第 14 章 · 平面向量的概念与线性运算

项目	内容
课标主题	必修 · 几何与代数 · 平面向量及其应用
人教 A 版	必修第二册 第六章 6.1 平面向量的概念、6.2 平面向量的运算（加法、减法、数乘）、6.3.1 平面向量基本定理
考试地位	常考。多以选择题、填空题出现，常见设问是“用两个已知向量表示另一个向量”“三点共线求参数”；也是第 15 章数量积、第 16 章解三角形和第 27 章空间向量方法的基础
前置知识	初中的平行四边形、相似三角形；物理里的位移和力的合成

向量把“方向”带进了运算：几何里的平行、共线、中点、分点，都能写成一行等式来算。本章的题目计算量小，丢分丢在概念细节上：零向量和谁都平行、减法的方向画反、分点公式的系数对调、比较系数前没确认两个向量不共线。

14.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
14.2 向量的概念	既有大小又有方向的量；零向量、单位向量、平行（共线）向量、相等向量	常考，多为判断命题真假
14.3 向量的加法与减法	首尾相接用三角形法则，共起点用平行四边形法则；减法“共起点，连终点，指向被减”	常考，是表示向量的基本功
14.4 数乘向量	$\lambda\boldsymbol{a}$ 的长度是 $\lvert\lambda\rvert\lvert\boldsymbol{a}\rvert$，$\lambda > 0$ 同向、$\lambda < 0$ 反向	常考，中线、分点、重心的向量式都由它来
14.5 共线向量定理	$\boldsymbol{a} \ne \boldsymbol{0}$ 时，$\boldsymbol{b} \parallel \boldsymbol{a} \iff \boldsymbol{b} = \lambda\boldsymbol{a}$；三点共线时系数和为 1	常考，三点共线求参数的主要工具
14.6 平面向量基本定理	两个不共线的向量做基底，平面内任一向量都能唯一写成 $\lambda_1\boldsymbol{e}_1 + \lambda_2\boldsymbol{e}_2$	常考，比较系数、交点问题都靠它

14.2 向量的概念

说明

向量：既有大小又有方向的量，如位移、速度、力。只有大小没有方向的量（如长度、质量、温度）叫数量。

表示方法：

• 有向线段：以 $A$ 为起点、$B$ 为终点的向量记作 $\overrightarrow{AB}$。线段的长度表示向量的大小，箭头表示方向。
• 字母：印刷体用黑体小写字母 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$，手写时在字母上加箭头 $\vec{a}$。

模：向量的大小，也就是有向线段的长度，记作 $|\overrightarrow{AB}|$ 或 $|\boldsymbol{a}|$。模是一个非负实数。

几种特殊的向量和关系：

名称	定义	记号与说明
零向量	长度为 0 的向量	记作 $\boldsymbol{0}$；方向是任意的
单位向量	长度为 1 的向量	方向不限，所以单位向量有无数个
平行向量（共线向量）	方向相同或相反的非零向量	记作 $\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}$；规定 $\boldsymbol{0}$ 与任一向量平行
相等向量	长度相等且方向相同的向量	记作 $\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$
相反向量	长度相等且方向相反的向量	$\boldsymbol{a}$ 的相反向量记作 $-\boldsymbol{a}$；$\boldsymbol{0}$ 的相反向量是 $\boldsymbol{0}$

向量可以平移：一个向量只由长度和方向决定，与起点在哪里无关。把有向线段平移到任何位置，表示的仍是同一个向量。所以“平行向量”和“共线向量”是一回事：几个平行向量总能平移到同一条直线上。

使用场景

• 判断关于向量概念的命题真假：题目里出现“零向量”“单位向量”“平行”“相等”“共线”这些词的判断题，逐条对照定义，先想零向量。
• 在几何图形中找相等向量、共线向量：题目给正六边形、平行四边形、菱形，问“与某向量相等（共线）的向量”，看长度和方向，不看起点。
• 由向量关系判断图形形状：题目给 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$、$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AD}|$ 这类条件，翻译成“平行且相等”“邻边相等”。

注意点

• 向量不能比较大小，“$\boldsymbol{a} > \boldsymbol{b}$“没有意义；模是实数，可以比较。
• 零向量是“例外制造者”：它和任何向量都平行，但它不是单位向量，也不能说“方向与某向量相同”。
• 平行关系不能传递。$\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}$、$\boldsymbol{b} \parallel \boldsymbol{c}$ 推不出 $\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{c}$，因为 $\boldsymbol{b}$ 可能是 $\boldsymbol{0}$。只有补上”$\boldsymbol{b} \ne \boldsymbol{0}$“才能传递。相等关系可以传递。
• 向量“共线”不等于表示它们的有向线段在同一条直线上。$\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{CD}$ 共线，$AB$ 和 $CD$ 也可能是两条平行线。
• $\boldsymbol{0}$ 和 $0$ 不同：前者是向量，后者是数。书写时零向量要加箭头或写成黑体。

证明

本知识点是定义，主要的“推导”是从定义得出图形性质。

结论 1：若 $A, B, C, D$ 四点不共线，则 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \iff$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形。

（$\Rightarrow$）$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ 说明两个向量方向相同、长度相等。方向相同说明 $AB \parallel DC$（四点不共线，所以两条线段不在同一直线上）；长度相等说明 $AB = DC$。（关键一步：向量相等同时给出了“平行”和“相等”两件事，四边形一组对边平行且相等就是平行四边形。）

（$\Leftarrow$）$ABCD$ 是平行四边形，则 $AB \parallel DC$ 且 $AB = DC$。从 $A$ 到 $B$ 和从 $D$ 到 $C$ 是同一个方向（两组顶点按同一顺序排列），所以 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{DC}$ 方向相同、长度相等，即相等。

结论 2：平行关系不能传递。 取 $\boldsymbol{b} = \boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{c}$ 是两个不平行的非零向量。按规定 $\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{0} \parallel \boldsymbol{c}$，但 $\boldsymbol{a} \nparallel \boldsymbol{c}$。一个反例就够了。

若 $\boldsymbol{b} \ne \boldsymbol{0}$，则 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{c}$ 的方向都与 $\boldsymbol{b}$ 相同或相反，所以 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{c}$ 的方向相同或相反，$\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{c}$ 成立。

例题

例 1　（场景：判断概念命题）下列说法中正确的有几个？

① 单位向量都相等；② 若 $|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$，则 $\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$；③ 若 $\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{b} \parallel \boldsymbol{c}$，则 $\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{c}$；④ 零向量与任一向量共线；⑤ 若 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{CD}$ 共线，则 $A, B, C, D$ 四点在同一条直线上。

解：逐条看。

• ①错：单位向量只规定长度为 1，方向可以不同，方向不同就不相等。
• ②错：模相等只说明长度相等，方向可能不同。
• ③错：$\boldsymbol{b} = \boldsymbol{0}$ 时不成立，见本节“证明”结论 2。
• ④对：这是规定。
• ⑤错：$AB$ 和 $CD$ 可以在两条平行线上。

正确的只有 1 个（④）。

容易卡在：③。只想到非零向量的情形，忘了零向量。

例 2　（场景：在图形中找相等向量、共线向量）如图，$O$ 是正六边形 $ABCDEF$ 的中心。以图中七个点为起点和终点的向量中：

(1) 与 $\overrightarrow{OA}$ 相等的向量有哪些？

(2) 与 $\overrightarrow{OA}$ 共线的向量有哪些（不含 $\overrightarrow{OA}$ 本身）？

解：正六边形的中心到各顶点的距离等于边长，$D, O, A$ 在一条直线上，$CB$、$EF$ 都与 $DA$ 平行。

(1) 长度等于边长、方向与 $\overrightarrow{OA}$ 相同的有：$\overrightarrow{DO}$、$\overrightarrow{CB}$、$\overrightarrow{EF}$。

