第 27 章 · 用空间向量解立体几何

项目	内容
课标主题	选择性必修 · 几何与代数 · 空间向量与立体几何
人教 A 版	选择性必修第一册 第一章 1.4 空间向量的应用（1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系，1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题）
考试地位	必考。立体几何解答题的第二问几乎总是建系用向量求角（线面角、两平面的夹角最常见），有时求点到平面的距离或探索动点的位置；第一问的平行、垂直也可以用向量证
前置知识	第 19 章空间点、直线、平面的位置关系（平行、垂直的判定定理，三种空间角的定义）；第 26 章空间向量的坐标运算和数量积

这一章把立体几何“算”出来：建好坐标系，写出点的坐标，平行、垂直、角、距离都变成向量的数量积。好处是不用找辅助线，坏处是一步算错全题皆错。丢分集中在四处：坐标写错（尤其是不在棱上的点）、法向量算错、线面角把 sin 写成 cos、二面角不判断锐钝就直接作答。

27.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
27.2 直线的方向向量和平面的法向量	方向向量沿直线，法向量垂直于平面；法向量由“与平面内两个不共线向量的数量积都为 0”解出	必考，所有向量法的第一步
27.3 用向量证明平行和垂直	平行看向量共线，垂直看数量积为 0；线面平行看方向向量与法向量垂直	常考，解答题第一问，或探索点的位置
27.4 用向量求空间角	夹角的余弦取绝对值；线面角的正弦等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值；二面角要判断锐钝	必考，解答题第二问
27.5 用向量求距离	点到平面的距离 $d = \dfrac{\lvert\overrightarrow{AP} \cdot \boldsymbol{n}\rvert}{\lvert\boldsymbol{n}\rvert}$；线面、面面距离都化成点到平面的距离	常考，解答题某一问或小题

27.2 直线的方向向量和平面的法向量

说明

直线的方向向量：直线 $l$ 上的非零向量 $\boldsymbol{u}$，以及与它共线的非零向量，都叫 $l$ 的方向向量。$A$、$B$ 是 $l$ 上两点时，$\overrightarrow{AB}$ 就是一个方向向量。一条直线有无数个方向向量，它们互相共线。

平面的法向量：直线 $l \perp$ 平面 $\alpha$ 时，$l$ 的方向向量叫 $\alpha$ 的法向量。一个平面有无数个法向量，它们互相共线。

用法向量确定平面：过点 $A$、以 $\boldsymbol{n}$ 为法向量的平面是唯一的，它就是满足

$$\overrightarrow{AP} \cdot \boldsymbol{n} = 0$$

的所有点 $P$ 组成的集合。这叫平面的向量表示。

求法向量的步骤（待定系数法）：

1. 设 $\boldsymbol{n} = (x, y, z)$。
2. 在平面内找两个不共线的向量 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$，通常用平面内三个已知点的坐标相减。
3. 列方程组 $\begin{cases} \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{a} = 0, \\ \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{b} = 0. \end{cases}$
4. 两个方程三个未知数，有无数组解。给一个未知数取一个方便的值（让结果是整数），解出另外两个。
5. 把 $\boldsymbol{n}$ 代回两个方程检验。

建立空间直角坐标系：找三条两两垂直、交于一点的直线作坐标轴，交点作原点。常见的有：

图形	原点和坐标轴
正方体、长方体	一个顶点，三条棱
侧棱垂直于底面的锥体，底面有直角	直角顶点（垂足），两条底边和侧棱
侧面垂直于底面，侧面是等腰三角形	侧面底边的中点（垂足），底边、底面上的垂线和侧面的高

使用场景

• 建好坐标系后写点的坐标和直线的方向向量：题目要用向量法，第一步总是这个。
• 已知平面内三点，求平面的法向量：求线面角、二面角、点到平面距离之前都要做。
• 平面是坐标平面，或者图里已有一条直线垂直于这个平面：法向量直接写出来，不用解方程。
• 图形里没有现成的三条两两垂直的棱：题目给了“面面垂直”“侧面是正三角形”之类条件，要先作出垂线再建系。

注意点

• 建系前要证明三条轴两两垂直（至少要写出依据），这是解答题的得分点。“$PA \perp$ 底面，$AB \perp AD$“写清楚才能建系。
• 法向量不能是零向量。解方程时给一个未知数取值，要选一个不会让其他未知数全为 0 的；比如解出 $x = z$、$y = 0$ 时，令 $y = 1$ 就错了，要令 $x = 1$。
• 法向量只要方向对，长度无所谓；$(1, 1, 1)$ 和 $(2, 2, 2)$、$(-1, -1, -1)$ 都是同一个平面的法向量。取值时尽量让分量是简单整数，后面的计算会少出错。
• 不在棱上的点（中点、等分点、侧面上的点）的坐标最容易写错：用中点公式或 $\overrightarrow{PM} = \lambda\overrightarrow{PC}$ 去算，不要凭图估计。

证明

结论 1：平面的向量表示。 设平面 $\alpha$ 过点 $A$，法向量为 $\boldsymbol{n}$。点 $P$ 在 $\alpha$ 内，当且仅当 $\overrightarrow{AP} \cdot \boldsymbol{n} = 0$。

• （$\Rightarrow$）$P \in \alpha$ 时，$\overrightarrow{AP}$ 在 $\alpha$ 内；法向量所在直线垂直于 $\alpha$，就垂直于 $\alpha$ 内的所有直线，所以 $\overrightarrow{AP} \cdot \boldsymbol{n} = 0$。
• （$\Leftarrow$）设 $\overrightarrow{AP} \cdot \boldsymbol{n} = 0$，且 $P \ne A$。过 $A$ 作直线 $m$，方向为 $\boldsymbol{n}$，则 $m \perp \alpha$。直线 $AP$ 和 $m$ 相交于 $A$，确定一个平面 $\beta$，$\beta$ 与 $\alpha$ 交于过 $A$ 的直线 $c$，并且 $c \perp m$。在平面 $\beta$ 内，直线 $AP$ 和 $c$ 都过 $A$、都垂直于 $m$，所以它们重合（关键一步：同一平面内过一点只能作一条直线垂直于已知直线，这是平面几何的结论，可以用）。于是 $P \in c \subset \alpha$。

结论 2：求法向量只要垂直于两个不共线的向量。 设 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 是 $\alpha$ 内不共线的向量，$\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{a} = 0$，$\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{b} = 0$。把 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 的起点放在 $\alpha$ 内同一点，它们所在的两条直线相交；方向为 $\boldsymbol{n}$ 的直线垂直于这两条相交直线，由线面垂直的判定定理（第 19 章 19.4），它垂直于 $\alpha$。所以 $\boldsymbol{n}$ 是法向量。

结论 3：同一平面的法向量都共线。 垂直于同一平面的两条直线平行（第 19 章 19.4 的性质定理），所以法向量彼此共线。这也说明了为什么步骤 4 可以随便给一个未知数取值：方程组的解是一族共线的向量，取哪一个都行。

例题

例 1　（场景：写坐标和方向向量）长方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB = 2$，$AD = 3$，$AA_1 = 4$，$E$ 是 $CC_1$ 的中点。以 $A$ 为原点，$AB$、$AD$、$AA_1$ 所在直线分别为 $x$、$y$、$z$ 轴建系。写出各顶点和 $E$ 的坐标，求直线 $BD_1$、$A_1E$ 的方向向量，并判断这两条直线是否垂直。

解：长方体的三条棱 $AB$、$AD$、$AA_1$ 两两垂直，可以这样建系。

底面：$A(0, 0, 0)$，$B(2, 0, 0)$，$C(2, 3, 0)$，$D(0, 3, 0)$。

顶面：每个点在底面对应点的正上方 4 个单位，$A_1(0, 0, 4)$，$B_1(2, 0, 4)$，$C_1(2, 3, 4)$，$D_1(0, 3, 4)$。

$E$ 是 $CC_1$ 中点：$E(2, 3, 2)$。

方向向量：$\overrightarrow{BD_1} = (0 - 2, 3 - 0, 4 - 0) = (-2, 3, 4)$，$\overrightarrow{A_1E} = (2, 3, -2)$。

