0$ 时式子变成 $bx + c$，只有 $b = 0$ 且 $c > 0$ 时恒正；$a \ne 0$ 时抛物线要整条在 $x$ 轴上方，必须开口向上且与 $x$ 轴无交点，同本节例 3。第 4 章会详细讲。

易错点

• 错在哪：认为“三角形内角和是 $180^\circ$“不是含量词的命题。 为什么错：它省略了”所有的”，是全称量词命题。 正确做法：没有量词词语时，问一句“说的是所有的，还是某一个”。
• 错在哪：证明全称命题时，验证了几个数成立就说是真命题。 为什么错：几个例子成立不等于所有都成立。 正确做法：全称命题为真要给出对任意 $x$ 都成立的推导；为假才只需要一个反例。
• 错在哪：例 4 中把“存在 $x \in [1, 2]$，$x^2 \ge a$“转化为 $a \le 1$。 为什么错：$a \le 1$ 是”所有 $x$ 都满足“的条件。存在只要一个满足，用最大值 4 来比。 正确做法：记住”任意看最差，存在看最好”，$\ge a$ 时最差是最小值，最好是最大值。

直观理解

全称命题像“全班都及格”：只要找到一个不及格的，命题就假了；要说它真，必须查遍全班。存在命题像“班里有人考满分”：找到一个就真；要说它假，必须查遍全班。

恒成立在图像上就是“整条曲线都在某条线上方”。

关联知识点

• 前置：第 1 章 1.2 集合的概念与表示，量词后面的范围 $M$ 是一个集合。
• 后续：2.5 含量词命题的否定，任意的否定是存在，存在的否定是任意。
• 后续：第 4 章一元二次函数、方程和不等式，恒成立与有解问题在那里系统讲，本节例 3、例 4 是它的入门形式。
• 后续：第 6 章函数的基本性质，最大值和最小值的定义本身就用全称量词和存在量词写成。
• 后续：第 25 章导数的应用，“对任意 $x$ 不等式恒成立求参数”是导数大题的常见形式，方法仍是转化为最值。

2.5 含量词命题的否定

说明

命题的否定：对命题 $p$ 加以否定，得到一个新命题，叫 $p$ 的否定，记作 $\neg p$（人教 A 版用的就是这个符号）。$p$ 和它的否定一真一假，不能同真，也不能同假。

含量词命题的否定规则：

• “$\forall x \in M, \ p(x)$“的否定是”$\exists x \in M, \ \neg p(x)$“，即”存在 $x \in M$，$p(x)$ 不成立”；
• “$\exists x \in M, \ p(x)$“的否定是”$\forall x \in M, \ \neg p(x)$“，即”对任意 $x \in M$，$p(x)$ 都不成立”。

口诀：改量词，否结论，范围不变。

常见词语的否定：

原词	否定	原词	否定
等于	不等于	都是	不都是
大于（$>$）	不大于（$\le$）	至少有一个	一个也没有
小于（$<$）	不小于（$\ge$）	至多有一个	至少有两个
是	不是	任意	存在
且	或	或	且

使用场景

• 题目给出一个带 $\forall$ 或 $\exists$ 的命题，要求写出它的否定（常见于选择题）：按“改量词、否结论、范围不变”三步写。
• 命题省略了量词，或含“都”“至少”“至多”这类词：先补出量词，再按上表否定结论里的词。
• 已知一个含量词的命题是假命题，求参数：它的否定是真命题，改为求否定为真时的参数，常变成恒成立问题。

注意点

• 量词后面的范围 $M$ 不否定。$\forall x > 0$ 的否定以 $\exists x > 0$ 开头，不是 $\exists x \le 0$。
• “$>$“的否定是”$\le$“，不是”$<$“，等号不能漏。
• 命题的否定只否定结论。旧教材里的“否命题”把条件和结论都否定，那是另一个概念，新课标不再要求，不要混用。
• 结论里有“且”“或”时，否定后“且”变“或”，“或”变“且”，和第 1 章的德摩根律一致。

证明

结论：$\forall x \in M, \ p(x)$ 的否定是 $\exists x \in M, \ \neg p(x)$。

记 $S = \{x \in M \mid p(x) \text{ 成立}\}$，则 $S \subseteq M$。

“$\forall x \in M, \ p(x)$“说的是 $S = M$。它的否定说的是 $S \ne M$。

因为 $S \subseteq M$ 总成立，$S \ne M$ 等价于 $M$ 中至少有一个元素不在 $S$ 里，也就是存在 $x \in M$ 使 $p(x)$ 不成立。

