第 15 章 · 平面向量的坐标与数量积

项目	内容
课标主题	必修 · 几何与代数 · 平面向量及其应用
人教 A 版	必修第二册 第六章 6.2.4（数量积、投影向量）、6.3.2–6.3.5（坐标表示与坐标运算）
考试地位	必考。几乎每年一道选择题或填空题，考数量积、夹角、模和垂直；也是解三角形、解析几何、立体几何的计算工具。投影向量：课标内容，照常掌握。2019 年过渡期说明曾列为不作要求，那是新旧教材过渡时期的安排
前置知识	第 14 章 向量的线性运算、共线向量定理、平面向量基本定理；第 11 章 三角函数的定义

上一章的向量只能画图、用基底表示；这一章给向量配上坐标，向量的运算就变成了数的运算。数量积把“长度”和“角度”都装进了一个算式，所以求夹角、判垂直、求长度都靠它。丢分主要丢在三处：夹角没有放到同一个起点、锐角条件忘了排除同向、求模不先平方。

15.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
15.2 坐标表示与坐标运算	向量 = 终点坐标减起点坐标；加减数乘按分量算；共线 $\Leftrightarrow x_1y_2 - x_2y_1 = 0$	常考，多作为其他题的第一步
15.3 数量积的定义与坐标公式	$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \lvert\boldsymbol{a}\rvert\lvert\boldsymbol{b}\rvert\cos\theta = x_1x_2 + y_1y_2$	必考
15.4 投影向量	$\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 上的投影向量是 $\dfrac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{\lvert\boldsymbol{b}\rvert^2}\boldsymbol{b}$	课标内容，照常掌握
15.5 夹角、垂直和模	夹角用 $\cos\theta$ 公式，垂直看数量积为 0，模先平方再开方	必考

15.2 平面向量的坐标表示与坐标运算

说明

正交分解与坐标：在平面直角坐标系里，取与 $x$ 轴、$y$ 轴方向相同的两个单位向量 $\boldsymbol{i}$、$\boldsymbol{j}$ 作基底。对平面内任一向量 $\boldsymbol{a}$，有且只有一对实数 $x$、$y$，使

$$\boldsymbol{a} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j}.$$

有序数对 $(x, y)$ 叫 $\boldsymbol{a}$ 的坐标，记作 $\boldsymbol{a} = (x, y)$。$x$ 是横坐标，$y$ 是纵坐标。特别地，$\boldsymbol{i} = (1, 0)$，$\boldsymbol{j} = (0, 1)$，$\boldsymbol{0} = (0, 0)$。

向量坐标和点坐标的关系：以原点 $O$ 为起点的向量 $\overrightarrow{OA}$，坐标就是终点 $A$ 的坐标。一般地，若 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，则

$$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1),$$

即“终点减起点”。

坐标运算：设 $\boldsymbol{a} = (x_1, y_1)$，$\boldsymbol{b} = (x_2, y_2)$，$\lambda \in \mathbf{R}$。

运算	坐标
加法	$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$
减法	$\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$
数乘	$\lambda\boldsymbol{a} = (\lambda x_1, \lambda y_1)$
相等	$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b} \Leftrightarrow x_1 = x_2 \text{ 且 } y_1 = y_2$

共线的坐标条件：设 $\boldsymbol{b} \ne \boldsymbol{0}$，则

$$\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b} \Leftrightarrow x_1y_2 - x_2y_1 = 0.$$

记法：“交叉相乘相减等于 0”。

使用场景

• 题目给出点的坐标，要求向量的坐标或做线性运算：直接“终点减起点”，再按分量算。
• 题目给了平行四边形、向量相等或 $\overrightarrow{AP} = \lambda\overrightarrow{PB}$ 这类关系，求某个点的坐标：设出点坐标，按坐标相等列方程。
• 题目说两个向量平行（共线），求参数：用 $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$。
• 题目问三个点是否共线，或已知三点共线求参数：转化为 $\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{AC}$。

注意点

• 向量的坐标只和起点、终点的相对位置有关，和向量放在哪里无关。平移一个向量，它的坐标不变，但起点、终点的坐标都变了。
• “终点减起点”不能反过来，反过来得到的是相反向量。
• 共线条件不要写成 $\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2}$：分量为 0 时这个式子没有意义。$x_1y_2 - x_2y_1 = 0$ 没有这个问题。
• 零向量与任何向量共线。题目说”$\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}$“时，若某个向量可能是零向量，要单独看。
• 共线包括同向和反向。题目说“同向”或“反向”时，解出参数后要代回检验方向。

证明

结论 1：坐标存在且唯一。 由第 14 章的平面向量基本定理：$\boldsymbol{i}$、$\boldsymbol{j}$ 不共线，可以作为一组基底，所以任一向量都能唯一地写成 $x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j}$。

结论 2：加法、减法、数乘的坐标公式。 以加法为例：

$$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (x_1\boldsymbol{i} + y_1\boldsymbol{j}) + (x_2\boldsymbol{i} + y_2\boldsymbol{j}) = (x_1 + x_2)\boldsymbol{i} + (y_1 + y_2)\boldsymbol{j}.$$

（关键一步：向量的线性运算满足交换律、结合律和分配律，所以可以像合并同类项一样把 $\boldsymbol{i}$ 的系数、$\boldsymbol{j}$ 的系数各自合并。）由坐标的唯一性，$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。减法和数乘同理。

结论 3：$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (x_2, y_2) - (x_1, y_1) = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。

结论 4：共线的坐标条件。 设 $\boldsymbol{b} \ne \boldsymbol{0}$。

• （$\Rightarrow$）由第 14 章共线向量定理，$\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}$ 时存在 $\lambda$ 使 $\boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{b}$，即 $x_1 = \lambda x_2$，$y_1 = \lambda y_2$。于是 $x_1y_2 - x_2y_1 = \lambda x_2y_2 - x_2 \cdot \lambda y_2 = 0$。
• （$\Leftarrow$）设 $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$。因为 $\boldsymbol{b} \ne \boldsymbol{0}$，$x_2$、$y_2$ 不全为 0。不妨设 $x_2 \ne 0$，令 $\lambda = \dfrac{x_1}{x_2}$，则 $x_1 = \lambda x_2$，且 $y_1 = \dfrac{x_1y_2}{x_2} = \lambda y_2$（关键一步：由 $x_1y_2 = x_2y_1$ 两边除以 $x_2$ 得到 $y_1$，这一步要求 $x_2 \ne 0$；若 $x_2 = 0$，则 $y_2 \ne 0$，改令 $\lambda = \dfrac{y_1}{y_2}$，同样可证）。所以 $\boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}$。

