第 32 章 · 抛物线

项目	内容
课标主题	选择性必修 · 几何与代数 · 平面解析几何 · 圆锥曲线与方程
人教 A 版	选择性必修第一册 第三章 3.3
考试地位	常考。新高考全国卷（2025 年起称全国一卷、二卷）每套卷都有一道圆锥曲线解答题，2021–2026 年共 12 道：椭圆 6 道（2021 年Ⅱ卷，2024 年Ⅰ卷，2025、2026 年一卷和二卷），双曲线 5 道（2021 年Ⅰ卷，2022 年Ⅰ、Ⅱ卷，2023 年Ⅱ卷，2024 年Ⅱ卷），抛物线 1 道（2023 年Ⅰ卷）；抛物线出在解答题里时，走第 33 章“设直线、联立、韦达定理”的套路。小题常考定义的转化（到焦点的距离换成到准线的距离）和焦点弦
前置知识	第 28 章直线的方程（斜率、倾斜角、点到直线的距离）、第 29 章圆的方程、两点间距离公式、第 4 章二次函数

抛物线是三种圆锥曲线里方程最简单的一种：只有一个焦点、一条准线，一个参数 $p$ 就把它定下来了。它的题目难度不在方程，而在“转化”：到焦点的距离和到准线的距离可以互换，这一步想到了，很多题两三行就做完；想不到，就只能硬算。丢分多丢在三处：把 $y = ax^2$ 的焦点算错、对称轴不确定时只写一种方程、焦点弦的公式用在了不过焦点的弦上。

32.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
32.2 抛物线的定义和标准方程	到定点和到定直线距离相等的点的轨迹；四种标准方程由一次项定轴、由符号定开口	必考，多为小题
32.3 抛物线的几何性质	范围、对称轴、顶点、离心率 $e = 1$；$p$ 越大开口越大	常考，多和别的知识一起考
32.4 焦点弦	焦半径 $\lvert MF \rvert = x_0 + \dfrac{p}{2}$，焦点弦长 $x_1 + x_2 + p$，$y_1 y_2 = -p^2$，通径 $2p$	常考，小题的高频考点

32.2 抛物线的定义和标准方程

说明

定义：平面内与一个定点 $F$ 和一条定直线 $l$（$F$ 不在 $l$ 上）距离相等的点的轨迹叫抛物线。定点 $F$ 叫抛物线的焦点，定直线 $l$ 叫抛物线的准线。

用式子写：点 $M$ 在抛物线上，等价于 $|MF| = d$，其中 $d$ 是 $M$ 到准线 $l$ 的距离。

焦准距 $p$：焦点到准线的距离记作 $p$（$p > 0$）。抛物线的形状完全由 $p$ 决定。

四种标准方程：把顶点放在原点、对称轴放在坐标轴上，按开口方向有四种：

标准方程	开口	焦点	准线
$y^2 = 2px$	向右	$\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$	$x = -\dfrac{p}{2}$
$y^2 = -2px$	向左	$\left(-\dfrac{p}{2}, 0\right)$	$x = \dfrac{p}{2}$
$x^2 = 2py$	向上	$\left(0, \dfrac{p}{2}\right)$	$y = -\dfrac{p}{2}$
$x^2 = -2py$	向下	$\left(0, -\dfrac{p}{2}\right)$	$y = \dfrac{p}{2}$

表里的 $p$ 都大于 0。

怎么认：

• 一次项是谁，对称轴就是谁：一次项是 $x$（$y^2 = \pm 2px$），对称轴是 $x$ 轴；一次项是 $y$，对称轴是 $y$ 轴。
• 一次项的符号定开口：正号开口朝该轴正方向，负号朝负方向。
• 焦点坐标是一次项系数的 $\dfrac{1}{4}$：$y^2 = 2px$ 的一次项系数是 $2p$，焦点横坐标是 $\dfrac{2p}{4} = \dfrac{p}{2}$。准线和焦点关于原点对称。

使用场景

• 已知方程求焦点和准线：题目给出 $y^2 = -6x$、$y = 4x^2$ 这类方程，先化成标准形式，再读出 $p$。
• 已知焦点、准线或曲线上的点，求标准方程：题目说“顶点在原点、对称轴是坐标轴”，就是在四种标准方程里选。
• 求动点的轨迹：题目里出现“到定点的距离等于（或比……多、少）到定直线的距离”，或者“动圆过定点且与定直线相切”，想到抛物线的定义。
• 已知抛物线上一点到焦点的距离，求点的坐标或 $p$：把到焦点的距离换成到准线的距离。
• 抛物线上的动点与焦点、定点构成的距离和求最值：题目里出现 $|PA| + |PF|$，$F$ 是焦点，把 $|PF|$ 换成 $P$ 到准线的距离。

注意点

• 标准方程里的 $p$ 一定大于 0，它是焦点到准线的距离。$y^2 = -6x$ 的 $p$ 是 3，不是 $-3$。
• $y = ax^2$ 不是标准形式，要先化成 $x^2 = \dfrac{1}{a}y$。这是最常见的丢分点。
• 定义要求 $F$ 不在 $l$ 上。如果 $F$ 在 $l$ 上，到 $F$ 和到 $l$ 距离相等的点是过 $F$ 且垂直于 $l$ 的一条直线，不是抛物线。
• 题目只说“顶点在原点、对称轴是坐标轴”而没说是哪条轴，过一点的抛物线一般有两条，两种都要写。
• 用定义求轨迹时，要检查轨迹上的点是不是都满足条件，有没有要去掉的部分。

证明

结论：以 $F\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$ 为焦点、$x = -\dfrac{p}{2}$ 为准线的抛物线，方程是 $y^2 = 2px$。

建系的方法：过焦点 $F$ 作准线 $l$ 的垂线，垂足为 $K$，以 $KF$ 的中点为原点、$KF$ 所在直线为 $x$ 轴建立坐标系。$|KF| = p$，所以 $F\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$，准线是 $x = -\dfrac{p}{2}$。

设 $M(x, y)$ 是抛物线上任意一点，$M$ 到准线的距离 $d = \left|x + \dfrac{p}{2}\right|$。由定义 $|MF| = d$：

$$\sqrt{\left(x - \frac{p}{2}\right)^2 + y^2} = \left|x + \frac{p}{2}\right|.$$

两边平方（关键一步：两边都是非负数，平方前后等价，不会多出解也不会丢解）：

$$x^2 - px + \frac{p^2}{4} + y^2 = x^2 + px + \frac{p^2}{4},$$

化简得

$$y^2 = 2px.$$

反过来，满足 $y^2 = 2px$ 的点倒推回去也满足 $|MF| = d$，所以这个方程就是抛物线的方程。

另外三种标准方程同理：焦点放在 $x$ 轴负半轴得 $y^2 = -2px$；焦点放在 $y$ 轴上，把上面推导里的 $x$、$y$ 互换，得 $x^2 = \pm 2py$。

