第 7 章 · 幂函数

项目	内容
课标主题	必修 · 函数 · 函数概念与性质（幂函数）
人教 A 版	必修第一册 第三章 3.3 幂函数
考试地位	常考，多为选择题、填空题：由定义求参数、选图、比较大小。比较大小时常和指数函数、对数函数放在一起考
前置知识	初中的整数指数幂和二次根式；第 5 章函数的概念；第 6 章单调性和奇偶性

幂函数是高中学的第一类“按解析式命名”的函数，课标只要求掌握五个：$y = x$、$y = x^2$、$y = x^3$、$y = x^{1/2}$、$y = x^{-1}$。这一章内容不多，但它是用第 6 章的单调性、奇偶性分析具体函数的第一次练习，后面的指数函数、对数函数照同样的路子学。丢分主要丢在三处：把 $y = 2x^2$ 这类式子当成幂函数、把 $y = x^{-1}$ 说成“在定义域上递减”、比较大小时忘了 $0 < x < 1$ 和 $x > 1$ 两段的规律正好相反。

7.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
7.2 幂函数的定义	形如 $y = x^\alpha$ 的函数，底是自变量 $x$，指数 $\alpha$ 是常数，前面系数必须是 1	常考，多为“已知是幂函数求参数”
7.3 五个常见幂函数的图像和性质	$y = x$、$x^2$、$x^3$、$x^{1/2}$、$x^{-1}$ 的定义域、值域、奇偶性、单调性，都过点 $(1, 1)$	常考，选图和用单调性解不等式
7.4 幂指数对图像的影响	第一象限里 $\alpha > 0$ 递增、$\alpha < 0$ 递减；$x > 1$ 时指数大的在上，$0 < x < 1$ 时指数大的在下；其他象限按奇偶性补	常考，比较大小、由图像判断指数；一般 $\alpha$ 的规律属课标之外的拓展

7.2 幂函数的定义

说明

幂函数：函数 $y = x^\alpha$ 叫做幂函数，其中 $x$ 是自变量，$\alpha$ 是常数。

判断一个函数是不是幂函数，看三件事，缺一不可：

• 底数是自变量 $x$ 本身，不是 $x + 1$、$2x$ 之类；
• 指数 $\alpha$ 是常数，不含 $x$；
• $x^\alpha$ 前面的系数是 1，后面不加减别的项。

所以 $y = x^{-2}$、$y = x^{1/3}$ 是幂函数；$y = 2x^2$（系数不是 1）、$y = x^2 + 1$（多了一项）、$y = (x + 1)^2$（底不是 $x$）、$y = 2^x$（指数含 $x$，这是第 8 章的指数函数）都不是。

幂和指数的写法：本章用到的记号都可以化成初中学过的式子。

记号	含义	定义域
$x^n$（$n$ 为正整数）	$n$ 个 $x$ 相乘	$\mathbf{R}$
$x^0$	1	$\{x \mid x \ne 0\}$
$x^{-n}$（$n$ 为正整数）	$\dfrac{1}{x^n}$	$\{x \mid x \ne 0\}$
$x^{1/2}$	$\sqrt{x}$	$[0, +\infty)$
$x^{1/3}$	$\sqrt[3]{x}$	$\mathbf{R}$

分数指数幂的一般定义（$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$）放在第 8 章，学本章时把 $x^{1/2}$ 理解成 $\sqrt{x}$ 就够了。

课标要求掌握的五个幂函数：$y = x$、$y = x^2$、$y = x^3$、$y = x^{1/2}$、$y = x^{-1}$（即 $y = \dfrac{1}{x}$）。性质见 7.3 节。

使用场景

• 判断给出的函数是不是幂函数：看到“下列函数中是幂函数的是”，逐个查底数、指数、系数三件事。
• 已知某个含参数的函数是幂函数，求参数：题目说”$y = (\cdots)x^{\cdots}$ 是幂函数”，就令系数等于 1 列方程，再用题目给的其他条件（单调性、奇偶性）筛选。
• 已知幂函数的图像过某个点，求解析式：题目说“幂函数 $f(x)$ 的图像过点 $(a, b)$”，就设 $f(x) = x^\alpha$，代入点解出 $\alpha$。

注意点

• 幂函数的定义只认 $y = x^\alpha$ 这一个形式。$y = 2x^2$ 的图像虽然和 $y = x^2$ 很像，但按定义它不是幂函数。
• 幂函数和指数函数的区别在于“谁是变量”：$y = x^2$ 底数变、指数不变，是幂函数；$y = 2^x$ 底数不变、指数变，是指数函数。
• $\alpha = 0$ 时 $y = x^0 = 1$，但 $0^0$ 没有意义，所以定义域是 $\{x \mid x \ne 0\}$，图像是直线 $y = 1$ 去掉点 $(0, 1)$。
• 幂函数的定义域由 $\alpha$ 决定，不同的 $\alpha$ 定义域不同。求定义域时先把它写回根式或分式：负指数看分母不为 0，分母是偶数的分数指数看被开方数非负。

证明

本知识点是一个定义，没有需要证明的结论。这里说明定义域为什么随 $\alpha$ 变：

1. $\alpha$ 是正整数时，$x^\alpha$ 就是连乘，任何实数都能算，定义域是 $\mathbf{R}$。
2. $\alpha$ 是负整数时，$x^{-n} = \dfrac{1}{x^n}$，分母不能为 0，所以要去掉 $x = 0$。
3. $\alpha = \dfrac{1}{2}$ 时，$x^{1/2} = \sqrt{x}$，偶次根号下不能是负数，所以定义域是 $[0, +\infty)$。
4. $\alpha = 0$ 时，按规定 $x^0 = 1$ 只对 $x \ne 0$ 成立（$0^0$ 没有定义），所以去掉 $x = 0$。