$\overrightarrow{BD_1} \cdot \overrightarrow{A_1E} = -4 + 9 - 8 = -3 \ne 0$，所以 $BD_1$ 与 $A_1E$ 不垂直。

容易卡在：顶面各点的坐标。顶面的点和底面对应点只差 $z$ 坐标，$x$、$y$ 照抄。

例 2　（场景：已知三点求法向量）正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 2，以 $A$ 为原点，$AB$、$AD$、$AA_1$ 为 $x$、$y$、$z$ 轴建系。求平面 $A_1BD$ 的一个法向量。

解：$A_1(0, 0, 2)$，$B(2, 0, 0)$，$D(0, 2, 0)$。平面内的两个向量：

$$\overrightarrow{A_1B} = (2, 0, -2), \quad \overrightarrow{BD} = (-2, 2, 0).$$

设 $\boldsymbol{n} = (x, y, z)$，则

$$\begin{cases} \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{A_1B} = 2x - 2z = 0, \\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{BD} = -2x + 2y = 0, \end{cases}$$

得 $z = x$，$y = x$。令 $x = 1$，$\boldsymbol{n} = (1, 1, 1)$。

检验：$2 - 2 = 0$，$-2 + 2 = 0$。平面 $A_1BD$ 的一个法向量是 $(1, 1, 1)$。

容易卡在：选哪两个向量。平面里任意两个不共线的向量都行；选含 0 分量多的，方程更简单。

例 3　（场景：直接写出法向量）在例 2 的正方体中，分别写出平面 $ABCD$ 和平面 $BB_1D_1D$ 的一个法向量，并说明理由。

解：

• 平面 $ABCD$ 就是 $xOy$ 平面，$AA_1 \perp$ 平面 $ABCD$，所以 $\overrightarrow{AA_1} = (0, 0, 2)$ 是法向量，也可以取 $(0, 0, 1)$。
• 正方形 $ABCD$ 中 $AC \perp BD$；$BB_1 \perp$ 底面，所以 $AC \perp BB_1$。$BD$、$BB_1$ 是平面 $BB_1D_1D$ 内两条相交直线，所以 $AC \perp$ 平面 $BB_1D_1D$。$\overrightarrow{AC} = (2, 2, 0)$ 是法向量，也可以取 $(1, 1, 0)$。

用坐标验证第二个：$\overrightarrow{BD} = (-2, 2, 0)$，$\overrightarrow{BB_1} = (0, 0, 2)$，与 $(1, 1, 0)$ 的数量积分别是 $-2 + 2 = 0$ 和 $0$。

例 2 的法向量 $(1, 1, 1)$ 正好和 $\overrightarrow{AC_1} = (2, 2, 2)$ 共线，所以 $AC_1 \perp$ 平面 $A_1BD$。这也是正方体里常用的一个结论。

例 4　（场景：没有现成的直角时建系）四棱锥 $P\text{-}ABCD$ 的底面是边长为 2 的正方形，侧面 $PAD$ 是正三角形，平面 $PAD \perp$ 平面 $ABCD$。建立空间直角坐标系，写出各点坐标，并求平面 $PBC$ 的一个法向量。

解：取 $AD$ 的中点 $O$，连接 $PO$。

1. $\triangle PAD$ 是正三角形，所以 $PO \perp AD$。
2. 平面 $PAD \perp$ 平面 $ABCD$，交线是 $AD$，$PO$ 在平面 $PAD$ 内且垂直于交线，所以 $PO \perp$ 平面 $ABCD$（面面垂直的性质定理，第 19 章 19.4）。
3. 在底面内过 $O$ 作 $AB$ 的平行线，它垂直于 $AD$。

以 $O$ 为原点，$\overrightarrow{OA}$ 方向为 $x$ 轴，平行于 $\overrightarrow{AB}$ 的方向为 $y$ 轴，$\overrightarrow{OP}$ 方向为 $z$ 轴。$PO = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = \sqrt{3}$，所以

$$A(1, 0, 0), \quad D(-1, 0, 0), \quad B(1, 2, 0), \quad C(-1, 2, 0), \quad P(0, 0, \sqrt{3}).$$

平面 $PBC$：$\overrightarrow{PB} = (1, 2, -\sqrt{3})$，$\overrightarrow{BC} = (-2, 0, 0)$。设 $\boldsymbol{n} = (x, y, z)$，

$$\begin{cases} x + 2y - \sqrt{3}z = 0, \\ -2x = 0, \end{cases}$$

得 $x = 0$，$2y = \sqrt{3}z$。令 $z = 2$，得 $y = \sqrt{3}$，$\boldsymbol{n} = (0, \sqrt{3}, 2)$。

检验：$0 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 0$，$0 = 0$。

容易卡在：原点选在哪。面面垂直的题，原点选在交线上那条垂线的垂足（这里是 $O$），不能选 $A$：$PA$ 不垂直于底面。

常用推论

• 平面的法向量可以用“线面垂直”直接找：图中已有一条直线垂直于这个平面，它的方向向量就是法向量。依据是本节例 3 的推理。
• 正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中，体对角线 $AC_1 \perp$ 平面 $A_1BD$，同理 $A_1C \perp$ 平面 $BC_1D$。推导见本节例 2（法向量与体对角线共线）。
• 坐标平面的法向量：$xOy$ 平面取 $(0, 0, 1)$，$yOz$ 平面取 $(1, 0, 0)$，$xOz$ 平面取 $(0, 1, 0)$。坐标轴两两垂直，每条轴垂直于另外两条轴确定的平面。
• 平面 $\alpha$ 的方程：过点 $A(x_0, y_0, z_0)$、法向量 $\boldsymbol{n} = (a, b, c)$ 的平面上的点满足 $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$。这是结论 1 写成坐标的样子，课本不要求，但检验某点在不在平面内时很快。

易错点

• 错在哪：解出 $x = z$、$y = 0$，令 $y = 1$ 得出矛盾，或者令 $x = 0$ 得到 $\boldsymbol{n} = (0, 0, 0)$。 为什么错：$y$ 已经被方程定为 0，不能再取别的值；$x = 0$ 会让所有分量都为 0，零向量不是法向量。 正确做法：给“自由”的那个未知数取一个非零值，这里令 $x = 1$，得 $\boldsymbol{n} = (1, 0, 1)$。
• 错在哪：例 4 这类题直接以 $A$ 为原点、$AP$ 为 $z$ 轴建系。 为什么错：$PA$ 并不垂直于底面，坐标系的三条轴必须两两垂直。 正确做法：先找到（或作出）垂直于底面的直线，用它的垂足作原点，并写出垂直的理由。
• 错在哪：只选了平面内两个共线的向量（比如 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{BA}$，或同一条直线上的三点），解出的“法向量”不对。 为什么错：两个共线向量只给出一个独立的条件，满足它的向量不一定垂直于平面。 正确做法：两个向量要取自平面内不共线的三点。

直观理解

方向向量是直线“往哪走”，法向量是平面“朝哪看”：桌面的法向量就是竖直向上（或向下）的方向。一个平面只要知道它过哪个点、朝哪个方向，就完全确定了，正像一块木板钉在一点上、再规定板面的朝向，就动不了了。

求法向量时列两个方程而不是一个：一根竖直的棍子只和桌面上一条线垂直还不够（它可能斜着），要和桌面上两条相交的线都垂直，才算“立直”了。

关联知识点

• 前置：第 26 章空间直角坐标系和数量积的坐标公式，写坐标、算数量积都靠它。
• 前置：第 19 章 19.4 线面垂直的判定定理，“垂直于两条相交直线”就是求法向量列两个方程的依据。
• 后续：27.3、27.4、27.5，平行、垂直、角、距离全都要用方向向量和法向量。
• 后续：第 28 章直线的方程，平面上直线 $ax + by + c = 0$ 的法向量 $(a, b)$，和本节平面方程的法向量是同一个想法。

27.3 用向量证明平行和垂直

说明

设直线 $l$、$m$ 的方向向量分别为 $\boldsymbol{u}_1$、$\boldsymbol{u}_2$，平面 $\alpha$、$\beta$ 的法向量分别为 $\boldsymbol{n}_1$、$\boldsymbol{n}_2$；讨论线面关系时，$l$ 的方向向量记作 $\boldsymbol{u}$。

