第 17 章 · 复数

项目	内容
课标主题	必修 · 几何与代数 · 复数（其中“复数的三角表示”为选学）
人教 A 版	必修第二册 第七章 7.1 复数的概念、7.2 复数的四则运算、7.3* 复数的三角表示（选学）
考试地位	必考。新高考全国卷几乎每年一道选择题，多在前三题，考法是“先做一次四则运算，再问实部、虚部、共轭、模或所在象限”。复数的三角表示在课标中标为选学内容，不作为考试要求
前置知识	第 1 章集合（数集的记号）；第 4 章一元二次方程和判别式；第 14、15 章平面向量（几何意义部分）；第 13 章两角和与差的公式（仅三角形式部分）

复数是把“平方等于 $-1$ 的数”加进实数之后得到的数。这一章在高考里分值不大但几乎必考，而且题目固定：一道选择题，算一次除法，读一个结果。丢分几乎都是算错：$i^2$ 当成 $1$，除法只给分母乘共轭忘了分子，把虚部写成带 $i$ 的 $bi$。

17.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
17.2 复数的概念	$z = a + bi$，$a$ 是实部、$b$ 是虚部；按 $b$ 是否为 0、$a$ 是否为 0 分成实数、虚数、纯虚数	必考，多和运算一起出
17.3 复数的几何意义	$a + bi$ 对应复平面上的点 $(a, b)$ 和向量；模 $\lvert z \rvert = \sqrt{a^2 + b^2}$ 是到原点的距离	常考，问象限和模
17.4 复数的四则运算	加减按实部虚部分别算；乘法像多项式相乘，$i^2$ 换成 $-1$；除法分子分母同乘分母的共轭	必考
17.5 复数的三角形式（选学）	$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$；相乘时模相乘、辐角相加	选学，考试一般不作要求

17.2 复数的概念

说明

虚数单位：规定一个新数 $i$，满足

$$i^2 = -1.$$

$i$ 和实数一起做加法、乘法时，交换律、结合律、分配律都照常成立。

复数：形如 $a + bi$（$a, b \in \mathbf{R}$）的数叫复数，常记作 $z = a + bi$。全体复数组成的集合叫复数集，记作 $\mathbf{C}$。

• $a$ 叫 $z$ 的实部，$b$ 叫 $z$ 的虚部。注意虚部是实数 $b$，不是 $bi$。
• 这种写法叫复数的代数形式。说“实部、虚部”之前，一定要先把复数化成 $a + bi$ 的样子，并确认 $a$、$b$ 都是实数。

复数的分类（$z = a + bi$，$a, b \in \mathbf{R}$）：

条件	名称	例子
$b = 0$	实数	$5$、$0$、$-\sqrt{2}$
$b \ne 0$	虚数	$3 - 2i$、$-i$
$a = 0$ 且 $b \ne 0$	纯虚数（虚数的一种）	$2i$、$-\dfrac{1}{2}i$

于是 $\mathbf{N} \subsetneqq \mathbf{Z} \subsetneqq \mathbf{Q} \subsetneqq \mathbf{R} \subsetneqq \mathbf{C}$。

复数相等：两个复数相等，当且仅当实部和虚部分别相等：

$$a + bi = c + di \iff a = c \text{ 且 } b = d \quad (a, b, c, d \in \mathbf{R}).$$

特别地，$a + bi = 0 \iff a = 0 \text{ 且 } b = 0$。

大小：两个复数只要有一个是虚数，就不能比较大小，只能说相等或不相等。

共轭复数：实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫互为共轭复数。$z = a + bi$ 的共轭复数记作 $\overline{z}$：

$$\overline{z} = a - bi.$$

实数的共轭复数是它自己。

使用场景

• 题目说”$z$ 是实数 / 虚数 / 纯虚数”，给出含参数的实部和虚部，求参数：按分类表列条件。
• 题目给出“两个复数相等”或“某个复数等于 0”，含未知实数：实部、虚部分别相等，列方程组。
• 题目问”$z$ 的实部 / 虚部 / 共轭复数是什么”：先化成 $a + bi$ 再读，虚部不带 $i$。
• 题目出现含复数的不等式（如”$z > 0$“）：能比较大小就说明它是实数，先令虚部为 0。

注意点

• 分类和相等的条件都要求 $a, b \in \mathbf{R}$。若题目里的字母可能是复数（如”$x$ 是复数”），不能直接让实部虚部对应相等。
• 纯虚数必须同时满足“实部为 0”和“虚部不为 0”。$0$ 是实数，不是纯虚数。
• 虚数和纯虚数不是一回事：纯虚数是虚数的一部分，$3 + 2i$ 是虚数但不是纯虚数。
• 读虚部前要整理顺序和符号：$\sqrt{2}i - 1$ 的实部是 $-1$，虚部是 $\sqrt{2}$。

证明

人教 A 版把“复数相等”和“共轭复数”作为定义给出，不证明。下面两条说明为什么这样规定是合理的。

结论 1：$a + bi = c + di$（$a, b, c, d \in \mathbf{R}$）时，一定有 $a = c$，$b = d$。

移项得 $a - c = (d - b)i$。

假设 $d \ne b$，两边除以 $d - b$，得 $i = \dfrac{a - c}{d - b}$，右边是实数。（关键一步：任何实数的平方都不小于 0，而 $i^2 = -1 < 0$，所以 $i$ 不可能等于一个实数。）矛盾，所以 $d = b$。再代回得 $a - c = 0$，即 $a = c$。

这一条说明：用 $a + bi$ 表示一个复数，写法是唯一的，所以“实部”“虚部”才有确定的意思。

结论 2：$i$ 不能和 0 比较大小，所以虚数之间不能规定大小。

实数的大小有一条基本性质：两个正数相乘还是正数，负数乘负数是正数。如果要让 $i$ 也遵守它：

• 若 $i > 0$，则 $i \cdot i > 0$，即 $-1 > 0$，矛盾；
• 若 $i < 0$，则 $-i > 0$，$(-i)(-i) > 0$，即 $-1 > 0$，也矛盾。