例题

例 1　（场景：由点坐标求向量并运算）已知 $A(1, 2)$，$B(3, -1)$，$C(-2, 4)$，求 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ 和 $2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC}$ 的坐标。

解：终点减起点：

$$\overrightarrow{AB} = (3 - 1, -1 - 2) = (2, -3), \quad \overrightarrow{AC} = (-2 - 1, 4 - 2) = (-3, 2).$$ $$2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC} = (4, -6) - (-9, 6) = (13, -12).$$

例 2　（场景：由向量关系求点的坐标）平行四边形 $ABCD$ 的三个顶点为 $A(-1, 0)$，$B(3, 1)$，$C(4, 4)$，求顶点 $D$ 的坐标。

解：设 $D(x, y)$。平行四边形对边平行且相等，并且方向一致：$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$。

$$\overrightarrow{AD} = (x + 1, y), \quad \overrightarrow{BC} = (4 - 3, 4 - 1) = (1, 3).$$

由坐标相等，$x + 1 = 1$，$y = 3$，得 $D(0, 3)$。

容易卡在：写成 $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CB}$。顶点按 $A \to B \to C \to D$ 的顺序绕一圈，$\overrightarrow{AD}$ 和 $\overrightarrow{BC}$ 才同向。

另一种解法：平行四边形的两条对角线互相平分，$AC$ 的中点就是 $BD$ 的中点，所以 $A + C = B + D$（指坐标相加）：

$$D = (-1 + 4 - 3, 0 + 4 - 1) = (0, 3).$$

两种解法结果一样。题目给的顶点顺序明确时，用相等向量最直接；只说“以 $A$、$B$、$C$ 为三个顶点的平行四边形”、顶点顺序不确定时，用对角线中点的办法分三种情况（$AC$、$AB$、$BC$ 分别作对角线）更不容易漏解。

例 3　（场景：已知两向量共线求参数）已知 $\boldsymbol{a} = (1, 2)$，$\boldsymbol{b} = (-2, 3)$，若 $k\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b}$ 平行，求 $k$，并判断它们是同向还是反向。

解：

$$k\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (k - 2, 2k + 3), \quad \boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b} = (1 + 6, 2 - 9) = (7, -7).$$

由共线条件：$(k - 2) \cdot (-7) - 7 \cdot (2k + 3) = 0$，即 $-21k - 7 = 0$，得 $k = -\dfrac{1}{3}$。

此时 $k\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = \left(-\dfrac{7}{3}, \dfrac{7}{3}\right) = -\dfrac{1}{3}(7, -7)$，系数为负，所以两者反向。

另一种解法：$\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 不共线（$1 \times 3 - (-2) \times 2 = 7 \ne 0$），可以作为基底。$k\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b}$ 平行，等价于它们在这组基底下的系数成比例：$\dfrac{k}{1} = \dfrac{1}{-3}$，直接得 $k = -\dfrac{1}{3}$。题目给的是两个已知向量的组合时，系数比例法几乎不用计算；给的是具体坐标、或不是同一组基底的组合时，用坐标条件更稳。

例 4　（场景：三点共线）已知 $A(1, -1)$，$B(3, 3)$，$C(x, 7)$ 三点共线，求 $x$。

解：三点共线 $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{AC}$。

$$\overrightarrow{AB} = (2, 4), \quad \overrightarrow{AC} = (x - 1, 8).$$

由 $2 \times 8 - 4(x - 1) = 0$，得 $x = 5$。

容易卡在：只说 $\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{AC}$ 还不够说明共线，要补一句“两向量有公共点 $A$”，所以三点在同一直线上。

常用推论

• 中点坐标：$A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$ 的中点是 $\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)$。由 $\overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$（第 14 章）写成坐标即得。
• 重心坐标：$\triangle ABC$ 的重心 $G$ 的坐标是三个顶点坐标的平均数 $\left(\dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$。推导：$G$ 在中线 $AM$ 上且 $\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}$，而 $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$，所以 $\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA} + \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}) = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$。
• 定比分点：若 $\overrightarrow{AP} = \lambda\overrightarrow{PB}$（$\lambda \ne -1$），则 $\overrightarrow{OP} = \dfrac{\overrightarrow{OA} + \lambda\overrightarrow{OB}}{1 + \lambda}$。推导：$\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA} = \lambda(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OP})$，移项得 $(1 + \lambda)\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \lambda\overrightarrow{OB}$。
• 平行四边形第四个顶点：$ABCD$ 是平行四边形 $\Leftrightarrow$ $A + C = B + D$（坐标相加），见例 2 另一种解法。

易错点

• 错在哪：求 $\overrightarrow{AB}$ 时用起点减终点，写成 $(x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。 为什么错：$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$，是 $B$ 的坐标减 $A$ 的坐标；反过来得到的是 $\overrightarrow{BA}$。 正确做法：念一遍“从 $A$ 到 $B$，终点 $B$ 减起点 $A$”。
• 错在哪：$\boldsymbol{a} = (0, 2)$，$\boldsymbol{b} = (0, 5)$，用 $\dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_1}{y_2}$ 判断，得出”$\dfrac{0}{0}$ 无意义，不共线”。 为什么错：两向量都在 $y$ 轴方向上，显然共线；比例式在分量为 0 时失效。 正确做法：一律用 $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$：$0 \times 5 - 0 \times 2 = 0$，共线。
• 错在哪：题目要求 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ “同向”，解出共线条件的两个根就都写上。 为什么错：共线条件同时包含同向和反向，其中一个根可能对应反向。 正确做法：每个根代回去，看 $\boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{b}$ 中 $\lambda$ 的正负，同向要求 $\lambda > 0$。

