第 18 章 · 空间几何体

项目	内容
课标主题	必修 · 几何与代数 · 立体几何初步
人教 A 版	必修第二册 第八章 8.1–8.3
考试地位	常考。多为选择题、填空题，求表面积、体积，外接球是热门；解答题第一问常要先认清几何体的结构
前置知识	初中的平面几何（勾股定理、相似三角形、圆和扇形）；第 11 章扇形的弧长和面积

这一章是立体几何的入门：先认识柱、锥、台、球长什么样，再学会把它们画在纸上，最后算表面积和体积。公式不多，丢分常丢在三处：把斜高、侧棱、高混为一谈；锥体体积忘了乘 $\dfrac{1}{3}$；外接球找不到球心。解决办法都一样：把立体问题切成一个平面图形（轴截面、展开图、直角三角形）来算。

18.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
18.2 柱、锥、台、球的结构特征	多面体看面和棱，旋转体看谁绕什么轴转；台是锥截掉顶部	常考，多为概念辨析和截面计算
18.3 斜二测画法	横不变、竖减半、斜 45°；直观图面积是原图的 $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$	偶考，考直观图和原图的换算
18.4 表面积	展开成平面图形再求面积；球的表面积 $4\pi R^2$	常考，常和外接球一起考
18.5 体积	柱 $Sh$，锥 $\dfrac{1}{3}Sh$，台由两锥相减，球 $\dfrac{4}{3}\pi R^3$；祖暅原理是推导的依据	必考，等体积法求距离是常用工具

18.2 柱、锥、台、球的结构特征

说明

空间几何体分两大类：

• 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成它的多边形叫面，两个面的公共边叫棱，棱和棱的公共点叫顶点。
• 旋转体：一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转一周所形成的几何体。这条直线叫轴。

多面体：

名称	定义	结构特征
棱柱	有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行	两个底面全等；侧面都是平行四边形；侧棱平行且相等
棱锥	有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形	侧面都是三角形，侧棱交于一点（顶点）
棱台	用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分	上下底面平行且相似；侧面都是梯形；侧棱延长后交于一点

棱柱的几个特殊情形：

• 直棱柱：侧棱垂直于底面。侧棱不垂直于底面的叫斜棱柱。
• 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。
• 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱；侧棱垂直于底面、底面是矩形的叫长方体；棱长都相等的长方体是正方体。

正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥。它的侧棱都相等，侧面是全等的等腰三角形，侧面等腰三角形底边上的高叫斜高。正棱锥被平行于底面的平面截得的棱台叫正棱台。

旋转体：

名称	怎么转出来	结构特征
圆柱	矩形以一边所在直线为轴旋转一周	两个底面是全等的圆；母线平行且相等，都垂直于底面；轴截面是矩形
圆锥	直角三角形以一条直角边所在直线为轴旋转一周	底面是圆；母线都相等，交于顶点；轴截面是等腰三角形；$l^2 = r^2 + h^2$
圆台	用平行于圆锥底面的平面截圆锥，底面和截面之间的部分；也可以看成直角梯形以垂直于底边的腰为轴旋转一周	上下底面是平行的圆；母线延长后交于一点；轴截面是等腰梯形
球	半圆以直径所在直线为轴旋转一周	球面上每一点到球心的距离都等于半径 $R$；任何截面都是圆

这里 $r$ 是底面半径，$h$ 是高，$l$ 是母线长。旋转时转出侧面的那条线段叫母线；过轴的截面叫轴截面。

球的截面：用一个平面去截球，截面是圆。设球心到截面的距离为 $d$，截面圆半径为 $r$，则

$$r = \sqrt{R^2 - d^2}.$$

$d = 0$ 时截面过球心，得到的圆最大，叫大圆，半径等于 $R$。

使用场景

• 判断关于几何体结构的说法是否正确：题目给出“有两个面平行”“其余各面是三角形”这类描述，对照定义逐条检查，找反例。
• 平面图形绕某条直线旋转，问得到什么几何体：看旋转轴是哪条线，想象每条边转出什么面。
• 已知台体的上下底和侧棱（母线），求相关的长度：把台补成锥，用相似三角形。
• 求旋转体的母线、高、截面面积：取轴截面，把问题变成等腰三角形、等腰梯形或圆里的计算。

注意点

• 棱柱的定义有三个条件：两个面平行、其余各面是四边形、相邻侧面的公共边平行。只说“两个面平行，其余各面是平行四边形”不够。
• 棱锥的侧面必须有公共顶点。“一个面是多边形，其余各面是三角形”不够。
• 棱台必须是用平行于底面的平面截出来的，所以侧棱延长后一定交于一点。侧棱延长不交于一点的，不是棱台。圆台同理。
• 圆锥是直角三角形绕直角边旋转得到的；绕斜边旋转得到的是两个同底圆锥拼成的组合体。
• “正棱锥”要求底面是正多边形并且顶点在底面的射影是底面中心，只有底面是正多边形不够。
• 球指球体（实心），球面指它的表面。题目说“球的截面”指截出的圆面。

证明

结论 1：棱柱的侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等。

取棱柱的任一个侧面。由定义，它是四边形，它的两条边是侧棱，另两条边分别落在两个底面上。

• 两条侧棱是相邻侧面的公共边，由定义它们互相平行。
• 落在两个底面上的两条边：两个底面所在平面平行，这个侧面所在平面与它们相交，交线平行（关键一步：这用到“两个平行平面被第三个平面所截，交线平行”，即面面平行的性质定理，见第 19 章）。

所以这个侧面两组对边分别平行，是平行四边形，两条侧棱长度相等。每个侧面都这样，所以所有侧棱平行且相等。

结论 2：平行于棱锥底面的截面与底面相似，面积比等于顶点到它们的距离之比的平方。

设棱锥 $S$-$ABC\cdots$ 被平行于底面的平面截得截面 $A'B'C'\cdots$，顶点到截面和底面的距离分别为 $h'$ 和 $h$。

1. 截面与底面平行，侧面 $SAB$ 与它们的交线 $A'B'$、$AB$ 平行（面面平行的性质定理），所以 $\triangle SA'B' \sim \triangle SAB$，$\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{SA'}{SA} = \dfrac{SB'}{SB}$。
2. 同理在侧面 $SBC$ 中，$\dfrac{B'C'}{BC} = \dfrac{SB'}{SB}$。（关键一步：相邻侧面共用侧棱 $SB$，所以比值一个传一个，所有对应边的比都等于同一个数 $k = \dfrac{SA'}{SA}$。）
3. 对应边成比例、对应边平行，所以截面与底面相似，相似比为 $k$，面积比为 $k^2$。
4. 过顶点作底面的垂线，在含这条垂线和 $SA$ 的平面里用相似三角形，得 $\dfrac{h'}{h} = \dfrac{SA'}{SA} = k$。

所以 $\dfrac{S_{\text{截}}}{S_{\text{底}}} = \left(\dfrac{h'}{h}\right)^2$。圆锥的平行截面同理，截面圆半径之比等于 $\dfrac{h'}{h}$。

