第 8 章 · 指数与指数函数

项目	内容
课标主题	必修 · 函数 · 幂函数、指数函数、对数函数
人教 A 版	必修第一册 第四章 4.1 指数、4.2 指数函数
考试地位	常考。很少单独出大题；选择题、填空题里考比较大小（常和对数、幂放在一起）、图像过定点、指数不等式和值域；导数题里的 $e^x$ 也以本章为基础
前置知识	初中的平方根、立方根和整数指数幂；第 6 章函数的单调性和奇偶性；第 7 章幂函数

这一章做两件事：先把指数从整数推广到分数、再推广到一切实数，运算法则一条不变；然后把指数当成自变量，得到指数函数。指数函数的性质只有一张表，但要分底数 $a > 1$ 和 $0 < a < 1$ 两种情况。丢分主要丢在三处：偶次根号开出来忘了加绝对值、底数在 0 和 1 之间时不等号忘了反向、换元 $t = a^x$ 时忘了 $t > 0$。

8.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
8.2 根式与分数指数幂	$n$ 次方根分奇偶；$a > 0$ 时规定 $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$	常考，多作为化简求值的一步
8.3 指数的运算性质	$a^r a^s = a^{r+s}$、$(a^r)^s = a^{rs}$、$(ab)^r = a^r b^r$，对一切实数指数成立	常考，化简、条件求值、指数方程都要用
8.4 指数函数的图像和性质	$y = a^x$ 过 $(0, 1)$、在 $x$ 轴上方；$a > 1$ 增，$0 < a < 1$ 减	必考，比较大小、不等式、值域、图像

8.2 根式与分数指数幂

说明

$n$ 次方根：设 $n > 1$，$n \in \mathbf{N}^*$。如果 $x^n = a$，那么 $x$ 叫作 $a$ 的 $n$ 次方根。

$n$	$a > 0$	$a = 0$	$a < 0$
奇数	一个，正数，记作 $\sqrt[n]{a}$	$0$	一个，负数，记作 $\sqrt[n]{a}$
偶数	两个，互为相反数，记作 $\pm\sqrt[n]{a}$	$0$	没有

例如 $8$ 的 3 次方根是 $2$，$-8$ 的 3 次方根是 $-2$；$16$ 的 4 次方根是 $\pm 2$；$-16$ 没有 4 次方根。

根式：式子 $\sqrt[n]{a}$ 叫作根式，$n$ 叫根指数，$a$ 叫被开方数。$n$ 为偶数时，$\sqrt[n]{a}$ 只表示那个非负的方根，并要求 $a \ge 0$。

根式有两个基本等式：

$$\left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a \quad (\text{只要 } \sqrt[n]{a} \text{ 有意义}),$$ $$\sqrt[n]{a^n} = \begin{cases} a, & n \text{ 为奇数}, \\ |a|, & n \text{ 为偶数}. \end{cases}$$

分数指数幂：设 $a > 0$，$m, n \in \mathbf{N}^*$，$n > 1$，规定

$$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m, \qquad a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}.$$

0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义。

根式	分数指数幂	根式	分数指数幂
$\sqrt{a}$	$a^{\frac{1}{2}}$	$\dfrac{1}{\sqrt{a}}$	$a^{-\frac{1}{2}}$
$\sqrt[3]{a^2}$	$a^{\frac{2}{3}}$	$\dfrac{1}{\sqrt[4]{a^3}}$	$a^{-\frac{3}{4}}$
$\sqrt{a^3}$	$a^{\frac{3}{2}}$	$\sqrt[5]{a^{10}}$	$a^{2}$

记法：分母是根指数，分子是被开方数的指数，负号表示取倒数。

使用场景

• 化简 $\sqrt[n]{a^n}$ 型的式子：题目里出现“偶次根号下是某个式子的偶次方”，就要想到开出来是绝对值。
• 根式和分数指数幂互化：题目要求“用分数指数幂表示”，或者式子里根式和指数混在一起不好算。
• 求分数指数幂的值：底数能写成某个数的整数次方（如 $8 = 2^3$、$\dfrac{16}{81} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^4$）。
• 含字母的根式：题目给了字母的范围要求化简，或者问”$x$ 取何值时式子有意义”。

注意点

• 高中只对正数定义分数指数幂。$\sqrt[3]{-8} = -2$ 是对的，但不要写成 $(-8)^{\frac{1}{3}}$，原因见本节“证明”第 3 条。
• 偶次根号下必须非负，偶次根号的值也非负。$\sqrt{4} = 2$，不是 $\pm 2$；“4 的平方根”才是 $\pm 2$。
• $\left(\sqrt[n]{a}\right)^n$ 和 $\sqrt[n]{a^n}$ 不一样：前者先开方再乘方，$n$ 为偶数时要求 $a \ge 0$，结果是 $a$；后者先乘方再开方，$a$ 可以取负数，$n$ 为偶数时结果是 $|a|$。
• 被开方数是含字母的式子时，先看字母的范围，确定式子的正负，再去绝对值。

证明

结论 1：$n$ 为偶数时 $\sqrt[n]{a^n} = |a|$；$n$ 为奇数时 $\sqrt[n]{a^n} = a$。

$n$ 为偶数时，$a^n \ge 0$，它的 $n$ 次方根有 $\pm|a|$ 两个（因为 $(\pm|a|)^n = |a|^n = a^n$）。根式 $\sqrt[n]{a^n}$ 规定取非负的那个，所以等于 $|a|$。（关键一步：偶次根式规定只取非负值，而 $a$ 本身可能是负数，所以不能直接写 $a$。）

$n$ 为奇数时，$a^n$ 的 $n$ 次方根只有一个，而 $a$ 的 $n$ 次方正好是 $a^n$，所以就是 $a$。

结论 2：$a > 0$ 时，$\sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$。

$\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$ 是正数，并且按整数指数的运算法则

$$\left[\left(\sqrt[n]{a}\right)^m\right]^n = \left[\left(\sqrt[n]{a}\right)^n\right]^m = a^m,$$

