第 6 章 · 函数的基本性质

项目	内容
课标主题	必修 · 函数 · 函数概念与性质（单调性、最大值和最小值、奇偶性）；周期性在课标里要求“结合三角函数了解”
人教 A 版	必修第一册 第三章 3.2 函数的基本性质（3.2.1 单调性与最大（小）值，3.2.2 奇偶性）；周期函数的定义在第五章 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质；对称轴、对称中心的一般判定式课本没有单列成节，出现在习题 3.2 拓广探索第 13 题里
考试地位	必考。选择题、填空题常考抽象函数的奇偶性、周期性、对称性综合，以及“利用单调性和奇偶性解不等式”；单调性和最值是导数大题的主线
前置知识	第 5 章函数的概念与表示；第 4 章二次函数的图像；第 1 章区间

这一章讲的是函数图像的“形状”：往哪边走（单调性）、最高最低到哪（最值）、对着什么折叠能重合（奇偶性、对称性）、隔多远重复一次（周期性）。后面学的每一类具体函数，都要按这几条把性质过一遍。丢分主要丢在三处：判断奇偶性不先看定义域；用单调性解不等式忘了定义域；把 $f(x+a)=f(b-x)$（对称）和 $f(x+a)=f(x+b)$（周期）混为一谈。

6.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
6.2 单调性	在某个区间上，自变量越大函数值越大（递增）或越小（递减）	必考，常和奇偶性一起用来解不等式
6.3 最大值和最小值	函数在定义域上能取到的最大、最小的函数值，常由单调性求出	必考，恒成立问题最后都化成求最值
6.4 奇偶性	定义域关于原点对称时，$f(-x)=f(x)$ 是偶函数，$f(-x)=-f(x)$ 是奇函数	必考，选择题、填空题常见
6.5 周期性	存在非零常数 $T$，使 $f(x+T)=f(x)$ 对定义域内每个 $x$ 都成立	常考，多和奇偶性、对称性一起考抽象函数
6.6 对称性	$f(a+x)=f(a-x)$ 表示关于直线 $x=a$ 对称，$f(a+x)+f(a-x)=2b$ 表示关于点 $(a,b)$ 对称	常考，选择题里的抽象函数综合题

6.2 单调性

说明

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $I$，区间 $D \subseteq I$。

单调递增：如果对 $D$ 内任意两个数 $x_1$、$x_2$，当 $x_1<x_2$ 时，都有 $f(x_1)<f(x_2)$，就说 $f(x)$ 在区间 $D$ 上单调递增。

单调递减：如果对 $D$ 内任意 $x_1<x_2$，都有 $f(x_1)>f(x_2)$，就说 $f(x)$ 在区间 $D$ 上单调递减。

这时区间 $D$ 叫 $f(x)$ 的单调区间。函数在整个定义域上单调递增时，叫增函数；单调递减时，叫减函数。

单调递增有几种等价写法（$x_1 \ne x_2$ 都在 $D$ 内）：

• $x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$；
• $(x_1-x_2)\,[f(x_1)-f(x_2)]>0$；
• $\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0$。

后两种的意思是“自变量的差和函数值的差同号”。单调递减就是“异号”，把 $>0$ 换成 $<0$。

常见函数的单调性：

函数	单调性
$y=kx+b$	$k>0$ 在 $\mathbf{R}$ 上递增；$k<0$ 在 $\mathbf{R}$ 上递减
$y=\dfrac{k}{x}$	$k>0$ 在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上分别递减；$k<0$ 时分别递增
$y=ax^2+bx+c$（$a>0$）	在 $\left(-\infty,-\dfrac{b}{2a}\right]$ 上递减，在 $\left[-\dfrac{b}{2a},+\infty\right)$ 上递增；$a<0$ 时相反

使用场景

• 题目说“用定义证明（判断）函数在某区间上的单调性”：按取值、作差、变形、定号、下结论五步走。
• 求单调区间：常见函数直接用结论；含绝对值或分段的，先画图再读。
• 已知函数在某区间上单调，求参数：二次函数看对称轴落在区间哪一侧；分段函数还要看分界点两边接得上。
• 题目出现抽象函数不等式 $f(\cdots)<f(\cdots)$，又知道单调性：利用单调性“脱去 $f$”，转化为自变量的不等式。
• 函数是“一个函数套一个函数”，如 $y=\sqrt{-x^2+2x+3}$：用复合函数的单调性，内外同增异减。

注意点

• 单调性是函数在某个区间上的性质，离开区间谈单调没有意义。说”$y=\dfrac{1}{x}$ 是减函数“是错的。
• 定义里的 $x_1$、$x_2$ 必须是任意取的。只验证几个点，比如 $f(1)<f(2)<f(3)$，不能说明单调递增。
• 两个单调区间不能随便用”$\cup$“连起来。$y=\dfrac{1}{x}$ 的单调递减区间要写成”$(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$“。
• 单调区间的端点只要在定义域里，写成开区间、闭区间都对；不在定义域里的端点只能开。
• 求单调区间必须先求定义域，单调区间一定是定义域的子集。

证明

用定义证明单调性的步骤（课本的方法）：

例：证明 $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增。

任取 $x_1,x_2 \in (1,+\infty)$，且 $x_1<x_2$。作差并变形：

$$f(x_1)-f(x_2)=(x_1-x_2)+\left(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\right)=(x_1-x_2)+\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}=\frac{(x_1-x_2)(x_1x_2-1)}{x_1x_2}.$$

定号：$x_1<x_2$，所以 $x_1-x_2<0$；$x_1>1$，$x_2>1$，所以 $x_1x_2>1$，$x_1x_2-1>0$（关键一步：区间 $(1,+\infty)$ 正是让 $x_1x_2-1$ 恒为正的范围，换成 $(0,1)$ 这个因式就恒为负，单调性随之反过来）；分母 $x_1x_2>0$。所以 $f(x_1)-f(x_2)<0$，即 $f(x_1)<f(x_2)$，$f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增。

复合函数“同增异减”。 设 $u=g(x)$ 在区间 $D$ 上单调递增，$y=f(u)$ 在 $g(x)$ 的取值范围上单调递增，则 $y=f(g(x))$ 在 $D$ 上单调递增。

任取 $x_1<x_2$（都在 $D$ 内）。因为 $g$ 递增，$g(x_1)<g(x_2)$；把 $g(x_1)$、$g(x_2)$ 看成 $f$ 的两个自变量，因为 $f$ 递增，$f(g(x_1))<f(g(x_2))$。若 $f$ 递减，最后一步不等号反向，复合后递减。内外层各有增减两种，组合起来就是：同向得增，反向得减。

例题

例 1　（场景：用定义证明单调性）用定义证明 $f(x)=\dfrac{2x}{x+1}$ 在 $(-1,+\infty)$ 上单调递增。

解：任取 $x_1,x_2 \in (-1,+\infty)$，且 $x_1<x_2$。

$$f(x_1)-f(x_2)=\frac{2x_1}{x_1+1}-\frac{2x_2}{x_2+1}=\frac{2x_1(x_2+1)-2x_2(x_1+1)}{(x_1+1)(x_2+1)}=\frac{2(x_1-x_2)}{(x_1+1)(x_2+1)}.$$

因为 $x_1<x_2$，分子 $2(x_1-x_2)<0$；因为 $x_1>-1$，$x_2>-1$，分母 $(x_1+1)(x_2+1)>0$。所以 $f(x_1)-f(x_2)<0$，即 $f(x_1)<f(x_2)$。$f(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上单调递增。

容易卡在：通分后分子展开 $2x_1x_2+2x_1-2x_1x_2-2x_2$，$x_1x_2$ 项消掉后要提出 $x_1-x_2$，不要停在”$2x_1-2x_2$“不去判断符号。

另一种解法：分离常数，$f(x)=\dfrac{2(x+1)-2}{x+1}=2-\dfrac{2}{x+1}$。$y=-\dfrac{2}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上递增，向左平移 1 个单位、向上平移 2 个单位得到 $f(x)$，所以 $f(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上递增。题目要求“用定义证明”时只能用主解法；选择题、填空题里判断单调性，分离常数看图更快。