结论 3：球的截面是圆，半径 $r = \sqrt{R^2 - d^2}$。

设球心为 $O$，过 $O$ 作截面的垂线，垂足为 $O_1$，$OO_1 = d$。任取截面与球面的公共点 $A$，因为 $OO_1$ 垂直于截面，$O_1A$ 在截面内，所以 $OO_1 \perp O_1A$（线面垂直的定义，见第 19 章）。在直角三角形 $OO_1A$ 中，

$$O_1A = \sqrt{OA^2 - OO_1^2} = \sqrt{R^2 - d^2}.$$

这个值和 $A$ 选在哪里无关，所以截面边界上每个点到 $O_1$ 的距离都相等，截面是以 $O_1$ 为圆心、$\sqrt{R^2 - d^2}$ 为半径的圆。

例题

例 1　（场景：判断结构说法的真假）下列说法中，正确的个数是（　）。

• ① 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
• ② 棱台的侧棱延长后交于一点；
• ③ 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
• ④ 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体是圆锥；
• ⑤ 用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分是圆台。

A. 1　B. 2　C. 3　D. 4

解：A。逐条对照定义：

• ① 错。反例：在一个正方体上面叠一个底面相同、侧棱倾斜的斜四棱柱。最上面和最下面两个面平行，其余各面都是平行四边形，但上下两段的侧棱方向不同，相邻侧面的公共边不全平行，它不是棱柱。
• ② 对。棱台是平行于底面的平面截棱锥得到的，侧棱就是原来棱锥侧棱的一部分，延长后交于原来的顶点。
• ③ 错。反例：两个底面相同的四棱锥底面对底面拼起来，得到一个八面体，每个面都是三角形，但这些三角形没有一个公共顶点。
• ④ 错。绕斜边旋转得到的是两个圆锥拼成的组合体（见例 2）。
• ⑤ 错。截面要平行于底面才是圆台。

只有 ② 对。

容易卡在：①③ 这种“看起来像定义”的说法。办法是把定义的每个条件列出来，看题目少了哪一条，再针对少的那一条造反例。

例 2　（场景：平面图形旋转得到什么）在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$，$AC = 3$，$BC = 4$。将 $\triangle ABC$ 绕斜边 $AB$ 所在直线旋转一周，得到的几何体是什么？求它的公共底面圆的半径。

解：作 $CD \perp AB$ 于 $D$。旋转时，$CD$ 转出一个圆面，$AC$ 转出以 $A$ 为顶点的圆锥侧面，$BC$ 转出以 $B$ 为顶点的圆锥侧面。所以得到的是两个同底的圆锥拼成的组合体，公共底面是以 $D$ 为圆心、$CD$ 为半径的圆。

$AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。用两种方法表示 $\triangle ABC$ 的面积：

$$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD,$$

得 $CD = \dfrac{3 \times 4}{5} = \dfrac{12}{5}$。公共底面圆的半径是 $\dfrac{12}{5}$。

容易卡在：以为得到一个圆锥。先确定轴，再看三角形的每条边分别转出什么。

例 3　（场景：台补成锥）一个圆台的上、下底面半径分别为 2 和 5，母线长为 6。求截得这个圆台的圆锥的母线长。

解：取轴截面，是一个等腰梯形。把两腰延长交于圆锥顶点 $S$，设截去的小圆锥母线长为 $x$。

小圆锥和大圆锥的轴截面是相似三角形，对应的半径之比等于母线之比：

$$\frac{x}{x + 6} = \frac{2}{5},$$

$5x = 2x + 12$，$x = 4$。所以圆锥的母线长为 $x + 6 = 10$。

例 4　（场景：用轴截面计算）一个圆锥的底面半径为 3，高为 4。

(1) 求母线长和轴截面的面积；

(2) 过高的中点作平行于底面的截面，求截面面积。

解：(1) 母线 $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$。轴截面是底边为 $2r = 6$、高为 4 的等腰三角形，面积为 $\dfrac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$。

(2) 截面到顶点的距离是 2，是高的一半。由本节证明结论 2，截面圆半径是底面半径的 $\dfrac{1}{2}$，即 $\dfrac{3}{2}$，截面面积为 $\pi \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9\pi}{4}$。

容易卡在：（2）把面积也按 $\dfrac{1}{2}$ 算成 $\dfrac{9\pi}{2}$。长度比是 $\dfrac{1}{2}$，面积比是 $\dfrac{1}{4}$。

常用推论

• 平行于棱锥（圆锥）底面的截面与底面相似，面积比等于相似比的平方；截得的小锥与原锥的体积比等于相似比的立方。面积部分见本节证明结论 2，体积部分是底面积比 $k^2$ 乘高之比 $k$。
• 正棱锥里有三个常用的直角三角形：高 $h$、斜高 $h'$、底面中心到底边的距离 $a$ 满足 $h^2 + a^2 = h'^2$；高、侧棱 $l$、底面中心到底面顶点的距离 $R'$ 满足 $h^2 + R'^2 = l^2$；斜高、侧棱、底边的一半满足 $h'^2 + \left(\dfrac{b}{2}\right)^2 = l^2$（$b$ 为底边长）。三个式子都是高垂直于底面、斜高垂直于底边得出的勾股定理。
• 圆锥 $l^2 = r^2 + h^2$；圆台 $l^2 = h^2 + (r - r')^2$。都来自轴截面里的直角三角形。
• 球的截面圆半径 $r = \sqrt{R^2 - d^2}$，见本节证明结论 3。外接球、截面问题几乎都要用它。

易错点

• 错在哪：认为“有两个面平行，其余各面都是平行四边形”就是棱柱。 为什么错：漏了“相邻侧面的公共边互相平行”这个条件，例 1 ① 就是反例。 正确做法：判断棱柱时三个条件逐条核对；做选择题时，脑子里备好“正方体上叠斜棱柱”这个反例。
• 错在哪：把任意平面截圆锥（或棱锥）剩下的部分都叫圆台（棱台）。 为什么错：台体要求截面平行于底面，这样侧棱或母线延长后才交于一点。 正确做法：判断台体，先检查上下底面是否平行，再检查侧棱延长是否交于一点。
• 错在哪：正四棱锥中把侧棱当成斜高用。 为什么错：斜高是侧面三角形底边上的高，侧棱是侧面三角形的腰，两者不相等。 正确做法：先画出高、斜高、侧棱所在的直角三角形，标清每条线段是什么，再列勾股定理。

直观理解

柱、锥、台可以看成一家人：

• 柱是底面沿着侧棱方向平移扫出来的，所以每个平行于底面的截面都和底面一模一样。
• 锥是底面上每一点和顶点连线组成的，截面越靠近顶点越小，最后缩成一个点。
• 台是锥切掉头部剩下的；上底面缩成一点就变成锥，上底面放大到和下底面一样就变成柱。

球最简单：到一个点距离等于 $R$ 的所有点。不管怎么切，切口都是圆，而球心、切口圆心和切口边上一点总是构成直角三角形。

关联知识点

• 前置：初中的相似三角形和勾股定理，台补成锥、轴截面计算都要用。
• 后续：第 19 章空间点、直线、平面的位置关系。本节证明里用到的面面平行性质、线面垂直的定义在那里系统学习。
• 后续：18.4 表面积、18.5 体积。正棱锥的斜高、圆锥的母线是算侧面积的关键量；截面面积比是推导锥体体积的关键。
• 常一起考：第 16 章解三角形。轴截面、截面里的边角计算常要用正弦定理、余弦定理。