(2) 所在直线与 $DA$ 平行或重合的都共线，方向可以相同也可以相反：$\overrightarrow{AO}$、$\overrightarrow{OD}$、$\overrightarrow{DO}$、$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{DA}$、$\overrightarrow{BC}$、$\overrightarrow{CB}$、$\overrightarrow{EF}$、$\overrightarrow{FE}$，共 9 个。

容易卡在：找相等向量时把 $\overrightarrow{BC}$ 也算进去。它与 $\overrightarrow{OA}$ 长度相等但方向相反，是相反向量。

例 3　（场景：由向量关系判断图形形状）在四边形 $ABCD$ 中，$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$，且 $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AD}|$。判断四边形 $ABCD$ 的形状。

解：由 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$，$AB \parallel DC$ 且 $AB = DC$，四边形 $ABCD$ 是平行四边形（本节“证明”结论 1）。又 $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AD}|$，即一组邻边相等，所以 $ABCD$ 是菱形。

常用推论

• $A, B, C, D$ 四点不共线时，$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \iff ABCD$ 是平行四边形。推导见本节“证明”结论 1。注意字母顺序：$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ 时平行四边形是 $ABDC$。
• $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BA}$ 互为相反向量：$\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$。由相反向量的定义直接得到。
• 若 $\boldsymbol{b} \ne \boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{b} \parallel \boldsymbol{c}$，则 $\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{c}$。推导见本节“证明”结论 2。

易错点

• 错在哪：认为“若 $\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{b} \parallel \boldsymbol{c}$，则 $\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{c}$“一定成立。 为什么错：零向量与任何向量平行，$\boldsymbol{b} = \boldsymbol{0}$ 时 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{c}$ 可以是任意方向。 正确做法：凡是用平行关系推理，先确认中间那个向量不是零向量。
• 错在哪：把”$\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{CD}$“理解成”直线 $AB$ 与直线 $CD$ 平行”。 为什么错：向量平行包括两条线段在同一直线上的情况；直线平行则要求不重合。 正确做法：由向量平行推直线平行时，要另外说明四点不共线。
• 错在哪：把 $|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$ 当作 $\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$，或把 $\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$ 只理解为长度相等。 为什么错：向量相等要求长度和方向都相同，模相等只管长度。 正确做法：判断相等时长度、方向两项都检查。

直观理解

向量就是“箭头”：箭头的长短是大小，箭头的指向是方向，至于箭头画在纸上哪个位置无所谓。想象从家走到学校的位移：不管从哪个城市出发，只要“向东走 2 千米”，就是同一个位移。

一句话记法：相等看长度和方向，平行只看方向线，零向量和谁都平行。

关联知识点

• 前置：初中的平行四边形判定（一组对边平行且相等），本节“证明”结论 1 就是把它翻译成向量。
• 后续：14.3 向量的加法与减法，相反向量用来定义减法。
• 后续：14.5 共线向量定理，把“平行”写成等式 $\boldsymbol{b} = \lambda\boldsymbol{a}$。
• 后续：第 15 章平面向量的坐标，相等向量的坐标相同，与起点无关。
• 后续：第 17 章复数的几何意义，复数 $a + bi$ 对应以原点为起点的向量。
• 后续：第 26 章空间向量，概念和本节完全相同，只是放到了空间里。

14.3 向量的加法与减法

说明

三角形法则：把 $\boldsymbol{b}$ 的起点放到 $\boldsymbol{a}$ 的终点（首尾相接），从 $\boldsymbol{a}$ 的起点指向 $\boldsymbol{b}$ 的终点的向量就是 $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$：

$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$$

平行四边形法则：把不共线的 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 放在同一起点 $O$，以它们为邻边作平行四边形 $OACB$，从 $O$ 出发的对角线 $\overrightarrow{OC}$ 就是 $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$。

两个法则算出的是同一个向量：平行四边形里 $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OB} = \boldsymbol{b}$，所以 $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC}$ 正是三角形法则。

加法运算律：

• 交换律：$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a}$。
• 结合律：$(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) + \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} + (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c})$。
• $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{a} + (-\boldsymbol{a}) = \boldsymbol{0}$。

多边形法则：首尾相接的一串向量相加，结果从第一个的起点指向最后一个的终点：

$$\overrightarrow{A_1A_2} + \overrightarrow{A_2A_3} + \cdots + \overrightarrow{A_{n-1}A_n} = \overrightarrow{A_1A_n}$$

减法：$\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = \boldsymbol{a} + (-\boldsymbol{b})$，即减去一个向量等于加上它的相反向量。几何上：把 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 放在同一起点 $O$，$\overrightarrow{OA} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB} = \boldsymbol{b}$，则

$$\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}$$

口诀是”共起点，连终点，指向被减向量“。

模的三角不等式：

$$\big||\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}|\big| \le |\boldsymbol{a} \pm \boldsymbol{b}| \le |\boldsymbol{a}| + |\boldsymbol{b}|$$

使用场景

• 化简向量的和差式：题目给一串 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{BC}$ 这样带字母的向量，找首尾相接的配对，减法化成“共起点”。
• 用已知向量表示图中的其他向量：平行四边形、三角形里给出两条边对应的向量，问对角线或第三边，用三角形法则沿边“走过去”。
• 由模的条件求另一个模：题目给 $|\boldsymbol{a}|$、$|\boldsymbol{b}|$、$|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|$ 求 $|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|$，画出平行四边形，两条对角线就是 $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$ 和 $\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$。
• 求和、差向量的模的范围：题目只给 $|\boldsymbol{a}|$、$|\boldsymbol{b}|$，问 $|\boldsymbol{a} \pm \boldsymbol{b}|$ 的最大最小值，用三角不等式，等号在共线时取到。

注意点

• 三角形法则要求“首尾相接”，平行四边形法则要求“共起点”，不满足时先平移。平行四边形法则只适用于不共线的两个向量；共线向量相加用三角形法则。
• 减法的方向最容易反：$\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}$，指向被减的那个（$A$），不是 $\overrightarrow{AB}$。
• 向量的和、差仍是向量。$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA}$ 等于零向量 $\boldsymbol{0}$，不是数 $0$。
• $|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|$ 一般不等于 $|\boldsymbol{a}| + |\boldsymbol{b}|$，只有 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 同向（或有一个是零向量）时才相等。

证明

结论 1：交换律 $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a}$。

当 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 不共线时，作 $\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{BC} = \boldsymbol{b}$，以 $AB$、$BC$ 为邻边作平行四边形 $ABCD$。由 14.2 节“证明”结论 1，$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = \boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}$（关键一步：平行四边形的对边对应的向量相等，这样同一个 $\overrightarrow{AC}$ 就能沿两条路走到）。于是

$$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}, \quad \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC}.$$

共线时，两种加法都是在同一条直线上首尾相接，结果的长度和方向都相同，同样成立。

结论 2：结合律。 作 $\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{BC} = \boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{CD} = \boldsymbol{c}$，则

$$(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) + \boldsymbol{c} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}, \quad \boldsymbol{a} + (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}.$$

结论 3：$\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}$。

由三角形法则，$\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA}$。两边都加上 $-\overrightarrow{OB}$：

$$\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA} + (-\overrightarrow{OB}) = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}.$$

（关键一步：左边 $\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BA} + (-\overrightarrow{OB})$ 用交换律、结合律重排成 $\overrightarrow{BA} + \big(\overrightarrow{OB} + (-\overrightarrow{OB})\big) = \overrightarrow{BA} + \boldsymbol{0} = \overrightarrow{BA}$，所以向量等式可以像数的等式一样“移项”。）

结论 4：三角不等式。 当 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 不共线时，由三角形法则，$|\boldsymbol{a}|$、$|\boldsymbol{b}|$、$|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|$ 是一个三角形的三边长。三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，所以

$$\big||\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}|\big| < |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| < |\boldsymbol{a}| + |\boldsymbol{b}|.$$