$i$ 又不等于 0，所以无论怎么规定都会和实数的运算性质冲突。严格的说法是“复数域不能成为有序域”，是大学抽象代数的内容。

例题

例 1　（场景：按类型求参数）已知 $z = (m^2 + m - 2) + (m^2 - 1)i$，$m \in \mathbf{R}$。$m$ 取何值时，$z$ 是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数？

解：实部 $m^2 + m - 2 = (m + 2)(m - 1)$，虚部 $m^2 - 1 = (m + 1)(m - 1)$。

（1）$z$ 是实数 $\iff$ 虚部为 0：$m^2 - 1 = 0$，$m = 1$ 或 $m = -1$。

（2）$z$ 是虚数 $\iff$ 虚部不为 0：$m \ne 1$ 且 $m \ne -1$。

（3）$z$ 是纯虚数 $\iff$ 实部为 0 且虚部不为 0：

$$\begin{cases} m^2 + m - 2 = 0, \\ m^2 - 1 \ne 0, \end{cases}$$

第一个式子得 $m = -2$ 或 $m = 1$；第二个式子要求 $m \ne \pm 1$。所以 $m = -2$。

检验：$m = -2$ 时 $z = 0 + 3i = 3i$，是纯虚数。

容易卡在：（3）只解“实部为 0”，把 $m = 1$ 也留下。$m = 1$ 时 $z = 0$，是实数。

例 2　（场景：复数相等求未知实数）已知 $x, y \in \mathbf{R}$，且 $(2x - y) + (x + y)i = 1 + 5i$，求 $x$、$y$。

解：$x, y$ 是实数，所以 $2x - y$ 和 $x + y$ 都是实数，左边已经是 $a + bi$ 的形式。由复数相等，实部、虚部分别相等：

$$\begin{cases} 2x - y = 1, \\ x + y = 5. \end{cases}$$

两式相加得 $3x = 6$，$x = 2$，代回得 $y = 3$。

容易卡在：忘了先确认 $x$、$y$ 是实数。题目若没说 $x, y \in \mathbf{R}$，这一步就不能走。

例 3　（场景：读实部、虚部、共轭）写出下列复数的实部、虚部和共轭复数，并说出它是实数、纯虚数还是非纯虚数的虚数：$z_1 = -3 + 4i$，$z_2 = -2i$，$z_3 = 5$，$z_4 = \sqrt{2}i - 1$。

解：

复数	实部	虚部	共轭复数	类型
$-3 + 4i$	$-3$	$4$	$-3 - 4i$	虚数（非纯虚数）
$-2i$	$0$	$-2$	$2i$	纯虚数
$5$	$5$	$0$	$5$	实数
$\sqrt{2}i - 1$	$-1$	$\sqrt{2}$	$-1 - \sqrt{2}i$	虚数（非纯虚数）

容易卡在：$z_4$ 先写的是虚部，要先改写成 $-1 + \sqrt{2}i$ 再读；$z_2$ 的虚部是 $-2$，不是 $-2i$。

例 4　（场景：含复数的不等式）已知 $m \in \mathbf{R}$，且 $(m^2 - 1) + (m^2 - 3m + 2)i > 0$，求 $m$。

解：只有实数才能和 0 比较大小，所以这个复数是实数，并且是正数：

$$\begin{cases} m^2 - 3m + 2 = 0, \\ m^2 - 1 > 0. \end{cases}$$

第一个式子 $(m - 1)(m - 2) = 0$，得 $m = 1$ 或 $m = 2$。$m = 1$ 时 $m^2 - 1 = 0$，不满足“大于 0”；$m = 2$ 时 $m^2 - 1 = 3 > 0$，满足。所以 $m = 2$。

容易卡在：看到”$> 0$“就去解实部大于 0，忘了虚部必须为 0 这个隐含条件。

常用推论

• $z$ 是实数 $\iff$ $z = \overline{z}$。推导：$a + bi = a - bi$，由复数相等得 $b = -b$，即 $b = 0$。
• $z$ 是纯虚数 $\iff$ $z + \overline{z} = 0$ 且 $z \ne 0$。推导：$z + \overline{z} = 2a$（加法见 17.4），等于 0 就是 $a = 0$；再要求 $z \ne 0$ 保证 $b \ne 0$。
• $\overline{\overline{z}} = z$：两次把虚部变号，回到原来。
• 一个复数满足”$> 0$“”$< 0$“之类的不等式，它一定是实数，虚部为 0。推导见本节证明结论 2。

易错点

• 错在哪：说 $3 - 2i$ 的虚部是 $-2i$。 为什么错：按定义，$a + bi$ 的虚部是实数 $b$，$i$ 不算在虚部里。 正确做法：虚部 $= -2$。题目选项里同时有 $-2$ 和 $-2i$ 时，选 $-2$。
• 错在哪：$z$ 是纯虚数时只列“实部 $= 0$”。 为什么错：实部为 0 时如果虚部也为 0，$z = 0$ 是实数。 正确做法：纯虚数两个条件一起写：实部 $= 0$ 且虚部 $\ne 0$，解完逐个检验。
• 错在哪：已知 $x + yi = 2 + 3i$，不看 $x$、$y$ 的范围就写 $x = 2$，$y = 3$。 为什么错：若 $x, y$ 可以是复数，比如 $x = 2 + 3i$，$y = 0$，等式也成立，答案不唯一。 正确做法：先确认字母都是实数，再用“实部、虚部分别相等”。

直观理解

实数排在一条数轴上，没有哪个实数的平方是负数。$i$ 是在数轴之外另开一个方向得到的新数，复数 $a + bi$ 可以想成“在实数方向走 $a$，在 $i$ 的方向走 $b$”，这就是 17.3 的复平面。