这四条都是“把记号翻译回初中的式子，再看式子在哪里有意义”，和第 5 章求定义域的方法一样。

例题

例 1　（场景：判断是不是幂函数）下列函数中，是幂函数的有哪些？

① $y = x^{-3}$　② $y = 3x^2$　③ $y = x^2 + x$　④ $y = (x - 1)^3$　⑤ $y = x^{1/2}$　⑥ $y = 3^x$

解：逐个查三件事。

• ① 底数 $x$、指数 $-3$ 是常数、系数 1，是幂函数。
• ② 系数是 3，不是。
• ③ 多了一项 $x$，不是。
• ④ 底数是 $x - 1$，不是。
• ⑤ 底数 $x$、指数 $\dfrac{1}{2}$、系数 1，是幂函数。
• ⑥ 指数是变量 $x$，是指数函数，不是幂函数。

所以是幂函数的是 ①⑤。

例 2　（场景：已知是幂函数求参数）已知函数 $f(x) = (m^2 - m - 1)x^{m^2 - 2m - 3}$ 是幂函数，且在 $(0, +\infty)$ 上单调递减，求实数 $m$ 的值。

解：是幂函数，所以系数为 1：

$$m^2 - m - 1 = 1,$$

即 $m^2 - m - 2 = 0$，$(m - 2)(m + 1) = 0$，得 $m = 2$ 或 $m = -1$。

再用“在 $(0, +\infty)$ 上单调递减”检验：

• $m = 2$：指数 $4 - 4 - 3 = -3$，$f(x) = x^{-3} = \dfrac{1}{x^3}$。$x > 0$ 时 $x$ 越大 $x^3$ 越大，$\dfrac{1}{x^3}$ 越小，单调递减，符合。
• $m = -1$：指数 $1 + 2 - 3 = 0$，$f(x) = x^0 = 1$（$x \ne 0$），是常数函数，不递减，舍去。

所以 $m = 2$。

容易卡在：解出系数方程就停，忘了还有单调性的条件要检验。

例 3　（场景：过点求解析式）已知幂函数 $f(x)$ 的图像过点 $\left(4, \dfrac{1}{2}\right)$，求 $f(x)$ 的解析式和 $f(9)$。

解：设 $f(x) = x^\alpha$。代入点：$4^\alpha = \dfrac{1}{2}$。

$4 = 2^2$，$\dfrac{1}{2} = 2^{-1}$，所以 $2^{2\alpha} = 2^{-1}$，$2\alpha = -1$，$\alpha = -\dfrac{1}{2}$。

$f(x) = x^{-1/2} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$，$f(9) = \dfrac{1}{\sqrt{9}} = \dfrac{1}{3}$。

容易卡在：$4^\alpha = \dfrac{1}{2}$ 不会解。把两边都化成同一个底数（这里是 2），再让指数相等。

常用推论

• 设幂函数时只设一个未知数：$f(x) = x^\alpha$，一个点就能定出 $\alpha$。不要设成 $f(x) = kx^\alpha$，那是两个未知数，而且按定义 $k$ 只能是 1。
• 任何幂函数都过点 $(1, 1)$，因为 $1^\alpha = 1$。选择题里图像不过 $(1, 1)$ 的，一定不是幂函数的图像。
• 已知“是幂函数”求参数，第一步永远是“系数 = 1”，然后才用其他条件筛。

易错点

• 错在哪：认为 $y = 2x^2$ 是幂函数，理由是“它的图像也是抛物线”。 为什么错：幂函数是按解析式的形式定义的，$x^2$ 前面的系数必须是 1。 正确做法：只看形式：$y = x^\alpha$，系数 1，底是 $x$，指数是常数。
• 错在哪：例 2 解出 $m = 2$ 或 $m = -1$ 后两个都写上。 为什么错：$m = -1$ 时函数变成常数函数 $y = 1$，不满足“单调递减”。 正确做法：解完系数方程后，把每个解代回指数，逐一检验题目的其他条件。
• 错在哪：把 $y = x^0$ 的定义域写成 $\mathbf{R}$。 为什么错：$0^0$ 没有意义，$x = 0$ 时 $x^0$ 不存在。 正确做法：$y = x^0$ 的定义域是 $\{x \mid x \ne 0\}$。

直观理解

幂函数和指数函数就差在“谁在动”：幂函数是“底数在动，指数钉住”，像 $x^2$ 里的 2 不变；指数函数是“底数钉住，指数在动”，像 $2^x$ 里的 2 不变。记住“幂函数 = 自变量的固定次方”，系数 1 的要求就很自然：多了系数就不再是”$x$ 的几次方“本身了。

关联知识点

• 前置：第 5 章函数的概念，求幂函数的定义域就是求解析式有意义的 $x$ 的范围。
• 后续：7.3 五个常见幂函数，是定义中 $\alpha$ 取 $1, 2, 3, \dfrac{1}{2}, -1$ 的特例。
• 后续：第 8 章根式与分数指数幂，给出 $x^{m/n}$ 的一般定义；指数函数和幂函数的区别常在选择题里考。
• 常一起考：第 6 章单调性、奇偶性，“是幂函数且在某区间递减”这类条件要用它们筛选参数。