例 2　（场景：求单调区间）求 $f(x)=|x^2-2x-3|$ 的单调区间。

解：先画 $y=x^2-2x-3$ 的图像：开口向上，与 $x$ 轴交于 $-1$ 和 $3$，顶点 $(1,-4)$。取绝对值就是把 $x$ 轴下方的部分翻到上方，顶点变成 $(1,4)$。

从图上读：$f(x)$ 的单调递减区间是 $(-\infty,-1]$ 和 $[1,3]$，单调递增区间是 $[-1,1]$ 和 $[3,+\infty)$。

容易卡在：翻折后原来的最低点变成了最高点，$[-1,1]$ 一段由“递减”变成“递增”。

例 3　（场景：已知单调性求参数）已知

$$f(x)=\begin{cases} -x^2+ax, & x \le 1, \\ 2ax-5, & x>1 \end{cases}$$

在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围。

解：要同时满足三条：

1. $x \le 1$ 这一段递增：$y=-x^2+ax$ 开口向下，对称轴 $x=\dfrac{a}{2}$，要求对称轴在 1 的右边或正好在 1：$\dfrac{a}{2} \ge 1$，即 $a \ge 2$。
2. $x>1$ 这一段递增：一次函数斜率 $2a>0$，即 $a>0$。
3. 分界点处左段不高于右段：左段在 $x=1$ 处的值 $-1+a$ 不大于右段在 $x=1$ 处的值 $2a-5$，即 $-1+a \le 2a-5$，$a \ge 4$。

三条取交集，$a$ 的取值范围是 $[4,+\infty)$。

容易卡在：只管两段各自递增，漏掉第 3 条。比如 $a=3$ 时两段都递增，但 $f(1)=2$，而 $x$ 稍大于 1 时 $f(x)$ 接近 $1$，比 $f(1)$ 还小。

例 4　（场景：利用单调性解抽象函数不等式）已知 $f(x)$ 是定义在 $[-1,1]$ 上的增函数，且 $f(a-1)<f(1-2a)$，求 $a$ 的取值范围。

解：三个条件：两个自变量都在定义域里，并且按单调递增“脱去 $f$”：

$$\begin{cases} -1 \le a-1 \le 1, \\ -1 \le 1-2a \le 1, \\ a-1<1-2a. \end{cases}$$

第一个得 $0 \le a \le 2$，第二个得 $0 \le a \le 1$，第三个得 $a<\dfrac{2}{3}$。取交集：$0 \le a<\dfrac{2}{3}$。

容易卡在：只写第三个不等式，忘了 $a-1$ 和 $1-2a$ 必须在定义域 $[-1,1]$ 里。

例 5　（场景：复合函数的单调性）求 $y=\sqrt{-x^2+2x+3}$ 的单调区间。

解：先求定义域：$-x^2+2x+3 \ge 0$，即 $x^2-2x-3 \le 0$，得 $-1 \le x \le 3$。

设 $u=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$，则 $y=\sqrt{u}$。外层 $y=\sqrt{u}$ 在 $[0,+\infty)$ 上递增。内层 $u$ 在 $[-1,1]$ 上递增，在 $[1,3]$ 上递减。

同增异减：$y$ 的单调递增区间是 $[-1,1]$，单调递减区间是 $[1,3]$。

容易卡在：直接说“在 $(-\infty,1]$ 上递增”。单调区间必须在定义域 $[-1,3]$ 里面。

常用推论

• 在公共区间上，增函数 + 增函数是增函数，减函数 + 减函数是减函数。推导：$x_1<x_2$ 时两个不等式 $f(x_1)<f(x_2)$、$g(x_1)<g(x_2)$ 相加。
• $f(x)$ 递增，则 $-f(x)$ 递减；若 $f(x)$ 递增且恒正（或恒负），则 $\dfrac{1}{f(x)}$ 递减。推导：$0<f(x_1)<f(x_2)$ 两边取倒数，不等号反向。
• 复合函数同增异减。推导见本节“证明”。
• “对勾函数” $y=x+\dfrac{a}{x}$（$a>0$）：在 $(0,\sqrt{a}]$ 上递减，在 $[\sqrt{a},+\infty)$ 上递增；在 $(-\infty,-\sqrt{a}]$ 上递增，在 $[-\sqrt{a},0)$ 上递减。推导：照本节“证明”的例子作差，得 $f(x_1)-f(x_2)=\dfrac{(x_1-x_2)(x_1x_2-a)}{x_1x_2}$，$x_1x_2-a$ 的符号由 $x_1$、$x_2$ 都大于还是都小于 $\sqrt{a}$ 决定。
• 分段函数在 $\mathbf{R}$ 上递增，等价于：每一段递增，并且分界点处左段的值不大于右段的值。例 3 就是这样做的。

易错点

• 错在哪：说”$y=\dfrac{1}{x}$ 的单调递减区间是 $(-\infty,0) \cup (0,+\infty)$“。 为什么错：取 $x_1=-1<x_2=1$，有 $f(-1)=-1<f(1)=1$，合在一起并不递减。 正确做法：写成”$(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$“，或”$(-\infty,0)$，$(0,+\infty)$“。

• 错在哪：解 $f(a-1)<f(1-2a)$ 时只写 $a-1<1-2a$。 为什么错：$f$ 只在定义域上有意义，自变量跑出定义域，$f(a-1)$ 根本不存在。 正确做法：脱 $f$ 时同时列出“每个自变量都在定义域内”。
• 错在哪：分段函数在 $\mathbf{R}$ 上单调，只要求每一段单调。 为什么错：两段之间可能“往下掉一截”，见例 3 中 $a=3$ 的情况。 正确做法：加上分界点处的不等式，递增时左段末端不高于右段起点。

直观理解

从左往右看图像：一路上坡就是单调递增，一路下坡就是单调递减。定义里“任取 $x_1<x_2$“就是在这段坡上随便取两个点，右边那个总比左边那个高（递增）或低（递减）。

复合函数同增异减可以记成“负负得正”：把递减看成”$-$“，递增看成”$+$“，内外两层相乘的符号就是复合后的增减。

关联知识点

• 前置：第 5 章函数的概念，单调区间是定义域的子集。
• 前置：第 4 章二次函数的图像，二次函数的单调区间由对称轴分开。
• 后续：6.3 最大值和最小值，知道单调性就能求最值。
• 后续：第 7、8、9 章幂函数、指数函数、对数函数，每类函数都要讨论单调性；比较大小、解指数和对数不等式靠的就是单调性。
• 后续：第 25 章导数与单调性，复杂函数用导数的正负判断单调。
• 常一起考：6.4 奇偶性，“奇偶性 + 单调性解不等式”是固定题型。

6.3 最大值和最小值

说明

设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $I$。如果存在实数 $M$ 满足：

1. 对任意 $x \in I$，都有 $f(x) \le M$；
2. 存在 $x_0 \in I$，使得 $f(x_0)=M$，

那么 $M$ 是 $f(x)$ 的最大值。把条件 1 里的 $\le$ 换成 $\ge$，就是最小值的定义。

两个条件缺一不可：条件 1 说 $M$ 是“上限”，条件 2 说这个上限“取得到”。

求最值的常用方法：

方法	适用情况
单调性法	函数在区间上单调，或能分成几段单调
配方法	二次函数，看对称轴和区间的位置
图像法	分段函数、含绝对值的函数
基本不等式	和为定值求积的最大值、积为定值求和的最小值（第 3 章）
换元法	含根号或复合结构，换元后变成二次函数等熟悉的函数

使用场景

• 函数在闭区间上单调（或能看出单调性）求最值：最值在端点取得。
• 二次函数在给定区间上求最值，对称轴或区间含参数：按对称轴在区间左、中、右分类。
• 题目出现“对任意 $x$ 恒成立”或“存在 $x$ 使……成立”：转化为求函数的最大值或最小值。
• 实际问题求“用料最省”“面积最大”：先建立函数，写清自变量的实际范围，再求最值。

注意点

• 最值是一个函数值，最值点是取到它的自变量，不要混淆。
• 开区间上的函数不一定有最值。$f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 上没有最大值也没有最小值，因为 $1$ 和 $0$ 取不到。
• 用基本不等式求最值，等号取到的那个 $x$ 必须在定义域里，否则只能用单调性。
• 实际问题里自变量的范围由实际意义决定（长度为正、不超过墙长等），必须写出来，最值常常在范围的端点取得。

