第 28 章 · 直线的方程

项目	内容
课标主题	选择性必修 · 几何与代数 · 平面解析几何 · 直线与方程
人教 A 版	选择性必修第一册 第二章 2.1–2.3
考试地位	常考，但很少单独出大题。选择填空考斜率与倾斜角、平行垂直求参数、距离公式；更多时候是圆和圆锥曲线大题里的工具
前置知识	一次函数（初中）；正切的定义（第 11 章）；平面向量的坐标、共线和垂直的条件（第 15 章）

解析几何的思路是“用方程表示图形，用计算代替作图”，直线是第一个对象。这一章的公式不多，丢分几乎都丢在“适用条件”上：斜率可能不存在、截距式不能表示过原点的直线、平行要排除重合、距离公式要求方程先化成一般式。后面圆和圆锥曲线的大题，第一步往往就是“设直线方程”，这里的漏洞会一路带过去。

28.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
28.2 倾斜角与斜率	倾斜角 $\alpha \in [0°, 180°)$，斜率 $k = \tan\alpha$，竖直的直线没有斜率	常考，多为选择填空
28.3 直线方程的几种形式	点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，各有不能表示的直线	必考，是后面所有解析几何题的起点
28.4 两条直线的位置关系	平行看斜率相等且不重合，垂直看斜率乘积为 $-1$，交点解方程组	常考，平行垂直求参数、对称点
28.5 距离公式	两点间、点到直线、两平行线间的距离	必考，点到直线距离在圆和圆锥曲线里反复用

28.2 倾斜角与斜率

说明

倾斜角：直线 $l$ 与 $x$ 轴相交时，以交点为中心，把 $x$ 轴正方向绕交点逆时针旋转到与直线 $l$ 重合，所转过的最小正角 $\alpha$ 叫做直线 $l$ 的倾斜角。直线与 $x$ 轴平行或重合时，规定倾斜角为 $0°$。

倾斜角的范围是

$$0° \le \alpha < 180°.$$

斜率：倾斜角 $\alpha$ 不是 $90°$ 的直线，把 $\tan\alpha$ 叫做它的斜率，记作 $k$：

$$k = \tan\alpha \quad (\alpha \ne 90°).$$

倾斜角是 $90°$ 的直线（竖直的直线）没有斜率，也说“斜率不存在”。

两点斜率公式：直线经过 $P_1(x_1, y_1)$、$P_2(x_2, y_2)$，且 $x_1 \ne x_2$，则

$$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.$$

$x_1 = x_2$ 时直线竖直，斜率不存在。

倾斜角和斜率的对应：

倾斜角 $\alpha$	$0°$	$0° < \alpha < 90°$	$90°$	$90° < \alpha < 180°$
斜率 $k$	$0$	$k > 0$，$\alpha$ 越大 $k$ 越大	不存在	$k < 0$，$\alpha$ 越大 $k$ 越大
直线的样子	水平	从左往右上升	竖直	从左往右下降

方向向量：与直线平行的非零向量叫直线的方向向量。$\overrightarrow{P_1P_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$ 是一个方向向量；斜率为 $k$ 的直线，$(1, k)$ 是一个方向向量。

使用场景

• 已知直线上两点，求斜率或倾斜角：题目给两个点的坐标，先看横坐标是否相等，再代两点公式。
• 已知斜率的范围求倾斜角的范围，或反过来：题目出现“斜率的取值范围”“倾斜角的取值范围”，画 $k = \tan\alpha$ 在 $[0°, 180°)$ 上的图来读。
• 判断三点共线，或已知三点共线求参数：题目出现“三点共线”，用任意两对点的斜率相等。
• 直线过定点且与一条线段有公共点，求斜率范围：题目出现“直线 $l$ 过点 $P$ 且与线段 $AB$ 相交”，算 $k_{PA}$、$k_{PB}$，再看旋转时是否经过竖直位置。

注意点

• 每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率。设直线斜率为 $k$ 之前，先想竖直的直线要不要单独讨论。
• 倾斜角的范围是 $[0°, 180°)$，不含 $180°$，也不会是负角。
• $k = \tan\alpha$ 在整个 $[0°, 180°)$ 上不是单调的：在 $[0°, 90°)$ 上递增，在 $(90°, 180°)$ 上也递增，但跨过 $90°$ 时从 $+\infty$ 跳到 $-\infty$。由斜率范围求倾斜角范围必须分两段看。
• 两点公式里分子分母的顺序要一致：$\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ 和 $\dfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}$ 相等，但不能写成 $\dfrac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}$。

证明

两点斜率公式：设 $x_1 \ne x_2$。向量 $\overrightarrow{P_1P_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$ 与直线平行。

1. 若 $y_2 > y_1$，$\overrightarrow{P_1P_2}$ 指向直线的“上方”。把它的起点平移到原点，终点是 $(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，这个向量与 $x$ 轴正方向所成的角正好是倾斜角 $\alpha$。由三角函数的定义（第 11 章：角的终边上一点 $(x, y)$，$\tan\alpha = \dfrac{y}{x}$），得 $\tan\alpha = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
2. 若 $y_2 < y_1$，改用反方向的向量 $\overrightarrow{P_2P_1} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$，它指向上方，同理得 $\tan\alpha = \dfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}$。（关键一步：分子分母同时变号，比值不变，所以结果仍是 $\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。这一步说明公式和两点的先后顺序无关。）
3. 若 $y_2 = y_1$，直线水平，$\alpha = 0°$，$k = 0$，公式也给出 $0$。

竖直的直线没有斜率：$x_1 = x_2$ 时直线竖直，$\alpha = 90°$，$\tan 90°$ 无意义，公式的分母为 $0$，两边一致。

例题

例 1　（场景：已知两点求斜率和倾斜角）分别求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角：（1）$A(1, 2)$，$B(-2, 5)$；（2）$C(3, 1)$，$D(3, -4)$；（3）$E(-1, 2)$，$F(4, 2)$。

解：

（1）横坐标不等，$k = \dfrac{5 - 2}{-2 - 1} = \dfrac{3}{-3} = -1$。由 $\tan\alpha = -1$ 且 $0° \le \alpha < 180°$，得 $\alpha = 135°$。

（2）横坐标都是 3，直线是 $x = 3$，竖直，斜率不存在，倾斜角 $90°$。

（3）$k = \dfrac{2 - 2}{4 - (-1)} = 0$，倾斜角 $0°$。

容易卡在：（2）直接代公式得到”$\dfrac{-5}{0}$“，不知道怎么写。先看横坐标是否相等，相等就直接写”斜率不存在”。

例 2　（场景：由斜率范围求倾斜角范围）直线 $l$ 的斜率 $k \in [-1, \sqrt{3}]$，求倾斜角 $\alpha$ 的取值范围。

解：分 $k \ge 0$ 和 $k < 0$ 两段。

1. $0 \le k \le \sqrt{3}$：$\alpha$ 在 $[0°, 90°)$ 内，$\tan\alpha$ 递增，$\tan 0° = 0$，$\tan 60° = \sqrt{3}$，所以 $0° \le \alpha \le 60°$。
2. $-1 \le k < 0$：$\alpha$ 在 $(90°, 180°)$ 内，$\tan\alpha$ 递增，$\tan 135° = -1$，且 $\alpha$ 接近 $180°$ 时 $\tan\alpha$ 接近 0，所以 $135° \le \alpha < 180°$。

