第 12 章 · 三角函数的图像与性质

项目	内容
课标主题	必修 · 函数 · 三角函数
人教 A 版	必修第一册 第五章 5.4、5.6
考试地位	常考。选择题、填空题里常有一道考图像变换或周期、单调、对称；解答题常先用第 13 章的恒等变换化成 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$，再求性质
前置知识	第 6 章函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性；第 11 章三角函数的定义和诱导公式

这一章把第 11 章定义的三角函数画成图，再从图上读出周期、单调区间、对称轴和最值。考试里几乎所有三角函数的小题，最后都落在 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 上。丢分主要丢在三处：平移时忘了 $\omega$ 要提出来，$\omega$ 是负数时单调区间写反，由图像求 $\varphi$ 时用错了零点。

12.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
12.2 正弦函数、余弦函数的图像	五点法画一个周期，再左右平移；余弦曲线是正弦曲线左移 $\dfrac{\pi}{2}$	常考，多用来解三角不等式、数交点个数
12.3 正弦函数、余弦函数的性质	周期 $2\pi$，值域 $[-1, 1]$，正弦奇、余弦偶，对称轴过最高点和最低点	必考，常以复合函数的形式出现
12.4 正切函数的图像与性质	周期 $\pi$，每一段上递增，没有对称轴	常考，难度较低
12.5 函数 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 的图像与性质	平移和伸缩变换；把 $\omega x + \varphi$ 看成一个整体求性质；由图像求解析式	必考

12.2 正弦函数、余弦函数的图像

说明

正弦函数 $y = \sin x$ 和余弦函数 $y = \cos x$ 的定义域都是 $\mathbf{R}$。这里的 $x$ 是用弧度表示的角，所以横轴上 $\pi \approx 3.14$。

$y = \sin x$ 的图像叫正弦曲线，$y = \cos x$ 的图像叫余弦曲线。

五点法：在一个周期 $[0, 2\pi]$ 上，取下面五个点，用光滑曲线连起来，就得到图像的简图。

$x$	$0$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$2\pi$
$\sin x$	$0$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$\cos x$	$1$	$0$	$-1$	$0$	$1$

正弦的五点是“零、高、零、低、零”，余弦的五点是“高、零、低、零、高”。

画好 $[0, 2\pi]$ 这一段后，因为 $\sin(x + 2\pi) = \sin x$，把这一段每次向左、向右平移 $2\pi$，就得到整条正弦曲线。余弦曲线同理。

正弦曲线和余弦曲线的关系：由诱导公式 $\cos x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$，余弦曲线就是把正弦曲线向左平移 $\dfrac{\pi}{2}$ 得到的。两条曲线形状完全一样，只是错开了四分之一个周期。

使用场景

• 题目要求画 $y = a + b\sin x$、$y = a + b\cos x$ 这类函数的简图，或者要从图像读出值域：用五点法。
• 题目要解 $\sin x \ge a$、$\cos x < a$ 这类三角不等式：画出曲线和直线 $y = a$，在一个周期里找出满足条件的一段，再加上周期。
• 题目问方程 $\sin x = g(x)$ 有几个根（$g(x)$ 是对数函数、一次函数等不好直接解的函数）：分别画两个函数的图像，数交点。

注意点

• 五点法的五个点是“关键点”：零点、最高点、最低点。只取五个点画出的是简图，曲线在最高点和最低点处是圆滑的，不能画成尖角。
• 横轴的刻度要用 $\pi$ 的倍数，并且和纵轴用同一个单位长度：$\pi$ 大约是纵轴上 $1$ 的三倍多，画得太扁或太高都会影响数交点。
• 解三角不等式时，先在一个周期里找出解，再写”$+ 2k\pi, k \in \mathbf{Z}$“。选哪个周期都可以，选让解集连成一段的那个最方便。
• 数交点时要先确定“只需要看哪一段”：比如 $|\sin x| \le 1$，另一个函数的值一旦超出 $[-1, 1]$，那一段就不可能有交点。

证明

结论 1：$y = \sin x$ 的图像可以由单位圆得到。

课本的画法：在单位圆上，角 $x_0$ 的终边与单位圆交于点 $P$，由第 11 章三角函数的定义，$P$ 的纵坐标就是 $\sin x_0$。把横坐标取 $x_0$、纵坐标取 $P$ 的纵坐标，得到点 $(x_0, \sin x_0)$，它就在正弦曲线上。让 $x_0$ 从 $0$ 增加到 $2\pi$，$P$ 绕单位圆转一圈，对应的点就描出 $[0, 2\pi]$ 上的一段曲线。

结论 2：$[0, 2\pi]$ 上的一段平移 $2k\pi$ 就是整条曲线。

角 $x$ 和角 $x + 2k\pi$（$k \in \mathbf{Z}$）的终边相同，所以 $\sin(x + 2k\pi) = \sin x$。（关键一步：点 $(x_0, y_0)$ 在曲线上，则点 $(x_0 + 2k\pi, y_0)$ 也在曲线上，而后者正是前者向右平移 $2k\pi$ 得到的点。）所以整条正弦曲线就是 $[0, 2\pi]$ 这一段不断左右平移拼成的。

结论 3：余弦曲线是正弦曲线向左平移 $\dfrac{\pi}{2}$。

由诱导公式，$\cos x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$。设点 $(x_0, y_0)$ 在正弦曲线上，即 $y_0 = \sin x_0$。把它向左平移 $\dfrac{\pi}{2}$，得到点 $\left(x_0 - \dfrac{\pi}{2}, y_0\right)$。代入余弦函数：

$$\cos\left(x_0 - \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(x_0 - \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}\right) = \sin x_0 = y_0,$$

所以平移后的点在余弦曲线上。反过来余弦曲线上的点向右平移 $\dfrac{\pi}{2}$ 也落在正弦曲线上，两条曲线只差一个平移。

例题

例 1　（场景：五点法画简图）用五点法画 $y = 1 + \sin x$，$x \in [0, 2\pi]$ 的简图，并写出它的值域。

解：列表：

$x$	$0$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$2\pi$
$\sin x$	$0$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$1 + \sin x$	$1$	$2$	$1$	$0$	$1$

描出五点 $(0, 1)$、$\left(\dfrac{\pi}{2}, 2\right)$、$(\pi, 1)$、$\left(\dfrac{3\pi}{2}, 0\right)$、$(2\pi, 1)$，用光滑曲线连起来。它就是 $y = \sin x$ 的图像整体向上平移 1 个单位。

最高点纵坐标 2，最低点纵坐标 0，值域是 $[0, 2]$。

例 2　（场景：解三角不等式）解不等式 $\sin x \ge \dfrac{1}{2}$。

解：先在一个周期 $[0, 2\pi]$ 上找。$\sin x = \dfrac{1}{2}$ 在 $[0, 2\pi]$ 上的解是 $x = \dfrac{\pi}{6}$ 和 $x = \dfrac{5\pi}{6}$。画出 $y = \sin x$ 和 $y = \dfrac{1}{2}$：

曲线在直线上方的部分对应 $\dfrac{\pi}{6} \le x \le \dfrac{5\pi}{6}$。再加上周期，解集是

$$\left\{x \;\middle|\; \frac{\pi}{6} + 2k\pi \le x \le \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, k \in \mathbf{Z}\right\}.$$

容易卡在：$\sin x = \dfrac{1}{2}$ 只想到 $\dfrac{\pi}{6}$，漏了第二象限的 $\dfrac{5\pi}{6}$。

另一种解法：用单位圆。$\sin x$ 是角 $x$ 终边与单位圆交点的纵坐标，$\sin x \ge \dfrac{1}{2}$ 就是交点落在直线 $y = \dfrac{1}{2}$ 上方（含直线上）的那段弧上，弧的两端对应角 $\dfrac{\pi}{6}$ 和 $\dfrac{5\pi}{6}$，加上 $2k\pi$ 得同样的答案。单位圆不用画整条曲线，适合 $\sin x$、$\cos x$ 单独出现的不等式；如果不等式里是 $\sin(2x + 1)$ 这样的复合形式，先整体代换再用哪种都行，曲线法看区间更直观。

例 3　（场景：数方程的根）方程 $\sin x = \lg x$ 有几个实数根？

解：分别画 $y = \sin x$ 和 $y = \lg x$，数交点。先缩小范围：

• $\lg x$ 只在 $x > 0$ 时有意义。
• $x > 10$ 时 $\lg x > 1 \ge \sin x$，没有交点。
• $0 < x \le 1$ 时 $\lg x \le 0$，而 $\sin x > 0$（$0 < x \le 1 < \pi$），没有交点。