证明

结论：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调递增，则最小值是 $f(a)$，最大值是 $f(b)$。

任取 $x \in [a,b]$，则 $a \le x \le b$。由单调递增，$f(a) \le f(x) \le f(b)$（$x=a$ 或 $x=b$ 时取等号）。所以对任意 $x \in [a,b]$，$f(x) \le f(b)$，并且 $f(b)$ 能取到，满足最大值的两个条件；最小值同理。单调递减时反过来，最大值 $f(a)$，最小值 $f(b)$。

关键一步是”$f(b)$ 能取到”：$b$ 在区间里。如果区间是 $[a,b)$，$f(x)$ 可以无限接近 $f(b)$ 但取不到，于是没有最大值。

二次函数的最值：配方 $f(x)=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a}$。$a>0$ 时平方项 $\ge 0$，所以 $f(x) \ge \dfrac{4ac-b^2}{4a}$，在 $x=-\dfrac{b}{2a}$ 取等号，这就是定义域为 $\mathbf{R}$ 时的最小值。限制在区间上时，按对称轴的位置看区间上的单调性，再用上面的结论。

闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值：这条结论课本只用图像说明，没有证明。严格证明要用大学数学分析里的“闭区间上连续函数的最值定理”，它依赖实数的完备性。高中可以这样理解：在闭区间上一笔画出、不断开的曲线，一定有最高点和最低点。

例题

例 1　（场景：用单调性求闭区间上的最值）求 $f(x)=\dfrac{2}{x-1}$ 在 $[2,6]$ 上的最大值和最小值。

解：先判断单调性。任取 $2 \le x_1<x_2 \le 6$：

$$f(x_1)-f(x_2)=\frac{2}{x_1-1}-\frac{2}{x_2-1}=\frac{2(x_2-x_1)}{(x_1-1)(x_2-1)}.$$

$x_2-x_1>0$，$x_1-1>0$，$x_2-1>0$，所以 $f(x_1)-f(x_2)>0$，$f(x)$ 在 $[2,6]$ 上单调递减。

最大值 $f(2)=2$，最小值 $f(6)=\dfrac{2}{5}$。

例 2　（场景：含参数的二次函数最值）求 $f(x)=x^2-2ax+1$ 在 $[0,2]$ 上的最小值 $g(a)$ 和最大值 $h(a)$。

解：配方 $f(x)=(x-a)^2+1-a^2$，开口向上，对称轴 $x=a$。

最小值，按对称轴的位置分三种：

1. $a<0$：轴在区间左边，$f(x)$ 在 $[0,2]$ 上递增，$g(a)=f(0)=1$。
2. $0 \le a \le 2$：轴在区间内，$g(a)=f(a)=1-a^2$。
3. $a>2$：轴在区间右边，$f(x)$ 在 $[0,2]$ 上递减，$g(a)=f(2)=5-4a$。

最大值看哪个端点离对称轴远。区间中点是 1：

• $a \le 1$ 时，2 离轴更远（或一样远），$h(a)=f(2)=5-4a$；
• $a>1$ 时，0 离轴更远，$h(a)=f(0)=1$。

$$g(a)=\begin{cases} 1, & a<0, \\ 1-a^2, & 0 \le a \le 2, \\ 5-4a, & a>2, \end{cases} \qquad h(a)=\begin{cases} 5-4a, & a \le 1, \\ 1, & a>1. \end{cases}$$

容易卡在：最大值也按“轴在左、中、右”分三类。开口向上时最大值只可能在端点，比较的是两个端点到轴的距离，分界点是区间中点。

例 3　（场景：恒成立与有解）已知 $f(x)=x+\dfrac{4}{x}$，$x \in [1,3]$。

（1）若 $f(x) \ge a$ 对任意 $x \in [1,3]$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围； （2）若存在 $x \in [1,3]$ 使 $f(x) \ge a$ 成立，求 $a$ 的取值范围。

解：由 6.2 节的对勾函数结论（$a=4$，$\sqrt{4}=2$），$f(x)$ 在 $[1,2]$ 上递减，在 $[2,3]$ 上递增。

最小值 $f(2)=4$；最大值在端点中取：$f(1)=5$，$f(3)=3+\dfrac{4}{3}=\dfrac{13}{3}$，所以最大值是 5。

（1）“任意 $x$ 都有 $f(x) \ge a$”，等价于”$f(x)$ 最小的时候也 $\ge a$“，即 $f(x)_{\min} \ge a$，$a \le 4$。

（2）“存在 $x$ 使 $f(x) \ge a$”，等价于”$f(x)$ 最大的时候 $\ge a$“，即 $f(x)_{\max} \ge a$，$a \le 5$。

容易卡在：分不清恒成立用最小值还是最大值。问自己：“最不利的情况是哪一个？“恒成立要最不利的也满足；有解只要最有利的满足。

另一种解法：求最小值可以直接用基本不等式：$x>0$ 时 $x+\dfrac{4}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \dfrac{4}{x}}=4$，当且仅当 $x=\dfrac{4}{x}$，即 $x=2$ 时取等号，$2 \in [1,3]$，所以最小值是 4。只求最小值、且等号能取到时，基本不等式一步出结果；要求最大值，或等号取不到时，还得回到单调性。

例 4　（场景：实际问题的最值）用 20 m 长的篱笆靠墙围一块矩形菜地，墙可用的长度是 8 m，墙那一边不用篱笆。菜地面积最大是多少？

解：设垂直于墙的边长为 $x$ m，则平行于墙的边长为 $(20-2x)$ m。实际意义要求 $x>0$，且 $0<20-2x \le 8$，得 $6 \le x<10$。

面积

$$S(x)=x(20-2x)=-2x^2+20x=-2(x-5)^2+50,\quad 6 \le x<10.$$

对称轴 $x=5$ 在区间 $[6,10)$ 左边，$S(x)$ 在 $[6,10)$ 上递减，最大值是 $S(6)=6 \times 8=48$。菜地面积最大是 48 $\text{m}^2$，此时垂直于墙的边长 6 m，平行于墙的边长 8 m。

容易卡在：忘了墙长 8 m 的限制，直接配方得出 $x=5$ 时面积 50 $\text{m}^2$。$x=5$ 时平行于墙的边要 10 m，墙不够长。

常用推论

• 单调函数在闭区间上的最值在两个端点取得。推导见本节“证明”。
• 开口向上的二次函数在 $[m,n]$ 上：最小值看对称轴是否在区间内，在则取顶点，否则取离轴近的端点；最大值取离轴远的端点。开口向下时反过来。推导：对称轴两侧各自单调，函数值随“到轴的距离”增大而增大（开口向上）。

恒成立与有解（$x$ 在某个范围内取）：

条件	等价于
任意 $x$，$f(x) \ge a$	$f(x)_{\min} \ge a$
任意 $x$，$f(x) \le a$	$f(x)_{\max} \le a$
存在 $x$，$f(x) \ge a$	$f(x)_{\max} \ge a$
存在 $x$，$f(x) \le a$	$f(x)_{\min} \le a$

推导见例 3 的“最不利、最有利”。函数取不到最值时（比如开区间上单调），等号能否成立要单独看。

• $f(x) \ge g(x)$ 恒成立，等价于 $[f(x)-g(x)]_{\min} \ge 0$。推导：令 $h(x)=f(x)-g(x)$，套上表第一行。

易错点

• 错在哪：说”$f(x)=x^2$ 在 $(-1,2)$ 上的最大值是 4”。 为什么错：$x=2$ 不在区间里，$f(x)$ 取不到 4，只能无限接近。 正确做法：开区间端点处的值取不到。这道题的结论是“最小值 0，没有最大值”。
• 错在哪：说”$f(x)=x^2+1 \ge 0$，所以最小值是 0”。 为什么错：$0$ 满足”$f(x) \ge 0$“，但没有哪个 $x$ 让 $f(x)=0$，不满足定义的第二个条件。 正确做法：最值必须取得到。$f(x)=x^2+1$ 的最小值是 1，在 $x=0$ 取得。
• 错在哪：例 4 不写自变量的范围，直接配方。 为什么错：实际问题的最值点常落在范围的端点，忽略范围就会得到实际上做不到的答案。 正确做法：建立函数后第一步写出定义域，再看对称轴在不在定义域里。