关系	向量条件	坐标写法（举例）
$l \parallel m$	$\boldsymbol{u}_1 \parallel \boldsymbol{u}_2$，即 $\boldsymbol{u}_1 = \lambda\boldsymbol{u}_2$	对应坐标成比例
$l \perp m$	$\boldsymbol{u}_1 \cdot \boldsymbol{u}_2 = 0$	$x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0$
$l \parallel \alpha$	$\boldsymbol{u} \perp \boldsymbol{n}_1$，即 $\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n}_1 = 0$，且 $l \not\subset \alpha$
$l \perp \alpha$	$\boldsymbol{u} \parallel \boldsymbol{n}_1$
$\alpha \parallel \beta$	$\boldsymbol{n}_1 \parallel \boldsymbol{n}_2$，且两平面不重合
$\alpha \perp \beta$	$\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2 = 0$

记法：平行看共线，垂直看数量积；只有“线面”这一对反过来——线面平行是向量垂直，线面垂直是向量共线。

线面平行还有一种不用法向量的证法：若 $\overrightarrow{AB} = x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b}$，其中 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 是平面 $\alpha$ 内不共线的向量，且 $AB \not\subset \alpha$，则 $AB \parallel \alpha$（依据是第 26 章的共面向量定理）。

使用场景

• 证线面平行：求出平面的法向量，验证直线的方向向量与它的数量积为 0，再说明直线不在平面内。
• 证线线垂直、线面垂直：线面垂直可以验证方向向量与平面内两个不共线向量都垂直，也可以验证它与法向量共线。
• 证面面平行或面面垂直：分别求两个平面的法向量，看是否共线或数量积是否为 0。
• 探索性问题：“是否存在点 $M$ 使某平行（垂直）关系成立”：设 $\overrightarrow{PM} = \lambda\overrightarrow{PC}$，把关系写成方程，解出 $\lambda$ 并检查范围。

注意点

• 线面平行的向量条件 $\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n} = 0$ 只说明“直线平行于平面或在平面内”。答题必须加一句”$l \not\subset \alpha$“，不写扣分。面面平行同理，要说明两平面不重合。
• 证线面垂直用“与平面内两个向量都垂直”时，这两个向量必须不共线，要写出”$BC_1 \cap BD = B$“之类的话，和综合法一样。
• 探索性问题设参数时，用 $\overrightarrow{PM} = \lambda\overrightarrow{PC}$（$0 \le \lambda \le 1$）表示”$M$ 在线段 $PC$ 上”，再由 $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AP} + \lambda\overrightarrow{PC}$ 算坐标。最后要检查 $\lambda$ 在不在 $[0, 1]$ 内。
• 向量法证明也要先建系、写出建系理由；结论要翻译回几何语言（“所以 $PB \parallel$ 平面 $ACE$”），不能停在”$\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n} = 0$“。

证明

表中的六条，都由第 19 章的判定定理和 27.2 节平面的向量表示推出。线线的两条就是方向向量的定义；下面证三条不那么显然的。

线面平行：设 $\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n} = 0$，$l \not\subset \alpha$。假设 $l$ 与 $\alpha$ 有公共点 $A$。对 $l$ 上任一点 $P$，$\overrightarrow{AP} = t\boldsymbol{u}$，所以 $\overrightarrow{AP} \cdot \boldsymbol{n} = t(\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n}) = 0$。由平面的向量表示（27.2 结论 1），$P \in \alpha$（关键一步：平面就是“过 $A$ 且与 $\boldsymbol{n}$ 垂直的所有点”，满足这个条件的点一定在平面里）。于是 $l \subset \alpha$，与 $l \not\subset \alpha$ 矛盾。所以 $l$ 与 $\alpha$ 没有公共点，$l \parallel \alpha$。

反过来，$l \parallel \alpha$ 时，在 $\alpha$ 内可以找到与 $l$ 平行的直线，它的方向向量与 $\boldsymbol{n}$ 垂直，所以 $\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n} = 0$。

线面垂直：$\boldsymbol{u} \parallel \boldsymbol{n}$ 时，$l$ 与法向量所在直线平行；法向量所在直线垂直于 $\alpha$，与它平行的直线也垂直于 $\alpha$（第 19 章 19.4）。

面面垂直：设 $\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2 = 0$。两个法向量不共线，所以 $\alpha$、$\beta$ 不平行，相交。在 $\beta$ 内取一点 $B$，过 $B$ 作直线 $m$，方向为 $\boldsymbol{n}_1$。$m$ 上任一点 $Q$ 满足 $\overrightarrow{BQ} \cdot \boldsymbol{n}_2 = t(\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2) = 0$，由平面的向量表示，$Q \in \beta$，所以 $m \subset \beta$。$m$ 的方向是 $\alpha$ 的法向量，所以 $m \perp \alpha$。$\beta$ 内有一条直线垂直于 $\alpha$，由面面垂直的判定定理，$\alpha \perp \beta$。

面面平行：$\boldsymbol{n}_1 \parallel \boldsymbol{n}_2$ 时，法向量所在直线同时垂直于两个平面，垂直于同一直线的两个平面平行（两平面不重合时）。

例题

例 1　（场景：证线面平行）四棱锥 $P\text{-}ABCD$ 中，$PA \perp$ 底面 $ABCD$，底面是边长为 2 的正方形，$PA = 2$，$E$ 是 $PD$ 的中点。求证：$PB \parallel$ 平面 $ACE$。

解：$PA \perp$ 底面，所以 $PA \perp AB$，$PA \perp AD$；又 $AB \perp AD$。以 $A$ 为原点，$AB$、$AD$、$AP$ 为 $x$、$y$、$z$ 轴建系：

$$A(0, 0, 0), \quad B(2, 0, 0), \quad C(2, 2, 0), \quad D(0, 2, 0), \quad P(0, 0, 2), \quad E(0, 1, 1).$$

平面 $ACE$：$\overrightarrow{AC} = (2, 2, 0)$，$\overrightarrow{AE} = (0, 1, 1)$。设 $\boldsymbol{n} = (x, y, z)$，

$$\begin{cases} 2x + 2y = 0, \\ y + z = 0, \end{cases}$$

令 $x = 1$，得 $y = -1$，$z = 1$，$\boldsymbol{n} = (1, -1, 1)$。

$\overrightarrow{PB} = (2, 0, -2)$，$\overrightarrow{PB} \cdot \boldsymbol{n} = 2 + 0 - 2 = 0$，所以 $\overrightarrow{PB} \perp \boldsymbol{n}$。又 $P$ 不在平面 $ACE$ 内（$\overrightarrow{AP} \cdot \boldsymbol{n} = (0, 0, 2) \cdot (1, -1, 1) = 2 \ne 0$），所以 $PB \not\subset$ 平面 $ACE$。

所以 $PB \parallel$ 平面 $ACE$。

容易卡在：最后一句”$PB$ 不在平面内”。用平面的向量表示验证一个点不在平面内最省事。

另一种解法：综合法。连接 $BD$，交 $AC$ 于 $O$，连接 $OE$。$O$ 是 $BD$ 中点，$E$ 是 $PD$ 中点，所以 $OE$ 是 $\triangle PBD$ 的中位线，$OE \parallel PB$。$OE \subset$ 平面 $ACE$，$PB \not\subset$ 平面 $ACE$，所以 $PB \parallel$ 平面 $ACE$。图里有现成的中点时，中位线法两三行就完；中点不好找、或者后面几问反正要建系时，向量法不用想辅助线，而且法向量可以留给下一问用。

例 2　（场景：证线面垂直）正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中，求证：$A_1C \perp$ 平面 $BC_1D$。

解：设棱长为 2，以 $A$ 为原点，$AB$、$AD$、$AA_1$ 为 $x$、$y$、$z$ 轴建系。$A_1(0, 0, 2)$，$C(2, 2, 0)$，$B(2, 0, 0)$，$C_1(2, 2, 2)$，$D(0, 2, 0)$。

$$\overrightarrow{A_1C} = (2, 2, -2), \quad \overrightarrow{BC_1} = (0, 2, 2), \quad \overrightarrow{BD} = (-2, 2, 0).$$

