第 10 章 · 函数的应用

项目	内容
课标主题	必修 · 函数 · 函数应用（二分法与求方程近似解、函数与数学模型）
人教 A 版	必修第一册 第四章 4.4.3 不同函数增长的差异、4.5 函数的应用（二）
考试地位	常考。零点所在区间、零点个数、已知零点个数求参数是选择题和填空题的常见设问，常和分段函数、指数对数函数的图像一起考；二分法很少单独考；函数模型多以指数、对数型的应用题出现在选择题里
前置知识	第 4 章三个“二次”的关系；第 5 章分段函数；第 6 章单调性和奇偶性；第 8、9 章指数函数和对数函数

这一章把“解方程”换成“看图像”：方程的根就是函数图像和 $x$ 轴交点的横坐标。很多方程解不出精确值，但能说清它有几个根、根在哪个区间、近似值是多少，这正是本章的三件事。最后一节回到实际，比较一次、指数、对数三种增长，并用它们建模。丢分主要丢在：分段函数解出的根不检验范围，把零点存在定理当成充要条件，增长率问题年数和取整算错。

10.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
10.2 函数的零点与方程的根	零点是使 $f(x)=0$ 的实数，就是图像与 $x$ 轴交点的横坐标；数零点常转化为数两个图像的交点	常考，零点个数和含参数的零点问题是选择题的常客
10.3 零点存在定理	图像连续且两端函数值异号，区间内至少有一个零点；再加单调就恰有一个	常考，判断零点所在区间几乎是送分题
10.4 二分法	反复取中点、保留端点异号的一半，把零点所在区间不断缩小	偶考，多考步骤和次数
10.5 函数模型	一次函数匀速增长，指数函数越来越快，对数函数越来越慢；按增长方式选模型、定参数、解方程	常考，以指数、对数型应用题为主

10.2 函数的零点与方程的根

说明

零点：对于函数 $y=f(x)$，使 $f(x)=0$ 的实数 $x$ 叫做函数 $y=f(x)$ 的零点。

零点是一个实数，不是一个点。函数 $f(x)=x-2$ 的零点是 $2$，不是 $(2, 0)$。

三者等价：

$$\text{方程 } f(x)=0 \text{ 有实数根} \iff \text{函数 } y=f(x) \text{ 的图像与 } x \text{ 轴有公共点} \iff \text{函数 } y=f(x) \text{ 有零点}$$

而且这三样东西是同一批数：方程的实数根 = 图像与 $x$ 轴公共点的横坐标 = 函数的零点。人教 A 版说“方程的解”，本书“根”和“解”通用，都指实数根。

推广到两个函数：

• 方程 $f(x)=g(x)$ 的实数根，就是 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 两个图像交点的横坐标，也就是函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ 的零点。
• 方程 $f(x)=a$（$a$ 是参数）的实数根，就是水平直线 $y=a$ 与 $y=f(x)$ 交点的横坐标。

后两条是本节的核心用法：方程解不出来时，把它拆成两个会画的函数，数交点。

使用场景

• 求零点：函数能化成可解的方程（一次、二次、同底的指数或对数方程、分段函数），令 $f(x)=0$ 直接解。
• 方程解不出来、问零点个数：函数是两类不同函数的和或差（如指数加二次），把 $f(x)=0$ 拆成 $g(x)=h(x)$，数两个图像的交点。
• 已知零点个数求参数：题目说“恰有两个零点”“有三个零点”，并且参数能单独移到一边，就分离成 $a=g(x)$，看水平线 $y=a$ 与 $y=g(x)$ 有几个交点。
• 复合函数的零点：题目出现 $f(f(x))$ 或 $f(g(x))$，令 $t$ 等于内层，先解外层方程求出 $t$，再逐个解内层方程。

注意点

• 零点是实数，答案写“零点是 $-3$”，不写“零点是 $(-3, 0)$”。
• “零点”是对函数说的，“根”“解”是对方程说的，不要说“方程的零点”。
• 分段函数逐段求出的根，必须落在该段规定的范围内，不在的要舍去。
• 用图像数交点，图要画准关键处：端点是空心还是实心、有没有渐近线、最高点和最低点、单调区间。草图上挤在一起看不清的交点，要配合单调性或 10.3 节的零点存在定理来确认。
• 拆成两个函数时，尽量拆成两个能画准的熟悉函数，常见的拆法是一边指数或对数、一边一次或二次。

证明

结论 1：三者等价。 直接由定义得到：

• $x_0$ 是 $f(x)$ 的零点 $\iff$ $f(x_0)=0$ $\iff$ $x_0$ 是方程 $f(x)=0$ 的实数根。
• 点 $(x_0, 0)$ 在 $y=f(x)$ 的图像上 $\iff$ $f(x_0)=0$。（关键一步：$x$ 轴上每个点的纵坐标都是 $0$，而图像上横坐标为 $x_0$ 的点纵坐标是 $f(x_0)$，所以图像与 $x$ 轴的公共点恰好是 $f(x_0)=0$ 的那些点。）

结论 2：$f(x)=g(x)$ 的根就是两图像交点的横坐标。 $f(x_0)=g(x_0)$ 说明点 $(x_0, f(x_0))$ 既在 $y=f(x)$ 上，又在 $y=g(x)$ 上，即是交点；反之亦然。同时 $f(x_0)=g(x_0) \iff h(x_0)=f(x_0)-g(x_0)=0$。

结论 3：在一个区间上，增函数与减函数的图像至多有一个交点。

设在区间 $I$ 上 $f(x)$ 单调递增、$g(x)$ 单调递减。假设有两个交点，横坐标 $x_1<x_2$，则 $f(x_1)=g(x_1)$，$f(x_2)=g(x_2)$。由单调性 $f(x_1)<f(x_2)$，$g(x_1)>g(x_2)$，于是

$$g(x_1)=f(x_1)<f(x_2)=g(x_2),$$

与 $g(x_1)>g(x_2)$ 矛盾。所以至多一个交点。

同理，在区间上单调的函数至多有一个零点：若 $f(x_1)=f(x_2)=0$ 且 $x_1<x_2$，与 $f(x_1)<f(x_2)$（或 $>$）矛盾。

例题

例 1　（场景：求零点）求函数 $f(x)=\begin{cases} x^2+2x-3, & x \le 0, \\ -2+\ln x, & x>0 \end{cases}$ 的零点。

解：分段解方程 $f(x)=0$。

1. 当 $x \le 0$ 时，$x^2+2x-3=0$，即 $(x+3)(x-1)=0$，得 $x=-3$ 或 $x=1$。$x=1$ 不满足 $x \le 0$，舍去；$x=-3$ 符合。
2. 当 $x>0$ 时，$-2+\ln x=0$，即 $\ln x=2$，得 $x=\mathrm{e}^2$，满足 $x>0$。