例题

例 1　（场景：已知方程求焦点和准线）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1) $y^2 = -6x$；(2) $y = 4x^2$。

解：

(1) 对照 $y^2 = -2px$，$2p = 6$，$p = 3$。开口向左，焦点 $\left(-\dfrac{3}{2}, 0\right)$，准线 $x = \dfrac{3}{2}$。

(2) 先化成标准形式：$x^2 = \dfrac{1}{4}y$。对照 $x^2 = 2py$，$2p = \dfrac{1}{4}$，$p = \dfrac{1}{8}$。开口向上，焦点 $\left(0, \dfrac{1}{16}\right)$，准线 $y = -\dfrac{1}{16}$。

容易卡在：(2) 不化标准形式，直接把 4 当成”$2p$“，得到焦点 $(0, 1)$。

例 2　（场景：求标准方程）求满足下列条件的抛物线的标准方程（顶点在原点，对称轴是坐标轴）：(1) 焦点在直线 $x - 2y - 4 = 0$ 上；(2) 经过点 $(-2, 4)$。

解：

(1) 焦点在坐标轴上，又在直线 $x - 2y - 4 = 0$ 上，所以焦点是这条直线与坐标轴的交点。

• 令 $y = 0$，得 $x = 4$，焦点 $(4, 0)$：$\dfrac{p}{2} = 4$，$p = 8$，方程 $y^2 = 16x$。
• 令 $x = 0$，得 $y = -2$，焦点 $(0, -2)$：$\dfrac{p}{2} = 2$，$p = 4$，开口向下，方程 $x^2 = -8y$。

所以方程是 $y^2 = 16x$ 或 $x^2 = -8y$。

(2) 点 $(-2, 4)$ 在第二象限，抛物线可能开口向左，也可能开口向上。

• 开口向左，设 $y^2 = -2px$：$16 = -2p \cdot (-2) = 4p$，$p = 4$，方程 $y^2 = -8x$。
• 开口向上，设 $x^2 = 2py$：$4 = 2p \cdot 4 = 8p$，$p = \dfrac{1}{2}$，方程 $x^2 = y$。

所以方程是 $y^2 = -8x$ 或 $x^2 = y$。

容易卡在：只想到一种开口，漏掉另一个答案。

另一种解法：(2) 不先判断开口，直接设 $y^2 = mx$ 和 $x^2 = ny$（$m, n \ne 0$）。代入 $(-2, 4)$：$16 = -2m$，$m = -8$；$4 = 4n$，$n = 1$。得 $y^2 = -8x$ 或 $x^2 = y$。$m$、$n$ 的符号自己算出来，不用画图判断开口。已知点、求方程时这种设法更省事；已知焦点或准线时，还是直接用四种标准形式读 $p$ 更快。

例 3　（场景：求动点的轨迹）动点 $M$ 到点 $F(3, 0)$ 的距离比它到直线 $x + 4 = 0$ 的距离小 1，求 $M$ 的轨迹方程。

解：设 $M(x, y)$。先看 $M$ 在直线 $x = -4$ 的哪一侧。

• 若 $x < -4$，$M$ 到 $F$ 的距离至少是 $3 - x$，而到直线 $x = -4$ 的距离是 $-4 - x$，前者比后者大 7，不可能“小 1”。
• 所以 $M$ 在直线 $x = -4$ 右侧，$M$ 到 $x = -4$ 的距离是 $x + 4$，条件变成 $|MF| = x + 4 - 1 = x + 3$。

$x + 3$ 正好是 $M$ 到直线 $x = -3$ 的距离。于是 $M$ 到点 $F(3, 0)$ 的距离等于到直线 $x = -3$ 的距离，$M$ 的轨迹是以 $F$ 为焦点、$x = -3$ 为准线的抛物线。

$\dfrac{p}{2} = 3$，$p = 6$，轨迹方程是 $y^2 = 12x$。

容易卡在：看不出“小 1”可以通过把直线平移 1 个单位变成“相等”，于是直接列根式方程硬算。

例 4　（场景：已知到焦点的距离求点的坐标）抛物线 $y^2 = 2px$（$p > 0$）上一点 $M(4, m)$ 到焦点的距离是 5，求 $p$ 和 $m$。

解：准线是 $x = -\dfrac{p}{2}$。由定义，$M$ 到焦点的距离等于 $M$ 到准线的距离：

$$4 + \frac{p}{2} = 5,$$

得 $p = 2$，抛物线是 $y^2 = 4x$。$M$ 在抛物线上，$m^2 = 4 \times 4 = 16$，$m = \pm 4$。

例 5　（场景：距离和的最值）已知点 $A(3, 2)$，$F$ 是抛物线 $y^2 = 4x$ 的焦点，点 $P$ 在抛物线上移动。求 $|PA| + |PF|$ 的最小值，以及取最小值时 $P$ 的坐标。

解：$p = 2$，焦点 $F(1, 0)$，准线 $x = -1$。

先确认 $A$ 在抛物线“里面”（含焦点的一侧）：把 $y = 2$ 代入，抛物线上的点横坐标是 1，而 $A$ 的横坐标 3 大于 1，所以 $A$ 在里面。

作 $PN \perp$ 准线，垂足为 $N$。由定义 $|PF| = |PN|$，所以

$$|PA| + |PF| = |PA| + |PN|.$$

$|PA| + |PN|$ 是从 $A$ 到 $P$ 再到准线的折线长。$A$ 到准线的所有折线中，最短的是从 $A$ 直接向准线作的垂线段，长 $3 - (-1) = 4$。当 $P$ 恰好在这条垂线段上时取到，此时 $P$ 的纵坐标是 2，横坐标 $\dfrac{2^2}{4} = 1$。

所以最小值是 4，此时 $P(1, 2)$。

容易卡在：直接对 $|PA| + |PF|$ 用“两点之间线段最短”，可 $A$ 和 $F$ 在抛物线同一侧，线段 $AF$ 不经过抛物线。必须先把 $|PF|$ 换掉。

