第 11 章 · 三角函数的概念与诱导公式

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课标主题	必修 · 函数 · 三角函数
人教 A 版	必修第一册 第五章 5.1 任意角和弧度制、5.2 三角函数的概念、5.3 诱导公式
考试地位	常考。很少单独成大题，多在选择题、填空题里考定义求值、符号判断、“已知 $\tan\alpha$ 求齐次式”；更多时候是第 12、13 章和解三角形题目里化简的第一步
前置知识	初中的锐角三角函数、圆的周长和面积、勾股定理；第 5 章函数的概念

这一章把初中“直角三角形里的锐角三角函数”推广到任意大小、任意方向的角：先用弧度把角变成实数，再用单位圆上点的坐标定义正弦、余弦、正切。后面三角函数的图像、恒等变换、解三角形，都建立在这几个定义和公式上。题目本身不难，丢分几乎都丢在符号上：开平方时忘了看象限，用诱导公式时正负号写反，角度和弧度混用。

11.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
11.2 任意角和弧度制	角可以是正、负、任意大；弧度是“弧长 ÷ 半径”，$180^\circ = \pi$	常考，扇形的弧长和面积是小题常客
11.3 三角函数的定义	终边与单位圆交于 $P(x, y)$，则 $\sin\alpha = y$，$\cos\alpha = x$，$\tan\alpha = \dfrac{y}{x}$	常考，定义求值和符号判断
11.4 同角三角函数的基本关系	$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$，$\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$	必考，几乎是所有三角题的工具
11.5 诱导公式	$k \cdot \dfrac{\pi}{2} \pm \alpha$ 的三角函数化成 $\alpha$ 的三角函数：“奇变偶不变，符号看象限”	必考，多作为化简的一步

11.2 任意角和弧度制

说明

任意角：一条射线绕它的端点旋转，从起始位置（始边）转到终止位置（终边），形成一个角。

• 按逆时针方向旋转形成的角叫正角；
• 按顺时针方向旋转形成的角叫负角；
• 射线没有旋转，叫零角。

转一圈是 $360^\circ$，转得多可以超过 $360^\circ$。所以角可以是任意大小、任意正负。

象限角：把角放进平面直角坐标系，顶点放在原点，始边放在 $x$ 轴的非负半轴上。终边落在第几象限，就叫第几象限角。终边落在坐标轴上的角（如 $90^\circ$、$180^\circ$）叫轴线角，不属于任何象限。

终边相同的角：与角 $\alpha$ 终边相同的角，连同 $\alpha$ 在内，组成集合

$$S = \{\beta \mid \beta = \alpha + k \cdot 360^\circ, k \in \mathbf{Z}\}.$$

也就是说，在 $\alpha$ 的基础上多转或少转整数圈，终边不变。

弧度制：长度等于半径的弧所对的圆心角，叫做 1 弧度的角，记作 1 rad。

一般地，半径为 $r$ 的圆中，圆心角 $\alpha$ 所对的弧长为 $l$，那么

$$|\alpha| = \frac{l}{r}.$$

正角的弧度数为正，负角为负，零角为 0。用弧度作单位时，“rad”通常省略不写，如 $\alpha = 2$ 就是 2 弧度。

角度与弧度的换算：整个圆周的弧长是 $2\pi r$，所以一周角是 $2\pi$ 弧度：

$$360^\circ = 2\pi, \quad 180^\circ = \pi, \quad 1^\circ = \frac{\pi}{180} \approx 0.01745, \quad 1 = \left(\frac{180}{\pi}\right)^\circ \approx 57.30^\circ.$$

角度	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$	$120^\circ$	$135^\circ$	$150^\circ$	$180^\circ$	$270^\circ$	$360^\circ$
弧度	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{2\pi}{3}$	$\dfrac{3\pi}{4}$	$\dfrac{5\pi}{6}$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$2\pi$

用弧度表示后，终边相同的角写成 $\{\beta \mid \beta = \alpha + 2k\pi, k \in \mathbf{Z}\}$。每个角对应一个实数，每个实数也对应一个角，这样三角函数才能像其他函数一样以实数为自变量。

扇形的弧长和面积：扇形的半径为 $r$，圆心角为 $\alpha$（弧度，$0 < \alpha \le 2\pi$），弧长为 $l$，则

$$l = \alpha r, \qquad S = \frac{1}{2} l r = \frac{1}{2} \alpha r^2.$$

用角度表示时，圆心角为 $n^\circ$ 的扇形 $l = \dfrac{n\pi r}{180}$，$S = \dfrac{n\pi r^2}{360}$。弧度制下的公式更简单，考试一般用弧度。

几类常用的角的集合（弧度制，$k \in \mathbf{Z}$）：

终边位置	角的集合
第一象限	$\left\{\alpha \mid 2k\pi < \alpha < 2k\pi + \dfrac{\pi}{2}\right\}$
第二象限	$\left\{\alpha \mid 2k\pi + \dfrac{\pi}{2} < \alpha < 2k\pi + \pi\right\}$
第三象限	$\left\{\alpha \mid 2k\pi + \pi < \alpha < 2k\pi + \dfrac{3\pi}{2}\right\}$
第四象限	$\left\{\alpha \mid 2k\pi + \dfrac{3\pi}{2} < \alpha < 2k\pi + 2\pi\right\}$
$x$ 轴上	$\{\alpha \mid \alpha = k\pi\}$
$y$ 轴上	$\left\{\alpha \mid \alpha = k\pi + \dfrac{\pi}{2}\right\}$
坐标轴上	$\left\{\alpha \mid \alpha = \dfrac{k\pi}{2}\right\}$

使用场景

• 题目给出一个很大的角或负角，问它在第几象限、写出终边相同的角：加减 $360^\circ$（或 $2\pi$）的整数倍，化到 $0^\circ$ 到 $360^\circ$ 之间再看。
• 题目里同时出现角度和弧度，或者要求“用弧度表示”：用 $180^\circ = \pi$ 互化。
• 题目出现“扇形”、“圆心角”、“弧长”：用 $l = \alpha r$、$S = \dfrac{1}{2} l r$。
• 扇形的周长（或面积）固定，求面积（或周长）的最值：把面积写成半径的二次函数，或用基本不等式。
• 已知 $\alpha$ 所在的象限，问 $\dfrac{\alpha}{2}$、$2\alpha$ 在哪里：先写出 $\alpha$ 的范围（带 $2k\pi$），再除以 2 或乘 2，对 $k$ 分奇偶讨论。

注意点

• 角度和弧度不能混在一个式子里。$\alpha = 2k\pi + 30^\circ$ 是错的，要写成 $\alpha = 2k\pi + \dfrac{\pi}{6}$ 或 $\alpha = k \cdot 360^\circ + 30^\circ$。
• 扇形公式 $l = \alpha r$、$S = \dfrac{1}{2}\alpha r^2$ 里的 $\alpha$ 必须是弧度。
• “锐角”“第一象限角”“小于 $90^\circ$ 的角”是三个不同的概念：锐角是 $0^\circ < \alpha < 90^\circ$；第一象限角还包括 $390^\circ$、$-300^\circ$ 这样的角；小于 $90^\circ$ 的角还包括零角和所有负角。锐角都是第一象限角，反过来不对。
• 终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。写终边相同的角时，$k \in \mathbf{Z}$ 不能漏。
• 终边在坐标轴上的角不属于任何象限，判断象限时要单独说明。

证明

结论 1：弧度的定义是合理的，即同一个圆心角所对的弧长与半径之比是定值，和圆的大小无关。

设圆心角为 $n^\circ$，圆的半径为 $r$。整个圆周长 $2\pi r$ 对应 $360^\circ$，圆心角 $n^\circ$ 的弧占整个圆周的 $\dfrac{n}{360}$，所以弧长

$$l = \frac{n}{360} \cdot 2\pi r = \frac{n\pi r}{180}.$$

于是 $\dfrac{l}{r} = \dfrac{n\pi}{180}$，只和 $n$ 有关，和 $r$ 无关（关键一步：圆周长和半径成正比，这是所有圆都相似带来的结果，所以比值里的 $r$ 能约掉）。因此可以用这个比值来量角的大小，这就是弧度。取 $n = 360$ 得一周角为 $2\pi$ 弧度，取 $n = 180$ 得 $180^\circ = \pi$。