直观理解

向量的坐标就是“从起点走到终点，横着走了多少、竖着走了多少”。往右、往上为正，往左、往下为负。加法就是把两段路程的横、竖分别相加。

两个向量共线，就是它们“横竖之比”相同，斜率一样：$\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2}$；交叉相乘写成 $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$，正好把竖直方向（$x = 0$）的情况也包进来。

关联知识点

• 前置：第 14 章平面向量基本定理。坐标就是在基底 $\boldsymbol{i}$、$\boldsymbol{j}$ 下的分解系数。
• 前置：第 14 章共线向量定理。共线的坐标条件是它的坐标写法。
• 后续：15.3 数量积的坐标公式，在坐标表示的基础上推出。
• 后续：第 17 章复数的几何意义，复数 $a + bi$ 对应向量 $(a, b)$，复数的加减就是向量的坐标加减。
• 后续：第 26 章空间直角坐标系与坐标运算，规则完全一样，多一个 $z$ 坐标。
• 后续：第 28 章直线的方程。直线的方向向量 $(1, k)$ 与斜率 $k$ 对应，两直线平行的条件就是方向向量共线。

15.3 数量积的定义与坐标公式

说明

夹角：已知两个非零向量 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$，作 $\overrightarrow{OA} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB} = \boldsymbol{b}$（把起点放在一起），$\angle AOB = \theta$ 叫 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角，$0 \le \theta \le \pi$。$\theta = 0$ 时同向，$\theta = \pi$ 时反向，$\theta = \dfrac{\pi}{2}$ 时垂直，记作 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$。

数量积的定义：

$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta.$$

规定零向量与任一向量的数量积为 0。数量积的结果是一个数，不是向量（所以也叫“内积”“点积”）。中间的点不能省略，也不能写成 $\times$。

坐标公式：若 $\boldsymbol{a} = (x_1, y_1)$，$\boldsymbol{b} = (x_2, y_2)$，则

$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = x_1x_2 + y_1y_2.$$

记法：“横乘横加纵乘纵”。

符号与夹角（$\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 非零）：

$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$	夹角 $\theta$
$> 0$	$0 \le \theta < \dfrac{\pi}{2}$（锐角或同向）
$= 0$	$\theta = \dfrac{\pi}{2}$（垂直）
$< 0$	$\dfrac{\pi}{2} < \theta \le \pi$（钝角或反向）

运算律：

• 交换律：$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a}$。
• 数乘结合：$(\lambda\boldsymbol{a}) \cdot \boldsymbol{b} = \lambda(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) = \boldsymbol{a} \cdot (\lambda\boldsymbol{b})$。
• 分配律：$(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} + \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}$。
• 自己点自己：$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a} = |\boldsymbol{a}|^2$，常记作 $\boldsymbol{a}^2 = |\boldsymbol{a}|^2$。

不成立的：$(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})\boldsymbol{c} \ne \boldsymbol{a}(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c})$（一般情况下），没有结合律；由 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}$ 推不出 $\boldsymbol{b} = \boldsymbol{c}$，不能约分。

使用场景

• 已知两个向量的模和夹角求数量积，或要展开 $(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b})$ 这类式子：用定义和运算律，像多项式乘法一样展开。
• 已知向量的坐标求数量积：用 $x_1x_2 + y_1y_2$。
• 正方形、矩形、等边三角形、直角三角形里求两个向量的数量积：选一组模和夹角都已知的基底，或者建立坐标系。
• 动点在线段或图形上运动，求数量积的取值范围：建系，把数量积写成一个变量的函数。

注意点

• 求夹角时两个向量必须起点重合。三角形 $ABC$ 中，$\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角不是内角 $B$，而是 $\pi - B$。
• 夹角的范围是 $[0, \pi]$，不是 $[0, 2\pi)$。
• $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} > 0$ 不等于“夹角是锐角”，还可能同向（$\theta = 0$）；$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} < 0$ 也可能反向。
• 数量积不能约分，也没有结合律，所以 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0$ 推不出 $\boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}$ 或 $\boldsymbol{b} = \boldsymbol{0}$（两个非零向量垂直时数量积也为 0）。
• $\boldsymbol{a}^2$ 是 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}$ 的简写，等于 $|\boldsymbol{a}|^2$；但 $\boldsymbol{a}^3$ 没有定义。

证明

数量积的定义是规定，不需要证明；要证的是运算律和坐标公式。

结论 1：交换律和数乘结合。 由定义直接得到：$|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta = |\boldsymbol{b}||\boldsymbol{a}|\cos\theta$。数乘时，$\lambda > 0$ 夹角不变、模乘 $\lambda$；$\lambda < 0$ 时 $\lambda\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角变成 $\pi - \theta$，模乘 $|\lambda| = -\lambda$，而 $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$，两个负号抵消，结果仍是 $\lambda(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})$；$\lambda = 0$ 时两边都是 0。

结论 2：分配律 $(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} + \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}$。 课本借助投影证明。设 $\boldsymbol{c} \ne \boldsymbol{0}$（$\boldsymbol{c} = \boldsymbol{0}$ 时两边都是 0），沿 $\boldsymbol{c}$ 的方向画一条数轴。向量 $\boldsymbol{a}$ 在这条数轴上的“影子”（带正负号的长度）是 $|\boldsymbol{a}|\cos\theta_1$，其中 $\theta_1$ 是 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{c}$ 的夹角。于是

$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} = |\boldsymbol{c}| \times (\boldsymbol{a} \text{ 的影子}).$$

把 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 首尾相接，$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$ 从 $\boldsymbol{a}$ 的起点指向 $\boldsymbol{b}$ 的终点。（关键一步：从起点出发，先走 $\boldsymbol{a}$ 再走 $\boldsymbol{b}$，影子先走 $\boldsymbol{a}$ 的影子再走 $\boldsymbol{b}$ 的影子，所以 $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$ 的影子等于两个影子相加，带正负号时同样成立。）两边乘 $|\boldsymbol{c}|$ 即得分配律。投影的严格写法见 15.4 节。

结论 3：坐标公式。 先算基底：$\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{i} = 1 \times 1 \times \cos 0 = 1$，$\boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{j} = 1$，$\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{j} = 1 \times 1 \times \cos\dfrac{\pi}{2} = 0$。于是