所以只需看 $(1, 10]$：

• 在 $(1, \pi]$ 上：$\left(1, \dfrac{\pi}{2}\right]$ 里 $\sin x \ge \sin 1 > 0.8$，而 $\lg x \le \lg\dfrac{\pi}{2} < 0.2$，没有交点；$\left[\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]$ 上 $x = \dfrac{\pi}{2}$ 时 $\sin x = 1 > \lg x$，$x = \pi$ 时 $\sin \pi = 0 < \lg \pi$，正弦递减、对数递增，恰好一个交点。
• 在 $(\pi, 2\pi]$ 上：$\sin x \le 0 < \lg x$，没有交点。
• 在 $(2\pi, 3\pi)$ 上：两端 $\sin x = 0 < \lg x$，中间 $x = \dfrac{5\pi}{2} \approx 7.85$ 处 $\sin x = 1$，而 $\lg 7.85 < 1$，正弦曲线从直线下方升到上方再落回下方，有两个交点。
• 在 $[3\pi, 10]$ 上（$3\pi \approx 9.42$）：$\sin x \le 0 < \lg x$，没有交点。

共 3 个实数根。

容易卡在：只画出 $(0, 2\pi)$ 一段就数，漏了 $(2\pi, 3\pi)$ 里的两个交点。先用”$\lg x > 1$ 时不可能相交“定出要画到 $x = 10$，就不会漏。

常用推论

• $y = \cos x$ 的图像是 $y = \sin x$ 的图像向左平移 $\dfrac{\pi}{2}$。推导见本节“证明”结论 3。
• 直线 $y = a$ 与正弦曲线（或余弦曲线）在一个周期内的交点：$|a| < 1$ 时 2 个，$|a| = 1$ 时 1 个，$|a| > 1$ 时 0 个。从五点法的图上直接看出：曲线在一个周期里从最低点到最高点各经过一次中间的每个值。
• $\sin x = a$（$|a| < 1$）的解：在 $[0, 2\pi)$ 上两个解关于 $x = \dfrac{\pi}{2}$ 或 $x = \dfrac{3\pi}{2}$ 对称，和为 $\pi$ 或 $3\pi$。$\cos x = a$ 的两个解关于 $x = \pi$ 对称，和为 $2\pi$。来自 12.3 节的对称轴。

易错点

• 错在哪：五点法画 $y = \cos x$ 时，照搬正弦的“零、高、零、低、零”。 为什么错：$\cos 0 = 1$，余弦从最高点开始。 正确做法：余弦的五点是“高、零、低、零、高”，或者把正弦曲线左移 $\dfrac{\pi}{2}$。
• 错在哪：解 $\sin x \ge \dfrac{1}{2}$ 只写 $\dfrac{\pi}{6} \le x \le \dfrac{5\pi}{6}$。 为什么错：$x$ 可以取任意实数，这只是一个周期里的解。 正确做法：在一个周期里找出解之后，两端都加 $2k\pi$，并写 $k \in \mathbf{Z}$。
• 错在哪：解 $\cos x > \dfrac{1}{2}$ 写成 $\dfrac{5\pi}{3} + 2k\pi < x < \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$。 为什么错：在 $[0, 2\pi]$ 里解分成两段 $\left[0, \dfrac{\pi}{3}\right)$ 和 $\left(\dfrac{5\pi}{3}, 2\pi\right]$，硬把它们拼成一个区间，左端点比右端点大，这样的区间不存在。 正确做法：换一个周期 $[-\pi, \pi]$，解连成一段 $\left(-\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{3}\right)$，答案是 $-\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi < x < \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$。选周期时，选让解连成一段的那个。

直观理解

正弦曲线可以想成单位圆上一个点匀速转圈时，它的“高度”随转过的角度变化的记录：转到 $\dfrac{\pi}{2}$ 最高，转到 $\dfrac{3\pi}{2}$ 最低，转一圈回到原处，于是曲线每 $2\pi$ 重复一次。余弦记录的是这个点的“左右位置”，所以和正弦差四分之一圈。

一句话记法：正弦从原点出发先上坡，余弦从最高点出发先下坡。

关联知识点

• 前置：第 11 章三角函数的定义。曲线上点的纵坐标就是单位圆上点的坐标。
• 前置：第 11 章诱导公式。$\cos x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$ 来自它。
• 后续：12.3 正弦函数、余弦函数的性质，全部从图像上读出来。
• 后续：12.5 函数 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$，画简图用的还是五点法。
• 常一起考：第 10 章函数的零点。方程根的个数转化为两个图像的交点个数。

12.3 正弦函数、余弦函数的性质

说明

性质	$y = \sin x$	$y = \cos x$
定义域	$\mathbf{R}$	$\mathbf{R}$
值域	$[-1, 1]$	$[-1, 1]$
最小正周期	$2\pi$	$2\pi$
奇偶性	奇函数	偶函数
单调递增区间	$\left[-\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi, \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right]$	$[-\pi + 2k\pi, 2k\pi]$
单调递减区间	$\left[\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi, \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi\right]$	$[2k\pi, \pi + 2k\pi]$
最大值 1	$x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$	$x = 2k\pi$
最小值 $-1$	$x = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$	$x = \pi + 2k\pi$
对称轴	$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$	$x = k\pi$
对称中心	$(k\pi, 0)$	$\left(\dfrac{\pi}{2} + k\pi, 0\right)$

表中 $k \in \mathbf{Z}$。

几个概念（第 6 章已经定义过，这里只回顾）：

• 周期函数：存在非零常数 $T$，使得对定义域内每个 $x$ 都有 $f(x + T) = f(x)$。$T$ 叫周期。所有正周期中最小的那个叫最小正周期，题目说“周期”一般就指它。
• 对称轴：$f(a + t) = f(a - t)$ 对一切 $t$ 成立，则直线 $x = a$ 是图像的对称轴。
• 对称中心：$f(a + t) + f(a - t) = 0$ 对一切 $t$ 成立，则点 $(a, 0)$ 是图像的对称中心。

复合形式：$y = A\sin(\omega x + \varphi)$、$y = A\cos(\omega x + \varphi)$（$A \ne 0$，$\omega \ne 0$）的最小正周期是 $T = \dfrac{2\pi}{|\omega|}$。求它们的单调区间、对称轴、最值，都是把 $u = \omega x + \varphi$ 看成一个整体，套上表中 $\sin u$、$\cos u$ 的结论，再解出 $x$。详见 12.5 节。

使用场景

• 题目要求函数的周期：形如 $A\sin(\omega x + \varphi)$ 的直接用 $\dfrac{2\pi}{|\omega|}$；带绝对值的画图看。
• 题目要求单调区间：把括号里的整体代入表中的单调区间，解出 $x$；限定了 $x$ 的范围时，再取交集。
• 题目要比较两个正弦值或余弦值的大小：先用诱导公式把角化到同一个单调区间里，再按单调性比较。
• 题目要求最值或值域：只含 $\sin x$（或只含 $\cos x$）的一次式直接用 $[-1, 1]$；同时含 $\sin^2 x$、$\cos x$ 等的，换元成 $t = \sin x$ 或 $t = \cos x$，变成二次函数在 $[-1, 1]$ 的子区间上求最值。
• 题目问奇偶性、对称轴、对称中心：用表中结论，或者代入检验“对称轴处取最值、对称中心处函数值为 0”。

注意点

• 单调区间要写成区间，并且带 $k \in \mathbf{Z}$。几个单调区间之间不能用”$\cup$“连起来：$y = \sin x$ 在每一段上递增，不等于在它们的并集上递增。
• 单调区间的端点写开写闭都可以（端点处函数有定义），一般写闭区间。
• 换元 $t = \sin x$ 后，一定要先写出 $t$ 的范围。$x \in \mathbf{R}$ 时 $t \in [-1, 1]$；$x$ 被限定时，$t$ 的范围要按单调性重新算。
• 奇偶性的前提是定义域关于原点对称。定义域不对称的函数，例如 $y = \sin x$，$x \in [0, 2\pi]$，既不是奇函数也不是偶函数。
• “最小正周期”要求是正数里最小的。$y = \sin x$ 的周期有 $2\pi, 4\pi, -2\pi, \dots$，最小正周期是 $2\pi$。常数函数是周期函数，但没有最小正周期。