结论 2：扇形面积 $S = \dfrac{1}{2} l r = \dfrac{1}{2}\alpha r^2$。

圆心角为 $n^\circ$ 的扇形面积是整个圆面积的 $\dfrac{n}{360}$：

$$S = \frac{n}{360} \pi r^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{n\pi r}{180} \cdot r = \frac{1}{2} l r.$$

再把 $l = \alpha r$ 代入，得 $S = \dfrac{1}{2}\alpha r^2$。

结论 3：终边相同的角相差 $360^\circ$ 的整数倍。

角的终边由“从始边转了多少”决定。多转一整圈（$360^\circ$）或少转一整圈，射线回到原来的位置，终边不变；反过来，两个角终边相同，说明它们的旋转量只能差整数圈。

例题

例 1　（场景：判断象限、写终边相同的角）把 $-1050^\circ$ 写成 $\alpha + k \cdot 360^\circ$（$0^\circ \le \alpha < 360^\circ$，$k \in \mathbf{Z}$）的形式，指出它是第几象限角，并写出与它终边相同、在 $-720^\circ$ 到 $0^\circ$ 之间（含 $-720^\circ$，不含 $0^\circ$）的角。

解：$-1050^\circ$ 加上 3 个 $360^\circ$：$-1050^\circ + 1080^\circ = 30^\circ$，所以

$$-1050^\circ = 30^\circ + (-3) \times 360^\circ.$$

$30^\circ$ 是第一象限角，所以 $-1050^\circ$ 是第一象限角。

与它终边相同的角是 $\beta = 30^\circ + k \cdot 360^\circ$。要求 $-720^\circ \le \beta < 0^\circ$：

• $k = -1$：$\beta = -330^\circ$，符合；
• $k = -2$：$\beta = -690^\circ$，符合；
• $k = 0$ 时 $\beta = 30^\circ$，$k = -3$ 时 $\beta = -1050^\circ$，都不在范围内。

所以是 $-330^\circ$ 和 $-690^\circ$。

容易卡在：负角不知道该加几圈。办法是一直加 $360^\circ$，直到落进 $0^\circ$ 到 $360^\circ$ 之间。

例 2　（场景：角度与弧度互化）(1) 把 $75^\circ$ 化成弧度；(2) 把 $-\dfrac{3\pi}{5}$ 化成角度；(3) 2 弧度的角是第几象限角？

解：

(1) $75^\circ = 75 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{12}$。

(2) $-\dfrac{3\pi}{5} = -\dfrac{3}{5} \times 180^\circ = -108^\circ$。

(3) $\dfrac{\pi}{2} \approx 1.57$，$\pi \approx 3.14$，所以 $\dfrac{\pi}{2} < 2 < \pi$，2 弧度的角是第二象限角（约 $114.6^\circ$）。

容易卡在：(3) 把“2”当成 $2^\circ$。没有写度数符号的角一律是弧度。

例 3　（场景：扇形的弧长和面积）扇形的半径为 6 cm，圆心角为 $120^\circ$，求它的弧长和面积。

解：先化成弧度：$120^\circ = \dfrac{2\pi}{3}$。

$$l = \alpha r = \frac{2\pi}{3} \times 6 = 4\pi \ (\text{cm}), \qquad S = \frac{1}{2} l r = \frac{1}{2} \times 4\pi \times 6 = 12\pi \ (\text{cm}^2).$$

容易卡在：直接把 120 代进 $l = \alpha r$，得 720。公式里的角必须是弧度。

例 4　（场景：扇形面积的最值）用长为 20 cm 的铁丝围成一个扇形（两条半径加一段弧），半径取多少时扇形面积最大？最大面积是多少？此时圆心角是多少弧度？

解：设半径为 $r$，弧长为 $l$，则 $2r + l = 20$，$l = 20 - 2r$。

$$S = \frac{1}{2} l r = \frac{1}{2}(20 - 2r) r = -r^2 + 10r = -(r - 5)^2 + 25.$$

当 $r = 5$ 时，$S$ 取最大值 25 cm²。此时 $l = 10$，圆心角 $\alpha = \dfrac{l}{r} = 2$（弧度）。

检验：$r = 5$ 时 $l = 10 < 2\pi \times 5$，圆心角小于 $2\pi$，扇形存在。

另一种解法：用基本不等式（第 3 章）。

$$S = \frac{1}{2} l r = \frac{1}{4} \cdot l \cdot 2r \le \frac{1}{4} \left(\frac{l + 2r}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \times 10^2 = 25,$$

当且仅当 $l = 2r$，即 $r = 5$、$l = 10$ 时取等号。配方法步骤固定，不容易出错；基本不等式更快，但要会凑出“和为定值”的 $l$ 与 $2r$。选择题、填空题用后者更省时间。

例 5　（场景：由 $\alpha$ 的象限判断 $\dfrac{\alpha}{2}$、$2\alpha$ 的位置）已知 $\alpha$ 是第二象限角，$\dfrac{\alpha}{2}$ 和 $2\alpha$ 的终边分别在哪里？

解：$\alpha$ 是第二象限角：

$$2k\pi + \frac{\pi}{2} < \alpha < 2k\pi + \pi, \quad k \in \mathbf{Z}.$$

(1) 各部分除以 2：$k\pi + \dfrac{\pi}{4} < \dfrac{\alpha}{2} < k\pi + \dfrac{\pi}{2}$。

• $k$ 为偶数，设 $k = 2m$：$2m\pi + \dfrac{\pi}{4} < \dfrac{\alpha}{2} < 2m\pi + \dfrac{\pi}{2}$，在第一象限；
• $k$ 为奇数，设 $k = 2m + 1$：$2m\pi + \dfrac{5\pi}{4} < \dfrac{\alpha}{2} < 2m\pi + \dfrac{3\pi}{2}$，在第三象限。

所以 $\dfrac{\alpha}{2}$ 是第一或第三象限角。

(2) 各部分乘 2：$4k\pi + \pi < 2\alpha < 4k\pi + 2\pi$。$2\alpha$ 的终边在第三象限、第四象限，或者 $y$ 轴的非正半轴上（如 $\alpha = \dfrac{3\pi}{4}$ 时 $2\alpha = \dfrac{3\pi}{2}$）。

容易卡在：只取 $k = 0$，得出”$\dfrac{\alpha}{2}$ 在第一象限”，漏掉第三象限。

另一种解法（八等分法）：把四个象限各平分成两份，共八个区域。从 $x$ 轴正半轴起逆时针依次标上 1、2、3、4、1、2、3、4。$\alpha$ 在第几象限，标着这个数字的两个区域就是 $\dfrac{\alpha}{2}$ 的终边所在。$\alpha$ 在第二象限，标“2”的区域在第一、第三象限，结论相同。

八等分法只适合判断 $\dfrac{\alpha}{2}$ 的象限，选择题里几秒钟就能出答案；要写出精确范围，或者问的是 $\dfrac{\alpha}{3}$、$2\alpha$，还是用不等式除以或乘以系数再讨论 $k$ 的方法。

常用推论

• 扇形：$l = \alpha r$，$S = \dfrac{1}{2} l r = \dfrac{1}{2}\alpha r^2$，周长 $C = 2r + l$。推导见本节“证明”结论 2。
• 周长为 $C$ 的扇形，当 $r = \dfrac{C}{4}$ 时面积最大，最大值为 $\dfrac{C^2}{16}$，此时圆心角为 2 弧度。推导：照例 4，$S = \dfrac{1}{2}(C - 2r) r$，配方得 $r = \dfrac{C}{4}$ 时取最大值，此时 $l = \dfrac{C}{2}$，$\alpha = \dfrac{l}{r} = 2$。
• 终边在 $x$ 轴上的角是 $k\pi$，在 $y$ 轴上的是 $k\pi + \dfrac{\pi}{2}$，在坐标轴上的是 $\dfrac{k\pi}{2}$，在直线 $y = x$ 上的是 $k\pi + \dfrac{\pi}{4}$（$k \in \mathbf{Z}$）。推导：终边在 $x$ 轴上，包括正半轴 $\{2k\pi\}$ 和负半轴 $\{2k\pi + \pi\}$，两者合起来恰好是 $\pi$ 的所有整数倍；其余同理。
• $\alpha$ 在第 $n$ 象限，$\dfrac{\alpha}{2}$ 所在象限用八等分法判断，见例 5。