合起来，$\alpha \in [0°, 60°] \cup [135°, 180°)$。

容易卡在：直接写 $-45° \le \alpha \le 60°$。倾斜角不能为负，$k = -1$ 对应的是 $135°$。

例 3　（场景：三点共线求参数）已知 $A(1, 1)$、$B(3, 5)$、$C(a, 7)$ 三点共线，求 $a$。

解：$k_{AB} = \dfrac{5 - 1}{3 - 1} = 2$。直线 $AB$ 不竖直，所以 $C$ 不能和 $A$ 横坐标相同，即 $a \ne 1$，$k_{AC} = \dfrac{7 - 1}{a - 1} = \dfrac{6}{a - 1}$。三点共线即 $k_{AC} = k_{AB}$：

$$\frac{6}{a - 1} = 2,$$

得 $a = 4$。

另一种解法：用向量共线（第 15 章）。$\overrightarrow{AB} = (2, 4)$，$\overrightarrow{AC} = (a - 1, 6)$，共线的条件是 $2 \times 6 - 4(a - 1) = 0$，得 $a = 4$。斜率法直观，但要先说明斜率存在；向量法不用讨论斜率是否存在，参数可能让某条线竖直时用向量法更稳。

例 4　（场景：过定点的直线与线段相交求斜率范围）已知 $A(-2, 3)$、$B(3, 2)$，直线 $l$ 过点 $P(0, -1)$ 且与线段 $AB$ 有公共点，求 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围。

解：

$$k_{PA} = \frac{3 - (-1)}{-2 - 0} = -2, \qquad k_{PB} = \frac{2 - (-1)}{3 - 0} = 1.$$

让直线绕 $P$ 从 $PB$ 逆时针转到 $PA$，它扫过整条线段 $AB$。$A$ 在 $y$ 轴左侧、$B$ 在右侧，所以转动途中经过竖直位置 $x = 0$（这时斜率不存在，但直线确实与线段相交）。

• 从 $PB$ 转到竖直：倾斜角从 $45°$ 增到 $90°$，斜率从 $1$ 增到 $+\infty$，即 $k \ge 1$。
• 从竖直转到 $PA$：倾斜角从 $90°$ 增到 $PA$ 的倾斜角，斜率从 $-\infty$ 增到 $-2$，即 $k \le -2$。

所以 $k \in (-\infty, -2] \cup [1, +\infty)$。

容易卡在：直接写 $-2 \le k \le 1$。判断方法：看过 $P$ 的竖直线是否穿过线段 $AB$，穿过就取两边，不穿过才取中间。

另一种解法：设 $l: y = kx - 1$，即 $kx - y - 1 = 0$。线段 $AB$ 与 $l$ 有公共点，等价于 $A$、$B$ 在 $l$ 的两侧或在 $l$ 上，即把两点代入 $kx - y - 1$ 得到的值异号或有一个为 0：

$$(-2k - 3 - 1)(3k - 2 - 1) \le 0,$$

即 $(-2k - 4)(3k - 3) \le 0$，两边除以 $-6$ 得 $(k + 2)(k - 1) \ge 0$，所以 $k \le -2$ 或 $k \ge 1$。代入法不用画图判断转动方向，适合点的位置不好画准的题；画图法直观，能同时看出倾斜角的范围。（“代入值的正负表示点在直线哪一侧”的理由见 28.5 节直观理解。）

常用推论

• 三点 $A$、$B$、$C$ 共线 $\iff$ $k_{AB} = k_{AC}$（斜率都存在时）。推导：两条直线都过 $A$ 且斜率相同，就是同一条直线。斜率可能不存在时改用向量 $\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{AC}$。
• 直线在 $x$ 轴、$y$ 轴上的截距分别是 $a$、$b$（$a, b \ne 0$）时，$k = -\dfrac{b}{a}$。推导：直线过 $(a, 0)$ 和 $(0, b)$，代两点公式。
• 代数式 $\dfrac{y - b}{x - a}$ 表示点 $(x, y)$ 与定点 $(a, b)$ 连线的斜率。求这类式子的范围，可以化为求斜率的范围（数形结合），后面圆的章节常用。推导：就是两点斜率公式。

易错点

• 错在哪：认为每条直线都可以设成 $y = kx + b$。 为什么错：竖直的直线 $x = a$ 没有斜率，写不成这种形式。 正确做法：设斜率之前，先单独检验竖直的直线是否满足题意。
• 错在哪：由 $k \in [-1, \sqrt{3}]$ 写出 $\alpha \in [-45°, 60°]$。 为什么错：倾斜角在 $[0°, 180°)$ 内，$\tan\alpha$ 在这个范围内不单调，不能直接对端点取反正切。 正确做法：以 $90°$ 为界分两段，各自按递增关系对应端点。
• 错在哪：例 4 写成 $-2 \le k \le 1$。 为什么错：直线从 $PB$ 转到 $PA$ 时经过了竖直位置，斜率在那里从 $+\infty$ 跳到 $-\infty$，不是连续地从 1 变到 $-2$。 正确做法：看过 $P$ 的竖直线是否与线段相交；相交取“两端”，不相交取“中间”。

直观理解

斜率就是“坡度”：沿直线向右走 1 个单位，往上升多少。升得多，斜率大；往下降，斜率为负；水平，斜率为 0；竖直的墙，坡度无法用数表示，斜率不存在。倾斜角是这个坡与水平方向的夹角，从 $x$ 轴正向逆时针量。

一句话记法：“右一格，升 $k$ 格。”

关联知识点

• 前置：第 11 章三角函数的概念，$k = \tan\alpha$ 用的是正切的定义。
• 前置：第 15 章平面向量的坐标，方向向量和共线条件来自那里。
• 后续：28.3 直线方程的几种形式，点斜式、斜截式都以斜率为核心。
• 后续：第 24 章导数的几何意义，曲线在某点的切线斜率等于该点的导数。
• 常一起考：第 29 章圆，$\dfrac{y - b}{x - a}$ 型代数式的最值用斜率的几何意义。
• 常一起考：第 33 章直线与圆锥曲线，设直线时要讨论斜率是否存在。

28.3 直线方程的几种形式

说明

一条直线由“一个点加方向”或“两个点”确定。按已知条件的不同，直线方程有五种常用形式：

名称	方程	已知条件	不能表示的直线
点斜式	$y - y_0 = k(x - x_0)$	点 $(x_0, y_0)$，斜率 $k$	竖直的直线
斜截式	$y = kx + b$	斜率 $k$，$y$ 轴上的截距 $b$	竖直的直线
两点式	$\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}$	两点 $(x_1, y_1)$、$(x_2, y_2)$，$x_1 \ne x_2$，$y_1 \ne y_2$	竖直的、水平的直线
截距式	$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$	$x$ 轴上的截距 $a$，$y$ 轴上的截距 $b$，$a, b \ne 0$	竖直的、水平的、过原点的直线
一般式	$Ax + By + C = 0$	$A$、$B$ 不同时为 0	没有，能表示所有直线