一句话记分类：“看虚部定实虚，虚部不为 0 再看实部定纯不纯。”

关联知识点

• 前置：第 1 章集合，数集 $\mathbf{N}$、$\mathbf{Z}$、$\mathbf{Q}$、$\mathbf{R}$ 的包含关系，复数集 $\mathbf{C}$ 接在最后。
• 前置：第 4 章一元二次方程，判别式小于 0 时在实数范围内无解，在复数范围内有解（见 17.4）。
• 后续：17.3 复数的几何意义，实部、虚部就是点的横、纵坐标。
• 常一起考：17.4 四则运算。高考题几乎都是先算出 $z$，再问它的实部、虚部、共轭或类型。

17.3 复数的几何意义

说明

复平面：建立平面直角坐标系，让复数 $z = a + bi$ 对应点 $Z(a, b)$，这个平面叫复平面。$x$ 轴叫实轴，$y$ 轴叫虚轴。

• 实轴上的点都表示实数。
• 虚轴上除原点外的点都表示纯虚数；原点表示实数 0。

三者一一对应：

$$z = a + bi \quad \longleftrightarrow \quad \text{点 } Z(a, b) \quad \longleftrightarrow \quad \text{向量 } \overrightarrow{OZ} = (a, b).$$

模：向量 $\overrightarrow{OZ}$ 的长度叫复数 $z$ 的模（或绝对值），记作 $\lvert z \rvert$ 或 $\lvert a + bi \rvert$：

$$\lvert z \rvert = \lvert a + bi \rvert = \sqrt{a^2 + b^2}.$$

$b = 0$ 时 $\lvert z \rvert = \lvert a \rvert$，就是实数的绝对值。

共轭复数的几何意义：$z = a + bi$ 和 $\overline{z} = a - bi$ 对应的点关于实轴对称，所以 $\lvert z \rvert = \lvert \overline{z} \rvert$。

两点间距离：复数 $z_1$、$z_2$ 对应点 $Z_1$、$Z_2$，则 $\lvert z_1 - z_2 \rvert = \lvert Z_1Z_2 \rvert$，即两点间的距离。

使用场景

• 题目问“复数对应的点在第几象限”或“点在某象限，求参数范围”：看实部、虚部的正负。
• 题目要求 $\lvert z \rvert$ 或两个复数对应点之间的距离：用 $\sqrt{a^2 + b^2}$，距离用 $\lvert z_1 - z_2 \rvert$。
• 题目给出 $\lvert z - z_0 \rvert = r$ 之类的条件，问 $\lvert z \rvert$ 的最大值、最小值或 $z$ 的轨迹：翻译成“到定点的距离”，画图。

注意点

• 点的坐标是 $(a, b)$，不是 $(a, bi)$。
• 模是非负实数。$\lvert z \rvert = \sqrt{a^2 + b^2}$ 里的 $b$ 是虚部（实数），不能把 $bi$ 代进去平方。
• 坐标轴上的点不属于任何象限。“在第一象限”要求实部、虚部都严格大于 0。
• $\lvert z_1 - z_2 \rvert$ 是距离，$\lvert z_1 \rvert - \lvert z_2 \rvert$ 是两个长度的差，两者一般不相等。

证明

结论 1：复数与复平面上的点一一对应。

给一个复数 $a + bi$，由 17.2 证明的结论 1，它的实部 $a$ 和虚部 $b$ 是唯一确定的，所以对应唯一的点 $(a, b)$。反过来，给一个点 $(a, b)$，就得到唯一的复数 $a + bi$。（关键一步：复数写成 $a + bi$ 的方式唯一，所以对应是确定的；没有这一点，一个复数可能对应两个点。）点和以原点为起点的向量本来就一一对应（第 15 章），所以三者一一对应。

结论 2：$\lvert a + bi \rvert = \sqrt{a^2 + b^2}$。

$\overrightarrow{OZ} = (a, b)$，由向量的模的坐标公式（第 15 章），或者直接在以 $O$、$(a, 0)$、$Z$ 为顶点的直角三角形里用勾股定理，长度为 $\sqrt{a^2 + b^2}$。

结论 3：$\lvert z_1 - z_2 \rvert$ 等于 $Z_1$、$Z_2$ 两点的距离。

设 $z_1 = a_1 + b_1 i$，$z_2 = a_2 + b_2 i$。由减法法则（17.4），$z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i$，所以

$$\lvert z_1 - z_2 \rvert = \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2},$$

这正是两点 $(a_1, b_1)$、$(a_2, b_2)$ 间的距离公式。

例题

例 1　（场景：由象限求参数范围）复数 $z = (m^2 - 2m - 3) + (m - 1)i$（$m \in \mathbf{R}$）在复平面内对应的点在第四象限，求 $m$ 的取值范围。

解：第四象限的点横坐标为正、纵坐标为负，所以

$$\begin{cases} m^2 - 2m - 3 > 0, \\ m - 1 < 0. \end{cases}$$

第一个不等式 $(m - 3)(m + 1) > 0$，得 $m < -1$ 或 $m > 3$；第二个得 $m < 1$。取公共部分：

所以 $m$ 的取值范围是 $(-\infty, -1)$。

容易卡在：把“第四象限”的正负记反。记法：第几象限就看点 $(a, b)$，和平面直角坐标系完全一样。

例 2　（场景：求模和两点距离）复数 $z_1 = 1 + 2i$，$z_2 = 4 - 2i$ 在复平面内对应的点分别为 $A$、$B$。求 $\lvert z_1 \rvert$、$\lvert z_2 \rvert$ 和 $\lvert AB \rvert$。

解：

• $\lvert z_1 \rvert = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$。
• $\lvert z_2 \rvert = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。
• $z_1 - z_2 = (1 - 4) + (2 - (-2))i = -3 + 4i$，所以 $\lvert AB \rvert = \lvert z_1 - z_2 \rvert = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5$。

