第 31 章 · 双曲线

项目	内容
课标主题	选择性必修 · 几何与代数 · 平面解析几何（圆锥曲线与方程）
人教 A 版	选择性必修第一册 第三章 3.2
考试地位	必考。新高考全国卷（2025 年起称全国一卷、二卷）每套卷都有一道圆锥曲线解答题，2021–2026 年共 12 道：椭圆 6 道（2021 年Ⅱ卷，2024 年Ⅰ卷，2025、2026 年一卷和二卷），双曲线 5 道（2021 年Ⅰ卷，2022 年Ⅰ、Ⅱ卷，2023 年Ⅱ卷，2024 年Ⅱ卷），抛物线 1 道（2023 年Ⅰ卷）；双曲线出现的次数仅次于椭圆。选择题、填空题常考离心率、渐近线和焦点三角形
前置知识	第 28 章直线的方程（点到直线的距离）、第 30 章椭圆、第 16 章余弦定理

双曲线和第 30 章的椭圆是一对“镜像”：椭圆是到两焦点距离之和为常数，双曲线是距离之差的绝对值为常数。两章的方程、性质、题型几乎一一对应，所以最好对照着学。丢分主要丢在三处：把椭圆的 $a^2 = b^2 + c^2$ 带到双曲线里、由渐近线求离心率时不讨论焦点在哪条轴上、用定义算焦半径时忘了检验点在哪一支。

课标对双曲线的要求比椭圆低一级：椭圆是“掌握定义、标准方程及简单几何性质”，双曲线是“了解定义、几何图形和标准方程，以及简单几何性质”。考试题也相应地以小题为主。

31.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
31.2 双曲线的定义和标准方程	到两定点距离之差的绝对值为 $2a$（$0 < 2a < 2c$）的点的轨迹；$c^2 = a^2 + b^2$	常考，多和焦点三角形一起考
31.3 双曲线的几何性质	范围、对称性、顶点、实轴虚轴、离心率 $e = \dfrac{c}{a} > 1$	常考，离心率是最高频的设问
31.4 渐近线	$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 的渐近线是 $y = \pm\dfrac{b}{a}x$；共渐近线、等轴双曲线	常考，几乎每道双曲线小题都会用到

31.2 双曲线的定义和标准方程

说明

定义：平面内与两个定点 $F_1$、$F_2$ 的距离之差的绝对值等于常数 $2a$（$0 < 2a < |F_1F_2|$）的点的轨迹，叫双曲线。两个定点叫焦点，两焦点间的距离 $|F_1F_2| = 2c$ 叫焦距。

用式子写：

$$\big||PF_1| - |PF_2|\big| = 2a, \quad 0 < 2a < 2c.$$

去掉绝对值就是两种情况：$|PF_1| - |PF_2| = 2a$ 时点离 $F_2$ 更近，在靠近 $F_2$ 的一支上；$|PF_2| - |PF_1| = 2a$ 时在靠近 $F_1$ 的一支上。两支合起来才是整条双曲线。

常数 $2a$ 取别的值时，轨迹不是双曲线：

条件	轨迹
$0 < 2a < 2c$	双曲线
$2a = 2c$	以 $F_1$、$F_2$ 为端点、向外的两条射线
$2a > 2c$	不存在（三角形两边之差小于第三边）
$2a = 0$	线段 $F_1F_2$ 的垂直平分线

标准方程：令 $b^2 = c^2 - a^2$（$b > 0$），

焦点位置	标准方程	焦点
$x$ 轴上	$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	$(\pm c, 0)$
$y$ 轴上	$\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1$	$(0, \pm c)$

两种情况都有 $a > 0$，$b > 0$，

$$c^2 = a^2 + b^2.$$

判断焦点在哪条轴上：看哪一项是正的。$x^2$ 项为正，焦点在 $x$ 轴上；$y^2$ 项为正，焦点在 $y$ 轴上。这和椭圆“看分母谁大”不同：双曲线的 $a$ 和 $b$ 谁大都可以。

一般写法：方程 $mx^2 + ny^2 = 1$ 表示双曲线，当且仅当 $mn < 0$。焦点位置不确定时，常设成这个形式。

和椭圆对照（椭圆见第 30 章）：

	椭圆	双曲线
定义	距离之和 $= 2a$，$2a > 2c$	距离之差的绝对值 $= 2a$，$0 < 2a < 2c$
方程	$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
$a, b, c$	$a^2 = b^2 + c^2$，$a$ 最大	$c^2 = a^2 + b^2$，$c$ 最大
焦点位置	看分母谁大	看哪一项为正

使用场景

• 动点到两个定点的距离之差为常数（常由两圆相切转化而来）：想到双曲线的定义，再看是一支还是两支。
• 焦点位置不确定、已知曲线过两个点：设 $mx^2 + ny^2 = 1$（$mn < 0$），代点解方程组。
• 题目说“与某椭圆（或双曲线）有相同的焦点”：先求出 $c$ 和焦点位置，再设方程。
• 双曲线上一点和两个焦点构成三角形，给出顶角：定义加余弦定理，求边长乘积或面积。
• 已知点到一个焦点的距离，求到另一个焦点的距离：用定义得两个候选值，再用“焦半径不小于 $c - a$“检验。

注意点

• 定义里的“绝对值”不能丢。没有绝对值时只得到一支。
• 定义要求 $0 < 2a < 2c$。题目给出 $|PF_1| - |PF_2| = 6$ 而 $|F_1F_2| = 6$ 时，轨迹是射线，不是双曲线。
• 双曲线里 $c$ 最大：$c^2 = a^2 + b^2$。不要和椭圆的 $a^2 = b^2 + c^2$ 混用。
• 标准方程右边必须是 $1$。$4x^2 - 9y^2 = 36$ 要先两边除以 36，化成 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{4} = 1$ 再读 $a$、$b$。
• 双曲线上的点到焦点的距离最小是 $c - a$（在顶点处取到，推导见 31.3 节“证明”）。用定义算出的距离小于 $c - a$ 时要舍去。