所以 $f(x)$ 的零点是 $-3$ 和 $\mathrm{e}^2$。

容易卡在：二次方程解出 $x=1$ 就写进答案，没对照这一段要求 $x \le 0$。

例 2　（场景：方程解不出来、问零点个数）判断函数 $f(x)=2^{|x|}+x^2-2$ 的零点个数。

解：$f(x)=0 \iff 2^{|x|}=2-x^2$。在同一坐标系里画 $y=2^{|x|}$ 和 $y=2-x^2$，数交点。

1. 先看 $x \ge 0$：$y=2^x$ 单调递增，$y=2-x^2$ 单调递减，由本节“证明”结论 3，两图像至多一个交点。$x=0$ 时 $2^0=1<2$，指数曲线在下；$x=1$ 时 $2^1=2>1$，指数曲线在上。两条连续曲线换了上下位置，中间必相交（10.3 节）。所以在 $(0, 1)$ 内恰有一个交点。
2. 两个函数都是偶函数，图像都关于 $y$ 轴对称，所以 $x<0$ 一侧也恰有一个交点。
3. $x=0$ 处 $1 \ne 2$，不是交点。

所以 $f(x)$ 有 2 个零点。

容易卡在：只画 $x \ge 0$ 一侧，或者只凭草图数交点、说不出为什么不会更多。“一增一减至多一个交点”就是封顶的理由。

另一种解法：直接看 $f(x)$。$f(-x)=f(x)$，$f(x)$ 是偶函数。在 $[0, +\infty)$ 上 $f(x)=2^x+x^2-2$ 是两个增函数之和，单调递增；$f(0)=-1<0$，$f(1)=1>0$，所以在 $(0, 1)$ 内恰有一个零点（10.3 节常用推论）。由对称性，负半轴也恰有一个，共 2 个。图像法直观、适合选择题；单调性法每一步都有依据，适合解答题。

例 3　（场景：已知零点个数求参数）已知函数 $f(x)=|2^x-2|-a$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围。

解：$f(x)=0 \iff |2^x-2|=a$。设 $g(x)=|2^x-2|$，问题变成：水平线 $y=a$ 与 $y=g(x)$ 有两个交点。

先把 $g(x)$ 画清楚：

• $x \ge 1$ 时 $2^x \ge 2$，$g(x)=2^x-2$，从 $0$ 单调递增到 $+\infty$。
• $x<1$ 时 $0<2^x<2$，$g(x)=2-2^x$，单调递减，取值在 $(0, 2)$ 内；$x$ 越往左，$2^x$ 越接近 $0$，$g(x)$ 越接近 $2$ 但取不到 $2$。

让水平线 $y=a$ 从下往上移：

• $a<0$：没有交点；
• $a=0$：只有一个交点 $x=1$；
• $0<a<2$：左右各一个，两个交点；
• $a \ge 2$：左边那段取不到 $2$ 及以上的值，只有右边一个交点。

所以 $a$ 的取值范围是 $(0, 2)$。

容易卡在：$a=2$ 时误以为左边也有交点。左段只是无限接近 $2$，渐近线 $y=2$ 上没有图像上的点。

例 4　（场景：复合函数的零点）已知 $f(x)=\begin{cases} x+1, & x \le 0, \\ \log_2 x, & x>0, \end{cases}$ 求函数 $y=f(f(x))+1$ 的零点个数。

解：令 $t=f(x)$，先解外层方程 $f(t)=-1$：

• $t \le 0$ 时，$t+1=-1$，$t=-2$，符合；
• $t>0$ 时，$\log_2 t=-1$，$t=\dfrac{1}{2}$，符合。

再解内层方程 $f(x)=-2$ 和 $f(x)=\dfrac{1}{2}$，每个方程都分两段：

1. $f(x)=-2$：$x \le 0$ 时 $x+1=-2$，$x=-3$，符合；$x>0$ 时 $\log_2 x=-2$，$x=\dfrac{1}{4}$，符合。
2. $f(x)=\dfrac{1}{2}$：$x \le 0$ 时 $x+1=\dfrac{1}{2}$，$x=-\dfrac{1}{2}$，符合；$x>0$ 时 $\log_2 x=\dfrac{1}{2}$，$x=\sqrt{2}$，符合。

零点是 $-3$、$-\dfrac{1}{2}$、$\dfrac{1}{4}$、$\sqrt{2}$，共 4 个。

容易卡在：外层解出两个 $t$ 后只解了一个内层方程，或者内层只解了一段。外层每个解都要回到 $f(x)=t$，并且两段都要解。

常用推论

• 方程 $f(x)=g(x)$ 的实数根个数，等于 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 图像的交点个数。推导见本节“证明”结论 2。
• 方程 $f(x)=a$ 有实数根 $\iff$ $a$ 属于 $f(x)$ 的值域；根的个数等于水平线 $y=a$ 与 $y=f(x)$ 的交点个数。推导：$f(x_0)=a$ 就是说 $a$ 是函数值，也就是点 $(x_0, a)$ 在两条线上。
• 在一个区间上单调的函数，在这个区间上至多有一个零点；一增一减的两个函数，图像至多有一个交点。推导见本节“证明”结论 3。
• 偶函数的非零零点成对出现（$x_0$ 和 $-x_0$），所以零点个数有限且为奇数时，$0$ 一定是零点；奇函数在 $x=0$ 处有定义时，$0$ 一定是零点。推导：偶函数 $f(-x_0)=f(x_0)=0$；奇函数 $f(0)=-f(0)$，得 $f(0)=0$。

易错点

• 错在哪：写“函数的零点是 $(-3, 0)$ 和 $(\mathrm{e}^2, 0)$”。 为什么错：零点是使 $f(x)=0$ 的实数 $x$，是横坐标，不是点。 正确做法：写“零点是 $-3$ 和 $\mathrm{e}^2$”。
• 错在哪：例 1 中把 $x=1$ 也当作零点。 为什么错：$x=1$ 是 $x^2+2x-3=0$ 的根，但 $f(1)$ 要用第二段算，$f(1)=-2+\ln 1=-2 \ne 0$。 正确做法：分段函数每段解出的根，都对照这一段的范围检验。
• 错在哪：例 3 中把 $a=2$ 也算作两个零点。 为什么错：左段 $g(x)=2-2^x<2$，图像只是贴近 $y=2$，永远碰不到。 正确做法：画图时把渐近线画成虚线，单独判断水平线落在渐近线上时的交点数。
• 错在哪：复合函数 $f(f(x))=c$ 的零点，只解出 $t$ 的值就数个数。 为什么错：一个 $t$ 对应的 $f(x)=t$ 可能有 0 个、1 个或几个解，个数不等于 $t$ 的个数。 正确做法：先求所有 $t$，再对每个 $t$ 解 $f(x)=t$，最后合起来数。

直观理解

零点就是曲线和 $x$ 轴碰头的地方。解方程 $f(x)=g(x)$，就是找两条曲线的“见面点”，见面几次就有几个根。含参数的题，把参数 $a$ 想成一根上下移动的水平线，看它移到哪个高度时和曲线交几次，答案就是那些高度。