$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = (x_1\boldsymbol{i} + y_1\boldsymbol{j}) \cdot (x_2\boldsymbol{i} + y_2\boldsymbol{j}) = x_1x_2\,\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{i} + x_1y_2\,\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{j} + y_1x_2\,\boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{i} + y_1y_2\,\boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{j} = x_1x_2 + y_1y_2.$$

（关键一步：有了分配律和数乘结合律，才能像多项式乘法那样逐项展开；$\boldsymbol{i}$、$\boldsymbol{j}$ 互相垂直，交叉项全部为 0。）

结论 4：没有结合律。 $(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})\boldsymbol{c}$ 是一个数乘 $\boldsymbol{c}$，方向与 $\boldsymbol{c}$ 共线；$\boldsymbol{a}(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c})$ 与 $\boldsymbol{a}$ 共线。$\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{c}$ 不共线时，这两个向量一般不相等。例如 $\boldsymbol{a} = \boldsymbol{i}$，$\boldsymbol{b} = \boldsymbol{i}$，$\boldsymbol{c} = \boldsymbol{j}$：$(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})\boldsymbol{c} = \boldsymbol{j}$，$\boldsymbol{a}(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}) = \boldsymbol{0}$。

例题

例 1　（场景：已知模和夹角，展开求值）已知 $|\boldsymbol{a}| = 2$，$|\boldsymbol{b}| = 3$，$\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $60^\circ$，求 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 和 $(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b})$。

解：$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 2 \times 3 \times \cos 60^\circ = 3$。

像多项式一样展开：

$$(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}) = \boldsymbol{a}^2 - 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}^2 = |\boldsymbol{a}|^2 - \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} - 2|\boldsymbol{b}|^2 = 4 - 3 - 18 = -17.$$

例 2　（场景：已知坐标求数量积）已知 $\boldsymbol{a} = (2, -1)$，$\boldsymbol{b} = (3, 4)$，求 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 和 $(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b})$。

解：$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 2 \times 3 + (-1) \times 4 = 2$。

$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (5, 3)$，$\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = (-1, -5)$，所以 $(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) = -5 - 15 = -20$。

也可以先展开：$(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) = |\boldsymbol{a}|^2 - |\boldsymbol{b}|^2 = 5 - 25 = -20$，两种算法互相验证。

例 3　（场景：规则图形中的数量积）等边三角形 $ABC$ 的边长为 2，$D$ 是 $BC$ 的中点。求 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$ 和 $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB}$。

解：

• $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 不是同一起点。把 $\overrightarrow{AB}$ 平移到起点 $B$，它沿 $AB$ 的延长线方向，与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角是 $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$。所以 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 2 \times 2 \times \cos 120^\circ = -2$。
• $AD$ 是中线，也是高和角平分线，$|\overrightarrow{AD}| = \sqrt{3}$，$\angle BAD = 30^\circ$。所以 $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = \sqrt{3} \times 2 \times \cos 30^\circ = 3$。

容易卡在：直接用内角 $B = 60^\circ$，得到错误答案 2。

另一种解法：建系。以 $D$ 为原点、$BC$ 为 $x$ 轴：$B(-1, 0)$，$C(1, 0)$，$A(0, \sqrt{3})$，$D(0, 0)$。

$$\overrightarrow{AB} = (-1, -\sqrt{3}), \quad \overrightarrow{BC} = (2, 0), \quad \overrightarrow{AD} = (0, -\sqrt{3}).$$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = -2 + 0 = -2$，$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 + 3 = 3$。建系不用判断夹角，不会在“起点是否重合”上出错，适合图形规则、好建系的题；定义法适合夹角一眼能看出、不方便建系的题（比如只给了边长和角度的一般三角形）。

例 4　（场景：动点求数量积的范围）正方形 $ABCD$ 的边长为 2，$E$ 是 $CD$ 的中点，点 $P$ 在边 $BC$ 上运动，求 $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AE}$ 的取值范围。

解：以 $A$ 为原点，$AB$、$AD$ 分别为 $x$ 轴、$y$ 轴建系：$A(0, 0)$，$B(2, 0)$，$C(2, 2)$，$D(0, 2)$，$E(1, 2)$。$P$ 在 $BC$ 上，设 $P(2, t)$，$0 \le t \le 2$。

$$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AE} = (2, t) \cdot (1, 2) = 2 + 2t.$$

$2 + 2t$ 在 $[0, 2]$ 上递增，所以取值范围是 $[2, 6]$。

容易卡在：设动点时不写 $t$ 的范围，最后求不出范围。

常用推论

• 完全平方和平方差：$(\boldsymbol{a} \pm \boldsymbol{b})^2 = |\boldsymbol{a}|^2 \pm 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + |\boldsymbol{b}|^2$，$(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) = |\boldsymbol{a}|^2 - |\boldsymbol{b}|^2$。由分配律展开得到，和代数公式形式相同。
• 极化恒等式：$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \dfrac{1}{4}\left(|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|^2 - |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|^2\right)$。把上一条的两个完全平方式相减即得。三角形版本：$M$ 是 $BC$ 的中点，则 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AM}|^2 - |\overrightarrow{BM}|^2$。推导：$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{MB}$，相乘用平方差。求“一个动点到两定点的向量的数量积”的范围时，转化成求一条线段长的范围。
• 数量积的上界：$|\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}| \le |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|$，当且仅当 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 共线时取等号。由 $|\cos\theta| \le 1$ 得到。写成坐标就是 $(x_1x_2 + y_1y_2)^2 \le (x_1^2 + y_1^2)(x_2^2 + y_2^2)$（柯西不等式的二维形式）。

易错点

• 错在哪：等边三角形 $ABC$ 中，算 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 2 \times 2 \times \cos 60^\circ = 2$。 为什么错：夹角要求起点重合。$\overrightarrow{AB}$ 的终点是 $\overrightarrow{BC}$ 的起点，两向量是首尾相接的，夹角是内角的补角 $120^\circ$。 正确做法：先看两个向量的起点是否相同；首尾相接的，夹角取 $\pi$ 减内角。
• 错在哪：由 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}$ 两边“约去 $\boldsymbol{a}$”，得 $\boldsymbol{b} = \boldsymbol{c}$。 为什么错：$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}$ 只说明 $\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} - \boldsymbol{c}) = 0$，即 $\boldsymbol{a} \perp (\boldsymbol{b} - \boldsymbol{c})$，$\boldsymbol{b} - \boldsymbol{c}$ 不一定是零向量。 正确做法：移项写成 $\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} - \boldsymbol{c}) = 0$，读作“垂直”。
• 错在哪：把 $(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^2$ 写成 $\boldsymbol{a}^2\boldsymbol{b}^2$。 为什么错：$(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^2 = |\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2\cos^2\theta$，只有共线时才等于 $|\boldsymbol{a}|^2|\boldsymbol{b}|^2$。 正确做法：数量积的平方先算出数量积这个数，再平方。