$\overrightarrow{A_1C} \cdot \overrightarrow{BC_1} = 0 + 4 - 4 = 0$，$\overrightarrow{A_1C} \cdot \overrightarrow{BD} = -4 + 4 + 0 = 0$。

所以 $A_1C \perp BC_1$，$A_1C \perp BD$。$BC_1$ 与 $BD$ 是平面 $BC_1D$ 内两条相交直线（交于 $B$），所以 $A_1C \perp$ 平面 $BC_1D$。

容易卡在：棱长没给。证明位置关系的题，棱长可以自己设，设成 2 能避免中点出现分数。

例 3　（场景：证面面平行或垂直）（1）正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中，求证：平面 $AB_1D_1 \parallel$ 平面 $C_1BD$。（2）在例 1 的四棱锥中，求证：平面 $PCD \perp$ 平面 $PAD$。

解：（1）设棱长为 2，按例 2 建系。$A(0, 0, 0)$，$B_1(2, 0, 2)$，$D_1(0, 2, 2)$，$C_1(2, 2, 2)$，$B(2, 0, 0)$，$D(0, 2, 0)$。

平面 $AB_1D_1$：$\overrightarrow{AB_1} = (2, 0, 2)$，$\overrightarrow{AD_1} = (0, 2, 2)$。由 $2x + 2z = 0$，$2y + 2z = 0$，令 $z = -1$，得 $\boldsymbol{n}_1 = (1, 1, -1)$。

平面 $C_1BD$：$\overrightarrow{BD} = (-2, 2, 0)$，$\overrightarrow{BC_1} = (0, 2, 2)$。由 $-2x + 2y = 0$，$2y + 2z = 0$，令 $x = 1$，得 $\boldsymbol{n}_2 = (1, 1, -1)$。

$\boldsymbol{n}_1 = \boldsymbol{n}_2$，两个平面平行或重合。又 $\overrightarrow{BA} \cdot \boldsymbol{n}_2 = (-2, 0, 0) \cdot (1, 1, -1) = -2 \ne 0$，点 $A$ 不在平面 $C_1BD$ 内，两平面不重合。所以平面 $AB_1D_1 \parallel$ 平面 $C_1BD$。

（2）按例 1 建系。平面 $PAD$ 就是 $yOz$ 平面，法向量取 $\boldsymbol{n}_1 = (1, 0, 0)$。

平面 $PCD$：$\overrightarrow{PD} = (0, 2, -2)$，$\overrightarrow{CD} = (-2, 0, 0)$。由 $2y - 2z = 0$，$-2x = 0$，令 $y = 1$，得 $\boldsymbol{n}_2 = (0, 1, 1)$。

$\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2 = 0$，所以平面 $PCD \perp$ 平面 $PAD$。

例 4　（场景：探索性问题）在例 1 的四棱锥中，棱 $PC$ 上是否存在点 $F$，使 $AF \perp$ 平面 $PBD$？若存在，求 $\dfrac{PF}{PC}$。

解：平面 $PBD$：$\overrightarrow{PB} = (2, 0, -2)$，$\overrightarrow{PD} = (0, 2, -2)$。由 $2x - 2z = 0$，$2y - 2z = 0$，令 $z = 1$，得 $\boldsymbol{n} = (1, 1, 1)$。

设 $\overrightarrow{PF} = \lambda\overrightarrow{PC}$，$0 \le \lambda \le 1$。$\overrightarrow{PC} = (2, 2, -2)$，

$$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AP} + \lambda\overrightarrow{PC} = (0, 0, 2) + (2\lambda, 2\lambda, -2\lambda) = (2\lambda, 2\lambda, 2 - 2\lambda).$$

$AF \perp$ 平面 $PBD$ 等价于 $\overrightarrow{AF} \parallel \boldsymbol{n}$，即三个坐标相等：$2\lambda = 2 - 2\lambda$，得 $\lambda = \dfrac{1}{2}$，在 $[0, 1]$ 内。

所以存在，$F$ 是 $PC$ 的中点，$\dfrac{PF}{PC} = \dfrac{1}{2}$。

容易卡在：动点坐标。不要直接设 $F(x, y, z)$ 三个未知数，用 $\lambda$ 一个参数表示，方程最少。

常用推论

• 线面平行的两种向量证法：$\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n} = 0$ 加 $l \not\subset \alpha$；或 $\boldsymbol{u}$ 能用平面内两个不共线向量线性表示加 $l \not\subset \alpha$。推导见本节“证明”和第 26 章共面向量定理。
• 动点在线段上：$\overrightarrow{PM} = \lambda\overrightarrow{PC}$（$0 \le \lambda \le 1$）时，$M$ 的坐标是 $P + \lambda(C - P)$ 的对应坐标。由向量加法 $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OP} + \lambda\overrightarrow{PC}$ 得到。
• 两平面的法向量分别是 $(a_1, b_1, c_1)$、$(a_2, b_2, c_2)$，两平面垂直 $\iff a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$。这是本节面面垂直条件的坐标写法。

易错点

• 错在哪：证线面平行只写”$\overrightarrow{PB} \cdot \boldsymbol{n} = 0$，所以 $PB \parallel$ 平面 $ACE$“。 为什么错：$\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n} = 0$ 时直线也可能在平面内。 正确做法：补一句”$PB \not\subset$ 平面 $ACE$“，必要时用 $\overrightarrow{AP} \cdot \boldsymbol{n} \ne 0$ 说明 $P$ 不在平面内。
• 错在哪：把“线面垂直”写成 $\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n} = 0$，把“线面平行”写成 $\boldsymbol{u} \parallel \boldsymbol{n}$。 为什么错：法向量本身就垂直于平面；直线垂直于平面，就是和法向量同方向。 正确做法：画一下：直线竖立在桌面上（垂直），和竖直向上的法向量平行；直线平躺（平行），和法向量垂直。
• 错在哪：探索性问题解出 $\lambda$ 就下结论，没检查范围。 为什么错：题目要求点在棱（线段）上，$\lambda$ 必须在 $[0, 1]$ 内；解出 $\lambda = 2$ 说明点在延长线上，应答“不存在”。 正确做法：解完后写一句”$\lambda \in [0, 1]$，符合“或”不在 $[0, 1]$ 内，所以不存在”。

直观理解

向量法证明就是“翻译”：把“平行”“垂直”翻译成“共线”“数量积为 0”，算完再翻译回去。综合法要想辅助线，向量法只要会算；两者的差别像走山路和坐缆车，缆车不用找路，但每一段索道（坐标、法向量）都不能断。

关联知识点

• 前置：27.2 方向向量和法向量，本节每一条都用它们表述。
• 前置：第 19 章 19.3、19.4 平行和垂直的判定定理，本节的向量条件都由它们推出，书写时的“不在平面内”“两条相交直线”也照搬那里。
• 前置：第 26 章共线向量定理、共面向量定理。
• 常一起考：27.4，解答题第一问证平行或垂直，第二问求角，同一个坐标系和法向量可以接着用。

27.4 用向量求空间角

说明

角	范围	向量公式
异面直线所成角 $\theta$	$\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right]$	$\cos\theta = \lvert\cos\langle\boldsymbol{u}_1, \boldsymbol{u}_2\rangle\rvert = \dfrac{\lvert\boldsymbol{u}_1 \cdot \boldsymbol{u}_2\rvert}{\lvert\boldsymbol{u}_1\rvert\lvert\boldsymbol{u}_2\rvert}$
直线与平面所成角 $\theta$	$\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$	$\sin\theta = \lvert\cos\langle\boldsymbol{u}, \boldsymbol{n}\rangle\rvert = \dfrac{\lvert\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n}\rvert}{\lvert\boldsymbol{u}\rvert\lvert\boldsymbol{n}\rvert}$
平面与平面的夹角 $\theta$	$\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$	$\cos\theta = \lvert\cos\langle\boldsymbol{n}_1, \boldsymbol{n}_2\rangle\rvert = \dfrac{\lvert\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2\rvert}{\lvert\boldsymbol{n}_1\rvert\lvert\boldsymbol{n}_2\rvert}$
二面角 $\varphi$	$[0, \pi]$	$\lvert\cos\varphi\rvert = \lvert\cos\langle\boldsymbol{n}_1, \boldsymbol{n}_2\rangle\rvert$，符号要另外判断