证明

结论 1：$y = \sin x$ 的最小正周期是 $2\pi$。

先说 $2\pi$ 是周期：角 $x + 2\pi$ 和 $x$ 终边相同，所以 $\sin(x + 2\pi) = \sin x$。

再说没有更小的正周期。用反证法：假设有 $0 < T < 2\pi$，对一切 $x$ 都有 $\sin(x + T) = \sin x$。取 $x = \dfrac{\pi}{2}$，得 $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + T\right) = 1$。（关键一步：$\sin\theta = 1$ 当且仅当 $\theta = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$，因为单位圆上纵坐标为 1 的点只有 $(0, 1)$。）于是 $\dfrac{\pi}{2} + T = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$，$T = 2k\pi$，与 $0 < T < 2\pi$ 矛盾。余弦同理（取 $x = 0$）。

结论 2：$y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 的最小正周期是 $\dfrac{2\pi}{|\omega|}$。

设 $\omega > 0$。

$$A\sin\left[\omega\left(x + \frac{2\pi}{\omega}\right) + \varphi\right] = A\sin(\omega x + \varphi + 2\pi) = A\sin(\omega x + \varphi),$$

所以 $\dfrac{2\pi}{\omega}$ 是周期。若有更小的正周期 $T$，令 $u = \omega x + \varphi$，则 $\sin(u + \omega T) = \sin u$ 对一切 $u$ 成立，$\omega T$ 就是 $\sin u$ 的一个小于 $2\pi$ 的正周期，与结论 1 矛盾。$\omega < 0$ 时，由诱导公式把负号提到外面，$A\sin(\omega x + \varphi) = -A\sin(-\omega x - \varphi)$，化成 $-\omega > 0$ 的情形，周期是 $\dfrac{2\pi}{-\omega} = \dfrac{2\pi}{|\omega|}$。

结论 3：奇偶性。 由诱导公式 $\sin(-x) = -\sin x$，$\cos(-x) = \cos x$，定义域 $\mathbf{R}$ 关于原点对称，所以 $\sin x$ 是奇函数，$\cos x$ 是偶函数。

结论 4：单调性。 课本由图像读出单调区间。用单位圆说明：角 $x$ 从 $-\dfrac{\pi}{2}$ 增加到 $\dfrac{\pi}{2}$ 时，终边与单位圆的交点沿右半圆从最低点 $(0, -1)$ 走到最高点 $(0, 1)$，纵坐标一直在增大，所以 $\sin x$ 递增；从 $\dfrac{\pi}{2}$ 到 $\dfrac{3\pi}{2}$ 沿左半圆从上往下走，所以递减。再由周期性加上 $2k\pi$。

严格证明要比较 $\sin x_2 - \sin x_1$ 的符号，用第 13 章的和差化积 $\sin x_2 - \sin x_1 = 2\cos\dfrac{x_1 + x_2}{2}\sin\dfrac{x_2 - x_1}{2}$：当 $-\dfrac{\pi}{2} \le x_1 < x_2 \le \dfrac{\pi}{2}$ 时两个因子都为正。也可以用第 24 章的导数：$(\sin x)' = \cos x > 0$。

结论 5：对称轴和对称中心。

对称轴 $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$：由诱导公式 $\sin(\theta + k\pi) = (-1)^k\sin\theta$ 和 $\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + t\right) = \cos t$，

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} + k\pi + t\right) = (-1)^k\cos t, \quad \sin\left(\frac{\pi}{2} + k\pi - t\right) = (-1)^k\cos(-t) = (-1)^k\cos t,$$

两者相等，所以 $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ 是对称轴。（关键一步：$\cos$ 是偶函数，$\cos(-t) = \cos t$，这就是左右对称的来源。）

对称中心 $(k\pi, 0)$：$\sin(k\pi + t) = (-1)^k\sin t$，$\sin(k\pi - t) = (-1)^k\sin(-t) = -(-1)^k\sin t$，两者相加为 0。

余弦的对称轴和对称中心由 $\cos x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$ 把正弦的结论左移 $\dfrac{\pi}{2}$ 得到。

例题

例 1　（场景：求周期）求下列函数的最小正周期：(1) $y = 3\sin\left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{4}\right)$；(2) $y = \cos 2x$；(3) $y = |\sin x|$。

解：

(1) $\omega = \dfrac{1}{2}$，$T = \dfrac{2\pi}{1/2} = 4\pi$。

(2) $\omega = 2$，$T = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$。

(3) 不是 $A\sin(\omega x + \varphi)$ 的形式，画图。$y = |\sin x|$ 的图像是把 $y = \sin x$ 在 $x$ 轴下方的部分翻折到上方：

每隔 $\pi$ 重复一次，$T = \pi$。验证：$|\sin(x + \pi)| = |-\sin x| = |\sin x|$。

容易卡在：(3) 照搬 $2\pi$。绝对值把负的一半翻上来，和正的一半一模一样，周期减半。

例 2　（场景：求单调区间）求 $y = \sin\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{3}\right)$，$x \in [-2\pi, 2\pi]$ 的单调递增区间。

解：令 $u = \dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{3}$。$\sin u$ 的递增区间是 $\left[-\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi, \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right]$，所以

$$-\frac{\pi}{2} + 2k\pi \le \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2} + 2k\pi.$$

各项减 $\dfrac{\pi}{3}$：$-\dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi \le \dfrac{x}{2} \le \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi$；各项乘 2：$-\dfrac{5\pi}{3} + 4k\pi \le x \le \dfrac{\pi}{3} + 4k\pi$。

再和 $[-2\pi, 2\pi]$ 取交集：$k = 0$ 时得 $\left[-\dfrac{5\pi}{3}, \dfrac{\pi}{3}\right]$，全在 $[-2\pi, 2\pi]$ 内；$k = 1$ 时区间从 $\dfrac{7\pi}{3}$ 开始，$k = -1$ 时区间到 $-\dfrac{11\pi}{3}$ 结束，都在范围外。

所以递增区间是 $\left[-\dfrac{5\pi}{3}, \dfrac{\pi}{3}\right]$。

容易卡在：整体代换是”$u$ 在哪个范围”，不是”$x$ 在哪个范围”。不能直接写 $x \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$。

例 3　（场景：比较大小）比较大小：(1) $\sin\left(-\dfrac{\pi}{18}\right)$ 与 $\sin\left(-\dfrac{\pi}{10}\right)$；(2) $\cos\left(-\dfrac{23\pi}{5}\right)$ 与 $\cos\left(-\dfrac{17\pi}{4}\right)$。

解：

(1) $-\dfrac{\pi}{2} < -\dfrac{\pi}{10} < -\dfrac{\pi}{18} < 0$，两个角都在 $\sin x$ 的递增区间 $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ 里，角大的正弦值大，所以 $\sin\left(-\dfrac{\pi}{18}\right) > \sin\left(-\dfrac{\pi}{10}\right)$。

(2) 先化到 $[0, \pi]$ 里。余弦是偶函数，周期 $2\pi$：

$$\cos\left(-\frac{23\pi}{5}\right) = \cos\frac{23\pi}{5} = \cos\left(\frac{23\pi}{5} - 4\pi\right) = \cos\frac{3\pi}{5},$$ $$\cos\left(-\frac{17\pi}{4}\right) = \cos\frac{17\pi}{4} = \cos\left(\frac{17\pi}{4} - 4\pi\right) = \cos\frac{\pi}{4}.$$

$0 < \dfrac{\pi}{4} < \dfrac{3\pi}{5} < \pi$，$\cos x$ 在 $[0, \pi]$ 上递减，所以 $\cos\dfrac{\pi}{4} > \cos\dfrac{3\pi}{5}$，即 $\cos\left(-\dfrac{23\pi}{5}\right) < \cos\left(-\dfrac{17\pi}{4}\right)$。

另一种解法：(2) 也可以直接看符号。$\dfrac{3\pi}{5}$ 在第二象限，余弦为负；$\dfrac{\pi}{4}$ 在第一象限，余弦为正。负数小于正数，一步得出结论。看符号适合两个值一正一负的情况；两个值同号时只能用单调性。

例 4　（场景：换元求最值）求函数 $y = \cos^2 x + \sin x$ 的值域；若 $x \in \left[-\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}\right]$，再求它的最大值和最小值。

解：用 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ 化成只含 $\sin x$ 的式子。令 $t = \sin x$：

$$y = 1 - t^2 + t = -\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{5}{4}.$$