所以它是 $a^m$ 的正的 $n$ 次方根，也就是 $\sqrt[n]{a^m}$。

结论 3：为什么这样规定分数指数幂，为什么要求 $a > 0$。

规定的出发点是让整数指数的法则 $(a^r)^s = a^{rs}$ 继续成立。如果它成立，那么

$$\left(a^{\frac{m}{n}}\right)^n = a^{\frac{m}{n} \cdot n} = a^m,$$

即 $a^{\frac{m}{n}}$ 必须是 $a^m$ 的一个 $n$ 次方根。$n$ 为偶数时有正负两个，约定取正的，就得到 $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$。

底数为负数时会出矛盾。如果允许 $(-8)^{\frac{1}{3}}$，它应该等于 $\sqrt[3]{-8} = -2$；但 $\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}$，按同一规定 $(-8)^{\frac{2}{6}} = \sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2$。同一个指数算出两个不同的值。（关键一步：分数可以约分，而负底数的结果和分数的写法有关，所以只能把底数限定为正数。）$a > 0$ 时不会出这个问题：$\sqrt[nk]{a^{mk}}$ 是正数，它的 $n$ 次方的 $k$ 次方是 $a^{mk}$，可以验证它就等于 $\sqrt[n]{a^m}$。

例题

例 1　（场景：化简 $\sqrt[n]{a^n}$）计算 $\sqrt[4]{(3 - \pi)^4} + \sqrt[3]{(2 - \pi)^3}$。

解：4 是偶数，$\sqrt[4]{(3 - \pi)^4} = |3 - \pi|$。因为 $\pi > 3$，所以 $|3 - \pi| = \pi - 3$。

3 是奇数，$\sqrt[3]{(2 - \pi)^3} = 2 - \pi$。

原式 $= (\pi - 3) + (2 - \pi) = -1$。

容易卡在：把 $\sqrt[4]{(3 - \pi)^4}$ 直接写成 $3 - \pi$，得到 $5 - 2\pi$。

例 2　（场景：根式和分数指数幂互化）设 $a > 0$。

（1）用分数指数幂表示：$\sqrt[3]{a^2}$，$\dfrac{1}{\sqrt{a^5}}$，$\sqrt[6]{a^3}$。

（2）用根式表示：$a^{\frac{3}{4}}$，$a^{-\frac{2}{5}}$。

解：

（1）$\sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}$；$\dfrac{1}{\sqrt{a^5}} = a^{-\frac{5}{2}}$；$\sqrt[6]{a^3} = a^{\frac{3}{6}} = a^{\frac{1}{2}}$。

（2）$a^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{a^3}$；$a^{-\frac{2}{5}} = \dfrac{1}{\sqrt[5]{a^2}}$。

容易卡在：分子分母放反。记住“分母是根指数”：$\sqrt[3]{a^2}$ 的根指数是 3，所以分母是 3。

例 3　（场景：求分数指数幂的值）求 $8^{\frac{2}{3}}$ 和 $\left(\dfrac{16}{81}\right)^{-\frac{3}{4}}$。

解：

$8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4$。

$\left(\dfrac{16}{81}\right)^{\frac{3}{4}} = \left(\sqrt[4]{\dfrac{16}{81}}\right)^3 = \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{8}{27}$，所以

$$\left(\frac{16}{81}\right)^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{\frac{8}{27}} = \frac{27}{8}.$$

容易卡在：先算 $16^3$ 再开 4 次方，数太大。用 $\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$ 的写法先开方、后乘方，数小得多。

例 4　（场景：含字母的根式）

（1）已知 $-3 < x < 1$，化简 $\sqrt{x^2 - 2x + 1} - \sqrt{x^2 + 6x + 9}$。

（2）$x$ 取何值时，$(x - 2)^{-\frac{1}{2}}$ 有意义？

解：

（1）两个被开方数都是完全平方：

$$\sqrt{x^2 - 2x + 1} - \sqrt{x^2 + 6x + 9} = \sqrt{(x - 1)^2} - \sqrt{(x + 3)^2} = |x - 1| - |x + 3|.$$

由 $-3 < x < 1$ 得 $x - 1 < 0$，$x + 3 > 0$，所以原式 $= (1 - x) - (x + 3) = -2x - 2$。

（2）$(x - 2)^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{x - 2}}$。要求根号下非负、分母不为 0，即 $x - 2 > 0$，所以 $x > 2$。

容易卡在：（2）写成 $x \ge 2$。负指数意味着取倒数，底数不能为 0。

常用推论

• $\sqrt[n]{a^n}$：奇次得 $a$，偶次得 $|a|$。推导见本节“证明”结论 1。
• 根指数和被开方数的指数可以同时约去公因数（$a > 0$）：$\sqrt[np]{a^{mp}} = \sqrt[n]{a^m}$，例如 $\sqrt[6]{a^4} = \sqrt[3]{a^2}$。推导：两边都是 $a^{\frac{m}{n}}$，见“证明”结论 3 的最后一句。
• $a^{-\frac{m}{n}} = \left(\dfrac{1}{a}\right)^{\frac{m}{n}}$（$a > 0$）。负指数可以换成倒数的正指数，求值时常把分数底数倒过来再算，如例 3 可直接写 $\left(\dfrac{16}{81}\right)^{-\frac{3}{4}} = \left(\dfrac{81}{16}\right)^{\frac{3}{4}} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^3$。推导：$\left(\dfrac{1}{a}\right)^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{\dfrac{1}{a^m}} = \dfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$。