其中 $\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle$ 表示两个向量的夹角，范围 $[0, \pi]$；$\boldsymbol{u}$ 是方向向量，$\boldsymbol{n}$ 是法向量。

平面与平面的夹角：两个平面相交成四个二面角，其中不大于 $90°$ 的那个叫这两个平面的夹角。题目问“平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 的夹角”时不用判断符号；问“二面角 $A\text{-}l\text{-}B$“时，二面角可能是钝角，要判断。

二面角的符号怎么判断：

1. 看图：二面角明显是锐角还是钝角（最常用）。
2. 看法向量的指向：两个法向量一个指向二面角内部、一个指向外部，二面角等于法向量的夹角；两个都指向内部或都指向外部，二面角等于法向量夹角的补角。口诀“一进一出相等，同进同出互补”。

使用场景

• 求异面直线所成角：写出两条直线的方向向量，算夹角余弦再取绝对值。
• 求直线与平面所成角：求平面的法向量，算方向向量与法向量夹角余弦的绝对值，这个数是正弦。
• 求两个平面的夹角（题目说“平面与平面所成角”“夹角”）：求两个法向量，夹角余弦取绝对值。
• 求指定的二面角（题目说“二面角 $B\text{-}PC\text{-}D$”）：算出法向量夹角的余弦后，判断二面角是锐角还是钝角。
• 已知角的大小，求动点位置或棱长：设参数写坐标，列关于参数的方程。

注意点

• 线面角公式里是 $\sin\theta$，不是 $\cos\theta$。算出的 $\dfrac{\lvert\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n}\rvert}{\lvert\boldsymbol{u}\rvert\lvert\boldsymbol{n}\rvert}$ 是方向向量与法向量夹角余弦的绝对值，等于线面角的正弦。
• 三种“所成角”“夹角”都不超过 $90°$，公式里都有绝对值；只有“二面角”能是钝角，没有绝对值可套，要判断符号。
• 题目问正弦值时：二面角的正弦 $\sin\varphi = \sqrt{1 - \cos^2\varphi}$，不论锐钝都是正的，不用判断符号。
• 法向量算错一个符号，余弦就跟着错。每求出一个法向量都代回检验，这一步比最后检查答案省时间。

证明

异面直线所成角：把两条直线平移到交于一点，它们的方向向量也随之平移。两个方向向量的夹角 $\langle\boldsymbol{u}_1, \boldsymbol{u}_2\rangle$ 是这两条直线相交所成的四个角之一，等于 $\theta$ 或 $\pi - \theta$。两者余弦互为相反数，取绝对值就是 $\cos\theta$（因为 $\theta \le \dfrac{\pi}{2}$，$\cos\theta \ge 0$）。

线面角：设直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 交于 $A$，$PO \perp \alpha$，$\theta = \angle PAO$ 是线面角（第 19 章 19.5）。法向量 $\boldsymbol{n}$ 与 $\overrightarrow{OP}$ 共线。

在直角三角形 $POA$ 中，$\angle APO = \dfrac{\pi}{2} - \theta$。方向向量 $\boldsymbol{u}$ 与法向量 $\boldsymbol{n}$ 的夹角，是 $\overrightarrow{AP}$（或 $\overrightarrow{PA}$）与 $\overrightarrow{OP}$（或 $\overrightarrow{PO}$）的夹角，等于 $\dfrac{\pi}{2} - \theta$ 或 $\dfrac{\pi}{2} + \theta$（关键一步：两个向量各自可能反向，夹角就在一个角和它的补角之间切换）。于是

$$\lvert\cos\langle\boldsymbol{u}, \boldsymbol{n}\rangle\rvert = \left\lvert\cos\left(\frac{\pi}{2} \pm \theta\right)\right\rvert = \sin\theta.$$

$l \perp \alpha$ 或 $l \parallel \alpha$ 时公式也成立（分别得 $\sin\theta = 1$ 和 $0$）。

二面角：设二面角 $\alpha\text{-}l\text{-}\beta$ 的平面角是 $\angle AOB = \varphi$，$OA \perp l$，$OB \perp l$。法向量 $\boldsymbol{n}_1 \perp \alpha$，所以 $\boldsymbol{n}_1 \perp l$；同理 $\boldsymbol{n}_2 \perp l$。把两个法向量的起点都放在 $O$，它们和 $OA$、$OB$ 都在过 $O$ 且垂直于 $l$ 的平面 $\gamma$ 内（过一点垂直于已知直线的直线都在同一个平面内）。在平面 $\gamma$ 内看：

$\boldsymbol{n}_1 \perp OA$，$\boldsymbol{n}_2 \perp OB$。平面内，两条直线分别垂直于一个角的两边，它们所成的角与这个角相等或互补（关键一步：把 $OA$ 转 $90°$ 得到 $\boldsymbol{n}_1$ 的方向，$OB$ 也转 $90°$ 得到 $\boldsymbol{n}_2$ 的方向；同向转时夹角不变，一个朝里一个朝外相当于多转了半圈）。所以 $\langle\boldsymbol{n}_1, \boldsymbol{n}_2\rangle = \varphi$ 或 $\pi - \varphi$，$\lvert\cos\varphi\rvert = \lvert\cos\langle\boldsymbol{n}_1, \boldsymbol{n}_2\rangle\rvert$。上图正好说明了“一进一出相等，同进同出互补”。

例题

例 1　（场景：求异面直线所成角）直三棱柱 $ABC\text{-}A_1B_1C_1$ 中，$\angle ACB = 90°$，$AC = BC = 2$，$CC_1 = 1$。求异面直线 $B_1C$ 与 $AC_1$ 所成角的余弦值。

解：$CC_1 \perp$ 底面，$CA \perp CB$，以 $C$ 为原点，$CA$、$CB$、$CC_1$ 为 $x$、$y$、$z$ 轴建系：

$$C(0, 0, 0), \quad A(2, 0, 0), \quad B_1(0, 2, 1), \quad C_1(0, 0, 1).$$

$\overrightarrow{CB_1} = (0, 2, 1)$，$\overrightarrow{AC_1} = (-2, 0, 1)$。

$$\cos\langle\overrightarrow{CB_1}, \overrightarrow{AC_1}\rangle = \frac{0 + 0 + 1}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{1}{5}.$$

所以所成角的余弦值是 $\dfrac{1}{5}$。

若方向向量取 $\overrightarrow{B_1C} = (0, -2, -1)$，数量积是 $-1$，夹角余弦是 $-\dfrac{1}{5}$，取绝对值仍得 $\dfrac{1}{5}$。这就是公式里绝对值的作用。

例 2　（场景：求线面角）在 27.3 例 1 的四棱锥中（$PA \perp$ 底面，底面是边长为 2 的正方形，$PA = 2$，$E$ 是 $PD$ 的中点），求直线 $BE$ 与平面 $PCD$ 所成角的正弦值。

解：沿用 27.3 例 1 的坐标系。$B(2, 0, 0)$，$E(0, 1, 1)$，$\overrightarrow{BE} = (-2, 1, 1)$。

平面 $PCD$ 的法向量在 27.3 例 3（2）中已求出：$\boldsymbol{n} = (0, 1, 1)$。

设所成角为 $\theta$，

$$\sin\theta = \frac{\lvert\overrightarrow{BE} \cdot \boldsymbol{n}\rvert}{\lvert\overrightarrow{BE}\rvert\lvert\boldsymbol{n}\rvert} = \frac{\lvert 0 + 1 + 1\rvert}{\sqrt{6} \times \sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

直线 $BE$ 与平面 $PCD$ 所成角的正弦值是 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。

容易卡在：算出 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 后写成“所成角的余弦值”。这个数是方向向量与法向量夹角的余弦，是线面角的正弦；若题目问余弦，要再算 $\cos\theta = \sqrt{1 - \dfrac{1}{3}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$。

例 3　（场景：求两个平面的夹角）在同一个四棱锥中，求平面 $ACE$ 与平面 $ABCD$ 夹角的余弦值。

解：平面 $ACE$ 的法向量 $\boldsymbol{n}_1 = (1, -1, 1)$（27.3 例 1），平面 $ABCD$ 的法向量 $\boldsymbol{n}_2 = (0, 0, 1)$。

$$\cos\theta = \frac{\lvert\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2\rvert}{\lvert\boldsymbol{n}_1\rvert\lvert\boldsymbol{n}_2\rvert} = \frac{1}{\sqrt{3} \times 1} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