18.3 斜二测画法

说明

立体图形要画在平面的纸上，需要一套统一的画法。高中用斜二测画法画水平放置的平面图形和空间几何体的直观图。

画水平放置的平面图形：

1. 在原图中取互相垂直的 $x$ 轴和 $y$ 轴，交于点 $O$。在直观图中画对应的 $x'$ 轴和 $y'$ 轴，交于点 $O'$，使 $\angle x'O'y' = 45^\circ$（或 $135^\circ$）。
2. 原图中平行于 $x$ 轴或 $y$ 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 $x'$ 轴或 $y'$ 轴的线段。
3. 平行于 $x$ 轴的线段，长度不变；平行于 $y$ 轴的线段，长度变为原来的一半。

口诀：横不变，竖减半，斜 45°。名字里的“斜”指 $y'$ 轴斜着画，“二测”指两个方向用两种比例。

画空间几何体：在上面的基础上加一条竖直的 $z'$ 轴，$z'$ 轴垂直于 $x'$ 轴。平行于 $z$ 轴的线段，长度和方向都不变。画完后擦去辅助线，被挡住的线画成虚线。

直观图保持什么、改变什么：

保持不变	会改变
平行关系：原图中平行的线段，直观图中仍平行	角度：原图中的直角一般不再是直角
点在线段上的位置：中点仍是中点	不平行于 $x$ 轴的线段的长度
平行于 $x$ 轴的线段的长度	图形的面积：变为原来的 $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

使用场景

• 按规则画平面图形的直观图，求直观图中线段的长度或图形的形状：先在原图里建坐标系，平行于坐标轴的线段按规则换算，其余线段由端点确定。
• 已知直观图，还原原图：把 $y'$ 轴方向的线段长度乘 2，$y'$ 轴改成和 $x$ 轴垂直。
• 已知原图面积求直观图面积，或反过来：用面积比 $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$。
• 画柱、锥、台等空间几何体的直观图：底面按平面图形画，高沿竖直方向画原长。

注意点

• 只有平行于 $y$ 轴的线段长度减半。平行于 $x$ 轴、$z$ 轴的线段长度不变；不平行于坐标轴的线段既不减半也不保持原长，要由两个端点的位置算出来。
• 建坐标系时尽量让多边形的边落在坐标轴上或平行于坐标轴，画起来最省事。
• 直观图中，平行于 $y'$ 轴的线段画成长度一半之后，它到 $x'$ 轴的距离不是一半，而是原长的 $\dfrac{1}{2} \sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{4}$ 倍。算直观图的高时要用这个距离。
• 还原时 $y$ 方向的长度要乘 2，并且把 $45^\circ$ 的角改回直角。
• 课标和现行人教 A 版教材在高中不再要求三视图，只要求斜二测画法；三视图放在初中“投影与视图”里学。家长当年在高中学过的三视图，现在不是高考要求。

证明

斜二测画法是一种画图约定，规则本身不需要证明；需要证明的是由规则推出的面积关系。

结论：直观图的面积是原图面积的 $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$。

先看原图中一个点 $P(x, y)$ 画到直观图中的哪里：从 $O'$ 沿 $x'$ 轴走 $x$，再沿 $y'$ 方向走 $\dfrac{y}{2}$。所以 $P'$ 到 $x'$ 轴的距离是

$$\frac{y}{2} \cdot \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{4} y.$$

也就是说：水平方向的长度不变，到 $x$ 轴的竖直距离变为原来的 $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$。

1. 先看一条边在 $x$ 轴上的三角形，底边长 $a$，高 $h$。直观图中底边仍是 $a$，第三个顶点到 $x'$ 轴的距离是 $\dfrac{\sqrt{2}}{4}h$，面积为 $\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{4}h = \dfrac{\sqrt{2}}{4} \cdot \dfrac{1}{2}ah$。
2. 一般的多边形：过每个顶点作平行于 $x$ 轴的直线，把多边形切成若干块，每块是有一条边平行于 $x$ 轴的三角形，或两底平行于 $x$ 轴的梯形。（关键一步：每一块的“底”是水平线段，长度不变；“高”是竖直距离，变为 $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ 倍。三角形和梯形的面积都是“底的式子乘高”，所以每一块的面积都变为 $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ 倍。）
3. 各块面积都乘同一个数，加起来，整个多边形的面积也变为 $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ 倍。

曲线围成的图形可以用多边形无限逼近，结论照样成立；严格说明要用极限，高中只要求多边形的情形。

例题

例 1　（场景：按规则画直观图并求长度）用斜二测画法画边长为 2 的正方形 $ABCD$ 的直观图 $A'B'C'D'$（$AB$ 在 $x$ 轴上，$AD$ 在 $y$ 轴上）。说出直观图的形状，求它的面积和较短的对角线 $B'D'$ 的长。

解：$AB$ 平行于 $x$ 轴，$A'B' = 2$；$AD$ 平行于 $y$ 轴，$A'D' = 1$，且 $\angle D'A'B' = 45^\circ$。对边仍平行，所以直观图是两边长分别为 2 和 1、夹角为 $45^\circ$ 的平行四边形。

面积：$A'B' \cdot A'D' \cdot \sin 45^\circ = 2 \times 1 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$。用面积比验证：$\dfrac{\sqrt{2}}{4} \times 4 = \sqrt{2}$，一致。

在 $\triangle A'B'D'$ 中用余弦定理（第 16 章）：

$$B'D'^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \times 2 \times 1 \times \cos 45^\circ = 5 - 2\sqrt{2},$$

所以 $B'D' = \sqrt{5 - 2\sqrt{2}}$。

容易卡在：以为对角线也“减半”成 $\sqrt{2}$。对角线不平行于坐标轴，长度只能由端点位置算。

例 2　（场景：由直观图还原原图）一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出的直观图是边长为 1 的正方形 $O'A'B'C'$，其中 $O'A'$ 在 $x'$ 轴上，对角线 $O'B'$ 在 $y'$ 轴上。求原图形的周长和面积。

解：$O'B'$ 是边长为 1 的正方形的对角线，长 $\sqrt{2}$，且在 $y'$ 轴上，所以原图中 $OB$ 在 $y$ 轴上，长 $2\sqrt{2}$。$O'A' = 1$ 在 $x'$ 轴上，所以 $OA = 1$ 在 $x$ 轴上。

直观图是平行四边形（正方形），原图也是平行四边形 $OABC$，其中 $OA = 1$，$OB = 2\sqrt{2}$ 且 $OA \perp OB$。

• 另一边 $AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{1 + 8} = 3$。
• 周长 $= 2 \times (1 + 3) = 8$。
• 面积 $= OA \cdot OB = 1 \times 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$。

验证：直观图面积 1，原图面积应为 $1 \div \dfrac{\sqrt{2}}{4} = 2\sqrt{2}$，一致。

容易卡在：以为原图也是正方形。$y'$ 轴方向的线段要乘 2 并转成竖直，图形形状会变。

例 3　（场景：面积换算）用斜二测画法画边长为 2 的正三角形 $ABC$ 的直观图（$AB$ 在 $x$ 轴上），求直观图的面积。

解：作 $AB$ 边上的高 $CD$，$D$ 是 $AB$ 中点，$CD = \sqrt{3}$。以 $D$ 为原点，$AB$ 为 $x$ 轴，$CD$ 为 $y$ 轴。