易错点

• 错在哪：$\sqrt[4]{(3 - \pi)^4} = 3 - \pi$。 为什么错：偶次根式的值不能是负数，而 $3 - \pi < 0$。 正确做法：偶次根号下是偶次方时，先写成绝对值 $|3 - \pi|$，再按正负去绝对值。
• 错在哪：$\sqrt{16} = \pm 4$。 为什么错：$\sqrt{16}$ 规定是 16 的非负平方根，只有一个值 4；“16 的平方根”才是 $\pm 4$。 正确做法：区分”$a$ 的 $n$ 次方根”（$n$ 为偶数时有两个）和“根式 $\sqrt[n]{a}$”（只取非负的那个）。
• 错在哪：$(-8)^{\frac{2}{6}} = (-8)^{\frac{1}{3}} = -2$。 为什么错：分数指数幂只对正底数定义，负底数下约分前后结果不同（证明结论 3）。 正确做法：负数开奇次方时写根式 $\sqrt[3]{-8} = -2$，不写成分数指数。

直观理解

$a$ 的 $n$ 次方根有几个，就看曲线 $y = x^n$ 和水平线 $y = a$ 有几个交点。

偶次方时曲线像 $y = x^2$，左右对称、不低于 $x$ 轴：水平线在上方有两个交点，在下方没有交点。

奇次方时曲线像 $y = x^3$，从左下一直升到右上：任何水平线都恰有一个交点。

一句话记法：奇次根一个，正负随原数；偶次根两个，负数没有，根号只取正的。

关联知识点

• 前置：初中的平方根和立方根，本节是它们的推广。
• 后续：8.3 指数的运算性质，在分数指数幂上推出全部运算法则。
• 后续：第 7 章幂函数中 $y = x^{\frac{1}{2}}$、$y = x^{\frac{1}{3}}$ 的定义域，就是根式有意义的条件。
• 后续：第 9 章对数，$a^b = N$ 已知 $a$、$N$ 求 $b$ 时要用到分数指数幂的写法（如 $\log_4 8 = \dfrac{3}{2}$）。

8.3 指数的运算性质

说明

整数指数幂：$a^n$（$n \in \mathbf{N}^*$）表示 $n$ 个 $a$ 相乘；规定 $a^0 = 1$（$a \ne 0$），$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$（$a \ne 0$）。

分数指数幂：见 8.2 节。

无理数指数幂：$a > 0$，$\alpha$ 是无理数时，$a^\alpha$ 是一个确定的实数。它的值用有理数指数幂从两边逼近得到。以 $2^{\sqrt{2}}$ 为例：

$\sqrt{2}$ 的不足近似值	$2$ 的幂	$\sqrt{2}$ 的过剩近似值	$2$ 的幂
$1.4$	$2^{1.4} \approx 2.6390$	$1.5$	$2^{1.5} \approx 2.8284$
$1.41$	$2^{1.41} \approx 2.6574$	$1.42$	$2^{1.42} \approx 2.6759$
$1.414$	$2^{1.414} \approx 2.6647$	$1.415$	$2^{1.415} \approx 2.6666$
$1.4142$	$2^{1.4142} \approx 2.66512$	$1.4143$	$2^{1.4143} \approx 2.66530$

左右两列从两边向同一个数靠拢，这个数就是 $2^{\sqrt{2}} \approx 2.6651$。

这样，$a^x$（$a > 0$）对一切实数 $x$ 都有了定义。

运算性质：设 $a > 0$，$b > 0$，$r, s \in \mathbf{R}$，则

$$a^r a^s = a^{r+s}, \qquad (a^r)^s = a^{rs}, \qquad (ab)^r = a^r b^r.$$

由这三条还能得到

$$\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}, \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^r = \frac{a^r}{b^r}.$$

使用场景

• 数值式化简求值：题目里有带分数、小数、零次幂、负指数混在一起。
• 含字母的式子化简：同一个字母出现多次，带不同的分数指数。
• 根式嵌套的化简：根号里面还有根号，先全部化成分数指数幂。
• 条件求值：已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}$ 或 $a + a^{-1}$ 的值，求另一个对称式的值。
• 简单的指数方程：方程两边能化成同底，或者出现 $4^x$ 和 $2^x$ 这样能换元的组合。
• 无理数指数幂的计算：指数里有 $\sqrt{2}$、$\pi$ 这样的无理数，但能通过运算性质消掉。

注意点

• 三条运算性质要求底数 $a > 0$，$b > 0$。底数为负时只在整数指数下成立。
• $a^r a^s = a^{r+s}$ 是同底相乘；不同底、同指数才能用 $(ab)^r = a^r b^r$。$2^3 \cdot 3^2$ 不能合并成一个幂。
• 系数和底数要分开：$2a^{-1} = \dfrac{2}{a}$，不是 $\dfrac{1}{2a}$；$(2a)^{-1}$ 才是 $\dfrac{1}{2a}$。
• 化简的结果一般不同时含根式和分数指数，也不含负指数，除非题目另有要求。

证明

课本对有理数指数给出运算性质，对无理数指数只说明“同样适用”。下面以 $a^r a^s = a^{r+s}$ 为例说明有理数指数的情形，另外两条同理。

设 $r$、$s$ 都是正有理数。 先通分，写成同分母：$r = \dfrac{k}{N}$，$s = \dfrac{l}{N}$（$k, l, N \in \mathbf{N}^*$）。由 8.2 节“证明”结论 3，通分不改变分数指数幂的值。于是

$$a^r a^s = \sqrt[N]{a^k} \cdot \sqrt[N]{a^l}.$$

（关键一步：两个正数的 $N$ 次方根之积，等于它们之积的 $N$ 次方根。因为 $\sqrt[N]{x} \cdot \sqrt[N]{y}$ 是正数，而它的 $N$ 次方按整数指数法则等于 $\left(\sqrt[N]{x}\right)^N \left(\sqrt[N]{y}\right)^N = xy$，所以它就是 $\sqrt[N]{xy}$。）

所以

$$a^r a^s = \sqrt[N]{a^k \cdot a^l} = \sqrt[N]{a^{k+l}} = a^{\frac{k+l}{N}} = a^{r+s}.$$

指数为负有理数时，用 $a^{-r} = \dfrac{1}{a^r}$ 转化为上面的情形。

无理数指数的情形：高中不证明，只说明思路。$a^{\sqrt{2}}$ 是用有理数 $r_n \to \sqrt{2}$ 时 $a^{r_n}$ 逼近的那个数，而每个 $a^{r_n}$ 都满足运算性质，取极限后性质保留下来。严格证明要用到大学数学分析中的实数完备性（确界原理）和极限的运算法则。