常用推论

• $y = ax^2$（$a \ne 0$）的焦点是 $\left(0, \dfrac{1}{4a}\right)$，准线是 $y = -\dfrac{1}{4a}$。推导：化成 $x^2 = \dfrac{1}{a}y$，焦点纵坐标是一次项系数的 $\dfrac{1}{4}$。$a$ 的正负自动决定开口。
• 同理，$y^2 = mx$（$m \ne 0$）的焦点是 $\left(\dfrac{m}{4}, 0\right)$，准线是 $x = -\dfrac{m}{4}$；$x^2 = ny$（$n \ne 0$）的焦点是 $\left(0, \dfrac{n}{4}\right)$，准线是 $y = -\dfrac{n}{4}$。用这种写法不必分开口方向讨论符号。
• 抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这一条可以双向用：求 $|PF|$ 时换成到准线的距离（例 4），求到准线或到 $y$ 轴的距离时换成 $|PF|$（自测第 3 题）。到 $y$ 轴的距离 $= |PF| - \dfrac{p}{2}$（对 $y^2 = 2px$）。
• 动圆过定点 $F$ 又与定直线 $l$ 相切（$F$ 不在 $l$ 上），圆心的轨迹是以 $F$ 为焦点、$l$ 为准线的抛物线。推导：圆心到 $F$ 的距离和到 $l$ 的距离都等于半径。

易错点

• 错在哪：$y = 4x^2$ 的焦点写成 $(1, 0)$ 或 $(0, 1)$。 为什么错：$y = 4x^2$ 不是标准形式，4 不是”$2p$“，对称轴也不是 $x$ 轴。 正确做法：先化成 $x^2 = \dfrac{1}{4}y$，读出 $2p = \dfrac{1}{4}$，焦点 $\left(0, \dfrac{1}{16}\right)$。
• 错在哪：过一点求抛物线的标准方程，只写一个答案。 为什么错：一个不在坐标轴上的点，既在某条开口朝 $x$ 轴方向的抛物线上，也在某条开口朝 $y$ 轴方向的抛物线上。 正确做法：题目没说对称轴是哪条时，$y^2 = mx$ 和 $x^2 = ny$ 两种都设。
• 错在哪：认为 $y^2 = -6x$ 的 $p = -3$，焦点是 $\left(\dfrac{3}{2}, 0\right)$。 为什么错：$p$ 是距离，永远大于 0，符号放在方程里表示开口方向。 正确做法：$y^2 = -2px$ 对应 $2p = 6$，$p = 3$，开口向左，焦点 $\left(-\dfrac{3}{2}, 0\right)$。或者直接用推论：焦点横坐标是 $\dfrac{-6}{4}$。

直观理解

抛物线就是“焦点和准线的中垂线”的推广：到一个点和到一条直线等距的点，连起来弯成一个碗，碗口朝着焦点那一侧张开，碗底（顶点）正好在焦点和准线正中间。

记标准方程只需要一句话：“一次项定轴、符号定开口、系数除以 4 是焦点。”

关联知识点

• 前置：第 28 章直线的方程，点到直线的距离公式在定义里用到。
• 前置：第 4 章二次函数。$y = ax^2 + bx + c$ 的图像就是一条开口向上或向下的抛物线，本章给出了它的焦点和准线。
• 对照：第 30 章椭圆、第 31 章双曲线，三种曲线都是“由定义列方程、化简得标准方程”，抛物线只有一个焦点，标准方程里只有一个变量是平方，也没有常数项。
• 后续：32.4 焦点弦，焦半径公式就是本节定义的直接推论。
• 后续：第 33 章直线与圆锥曲线，联立的第一步是写对标准方程。

32.3 抛物线的几何性质

说明

以 $y^2 = 2px$（$p > 0$）为例：

性质	内容
范围	$x \ge 0$，$y \in \mathbf{R}$。曲线在 $y$ 轴右侧，向右上、右下无限延伸
对称性	关于 $x$ 轴对称；没有对称中心
顶点	只有一个，原点 $(0, 0)$
离心率	$e = 1$
开口大小	由 $p$ 决定，$p$ 越大开口越大

抛物线上的点 $M$ 到焦点的距离与到准线的距离之比叫抛物线的离心率。由定义这个比恒为 1，所以 $e = 1$。

四种标准方程的性质对照：

方程	范围	对称轴	焦点	准线
$y^2 = 2px$	$x \ge 0$	$x$ 轴	$\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$	$x = -\dfrac{p}{2}$
$y^2 = -2px$	$x \le 0$	$x$ 轴	$\left(-\dfrac{p}{2}, 0\right)$	$x = \dfrac{p}{2}$
$x^2 = 2py$	$y \ge 0$	$y$ 轴	$\left(0, \dfrac{p}{2}\right)$	$y = -\dfrac{p}{2}$
$x^2 = -2py$	$y \le 0$	$y$ 轴	$\left(0, -\dfrac{p}{2}\right)$	$y = \dfrac{p}{2}$

四种的顶点都是原点，离心率都是 1。

和椭圆、双曲线比，抛物线有三个“少”：只有一个焦点、一条准线；只有一个顶点、一条对称轴；没有对称中心，也没有渐近线（第 31 章的双曲线有）。

使用场景

• 根据方程说出范围、对称轴、顶点、焦点、准线：题目给方程，要求写性质或判断图像。
• 利用对称性：题目里出现抛物线的“内接三角形”“关于对称轴对称的两点”，或两点到顶点的距离相等。
• 求抛物线上的点到定点的最小距离：把距离的平方写成横坐标的二次函数，在范围 $x \ge 0$ 内求最值。
• 实际问题：拱桥、隧道、探照灯、卫星天线的截面是抛物线，需要自己建坐标系求方程。

注意点

• 范围 $x \ge 0$ 是求最值时的定义域，二次函数的顶点落在范围外时，最值在 $x = 0$ 处取得。
• 抛物线没有渐近线。它往远处越来越“平”，但不会贴近任何一条直线。不要把抛物线的一支和双曲线的一支混为一谈。
• 实际问题建系时，一般把顶点放在原点、对称轴放在 $y$ 轴上，开口方向由实物决定（拱桥开口向下）。
• “$p$ 越大开口越大”是在同一种开口方向下比较。

证明

范围：由 $y^2 = 2px$ 得 $x = \dfrac{y^2}{2p}$。因为 $y^2 \ge 0$、$p > 0$，所以 $x \ge 0$。对任意实数 $y$ 都能算出对应的 $x$，所以 $y$ 可以取任意实数。

对称性：把方程里的 $y$ 换成 $-y$，得 $(-y)^2 = 2px$，和原方程一样。所以点 $(x, y)$ 在曲线上时，$(x, -y)$ 也在曲线上，曲线关于 $x$ 轴对称。