(1) $x \in \mathbf{R}$ 时 $t \in [-1, 1]$。二次函数开口向下，对称轴 $t = \dfrac{1}{2}$ 在区间内：$t = \dfrac{1}{2}$ 时 $y$ 最大，为 $\dfrac{5}{4}$；离对称轴最远的 $t = -1$ 处 $y$ 最小，为 $-1$。值域是 $\left[-1, \dfrac{5}{4}\right]$。

(2) $x \in \left[-\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}\right]$ 时，$\sin x$ 递增，$t \in \left[-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right]$。对称轴 $t = \dfrac{1}{2}$ 仍在区间内，最大值 $\dfrac{5}{4}$（$x = \dfrac{\pi}{6}$ 时取到）；$t = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 离对称轴更远，最小值为

$$1 - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$$

（$x = -\dfrac{\pi}{4}$ 时取到）。

容易卡在：换元后把 $t$ 当成任意实数，得出“没有最小值”。$t = \sin x$ 只能在 $[-1, 1]$ 里取。

例 5　（场景：奇偶性与对称性）(1) 已知 $f(x) = \cos(x + \varphi)$（$0 \le \varphi < \pi$）是奇函数，求 $\varphi$；(2) 求 $y = \cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$ 图像的对称轴和对称中心。

解：

(1) $f(x)$ 定义域为 $\mathbf{R}$，是奇函数，则 $f(0) = 0$，即 $\cos\varphi = 0$。在 $[0, \pi)$ 里只有 $\varphi = \dfrac{\pi}{2}$。检验：$\cos\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) = -\sin x$，确实是奇函数。所以 $\varphi = \dfrac{\pi}{2}$。

(2) 令 $u = 2x - \dfrac{\pi}{3}$。$\cos u$ 的对称轴是 $u = k\pi$，对称中心的横坐标是 $u = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$。

• 对称轴：$2x - \dfrac{\pi}{3} = k\pi$，$x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{2}$，$k \in \mathbf{Z}$。
• 对称中心：$2x - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，$x = \dfrac{5\pi}{12} + \dfrac{k\pi}{2}$，对称中心是 $\left(\dfrac{5\pi}{12} + \dfrac{k\pi}{2}, 0\right)$，$k \in \mathbf{Z}$。

另一种解法：选择题常问“下列哪条直线是对称轴”，不必解方程，把选项代进去：函数值是 $\pm 1$（最值）的就是对称轴，函数值是 0 的就是对称中心的横坐标。比如 $x = \dfrac{\pi}{6}$ 时 $\cos 0 = 1$，是对称轴。求通式时解方程，判断选项时代入检验更快。

常用推论

• $y = A\sin(\omega x + \varphi)$、$y = A\cos(\omega x + \varphi)$ 的最小正周期 $T = \dfrac{2\pi}{|\omega|}$。推导见本节“证明”结论 2。
• $y = |\sin x|$、$y = |\cos x|$ 的最小正周期是 $\pi$。推导见例 1(3)。
• 正弦、余弦曲线的对称轴一定经过最高点或最低点，对称中心一定是曲线与 $x$ 轴的交点。由此：$x = x_0$ 是对称轴 $\iff$ $f(x_0)$ 是最大值或最小值；$(x_0, 0)$ 是对称中心 $\iff$ $f(x_0) = 0$。从表中对称轴、对称中心和最值点的位置直接对出来。
• 相邻两条对称轴相距半个周期 $\dfrac{T}{2}$，相邻的对称轴和对称中心相距 $\dfrac{T}{4}$。从五点法的五个点看：相邻两点横向相距 $\dfrac{T}{4}$。

易错点

• 错在哪：写”$y = \sin x$ 的递增区间是 $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] \cup \left[\dfrac{3\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{2}\right] \cup \cdots$“。 为什么错：取 $x_1 = \dfrac{\pi}{2}$、$x_2 = \dfrac{3\pi}{2}$，$x_1 < x_2$ 但 $\sin x_1 > \sin x_2$，在并集上不是递增的。 正确做法：写成 $\left[-\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi, \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right]$（$k \in \mathbf{Z}$），或者几个区间之间用逗号、“和”隔开。
• 错在哪：求 $y = \cos^2 x + \sin x$ 的最小值时，用配方的顶点算出“最大值 $\dfrac{5}{4}$“后，认为最小值不存在或随手写 $-\infty$。 为什么错：$t = \sin x$ 被限制在 $[-1, 1]$ 里，二次函数在闭区间上一定有最小值。 正确做法：换元后先写”$t \in [-1, 1]$“，再按二次函数在闭区间上求最值。
• 错在哪：比较 $\cos\dfrac{\pi}{4}$ 与 $\cos\dfrac{3\pi}{5}$ 时，因为 $\dfrac{\pi}{4} < \dfrac{3\pi}{5}$ 就说 $\cos\dfrac{\pi}{4} < \cos\dfrac{3\pi}{5}$。 为什么错：$\cos x$ 在 $[0, \pi]$ 上是递减的，角越大余弦越小。 正确做法：先确认两个角在同一个单调区间里，再看这个区间上是增还是减。

直观理解

正弦、余弦曲线像一排连绵的波浪：每 $2\pi$ 重复一次（周期），浪高 1、浪谷 $-1$（值域），从浪谷爬到浪尖是上坡（递增），从浪尖滑到浪谷是下坡（递减）。过每个浪尖、浪谷的竖线都把一个浪劈成左右对称的两半（对称轴），每个“半山腰”和 $x$ 轴的交点是旋转对称的中心（对称中心）。

记奇偶：正弦曲线过原点、关于原点对称，奇；余弦曲线在 $y$ 轴上是最高点、关于 $y$ 轴对称，偶。

关联知识点

• 前置：第 6 章函数的基本性质。周期、单调、奇偶、对称的定义都在那里。
• 前置：12.2 正弦函数、余弦函数的图像，性质都从图上读出。
• 前置：第 4 章一元二次函数。换元后在闭区间上求二次函数的最值。
• 后续：12.5 函数 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$，用整体代换把本节结论搬过去。
• 后续：第 13 章三角恒等变换，把 $a\sin x + b\cos x$ 化成一个三角函数后再用本节的性质。
• 后续：第 24 章导数，$(\sin x)' = \cos x$ 给出单调性的另一种证明。

12.4 正切函数的图像与性质

说明

正切函数 $y = \tan x$ 的定义域是

$$\left\{x \;\middle|\; x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbf{Z}\right\},$$

因为 $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$，$\cos x = 0$ 时没有意义。

性质	$y = \tan x$
定义域	$x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$
值域	$\mathbf{R}$
最小正周期	$\pi$
奇偶性	奇函数
单调性	在每一个开区间 $\left(-\dfrac{\pi}{2} + k\pi, \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right)$ 上递增
对称中心	$\left(\dfrac{k\pi}{2}, 0\right)$
对称轴	无
渐近线	直线 $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$

表中 $k \in \mathbf{Z}$。

图像叫正切曲线，由一支一支互相平行的曲线组成，每一支夹在两条相邻的渐近线之间。渐近线是曲线无限接近但永远碰不到的直线。

画简图的“三点两线”：在 $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 上，取三点 $\left(-\dfrac{\pi}{4}, -1\right)$、$(0, 0)$、$\left(\dfrac{\pi}{4}, 1\right)$，两线 $x = -\dfrac{\pi}{2}$、$x = \dfrac{\pi}{2}$，画出一支，再左右平移 $k\pi$。

$y = A\tan(\omega x + \varphi)$（$A \ne 0$，$\omega \ne 0$）的最小正周期是 $\dfrac{\pi}{|\omega|}$。

使用场景

• 题目要求含 $\tan$ 的函数的定义域：令括号里的整体不等于 $\dfrac{\pi}{2} + k\pi$，解出 $x$。
• 题目要求 $y = A\tan(\omega x + \varphi)$ 的周期、单调区间：周期用 $\dfrac{\pi}{|\omega|}$；单调区间把整体代入 $\left(-\dfrac{\pi}{2} + k\pi, \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right)$。
• 题目要比较两个正切值的大小：用周期 $\pi$ 把角化到 $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 里，再按递增比较。
• 题目要解 $\tan x > a$ 这类不等式：在 $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 上画图找解，再加 $k\pi$。