证明

由定义推导标准方程（课本的推导）。

以 $F_1F_2$ 所在直线为 $x$ 轴、线段 $F_1F_2$ 的垂直平分线为 $y$ 轴建立坐标系，则 $F_1(-c, 0)$，$F_2(c, 0)$。设 $P(x, y)$ 是双曲线上任一点，由定义 $|PF_1| - |PF_2| = \pm 2a$，即

$$\sqrt{(x + c)^2 + y^2} - \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = \pm 2a.$$

1. 移项：$\sqrt{(x + c)^2 + y^2} = \pm 2a + \sqrt{(x - c)^2 + y^2}$。
2. 两边平方：$(x + c)^2 + y^2 = 4a^2 \pm 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + (x - c)^2 + y^2$。
3. 展开、消去相同的项：$4cx - 4a^2 = \pm 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2}$，即 $cx - a^2 = \pm a\sqrt{(x - c)^2 + y^2}$。
4. 再平方：$c^2x^2 - 2a^2cx + a^4 = a^2(x^2 - 2cx + c^2 + y^2)$。
5. 整理：$(c^2 - a^2)x^2 - a^2y^2 = a^2(c^2 - a^2)$。

（关键一步：因为 $c > a > 0$，所以 $c^2 - a^2 > 0$，可以令 $b^2 = c^2 - a^2$，$b > 0$。这正是定义里要求 $2a < 2c$ 的原因；如果 $a \ge c$，这一步就写不出正的 $b^2$。）

代入得 $b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2$，两边除以 $a^2b^2$：

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1.$$

反过来，满足这个方程的点也满足定义（课本略去这一步的验证，思路是把方程代回去算 $|PF_1|$ 和 $|PF_2|$，见 31.3 节的焦半径公式）。焦点在 $y$ 轴上时，把 $x$、$y$ 互换即可。

为什么要求 $2a < 2c$。 点 $P$ 不在直线 $F_1F_2$ 上时，$PF_1$、$PF_2$、$F_1F_2$ 构成三角形，两边之差小于第三边：$\big||PF_1| - |PF_2|\big| < |F_1F_2|$。所以常数 $2a$ 只能小于 $2c$；等于 $2c$ 时 $P$ 只能在直线 $F_1F_2$ 上、线段之外，即两条射线。

例题

例 1　（场景：动点到两定点距离之差为常数）已知圆 $C_1$：$(x + 3)^2 + y^2 = 1$ 和圆 $C_2$：$(x - 3)^2 + y^2 = 9$，动圆 $M$ 与两圆都外切，求动圆圆心 $M$ 的轨迹方程。

解：$C_1(-3, 0)$，半径 1；$C_2(3, 0)$，半径 3。设动圆半径为 $r$。

外切时圆心距等于半径之和：$|MC_1| = r + 1$，$|MC_2| = r + 3$。两式相减消去 $r$：

$$|MC_2| - |MC_1| = 2.$$

$2 < |C_1C_2| = 6$，所以 $M$ 在以 $C_1$、$C_2$ 为焦点的双曲线上，$2a = 2$，$c = 3$，$a = 1$，$b^2 = c^2 - a^2 = 8$。

又因为 $|MC_2| > |MC_1|$，$M$ 离 $C_1$ 更近，只在靠近 $C_1$ 的左支上。轨迹方程为

$$x^2 - \frac{y^2}{8} = 1 \quad (x \le -1).$$

容易卡在：得到双曲线方程就停，忘了这里的差没有绝对值，只取一支。

例 2　（场景：焦点位置不确定，过两点求方程）求经过点 $P(3, 4\sqrt{2})$ 和 $Q\left(\dfrac{9}{4}, 5\right)$ 的双曲线的标准方程。

解：焦点在哪条轴上不知道，设方程为 $mx^2 + ny^2 = 1$（$mn < 0$）。代入两点：

$$\begin{cases} 9m + 32n = 1, \\ \frac{81}{16}m + 25n = 1. \end{cases}$$

第二式乘 16：$81m + 400n = 16$；第一式乘 9：$81m + 288n = 9$。相减得 $112n = 7$，$n = \dfrac{1}{16}$。代回第一式：$9m = 1 - 2 = -1$，$m = -\dfrac{1}{9}$。

$mn < 0$，符合。方程为 $-\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{16} = 1$，即

$$\frac{y^2}{16} - \frac{x^2}{9} = 1.$$

容易卡在：一上来设 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，解出 $a^2 < 0$ 才发现设错了。设 $mx^2 + ny^2 = 1$ 一次就能把两种情况都包进去，也不用解关于 $\dfrac{1}{a^2}$ 的分式方程。

例 3　（场景：与已知曲线共焦点）求与椭圆 $\dfrac{x^2}{27} + \dfrac{y^2}{36} = 1$ 有相同的焦点，且经过点 $(\sqrt{15}, 4)$ 的双曲线的标准方程。

解：椭圆的 $36 > 27$，焦点在 $y$ 轴上，$c^2 = 36 - 27 = 9$，焦点 $(0, \pm 3)$。

设双曲线为 $\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{9 - a^2} = 1$（$0 < a^2 < 9$），代入 $(\sqrt{15}, 4)$：

$$\frac{16}{a^2} - \frac{15}{9 - a^2} = 1.$$

令 $u = a^2$，去分母：$16(9 - u) - 15u = u(9 - u)$，整理得 $u^2 - 40u + 144 = 0$，$u = 4$ 或 $u = 36$。要求 $0 < u < 9$，所以 $a^2 = 4$，$b^2 = 5$。方程为

$$\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{5} = 1.$$

另一种解法：直接用定义。点 $P(\sqrt{15}, 4)$ 到两焦点的距离：$|PF_2| = \sqrt{15 + (4 - 3)^2} = 4$，$|PF_1| = \sqrt{15 + (4 + 3)^2} = 8$。所以 $2a = |8 - 4| = 4$，$a = 2$，$b^2 = 9 - 4 = 5$，得同一个方程。焦点已知时，用定义只需算两个距离，不用解方程，最省时间；焦点未知时只能用待定系数。