易错点

• 错在哪：写 $\alpha = 2k\pi + 60^\circ$。 为什么错：$2k\pi$ 是弧度，$60^\circ$ 是角度，两种单位不能相加。 正确做法：统一成一种单位，写成 $2k\pi + \dfrac{\pi}{3}$ 或 $k \cdot 360^\circ + 60^\circ$。
• 错在哪：认为第一象限角就是锐角，比如说”$390^\circ$ 是锐角”。 为什么错：锐角只是 $0^\circ$ 到 $90^\circ$ 之间的角，$390^\circ$ 的终边在第一象限，但它不是锐角。 正确做法：锐角 $\subsetneqq$ 第一象限角；看到“第一象限角”要想到 $2k\pi + \alpha$ 这一整族角。
• 错在哪：扇形圆心角 $60^\circ$、半径 3，写 $S = \dfrac{1}{2} \times 60 \times 3^2 = 270$。 为什么错：$S = \dfrac{1}{2}\alpha r^2$ 中 $\alpha$ 必须是弧度。 正确做法：$60^\circ = \dfrac{\pi}{3}$，$S = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\pi}{3} \times 9 = \dfrac{3\pi}{2}$。
• 错在哪：由 $\alpha$ 在第二象限推 $\dfrac{\alpha}{2}$ 时，只写 $\dfrac{\pi}{4} < \dfrac{\alpha}{2} < \dfrac{\pi}{2}$。 为什么错：$\alpha$ 是一整族角，除以 2 以后 $k\pi$ 不再是整圈，$k$ 的奇偶会落到不同的象限。 正确做法：保留 $2k\pi$ 一起除，再对 $k$ 分奇偶讨论。

直观理解

弧度就是“用半径去量弧”：弧长恰好等于半径时张开的角是 1 弧度。一整圈弧长 $2\pi r$，能量出 $2\pi$ 个半径，所以一周是 $2\pi$ 弧度，约 6.28；1 弧度约 $57^\circ$，比 $60^\circ$ 略小。

扇形面积 $S = \dfrac{1}{2} l r$ 和三角形面积”$\dfrac{1}{2} \times$ 底 $\times$ 高“长得一样，并不是巧合：把扇形从圆心切成很多细条，每一条都近似一个小三角形，高都是 $r$，底加起来是弧长 $l$。

关联知识点

• 前置：初中角的概念、圆的周长和面积。
• 后续：11.3 三角函数的定义，自变量就是用弧度表示的角。
• 后续：第 12 章三角函数的图像，横轴用弧度，周期写成 $2\pi$。
• 后续：第 24 章导数，$(\sin x)' = \cos x$ 只在弧度制下成立。
• 常一起考：第 3 章基本不等式，扇形面积、周长的最值题。

11.3 三角函数的定义

说明

单位圆：在平面直角坐标系中，以原点为圆心、半径为 1 的圆。

定义：设 $\alpha$ 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 $P(x, y)$，那么

$$\sin\alpha = y, \qquad \cos\alpha = x, \qquad \tan\alpha = \frac{y}{x} \ (x \ne 0).$$

正弦是点 $P$ 的纵坐标，余弦是横坐标，正切是纵坐标与横坐标的比。它们都是以角（弧度数，即实数）为自变量的函数，统称三角函数。

定义域：$\sin\alpha$、$\cos\alpha$ 对一切实数 $\alpha$ 有定义；$\tan\alpha$ 要求 $x \ne 0$，即 $\alpha \ne k\pi + \dfrac{\pi}{2}$（$k \in \mathbf{Z}$）。

用终边上任意一点定义：设 $P(x, y)$ 是 $\alpha$ 的终边上不同于原点的任意一点，$r = |OP| = \sqrt{x^2 + y^2} > 0$，那么

$$\sin\alpha = \frac{y}{r}, \qquad \cos\alpha = \frac{x}{r}, \qquad \tan\alpha = \frac{y}{x} \ (x \ne 0).$$

$r = 1$ 时就是单位圆定义。当 $\alpha$ 是锐角时，这正是初中直角三角形里的“对边比斜边”“邻边比斜边”“对边比邻边”。

符号：$r > 0$，所以符号只由 $x$、$y$ 决定。

象限	$\sin\alpha$	$\cos\alpha$	$\tan\alpha$
第一	$+$	$+$	$+$
第二	$+$	$-$	$-$
第三	$-$	$-$	$+$
第四	$-$	$+$	$-$

口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，说的是每个象限里哪个函数为正。

特殊角的三角函数值：

$\alpha$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}{2}$
$\sin\alpha$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$	$-1$
$\cos\alpha$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$	$-1$	$0$
$\tan\alpha$	$0$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	不存在	$0$	不存在

公式一：终边相同的角，同一个三角函数的值相等（$k \in \mathbf{Z}$）：

$$\sin(\alpha + 2k\pi) = \sin\alpha, \quad \cos(\alpha + 2k\pi) = \cos\alpha, \quad \tan(\alpha + 2k\pi) = \tan\alpha.$$

使用场景

• 题目给出角的终边上一点的坐标（可能含参数），求三角函数值：先求 $r$，再代入定义；参数的正负不知道时要分类。
• 题目问某个三角函数值的正负，或者由几个三角函数的符号判断角在第几象限：用符号表或口诀。
• 求很大的角或负角的三角函数值，而角能化成特殊角加整数圈：用公式一。
• 题目只说“终边在直线 $y = kx$ 上”：终边是一条射线，直线对应两条射线，要分两种情况。

注意点

• $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ 永远是正的。点的坐标里含参数 $a$ 时，$\sqrt{a^2} = |a|$，不能直接写成 $a$。
• 三角函数值只和终边有关，和点 $P$ 取在终边上的哪里无关（见本节“证明”）。
• $\tan\alpha$ 不是对所有角都有定义，终边在 $y$ 轴上时不存在。
• $\sin\alpha$、$\cos\alpha$ 是单位圆上点的坐标，所以 $-1 \le \sin\alpha \le 1$，$-1 \le \cos\alpha \le 1$；$\tan\alpha$ 可以取任意实数。
• 轴线角不在任何象限，符号表不适用，直接看点的坐标，如 $\sin\pi = 0$，$\cos\pi = -1$。

证明

结论 1：用终边上任意一点算出的值，和用单位圆算出的值相同。

设 $P(x, y)$ 是终边上不同于原点的一点，$r = |OP|$。终边与单位圆的交点记为 $P_0(x_0, y_0)$。

点 $P$ 和点 $P_0$ 在从原点出发的同一条射线上，$|OP| = r$，$|OP_0| = 1$。把 $P$ 的坐标同时除以 $r$，得到的点 $\left(\dfrac{x}{r}, \dfrac{y}{r}\right)$ 仍在这条射线上（关键一步：同一条射线上的点，坐标按同一个正数缩放，方向不变；除以正数 $r$ 不改变 $x$、$y$ 的正负），而且它到原点的距离是 $\dfrac{r}{r} = 1$。射线上到原点距离为 1 的点只有 $P_0$ 一个，所以

$$x_0 = \frac{x}{r}, \qquad y_0 = \frac{y}{r}.$$

因此 $\sin\alpha = y_0 = \dfrac{y}{r}$，$\cos\alpha = x_0 = \dfrac{x}{r}$，$\tan\alpha = \dfrac{y_0}{x_0} = \dfrac{y}{x}$。