夹角的余弦值是 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。

另一种解法：射影面积法（第 19 章 19.5 常用推论）。$E$ 在底面上的射影是 $AD$ 的中点 $E'(0, 1, 0)$，$\triangle ACE$ 的射影是 $\triangle ACE'$，面积 $\dfrac{1}{2} \times AE' \times CD = \dfrac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1$。$\triangle ACE$ 中，$AC = 2\sqrt{2}$，$AE = \sqrt{2}$，$CE = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$，满足 $AE^2 + CE^2 = AC^2$，是直角三角形，面积 $\dfrac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{6} = \sqrt{3}$。所以 $\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$。小题里射影和两个面积都好算时，射影面积法不用求法向量；解答题、或者图形不规则时，用法向量更稳。

例 4　（场景：求指定的二面角）在同一个四棱锥中，求二面角 $B\text{-}PC\text{-}D$ 的大小。

解：平面 $PBC$：$\overrightarrow{PB} = (2, 0, -2)$，$\overrightarrow{BC} = (0, 2, 0)$。由 $2x - 2z = 0$，$2y = 0$，令 $x = 1$，得 $\boldsymbol{n}_1 = (1, 0, 1)$。

平面 $PCD$：$\boldsymbol{n}_2 = (0, 1, 1)$（27.3 例 3）。

$$\cos\langle\boldsymbol{n}_1, \boldsymbol{n}_2\rangle = \frac{0 + 0 + 1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{1}{2}.$$

判断锐钝：

• 看法向量：平面 $PBC$ 上的点满足 $x + z = 2$（由点 $B$ 和 $\boldsymbol{n}_1$ 写出），点 $A$、$D$ 代入得 $0 < 2$，四棱锥在 $\boldsymbol{n}_1$ 的反方向一侧，所以 $\boldsymbol{n}_1$ 指向外面。同理平面 $PCD$ 上的点满足 $y + z = 2$，点 $A$、$B$ 代入得 $0 < 2$，$\boldsymbol{n}_2$ 也指向外面。同出，二面角是法向量夹角的补角。
• 也可以看图：从 $B$、$D$ 分别向 $PC$ 作垂线，两个垂足重合（下面另一种解法），$BD^2 = 8$，大于 $BF^2 + DF^2 = \dfrac{16}{3}$，所以平面角 $\angle BFD$ 是钝角。

法向量夹角为 $60°$，所以二面角 $B\text{-}PC\text{-}D$ 为 $120°$。

容易卡在：判断锐钝。看图判断时要有依据；不确定时用“同进同出”的办法：把平面写成 $ax + by + cz = d$ 的形式，代入几何体内的一个点，看它在法向量的哪一侧。

另一种解法：综合法。$BC \perp AB$，$BC \perp PA$，所以 $BC \perp$ 平面 $PAB$，$BC \perp PB$。在 $\mathrm{Rt}\triangle PBC$ 中作 $BF \perp PC$ 于 $F$，$PB = 2\sqrt{2}$，$BC = 2$，$PC = 2\sqrt{3}$，

$$BF = \frac{PB \cdot BC}{PC} = \frac{2\sqrt{2} \times 2}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}.$$

由对称（$\triangle PBC \cong \triangle PDC$），$DF \perp PC$，$DF = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}$，$\angle BFD$ 是平面角。$BD = 2\sqrt{2}$，由余弦定理

$$\cos\angle BFD = \frac{\frac{8}{3} + \frac{8}{3} - 8}{2 \times \frac{8}{3}} = -\frac{1}{2},$$

二面角为 $120°$。综合法的平面角自带锐钝，不用另外判断，但要先证 $BF$、$DF$ 都垂直于 $PC$；向量法计算快，代价是最后要判断符号。

例 5　（场景：已知角求动点位置）在同一个四棱锥中，点 $M$ 在棱 $PC$ 上（不与 $P$ 重合），且直线 $AM$ 与平面 $PBC$ 所成角为 $45°$，求 $\dfrac{PM}{PC}$。

解：设 $\overrightarrow{PM} = \lambda\overrightarrow{PC}$，$0 < \lambda \le 1$。

$$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AP} + \lambda\overrightarrow{PC} = (2\lambda, 2\lambda, 2 - 2\lambda).$$

平面 $PBC$ 的法向量 $\boldsymbol{n}_1 = (1, 0, 1)$（例 4）。$\overrightarrow{AM} \cdot \boldsymbol{n}_1 = 2\lambda + 2 - 2\lambda = 2$，

$$\lvert\overrightarrow{AM}\rvert^2 = 4\lambda^2 + 4\lambda^2 + (2 - 2\lambda)^2 = 12\lambda^2 - 8\lambda + 4.$$

由 $\sin 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$：

$$\frac{2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{12\lambda^2 - 8\lambda + 4}} = \frac{\sqrt{2}}{2},$$

两边平方化简得 $12\lambda^2 - 8\lambda + 4 = 4$，即 $4\lambda(3\lambda - 2) = 0$，$\lambda = 0$ 或 $\lambda = \dfrac{2}{3}$。$M$ 不与 $P$ 重合，$\lambda \ne 0$，所以 $\dfrac{PM}{PC} = \dfrac{2}{3}$。

容易卡在：解出两个根不会取舍。$\lambda = 0$ 对应 $M = P$，此时 $AP$ 与平面 $PBC$ 所成角确实也是 $45°$，只是题目把它排除了。

常用推论

• 线面角的正弦 $= \dfrac{\text{点到平面的距离}}{\text{斜线段长}}$：$\sin\theta = \dfrac{\lvert\overrightarrow{AP} \cdot \boldsymbol{n}\rvert}{\lvert\overrightarrow{AP}\rvert\lvert\boldsymbol{n}\rvert}$，分子分母同除以 $\lvert\boldsymbol{n}\rvert$，分子就是 27.5 的点到平面距离。
• 二面角的正弦不用判断锐钝：$\sin\varphi = \sqrt{1 - \cos^2\langle\boldsymbol{n}_1, \boldsymbol{n}_2\rangle}$。由 $\sin\varphi = \sin(\pi - \varphi)$ 得到。正切要先定锐钝。
• 两个平面垂直 $\iff$ 夹角为 $90°$ $\iff$ $\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2 = 0$，和 27.3 的结论一致。
• 判断法向量朝向的办法：平面写成 $ax + by + cz = d$，$\boldsymbol{n} = (a, b, c)$；点 $Q$ 代入左边大于 $d$，则 $Q$ 在 $\boldsymbol{n}$ 指向的一侧，小于 $d$ 则在另一侧。由 $\overrightarrow{AQ} \cdot \boldsymbol{n}$ 的正负推出（$A$ 是平面上的点）。

易错点

• 错在哪：求线面角时，算出 $\dfrac{\lvert\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n}\rvert}{\lvert\boldsymbol{u}\rvert\lvert\boldsymbol{n}\rvert} = \dfrac{1}{2}$，答“线面角为 $60°$”。 为什么错：这个数是线面角的正弦，$\sin\theta = \dfrac{1}{2}$，线面角是 $30°$；$60°$ 是方向向量与法向量的夹角。 正确做法：公式背成“线面正弦”，写成 $\sin\theta = \cdots$，不写 $\cos$。
• 错在哪：求“二面角 $B\text{-}PC\text{-}D$“时，算出法向量夹角余弦 $\dfrac{1}{2}$，直接答 $60°$。 为什么错：法向量夹角和二面角可能互补。例 4 中二面角是钝角 $120°$。 正确做法：问”二面角“时，必须写出判断锐钝的理由；问”两平面的夹角“时才直接取绝对值。
• 错在哪：求异面直线所成角，算出余弦为 $-\dfrac{1}{5}$，答“所成角的余弦值为 $-\dfrac{1}{5}$”。 为什么错：所成角不超过 $90°$，余弦不能是负数。 正确做法：公式里有绝对值，答 $\dfrac{1}{5}$。