例题

例 1　（场景：数值式化简求值）计算 $\left(2\dfrac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}} - (-9.6)^0 - \left(3\dfrac{3}{8}\right)^{-\frac{2}{3}} + 1.5^{-2}$。

解：带分数化成假分数，小数化成分数，逐项计算：

• $\left(2\dfrac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}} = \left(\dfrac{9}{4}\right)^{\frac{1}{2}} = \dfrac{3}{2}$；
• $(-9.6)^0 = 1$；
• $\left(3\dfrac{3}{8}\right)^{-\frac{2}{3}} = \left(\dfrac{27}{8}\right)^{-\frac{2}{3}} = \left(\dfrac{8}{27}\right)^{\frac{2}{3}} = \left[\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\right]^{\frac{2}{3}} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}$；
• $1.5^{-2} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-2} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}$。

原式 $= \dfrac{3}{2} - 1 - \dfrac{4}{9} + \dfrac{4}{9} = \dfrac{1}{2}$。

容易卡在：把 $2\dfrac{1}{4}$ 当成 $2 \times \dfrac{1}{4}$。带分数先化成假分数 $\dfrac{9}{4}$。

例 2　（场景：含字母的式子化简）设 $a > 0$，$b > 0$，化简 $\left(2a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}}\right)\left(-6a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}}\right) \div \left(-3a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{5}{6}}\right)$。

解：系数、$a$ 的幂、$b$ 的幂分开算。

• 系数：$2 \times (-6) \div (-3) = 4$；
• $a$ 的指数：$\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{4 + 3 - 1}{6} = 1$；
• $b$ 的指数：$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{3 + 2 - 5}{6} = 0$。

原式 $= 4a^1 b^0 = 4a$。

例 3　（场景：根式嵌套的化简）设 $a > 0$，用分数指数幂表示 $\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}$。

解：从最里层往外算。

$$a\sqrt{a} = a \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{2}},$$ $$a\sqrt{a\sqrt{a}} = a \cdot \left(a^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} = a \cdot a^{\frac{3}{4}} = a^{\frac{7}{4}},$$ $$\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}} = \left(a^{\frac{7}{4}}\right)^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{7}{8}}.$$

容易卡在：分不清每个 $a$ 在几层根号里面，指数加错。

另一种解法：从外往里拆。最外层的 $a$ 在一层根号里，贡献 $a^{\frac{1}{2}}$；第二个 $a$ 在两层根号里，贡献 $a^{\frac{1}{4}}$；第三个 $a$ 在三层根号里，贡献 $a^{\frac{1}{8}}$。所以原式 $= a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}} = a^{\frac{7}{8}}$。从里往外的方法每一步都有依据，适合写在解答题里；从外往里数层数更快，适合选择题、填空题。

例 4　（场景：条件求值）已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3$，求：（1）$a + a^{-1}$；（2）$a^2 + a^{-2}$；（3）$a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}}$。

解：关键是 $a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}} = a^0 = 1$，平方或立方时交叉项是常数。

（1）两边平方：$a + 2a^{\frac{1}{2}}a^{-\frac{1}{2}} + a^{-1} = 9$，即 $a + 2 + a^{-1} = 9$，所以 $a + a^{-1} = 7$。

（2）把（1）的结果平方：$a^2 + 2 + a^{-2} = 49$，所以 $a^2 + a^{-2} = 47$。

（3）用立方和公式 $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$，取 $x = a^{\frac{1}{2}}$，$y = a^{-\frac{1}{2}}$，$xy = 1$：

$$a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} = \left(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}\right)\left(a - 1 + a^{-1}\right) = 3 \times (7 - 1) = 18.$$

容易卡在：想先解出 $a$ 再代入。$a$ 是无理数（$a = \dfrac{7 \pm 3\sqrt{5}}{2}$），代入很繁；用整体平方和立方公式，一步一步就出来了。

例 5　（场景：简单的指数方程）解方程：（1）$3^{2x - 1} = \dfrac{1}{27}$；（2）$4^x - 3 \cdot 2^x - 4 = 0$。

解：

（1）$\dfrac{1}{27} = 3^{-3}$，方程化为 $3^{2x - 1} = 3^{-3}$。底数相同的两个幂相等，指数就相等（理由是指数函数单调，见 8.4 节），所以 $2x - 1 = -3$，$x = -1$。

（2）$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$。设 $t = 2^x$，则 $t > 0$，方程化为

$$t^2 - 3t - 4 = 0, \quad (t - 4)(t + 1) = 0,$$

得 $t = 4$ 或 $t = -1$。因为 $t > 0$，舍去 $t = -1$。由 $2^x = 4 = 2^2$ 得 $x = 2$。

容易卡在：（2）换元后忘了 $t > 0$，把 $2^x = -1$ 也拿去解。

例 6　（场景：无理数指数幂的计算）计算：（1）$\left(2^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}$；（2）$3^{1 + \sqrt{2}} \cdot 9^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$。

解：

（1）$\left(2^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}} = 2^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = 2^2 = 4$。

（2）$9^{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = \left(3^2\right)^{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3^{-\sqrt{2}}$，所以原式 $= 3^{1 + \sqrt{2} - \sqrt{2}} = 3$。

常用推论

• $a^{2x} + a^{-2x} = \left(a^x + a^{-x}\right)^2 - 2 = \left(a^x - a^{-x}\right)^2 + 2$。推导：把右边平方展开，交叉项 $2a^x a^{-x} = 2$。
• $\left(a^x + a^{-x}\right)^2 - \left(a^x - a^{-x}\right)^2 = 4$。由上一条两式相减得到。已知 $a^x + a^{-x}$ 求 $a^x - a^{-x}$ 时用，注意开方后可能有正负两个值。
• $a^{3x} + a^{-3x} = \left(a^x + a^{-x}\right)\left(a^{2x} - 1 + a^{-2x}\right)$。推导：立方和公式，见例 4（3）。
• $a - b = \left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}\right)$（$a, b > 0$）。推导：平方差公式，把 $a$ 看成 $\left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2$。化简分式 $\dfrac{a - b}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} = a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}$ 时常用。