注意点

• 正切的周期是 $\pi$，不是 $2\pi$；加周期时写”$+ k\pi$“。
• $y = \tan x$ 在每个区间 $\left(-\dfrac{\pi}{2} + k\pi, \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right)$ 上递增，但在整个定义域上不是增函数。比如 $\tan\dfrac{\pi}{4} = 1 > \tan\dfrac{3\pi}{4} = -1$。
• 单调区间是开区间，端点处没有定义，不能写成闭区间。
• 对称中心除了 $(k\pi, 0)$（曲线与 $x$ 轴的交点）还有 $\left(\dfrac{\pi}{2} + k\pi, 0\right)$（渐近线与 $x$ 轴的交点），合起来是 $\left(\dfrac{k\pi}{2}, 0\right)$。只写 $(k\pi, 0)$ 是漏了一半。

证明

结论 1：最小正周期是 $\pi$。 由诱导公式 $\tan(x + \pi) = \tan x$，$\pi$ 是周期。再说没有更小的正周期。假设 $0 < T < \pi$ 是周期，则 $\tan(0 + T) = \tan 0 = 0$。但 $0 < T < \dfrac{\pi}{2}$ 时 $\tan T > 0$，$T = \dfrac{\pi}{2}$ 时 $\tan T$ 没有意义，$\dfrac{\pi}{2} < T < \pi$ 时 $\tan T < 0$，都不等于 0，矛盾。（关键一步：在 $(0, \pi)$ 里 $\tan x$ 没有零点，因为 $\sin x$ 在这里不为 0。）

结论 2：奇函数。 定义域关于原点对称，且 $\tan(-x) = \dfrac{\sin(-x)}{\cos(-x)} = \dfrac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$。

结论 3：在 $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 上递增。 课本用单位圆中的正切线说明：角 $x$ 从 $-\dfrac{\pi}{2}$ 增加到 $\dfrac{\pi}{2}$ 时，终边与直线 $x = 1$ 的交点 $(1, \tan x)$ 从下往上移动，纵坐标 $\tan x$ 一直增大。

用第 13 章的两角差公式可以严格证明：设 $-\dfrac{\pi}{2} < x_1 < x_2 < \dfrac{\pi}{2}$，

$$\tan x_2 - \tan x_1 = \frac{\sin x_2\cos x_1 - \cos x_2\sin x_1}{\cos x_1\cos x_2} = \frac{\sin(x_2 - x_1)}{\cos x_1\cos x_2} > 0.$$

（关键一步：$0 < x_2 - x_1 < \pi$，所以分子 $\sin(x_2 - x_1) > 0$；$x_1$、$x_2$ 都在 $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 里，所以分母两个余弦都为正。）

结论 4：渐近线。 $x$ 从左边接近 $\dfrac{\pi}{2}$ 时，$\sin x$ 接近 1，$\cos x$ 是正数且接近 0，所以 $\tan x$ 无限增大；从右边接近时 $\cos x$ 是负数且接近 0，$\tan x$ 无限减小。曲线向 $x = \dfrac{\pi}{2}$ 无限靠近却碰不到。严格描述“无限接近”要用大学的极限。

结论 5：对称中心 $\left(\dfrac{k\pi}{2}, 0\right)$。 要证 $\tan\left(\dfrac{k\pi}{2} + t\right) + \tan\left(\dfrac{k\pi}{2} - t\right) = 0$（两边都有意义时）。$k$ 为偶数时，由周期和奇函数，$\tan(k'\pi + t) + \tan(k'\pi - t) = \tan t + \tan(-t) = 0$。$k$ 为奇数时，由周期 $\pi$ 只需看 $\dfrac{\pi}{2}$ 处，由诱导公式 $\tan\left(\dfrac{\pi}{2} + t\right) = -\dfrac{1}{\tan t}$，得 $-\dfrac{1}{\tan t} - \dfrac{1}{\tan(-t)} = -\dfrac{1}{\tan t} + \dfrac{1}{\tan t} = 0$。

例题

例 1　（场景：求定义域）求 $y = \tan\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right)$ 的定义域。

解：令 $2x - \dfrac{\pi}{4} \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，得 $2x \ne \dfrac{3\pi}{4} + k\pi$，$x \ne \dfrac{3\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{2}$。定义域是

$$\left\{x \;\middle|\; x \ne \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbf{Z}\right\}.$$

容易卡在：最后一步除以 2 时，$k\pi$ 也要除以 2，变成 $\dfrac{k\pi}{2}$。

例 2　（场景：周期和单调区间）求 $y = \tan\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{3}\right)$ 的最小正周期和单调区间。

解：$\omega = \dfrac{1}{2}$，$T = \dfrac{\pi}{1/2} = 2\pi$。

令 $-\dfrac{\pi}{2} + k\pi < \dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{3} < \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，各项减 $\dfrac{\pi}{3}$ 得 $-\dfrac{5\pi}{6} + k\pi < \dfrac{x}{2} < \dfrac{\pi}{6} + k\pi$，各项乘 2 得

$$-\frac{5\pi}{3} + 2k\pi < x < \frac{\pi}{3} + 2k\pi.$$

所以函数在每个区间 $\left(-\dfrac{5\pi}{3} + 2k\pi, \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\right)$（$k \in \mathbf{Z}$）上递增，没有递减区间。

例 3　（场景：比较大小）比较 $\tan\left(-\dfrac{13\pi}{4}\right)$ 与 $\tan\left(-\dfrac{17\pi}{5}\right)$ 的大小。

解：用周期 $\pi$ 把角化到 $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 里，两个角都加 $3\pi$：

$$\tan\left(-\frac{13\pi}{4}\right) = \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right), \quad \tan\left(-\frac{17\pi}{5}\right) = \tan\left(-\frac{2\pi}{5}\right).$$

$-\dfrac{\pi}{2} < -\dfrac{2\pi}{5} < -\dfrac{\pi}{4} < \dfrac{\pi}{2}$，$\tan x$ 在这个区间上递增，所以 $\tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) > \tan\left(-\dfrac{2\pi}{5}\right)$，即

$$\tan\left(-\frac{13\pi}{4}\right) > \tan\left(-\frac{17\pi}{5}\right).$$

容易卡在：直接比较 $-\dfrac{13\pi}{4}$ 和 $-\dfrac{17\pi}{5}$ 的大小下结论。两个角不在同一个单调区间里时，角的大小和函数值的大小没有关系。

例 4　（场景：解正切不等式）解不等式 $\tan x \ge -1$。

解：先在一个周期 $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 里找。$\tan x = -1$ 的解是 $x = -\dfrac{\pi}{4}$，$\tan x$ 递增，所以 $-\dfrac{\pi}{4} \le x < \dfrac{\pi}{2}$。

加上周期 $k\pi$，解集是

$$\left\{x \;\middle|\; -\frac{\pi}{4} + k\pi \le x < \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbf{Z}\right\}.$$

容易卡在：右端点写成闭的。$x = \dfrac{\pi}{2}$ 时 $\tan x$ 没有定义，只能是开端点。

常用推论

• $y = A\tan(\omega x + \varphi)$ 的最小正周期是 $\dfrac{\pi}{|\omega|}$。推导和 12.3 节“证明”结论 2 相同，把 $2\pi$ 换成 $\pi$。
• $y = \tan x$ 的对称中心是 $\left(\dfrac{k\pi}{2}, 0\right)$，包括零点和渐近线与 $x$ 轴的交点。推导见本节“证明”结论 5。
• 相邻两条渐近线之间的距离等于一个周期。由周期 $\pi$ 和渐近线 $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ 直接得出。
• $\omega < 0$ 时，$y = \tan(\omega x + \varphi) = -\tan(-\omega x - \varphi)$，在每一段上递减。由奇函数得出。

易错点

• 错在哪：说”$y = \tan x$ 是增函数”。 为什么错：增函数要求在整个定义域上 $x_1 < x_2$ 时 $f(x_1) < f(x_2)$。$\tan\dfrac{\pi}{4} = 1$，$\tan\dfrac{3\pi}{4} = -1$，不满足。 正确做法：说”$y = \tan x$ 在每一个区间 $\left(-\dfrac{\pi}{2} + k\pi, \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right)$ 上递增”。
• 错在哪：求 $y = \tan\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right)$ 的单调区间时，直接令 $-\dfrac{\pi}{2} + k\pi < \dfrac{\pi}{4} - x < \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，说这些区间上递增。 为什么错：$x$ 的系数是 $-1$，$x$ 增大时 $\dfrac{\pi}{4} - x$ 减小，正切值也减小，函数是递减的。 正确做法：先化成 $y = -\tan\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)$，再求 $\tan\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)$ 的递增区间 $\left(-\dfrac{\pi}{4} + k\pi, \dfrac{3\pi}{4} + k\pi\right)$，原函数在这些区间上递减。
• 错在哪：正切函数的周期写成 $2\pi$，求 $y = \tan 2x$ 的周期得 $\pi$。 为什么错：正切的周期是 $\pi$，$y = \tan 2x$ 的周期是 $\dfrac{\pi}{2}$。 正确做法：正弦、余弦用 $\dfrac{2\pi}{|\omega|}$，正切用 $\dfrac{\pi}{|\omega|}$，分开记。