把 $x$ 换成 $-x$ 得 $y^2 = -2px$，方程变了，所以不关于 $y$ 轴对称；同时把 $x$、$y$ 换成 $-x$、$-y$ 也得到 $y^2 = -2px$，所以不关于原点对称。

顶点：抛物线和对称轴（$x$ 轴）的交点叫顶点。令 $y = 0$，得 $x = 0$，顶点是原点。

离心率：由定义，抛物线上每一点到焦点的距离与到准线的距离之比都是 1，所以 $e = 1$。

$p$ 越大开口越大：取同一个 $x_0 > 0$，曲线上对应点的纵坐标满足 $|y| = \sqrt{2px_0}$（关键一步：固定横坐标后比较纵坐标，开口大小就变成了一个数的大小），它随 $p$ 增大而增大。所以 $p$ 越大，在同一位置曲线张得越开。

例题

例 1　（场景：根据方程说出性质）写出抛物线 $x^2 = -12y$ 的范围、对称轴、顶点、焦点、准线和离心率。

解：对照 $x^2 = -2py$，$2p = 12$，$p = 6$。

• 范围：$y \le 0$，$x \in \mathbf{R}$。
• 对称轴：$y$ 轴。
• 顶点：$(0, 0)$。
• 焦点：$(0, -3)$；准线：$y = 3$。
• 离心率：$e = 1$。

例 2　（场景：利用对称性）正三角形 $OAB$ 的顶点 $O$ 是原点，$A$、$B$ 在抛物线 $y^2 = 2x$ 上，求这个正三角形的边长。

解：设 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$。

先证 $A$、$B$ 关于 $x$ 轴对称。$|OA| = |OB|$，且 $y_1^2 = 2x_1$、$y_2^2 = 2x_2$，所以

$$x_1^2 + 2x_1 = x_2^2 + 2x_2,$$

即 $(x_1 - x_2)(x_1 + x_2 + 2) = 0$。因为 $x_1 \ge 0$、$x_2 \ge 0$，所以 $x_1 + x_2 + 2 > 0$，只能 $x_1 = x_2$，从而 $y_1 = -y_2$。$A$、$B$ 关于 $x$ 轴对称。

设 $AB$ 与 $x$ 轴交于 $D$，则 $\angle AOD = 30°$，$y_1 = x_1 \tan 30° = \dfrac{x_1}{\sqrt{3}}$（不妨设 $y_1 > 0$）。代入 $y_1^2 = 2x_1$：

$$\frac{x_1^2}{3} = 2x_1,$$

$x_1 \ne 0$，得 $x_1 = 6$，$y_1 = 2\sqrt{3}$。边长 $|AB| = 2y_1 = 4\sqrt{3}$。

容易卡在：直接“由对称性”设 $A$、$B$ 关于 $x$ 轴对称，却说不出理由。要用 $|OA| = |OB|$ 加上范围 $x \ge 0$ 证一下。

例 3　（场景：求到定点的最小距离）$P$ 是抛物线 $y^2 = 4x$ 上的动点，求 $|PA|$ 的最小值：(1) $A(3, 0)$；(2) $A\left(\dfrac{1}{2}, 0\right)$。

解：设 $P(x, y)$，$y^2 = 4x$，$x \ge 0$。

(1)

$$|PA|^2 = (x - 3)^2 + y^2 = (x - 3)^2 + 4x = x^2 - 2x + 9 = (x - 1)^2 + 8.$$

$x = 1$ 在范围 $x \ge 0$ 内，所以 $x = 1$ 时 $|PA|^2$ 最小为 8，$|PA|$ 的最小值是 $2\sqrt{2}$，此时 $P(1, \pm 2)$。

(2)

$$|PA|^2 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + 4x = x^2 + 3x + \frac{1}{4}.$$

对称轴 $x = -\dfrac{3}{2}$ 在范围外，在 $x \ge 0$ 上函数递增，所以 $x = 0$ 时最小，$|PA|$ 的最小值是 $\dfrac{1}{2}$，此时 $P$ 是顶点。

容易卡在：(2) 直接取二次函数的顶点 $x = -\dfrac{3}{2}$，忘了抛物线上 $x \ge 0$。

另一种解法：用本节常用推论里的结论。$y^2 = 4x$ 中 $p = 2$。(1) $a = 3 > p$，最小值 $\sqrt{2pa - p^2} = \sqrt{12 - 4} = 2\sqrt{2}$；(2) $a = \dfrac{1}{2} \le p$，最小值是 $|a| = \dfrac{1}{2}$。小题里直接套用最快；解答题要写出上面的配方过程。

例 4　（场景：实际问题）一座抛物线形拱桥，拱顶离水面 2 m 时，水面宽 4 m。水面下降 1 m 后，水面宽多少？

解：以拱顶为原点、过拱顶的竖直线为 $y$ 轴建立坐标系，拱桥开口向下，设方程为 $x^2 = -2py$（$p > 0$）。

水面宽 4 m、离拱顶 2 m，所以点 $(2, -2)$ 在抛物线上：$4 = -2p \cdot (-2) = 4p$，$p = 1$，方程是 $x^2 = -2y$。

水面下降 1 m 后，水面在 $y = -3$ 处：$x^2 = 6$，$x = \pm\sqrt{6}$。水面宽 $2\sqrt{6} \approx 4.90$ m。

容易卡在：把原点放在水面上，方程就不是标准形式了。顶点放原点最省事。

常用推论

• $y^2 = 2px$ 上的点中，离焦点最近的是顶点，最近距离是 $\dfrac{p}{2}$。推导：$|MF| = x_0 + \dfrac{p}{2}$（32.4 焦半径公式），$x_0 \ge 0$，$x_0 = 0$ 时最小。
• $y^2 = 2px$ 上的点到 $x$ 轴上定点 $A(a, 0)$ 的最小距离：$a \le p$ 时是 $|a|$（在顶点取得）；$a > p$ 时是 $\sqrt{2pa - p^2}$（在 $x = a - p$ 处取得）。推导：$|PA|^2 = (x - a)^2 + 2px = [x - (a - p)]^2 + 2pa - p^2$，对称轴 $x = a - p$，看它是否落在 $x \ge 0$ 内。
• 以原点为一个顶点、另两个顶点在 $y^2 = 2px$ 上的正三角形，边长是 $4\sqrt{3}p$。推导同例 2：$y_1 = \dfrac{x_1}{\sqrt{3}}$ 代入得 $x_1 = 6p$，边长 $2y_1 = \dfrac{12p}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}p$。