容易卡在：$\lvert z_2 \rvert$ 把 $-2$ 当成 $-2i$ 平方，得 $\sqrt{16 - 4}$。

例 3　（场景：模的几何意义求最值）复数 $z$ 满足 $\lvert z - (1 + i) \rvert = 1$，求 $\lvert z \rvert$ 的最大值和最小值。

解：设 $z$ 对应点 $Z$，$1 + i$ 对应点 $C(1, 1)$。条件 $\lvert z - (1 + i) \rvert = 1$ 表示 $\lvert ZC \rvert = 1$，所以 $Z$ 在以 $C$ 为圆心、1 为半径的圆上。$\lvert z \rvert$ 是 $Z$ 到原点 $O$ 的距离。

$\lvert OC \rvert = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} > 1$，原点在圆外。圆上的点到 $O$ 的距离，最大是 $\lvert OC \rvert + 1$，最小是 $\lvert OC \rvert - 1$，都在直线 $OC$ 上取到。

所以 $\lvert z \rvert$ 的最大值为 $\sqrt{2} + 1$，最小值为 $\sqrt{2} - 1$。

容易卡在：把 $\lvert z - (1 + i) \rvert$ 当成 $\lvert z \rvert - \lvert 1 + i \rvert$，得 $\lvert z \rvert = 1 + \sqrt{2}$ 一个值。

另一种解法：代数计算。设 $z = x + yi$，条件化成 $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$。令 $x = 1 + \cos\theta$，$y = 1 + \sin\theta$，则

$$\lvert z \rvert^2 = x^2 + y^2 = 3 + 2(\sin\theta + \cos\theta) = 3 + 2\sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right),$$

取值范围是 $[3 - 2\sqrt{2}, 3 + 2\sqrt{2}]$。因为 $3 \pm 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} \pm 1)^2$，所以 $\lvert z \rvert$ 的范围是 $[\sqrt{2} - 1, \sqrt{2} + 1]$。几何法一眼出答案，适合选择题、填空题；代数法步骤长，但条件不是圆时（比如 $\lvert z - 1 \rvert + \lvert z + 1 \rvert = 4$ 这类）仍然能套用“设 $z = x + yi$“的思路。

常用推论

• $\lvert z \rvert = \lvert \overline{z} \rvert = \lvert -z \rvert$：三个点 $(a, b)$、$(a, -b)$、$(-a, -b)$ 到原点距离相同。
• 满足 $\lvert z \rvert = r$（$r > 0$）的点 $Z$ 组成以原点为圆心、$r$ 为半径的圆；$\lvert z - z_0 \rvert = r$ 是以 $z_0$ 对应点为圆心的圆；$\lvert z - z_0 \rvert < r$ 是圆的内部。推导：本节证明结论 3。
• 满足 $\lvert z - z_1 \rvert = \lvert z - z_2 \rvert$ 的点 $Z$ 组成线段 $Z_1Z_2$ 的垂直平分线：到两点距离相等。
• 若 $\lvert z - z_0 \rvert = r$，$z_0$ 对应点到原点距离为 $d$：$\lvert z \rvert$ 的最大值为 $d + r$；最小值在 $d \ge r$ 时为 $d - r$，在 $d < r$ 时为 $r - d$。推导：同例 3，最值在过圆心的直线上取到。
• $\big\lvert \lvert z_1 \rvert - \lvert z_2 \rvert \big\rvert \le \lvert z_1 \pm z_2 \rvert \le \lvert z_1 \rvert + \lvert z_2 \rvert$。推导：复数加减就是向量加减（17.4），这是向量的三角形不等式（第 15 章）。

易错点

• 错在哪：$\lvert 3 + 2i \rvert = \sqrt{3^2 + (2i)^2} = \sqrt{5}$。 为什么错：模是向量 $(3, 2)$ 的长度，公式里的 $b$ 是虚部 2，不是 $2i$。 正确做法：$\lvert 3 + 2i \rvert = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$。
• 错在哪：说复数 $0$ 对应的点在虚轴上，所以 $0$ 是纯虚数。 为什么错：原点既在实轴上又在虚轴上，但纯虚数要求虚部不为 0。 正确做法：记住“虚轴上除原点外的点表示纯虚数”。
• 错在哪：复数对应点在第二象限，只写实部 $< 0$。 为什么错：第二象限还要求纵坐标（虚部）$> 0$，两个条件缺一不可。 正确做法：每个象限都列两个不等式，再取交集，像例 1 那样在数轴上画一下。

直观理解

复数就是平面上的点。实部是横坐标，虚部是纵坐标；模是点到原点的距离，$\lvert z_1 - z_2 \rvert$ 是两点的距离。看到“模”就想“距离”，看到“共轭”就想“上下翻折”。

关联知识点

• 前置：17.2 复数的概念，实部和虚部给出点的坐标。
• 前置：第 14、15 章平面向量，复数的模就是向量的模。
• 后续：17.4 复数的四则运算，加减法就是向量的加减法。
• 后续：第 29 章圆的方程，$\lvert z - z_0 \rvert = r$ 就是圆，求最值的方法和“圆上的点到定点的距离”一样。
• 常一起考：第 4 章一元二次不等式，象限条件常化成二次不等式求参数范围。

17.4 复数的四则运算

说明

设 $z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$（$a, b, c, d \in \mathbf{R}$）。

加法和减法：实部和实部相加减，虚部和虚部相加减：

$$(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i.$$

乘法：像两个多项式相乘一样展开，再把 $i^2$ 换成 $-1$：

$$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i.$$

除法（$c + di \ne 0$）：分子、分母同乘分母的共轭复数 $c - di$，把分母变成实数：

$$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \frac{bc - ad}{c^2 + d^2}i.$$

这个公式不用背，记住做法即可：

运算律：复数的加法、乘法满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律；完全平方公式、平方差公式照样能用。