易错点

• 错在哪：$\left(a^2\right)^3 = a^5$，或 $a^2 \cdot a^3 = a^6$。 为什么错：幂的乘方是指数相乘，同底数幂相乘才是指数相加，两条记混了。 正确做法：$\left(a^2\right)^3 = a^6$，$a^2 \cdot a^3 = a^5$。拿不准时用“几个 $a$ 相乘”数一下。
• 错在哪：$\left[(-2)^2\right]^{\frac{1}{2}} = (-2)^{2 \times \frac{1}{2}} = -2$。 为什么错：运算性质要求底数为正，$-2 < 0$ 不能用。实际上 $\left[(-2)^2\right]^{\frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2}} = 2$。 正确做法：底数为负时先算出里面的正数，或者用 $\sqrt{a^2} = |a|$。
• 错在哪：$2a^{-1} = \dfrac{1}{2a}$。 为什么错：指数 $-1$ 只作用在 $a$ 上，系数 2 不受影响。 正确做法：$2a^{-1} = \dfrac{2}{a}$；要让指数作用到 2 上必须加括号 $(2a)^{-1}$。
• 错在哪：例 5（2）换元后把 $t = -1$ 也保留下来，接着去解 $2^x = -1$。 为什么错：$2^x$ 永远是正数，$t = 2^x$ 的范围是 $(0, +\infty)$。 正确做法：换元时立刻写出新变量的范围 $t > 0$，解出 $t$ 后先检验范围。

直观理解

指数就是“乘了几次”：$a^3 \cdot a^2$ 是先乘 3 次再乘 2 次，共乘 5 次，所以指数相加。把指数推广到分数、无理数时，没有“乘几次”的直观意义了，但规则照旧，这正是推广的原则：新定义要让旧规则继续成立。

$a^{\frac{1}{2}}$ 可以理解成“乘半次”：乘两个“半次”等于乘一次，所以 $a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a$，它只能是 $\sqrt{a}$。无理数指数幂像用尺子量一根长度：刻度越来越细，读数从两边夹住同一个值。

关联知识点

• 前置：8.2 根式与分数指数幂。
• 后续：8.4 指数函数，有了实数指数幂，$y = a^x$ 的定义域才能是 $\mathbf{R}$。
• 后续：第 9 章对数的运算性质，$\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$ 就是 $a^r a^s = a^{r+s}$ 换个写法。
• 常一起考：第 4 章一元二次方程，例 5（2）这类指数方程换元后就是二次方程。

8.4 指数函数的图像和性质

说明

定义：函数 $y = a^x$（$a > 0$，且 $a \ne 1$）叫作指数函数，自变量 $x$ 在指数上，定义域是 $\mathbf{R}$。

为什么限定 $a > 0$ 且 $a \ne 1$：

• $a = 0$ 时，$x \le 0$ 的 $0^x$ 没有意义；
• $a < 0$ 时，如 $(-2)^{\frac{1}{2}}$ 没有意义，函数在很多 $x$ 处没定义；
• $a = 1$ 时，$1^x = 1$ 是常数函数，没有研究的必要。

形式要求：$a^x$ 前的系数是 1，底数是常数，指数就是 $x$。$y = 2 \cdot 3^x$、$y = 3^{x+1}$、$y = x^3$ 都不是指数函数。

图像和性质：

	$a > 1$	$0 < a < 1$
图像走势	从左往右上升，左侧贴近 $x$ 轴	从左往右下降，右侧贴近 $x$ 轴
定义域	$\mathbf{R}$	$\mathbf{R}$
值域	$(0, +\infty)$	$(0, +\infty)$
定点	过 $(0, 1)$	过 $(0, 1)$
单调性	在 $\mathbf{R}$ 上单调递增	在 $\mathbf{R}$ 上单调递减
$x > 0$ 时	$y > 1$	$0 < y < 1$
$x < 0$ 时	$0 < y < 1$	$y > 1$
奇偶性	非奇非偶	非奇非偶

底数对图像的影响：在 $y$ 轴右侧，底数越大，图像越高；在 $y$ 轴左侧正好相反。直线 $x = 1$ 与 $y = a^x$ 的交点是 $(1, a)$，所以沿 $x = 1$ 从下往上看，底数依次增大。

使用场景

• 根据定义判断或求参数：题目说“某函数是指数函数”，或者给出带参数的 $y = (\cdots) a^x$。
• 图像过定点、图像变换：题目给 $y = a^{x - h} + k$ 问“恒过哪个点”，或者问图像的平移关系。
• 比较大小：两个或几个指数式比大小，按“同底、同指数、都不同”分三种情况。
• 解指数不等式：不等式两边能化成同一个底数的幂。
• 复合函数 $y = a^{g(x)}$ 的单调区间和值域：指数位置上是一个关于 $x$ 的式子。
• 换元成二次函数：式子里同时有 $a^{2x}$（如 $4^x$）和 $a^x$（如 $2^x$），求值域或最值。
• 底数含参数：题目没说 $a$ 和 1 谁大，又要用单调性。

注意点

• 底数和 1 的大小决定单调性，凡是底数含参数，都要分 $a > 1$ 和 $0 < a < 1$ 讨论。
• 值域是 $(0, +\infty)$，不含 0：$a^x$ 永远是正数，换元 $t = a^x$ 时 $t > 0$。
• 指数函数和幂函数不要混：指数函数是“底数固定、指数变”（$y = 2^x$），幂函数是“指数固定、底数变”（$y = x^2$）。
• 复合函数的单调区间要用 $x$ 写，不能写内层 $u = g(x)$ 的范围。