共线时三角形“压扁”成线段：同向时 $|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| + |\boldsymbol{b}|$，反向时 $|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = \big||\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}|\big|$。合起来就是带等号的不等式。把 $\boldsymbol{b}$ 换成 $-\boldsymbol{b}$（模不变），就得到 $|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|$ 的同样结论。

例题

例 1　（场景：化简和差式）化简：

(1) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA}$；

(2) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{DC}$。

解：

(1) 按首尾相接重排：$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AA} = \boldsymbol{0}$。

(2) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}$ 共起点 $A$，等于 $\overrightarrow{DB}$（指向被减的 $B$）；$\overrightarrow{DB} - \overrightarrow{DC}$ 共起点 $D$，等于 $\overrightarrow{CB}$。所以原式 $= \overrightarrow{CB}$。

另一种解法：(2) 把减法全部化成加相反向量：$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{CD}$，重排成首尾相接 $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}$。“共起点”做法适合减号少、两两配对明显的式子；减号多时全部化成加法再找首尾，不容易把方向弄反。

容易卡在：(2) 把 $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}$ 写成 $\overrightarrow{BD}$。

例 2　（场景：用已知向量表示其他向量）在平行四边形 $ABCD$ 中，$\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD} = \boldsymbol{b}$。用 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 表示 $\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{DB}$、$\overrightarrow{BD}$。

解：

• $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$（$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \boldsymbol{b}$，平行四边形对边）。
• $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$（共起点 $A$，指向被减的 $B$）。
• $\overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{DB} = \boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}$。

例 3　（场景：由模的条件求另一个模）已知 $|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 1$，$|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = \sqrt{3}$，求 $|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|$。

解：把 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 放在同一起点，以它们为邻边作平行四边形。由例 2，两条对角线分别是 $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$ 和 $\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$。

因为 $|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 1$，这个平行四边形是边长为 1 的菱形。菱形的对角线互相垂直平分，一条对角线长 $\sqrt{3}$，它的一半是 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。设另一条对角线长 $d$，由勾股定理：

$$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 = 1^2,$$

得 $\dfrac{d^2}{4} = \dfrac{1}{4}$，$d = 1$。所以 $|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = 1$。

另一种解法：用“平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和”：$|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|^2 + |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|^2 = 2(|\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2)$，即 $3 + |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|^2 = 4$，得 $|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = 1$。这个恒等式第 15 章用数量积一行就能证明。菱形法只适用于 $|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$ 的特殊情况；恒等式对任意 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 都能用，选择填空题里更快。

容易卡在：想不到 $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$ 和 $\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$ 是同一个平行四边形的两条对角线。

例 4　（场景：求模的范围）已知 $|\boldsymbol{a}| = 3$，$|\boldsymbol{b}| = 5$，求 $|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|$ 的取值范围，并说明何时取到最大值、最小值。

解：由三角不等式，

$$|5 - 3| \le |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| \le 3 + 5,$$

即 $2 \le |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| \le 8$。$\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 同向时取最大值 8，反向时取最小值 2。$\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 的夹角从同向连续变到反向，$|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|$ 从 8 连续变到 2，中间的值都能取到，所以范围是 $[2, 8]$。

常用推论

• 首尾相接、首尾闭合的一串向量之和为 $\boldsymbol{0}$：$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \boldsymbol{0}$。由多边形法则，起点和终点重合。
• 终点减起点：对任意一点 $O$，$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$。这是本节“证明”结论 3 换个字母，后面把向量换成坐标时就是“终点坐标减起点坐标”。
• 平行四边形 $ABCD$ 中，$\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD} = \boldsymbol{b}$，则 $\overrightarrow{AC} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{DB} = \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$。推导见例 2。
• 设 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 是不共线的非零向量。$|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| \iff$ 以 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 为邻边的平行四边形是矩形 $\iff \boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$。理由：两条对角线相等的平行四边形是矩形。
• 设 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 是不共线的非零向量。$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| \iff (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \perp (\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b})$。理由：邻边相等的平行四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直；反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
• 三角不等式：$\big||\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}|\big| \le |\boldsymbol{a} \pm \boldsymbol{b}| \le |\boldsymbol{a}| + |\boldsymbol{b}|$。推导见本节“证明”结论 4。

易错点

• 错在哪：$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$。 为什么错：共起点 $A$ 的两个向量相减，结果指向被减向量的终点 $B$，应是 $\overrightarrow{CB}$。 正确做法：用“终点减起点”检查：$\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$，$B$ 是终点，在被减的位置。
• 错在哪：$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = 0$。 为什么错：向量相加结果是向量，应写零向量 $\boldsymbol{0}$。 正确做法：书写时零向量加箭头，答题卡上写 $\vec{0}$。
• 错在哪：认为 $|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| + |\boldsymbol{b}|$，或认为 $|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}|$。 为什么错：模不是线性的。只有共线时三角不等式才取等号。 正确做法：求 $|\boldsymbol{a} \pm \boldsymbol{b}|$ 时画平行四边形看对角线，或者等到第 15 章用 $|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|^2 = |\boldsymbol{a}|^2 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + |\boldsymbol{b}|^2$ 计算。

直观理解

加法就是“接着走”：先按 $\boldsymbol{a}$ 走，再按 $\boldsymbol{b}$ 走，总位移是从出发点直接指向终点的那一个箭头。平行四边形法则就是物理里的力的合成：两个力同时拉一个物体，效果等于沿对角线的一个力。

减法 $\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$ 回答的是“从 $\boldsymbol{b}$ 的终点到 $\boldsymbol{a}$ 的终点要怎么走”，所以从 $B$ 指向 $A$。

关联知识点

• 前置：14.2 向量的概念，相等向量允许平移，相反向量定义减法。
• 后续：14.4 数乘向量，加法和数乘合起来叫线性运算。
• 后续：14.6 平面向量基本定理，平行四边形法则就是分解向量的方法。
• 后续：第 15 章坐标运算，向量相加减就是对应坐标相加减。
• 后续：第 17 章复数加减法的几何意义，就是向量的平行四边形法则和三角形法则。
• 常一起考：第 16 章解三角形，已知 $|\boldsymbol{a}|$、$|\boldsymbol{b}|$ 和夹角求 $|\boldsymbol{a} \pm \boldsymbol{b}|$，就是在平行四边形里用余弦定理。

14.4 数乘向量

说明

定义：实数 $\lambda$ 与向量 $\boldsymbol{a}$ 的积是一个向量，记作 $\lambda\boldsymbol{a}$。

• 长度：$|\lambda\boldsymbol{a}| = |\lambda||\boldsymbol{a}|$。
• 方向：$\lambda > 0$ 时与 $\boldsymbol{a}$ 同向；$\lambda < 0$ 时与 $\boldsymbol{a}$ 反向。
• $\lambda = 0$ 或 $\boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}$ 时，$\lambda\boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}$。

运算律（$\lambda, \mu$ 是实数）：

• $\lambda(\mu\boldsymbol{a}) = (\lambda\mu)\boldsymbol{a}$；
• $(\lambda + \mu)\boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{a} + \mu\boldsymbol{a}$；
• $\lambda(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) = \lambda\boldsymbol{a} + \lambda\boldsymbol{b}$。

特别地，$(-\lambda)\boldsymbol{a} = -(\lambda\boldsymbol{a}) = \lambda(-\boldsymbol{a})$，$\lambda(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) = \lambda\boldsymbol{a} - \lambda\boldsymbol{b}$。

线性运算：向量的加法、减法、数乘统称线性运算。有了上面的运算律，含向量的式子可以像多项式一样去括号、合并同类项、移项。

单位向量：若 $\boldsymbol{a} \ne \boldsymbol{0}$，则 $\dfrac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}$（即 $\dfrac{1}{|\boldsymbol{a}|}\boldsymbol{a}$）是与 $\boldsymbol{a}$ 同向的单位向量。