$i$ 的乘方：$i^1 = i$，$i^2 = -1$，$i^3 = -i$，$i^4 = 1$，之后每 4 个一循环。对正整数 $n$：

$$i^{4n} = 1, \quad i^{4n+1} = i, \quad i^{4n+2} = -1, \quad i^{4n+3} = -i.$$

加减法的几何意义：复数加减就是对应向量加减。$z_1 + z_2$ 对应以 $\overrightarrow{OZ_1}$、$\overrightarrow{OZ_2}$ 为邻边的平行四边形的对角线 $\overrightarrow{OZ}$；$z_1 - z_2$ 对应向量 $\overrightarrow{Z_2Z_1}$。

使用场景

• 题目给出一个由乘除组成的复数式，问它的实部、虚部、共轭、模或所在象限：先化成 $a + bi$。
• 方程里只出现一个未知复数 $z$（如 $z(1 + i) = 2i$）：像解一次方程一样把 $z$ 解出来，再做除法。
• 方程里同时出现 $z$ 和 $\overline{z}$ 或 $\lvert z \rvert$：设 $z = a + bi$（$a, b \in \mathbf{R}$），代入后用复数相等。
• 题目出现 $i$ 的高次幂或 $i$ 的幂的和：用 4 个一循环。
• 实系数一元二次方程判别式小于 0，或已知方程有一个虚根：在复数范围内求根，虚根成对共轭。
• 题目给出平行四边形顶点对应的复数，求另一个顶点或边长、对角线长：用加减法的几何意义。

注意点

• $i^2 = -1$，展开乘法后必须把 $i^2$ 换掉，最后结果写成 $a + bi$ 的形式。
• 除法时分子、分母都要乘 $c - di$，只乘分母等于改变了这个数。
• 复数里 $z^2$ 和 $\lvert z \rvert^2$ 一般不相等：$z^2$ 可能是虚数或负数，$\lvert z \rvert^2 = z\overline{z}$ 才一定是非负实数。
• “虚根成对共轭”只对实系数方程成立。系数里有虚数时不能用。
• $i$ 的幂求和时，先数清楚一共有多少项，再看去掉整组后剩下哪几项。

证明

乘法法则的来历：人教 A 版把乘法法则作为规定给出。规定的依据是希望复数的运算保持实数的运算律（交换律、结合律、分配律），并且 $i^2 = -1$。在这个要求下，按分配律展开：

$$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bd \cdot i^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i,$$

所以乘法只能这样规定。

除法法则：除法是乘法的逆运算，$\dfrac{z_1}{z_2}$ 就是满足 $z_2 \cdot w = z_1$ 的复数 $w$。

（关键一步：$(c + di)(c - di) = c^2 - d^2 i^2 = c^2 + d^2$，是一个正实数。）分子分母同乘 $c - di$，分数的值不变，而分母变成了实数，就可以把实部、虚部分开写。这和初中“分母有理化”是同一个想法：$\dfrac{1}{\sqrt{2} + 1}$ 同乘 $\sqrt{2} - 1$ 去掉根号，这里同乘共轭去掉 $i$。

$i$ 的乘方周期为 4：$i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$，所以 $i^{4n + k} = (i^4)^n \cdot i^k = i^k$。

模的乘法性质：$\lvert z_1 z_2 \rvert = \lvert z_1 \rvert \lvert z_2 \rvert$。

$$\lvert z_1 z_2 \rvert^2 = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2 = a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2),$$

展开时 $-2abcd$ 和 $+2abcd$ 正好抵消。两边开方即得。除法同理：$\left\lvert \dfrac{z_1}{z_2} \right\rvert = \dfrac{\lvert z_1 \rvert}{\lvert z_2 \rvert}$。

例题

例 1　（场景：化简后读共轭、模、象限）已知 $z = \dfrac{3 + i}{1 - i}$，求 $\overline{z}$、$\lvert z \rvert$，并判断 $z$ 对应的点在第几象限。

解：分子分母同乘 $1 + i$：

$$z = \frac{(3 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{3 + 3i + i + i^2}{1 - i^2} = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i.$$

所以 $\overline{z} = 1 - 2i$，$\lvert z \rvert = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，对应点 $(1, 2)$ 在第一象限。

容易卡在：分子展开时 $i^2$ 没换成 $-1$，得 $3 + 4i + i^2$ 就停了。

另一种解法：只求模时不必先算 $z$。由 $\left\lvert \dfrac{z_1}{z_2} \right\rvert = \dfrac{\lvert z_1 \rvert}{\lvert z_2 \rvert}$，$\lvert z \rvert = \dfrac{\lvert 3 + i \rvert}{\lvert 1 - i \rvert} = \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \sqrt{5}$。题目只问模时用它最快，也不容易算错；题目还问共轭或象限时，反正要把 $z$ 算出来，就直接用 $z$ 求模。

例 2　（场景：方程里只有一个 $z$）已知复数 $z$ 满足 $z(1 + i) = 2i$，求 $z$ 的虚部。

解：两边除以 $1 + i$：

$$z = \frac{2i}{1 + i} = \frac{2i(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{2i - 2i^2}{2} = \frac{2 + 2i}{2} = 1 + i.$$

所以 $z$ 的虚部为 1。

例 3　（场景：同时含 $z$ 和 $\lvert z \rvert$）已知复数 $z$ 满足 $z + \lvert z \rvert = 2 + i$，求 $z$。

解：这里既有 $z$ 又有 $\lvert z \rvert$，不能直接除。设 $z = a + bi$（$a, b \in \mathbf{R}$），则 $\lvert z \rvert = \sqrt{a^2 + b^2}$ 是实数，原式化为

$$\left(a + \sqrt{a^2 + b^2}\right) + bi = 2 + i.$$

由复数相等：$b = 1$，$a + \sqrt{a^2 + 1} = 2$。

移项得 $\sqrt{a^2 + 1} = 2 - a$，需 $2 - a \ge 0$。两边平方：$a^2 + 1 = 4 - 4a + a^2$，$a = \dfrac{3}{4}$，满足 $2 - a = \dfrac{5}{4} \ge 0$。