7.3 五个常见幂函数的图像和性质

说明

五个函数画在同一坐标系里：

性质列成表：

函数	定义域	值域	奇偶性	单调性
$y = x$	$\mathbf{R}$	$\mathbf{R}$	奇函数	在 $\mathbf{R}$ 上递增
$y = x^2$	$\mathbf{R}$	$[0, +\infty)$	偶函数	在 $(-\infty, 0]$ 上递减，在 $[0, +\infty)$ 上递增
$y = x^3$	$\mathbf{R}$	$\mathbf{R}$	奇函数	在 $\mathbf{R}$ 上递增
$y = x^{1/2}$	$[0, +\infty)$	$[0, +\infty)$	非奇非偶	在 $[0, +\infty)$ 上递增
$y = x^{-1}$	$\{x \mid x \ne 0\}$	$\{y \mid y \ne 0\}$	奇函数	在 $(-\infty, 0)$ 和 $(0, +\infty)$ 上分别递减

共同点：

• 五个函数的图像都过点 $(1, 1)$。
• 除 $y = x^{-1}$ 外，都过原点 $(0, 0)$。
• 在 $(0, +\infty)$ 上，前四个递增，$y = x^{-1}$ 递减。
• 图像都不经过第四象限（$x > 0$ 时函数值都是正数）。

使用场景

• 根据性质挑函数或选图：题目问“既是奇函数又在 $(0, +\infty)$ 上递增的是”，或给几个图像让选，就对照上面的表。
• 利用单调性和奇偶性解不等式：题目给出 $f(x) = x^3$ 之类的具体幂函数，要解 $f(\cdots) + f(\cdots) < 0$ 或 $f(\cdots) > f(\cdots)$，就用奇偶性把式子变成 $f(A) < f(B)$，再用单调性去掉 $f$。
• 含 $x^{1/2}$ 的不等式：看到 $(\cdots)^{1/2}$ 或根号的大小比较，先写被开方数非负，再比较被开方数。
• 含 $x^{-1}$ 的不等式：看到 $\dfrac{1}{A} < \dfrac{1}{B}$，要想到 $y = x^{-1}$ 只在两段上分别递减，必须分 $A$、$B$ 的符号讨论。
• 求幂函数在区间上的值域：给定区间求 $x^2$、$x^{-1}$ 等的取值范围，先看区间是否跨过 0 或包含 0。

注意点

• $y = x^{-1}$ 的单调递减区间是 $(-\infty, 0)$ 和 $(0, +\infty)$，中间用“和”连接，不能写成 $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$。取 $x_1 = -1 < x_2 = 1$，$f(-1) = -1 < f(1) = 1$，在整个定义域上并不递减。
• $y = x^{1/2}$ 的定义域只有 $x \ge 0$，所以它不是偶函数也不是奇函数。判断奇偶性要先看定义域是否关于原点对称。
• $y = x^2$ 在区间上的最小值不一定在端点：区间包含 0 时，最小值是 0。
• 表里“递增”“递减”都是严格的：$x_1 < x_2$ 时函数值严格大或严格小，所以 $f(a) = f(b)$ 能推出 $a = b$（$y = x^2$ 除外，它不单调）。

证明

课本用第 6 章单调性的定义（取 $x_1 < x_2$，判断 $f(x_1) - f(x_2)$ 的符号）研究这些性质，其中对 $y = x^{1/2}$ 给出了完整证明。下面逐个证。

$y = x^3$ 在 $\mathbf{R}$ 上递增。 任取 $x_1 < x_2$：

$$x_1^3 - x_2^3 = (x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2).$$

第一个因式 $x_1 - x_2 < 0$。第二个因式配方：

$$x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2 = \left(x_1 + \frac{x_2}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}x_2^2.$$

（关键一步：配方后是两个平方之和，一定 $\ge 0$；它等于 0 要求 $x_2 = 0$ 且 $x_1 = 0$，但 $x_1 \ne x_2$，所以它严格大于 0。）于是 $x_1^3 - x_2^3 < 0$，$x_1^3 < x_2^3$，递增。

$y = x^{1/2}$ 在 $[0, +\infty)$ 上递增。 任取 $0 \le x_1 < x_2$：

$$\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2} = \frac{(\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2})(\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2})}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}} = \frac{x_1 - x_2}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}}.$$

（关键一步：分子有理化，把看不出符号的根式之差变成看得出符号的 $x_1 - x_2$。分母 $\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} > 0$，因为 $x_2 > 0$。）分子小于 0，分母大于 0，所以 $\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}$，递增。

$y = x^{-1}$ 在 $(0, +\infty)$ 上递减。 任取 $0 < x_1 < x_2$：

$$\frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2}.$$

（关键一步：$x_1$、$x_2$ 同号，所以 $x_1 x_2 > 0$；这一步正是“必须在同一段上取两点”的原因，异号时分母为负，结论就反了。）分子大于 0，分母大于 0，所以 $\dfrac{1}{x_1} > \dfrac{1}{x_2}$，递减。在 $(-\infty, 0)$ 上同理，$x_1 x_2 > 0$ 仍成立。

$y = x^2$ 的单调性已在第 4 章二次函数中讨论：对称轴是 $y$ 轴，开口向上，左减右增。

奇偶性：定义域都关于原点对称的四个函数，直接算 $f(-x)$：

• $(-x)^3 = -x^3$，$\dfrac{1}{-x} = -\dfrac{1}{x}$，$-x = -(x)$，所以 $y = x$、$y = x^3$、$y = x^{-1}$ 是奇函数；
• $(-x)^2 = x^2$，所以 $y = x^2$ 是偶函数；
• $y = x^{1/2}$ 的定义域 $[0, +\infty)$ 不关于原点对称，非奇非偶。