使用场景

• 化简线性运算式、解向量方程：题目给 $3(\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}) - \dots$ 这类式子，或含未知向量 $\boldsymbol{x}$ 的等式，按多项式的规则算。
• 求与已知向量同向（反向）的单位向量或给定长度的向量：题目出现“与 $\boldsymbol{a}$ 同向的单位向量”“与 $\boldsymbol{a}$ 共线且长度为 $k$ 的向量”，用 $\pm\dfrac{k}{|\boldsymbol{a}|}\boldsymbol{a}$。
• 在三角形中表示中线、分点向量：题目给”$D$ 是 $BC$ 的中点”“$BD = 2DC$”，要用 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ 表示 $\overrightarrow{AD}$。

注意点

• $\lambda\boldsymbol{a}$ 是向量，不是数；$0 \cdot \boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}$，结果是零向量。
• 没有“向量除以向量”。$\dfrac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}$ 是向量除以它的模（一个正数），可以；$\dfrac{\boldsymbol{a}}{\boldsymbol{b}}$ 没有意义。
• 消去要有条件：由 $\lambda\boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{b}$ 推出 $\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$ 需要 $\lambda \ne 0$；由 $\lambda\boldsymbol{a} = \mu\boldsymbol{a}$ 推出 $\lambda = \mu$ 需要 $\boldsymbol{a} \ne \boldsymbol{0}$。
• 写分点向量时，系数和分点的位置是“交叉”的：离 $B$ 近，$\overrightarrow{AB}$ 的系数就大。见例 3。

证明

$\lambda(\mu\boldsymbol{a}) = (\lambda\mu)\boldsymbol{a}$ 和 $(\lambda + \mu)\boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{a} + \mu\boldsymbol{a}$ 都可以直接比较两边的长度和方向来验证。以第一条为例：两边的长度都是 $|\lambda||\mu||\boldsymbol{a}|$；方向上，$\lambda\mu > 0$ 时两边都与 $\boldsymbol{a}$ 同向，$\lambda\mu < 0$ 时都反向，$\lambda\mu = 0$ 时都是 $\boldsymbol{0}$。

下面证明最常用的分配律 $\lambda(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) = \lambda\boldsymbol{a} + \lambda\boldsymbol{b}$（$\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 不共线；共线时与上一条同理）。

设 $\lambda > 0$。作 $\overrightarrow{OA} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{b}$，则 $\overrightarrow{OB} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$。再作 $\overrightarrow{OA_1} = \lambda\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{A_1B_1} = \lambda\boldsymbol{b}$，则 $\overrightarrow{OB_1} = \lambda\boldsymbol{a} + \lambda\boldsymbol{b}$。

• $A_1$ 在射线 $OA$ 上，$\dfrac{OA_1}{OA} = \lambda$；$A_1B_1 \parallel AB$ 且方向相同，$\dfrac{A_1B_1}{AB} = \lambda$。
• 因为 $A_1B_1 \parallel AB$，$\angle OA_1B_1 = \angle OAB$（同位角）。
• 所以 $\triangle OA_1B_1 \sim \triangle OAB$（两边成比例且夹角相等）。（关键一步：相似给出 $\angle A_1OB_1 = \angle AOB$，$B_1$ 与 $B$ 在 $OA$ 的同一侧，所以 $B_1$ 在射线 $OB$ 上；同时 $\dfrac{OB_1}{OB} = \lambda$。）
• 于是 $\overrightarrow{OB_1}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 同向，长度是它的 $\lambda$ 倍，即 $\overrightarrow{OB_1} = \lambda\overrightarrow{OB} = \lambda(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})$。

两种算法得到同一个 $\overrightarrow{OB_1}$，所以 $\lambda(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) = \lambda\boldsymbol{a} + \lambda\boldsymbol{b}$。$\lambda < 0$ 时 $A_1$、$B_1$ 落在 $O$ 的另一侧，图形关于 $O$ 位似，论证相同；$\lambda = 0$ 时两边都是 $\boldsymbol{0}$。

例题

例 1　（场景：化简、解向量方程）

(1) 化简 $3(\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}) - 2(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})$；

(2) 已知 $2\boldsymbol{x} - 3(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}) = \boldsymbol{b}$，用 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 表示 $\boldsymbol{x}$。

解：

(1) 去括号：$3\boldsymbol{a} - 6\boldsymbol{b} - 2\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b} = \boldsymbol{a} - 8\boldsymbol{b}$。

(2) 去括号：$2\boldsymbol{x} - 3\boldsymbol{x} + 3\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$，即 $-\boldsymbol{x} + 3\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$。移项得 $\boldsymbol{x} = 3\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$。

例 2　（场景：求给定方向和长度的向量）已知 $|\boldsymbol{a}| = 4$。

(1) 求与 $\boldsymbol{a}$ 同向的单位向量；

(2) 求与 $\boldsymbol{a}$ 反向、长度为 6 的向量；

(3) 求与 $\boldsymbol{a}$ 共线的单位向量。

解：

(1) $\dfrac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|} = \dfrac{1}{4}\boldsymbol{a}$。

(2) 先取反向的单位向量 $-\dfrac{1}{4}\boldsymbol{a}$，再乘 6：$-\dfrac{6}{4}\boldsymbol{a} = -\dfrac{3}{2}\boldsymbol{a}$。检验：长度 $\dfrac{3}{2} \times 4 = 6$，方向与 $\boldsymbol{a}$ 相反。

(3) 共线包括同向和反向两种：$\dfrac{1}{4}\boldsymbol{a}$ 或 $-\dfrac{1}{4}\boldsymbol{a}$。

容易卡在：(3) 只写一个。“共线”不限定方向。

例 3　（场景：表示分点向量）在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$ 在边 $BC$ 上，且 $BD = 2DC$。设 $\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AC} = \boldsymbol{b}$，用 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 表示 $\overrightarrow{AD}$。

解：从 $A$ 先走到 $B$，再沿 $BC$ 走到 $D$。$D$ 在 $BC$ 上且 $BD = 2DC$，所以 $\overrightarrow{BD} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}$。又 $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}$，所以

$$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \boldsymbol{a} + \frac{2}{3}(\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}) = \frac{1}{3}\boldsymbol{a} + \frac{2}{3}\boldsymbol{b}.$$

另一种解法：直接套本节“常用推论”里的分点公式。$BD : DC = 2 : 1$，$\overrightarrow{AB}$ 的系数取“对面那段” $DC$ 的占比 $\dfrac{1}{3}$，$\overrightarrow{AC}$ 的系数取 $BD$ 的占比 $\dfrac{2}{3}$，一步写出 $\overrightarrow{AD} = \dfrac{1}{3}\boldsymbol{a} + \dfrac{2}{3}\boldsymbol{b}$。“走路法”不用记公式，任何图形都能用，适合解答题写过程；分点公式适合选择填空题，但一定要记清是交叉对应。

容易卡在：系数写反成 $\dfrac{2}{3}\boldsymbol{a} + \dfrac{1}{3}\boldsymbol{b}$。检查方法：$D$ 离 $C$ 近，$\overrightarrow{AD}$ 应更“像” $\overrightarrow{AC}$，所以 $\boldsymbol{b}$ 的系数大。

常用推论

• 中线向量：$D$ 是 $BC$ 的中点，则 $\overrightarrow{AD} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$。例 3 的做法中把 $\dfrac{2}{3}$ 换成 $\dfrac{1}{2}$ 即得；也可以看成平行四边形对角线的一半。
• 分点公式：$D$ 在线段 $BC$ 上，$BD : DC = m : n$，则 $\overrightarrow{AD} = \dfrac{n}{m+n}\overrightarrow{AB} + \dfrac{m}{m+n}\overrightarrow{AC}$。推导：$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{m}{m+n}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})$，整理即得。
• 重心：$G$ 是 $\triangle ABC$ 的重心 $\iff \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \boldsymbol{0}$，此时 $\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$。推导：重心在中线 $AD$ 上且 $AG = \dfrac{2}{3}AD$，所以 $\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$。另一方面，对任意点 $G$，$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GA} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB}) + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AC}) = -3\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$，所以它等于 $\boldsymbol{0}$ 恰好等价于 $\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$，即 $G$ 是重心。
• 与非零向量 $\boldsymbol{a}$ 共线的单位向量是 $\pm\dfrac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}$。推导见例 2。