易错点

• 错在哪：认为抛物线有渐近线，或者把抛物线和双曲线的一支看成一回事。 为什么错：双曲线的一支往远处会贴近渐近线；抛物线 $y^2 = 2px$ 上 $|y| = \sqrt{2px}$，增长越来越慢，不会贴近任何直线。两者离心率也不同（$e = 1$ 和 $e > 1$）。 正确做法：记住抛物线只有一个焦点、一条准线、一个顶点、一条对称轴，没有中心，没有渐近线。
• 错在哪：求 $|PA|$ 的最小值，直接取二次函数的顶点。 为什么错：$P$ 在抛物线上，横坐标有范围 $x \ge 0$，顶点可能不在范围里。 正确做法：写成 $x$ 的二次函数后，先标出定义域 $x \ge 0$，再比较对称轴的位置。
• 错在哪：认为 $y^2 = 2px$ 中 $p$ 越大开口越小。 为什么错：和二次函数 $y = ax^2$ 混了：$a$ 越大开口越小，而 $y = ax^2$ 化成标准形式是 $x^2 = \dfrac{1}{a}y$，$2p = \dfrac{1}{a}$，$a$ 越大 $p$ 越小。 正确做法：在标准方程里看 $p$：$p$ 越大开口越大。

直观理解

• 抛物线是“离心率恰好为 1”的圆锥曲线：到焦点的距离和到准线的距离之比小于 1 是椭圆（第 30 章），等于 1 是抛物线，大于 1 是双曲线（第 31 章）。抛物线夹在椭圆和双曲线中间。
• 光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后，都平行于对称轴射出；反过来，平行于对称轴射来的光线经反射后都汇聚到焦点。探照灯、汽车大灯、卫星天线、太阳灶都用这个性质，“焦点”这个名字也由此而来。严格证明要用到抛物线的切线（第 24 章导数的几何意义或第 33 章直线与圆锥曲线），这里只记结论。
• $p$ 是焦点到准线的距离，$p$ 越大，焦点离顶点越远，碗口越宽。

关联知识点

• 前置：32.2 抛物线的定义和标准方程，性质都从标准方程读出。
• 前置：第 4 章二次函数，求到定点的最小距离就是求二次函数在区间上的最小值。
• 对照：第 30 章椭圆、第 31 章双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率），抛物线是 $e = 1$ 的情形。
• 后续：第 33 章直线与圆锥曲线，联立后用范围 $x \ge 0$ 检验交点。
• 常一起考：第 10 章函数的应用，拱桥、隧道问题就是用抛物线建立函数模型。

32.4 焦点弦

说明

以 $y^2 = 2px$（$p > 0$）为例，焦点 $F\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$。

焦半径：抛物线上的点 $M$ 与焦点 $F$ 连成的线段叫焦半径。$M(x_0, y_0)$ 的焦半径长

$$|MF| = x_0 + \frac{p}{2}.$$

四种标准方程的焦半径公式：

方程	焦半径 $\lvert MF \rvert$
$y^2 = 2px$	$x_0 + \dfrac{p}{2}$
$y^2 = -2px$	$-x_0 + \dfrac{p}{2}$
$x^2 = 2py$	$y_0 + \dfrac{p}{2}$
$x^2 = -2py$	$-y_0 + \dfrac{p}{2}$

记法：看对称轴是哪条，就用那个坐标；结果一定是正数。

焦点弦：过焦点的直线与抛物线交于 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$，线段 $AB$ 叫焦点弦。设直线 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$，则

$$|AB| = x_1 + x_2 + p = \frac{2p}{\sin^2\theta},$$ $$y_1 y_2 = -p^2, \quad x_1 x_2 = \frac{p^2}{4}.$$

通径：过焦点且垂直于对称轴的弦叫通径，长 $2p$。它是所有焦点弦中最短的一条。

使用场景

• 已知抛物线上一点到焦点的距离，求这点的坐标，或反过来：直接用焦半径公式，注意对称轴是哪条。
• 已知焦点弦两端点的横坐标之和（或中点的横坐标），求弦长；或已知弦长求斜率：用 $|AB| = x_1 + x_2 + p$。
• 已知焦点弦的倾斜角或斜率，求弦长、三角形 $AOB$ 的面积：联立后用韦达定理，或直接用 $\dfrac{2p}{\sin^2\theta}$。
• 题目给出 $|AF| = \lambda |BF|$ 或 $\overrightarrow{AF} = \lambda \overrightarrow{FB}$：用 $y_1 y_2 = -p^2$，或用 $\dfrac{1}{|AF|} + \dfrac{1}{|BF|} = \dfrac{2}{p}$。
• 焦点弦的中点到准线（或到 $y$ 轴）的距离、以焦点弦为直径的圆：用梯形中位线和定义。

注意点

• 本节公式只对过焦点的弦成立。不过焦点的弦，$|AB| = x_1 + x_2 + p$ 不成立，要用第 33 章的弦长公式。
• 这些公式是对 $y^2 = 2px$ 写的。开口向上的 $x^2 = 2py$，要把 $x$、$y$ 的角色互换：$|AB| = y_1 + y_2 + p$，$x_1 x_2 = -p^2$；倾斜角 $\theta$ 是和 $x$ 轴的夹角，而对称轴变成了 $y$ 轴，弦长公式变成 $|AB| = \dfrac{2p}{\cos^2\theta}$。
• 设过焦点的直线时，用 $x = my + \dfrac{p}{2}$ 比用 $y = k\left(x - \dfrac{p}{2}\right)$ 好：前者包含竖直的直线（$m = 0$，就是通径），不必单独讨论斜率不存在；水平直线 $y = 0$ 与抛物线只交于一点，本来就不是弦。
• 小题可以直接用 $\dfrac{2p}{\sin^2\theta}$、$y_1 y_2 = -p^2$ 等结论；解答题要写出联立和韦达定理的过程。

证明

结论 1：焦半径公式 $|MF| = x_0 + \dfrac{p}{2}$。

由定义，$|MF|$ 等于 $M$ 到准线 $x = -\dfrac{p}{2}$ 的距离，即 $\left|x_0 + \dfrac{p}{2}\right|$。因为 $x_0 \ge 0$，绝对值里是正数，所以 $|MF| = x_0 + \dfrac{p}{2}$。

结论 2：$|AB| = x_1 + x_2 + p$。

$|AB| = |AF| + |BF| = \left(x_1 + \dfrac{p}{2}\right) + \left(x_2 + \dfrac{p}{2}\right) = x_1 + x_2 + p$。