例 4　（场景：焦点三角形）$F_1$、$F_2$ 是双曲线 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$ 的两个焦点，点 $P$ 在双曲线上，$\angle F_1PF_2 = 60°$，求 $\triangle F_1PF_2$ 的面积。

解：$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$，$|F_1F_2| = 10$。设 $|PF_1| = m$，$|PF_2| = n$。

由定义：$|m - n| = 6$，平方得 $m^2 + n^2 - 2mn = 36$。

由余弦定理：$m^2 + n^2 - 2mn\cos 60° = 100$，即 $m^2 + n^2 - mn = 100$。

两式相减：$mn = 64$。面积

$$S = \frac{1}{2}mn\sin 60° = \frac{1}{2} \times 64 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3}.$$

容易卡在：想先解出 $m$、$n$ 再算面积。面积只要乘积 $mn$，把定义式平方后和余弦定理相减，$m^2 + n^2$ 正好消掉。

另一种解法：直接套本节“常用推论”的面积公式 $S = \dfrac{b^2}{\tan\dfrac{\theta}{2}} = \dfrac{16}{\tan 30°} = 16\sqrt{3}$。选择填空题用公式最快；解答题要写推导，用上面的主解法。

例 5　（场景：已知到一个焦点的距离求到另一个焦点的距离）双曲线 $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{20} = 1$ 上一点 $P$ 到焦点 $F_1$ 的距离为 9，求点 $P$ 到焦点 $F_2$ 的距离。

解：$a = 4$，$c = \sqrt{16 + 20} = 6$。由定义 $\big||PF_1| - |PF_2|\big| = 8$，所以 $|PF_2| = 9 - 8 = 1$ 或 $|PF_2| = 9 + 8 = 17$。

检验：双曲线上的点到焦点的距离至少是 $c - a = 2$，$|PF_2| = 1 < 2$，舍去。所以 $|PF_2| = 17$。

容易卡在：两个值都写上。$|PF_2| = 1$ 意味着 $P$ 在靠近 $F_2$ 的右支上，但右支上离 $F_2$ 最近的点是右顶点，距离 $c - a = 2$，到不了 1。

常用推论

• 焦点三角形面积：$P$ 在双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 上，$\angle F_1PF_2 = \theta$，则 $S_{\triangle F_1PF_2} = \dfrac{b^2}{\tan\dfrac{\theta}{2}}$。推导：设 $|PF_1| = m$，$|PF_2| = n$，由定义 $(m - n)^2 = 4a^2$，由余弦定理 $4c^2 = m^2 + n^2 - 2mn\cos\theta = (m - n)^2 + 2mn(1 - \cos\theta)$，得 $mn = \dfrac{2b^2}{1 - \cos\theta}$，于是 $S = \dfrac{1}{2}mn\sin\theta = \dfrac{b^2\sin\theta}{1 - \cos\theta} = \dfrac{b^2}{\tan\dfrac{\theta}{2}}$（最后一步用二倍角公式，第 13 章）。对照椭圆的 $b^2\tan\dfrac{\theta}{2}$（第 30 章）。
• $\theta = 90°$ 时：$S = b^2$，且 $mn = 2b^2$。
• $mx^2 + ny^2 = 1$ 表示双曲线 $\iff mn < 0$：$m$、$n$ 异号才能化成“一正一负”的标准方程。
• $\dfrac{x^2}{k - p} + \dfrac{y^2}{k - q} = 1$ 表示双曲线 $\iff (k - p)(k - q) < 0$：同上，两个分母异号。

易错点

• 错在哪：把“到两定点距离之差为 2”直接写成整条双曲线的方程。 为什么错：定义里是差的绝对值。没有绝对值、只规定了谁减谁时，只有一支。 正确做法：看清题目里是 $|MC_2| - |MC_1|$ 还是它的绝对值；只有一个方向时，写出方程后加上 $x$ 的范围。
• 错在哪：双曲线里用 $c^2 = a^2 - b^2$ 或 $a^2 = b^2 + c^2$。 为什么错：那是椭圆的关系。双曲线的推导里 $b^2 = c^2 - a^2$，$c$ 最大。 正确做法：记“椭圆 $a$ 最大，双曲线 $c$ 最大”。
• 错在哪：看到 $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{9} = 1$，因为 $9 > 4$ 就以为焦点在 $y$ 轴上。 为什么错：把椭圆“看分母谁大”的方法套到了双曲线上。 正确做法：双曲线看哪一项为正，这里 $x^2$ 项为正，焦点在 $x$ 轴上。
• 错在哪：例 5 这类题，用定义算出两个距离都保留。 为什么错：焦半径不能小于 $c - a$。 正确做法：算出两个候选值后，逐个和 $c - a$ 比较。

直观理解

拿两枚图钉钉在 $F_1$、$F_2$，用一根绳子画椭圆时，笔尖到两钉的距离之和不变；画双曲线时，让笔尖到两钉的距离之差不变：离一个焦点远多少，离另一个焦点就远同样多再加上 $2a$。

一句话记法：椭圆是“和”，双曲线是“差”；椭圆 $a$ 最大，双曲线 $c$ 最大。

关联知识点

• 前置：第 30 章椭圆，定义、方程、推导的步骤完全平行，可以对照记忆。
• 前置：第 28 章直线的方程和第 29 章圆的方程，例 1 的两圆相切转化为圆心距。
• 前置：第 16 章余弦定理，焦点三角形必用。
• 后续：31.3 双曲线的几何性质、31.4 渐近线，都从标准方程读出来。
• 后续：第 33 章直线与圆锥曲线，联立时要先写对双曲线的方程。