直观理解

最大值就是图像在给定范围内的最高点的纵坐标，最小值是最低点的纵坐标。单调的一段图像像一段坡，最高最低点只可能在坡的两头；二次函数的图像像一只碗，碗底能不能取到要看区间有没有盖住对称轴。

关联知识点

• 前置：6.2 单调性，求最值的主要工具。
• 前置：第 3 章基本不等式求最值，是另一种求最值的方法，要求“一正二定三相等”。
• 前置：第 4 章恒成立与有解问题，二次函数的情形在那里已经出现过。
• 后续：第 25 章导数的应用，用导数求极值和最值，处理恒成立问题。
• 后续：第 10 章函数模型，实际问题求最值。

6.4 奇偶性

说明

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $I$，并且 $I$ 关于原点对称（$x \in I$ 时，$-x \in I$）。

• 偶函数：对任意 $x \in I$，都有 $f(-x)=f(x)$。
• 奇函数：对任意 $x \in I$，都有 $f(-x)=-f(x)$。

等价写法：

偶函数	奇函数
$f(-x)=f(x)$	$f(-x)=-f(x)$
$f(-x)-f(x)=0$	$f(-x)+f(x)=0$
$\dfrac{f(-x)}{f(x)}=1$（$f(x) \ne 0$）	$\dfrac{f(-x)}{f(x)}=-1$（$f(x) \ne 0$）

图像特征：偶函数的图像关于 $y$ 轴对称；奇函数的图像关于原点对称。

函数按奇偶性分四类：奇函数、偶函数、既奇又偶的函数（只有 $f(x)=0$，定义域关于原点对称）、非奇非偶的函数。

使用场景

• 判断函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，再算 $f(-x)$ 和 $f(x)$ 比较。
• 已知奇偶性和一侧的解析式，求另一侧的解析式：设 $x<0$，则 $-x>0$，代进已知的那一侧。
• 已知函数是奇函数或偶函数，求参数：定义域对称列一个方程，$f(-x)=\pm f(x)$ 恒成立再列方程。
• 奇偶性和单调性一起出现，解不等式或比较大小：偶函数用 $f(x)=f(|x|)$，奇函数把负号移进括号。
• 题目给 $f(x)=$ 奇函数 $+$ 常数，已知 $f(m)$ 求 $f(-m)$：把常数分出去，剩下的部分是奇函数。

注意点

• 定义域关于原点对称是前提。定义域不对称的函数，不用算就是非奇非偶。
• 奇函数如果在 $x=0$ 处有定义，一定有 $f(0)=0$；反过来，$f(0)=0$ 推不出奇函数。
• 定义里是“对任意 $x$“都成立。$f(-1)=f(1)$ 只能说明这一对点对称，不能说明是偶函数。
• 求另一侧解析式时，$x=0$ 处要单独交代：奇函数在 0 有定义时 $f(0)=0$。

证明

结论 1：偶函数的图像关于 $y$ 轴对称，奇函数的图像关于原点对称。

点 $(x,y)$ 关于 $y$ 轴的对称点是 $(-x,y)$，关于原点的对称点是 $(-x,-y)$。

设 $f(x)$ 是偶函数，$(x_0,y_0)$ 是图像上任意一点，即 $y_0=f(x_0)$。因为定义域关于原点对称，$-x_0$ 也在定义域内（关键一步：没有这一条，对称点的横坐标可能不在定义域里，对称点就不在图像上），且 $f(-x_0)=f(x_0)=y_0$，所以 $(-x_0,y_0)$ 也在图像上。图像上每个点关于 $y$ 轴的对称点都在图像上，所以图像关于 $y$ 轴对称。奇函数同理，对称点是 $(-x_0,-y_0)$，因为 $f(-x_0)=-f(x_0)=-y_0$。

反过来，图像关于 $y$ 轴（原点）对称的函数也是偶（奇）函数，倒推上面的过程即可。

结论 2：奇函数在 $x=0$ 有定义，则 $f(0)=0$。

令 $x=0$：$f(-0)=-f(0)$，即 $f(0)=-f(0)$，所以 $f(0)=0$。

结论 3：偶函数在 $[a,b]$（$0 \le a<b$）上单调递增，则在 $[-b,-a]$ 上单调递减；奇函数在 $[a,b]$ 上单调递增，则在 $[-b,-a]$ 上也单调递增。

任取 $-b \le x_1<x_2 \le -a$，则 $a \le -x_2<-x_1 \le b$（关键一步：乘以 $-1$，不等号反向，$-x_1$ 和 $-x_2$ 换了大小顺序）。因为 $f$ 在 $[a,b]$ 上递增，$f(-x_2)<f(-x_1)$。

• 偶函数：$f(-x_2)=f(x_2)$，$f(-x_1)=f(x_1)$，所以 $f(x_2)<f(x_1)$，在 $[-b,-a]$ 上递减。
• 奇函数：$f(-x_2)=-f(x_2)$，$f(-x_1)=-f(x_1)$，所以 $-f(x_2)<-f(x_1)$，即 $f(x_1)<f(x_2)$，在 $[-b,-a]$ 上递增。

例题

例 1　（场景：判断奇偶性）判断下列函数的奇偶性：

（1）$f(x)=x^3-2x$；（2）$f(x)=|x+1|+|x-1|$；（3）$f(x)=x^2$，$x \in [-1,2)$；（4）$f(x)=\sqrt{1-x^2}+\sqrt{x^2-1}$。

解：

（1）定义域 $\mathbf{R}$。$f(-x)=(-x)^3-2(-x)=-x^3+2x=-f(x)$，奇函数。

（2）定义域 $\mathbf{R}$。$f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x)$，偶函数。

（3）定义域 $[-1,2)$ 不关于原点对称（比如 $1.5$ 在里面，$-1.5$ 不在），非奇非偶。

（4）定义域要求 $1-x^2 \ge 0$ 且 $x^2-1 \ge 0$，只能 $x^2=1$，定义域是 $\{-1,1\}$，关于原点对称。此时 $f(x)=0$，所以 $f(-x)=f(x)$ 和 $f(-x)=-f(x)$ 都成立，既是奇函数又是偶函数。

容易卡在：第（3）题看到 $x^2$ 就说偶函数；第（4）题不求定义域，化不出 $f(x)=0$。

例 2　（场景：求另一侧的解析式）已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，当 $x>0$ 时，$f(x)=x^2-2x$。求 $f(x)$ 的解析式。

解：

• 设 $x<0$，则 $-x>0$，可以代入已知的式子：$f(-x)=(-x)^2-2(-x)=x^2+2x$。因为 $f$ 是奇函数，$f(x)=-f(-x)=-x^2-2x$。
• $x=0$：奇函数在 0 处有定义，$f(0)=0$。

所以

$$f(x)=\begin{cases} x^2-2x, & x \ge 0, \\ -x^2-2x, & x<0. \end{cases}$$

（$x=0$ 时 $x^2-2x=0$，可以并到第一段。）

容易卡在：设 $x<0$ 后直接把 $x$ 代进 $x^2-2x$。已知的式子只对正数成立，要代的是 $-x$。

例 3　（场景：已知奇偶性求参数）已知 $f(x)=ax^2+bx+3a+b$ 是偶函数，定义域为 $[a-1,2a]$，求 $a$、$b$。

解：偶函数的定义域关于原点对称，两个端点互为相反数：$a-1=-2a$，得 $a=\dfrac{1}{3}$。

再由 $f(-x)=f(x)$ 对定义域内任意 $x$ 成立：

$$a x^2-bx+3a+b=ax^2+bx+3a+b,$$

即 $2bx=0$ 对任意 $x$ 成立，所以 $b=0$。

答案：$a=\dfrac{1}{3}$，$b=0$。

另一种解法：求 $b$ 时用“偶函数的一次项系数为 0”：二次函数 $ax^2+bx+c$ 是偶函数，图像关于 $y$ 轴对称，对称轴 $x=-\dfrac{b}{2a}=0$，所以 $b=0$。选择题、填空题里直接看对称轴更快；解答题写 $f(-x)=f(x)$ 恒成立更规范，而且对非二次函数也适用。