（关键一步：$S$ 是 $M$ 的子集，所以”$S$ 不等于 $M$“只可能是”$M$ 里有东西漏在 $S$ 外面”，即 $\complement_M S \ne \varnothing$。这个元素就是“存在”的那个 $x$。）

同理，“$\exists x \in M, \ p(x)$“说的是 $S \ne \varnothing$，它的否定是 $S = \varnothing$，即 $M$ 中没有一个元素使 $p(x)$ 成立，也就是 $\forall x \in M$，$p(x)$ 不成立。

例题

例 1　（场景：写出含量词命题的否定）写出下列命题的否定，并判断否定的真假。

（1）$\forall x > 0, \ x + \dfrac{1}{x} \ge 2$；（2）$\exists x \in \mathbf{R}, \ x^2 + 2x + 3 \le 0$。

解：

（1）否定：$\exists x > 0, \ x + \dfrac{1}{x} < 2$。

判断：原命题为真。因为 $(x - 1)^2 \ge 0$，展开得 $x^2 + 1 \ge 2x$，两边除以正数 $x$ 得 $x + \dfrac{1}{x} \ge 2$。原命题真，所以否定为假。

（2）否定：$\forall x \in \mathbf{R}, \ x^2 + 2x + 3 > 0$。

判断：$x^2 + 2x + 3 = (x + 1)^2 + 2 \ge 2 > 0$ 对所有实数成立，否定为真。

容易卡在：第（1）题把范围也否定，写成”$\exists x \le 0$“。范围 $x > 0$ 是量词的一部分，不动。

例 2　（场景：省略量词或含“都”“至少”“至多”的命题）写出下列命题的否定。

（1）正方形都是矩形；（2）有些实数的绝对值是正数；（3）$a$、$b$、$c$ 中至多有一个是正数。

解：

（1）补出量词：所有的正方形都是矩形。否定：存在一个正方形不是矩形。

（2）存在量词命题。否定：所有实数的绝对值都不是正数。

（3）“至多有一个”的否定是“至少有两个”。否定：$a$、$b$、$c$ 中至少有两个是正数。

容易卡在：第（1）题写成“正方形都不是矩形”。原命题说“全部是”，否定只要“不全是”，也就是“有一个不是”；“全部不是”否定得太多了。

例 3　（场景：已知命题为假求参数）若命题”$\exists x \in \mathbf{R}, \ x^2 - 4x + a < 0$“是假命题，求实数 $a$ 的取值范围。

解：原命题为假，所以它的否定为真：

$$\forall x \in \mathbf{R}, \ x^2 - 4x + a \ge 0.$$

$y = x^2 - 4x + a$ 开口向上，对所有 $x$ 都 $\ge 0$，即抛物线在 $x$ 轴上方或与 $x$ 轴只有一个公共点：

$$\Delta = 16 - 4a \le 0,$$

解得 $a \ge 4$。

容易卡在：否定时把”$<$“改成”$>$“，得到 $\Delta < 0$，漏掉 $a = 4$。$a = 4$ 时 $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$，最小值 0，确实找不到 $x$ 使它小于 0，原命题假，所以 $a = 4$ 符合。

另一种解法：直接从原命题看。原命题为假，就是找不到 $x$ 使 $x^2 - 4x + a < 0$，也就是 $x^2 - 4x + a$ 的最小值不小于 0。配方 $x^2 - 4x + a = (x - 2)^2 + a - 4$，最小值 $a - 4 \ge 0$，$a \ge 4$。转化为否定的写法步骤清楚，适合书面作答；直接看最小值省一步，适合选择题、填空题。

常用推论

• 两条否定规则合起来：$\forall$ 与 $\exists$ 互换，结论取否定，范围不动。推导见本节“证明”。
• 命题与它的否定一真一假：已知一个为假，就可以改求另一个为真。本节例 3 就是这样把“存在为假”变成“任意为真”的恒成立问题。
• “$\exists x \in D, \ f(x) < a$“为假 $\iff$ “$\forall x \in D, \ f(x) \ge a$“为真 $\iff f(x)$ 在 $D$ 上的最小值 $\ge a$（最小值存在时）。由否定规则和 2.4 节”证明“结论 2 合起来得到。