截距：直线与 $x$ 轴交点的横坐标叫横截距（$x$ 轴上的截距），与 $y$ 轴交点的纵坐标叫纵截距（$y$ 轴上的截距）。截距是一个数，可以是正数、负数或 0，不是距离。

竖直和水平的直线：过点 $(x_0, y_0)$ 的竖直直线是 $x = x_0$，水平直线是 $y = y_0$。

一般式与斜率、截距：对 $Ax + By + C = 0$，

• $B \ne 0$ 时，化成 $y = -\dfrac{A}{B}x - \dfrac{C}{B}$，斜率 $-\dfrac{A}{B}$，纵截距 $-\dfrac{C}{B}$；
• $B = 0$ 时（此时 $A \ne 0$），方程是 $x = -\dfrac{C}{A}$，直线竖直。

法向量和方向向量：直线 $Ax + By + C = 0$ 的一个法向量（与直线垂直的非零向量）是 $\boldsymbol{n} = (A, B)$，一个方向向量是 $(B, -A)$。

使用场景

• 已知直线过一点和斜率（或倾斜角）：用点斜式。题目给“过点……，倾斜角为……“或”斜率为……“。
• 由方程的系数判断直线的位置（经过哪些象限）：化成斜截式，看斜率和纵截距的正负。
• 已知直线过两点：用两点式，或先算斜率再用点斜式。题目给两个点，包括三角形的顶点、中点。
• 条件涉及截距（截距相等、截距之和、与坐标轴围成的三角形）：用截距式，但必须另外考虑过原点的直线。
• 含参数的直线“不论参数取何值都过定点”：把一般式按参数整理成 $(\cdots) + m(\cdots) = 0$。

注意点

• 点斜式、斜截式不能表示竖直的直线。用它们“设直线”时，竖直的情况要另外讨论。
• 截距式要求 $a \ne 0$、$b \ne 0$，过原点的直线不能用截距式。“截距相等”的题最容易因此漏解。
• 两点式要求两点的横坐标、纵坐标都不相等，否则分母为 0。省事的做法是先算斜率再用点斜式，或者用变形 $(y - y_1)(x_2 - x_1) = (x - x_1)(y_2 - y_1)$，它对任意两个不同的点都成立。
• 一般式要求 $A$、$B$ 不同时为 0。最后的答案通常写成一般式，习惯上 $x$ 的系数为正，系数化成互质的整数。

证明

点斜式：设直线 $l$ 过 $P_0(x_0, y_0)$，斜率为 $k$。

• 若点 $P(x, y)$ 在 $l$ 上且 $P \ne P_0$，由两点斜率公式 $\dfrac{y - y_0}{x - x_0} = k$，即 $y - y_0 = k(x - x_0)$；$P_0$ 本身显然也满足这个方程。
• 反过来，若点 $(x_1, y_1)$ 满足 $y_1 - y_0 = k(x_1 - x_0)$：当 $x_1 = x_0$ 时得 $y_1 = y_0$，就是 $P_0$；当 $x_1 \ne x_0$ 时，它与 $P_0$ 连线的斜率是 $k$。（关键一步：过一个点、斜率给定的直线只有一条，所以这个点就在 $l$ 上。）

两个方向合起来，“点在直线上”和“坐标满足方程”完全等价，这才能说方程 $y - y_0 = k(x - x_0)$ 是直线 $l$ 的方程。

斜截式：点斜式中取 $P_0 = (0, b)$，得 $y - b = k(x - 0)$，即 $y = kx + b$。

两点式：由两点公式 $k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$，代入点斜式 $y - y_1 = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$，两边除以 $y_2 - y_1$（要求 $y_2 \ne y_1$），得

$$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}.$$

截距式：两点式中取 $(a, 0)$、$(0, b)$：

$$\frac{y - 0}{b - 0} = \frac{x - a}{0 - a},$$

即 $\dfrac{y}{b} = 1 - \dfrac{x}{a}$，移项得 $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$。

一般式能表示所有直线：

• 任一直线若有斜率，可写成 $y = kx + b$，即 $kx - y + b = 0$，是 $A = k$、$B = -1$、$C = b$ 的一般式；若没有斜率，可写成 $x = x_0$，即 $x - x_0 = 0$，是 $A = 1$、$B = 0$ 的一般式。
• 反过来，$Ax + By + C = 0$（$A$、$B$ 不同时为 0）：$B \ne 0$ 时它是斜截式 $y = -\dfrac{A}{B}x - \dfrac{C}{B}$，表示直线；$B = 0$ 时 $A \ne 0$，它是 $x = -\dfrac{C}{A}$，也表示直线。

法向量：在直线上任取两点 $P_1(x_1, y_1)$、$P_2(x_2, y_2)$，有 $Ax_1 + By_1 + C = 0$、$Ax_2 + By_2 + C = 0$，相减得 $A(x_2 - x_1) + B(y_2 - y_1) = 0$，即 $(A, B) \cdot \overrightarrow{P_1P_2} = 0$，所以 $(A, B)$ 与直线垂直。$(B, -A)$ 与 $(A, B)$ 的数量积为 $AB - BA = 0$，所以 $(B, -A)$ 沿直线方向。

例题

例 1　（场景：已知一点和倾斜角）求过点 $P(2, -3)$、倾斜角为 $135°$ 的直线方程；倾斜角改为 $90°$ 呢？

解：$k = \tan 135° = -1$。由点斜式

$$y - (-3) = -(x - 2),$$

即 $y + 3 = -x + 2$，整理成一般式 $x + y + 1 = 0$。

倾斜角为 $90°$ 时，直线竖直，方程为 $x = 2$。

例 2　（场景：由系数判断直线经过的象限）已知 $ab < 0$，$bc < 0$，直线 $ax + by + c = 0$ 不经过第几象限？

解：$b \ne 0$，化成斜截式：

$$y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}.$$

$ab < 0$ 说明 $a$、$b$ 异号，$\dfrac{a}{b} < 0$，所以斜率 $-\dfrac{a}{b} > 0$；$bc < 0$ 说明 $\dfrac{c}{b} < 0$，所以纵截距 $-\dfrac{c}{b} > 0$。

斜率为正、纵截距为正的直线从左下往右上走，与 $y$ 轴交在正半轴，经过第一、二、三象限，不经过第四象限。

另一种解法：取满足条件的特殊值 $a = 1$、$b = -1$、$c = 1$，直线是 $x - y + 1 = 0$，即 $y = x + 1$，画出来经过第一、二、三象限，不经过第四象限。选择题用特殊值最快；解答题要说理，用斜截式。

例 3　（场景：已知两点求直线）$\triangle ABC$ 的顶点 $A(-2, 1)$、$B(4, 3)$、$C(2, -3)$，求 $BC$ 边上的中线 $AM$ 所在直线的方程。