31.3 双曲线的几何性质

说明

以 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）为例：

性质	内容
范围	$x \le -a$ 或 $x \ge a$，$y \in \mathbf{R}$
对称性	关于 $x$ 轴、$y$ 轴、原点都对称；原点叫双曲线的中心
顶点	$A_1(-a, 0)$，$A_2(a, 0)$，只有两个
实轴、虚轴	线段 $A_1A_2$ 叫实轴，长 $2a$；$B_1(0, -b)$、$B_2(0, b)$ 连成的线段叫虚轴，长 $2b$。$a$、$b$ 分别叫实半轴长、虚半轴长
离心率	$e = \dfrac{c}{a}$，$e > 1$
渐近线	$y = \pm\dfrac{b}{a}x$，见 31.4 节

焦点在 $y$ 轴上的 $\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1$：范围 $y \le -a$ 或 $y \ge a$，顶点 $(0, \pm a)$，实轴在 $y$ 轴上，离心率同样是 $e = \dfrac{c}{a}$。

离心率和形状：

$$e^2 = \frac{c^2}{a^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2} = 1 + \frac{b^2}{a^2}, \qquad \frac{b}{a} = \sqrt{e^2 - 1}.$$

$e$ 越大，$\dfrac{b}{a}$ 越大，渐近线越陡，双曲线的开口越阔；$e$ 越接近 1，开口越窄。

和椭圆的几何性质对照（第 30 章）：

	椭圆	双曲线
范围	$-a \le x \le a$，$-b \le y \le b$	$x \le -a$ 或 $x \ge a$
顶点	4 个	2 个（虚轴端点不在曲线上）
轴	长轴 $2a$、短轴 $2b$	实轴 $2a$、虚轴 $2b$，谁长都可以
离心率	$0 < e < 1$，越大越扁	$e > 1$，越大开口越阔
渐近线	无	$y = \pm\dfrac{b}{a}x$

使用场景

• 给出双曲线方程，求顶点、焦点、实轴长、虚轴长、离心率：先化成标准方程，看哪一项为正。
• 求离心率的值：把条件翻译成 $a$、$b$、$c$ 之间的一个等式，消去 $b$，化成 $e$ 的方程。
• 求离心率的取值范围：找一个不等关系（常用“焦半径不小于 $c - a$“或”$|x| \ge a$“），化成 $e$ 的不等式，再和 $e > 1$ 取交集。
• 已知实轴、虚轴、离心率中的两个，求标准方程：用 $c^2 = a^2 + b^2$ 和 $e = \dfrac{c}{a}$ 列方程。

注意点

• 实轴长是 $2a$，不是 $a$；焦距是 $2c$，不是 $c$。题目说“实轴长为 6”，$a = 3$。
• 双曲线的 $a$ 不一定大于 $b$。实轴由哪一项为正决定，不由分母大小决定。
• 虚轴的端点 $B_1$、$B_2$ 不在双曲线上，所以双曲线只有两个顶点。
• 离心率的答案必须大于 1。求范围时最后一步一定要和 $(1, +\infty)$ 取交集。
• 求离心率的核心是凑出 $a$、$c$ 的齐次式（每一项次数相同），才能两边同除以 $a$ 的幂化成 $e$。

证明

范围。 由方程 $\dfrac{x^2}{a^2} = 1 + \dfrac{y^2}{b^2} \ge 1$，得 $x^2 \ge a^2$，即 $x \le -a$ 或 $x \ge a$。$y$ 可以取任何实数：对任意 $y$，$x^2 = a^2\left(1 + \dfrac{y^2}{b^2}\right)$ 都有解。所以双曲线分成左右两支，中间 $-a < x < a$ 的带状区域里没有点。

对称性。 把方程中的 $x$ 换成 $-x$，方程不变，所以图形关于 $y$ 轴对称；$y$ 换成 $-y$ 不变，关于 $x$ 轴对称；同时换，关于原点对称。

顶点。 令 $y = 0$ 得 $x = \pm a$；令 $x = 0$ 得 $y^2 = -b^2$，无解，所以和 $y$ 轴没有交点，只有两个顶点。

离心率大于 1。 $c^2 = a^2 + b^2 > a^2$，所以 $c > a$，$e = \dfrac{c}{a} > 1$。

焦半径公式。 设 $P(x_0, y_0)$ 在双曲线上，$F_2(c, 0)$。由方程，$y_0^2 = b^2\left(\dfrac{x_0^2}{a^2} - 1\right)$，代入距离公式：

$$|PF_2|^2 = (x_0 - c)^2 + y_0^2 = \left(1 + \frac{b^2}{a^2}\right)x_0^2 - 2cx_0 + c^2 - b^2 = \frac{c^2}{a^2}x_0^2 - 2cx_0 + a^2 = \left(\frac{c}{a}x_0 - a\right)^2.$$

（关键一步：用 $1 + \dfrac{b^2}{a^2} = \dfrac{c^2}{a^2}$ 和 $c^2 - b^2 = a^2$ 把式子凑成完全平方，根号就能开出来。）

所以 $|PF_2| = |ex_0 - a|$，同理 $|PF_1| = |ex_0 + a|$。

• $P$ 在右支（$x_0 \ge a$）：$|PF_1| = ex_0 + a$，$|PF_2| = ex_0 - a$，两者之差正好是 $2a$。
• $P$ 在左支（$x_0 \le -a$）：$|PF_1| = -(ex_0 + a)$，$|PF_2| = -(ex_0 - a)$。

右支上 $|PF_2| = ex_0 - a$ 随 $x_0$ 增大而增大，$x_0 = a$（右顶点）时最小，为 $ea - a = c - a$。所以双曲线上的点到焦点的最小距离是 $c - a$。

