第 20 章 · 统计

项目	内容
课标主题	必修 · 概率与统计 · 统计
人教 A 版	必修第二册 第九章 9.1–9.3
考试地位	常考。多是一道选择或填空（数字特征、频率分布直方图），也常作为概率解答题的第一问。2019 年教育部办公厅印发的《新高考过渡时期数学学科考试范围说明》（教基厅函〔2019〕44 号）曾把“分层随机抽样的样本均值和样本方差”“用样本估计百分位数，及百分位数的统计含义”列为不作考试要求，那是新旧教材过渡时期的安排。近年全国卷考查情况：百分位数已经考过，2026 年全国二卷第 15 题第 (1) 问要求由频率分布直方图估计第一四分位数（即第 25 百分位数）和中位数，要照常掌握；分层随机抽样的样本均值和方差，2021–2026 年新高考Ⅰ、Ⅱ卷和全国一、二卷中没有见到，只有 2023 年新高考Ⅱ卷第 3 题考比例分配的分层抽样（求不同抽样结果的个数），课标内容，照常掌握
前置知识	初中的平均数、中位数、众数、方差和条形图；第 1 章集合（总体和样本的写法）

统计讲的是“从一部分看全体”：先合理地抽一部分数据（样本），再用图和数字把它概括出来，最后拿它去估计全体（总体）。这一章计算不难，丢分丢在三个地方：直方图的纵轴是“频率/组距”而不是频率；从直方图估计中位数时不会按面积算；方差的公式记混或者算错。

20.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
20.2 简单随机抽样与分层抽样	每个个体被抽到的机会相等；总体分层明显时按比例从各层抽	常考，多是分层抽样求各层人数
20.3 频率分布直方图	纵轴是频率/组距，每个小矩形的面积是这一组的频率，面积和为 1	常考，几乎每年都有直方图或频率表
20.4 样本的数字特征	平均数、中位数、众数看“中心”，方差、标准差看“离散”	常考，选择题常考数据变化后数字特征怎么变
20.5 百分位数	把数据排好序，第 $p$ 百分位数左边约有 $p\%$ 的数据	考过：2026 年全国二卷由直方图估计第一四分位数（见信息卡）
20.6 用样本估计总体	用样本的频率、数字特征去估计总体的比例、平均水平和波动	常考，统计解答题的落脚点

20.2 简单随机抽样与分层抽样

说明

先认几个名词：

• 总体：要研究的全部对象；其中每一个对象叫个体。
• 样本：从总体中抽出来实际观测的那一部分个体；样本中个体的数目叫样本量（也叫样本容量）。
• 普查和抽查：对每个个体都调查叫普查；只调查样本叫抽查（抽样调查）。

简单随机抽样：从含 $N$ 个个体的总体中逐个抽取 $n$ 个个体（$n < N$），每次抽取时总体内剩下的每个个体被抽到的机会都相等。抽完放回再抽叫放回简单随机抽样，不放回叫不放回简单随机抽样。课本中不特别说明时，指的是不放回简单随机抽样。

两种常用的做法：

• 抽签法：把 $N$ 个个体编号写在外形相同的签上，搅拌均匀后逐个抽取。适合 $N$ 较小。
• 随机数法：把个体编号，用随机数表、随机数骰子、计算器或计算机软件产生随机数，取对应编号的个体。适合 $N$ 较大。

分层随机抽样：总体可以按某个特征分成互不交叉的几部分（每部分叫一层），在每一层中独立地进行简单随机抽样，再把各层的样本合起来作为总体的样本。

比例分配：各层抽取的个体数与该层个体数成比例。设总体有 $N$ 个个体、样本量为 $n$，第 $i$ 层有 $N_i$ 个个体，则这一层抽取

$$n_i = n \cdot \frac{N_i}{N}.$$

等价的写法：$\dfrac{n_i}{N_i} = \dfrac{n}{N}$，即“每一层的抽样比都等于总的抽样比”。

使用场景

• 给出一个调查方案，问用哪种抽样方法：看题目里有没有“男生、女生”“一、二、三年级”“不同车间”这类差异明显的组，有就用分层抽样；没有再看个数多少，选抽签法或随机数法。
• 已知各层人数和样本量，求各层抽多少：题目出现“按分层随机抽样（比例分配）”，直接用 $n_i = n \cdot \dfrac{N_i}{N}$。
• 已知某层的人数和这一层抽的人数，反求总体或样本量：用“各层抽样比相等”列比例式。
• 问某个个体被抽到的概率：不论哪种抽样，每个个体被抽到的概率都是 $\dfrac{n}{N}$。

注意点

• 简单随机抽样要求总体个数有限、逐个抽取、每次机会相等。“从无限多件产品中抽”“一次性抓一把”都不是简单随机抽样。
• 分层随机抽样的“层”必须互不交叉，并且合起来是整个总体。
• 比例分配算出来的 $n_i$ 不是整数时，题目一般会把数据设计成整数；遇到不是整数，按题目要求取整或调整。
• 旧教材里的“系统抽样”，2017 年版课标的必修内容里已不再列出，新教材只讲简单随机抽样和分层随机抽样。
• 抽样只能减小偏差，不能消除误差：同一个总体，两次抽到的样本一般不同，算出的样本平均数也不同。这叫随机性，不是算错。

证明

结论 1：不放回简单随机抽样中，每个个体被抽到的概率都是 $\dfrac{n}{N}$。

（这里用到第 21 章概率的乘法，先承认“每次机会相等”时各次抽取的结果相乘即可。）

任取一个个体，记为甲。甲在第 $k$ 次被抽到，需要前 $k - 1$ 次都没抽到甲、第 $k$ 次正好抽到甲：

$$P(\text{第 } k \text{ 次抽到甲}) = \frac{N-1}{N} \cdot \frac{N-2}{N-1} \cdots \frac{N-k+1}{N-k+2} \cdot \frac{1}{N-k+1} = \frac{1}{N}.$$

（关键一步：前一个分数的分子和后一个分数的分母相同，依次约掉，最后只剩 $\dfrac{1}{N}$。所以甲在每一次被抽到的概率都相同，与第几次无关。）

“甲在第 1 次被抽到”“甲在第 2 次被抽到”……“甲在第 $n$ 次被抽到”不可能同时发生（甲被抽走就不放回了），所以甲被抽到的概率是这 $n$ 个概率之和：$n \cdot \dfrac{1}{N} = \dfrac{n}{N}$。

结论 2：比例分配的分层抽样中，每个个体被抽到的概率也是 $\dfrac{n}{N}$。

第 $i$ 层的个体在本层的简单随机抽样中被抽到的概率是 $\dfrac{n_i}{N_i}$，而比例分配时 $\dfrac{n_i}{N_i} = \dfrac{n}{N}$，所以每一层的个体被抽到的概率都相同，都等于 $\dfrac{n}{N}$。

例题

例 1　（场景：选抽样方法）下面两项调查分别该用哪种抽样方法？

(1) 某校高一 800 人、高二 600 人、高三 600 人，学校要抽 100 人了解学生的视力情况； (2) 从一盒 30 支同一批次的签字笔中抽 5 支检验质量。