易错点

• 错在哪：由 $\lambda\boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{b}$ 直接得 $\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b}$。 为什么错：$\lambda = 0$ 时两边都是 $\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 可以是任何向量。 正确做法：消去前先说明 $\lambda \ne 0$；同理，由 $\lambda\boldsymbol{a} = \mu\boldsymbol{a}$ 得 $\lambda = \mu$ 前先说明 $\boldsymbol{a} \ne \boldsymbol{0}$。
• 错在哪：分点公式的系数对调，$BD : DC = 2 : 1$ 时写 $\overrightarrow{AD} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$。 为什么错：$D$ 离 $C$ 更近，$\overrightarrow{AD}$ 应更接近 $\overrightarrow{AC}$。系数和线段是交叉对应的。 正确做法：不确定时用“走路法”现推一遍：$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}$。
• 错在哪：认为 $\lambda\boldsymbol{a}$ 的长度是 $\lambda|\boldsymbol{a}|$。 为什么错：$\lambda$ 为负时长度会算成负数。 正确做法：长度是 $|\lambda||\boldsymbol{a}|$，$\lambda$ 的符号只管方向。

直观理解

数乘就是把箭头“拉长、缩短或掉头”：乘 2 拉长一倍，乘 $\dfrac{1}{2}$ 缩成一半，乘负数先掉头再拉伸。$\lambda\boldsymbol{a}$ 永远躺在 $\boldsymbol{a}$ 所在的那条方向线上，这正是下一节共线向量定理说的事。

分配律 $\lambda(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) = \lambda\boldsymbol{a} + \lambda\boldsymbol{b}$ 就是“把整张图放大 $\lambda$ 倍”：放大后三角形的形状不变，三条边都变成 $\lambda$ 倍。

关联知识点

• 前置：14.3 向量的加法与减法；初中的相似三角形（分配律的证明）。
• 后续：14.5 共线向量定理，用数乘刻画平行。
• 后续：14.6 平面向量基本定理，$\lambda_1\boldsymbol{e}_1 + \lambda_2\boldsymbol{e}_2$ 是数乘和加法的组合。
• 后续：第 15 章坐标运算，$\lambda(x, y) = (\lambda x, \lambda y)$。
• 常一起考：第 15 章数量积，中线向量 $\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ 常用来求中线长。

14.5 共线向量定理

说明

共线向量定理：设 $\boldsymbol{a} \ne \boldsymbol{0}$，则

$$\boldsymbol{b} \parallel \boldsymbol{a} \iff \text{存在唯一的实数 } \lambda \text{，使 } \boldsymbol{b} = \lambda\boldsymbol{a}$$

三点共线的两种写法：

1. $A, B, C$ 三点共线 $\iff \overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 共线 $\iff$ 存在实数 $\lambda$，使 $\overrightarrow{AB} = \lambda\overrightarrow{AC}$（$A \ne C$）。
2. 设 $A \ne B$，$O$ 是任意一点。点 $P$ 在直线 $AB$ 上 $\iff$ 存在实数 $t$，使

$$\overrightarrow{OP} = (1 - t)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$$

也就是说：$\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$ 且 $x + y = 1$。这条常叫”系数和为 1“。

使用场景

• 证明三点共线：题目要证 $A, B, D$ 共线，给的是一串用 $\boldsymbol{e}_1$、$\boldsymbol{e}_2$ 表示的向量，算出两个有公共点的向量，看是否成倍数。
• 已知两向量共线求参数：题目给 $\boldsymbol{a} = k\boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2$ 这类含参向量“共线”，设 $\boldsymbol{b} = \lambda\boldsymbol{a}$，比较系数。
• 用“系数和为 1”列方程：题目出现”$M, G, N$ 三点共线”“直线过某点”，并且向量已经用同一起点的两个向量表示好了。

注意点

• 定理要求 $\boldsymbol{a} \ne \boldsymbol{0}$。若 $\boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{b}$ 不是零向量时找不到 $\lambda$，$\boldsymbol{b}$ 是零向量时 $\lambda$ 不唯一。
• 向量共线不等于三点共线。$\overrightarrow{AB} = \lambda\overrightarrow{CD}$ 只说明 $AB \parallel CD$ 或在同一直线上；要得出点共线，两个向量必须有公共点，如 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BD}$。
• 比较系数 $\lambda_1\boldsymbol{e}_1 + \lambda_2\boldsymbol{e}_2 = \mu_1\boldsymbol{e}_1 + \mu_2\boldsymbol{e}_2 \Rightarrow \lambda_1 = \mu_1, \lambda_2 = \mu_2$ 的前提是 $\boldsymbol{e}_1$、$\boldsymbol{e}_2$ 不共线（14.6 节）。
• “系数和为 1”的系数 $x, y$ 对应的是同一起点 $O$ 出发的两个向量 $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$。起点不统一时先换成同一起点。

证明

共线向量定理。

（$\Leftarrow$）若 $\boldsymbol{b} = \lambda\boldsymbol{a}$，由数乘的定义，$\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 同向（$\lambda > 0$）、反向（$\lambda < 0$）或 $\boldsymbol{b} = \boldsymbol{0}$（$\lambda = 0$），都有 $\boldsymbol{b} \parallel \boldsymbol{a}$。

（$\Rightarrow$）存在性：若 $\boldsymbol{b} = \boldsymbol{0}$，取 $\lambda = 0$。若 $\boldsymbol{b} \ne \boldsymbol{0}$，令 $\mu = \dfrac{|\boldsymbol{b}|}{|\boldsymbol{a}|}$（关键一步：$\boldsymbol{a} \ne \boldsymbol{0}$，所以 $|\boldsymbol{a}| \ne 0$，才能做这个除法；这就是定理要求 $\boldsymbol{a}$ 非零的原因）。$\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 同向时取 $\lambda = \mu$，反向时取 $\lambda = -\mu$。此时 $\lambda\boldsymbol{a}$ 的长度是 $\mu|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|$，方向与 $\boldsymbol{b}$ 相同，所以 $\boldsymbol{b} = \lambda\boldsymbol{a}$。

唯一性：若 $\boldsymbol{b} = \lambda\boldsymbol{a} = \mu\boldsymbol{a}$，则 $(\lambda - \mu)\boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}$。$\boldsymbol{a} \ne \boldsymbol{0}$，所以 $\lambda - \mu = 0$，$\lambda = \mu$。

系数和为 1。 $P$ 在直线 $AB$ 上 $\iff \overrightarrow{AP}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 共线 $\iff$ 存在 $t$ 使 $\overrightarrow{AP} = t\overrightarrow{AB}$（$\overrightarrow{AB} \ne \boldsymbol{0}$，用上面的定理）。用“终点减起点”换成以 $O$ 为起点：

$$\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA} = t(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}),$$

整理得 $\overrightarrow{OP} = (1 - t)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$。每一步都可逆，所以是充要条件。$0 \le t \le 1$ 时 $P$ 在线段 $AB$ 上；$t = \dfrac{1}{2}$ 时 $P$ 是中点。

例题

例 1　（场景：证明三点共线）已知 $\boldsymbol{e}_1$、$\boldsymbol{e}_2$ 不共线，$\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{e}_1 + 3\boldsymbol{e}_2$，$\overrightarrow{BC} = 4\boldsymbol{e}_1 - \boldsymbol{e}_2$，$\overrightarrow{CD} = -2\boldsymbol{e}_1 + 7\boldsymbol{e}_2$。求证：$A, B, D$ 三点共线。