例题

例 1　（场景：由方程读几何量）求双曲线 $4x^2 - 9y^2 = -36$ 的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率。

解：两边除以 $-36$：$\dfrac{y^2}{4} - \dfrac{x^2}{9} = 1$。$y^2$ 项为正，焦点在 $y$ 轴上，$a^2 = 4$，$b^2 = 9$。

$a = 2$，$b = 3$，$c = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$。

• 实轴长 $2a = 4$，虚轴长 $2b = 6$；
• 顶点 $(0, -2)$、$(0, 2)$；
• 焦点 $(0, -\sqrt{13})$、$(0, \sqrt{13})$；
• 离心率 $e = \dfrac{\sqrt{13}}{2}$。

容易卡在：右边是 $-36$，除完后正负号翻转，焦点跑到了 $y$ 轴上。本题 $b > a$，正好说明双曲线的实轴可以比虚轴短。

例 2　（场景：求离心率的值）$F_1$、$F_2$ 是双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 的左、右焦点，过 $F_2$ 作 $x$ 轴的垂线交双曲线于 $A$、$B$ 两点。若 $\triangle ABF_1$ 是正三角形，求双曲线的离心率。

解：把 $x = c$ 代入方程：$\dfrac{y^2}{b^2} = \dfrac{c^2}{a^2} - 1 = \dfrac{b^2}{a^2}$，得 $y = \pm\dfrac{b^2}{a}$，所以 $|AF_2| = \dfrac{b^2}{a}$。

正三角形中 $F_1F_2$ 是高，$\angle AF_1F_2 = 30°$，所以

$$\tan 30° = \frac{|AF_2|}{|F_1F_2|} = \frac{b^2/a}{2c}.$$

即 $\dfrac{b^2}{a} = \dfrac{2c}{\sqrt{3}}$，整理得 $\sqrt{3}b^2 = 2ac$。把 $b^2 = c^2 - a^2$ 代入：$\sqrt{3}(c^2 - a^2) = 2ac$。两边同除以 $a^2$：

$$\sqrt{3}e^2 - 2e - \sqrt{3} = 0, \quad e = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2\sqrt{3}} = \frac{2 \pm 4}{2\sqrt{3}}.$$

$e > 1$，取正号：$e = \dfrac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}$。

另一种解法：用定义，不用通径。$\triangle AF_1F_2$ 是含 $30°$ 角的直角三角形，$|AF_1| = 2|AF_2|$。又 $A$ 在右支上，$|AF_1| - |AF_2| = 2a$，所以 $|AF_2| = 2a$，$|AF_1| = 4a$，$|F_1F_2| = \sqrt{3}|AF_2| = 2\sqrt{3}a$。于是 $2c = 2\sqrt{3}a$，$e = \sqrt{3}$。图形里有焦点三角形、边长比例已知时，用定义直接求出各边比解二次方程快；条件只给了坐标或斜率时，用主解法的代数路线。

例 3　（场景：求离心率的取值范围）$F_1$、$F_2$ 是双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 的左、右焦点。若双曲线的右支上存在点 $P$，使 $|PF_1| = 3|PF_2|$，求离心率的取值范围。

解：$P$ 在右支上，$|PF_1| - |PF_2| = 2a$。代入 $|PF_1| = 3|PF_2|$：$2|PF_2| = 2a$，$|PF_2| = a$。

右支上的点到 $F_2$ 的距离至少是 $c - a$，所以 $a \ge c - a$，即 $c \le 2a$，$e \le 2$。

又 $e > 1$，所以离心率的取值范围是 $(1, 2]$。

容易卡在：不知道从哪里找不等关系。“存在点 $P$“的题目，把 $P$ 的某个量算出来以后，问它能不能落在允许的范围内：焦半径的范围是 $[c - a, +\infty)$，横坐标的范围是 $|x| \ge a$。

例 4　（场景：由几何量求方程）焦点在 $x$ 轴上的双曲线，虚轴长为 8，离心率为 $\dfrac{5}{3}$，求它的标准方程。

解：$2b = 8$，$b = 4$。由 $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{5}{3}$，得 $c = \dfrac{5}{3}a$，代入 $c^2 = a^2 + b^2$：

$$\frac{25}{9}a^2 = a^2 + 16, \quad \frac{16}{9}a^2 = 16, \quad a^2 = 9.$$

标准方程为 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$。

常用推论

• 离心率与 $\dfrac{b}{a}$：$e^2 = 1 + \dfrac{b^2}{a^2}$。推导见本节“说明”。
• 焦半径：$P(x_0, y_0)$ 在右支上，$|PF_1| = ex_0 + a$，$|PF_2| = ex_0 - a$；在左支上，$|PF_1| = -ex_0 - a$，$|PF_2| = -ex_0 + a$。推导见本节“证明”。
• 焦点到双曲线上的点的最小距离是 $c - a$，在同侧顶点处取到。
• 通径（过焦点且垂直于实轴的弦）长 $\dfrac{2b^2}{a}$。推导：把 $x = c$ 代入方程得 $y = \pm\dfrac{b^2}{a}$，见例 2。和椭圆的通径长形式相同。

易错点

• 错在哪：例 3 算出 $e \le 2$ 就写答案 $(0, 2]$ 或 $(-\infty, 2]$。 为什么错：双曲线的离心率本来就大于 1。 正确做法：最后一步和 $e > 1$ 取交集，得 $(1, 2]$。
• 错在哪：认为双曲线有四个顶点 $(\pm a, 0)$、$(0, \pm b)$。 为什么错：令 $x = 0$，方程 $-\dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 无解，$(0, \pm b)$ 不在曲线上。 正确做法：虚轴端点只是用来画渐近线的辅助点，双曲线只有两个顶点。
• 错在哪：例 1 没有先化成标准方程，直接从 $4x^2 - 9y^2 = -36$ 读出 $a = 3$，$b = 2$。 为什么错：右边是负数，化成标准方程后 $y^2$ 项才是正的，实轴在 $y$ 轴上。 正确做法：先把右边化成 $1$，看清哪一项为正，再读 $a$、$b$。