直观图中 $A'B' = 2$；$C'D'$ 在 $y'$ 轴上，长 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。$C'$ 到 $x'$ 轴的距离是

$$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{6}}{4}.$$

所以直观图面积为 $\dfrac{1}{2} \times 2 \times \dfrac{\sqrt{6}}{4} = \dfrac{\sqrt{6}}{4}$。

容易卡在：把 $C'D' = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 直接当作直观图的高。$C'D'$ 是斜的，真正的高是它的竖直分量。

另一种解法：直接用面积比。原图面积 $\dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \sqrt{3}$，直观图面积 $\dfrac{\sqrt{2}}{4} \times \sqrt{3} = \dfrac{\sqrt{6}}{4}$。只问面积时，面积比一步就出结果，适合选择题、填空题；题目要直观图里某条线段的长度或某个角时，还得像主解法那样逐点画出来。

例 4　（场景：画空间几何体的直观图）画一个长 4、宽 3、高 2 的长方体的直观图，并求直观图中底面 $ABCD$ 的面积。

解：步骤如下。

1. 画轴：画 $x'$ 轴、$y'$ 轴（与 $x'$ 轴成 $45^\circ$）和竖直的 $z'$ 轴。
2. 画底面：在 $x'$ 轴上取 $AB = 4$；在 $y'$ 轴上取 $AD = \dfrac{3}{2}$；过 $B$、$D$ 分别作 $y'$ 轴、$x'$ 轴的平行线，交于 $C$，得平行四边形 $ABCD$。
3. 画侧棱：过 $A$、$B$、$C$、$D$ 分别作 $z'$ 轴的平行线，各截取长 2，得 $A'$、$B'$、$C'$、$D'$。
4. 成图：顺次连接 $A'B'C'D'$，擦去辅助线，被挡住的棱 $AD$、$DC$、$DD'$ 改成虚线。

底面 $ABCD$ 的直观图是两边分别为 4 和 $\dfrac{3}{2}$、夹角 $45^\circ$ 的平行四边形，面积为 $4 \times \dfrac{3}{2} \times \sin 45^\circ = 3\sqrt{2}$。用面积比验证：$\dfrac{\sqrt{2}}{4} \times 12 = 3\sqrt{2}$。

常用推论

• 直观图面积 $= \dfrac{\sqrt{2}}{4} \times$ 原图面积；反过来，原图面积 $= 2\sqrt{2} \times$ 直观图面积。推导见本节“证明”。
• 原图中平行于 $y$ 轴、长为 $b$ 的线段，在直观图中长 $\dfrac{b}{2}$，到 $x'$ 轴的距离为 $\dfrac{\sqrt{2}}{4}b$。这是上面面积比的来源，算直观图的高时直接用。
• 直观图保持平行和中点：原图是平行四边形，直观图也是平行四边形；原图中的中点，直观图中仍是中点。因为斜二测画法把每条直线画成直线，平行于同一坐标轴的线段按同一比例伸缩。

易错点

• 错在哪：把所有线段的长度都减半。 为什么错：只有平行于 $y$ 轴的线段减半，平行于 $x$ 轴、$z$ 轴的线段长度不变，其他线段由端点决定。 正确做法：先判断每条线段平行于哪条轴，不平行于坐标轴的线段先找端点再连。
• 错在哪：由直观图还原原图时，把 $y'$ 方向的线段原样保留，或者直接把直观图面积乘 2。 为什么错：$y'$ 方向的长度是原来的一半，还原要乘 2；面积要乘 $2\sqrt{2}$，不是 2。 正确做法：还原时按”$y$ 方向乘 2、斜角改直角“逐点画；只求面积时乘 $2\sqrt{2}$。
• 错在哪：认为原图中的直角在直观图中还是直角，例如把正方形的直观图当成矩形。 为什么错：$x'$ 轴和 $y'$ 轴夹角是 $45^\circ$，原来的直角变成了 $45^\circ$ 或 $135^\circ$。 正确做法：只有平行关系可以直接照搬，角度要重新看。

直观理解

斜二测画法相当于站在斜前上方看一个平放在桌上的图形：左右方向看起来不变，前后方向（深度）看起来被压扁了一半，并且歪向右上方。本书的多面体立体图都是用这个规则画的（深度方向斜 $45^\circ$、长度减半），读者可以拿书里的长方体图量一量；圆柱、圆锥、球上的水平圆按习惯画成左右放平的椭圆。

面积比 $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ 好记的办法：$y$ 方向先减半（乘 $\dfrac{1}{2}$），再斜放成 $45^\circ$（竖直方向只剩 $\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$），两个数相乘。

关联知识点

• 前置：18.2 结构特征。画直观图之前要知道几何体的底面、侧棱、顶点在哪里。
• 常一起考：第 16 章解三角形。直观图中不平行于坐标轴的线段，常用余弦定理求长度（例 1）。
• 后续：第 19 章空间位置关系。画平面、画两平面相交，都沿用“被挡住的线画虚线”的约定。
• 后续：第 26 章空间直角坐标系。画空间坐标系也是把 $x$ 轴斜着画、其余两轴互相垂直，思路和斜二测画法一样。

18.4 表面积

说明

表面积：几何体所有面的面积之和。多面体的表面积就是把各个面的面积加起来；旋转体的侧面是曲面，要沿一条母线剪开，展开成平面图形再求面积。

几何体	侧面展开图	侧面积	表面积
圆柱（底面半径 $r$，母线 $l$）	矩形，长 $2\pi r$，宽 $l$	$2\pi rl$	$2\pi r(r + l)$
圆锥（底面半径 $r$，母线 $l$）	扇形，半径 $l$，弧长 $2\pi r$	$\pi rl$	$\pi r(r + l)$
圆台（上下底半径 $r'$、$r$，母线 $l$）	扇环	$\pi(r' + r)l$	$\pi(r'^2 + r^2 + r'l + rl)$
球（半径 $R$）	不能展开	—	$4\pi R^2$

多面体的侧面积（$c$、$c'$ 为底面周长，$h'$ 为斜高）：

• 直棱柱：$S_{\text{侧}} = ch$，$h$ 为侧棱长（等于高）。
• 正棱锥：$S_{\text{侧}} = \dfrac{1}{2}ch'$。
• 正棱台：$S_{\text{侧}} = \dfrac{1}{2}(c + c')h'$。

表面积 = 侧面积 + 底面积。柱和台有两个底面，锥只有一个。

使用场景

• 求多面体的表面积：逐个面算面积再相加；正棱锥、正棱台先求斜高。
• 求圆柱、圆锥、圆台的表面积：先求母线，再代公式，别漏底面。
• 沿几何体表面走的最短路线、侧面展开图的圆心角：把侧面展开成平面图形，两点之间线段最短。
• 球的表面积，特别是外接球：先求出球的半径，题目常给一个内接的长方体或正方体。
• 组合体（拼接或挖去一部分）的表面积：逐个列出最后露在外面的面，挖去会多出新面，拼接会少掉重合面。