解：$BC$ 的中点 $M\left(\dfrac{4 + 2}{2}, \dfrac{3 + (-3)}{2}\right) = (3, 0)$。

直线过 $A(-2, 1)$ 和 $M(3, 0)$，两点的横、纵坐标都不相等，用两点式：

$$\frac{y - 1}{0 - 1} = \frac{x - (-2)}{3 - (-2)},$$

即 $\dfrac{y - 1}{-1} = \dfrac{x + 2}{5}$，交叉相乘得 $5(y - 1) = -(x + 2)$，整理得

$$x + 5y - 3 = 0.$$

检验：$A$ 代入 $-2 + 5 - 3 = 0$，$M$ 代入 $3 + 0 - 3 = 0$，都满足。

例 4　（场景：截距相等）求过点 $P(2, 3)$，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。

解：分两种情况。

1. 截距都为 0，即直线过原点。斜率 $k = \dfrac{3}{2}$，方程 $y = \dfrac{3}{2}x$，即 $3x - 2y = 0$。
2. 截距都不为 0，设为 $a$。由截距式 $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{a} = 1$，代入 $P$：$\dfrac{2}{a} + \dfrac{3}{a} = 1$，得 $a = 5$。方程为 $x + y - 5 = 0$。

所以直线方程为 $3x - 2y = 0$ 或 $x + y - 5 = 0$。

容易卡在：只做第 2 种情况。截距式不能表示过原点的直线，而过原点的直线两个截距都是 0，也“相等”。

例 5　（场景：含参数的直线过定点）求证：不论 $m$ 取何实数，直线 $(2m + 1)x + (m + 1)y - 7m - 4 = 0$ 都过一个定点，并求出这个点。

解：按 $m$ 整理：

$$m(2x + y - 7) + (x + y - 4) = 0.$$

（关键一步：要对所有 $m$ 都成立，$m$ 的系数和常数部分必须同时为 0。）解方程组

$$\begin{cases} 2x + y - 7 = 0, \\ x + y - 4 = 0, \end{cases}$$

两式相减得 $x = 3$，代回得 $y = 1$。点 $(3, 1)$ 使两个括号都为 0，所以不论 $m$ 取何值都满足方程，直线恒过定点 $(3, 1)$。

另一种解法：取两个特殊的 $m$。$m = 0$ 时直线为 $x + y - 4 = 0$；$m = -1$ 时直线为 $-x + 3 = 0$，即 $x = 3$。两直线交点为 $(3, 1)$，定点只能是它。再代回原方程：$(2m + 1) \cdot 3 + (m + 1) \cdot 1 - 7m - 4 = 6m + 3 + m + 1 - 7m - 4 = 0$，对所有 $m$ 成立。特殊值法适合选择填空，最快；分离参数法适合解答题，过程本身就是证明。

常用推论

• 一般式 $Ax + By + C = 0$：$B \ne 0$ 时斜率为 $-\dfrac{A}{B}$；$A \ne 0$ 时横截距为 $-\dfrac{C}{A}$；$B \ne 0$ 时纵截距为 $-\dfrac{C}{B}$。推导：分别令 $y = 0$、$x = 0$。
• 直线 $Ax + By + C = 0$ 的法向量 $(A, B)$，方向向量 $(B, -A)$。推导见本节“证明”。
• 截距相等的直线：过原点，或斜率为 $-1$（方程 $x + y = a$，$a \ne 0$）。推导见例 4。截距互为相反数的直线：过原点，或斜率为 $1$（方程 $x - y = a$，$a \ne 0$），同理。
• 直线系：过两条相交直线 $l_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$ 与 $l_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$ 交点的直线（$l_2$ 除外）都可以写成 $A_1x + B_1y + C_1 + \lambda(A_2x + B_2y + C_2) = 0$。推导：交点同时使两个括号为 0，所以满足这个方程；而这个方程是一次方程，表示直线。例 5 就是反着用这条。
• 设直线为 $x = my + t$：能表示除水平线外的所有直线（包括竖直的直线，此时 $m = 0$），斜率存在且不为 0 时 $m$ 是斜率的倒数。直线与圆锥曲线联立时，若直线可能竖直、不会水平，这样设可以省去讨论。

易错点

• 错在哪：用点斜式 $y - y_0 = k(x - x_0)$ 设直线后直接计算，最后漏掉竖直的直线。 为什么错：点斜式表示不了 $x = x_0$，而它可能正好满足题意。 正确做法：设点斜式之前或之后，把 $x = x_0$ 单独代进题目检验一次。
• 错在哪：例 4 只用截距式，漏掉过原点的直线。 为什么错：截距式要求截距不为 0，过原点的直线两个截距都是 0，被排除在外。 正确做法：截距类问题先问“截距能否为 0”，能的话单独算。
• 错在哪：说直线 $x - y - 3 = 0$ 在 $y$ 轴上的截距是 3。 为什么错：令 $x = 0$ 得 $y = -3$，截距是 $-3$。截距是坐标，有正负，不是长度。 正确做法：截距一律通过“令另一个变量为 0”求，保留符号；要长度时再取绝对值。

直观理解

五种形式只是“用什么条件确定一条直线”的五种说法：一个点加坡度（点斜式），坡度加与 $y$ 轴的交点（斜截式），两个点（两点式），与两轴的交点（截距式），以及能装下所有情况的通用写法（一般式）。做题时按题目给的条件选形式，最后统一化成一般式。

一般式里 $(A, B)$ 是直线的“朝向”（法向量），$C$ 只管把直线平移：$A$、$B$ 不变而 $C$ 变化，得到一族互相平行的直线。

关联知识点

• 前置：28.2 倾斜角与斜率，点斜式和斜截式都用到斜率。
• 前置：第 15 章平面向量的数量积，法向量的推导用的是“数量积为 0 即垂直”。
• 后续：28.4 两条直线的位置关系，用一般式的系数判断平行和垂直。
• 后续：28.5 距离公式，点到直线距离公式要求方程是一般式。
• 后续：第 24 章导数，切线方程用点斜式 $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$ 写出。
• 常一起考：第 33 章直线与圆锥曲线，第一步“设直线方程”要选形式并讨论斜率是否存在。
• 类比：第 27 章用空间向量解立体几何，平面的法向量和这里直线的法向量是同一个思路。

28.4 两条直线的位置关系

说明

平面内两条直线的位置关系有三种：平行、重合、相交（垂直是相交的特殊情况）。

用斜率判断（$l_1: y = k_1x + b_1$，$l_2: y = k_2x + b_2$，斜率都存在）：

• $l_1 \parallel l_2 \iff k_1 = k_2$ 且 $b_1 \ne b_2$；
• $l_1 \perp l_2 \iff k_1k_2 = -1$。

斜率不存在的情况单独看：两条都竖直且不重合，则平行；一条竖直、另一条水平（斜率为 0），则垂直。

用一般式判断（$l_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$，$l_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$）：