结论 2：锐角时与初中定义一致。 $\alpha$ 是锐角时，$P(x, y)$ 在第一象限。过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $M$，直角三角形 $OMP$ 中，$\alpha$ 的对边 $MP = y$，邻边 $OM = x$，斜边 $OP = r$，所以 $\dfrac{y}{r}$、$\dfrac{x}{r}$、$\dfrac{y}{x}$ 就是初中的正弦、余弦、正切。

结论 3：公式一。 $\alpha$ 与 $\alpha + 2k\pi$ 的终边相同，与单位圆交于同一点，坐标相同，所以三个三角函数值都相等。

例题

例 1　（场景：已知终边上一点求值）已知角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(-3, 4)$，求 $\sin\alpha$、$\cos\alpha$、$\tan\alpha$。

解：$x = -3$，$y = 4$，$r = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5$。

$$\sin\alpha = \frac{y}{r} = \frac{4}{5}, \quad \cos\alpha = \frac{x}{r} = -\frac{3}{5}, \quad \tan\alpha = \frac{y}{x} = -\frac{4}{3}.$$

例 2　（场景：已知终边上一点求值，点含参数）已知角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(-4a, 3a)$（$a \ne 0$），求 $2\sin\alpha + \cos\alpha$。

解：$r = \sqrt{16a^2 + 9a^2} = 5|a|$。$a$ 的正负不知道，分两种情况。

1. $a > 0$：$r = 5a$，$\sin\alpha = \dfrac{3a}{5a} = \dfrac{3}{5}$，$\cos\alpha = \dfrac{-4a}{5a} = -\dfrac{4}{5}$，所以 $2\sin\alpha + \cos\alpha = \dfrac{6}{5} - \dfrac{4}{5} = \dfrac{2}{5}$。
2. $a < 0$：$r = -5a$，$\sin\alpha = \dfrac{3a}{-5a} = -\dfrac{3}{5}$，$\cos\alpha = \dfrac{-4a}{-5a} = \dfrac{4}{5}$，所以 $2\sin\alpha + \cos\alpha = -\dfrac{6}{5} + \dfrac{4}{5} = -\dfrac{2}{5}$。

所以 $a > 0$ 时值为 $\dfrac{2}{5}$，$a < 0$ 时值为 $-\dfrac{2}{5}$。

容易卡在：把 $r$ 写成 $5a$，只得到一个答案。$a < 0$ 时点在第四象限，三角函数的符号全变了。

例 3　（场景：判断符号、由符号判断象限）(1) 判断 $\sin 2 \cdot \cos 3 \cdot \tan 4$ 的符号；(2) 若 $\sin\alpha < 0$ 且 $\tan\alpha > 0$，$\alpha$ 是第几象限角？

解：

(1) 用 $\dfrac{\pi}{2} \approx 1.57$、$\pi \approx 3.14$、$\dfrac{3\pi}{2} \approx 4.71$ 定位：

• $\dfrac{\pi}{2} < 2 < \pi$，2 在第二象限，$\sin 2 > 0$；
• $\dfrac{\pi}{2} < 3 < \pi$，3 在第二象限，$\cos 3 < 0$；
• $\pi < 4 < \dfrac{3\pi}{2}$，4 在第三象限，$\tan 4 > 0$。

一正一负一正，乘积为负：$\sin 2 \cdot \cos 3 \cdot \tan 4 < 0$。

(2) $\sin\alpha < 0$：$\alpha$ 在第三、第四象限或 $y$ 轴负半轴上。$\tan\alpha > 0$：$\alpha$ 在第一、第三象限。同时满足，$\alpha$ 是第三象限角。

例 4　（场景：用公式一求值）求 $\sin\left(-\dfrac{11\pi}{6}\right) + \cos\dfrac{25\pi}{3} + \tan 405^\circ$。

解：

• $-\dfrac{11\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6} - 2\pi$，所以 $\sin\left(-\dfrac{11\pi}{6}\right) = \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$；
• $\dfrac{25\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + 8\pi$，所以 $\cos\dfrac{25\pi}{3} = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$；
• $405^\circ = 45^\circ + 360^\circ$，所以 $\tan 405^\circ = \tan 45^\circ = 1$。

原式 $= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + 1 = 2$。

例 5　（场景：终边在一条直线上）已知角 $\alpha$ 的终边在直线 $y = 2x$ 上，求 $\sin\alpha$ 和 $\cos\alpha$。

解：直线 $y = 2x$ 过原点，被原点分成两条射线，$\alpha$ 的终边是其中一条。

1. 终边在第一象限：取点 $(1, 2)$，$r = \sqrt{5}$，$\sin\alpha = \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$，$\cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$。
2. 终边在第三象限：取点 $(-1, -2)$，$r = \sqrt{5}$，$\sin\alpha = -\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$，$\cos\alpha = -\dfrac{\sqrt{5}}{5}$。

容易卡在：只取第一象限的点，漏掉第三象限。两种情况下 $\tan\alpha$ 都等于 2，但正弦、余弦的符号相反。

常用推论

• 符号口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”。推导：$r > 0$，正弦看 $y$ 的符号，余弦看 $x$ 的符号，正切看 $x$、$y$ 是否同号。
• 公式一：$\sin(\alpha + 2k\pi) = \sin\alpha$，余弦、正切同理。推导见本节“证明”结论 3。
• 终边在直线 $y = kx$（$k \ne 0$）上时，$\tan\alpha = k$，$\sin\alpha$、$\cos\alpha$ 有两组互为相反数的值。推导见例 5。
• $|\sin\alpha| \le 1$，$|\cos\alpha| \le 1$。推导：它们是单位圆上点的坐标。
• 当 $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$ 时，$\sin\alpha < \alpha < \tan\alpha$。推导：单位圆中，设 $A(1, 0)$，终边交单位圆于 $P$，交过 $A$ 的切线 $x = 1$ 于 $T(1, \tan\alpha)$。三角形 $OAP$ 在扇形 $OAP$ 里面，扇形又在三角形 $OAT$ 里面，所以面积满足

$$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sin\alpha < \frac{1}{2} \cdot \alpha \cdot 1^2 < \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan\alpha,$$

同乘 2 即得。

易错点

• 错在哪：终边过 $P(3a, 4a)$（$a \ne 0$），写 $r = 5a$，得 $\sin\alpha = \dfrac{4}{5}$。 为什么错：$r$ 是距离，必须为正，$r = \sqrt{25a^2} = 5|a|$。$a < 0$ 时点在第三象限，$\sin\alpha = -\dfrac{4}{5}$。 正确做法：参数符号不确定时，按 $a > 0$、$a < 0$ 分类。
• 错在哪：认为第二象限角的正切为正。 为什么错：第二象限 $x < 0$、$y > 0$，$\tan\alpha = \dfrac{y}{x} < 0$。 正确做法：记不清口诀时，直接想点的坐标正负。
• 错在哪：写 $\tan\dfrac{\pi}{2} = 0$ 或 $\tan\dfrac{\pi}{2} = \infty$。 为什么错：$\dfrac{\pi}{2}$ 的终边与单位圆交于 $(0, 1)$，横坐标为 0，比值 $\dfrac{y}{x}$ 没有意义。 正确做法：$\tan\dfrac{\pi}{2}$ 不存在；正切的定义域是 $\alpha \ne k\pi + \dfrac{\pi}{2}$。

直观理解

想象一个点 $P$ 在单位圆上逆时针转动，转过的角是 $\alpha$。$\sin\alpha$ 是这个点的“高度”（纵坐标），$\cos\alpha$ 是它的“左右位置”（横坐标），$\tan\alpha$ 是终边 $OP$ 的斜率。

点转一圈回到原处，高度和左右位置也回到原值，这就是公式一，也是第 12 章“周期性”的来源。点永远在单位圆上，高度和左右位置都不会超出 $-1$ 到 $1$。

关联知识点

• 前置：初中锐角三角函数，本节的定义是它的推广。
• 前置：11.2 任意角和弧度制，定义里的角是任意角，用弧度表示。
• 前置：第 5 章函数的概念，三角函数是以实数（角的弧度数）为自变量的函数。
• 后续：11.4 同角三角函数的基本关系、11.5 诱导公式，都从单位圆定义推出。
• 后续：第 12 章三角函数的图像与性质。
• 后续：第 28 章直线的方程，倾斜角为 $\alpha$ 的直线斜率 $k = \tan\alpha$。
• 常一起考：第 16 章解三角形，三角形内角在 $(0, \pi)$ 内，正弦值恒为正。