直观理解

数量积衡量“两个向量有多同向”：同向时最大（$|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|$），垂直时为 0，反向时最小（$-|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|$）。一句话：“同向为正，垂直为零，反向为负”。

物理意义：力 $\boldsymbol{F}$ 使物体产生位移 $\boldsymbol{s}$，做的功 $W = \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{s} = |\boldsymbol{F}||\boldsymbol{s}|\cos\theta$。只有沿位移方向的那部分力在做功，垂直于位移的力不做功。

几何意义：$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 等于 $|\boldsymbol{b}|$ 乘 $\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 方向上的影子（带正负号），见 15.4 节。

关联知识点

• 前置：15.2 坐标表示，坐标公式由基底 $\boldsymbol{i}$、$\boldsymbol{j}$ 推出。
• 前置：第 11 章三角函数的定义，特殊角的余弦值和 $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$。
• 后续：15.4 投影向量，是数量积的几何意义。
• 后续：15.5 夹角、垂直和模，三个公式都由数量积的定义变形得到。
• 后续：第 16 章余弦定理。由 $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ 两边平方即得 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$。
• 常一起考：第 3 章基本不等式、第 4 章二次函数。数量积化成一个变量的函数后求最值。

15.4 投影向量

本节是课标内容，照常掌握。2019 年教育部《新高考过渡时期数学学科考试范围说明》曾把“平面向量投影的概念以及投影向量的意义”列为不作考试要求，那是新旧教材过渡时期的安排。公式本身很短，又是理解数量积的钥匙。

说明

定义：设 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 是两个非零向量，夹角为 $\theta$。作 $\overrightarrow{OA} = \boldsymbol{a}$，过 $A$ 作 $\boldsymbol{b}$ 所在直线的垂线，垂足为 $A_1$。向量 $\overrightarrow{OA_1}$ 叫 $\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 上的投影向量。这个过程叫把 $\boldsymbol{a}$ 向 $\boldsymbol{b}$ 投影。

公式：设 $\boldsymbol{e}$ 是与 $\boldsymbol{b}$ 同方向的单位向量，$\boldsymbol{e} = \dfrac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$，则

$$\overrightarrow{OA_1} = |\boldsymbol{a}|\cos\theta \, \boldsymbol{e} = \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|} \cdot \frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|} = \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|^2}\boldsymbol{b}.$$

投影的数量：系数 $|\boldsymbol{a}|\cos\theta = \dfrac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$ 是一个可正可负的数，本书叫它“投影的数量”。它的绝对值是投影向量的长度，正负表示与 $\boldsymbol{b}$ 同向还是反向。旧教材把这个数叫”$\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 方向上的投影”，现行教材以投影向量为主。

夹角 $\theta$	投影向量的方向
$0 \le \theta < \dfrac{\pi}{2}$	与 $\boldsymbol{b}$ 同向
$\theta = \dfrac{\pi}{2}$	零向量
$\dfrac{\pi}{2} < \theta \le \pi$	与 $\boldsymbol{b}$ 反向

和数量积的关系：

$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{b}| \times (\boldsymbol{a} \text{ 在 } \boldsymbol{b} \text{ 上投影的数量}).$$

使用场景

• 题目直接问”$\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 上的投影向量”：用 $\dfrac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|^2}\boldsymbol{b}$，结果是一个向量。
• 图形中一个向量在另一个向量上的投影一眼能看出（垂足是中点、端点等），要求数量积：用“模乘投影的数量”代替找夹角。典型是外心、圆的弦。

注意点

• 投影向量是向量，答案要写成坐标或”$\lambda\boldsymbol{b}$“的形式；投影的数量是数。题目问哪个就答哪个。
• “$\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 上的投影向量”与”$\boldsymbol{b}$ 在 $\boldsymbol{a}$ 上的投影向量“不同：前者与 $\boldsymbol{b}$ 共线，分母是 $|\boldsymbol{b}|^2$；后者与 $\boldsymbol{a}$ 共线，分母是 $|\boldsymbol{a}|^2$。
• 投向谁，谁就不能是零向量（否则没有方向）。
• 投影向量的长度是 $|\boldsymbol{a}||\cos\theta|$，不是 $|\boldsymbol{a}|\cos\theta$；钝角时后者是负数。

证明

结论：$\overrightarrow{OA_1} = |\boldsymbol{a}|\cos\theta \, \boldsymbol{e}$。

$A_1$ 在 $\boldsymbol{b}$ 所在直线上，所以 $\overrightarrow{OA_1}$ 与 $\boldsymbol{e}$ 共线，可设 $\overrightarrow{OA_1} = \lambda\boldsymbol{e}$，$|\lambda| = |\overrightarrow{OA_1}|$。在直角三角形 $OA_1A$ 中分情况：

1. $\theta$ 为锐角：$|\overrightarrow{OA_1}| = |\boldsymbol{a}|\cos\theta$，且 $\overrightarrow{OA_1}$ 与 $\boldsymbol{e}$ 同向，$\lambda = |\boldsymbol{a}|\cos\theta$。
2. $\theta$ 为钝角：$\angle AOA_1 = \pi - \theta$，$|\overrightarrow{OA_1}| = |\boldsymbol{a}|\cos(\pi - \theta) = -|\boldsymbol{a}|\cos\theta$，且 $\overrightarrow{OA_1}$ 与 $\boldsymbol{e}$ 反向，$\lambda = -|\overrightarrow{OA_1}| = |\boldsymbol{a}|\cos\theta$。
3. $\theta = \dfrac{\pi}{2}$：$A_1$ 与 $O$ 重合，$\lambda = 0 = |\boldsymbol{a}|\cos\theta$。$\theta = 0$ 或 $\pi$ 时 $A$ 就在直线上，$A_1 = A$，同样 $\lambda = \pm|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{a}|\cos\theta$。