值域：$x^2 \ge 0$ 且每个非负数 $c$ 都能由 $x = \sqrt{c}$ 取到，所以 $y = x^2$ 的值域是 $[0, +\infty)$；$\dfrac{1}{x}$ 永远不为 0，而任何 $c \ne 0$ 都能由 $x = \dfrac{1}{c}$ 取到，所以 $y = x^{-1}$ 的值域是 $\{y \mid y \ne 0\}$。其余同理。

例题

例 1　（场景：根据性质挑函数）下列函数中，既是奇函数又在 $(0, +\infty)$ 上单调递增的是（　）。

A. $y = x^{-1}$　B. $y = x^{1/2}$　C. $y = x^3$　D. $y = x^2$

解：C。对照性质表：A 是奇函数，但在 $(0, +\infty)$ 上递减；B 在 $(0, +\infty)$ 上递增，但非奇非偶；D 是偶函数。只有 C 两个条件都满足。

另一种解法：直接看图像。奇函数的图像关于原点对称，在图上找“左下和右上成对出现、并且右边一路往上走”的曲线，只有 $y = x^3$（和 $y = x$）。选择题里性质记不清时，脑子里过一遍那张五合一的图最快；性质记得牢时查表更稳。

例 2　（场景：利用单调性和奇偶性解不等式）已知 $f(x) = x^3$，解不等式 $f(2a - 1) + f(a) < 0$。

解：$f(x) = x^3$ 是奇函数，所以 $-f(a) = f(-a)$。不等式变形为

$$f(2a - 1) < -f(a) = f(-a).$$

$f(x) = x^3$ 在 $\mathbf{R}$ 上递增，所以 $2a - 1 < -a$，解得 $a < \dfrac{1}{3}$。

解集是 $\left(-\infty, \dfrac{1}{3}\right)$。

容易卡在：不会处理“两个 $f$ 相加”。用奇函数把一个移到右边变成 $f(-a)$，两边就都是”$f$ 某个数”，这时才能用单调性。

例 3　（场景：含 $x^{1/2}$ 的不等式）解关于 $a$ 的不等式 $(a + 1)^{1/2} < (3 - 2a)^{1/2}$。

解：$y = x^{1/2}$ 的定义域是 $[0, +\infty)$，并且在定义域上递增。所以原不等式等价于

$$\begin{cases} a + 1 \ge 0, \\ 3 - 2a \ge 0, \\ a + 1 < 3 - 2a, \end{cases}$$

解得 $a \ge -1$，$a \le \dfrac{3}{2}$，$a < \dfrac{2}{3}$。取公共部分：$-1 \le a < \dfrac{2}{3}$。

解集是 $\left[-1, \dfrac{2}{3}\right)$。

容易卡在：只写第三个不等式，得到 $a < \dfrac{2}{3}$，漏了“根号下非负”。$a = -2$ 时左边根本没有意义。

例 4　（场景：含 $x^{-1}$ 的不等式）解关于 $a$ 的不等式 $(a + 1)^{-1} < (3 - 2a)^{-1}$。

解：即 $\dfrac{1}{a + 1} < \dfrac{1}{3 - 2a}$。$y = x^{-1}$ 只在 $(-\infty, 0)$ 和 $(0, +\infty)$ 上分别递减，所以按 $a + 1$ 和 $3 - 2a$ 的符号分四种情况：

1. 两个都是正数：$a + 1 > 0$ 且 $3 - 2a > 0$，即 $-1 < a < \dfrac{3}{2}$。在 $(0, +\infty)$ 上递减，函数值小的自变量大，所以 $a + 1 > 3 - 2a$，$a > \dfrac{2}{3}$。这种情况得 $\dfrac{2}{3} < a < \dfrac{3}{2}$。
2. 两个都是负数：$a + 1 < 0$ 且 $3 - 2a < 0$，即 $a < -1$ 且 $a > \dfrac{3}{2}$，不可能。
3. $a + 1 < 0 < 3 - 2a$，即 $a < -1$：左边是负数，右边是正数，不等式一定成立。这种情况得 $a < -1$。
4. $a + 1 > 0 > 3 - 2a$，即 $a > \dfrac{3}{2}$：左边正、右边负，不等式不成立。

合并：解集是 $(-\infty, -1) \cup \left(\dfrac{2}{3}, \dfrac{3}{2}\right)$。

容易卡在：直接写”$y = x^{-1}$ 递减，所以 $a + 1 > 3 - 2a$“，得到 $a > \dfrac{2}{3}$，既多了 $a > \dfrac{3}{2}$ 那段，又漏了 $a < -1$ 那段。

另一种解法：移项通分，化成第 4 章的分式不等式。

$$\frac{1}{a + 1} - \frac{1}{3 - 2a} = \frac{(3 - 2a) - (a + 1)}{(a + 1)(3 - 2a)} = \frac{2 - 3a}{(a + 1)(3 - 2a)} < 0.$$

分子、分母的零点是 $-1, \dfrac{2}{3}, \dfrac{3}{2}$，把数轴分成四段，每段取一个数代入看符号：$a = -2$ 时为负，$a = 0$ 时为正，$a = 1$ 时为负，$a = 2$ 时为正。取负的两段，得 $(-\infty, -1) \cup \left(\dfrac{2}{3}, \dfrac{3}{2}\right)$。通分法不用想单调性，按部就班不会漏情况，适合考场求稳；分类讨论法能看清每一段为什么成立，适合理解 $y = x^{-1}$ 的分段单调。

例 5　（场景：求在区间上的值域）求：(1) $y = x^2$，$x \in [-1, 2]$ 的值域；(2) $y = x^{-1}$，$x \in \left[-2, -\dfrac{1}{2}\right]$ 的值域。