证明

课本由几个具体函数的图像归纳出性质。下面给出单调性和对称性的推导；“值域是 $(0, +\infty)$“中”取遍一切正数“这一半，只给说明。

结论 1：$a > 1$ 时 $y = a^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增。

先证一个事实：$a > 1$，$t > 0$ 时，$a^t > 1$。

• $t$ 是正有理数 $\dfrac{m}{n}$ 时，$a^m > 1$（$m$ 个大于 1 的数相乘）。若 $\sqrt[n]{a^m} \le 1$，则它的 $n$ 次方 $a^m \le 1$，矛盾，所以 $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} > 1$。
• $t$ 是正无理数时，取有理数 $r$ 满足 $0 < r < t$，$a^t$ 是用大于 $r$ 的有理数指数幂逼近的，它们都大于 $a^r > 1$，所以 $a^t > 1$。

再证单调性。任取 $x_1 < x_2$，则

$$\frac{a^{x_2}}{a^{x_1}} = a^{x_2 - x_1} > 1.$$

（关键一步：作商后指数是 $x_2 - x_1 > 0$，底数 $a > 1$，用刚才的事实。）又 $a^{x_1} > 0$，两边乘以 $a^{x_1}$ 得 $a^{x_2} > a^{x_1}$，所以函数单调递增。

结论 2：$y = a^x$ 与 $y = \left(\dfrac{1}{a}\right)^x$ 的图像关于 $y$ 轴对称；$0 < a < 1$ 时 $y = a^x$ 单调递减。

$\left(\dfrac{1}{a}\right)^x = a^{-x}$。点 $(x_0, y_0)$ 在 $y = a^x$ 上，即 $y_0 = a^{x_0}$，那么 $\left(\dfrac{1}{a}\right)^{-x_0} = a^{x_0} = y_0$，所以点 $(-x_0, y_0)$ 在 $y = \left(\dfrac{1}{a}\right)^x$ 上。两个图像关于 $y$ 轴对称。

$0 < a < 1$ 时 $\dfrac{1}{a} > 1$，$y = \left(\dfrac{1}{a}\right)^x$ 递增，把图像沿 $y$ 轴翻过来就是 $y = a^x$，所以 $y = a^x$ 递减。

结论 3：值域是 $(0, +\infty)$。

$a^x > 0$：有理数指数时是正数的正方根，无理数指数时是正数逼近的结果且大于某个正的 $a^r$（$a > 1$ 时取 $r < x$，$0 < a < 1$ 时取 $r > x$）。

“每个正数都能取到”：高中由图像观察得到，学了第 9 章后可以写出 $x = \log_a y$。严格证明要用到大学数学分析中函数的连续性和介值定理。

例题

例 1　（场景：根据定义求参数）函数 $y = \left(a^2 - 3a + 3\right)a^x$ 是指数函数，求 $a$ 的值。

解：指数函数 $a^x$ 前的系数必须是 1，所以

$$a^2 - 3a + 3 = 1, \quad a^2 - 3a + 2 = 0,$$

得 $a = 1$ 或 $a = 2$。底数要求 $a > 0$ 且 $a \ne 1$，舍去 $a = 1$，所以 $a = 2$。

容易卡在：只解方程，忘了底数 $a \ne 1$ 的要求。

例 2　（场景：图像过定点）函数 $y = a^{x - 2} + 3$（$a > 0$ 且 $a \ne 1$）的图像恒过哪个定点？

解：无论 $a$ 取什么，$a^0 = 1$。令指数 $x - 2 = 0$，得 $x = 2$，此时 $y = 1 + 3 = 4$。所以图像恒过定点 $(2, 4)$。

另一种解法：看成图像变换。$y = a^x$ 过 $(0, 1)$；$y = a^{x - 2} + 3$ 是把它向右平移 2 个单位、向上平移 3 个单位，定点跟着移到 $(0 + 2, 1 + 3) = (2, 4)$。令指数为 0 的方法最直接，适合只问定点的题；平移的方法顺便知道了整个图像的位置（例如水平渐近线是 $y = 3$），适合题目还要问图像经过哪些象限、值域是什么的情况。

例 3　（场景：比较大小）比较下列各组数的大小：

（1）$1.7^{2.5}$ 与 $1.7^{3}$；$0.8^{-0.1}$ 与 $0.8^{-0.2}$。

（2）$2^{0.8}$ 与 $3^{0.8}$。

（3）$1.7^{0.3}$ 与 $0.9^{3.1}$。

解：先看比较的是哪一类，再选方法。

（1）同底。$y = 1.7^x$ 的底数大于 1，在 $\mathbf{R}$ 上递增，$2.5 < 3$，所以 $1.7^{2.5} < 1.7^3$。

$y = 0.8^x$ 的底数在 0 和 1 之间，在 $\mathbf{R}$ 上递减，$-0.1 > -0.2$，所以 $0.8^{-0.1} < 0.8^{-0.2}$。

（2）同指数、不同底。作商：

$$\frac{3^{0.8}}{2^{0.8}} = \left(\frac{3}{2}\right)^{0.8} > \left(\frac{3}{2}\right)^0 = 1,$$

这里用了 $y = \left(\dfrac{3}{2}\right)^x$ 递增。又 $2^{0.8} > 0$，所以 $2^{0.8} < 3^{0.8}$。

另一种解法：画 $y = 2^x$ 和 $y = 3^x$ 的图像。在 $y$ 轴右侧底数大的图像在上，$x = 0.8 > 0$，所以 $3^{0.8} > 2^{0.8}$。作商法每一步都能写出理由，适合解答题；看图像一眼就能判断，适合选择题、填空题。

（3）底数和指数都不同，找中间量 1。

$1.7^{0.3} > 1.7^0 = 1$（底数大于 1，函数递增，$0.3 > 0$）；

$0.9^{3.1} < 0.9^0 = 1$（底数在 0 和 1 之间，函数递减，$3.1 > 0$）。

所以 $1.7^{0.3} > 0.9^{3.1}$。

容易卡在：（1）第二组忘了底数小于 1 时函数递减，按“指数大的大”判断反了。

例 4　（场景：解指数不等式）解不等式 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2 - 2x} > \dfrac{1}{8}$。