结论 3：$y_1 y_2 = -p^2$，$x_1 x_2 = \dfrac{p^2}{4}$。

过焦点的直线不能是水平的，设为 $x = my + \dfrac{p}{2}$（关键一步：这样设，竖直的直线 $m = 0$ 也包含在内，不用分斜率存不存在两种情况），代入 $y^2 = 2px$：

$$y^2 = 2p\left(my + \frac{p}{2}\right), \quad \text{即} \quad y^2 - 2pmy - p^2 = 0.$$

判别式 $4p^2m^2 + 4p^2 > 0$，总有两个交点。由韦达定理：

$$y_1 + y_2 = 2pm, \quad y_1 y_2 = -p^2.$$

再由 $x_1 = \dfrac{y_1^2}{2p}$、$x_2 = \dfrac{y_2^2}{2p}$ 得 $x_1 x_2 = \dfrac{(y_1 y_2)^2}{4p^2} = \dfrac{p^2}{4}$。

结论 4：$|AB| = \dfrac{2p}{\sin^2\theta}$，通径最短。

由结论 3 的设法，$x_1 + x_2 = m(y_1 + y_2) + p = 2pm^2 + p$，所以

$$|AB| = x_1 + x_2 + p = 2p(m^2 + 1).$$

直线 $x = my + \dfrac{p}{2}$ 的倾斜角为 $\theta$ 时，$m = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$（$\theta = 90°$ 时 $m = 0$），于是 $m^2 + 1 = \dfrac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\sin^2\theta} = \dfrac{1}{\sin^2\theta}$，得 $|AB| = \dfrac{2p}{\sin^2\theta}$。

$\sin^2\theta \le 1$，所以 $|AB| \ge 2p$，$\theta = 90°$ 时取等号，这条弦就是通径。

结论 5：$|AF| = \dfrac{p}{1 - \cos\theta}$，$|BF| = \dfrac{p}{1 + \cos\theta}$，$\dfrac{1}{|AF|} + \dfrac{1}{|BF|} = \dfrac{2}{p}$。

这里 $\theta$ 是射线 $FA$ 与 $x$ 轴正方向的夹角。$A$ 的横坐标 $x_1 = \dfrac{p}{2} + |AF|\cos\theta$，代入焦半径公式：

$$|AF| = x_1 + \frac{p}{2} = p + |AF|\cos\theta,$$

解得 $|AF| = \dfrac{p}{1 - \cos\theta}$。射线 $FB$ 的方向与 $FA$ 相反，$x_2 = \dfrac{p}{2} - |BF|\cos\theta$，同理得 $|BF| = \dfrac{p}{1 + \cos\theta}$。两式取倒数相加：

$$\frac{1}{|AF|} + \frac{1}{|BF|} = \frac{1 - \cos\theta}{p} + \frac{1 + \cos\theta}{p} = \frac{2}{p}.$$

结论 6：三角形 $AOB$ 的面积 $S = \dfrac{p^2}{2\sin\theta}$。

$x$ 轴把三角形 $AOB$ 分成三角形 $AOF$ 和 $BOF$，两者以 $OF$ 为公共底，高分别是 $|y_1|$、$|y_2|$。$y_1 y_2 = -p^2 < 0$，两者异号，高之和是 $|y_1 - y_2|$：

$$S = \frac{1}{2}|OF| \cdot |y_1 - y_2|, \quad (y_1 - y_2)^2 = (y_1 + y_2)^2 - 4y_1y_2 = 4p^2(m^2 + 1).$$

所以 $S = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{p}{2} \cdot 2p\sqrt{m^2 + 1} = \dfrac{p^2}{2}\sqrt{m^2 + 1} = \dfrac{p^2}{2\sin\theta}$。

结论 7：以焦点弦 $AB$ 为直径的圆与准线相切。

设 $AB$ 的中点为 $M$，$A$、$B$、$M$ 在准线上的射影为 $A_1$、$B_1$、$M_1$。$AA_1B_1B$ 是直角梯形，$MM_1$ 是它的中位线：

$$|MM_1| = \frac{|AA_1| + |BB_1|}{2} = \frac{|AF| + |BF|}{2} = \frac{|AB|}{2}.$$

（关键一步：由定义把 $|AA_1|$、$|BB_1|$ 换成 $|AF|$、$|BF|$。）圆心 $M$ 到准线的距离等于半径，所以相切。

例题

例 1　（场景：已知到焦点的距离求坐标）抛物线 $x^2 = 4y$ 上一点 $P$ 到焦点的距离是 3，求 $P$ 到 $x$ 轴的距离和 $P$ 的坐标。

解：$x^2 = 4y$ 中 $2p = 4$，$p = 2$，焦点 $(0, 1)$，准线 $y = -1$。对称轴是 $y$ 轴，焦半径用纵坐标：

$$|PF| = y_0 + \frac{p}{2} = y_0 + 1 = 3,$$

$y_0 = 2$，$P$ 到 $x$ 轴的距离是 2。$x_0^2 = 4 \times 2 = 8$，$x_0 = \pm 2\sqrt{2}$，$P(\pm 2\sqrt{2}, 2)$。

容易卡在：照搬 $y^2 = 2px$ 的公式写成 $x_0 + 1 = 3$。

例 2　（场景：由横坐标之和求弦长、求斜率）过抛物线 $y^2 = 8x$ 的焦点 $F$ 作直线交抛物线于 $A$、$B$，若线段 $AB$ 的中点横坐标是 3，求 $|AB|$ 和直线 $AB$ 的斜率。

解：$2p = 8$，$p = 4$，$F(2, 0)$。中点横坐标是 3，所以 $x_1 + x_2 = 6$，

$$|AB| = x_1 + x_2 + p = 6 + 4 = 10.$$

求斜率：设直线 $x = my + 2$，代入 $y^2 = 8x$ 得 $y^2 - 8my - 16 = 0$，$y_1 + y_2 = 8m$。

$$x_1 + x_2 = m(y_1 + y_2) + 4 = 8m^2 + 4 = 6,$$

$m^2 = \dfrac{1}{4}$，$m = \pm\dfrac{1}{2}$。斜率 $k = \dfrac{1}{m} = \pm 2$。

例 3　（场景：已知倾斜角求弦长和面积）过抛物线 $y^2 = 4x$ 的焦点 $F$ 作倾斜角为 $60°$ 的直线，交抛物线于 $A$、$B$，$O$ 为原点。求 $|AB|$ 和三角形 $AOB$ 的面积。