解：要找一个和 $\overrightarrow{AB}$ 有公共点、又能算出来的向量，选 $\overrightarrow{BD}$：

$$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = (4 - 2)\boldsymbol{e}_1 + (-1 + 7)\boldsymbol{e}_2 = 2\boldsymbol{e}_1 + 6\boldsymbol{e}_2 = 2\overrightarrow{AB}.$$

所以 $\overrightarrow{BD}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 共线。它们有公共点 $B$，所以 $A, B, D$ 三点共线。

容易卡在：算出 $\overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{AB}$ 后直接下结论，漏写“有公共点 $B$”。

例 2　（场景：已知两向量共线求参数）已知 $\boldsymbol{e}_1$、$\boldsymbol{e}_2$ 不共线，$\boldsymbol{a} = k\boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2$，$\boldsymbol{b} = \boldsymbol{e}_1 + k\boldsymbol{e}_2$，且 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 共线，求实数 $k$。

解：先确认 $\boldsymbol{a} \ne \boldsymbol{0}$：$\boldsymbol{a}$ 中 $\boldsymbol{e}_2$ 的系数是 1，不为 0，而 $\boldsymbol{e}_1$、$\boldsymbol{e}_2$ 不共线，所以 $\boldsymbol{a} \ne \boldsymbol{0}$。

由共线向量定理，存在 $\lambda$ 使 $\boldsymbol{b} = \lambda\boldsymbol{a}$，即

$$\boldsymbol{e}_1 + k\boldsymbol{e}_2 = \lambda k\boldsymbol{e}_1 + \lambda\boldsymbol{e}_2.$$

因为 $\boldsymbol{e}_1$、$\boldsymbol{e}_2$ 不共线，对应系数相等（14.6 节平面向量基本定理的唯一性）：

$$\begin{cases} \lambda k = 1, \\ \lambda = k. \end{cases}$$

代入得 $k^2 = 1$，$k = 1$ 或 $k = -1$。

容易卡在：设 $\boldsymbol{b} = \lambda\boldsymbol{a}$ 前没检查 $\boldsymbol{a} \ne \boldsymbol{0}$；或只写 $k = 1$。$k = -1$ 时 $\boldsymbol{b} = -\boldsymbol{a}$，两者反向，仍然共线。

例 3　（场景：用系数和为 1 列方程）设 $G$ 是 $\triangle ABC$ 的重心，过 $G$ 的直线分别交边 $AB$、$AC$ 于 $M$、$N$（不与顶点重合）。已知 $\overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN} = y\overrightarrow{AC}$，求证：$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 3$。

解：由 14.4 节“常用推论”，$\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$。

由条件 $\overrightarrow{AB} = \dfrac{1}{x}\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{y}\overrightarrow{AN}$（$x, y \ne 0$），代入：

$$\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3x}\overrightarrow{AM} + \frac{1}{3y}\overrightarrow{AN}.$$

$M, G, N$ 三点共线，$\overrightarrow{AG}$ 用同一起点 $A$ 的 $\overrightarrow{AM}$、$\overrightarrow{AN}$ 表示，由“系数和为 1”：

$$\frac{1}{3x} + \frac{1}{3y} = 1,$$

即 $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 3$。

（这里用的是“系数和为 1”的必要方向：$G$ 在直线 $MN$ 上，就能写成 $(1 - t)\overrightarrow{AM} + t\overrightarrow{AN}$；$A$ 不在直线 $MN$ 上，$\overrightarrow{AM}$、$\overrightarrow{AN}$ 不共线，表示方法唯一，所以系数就是上面那两个。）

容易卡在：想不到先把 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ 换成 $\overrightarrow{AM}$、$\overrightarrow{AN}$，让式子里出现“共线的三点”$M, G, N$。

常用推论

• $A, B, C$ 三点共线 $\iff \overrightarrow{AB} = \lambda\overrightarrow{AC}$（$A \ne C$）。由定理加上“有公共点 $A$”。
• 系数和为 1：$P$ 在直线 $AB$ 上 $\iff \overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$ 且 $x + y = 1$。推导见本节“证明”。
• 中点公式：$P$ 是 $AB$ 的中点 $\iff \overrightarrow{OP} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$。系数和为 1 中取 $t = \dfrac{1}{2}$。
• 过 $\triangle ABC$ 重心的直线交 $AB$、$AC$ 于 $M$、$N$，$\overrightarrow{AM} = x\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN} = y\overrightarrow{AC}$，则 $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 3$。推导见例 3。

易错点

• 错在哪：由 $\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}$ 直接写 $\boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{b}$，不管 $\boldsymbol{b}$ 是否为零向量。 为什么错：$\boldsymbol{b} = \boldsymbol{0}$、$\boldsymbol{a} \ne \boldsymbol{0}$ 时，$\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 平行，但 $\lambda\boldsymbol{0}$ 永远是 $\boldsymbol{0}$，等式不可能成立。 正确做法：把确定非零的那个向量放在 $\lambda$ 后面，写 $\boldsymbol{b} = \lambda\boldsymbol{a}$（$\boldsymbol{a} \ne \boldsymbol{0}$）。
• 错在哪：由 $\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{CD}$ 得出 $A, B, C, D$ 四点共线。 为什么错：两个向量没有公共点，只能说明 $AB \parallel CD$ 或在同一直线上。 正确做法：证明点共线时，选有公共点的两个向量，如 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{BD}$。
• 错在哪：用“系数和为 1”时，两个向量的起点不同，如 $\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{BA}$ 也去令 $x + y = 1$。 为什么错：结论是从 $\overrightarrow{OP} = (1 - t)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ 推出来的，三个向量都以 $O$ 为起点。 正确做法：先用“终点减起点”把所有向量换成同一起点，再用系数和。

直观理解

共线向量定理说的是：在一条方向线上，所有向量都是某一个非零向量的“几倍”，就像数轴上所有的数都是 1 的几倍。$\lambda$ 就是这个倍数。

“系数和为 1”可以看成加权平均：$\overrightarrow{OP} = (1 - t)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$。$t$ 从 0 变到 1，$P$ 从 $A$ 匀速走到 $B$；$t$ 超出 $[0, 1]$，$P$ 就走到线段外面，但仍在直线 $AB$ 上。

关联知识点

• 前置：14.4 数乘向量，定理的证明直接用数乘的定义。
• 后续：14.6 平面向量基本定理，证明时要用本定理把分向量写成 $\lambda\boldsymbol{e}_1$。
• 后续：第 15 章坐标表示，$\boldsymbol{a} = (x_1, y_1)$、$\boldsymbol{b} = (x_2, y_2)$ 共线 $\iff x_1y_2 - x_2y_1 = 0$，就是本定理的坐标形式。
• 后续：第 26、27 章空间向量，三点共线的写法不变，四点共面换成 $\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} + z\overrightarrow{OC}$，$x + y + z = 1$。
• 后续：第 28 章直线的方程，直线的方向向量就是与直线共线的非零向量。

14.6 平面向量基本定理

说明

平面向量基本定理：如果 $\boldsymbol{e}_1$、$\boldsymbol{e}_2$ 是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任一向量 $\boldsymbol{a}$，有且只有一对实数 $\lambda_1, \lambda_2$，使

$$\boldsymbol{a} = \lambda_1\boldsymbol{e}_1 + \lambda_2\boldsymbol{e}_2$$

基底：不共线的 $\boldsymbol{e}_1$、$\boldsymbol{e}_2$ 叫这一平面内所有向量的一组基底，记作 $\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}$。$\lambda_1\boldsymbol{e}_1 + \lambda_2\boldsymbol{e}_2$ 叫 $\boldsymbol{a}$ 关于这组基底的分解式。

正交分解：基底的两个向量互相垂直时，这种分解叫正交分解。取 $x$ 轴、$y$ 轴方向的单位向量做基底，$\lambda_1, \lambda_2$ 就是向量的坐标（第 15 章）。