11.4 同角三角函数的基本关系

说明

同一个角 $\alpha$ 的正弦、余弦、正切之间有两个关系：

$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \quad \text{（平方关系）},$$ $$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \quad \left(\alpha \ne k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in \mathbf{Z}\right) \quad \text{（商数关系）}.$$

$\sin^2\alpha$ 表示 $(\sin\alpha)^2$。

常用变形：

• $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$，$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$；
• $\sin\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha}$，正负号由 $\alpha$ 所在象限决定；
• $\sin\alpha = \tan\alpha \cos\alpha$；
• $(\sin\alpha \pm \cos\alpha)^2 = 1 \pm 2\sin\alpha\cos\alpha$；
• $1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha$（“1 的代换”）。

使用场景

• 已知一个三角函数值（和角的范围），求另外两个，即“知一求二”：用平方关系开方，用象限定符号。
• 已知 $\tan\alpha$，求 $\dfrac{a\sin\alpha + b\cos\alpha}{c\sin\alpha + d\cos\alpha}$ 或 $\sin\alpha\cos\alpha$、$\sin^2\alpha$ 这类式子：分子分母同除以 $\cos\alpha$ 或 $\cos^2\alpha$，化成只含 $\tan\alpha$ 的式子（“弦化切”）。
• 题目给出 $\sin\alpha + \cos\alpha$、$\sin\alpha - \cos\alpha$、$\sin\alpha\cos\alpha$ 三者之一，求其余：两边平方。
• 化简含根号的三角式，或证明三角恒等式：根号里凑成完全平方，开方时按象限去绝对值。

注意点

• “同角”指的是两个关系里的角必须相同。$\sin^2\alpha + \cos^2\beta = 1$ 一般不成立；$\sin^2 3\alpha + \cos^2 3\alpha = 1$ 成立，因为是同一个角 $3\alpha$。
• 由平方关系开方会得到正负两个值。题目给了角的范围，就由范围定符号；没给范围，就要按象限分类讨论。
• 商数关系要求 $\cos\alpha \ne 0$。弦化切时要先确认 $\cos\alpha \ne 0$（已知 $\tan\alpha$ 存在时自然成立）。
• 只有分子分母“次数相同”的式子（齐次式）才能直接同除以 $\cos\alpha$ 或 $\cos^2\alpha$。$\sin\alpha\cos\alpha$ 这样的整式，要先除以 $1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ 变成齐次分式。
• 证明恒等式常用三种办法：从繁的一边化到简的一边；两边都化到同一个式子；证明“左边减右边等于 0”。

证明

平方关系：设 $\alpha$ 的终边与单位圆交于 $P(x, y)$。$P$ 在单位圆上，到原点的距离为 1，由勾股定理（两点间距离公式）

$$x^2 + y^2 = 1.$$

而 $x = \cos\alpha$，$y = \sin\alpha$，所以 $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$（关键一步：$P$ 在单位圆上，它的坐标满足 $x^2 + y^2 = 1$。不论 $P$ 在哪个象限、坐标是正是负，平方后都一样，所以这个关系对任意角成立，不只是锐角）。

商数关系：由定义，$\tan\alpha = \dfrac{y}{x}$，而 $y = \sin\alpha$，$x = \cos\alpha$，所以当 $x \ne 0$ 时 $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$。

例题

例 1　（场景：知一求二）已知 $\cos\alpha = -\dfrac{8}{17}$，求 $\sin\alpha$ 和 $\tan\alpha$。

解：$\cos\alpha < 0$，$\alpha$ 是第二或第三象限角。

$$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \frac{64}{289} = \frac{225}{289}.$$

1. $\alpha$ 在第二象限：$\sin\alpha = \dfrac{15}{17}$，$\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{15}{17} \div \left(-\dfrac{8}{17}\right) = -\dfrac{15}{8}$。
2. $\alpha$ 在第三象限：$\sin\alpha = -\dfrac{15}{17}$，$\tan\alpha = \dfrac{15}{8}$。

容易卡在：没给象限就只写正根。$\cos\alpha$ 的符号只能把范围缩到两个象限，所以有两组答案。

例 2　（场景：已知 $\tan\alpha$ 求齐次式）已知 $\tan\alpha = 2$，求：(1) $\dfrac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha}$；(2) $\sin\alpha\cos\alpha$。

解：$\tan\alpha = 2$ 存在，所以 $\cos\alpha \ne 0$。

(1) 分子分母同除以 $\cos\alpha$：

$$\frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} = \frac{\tan\alpha + 1}{\tan\alpha - 1} = \frac{2 + 1}{2 - 1} = 3.$$

(2) 把分母看成 $1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha$，再同除以 $\cos^2\alpha$：

$$\sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha} = \frac{\tan\alpha}{\tan^2\alpha + 1} = \frac{2}{4 + 1} = \frac{2}{5}.$$

容易卡在：(2) 不是分式，想不到可以除以 1。

另一种解法：(2) 由 $\tan\alpha = 2$ 得 $\sin\alpha = 2\cos\alpha$，代入平方关系：$4\cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$，$\cos^2\alpha = \dfrac{1}{5}$。于是 $\sin\alpha\cos\alpha = 2\cos^2\alpha = \dfrac{2}{5}$。这种代入法不用分象限也能得到唯一答案，因为所求式子只含 $\cos^2\alpha$。“弦化切”适合分子分母次数整齐的式子，一步出结果；代入法适合题目还要求 $\sin\alpha$、$\cos\alpha$ 本身的情况。

例 3　（场景：$\sin\alpha \pm \cos\alpha$ 与 $\sin\alpha\cos\alpha$ 互求）已知 $\sin\alpha + \cos\alpha = \dfrac{1}{5}$，$0 < \alpha < \pi$，求 $\sin\alpha\cos\alpha$、$\sin\alpha - \cos\alpha$ 和 $\tan\alpha$。

解：两边平方：$1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{1}{25}$，所以

$$\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{12}{25}.$$

因为 $0 < \alpha < \pi$，$\sin\alpha > 0$；又 $\sin\alpha\cos\alpha < 0$，所以 $\cos\alpha < 0$，从而 $\sin\alpha - \cos\alpha > 0$。

$$(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 + \frac{24}{25} = \frac{49}{25},$$

所以 $\sin\alpha - \cos\alpha = \dfrac{7}{5}$。

与 $\sin\alpha + \cos\alpha = \dfrac{1}{5}$ 联立，得 $\sin\alpha = \dfrac{4}{5}$，$\cos\alpha = -\dfrac{3}{5}$，$\tan\alpha = -\dfrac{4}{3}$。

容易卡在：开方时写 $\pm\dfrac{7}{5}$ 却不判断符号。要先由 $\sin\alpha\cos\alpha < 0$ 推出 $\cos\alpha < 0$，再定 $\sin\alpha - \cos\alpha$ 的正负。

例 4　（场景：化简含根号的三角式）已知 $\alpha$ 是第二象限角，化简

$$\cos\alpha\sqrt{\frac{1 - \sin\alpha}{1 + \sin\alpha}} + \sin\alpha\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}}.$$

解：根号里的分子分母同乘分子，凑成完全平方：

$$\frac{1 - \sin\alpha}{1 + \sin\alpha} = \frac{(1 - \sin\alpha)^2}{1 - \sin^2\alpha} = \frac{(1 - \sin\alpha)^2}{\cos^2\alpha}, \qquad \frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{(1 - \cos\alpha)^2}{\sin^2\alpha}.$$

开方要带绝对值：

$$\text{原式} = \cos\alpha \cdot \frac{|1 - \sin\alpha|}{|\cos\alpha|} + \sin\alpha \cdot \frac{|1 - \cos\alpha|}{|\sin\alpha|}.$$