位置关系	条件
相交	$A_1B_2 - A_2B_1 \ne 0$
平行	$A_1B_2 - A_2B_1 = 0$，且两直线不重合（代入检验，或看 $A_1C_2 - A_2C_1$、$B_1C_2 - B_2C_1$ 不全为 0）
重合	$A_1B_2 - A_2B_1 = 0$，$A_1C_2 - A_2C_1 = 0$，$B_1C_2 - B_2C_1 = 0$
垂直	$A_1A_2 + B_1B_2 = 0$

一般式的条件不用讨论斜率是否存在，含参数时更方便。

交点：两条直线的交点坐标就是方程组

$$\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1 = 0, \\ A_2x + B_2y + C_2 = 0 \end{cases}$$

的解。方程组有唯一解时相交，无解时平行，有无穷多解时重合。

使用场景

• 已知两直线平行或垂直，求参数：直线带参数，题目说“平行”“垂直”，用一般式的系数条件，平行时代回检验是否重合。
• 求过某点且与已知直线平行或垂直的直线：设成与已知直线系数相关的形式，再代点。
• 求两直线的交点，或三条直线交于一点：解方程组，再把交点代入第三条直线。
• 点关于直线的对称点、光线反射、“直线上找一点使距离和最小”：利用“连线垂直于对称轴、中点在对称轴上”两个条件。

注意点

• 用 $k_1 = k_2$ 判断平行、用 $k_1k_2 = -1$ 判断垂直，前提是斜率都存在。含参数时参数可能让直线竖直，要单独讨论，或者改用一般式条件。
• $A_1B_2 = A_2B_1$ 只说明“平行或重合”，求平行的参数后必须代回检验是否重合。
• 垂直条件 $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$ 包含了所有情况，不会漏解，也不用检验。
• 求对称点时两个条件缺一不可：只用中点在对称轴上，得不出唯一的点；只用垂直，只能确定一条直线。

证明

斜率相等与平行：设 $l_1$、$l_2$ 的斜率都存在，倾斜角为 $\alpha_1$、$\alpha_2$。

• 若 $l_1 \parallel l_2$，它们与 $x$ 轴所成的同位角相等，所以 $\alpha_1 = \alpha_2$，$k_1 = \tan\alpha_1 = \tan\alpha_2 = k_2$。
• 反过来，若 $k_1 = k_2$：$\tan\alpha$ 在 $[0°, 90°)$ 上取非负值、在 $(90°, 180°)$ 上取负值，且在两段上各自递增，所以每个斜率值只对应一个倾斜角，$\alpha_1 = \alpha_2$。同位角相等，两直线平行或重合；再由 $b_1 \ne b_2$ 排除重合。

斜率乘积为 $-1$ 与垂直：$l_1$、$l_2$ 的方向向量分别取 $(1, k_1)$、$(1, k_2)$。（关键一步：两条直线垂直，等价于它们的方向向量垂直。）由数量积的坐标公式（第 15 章），

$$l_1 \perp l_2 \iff (1, k_1) \cdot (1, k_2) = 0 \iff 1 + k_1k_2 = 0 \iff k_1k_2 = -1.$$

一般式的条件：$l_1$、$l_2$ 的法向量是 $\boldsymbol{n}_1 = (A_1, B_1)$、$\boldsymbol{n}_2 = (A_2, B_2)$（28.3 节）。

• 两直线垂直 $\iff$ 法向量垂直 $\iff$ $\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2 = A_1A_2 + B_1B_2 = 0$。
• 两直线平行或重合 $\iff$ 法向量共线 $\iff$ $A_1B_2 - A_2B_1 = 0$（向量共线的坐标条件，第 15 章）。

交点与方程组：交点在两条直线上，坐标同时满足两个方程；反过来，同时满足两个方程的点在两条直线上。所以交点和方程组的解一一对应。

例题

例 1　（场景：已知平行或垂直求参数）已知 $l_1: ax + 2y + 6 = 0$，$l_2: x + (a - 1)y + a^2 - 1 = 0$。（1）若 $l_1 \parallel l_2$，求 $a$；（2）若 $l_1 \perp l_2$，求 $a$。

解：

（1）由 $A_1B_2 - A_2B_1 = 0$：

$$a(a - 1) - 2 \times 1 = 0,$$

即 $a^2 - a - 2 = 0$，得 $a = 2$ 或 $a = -1$。逐个检验是否重合：

• $a = 2$：$l_1: 2x + 2y + 6 = 0$，即 $x + y + 3 = 0$；$l_2: x + y + 3 = 0$。两直线重合，舍去。
• $a = -1$：$l_1: -x + 2y + 6 = 0$，即 $x - 2y - 6 = 0$；$l_2: x - 2y + 0 = 0$，即 $x - 2y = 0$。$x$、$y$ 的系数相同而常数项不同，平行。

所以 $a = -1$。

（2）由 $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$：

$$a \times 1 + 2(a - 1) = 0,$$

得 $a = \dfrac{2}{3}$。

容易卡在：（1）解出 $a = 2$ 或 $a = -1$ 就作答，没有检验重合。

例 2　（场景：求过点且平行或垂直的直线）已知直线 $l: 3x - 4y + 5 = 0$ 和点 $P(2, -1)$，求过 $P$ 且（1）与 $l$ 平行，（2）与 $l$ 垂直的直线方程。

解：

（1）与 $l$ 平行的直线法向量也是 $(3, -4)$，设为 $3x - 4y + m = 0$。代入 $P$：$6 + 4 + m = 0$，$m = -10$。所求直线为 $3x - 4y - 10 = 0$。（$m \ne 5$，确实与 $l$ 不重合。）

（2）与 $l$ 垂直的直线，法向量取 $l$ 的方向向量 $(4, 3)$，设为 $4x + 3y + m = 0$。代入 $P$：$8 - 3 + m = 0$，$m = -5$。所求直线为 $4x + 3y - 5 = 0$。

例 3　（场景：求交点、三线共点）求直线 $l_1: x + y - 3 = 0$ 与 $l_2: 2x - y = 0$ 的交点；若直线 $l_3: ax + 2y + 1 = 0$ 也经过这个交点，求 $a$。

解：解方程组

$$\begin{cases} x + y - 3 = 0, \\ 2x - y = 0, \end{cases}$$

两式相加得 $3x - 3 = 0$，$x = 1$，代回得 $y = 2$。交点为 $(1, 2)$。

$l_3$ 过 $(1, 2)$：$a + 4 + 1 = 0$，得 $a = -5$。

例 4　（场景：对称点与距离和最小）已知直线 $l: x - 2y + 1 = 0$，点 $P(2, 4)$，$Q(1, 3)$。（1）求 $P$ 关于 $l$ 的对称点 $P'$；（2）在 $l$ 上求一点 $M$，使 $|MP| + |MQ|$ 最小，并求最小值。

解：

（1）设 $P'(m, n)$。两个条件：

• $PP' \perp l$：$l$ 的斜率为 $\dfrac{1}{2}$，所以 $\dfrac{n - 4}{m - 2} = -2$；
• $PP'$ 的中点 $\left(\dfrac{m + 2}{2}, \dfrac{n + 4}{2}\right)$ 在 $l$ 上：$\dfrac{m + 2}{2} - 2 \cdot \dfrac{n + 4}{2} + 1 = 0$。