解：

(1) 三个年级学生的年龄和用眼时间不同，视力情况差异明显，应该按年级分层，用分层随机抽样。 (2) 30 支笔是同一批次，没有明显的分层；个数少，用抽签法（简单随机抽样）。

例 2　（场景：按比例分配求各层样本量）续例 1 (1)，按比例分配，各年级分别抽多少人？

解：总人数 $N = 800 + 600 + 600 = 2000$，样本量 $n = 100$，抽样比 $\dfrac{100}{2000} = \dfrac{1}{20}$。

• 高一：$800 \times \dfrac{1}{20} = 40$ 人；
• 高二：$600 \times \dfrac{1}{20} = 30$ 人；
• 高三：$600 \times \dfrac{1}{20} = 30$ 人。

检验：$40 + 30 + 30 = 100$，正好是样本量。

例 3　（场景：由某层数据反求总体）某工厂有甲、乙、丙三个车间，用分层随机抽样（比例分配）抽取产品检验。甲车间共生产 1200 件产品，从中抽了 24 件；乙、丙两车间分别抽了 30 件和 16 件。这批产品共有多少件？

解：甲车间的抽样比是 $\dfrac{24}{1200} = \dfrac{1}{50}$。比例分配时每一层的抽样比都等于总的抽样比，所以总的抽样比也是 $\dfrac{1}{50}$。

样本量是 $24 + 30 + 16 = 70$，所以产品总数为 $70 \div \dfrac{1}{50} = 3500$ 件。

容易卡在：只想着求乙、丙车间各有多少件，没意识到“抽样比处处相等”可以一步求出总数。

另一种解法：分别求各车间的件数：乙车间 $30 \times 50 = 1500$ 件，丙车间 $16 \times 50 = 800$ 件，总数 $1200 + 1500 + 800 = 3500$ 件。题目还要问各车间件数时用这种方法；只问总数时，用总样本量除以抽样比更快。

例 4　（场景：个体被抽到的概率）从 50 名学生中用简单随机抽样（不放回）抽取 5 人参加座谈。

(1) 学生甲被抽到的概率是多少？ (2) 学生甲恰好在第 2 次被抽到的概率是多少？

解：

(1) 由本节证明结论 1，$P = \dfrac{n}{N} = \dfrac{5}{50} = \dfrac{1}{10}$。 (2) 第 1 次没抽到甲、第 2 次抽到甲：$P = \dfrac{49}{50} \times \dfrac{1}{49} = \dfrac{1}{50}$。

容易卡在：把 (2) 算成 $\dfrac{1}{49}$。$\dfrac{1}{49}$ 是“已知第 1 次没抽到甲”时第 2 次抽到甲的概率，还要乘上第 1 次没抽到甲的概率 $\dfrac{49}{50}$。

常用推论

• 比例分配时 $\dfrac{n_1}{N_1} = \dfrac{n_2}{N_2} = \cdots = \dfrac{n}{N}$，也就是各层样本量之比等于各层个体数之比：$n_1 : n_2 : \cdots = N_1 : N_2 : \cdots$。由 $n_i = n \cdot \dfrac{N_i}{N}$ 直接得到。
• 简单随机抽样和比例分配的分层随机抽样，每个个体被抽到的概率都是 $\dfrac{n}{N}$，而且不放回抽样中每个个体在每一次被抽到的概率都是 $\dfrac{1}{N}$。推导见本节“证明”。

易错点

• 错在哪：分层抽样时按层数平均分配，比如三个年级各抽 $\dfrac{100}{3}$ 人。 为什么错：比例分配是按各层人数的比例分，人多的层抽得多，这样样本的结构才和总体一样。 正确做法：用 $n_i = n \cdot \dfrac{N_i}{N}$，先算总的抽样比，再乘各层人数。
• 错在哪：认为后抽的人被抽到的机会更大（或更小）。 为什么错：前面抽走的人越多，剩下的人每次机会越大，但“轮到这一次还没被抽走”的概率也越小，两者正好抵消。 正确做法：记住每一次被抽到的概率都是 $\dfrac{1}{N}$，与先后无关，抓阄不分先后就是这个道理。
• 错在哪：把“在网上自愿填问卷”“在校门口随便拦人”当成简单随机抽样。 为什么错：这些方式里，有的人更容易被选中（愿意填问卷的、经常走校门口的），每个个体的机会不相等。 正确做法：判断是不是简单随机抽样，就问一句“每个个体被抽到的机会是否相等”。

直观理解

抽样好比尝一锅汤：先搅匀再舀一勺，这一勺的味道就能代表一锅（简单随机抽样）；如果汤分上下两层、味道不同，就上下各舀一点，按两层的分量比例来舀（分层抽样）。分层抽样让样本成为总体的“缩小版”，各层所占的比例和总体一样。

关联知识点

• 后续：20.3 频率分布直方图、20.4 样本的数字特征，处理的都是抽出来的样本数据。
• 后续：20.6 用样本估计总体。样本必须随机抽取，估计才可靠。
• 后续：第 21 章概率，每个个体被抽到的概率 $\dfrac{n}{N}$ 是古典概型的计算。
• 常一起考：第 36 章离散型随机变量，分层抽样抽出几人后，再从中选人求分布列，是概率解答题的常见开头。
• 关联：第 34 章计数原理，从 $N$ 个个体中不放回地抽 $n$ 个，共有 $\mathrm{C}_N^n$ 种可能的样本。

20.3 频率分布直方图

说明

把样本数据按大小分成若干组，统计每组的频数（落在这一组的个数），频率 = 频数 ÷ 样本量。列成表就是频率分布表。

画频率分布直方图的步骤：

1. 求极差：最大值减最小值。
2. 定组距和组数：组数约为 $\dfrac{\text{极差}}{\text{组距}}$，常取 5 到 12 组，组距一般相等。
3. 分组：通常每组写成左闭右开区间 $[a, b)$，最后一组可以是闭区间。
4. 列频率分布表。
5. 画图：横轴是数据，每组画一个小矩形，底是组距，高是 $\dfrac{\text{频率}}{\text{组距}}$。

于是

$$\text{小矩形的面积} = \text{组距} \times \frac{\text{频率}}{\text{组距}} = \text{频率},$$

所有小矩形的面积之和等于 1。

用直方图估计三个数字特征（数据只知道在哪一组，不知道具体值，所以是估计值）：

特征	怎么估计
众数	最高的小矩形底边中点的横坐标
中位数	竖直线左边的面积为 0.5，这条竖直线的横坐标
平均数	每个小矩形底边中点的横坐标乘这个矩形的面积（频率），再相加