所以 $z = \dfrac{3}{4} + i$。

检验：$\lvert z \rvert = \sqrt{\dfrac{9}{16} + 1} = \dfrac{5}{4}$，$z + \lvert z \rvert = \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{4} + i = 2 + i$。

容易卡在：把 $\lvert z \rvert$ 当成复数去比较实部虚部。$\lvert z \rvert$ 是实数，只进实部。

例 4　（场景：$i$ 的高次幂）计算：（1）$i^{2026}$；（2）$i + i^2 + i^3 + \dots + i^{2026}$；（3）$\left(\dfrac{1 + i}{1 - i}\right)^{2026}$。

解：

（1）$2026 = 4 \times 506 + 2$，所以 $i^{2026} = i^2 = -1$。

（2）每连续 4 项的和为 $i + (-1) + (-i) + 1 = 0$。从 $i^1$ 到 $i^{2024}$ 共 2024 项，正好 506 组，和为 0。剩下 $i^{2025} + i^{2026} = i^1 + i^2 = -1 + i$。所以原式 $= -1 + i$。

（3）$\dfrac{1 + i}{1 - i} = \dfrac{(1 + i)^2}{(1 - i)(1 + i)} = \dfrac{2i}{2} = i$，所以原式 $= i^{2026} = -1$。

容易卡在：（2）分组时没数清项数。从 $i^1$ 到 $i^{2026}$ 共 2026 项，整组只能分到 $i^{2024}$，剩下的是最后两项。

例 5　（场景：实系数方程的虚根）（1）在复数范围内解方程 $x^2 - 2x + 5 = 0$。（2）已知 $1 + 2i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2 + px + q = 0$（$p, q \in \mathbf{R}$）的一个根，求 $p$、$q$。

解：（1）$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 5 = -16 < 0$。求根公式在复数范围内照样能用，$-16$ 的平方根是 $\pm 4i$：

$$x = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i.$$

（2）把 $x = 1 + 2i$ 代入方程：

$$(1 + 2i)^2 + p(1 + 2i) + q = (1 + 4i - 4) + p + 2pi + q = (p + q - 3) + (2p + 4)i = 0.$$

$p, q$ 是实数，由复数等于 0 的条件：$p + q - 3 = 0$，$2p + 4 = 0$。得 $p = -2$，$q = 5$。

另一种解法：实系数一元二次方程的虚根成对共轭，所以另一个根是 $1 - 2i$。由根与系数的关系：$(1 + 2i) + (1 - 2i) = 2 = -p$，$(1 + 2i)(1 - 2i) = 1 + 4 = 5 = q$。得 $p = -2$，$q = 5$。用共轭根加韦达定理不用展开平方，选择题、填空题首选；代入法不依赖“实系数”这个条件，方程系数不全是实数时只能用代入法。

例 6　（场景：加减法的几何意义）在复平面内，平行四边形 $OZ_1ZZ_2$ 的顶点 $O$ 是原点，$Z_1$、$Z_2$ 分别对应复数 $3 + i$、$1 + 2i$。求顶点 $Z$ 对应的复数和对角线 $Z_1Z_2$ 的长。

解：由加法的平行四边形法则，$\overrightarrow{OZ} = \overrightarrow{OZ_1} + \overrightarrow{OZ_2}$，所以 $Z$ 对应 $(3 + i) + (1 + 2i) = 4 + 3i$。

$\overrightarrow{Z_2Z_1}$ 对应 $(3 + i) - (1 + 2i) = 2 - i$，所以 $\lvert Z_1Z_2 \rvert = \lvert 2 - i \rvert = \sqrt{5}$。图见本节“说明”。

容易卡在：$\overrightarrow{Z_2Z_1}$ 对应的是“终点减起点” $z_1 - z_2$。方向写反只影响符号、不影响长度，但题目要的是向量本身时就错了。

常用推论

• $(1 + i)^2 = 2i$，$(1 - i)^2 = -2i$；$\dfrac{1 + i}{1 - i} = i$，$\dfrac{1 - i}{1 + i} = -i$。推导：直接展开，见例 4。高次幂常先凑成这几个。
• $z\overline{z} = \lvert z \rvert^2 = a^2 + b^2$。推导：$(a + bi)(a - bi) = a^2 - b^2 i^2 = a^2 + b^2$。
• $z + \overline{z} = 2a$，$z - \overline{z} = 2bi$。推导：按加减法则直接算。
• $\lvert z_1 z_2 \rvert = \lvert z_1 \rvert \lvert z_2 \rvert$，$\left\lvert \dfrac{z_1}{z_2} \right\rvert = \dfrac{\lvert z_1 \rvert}{\lvert z_2 \rvert}$，$\lvert z^n \rvert = \lvert z \rvert^n$。推导见本节证明。
• 连续 4 个 $i$ 的整数次幂之和为 0：$i^n + i^{n+1} + i^{n+2} + i^{n+3} = i^n(1 + i - 1 - i) = 0$。
• 实系数一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 在 $\Delta < 0$ 时有两个共轭虚根 $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{-\Delta}\,i}{2a}$，根与系数的关系仍成立。推导：求根公式和韦达定理只用到四则运算和配方，在复数里照样成立。
• 设 $\omega = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$，则 $1 + \omega + \omega^2 = 0$，$\omega^3 = 1$，$\omega^2 = \overline{\omega}$。推导：由求根公式，$\omega$ 是 $x^2 + x + 1 = 0$ 的根，所以 $1 + \omega + \omega^2 = 0$；两边乘 $\omega - 1$ 得 $\omega^3 - 1 = 0$；另一个根是共轭 $\overline{\omega}$，两根之积 $\omega\overline{\omega} = 1 = \omega^3$，约去 $\omega$ 得 $\overline{\omega} = \omega^2$。