直观理解

• 异面直线和“两平面的夹角”：只关心两条线（两个面）“歪了多少”，不关心朝向，所以一律取不超过 $90°$ 的那个，余弦取绝对值。
• 线面角用 sin：法向量是“竖直”方向，直线越接近竖直，和平面的夹角越大、和法向量的夹角越小。线面角和“与竖直方向的夹角”加起来是 $90°$，余弦变正弦。
• 二面角的符号：把两个面想成半开的书页，法向量是贴在书页上竖起来的小旗。两面小旗都朝外时，书页张得越开，小旗之间的夹角越小，所以是互补关系。

关联知识点

• 前置：第 19 章 19.5 三种空间角的定义和范围，本节每个公式都是把定义翻译成向量。
• 前置：第 15 章平面向量的夹角公式 $\cos\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle = \dfrac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{\lvert\boldsymbol{a}\rvert\lvert\boldsymbol{b}\rvert}$，第 26 章推广到空间。
• 前置：27.2 求法向量。
• 后续：27.5 点到平面的距离，和线面角的正弦只差一个斜线段长。
• 常一起考：第 16 章解三角形，综合法求角最后一步用余弦定理。

27.5 用向量求距离

说明

点到平面的距离：设 $A$ 是平面 $\alpha$ 内一点，$\boldsymbol{n}$ 是 $\alpha$ 的法向量，点 $P$ 到 $\alpha$ 的距离

$$d = \frac{\lvert\overrightarrow{AP} \cdot \boldsymbol{n}\rvert}{\lvert\boldsymbol{n}\rvert}.$$

也就是 $\overrightarrow{AP}$ 在法向量方向上的投影的长度（第 15 章的投影向量）。

点到直线的距离：设 $A$ 是直线 $l$ 上一点，$\boldsymbol{u}$ 是 $l$ 的方向向量，点 $P$ 到 $l$ 的距离

$$d = \sqrt{\lvert\overrightarrow{AP}\rvert^2 - \left(\frac{\overrightarrow{AP} \cdot \boldsymbol{u}}{\lvert\boldsymbol{u}\rvert}\right)^2}.$$

其他距离化成点到平面的距离：

• 直线 $l \parallel$ 平面 $\alpha$：$l$ 到 $\alpha$ 的距离 = $l$ 上任一点到 $\alpha$ 的距离。
• 平面 $\alpha \parallel$ 平面 $\beta$：两平面的距离 = $\alpha$ 内任一点到 $\beta$ 的距离。

两条平行直线 $l \parallel m$ 的距离 = $l$ 上任一点到 $m$ 的距离，用点到直线的公式。

使用场景

• 求点到平面的距离：题目直接问，或者要用它求三棱锥的高、体积。
• 求点到直线的距离：点和直线都已知坐标，垂足不好找时。
• 求平行的直线与平面、两个平行平面之间的距离：先证平行，再在直线（平面）上挑一个坐标简单的点，化成点到平面的距离。

注意点

• 公式里的 $A$ 是平面内任意一点，挑坐标最简单的那个（常是原点或顶点）。
• 分子有绝对值，分母是法向量的模，不是 $\overrightarrow{AP}$ 的模。
• 线面距离、面面距离只在平行时才有意义，解答题要先说明平行。
• 点到直线距离公式里，$\dfrac{\overrightarrow{AP} \cdot \boldsymbol{u}}{\lvert\boldsymbol{u}\rvert}$ 先平方再相减；如果 $\boldsymbol{u}$ 取单位向量，分母就是 1，算起来更简单。

证明

点到平面的距离：作 $PO \perp \alpha$，垂足 $O$，$d = \lvert\overrightarrow{OP}\rvert$。$\overrightarrow{OP}$ 与 $\boldsymbol{n}$ 共线，所以 $\lvert\overrightarrow{OP} \cdot \boldsymbol{n}\rvert = \lvert\overrightarrow{OP}\rvert\lvert\boldsymbol{n}\rvert$（夹角是 $0$ 或 $\pi$）。

$$\overrightarrow{AP} \cdot \boldsymbol{n} = (\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OP}) \cdot \boldsymbol{n} = \overrightarrow{AO} \cdot \boldsymbol{n} + \overrightarrow{OP} \cdot \boldsymbol{n} = \overrightarrow{OP} \cdot \boldsymbol{n}.$$

（关键一步：$\overrightarrow{AO}$ 在平面内，与法向量垂直，$\overrightarrow{AO} \cdot \boldsymbol{n} = 0$。所以不管 $A$ 选在平面内哪里，结果都一样，也就不用找垂足 $O$。）于是

$$d = \lvert\overrightarrow{OP}\rvert = \frac{\lvert\overrightarrow{OP} \cdot \boldsymbol{n}\rvert}{\lvert\boldsymbol{n}\rvert} = \frac{\lvert\overrightarrow{AP} \cdot \boldsymbol{n}\rvert}{\lvert\boldsymbol{n}\rvert}.$$

点到直线的距离：作 $PH \perp l$，垂足 $H$。$AH$ 是 $\overrightarrow{AP}$ 在 $\boldsymbol{u}$ 方向上投影的长度：$AH = \dfrac{\lvert\overrightarrow{AP} \cdot \boldsymbol{u}\rvert}{\lvert\boldsymbol{u}\rvert}$（第 15 章投影向量）。在 $\mathrm{Rt}\triangle AHP$ 中，$PH^2 = AP^2 - AH^2$，开方即得公式。

线面距离、面面距离：直线与平面平行时，直线上各点到平面的距离都相等（两点到平面的垂线段平行且相等，组成矩形），所以取哪个点都行。面面同理。

例题

例 1　（场景：求点到平面的距离）正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 2，求点 $C_1$ 到平面 $A_1BD$ 的距离。

解：按 27.2 例 2 建系，平面 $A_1BD$ 的法向量 $\boldsymbol{n} = (1, 1, 1)$。取平面内的点 $A_1(0, 0, 2)$，$C_1(2, 2, 2)$，$\overrightarrow{A_1C_1} = (2, 2, 0)$。

$$d = \frac{\lvert\overrightarrow{A_1C_1} \cdot \boldsymbol{n}\rvert}{\lvert\boldsymbol{n}\rvert} = \frac{\lvert 2 + 2 + 0\rvert}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}.$$

另一种解法：利用 $AC_1 \perp$ 平面 $A_1BD$（27.2 例 2）。先用等体积法求 $A$ 到平面 $A_1BD$ 的距离 $h$：三棱锥 $A_1\text{-}ABD$ 的体积 $V = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} \times 2 \times 2 \times 2 = \dfrac{4}{3}$；$\triangle A_1BD$ 是边长 $2\sqrt{2}$ 的正三角形，面积 $\dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 8 = 2\sqrt{3}$。由 $\dfrac{1}{3} \times 2\sqrt{3} \times h = \dfrac{4}{3}$ 得 $h = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$。对角线 $AC_1 = 2\sqrt{3}$ 垂直于平面，$A$、$C_1$ 在平面两侧，所以 $C_1$ 到平面的距离是 $2\sqrt{3} - \dfrac{2\sqrt{3}}{3} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}$。正方体里这条对角线被平面 $A_1BD$、$CB_1D_1$ 三等分，记住了小题可以直接写；一般的几何体没有这种结构，用向量公式。

例 2　（场景：求点到直线的距离）正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 2，求点 $B$ 到直线 $A_1C$ 的距离。

解：同样建系。$A_1(0, 0, 2)$，$C(2, 2, 0)$，$B(2, 0, 0)$。方向向量取 $\boldsymbol{u} = (1, 1, -1)$（与 $\overrightarrow{A_1C} = (2, 2, -2)$ 共线），$\overrightarrow{A_1B} = (2, 0, -2)$。

$$\lvert\overrightarrow{A_1B}\rvert^2 = 8, \quad \frac{\overrightarrow{A_1B} \cdot \boldsymbol{u}}{\lvert\boldsymbol{u}\rvert} = \frac{2 + 0 + 2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}},$$ $$d = \sqrt{8 - \frac{16}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}.$$