中位数的计算公式：设中位数落在组 $[a, b)$，这一组矩形的高为 $h$，这一组之前所有组的频率之和为 $F$，则

$$\text{中位数} \approx a + \frac{0.5 - F}{h}.$$

使用场景

• 直方图里有一个高未知，求它：题目给图并标出字母，用“所有面积之和为 1”列方程。
• 由直方图估计众数、中位数、平均数：题目说“估计”二字，并且给的是分组数据而不是原始数据。
• 估计数据落在某个范围的频率，范围的端点不在分组的端点上：把被切开的组按长度比例切面积。
• 由频率分布表画直方图，或读懂别人画的直方图：先确认纵轴是“频率/组距”，再看组距是多少。

注意点

• 纵轴是 $\dfrac{\text{频率}}{\text{组距}}$，不是频率。只有组距为 1 时两者数值相同。读图求频率，一定要乘组距。
• 频率分布直方图不是条形图：条形图的高表示频数或频率，柱子之间有空隙，横轴是类别；直方图的面积表示频率，柱子紧挨着，横轴是连续的数轴。
• 用直方图估计中位数和平均数，默认“每组的数据在组内均匀分布”或“集中在组中点”，结果只是估计值，和原始数据算出的值一般不同。
• 组距不相等时（偶见），高仍然是 $\dfrac{\text{频率}}{\text{组距}}$，要按各组自己的组距算。

证明

面积等于频率：由高的定义，面积 $= \text{组距} \times \dfrac{\text{频率}}{\text{组距}} = \text{频率}$；所有组的频率之和是 $\dfrac{\text{频数之和}}{\text{样本量}} = 1$，所以面积之和为 1。

为什么纵轴要用“频率/组距”：如果直接用频率当高，把一组拆成两组时，每组的频率变小，柱子会忽然变矮，图的形状取决于怎么分组。用“频率/组距”（单位长度上的频率）当高，面积才代表频率，组距不同的直方图也能比较形状。

平均数的估计：设共分 $k$ 组，第 $i$ 组的组中点为 $m_i$、频率为 $f_i$，样本量为 $n$，则这一组有 $n f_i$ 个数据。把这一组的每个数据都近似看成 $m_i$，样本平均数近似为

$$\bar{x} \approx \frac{1}{n}\left(m_1 \cdot n f_1 + m_2 \cdot n f_2 + \cdots + m_k \cdot n f_k\right) = m_1 f_1 + m_2 f_2 + \cdots + m_k f_k.$$

（关键一步：用组中点代替组内每个数据。组内数据大致对称地分布在中点两边时，偏大和偏小的部分相互抵消，误差不大。）

中位数的估计：中位数左边有一半的数据，即左边的频率是 0.5，也就是左边的面积是 0.5。设中位数 $x$ 落在组 $[a, b)$，这一组之前的面积是 $F$（$F < 0.5$），这一组内从 $a$ 到 $x$ 的面积是 $(x - a) \cdot h$（关键一步：假设组内数据均匀分布，面积和底边长度成正比）。由 $F + (x - a)h = 0.5$ 解出 $x = a + \dfrac{0.5 - F}{h}$。

例题

下面例 1 到例 3 用同一张图：随机抽取某校 100 名学生的某次测试成绩（满分 100 分，都不低于 40 分），分成 $[40, 50)$，$[50, 60)$，…，$[90, 100]$ 六组，画出频率分布直方图如下。

例 1　（场景：求直方图中未知的高）求 $a$，并求成绩在 $[70, 80)$ 内的学生人数。

解：组距为 10，所有小矩形面积之和为 1：

$$(0.010 + 0.015 + 0.015 + a + 0.025 + 0.005) \times 10 = 1,$$

即 $(0.070 + a) \times 10 = 1$，解得 $a = 0.030$。

$[70, 80)$ 的频率是 $0.030 \times 10 = 0.3$，人数为 $100 \times 0.3 = 30$。

容易卡在：忘了乘组距，列成 $0.010 + 0.015 + \cdots + a = 1$。

例 2　（场景：估计众数、中位数、平均数）估计这 100 名学生成绩的众数、中位数和平均数。

解：

众数：最高的矩形是 $[70, 80)$，众数估计为 $75$ 分。

中位数：从左往右累加各组频率：

组	$[40, 50)$	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$
频率	0.10	0.15	0.15	0.30
累计频率	0.10	0.25	0.40	0.70

到 70 为止累计 0.40，小于 0.5；到 80 为止累计 0.70，大于 0.5。所以中位数在 $[70, 80)$ 内，

$$\text{中位数} \approx 70 + \frac{0.5 - 0.40}{0.030} = 70 + \frac{10}{3} = \frac{220}{3} \approx 73.3 \text{（分）}.$$

平均数：组中点依次是 45, 55, 65, 75, 85, 95，频率依次是 0.10, 0.15, 0.15, 0.30, 0.25, 0.05：

$$\bar{x} \approx 45 \times 0.10 + 55 \times 0.15 + 65 \times 0.15 + 75 \times 0.30 + 85 \times 0.25 + 95 \times 0.05 = 71 \text{（分）}.$$

容易卡在：中位数公式里除的是高 0.030，而不是频率 0.3。用频率算会得到 $70 + \dfrac{0.1}{0.3}$，单位不对，结果只比 70 多一点点。

另一种解法：中位数也可以从右往左算。右边两组 $[80, 100]$ 的频率为 $0.25 + 0.05 = 0.30$，还差 $0.5 - 0.30 = 0.20$ 要从 $[70, 80)$ 的右边切下来，宽度为 $\dfrac{0.20}{0.030} = \dfrac{20}{3}$，所以中位数 $\approx 80 - \dfrac{20}{3} = \dfrac{220}{3}$。中位数靠近右端时，从右往左累加的组少，算得更快。

例 3　（场景：估计跨组范围的频率）估计成绩在 $[65, 85)$ 内的学生所占的比例。

解：$[65, 85)$ 由三段组成：

• $[65, 70)$ 是 $[60, 70)$ 的右半段，面积 $0.015 \times 5 = 0.075$；
• $[70, 80)$ 整组，面积 $0.3$；
• $[80, 85)$ 是 $[80, 90)$ 的左半段，面积 $0.025 \times 5 = 0.125$。

合计 $0.075 + 0.3 + 0.125 = 0.5$，约占 50%。

容易卡在：被切开的组不知道怎么算。按“组内均匀分布”，切下来的面积 = 高 × 切下来的宽度。

例 4　（场景：由频率分布表画直方图）随机调查某校 200 名学生每周课外阅读的时间（单位：小时），结果如下表。求每组小矩形的高，画出频率分布直方图。

时间	$[0, 2)$	$[2, 4)$	$[4, 6)$	$[6, 8)$	$[8, 10]$
人数	20	50	80	40	10

解：组距为 2。频率 = 人数 ÷ 200，高 = 频率 ÷ 2：

时间	$[0, 2)$	$[2, 4)$	$[4, 6)$	$[6, 8)$	$[8, 10]$
频率	0.10	0.25	0.40	0.20	0.05
高（频率/组距）	0.050	0.125	0.200	0.100	0.025