直观理解

把双曲线想成从顶点出发、向外张开的两个“喇叭口”。$e$ 控制喇叭口张开的程度：$e$ 刚比 1 大一点时，喇叭口很窄，几乎贴着 $x$ 轴；$e$ 越大，喇叭口越阔，渐近线越陡。

记法：椭圆的 $e$ 管“扁不扁”，双曲线的 $e$ 管“阔不阔”。

关联知识点

• 前置：31.2 双曲线的定义和标准方程，所有性质都从标准方程读出来。
• 前置：第 30 章椭圆的几何性质，对照表见本节“说明”。
• 后续：31.4 渐近线，矩形的对角线就是渐近线，斜率 $\dfrac{b}{a} = \sqrt{e^2 - 1}$。
• 后续：第 32 章抛物线，离心率 $e = 1$，正好夹在椭圆和双曲线之间。
• 常一起考：第 16 章解三角形，离心率题常在焦点三角形里用正弦、余弦定理找 $a$、$c$ 的关系。

31.4 渐近线

说明

渐近线：双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 的两支向外延伸时，越来越接近两条直线

$$y = \pm\frac{b}{a}x,$$

但永远不会和它们相交。这两条直线叫双曲线的渐近线。

双曲线	渐近线
$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（焦点在 $x$ 轴）	$y = \pm\dfrac{b}{a}x$
$\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1$（焦点在 $y$ 轴）	$y = \pm\dfrac{a}{b}x$

求渐近线的统一办法：把标准方程右边的 $1$ 换成 $0$，再分解。

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0 \iff \left(\frac{x}{a} - \frac{y}{b}\right)\left(\frac{x}{a} + \frac{y}{b}\right) = 0 \iff y = \pm\frac{b}{a}x.$$

这个办法不用记两种情况，焦点在哪条轴上都适用。

共渐近线的双曲线：与 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 有相同渐近线的双曲线，都可以写成

$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = \lambda \quad (\lambda \ne 0).$$

$\lambda > 0$ 时焦点在 $x$ 轴上，$\lambda < 0$ 时焦点在 $y$ 轴上。

等轴双曲线：实轴和虚轴等长（$a = b$）的双曲线，方程为 $x^2 - y^2 = \lambda$（$\lambda \ne 0$）。它的渐近线是 $y = \pm x$，互相垂直；离心率

$$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{2}.$$

使用场景

• 给出双曲线方程，求渐近线：把右边换成 0 再分解。
• 已知渐近线方程（和另一个条件），求双曲线方程：设共渐近线方程 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = \lambda$，代入条件求 $\lambda$。
• 已知离心率求渐近线，或已知渐近线求离心率：用 $\dfrac{b}{a} = \sqrt{e^2 - 1}$，并讨论焦点在哪条轴上。
• 题目出现“焦点到渐近线的距离”：它恒等于 $b$。
• 题目说“等轴双曲线”或渐近线互相垂直：$a = b$，$e = \sqrt{2}$，方程设为 $x^2 - y^2 = \lambda$。

注意点

• 焦点在 $y$ 轴上时，渐近线是 $y = \pm\dfrac{a}{b}x$，不是 $y = \pm\dfrac{b}{a}x$。用“右边换成 0”的办法就不会错。
• 只知道渐近线，不能确定焦点在哪条轴上：$y = \pm 2x$ 既可以是 $x^2 - \dfrac{y^2}{4} = 1$ 的渐近线，也可以是 $\dfrac{y^2}{4} - x^2 = 1$ 的渐近线。所以由渐近线求离心率常有两个答案。
• 渐近线相同的双曲线有无穷多条，离心率可以不同（$\lambda$ 正负不同时）。
• 双曲线和它的渐近线没有交点；与渐近线平行的直线和双曲线只有一个交点（第 33 章会用到）。

证明

为什么 $y = \dfrac{b}{a}x$ 是渐近线。 由对称性，只看第一象限。双曲线在第一象限的部分是 $y = \dfrac{b}{a}\sqrt{x^2 - a^2}$（$x \ge a$）。对同一个 $x$，直线上的点比曲线上的点高出

$$d = \frac{b}{a}x - \frac{b}{a}\sqrt{x^2 - a^2} = \frac{b}{a}\left(x - \sqrt{x^2 - a^2}\right) = \frac{b}{a} \cdot \frac{a^2}{x + \sqrt{x^2 - a^2}} = \frac{ab}{x + \sqrt{x^2 - a^2}}.$$

（关键一步：分子有理化。原式是两个越来越大的数相减，看不出趋势；有理化后分子是常数 $ab$，分母随 $x$ 增大而无限增大。）

所以：

1. $d > 0$，曲线始终在直线下方，两者不相交；
2. $x$ 越大，$d$ 越小，并且可以小于任何给定的正数。

竖直方向的距离趋于 0，垂直距离（不超过竖直距离）也趋于 0。这就是“无限接近但不相交”。严格地说“无限接近”要用大学微积分里的极限概念；高中用上面的式子说明即可。

共渐近线。 把 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = \lambda$ 右边换成 0，得到的是同一个方程 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 0$，所以渐近线都是 $y = \pm\dfrac{b}{a}x$。

焦点到渐近线的距离等于 $b$。 渐近线 $y = \dfrac{b}{a}x$ 写成 $bx - ay = 0$，焦点 $F(c, 0)$ 到它的距离（点到直线的距离公式，第 28 章）：

$$d = \frac{|bc - 0|}{\sqrt{b^2 + a^2}} = \frac{bc}{c} = b.$$

例题

例 1　（场景：由方程求渐近线）求双曲线 $2y^2 - x^2 = 8$ 的渐近线方程。

解：把右边换成 0：$2y^2 - x^2 = 0$，即 $y^2 = \dfrac{x^2}{2}$，$y = \pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}x$。