整理得

$$\begin{cases} 2m + n - 8 = 0, \\ m - 2n - 4 = 0. \end{cases}$$

由第一式 $n = 8 - 2m$，代入第二式 $m - 16 + 4m - 4 = 0$，$m = 4$，$n = 0$。所以 $P'(4, 0)$。

（2）把 $P$、$Q$ 代入 $x - 2y + 1$：$P$ 得 $2 - 8 + 1 = -5$，$Q$ 得 $1 - 6 + 1 = -4$，同号，$P$、$Q$ 在 $l$ 的同侧。

$M$ 在 $l$ 上，所以 $|MP| = |MP'|$，于是 $|MP| + |MQ| = |MP'| + |MQ| \ge |P'Q|$，当 $M$ 是线段 $P'Q$ 与 $l$ 的交点时取等号。

$$|P'Q| = \sqrt{(4 - 1)^2 + (0 - 3)^2} = 3\sqrt{2}.$$

直线 $P'Q$ 的斜率 $\dfrac{3 - 0}{1 - 4} = -1$，方程 $y = -(x - 4)$，即 $x + y - 4 = 0$。与 $l$ 联立，两式相减得 $3y - 5 = 0$，$y = \dfrac{5}{3}$，$x = \dfrac{7}{3}$。

所以 $M\left(\dfrac{7}{3}, \dfrac{5}{3}\right)$，最小值为 $3\sqrt{2}$。

容易卡在：（2）没有判断 $P$、$Q$ 在同侧还是异侧。异侧时直接连 $PQ$，与 $l$ 的交点就是 $M$，不用对称。

常用推论

• 与 $Ax + By + C = 0$ 平行的直线可设为 $Ax + By + m = 0$（$m \ne C$）；垂直的直线可设为 $Bx - Ay + m = 0$。推导：平行则法向量相同；垂直则法向量取原直线的方向向量 $(B, -A)$。
• 点 $P(x_0, y_0)$ 关于直线 $Ax + By + C = 0$ 的对称点：横坐标 $x_0 - \dfrac{2A(Ax_0 + By_0 + C)}{A^2 + B^2}$，纵坐标 $y_0 - \dfrac{2B(Ax_0 + By_0 + C)}{A^2 + B^2}$。推导：$PP'$ 沿法向量方向，设 $P' = (x_0 + tA, y_0 + tB)$；中点 $\left(x_0 + \dfrac{tA}{2}, y_0 + \dfrac{tB}{2}\right)$ 代入直线方程，解得 $t = -\dfrac{2(Ax_0 + By_0 + C)}{A^2 + B^2}$。选择填空可以直接用，解答题按例 4 列方程组。
• 几条特殊的对称：点 $(x, y)$ 关于 $x$ 轴对称为 $(x, -y)$，关于 $y$ 轴为 $(-x, y)$，关于原点为 $(-x, -y)$，关于直线 $y = x$ 为 $(y, x)$，关于直线 $y = -x$ 为 $(-y, -x)$。推导：代入上一条公式，或直接画图。
• 直线关于一个点的对称直线与原直线平行（或重合）；求法是在原直线上取一点求它的对称点，再用平行直线的设法。推导：中心对称把每条线段变成与它平行且等长的线段。

易错点

• 错在哪：例 1（1）给出 $a = 2$ 或 $a = -1$ 两个答案。 为什么错：$A_1B_2 = A_2B_1$ 只保证法向量共线，$a = 2$ 时两条直线是同一条，不叫平行。 正确做法：求出参数后代回两条直线，排除重合的情况。
• 错在哪：判断 $l_1: x + ay - 1 = 0$ 与 $l_2: ax - y + 2 = 0$ 是否垂直，写”$k_1 = -\dfrac{1}{a}$，$k_2 = a$，$k_1k_2 = -1$，所以总垂直”。 为什么错：$a = 0$ 时 $l_1$ 是竖直线 $x = 1$，没有斜率，$-\dfrac{1}{a}$ 无意义。此时 $l_2$ 是 $y = 2$，两者碰巧也垂直，结论对了，过程却漏了一种情况。 正确做法：用 $A_1A_2 + B_1B_2 = 1 \cdot a + a \cdot (-1) = 0$，一步说明对所有 $a$ 都垂直，不用分类。
• 错在哪：求对称点只列“中点在直线上”一个方程。 为什么错：两个未知数需要两个方程，只用中点条件得不出唯一解。 正确做法：同时列“连线垂直于对称轴”和“中点在对称轴上”。

直观理解

平行就是“朝向相同、位置不同”：法向量共线，常数项把它们分开。垂直就是“朝向互相垂直”：法向量的数量积为 0。

斜率的垂直条件 $k_1k_2 = -1$ 可以这样看：把一条“右走 1、上升 $k$“的直线绕交点逆时针转 $90°$，就变成”上升 1、左走 $k$“，新斜率是 $\dfrac{1}{-k} = -\dfrac{1}{k}$，两斜率乘积是 $-1$。

对称点可以想成照镜子：对称轴是镜面，物和像的连线垂直于镜面，镜面正好在中间。光线反射、“将军饮马”求最短路径都是这一个模型。

关联知识点

• 前置：28.2 倾斜角与斜率、28.3 一般式和法向量。
• 前置：第 15 章平面向量，垂直和共线的坐标条件是这里一般式条件的来源。
• 后续：28.5 距离公式，两平行线间的距离要先判断平行。
• 后续：第 29 章圆，圆的切线与过切点的半径垂直，弦的垂直平分线过圆心。
• 常一起考：第 33 章直线与圆锥曲线，“以 $AB$ 为直径的圆过原点”要转化为 $OA \perp OB$。

28.5 距离公式

说明

两点间的距离：$P_1(x_1, y_1)$、$P_2(x_2, y_2)$ 之间的距离

$$|P_1P_2| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.$$

特别地，点 $P(x, y)$ 到原点的距离 $|OP| = \sqrt{x^2 + y^2}$。

点到直线的距离：点 $P(x_0, y_0)$ 到直线 $l: Ax + By + C = 0$ 的距离（$P$ 到 $l$ 的垂线段的长）

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.$$

两平行线间的距离：$l_1: Ax + By + C_1 = 0$ 与 $l_2: Ax + By + C_2 = 0$（$C_1 \ne C_2$）之间的距离

$$d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.$$

使用前要把两个方程中 $x$、$y$ 的系数化成完全相同。

中点坐标：线段 $P_1P_2$ 的中点为 $\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)$。

使用场景

• 已知三角形顶点坐标，求边长或判断三角形形状：用两点间距离公式算三边，再比较。
• 求三角形的高或面积：底边用两点间距离，高用顶点到底边所在直线的距离。
• 已知点到直线的距离，求直线方程或参数：设直线方程，用点到直线距离公式列方程，注意斜率不存在的情况。
• 求两平行线间的距离，或已知距离求平行线：先把两条直线的 $x$、$y$ 系数化成一样。
• 动点在直线上，求它到定点距离（或距离平方）的最小值：最小值就是定点到直线的距离。