检验：频率之和 $0.10 + 0.25 + 0.40 + 0.20 + 0.05 = 1$。

容易卡在：组距是 2 而不是 1，高要再除以 2；直接把频率 0.40 画成高，面积之和就变成 2 了。

常用推论

• 所有小矩形的高之和 $= \dfrac{1}{\text{组距}}$（组距相等时）。由“面积之和 = 高之和 × 组距 = 1”得到，求未知的高时可以直接用。
• 某组的频数 = 样本量 × 高 × 组距。由“面积 = 频率”得到。
• 直方图大致对称时，平均数 ≈ 中位数 ≈ 众数；右边拖尾（向右偏）时，平均数 > 中位数；左边拖尾时，平均数 < 中位数。原因见 20.6 节“直观理解”。

易错点

• 错在哪：把纵轴的数值当成频率，比如说”$[70, 80)$ 的频率是 0.030”。 为什么错：纵轴是频率/组距，组距是 10，频率要乘回来，是 0.3。 正确做法：看到直方图先找组距，凡是求频率、频数都乘组距。
• 错在哪：用“最高矩形的高”当众数，或用“最高矩形的左端点”当众数。 为什么错：众数是数据的取值，在横轴上；最高的矩形只说明数据最集中在这一组，用组中点代表它。 正确做法：众数估计值 = 最高矩形底边中点的横坐标。
• 错在哪：估计平均数时把各组中点直接相加再除以组数。 为什么错：各组的人数不同，人多的组应该占更大的分量。 正确做法：每个组中点乘这一组的频率（面积），再相加。

直观理解

直方图像一排挤在一起的“沙堆”：沙子的总量是 1，每堆沙子的多少（面积）就是这一组的频率。众数是最高那堆的中间；中位数是能把沙子平分成左右两半的那条竖线；平均数是把这排沙堆放在一根杆上，能让它保持平衡的支点。

关联知识点

• 前置：20.2 抽样，直方图画的是样本数据。
• 后续：20.4 样本的数字特征，直方图给出的众数、中位数、平均数是估计值，原始数据才能算出准确值。
• 后续：20.5 百分位数，中位数的“按面积切”可以推广到任意百分位数。
• 后续：第 37 章正态分布。样本量很大、组距很小时，直方图的轮廓趋近于一条光滑曲线，正态曲线就是其中最重要的一种。
• 常一起考：第 21 章概率，用直方图中的频率估计概率，再算古典概型或独立事件的概率。

20.4 样本的数字特征

说明

设样本数据为 $x_1, x_2, \dots, x_n$。

描述集中趋势：

• 平均数：

$$\bar{x} = \frac{1}{n}(x_1 + x_2 + \cdots + x_n) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.$$

• 中位数：把数据从小到大排列，$n$ 为奇数时取正中间的一个数，$n$ 为偶数时取正中间两个数的平均数。
• 众数：出现次数最多的数（可以不止一个）。

描述离散程度：

• 极差：最大值减最小值。
• 方差：各数据与平均数之差的平方的平均数：

$$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{n}\left[(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \cdots + (x_n - \bar{x})^2\right].$$

• 标准差：方差的算术平方根，$s = \sqrt{s^2}$，单位和原数据相同。

方差的另一种写法（“平方的平均减平均的平方”）：

$$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \bar{x}^2.$$

数据变换后的数字特征：若 $y_i = a x_i + b$（$i = 1, 2, \dots, n$），则

$$\bar{y} = a\bar{x} + b, \qquad s_y^2 = a^2 s_x^2, \qquad s_y = |a| s_x.$$

中位数、众数也跟着变成 $a \cdot (\text{原来的值}) + b$。

分层随机抽样的样本平均数和方差（课标内容，照常掌握；见信息卡）：样本分两层，第一层 $m$ 个数据，平均数 $\bar{x}$、方差 $s_1^2$；第二层 $n$ 个数据，平均数 $\bar{y}$、方差 $s_2^2$。合起来的平均数 $\bar{w}$ 和方差 $s^2$ 为

$$\bar{w} = \frac{m\bar{x} + n\bar{y}}{m+n}, \qquad s^2 = \frac{1}{m+n}\left\{m\left[s_1^2 + (\bar{x} - \bar{w})^2\right] + n\left[s_2^2 + (\bar{y} - \bar{w})^2\right]\right\}.$$

使用场景

• 给出一组原始数据，求平均数、中位数、众数、方差：直接按定义算，数大时先减去一个“中间数”再算。
• 已知一组数据的平均数、方差，求变换后（如 $2x_i - 1$）的平均数、方差：题目出现“每个数据都乘以”“都加上”，用变换公式。
• 比较两组数据谁更稳定：题目问“谁的成绩更稳定”“选谁参赛”，先比平均数，平均数相近时比方差（或标准差）。
• 已知两层各自的平均数和方差，求合起来的平均数和方差：题目出现“男生……女生……全体”，用分层公式。
• 增加或删去数据后，判断数字特征怎么变：选择题常问“去掉一个最高分和一个最低分后，哪个量不变”，逐个分析。

注意点

• 求中位数之前必须先排序；数据个数是偶数时取中间两个的平均数。
• 课本的方差除以 $n$。计算器和 Excel 里的“样本方差”（如 STDEV.S、VAR.S）除以 $n - 1$，与课本不同；高考按课本，除以 $n$。
• 平均数受极端值影响大，中位数、众数不受影响。
• 方差的单位是原数据单位的平方，比较波动大小时用方差和标准差都可以，结论一样。
• 变换 $y = ax + b$ 中，加上的常数 $b$ 不改变方差，乘的系数 $a$ 让方差变成 $a^2$ 倍（不是 $a$ 倍）。

证明

结论 1：$\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x}) = 0$。 各数据与平均数的差加起来为零：

$$\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x}) = \sum_{i=1}^{n} x_i - n\bar{x} = n\bar{x} - n\bar{x} = 0.$$

结论 2：$s^2 = \dfrac{1}{n}\sum x_i^2 - \bar{x}^2$。 把平方展开：

$$\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 2\bar{x}\sum_{i=1}^{n} x_i + n\bar{x}^2 = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 2\bar{x} \cdot n\bar{x} + n\bar{x}^2 = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\bar{x}^2.$$

两边除以 $n$ 即得。（关键一步：$\sum x_i = n\bar{x}$，这是平均数的定义换个写法。）

结论 3：$y_i = a x_i + b$ 时，$\bar{y} = a\bar{x} + b$，$s_y^2 = a^2 s_x^2$。

$$\bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(a x_i + b) = a \cdot \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i + b = a\bar{x} + b.$$

于是 $y_i - \bar{y} = (a x_i + b) - (a\bar{x} + b) = a(x_i - \bar{x})$（关键一步：常数 $b$ 在作差时消掉了，所以加常数不改变波动），

$$s_y^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} a^2(x_i - \bar{x})^2 = a^2 s_x^2.$$