$\alpha$ 在第二象限：$\cos\alpha < 0$，$\sin\alpha > 0$；而 $1 - \sin\alpha > 0$，$1 - \cos\alpha > 0$。所以

$$\text{原式} = \cos\alpha \cdot \frac{1 - \sin\alpha}{-\cos\alpha} + \sin\alpha \cdot \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} = -(1 - \sin\alpha) + (1 - \cos\alpha) = \sin\alpha - \cos\alpha.$$

容易卡在：$\sqrt{\cos^2\alpha}$ 直接写成 $\cos\alpha$。第二象限 $\cos\alpha < 0$，应为 $-\cos\alpha$。

常用推论

• 弦化切：$\dfrac{a\sin\alpha + b\cos\alpha}{c\sin\alpha + d\cos\alpha} = \dfrac{a\tan\alpha + b}{c\tan\alpha + d}$。推导：分子分母同除以 $\cos\alpha$，见例 2(1)。
• $\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{\tan\alpha}{1 + \tan^2\alpha}$，$\sin^2\alpha = \dfrac{\tan^2\alpha}{1 + \tan^2\alpha}$，$\cos^2\alpha = \dfrac{1}{1 + \tan^2\alpha}$。推导：除以 $1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha$，再同除以 $\cos^2\alpha$，见例 2(2)。
• $(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = 2$。推导：两个平方分别是 $1 + 2\sin\alpha\cos\alpha$ 和 $1 - 2\sin\alpha\cos\alpha$，相加。所以 $\sin\alpha + \cos\alpha$、$\sin\alpha - \cos\alpha$、$\sin\alpha\cos\alpha$ 知一可求其二（符号另判），见例 3。
• $\dfrac{1 - \sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{\cos\alpha}{1 + \sin\alpha}$（$\cos\alpha \ne 0$，此时 $1 + \sin\alpha \ne 0$）。推导：交叉相乘，$(1 - \sin\alpha)(1 + \sin\alpha) = 1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$。

易错点

• 错在哪：已知 $\tan\alpha = 2$，直接写 $\sin\alpha = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$，$\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$。 为什么错：$\tan\alpha > 0$ 时 $\alpha$ 可能在第一或第三象限，第三象限时两者都取负。 正确做法：分两种情况写；如果所求式子是齐次式，用弦化切就不必求出 $\sin\alpha$、$\cos\alpha$。
• 错在哪：例 3 中写 $\sin\alpha - \cos\alpha = \pm\dfrac{7}{5}$，得到两组答案。 为什么错：题目给了 $0 < \alpha < \pi$，加上 $\sin\alpha\cos\alpha < 0$，可以确定 $\cos\alpha < 0$，$\sin\alpha - \cos\alpha$ 只能为正。 正确做法：开方前先用已知条件确定式子的正负。
• 错在哪：把 $\sin\alpha\cos\alpha$ 直接“同除以 $\cos^2\alpha$“得到 $\tan\alpha$。 为什么错：只有分式的分子分母同时除才保持值不变，单个整式除以 $\cos^2\alpha$ 就改变了它的值。 正确做法：先写成 $\dfrac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}$，再分子分母同除。

直观理解

单位圆上的点 $P(\cos\alpha, \sin\alpha)$，从 $P$ 向 $x$ 轴作垂线，得到一个斜边为 1 的直角三角形，两条直角边的长度是 $|\cos\alpha|$ 和 $|\sin\alpha|$。平方关系就是这个三角形的勾股定理；商数关系说的是正切等于 $OP$ 的斜率，即“竖直方向走了多少 ÷ 水平方向走了多少”。

一句话记法：知道一个三角函数值，就画出这个直角三角形，另外两边用勾股定理算出来，最后按象限加符号。

关联知识点

• 前置：11.3 三角函数的定义，两个关系都从单位圆定义推出。
• 前置：初中勾股定理。
• 后续：11.5 诱导公式，化简后常接着用同角关系求值。
• 后续：第 13 章三角恒等变换，$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ 让例 3 这类题和二倍角连在一起。
• 后续：第 16 章解三角形，已知 $\cos A$ 求 $\sin A$ 时，因为 $0 < A < \pi$，$\sin A$ 取正值。
• 常一起考：第 13 章三角恒等变换，“已知 $\tan\alpha$ 求 $\sin 2\alpha$、$\cos 2\alpha$“就是本节的弦化切。

11.5 诱导公式

说明

诱导公式把 $\pi \pm \alpha$、$-\alpha$、$\dfrac{\pi}{2} \pm \alpha$ 等角的三角函数，化成 $\alpha$ 的三角函数。公式一已在 11.3 节给出，其余五组如下（$\alpha$ 为任意角，正切要求两边都有意义）：

组	角	正弦	余弦	正切
公式二	$\pi + \alpha$	$-\sin\alpha$	$-\cos\alpha$	$\tan\alpha$
公式三	$-\alpha$	$-\sin\alpha$	$\cos\alpha$	$-\tan\alpha$
公式四	$\pi - \alpha$	$\sin\alpha$	$-\cos\alpha$	$-\tan\alpha$
公式五	$\dfrac{\pi}{2} - \alpha$	$\cos\alpha$	$\sin\alpha$
公式六	$\dfrac{\pi}{2} + \alpha$	$\cos\alpha$	$-\sin\alpha$

例如第一行读作：$\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$，$\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$，$\tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha$。

口诀“奇变偶不变，符号看象限”：把角写成 $k \cdot \dfrac{\pi}{2} \pm \alpha$（$k \in \mathbf{Z}$）。

• 奇变偶不变：$k$ 是奇数，正弦变余弦、余弦变正弦；$k$ 是偶数，函数名不变。
• 符号看象限：把 $\alpha$ 暂时看成锐角，看 $k \cdot \dfrac{\pi}{2} \pm \alpha$ 在第几象限，结果前面的符号取原函数在这个象限的符号。

例：$\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right)$。$k = 1$ 是奇数，余弦变正弦；$\alpha$ 看成锐角时 $\dfrac{\pi}{2} + \alpha$ 在第二象限，原函数余弦在第二象限为负，所以 $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha$。

求任意角三角函数值的步骤：负化正、大化小、化到锐角。

使用场景

• 求任意角（很大的角、负角、不是锐角的特殊角）的三角函数值：负化正、大化小、化到锐角。
• 化简含 $\pi \pm \alpha$、$\dfrac{\pi}{2} \pm \alpha$、$\dfrac{3\pi}{2} \pm \alpha$、$2\pi - \alpha$ 等角的式子：逐个用诱导公式化成 $\alpha$ 的三角函数。
• 已知某个角的三角函数值，求另一个角的值，而两个角的和或差是 $\dfrac{\pi}{2}$ 或 $\pi$（如 $\dfrac{\pi}{6} - \alpha$ 和 $\dfrac{\pi}{3} + \alpha$）：先找出两角的关系，再用公式四、五、六。
• 三角形中出现 $A + B$、$\dfrac{A + B}{2}$ 等：用 $A + B + C = \pi$ 改写，再用诱导公式。

注意点

• 诱导公式对任意角 $\alpha$ 都成立。口诀里“把 $\alpha$ 看成锐角”只是判断符号的方法，不是说 $\alpha$ 必须是锐角。
• “符号看象限”看的是原函数的符号，不是变名以后的函数的符号。
• 口诀里的奇偶说的是 $\dfrac{\pi}{2}$ 的系数 $k$，不是 $\alpha$ 的系数。$2\pi - \alpha$ 写成 $4 \cdot \dfrac{\pi}{2} - \alpha$，$k = 4$ 是偶数。
• 角写成 $\alpha - \pi$ 这种形式时，先用公式三把它变成 $-(\pi - \alpha)$，或者用公式一加上 $2\pi$ 变成 $\pi + \alpha$，再套公式。
• 正切的诱导公式：$\tan\left(\dfrac{\pi}{2} \pm \alpha\right)$ 课本不单列，需要时用商数关系由公式五、六推出。