注意点

• 圆锥、圆台的侧面积用母线 $l$，不是高 $h$。已知高时，先用 $l^2 = r^2 + h^2$ 或 $l^2 = h^2 + (r - r')^2$ 求母线。
• 正棱锥的侧面积用斜高，不是侧棱，也不是棱锥的高。
• 侧面展开图中扇形的圆心角 $\theta = \dfrac{2\pi r}{l}$（弧度），它一定小于 $2\pi$，因为 $r < l$。
• 问“侧面积”就不加底面；问“表面积”或“全面积”要加底面。
• 球面不能展开成平面，球的表面积只能用公式 $4\pi R^2$。

证明

结论 1：圆柱的侧面积 $S = 2\pi rl$。

沿一条母线剪开，侧面展开成矩形：一边是母线 $l$，另一边是底面圆的周长 $2\pi r$。面积为 $2\pi rl$。

结论 2：圆锥的侧面积 $S = \pi rl$。

沿一条母线剪开，侧面展开成扇形：半径是母线 $l$，弧长是底面圆的周长 $2\pi r$。由扇形面积公式 $S = \dfrac{1}{2} \times \text{弧长} \times \text{半径}$（第 11 章），

$$S = \frac{1}{2} \cdot 2\pi r \cdot l = \pi rl.$$

（关键一步：展开时扇形的弧就是原来的底面圆周，长度不变，所以弧长等于 $2\pi r$。）

结论 3：圆台的侧面积 $S = \pi(r' + r)l$。

把圆台补成圆锥，设截去的小圆锥母线长为 $x$，则大圆锥母线长为 $x + l$。由相似（18.2 例 3 的做法），

$$\frac{x}{x + l} = \frac{r'}{r}, \quad \text{即} \quad (r - r')x = r'l.$$

圆台侧面积 = 大圆锥侧面积 − 小圆锥侧面积：

$$S = \pi r(x + l) - \pi r' x = \pi rl + \pi(r - r')x = \pi rl + \pi r'l = \pi(r' + r)l.$$

（关键一步：用 $(r - r')x = r'l$ 把未知的 $x$ 消掉。）

结论 4：正棱锥的侧面积 $S = \dfrac{1}{2}ch'$。

设底面是边长为 $b$ 的正 $n$ 边形，每个侧面是底为 $b$、高为斜高 $h'$ 的等腰三角形，$n$ 个侧面面积之和为 $n \cdot \dfrac{1}{2}bh' = \dfrac{1}{2}(nb)h' = \dfrac{1}{2}ch'$。正棱台的侧面是 $n$ 个全等的等腰梯形，同理得 $\dfrac{1}{2}(c + c')h'$。

结论 5：球的表面积 $S = 4\pi R^2$。

课本直接给出这个公式，不加证明，再用“把球分成许多小锥体”的办法由表面积推出体积公式。本书反过来讲，见 18.5 节证明结论 5：先用祖暅原理得到球的体积，再把球看成很多以球心为顶点的“小锥体”，由体积反推出表面积。严格的证明要用大学微积分里的曲面面积公式。

例题

例 1　（场景：多面体的表面积）正四棱锥 $P$-$ABCD$ 的底面边长为 6，高为 4。求它的侧面积和表面积。

解：设底面中心为 $O$，$E$ 为 $AB$ 中点，则 $PO = 4$，$OE = 3$，$PE$ 是斜高。

在直角三角形 $POE$ 中，$PE = \sqrt{PO^2 + OE^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$。

• 侧面积 $= 4 \times \dfrac{1}{2} \times 6 \times 5 = 60$。
• 底面积 $= 6^2 = 36$。
• 表面积 $= 60 + 36 = 96$。

容易卡在：误用侧棱。侧棱 $PA = \sqrt{PO^2 + OA^2} = \sqrt{16 + 18} = \sqrt{34}$，它不是侧面三角形的高。

例 2　（场景：旋转体的表面积）圆台的上、下底面半径分别为 1 和 4，高为 4。求它的侧面积和表面积。

解：轴截面是等腰梯形，从上底端点向下底作垂线，得到直角边为 $h = 4$ 和 $r - r' = 3$ 的直角三角形，母线

$$l = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5.$$

• 侧面积 $= \pi(1 + 4) \times 5 = 25\pi$。
• 两个底面面积 $= \pi \times 1^2 + \pi \times 4^2 = 17\pi$。
• 表面积 $= 25\pi + 17\pi = 42\pi$。

例 3　（场景：展开图求最短路线）圆锥的底面半径为 1，母线 $SA$ 长为 3。一只蚂蚁从底面圆周上的点 $A$ 出发，沿圆锥侧面爬一周回到 $A$，求最短路程。

解：沿母线 $SA$ 把侧面剪开，展开成扇形 $SAA'$，$A$ 和 $A'$ 都对应原来的点 $A$。扇形半径为 3，弧长为 $2\pi \times 1 = 2\pi$，圆心角

$$\theta = \frac{2\pi}{3},$$

即 $120^\circ$。

最短路线是展开图中的线段 $AA'$。在 $\triangle SAA'$ 中用余弦定理：

$$AA'^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \times 3 \times 3 \times \cos 120^\circ = 18 + 9 = 27,$$

所以最短路程为 $3\sqrt{3}$。

容易卡在：直接在立体图上找路线。曲面上的最短路线要展开后才看得出来。

例 4　（场景：球的表面积与外接球）一个长方体的长、宽、高分别为 2、2、1，它的 8 个顶点都在同一个球面上。求这个球的表面积。

解：长方体的体对角线是外接球的直径（推导见本节“常用推论”）。

$$2R = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = 3, \quad R = \frac{3}{2}.$$

球的表面积 $S = 4\pi R^2 = 4\pi \times \dfrac{9}{4} = 9\pi$。

例 5　（场景：组合体的表面积）一个圆柱的底面半径为 3，高为 4。从它的上底面挖去一个与圆柱同底等高的圆锥，求剩下几何体的表面积。

解：列出最后露在外面的面：

• 圆柱的侧面：$2\pi \times 3 \times 4 = 24\pi$；
• 圆柱的下底面：$\pi \times 3^2 = 9\pi$；
• 挖出来的圆锥形内壁，即圆锥的侧面：母线 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$，面积 $\pi \times 3 \times 5 = 15\pi$。

圆柱的上底面整个被挖掉了，不算。表面积为 $24\pi + 9\pi + 15\pi = 48\pi$。

容易卡在：仍把上底面 $9\pi$ 算进去，或者漏了圆锥的内壁。

常用推论

• 圆锥侧面展开图的圆心角 $\theta = \dfrac{2\pi r}{l}$（弧度），即 $\dfrac{r}{l} \times 360^\circ$。推导：扇形弧长 $\theta l$ 等于底面周长 $2\pi r$。
• 长方体（长、宽、高为 $a$、$b$、$c$）的外接球：$2R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$。推导：长方体中心到 8 个顶点距离相等，是球心；体对角线过中心，所以是直径。
• 棱长为 $a$ 的正方体：外接球半径 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$（体对角线的一半），内切球半径 $\dfrac{a}{2}$（球与六个面相切，直径等于棱长），与 12 条棱都相切的球半径 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}a$（面对角线的一半）。
• 三条棱两两垂直的三棱锥（“墙角”），可以补成长方体，外接球与这个长方体的外接球相同，仍有 $2R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$。
• 球的表面积等于它的外切圆柱（底面直径和高都等于 $2R$）的侧面积：$2\pi R \times 2R = 4\pi R^2$。这是阿基米德发现的，用来记公式很方便。