结论 4：分层的平均数和方差公式。

平均数：全部数据之和是 $m\bar{x} + n\bar{y}$，个数是 $m + n$，相除即得 $\bar{w}$。

方差：先看第一层。对第一层的每个数据 $x_i$，写 $x_i - \bar{w} = (x_i - \bar{x}) + (\bar{x} - \bar{w})$，平方后求和：

$$\sum_{i=1}^{m}(x_i - \bar{w})^2 = \sum_{i=1}^{m}(x_i - \bar{x})^2 + 2(\bar{x} - \bar{w})\sum_{i=1}^{m}(x_i - \bar{x}) + m(\bar{x} - \bar{w})^2.$$

（关键一步：由结论 1，中间一项的 $\sum(x_i - \bar{x}) = 0$，整项消失。）第一项是 $m s_1^2$，所以第一层的贡献是 $m\left[s_1^2 + (\bar{x} - \bar{w})^2\right]$。第二层同理是 $n\left[s_2^2 + (\bar{y} - \bar{w})^2\right]$。两层相加再除以 $m + n$ 即得 $s^2$。

例题

例 1　（场景：由原始数据求数字特征）求数据 $6, 7, 8, 8, 11$ 的平均数、中位数、众数和方差。

解：

• 平均数：$\bar{x} = \dfrac{6 + 7 + 8 + 8 + 11}{5} = \dfrac{40}{5} = 8$。
• 中位数：已从小到大排列，共 5 个，正中间是第 3 个，中位数为 8。
• 众数：8 出现两次，最多，众数为 8。
• 方差：

$$s^2 = \frac{(6-8)^2 + (7-8)^2 + (8-8)^2 + (8-8)^2 + (11-8)^2}{5} = \frac{4 + 1 + 0 + 0 + 9}{5} = \frac{14}{5} = 2.8.$$

另一种解法：用 $s^2 = \dfrac{1}{n}\sum x_i^2 - \bar{x}^2$：$\sum x_i^2 = 36 + 49 + 64 + 64 + 121 = 334$，$s^2 = \dfrac{334}{5} - 64 = 66.8 - 64 = 2.8$。平均数是整数、偏差好算时用定义；平均数是分数，或题目已给出 $\sum x_i^2$ 时用这个公式。

例 2　（场景：数据变换后的数字特征）已知数据 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 的平均数为 3，方差为 2。求数据 $2x_1 - 1, 2x_2 - 1, \dots, 2x_n - 1$ 的平均数、方差和标准差。

解：这是 $y = 2x - 1$，$a = 2$，$b = -1$。

• 平均数：$\bar{y} = 2 \times 3 - 1 = 5$；
• 方差：$s_y^2 = 2^2 \times 2 = 8$；
• 标准差：$s_y = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。

容易卡在：方差写成 $2 \times 2 - 1 = 3$，把平均数的变换规则套到方差上。

例 3　（场景：比较稳定性）甲、乙两名射击运动员各射击 5 次，成绩（环）如下：

甲：7, 8, 9, 8, 8；乙：6, 9, 8, 10, 7。

要选一人参加比赛，从成绩的稳定性看应选谁？

解：

$$\bar{x}_{\text{甲}} = \frac{7 + 8 + 9 + 8 + 8}{5} = 8, \qquad \bar{x}_{\text{乙}} = \frac{6 + 9 + 8 + 10 + 7}{5} = 8.$$

平均数相同，比较方差：

$$s_{\text{甲}}^2 = \frac{1 + 0 + 1 + 0 + 0}{5} = 0.4, \qquad s_{\text{乙}}^2 = \frac{4 + 1 + 0 + 4 + 1}{5} = 2.$$

$s_{\text{甲}}^2 < s_{\text{乙}}^2$，甲的成绩更稳定，应选甲。

另一种解法：画上面那样的点图，不用算就能看出甲的点更集中。选择题只问“谁更稳定”时，看图或看极差（甲 2，乙 4）就能判断；解答题要写出方差的计算过程。

例 4　（场景：分层求总体的平均数和方差；课标有，近年全国卷未见考查）某班男生 30 人，身高平均数 170 cm、方差 16；女生 20 人，身高平均数 160 cm、方差 20。求全班身高的平均数和方差。

解：平均数：

$$\bar{w} = \frac{30 \times 170 + 20 \times 160}{50} = \frac{5100 + 3200}{50} = 166 \text{（cm）}.$$

方差：男生 $\bar{x} - \bar{w} = 4$，女生 $\bar{y} - \bar{w} = -6$，

$$s^2 = \frac{30 \times (16 + 4^2) + 20 \times \left[20 + (-6)^2\right]}{50} = \frac{960 + 1120}{50} = 41.6.$$

容易卡在：把两层方差直接按人数加权平均，得 $\dfrac{30 \times 16 + 20 \times 20}{50} = 17.6$。这样漏掉了男女平均身高不同带来的波动，即 $(\bar{x} - \bar{w})^2$ 和 $(\bar{y} - \bar{w})^2$ 两项。

例 5　（场景：增加数据后数字特征的变化）例 1 的数据 $6, 7, 8, 8, 11$ 中再加入一个数 8，新数据的平均数、中位数、方差各是多少？和原来比哪些变了？

解：新数据 $6, 7, 8, 8, 8, 11$，共 6 个。

• 平均数：$\dfrac{40 + 8}{6} = 8$，不变。
• 中位数：第 3、4 个都是 8，中位数 8，不变。
• 方差：偏差的平方和仍是 $4 + 1 + 0 + 0 + 0 + 9 = 14$，但个数变成 6，$s^2 = \dfrac{14}{6} = \dfrac{7}{3}$，比原来的 2.8 小。

加入一个等于平均数的数据，平均数不变，偏差平方和不变，个数变多，所以方差变小。

常用推论

• 加入一个等于平均数的数据，平均数不变，方差变小；加入一个远离平均数的数据，方差通常变大。由方差的定义直接看出（见例 5）。
• 所有数据都加上同一个数，平均数、中位数、众数都加这个数，方差、标准差、极差不变。由本节证明结论 3（$a = 1$）得到。
• 所有数据都乘 $a$，方差变为 $a^2$ 倍，标准差变为 $|a|$ 倍。由本节证明结论 3（$b = 0$）得到。
• 方差为 0 当且仅当所有数据都相等。因为方差是若干个平方的平均数，平方都非负，和为 0 只能每一项都为 0。
• 去掉一个最大值和一个最小值后，中位数不变（数据个数至少 3 个时），平均数、方差、极差一般会变。去掉两端各一个数，排在正中间的那个（或那两个）数不变。

易错点

• 错在哪：求中位数时不排序，直接取原数据正中间的数。 为什么错：中位数是排序后位置在中间的数，原始顺序是随意的。 正确做法：先从小到大排好，再数位置；偶数个时取中间两个的平均数。
• 错在哪：$y = ax + b$ 时写 $s_y^2 = a s_x^2 + b$ 或 $s_y^2 = a^2 s_x^2 + b$。 为什么错：方差是偏差的平方的平均数，加常数 $b$ 时每个偏差不变；乘 $a$ 时每个偏差变 $a$ 倍，平方后变 $a^2$ 倍。 正确做法：记住“加不变，乘平方”。
• 错在哪：方差用计算器的 $n - 1$ 公式算，结果和答案对不上。 为什么错：课本和高考的方差除以 $n$。除以 $n - 1$ 的是大学统计里的“样本方差”，用来更准确地估计总体方差。 正确做法：按 $s^2 = \dfrac{1}{n}\sum(x_i - \bar{x})^2$ 算。