解：

(1) 区间 $[-1, 2]$ 包含 0。$y = x^2$ 在 $[-1, 0]$ 上递减、在 $[0, 2]$ 上递增，最小值在 $x = 0$ 处取得，为 0；最大值在离 0 较远的端点 $x = 2$ 处取得，为 4。值域是 $[0, 4]$。

(2) 区间 $\left[-2, -\dfrac{1}{2}\right]$ 整个在 $(-\infty, 0)$ 里，$y = x^{-1}$ 在这里递减。最大值是 $f(-2) = -\dfrac{1}{2}$，最小值是 $f\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -2$。值域是 $\left[-2, -\dfrac{1}{2}\right]$。

容易卡在：(1) 直接算两个端点 $f(-1) = 1$、$f(2) = 4$，写成 $[1, 4]$，漏了中间的最低点 0。

常用推论

• $a^3 > b^3 \iff a > b$（对任意实数 $a$、$b$）。由本节“证明”中 $y = x^3$ 在 $\mathbf{R}$ 上递增得到。
• $\sqrt{a} > \sqrt{b} \iff a > b \ge 0$。由 $y = x^{1/2}$ 在 $[0, +\infty)$ 上递增得到，右边的 $b \ge 0$ 来自定义域。
• $a$、$b$ 同号时，$\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b} \iff a > b$；$a < 0 < b$ 时，总有 $\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$。前一条由 $y = x^{-1}$ 在每一段上递减得到，后一条是“负数小于正数”。这也是第 3 章不等式性质“同号取倒数，不等号反向”的另一种说法。
• 五个函数都过 $(1, 1)$；除 $y = x^{-1}$ 外都过 $(0, 0)$。由 $1^\alpha = 1$、$0^\alpha = 0$（$\alpha > 0$）直接得到。

易错点

• 错在哪：说”$y = \dfrac{1}{x}$ 在定义域上是减函数”，或把递减区间写成 $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$。 为什么错：取 $-1 < 1$，$f(-1) = -1 < f(1) = 1$，函数值反而变大。“递减”只在每一段内部成立。 正确做法：写成“在 $(-\infty, 0)$ 和 $(0, +\infty)$ 上分别递减”，区间之间用“和”或逗号。
• 错在哪：认为 $y = x^{1/2}$ 是偶函数，因为“它和 $y = x^2$ 有关”。 为什么错：它的定义域是 $[0, +\infty)$，不关于原点对称，谈不上 $f(-x)$。 正确做法：判断奇偶性的第一步是看定义域是否关于原点对称，不对称就是非奇非偶。
• 错在哪：例 3 只比较被开方数，漏写“被开方数非负”。 为什么错：不等式两边都要有意义，$\sqrt{a + 1}$ 要求 $a \ge -1$。 正确做法：含根式的不等式，先写定义域，再比较大小，最后取公共部分。

直观理解

五个函数可以按“长相”分三类记：

• 一路向上：$y = x$、$y = x^3$、$y = x^{1/2}$。$y = x$ 是直线；$y = x^3$ 在原点附近很平、离开后猛涨；$y = x^{1/2}$ 只有右半边，越往右涨得越慢。
• U 形：$y = x^2$，左右对称，最低点在原点。
• 两支双曲线：$y = x^{-1}$，分在第一、三象限，越靠近 $y$ 轴越陡，越往远处越贴近 $x$ 轴，但永远碰不到坐标轴。

一句话记：五条曲线都穿过 $(1, 1)$，只有 $\dfrac{1}{x}$ 不过原点，只有 $\sqrt{x}$ 只活在第一象限。

关联知识点

• 前置：第 6 章单调性和奇偶性，本节的每条性质都是用那里的定义证出来的。
• 前置：第 4 章二次函数，$y = x^2$ 是最简单的二次函数。
• 后续：7.4 幂指数对图像的影响，把五个函数的规律推广到一般的 $\alpha$。
• 后续：第 9 章反函数，$y = x^2$（$x \ge 0$）和 $y = x^{1/2}$ 互为反函数，图像关于直线 $y = x$ 对称。
• 后续：第 24 章基本初等函数的导数，$(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$ 对这五个函数都适用。
• 常一起考：第 3 章不等式的性质，“$a > b$ 能否推出 $a^3 > b^3$、$\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$“这类判断题，背后就是本节的单调性。

7.4 幂指数对图像的影响

说明

课标和课本只要求掌握 7.3 的五个幂函数，本节把规律推广到一般的 $\alpha$，属于课标之外的拓展。其中第一象限的规律（都过 $(1, 1)$、$\alpha$ 的正负定增减、以 $x = 1$ 为界比高低）是比较大小、选图题的常用工具；按 $p$、$q$ 奇偶补全其他象限的表格是更进一步的拓展，记不住时把幂化成根式、用奇偶性的定义判断即可。

一般的幂函数 $y = x^\alpha$ 种类太多，记不住每一个。好在它们在第一象限（$x > 0$）都有定义，规律很整齐，所以先看第一象限，再按奇偶性补其他象限。

第一象限的规律：

1. 所有幂函数都过点 $(1, 1)$。
2. $\alpha > 0$：图像还过原点 $(0, 0)$，在 $[0, +\infty)$ 上递增。其中 $\alpha > 1$ 时曲线向下凸（越往右越陡），$0 < \alpha < 1$ 时向上凸（越往右越平），$\alpha = 1$ 是直线。
3. $\alpha < 0$：图像在 $(0, +\infty)$ 上递减，向右无限靠近 $x$ 轴，向左无限靠近 $y$ 轴，不过原点。
4. 指数的大小决定高低，以 $x = 1$ 为分界：
   • $x > 1$ 时，$\alpha$ 越大，图像越高；
   • $0 < x < 1$ 时，$\alpha$ 越大，图像越低。