关联知识点

• 前置：第 4 章 4.2 三个“二次”的关系。二次方程的根就是二次函数的零点，本节把它推广到一般函数。
• 前置：第 5 章分段函数，第 8、9 章指数函数和对数函数的图像。用图像数交点，要靠这些图画得准。
• 常一起考：第 6 章奇偶性。对称的函数零点成对出现，只需研究一半。
• 后续：10.3 零点存在定理，确定零点在哪个区间、“中间必相交”的依据。
• 后续：第 25 章用导数研究零点个数。函数复杂、图像画不准时，用导数求单调区间和极值，再数交点。

10.3 零点存在定理

说明

函数零点存在定理：如果函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的图像是一条连续不断的曲线，且 $f(a) \cdot f(b)<0$，那么函数 $y=f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内至少有一个零点，即存在 $c \in (a, b)$，使得 $f(c)=0$，这个 $c$ 也就是方程 $f(x)=0$ 的根。

两个条件，一个结论：

条件	含义
图像连续不断	在 $[a, b]$ 上画图时笔不离纸，中间没有断开、没有跳跃
$f(a) \cdot f(b)<0$	两个端点的函数值一正一负（异号）
结论	$(a, b)$ 内至少一个零点，不保证只有一个

如果再加上”$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调”，结论就变成”恰有一个零点”。

高中常见的初等函数（多项式、指数、对数、幂函数，以及它们的和、差、积）在定义域内的每个区间上图像都连续不断。要警惕的是定义域断开的地方（如 $y=\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处）和分段函数的接头处。

使用场景

• 判断零点所在区间：选择题给出几个区间，问零点在哪个里面。算各端点的函数值，找一正一负的那一对。
• 判断零点个数：函数连续，能算出一串函数值。相邻两点变号几次，就至少有几个零点；再用单调性或“最多有几个根”封顶。
• 已知零点所在区间求参数：题目说“在 $(m, n)$ 内有零点”，且函数单调，列 $f(m) \cdot f(n)<0$。
• 一元二次方程根的分布：题目说两根分别落在某两个区间内，用区间端点函数值的正负列不等式。

注意点

• 两个条件缺一不可。$f(x)=\dfrac{1}{x}$ 在 $[-1, 1]$ 上 $f(-1)=-1$，$f(1)=1$，异号，但图像在 $x=0$ 处断开，没有零点。

• 定理不能反过来用。$f(a) \cdot f(b)>0$ 时区间内也可能有零点：$f(x)=x^2-1$ 在 $[-2, 2]$ 上 $f(-2)=f(2)=3$，同号，区间内却有 $-1$ 和 $1$ 两个零点。

• 有些零点两侧不变号，比如 $f(x)=x^2$ 的零点 $0$，左右都是正的。这种零点永远找不到“一正一负”的端点，零点存在定理和二分法都对它无效。
• 结论是“至少一个”。题目问“有且只有一个”时，要补上单调性。
• 结论里的零点在开区间 $(a, b)$ 内。若 $f(a)=0$，$a$ 本身就是零点，不归这个定理管。

证明

课本只给出结论，不给证明，因为严格证明要用大学的知识。下面给一个高中能懂的说明，再说清楚严格证明缺的是哪一块。

直观说明：$f(a)<0$，点 $(a, f(a))$ 在 $x$ 轴下方；$f(b)>0$，点 $(b, f(b))$ 在 $x$ 轴上方。图像连续不断，就是笔不离纸地从下方的点画到上方的点，中途必须穿过 $x$ 轴，穿过的位置就是零点。$f(a)>0>f(b)$ 的情形同理。

为什么这还不算证明：说“必须穿过 $x$ 轴”，默认了 $x$ 轴上没有“洞”，穿过的地方一定有一个数。这一点要用二分法（10.4 节）的思路来看：

1. 取中点 $c_1=\dfrac{a+b}{2}$。若 $f(c_1)=0$，已经找到零点；否则 $[a, c_1]$ 和 $[c_1, b]$ 中恰有一个两端异号，留下它。
2. 对留下的区间重复这个操作，得到一串一个套一个的区间，每个都两端异号，长度依次是 $\dfrac{b-a}{2}, \dfrac{b-a}{4}, \dfrac{b-a}{8}, \dots$，越来越接近 $0$。
3. （关键一步：这串区间最后收缩到数轴上的一个数 $c$。“一定有这样一个数”不是显然的，它就是实数的完备性：实数铺满了整条数轴，没有空隙。）
4. 每个区间里，左端点和右端点的函数值一负一正，两端都向 $c$ 靠拢。由于图像连续，$f(c)$ 既不能是正的，也不能是负的，只能是 $0$。

第 3 步在有理数里会失败。$f(x)=x^2-2$ 在 $[1, 2]$ 上 $f(1)=-1<0$，$f(2)=2>0$，但如果只允许有理数，它没有零点，因为 $\sqrt{2}$ 不是有理数。二分得到的区间套在有理数轴上收缩到一个“洞”。所以零点存在定理成立，靠的正是实数没有洞。

严格证明要用什么：这个定理在大学数学分析里叫“零点定理”，是“介值定理”的特例。严格证明需要两样东西：用 $\varepsilon$-$\delta$ 语言写出的连续函数定义，以及实数的完备性（确界原理或闭区间套定理）。

例题

例 1　（场景：判断零点所在区间）函数 $f(x)=\ln x+2x-7$ 的零点所在的区间是（　）。

A. $(0, 1)$　B. $(1, 2)$　C. $(2, 3)$　D. $(3, 4)$

解：C。$f(x)$ 的定义域是 $(0, +\infty)$，$y=\ln x$ 和 $y=2x-7$ 都单调递增且连续，所以 $f(x)$ 单调递增、图像连续不断。计算端点值：

• $f(2)=\ln 2-3<0$（因为 $\ln 2<\ln \mathrm{e}=1$）；
• $f(3)=\ln 3-1>0$（因为 $3>\mathrm{e}$，$\ln 3>\ln \mathrm{e}=1$）。

$f(2) \cdot f(3)<0$，零点在 $(2, 3)$ 内；又因为单调，零点只有这一个，其他区间里没有。

容易卡在：判断 $\ln 3-1$ 的符号。把 $1$ 写成 $\ln \mathrm{e}$，再比较 $3$ 和 $\mathrm{e} \approx 2.718$ 的大小。

例 2　（场景：判断零点个数）判断函数 $f(x)=x^3-3x+1$ 的零点个数。

解：$f(x)$ 是多项式，图像连续不断。取几个整数点列表：

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$f(x)$	$-1$	$3$	$1$	$-1$	$3$