例 4　（场景：奇偶性与单调性解不等式）已知偶函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，解不等式 $f(2x-1)<f\left(\dfrac{1}{3}\right)$。

解：按 $2x-1$ 的正负分两种情况。

1. $2x-1 \ge 0$，即 $x \ge \dfrac{1}{2}$：$2x-1$ 和 $\dfrac{1}{3}$ 都在 $[0,+\infty)$ 上，由递增得 $2x-1<\dfrac{1}{3}$，$x<\dfrac{2}{3}$。这一段解是 $\dfrac{1}{2} \le x<\dfrac{2}{3}$。
2. $2x-1<0$，即 $x<\dfrac{1}{2}$：由偶函数，$f(2x-1)=f(1-2x)$，$1-2x>0$，由递增得 $1-2x<\dfrac{1}{3}$，$x>\dfrac{1}{3}$。这一段解是 $\dfrac{1}{3}<x<\dfrac{1}{2}$。

合并：解集是 $\left(\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3}\right)$。

另一种解法：偶函数满足 $f(x)=f(|x|)$。原不等式化为 $f(|2x-1|)<f\left(\dfrac{1}{3}\right)$，两边的自变量都在 $[0,+\infty)$ 上，直接脱 $f$：$|2x-1|<\dfrac{1}{3}$，得 $\dfrac{1}{3}<x<\dfrac{2}{3}$。用 $f(|x|)$ 不用分类，是考场上的首选；分类讨论的写法适合刚学时理解为什么能这样做。

容易卡在：直接写 $2x-1<\dfrac{1}{3}$，漏掉 $2x-1$ 为负的那一半。

例 5　（场景：奇函数加常数求值）已知 $f(x)=ax^3+bx+1$，$f(2)=5$，求 $f(-2)$。

解：$a$、$b$ 两个未知数只有一个条件，解不出来，但不需要解。令 $g(x)=ax^3+bx$，$g(-x)=-ax^3-bx=-g(x)$，$g(x)$ 是奇函数。

$f(2)=g(2)+1=5$，得 $g(2)=4$；$g(-2)=-g(2)=-4$；$f(-2)=g(-2)+1=-3$。

容易卡在：以为 $f(x)$ 本身是奇函数，答 $f(-2)=-5$。常数项 1 让 $f$ 不再是奇函数。

常用推论

• 在公共定义域上：奇 $\pm$ 奇 $=$ 奇，偶 $\pm$ 偶 $=$ 偶；奇 $\times$ 奇 $=$ 偶，偶 $\times$ 偶 $=$ 偶，奇 $\times$ 偶 $=$ 奇（商同理，分母不为 0）。推导：例如 $f$、$g$ 都是奇函数，$h=fg$，则 $h(-x)=f(-x)g(-x)=(-f(x))(-g(x))=h(x)$。
• 奇函数在两个对称区间上单调性相同，偶函数在两个对称区间上单调性相反。推导见本节“证明”结论 3。
• 偶函数满足 $f(x)=f(|x|)$。推导：$x \ge 0$ 时显然；$x<0$ 时 $f(x)=f(-x)=f(|x|)$。
• 若 $f(x)=g(x)+c$，$g(x)$ 是奇函数，则 $f(x)+f(-x)=2c$；在对称区间 $[-a,a]$ 上，$f(x)$ 的最大值与最小值之和为 $2c$（最值存在时）。推导：$f(x)+f(-x)=g(x)+g(-x)+2c=2c$；$g$ 的图像关于原点对称，$g$ 的最大值和最小值互为相反数。

易错点

• 错在哪：判断 $f(x)=x^2$，$x \in [-1,2)$ 是偶函数。 为什么错：定义域不关于原点对称，$f(1.5)$ 存在而 $f(-1.5)$ 不存在，谈不上相等。 正确做法：第一步先看定义域。不对称，直接下结论“非奇非偶”。
• 错在哪：用”$f(0)=0$“判断函数是奇函数，或者对 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ 说”$f(0)$ 不为 0，所以不是奇函数”。 为什么错：$f(0)=0$ 只是“奇函数且 0 在定义域内”的必要条件。$f(x)=x^2$ 满足 $f(0)=0$ 但是偶函数；$f(x)=\dfrac{1}{x}$ 在 0 处没有定义，但它是奇函数。 正确做法：判断奇偶性一律用定义。$f(0)=0$ 只在“已知是奇函数、求参数”时当作一个方程来用，求出后还要检验。
• 错在哪：例 2 只写了 $x>0$ 和 $x<0$ 两段，漏了 $x=0$。 为什么错：定义域是 $\mathbf{R}$，$x=0$ 处的函数值也要给出。 正确做法：奇函数在 0 有定义时补上 $f(0)=0$，能并入哪一段就并入。

直观理解

偶函数：把图像沿 $y$ 轴对折，左右两半完全重合。奇函数：把图像绕原点转半圈（180°），和原来的图像重合。

记法：常见的 $y=x^n$（$n$ 为正整数），$n$ 是偶数时是偶函数，$n$ 是奇数时是奇函数，“奇偶”的名字就是这么来的。

关联知识点

• 前置：第 5 章函数的定义域，判断奇偶性的第一步。
• 前置：第 1 章集合，“定义域关于原点对称”就是集合里的每个元素的相反数也在集合里。
• 后续：6.6 对称性，奇偶性是“关于 $y$ 轴、关于原点”的特殊情形，推广到任意直线 $x=a$ 和任意点 $(a,b)$。
• 后续：第 7 章幂函数，五个常见幂函数的奇偶性。
• 后续：第 12 章三角函数，$\sin x$、$\tan x$ 是奇函数，$\cos x$ 是偶函数。
• 常一起考：6.2 单调性、6.5 周期性，抽象函数的综合题。

6.5 周期性

说明

周期函数：对于函数 $f(x)$，如果存在一个非零常数 $T$，使得当 $x$ 取定义域内的每一个值时，$x+T$ 也在定义域内，并且都有

$$f(x+T)=f(x),$$

那么 $f(x)$ 叫周期函数，$T$ 叫它的一个周期。

最小正周期：如果在所有周期中存在一个最小的正数，这个最小正数叫 $f(x)$ 的最小正周期。课本和考试里说“周期”，没有特别说明时一般指最小正周期。

几点事实：

• $T$ 是周期，则 $2T$、$3T$、$-T$ 等 $nT$（$n$ 为非零整数）也是周期。
• 不是每个周期函数都有最小正周期。常数函数 $f(x)=c$ 中任何非零实数都是周期，没有最小的正数。
• 课本中周期函数的定义在学三角函数时给出，正弦函数、余弦函数的最小正周期是 $2\pi$，详见第 12 章。

由抽象关系式得周期（$a \ne 0$）：

关系式	周期
$f(x+a)=f(x)$	$\lvert a\rvert$
$f(x+a)=f(x+b)$（$a \ne b$）	$\lvert a-b\rvert$
$f(x+a)=-f(x)$	$2\lvert a\rvert$
$f(x+a)=\dfrac{1}{f(x)}$	$2\lvert a\rvert$
$f(x+a)=-\dfrac{1}{f(x)}$	$2\lvert a\rvert$

使用场景

• 已知周期，求自变量很大（或很小）处的函数值：减去（或加上）周期的整数倍，移到已知解析式的区间里。
• 题目给的是 $f(x+2)=-f(x)$ 这类抽象关系式：先推出周期，再求值。
• 已知一个周期内的解析式，求另一个区间上的解析式：把另一区间的 $x$ 平移整数个周期，落回已知区间。

注意点

• 周期必须是非零常数。$f(x+x)=f(x)$ 这种“周期随 $x$ 变”的不算。
• 定义要求对每一个 $x$ 都成立。$f(x)=x^2$ 有 $f(-1+2)=f(-1)$，但 2 不是它的周期。
• 平移的方向别搞反：求 $f(2026)$ 要减去周期，求 $f(-4)$ 要加上周期，目标是落进已知解析式的区间。
• 区分”$T$ 是一个周期“和”$T$ 是最小正周期”。题目说“周期为 4”，最小正周期可能是 2。