证明

全部公式都来自单位圆上的对称。设 $\alpha$ 的终边与单位圆交于 $P(x, y)$，即 $\cos\alpha = x$，$\sin\alpha = y$。

公式二：$\pi + \alpha$ 的终边是把 $\alpha$ 的终边再转半圈，与 $\alpha$ 的终边关于原点对称，交单位圆于 $P'(-x, -y)$（关键一步：转 $\pi$ 弧度就是转半圈，射线变成反方向的射线，交点关于原点对称）。所以

$$\sin(\pi + \alpha) = -y = -\sin\alpha, \quad \cos(\pi + \alpha) = -x = -\cos\alpha, \quad \tan(\pi + \alpha) = \frac{-y}{-x} = \tan\alpha.$$

公式三：$-\alpha$ 是从 $x$ 轴正半轴顺时针转同样大小的角，终边与 $\alpha$ 的终边关于 $x$ 轴对称，交单位圆于 $P'(x, -y)$。所以 $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$，$\cos(-\alpha) = \cos\alpha$，$\tan(-\alpha) = -\tan\alpha$。

公式四：$\pi - \alpha = \pi + (-\alpha)$，先用公式二再用公式三：

$$\sin(\pi - \alpha) = -\sin(-\alpha) = \sin\alpha, \quad \cos(\pi - \alpha) = -\cos(-\alpha) = -\cos\alpha.$$

$\tan(\pi - \alpha) = \tan(-\alpha) = -\tan\alpha$。几何上，$\pi - \alpha$ 的终边与 $\alpha$ 的终边关于 $y$ 轴对称，交点是 $P'(-x, y)$。

公式五：$\alpha$ 和 $\dfrac{\pi}{2} - \alpha$ 的平均值是 $\dfrac{\pi}{4}$，所以两条终边关于射线 $\dfrac{\pi}{4}$ 所在的直线 $y = x$ 对称。点 $(x, y)$ 关于直线 $y = x$ 的对称点是 $(y, x)$，所以 $\dfrac{\pi}{2} - \alpha$ 的终边交单位圆于 $P'(y, x)$（关键一步：关于直线 $y = x$ 对称，就是横纵坐标互换，这正是“变名”的来源）。所以

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = x = \cos\alpha, \qquad \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = y = \sin\alpha.$$

公式六：$\dfrac{\pi}{2} + \alpha = \pi - \left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right)$，先用公式四再用公式五：

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha, \qquad \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin\alpha.$$

口诀为什么成立：$k$ 为偶数时，$k \cdot \dfrac{\pi}{2}$ 是 $\pi$ 的整数倍，只涉及关于原点、坐标轴的对称，横纵坐标不交换，函数名不变；$k$ 为奇数时，要用到一次公式五或公式六，横纵坐标交换，函数名改变。符号则由新角终边上点的坐标正负决定，所以“看象限”。

例题

例 1　（场景：求任意角的三角函数值）求 $\sin(-1200^\circ)$ 和 $\tan\left(-\dfrac{31\pi}{6}\right)$。

解：

(1) 负化正：$\sin(-1200^\circ) = -\sin 1200^\circ$（公式三）。 大化小：$1200^\circ = 120^\circ + 3 \times 360^\circ$，$\sin 1200^\circ = \sin 120^\circ$（公式一）。 化到锐角：$\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$（公式四）。 所以 $\sin(-1200^\circ) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。

(2) $\tan\left(-\dfrac{31\pi}{6}\right) = -\tan\dfrac{31\pi}{6}$（公式三）。$\dfrac{31\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6} + 4\pi$，所以 $\tan\dfrac{31\pi}{6} = \tan\dfrac{7\pi}{6} = \tan\left(\pi + \dfrac{\pi}{6}\right) = \tan\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$（公式一、二）。 所以 $\tan\left(-\dfrac{31\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。

另一种解法：负角不先化正，直接加 $2\pi$ 的整数倍化到 $0$ 到 $2\pi$ 之间。$-\dfrac{31\pi}{6} + 6\pi = \dfrac{5\pi}{6}$，所以 $\tan\left(-\dfrac{31\pi}{6}\right) = \tan\dfrac{5\pi}{6} = \tan\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = -\tan\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。少写一步负号，符号不容易丢；按“负化正、大化小”的固定步骤走则思路最稳，角很复杂时更适合。

例 2　（场景：化简含诱导公式的式子）已知

$$f(\alpha) = \frac{\sin(\pi - \alpha)\cos(2\pi - \alpha)\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\sin(-\pi - \alpha)}.$$

(1) 化简 $f(\alpha)$；(2) 若 $\alpha$ 是第三象限角，且 $\cos\left(\alpha - \dfrac{3\pi}{2}\right) = \dfrac{1}{5}$，求 $f(\alpha)$。

解：(1) 逐个化简：

• $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$（公式四）；
• $\cos(2\pi - \alpha) = \cos(-\alpha) = \cos\alpha$（公式一、三）；
• $\cos\left(\dfrac{3\pi}{2} - \alpha\right)$：$k = 3$ 是奇数，余弦变正弦；$\alpha$ 看成锐角时 $\dfrac{3\pi}{2} - \alpha$ 在第三象限，余弦为负。所以等于 $-\sin\alpha$；
• $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha$（公式五）；
• $\sin(-\pi - \alpha) = -\sin(\pi + \alpha) = -(-\sin\alpha) = \sin\alpha$（公式三、二）。

$$f(\alpha) = \frac{\sin\alpha \cdot \cos\alpha \cdot (-\sin\alpha)}{\sin\alpha \cdot \sin\alpha} = -\cos\alpha.$$

(2) 余弦是偶函数（公式三），$\cos\left(\alpha - \dfrac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\dfrac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin\alpha$，所以 $-\sin\alpha = \dfrac{1}{5}$，$\sin\alpha = -\dfrac{1}{5}$。

$\alpha$ 在第三象限，$\cos\alpha < 0$：

$$\cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = -\sqrt{1 - \frac{1}{25}} = -\frac{2\sqrt{6}}{5}.$$

所以 $f(\alpha) = -\cos\alpha = \dfrac{2\sqrt{6}}{5}$。

容易卡在：$\cos\left(\dfrac{3\pi}{2} - \alpha\right)$ 的符号。按口诀，看的是原函数余弦在第三象限的符号（负），不是正弦的符号。

例 3　（场景：两角的和或差是 $\dfrac{\pi}{2}$ 或 $\pi$）已知 $\sin\left(\dfrac{\pi}{6} - \alpha\right) = \dfrac{1}{3}$，求 $\cos\left(\dfrac{\pi}{3} + \alpha\right)$ 和 $\cos\left(\dfrac{2\pi}{3} - \alpha\right)$。

解：设 $\theta = \dfrac{\pi}{6} - \alpha$，则 $\sin\theta = \dfrac{1}{3}$。

(1) $\left(\dfrac{\pi}{6} - \alpha\right) + \left(\dfrac{\pi}{3} + \alpha\right) = \dfrac{\pi}{2}$，所以 $\dfrac{\pi}{3} + \alpha = \dfrac{\pi}{2} - \theta$。由公式五：

$$\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta = \frac{1}{3}.$$

(2) $\left(\dfrac{2\pi}{3} - \alpha\right) - \left(\dfrac{\pi}{6} - \alpha\right) = \dfrac{\pi}{2}$，所以 $\dfrac{2\pi}{3} - \alpha = \dfrac{\pi}{2} + \theta$。由公式六：

$$\cos\left(\frac{2\pi}{3} - \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin\theta = -\frac{1}{3}.$$

容易卡在：想先求出 $\alpha$。$\alpha$ 求不出来，也不需要求；先把已知角和所求角相加、相减，看是不是 $\dfrac{\pi}{2}$ 或 $\pi$。

例 4　（场景：三角形中的诱导公式）在 $\triangle ABC$ 中，$\sin(2\pi - A) = -\sqrt{2}\sin(\pi - B)$，$\sqrt{3}\cos A = -\sqrt{2}\cos(\pi - B)$，求 $\triangle ABC$ 的三个内角。