检查：化成标准方程 $\dfrac{y^2}{4} - \dfrac{x^2}{8} = 1$，焦点在 $y$ 轴上，$a = 2$，$b = 2\sqrt{2}$，渐近线 $y = \pm\dfrac{a}{b}x = \pm\dfrac{2}{2\sqrt{2}}x = \pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}x$，一致。

容易卡在：化成标准方程后用 $y = \pm\dfrac{b}{a}x$，得到错误的 $y = \pm\sqrt{2}x$。

例 2　（场景：已知渐近线求方程）求渐近线为 $y = \pm 2x$，且经过点 $(2, 2)$ 的双曲线的标准方程。

解：渐近线 $y = \pm 2x$ 即 $2x \pm y = 0$，也就是 $x^2 - \dfrac{y^2}{4} = 0$。设双曲线为

$$x^2 - \frac{y^2}{4} = \lambda \quad (\lambda \ne 0).$$

代入 $(2, 2)$：$4 - 1 = \lambda$，$\lambda = 3$。方程为 $x^2 - \dfrac{y^2}{4} = 3$，即

$$\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{12} = 1.$$

$\lambda > 0$，焦点在 $x$ 轴上。

容易卡在：先假设焦点在 $x$ 轴，设 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 和 $\dfrac{b}{a} = 2$ 去解。这道题碰巧对，但如果点是 $(1, 4)$，就会解出 $a^2 < 0$。设 $\lambda$ 不用预先判断焦点位置，$\lambda$ 的正负自己会告诉你。

例 3　（场景：渐近线与离心率互求）已知双曲线的中心在原点、焦点在坐标轴上，一条渐近线为 $3x - 4y = 0$，求它的离心率。

解：渐近线斜率 $\dfrac{3}{4}$。焦点位置不确定，分两种情况。

1. 焦点在 $x$ 轴上：$\dfrac{b}{a} = \dfrac{3}{4}$，$e = \sqrt{1 + \dfrac{9}{16}} = \dfrac{5}{4}$。
2. 焦点在 $y$ 轴上：渐近线是 $y = \pm\dfrac{a}{b}x$，$\dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{4}$，$\dfrac{b}{a} = \dfrac{4}{3}$，$e = \sqrt{1 + \dfrac{16}{9}} = \dfrac{5}{3}$。

离心率为 $\dfrac{5}{4}$ 或 $\dfrac{5}{3}$。

另一种解法：从角度看。设渐近线与实轴的夹角为 $\alpha$，则 $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{\cos\alpha}$（见本节焦点到渐近线的图：$\triangle OHF$ 中 $\cos\angle HOF = \dfrac{a}{c}$）。直线 $3x - 4y = 0$ 与 $x$ 轴夹角的余弦为 $\dfrac{4}{5}$，与 $y$ 轴夹角的余弦为 $\dfrac{3}{5}$；实轴在 $x$ 轴时 $e = \dfrac{5}{4}$，在 $y$ 轴时 $e = \dfrac{5}{3}$。斜率是“勾股数”之比（如 $\dfrac{3}{4}$、$\dfrac{5}{12}$）时，用角度一眼能看出两个答案；斜率不规整时，用主解法的公式更稳。

例 4　（场景：焦点到渐近线的距离）双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的右焦点到一条渐近线的距离等于实半轴长的 2 倍，求它的离心率和渐近线方程。

解：焦点到渐近线的距离等于 $b$（推导见本节“证明”），所以 $b = 2a$。

$$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}.$$

渐近线 $y = \pm\dfrac{b}{a}x = \pm 2x$。

容易卡在：不知道这个距离就是 $b$。现场用点到直线的距离公式算一遍也可以，结果 $\dfrac{bc}{\sqrt{a^2 + b^2}} = b$。

例 5　（场景：等轴双曲线）中心在原点、焦点在 $x$ 轴上的等轴双曲线经过点 $(3, -1)$。

（1）求它的标准方程和离心率；

（2）$A_1$、$A_2$ 是它的两个顶点，$P$ 是双曲线上异于顶点的任一点，求直线 $PA_1$、$PA_2$ 的斜率之积。

解：（1）设方程为 $x^2 - y^2 = \lambda$，代入 $(3, -1)$：$\lambda = 9 - 1 = 8$。标准方程为 $\dfrac{x^2}{8} - \dfrac{y^2}{8} = 1$，离心率 $e = \sqrt{2}$。

（2）$a = 2\sqrt{2}$，$A_1(-2\sqrt{2}, 0)$，$A_2(2\sqrt{2}, 0)$。设 $P(x_0, y_0)$，$x_0^2 - y_0^2 = 8$，即 $y_0^2 = x_0^2 - 8$。

$$k_{PA_1} \cdot k_{PA_2} = \frac{y_0}{x_0 + 2\sqrt{2}} \cdot \frac{y_0}{x_0 - 2\sqrt{2}} = \frac{y_0^2}{x_0^2 - 8} = 1.$$

斜率之积为 1。

常用推论

• 求渐近线：标准方程右边的 1 换成 0，分解成两个一次因式。推导见本节“说明”。
• 共渐近线的双曲线：$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = \lambda$（$\lambda \ne 0$）。渐近线 $y = \pm kx$ 对应 $k^2x^2 - y^2 = \lambda$。
• 焦点到渐近线的距离等于 $b$，垂足 $H$ 满足 $|OH| = a$。推导见本节“证明”。
• 离心率与渐近线斜率：焦点在 $x$ 轴上、渐近线斜率为 $\pm k$ 时 $e = \sqrt{1 + k^2}$；焦点在 $y$ 轴上时 $e = \sqrt{1 + \dfrac{1}{k^2}}$。由 $e^2 = 1 + \dfrac{b^2}{a^2}$ 直接得到。
• 等轴双曲线：$a = b$，$e = \sqrt{2}$，渐近线 $y = \pm x$ 互相垂直；反过来，渐近线互相垂直的双曲线一定是等轴双曲线。
• 顶点斜率积：$P$ 是 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 上异于顶点的点，$k_{PA_1} \cdot k_{PA_2} = \dfrac{b^2}{a^2}$。推导同例 5（2）：由方程 $y_0^2 = \dfrac{b^2}{a^2}(x_0^2 - a^2)$，所以 $\dfrac{y_0^2}{x_0^2 - a^2} = \dfrac{b^2}{a^2}$。对照椭圆：椭圆上 $y_0^2 = -\dfrac{b^2}{a^2}(x_0^2 - a^2)$，同样的斜率之积是 $-\dfrac{b^2}{a^2}$，符号相反。