在 $(-2, -1)$、$(0, 1)$、$(1, 2)$ 三个区间的两端函数值都异号，由零点存在定理，每个区间内至少一个零点，所以至少有 3 个零点。

另一方面，三次方程至多有 3 个实数根：每有一个根 $x_1$，$x^3-3x+1$ 就能分解出因式 $x-x_1$，剩下的二次式至多再有两个根。

所以 $f(x)$ 恰有 3 个零点。

容易卡在：取点太稀。只算 $f(-2)=-1$、$f(0)=1$、$f(2)=3$，只看到一次变号，会漏掉 $(0, 1)$ 和 $(1, 2)$ 里的两个零点。

例 3　（场景：已知零点所在区间求参数）已知函数 $f(x)=2^x-\dfrac{2}{x}-a$ 在区间 $(1, 2)$ 内有零点，求实数 $a$ 的取值范围。

解：在 $(0, +\infty)$ 上，$y=2^x$ 单调递增，$y=-\dfrac{2}{x}$ 也单调递增，所以 $f(x)$ 在 $[1, 2]$ 上单调递增且连续。

对单调递增的连续函数，“在 $(1, 2)$ 内有零点”等价于 $f(1)<0<f(2)$：

• 若 $f(1)<0<f(2)$，由零点存在定理，$(1, 2)$ 内有零点；
• 反过来，若 $f(c)=0$，$1<c<2$，由单调递增，$f(1)<f(c)=0<f(2)$。

于是

$$\begin{cases} f(1)=2-2-a=-a<0, \\ f(2)=4-1-a=3-a>0, \end{cases}$$

解得 $0<a<3$。$a$ 的取值范围是 $(0, 3)$。

容易卡在：直接写 $f(1) \cdot f(2)<0$ 却不说明单调。只有单调时，这个条件才既充分又必要；不单调的函数，零点可能藏在同号的两端之间。

例 4　（场景：一元二次方程根的分布）已知关于 $x$ 的方程 $x^2-mx+1=0$ 的两个根一个在 $(0, 1)$ 内，另一个在 $(1, 2)$ 内，求实数 $m$ 的取值范围。

解：设 $f(x)=x^2-mx+1$，开口向上。两根分别在 $(0, 1)$、$(1, 2)$ 内，等价于

$$\begin{cases} f(0)>0, \\ f(1)<0, \\ f(2)>0. \end{cases}$$

为什么等价：若三个不等式成立，由零点存在定理 $(0, 1)$ 和 $(1, 2)$ 内各有一个零点，二次方程至多两个根，所以恰好各一个。反过来，若两根 $x_1 \in (0, 1)$，$x_2 \in (1, 2)$，开口向上的抛物线在两根之外为正、两根之间为负（第 4 章），$0$ 和 $2$ 在两根之外，$1$ 在两根之间。

代入：$f(0)=1>0$ 恒成立；$f(1)=2-m<0$，得 $m>2$；$f(2)=5-2m>0$，得 $m<\dfrac{5}{2}$。

所以 $2<m<\dfrac{5}{2}$。

容易卡在：去算判别式和对称轴。这类“两根分在两个区间”的题，三个端点值的符号已经保证了有两个根，不必再列 $\Delta>0$。

另一种解法：由根与系数的关系，$x_1x_2=1$，$x_1+x_2=m$。$x_1 \in (0, 1)$ 时 $x_2=\dfrac{1}{x_1}>1$；还要 $x_2<2$，即 $x_1>\dfrac{1}{2}$。于是 $m=x_1+\dfrac{1}{x_1}$，$x_1 \in \left(\dfrac{1}{2}, 1\right)$。函数 $y=x+\dfrac{1}{x}$ 在 $\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)$ 上单调递减，取值在 $(2, \dfrac{5}{2})$ 内。端点函数值法对任何区间都通用；根与系数法只在两根之积或之和是常数时才好用，好用时能顺带看出 $m$ 随根怎么变。

常用推论

• 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上图像连续、单调，且 $f(a) \cdot f(b)<0$，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内恰有一个零点。推导：零点存在定理给“至少一个”，单调给“至多一个”（10.2 节“证明”结论 3）。
• 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上图像连续且单调，则”$f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有零点” $\iff$ $f(a) \cdot f(b)<0$。推导见本节例 3。
• 开口向上的二次函数 $f(x)$，若存在 $m$ 使 $f(m)<0$，则方程 $f(x)=0$ 有两个不等实根，且一根小于 $m$、一根大于 $m$。推导：$x$ 足够小或足够大时 $f(x)>0$，在 $m$ 左右两侧各用一次零点存在定理，二次方程至多两根。
• 开口向上的二次函数，两根分别在 $(p, q)$ 和 $(q, r)$ 内 $\iff$ $f(p)>0$，$f(q)<0$，$f(r)>0$。推导见本节例 4。

易错点

• 错在哪：由 $f(a) \cdot f(b)<0$ 得出”$f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有且只有一个零点”。 为什么错：定理只保证至少一个。$f(x)=x^3-3x+1$ 在 $[-2, 2]$ 上 $f(-2) \cdot f(2)=-3<0$，区间内却有 3 个零点。 正确做法：要说“恰有一个”，先证单调。
• 错在哪：由 $f(a) \cdot f(b)>0$ 断定 $(a, b)$ 内没有零点。 为什么错：零点可能成对出现，也可能是不变号零点。$x^2-1$ 在 $[-2, 2]$ 上两端都为正，内部有两个零点。 正确做法：两端同号时不能下结论，要另找变号点，或用单调性、图像来判断。
• 错在哪：对 $f(x)=x-\dfrac{1}{x}$ 说”$f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{2}>0$，$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{3}{2}<0$，所以 $\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$ 内有零点”。 为什么错：$f(x)$ 在 $x=0$ 处没有定义，图像在 $\left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right]$ 上断开，定理的第一个条件不满足。实际上这个区间内没有零点。 正确做法：用定理前先确认区间整个在定义域内、图像连续。
• 错在哪：例 3 写成 $f(1) \cdot f(2) \le 0$。 为什么错：$f(1)=0$ 时零点是 $1$，不在开区间 $(1, 2)$ 内。 正确做法：开区间内有零点，端点条件用严格不等号；端点能否取到，把端点值代回去单独检验。

直观理解

“过河必湿鞋”：河这边是 $x$ 轴下方，河那边是 $x$ 轴上方，没有桥（图像连续，不能跳），从这边走到那边，必然踩进河里一次，踩进去的地方就是零点。但走过去的途中可以来回踩好几次，所以只能说“至少一次”；如果一路只往前走不回头（单调），就只踩一次。

关联知识点

• 前置：10.2 函数的零点与方程的根。
• 前置：第 4 章 4.2 三个“二次”的关系。根的分布问题，用的是抛物线在两根之间为负、两根之外为正。
• 常一起考：第 2 章充分条件与必要条件。图像连续时，“$f(a) \cdot f(b)<0$“是”$f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有零点“的充分不必要条件。
• 后续：10.4 二分法，每一步都在用本定理。
• 后续：第 25 章用导数研究零点个数。标准写法就是“导数求单调区间，再在每个单调区间上用零点存在定理”。