直观理解

正切曲线像一排相同的“S 形滑梯”，每一条都从下面无穷远处升到上面无穷远处，中间穿过 $x$ 轴；滑梯之间隔着一道“墙”（渐近线），墙每隔 $\pi$ 出现一次。所以它只在每一段里上升，跨过墙会从最高处“掉”回最低处，整体不能说是增函数。

正切值就是角的终边的斜率：终边越陡，正切值越大；终边竖直时斜率不存在，正好是渐近线的位置。

关联知识点

• 前置：第 11 章三角函数的定义。$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$，定义域来自 $\cos x \ne 0$。
• 前置：12.3 正弦函数、余弦函数的性质。周期、奇偶、整体代换的方法完全相同。
• 后续：第 28 章直线的方程。倾斜角为 $\alpha$ 的直线斜率是 $\tan\alpha$，由正切的单调性判断倾斜角和斜率的关系。
• 后续：第 13 章三角恒等变换。两角和的正切公式、二倍角的正切公式。

12.5 函数 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 的图像与性质

说明

本节设 $A > 0$，$\omega > 0$（不是时先用诱导公式化成这种形式）。

各参数的含义（课本用简谐运动解释）：

参数	名称	对图像的影响
$A$	振幅	最高点纵坐标 $A$，最低点 $-A$
$T = \dfrac{2\pi}{\omega}$	周期	图像每隔 $T$ 重复一次
$f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{\omega}{2\pi}$	频率	单位长度里重复的次数
$\omega x + \varphi$	相位	决定这一刻处在一个周期的哪个位置
$\varphi$	初相	$x = 0$ 时的相位

由 $y = \sin x$ 到 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 的三种变换：

变换	对图像做什么	对解析式做什么
平移	向左平移 $\varphi$ 个单位（$\varphi < 0$ 时向右平移 $-\varphi$）	$x$ 换成 $x + \varphi$
横向伸缩	横坐标变为原来的 $\dfrac{1}{\omega}$ 倍，纵坐标不变	$x$ 换成 $\omega x$
纵向伸缩	纵坐标变为原来的 $A$ 倍，横坐标不变	整个函数乘 $A$

所有变换的规律只有一条：平移和横向伸缩都只对 $x$ 本身操作。左移 $a$ 是把每个 $x$ 换成 $x + a$；横坐标变为 $\dfrac{1}{\omega}$ 倍是把每个 $x$ 换成 $\omega x$。

两种顺序：

先伸缩后平移时，平移量是 $\dfrac{\varphi}{\omega}$ 而不是 $\varphi$，因为

$$\sin(\omega x + \varphi) = \sin\left[\omega\left(x + \frac{\varphi}{\omega}\right)\right],$$

对 $y = \sin\omega x$ 来说，是 $x$ 换成了 $x + \dfrac{\varphi}{\omega}$。

五点法：令 $u = \omega x + \varphi$ 分别等于 $0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2}, 2\pi$，解出对应的 $x$，函数值分别是 $0, A, 0, -A, 0$。

性质（整体代换）：令 $u = \omega x + \varphi$，

要求的	对 $u$ 的条件	$k \in \mathbf{Z}$
递增区间	$-\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \le u \le \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$	解出 $x$
递减区间	$\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \le u \le \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi$	解出 $x$
最大值 $A$	$u = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$	解出 $x$
对称轴	$u = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$	解出 $x$
对称中心	$u = k\pi$	横坐标为解出的 $x$，纵坐标 0

使用场景

• 题目问“由 $y = \sin x$ 的图像经过怎样的变换得到 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$”：按两条路之一写出每一步。
• 题目给出平移、伸缩的操作，问得到的解析式；或者给出两个函数名不同的解析式（一个 $\sin$、一个 $\cos$）问怎样平移：先用诱导公式统一函数名，把 $\omega$ 提出来，再比较 $x$ 变了多少。
• 题目给出图像的一部分，要求解析式：由最高点定 $A$，由相邻特殊点的距离定周期和 $\omega$，由一个已知点定 $\varphi$。
• 题目给出解析式，问周期、单调区间、对称轴、在某个区间上的值域：整体代换。
• 题目给出单调性、对称性、零点个数等条件，求 $\omega$ 或 $\varphi$ 的范围：把 $\omega x + \varphi$ 在给定区间上的范围求出来，要求它落在 $\sin u$ 的某个单调区间里，列不等式。

注意点

• 平移是“左加右减”，加减的是 $x$ 本身。$y = \sin 2x$ 向左平移 $\dfrac{\pi}{6}$ 得 $y = \sin 2\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$，不是 $\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right)$。
• 横坐标“变为原来的 $\dfrac{1}{\omega}$ 倍”：$\omega = 2$ 是横向压缩到一半，周期变小；$\omega = \dfrac{1}{2}$ 是横向拉长到两倍。
• 平移变换要求起止两个函数名相同。$\sin$ 和 $\cos$ 之间平移，先用 $\cos x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$ 统一。
• $\omega < 0$ 时，先用诱导公式化成 $\omega > 0$。比如 $y = \sin\left(\dfrac{\pi}{3} - 2x\right) = -\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$，它的递增区间是 $\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$ 的递减区间。
• 由图像求 $\varphi$ 时，优先用最高点或最低点代入；用零点代入要分清是“上升零点”还是“下降零点”，否则会得出两个 $\varphi$。

证明

结论 1：平移。 $y = f(x + a)$（$a > 0$）的图像是 $y = f(x)$ 的图像向左平移 $a$。

设点 $(x_0, y_0)$ 在 $y = f(x)$ 上，即 $y_0 = f(x_0)$。把它向左平移 $a$ 得到点 $(x_0 - a, y_0)$。代入：$f((x_0 - a) + a) = f(x_0) = y_0$，所以这个点在 $y = f(x + a)$ 上。（关键一步：新函数要在 $x_0 - a$ 处取到原来在 $x_0$ 处的值，所以要把 $x$ 换成 $x + a$。“加”对应“往左”就是这么来的。）反过来，$y = f(x + a)$ 上每一点向右平移 $a$ 都落在 $y = f(x)$ 上，两个图像只差一个平移。

结论 2：横向伸缩。 $y = f(\omega x)$（$\omega > 0$）的图像是把 $y = f(x)$ 上每个点的横坐标变为原来的 $\dfrac{1}{\omega}$ 倍。

设 $(x_0, y_0)$ 在 $y = f(x)$ 上。横坐标变为 $\dfrac{1}{\omega}$ 倍得点 $\left(\dfrac{x_0}{\omega}, y_0\right)$，代入：$f\left(\omega \cdot \dfrac{x_0}{\omega}\right) = f(x_0) = y_0$，所以它在 $y = f(\omega x)$ 上。

结论 3：纵向伸缩。 $y = Af(x)$ 的图像是把 $y = f(x)$ 上每个点的纵坐标变为原来的 $A$ 倍：$(x_0, y_0)$ 变为 $(x_0, Ay_0)$，而 $Af(x_0) = Ay_0$。

结论 4：两种顺序。

• 先平移：$y = \sin x$ 左移 $\varphi$ 得 $y = \sin(x + \varphi)$；再把横坐标变为 $\dfrac{1}{\omega}$ 倍，即把 $x$ 换成 $\omega x$，得 $y = \sin(\omega x + \varphi)$。
• 先伸缩：$y = \sin x$ 横坐标变为 $\dfrac{1}{\omega}$ 倍得 $y = \sin\omega x$；再左移 $\dfrac{\varphi}{\omega}$，把 $x$ 换成 $x + \dfrac{\varphi}{\omega}$，得 $y = \sin\left[\omega\left(x + \dfrac{\varphi}{\omega}\right)\right] = \sin(\omega x + \varphi)$。

两条路最后都乘 $A$。

结论 5：周期 $\dfrac{2\pi}{\omega}$，证明见 12.3 节“证明”结论 2。

例题

例 1　（场景：描述变换过程）说明 $y = 2\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$ 的图像可以由 $y = \sin x$ 的图像经过怎样的变换得到。