使用场景

• 判断两个向量能否作为基底：题目问“下列各组向量中，可以作为基底的是”，只看两个向量是否共线。
• 选基底表示图中的向量：题目给平行四边形、三角形，要求用两条边对应的向量表示中点、分点连线对应的向量。
• 由分解的唯一性列方程：题目要求两条直线交点对应的向量，或要求”$\lambda_1\boldsymbol{e}_1 + \lambda_2\boldsymbol{e}_2 = \mu_1\boldsymbol{e}_1 + \mu_2\boldsymbol{e}_2$“中的参数，用同一基底表示两次，对应系数相等。

注意点

• 基底的唯一要求是不共线。零向量和任何向量都共线，所以基底里不能有零向量。
• 基底不唯一，平面内任意两个不共线的向量都可以。但基底选定后，分解式是唯一的。
• 比较系数（“对应系数相等”）只对不共线的 $\boldsymbol{e}_1$、$\boldsymbol{e}_2$ 成立。基底共线时，同一个向量可以有无数种写法。
• 选基底时优先选已知长度和夹角的向量（如平行四边形的两条邻边），后面求数量积时才能算出数值。

证明

存在性。 在平面内任取一点 $O$，作 $\overrightarrow{OA} = \boldsymbol{e}_1$，$\overrightarrow{OB} = \boldsymbol{e}_2$，$\overrightarrow{OC} = \boldsymbol{a}$。

• 若 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{e}_1$ 共线，由共线向量定理 $\boldsymbol{a} = \lambda_1\boldsymbol{e}_1$，取 $\lambda_2 = 0$ 即可。与 $\boldsymbol{e}_2$ 共线时同理。
• 否则，过 $C$ 作 $OB$ 的平行线，交直线 $OA$ 于 $M$；过 $C$ 作 $OA$ 的平行线，交直线 $OB$ 于 $N$。（关键一步：$\boldsymbol{e}_1$、$\boldsymbol{e}_2$ 不共线，直线 $OA$、$OB$ 相交而不平行，所以这两条平行线一定能和它们交上，$OMCN$ 是平行四边形。）
• 由平行四边形法则，$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{ON}$。
• $\overrightarrow{OM}$ 与 $\boldsymbol{e}_1$ 共线，$\boldsymbol{e}_1 \ne \boldsymbol{0}$，由共线向量定理，存在 $\lambda_1$ 使 $\overrightarrow{OM} = \lambda_1\boldsymbol{e}_1$；同理 $\overrightarrow{ON} = \lambda_2\boldsymbol{e}_2$。

所以 $\boldsymbol{a} = \lambda_1\boldsymbol{e}_1 + \lambda_2\boldsymbol{e}_2$。

唯一性。 假设还有 $\boldsymbol{a} = \mu_1\boldsymbol{e}_1 + \mu_2\boldsymbol{e}_2$。两式相减：

$$(\lambda_1 - \mu_1)\boldsymbol{e}_1 + (\lambda_2 - \mu_2)\boldsymbol{e}_2 = \boldsymbol{0}.$$

若 $\lambda_1 \ne \mu_1$，则 $\boldsymbol{e}_1 = -\dfrac{\lambda_2 - \mu_2}{\lambda_1 - \mu_1}\boldsymbol{e}_2$，$\boldsymbol{e}_1$ 与 $\boldsymbol{e}_2$ 共线，与条件矛盾（关键一步：唯一性完全来自“不共线”）。所以 $\lambda_1 = \mu_1$，代回得 $(\lambda_2 - \mu_2)\boldsymbol{e}_2 = \boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{e}_2 \ne \boldsymbol{0}$，所以 $\lambda_2 = \mu_2$。

例题

例 1　（场景：判断能否作为基底）设 $\boldsymbol{e}_1$、$\boldsymbol{e}_2$ 不共线，下列各组向量中，不能作为基底的是（　）。

A. $\boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2$ 与 $\boldsymbol{e}_1 - \boldsymbol{e}_2$　B. $2\boldsymbol{e}_1 - 3\boldsymbol{e}_2$ 与 $6\boldsymbol{e}_2 - 4\boldsymbol{e}_1$　C. $\boldsymbol{e}_1 + 2\boldsymbol{e}_2$ 与 $2\boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2$　D. $\boldsymbol{e}_1$ 与 $\boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2$

解：B。$6\boldsymbol{e}_2 - 4\boldsymbol{e}_1 = -2(2\boldsymbol{e}_1 - 3\boldsymbol{e}_2)$，两个向量共线，不能作基底。

其余三组：若 A 中 $\boldsymbol{e}_1 - \boldsymbol{e}_2 = \lambda(\boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2)$，比较系数得 $\lambda = 1$ 且 $\lambda = -1$，矛盾，所以不共线。C、D 同样检验，都不共线。

另一种解法：看系数比。$\boldsymbol{a} = p_1\boldsymbol{e}_1 + q_1\boldsymbol{e}_2$ 与 $\boldsymbol{b} = p_2\boldsymbol{e}_1 + q_2\boldsymbol{e}_2$ 共线 $\iff p_1q_2 - p_2q_1 = 0$（和第 15 章坐标的共线条件同一个道理）。B 中 $2 \times 6 - (-4) \times (-3) = 0$，共线；A 中 $1 \times (-1) - 1 \times 1 = -2 \ne 0$。逐个设 $\lambda$ 适合刚学时理解原理；系数交叉相乘适合选择题快速判断。

例 2　（场景：选基底表示图中的向量）在平行四边形 $ABCD$ 中，$E$ 是 $CD$ 的中点，$F$ 在 $BC$ 上且 $BF = 2FC$。设 $\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD} = \boldsymbol{b}$，用 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 表示 $\overrightarrow{AE}$、$\overrightarrow{AF}$、$\overrightarrow{EF}$。

解：以 $\{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\}$ 为基底。平行四边形中 $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \boldsymbol{b}$。

• $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE} = \boldsymbol{b} + \dfrac{1}{2}\boldsymbol{a}$。
• $\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} = \boldsymbol{a} + \dfrac{2}{3}\boldsymbol{b}$。
• $\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AE} = \left(\boldsymbol{a} + \dfrac{2}{3}\boldsymbol{b}\right) - \left(\dfrac{1}{2}\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}\right) = \dfrac{1}{2}\boldsymbol{a} - \dfrac{1}{3}\boldsymbol{b}$。

检验 $\overrightarrow{EF}$：$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{CF} = \dfrac{1}{2}\boldsymbol{a} - \dfrac{1}{3}\boldsymbol{b}$，一致。

例 3　（场景：由分解的唯一性列方程）在 $\triangle OAB$ 中，$C$ 是 $OA$ 的中点，$D$ 在 $OB$ 上且 $OD = \dfrac{1}{3}OB$，$AD$ 与 $BC$ 交于点 $P$。设 $\overrightarrow{OA} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB} = \boldsymbol{b}$，用 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 表示 $\overrightarrow{OP}$。

解：$P$ 同时在两条直线上，分别用“系数和为 1”写一次。$\overrightarrow{OC} = \dfrac{1}{2}\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OD} = \dfrac{1}{3}\boldsymbol{b}$。

$P$ 在 $AD$ 上：

$$\overrightarrow{OP} = (1 - s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OD} = (1 - s)\boldsymbol{a} + \frac{s}{3}\boldsymbol{b}.$$

$P$ 在 $BC$ 上：

$$\overrightarrow{OP} = (1 - t)\overrightarrow{OC} + t\overrightarrow{OB} = \frac{1 - t}{2}\boldsymbol{a} + t\boldsymbol{b}.$$