易错点

• 错在哪：圆锥侧面积写成 $\pi rh$。 为什么错：展开后扇形的半径是母线 $l$，不是高 $h$。 正确做法：先求母线 $l = \sqrt{r^2 + h^2}$，再算 $\pi rl$。
• 错在哪：求表面积时漏掉底面，特别是圆台的两个底面。 为什么错：表面积是所有面的面积之和，侧面积只是其中一部分。 正确做法：算完侧面积后，问一句“有几个底面”，柱和台两个，锥一个。
• 错在哪：组合体按“原来各部分表面积相加”计算。 为什么错：拼接时重合的面埋在里面，不再是表面；挖去时会多出新的内壁。 正确做法：画出组合体，逐个列出最后露在外面的面再相加（例 5）。

直观理解

表面积就是“包装纸”的面积：把几何体的表面剪开、摊平，量摊开后的平面图形。圆柱的包装纸是一张矩形，圆锥的是一把扇子，圆台的是扇子去掉扇柄。

圆台公式 $\pi(r' + r)l$ 把三种旋转体统一了起来：令 $r' = r$ 得圆柱 $2\pi rl$；令 $r' = 0$ 得圆锥 $\pi rl$。记住圆台一个公式，另两个都能推出来。

关联知识点

• 前置：第 11 章扇形的弧长和面积，圆锥、圆台侧面积的推导要用。
• 前置：18.2 结构特征。正棱锥的斜高、圆锥的母线、长方体的体对角线都从那里来。
• 常一起考：18.5 体积。同一道题常先求表面积、再求体积，外接球题两者都要。
• 常一起考：第 16 章解三角形。展开图上求最短路线常用余弦定理（例 3）。

18.5 体积

说明

几何体	体积公式	说明
柱体（棱柱、圆柱）	$V = Sh$	$S$ 为底面积，$h$ 为高；圆柱 $V = \pi r^2 h$
锥体（棱锥、圆锥）	$V = \dfrac{1}{3}Sh$	圆锥 $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$
台体（棱台、圆台）	$V = \dfrac{1}{3}h(S' + \sqrt{S'S} + S)$	$S'$、$S$ 为上、下底面积；圆台 $V = \dfrac{1}{3}\pi h(r'^2 + r'r + r^2)$
球	$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$	$R$ 为半径

这里的高是两底面之间（或顶点到底面）的距离，是垂线段的长，不是侧棱或母线。

祖暅原理：“幂势既同，则积不容异。“用现在的话说：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。

这条原理由南北朝时期的祖暅（祖冲之之子）提出，西方在 17 世纪由意大利数学家卡瓦列里独立提出，称为卡瓦列里原理。上面柱、锥、球的体积公式都可以由它推出来。

两种常用的求体积技巧：

• 等体积法（换底）：三棱锥的四个面都可以当底面，换一个底面和高好求的面来算体积；反过来，已知体积和某个面的面积，可以求对应的高，即点到平面的距离。
• 割补法：不规则的几何体，切成几块规则的，或者补成一个规则的再减去多出来的部分。

使用场景

• 已知柱、锥、台的尺寸，直接求体积：认清是哪种几何体，找底面积和高。
• 三棱锥的体积不好直接求，或者要求点到平面的距离：换一个面当底面，用等体积法。
• 不规则几何体的体积：割成规则几何体，或补成正方体、长方体再减去多余部分。
• 球的体积，特别是外接球、内切球：先定球心、求半径，再代公式。
• 题目给出几何体各个平行截面的面积：用祖暅原理，找一个截面面积处处相同、体积会算的几何体。

注意点

• 锥体体积有 $\dfrac{1}{3}$，柱体没有；台体公式里是 $\sqrt{S'S}$，不是 $S'S$。
• 高一定是垂直距离。斜棱柱的高不是侧棱长，圆锥的高不是母线长。
• 用等体积法时，换成的底面和高都要能求出来；在三棱锥中，“顶点”和“底面”可以任意交换。
• 祖暅原理有两个条件：两个几何体夹在同一对平行平面之间，并且每一个平行截面的面积都相等。只有某一个截面相等推不出体积相等。
• 课标对柱、锥、台、球的表面积和体积公式只要求“知道”并“能用公式解决简单的实际问题”，不要求会证明。下面的证明供理解，帮助记住公式为什么长这样。

证明

结论 1：柱体体积 $V = Sh$。

长方体体积 $V = abc = Sh$ 是初中就承认的事实。对任意柱体，取一个底面积也是 $S$、高也是 $h$ 的长方体，把两者放在同一对平行平面之间。用平行于底面的平面去截，柱体的截面与底面全等（柱体由底面平移扫出），面积是 $S$；长方体的截面面积也是 $S$。（关键一步：每一个平行截面面积都相等，满足祖暅原理的条件。）所以两者体积相等，$V = Sh$。

结论 2：锥体体积 $V = \dfrac{1}{3}Sh$。

分三步。

1. 底面积相等、高相等的两个锥体，体积相等。 把它们放在同一对平行平面之间，在距顶点 $x$ 处截，由 18.2 证明结论 2，两个截面面积都是 $S\left(\dfrac{x}{h}\right)^2$，处处相等。由祖暅原理，体积相等。

2. 三棱柱可以分成三个体积相等的三棱锥。 设三棱柱 $ABC$-$A_1B_1C_1$ 的底面积为 $S$，高为 $h$。用平面 $A_1BC$ 和平面 $A_1B_1C$ 把它切成三个三棱锥：

   • ① $A_1$-$ABC$：底面 $ABC$，高 $h$；
   • ② $A_1$-$BCB_1$；
   • ③ $A_1$-$CB_1C_1$，也就是 $C$-$A_1B_1C_1$：底面 $A_1B_1C_1$，高 $h$。

   ① 和 ③ 底面全等、高相等，体积相等。② 和 ③ 都以 $A_1$ 为顶点，底面 $\triangle BCB_1$ 和 $\triangle CB_1C_1$ 是平行四边形 $BCC_1B_1$ 被对角线 $B_1C$ 分成的两半，面积相等，高都是 $A_1$ 到平面 $BCC_1B_1$ 的距离，所以体积也相等。（关键一步：三棱锥的顶点和底面可以互换，③ 既能看成以 $C$ 为顶点，也能看成以 $A_1$ 为顶点，正是它把 ① 和 ② 连了起来。）

   三个体积相等，合起来是三棱柱，所以每个都是 $\dfrac{1}{3}Sh$。

3. 任意锥体：取一个底面积为 $S$、高为 $h$ 的三棱锥，由第 1 步，体积与原锥体相等，都是 $\dfrac{1}{3}Sh$。

结论 3：台体体积 $V = \dfrac{1}{3}h(S' + \sqrt{S'S} + S)$。

把台体补成锥体，设截去的小锥体高为 $x$，大锥体高为 $x + h$。由截面面积比（18.2 证明结论 2），

$$\frac{\sqrt{S'}}{\sqrt{S}} = \frac{x}{x + h}, \quad \text{解得} \quad x = \frac{\sqrt{S'}\,h}{\sqrt{S} - \sqrt{S'}}.$$