10.4 二分法

说明

二分法：对于在区间 $[a, b]$ 上图像连续不断且 $f(a) \cdot f(b)<0$ 的函数 $y=f(x)$，通过不断地把零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法。

步骤（给定精确度 $\varepsilon$）：

1. 确定区间 $[a, b]$，验证 $f(a) \cdot f(b)<0$。
2. 求区间中点 $c=\dfrac{a+b}{2}$，计算 $f(c)$。
3. 判断：
   • 若 $f(c)=0$，$c$ 就是零点；
   • 若 $f(a) \cdot f(c)<0$，零点在 $(a, c)$ 内，令 $b=c$；
   • 若 $f(c) \cdot f(b)<0$，零点在 $(c, b)$ 内，令 $a=c$。
4. 若 $|a-b|<\varepsilon$，区间内任一数（常取端点）都是满足精确度的近似值；否则回到第 2 步。

区间长度：从长度为 $b-a$ 的区间出发，二分 $n$ 次后，零点所在区间的长度是 $\dfrac{b-a}{2^n}$。

这里的“精确度 $\varepsilon$“指最后区间的长度小于 $\varepsilon$，和”精确到 $0.1$“（四舍五入保留一位小数）不是一回事，见本节易错点。

使用场景

• 按步骤求方程的近似解：题目给出区间和精确度，要求列表计算中点和函数值。
• 估算需要二分的次数：题目问“至少计算几次”“至少二分几次”，用区间长度 $\dfrac{b-a}{2^n}<\varepsilon$ 求最小的 $n$。
• 判断能否用二分法：选择题给出几个函数，问哪个的零点不能用二分法求，看零点两侧是否变号。

注意点

• 二分法只能求变号零点。零点两侧函数值同号（如 $y=(x-2)^2$ 的零点 $2$）时，找不到异号的起始区间，二分法不能用。
• 选新区间看的是 $f(c)$ 和哪个端点异号，不是只看 $f(c)$ 本身的正负。函数递增和递减时，“$f(c)>0$“对应的是不同的半边。
• 起始区间里如果有多个变号零点，二分法只会找到其中一个。要求某个特定的零点，起始区间要先缩到只含它。
• 计算时保留足够的小数位，函数值的符号不能因为四舍五入而判断错。

证明

为什么二分法一定能逼近零点：

1. 每一步都保持新区间两端异号。（关键一步：若 $f(c) \ne 0$，则 $f(a) \cdot f(c)$ 和 $f(c) \cdot f(b)$ 恰有一个是负的。因为两者之积 $f(a) \cdot f(b) \cdot [f(c)]^2<0$——$f(a) \cdot f(b)<0$，$[f(c)]^2>0$——两个数的积为负，必然一正一负。所以第 3 步总有且只有一个半边可选。）
2. 由零点存在定理（10.3 节），每个两端异号的区间里都有零点。
3. 二分 $n$ 次后区间长度是 $\dfrac{b-a}{2^n}$。零点 $x_0$ 和区间里任一数 $x$ 在同一个区间里，所以 $|x-x_0|$ 不超过区间长度。区间长度小于 $\varepsilon$ 时，误差也小于 $\varepsilon$。

二分法不需要解方程，只需要会算函数值，这正是计算器和计算机求方程近似解的基本思路之一。

例题

例 1　（场景：按步骤求近似解）用二分法求方程 $x^3+x-3=0$ 在区间 $[1, 2]$ 内的近似解（精确度 $0.1$）。

解：设 $f(x)=x^3+x-3$，它在 $\mathbf{R}$ 上单调递增且连续。$f(1)=-1<0$，$f(2)=7>0$，所以方程在 $(1, 2)$ 内恰有一个根。列表二分：

次数	当前区间	中点 $c$	$f(c)$ 的近似值	新区间
1	$[1, 2]$	$1.5$	$1.875$	$[1, 1.5]$
2	$[1, 1.5]$	$1.25$	$0.203$	$[1, 1.25]$
3	$[1, 1.25]$	$1.125$	$-0.451$	$[1.125, 1.25]$
4	$[1.125, 1.25]$	$1.1875$	$-0.138$	$[1.1875, 1.25]$

每一行选新区间的依据：

• 第 1 次 $f(1.5)>0$，与 $f(1)<0$ 异号，留 $[1, 1.5]$；
• 第 2 次 $f(1.25)>0$，与 $f(1)<0$ 异号，留 $[1, 1.25]$；
• 第 3 次 $f(1.125)<0$，与 $f(1.25)>0$ 异号，留 $[1.125, 1.25]$；
• 第 4 次 $f(1.1875)<0$，与 $f(1.25)>0$ 异号，留 $[1.1875, 1.25]$。

此时区间长度 $1.25-1.1875=0.0625<0.1$，区间内任一数都是满足精确度的近似解，可取 $x \approx 1.25$（或取区间内便于书写的 $1.2$）。

容易卡在：中点的函数值算错符号。$1.125^3 \approx 1.424$，加 $1.125$ 再减 $3$ 是负数，不要凭“中点越来越靠近根”去猜符号。

例 2　（场景：估算二分次数）用二分法求某函数在区间 $(0, 1)$ 内的零点，要求精确度为 $0.01$，至少需要二分几次？

解：二分 $n$ 次后区间长度为 $\dfrac{1}{2^n}$，要求 $\dfrac{1}{2^n}<0.01$，即 $2^n>100$。$2^6=64<100$，$2^7=128>100$，所以至少二分 7 次。

容易卡在：把不等式写反成 $2^n<100$，或者取 $n=6$。$n$ 要取使 $2^n>100$ 的最小正整数。

例 3　（场景：判断能否用二分法）下列函数的图像都与 $x$ 轴有公共点，其中零点不能用二分法求的是（　）。

A. $y=2x-1$　B. $y=\ln x$　C. $y=x^2-4x+4$　D. $y=2^x-4$

解：C。$x^2-4x+4=(x-2)^2 \ge 0$，零点 $2$ 的两侧函数值都是正的，找不到两端异号的区间。A、B、D 都单调，零点两侧一正一负，都能用二分法。

常用推论

• 区间长度为 $L$，精确度为 $\varepsilon$，至少二分 $n$ 次，$n$ 是满足 $2^n>\dfrac{L}{\varepsilon}$ 的最小正整数。推导见本节“证明”第 3 步：$\dfrac{L}{2^n}<\varepsilon$。
• 每多二分 10 次，区间长度缩小到原来的 $\dfrac{1}{1024}$，约多得到三位准确的小数。推导：$2^{10}=1024 \approx 10^3$。