（关键一步：钝角时长度是 $-|\boldsymbol{a}|\cos\theta$，方向又相反，两个负号抵消，于是所有情况都统一成 $\lambda = |\boldsymbol{a}|\cos\theta$。这就是为什么用带正负号的“投影的数量”而不是长度。）

再代入 $\cos\theta = \dfrac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}$ 和 $\boldsymbol{e} = \dfrac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$，得 $\overrightarrow{OA_1} = \dfrac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|^2}\boldsymbol{b}$。

例题

例 1　（场景：直接求投影向量）已知 $\boldsymbol{a} = (2, 3)$，$\boldsymbol{b} = (1, -1)$，求 $\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 上的投影向量，并说明它与 $\boldsymbol{b}$ 同向还是反向。

解：$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 2 - 3 = -1$，$|\boldsymbol{b}|^2 = 1 + 1 = 2$。

$$\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|^2}\boldsymbol{b} = -\frac{1}{2}(1, -1) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right).$$

系数 $-\dfrac{1}{2} < 0$，投影向量与 $\boldsymbol{b}$ 反向（$\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角是钝角）。

容易卡在：分母写成 $|\boldsymbol{b}|$ 而不是 $|\boldsymbol{b}|^2$。$\dfrac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$ 是投影的数量，还要再乘单位向量 $\dfrac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$。

例 2　（场景：投影一眼能看出，求数量积）$O$ 是 $\triangle ABC$ 的外心，$AB = 4$，$AC = 6$，求 $\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{BC}$。

解：外心是三边垂直平分线的交点。设 $M$、$N$ 分别是 $AB$、$AC$ 的中点，则 $OM \perp AB$，$ON \perp AC$。所以 $\overrightarrow{AO}$ 在 $\overrightarrow{AB}$ 上的投影向量是 $\overrightarrow{AM}$，投影的数量是 $\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}| = 2$。

$$\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{AB}| \times 2 = 8.$$

同理 $\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AC} = 6 \times 3 = 18$。于是

$$\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AO} \cdot (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = 18 - 8 = 10.$$

容易卡在：想先求 $|\overrightarrow{AO}|$ 和夹角，但题目没给 $\angle A$，求不出来。外心题看到“数量积”就想投影。

常用推论

• 数量积的几何意义：$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{b}| \times (\boldsymbol{a} \text{ 在 } \boldsymbol{b} \text{ 上投影的数量})$。由定义 $|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta$ 把 $|\boldsymbol{a}|\cos\theta$ 看成一组即得。
• 外心：$O$ 是 $\triangle ABC$ 的外心，则 $\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AB} = \dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|^2$，$\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|^2$。推导见例 2。
• 正交分解：$\boldsymbol{a} - \dfrac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|^2}\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 垂直，即任一向量都能拆成“沿 $\boldsymbol{b}$ 的部分”加“垂直于 $\boldsymbol{b}$ 的部分”。验证：与 $\boldsymbol{b}$ 作数量积得 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} - \dfrac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|^2}|\boldsymbol{b}|^2 = 0$。

易错点

• 错在哪：题目问投影向量，答了一个数 $\dfrac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$。 为什么错：那是投影的数量，投影向量还要乘上 $\boldsymbol{b}$ 方向的单位向量。 正确做法：投影向量 $= \dfrac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|^2}\boldsymbol{b}$，答案写成坐标。
• 错在哪：把”$\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 上“算成了 $\dfrac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}|^2}\boldsymbol{a}$。 为什么错：投影是往 $\boldsymbol{b}$ 所在的直线上投，结果和 $\boldsymbol{b}$ 共线，分母是 $\boldsymbol{b}$ 的模的平方。 正确做法：记”投到谁上，就除以谁的模方、乘谁”。

直观理解

太阳光垂直照向 $\boldsymbol{b}$ 所在的直线，$\boldsymbol{a}$ 在这条直线上的影子就是投影向量。影子落在 $\boldsymbol{b}$ 指的那一侧为正，落在另一侧为负。数量积就是”$\boldsymbol{b}$ 的长度乘 $\boldsymbol{a}$ 的影子”。

关联知识点

• 前置：15.3 数量积的定义，投影的数量就是 $|\boldsymbol{a}|\cos\theta$。
• 前置：第 11 章三角函数，直角三角形中邻边 = 斜边 × 余弦。
• 后续：第 27 章用空间向量求距离。点到平面的距离 = 向量在法向量上投影的长度 $\dfrac{|\overrightarrow{AP} \cdot \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|}$。
• 后续：第 28 章点到直线的距离公式，可以用法向量上的投影推出。
• 常一起考：第 16 章解三角形、第 29 章圆。外心、弦的中点这类“垂足明显”的图形里求数量积。

15.5 夹角、垂直和模的计算

说明

设 $\boldsymbol{a} = (x_1, y_1)$，$\boldsymbol{b} = (x_2, y_2)$ 都是非零向量，夹角为 $\theta$。

夹角：

$$\cos\theta = \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}\sqrt{x_2^2 + y_2^2}}.$$

垂直：

$$\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} \Leftrightarrow \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0 \Leftrightarrow x_1x_2 + y_1y_2 = 0.$$

模：

$$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}, \qquad |\boldsymbol{a} \pm \boldsymbol{b}| = \sqrt{|\boldsymbol{a}|^2 \pm 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + |\boldsymbol{b}|^2}.$$

两点间距离：$A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$ 之间的距离 $|AB| = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。

平行与垂直的坐标条件对比（最容易混）：

关系	条件	记法
$\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}$	$x_1y_2 - x_2y_1 = 0$	交叉相乘相减
$\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$	$x_1x_2 + y_1y_2 = 0$	对应相乘相加

使用场景

• 已知两个向量的坐标求夹角：用 $\cos\theta$ 的坐标公式，再在 $[0, \pi]$ 内找角。
• 已知两个向量（或它们的组合）垂直求参数：令数量积为 0。
• 已知模和夹角（或数量积）求 $|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|$、$|2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|$ 这类模：先平方展开，再开方。
• 已知夹角是锐角或钝角求参数范围：数量积大于 0 或小于 0，再排除同向或反向。
• 只给了几个模之间的关系（如 $|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|$）求夹角：平方后解出数量积，再求 $\cos\theta$。