另一种解法：$BC \perp$ 平面 $ABB_1A_1$，所以 $BC \perp A_1B$，$\triangle A_1BC$ 是直角三角形，直角在 $B$。斜边上的高 $d = \dfrac{A_1B \cdot BC}{A_1C} = \dfrac{2\sqrt{2} \times 2}{2\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}$。能看出直角三角形时，“两直角边之积除以斜边”一步出结果；三角形不特殊时，用向量公式。

例 3　（场景：线面距离、面面距离）（1）在 27.3 例 1 的四棱锥中，已证 $PB \parallel$ 平面 $ACE$，求直线 $PB$ 到平面 $ACE$ 的距离。（2）正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 2，求平面 $AB_1D_1$ 与平面 $C_1BD$ 之间的距离。

解：（1）$PB \parallel$ 平面 $ACE$，所以所求距离等于点 $B$ 到平面 $ACE$ 的距离。平面 $ACE$ 的法向量 $\boldsymbol{n} = (1, -1, 1)$，取平面内的点 $A$，$\overrightarrow{AB} = (2, 0, 0)$，

$$d = \frac{\lvert 2 + 0 + 0\rvert}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}.$$

（2）由 27.3 例 3（1），两个平面平行，法向量 $\boldsymbol{n} = (1, 1, -1)$。所求距离等于点 $A$ 到平面 $C_1BD$ 的距离。取平面内的点 $B$，$\overrightarrow{BA} = (-2, 0, 0)$，

$$d = \frac{\lvert -2\rvert}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}.$$

容易卡在：选哪个点。（1）中 $B$ 和 $P$ 都在直线上，选 $B$ 是因为 $\overrightarrow{AB}$ 只有一个非零坐标。

常用推论

• 线面角与点面距离：$\sin\theta = \dfrac{d}{\lvert\overrightarrow{AP}\rvert}$，$d$ 是 $P$ 到平面的距离，$A$ 是斜足。由本节公式和 27.4 线面角公式对比得到。
• 正方体棱长为 $a$ 时，体对角线 $A_1C$ 垂直于平面 $AB_1D_1$ 和 $C_1BD$，并被它们三等分，两平面距离为 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}a$。推导见本节例 3（2）和例 1 的另一种解法。
• 异面直线的距离（课标把它放在选修课程，选择性必修不要求）：两条异面直线上各取一点 $A$、$B$，$\boldsymbol{n}$ 与两条直线的方向向量都垂直，则距离 $d = \dfrac{\lvert\overrightarrow{AB} \cdot \boldsymbol{n}\rvert}{\lvert\boldsymbol{n}\rvert}$。推导：过一条直线作与另一条平行的平面，$\boldsymbol{n}$ 是它的法向量，异面直线的距离就是点到这个平面的距离。
• 点到平面的距离可以反过来求体积：三棱锥的高就是顶点到底面的距离，$V = \dfrac{1}{3}Sd$。

易错点

• 错在哪：分母用 $\lvert\overrightarrow{AP}\rvert$，写成 $d = \dfrac{\lvert\overrightarrow{AP} \cdot \boldsymbol{n}\rvert}{\lvert\overrightarrow{AP}\rvert}$。 为什么错：要的是 $\overrightarrow{AP}$ 在 $\boldsymbol{n}$ 方向上投影的长度，除以的是“投影方向”那个向量的模。 正确做法：记成“数量积的绝对值除以法向量的模”。$\boldsymbol{n}$ 是单位向量时分母为 1，可以用来检查。
• 错在哪：求点到直线的距离时，套用点到平面的公式，用 $\boldsymbol{u}$ 代替 $\boldsymbol{n}$。 为什么错：$\dfrac{\lvert\overrightarrow{AP} \cdot \boldsymbol{u}\rvert}{\lvert\boldsymbol{u}\rvert}$ 是 $AP$ 沿直线方向的投影 $AH$，不是距离 $PH$。 正确做法：点到直线要再用一次勾股定理：$d^2 = \lvert\overrightarrow{AP}\rvert^2 - AH^2$。
• 错在哪：直线和平面没证平行，就用“直线上一点到平面的距离”当线面距离。 为什么错：直线与平面相交时，直线上各点到平面的距离不相等，“线面距离”没有意义。 正确做法：先证平行（$\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n} = 0$ 且直线不在平面内），再求距离。

直观理解

点到平面的距离，就是“沿着法向量方向量一下有多高”。从平面上随便哪个点 $A$ 出发走到 $P$，横着走多少都不算，只有沿法向量方向走的那一段才算高度，所以数量积投影到 $\boldsymbol{n}$ 上就够了，不用找垂足。

点到直线的距离反过来：先量“沿着直线走了多远”（投影 $AH$），斜边减掉它，剩下的就是离开直线的距离。

关联知识点

• 前置：第 15 章投影向量，点到平面的距离就是投影的长度。
• 前置：27.2 求法向量。
• 前置：第 18 章等体积法求点到平面的距离，是本节公式的综合法替代。
• 后续：第 28 章平面上点到直线的距离公式 $d = \dfrac{\lvert Ax_0 + By_0 + C\rvert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$，和本节点到平面的公式同一个原理（$(A, B)$ 是直线的法向量）。
• 常一起考：27.4 线面角，$\sin\theta = \dfrac{d}{\text{斜线段长}}$。

27.6 知识点之间的关系

本章四个知识点是“一个工具、三种用途”：方向向量和法向量（27.2）是工具，证平行垂直（27.3）、求角（27.4）、求距离（27.5）是用途。三种用途都只用到两样运算：判断共线，算数量积。

和第 19 章对照：第 19 章的综合法要“作、证、算”三步，难在“作”（找辅助线）；本章的向量法把“作”换成“建系、求法向量”，难在“算”。考试解答题的典型结构是：第一问证平行或垂直（综合法、向量法都行），第二问建系求线面角或两平面的夹角，有时第三问是探索动点位置或求距离。第一问求出的法向量常常第二问还能用。

答题顺序可以记成五步：建系（写理由）→ 写坐标 → 求法向量（代回检验）→ 套公式 → 判断（线面用 sin、二面角定锐钝）并写结论。

27.7 自测

1. 已知 $A(1, 0, 0)$，$B(0, 1, 0)$，$C(0, 0, 1)$，求平面 $ABC$ 的一个法向量。
2. 正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 1，以 $A$ 为原点，$AB$、$AD$、$AA_1$ 为 $x$、$y$、$z$ 轴建系，求平面 $AB_1C$ 的一个法向量。
3. 直线 $l$ 的方向向量为 $(1, -2, 3)$，平面 $\alpha$ 的法向量为 $(2, 1, 0)$，$l \not\subset \alpha$。判断 $l$ 与 $\alpha$ 的位置关系。
4. 平面 $\alpha$、$\beta$ 的法向量分别为 $(1, 2, -2)$、$(2, k, 1)$，若 $\alpha \perp \beta$，求 $k$。
5. 直线 $l$ 的方向向量为 $(1, 0, 1)$，平面 $\alpha$ 的法向量为 $(0, 1, 1)$，求 $l$ 与 $\alpha$ 所成的角。
6. 正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中，求异面直线 $A_1B$ 与 $AC$ 所成的角。
7. 两个平面的法向量分别为 $(1, 0, 0)$、$(1, 1, 0)$，求这两个平面的夹角。
8. 平面 $\alpha$ 过原点，法向量为 $(2, -2, 1)$，求点 $P(1, 1, 3)$ 到 $\alpha$ 的距离。
9. 正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 2，求点 $A$ 到平面 $A_1BD$ 的距离。

答案：1. $(1, 1, 1)$（与它共线的非零向量都对）；2. $(1, -1, -1)$（与它共线的非零向量都对）；3. $l \parallel \alpha$；4. $k = 0$；5. $30°$；6. $60°$；7. $45°$；8. 1；9. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$。

27.8 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，有人教版选择性必修第一册第一章“空间向量与立体几何”的同步课程和教材电子版。
• GeoGebra 3D 计算器：免费的三维作图工具，输入点的坐标就能画出几何体、平面和法向量，可以拖动视角核对坐标和二面角的锐钝。
• Wolfram MathWorld · Normal Vector：法向量的英文定义，以及用叉积求平面法向量的方法，查英文术语时用。
• Wolfram MathWorld · Point-Plane Distance：点到平面距离公式的英文推导，和本章 27.5 的投影法是同一个思路。