台体体积 = 大锥 − 小锥：

$$V = \frac{1}{3}S(x + h) - \frac{1}{3}S'x = \frac{1}{3}\left[Sh + (S - S')x\right].$$

（关键一步：$S - S' = (\sqrt{S} - \sqrt{S'})(\sqrt{S} + \sqrt{S'})$，正好和 $x$ 的分母约掉。）于是 $(S - S')x = (\sqrt{S} + \sqrt{S'})\sqrt{S'}\,h = (\sqrt{SS'} + S')h$，

$$V = \frac{1}{3}h(S + \sqrt{SS'} + S').$$

结论 4：球的体积 $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$（高中层面的说明）。

用祖暅原理比较两个几何体：

• 甲：半径为 $R$ 的半球，底面朝下；
• 乙：底面半径为 $R$、高为 $R$ 的圆柱，挖去一个倒立的圆锥，圆锥的底面是圆柱的上底面，顶点是圆柱下底面的圆心。

把它们放在同一对平行平面之间（下底面在同一平面上），在高度 $h$（$0 \le h \le R$）处截：

• 甲的截面是圆，半径 $\sqrt{R^2 - h^2}$（18.2 证明结论 3），面积 $\pi(R^2 - h^2)$；
• 乙的截面是圆环，外半径 $R$，内半径是倒立圆锥在高度 $h$ 处的截面半径。圆锥高 $R$、底面半径 $R$，所以在高度 $h$ 处截面半径恰好是 $h$（关键一步：这正是选“高等于半径”的圆锥的原因）。圆环面积 $\pi R^2 - \pi h^2 = \pi(R^2 - h^2)$。

两个截面面积处处相等，由祖暅原理，

$$V_{\text{半球}} = \pi R^2 \cdot R - \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot R = \frac{2}{3}\pi R^3,$$

所以 $V_{\text{球}} = \dfrac{4}{3}\pi R^3$。

结论 5：球的表面积 $S = 4\pi R^2$（高中层面的说明）。

把球面分成 $n$ 个很小的块，每块面积为 $S_i$。每一块和球心连起来，近似是一个以球心为顶点、以这一小块为底面的“小锥体”，高近似等于 $R$。把这些小锥体的体积加起来就是球的体积：

$$\frac{4}{3}\pi R^3 \approx \frac{1}{3}S_1R + \frac{1}{3}S_2R + \cdots + \frac{1}{3}S_nR = \frac{1}{3}R \cdot S.$$

分得越细越精确，取极限后等号成立，得 $S = 4\pi R^2$。

严格证明要用到什么：祖暅原理本身在高中是作为基本事实承认的，它的严格证明要用大学微积分的定积分（体积等于截面面积的积分）；“分得越细越精确”要用极限，曲面面积要用曲面积分。

例题

例 1　（场景：直接用公式）正四棱台的上、下底面边长分别为 2 和 4，高为 3，求它的体积。

解：$S' = 2^2 = 4$，$S = 4^2 = 16$，$\sqrt{S'S} = 8$。

$$V = \frac{1}{3} \times 3 \times (4 + 8 + 16) = 28.$$

另一种解法：补成正四棱锥。设截去的小棱锥高为 $x$，由相似，$\dfrac{x}{x + 3} = \dfrac{2}{4}$，得 $x = 3$，大棱锥高为 6。

$$V = \frac{1}{3} \times 16 \times 6 - \frac{1}{3} \times 4 \times 3 = 32 - 4 = 28.$$

记得台体公式时直接代公式最快；忘了公式，或者题目还要问顶点、侧棱延长线的有关量时，补成锥体更自然，而且补锥本身就是台体公式的推导过程。

例 2　（场景：等体积法求点到平面的距离）正方体 $ABCD$-$A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 2，求点 $A$ 到平面 $A_1BD$ 的距离。

解：设所求距离为 $d$。三棱锥 $A_1$-$ABD$ 也可以看成 $A$-$A_1BD$，用两种方式算体积。

以 $\triangle ABD$ 为底面、$AA_1$ 为高：

$$V = \frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2} \times 2 \times 2\right) \times 2 = \frac{4}{3}.$$

以 $\triangle A_1BD$ 为底面：$A_1B = BD = A_1D = 2\sqrt{2}$（都是正方形的对角线），$\triangle A_1BD$ 是正三角形，面积 $\dfrac{\sqrt{3}}{4} \times (2\sqrt{2})^2 = 2\sqrt{3}$。

$$\frac{1}{3} \times 2\sqrt{3} \times d = \frac{4}{3}, \quad d = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}.$$

容易卡在：想直接找垂足。垂足不好找时，等体积法只需要算两个面积。

另一种解法：体对角线 $AC_1$ 垂直于平面 $A_1BD$，并且被平面 $A_1BD$ 和平面 $B_1CD_1$ 三等分（第 19 章用线面垂直可以证明，第 27 章用向量验证更快）。所以 $d = \dfrac{1}{3}AC_1 = \dfrac{1}{3} \times 2\sqrt{3} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$。这个结论只适用于正方体里的这种位置，选择题、填空题里能省下不少时间；换成一般的三棱锥，还是等体积法通用。

例 3　（场景：割补法）正方体 $ABCD$-$A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 2，求四面体 $AB_1CD_1$ 的体积。

解：四面体 $AB_1CD_1$ 的六条棱都是正方体的面对角线，长 $2\sqrt{2}$，直接找高比较麻烦。把正方体切去四个角：三棱锥 $B$-$AB_1C$、$D$-$ACD_1$、$A_1$-$AB_1D_1$、$C_1$-$B_1CD_1$，剩下的就是四面体 $AB_1CD_1$。

每个角都是三条棱两两垂直、长都为 2 的三棱锥，体积为

$$\frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2} \times 2 \times 2\right) \times 2 = \frac{4}{3}.$$

所以四面体的体积为 $2^3 - 4 \times \dfrac{4}{3} = 8 - \dfrac{16}{3} = \dfrac{8}{3}$。

例 4　（场景：球的体积与外接球）求棱长为 $2\sqrt{2}$ 的正四面体的外接球的体积和表面积。

解：由例 3，棱长为 $2\sqrt{2}$ 的正四面体可以放进棱长为 2 的正方体里，四个顶点都是正方体的顶点。所以它的外接球就是正方体的外接球，直径是正方体的体对角线：

$$2R = 2\sqrt{3}, \quad R = \sqrt{3}.$$ $$V = \frac{4}{3}\pi (\sqrt{3})^3 = 4\sqrt{3}\pi, \quad S = 4\pi \times 3 = 12\pi.$$

容易卡在：直接在正四面体里找球心。正四面体、“墙角”三棱锥这类图形，补成正方体或长方体后球心就是体对角线的中点。

例 5　（场景：用祖暅原理求体积）一个几何体夹在相距为 3 的两个平行平面之间。用平行于这两个平面、与下面那个平面距离为 $x$（$0 \le x \le 3$）的平面去截它，截面都是边长为 $3 - x$ 的正方形。求这个几何体的体积。

解：找一个截面相同的熟悉几何体：底面边长为 3、高为 3 的正四棱锥，底面放在下面的平面上。在距底面 $x$ 处截，截面到顶点的距离是 $3 - x$，由 18.2 证明结论 2，截面是边长为 $3 \times \dfrac{3 - x}{3} = 3 - x$ 的正方形。