易错点

• 错在哪：$\dfrac{2}{1 + i} = \dfrac{2}{(1 + i)(1 - i)} = \dfrac{2}{2} = 1$。 为什么错：分母乘了 $1 - i$，分子没乘，相当于把原数除以了 $1 - i$。 正确做法：分子分母同乘：$\dfrac{2(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \dfrac{2 - 2i}{2} = 1 - i$。
• 错在哪：用”$z^2 = \lvert z \rvert^2$“或”$z^2 \ge 0$“做题。 为什么错：$z = i$ 时 $z^2 = -1$，而 $\lvert z \rvert^2 = 1$。实数里 $x^2 = \lvert x \rvert^2$，复数里不成立。 正确做法：要用平方等于模的平方时，写 $z\overline{z} = \lvert z \rvert^2$。
• 错在哪：方程 $x^2 + ix + 2 = 0$ 有一个根是 $i$，就说另一个根是 $-i$。 为什么错：一次项系数 $i$ 不是实数，“虚根成对共轭”不成立。由两根之和 $= -i$，另一个根是 $-2i$。 正确做法：用共轭根之前先看方程的系数是不是全是实数；不是的话用韦达定理或代入法。

直观理解

加减法就是向量的平行四边形法则。乘法有一个漂亮的几何意义：乘以 $i$，就是把向量绕原点逆时针转 $90^\circ$，长度不变。所以 $1 \to i \to -1 \to -i \to 1$，转四次回到原处，这就是 $i$ 的乘方“4 个一循环”。

除法记一句：“分母有 $i$，同乘共轭；分子分母一起乘。”

关联知识点

• 前置：17.2 复数的概念，运算结果要用实部、虚部、相等的条件来读和解。
• 前置：第 4 章一元二次方程，求根公式和根与系数的关系在复数范围内照样成立。
• 前置：第 14 章平面向量的线性运算，复数加减就是向量加减。
• 后续：17.5 复数的三角形式，乘除法在三角形式下变成“模相乘除、辐角相加减”。
• 后续：第 34 章二项式定理，$(1 + i)^n$ 这类式子展开时要用 $i$ 的乘方。
• 常一起考：17.3 几何意义。高考题的标准形式是“算出 $z$ 后问象限或模”。

17.5 复数的三角形式（选学）

本节是课标的选学内容，例题从简。

说明

辐角：$z = a + bi \ne 0$ 对应向量 $\overrightarrow{OZ}$。以 $x$ 轴正半轴为始边、$\overrightarrow{OZ}$ 所在射线为终边的角 $\theta$ 叫 $z$ 的辐角。辐角有无数个，彼此相差 $2\pi$ 的整数倍。在 $[0, 2\pi)$ 内的那个叫辐角主值，记作 $\arg z$。

三角形式：记 $r = \lvert z \rvert$，由三角函数的定义（第 11 章），$a = r\cos\theta$，$b = r\sin\theta$，所以

$$z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta),$$

其中

$$r = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \cos\theta = \frac{a}{r}, \quad \sin\theta = \frac{b}{r}.$$

乘法和除法：设 $z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$，$z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$，则

$$z_1 z_2 = r_1 r_2\left[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)\right],$$ $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\left[\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)\right] \quad (z_2 \ne 0).$$

即：相乘时模相乘、辐角相加；相除时模相除、辐角相减。

几何意义：$z_1$ 乘以 $z_2$，就是把向量 $\overrightarrow{OZ_1}$ 绕原点逆时针旋转 $\theta_2$，再把长度变为原来的 $r_2$ 倍。

使用场景

• 题目要求把复数写成三角形式或求辐角主值：先求模 $r$，再由 $\cos\theta$、$\sin\theta$ 的正负和值定 $\theta$。
• 两个复数都已是三角形式，求它们的积或商：直接模相乘除、辐角相加减。
• 题目说“把某向量绕原点旋转某个角”，求所得向量对应的复数：乘以 $\cos\alpha + i\sin\alpha$（逆时针转 $\alpha$）。

注意点

• 三角形式有固定格式：$r \ge 0$；括号里是”$\cos\theta + i\sin\theta$“，余弦在前、中间是加号、两个角相同。$2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} - i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$、$-2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$ 都不是三角形式。
• 定 $\theta$ 不能只看 $\tan\theta = \dfrac{b}{a}$，要同时看 $a$、$b$ 的正负确定 $\theta$ 在哪个象限。
• 复数 0 的模为 0，辐角可以是任意值，一般不讨论它的三角形式。

证明

乘法公式：直接相乘并按实部、虚部整理：

$$\begin{aligned} z_1 z_2 &= r_1 r_2(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2) \\ &= r_1 r_2\left[(\cos\theta_1\cos\theta_2 - \sin\theta_1\sin\theta_2) + i(\sin\theta_1\cos\theta_2 + \cos\theta_1\sin\theta_2)\right] \\ &= r_1 r_2\left[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)\right]. \end{aligned}$$

（关键一步：第二行到第三行用的是两角和的余弦公式和正弦公式（第 13 章）。复数乘法里实部“相乘减相乘”、虚部“交叉相乘相加”的结构，恰好和这两个公式一样。）

除法公式：记右边为 $w = \dfrac{r_1}{r_2}\left[\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)\right]$。由乘法公式，$w \cdot z_2 = \dfrac{r_1}{r_2} \cdot r_2\left[\cos(\theta_1 - \theta_2 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2 + \theta_2)\right] = z_1$，所以 $w = \dfrac{z_1}{z_2}$。