证明

结论 1：若 $f(x+a)=-f(x)$，则 $2a$ 是周期。

把已知式中的 $x$ 换成 $x+a$（关键一步：已知式对任意 $x$ 成立，所以对 $x+a$ 也成立）：

$$f(x+2a)=f((x+a)+a)=-f(x+a)=-(-f(x))=f(x).$$

所以 $2a$ 是周期。

结论 2：若 $f(x+a)=\dfrac{1}{f(x)}$，则 $2a$ 是周期。 同样把 $x$ 换成 $x+a$：

$$f(x+2a)=\frac{1}{f(x+a)}=\frac{1}{\frac{1}{f(x)}}=f(x).$$

$f(x+a)=-\dfrac{1}{f(x)}$ 同理，两次负号抵消。

结论 3：若 $f(x+a)=f(x+b)$，则 $a-b$ 是周期。 把 $x$ 换成 $x-b$：$f(x+a-b)=f(x)$。

结论 4：$T$ 是周期，则 $nT$ 也是周期（$n$ 为非零整数）。 $f(x+2T)=f((x+T)+T)=f(x+T)=f(x)$，依此类推得正整数倍；$f(x-T)=f((x-T)+T)=f(x)$ 得 $-T$ 也是周期。

最小正周期是否存在、是多少，要对具体函数单独证明。正弦函数的最小正周期是 $2\pi$，课本用单位圆说明；一般函数的最小正周期，严格讨论要用到大学的实数理论，高中不要求。

例题

例 1　（场景：已知周期求函数值）已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的周期为 3 的函数，当 $x \in [0,3)$ 时，$f(x)=x^2-2x$。求 $f(2026)$ 和 $f(-4)$。

解：

• $2026=3 \times 675+1$，所以 $f(2026)=f(1)=1-2=-1$。
• $-4+3 \times 2=2$，所以 $f(-4)=f(2)=4-4=0$。

例 2　（场景：由抽象关系式推周期）已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，$f(x+2)=-f(x)$，当 $x \in [0,1]$ 时 $f(x)=x$。求 $f(7.5)$。

解：由 $f(x+2)=-f(x)$，得 $f(x+4)=-f(x+2)=f(x)$，周期为 4。

$f(7.5)=f(7.5-8)=f(-0.5)$。$-0.5$ 不在 $[0,1]$ 里，用奇函数：$f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5$。

所以 $f(7.5)=-0.5$。

容易卡在：减去周期后落到 $-0.5$，以为题目没给负数的解析式就做不下去。周期把自变量拉近，奇偶性再把负数翻成正数。

例 3　（场景：求另一个区间上的解析式）已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的周期为 2 的函数，当 $x \in [-1,1)$ 时，$f(x)=x^2$。求 $f(x)$ 在 $[1,3)$ 上的解析式。

解：设 $x \in [1,3)$，则 $x-2 \in [-1,1)$，可以代入已知的式子：$f(x-2)=(x-2)^2$。由周期为 2，$f(x)=f(x-2)=(x-2)^2$。

所以 $x \in [1,3)$ 时，$f(x)=(x-2)^2$。一般地，$x \in [2k-1,2k+1)$（$k \in \mathbf{Z}$）时，$f(x)=(x-2k)^2$。

容易卡在：写成 $f(x)=(x+2)^2$。要把 $x$ 拉回已知区间，$x \in [1,3)$ 得减 2，所以是 $x-2$ 代进去。

另一种解法：看图。周期为 2 就是把 $[-1,1)$ 上的那段抛物线向右平移 2 个单位，顶点从 $(0,0)$ 移到 $(2,0)$，按“左加右减”直接写出 $(x-2)^2$。图像平移熟练时这样更快，代数写法适合解答题。

常用推论

• $f(x+a)=f(x+b)$（$a \ne b$）$\Rightarrow$ 周期 $\lvert a-b\rvert$。推导见本节“证明”结论 3。
• $f(x+a)=-f(x)$ 或 $f(x+a)=\pm\dfrac{1}{f(x)}$ $\Rightarrow$ 周期 $2\lvert a\rvert$。推导见本节“证明”结论 1、2。
• 记法：等式两边的 $x$ 前面符号相同（都是 $+x$），说的是周期；符号相反（一边 $+x$，一边 $-x$），说的是对称（见 6.6 节）。
• 奇函数（或偶函数）再加上一条对称轴，也能推出周期，见 6.6 节常用推论。

易错点

• 错在哪：由 $f(1+2)=f(1)$ 说“2 是 $f(x)$ 的周期”。 为什么错：周期要求对定义域内每一个 $x$ 都有 $f(x+2)=f(x)$，一个点成立说明不了。 正确做法：只有题目给出对任意 $x$ 成立的关系式，才能谈周期。
• 错在哪：由 $f(x+2)=-f(x)$ 说“周期是 2”。 为什么错：加 2 后函数值变号，再加 2 才变回来。 正确做法：推两步，$f(x+4)=-f(x+2)=f(x)$，周期是 4。
• 错在哪：把 $f(x+1)=f(1-x)$ 当作周期为 0 或 2 的条件。 为什么错：两边 $x$ 前的符号相反，它说的是图像关于直线 $x=1$ 对称，不是周期。 正确做法：先看 $x$ 前的符号再判断，见 6.6 节。

直观理解

周期函数的图像像一条花边：截下长为 $T$ 的一段，往左右一段接一段地平移复制，就得到整个图像。求 $f(2026)$ 就是数一数 2026 落在第几个“花纹”的哪个位置。

$f(x+a)=-f(x)$ 的意思是“向右走 $a$，图像上下翻一次”，翻两次回到原样，所以走 $2a$ 重复一次。

关联知识点

• 前置：6.4 奇偶性，求值时周期常和奇偶性配合使用。
• 后续：6.6 对称性，两条对称轴或一轴一心可以推出周期。
• 后续：第 12 章三角函数的图像与性质，$y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 的周期 $T=\dfrac{2\pi}{\lvert\omega\rvert}$。
• 后续：第 22 章数列，周期数列求第 2026 项用的是同一种思路。

6.6 对称性

说明

奇偶性说的是图像关于 $y$ 轴、关于原点对称。把对称轴换成任意直线 $x=a$、把对称中心换成任意点 $(a,b)$，就得到一般的对称性。

轴对称：函数 $y=f(x)$ 的图像关于直线 $x=a$ 对称，等价于对定义域内任意 $x$：

$$f(a+x)=f(a-x),\quad\text{也可写成}\quad f(x)=f(2a-x).$$

中心对称：函数 $y=f(x)$ 的图像关于点 $(a,b)$ 对称，等价于对定义域内任意 $x$：

$$f(a+x)+f(a-x)=2b,\quad\text{也可写成}\quad f(x)+f(2a-x)=2b.$$

一般形式和读法：

关系式（对任意 $x$ 成立）	结论
$f(a+x)=f(b-x)$	关于直线 $x=\dfrac{a+b}{2}$ 对称
$f(a+x)+f(b-x)=c$	关于点 $\left(\dfrac{a+b}{2},\dfrac{c}{2}\right)$ 对称
$y=f(x+a)$ 是偶函数	$f(x)$ 关于直线 $x=a$ 对称
$y=f(x+a)-b$ 是奇函数	$f(x)$ 关于点 $(a,b)$ 对称
$f(x+a)=f(x+b)$	不是对称，是周期 $\lvert a-b\rvert$（6.5 节）

对称轴的横坐标就是两个自变量的平均数：$\dfrac{(a+x)+(b-x)}{2}=\dfrac{a+b}{2}$。对称中心的纵坐标是两个函数值的平均数 $\dfrac{c}{2}$。

两个函数之间的对称（和上面“一个函数自身的对称”不同）：$y=f(a+x)$ 与 $y=f(b-x)$ 的图像关于直线 $x=\dfrac{b-a}{2}$ 对称。特别地，$y=f(x)$ 与 $y=f(-x)$ 关于 $y$ 轴对称，$y=f(x)$ 与 $y=-f(x)$ 关于 $x$ 轴对称，$y=f(x)$ 与 $y=-f(-x)$ 关于原点对称。

课本习题 3.2 拓广探索第 13 题给出”$y=f(x)$ 的图像关于点 $P(a,b)$ 成中心对称图形的充要条件是 $y=f(x+a)-b$ 为奇函数”，并让学生类比写出关于轴对称的推广，就是上表第三、四行“平移后是偶函数、奇函数”的形式。