解：

方法一（先平移后伸缩）：

1. 把 $y = \sin x$ 的图像向左平移 $\dfrac{\pi}{3}$，得 $y = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right)$；
2. 把所得图像上各点的横坐标缩短到原来的 $\dfrac{1}{2}$（纵坐标不变），得 $y = \sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$；
3. 把所得图像上各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变），得 $y = 2\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$。

方法二（先伸缩后平移）：

1. 把 $y = \sin x$ 图像上各点的横坐标缩短到原来的 $\dfrac{1}{2}$，得 $y = \sin 2x$；
2. 向左平移 $\dfrac{\pi}{6}$，得 $y = \sin 2\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$；
3. 纵坐标伸长到原来的 2 倍，得 $y = 2\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$。

容易卡在：方法二第 2 步写成“向左平移 $\dfrac{\pi}{3}$”。先伸缩之后平移量要除以 $\omega$。

例 2　（场景：给出变换求解析式，或统一函数名后求平移量）(1) 把 $y = \sin 2x$ 的图像向左平移 $\dfrac{\pi}{6}$，求所得图像的解析式；(2) 要得到 $y = \sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$ 的图像，只需把 $y = \cos 2x$ 的图像怎样平移？

解：

(1) 把 $x$ 换成 $x + \dfrac{\pi}{6}$：$y = \sin 2\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$。

(2) 先统一函数名，再把 $\omega = 2$ 提出来：

$$y = \cos 2x = \sin\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = \sin 2\left(x + \frac{\pi}{4}\right), \qquad y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \sin 2\left(x - \frac{\pi}{6}\right).$$

从 $x + \dfrac{\pi}{4}$ 变成 $x - \dfrac{\pi}{6}$，相当于把 $x$ 换成 $x - \dfrac{5\pi}{12}$：

$$\left(x - \frac{5\pi}{12}\right) + \frac{\pi}{4} = x - \frac{\pi}{6}.$$

所以把 $y = \cos 2x$ 的图像向右平移 $\dfrac{5\pi}{12}$。

验证：$\cos 2\left(x - \dfrac{5\pi}{12}\right) = \cos\left(2x - \dfrac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(2x - \dfrac{5\pi}{6} + \dfrac{\pi}{2}\right) = \sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$。

容易卡在：不提出 $\omega$，直接用 $\dfrac{\pi}{2} - \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{5\pi}{6}$ 当平移量。

另一种解法：(2) 比较两个函数的“对应点”。$y = \cos 2x$ 的一个最高点在 $x = 0$；$y = \sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$ 的最高点满足 $2x - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2}$，$x = \dfrac{5\pi}{12}$。最高点从 0 移到 $\dfrac{5\pi}{12}$，就是向右平移 $\dfrac{5\pi}{12}$（加减周期 $\pi$ 的整数倍也对）。找对应点不用记“左加右减”，选择题里更快；写过程的解答题用代换法更规范。

例 3　（场景：由图像求解析式）函数 $f(x) = A\sin(\omega x + \varphi)$（$A > 0$，$\omega > 0$，$|\varphi| < \pi$）的部分图像如图，图像经过点 $\left(-\dfrac{\pi}{6}, 0\right)$，并在 $x = \dfrac{\pi}{12}$ 处取得最大值 2。求 $f(x)$ 的解析式。

解：

1. 定 $A$：最大值是 2，$A = 2$。
2. 定 $\omega$：从上升零点 $-\dfrac{\pi}{6}$ 到相邻的最高点 $\dfrac{\pi}{12}$ 是四分之一个周期，$\dfrac{T}{4} = \dfrac{\pi}{12} - \left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\pi}{4}$，所以 $T = \pi$，$\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2$。
3. 定 $\varphi$：用最高点。$x = \dfrac{\pi}{12}$ 时取最大值，所以 $2 \cdot \dfrac{\pi}{12} + \varphi = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$，$\varphi = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$。由 $|\varphi| < \pi$，取 $k = 0$，$\varphi = \dfrac{\pi}{3}$。

所以 $f(x) = 2\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$。

容易卡在：第 3 步用零点 $\left(-\dfrac{\pi}{6}, 0\right)$ 代入，得 $-\dfrac{\pi}{3} + \varphi = k\pi$，$\varphi = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$，在 $|\varphi| < \pi$ 里有 $\dfrac{\pi}{3}$ 和 $-\dfrac{2\pi}{3}$ 两个值。$\varphi = -\dfrac{2\pi}{3}$ 时 $-\dfrac{\pi}{6}$ 是下降零点，和图不符。用零点时要说明“这是上升零点，所以 $\omega x + \varphi = 2k\pi$”。

另一种解法：五点对应法。图上 $-\dfrac{\pi}{6}$ 是上升零点，对应五点法的第一点 $u = 0$；$\dfrac{\pi}{12}$ 是最高点，对应第二点 $u = \dfrac{\pi}{2}$。列方程组

$$\begin{cases} -\dfrac{\pi}{6}\omega + \varphi = 0, \\ \dfrac{\pi}{12}\omega + \varphi = \dfrac{\pi}{2}, \end{cases}$$

相减得 $\dfrac{\pi}{4}\omega = \dfrac{\pi}{2}$，$\omega = 2$，代回得 $\varphi = \dfrac{\pi}{3}$。一次同时求出 $\omega$ 和 $\varphi$，适合图上给出两个相邻特殊点的题；如果图上只能读出周期而另一个点不是特殊点，还是先求 $\omega$ 再代点。

例 4　（场景：由解析式求性质和值域）已知 $f(x) = 2\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right)$。(1) 求最小正周期和单调递增区间；(2) 求图像的对称轴；(3) 求 $f(x)$ 在 $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$ 上的值域。

解：

(1) $T = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$。令 $-\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \le 2x - \dfrac{\pi}{6} \le \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$，加 $\dfrac{\pi}{6}$ 得 $-\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \le 2x \le \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$，除以 2 得递增区间

$$\left[-\frac{\pi}{6} + k\pi, \frac{\pi}{3} + k\pi\right], \quad k \in \mathbf{Z}.$$

(2) 令 $2x - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，得对称轴 $x = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{k\pi}{2}$，$k \in \mathbf{Z}$。

(3) $0 \le x \le \dfrac{\pi}{2}$，所以 $-\dfrac{\pi}{6} \le 2x - \dfrac{\pi}{6} \le \dfrac{5\pi}{6}$。令 $u = 2x - \dfrac{\pi}{6}$，$u \in \left[-\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}\right]$。在这一段上，$\sin u$ 在 $u = \dfrac{\pi}{2}$ 处取最大值 1，在左端点 $u = -\dfrac{\pi}{6}$ 处取最小值 $-\dfrac{1}{2}$（右端点 $\sin\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$ 更大）。所以 $\sin u \in \left[-\dfrac{1}{2}, 1\right]$，$f(x) \in [-1, 2]$。

容易卡在：(3) 直接把端点 $x = 0$、$x = \dfrac{\pi}{2}$ 代进去取最大最小，漏了中间 $u = \dfrac{\pi}{2}$ 的最高点。先求 $u$ 的范围，再在正弦曲线上看这一段。

例 5　（场景：由单调性求 $\omega$ 的范围）已知 $\omega > 0$，函数 $f(x) = \sin\left(\omega x + \dfrac{\pi}{6}\right)$ 在 $\left(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 上单调递减，求 $\omega$ 的取值范围。

解：

1. 区间长度不超过半个周期：递减区间最长是半个周期，所以 $\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{3} \le \dfrac{T}{2} = \dfrac{\pi}{\omega}$，得 $0 < \omega \le 6$。
2. 求 $u = \omega x + \dfrac{\pi}{6}$ 的范围：$x \in \left(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 时，$u \in \left(\dfrac{\omega\pi}{3} + \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\omega\pi}{2} + \dfrac{\pi}{6}\right)$。
3. 这一段要落在 $\sin u$ 的某个递减区间 $\left[\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi, \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi\right]$ 里：

$$\begin{cases} \dfrac{\omega\pi}{3} + \dfrac{\pi}{6} \ge \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi, \\ \dfrac{\omega\pi}{2} + \dfrac{\pi}{6} \le \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi, \end{cases}$$

即 $\omega \ge 1 + 6k$ 且 $\omega \le \dfrac{8}{3} + 4k$。 4. 定 $k$：要有解须 $1 + 6k \le \dfrac{8}{3} + 4k$，即 $k \le \dfrac{5}{6}$；又 $\omega > 0$ 要求 $\dfrac{8}{3} + 4k > 0$，即 $k > -\dfrac{2}{3}$。所以 $k = 0$，得 $1 \le \omega \le \dfrac{8}{3}$。