注意点

• 点到直线距离公式要求直线是一般式。$y = 2x + 1$ 要先化成 $2x - y + 1 = 0$。
• 分子有绝对值，分母是 $\sqrt{A^2 + B^2}$，不是 $A^2 + B^2$。
• 两平行线距离公式要求 $x$、$y$ 的系数相同：$3x + 4y - 2 = 0$ 与 $6x + 8y + 1 = 0$ 要先把第二条化成 $3x + 4y + \dfrac{1}{2} = 0$。
• 已知距离求直线时，若用点斜式设直线，要另外检验竖直的直线。
• 点到竖直线 $x = a$ 的距离是 $|x_0 - a|$，到水平线 $y = b$ 的距离是 $|y_0 - b|$，不用套公式。

证明

两点间距离：过 $P_1$ 作水平线，过 $P_2$ 作竖直线，交于 $Q(x_2, y_1)$。$\triangle P_1QP_2$ 是直角三角形，两直角边长 $|x_2 - x_1|$、$|y_2 - y_1|$，由勾股定理得公式。（$P_1$、$P_2$ 在同一水平线或竖直线上时，距离直接是 $|x_2 - x_1|$ 或 $|y_2 - y_1|$，公式同样成立。）也可以看成向量 $\overrightarrow{P_1P_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$ 的模。

点到直线距离（向量投影法）：直线 $l$ 的法向量 $\boldsymbol{n} = (A, B)$。在 $l$ 上任取一点 $Q(x_1, y_1)$，设 $P$ 到 $l$ 的垂足为 $H$。

$\overrightarrow{QP} = \overrightarrow{QH} + \overrightarrow{HP}$，其中 $\overrightarrow{QH}$ 沿直线方向、与 $\boldsymbol{n}$ 垂直，$\overrightarrow{HP}$ 与 $\boldsymbol{n}$ 共线。所以 $\overrightarrow{QP} \cdot \boldsymbol{n} = \overrightarrow{HP} \cdot \boldsymbol{n}$，其绝对值等于 $|\overrightarrow{HP}||\boldsymbol{n}|$，于是

$$d = |\overrightarrow{HP}| = \frac{|\overrightarrow{QP} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}$$

（这就是第 15 章投影向量的长度）。计算分子：

$$\overrightarrow{QP} \cdot \boldsymbol{n} = A(x_0 - x_1) + B(y_0 - y_1) = Ax_0 + By_0 - (Ax_1 + By_1).$$

（关键一步：$Q$ 在 $l$ 上，所以 $Ax_1 + By_1 + C = 0$，即 $Ax_1 + By_1 = -C$。代入后 $Q$ 的坐标完全消失，结果与 $Q$ 取在哪里无关。）于是 $\overrightarrow{QP} \cdot \boldsymbol{n} = Ax_0 + By_0 + C$，而 $|\boldsymbol{n}| = \sqrt{A^2 + B^2}$，得

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.$$

这个推导不需要讨论 $A$ 或 $B$ 是否为 0。另一种推法是先求垂足 $H$ 的坐标（解垂线与 $l$ 的方程组），再用两点间距离，思路直接但计算量大。

两平行线间距离：在 $l_1$ 上任取一点 $(x_0, y_0)$，则 $Ax_0 + By_0 = -C_1$。两平行线间的距离就是这个点到 $l_2$ 的距离：

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.$$

例题

例 1　（场景：求边长、判断三角形形状）已知 $A(1, 2)$、$B(4, 6)$、$C(-3, 5)$，判断 $\triangle ABC$ 的形状。

解：

$$|AB| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5, \quad |AC| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = 5, \quad |BC| = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2} = 5\sqrt{2}.$$

$|AB| = |AC|$，且 $|AB|^2 + |AC|^2 = 25 + 25 = 50 = |BC|^2$，所以 $\triangle ABC$ 是以 $A$ 为直角顶点的等腰直角三角形。

例 2　（场景：求三角形的面积）已知 $A(1, 3)$、$B(3, 1)$、$C(-1, 0)$，求 $\triangle ABC$ 的面积。

解：以 $AB$ 为底。$|AB| = \sqrt{(3 - 1)^2 + (1 - 3)^2} = 2\sqrt{2}$。

直线 $AB$ 的斜率 $\dfrac{1 - 3}{3 - 1} = -1$，方程 $y - 3 = -(x - 1)$，即 $x + y - 4 = 0$。

高 $h$ 是 $C$ 到 $AB$ 的距离：

$$h = \frac{|-1 + 0 - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}.$$

面积 $S = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times \dfrac{5}{\sqrt{2}} = 5$。

另一种解法：用向量。$\overrightarrow{AB} = (2, -2)$，$\overrightarrow{AC} = (-2, -3)$，面积 $S = \dfrac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1| = \dfrac{1}{2}|2 \times (-3) - (-2) \times (-2)| = \dfrac{1}{2} \times 10 = 5$（公式推导见本节“常用推论”）。只求面积时向量公式最快；题目同时要求高或边所在直线方程时，用“底乘高”顺便把中间量都算出来。

例 3　（场景：已知距离求直线）求过点 $P(1, 2)$，且与原点的距离为 1 的直线方程。

解：

1. 斜率不存在：直线 $x = 1$，原点到它的距离为 1，符合。
2. 斜率存在：设 $y - 2 = k(x - 1)$，即 $kx - y + 2 - k = 0$。原点到它的距离 $\dfrac{|2 - k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 1$，两边平方：$(2 - k)^2 = k^2 + 1$，即 $4 - 4k + k^2 = k^2 + 1$，$k = \dfrac{3}{4}$。直线为 $\dfrac{3}{4}x - y + \dfrac{5}{4} = 0$，即 $3x - 4y + 5 = 0$。

所以所求直线为 $x = 1$ 或 $3x - 4y + 5 = 0$。

容易卡在：漏掉 $x = 1$。信号是：平方后 $k^2$ 消掉了，只解出一个 $k$。这道题其实是过 $P$ 作单位圆的切线（第 29 章），圆外一点本该有两条切线，少一条说明另一条是竖直的。

例 4　（场景：两平行线间的距离）求两平行线 $l_1: 3x + 4y - 2 = 0$ 与 $l_2: 6x + 8y + 1 = 0$ 之间的距离。

解：把 $l_2$ 两边除以 2，化成与 $l_1$ 系数相同：$3x + 4y + \dfrac{1}{2} = 0$。

$$d = \frac{\left|-2 - \frac{1}{2}\right|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{5}{2} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{2}.$$

容易卡在：不化系数，直接算 $\dfrac{|-2 - 1|}{5} = \dfrac{3}{5}$，这是错的。

例 5　（场景：直线上动点到定点距离的最值）点 $P(x, y)$ 在直线 $x + y - 4 = 0$ 上运动，求 $x^2 + y^2$ 的最小值。

解：$x^2 + y^2 = |OP|^2$，是 $P$ 到原点距离的平方。直线上的点到原点的距离，最小是原点到直线的距离（垂线段最短）：

$$d = \frac{|0 + 0 - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = 2\sqrt{2}.$$