易错点

• 错在哪：看到 $f(c)>0$ 就一律保留左半边。 为什么错：这只对递增函数成立。对递减函数，$f(c)>0$ 时零点在右半边。 正确做法：每次都比较 $f(c)$ 与两个端点值的符号，保留异号的那一半。
• 错在哪：把“精确度 $0.1$“理解成”精确到 $0.1$“，或者反过来。 为什么错：精确度 $0.1$ 只要求最后区间长度小于 $0.1$。精确到 $0.1$ 是四舍五入保留一位小数，要求区间两端四舍五入后相同。例 1 的 $[1.1875, 1.25]$ 两端分别约为 $1.2$ 和 $1.3$，还不够；再二分一次，$f(1.21875) \approx 0.029>0$，得区间 $[1.1875, 1.21875]$，两端都约为 $1.2$，才能说”精确到 $0.1$ 的近似解是 $1.2$“。 正确做法：看清题目用的是哪种说法，按对应的标准停止。
• 错在哪：用二分法求 $y=(x-2)^2$ 的零点。 为什么错：零点两侧同号，起始条件 $f(a) \cdot f(b)<0$ 永远满足不了。 正确做法：先看零点两侧是否变号，不变号的零点用解方程或其他方法求。

直观理解

二分法就是“猜数字”游戏：对方心里想一个 1 到 100 之间的整数，你每次猜中间那个，对方只回答“大了”或“小了”。每猜一次范围减半，最多 7 次就能猜中，因为 $2^7=128>100$，这和例 2 是同一个算式。检修一条很长的线路找断点，也是先查中点，再查有问题的那一半。

关联知识点

• 前置：10.3 零点存在定理，二分法每一步都靠它保证区间里有零点。
• 后续：10.5 函数模型。模型里的指数、对数方程解不出精确值时，用二分法或计算器求近似解。
• 后续：第 23 章等比数列。二分后的区间长度 $\dfrac{b-a}{2}, \dfrac{b-a}{4}, \dots$ 是公比为 $\dfrac{1}{2}$ 的等比数列。

10.5 函数模型

说明

三种增长的比较（$k>0$，$a>1$）：

模型	解析式	自变量每增加 $1$，函数值	增长特点
一次函数	$y=kx+b$	增加 $k$，每次一样多	匀速增长，图像是直线
指数函数	$y=a^x$	乘以 $a$，增加量 $(a-1)a^x$ 越来越大	越来越快，“指数爆炸”
对数函数	$y=\log_a x$	增加 $\log_a\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$，越来越小	越来越慢，趋于平缓

结论：在 $(0, +\infty)$ 上，总存在一个 $x_0$，当 $x>x_0$ 时，恒有

$$\log_a x<kx<a^x.$$

也就是说，不管一次函数的 $k$ 多大，指数函数最终都会超过它；不管对数函数的底数多接近 $1$，一次函数最终都会超过它。

以 $y=2^x$ 和 $y=2x$ 为例：

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$2^x$	$1$	$2$	$4$	$8$	$16$	$32$	$64$
$2x$	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$	$12$

两者在 $x=1$ 和 $x=2$ 处相等；在 $(1, 2)$ 内 $2x$ 反而大一点；$x>2$ 以后 $2^x$ 越甩越远。

对数函数和一次函数的比较正好反过来。$y=\log_2 x$ 和 $y=\dfrac{x}{2}$ 交于 $(2, 1)$ 和 $(4, 2)$，$x>4$ 以后对数函数越落越远。这两张图关于直线 $y=x$ 对称，因为 $y=\log_2 x$ 与 $y=2^x$、$y=\dfrac{x}{2}$ 与 $y=2x$ 都互为反函数（第 9 章）。

常见的函数模型：

类型	形式	典型问题
一次函数型	$y=kx+b$	匀速运动，按件、按量计费
二次函数型	$y=ax^2+bx+c$	利润最大、面积最大
指数型	$y=N(1+p)^x$，或 $y=ka^x+b$	人口、复利、细菌繁殖（$p>0$）；药物代谢、放射性衰变（$p<0$）
对数型	$y=m\log_a x+n$	声强级（分贝）、酸碱度 pH、地震震级
分段函数型	各段用不同的式子	阶梯电价、出租车计费

建模的步骤：

使用场景

• 比较增长快慢、选择方案：题目给出几种随时间变化的方案，问“选哪种”。列表或画图找出“打平”的时刻，分段作答。
• 由数据选模型：题目给出一张数据表或散点图，问哪个函数最合适。看相邻数据的增量是变大、不变还是变小。
• 指数型模型：题目出现“每年增长 $p\%$”“每小时减少 $p\%$”“半衰期”“翻一番”，写成 $y=N(1+p)^x$，解指数不等式时两边取对数。
• 对数型模型：题目出现分贝、pH、震级，或“每增大到 10 倍就增加多少”，用对数的运算性质计算。

注意点

• “增长快”说的是足够大以后的趋势，不是每一处的函数值都大。在 $(1, 2)$ 内 $2x>2^x$，不能说“指数函数的值总比一次函数大”。
• 实际问题有定义域：时间、件数、人数常取正整数，答案要按题意取整，并代回检验。
• 增长率 $p$ 按小数代入：增长 $20\%$ 是乘以 $1.2$，减少 $20\%$ 是乘以 $0.8$。
• 题目给出对数近似值（如 $\lg 2 \approx 0.3010$）时，用题目给的值算，结果才能和选项对上。
• 模型只是近似。算出的结果明显不合实际时（如人口超过资源承受能力），要回头检查模型是否还适用。

证明

课本通过列表和画图比较三种增长，不给一般性的证明。下面用“增量”说明增长快慢，再证明一个具体的比较。

增量说明增长快慢。比较增长快慢，看的是自变量增加同样多时，函数值增加多少。（关键一步：比较的是“增加量”，不是“函数值本身”。）自变量从 $x$ 增加到 $x+1$：

• 一次函数：$[k(x+1)+b]-(kx+b)=k$，增加量是常数，匀速增长。
• 指数函数：$a^{x+1}-a^x=(a-1)a^x$。$a>1$ 时 $a-1>0$，而 $a^x$ 随 $x$ 增大而增大，所以增加量越来越大。
• 对数函数：$\log_a(x+1)-\log_a x=\log_a\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$。$x$ 越大，$1+\dfrac{1}{x}$ 越接近 $1$，增加量越接近 $0$。

证明：当 $n$ 是不小于 $3$ 的整数时，$2^n>2n$。

• $n=3$：$2^3=8>6=2 \times 3$。
• 若对某个 $n \ge 3$ 已有 $2^n>2n$，则

$$2^{n+1}=2 \cdot 2^n>2 \cdot 2n=2n+2n \ge 2n+2=2(n+1).$$

于是 $n=3$ 成立推出 $n=4$ 成立，$n=4$ 成立推出 $n=5$ 成立……一步推一步，对所有整数 $n \ge 3$ 都成立。这种“一步推一步”的证法就是第 23 章的数学归纳法。