两个几何体夹在同一对平行平面之间，每个平行截面的面积都是 $(3 - x)^2$。由祖暅原理，体积相等：

$$V = \frac{1}{3} \times 3^2 \times 3 = 9.$$

容易卡在：不知道从哪里下手。看到“每个截面面积都是……”，就去找截面相同、体积会算的几何体。

常用推论

• 等底面积、等高的锥体体积是柱体的 $\dfrac{1}{3}$。见本节证明结论 2。
• 柱、锥、台公式是统一的：在台体公式中令 $S' = S$ 得柱体 $Sh$，令 $S' = 0$ 得锥体 $\dfrac{1}{3}Sh$。
• 锥体被平行于底面的平面截得的小锥体，与原锥体的体积比等于相似比的立方。见 18.2”常用推论”。
• 点到平面的距离 $d = \dfrac{3V}{S}$：$V$ 是以该点为顶点、以平面内某个三角形为底面的三棱锥的体积，$S$ 是这个三角形的面积。这是等体积法的公式形式。
• 棱长为 $a$ 的正四面体：体积 $\dfrac{\sqrt{2}}{12}a^3$，外接球半径 $\dfrac{\sqrt{6}}{4}a$，内切球半径 $\dfrac{\sqrt{6}}{12}a$。推导：放进棱长为 $\dfrac{a}{\sqrt{2}}$ 的正方体，体积是正方体的 $\dfrac{1}{3}$（例 3 的割法：$1 - 4 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}$），外接球是正方体的外接球；内切球半径用下一条，等于外接球半径的 $\dfrac{1}{3}$。
• 多面体有内切球时，内切球半径 $r = \dfrac{3V}{S_{\text{表}}}$。推导：以球心为顶点，把多面体分成以各个面为底面、高都是 $r$ 的棱锥，$V = \dfrac{1}{3}S_{\text{表}}r$。
• 圆柱的底面直径和高都等于 $2R$ 时，它的内切球与它的体积比、表面积比都是 $2 : 3$：$\dfrac{4}{3}\pi R^3 : 2\pi R^3$，$4\pi R^2 : 6\pi R^2$。

易错点

• 错在哪：锥体体积忘了乘 $\dfrac{1}{3}$。 为什么错：锥体是同底等高柱体的三分之一，不乘就多算了两倍。 正确做法：写公式时先看是柱还是锥；算完用“锥体应比外接的柱体小得多”粗查一下。
• 错在哪：台体体积用母线或侧棱当高，或者把 $\sqrt{S'S}$ 写成 $S'S$。 为什么错：公式里的 $h$ 是两底面之间的距离；中间那一项来自 $\sqrt{S}$ 与 $\sqrt{S'}$ 的乘积，量纲是面积，$S'S$ 的量纲是面积的平方。 正确做法：先用轴截面或高、斜高所在的直角三角形求出真正的高；记不清公式就补成锥体相减。
• 错在哪：把球的体积和表面积公式记混，或者把直径当半径代入。 为什么错：体积是 $\dfrac{4}{3}\pi R^3$（三次方），表面积是 $4\pi R^2$（二次方）。 正确做法：用量纲记：体积三次、面积二次；再用 $V = \dfrac{1}{3}SR$ 互相检查。
• 错在哪：只看到某一个截面面积相等，就说两个几何体体积相等。 为什么错：祖暅原理要求每一个平行截面的面积都相等。 正确做法：用祖暅原理时，写出任意高度 $x$ 处两个截面的面积表达式，确认它们恒等。

直观理解

祖暅原理的生活版本：一摞硬币，把它推斜，或者扭成弯曲的样子，总体积不变，因为每一层硬币都没变。体积只和“每一层有多大”有关，和各层怎么错开无关。

锥体的 $\dfrac{1}{3}$ 可以做实验验证：用等底等高的圆锥形杯子装满沙子倒进圆柱形杯子，正好倒三次装满。证明里的三棱柱切成三个三棱锥，是这个实验的几何版本。

球的体积可以记成“半球 = 圆柱 − 圆锥”：$\pi R^3 - \dfrac{1}{3}\pi R^3 = \dfrac{2}{3}\pi R^3$。表面积和体积之间有 $V = \dfrac{1}{3}SR$，把球看成以球心为顶点的“锥体”，底面是整个球面，高是 $R$。

关联知识点

• 前置：18.2 结构特征。锥体平行截面的面积比是推导锥体、台体体积的基础。
• 常一起考：18.4 表面积。外接球、内切球题常同时问表面积和体积。
• 后续：第 19 章空间位置关系。体积公式里的“高”是垂线段，找高要用线面垂直；例 2 另一种解法里的垂直关系在那里证明。
• 后续：第 25 章导数的应用。“球内接圆柱的体积最大是多少”这类最值问题，先用本节公式列出体积函数，再用导数求最值。
• 后续：第 27 章用空间向量解立体几何。点到平面的距离也可以用法向量求，和等体积法互相验证。

18.6 知识点之间的关系

本章四个知识点是一条线：先认清几何体（18.2），才能把它画出来（18.3），才能算表面积（18.4）和体积（18.5）。表面积靠“展开”，把曲面变成平面；体积靠“切片”，祖暅原理把体积问题变成截面面积问题。两条路在球上汇合：球的体积由祖暅原理得到，球的表面积又由体积反推出来。

考试里的典型组合是外接球：先由结构特征找球心（长方体、正方体的中心，或者补形后的中心），再用球的截面关系 $r = \sqrt{R^2 - d^2}$ 求半径，最后代表面积或体积公式。另一个常见组合是等体积法：第 19 章、第 27 章求点到平面的距离时，它是不用找垂足的办法。

18.7 自测

1. 判断：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥。
2. 球的半径为 5，一个截面到球心的距离为 3，求截面圆的面积。
3. 一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出的直观图是边长为 2 的正方形，求原图形的面积。
4. 水平放置的 $\triangle ABC$ 的直观图中，$A'B'$ 在 $x'$ 轴上，长 4，$C'$ 到 $x'$ 轴的距离为 $\sqrt{2}$。求原三角形的面积。
5. 圆锥的底面半径为 2，母线长为 6，求它的侧面展开图的圆心角和表面积。
6. 正方体的外接球表面积为 $12\pi$，求正方体的棱长。
7. 圆台上、下底面半径分别为 1 和 2，高为 3，求它的体积。
8. 三棱锥 $P$-$ABC$ 中，$PA$、$PB$、$PC$ 两两垂直，长分别为 1、2、3，求它的体积。

答案：1. 错；2. $16\pi$；3. $8\sqrt{2}$；4. 8；5. $120^\circ$（即 $\dfrac{2\pi}{3}$），$16\pi$；6. 2；7. $7\pi$；8. 1。

18.8 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，有按人教版章节排列的高中数学同步课程，立体几何初步一章有课堂实录和教材电子版。
• GeoGebra 3D 计算器：在线画柱、锥、台、球，可以拖动旋转视角、作截面，看清被挡住的棱和截面形状。
• Wikipedia · Cavalieri’s principle：卡瓦列里原理（即祖暅原理）的英文条目，有用它推导球体积的图示，也介绍了祖暅的工作。
• Wolfram MathWorld · Sphere：球的表面积、体积公式和相关术语的英文说明，查英文说法时用。