$\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 不共线，由平面向量基本定理，同一个 $\overrightarrow{OP}$ 的分解式唯一，对应系数相等：

$$\begin{cases} 1 - s = \dfrac{1 - t}{2}, \\ \dfrac{s}{3} = t. \end{cases}$$

把 $t = \dfrac{s}{3}$ 代入第一式：$2 - 2s = 1 - \dfrac{s}{3}$，得 $\dfrac{5s}{3} = 1$，$s = \dfrac{3}{5}$，$t = \dfrac{1}{5}$。所以

$$\overrightarrow{OP} = \frac{2}{5}\boldsymbol{a} + \frac{1}{5}\boldsymbol{b}.$$

检验：第二个式子 $\dfrac{1 - 1/5}{2} = \dfrac{2}{5}$，$t = \dfrac{1}{5}$，一致。

容易卡在：只用一条直线列式，得到含一个参数的式子就做不下去。交点要“两条直线各写一次，再比较系数”。

常用推论

• 若 $\boldsymbol{e}_1$、$\boldsymbol{e}_2$ 不共线，则 $\lambda_1\boldsymbol{e}_1 + \lambda_2\boldsymbol{e}_2 = \boldsymbol{0} \iff \lambda_1 = \lambda_2 = 0$。推导见本节“证明”唯一性部分（取 $\boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}$，它已有分解 $0\boldsymbol{e}_1 + 0\boldsymbol{e}_2$）。
• 比较系数：$\boldsymbol{e}_1$、$\boldsymbol{e}_2$ 不共线时，$\lambda_1\boldsymbol{e}_1 + \lambda_2\boldsymbol{e}_2 = \mu_1\boldsymbol{e}_1 + \mu_2\boldsymbol{e}_2 \iff \lambda_1 = \mu_1$ 且 $\lambda_2 = \mu_2$。就是唯一性。
• $\boldsymbol{e}_1$、$\boldsymbol{e}_2$ 不共线时，$p_1\boldsymbol{e}_1 + q_1\boldsymbol{e}_2$ 与 $p_2\boldsymbol{e}_1 + q_2\boldsymbol{e}_2$ 共线 $\iff p_1q_2 - p_2q_1 = 0$。推导：若 $p_1, q_1$ 不全为 0，共线等价于存在 $\lambda$ 使 $p_2 = \lambda p_1$、$q_2 = \lambda q_1$，这又等价于交叉乘积相等；若 $p_1 = q_1 = 0$，左边是零向量，两边都成立。

易错点

• 错在哪：没确认 $\boldsymbol{e}_1$、$\boldsymbol{e}_2$ 不共线就比较系数。 为什么错：基底共线时分解不唯一，例如 $\boldsymbol{e}_2 = 2\boldsymbol{e}_1$ 时 $2\boldsymbol{e}_1 + 0\boldsymbol{e}_2 = 0\boldsymbol{e}_1 + 1\boldsymbol{e}_2$，系数不相等。 正确做法：比较系数前写一句“因为 $\boldsymbol{e}_1$、$\boldsymbol{e}_2$ 不共线”。
• 错在哪：认为 $\{\boldsymbol{0}, \boldsymbol{e}_1\}$ 可以作基底。 为什么错：零向量与任一向量共线，不满足基底的条件。 正确做法：判断基底只看两个向量是否共线，零向量直接排除。
• 错在哪：例 3 这类交点题，设 $\overrightarrow{OP} = \lambda\boldsymbol{a} + \mu\boldsymbol{b}$ 后只用一个共线条件。 为什么错：两个未知数需要两个方程，$P$ 在两条直线上各提供一个。 正确做法：两条直线各用一次“系数和为 1”（或”$\overrightarrow{AP} = s\overrightarrow{AD}$“），再比较系数。

直观理解

基底就是一套“斜的坐标网格”：沿 $\boldsymbol{e}_1$ 方向画一族平行线，沿 $\boldsymbol{e}_2$ 方向画一族平行线，平面上每一点都落在唯一的网格位置上，$(\lambda_1, \lambda_2)$ 就是它的“斜坐标”。两个基底向量一旦共线，网格就塌成一族直线，盖不住整个平面了。

一句话记法：两个不共线的向量就能“撑开”整个平面，而且每个向量的写法只有一种。

关联知识点

• 前置：14.3 平行四边形法则（分解的作图方法）、14.5 共线向量定理（证明里把分向量写成 $\lambda\boldsymbol{e}_1$）。
• 后续：第 15 章平面向量的坐标表示，选互相垂直的单位向量做基底，$(\lambda_1, \lambda_2)$ 就是坐标。
• 后续：第 15 章数量积，用基底表示向量后，数量积只需要知道基底的模和夹角。
• 后续：第 26 章空间向量基本定理，平面上两个不共线向量换成空间中三个不共面向量。
• 常一起考：第 16 章解三角形，三角形中用两边做基底表示中线、角平分线，再求长度或角度。

14.7 知识点之间的关系

本章是一条向上搭的梯子：先有向量的概念（14.2），才能定义加法和减法（14.3）；加法重复多次自然引出数乘（14.4）；数乘把“平行”写成了等式 $\boldsymbol{b} = \lambda\boldsymbol{a}$，就是共线向量定理（14.5）；再加一个不共线的方向，两个方向就能表示平面内所有向量，这是平面向量基本定理（14.6）。

考试里最常见的题型几乎都是“选基底、表示、比较系数”三步：用三角形法则沿边走过去表示出所求向量（14.3、14.4），遇到三点共线用系数和为 1（14.5），最后靠基底分解的唯一性列方程（14.6）。第 15 章选互相垂直的单位向量做基底，就得到了坐标，本章的运算全部变成数的运算。

14.8 自测

1. 下列说法中正确的有哪些？① 若 $|\boldsymbol{a}| = 0$，则 $\boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}$；② 长度相等的向量是相等向量；③ 方向相反的两个非零向量一定共线。
2. 化简：$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AD}$。
3. 已知 $|\boldsymbol{a}| = 2$，$|\boldsymbol{b}| = 5$，求 $|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|$ 的最大值。
4. 在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 在 $BC$ 上且 $BD = 3DC$，用 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ 表示 $\overrightarrow{AD}$。
5. 已知 $\boldsymbol{e}_1$、$\boldsymbol{e}_2$ 不共线，$\boldsymbol{a} = 3\boldsymbol{e}_1 - 2\boldsymbol{e}_2$，$\boldsymbol{b} = \lambda\boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2$，若 $\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}$，求 $\lambda$。
6. 已知 $\overrightarrow{OP} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{OA} + m\overrightarrow{OB}$，且 $P$ 在直线 $AB$ 上（$O$ 不在直线 $AB$ 上），求 $m$。
7. 已知 $\boldsymbol{e}_1$、$\boldsymbol{e}_2$ 不共线，$\boldsymbol{e}_1 - 2\boldsymbol{e}_2$ 与 $3\boldsymbol{e}_1 - 6\boldsymbol{e}_2$ 能否作为一组基底？
8. 在平行四边形 $ABCD$ 中，$\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD} = \boldsymbol{b}$，$M$ 是 $BC$ 的中点，用 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 表示 $\overrightarrow{AM}$。

答案：1. ①③；2. $\overrightarrow{DC}$；3. 7；4. $\overrightarrow{AD} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}$；5. $\lambda = -\dfrac{3}{2}$；6. $m = \dfrac{3}{4}$；7. 不能，$3\boldsymbol{e}_1 - 6\boldsymbol{e}_2 = 3(\boldsymbol{e}_1 - 2\boldsymbol{e}_2)$，两者共线；8. $\overrightarrow{AM} = \boldsymbol{a} + \dfrac{1}{2}\boldsymbol{b}$。

14.9 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，必修第二册“平面向量及其应用”一章有同步课程视频和教材电子版。
• GeoGebra 图形计算器：画两个向量并拖动终点，能直接看到和向量、差向量、数乘向量怎么跟着变，适合配合 14.3、14.4 节练习。
• Wolfram MathWorld · Vector：向量及其运算的英文定义，查记号和英文术语时用。
• 维基百科 · 向量：向量、线性组合、基底的中文条目，可以看到这些概念在大学线性代数里怎么推广。