解：用诱导公式化简：$\sin(2\pi - A) = -\sin A$，$\sin(\pi - B) = \sin B$，$\cos(\pi - B) = -\cos B$。两个条件变为

$$\sin A = \sqrt{2}\sin B, \qquad \sqrt{3}\cos A = \sqrt{2}\cos B.$$

两式分别平方后相加，右边是 $2(\sin^2 B + \cos^2 B) = 2$：

$$\sin^2 A + 3\cos^2 A = 2.$$

用 $\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$ 代入：$1 + 2\cos^2 A = 2$，$\cos^2 A = \dfrac{1}{2}$，$\cos A = \pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。

• 若 $\cos A = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，则 $\cos B = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cos A = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$A$、$B$ 都是钝角，三角形不存在，舍去。
• 若 $\cos A = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，则 $A = \dfrac{\pi}{4}$，$\cos B = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$B = \dfrac{\pi}{6}$。

检验：$\sin A = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}\sin B = \sqrt{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，第一个条件成立。

所以 $A = \dfrac{\pi}{4}$，$B = \dfrac{\pi}{6}$，$C = \pi - A - B = \dfrac{7\pi}{12}$。

容易卡在：平方后得到两组值，忘了用“三角形最多一个钝角”排除。

常用推论

• $\dfrac{3\pi}{2} \pm \alpha$ 的公式：$\sin\left(\dfrac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha$，$\cos\left(\dfrac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin\alpha$，$\sin\left(\dfrac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\cos\alpha$，$\cos\left(\dfrac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\alpha$。推导：$\dfrac{3\pi}{2} \pm \alpha = \pi + \left(\dfrac{\pi}{2} \pm \alpha\right)$，先用公式二，再用公式五或六。
• $\tan\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \dfrac{1}{\tan\alpha}$，$\tan\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\dfrac{1}{\tan\alpha}$。推导：用商数关系，分子分母分别用公式五、六，如 $\tan\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \dfrac{\cos\alpha}{-\sin\alpha}$。
• 三角形中（$A + B + C = \pi$）：$\sin(A + B) = \sin C$，$\cos(A + B) = -\cos C$，$\tan(A + B) = -\tan C$，$\sin\dfrac{A + B}{2} = \cos\dfrac{C}{2}$，$\cos\dfrac{A + B}{2} = \sin\dfrac{C}{2}$。推导：$A + B = \pi - C$ 用公式四；$\dfrac{A + B}{2} = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{C}{2}$ 用公式五。
• 若 $\alpha + \beta = \dfrac{\pi}{2}$，则 $\sin\alpha = \cos\beta$；若 $\alpha + \beta = \pi$，则 $\sin\alpha = \sin\beta$，$\cos\alpha = -\cos\beta$。推导：分别用公式五、公式四。
• 正弦是奇函数、余弦是偶函数：$\sin(-x) = -\sin x$，$\cos(-x) = \cos x$。推导：公式三。

易错点

• 错在哪：$\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\alpha$。 为什么错：判断符号时看了变名后的正弦在第二象限为正。口诀要看的是原函数余弦在第二象限的符号，余弦为负。 正确做法：$\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha$。记住“符号跟着原函数走”。
• 错在哪：$\sin(\alpha - \pi) = \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$。 为什么错：$\alpha - \pi$ 和 $\pi - \alpha$ 互为相反数，正弦是奇函数，$\sin(\alpha - \pi) = -\sin(\pi - \alpha)$。 正确做法：$\sin(\alpha - \pi) = -\sin(\pi - \alpha) = -\sin\alpha$；或者 $\sin(\alpha - \pi) = \sin(\alpha + \pi) = -\sin\alpha$（公式一、二）。
• 错在哪：认为 $\alpha$ 是钝角时不能用“把 $\alpha$ 看成锐角”判断符号，于是重新分类讨论。 为什么错：诱导公式对任意角成立，“看成锐角”只是确定公式里正负号的办法，确定下来的公式对所有 $\alpha$ 都对。 正确做法：不论 $\alpha$ 实际多大，都按锐角判断符号，写出公式后直接用。

直观理解

诱导公式不用背表，记住四种对称就够了：

角	与 $\alpha$ 的终边	点的坐标
$\pi + \alpha$	关于原点对称	$(-x, -y)$
$-\alpha$	关于 $x$ 轴对称	$(x, -y)$
$\pi - \alpha$	关于 $y$ 轴对称	$(-x, y)$
$\dfrac{\pi}{2} - \alpha$	关于直线 $y = x$ 对称	$(y, x)$

关于坐标轴、原点的对称只改变正负号，函数名不变；关于直线 $y = x$ 的对称把横纵坐标对调，正弦和余弦互换。考试时记不清公式，画一个单位圆，在第一象限随手标一个角 $\alpha$，看对称点的坐标，几秒钟就能写出来。

关联知识点

• 前置：11.3 三角函数的定义，诱导公式是单位圆上点的对称。
• 前置：11.4 同角三角函数的基本关系，化简后常接着用它求值。
• 后续：第 12 章三角函数的图像与性质，正弦是奇函数、余弦是偶函数来自公式三；$y = \cos x$ 的图像可以由 $y = \sin x$ 平移得到，依据是公式六。
• 后续：第 13 章三角恒等变换，诱导公式是两角和差公式的特例。
• 常一起考：第 16 章解三角形，$A + B + C = \pi$ 时 $\sin(A + B) = \sin C$ 几乎每题都用。

11.6 知识点之间的关系

本章四个知识点是一条线：先把角推广到任意角并用弧度表示（11.2），才能在单位圆上定义任意角的三角函数（11.3）；单位圆上的点满足 $x^2 + y^2 = 1$，得到同角关系（11.4）；单位圆上点的对称，得到诱导公式（11.5）。所以单位圆是全章的中心，忘了公式时回到单位圆，总能重新推出来。

考试中，这一章的内容常在一道题里连着用：先用诱导公式把角化简，再用同角关系“知一求二”或“弦化切”，最后要用到三角函数值的符号判断。第 12 章研究三角函数作为函数的性质，第 13 章研究不同角之间的关系，都以本章为起点。

11.7 自测

1. 把 $-570^\circ$ 写成 $\alpha + 2k\pi$（$0 \le \alpha < 2\pi$，$k \in \mathbf{Z}$）的形式，并指出它是第几象限角。
2. 一个扇形的圆心角为 2 弧度，面积为 4 cm²，求它的弧长。
3. 已知角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(1, -2)$，求 $\sin\alpha + \cos\alpha$。
4. 判断 $\tan(-3)$ 的符号。
5. 已知 $\tan\alpha = 3$，求 $\dfrac{2\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha + 2\cos\alpha}$。
6. 已知 $\sin\alpha - \cos\alpha = \dfrac{1}{2}$，求 $\sin\alpha\cos\alpha$。
7. 求 $\sin(-750^\circ) + \cos\dfrac{29\pi}{6}$。
8. 已知 $\cos\left(\dfrac{\pi}{6} + \alpha\right) = \dfrac{3}{5}$，求 $\sin\left(\alpha - \dfrac{\pi}{3}\right)$。

答案：1. $-570^\circ = \dfrac{5\pi}{6} - 4\pi$，第二象限角；2. 4 cm；3. $-\dfrac{\sqrt{5}}{5}$；4. 正（$-3$ 弧度在第三象限）；5. 1；6. $\dfrac{3}{8}$；7. $-\dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}$；8. $-\dfrac{3}{5}$。

11.8 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，有按人教版章节排列的高中数学同步课程，可找到必修第一册第五章三角函数的课程和教材电子版。
• Khan Academy · Trigonometry：弧度、单位圆定义、三角恒等式的英文视频讲解和练习，单位圆部分有可拖动的交互图。
• GeoGebra 计算器：免费在线作图，画单位圆和一条可拖动的终边，能直接看到 sin、cos 随角变化以及诱导公式里的对称。
• Wolfram MathWorld · Radian：弧度的英文定义和与角度的换算，查术语英文说法时用。