其他象限按奇偶性补：把 $\alpha$ 写成既约分数 $\dfrac{p}{q}$（$q > 0$，$p$、$q$ 互质；整数看成 $q = 1$），$x^{p/q}$ 理解为 $\sqrt[q]{x^p}$：

$p$、$q$ 的情况	定义域含不含负数	奇偶性	第一象限之外的图像	例子
$q$ 为偶数	不含	非奇非偶	没有	$x^{1/2}$、$x^{3/2}$、$x^{-1/2}$
$q$ 为奇数，$p$ 为偶数	含	偶函数	关于 $y$ 轴对称到第二象限	$x^2$、$x^{2/3}$、$x^{-2}$
$q$ 为奇数，$p$ 为奇数	含	奇函数	关于原点对称到第三象限	$x^3$、$x^{1/3}$、$x^{-1}$

画草图的步骤：

关于负底数的约定：课本（人教 A 版必修第一册 3.3 节）只研究 $\alpha = 1, 2, 3, \dfrac{1}{2}, -1$ 五种幂函数；课本 4.1 节（本书第 8 章）定义分数指数幂 $a^{m/n}$ 时规定底数 $a > 0$，对负数底数没有作规定。对 $y = x^{1/3}$、$y = x^{2/3}$ 这类函数，考试中通常按根式 $\sqrt[3]{x}$、$\sqrt[3]{x^2}$ 理解，定义域取 $\mathbf{R}$。上表、7.2 节的记号表和本节例题都按这个约定写。

使用场景

• 同指数、不同底数比较大小：两个数形如 $a^\alpha$ 和 $b^\alpha$，指数相同，就看成幂函数 $y = x^\alpha$ 的两个函数值，用单调性比较。
• 底数、指数都不同，找中间量比较：三个数形如 $a^\alpha$、$a^\beta$、$b^\beta$，找一个和两边各有一项相同的数做桥梁。
• 由图像判断指数：给出几条幂函数曲线问各自的 $\alpha$，先按递增递减分 $\alpha$ 的正负，再在 $x > 1$ 处比高低。
• 画草图或选图：给出 $y = x^{2/3}$、$y = x^{-2}$ 这类不在五个常见函数里的幂函数，按“第一象限 + 奇偶性”判断图像。

注意点

• “$\alpha > 0$ 时递增”说的是在 $[0, +\infty)$ 上。偶函数如 $y = x^2$ 在 $(-\infty, 0]$ 上是递减的，负数底数比较大小不能直接套。
• “$\alpha$ 越大图像越高”只在 $x > 1$ 时成立，$0 < x < 1$ 时正好相反，$x = 1$ 时一样高。
• 同底数、不同指数的比较（如 $0.5^2$ 和 $0.5^3$）本质上是指数函数 $y = 0.5^x$ 的单调性（第 8 章）。用本节第 4 条规律也能得到同样的结论，两种看法一致。
• $\alpha = 0$ 时 $y = x^0$ 是去掉一个点的水平直线，不属于上面任何一类，单独记。

证明

本节规律在 $\alpha$ 为有理数时可以用高中知识证明；$\alpha$ 为无理数时，$x^\alpha$ 本身要用有理数指数幂逼近来定义（第 8 章），严格证明要用到大学数学分析里实数的完备性和极限，高中把它当作事实使用。

结论 1：$\alpha > 0$ 时，$y = x^\alpha$ 在 $(0, +\infty)$ 上递增；$\alpha < 0$ 时递减。

先看 $\alpha = \dfrac{1}{q}$（$q$ 为正整数）。任取 $0 < x_1 < x_2$，要证 $\sqrt[q]{x_1} < \sqrt[q]{x_2}$。用反证法：假设 $\sqrt[q]{x_1} \ge \sqrt[q]{x_2}$，两边都是正数，两边同时乘方 $q$ 次，不等号方向不变，得 $x_1 \ge x_2$，矛盾。

再看 $\alpha = \dfrac{p}{q}$（$p$、$q$ 为正整数）：$x^{p/q} = \left(x^{1/q}\right)^p$。由上一步，$x_1^{1/q} < x_2^{1/q}$，两边是正数，乘方 $p$ 次不等号不变，得 $x_1^{p/q} < x_2^{p/q}$。（关键一步：正数的不等式两边可以同时乘方，这是第 3 章不等式的性质；底数是正数这个前提正是“只看第一象限”带来的方便。）

$\alpha < 0$ 时，$x^\alpha = \dfrac{1}{x^{-\alpha}}$，而 $-\alpha > 0$。由上面结论分母 $x^{-\alpha}$ 递增且为正，取倒数后递减。

结论 2：$\alpha > \beta$ 时，$x > 1$ 则 $x^\alpha > x^\beta$；$0 < x < 1$ 则 $x^\alpha < x^\beta$。

两式相除：

$$\frac{x^\alpha}{x^\beta} = x^{\alpha - \beta}, \quad \alpha - \beta > 0.$$

由结论 1，$y = x^{\alpha - \beta}$ 在 $(0, +\infty)$ 上递增，且在 $x = 1$ 处等于 1。所以 $x > 1$ 时 $x^{\alpha - \beta} > 1$，即 $x^\alpha > x^\beta$；$0 < x < 1$ 时 $x^{\alpha - \beta} < 1$，即 $x^\alpha < x^\beta$。（关键一步：把“比较两个幂”转化为“比较一个幂和 1”，而和 1 比较正好用 $(1, 1)$ 这个公共点加单调性。）