注意点

• 求模的方法是“平方—展开—开方”：$|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|^2 = (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})^2$。$|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| + |\boldsymbol{b}|$ 只在同向时成立。
• 求出 $\cos\theta$ 后，$\theta$ 在 $[0, \pi]$ 内唯一确定；$\cos\theta < 0$ 时 $\theta$ 是钝角，不要取成负角或锐角。
• 夹角为锐角 $\Leftrightarrow \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} > 0$ 且 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 不同向；夹角为钝角 $\Leftrightarrow \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} < 0$ 且不反向。少了后半句是这类题最常见的错误。
• 垂直的条件是“对应相乘相加”，平行的条件是“交叉相乘相减”，不要记反。

证明

结论 1：夹角公式。 由定义 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta$，两边除以 $|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|$（非零向量的模不为 0）即得；代入坐标公式就是坐标形式。

结论 2：垂直的条件。 对非零向量，$|\boldsymbol{a}| \ne 0$，$|\boldsymbol{b}| \ne 0$，所以 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0 \Leftrightarrow \cos\theta = 0 \Leftrightarrow \theta = \dfrac{\pi}{2}$（关键一步：$\cos\theta = 0$ 在 $[0, \pi]$ 内只有 $\theta = \dfrac{\pi}{2}$ 一个解，所以是“当且仅当”）。

结论 3：模的公式。 $\boldsymbol{a}$ 与自己的夹角为 0，$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a} = |\boldsymbol{a}|^2\cos 0 = |\boldsymbol{a}|^2$；坐标形式 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a} = x_1^2 + y_1^2$。开方得 $|\boldsymbol{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$，这和勾股定理算出的长度一致。

$|\boldsymbol{a} \pm \boldsymbol{b}|^2 = (\boldsymbol{a} \pm \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} \pm \boldsymbol{b}) = |\boldsymbol{a}|^2 \pm 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + |\boldsymbol{b}|^2$，用的是 15.3 节的分配律和交换律。

例题

例 1　（场景：由坐标求夹角）已知 $\boldsymbol{a} = (3, 1)$，$\boldsymbol{b} = (1, 2)$，求 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角。

解：$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 3 + 2 = 5$，$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{10}$，$|\boldsymbol{b}| = \sqrt{5}$。

$$\cos\theta = \frac{5}{\sqrt{10} \times \sqrt{5}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

又 $0 \le \theta \le \pi$，所以 $\theta = \dfrac{\pi}{4}$。

例 2　（场景：已知垂直求参数）已知 $\boldsymbol{a} = (1, 2)$，$\boldsymbol{b} = (-3, 2)$，若 $k\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b}$ 垂直，求 $k$。

解：

$$k\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (k - 3, 2k + 2), \quad \boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b} = (10, -4).$$

垂直则数量积为 0：$10(k - 3) - 4(2k + 2) = 0$，即 $2k - 38 = 0$，得 $k = 19$。

另一种解法：不算坐标，直接展开：$(k\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b}) = k|\boldsymbol{a}|^2 + (1 - 3k)\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} - 3|\boldsymbol{b}|^2$。其中 $|\boldsymbol{a}|^2 = 5$，$|\boldsymbol{b}|^2 = 13$，$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -3 + 4 = 1$，代入得 $5k + 1 - 3k - 39 = 2k - 38 = 0$，$k = 19$。题目给坐标时先算组合向量的坐标更直接；题目只给模和夹角（没有坐标）时，只能用展开法。

例 3　（场景：已知模和夹角求模）已知 $|\boldsymbol{a}| = 1$，$|\boldsymbol{b}| = 2$，$\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $120^\circ$，求 $|2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|$。

解：$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 1 \times 2 \times \cos 120^\circ = -1$。先平方：

$$|2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|^2 = 4|\boldsymbol{a}|^2 - 4\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + |\boldsymbol{b}|^2 = 4 + 4 + 4 = 12.$$

所以 $|2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = 2\sqrt{3}$。

容易卡在：最后忘了开方，答成 12。

例 4　（场景：夹角为锐角求参数范围）已知 $\boldsymbol{a} = (1, 2)$，$\boldsymbol{b} = (\lambda, 1)$，若 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为锐角，求 $\lambda$ 的取值范围。

解：

1. 夹角为锐角时 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} > 0$：$\lambda + 2 > 0$，$\lambda > -2$。
2. 但 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} > 0$ 还包括同向（$\theta = 0$）。求同向的情况：由共线条件 $1 \times 1 - 2\lambda = 0$，得 $\lambda = \dfrac{1}{2}$，此时 $\boldsymbol{b} = \left(\dfrac{1}{2}, 1\right) = \dfrac{1}{2}\boldsymbol{a}$，确实同向，要去掉。

所以 $\lambda > -2$ 且 $\lambda \ne \dfrac{1}{2}$，即 $\lambda \in \left(-2, \dfrac{1}{2}\right) \cup \left(\dfrac{1}{2}, +\infty\right)$。

容易卡在：只写 $\lambda > -2$。

例 5　（场景：只给模的关系求夹角）已知 $|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = 1$，求 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角。

解：把 $|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = 1$ 平方：$|\boldsymbol{a}|^2 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + |\boldsymbol{b}|^2 = 1$，即 $1 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + 1 = 1$，得 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -\dfrac{1}{2}$。

$$\cos\theta = \frac{-\frac{1}{2}}{1 \times 1} = -\frac{1}{2},$$

所以 $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$。

另一种解法：画图。以 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 为邻边作平行四边形，$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$ 是对角线。三条线都等于 1，所以这是一个菱形，被对角线分成两个等边三角形，$\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$ 的夹角是 $60^\circ$，$\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角是 $120^\circ$。模的数值“凑得出特殊三角形”时画图最快，选择题几秒钟就能出答案；数值一般时还是平方计算可靠。