解：$\dfrac{1}{8} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3$，不等式化为

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2 - 2x} > \left(\frac{1}{2}\right)^3.$$

$y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上递减，函数值大的、自变量反而小，所以

$$x^2 - 2x < 3, \quad x^2 - 2x - 3 < 0, \quad (x - 3)(x + 1) < 0,$$

得 $-1 < x < 3$。解集是 $(-1, 3)$。

容易卡在：去掉底数时不等号没有反向，写成 $x^2 - 2x > 3$。

另一种解法：先把底数换成大于 1 的。$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2 - 2x} = 2^{-(x^2 - 2x)}$，$\dfrac{1}{8} = 2^{-3}$，不等式化为 $2^{-x^2 + 2x} > 2^{-3}$。$y = 2^x$ 递增，不等号方向不变：$-x^2 + 2x > -3$，即 $x^2 - 2x - 3 < 0$，结果相同。直接用递减的方法步骤少；底数统一换成大于 1 的，不等号方向从不改变，不容易出错，适合对“反向”拿不准的时候用。

例 5　（场景：复合函数的单调区间和值域）求函数 $y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2 - 2x}$ 的单调区间和值域。

解：设 $u = x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$，则 $y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^u$。

单调区间：

• 外层 $y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^u$ 关于 $u$ 递减。
• 内层 $u = x^2 - 2x$ 在 $(-\infty, 1]$ 上递减，在 $[1, +\infty)$ 上递增。
• 内外层“一减一减”得增，“一增一减”得减（第 6 章复合函数的单调性）。

所以函数的单调递增区间是 $(-\infty, 1]$，单调递减区间是 $[1, +\infty)$。

值域：$u = (x - 1)^2 - 1 \ge -1$。外层递减，$u$ 越小 $y$ 越大，$u = -1$ 时 $y$ 最大为 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1} = 2$；$u$ 可以任意大，$y$ 无限接近 0 但始终为正。所以值域是 $(0, 2]$。

容易卡在：值域写成 $[2, +\infty)$。外层递减，$u$ 的最小值对应 $y$ 的最大值。

例 6　（场景：换元成二次函数）求函数 $y = 4^x - 2^{x + 2} + 5$，$x \in [0, 2]$ 的值域。

解：$4^x = \left(2^x\right)^2$，$2^{x + 2} = 4 \cdot 2^x$。设 $t = 2^x$，因为 $y = 2^x$ 递增，$x \in [0, 2]$ 时 $t \in [2^0, 2^2] = [1, 4]$。于是

$$y = t^2 - 4t + 5 = (t - 2)^2 + 1, \quad t \in [1, 4].$$

对称轴 $t = 2$ 在区间内，$t = 2$（即 $x = 1$）时 $y$ 最小为 1；离对称轴最远的端点是 $t = 4$（即 $x = 2$），$y$ 最大为 $(4 - 2)^2 + 1 = 5$。值域是 $[1, 5]$。

容易卡在：换元后 $t$ 的范围仍写成 $[0, 2]$。$t$ 的范围要由 $x$ 的范围通过 $t = 2^x$ 算出来。

例 7　（场景：底数含参数）函数 $f(x) = a^x$（$a > 0$ 且 $a \ne 1$）在区间 $[1, 2]$ 上的最大值比最小值大 $\dfrac{a}{2}$，求 $a$。

解：不知道 $a$ 和 1 谁大，分两种情况。

1. $a > 1$：$f(x)$ 递增，最大值 $f(2) = a^2$，最小值 $f(1) = a$。由 $a^2 - a = \dfrac{a}{2}$ 得 $a^2 = \dfrac{3}{2}a$，因为 $a \ne 0$，所以 $a = \dfrac{3}{2}$，符合 $a > 1$。
2. $0 < a < 1$：$f(x)$ 递减，最大值 $f(1) = a$，最小值 $f(2) = a^2$。由 $a - a^2 = \dfrac{a}{2}$ 得 $a = \dfrac{1}{2}$，符合 $0 < a < 1$。

所以 $a = \dfrac{3}{2}$ 或 $a = \dfrac{1}{2}$。

另一种解法：指数函数在闭区间上单调，最值一定在两个端点取到，最大值减最小值就是 $|f(2) - f(1)| = |a^2 - a| = a|a - 1|$。由 $a|a - 1| = \dfrac{a}{2}$ 得 $|a - 1| = \dfrac{1}{2}$，$a = \dfrac{3}{2}$ 或 $\dfrac{1}{2}$。分类讨论的方法通用，题目问“最大值是最小值的几倍”这类不对称的条件时也能用；绝对值的方法只适合“最大值与最小值之差”，但省去了分类。

常用推论

• $y = a^x$ 与 $y = \left(\dfrac{1}{a}\right)^x$ 的图像关于 $y$ 轴对称。推导见本节“证明”结论 2。
• 底数与图像高低：$a > b > 0$ 时，$x > 0$ 则 $a^x > b^x$，$x < 0$ 则 $a^x < b^x$。推导：$\dfrac{a^x}{b^x} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^x$，底数 $\dfrac{a}{b} > 1$，由结论 1 的事实，$x > 0$ 时它大于 1，$x < 0$ 时小于 1。
• $y = a^{x - h} + k$ 的图像恒过定点 $(h, 1 + k)$。推导：令 $x - h = 0$，见例 2。
• 复合函数 $y = a^{g(x)}$：“同增异减”。$a > 1$ 时与 $g(x)$ 单调性相同，$0 < a < 1$ 时相反。推导：外层 $y = a^u$ 的单调性加上第 6 章复合函数的单调性，见例 5。
• $f(x) = a^x$ 在闭区间 $[m, n]$ 上的最大值和最小值在两个端点取到，最大值减最小值等于 $\left|a^n - a^m\right|$。推导：$f(x)$ 单调，见例 7。
• 奇偶性：$f(x) = a^x - a^{-x}$ 是奇函数，$g(x) = a^x + a^{-x}$ 是偶函数，$h(x) = \dfrac{a^x - 1}{a^x + 1}$ 是奇函数。推导：$f(-x) = a^{-x} - a^x = -f(x)$；$g(-x) = a^{-x} + a^x = g(x)$；$h(-x) = \dfrac{a^{-x} - 1}{a^{-x} + 1}$，分子分母同乘 $a^x$ 得 $\dfrac{1 - a^x}{1 + a^x} = -h(x)$。