结论 3：奇偶性表。 设 $\alpha = \dfrac{p}{q}$，$q$ 为奇数，则 $\sqrt[q]{-1} = -1$，于是

$$(-x)^{p/q} = \sqrt[q]{(-x)^p} = \sqrt[q]{(-1)^p x^p} = (-1)^p x^{p/q}.$$

$p$ 为偶数时等于 $x^{p/q}$，偶函数；$p$ 为奇数时等于 $-x^{p/q}$，奇函数。$q$ 为偶数时，偶次根号下的 $x^p$ 在 $x < 0$ 时为负（$p$ 与 $q$ 互质，$p$ 必为奇数），无意义，定义域不含负数。

凹凸（向上凸还是向下凸）的严格说明要用二阶导数，超出高中要求，记图即可。

例题

例 1　（场景：同指数比较大小）比较下列各组数的大小：

(1) $1.5^{1/2}$ 与 $1.7^{1/2}$；(2) $0.3^{-1}$ 与 $0.5^{-1}$；(3) $(-1.2)^3$ 与 $(-1.3)^3$。

解：

(1) 看成 $y = x^{1/2}$ 的两个值。它在 $[0, +\infty)$ 上递增，$1.5 < 1.7$，所以 $1.5^{1/2} < 1.7^{1/2}$。

(2) 看成 $y = x^{-1}$ 的两个值。它在 $(0, +\infty)$ 上递减，$0.3 < 0.5$，所以 $0.3^{-1} > 0.5^{-1}$。

(3) 看成 $y = x^3$ 的两个值。它在 $\mathbf{R}$ 上递增，$-1.2 > -1.3$，所以 $(-1.2)^3 > (-1.3)^3$。

容易卡在：(3) 底数是负数。$y = x^3$ 在整个 $\mathbf{R}$ 上递增，可以直接比；如果是 $y = x^2$ 就不行，要先化成正数底：$(-1.2)^2 = 1.2^2 < 1.3^2 = (-1.3)^2$。

例 2　（场景：找中间量比较）设 $a = \left(\dfrac{2}{5}\right)^{3/5}$，$b = \left(\dfrac{2}{5}\right)^{2/5}$，$c = \left(\dfrac{3}{5}\right)^{2/5}$，比较 $a$、$b$、$c$ 的大小。

解：$b$ 和 $a$ 底数相同，$b$ 和 $c$ 指数相同，用 $b$ 做桥梁。

• $b$ 与 $c$：指数都是 $\dfrac{2}{5} > 0$，$y = x^{2/5}$ 在 $(0, +\infty)$ 上递增，$\dfrac{2}{5} < \dfrac{3}{5}$，所以 $b < c$。
• $a$ 与 $b$：底数都是 $\dfrac{2}{5}$，在 0 和 1 之间。由本节第 4 条规律，$0 < x < 1$ 时指数越大值越小，$\dfrac{3}{5} > \dfrac{2}{5}$，所以 $a < b$。

所以 $a < b < c$。

容易卡在：找不到桥梁。看三个数里哪个“和一个数同底、和另一个数同指数”，它就是中间量。

例 3　（场景：由图像判断指数）图中曲线 $C_1$、$C_2$、$C_3$、$C_4$ 分别是幂函数 $y = x^\alpha$ 在第一象限的图像，$\alpha$ 依次取 $2, \dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{2}, -2$ 中的某个值。求每条曲线对应的 $\alpha$。

解：

1. 先按增减分正负：$C_1$、$C_2$ 递增，对应 $\alpha > 0$ 的 $2$ 和 $\dfrac{1}{2}$；$C_3$、$C_4$ 递减，对应 $-\dfrac{1}{2}$ 和 $-2$。
2. 再在 $x > 1$ 的地方比高低：$\alpha$ 越大越高。$C_1$ 比 $C_2$ 高，所以 $C_1$ 对应 $2$，$C_2$ 对应 $\dfrac{1}{2}$；$C_3$ 比 $C_4$ 高，所以 $C_3$ 对应 $-\dfrac{1}{2}$，$C_4$ 对应 $-2$。

另一种解法：特殊值。取 $x = 2$（图中虚线），算出四个函数值：$2^2 = 4$，$2^{1/2} \approx 1.41$，$2^{-1/2} \approx 0.71$，$2^{-2} = 0.25$。按大小对上图中虚线与四条曲线交点的高低，直接得到 $C_1 \to 2$，$C_2 \to \dfrac{1}{2}$，$C_3 \to -\dfrac{1}{2}$，$C_4 \to -2$。特殊值法不用记”$x > 1$ 还是 $x < 1$“，最不容易记反，适合选择题；规律法不用计算，曲线多、指数不好算时更快。

例 4　（场景：画草图或选图）画出 $y = x^{2/3}$ 的草图，并说出它的定义域、奇偶性和单调区间。

解：

1. 第一象限：$\alpha = \dfrac{2}{3} > 0$，过 $(0, 0)$ 和 $(1, 1)$，递增；$0 < \dfrac{2}{3} < 1$，曲线向上凸，像 $y = x^{1/2}$ 那样越往右越平。
2. 补全：$\dfrac{2}{3}$ 中 $p = 2$ 为偶数，$q = 3$ 为奇数，$x^{2/3} = \sqrt[3]{x^2}$ 对所有实数有定义，且是偶函数。把第一象限的部分关于 $y$ 轴对称到第二象限（见上面“先画第一象限再补”那张图中的红色曲线）。