严格证明要用什么：上面只对整数证明了一个例子。要对所有实数 $x>2$ 证明 $2^x>2x$，要用第 25 章的导数：设 $g(x)=2^x-2x$，$g'(x)=2^x\ln 2-2$，$x>2$ 时 $g'(x)>4\ln 2-2>0$，$g(x)$ 递增，而 $g(2)=0$。至于一般的结论”$a^x$ 最终超过任何 $kx$、$kx$ 最终超过任何 $\log_a x$“，严格证明要用大学数学分析里的极限（如洛必达法则）。

例题

例 1　（场景：比较增长快慢、选择方案）某人有三种投资方案：方案 A 每天回报 $50$ 元；方案 B 第一天回报 $12$ 元，以后每天比前一天多 $12$ 元；方案 C 第一天回报 $0.5$ 元，以后每天是前一天的 $2$ 倍。按累计回报计算，投资多少天时选哪种方案最好？

解：第 $n$ 天的回报分别是：A 为 $50$，B 为 $12n$，C 为 $0.5 \times 2^{n-1}$。逐天相加得到累计回报：

天数	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
A 累计	50	100	150	200	250	300	350	400	450	500	550	600
B 累计	12	36	72	120	180	252	336	432	540	660	792	936
C 累计	0.5	1.5	3.5	7.5	15.5	31.5	63.5	127.5	255.5	511.5	1023.5	2047.5

• 第 1 到 7 天，A 的累计最多（第 7 天 A 为 $350$，B 为 $336$）；
• 第 8 到 10 天，B 的累计最多（第 10 天 B 为 $660$，C 为 $511.5$）；
• 第 11 天起，C 的累计最多，而且以后差距只会越来越大：从第 9 天起 C 的当天回报（$128$ 元）已经超过 B（$108$ 元），以后 C 每天翻倍，B 每天只多 $12$ 元。

所以投资 1 至 7 天选 A，8 至 10 天选 B，11 天及以上选 C。

容易卡在：只比较当天的回报。当天回报 C 在第 9 天就超过 B，但前几天欠下的差距要到第 11 天才追平并反超，题目问的是累计。

例 2　（场景：由数据选模型）某种作物的产量 $y$（吨）与施肥量 $x$（百千克）的关系如下表：

$x$	1	2	3	4	5
$y$	2.0	3.6	4.5	5.2	5.7

下列函数模型中最合适的是（　）。

A. $y=kx+b$　B. $y=k \cdot 2^x$　C. $y=k\log_2 x+b$　D. $y=kx^2$

求出该模型的解析式。

解：看相邻数据的增量：$3.6-2.0=1.6$，$4.5-3.6=0.9$，$5.2-4.5=0.7$，$5.7-5.2=0.5$，越来越小。一次函数的增量不变，指数函数和 $y=kx^2$（$k>0$）的增量越来越大，只有对数型增长越来越慢。选 C。

用两组数据定参数。$x=1$ 时 $\log_2 1=0$，得 $b=2$；$x=2$ 时 $k+2=3.6$，得 $k=1.6$。模型为 $y=1.6\log_2 x+2$。

检验：$x=4$ 时 $y=1.6 \times 2+2=5.2$，与表中一致；$x=3$ 时 $y \approx 4.54$，$x=5$ 时 $y \approx 5.72$，与表中数据接近。

容易卡在：定参数时随便取两组数据。取能让式子变简单的点（这里 $x=1$ 使 $\log_2 x=0$），计算最省事；定完参数要用其他数据检验。

例 3　（场景：指数型模型）某城市新能源汽车保有量 2024 年初为 $10$ 万辆，2026 年初为 $14.4$ 万辆。假设每年按相同的增长率增长。（$\lg 2 \approx 0.3010$，$\lg 3 \approx 0.4771$）

（1）求年增长率； （2）从哪一年年初起，保有量超过 $30$ 万辆？

解：（1）设年增长率为 $p$，从 2024 年初起经过 $t$ 年的保有量为 $y=10(1+p)^t$（万辆）。2026 年初 $t=2$：

$$10(1+p)^2=14.4,\quad (1+p)^2=1.44.$$

因为 $1+p>0$，所以 $1+p=1.2$，$p=0.2$，年增长率为 $20\%$。

（2）要求 $10 \times 1.2^t>30$，即 $1.2^t>3$。两边取常用对数，$\lg 1.2>0$，不等号方向不变：

$$t>\frac{\lg 3}{\lg 1.2}.$$

其中 $\lg 1.2=\lg\dfrac{12}{10}=\lg 12-1=2\lg 2+\lg 3-1 \approx 0.6020+0.4771-1=0.0791$，所以

$$t>\frac{0.4771}{0.0791} \approx 6.03.$$

$t$ 取整数，最小为 $7$。检验：$1.2^6 \approx 2.99<3$，$1.2^7 \approx 3.58>3$。所以从 $2024+7=2031$ 年年初起超过 $30$ 万辆。

容易卡在：一是 2024 年初到 2026 年初是 2 年，不是 3 年；二是 $t>6.03$ 要取 $7$，不能四舍五入成 $6$——$t=6$ 时只有约 $29.9$ 万辆。

例 4　（场景：对数型模型）声强级 $L$（单位：分贝）与声强 $I$（单位：$\mathrm{W/m^2}$）的关系是 $L=10\lg\dfrac{I}{I_0}$，其中 $I_0=10^{-12}\ \mathrm{W/m^2}$。

（1）正常谈话的声强级约为 $60$ 分贝，求它的声强； （2）声强变为原来的 $100$ 倍，声强级增加多少？ （3）$90$ 分贝的声音的声强是 $60$ 分贝的多少倍？

解：（1）$60=10\lg\dfrac{I}{10^{-12}}$，得 $\lg\dfrac{I}{10^{-12}}=6$，$\dfrac{I}{10^{-12}}=10^6$，所以 $I=10^{-6}\ \mathrm{W/m^2}$。

（2）设原声强为 $I$，声强级为 $L$。新的声强级

$$L'=10\lg\frac{100I}{I_0}=10\left(\lg 100+\lg\frac{I}{I_0}\right)=20+L,$$

增加 $20$ 分贝。

（3）设两者声强为 $I_1$、$I_2$，则

$$90-60=10\lg\frac{I_2}{I_0}-10\lg\frac{I_1}{I_0}=10\lg\frac{I_2}{I_1},$$

$\lg\dfrac{I_2}{I_1}=3$，$\dfrac{I_2}{I_1}=10^3=1000$。$90$ 分贝的声强是 $60$ 分贝的 $1000$ 倍。