例题

例 1　（场景：化为三角形式）把 $z = -1 + i$ 写成三角形式（辐角取主值）。

解：$r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。$\cos\theta = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，点 $(-1, 1)$ 在第二象限，所以 $\theta = \dfrac{3\pi}{4}$。

$$-1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right).$$

容易卡在：由 $\tan\theta = -1$ 写成 $\theta = -\dfrac{\pi}{4}$，那是第四象限的角。

例 2　（场景：三角形式的乘除）设 $z_1 = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$，$z_2 = 3\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$，求 $z_1 z_2$ 和 $\dfrac{z_1}{z_2}$，结果写成代数形式。

解：

$$z_1 z_2 = 6\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) = 6(0 + i) = 6i.$$ $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{2}{3}\left[\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right] = \frac{2}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{3}i.$$

例 3　（场景：向量旋转）把复数 $\sqrt{3} + i$ 对应的向量绕原点逆时针旋转 $\dfrac{\pi}{3}$，求所得向量对应的复数。

解：$\sqrt{3} + i = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$。逆时针转 $\dfrac{\pi}{3}$，模不变、辐角加 $\dfrac{\pi}{3}$：

$$2\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) = 2i.$$

另一种解法：直接用代数形式乘 $\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$：

$$(\sqrt{3} + i)\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}i + \frac{1}{2}i + \frac{\sqrt{3}}{2}i^2 = 2i.$$

原复数的辐角是特殊角时，用三角形式口算就出结果；辐角不是特殊角时（如旋转 $3 + 4i$），化不成好看的三角形式，就用代数形式直接乘。

常用推论

• 棣莫弗公式：$\left[r(\cos\theta + i\sin\theta)\right]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$（$n \in \mathbf{N}^*$）。推导：乘法公式连用 $n$ 次，模乘 $n$ 次、辐角加 $n$ 次。
• 乘以 $i = \cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}$ 是逆时针转 $90^\circ$；乘以 $-1$ 是转 $180^\circ$；乘以 $-i$ 是顺时针转 $90^\circ$。推导：乘法公式，模为 1 时只转不伸缩。
• $\overline{z} = r\left[\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)\right]$，$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{r}\left[\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)\right]$。推导：第一个用 $\cos(-\theta) = \cos\theta$，$\sin(-\theta) = -\sin\theta$；第二个由除法公式取 $z_1 = 1 = 1 \cdot (\cos 0 + i\sin 0)$。

易错点

• 错在哪：说 $2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} - i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$ 的辐角是 $\dfrac{\pi}{3}$。 为什么错：中间是减号，不是标准的三角形式。它等于 $1 - \sqrt{3}i$，在第四象限。 正确做法：先化成标准形式 $2\left[\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right]$，辐角主值为 $\dfrac{5\pi}{3}$。
• 错在哪：$-1 - i$ 由 $\tan\theta = 1$ 得辐角 $\dfrac{\pi}{4}$。 为什么错：$\tan\theta = 1$ 的角在第一或第三象限，点 $(-1, -1)$ 在第三象限。 正确做法：同时看 $\cos\theta = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$、$\sin\theta = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，得 $\theta = \dfrac{5\pi}{4}$。

直观理解

三角形式把复数说成“多长、朝哪个方向”。乘法就变成“长度相乘、方向相加”：乘一个模为 1 的复数，就是纯粹的旋转。这也解释了 17.4 里乘 $i$ 为什么是转 $90^\circ$。

关联知识点

• 前置：第 11 章三角函数的定义，$a = r\cos\theta$，$b = r\sin\theta$。
• 前置：第 13 章两角和与差的公式，乘法公式的证明就靠它。
• 前置：17.3 复数的几何意义，模和向量的方向。
• 后续：本书之外，大学的复变函数把三角形式写成指数形式 $re^{i\theta}$，乘法变成指数相加。

17.6 知识点之间的关系

本章四个知识点：先定义复数（17.2），再把它画到平面上（17.3），然后定义运算（17.4），最后用模和辐角重新描述复数，让乘除法有了“旋转加伸缩”的几何意义（17.5）。

高考的复数题几乎都是同一个套路：用 17.4 的运算把一个式子化成 $a + bi$，再用 17.2 读实部、虚部、共轭、类型，或用 17.3 读模、象限。所以 17.2、17.3、17.4 三节要连在一起练。

复数和平面向量是同一个东西的两种说法：加减法完全一样，模就是向量的长度。三角形式又把复数和三角函数连起来，两角和公式在这里变成了“辐角相加”。

17.7 自测

1. 已知 $z = (m^2 - 1) + (m + 1)i$（$m \in \mathbf{R}$）是纯虚数，求 $m$。
2. 已知 $x, y \in \mathbf{R}$，$(x - 1) + (y + 2)i = 3 - i$，求 $x + y$。
3. 复数 $z = -1 + 2i$ 的共轭复数在复平面内对应的点在第几象限？
4. 复数 $z$ 满足 $\lvert z - 2 \rvert = 1$，求 $\lvert z \rvert$ 的最大值。
5. 计算 $(1 + 2i)(3 - i)$。
6. 已知 $z(1 - i) = 2$，求 $\overline{z}$。
7. （选学）把 $-\sqrt{3} + i$ 写成三角形式（辐角取主值）。
8. （选学）计算 $\left[\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{8} + i\sin\dfrac{\pi}{8}\right)\right]^4$，结果写成代数形式。

答案：1. $m = 1$；2. $1$；3. 第三象限；4. $3$；5. $5 + 5i$；6. $1 - i$；7. $2\left(\cos\dfrac{5\pi}{6} + i\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)$；8. $4i$。

17.8 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，有按人教版章节排列的高中数学同步课程，可对照必修第二册第七章复数复习。
• Khan Academy · Complex numbers：复数的概念、四则运算和复平面的英文视频讲解，配练习题。
• GeoGebra：免费的在线作图工具，可以在复平面上画点和向量，观察乘法带来的旋转和伸缩。
• Wolfram MathWorld · Complex Number：复数相关术语的英文定义，查记号和英文说法时用。