所以 $\omega$ 的取值范围是 $\left[1, \dfrac{8}{3}\right]$。

容易卡在：第 4 步不知道 $k$ 取哪个值。把两个不等式联立，再加上 $\omega > 0$（或第 1 步的 $\omega \le 6$），$k$ 就只剩一个可能。

常用推论

• 相邻两条对称轴相距 $\dfrac{T}{2}$，相邻的对称轴和对称中心相距 $\dfrac{T}{4}$，相邻最高点相距 $T$。推导同 12.3 节常用推论。
• $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 是奇函数 $\iff \varphi = k\pi$；是偶函数 $\iff \varphi = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$（$k \in \mathbf{Z}$）。推导：奇函数要求 $f(0) = A\sin\varphi = 0$；偶函数要求 $x = 0$ 是对称轴，即 $f(0) = A\sin\varphi = \pm A$，$\sin\varphi = \pm 1$。
• $x = x_0$ 是对称轴 $\iff f(x_0) = \pm A$；$(x_0, 0)$ 是对称中心 $\iff f(x_0) = 0$。推导见 12.3 节常用推论。
• $y = A\sin(\omega x + \varphi) + B$（$A > 0$）的最大值 $A + B$，最小值 $-A + B$。由图像看出：加 $B$ 是整体上移 $B$。已知最大值 $M$、最小值 $m$ 时，$A = \dfrac{M - m}{2}$，$B = \dfrac{M + m}{2}$。
• 函数在长度为 $L$ 的区间上单调，必有 $L \le \dfrac{T}{2}$。见例 5 第 1 步。

易错点

• 错在哪：把 $y = \sin 2x$ 向左平移 $\dfrac{\pi}{6}$，写成 $y = \sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right)$。 为什么错：平移是把 $x$ 换成 $x + \dfrac{\pi}{6}$，$2x$ 就变成 $2\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = 2x + \dfrac{\pi}{3}$。 正确做法：先把 $\omega$ 提到括号外面，写成 $\sin 2(x + \cdots)$ 的形式，平移只改括号里 $x$ 后面的数。
• 错在哪：求 $y = \sin\left(\dfrac{\pi}{3} - 2x\right)$ 的递增区间，直接令 $-\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \le \dfrac{\pi}{3} - 2x \le \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$。 为什么错：$x$ 的系数是负的，$x$ 增大时 $\dfrac{\pi}{3} - 2x$ 减小，内层递减、外层递增，复合起来是递减。这样求出的是递减区间。 正确做法：先化成 $y = -\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$，原函数的递增区间就是 $\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$ 的递减区间：$\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \le 2x - \dfrac{\pi}{3} \le \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi$，得 $\left[\dfrac{5\pi}{12} + k\pi, \dfrac{11\pi}{12} + k\pi\right]$。
• 错在哪：由图像求 $\varphi$ 时，用零点代入得 $\varphi = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$，然后在范围里随便取一个。 为什么错：$\sin u = 0$ 有上升零点（$u = 2k\pi$）和下降零点（$u = \pi + 2k\pi$）两种，只写 $u = k\pi$ 会混进不符合图像的值。 正确做法：优先用最高点或最低点代入；必须用零点时，先看图像在这一点是上升还是下降，再写 $u = 2k\pi$ 或 $u = \pi + 2k\pi$。
• 错在哪：说“把横坐标伸长到原来的 2 倍”能由 $y = \sin x$ 得到 $y = \sin 2x$。 为什么错：$y = \sin 2x$ 的周期是 $\pi$，比 $2\pi$ 短，图像是被压缩了。 正确做法：$x$ 换成 $\omega x$ 对应横坐标变为原来的 $\dfrac{1}{\omega}$ 倍。$\omega > 1$ 是缩短，$0 < \omega < 1$ 是伸长。

直观理解

把 $y = \sin x$ 想成一根画在透明胶片上的波浪线：

• $A$ 管上下拉伸，波浪变高或变矮；
• $\omega$ 管左右挤压，$\omega$ 越大波浪越密；
• $\varphi$ 管左右挪动。

“左加右减”为什么反直觉：新图像要在 $x_0 - a$ 处做原来在 $x_0$ 处的事，所以新函数要“提前”$a$ 拿到原来的值，于是把 $x$ 换成 $x + a$。加号意味着图像整体往左走。

整体代换的直观意义：$u = \omega x + \varphi$ 是“相位”，表示当前处在波浪的哪个位置。不管 $\omega$、$\varphi$ 是多少，只要相位到了 $\dfrac{\pi}{2}$ 就是浪尖，到了 $\dfrac{3\pi}{2}$ 就是浪谷。所以所有性质都先在 $u$ 上找，再换回 $x$。

关联知识点

• 前置：12.2、12.3 正弦函数的图像和性质，本节全部通过整体代换搬过来。
• 前置：第 6 章函数的对称性，平移、伸缩对一般函数 $y = f(x)$ 同样适用。
• 后续：第 13 章三角恒等变换。辅助角公式把 $a\sin x + b\cos x$ 化成 $\sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \varphi)$，二倍角公式把 $\sin x\cos x$、$\sin^2 x$ 化成 $\sin 2x$、$\cos 2x$，最后都变成本节的形式。
• 常一起考：第 16 章解三角形。解答题常先求出某个角，再用本节方法求 $\sin(2B + \varphi)$ 这类式子在角的范围里的最值。
• 后续：物理中的简谐运动、交流电，$A$、$\omega$、$\varphi$ 就是振幅、角频率、初相。

12.6 知识点之间的关系

本章的主线是“先有图，再读性质”：五点法画出正弦、余弦曲线（12.2），从图上读出周期、单调、奇偶、对称和最值（12.3）；正切函数单独一套，但方法一样（12.4）。12.5 把一般的 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 看成正弦曲线经过平移、伸缩得到的图像，它的性质靠整体代换 $u = \omega x + \varphi$ 全部化回 12.3 的结论。

考试里的典型路径是：先用第 13 章的恒等变换把式子化成 $y = A\sin(\omega x + \varphi) + B$，再用本章的方法求周期、单调区间、对称轴或某个区间上的值域。所以本章的整体代换和第 13 章的辅助角公式要一起练熟。

12.7 自测

1. 在 $[0, 2\pi]$ 上，满足 $\cos x \le \dfrac{1}{2}$ 的 $x$ 的取值范围是多少？
2. 求 $y = \cos\left(2x + \dfrac{\pi}{4}\right)$ 的最小正周期和单调递减区间。
3. 求 $y = \sin^2 x - 2\sin x$ 的值域。
4. 求 $y = \tan\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right)$ 的定义域和对称中心。
5. 把 $y = \sin x$ 图像上各点的横坐标缩短到原来的 $\dfrac{1}{2}$，再向右平移 $\dfrac{\pi}{6}$，得到的图像对应的解析式是什么？
6. 函数 $f(x) = 2\sin(\omega x + \varphi)$（$\omega > 0$，$|\varphi| < \dfrac{\pi}{2}$）的图像相邻两条对称轴之间的距离为 $\dfrac{\pi}{2}$，且 $f(0) = 1$，求 $f(x)$。

答案：1. $\left[\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5\pi}{3}\right]$；2. $T = \pi$，递减区间 $\left[-\dfrac{\pi}{8} + k\pi, \dfrac{3\pi}{8} + k\pi\right]$，$k \in \mathbf{Z}$；3. $[-1, 3]$；4. 定义域 $\left\{x \;\middle|\; x \ne \dfrac{\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbf{Z}\right\}$，对称中心 $\left(-\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{2}, 0\right)$，$k \in \mathbf{Z}$；5. $y = \sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$；6. $f(x) = 2\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right)$。

12.8 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，必修第一册“三角函数的图像与性质”“函数 y=Asin(ωx+φ)“两节有同步课程视频和教材电子版。
• GeoGebra 图形计算器：输入 y = A sin(ω x + φ) 并给 A、ω、φ 加滑动条，拖动参数就能看到平移和伸缩怎么改变图像，适合配合 12.5 节练习。
• Khan Academy · Trigonometry：英文的三角函数图像、振幅、周期和相位平移讲解与练习，在 Trigonometric functions 单元里。
• 维基百科 · 正弦曲线：正弦曲线、振幅、频率、相位等术语的中文条目，查定义和物理背景时用。