使用场景

• 题目给出 $f(x+1)=f(3-x)$、$f(x)+f(4-x)=2$、“$f(x+1)$ 是偶函数”这类条件：读出对称轴或对称中心。
• 求 $f(x)+f(2a-x)$ 型的和，或一串关于某点对称的函数值之和：先找对称中心，再两两配对（倒序相加）。
• 已知对称轴和一侧的单调性，解不等式或比较大小：自变量离对称轴越远（或越近），函数值越大。
• 题目同时给出两种对称（奇偶性也算），求很远处的函数值：先推出周期。

注意点

• 判定式要对定义域内任意 $x$ 成立；定义域本身也要关于对称轴（对称中心的横坐标）对称。
• $f(a+x)=f(b-x)$ 是对称，$f(x+a)=f(x+b)$ 是周期。区别只在 $x$ 前的符号，读题时先看这个。
• “$y=f(x+1)$ 是偶函数”翻译成 $f(-x+1)=f(x+1)$，是把自变量 $x$ 换成 $-x$，不是把 $x+1$ 整体换成 $-(x+1)$。
• 区分“一个函数图像自身对称”和“两个函数图像互相对称”：$f(1+x)=f(1-x)$ 是前者；$y=f(1+x)$ 与 $y=f(1-x)$ 是两个函数，它们关于 $y$ 轴对称，不是关于 $x=1$。

证明

结论 1：$f(x)$ 的图像关于直线 $x=a$ 对称 $\iff$ $f(x)=f(2a-x)$ 对定义域内任意 $x$ 成立。

点 $(x_0,y_0)$ 关于直线 $x=a$ 的对称点是 $(2a-x_0,y_0)$（关键一步：两点的中点在直线 $x=a$ 上，横坐标的平均数 $\dfrac{x_0+(2a-x_0)}{2}=a$，纵坐标不变）。

（$\Leftarrow$）任取图像上一点 $(x_0,y_0)$，$y_0=f(x_0)$。由已知 $f(2a-x_0)=f(x_0)=y_0$，所以对称点 $(2a-x_0,y_0)$ 也在图像上。图像关于 $x=a$ 对称。

（$\Rightarrow$）图像关于 $x=a$ 对称，则对任意 $x$，点 $(x,f(x))$ 的对称点 $(2a-x,f(x))$ 在图像上，即 $f(2a-x)=f(x)$。

把 $x$ 换成 $a+x$，$f(a+x)=f(2a-(a+x))=f(a-x)$，就是另一种写法。

结论 2：$f(x)$ 的图像关于点 $(a,b)$ 对称 $\iff$ $f(x)+f(2a-x)=2b$。

点 $(x_0,y_0)$ 关于点 $(a,b)$ 的对称点是 $(2a-x_0,2b-y_0)$（$(a,b)$ 是两点连线的中点）。仿照结论 1，图像上每个点的对称点都在图像上，就是 $f(2a-x)=2b-f(x)$，移项即得。

结论 3：$y=f(x+a)-b$ 是奇函数 $\iff$ $f(x)$ 的图像关于点 $(a,b)$ 对称。

令 $g(x)=f(x+a)-b$。$g$ 是奇函数，即 $g(-x)+g(x)=0$：

$$f(-x+a)-b+f(x+a)-b=0 \iff f(a+x)+f(a-x)=2b.$$

这就是结论 2 的另一种写法。从图像上看，$g(x)$ 的图像是把 $f(x)$ 的图像向左平移 $a$、向下平移 $b$ 得到的，对称中心 $(a,b)$ 正好移到原点。$y=f(x+a)$ 是偶函数与关于 $x=a$ 对称的等价性同理。

结论 4：图像有两条对称轴 $x=a$ 和 $x=b$（$a \ne b$），则 $2\lvert b-a\rvert$ 是周期。

由结论 1，$f(x)=f(2a-x)$，$f(x)=f(2b-x)$。所以 $f(2a-x)=f(2b-x)$ 对任意 $x$ 成立。把 $x$ 换成 $2a-x$（关键一步：让左边变回 $f(x)$）：

$$f(x)=f(2b-2a+x).$$

所以 $2(b-a)$ 是周期。

一轴一心的情况：设关于直线 $x=a$ 对称、关于点 $(b,0)$ 对称，则 $f(x)=-f(2b-x)=-f(2a-(2b-x))=-f(x+2a-2b)$。由 6.5 节结论 1，$2 \times 2\lvert a-b\rvert=4\lvert a-b\rvert$ 是周期。对称中心是 $(b,c)$ 时，对 $f(x)-c$ 用同样的推理。

例题

例 1　（场景：读出对称轴或对称中心）根据下列条件（对任意实数 $x$ 成立），说出函数 $f(x)$ 的图像有什么对称性或周期性：

（1）$f(x+1)=f(3-x)$；（2）$f(x)+f(4-x)=2$；（3）$f(x+1)=f(x+3)$；（4）$y=f(x+1)$ 是偶函数；（5）$y=f(x-1)+2$ 是奇函数。

解：

（1）$x$ 前符号相反，是轴对称。对称轴 $x=\dfrac{1+3}{2}=2$。

（2）关于点 $\left(\dfrac{0+4}{2},\dfrac{2}{2}\right)=(2,1)$ 对称。

（3）$x$ 前符号相同，是周期，周期 $\lvert 1-3\rvert=2$。

（4）$f(-x+1)=f(x+1)$，即 $f(1+x)=f(1-x)$，关于直线 $x=1$ 对称。

（5）令 $g(x)=f(x-1)+2$，$g(-x)+g(x)=0$：$f(-x-1)+2+f(x-1)+2=0$，即 $f(-1+x)+f(-1-x)=-4$，关于点 $(-1,-2)$ 对称。

容易卡在：第（5）题由”$f(x+a)-b$ 是奇函数，中心 $(a,b)$“直接套成 $(1,2)$。这里 $a=-1$，$-b=2$，所以 $b=-2$。符号拿不准时，像上面一样写出 $g(-x)+g(x)=0$ 展开。

例 2　（场景：找对称中心，配对求和）已知 $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$。

（1）证明 $f(x)$ 的图像关于点 $(1,2)$ 对称； （2）求 $f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)$。

解：（1）只需证明 $f(x)+f(2-x)=4$ 对 $x \ne 1$ 成立（$x \ne 1$ 时 $2-x \ne 1$，定义域关于 1 对称）。

$$f(2-x)=\frac{2(2-x)+1}{(2-x)-1}=\frac{5-2x}{1-x}=\frac{2x-5}{x-1},$$ $$f(x)+f(2-x)=\frac{2x+1}{x-1}+\frac{2x-5}{x-1}=\frac{4x-4}{x-1}=4.$$

所以图像关于点 $(1,2)$ 对称。

（2）八个自变量按“和为 2”配成四对：$-3$ 与 $5$，$-2$ 与 $4$，$-1$ 与 $3$，$0$ 与 $2$。每对的函数值之和都是 4，总和 $4 \times 4=16$。

容易卡在：第（2）问逐个代入计算，八个分式算下来又慢又容易错。看到“一串函数值求和”，先找对称中心。

另一种解法：（1）分离常数：$f(x)=\dfrac{2(x-1)+3}{x-1}=2+\dfrac{3}{x-1}$。它的图像是把 $y=\dfrac{3}{x}$ 向右平移 1、向上平移 2 得到的。$y=\dfrac{3}{x}$ 是奇函数，关于原点对称，平移后对称中心移到 $(1,2)$。分式型函数用分离常数一眼就能看出中心；要证明 $f(x)+f(2a-x)=2b$ 这种等式，或函数不是分式型时，还是用判定式。

例 3　（场景：对称性与单调性解不等式）已知 $f(x)$ 满足 $f(1+x)=f(1-x)$ 对任意实数 $x$ 成立，且在 $[1,+\infty)$ 上单调递增。解不等式 $f(x+2)>f(2x)$。

解：图像关于 $x=1$ 对称，右侧递增，所以左侧递减，自变量离 1 越远，函数值越大。不等式等价于 $x+2$ 比 $2x$ 离 1 更远：

$$\lvert (x+2)-1\rvert>\lvert 2x-1\rvert,\quad\text{即}\quad \lvert x+1\rvert>\lvert 2x-1\rvert.$$