容易卡在：以为分贝增加一半，声强也只增加一半。分贝是对数刻度，分贝上的加法对应声强上的乘法：每加 $10$ 分贝，声强乘以 $10$。

常用推论

• 增长率模型：初始量为 $N$，每期增长率为 $p$，$x$ 期后为 $y=N(1+p)^x$；每期减少 $p$ 时为 $y=N(1-p)^x$。推导：每过一期乘以 $1+p$（或 $1-p$），$x$ 期连乘 $x$ 次。
• 平均增长率：$x$ 期内从 $N$ 变为 $M$，平均每期增长率 $p=\sqrt[x]{\dfrac{M}{N}}-1$。推导：由 $N(1+p)^x=M$ 解出（例 3 第一问）。
• 半衰期为 $T$ 的物质，初始质量 $m_0$，经过时间 $t$ 剩下 $m=m_0\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T}$。推导：每过时间 $T$ 乘以 $\dfrac{1}{2}$，时间 $t$ 内经过了 $\dfrac{t}{T}$ 个 $T$。
• 对数型模型 $y=m\lg x+n$ 中，$x$ 变为原来的 $10^k$ 倍，$y$ 增加 $km$。推导：$\lg(10^k x)=k+\lg x$（例 4 第二问，$m=10$，$k=2$）。
• 解指数不等式 $a^x>c$（$c>0$）：两边取常用对数，$a>1$ 时 $x>\dfrac{\lg c}{\lg a}$；$0<a<1$ 时 $\lg a<0$，不等号反向，$x<\dfrac{\lg c}{\lg a}$。推导：$x\lg a>\lg c$，两边除以 $\lg a$，看它的正负。

易错点

• 错在哪：例 3 中把 2024 年初到 2026 年初算作 $3$ 年，列成 $10(1+p)^3=14.4$。 为什么错：$t$ 是经过的年数，起点 $t=0$ 对应 2024 年初，2026 年初是 $t=2$。 正确做法：先写清”$t=0$ 对应哪个时刻”，再用“终点减起点”算年数。
• 错在哪：某药物在血液中的含量每小时减少 $20\%$，初始 $100$ 毫克，求多少小时后低于 $30$ 毫克，列成 $100 \times 0.2^t<30$。 为什么错：减少 $20\%$ 后剩下的是原来的 $80\%$，应乘以 $0.8$。 正确做法：列 $100 \times 0.8^t<30$，即 $0.8^t<0.3$。
• 错在哪：接上一条，两边取对数得 $t\lg 0.8<\lg 0.3$，直接写成 $t<\dfrac{\lg 0.3}{\lg 0.8}$。 为什么错：$\lg 0.8<0$，两边除以负数，不等号要反向。 正确做法：$t>\dfrac{\lg 0.3}{\lg 0.8}=\dfrac{\lg 3-1}{3\lg 2-1} \approx \dfrac{-0.5229}{-0.0970} \approx 5.39$，所以 $6$ 小时后低于 $30$ 毫克。
• 错在哪：解出 $t>6.03$ 后回答“第 6 年”。 为什么错：$t$ 必须大于 $6.03$，$t=6$ 不满足。 正确做法：取满足不等式的最小整数，并代回原式检验。

直观理解

一次函数像每天往存钱罐里放同样多的零花钱；指数函数像利滚利，或者把纸对折——一张厚 $0.1$ 毫米的纸对折 $27$ 次，厚度是 $0.1 \times 2^{27}$ 毫米，约 $13.4$ 千米，比珠穆朗玛峰还高；对数函数像人耳对声音的感觉，声强变成 $10$ 倍，听起来只是“响了一档”。

记法：指数越来越陡，对数越来越平，一次不快不慢。时间短时谁领先不一定，时间一长，指数第一，一次第二，对数最后。

关联知识点

• 前置：第 8 章指数函数、第 9 章对数函数的图像和性质；解模型里的方程要用第 9 章的对数运算性质和换底公式。
• 前置：10.2 函数的零点与方程的根。两种方案“打平”的时刻，就是两个函数图像交点的横坐标。
• 后续：第 23 章等比数列。$N(1+p)^n$ 就是等比数列的通项，例 1 的累计回报就是等比数列求和。
• 后续：第 38 章成对数据的统计分析。由数据选模型，以及把指数型、对数型模型取对数化为线性模型，在那里系统讲。

10.6 知识点之间的关系

本章四个知识点分两条线。第一条是“解不出来的方程怎么办”：先把方程的根看成函数的零点、图像的交点（10.2），由零点存在定理确定根在哪个区间、有几个（10.3），再用二分法把区间缩小，得到近似值（10.4）。第二条是“函数怎么用”：一次、指数、对数函数的增长方式不同，按数据和题意选模型，再解模型里的方程和不等式（10.5）。两条线在这里汇合：模型里的方程解不出精确值时，就回到第一条线去求近似解。

考试里，零点问题几乎从不单独考函数本身，而是和分段函数、指数对数函数的图像、奇偶性一起出现在选择题的后几道。真正决定成败的是两步：把方程拆成两个能画准的函数，和用单调性给交点个数“封顶”。到了第 25 章，图像画不准的函数改用导数求单调区间，思路完全一样。

10.7 自测

1. 求函数 $f(x)=\begin{cases} x^2+x-2, & x \le 0, \\ -1+\lg x, & x>0 \end{cases}$ 的零点。
2. 若函数 $f(x)=|x^2-4x|-a$ 恰有三个零点，求实数 $a$ 的值。
3. 函数 $f(x)=\lg x+x-3$ 的零点在区间 $(k, k+1)$ 内，$k \in \mathbf{Z}$，求 $k$。
4. 关于 $x$ 的方程 $x^2+(m-3)x+m=0$ 的一个根在 $(0, 1)$ 内，另一个根在 $(1, 2)$ 内，求实数 $m$ 的取值范围。
5. 用二分法求某函数在区间 $(0, 2)$ 内的零点，要求精确度为 $0.01$，至少需要二分几次？
6. 用二分法求函数 $f(x)$ 的零点时，算得 $f(1)<0$，$f(1.5)>0$，$f(1.25)<0$，零点在哪个区间内？
7. 某产品的价格每年降低 $10\%$，现价 $1000$ 元，3 年后的价格是多少元？
8. 溶液的 $\mathrm{pH}=-\lg[\mathrm{H}^+]$，其中 $[\mathrm{H}^+]$ 是氢离子浓度。某溶液的 pH 从 $3$ 变为 $5$，氢离子浓度变为原来的多少？

答案：1. $-2$ 和 $10$；2. $a=4$；3. $k=2$；4. $\dfrac{2}{3}<m<1$；5. 8 次；6. $(1.25, 1.5)$；7. 729 元；8. $\dfrac{1}{100}$。

10.8 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，必修第一册“函数的应用（二）“一节有零点、二分法和函数模型的同步课程视频和教材电子版。
• GeoGebra 图形计算器：同时输入 y = 2^x 和 y = 2x 等几条曲线，放大缩小就能看清交点和增长快慢；加滑动条可以演示含参数的零点个数怎么变。
• 维基百科 · 介值定理：零点存在定理在大学里的一般形式和严格证明，想知道“实数完备性”具体怎么用时读。
• Wikipedia · Bisection method：二分法的英文条目，有算法步骤、迭代次数公式和收敛性分析。