直观理解

平均数是“平衡点”：把每个数据当成数轴上一个相同的小砝码，平均数就是支点放在哪里能让数轴平衡，这正是 $\sum(x_i - \bar{x}) = 0$ 的意思。中位数是“站在正中间的人”，最边上的人走得再远，中间那个人也不变，所以中位数不怕极端值。

方差是“离平衡点平均有多远”的量度。平方是为了不让左边的负偏差和右边的正偏差互相抵消，开方得到的标准差把单位变回原来的单位。

关联知识点

• 前置：初中的平均数、中位数、众数、方差。
• 前置：20.3 频率分布直方图，分组数据只能估计数字特征。
• 后续：20.5 百分位数，中位数就是第 50 百分位数。
• 后续：第 36 章离散型随机变量的均值与方差，$E(aX + b) = aE(X) + b$、$D(aX + b) = a^2 D(X)$，和这里的变换公式一模一样。
• 后续：第 38 章成对数据的统计分析，相关系数和回归直线都用到 $\bar{x}$、$\bar{y}$ 和偏差的乘积和。

20.5 百分位数

说明

第 $p$ 百分位数（$0 < p < 100$）：一组数据的某个值，使得至少有 $p\%$ 的数据小于或等于它，并且至少有 $(100 - p)\%$ 的数据大于或等于它。

由原始数据计算第 $p$ 百分位数的步骤：

1. 把 $n$ 个数据从小到大排列：$x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n$。
2. 计算 $i = n \times p\%$。
3. 若 $i$ 不是整数，取大于 $i$ 的最小整数 $j$，第 $p$ 百分位数是第 $j$ 项 $x_j$；若 $i$ 是整数，第 $p$ 百分位数是 $\dfrac{x_i + x_{i+1}}{2}$。

四分位数：第 25、50、75 百分位数，分别叫第一四分位数（下四分位数）、第二四分位数（就是中位数）、第三四分位数（上四分位数）。

由频率分布直方图估计第 $p$ 百分位数：和估计中位数一样，找一条竖直线，使它左边的面积等于 $p\%$。设它落在组 $[a, b)$，这一组的高为 $h$，前面各组频率之和为 $F$，则

$$\text{第 } p \text{ 百分位数} \approx a + \frac{p\% - F}{h}.$$

使用场景

• 给出一组原始数据，求第 $p$ 百分位数或四分位数：题目出现“第 $p$ 百分位数”“四分位数”，按三步法算。
• 由频率分布直方图估计百分位数：题目给直方图并问“第 $p$ 百分位数”，按面积找竖直线。
• 已知某个百分位数，反求数据中的未知数：先按三步法确定是第几项，再列方程。
• 按比例划线（如“前 20% 评为优秀，优秀线定多少”）：前 20% 的分数线就是第 80 百分位数。

注意点

• 一定先排序，$i = n \times p\%$ 算的是“排好序后的位置”。
• $i$ 是整数时取第 $i$ 项和第 $i + 1$ 项的平均数，不是取第 $i$ 项。这是最常出错的一步。
• 第 50 百分位数用这个方法算出来就是中位数（$n$ 为奇数时 $i = \dfrac{n}{2}$ 不是整数，取第 $\dfrac{n+1}{2}$ 项；$n$ 为偶数时取中间两项平均），两者一致。
• 百分位数是数据的取值，和“百分之几”不是一回事：“某同学成绩在第 90 百分位数”意思是约 90% 的人不高于他，不是他得了 90 分。
• 不同教材、软件对百分位数的算法略有差别；高考按人教 A 版的这种算法。

证明

百分位数是定义，不需要证明。要说明的是：上面的三步法算出的值确实满足定义。

$i = np\%$ 不是整数时，取 $x_j$，$j$ 是大于 $i$ 的最小整数，于是 $i < j < i + 1$。

• 小于或等于 $x_j$ 的数据至少有 $x_1, \dots, x_j$ 这 $j$ 个，$j > i = n \cdot p\%$，所以至少占 $p\%$。
• 大于或等于 $x_j$ 的数据至少有 $x_j, \dots, x_n$ 这 $n - j + 1$ 个。（关键一步：由 $j < i + 1$ 得 $n - j + 1 > n - i = n(100 - p)\%$。）所以至少占 $(100 - p)\%$。

$i$ 是整数时，取 $\dfrac{x_i + x_{i+1}}{2}$，它在 $x_i$ 和 $x_{i+1}$ 之间。

• 小于或等于它的至少有 $x_1, \dots, x_i$ 这 $i = n \cdot p\%$ 个，正好占 $p\%$。
• 大于或等于它的至少有 $x_{i+1}, \dots, x_n$ 这 $n - i$ 个，正好占 $(100 - p)\%$。

这时 $x_i$ 到 $x_{i+1}$ 之间的任何数都满足定义，取两者的平均数是一种约定，和偶数个数据的中位数取中间两数平均是同一个做法。

由直方图估计百分位数的道理和 20.3 节估计中位数相同：左边面积等于 $p\%$，组内按均匀分布线性插值。

例题

例 1　（场景：由原始数据求百分位数）12 名同学一周的运动时间（小时）从小到大排列为：

2, 3, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15。

求这组数据的第 25、50、80 百分位数。

解：$n = 12$，数据已排序。

• 第 25 百分位数：$i = 12 \times 25\% = 3$，是整数，取第 3、4 项的平均数：$\dfrac{5 + 5}{2} = 5$。
• 第 50 百分位数：$i = 12 \times 50\% = 6$，是整数，取第 6、7 项的平均数：$\dfrac{7 + 8}{2} = 7.5$。
• 第 80 百分位数：$i = 12 \times 80\% = 9.6$，不是整数，取第 10 项：12。

容易卡在：$i = 9.6$ 时取成第 9 项（10）。要取“大于 $i$ 的最小整数”，即第 10 项。

例 2　（场景：由直方图估计百分位数）用 20.3 节例题中 100 名学生成绩的直方图（$a = 0.030$），估计成绩的第 25 百分位数和第 75 百分位数。