常用推论

• 平行四边形对角线：$|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|^2 + |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|^2 = 2\left(|\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2\right)$，即两条对角线的平方和等于四条边的平方和。把两个完全平方展开式相加，$\pm 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 抵消。
• $|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| \Leftrightarrow \boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$（$\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 非零）。两边平方相减得 $4\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0$。几何意义：对角线相等的平行四边形是矩形。
• 三角不等式：$\big||\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}|\big| \le |\boldsymbol{a} \pm \boldsymbol{b}| \le |\boldsymbol{a}| + |\boldsymbol{b}|$。由 $|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|^2 = |\boldsymbol{a}|^2 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + |\boldsymbol{b}|^2$ 和 $-|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \le \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \le |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|$ 得到；右边取等号当且仅当同向（对 $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$ 而言）。
• 垂直向量的写法：与 $\boldsymbol{a} = (x, y)$ 垂直的向量可取 $(-y, x)$ 或 $(y, -x)$，验证：$x(-y) + yx = 0$。与 $\boldsymbol{a}$ 垂直的单位向量是 $\pm\dfrac{(-y, x)}{\sqrt{x^2 + y^2}}$。
• 单位向量：与 $\boldsymbol{a}$ 同向的单位向量是 $\dfrac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}$。

易错点

• 错在哪：夹角为锐角，只列 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} > 0$。 为什么错：$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} > 0$ 对应 $0 \le \theta < \dfrac{\pi}{2}$，包括 $\theta = 0$（同向），同向不算锐角。 正确做法：再用共线条件求出同向时的参数，从结果中去掉。钝角同理去掉反向。
• 错在哪：$|\boldsymbol{a}| = 1$，$|\boldsymbol{b}| = 2$，写 $|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = 3$。 为什么错：向量的模不能直接相加，只有同向时才相等。 正确做法：$|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = \sqrt{|\boldsymbol{a}|^2 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + |\boldsymbol{b}|^2}$，要先知道 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$。
• 错在哪：判断 $\boldsymbol{a} = (2, 1)$ 与 $\boldsymbol{b} = (-1, 2)$ 的关系，算 $2 \times 2 - (-1) \times 1 = 5 \ne 0$，说“不垂直”。 为什么错：用的是平行的条件（交叉相乘相减），这只能说明两者不平行。 正确做法：垂直用“对应相乘相加”：$2 \times (-1) + 1 \times 2 = 0$，垂直。

直观理解

以 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 为邻边画平行四边形，两条对角线就是 $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$ 和 $\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$。求模的题，多半是在求平行四边形的对角线长；$|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|$ 说的就是“对角线相等”，平行四边形变成矩形，所以 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$。

夹角公式可以记成“数量积除以模的积就是余弦”，和直角三角形里“邻边比斜边”一样，都是把长度关系换成角度。

关联知识点

• 前置：15.3 数量积，三个公式都由定义和坐标公式变形得到。
• 前置：15.2 共线的坐标条件，锐角、钝角题要用它排除同向、反向。
• 后续：第 16 章解三角形，已知三边求角的余弦定理就是夹角公式的三角形版本。
• 后续：第 27 章用空间向量求空间角，线线角、线面角、二面角都化成两个向量的夹角公式。
• 后续：第 28 章两条直线垂直的条件，方向向量的数量积为 0，对应 $k_1k_2 = -1$。
• 常一起考：第 13 章三角恒等变换。向量坐标里带 $\sin x$、$\cos x$ 时，数量积化成三角函数再用辅助角公式。

15.6 知识点之间的关系

本章的主线是：先给向量配上坐标（15.2），向量运算变成数的运算；再定义数量积（15.3），它同时带有长度和角度的信息；投影向量（15.4）是数量积的几何解释；夹角、垂直、模（15.5）是数量积最常用的三个变形。共线的坐标条件和垂直的坐标条件是一对，考试里常放在一起考。

考试里的典型组合有两种：一是纯向量的小题，给坐标或给模和夹角，求数量积、夹角、模或参数，一两步就能做完；二是向量作为工具，出现在解三角形、三角函数（向量坐标里带 $\sin x$、$\cos x$）和解析几何（用数量积表示垂直）的题里。第二种的难点不在向量本身，而在翻译：把“垂直”翻译成“数量积为 0”，把“长度”翻译成“模的平方”。

15.7 自测

1. 已知 $A(2, -1)$，$B(-1, 3)$，求 $\overrightarrow{AB}$ 的坐标和 $|\overrightarrow{AB}|$。
2. 已知 $\boldsymbol{a} = (2, m)$，$\boldsymbol{b} = (m, 8)$，若 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 同向，求 $m$。
3. 已知 $|\boldsymbol{a}| = 3$，$|\boldsymbol{b}| = 4$，$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 6$，求 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角。
4. 已知 $\boldsymbol{a} = (1, 1)$，$\boldsymbol{b} = (2, 0)$，求 $\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 上的投影向量。
5. 已知 $\boldsymbol{a} = (1, \sqrt{3})$，$\boldsymbol{b} = (2, 0)$，求 $\boldsymbol{b}$ 在 $\boldsymbol{a}$ 上的投影向量。
6. 已知 $\boldsymbol{a} = (1, 2)$，$\boldsymbol{b} = (x, 1)$，若 $\boldsymbol{a} \perp (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b})$，求 $x$。
7. 已知 $|\boldsymbol{a}| = 2$，$|\boldsymbol{b}| = 1$，$|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = \sqrt{3}$，求 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角。
8. 已知 $\boldsymbol{a} = (2, 1)$，$\boldsymbol{b} = (\lambda, -1)$，若 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为钝角，求 $\lambda$ 的取值范围。

答案：1. $(-3, 4)$，5；2. $m = 4$；3. $\dfrac{\pi}{3}$；4. $(1, 0)$；5. $\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$；6. $x = 3$；7. $\dfrac{\pi}{3}$；8. $\lambda < \dfrac{1}{2}$ 且 $\lambda \ne -2$。

15.8 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，有按人教版章节排列的高中数学同步课程，可找必修第二册第六章“平面向量及其应用”的课。
• Khan Academy · Vectors：向量的分量、模、加减和数乘的英文视频讲解，配练习题。
• Wolfram MathWorld · Dot Product：数量积（点积）的英文定义和性质，查英文说法和推广到高维的形式时用。
• GeoGebra：免费在线作图工具，画两个向量、拖动端点，能直接看到夹角、数量积和投影怎么变。