易错点

• 错在哪：$\dfrac{y^2}{4} - \dfrac{x^2}{8} = 1$ 的渐近线写成 $y = \pm\dfrac{b}{a}x = \pm\sqrt{2}x$。 为什么错：$y = \pm\dfrac{b}{a}x$ 只适用于焦点在 $x$ 轴上的情况。 正确做法：一律用“右边换成 0”：$\dfrac{y^2}{4} = \dfrac{x^2}{8}$，$y = \pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}x$。
• 错在哪：例 3 只答 $\dfrac{5}{4}$。 为什么错：题目没说焦点在哪条轴上，同一条渐近线对应两种双曲线。 正确做法：只给渐近线、不给焦点位置时，分两种情况，答案常有两个。
• 错在哪：已知渐近线求方程，直接设 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$。 为什么错：默认了焦点在 $x$ 轴上，可能解出 $a^2 < 0$ 或漏掉另一种情况。 正确做法：设 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = \lambda$，由 $\lambda$ 的正负决定焦点位置。

直观理解

渐近线就是“双曲线走到很远处的样子”：离原点越远，$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 右边的 1 相对于左边两项越不起眼，方程越像 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 0$，图形也就越像那两条直线。这正是“把 1 换成 0”这个办法的道理。

画图时先画以实轴、虚轴为边的矩形（见 31.3 节的图），矩形的两条对角线延长就是渐近线，再从两个顶点出发、贴着渐近线向外画两支。

矩形的半条对角线长 $\sqrt{a^2 + b^2} = c$，所以以原点为圆心、过矩形四个角的圆正好经过两个焦点。

反比例函数 $y = \dfrac{1}{x}$ 的图像也是等轴双曲线，只是转了 $45°$，渐近线是两条坐标轴。

关联知识点

• 前置：31.3 双曲线的几何性质，渐近线斜率 $\dfrac{b}{a} = \sqrt{e^2 - 1}$。
• 前置：第 28 章直线的方程，点到直线的距离公式用来推“焦点到渐近线的距离为 $b$”。
• 前置：第 7 章幂函数中的 $y = x^{-1}$，它的图像是转了 $45°$ 的等轴双曲线。
• 后续：第 33 章直线与圆锥曲线，直线与双曲线的交点个数要和渐近线的斜率比较；中点弦斜率的结论也和 $\dfrac{b^2}{a^2}$ 有关。
• 常一起考：31.3 的离心率，大多数双曲线小题都在渐近线和离心率之间互相转化。

31.5 知识点之间的关系

本章三个知识点是一条线：定义（31.2）推出标准方程，标准方程读出几何性质（31.3），几何性质里最有双曲线特色的是渐近线（31.4）。离心率是性质和渐近线的交汇点：$e^2 = 1 + \dfrac{b^2}{a^2}$，而 $\dfrac{b}{a}$ 正是渐近线的斜率。所以高考的双曲线小题，几乎都是在”$a$、$b$、$c$、$e$、渐近线斜率“这五个量之间互相转化。

设方程时，按已知条件选形式：

全章的脉络和跨章联系：

和第 30 章椭圆比，双曲线多了渐近线，少了”$a$ 最大“这条约束，$a$、$b$ 谁大都可以；考试里双曲线以小题为主，大题更多留给椭圆和抛物线（第 32 章）。

31.6 自测

1. 方程 $\dfrac{x^2}{m - 2} + \dfrac{y^2}{m - 5} = 1$ 表示双曲线，求 $m$ 的取值范围。
2. 双曲线 $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$ 上一点 $P$ 到左焦点的距离为 10，求它到右焦点的距离。
3. 求双曲线 $9y^2 - 16x^2 = 144$ 的实轴长和离心率。
4. $F_1$、$F_2$ 是双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 的左、右焦点，若右支上存在点 $P$ 使 $|PF_1| = 2|PF_2|$，求离心率的取值范围。
5. 求与双曲线 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$ 有相同的渐近线，且经过点 $(-3, 2\sqrt{3})$ 的双曲线的标准方程。
6. 双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 的一条渐近线的倾斜角为 $60°$，求它的离心率。
7. 中心在原点、焦点在 $x$ 轴上的等轴双曲线焦距为 4，求它的标准方程。

答案：1. $2 < m < 5$；2. 2 或 18；3. 实轴长 8，离心率 $\dfrac{5}{4}$；4. $(1, 3]$；5. $\dfrac{4x^2}{9} - \dfrac{y^2}{4} = 1$；6. 2；7. $\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{y^2}{2} = 1$。

31.7 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，有按人教版章节排列的高中数学同步课程，可对照选择性必修第一册第三章双曲线复习。
• GeoGebra：免费的在线作图工具，输入双曲线方程就能画出两支和渐近线，拖动参数观察离心率怎样改变开口。
• Wolfram MathWorld · Hyperbola：双曲线的英文定义、方程和性质汇总，查术语和英文说法时用。
• Khan Academy · Hyperbolas：圆锥曲线单元中双曲线部分的英文视频讲解，含标准方程、焦点和渐近线，配练习题。