解：累计频率依次为：到 50 为 0.10，到 60 为 0.25，到 70 为 0.40，到 80 为 0.70，到 90 为 0.95。

• 第 25 百分位数：到 60 为止累计正好 0.25，所以第 25 百分位数约为 60 分。
• 第 75 百分位数：到 80 为止累计 0.70，到 90 为止累计 0.95，所以在 $[80, 90)$ 内：

$$80 + \frac{0.75 - 0.70}{0.025} = 80 + 2 = 82 \text{（分）}.$$

例 3　（场景：已知百分位数求未知数据）一组数据从小到大排列为 2, 4, 5, $x$, 8, 9, 11, 12，它的第 50 百分位数是 7，求 $x$。

解：$n = 8$，$i = 8 \times 50\% = 4$，是整数，第 50 百分位数是第 4、5 项的平均数：

$$\frac{x + 8}{2} = 7,$$

解得 $x = 6$。检验：$5 \le 6 \le 8$，排列顺序成立。

容易卡在：忘了检验 $x$ 是否满足“从小到大排列”的前提。

例 4　（场景：按比例划线）仍用 20.3 节的成绩直方图。学校要把成绩最高的 20% 的学生评为“优秀”，优秀线应定为多少分？

解：最高的 20% 以上，即分数线左边要有 80% 的学生，分数线就是第 80 百分位数。累计到 80 分为 0.70，到 90 分为 0.95，所以在 $[80, 90)$ 内：

$$80 + \frac{0.80 - 0.70}{0.025} = 80 + 4 = 84 \text{（分）}.$$

优秀线约定为 84 分。

另一种解法：从右往左算。$[90, 100]$ 的面积是 0.05，还差 $0.20 - 0.05 = 0.15$ 要从 $[80, 90)$ 的右边切，宽度为 $\dfrac{0.15}{0.025} = 6$，分数线约为 $90 - 6 = 84$ 分。求“前百分之几”这类靠右的百分位数时，从右往左累加的组更少。

常用推论

• 第 50 百分位数 = 中位数。由三步法和中位数的定义直接对照得到（见本节“注意点”）。
• “前 $q\%$“的分界线是第 $(100 - q)$ 百分位数，“后 $q\%$“的分界线是第 $q$ 百分位数。由百分位数的定义得到。
• 由直方图估计第 $p$ 百分位数：$a + \dfrac{p\% - F}{h}$，推导同 20.3 节中位数公式。

易错点

• 错在哪：$i$ 是整数时直接取第 $i$ 项。 为什么错：$i$ 是整数说明第 $i$ 项和第 $i + 1$ 项正好把数据分成 $p\%$ 和 $(100 - p)\%$ 两部分，课本约定取两者的平均数。 正确做法：$i$ 是整数取 $\dfrac{x_i + x_{i+1}}{2}$；不是整数取第 $\lceil i \rceil$ 项，$\lceil i \rceil$ 表示大于 $i$ 的最小整数。
• 错在哪：不排序就数位置。 为什么错：百分位数和中位数一样，是排好序后的位置。 正确做法：第一步永远是从小到大排列。
• 错在哪：把“前 20%“的分数线当成第 20 百分位数。 为什么错：第 20 百分位数左边是最低的 20%，是”后 20%“的线。 正确做法：先想清楚分数线左边有多少，再决定是第几百分位数。

直观理解

把全部数据从低到高排成一队，第 $p$ 百分位数就是站在“队伍的 $p\%$ 处”的那个人的数值。在直方图上，它是一条竖线，左边的面积占 $p\%$。中位数站在一半的地方；四分位数把队伍切成四段，每段四分之一。

关联知识点

• 前置：20.4 样本的数字特征，中位数是第 50 百分位数。
• 前置：20.3 频率分布直方图，按面积估计的方法和估计中位数相同。
• 后续：第 37 章正态分布，“数据在 $\mu + 2\sigma$ 以上约占 2.3%“一类说法，本质上也是在说百分位数。
• 常一起考：20.6 用样本估计总体，划定分数线、达标线就是在估计总体的百分位数。

20.6 用样本估计总体

说明

总体通常太大，没法逐个调查，于是用样本的情况去估计总体的情况：

样本的	估计总体的
频率分布（频率分布表、直方图）	总体的分布，即各范围内个体所占的比例
某范围内的频率	总体中落在这一范围的比例；乘总体个数得到人数（件数）
平均数、中位数、众数	总体的平均水平
方差、标准差、极差	总体的波动大小
百分位数	总体的百分位数

两个前提：

• 样本要有代表性：抽样必须随机（20.2 节），否则样本有偏差，估计没有意义。
• 样本量要足够大：一般来说，样本量越大，估计越准确。

估计只是近似：样本是随机的，换一个样本，估计值会变。估计值和总体真实值之间的差叫抽样误差，随机抽样可以让它在样本量增大时变小，但不能消除。

选用哪个数字特征代表平均水平：

• 数据分布大致对称、没有极端值：用平均数，它用到了全部数据。
• 有极端值或分布明显偏向一边（如收入、房价）：用中位数，它不受极端值影响。
• 关心“最多的是哪一种”（如鞋码、衣服尺码）：用众数。

使用场景

• 用样本中某范围的频率估计总体中这一范围的人数：题目出现“全校共 N 人，估计……的人数”，用 N × 频率。
• 用样本平均数估计总体的总量：题目出现“抽取若干个……估计全部的总产量（总重量）”，用总体个数 × 样本平均数。
• 判断一个估计是否可靠：题目描述了抽样方式，问“能否用来估计……”，看样本是否随机、是否有代表性。
• 选用合适的数字特征描述总体：题目问“用平均数还是中位数更合适”，看有没有极端值、分布是否偏斜。

注意点

• 估计的结果要写“约”“估计”，不能写成确定的事实。
• 用直方图的频率估计人数时，频率要乘组距（20.3 节）；切开的组按长度比例切面积。
• 样本只能估计它所代表的那个总体。用一所重点中学的样本估计全市学生，样本不代表全市，结论不可靠。
• 样本量大不能弥补抽样方式的偏差：一万份自愿填的网络问卷，代表性不一定比一百个随机抽取的人好。

证明

本知识点没有高中范围内的证明，因为“样本的频率和数字特征会接近总体的对应值”是一个概率论的极限结论。高中能懂的说明是：

• 从总体中随机抽一个个体，它落在某范围的概率，等于总体中这一范围个体所占的比例 $P$。
• 随机抽 $n$ 个，样本中落在这一范围的频率，就是这个事件在 $n$ 次试验中发生的频率。第 21 章会讲：试验次数越多，频率越稳定在概率附近。所以样本量越大，样本频率越接近 $P$。
• 平均数、方差也是一样：样本量越大，样本平均数越接近总体平均数。

严格证明要用大学概率论中的大数定律；“估计有多准”（误差范围、置信区间）要用大学数理统计中的抽样分布。

例题

例 1　（场景：用样本频率估计总体人数）20.3 节的 100 名学生是从全校 2000 名学生中随机抽取的。用那张直方图（$a = 0.030$）估计全校成绩不低于 75 分的学生人数。

解：样本中不低于 75 分的频率：

• $[75, 80)$ 是 $[70, 80)$ 的右半段，面积 $0.030 \times 5 = 0.15$；
• $[80, 90)$ 面积 $0.25$；$[90, 100]$ 面积 $0.05$。