两边平方：$x^2+2x+1>4x^2-4x+1$，$3x^2-6x<0$，$0<x<2$。

解集是 $(0,2)$。

容易卡在：直接写 $x+2>2x$。$f$ 在整个 $\mathbf{R}$ 上不单调，不能直接脱 $f$。

例 4　（场景：两种对称推出周期）已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，图像关于直线 $x=1$ 对称，当 $x \in [0,1]$ 时 $f(x)=x^2$。求 $f(2025)$ 和 $f\left(\dfrac{7}{2}\right)$。

解：先求周期。关于 $x=1$ 对称：$f(x)=f(2-x)$。奇函数：$f(2-x)=-f(x-2)$。所以

$$f(x)=-f(x-2).$$

把 $x$ 换成 $x+2$：$f(x+2)=-f(x)$。由 6.5 节，周期为 4。

• $2025=4 \times 506+1$，$f(2025)=f(1)=1$。
• $\dfrac{7}{2}-4=-\dfrac{1}{2}$，$f\left(\dfrac{7}{2}\right)=f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{1}{4}$。

容易卡在：不知道从哪里得到周期。两种对称各写成一个等式，把其中一个的右边代进另一个，消掉中间量。

另一种解法：直接用推论“关于原点对称（奇函数）+ 关于直线 $x=1$ 对称 $\Rightarrow$ 周期 $4 \times \lvert 1-0\rvert=4$”。选择题里直接用推论最快；解答题要写出上面的推导。

常用推论

• $f(a+x)=f(b-x)$ $\Rightarrow$ 对称轴 $x=\dfrac{a+b}{2}$；$f(a+x)+f(b-x)=c$ $\Rightarrow$ 对称中心 $\left(\dfrac{a+b}{2},\dfrac{c}{2}\right)$。推导：令 $t=a+x$，则 $b-x=a+b-t$，化成本节“证明”结论 1、2 的形式。
• 分式函数 $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$（$c \ne 0$，$ad-bc \ne 0$）的图像关于点 $\left(-\dfrac{d}{c},\dfrac{a}{c}\right)$ 对称。推导：分离常数 $y=\dfrac{a}{c}+\dfrac{bc-ad}{c(cx+d)}$，是反比例函数平移得到的，见例 2 的另一种解法。

两种对称推出周期（两条对称轴、一轴一心的推导见本节“证明”结论 4，两个对称中心同理）：

已知	周期
对称轴 $x=a$ 和 $x=b$	$2\lvert b-a\rvert$
对称中心 $(a,c)$ 和 $(b,c)$	$2\lvert b-a\rvert$
对称轴 $x=a$，对称中心 $(b,c)$	$4\lvert b-a\rvert$
偶函数，且关于直线 $x=a$（$a \ne 0$）对称	$2\lvert a\rvert$
奇函数，且关于直线 $x=a$（$a \ne 0$）对称	$4\lvert a\rvert$

后两行是前两类的特例：偶函数关于 $x=0$ 对称，奇函数关于 $(0,0)$ 对称。

易错点

• 错在哪：“$y=f(x+1)$ 是偶函数”翻译成 $f(-x-1)=f(x+1)$，得出 $f(x)$ 关于 $x=0$ 对称。 为什么错：偶函数的定义是“把自变量 $x$ 换成 $-x$，函数值不变”。$y=f(x+1)$ 的自变量是 $x$，换成 $-x$ 得 $f(-x+1)$。 正确做法：写成 $f(1-x)=f(1+x)$，对称轴是 $x=1$。
• 错在哪：由 $f(x+2)=f(x-2)$ 说“图像关于 $x=0$ 对称”。 为什么错：两边 $x$ 前的符号相同，说的是周期，不是对称。 正确做法：$f(x+2)=f(x-2)$ 表示周期 $\lvert 2-(-2)\rvert=4$。
• 错在哪：认为 $y=f(1+x)$ 与 $y=f(1-x)$ 的图像关于直线 $x=1$ 对称。 为什么错：这是两个函数之间的对称。设 $g(x)=f(1+x)$，则 $f(1-x)=g(-x)$，$y=g(x)$ 与 $y=g(-x)$ 关于 $y$ 轴对称。 正确做法：两个函数 $y=f(a+x)$ 与 $y=f(b-x)$ 关于 $x=\dfrac{b-a}{2}$ 对称，这里 $a=b=1$，对称轴是 $x=0$。

直观理解

轴对称：沿直线 $x=a$ 把图像对折，两边重合。判定式 $f(a+x)=f(a-x)$ 就是“从 $a$ 往右走 $x$ 和往左走 $x$，高度一样”。

中心对称：把图像绕点 $(a,b)$ 转半圈，和原来重合。判定式 $f(a+x)+f(a-x)=2b$ 就是“从 $a$ 往右走 $x$ 和往左走 $x$，两个高度的平均数正好是 $b$”。

两条对称轴推出周期：像两面相对的镜子，图像在两面镜子之间来回反射，每隔两倍镜距重复一次。

关联知识点

• 前置：6.4 奇偶性，是关于 $y$ 轴、原点对称的特殊情形。
• 前置：第 4 章二次函数，$y=ax^2+bx+c$ 关于直线 $x=-\dfrac{b}{2a}$ 对称，是最常用的轴对称。
• 后续：6.5 周期性，两种对称推出周期。
• 后续：第 12 章三角函数，$y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 有无数条对称轴和无数个对称中心，判断方法和本节相同。
• 后续：第 23 章数列求和的倒序相加法，用的就是例 2 的配对思路。
• 后续：第 25 章导数，三次函数的图像关于某一点中心对称，可以用本节的判定式验证。

6.7 知识点之间的关系

单调性和最值是一组：单调性说图像往哪个方向走，最值是走到头的位置，求最值的主要办法就是先判断单调性。奇偶性、对称性和周期性是另一组：奇偶性是关于 $y$ 轴和原点的对称，推广到任意直线和任意点就是对称性；两种对称叠在一起，图像不断重复，就是周期性。

两组之间靠“对称区间上的单调性”连起来：知道一侧的单调性，由奇偶性或对称性就知道另一侧的单调性，这就是“奇偶性 + 单调性解不等式”那类题的原理。

考试里的典型组合有两种。一是抽象函数小题：给出奇偶性、对称性、周期性中的两三条和一段解析式，求很远处的函数值或解不等式。二是具体函数：先用单调性求最值，再把恒成立转化为最值问题，到了选择性必修，单调性改用导数判断（第 25 章）。

6.8 自测

1. 求 $f(x)=-x^2+4x$ 的单调递增区间。
2. 若 $f(x)=x^2+(a-1)x+2$ 在 $(-\infty,4]$ 上单调递减，求实数 $a$ 的取值范围。
3. 求 $f(x)=x^2-4x+5$ 在 $[0,3]$ 上的最大值和最小值。
4. 已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，当 $x>0$ 时 $f(x)=x^2+1$。求 $f(-2)$ 和 $f(0)$。
5. 判断 $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ 的奇偶性。
6. 已知 $f(x+3)=-f(x)$ 对任意实数 $x$ 成立，$f(1)=2$，求 $f(10)$。
7. 若 $f(x)+f(-2-x)=6$ 对任意实数 $x$ 成立，写出 $f(x)$ 图像的对称中心。
8. 已知 $f(x)=x^2+bx+c$ 满足 $f(2+x)=f(2-x)$，求 $b$。

答案：1. $(-\infty,2]$；2. $a \le -7$；3. 最大值 5，最小值 1；4. $f(-2)=-5$，$f(0)=0$；5. 奇函数；6. $-2$；7. $(-1,3)$；8. $b=-4$。

6.9 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台 · 高中数学：搜索“函数的单调性”“函数的奇偶性”，有对应人教 A 版必修第一册 3.2 节的课堂视频和课件。
• 维基百科 · 单调函数：单调函数的定义、图像和例子，比课本多讲了严格单调与非严格单调的区别。
• 维基百科 · 奇函数与偶函数：奇偶函数的定义、运算性质，以及任意函数都能拆成一个奇函数加一个偶函数。
• 维基百科 · 周期函数：周期和最小正周期的定义，附常数函数、狄利克雷函数这类没有最小正周期的例子。