易错点

• 错在哪：把 $y = 2 \cdot 3^x$ 或 $y = 3^{x + 1}$ 当作指数函数。 为什么错：指数函数的定义要求 $a^x$ 前系数为 1、指数就是 $x$。这两个是“指数型函数”，性质类似但不是指数函数。 正确做法：判断时逐条核对：系数是 1，底数是大于 0 且不等于 1 的常数，指数只有 $x$。
• 错在哪：比较 $0.8^{-0.1}$ 和 $0.8^{-0.2}$ 时，认为指数大的大，得到 $0.8^{-0.1} > 0.8^{-0.2}$。 为什么错：底数 $0.8 < 1$，函数递减，指数大的反而小。 正确做法：先判断底数和 1 的大小，写出“递增”或“递减”，再比较。
• 错在哪：求 $y = 2^x - 1$ 的值域，写成 $[-1, +\infty)$ 或 $\mathbf{R}$。 为什么错：$2^x > 0$，取不到 0，所以 $2^x - 1 > -1$，取不到 $-1$。 正确做法：从 $a^x \in (0, +\infty)$ 出发一步步推，值域是 $(-1, +\infty)$。
• 错在哪：例 7 只讨论 $a > 1$，得 $a = \dfrac{3}{2}$。 为什么错：题目没有说 $a > 1$，$0 < a < 1$ 时函数递减，最大值和最小值的位置对调，也有解。 正确做法：底数含参数又要用单调性时，先分 $a > 1$ 和 $0 < a < 1$ 两种情况，最后检验每种情况的解是否在该情况的范围内。

直观理解

指数函数是“每走一步乘一个固定的倍数”：$y = 2^x$ 中 $x$ 每增加 1，$y$ 就翻一倍。所以它在右边越涨越快，在左边一直减半，越来越贴近 $x$ 轴但永远碰不到。$0 < a < 1$ 时每走一步乘一个小于 1 的数，图像正好左右翻过来。

一句话记法：都过 $(0, 1)$，都在 $x$ 轴上方；底数大于 1 往右上升，底数小于 1 往右下降；$y$ 轴右边底大图高。

关联知识点

• 前置：8.3 指数的运算性质，保证 $a^x$ 对一切实数 $x$ 有定义。
• 前置：第 6 章函数的单调性、奇偶性，复合函数“同增异减”在例 5 中直接使用。
• 常一起考：第 7 章幂函数，比较大小时同指数不同底的情形也可以用幂函数 $y = x^{\alpha}$ 的单调性来判断；两者的形式容易混。
• 后续：第 9 章对数函数 $y = \log_a x$ 是 $y = a^x$ 的反函数，两个图像关于直线 $y = x$ 对称；比较大小的题常把指数、对数、幂放在一起。
• 后续：第 10 章函数模型，指数增长比一次函数、幂函数增长得都快。
• 后续：第 23 章等比数列，通项 $a_n = a_1 q^{n-1}$ 是定义在正整数上的指数型函数。
• 后续：第 24、25 章导数，$y = e^x$ 是最重要的指数函数，导数题里大量出现。

8.5 知识点之间的关系

本章是一条链：8.2 把指数推广到分数，8.3 再推广到无理数并确认运算性质不变，于是 8.4 的 $y = a^x$ 能定义在整个 $\mathbf{R}$ 上。指数函数的性质又反过来为 8.3 的指数方程提供依据：“同底的幂相等，指数相等”靠的是单调性。

考试里最常见的是 8.4 的三类题：比较大小、解不等式、求值域。它们都归结为两件事：底数和 1 比大小定单调性，$a^x > 0$ 定范围。第 9 章学了对数后，指数和对数常常一起出现在比较大小的选择题里。

8.6 自测

1. 计算 $\sqrt[4]{(-2)^4} - \sqrt[3]{(-2)^3}$。
2. 求 $\left(\dfrac{27}{64}\right)^{-\frac{1}{3}}$ 的值。
3. 设 $a > 0$，$b > 0$，化简 $\left(a^{\frac{2}{3}}b^{-1}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}} \div \sqrt[6]{ab^5}$。
4. 已知 $a > 0$，$a + a^{-1} = 3$，求 $a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}$。
5. 设 $a = 2^{0.3}$，$b = 0.3^2$，$c = 0.3^{0.3}$，把 $a$、$b$、$c$ 从小到大排列。
6. 解不等式 $2^{x + 1} \ge \dfrac{1}{4}$。
7. 函数 $y = a^{x + 1} - 2$（$a > 0$ 且 $a \ne 1$）的图像恒过哪个定点？
8. 求函数 $y = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{x^2 - 4x + 3}$ 的值域。

答案：1. 4；2. $\dfrac{4}{3}$；3. $\dfrac{1}{a}$；4. $\sqrt{5}$；5. $b < c < a$；6. $x \ge -3$；7. $(-1, -1)$；8. $(0, 3]$。

8.7 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，必修第一册第四章“指数函数与对数函数”有同步课程视频和教材电子版。
• GeoGebra 图形计算器：输入 y = a^x 并给 a 加滑动条，拖动 a 经过 1 时能看到图像从上升变为下降，适合配合 8.4 节。
• 维基百科 · 指数函数：指数函数的中文条目，含定义、性质和与对数函数的关系。
• Wolfram MathWorld · Exponential Function：指数函数的英文定义和性质，查英文术语时用。