易错点

• 错在哪：把”$\forall x \in \mathbf{R}, \ x^2 \ge 0$“的否定写成”$\forall x \in \mathbf{R}, \ x^2 < 0$“。 为什么错：只否定了结论，没改量词。“所有都满足”的反面是“不全满足”，即至少有一个不满足；写成“所有都不满足”就否定得太多了。 正确做法：量词和结论都要改：$\exists x \in \mathbf{R}, \ x^2 < 0$。
• 错在哪：把”$\forall x > 0, \ x^2 > 0$“的否定写成”$\exists x \le 0, \ x^2 \le 0$“。 为什么错：$x > 0$ 是量词的范围，不是结论，原命题根本没谈 $x \le 0$ 的情况。 正确做法：范围原样保留：$\exists x > 0, \ x^2 \le 0$。
• 错在哪：把”$x^2 - 4x + a < 0$“的否定写成”$x^2 - 4x + a > 0$“。 为什么错：一个数不小于 0，可以大于 0，也可以等于 0。 正确做法：$<$ 的否定是 $\ge$，$>$ 的否定是 $\le$。
• 错在哪：把“命题的否定”写成旧教材的“否命题”，把条件也否定了。 为什么错：命题的否定只否定结论，否命题是另一个命题，两者真假没有必然联系。 正确做法：含量词命题的否定，只改量词和结论，条件（范围）不动。

直观理解

否定“全班都及格”，只需要“有人不及格”，不需要“全班都不及格”。否定“班里有人考满分”，要说“全班都没考满分”。这就是“改量词”：反驳“全部”只要一个反例，反驳“有一个”要说“一个都没有”。

用集合看：$S$ 是满足 $p(x)$ 的元素组成的集合。“任意”说的是 $S$ 填满了 $M$，它的否定是 $M$ 里还有空着的地方；“存在”说的是 $S$ 不空，它的否定是 $S$ 是空的。

关联知识点

• 前置：2.4 全称量词与存在量词，否定的对象就是这两类命题。
• 前置：第 1 章 1.4 集合的基本运算，“且”“或”的否定规则和德摩根律相同；“否定”对应补集。
• 后续：第 4 章一元二次函数、方程和不等式，“存在为假”化为“任意为真”后，就是二次不等式恒成立问题。
• 后续：第 23 章数学归纳法以及各章的反证法，反证法第一步就是写出结论的否定，“至少”“至多”的否定在那里常用。

2.6 知识点之间的关系

本章四个知识点分两组。第一组是充分条件、必要条件和充要条件（2.2、2.3），讲两个命题之间“谁推出谁”；第二组是量词和否定（2.4、2.5），讲一个命题说的是“所有”还是“存在”。

两组都建立在第 1 章的集合上：推出对应子集，等价对应相等，否定对应补集，“改量词”对应”$S$ 等于 $M$“和”$S$ 不空“这两句话的否定。

考试里，本章很少单独成题，常见的组合是：

• 选择题问”……是……的什么条件”，真正要算的是不等式、数列、向量、立体几何里的推导，本章只负责最后一步判断；
• 求参数时，把“充分不必要”化成集合的真包含，把“任意”“存在”化成最值，把“假命题”化成否定为真。这三种转化后面各章反复用。

2.7 自测

1. “$x > 1$“是”$x > 0$“的什么条件？
2. “$x^2 = x$“是”$x = 1$“的什么条件？
3. “$x^2 - 4x + 4 = 0$“是”$x = 2$“的什么条件？
4. 求关于 $x$ 的方程 $x^2 + 2x + m = 0$ 有两个不相等的负实根的充要条件。
5. 判断真假：$\forall x \in \mathbf{R}, \ x^2 - x + 1 > 0$。
6. 若”$\exists x \in [0, 2], \ x + a > 3$“为真命题，求实数 $a$ 的取值范围。
7. 写出命题”$\forall x \in \mathbf{N}, \ x^2 \ge x$“的否定。
8. 若”$\forall x \in \mathbf{R}, \ x^2 + ax + 1 \ge 0$“是假命题，求实数 $a$ 的取值范围。

答案：1. 充分不必要条件；2. 必要不充分条件；3. 充要条件；4. $0 < m < 1$；5. 真；6. $a > 1$；7. $\exists x \in \mathbf{N}, \ x^2 < x$；8. $a < -2$ 或 $a > 2$。

2.8 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台 · 高中数学：有人教 A 版必修第一册“充分条件与必要条件”“全称量词与存在量词”的配套课程视频，适合跟着课本重学一遍。
• 人民教育出版社：人教 A 版教材的出版方，可查必修第一册第一章的目录和教材说明。
• 维基百科 · 充分必要条件：从逻辑学角度讲充分条件、必要条件和充要条件，例子比课本多。
• 维基百科 · 全称量化：全称量词的符号来历和否定规则，可以和存在量化条目对照着看。