解：$p = 2$，$F(1, 0)$，直线 $y = \sqrt{3}(x - 1)$。代入 $y^2 = 4x$：

$$3(x - 1)^2 = 4x, \quad \text{即} \quad 3x^2 - 10x + 3 = 0.$$

$x_1 + x_2 = \dfrac{10}{3}$，所以 $|AB| = \dfrac{10}{3} + 2 = \dfrac{16}{3}$。

求面积：解方程得 $x = 3$ 或 $x = \dfrac{1}{3}$，对应 $y = 2\sqrt{3}$ 或 $y = -\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$。

$$S = \frac{1}{2}|OF| \cdot |y_1 - y_2| = \frac{1}{2} \times 1 \times \left(2\sqrt{3} + \frac{2\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{4\sqrt{3}}{3}.$$

容易卡在：面积用 $\dfrac{1}{2}|AB| \cdot d$（$d$ 是 $O$ 到 $AB$ 的距离）也能算，但要多算一个点到直线的距离；以 $OF$ 为底最省事。

另一种解法：直接用结论 4 和结论 6。$\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin^2 60° = \dfrac{3}{4}$：

$$|AB| = \frac{2p}{\sin^2\theta} = \frac{4}{3/4} = \frac{16}{3}, \quad S = \frac{p^2}{2\sin\theta} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}.$$

选择题、填空题用公式，十秒出答案；解答题要写联立和韦达定理的过程，公式可以用来检验结果。

例 4　（场景：焦半径的比）过抛物线 $y^2 = 4x$ 的焦点 $F$ 的直线交抛物线于 $A$、$B$，且 $|AF| = 3|BF|$，求 $|AB|$ 和直线 $AB$ 的斜率。

解：$p = 2$，$F(1, 0)$。设直线 $x = my + 1$，代入得 $y^2 - 4my - 4 = 0$，

$$y_1 + y_2 = 4m, \quad y_1 y_2 = -4.$$

$F$ 在 $A$、$B$ 之间，$|AF| = 3|BF|$ 即 $\overrightarrow{AF} = 3\overrightarrow{FB}$。比较纵坐标：$0 - y_1 = 3(y_2 - 0)$，$y_1 = -3y_2$。

代入 $y_1 y_2 = -4$：$-3y_2^2 = -4$，$y_2^2 = \dfrac{4}{3}$，$y_1^2 = 9y_2^2 = 12$。所以

$$x_1 = \frac{y_1^2}{4} = 3, \quad x_2 = \frac{y_2^2}{4} = \frac{1}{3}, \quad |AB| = x_1 + x_2 + 2 = \frac{16}{3}.$$

由 $y_1 + y_2 = -2y_2 = 4m$ 得 $m = -\dfrac{y_2}{2}$，$y_2 = \pm\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$，$m = \mp\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，斜率 $k = \dfrac{1}{m} = \mp\sqrt{3}$。

所以 $|AB| = \dfrac{16}{3}$，斜率是 $\sqrt{3}$ 或 $-\sqrt{3}$。

容易卡在：只求出一个斜率。$A$ 可以在 $x$ 轴上方，也可以在下方，两种情况关于 $x$ 轴对称。

另一种解法：用结论 5。设 $|BF| = t$，$|AF| = 3t$：

$$\frac{1}{3t} + \frac{1}{t} = \frac{2}{p} = 1,$$

$t = \dfrac{4}{3}$，$|AF| = 4$，$|AB| = 4t = \dfrac{16}{3}$。由焦半径公式 $x_1 + 1 = 4$，$x_1 = 3$，$y_1 = \pm 2\sqrt{3}$，斜率 $k = \dfrac{y_1 - 0}{x_1 - 1} = \pm\sqrt{3}$。这种做法不用设直线、不用联立，小题首选；解答题里比例以向量形式给出时，主解法的“比较纵坐标”更自然。

本题的直线与例 3 相同（倾斜角 $60°$ 或 $120°$），两题的弦长都是 $\dfrac{16}{3}$，可以互相验证。

例 5　（场景：焦点弦的中点和以焦点弦为直径的圆）过抛物线 $y^2 = 4x$ 的焦点的直线交抛物线于 $A$、$B$，$|AB| = 8$。(1) 求 $AB$ 中点 $M$ 到 $y$ 轴的距离；(2) 判断以 $AB$ 为直径的圆与直线 $x = -1$ 的位置关系。

解：$p = 2$，准线是 $x = -1$。

(1) $|AB| = x_1 + x_2 + p = x_1 + x_2 + 2 = 8$，所以 $x_1 + x_2 = 6$，中点横坐标 $\dfrac{x_1 + x_2}{2} = 3$。$M$ 到 $y$ 轴的距离是 3。

(2) 直线 $x = -1$ 就是准线。圆心 $M$ 到准线的距离是 $3 - (-1) = 4$，半径是 $\dfrac{|AB|}{2} = 4$，两者相等，所以圆与直线 $x = -1$ 相切。这正是结论 7。

容易卡在：(1) 把“到 $y$ 轴的距离”和“到准线的距离”混为一谈，答成 4。两者差 $\dfrac{p}{2} = 1$。

常用推论

以下都对 $y^2 = 2px$（$p > 0$）、过焦点 $F$ 的弦 $AB$ 成立，$\theta$ 是直线 $AB$ 的倾斜角：

• 焦半径 $|MF| = x_0 + \dfrac{p}{2}$。推导见结论 1。
• 焦点弦长 $|AB| = x_1 + x_2 + p = \dfrac{2p}{\sin^2\theta}$；通径 $2p$ 是最短的焦点弦。推导见结论 2、4。
• $y_1 y_2 = -p^2$，$x_1 x_2 = \dfrac{p^2}{4}$。推导见结论 3。由此 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = x_1x_2 + y_1y_2 = -\dfrac{3p^2}{4}$，是定值。
• $\dfrac{1}{|AF|} + \dfrac{1}{|BF|} = \dfrac{2}{p}$，是与倾斜角无关的定值。推导见结论 5。
• 三角形 $AOB$ 的面积 $S = \dfrac{p^2}{2\sin\theta}$，最小值 $\dfrac{p^2}{2}$（通径时）。推导见结论 6。
• 以焦点弦为直径的圆与准线相切。推导见结论 7。
• 以焦半径 $AF$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切。推导：圆心横坐标 $\dfrac{1}{2}\left(x_1 + \dfrac{p}{2}\right)$，半径 $\dfrac{|AF|}{2} = \dfrac{1}{2}\left(x_1 + \dfrac{p}{2}\right)$，两者相等。
• $A$、$B$ 在准线上的射影为 $A_1$、$B_1$，则 $\angle A_1FB_1 = 90°$。推导：设准线与 $x$ 轴交于 $K$。$|AA_1| = |AF|$，所以 $\angle AA_1F = \angle AFA_1$；$AA_1 \parallel KF$，内错角 $\angle AA_1F = \angle A_1FK$。于是 $FA_1$ 平分 $\angle AFK$，同理 $FB_1$ 平分 $\angle BFK$。$A$、$F$、$B$ 共线，$\angle AFK + \angle BFK = 180°$，所以 $\angle A_1FB_1 = \dfrac{180°}{2} = 90°$。