所以 $x^2 + y^2$ 的最小值为 $(2\sqrt{2})^2 = 8$。

另一种解法：消元。$y = 4 - x$，$x^2 + y^2 = x^2 + (4 - x)^2 = 2x^2 - 8x + 16 = 2(x - 2)^2 + 8 \ge 8$，$x = 2$ 时取等号。消元法是纯代数，不用看出几何意义；几何法一步得答案，而且能推广到“直线上的点到任意定点”的情形。看到 $x^2 + y^2$、$(x - a)^2 + (y - b)^2$ 这类式子，先想几何意义。

常用推论

• 原点到直线 $Ax + By + C = 0$ 的距离为 $\dfrac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$。推导：点到直线距离公式中取 $x_0 = y_0 = 0$。
• 与直线 $Ax + By + C = 0$ 距离为 $d$ 的平行直线是 $Ax + By + C \pm d\sqrt{A^2 + B^2} = 0$。推导：设所求直线为 $Ax + By + C' = 0$，由两平行线间距离公式 $\dfrac{|C' - C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = d$ 解出 $C'$。
• 三角形面积的向量公式：若 $\overrightarrow{AB} = (x_1, y_1)$，$\overrightarrow{AC} = (x_2, y_2)$，则 $S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$。推导：$S = \dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\sin A$，而 $|\overrightarrow{AB}|^2|\overrightarrow{AC}|^2\sin^2 A = |\overrightarrow{AB}|^2|\overrightarrow{AC}|^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2 = (x_1^2 + y_1^2)(x_2^2 + y_2^2) - (x_1x_2 + y_1y_2)^2 = (x_1y_2 - x_2y_1)^2$。
• 直线上的点到直线外一定点的距离，最小值等于定点到直线的距离。推导：垂线段最短。

易错点

• 错在哪：求点 $(1, 1)$ 到直线 $y = 2x + 1$ 的距离，不化一般式就代公式，把 $A$、$B$、$C$ 代乱。 为什么错：公式里的 $A$、$B$、$C$ 是一般式 $Ax + By + C = 0$ 的系数，方程不是这个形式时分不清谁是谁。 正确做法：先化成 $2x - y + 1 = 0$，再代：$\dfrac{|2 - 1 + 1|}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$。
• 错在哪：例 4 直接用 $\dfrac{|-2 - 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$。 为什么错：两平行线距离公式要求 $x$、$y$ 的系数完全相同，$6x + 8y + 1 = 0$ 的系数是 $3x + 4y - 2 = 0$ 的两倍。 正确做法：先把一个方程两边同除（或同乘）一个数，使系数一致，再代公式。
• 错在哪：例 3 只求出 $3x - 4y + 5 = 0$。 为什么错：用点斜式设直线，就把竖直的直线 $x = 1$ 排除了，而它恰好满足条件。 正确做法：用点斜式设直线前，先检验竖直的直线。

直观理解

点到直线的距离公式可以拆开看：分子 $|Ax_0 + By_0 + C|$ 是“把点代进直线方程，差了多少”，点在直线上时正好是 0，离得越远差得越多；分母 $\sqrt{A^2 + B^2}$ 是法向量的长度，用来把“差多少”换算成真正的长度（方程两边同乘 2，分子分母都变成 2 倍，距离不变）。

由此还能得到一个常用的判断：$Ax_0 + By_0 + C$ 的符号表示点在直线的哪一侧。由证明，$Ax_0 + By_0 + C = \overrightarrow{QP} \cdot \boldsymbol{n}$，它为正说明 $P$ 在法向量指向的一侧，为负说明在另一侧。所以同一侧的点代进去符号相同，两侧的点符号相反。28.2 节例 4 的另一种解法、28.4 节例 4 判断同侧异侧，用的都是这一点。

关联知识点

• 前置：第 15 章平面向量的数量积，点到直线距离就是投影向量的长度。
• 前置：28.3 一般式和法向量，28.4 平行的判断。
• 后续：第 29 章圆，直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离 $d$ 与半径 $r$ 比较决定，弦长等于 $2\sqrt{r^2 - d^2}$。
• 后续：第 33 章直线与圆锥曲线，求三角形面积时常用“弦长乘点到直线的距离再除以 2”。
• 类比：第 27 章用空间向量求点到平面的距离，公式 $d = \dfrac{|\overrightarrow{QP} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}$ 与这里的推导完全相同。

28.6 知识点之间的关系

本章四个知识点是一条线：先用倾斜角和斜率描述直线的方向（28.2），再按已知条件写出直线的方程（28.3），然后比较两条直线的方程判断位置关系（28.4），最后用方程算距离（28.5）。贯穿全章的工具是一般式 $Ax + By + C = 0$ 和它的法向量 $(A, B)$：平行、垂直、距离、对称都可以统一成法向量的计算。

本章在高考里很少单独出大题，主要在两类地方出现：一是选择填空里的平行垂直求参数、距离、对称；二是圆和圆锥曲线大题的第一步“设直线方程”。后者最常见的失分就是本章反复提到的两个漏洞：斜率不存在和截距为 0（过原点）。

28.7 自测

1. 直线 $x + \sqrt{3}y + 1 = 0$ 的倾斜角是多少？
2. 直线的倾斜角 $\alpha \in \left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{2\pi}{3}\right]$，求斜率 $k$ 的取值范围。
3. 求过点 $(3, -2)$，且在两坐标轴上的截距之和为 2 的直线方程。
4. 不论 $m$ 取何值，直线 $(m + 2)x - (2m - 1)y - (3m - 4) = 0$ 都过一个定点，求这个点。
5. 直线 $l_1: x + my + 6 = 0$ 与 $l_2: (m - 2)x + 3y + 2m = 0$ 平行，求 $m$。
6. 求点 $A(3, 0)$ 关于直线 $x - y + 1 = 0$ 的对称点。
7. 求点 $(2, 1)$ 到直线 $3x - 4y + 3 = 0$ 的距离。
8. 求两平行线 $x + 2y - 1 = 0$ 与 $2x + 4y + 3 = 0$ 之间的距离。

答案：1. $150°$；2. $(-\infty, -\sqrt{3}] \cup [1, +\infty)$；3. $x + y - 1 = 0$ 或 $2x - 3y - 12 = 0$；4. $(-1, -2)$；5. $m = -1$；6. $(-1, 4)$；7. 1；8. $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$。

28.8 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，有按人教版章节排列的高中数学同步课程，可找选择性必修第一册第二章“直线和圆的方程”的课。
• Khan Academy · Forms of linear equations：点斜式、斜截式、一般式的英文视频讲解，配练习题。
• Wolfram MathWorld · Point-Line Distance–2-Dimensional：点到直线距离公式的英文推导，给出了几种不同的证法。
• GeoGebra：免费在线作图工具，输入含参数的直线方程并拖动滑块，能直接看到直线怎么绕定点转、平行和垂直什么时候出现。