合计 $0.15 + 0.25 + 0.05 = 0.45$。

估计全校不低于 75 分的学生约有 $2000 \times 0.45 = 900$ 人。

例 2　（场景：用样本平均数估计总量）某果园有 200 棵苹果树，随机选 10 棵，测得每棵的产量（kg）为：

42, 38, 45, 40, 36, 44, 41, 39, 43, 42。

估计这个果园苹果的总产量。

解：样本平均数

$$\bar{x} = \frac{42 + 38 + 45 + 40 + 36 + 44 + 41 + 39 + 43 + 42}{10} = \frac{410}{10} = 41 \text{（kg）}.$$

用样本平均数估计总体平均数，每棵约 41 kg，总产量约为 $200 \times 41 = 8200$ kg。

另一种解法：各数都减去 40，得 $2, -2, 5, 0, -4, 4, 1, -1, 3, 2$，和为 10，平均数为 $40 + \dfrac{10}{10} = 41$。数据都集中在某个整数附近时，先减去它再算，口算就够了（这是 20.4 节“加常数”规则的应用）。

例 3　（场景：判断估计是否可靠）为了解全市高中生每天的睡眠时间，有人在某重点中学的晚自习后随机询问了 300 名学生。能否用这 300 名学生的平均睡眠时间估计全市高中生的平均睡眠时间？说明理由。

解：不能。总体是全市高中生，但样本只来自一所重点中学，并且是上晚自习的学生。这所学校学生的作息和全市其他学校可能明显不同，没上晚自习的学生也被排除了。样本对全市高中生没有代表性，“随机询问”只在这所学校内部随机，不能弥补这一点。

合理的做法是按学校类型（或区县）分层，在各层中随机抽取学生。

容易卡在：看到“随机”“300 名”就认为可靠。先问样本是从哪个总体里抽的，再问是否随机。

例 4　（场景：选用合适的数字特征）某小公司 10 名员工的月工资（元）为：

5000, 5000, 6000, 6000, 6000, 7000, 7000, 8000, 9000, 50000，

其中 50000 是经理的工资。求平均数、中位数、众数，并说明用哪一个描述员工的一般工资水平更合适。

解：

• 平均数：$\dfrac{5000 \times 2 + 6000 \times 3 + 7000 \times 2 + 8000 + 9000 + 50000}{10} = \dfrac{109000}{10} = 10900$ 元。
• 中位数：数据已排序，共 10 个，第 5、6 个为 6000 和 7000，中位数为 $\dfrac{6000 + 7000}{2} = 6500$ 元。
• 众数：6000 出现 3 次，众数为 6000 元。

10 人中有 9 人的工资低于平均数 10900 元，平均数被经理的 50000 元拉高了，不能代表一般水平。用中位数 6500 元更合适。

常用推论

• 估计总体中某范围的个数 = 总体个数 × 样本中这一范围的频率。由“样本频率估计总体比例”直接得到。
• 估计总体总量 = 总体个数 × 样本平均数。由“样本平均数估计总体平均数”得到。
• 分布右偏（右边拖尾）时，平均数 > 中位数；左偏时，平均数 < 中位数。理由见本节“直观理解”。

易错点

• 错在哪：把估计值当作确定值，写“全校有 900 人不低于 75 分”。 为什么错：900 是用样本估计出来的，换一个样本结果会不同。 正确做法：写“估计约有 900 人”。
• 错在哪：认为样本量大就一定可靠。 为什么错：抽样方式有偏差时，样本再大也只是更准确地估计了一个错误的总体。 正确做法：先看抽样是否随机、样本是否覆盖了整个总体，再看样本量。
• 错在哪：有极端值时仍用平均数代表一般水平。 为什么错：平均数用到全部数据，一个极端值就能把它拉偏很多（例 4）。 正确做法：有极端值或分布明显偏斜时，用中位数。

直观理解

分布向右拖尾（少数很大的数据）时，平均数这个“平衡点”要往右挪才能平衡远处的数据，中位数只看排在中间的人，不受远处数据影响，于是平均数跑到中位数右边。收入、房价都是这种分布，所以新闻里说“中位数收入”比“平均收入”更接近普通人的感受。

用样本估计总体像通过一扇小窗户看房间：窗户开在随机的位置（随机抽样），开得越大（样本量越大），看到的越接近整个房间；但窗户只开在一个角落（样本有偏），开得再大也只能看到那个角落。

关联知识点

• 前置：20.2 抽样，估计可靠的前提是随机抽样。
• 前置：20.3 至 20.5，用到的频率、数字特征、百分位数都来自这几节。
• 后续：第 21 章概率，“用频率估计概率”和这里“用样本频率估计总体比例”是同一个道理。
• 后续：第 36 章离散型随机变量，常用样本频率作为概率，再求分布列和均值。
• 后续：第 38 章成对数据的统计分析，独立性检验和回归分析也是用样本推断总体。

20.7 知识点之间的关系

本章是一条“抽样 → 整理 → 概括 → 估计”的线：先用简单随机抽样或分层抽样取得样本（20.2）；再用频率分布表和直方图看出数据的形状（20.3）；用数字特征和百分位数把数据浓缩成几个数（20.4、20.5）；最后拿这些结果去估计总体并作决策（20.6）。

直方图和数字特征之间有两条桥：一是从直方图可以估计众数、中位数、平均数和百分位数，都是“按面积”或“按组中点”计算；二是中位数就是第 50 百分位数，两节的方法相同。

考试里的典型组合是：给一张直方图，先求未知的高（面积和为 1），再估计平均数或中位数，最后用频率估计概率或人数，接到第 21 章或第 36 章的概率计算。

20.8 自测

1. 某校高一 600 人、高二 500 人、高三 400 人，用分层随机抽样（比例分配）抽取 30 人，高二应抽多少人？
2. 一个容量为 50 的样本，频率分布直方图的组距为 5，其中某组小矩形的高为 0.04，这一组有多少个数据？
3. 求数据 $3, 4, 5, 6, 7$ 的方差，以及数据 $2 \times 3 + 1, 2 \times 4 + 1, \dots, 2 \times 7 + 1$ 的方差。
4. 一组数据的平均数是 10，方差是 4。把每个数据都加上 5，新数据的平均数和方差各是多少？
5. 求数据 $1, 2, 3, \dots, 10$ 的第 30 百分位数和第 75 百分位数。
6. 随机抽取 200 只灯泡，其中寿命不足 1000 小时的有 30 只。估计同批 5000 只灯泡中寿命不足 1000 小时的有多少只。

答案：1. 10 人；2. 10 个；3. 2，8；4. 平均数 15，方差 4；5. 3.5，8；6. 约 750 只。

20.9 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台 · 高中数学：教育部主办，有按人教版必修第二册第九章排列的统计同步课程和教材电子版。
• Khan Academy · Summarizing quantitative data：平均数、中位数、方差、标准差、四分位数和直方图的英文视频讲解，配练习题。
• Wolfram MathWorld · Percentile：百分位数的英文定义，可以看到不同教材和软件采用的几种算法。
• 维基百科 · 抽样：简单随机抽样、分层抽样等抽样方法的中文概述，以及抽样误差和偏差的区别。