所以定义域是 $\mathbf{R}$，偶函数，在 $(-\infty, 0]$ 上递减，在 $[0, +\infty)$ 上递增。

容易卡在：以为分数指数的定义域都是 $[0, +\infty)$。只有分母 $q$ 为偶数时才是这样。

常用推论

• $0 < x < 1$，$\alpha > \beta$ 时，$x^\alpha < x^\beta$；$x > 1$，$\alpha > \beta$ 时，$x^\alpha > x^\beta$。推导见本节“证明”结论 2。口诀”$x > 1$ 指大图高”。
• $\alpha > 0$ 且 $0 < a < b$ 时 $a^\alpha < b^\alpha$；$\alpha < 0$ 且 $0 < a < b$ 时 $a^\alpha > b^\alpha$。推导见结论 1。
• 幂函数的图像一定过第一象限，一定不过第四象限。因为 $x > 0$ 时 $x^\alpha > 0$：第一象限里总有图像，第四象限要求 $x > 0$、$y < 0$，不可能。
• $\alpha = \dfrac{p}{q}$（既约，$q > 0$）：$q$ 偶则只有第一象限；$q$ 奇 $p$ 偶则为偶函数；$q$ 奇 $p$ 奇则为奇函数。推导见结论 3。

易错点

• 错在哪：比较 $0.5^2$ 和 $0.5^{1/2}$，认为“指数大的大”，得 $0.5^2 > 0.5^{1/2}$。 为什么错：“指数大的大”只在底数大于 1 时成立。底数 $0.5$ 在 0 和 1 之间，规律反过来：$0.5^2 = 0.25 < 0.5^{1/2} \approx 0.71$。 正确做法：先看底数和 1 比是大是小，再用规律；拿不准就代一个具体值算一下。
• 错在哪：比较 $(-1.5)^2$ 和 $(-1.2)^2$，用”$\alpha = 2 > 0$ 递增”，得 $(-1.5)^2 < (-1.2)^2$。 为什么错：$\alpha > 0$ 时递增只在 $[0, +\infty)$ 上成立，$y = x^2$ 在负半轴上递减。 正确做法：偶函数先用 $f(-x) = f(x)$ 把底数化成正数：$1.5^2 > 1.2^2$。
• 错在哪：认为 $y = x^{-1/2}$ 和 $y = x^{-1}$ 一样是奇函数，图像有第三象限的部分。 为什么错：$-\dfrac{1}{2}$ 的分母 2 是偶数，$x^{-1/2} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$，定义域是 $(0, +\infty)$。 正确做法：先把指数写成既约分数，看分母的奇偶决定定义域。

直观理解

所有幂函数都被“钉”在点 $(1, 1)$ 上，像一把扇子的扇轴。指数越大，扇骨在 $x = 1$ 右边翘得越高，在左边就压得越低，就像跷跷板绕着 $(1, 1)$ 转。$\alpha$ 从正变到负，扇骨从“往上翘”翻成“往下垂”。

为什么 $0 < x < 1$ 时反过来？拿 $x = 0.5$ 试：$0.5^1 = 0.5$，$0.5^2 = 0.25$，$0.5^3 = 0.125$，小于 1 的数越乘越小，次数越高越小；拿 $x = 2$ 试：$2, 4, 8$，大于 1 的数越乘越大。

关联知识点

• 前置：7.3 五个常见幂函数，本节的规律是从它们总结推广出来的。
• 前置：第 3 章不等式的性质，“正数不等式两边同时乘方”是证明结论 1 的关键。
• 后续：第 8 章指数函数，同底不同指数的比较由指数函数的单调性给出，和本节规律一致。
• 常一起考：第 8 章指数函数、第 9 章对数函数，“比较 $a$、$b$、$c$ 大小”的题常同时出现幂、指数、对数，常用 0 和 1 做中间量。
• 后续：第 10 章函数模型，比较幂函数、指数函数、对数函数增长快慢。

7.5 知识点之间的关系

本章三个知识点是一条线：7.2 定下“什么是幂函数”，7.3 研究课标要求的五个具体幂函数，7.4 把五个函数的规律推广到一般的 $\alpha$——先看第一象限（$\alpha$ 的正负定增减、$\alpha$ 的大小定高低），再按奇偶性补全。

跨章看，本章是用第 6 章单调性、奇偶性分析具体函数的第一次完整练习；学第 8 章指数函数、第 9 章对数函数时，研究的顺序（定义 → 图像 → 性质 → 比较大小）和本章完全一样。考试中幂函数很少单独出大题，最常见的是选择题里和指数、对数放在一起比较大小。

7.6 自测

1. 下列函数中是幂函数的是（　）。A. $y = 2x^3$　B. $y = x^{-2}$　C. $y = (x + 1)^2$　D. $y = 3^x$
2. 已知幂函数 $f(x)$ 的图像过点 $(3, \sqrt{3})$，求 $f(16)$。
3. 已知 $f(x) = x^3$，解不等式 $f(x - 1) > f(2x)$。
4. 写出函数 $y = x^{-1}$ 的单调递减区间。
5. 比较 $a = 0.5^2$，$b = 0.5^{1/2}$，$c = 0.6^{1/2}$ 的大小。
6. 已知幂函数 $y = x^{m^2 - 2m - 3}$（$m \in \mathbf{Z}$）在 $(0, +\infty)$ 上单调递减，且图像关于 $y$ 轴对称，求 $m$。

答案：1. B；2. 4；3. $(-\infty, -1)$；4. $(-\infty, 0)$ 和 $(0, +\infty)$；5. $a < b < c$；6. $m = 1$。

7.7 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，必修第一册“幂函数”一节有同步课程视频和教材电子版。
• GeoGebra 图形计算器：输入 y = x^a 并给 a 加滑动条，拖动 a 就能看到第一象限的图像怎么绕点 (1, 1) 转动，适合配合 7.4 节。
• 维基百科 · 幂函数：幂函数的中文条目，有整数、有理数、无理数指数的定义和图像，查定义时用。