易错点

• 错在哪：任意一条弦都用 $|AB| = x_1 + x_2 + p$ 求长度。 为什么错：这个公式来自 $|AB| = |AF| + |BF|$，只有 $AB$ 过焦点 $F$ 时才成立。 正确做法：先确认弦是否过焦点；不过焦点时用第 33 章的弦长公式 $\sqrt{1 + k^2}|x_1 - x_2|$。
• 错在哪：$x^2 = 4y$ 上的点的焦半径写成 $x_0 + 1$。 为什么错：$x^2 = 4y$ 的对称轴是 $y$ 轴，准线是 $y = -1$，到准线的距离由纵坐标决定。 正确做法：焦半径公式里用“对称轴方向”的坐标：$|PF| = y_0 + 1$。
• 错在哪：设过焦点的直线为 $y = k(x - 1)$，没讨论斜率不存在的情况，结果漏掉通径。 为什么错：竖直的直线 $x = 1$ 没有斜率，不在 $y = k(x - 1)$ 里。 正确做法：设成 $x = my + \dfrac{p}{2}$，或者先单独验证竖直的情况。
• 错在哪：$|AF| = 3|BF|$ 类的题只求出一个斜率。 为什么错：把 $A$、$B$ 关于 $x$ 轴翻过去，比例不变，斜率变号。 正确做法：解出 $y_1$ 时保留正负两个值，斜率写成 $\pm$。

直观理解

• 焦半径公式就是“到焦点的距离等于到准线的距离”：$y^2 = 2px$ 的准线是竖直线，点到它的距离只看横坐标，所以 $|MF| = x_0 + \dfrac{p}{2}$。一句话记法：“焦半径 = 横坐标 + 半个 $p$”。
• 焦点弦越“躺平”越长：倾斜角越接近 0，直线越接近对称轴，两个交点一个在顶点附近、一个跑到很远处，弦就越长；竖直时最短，就是通径 $2p$。$\dfrac{2p}{\sin^2\theta}$ 正好描述了这一点。
• $\dfrac{1}{|AF|} + \dfrac{1}{|BF|} = \dfrac{2}{p}$ 像一个“跷跷板”：$|AF|$ 变长，$|BF|$ 就变短，两者的倒数之和不变。通径时两边相等，都是 $p$。

关联知识点

• 前置：32.2 抛物线的定义，焦半径公式就是定义换成坐标。
• 前置：第 28 章直线的方程，倾斜角和斜率的关系 $k = \tan\theta$；设成 $x = my + b$ 时 $m = \dfrac{1}{k}$。
• 前置：第 11 章同角三角函数的基本关系，$1 + \dfrac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \dfrac{1}{\sin^2\theta}$ 由 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 得到。
• 后续：第 33 章直线与圆锥曲线，焦点弦是“联立、韦达定理、弦长”的特例，本节结论可以用来检验第 33 章的一般方法。
• 常一起考：第 15 章平面向量的数量积，$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$ 为定值、$\overrightarrow{AF} = \lambda\overrightarrow{FB}$ 这类条件。

32.5 知识点之间的关系

本章三个知识点是一条线：定义（32.2）给出“到焦点的距离 = 到准线的距离”，由它推出标准方程；从标准方程读出几何性质（32.3）；再把定义写成坐标，就是焦半径公式，焦点弦的所有结论都从焦半径公式和“设 $x = my + \dfrac{p}{2}$ 联立”两步推出来（32.4）。

所以整章真正要记住的只有一件事：到焦点的距离和到准线的距离可以互换。最值题（32.2 例 5）、焦半径题（32.4 例 1）、焦点弦中点题（32.4 例 5）都是这一步。

和第 30、31 章对照：椭圆和双曲线有两个焦点，定义用“距离之和”“距离之差”，标准方程有 $a$、$b$、$c$ 三个量；抛物线只有一个焦点，标准方程只有一个参数 $p$，离心率固定为 1。考试里，抛物线的小题多考定义转化和焦点弦公式，解答题则和第 33 章一样，走“设直线、联立、韦达定理”的套路。

32.6 自测

1. 求抛物线 $y = -\dfrac{1}{8}x^2$ 的焦点坐标和准线方程。
2. 顶点在原点、焦点在 $x$ 轴上的抛物线经过点 $(-3, m)$，且该点到焦点的距离为 5，求抛物线的标准方程。
3. 点 $P$ 在抛物线 $y^2 = 4x$ 上，求 $P$ 到直线 $4x - 3y + 6 = 0$ 的距离与 $P$ 到 $y$ 轴的距离之和的最小值。
4. 求抛物线 $y^2 = 8x$ 上的点到点 $A(6, 0)$ 的最小距离。
5. 过抛物线 $y^2 = 4x$ 焦点的直线交抛物线于 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$，若 $x_1 + x_2 = 5$，求 $|AB|$。
6. 过抛物线 $y^2 = 4x$ 的焦点作倾斜角为 $45°$ 的直线，求它被抛物线截得的弦长。
7. 过抛物线 $x^2 = 4y$ 焦点的直线交抛物线于 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$，求 $x_1 x_2$。

答案：1. 焦点 $(0, -2)$，准线 $y = 2$；2. $y^2 = -8x$；3. 1；4. $4\sqrt{2}$；5. 7；6. 8；7. $-4$。

32.7 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，选择性必修第一册“圆锥曲线的方程”一章有同步课程视频和教材电子版，可以对照课本里抛物线的推导和例题。
• GeoGebra 图形计算器：输入 y^2 = 2p x 并给 p 加滑动条，拖动看开口大小怎么变；再画一条过焦点的直线，观察焦点弦长随倾斜角的变化。
• Wolfram MathWorld · Parabola：抛物线的英文条目，含焦点、准线、通径（latus rectum）等术语和反射性质，查英文说法时用。
• 维基百科 · 抛物线：抛物线的定义、标准方程、几何性质和光学性质的中文条目，附反射性质的示意图。