第 4 章 · 一元二次函数、方程和不等式

项目	内容
课标主题	必修 · 预备知识 · 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
人教 A 版	必修第一册 第二章 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
考试地位	必考。很少单独成题，但解二次不等式是集合题、定义域题、导数题里的固定一步；含参讨论和恒成立是选择题和解答题的常见设问
前置知识	初中的二次函数和一元二次方程；第 1 章集合与区间；第 3 章不等式的性质

这一章把初中学过的二次函数、一元二次方程和新学的一元二次不等式连成一件事：画出抛物线，方程的根就是它和 $x$ 轴的交点，不等式的解集就是曲线在 $x$ 轴上方或下方那一段的横坐标。会了这张图，后面的分类讨论和恒成立问题都是在问“抛物线在哪里”。丢分主要丢在三处：二次项系数为负时直接套口诀、含参数时漏掉“系数为 0”、恒成立和有解分不清该用最大值还是最小值。

4.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
4.2 三个“二次”的关系	二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集，由开口方向和判别式 $\Delta$ 一起决定	必考，是后面所有内容的基础
4.3 一元二次不等式的解法	化成二次项系数为正的标准形，求根，画草图，“大于取两边，小于取中间”	必考，多作为集合题、定义域题的一步
4.4 含参数的一元二次不等式	按二次项系数、两根大小、$\Delta$ 的符号依次分类，每类单独写解集	常考
4.5 恒成立与有解问题	在 $\mathbf{R}$ 上看开口和 $\Delta$；在区间上转化为最大值或最小值	常考，后面导数题里还会反复出现

4.2 三个“二次”的关系

说明

设 $a, b, c$ 是常数，$a \ne 0$。

• 一元二次函数：$y = ax^2 + bx + c$，图像是抛物线。$a > 0$ 开口向上，$a < 0$ 开口向下。
• 一元二次方程：$ax^2 + bx + c = 0$。
• 一元二次不等式：$ax^2 + bx + c > 0$（或 $< 0$、$\ge 0$、$\le 0$）。

三者用同一个式子 $ax^2 + bx + c$，所以叫三个“二次”。

判别式：$\Delta = b^2 - 4ac$。

配方（顶点式）：

$$ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}.$$

所以抛物线的对称轴是 $x = -\dfrac{b}{2a}$，顶点是 $\left(-\dfrac{b}{2a}, \dfrac{4ac - b^2}{4a}\right)$。

零点：使 $ax^2 + bx + c = 0$ 的实数 $x$ 叫函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的零点。零点是一个数，不是一个点；它就是方程的实根，也是图像与 $x$ 轴交点的横坐标。

求根公式：$\Delta \ge 0$ 时，方程的根是

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}.$$

根与系数的关系（韦达定理）：$\Delta \ge 0$ 时，$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$，$x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$。

三者的对应（$a > 0$，$\Delta > 0$ 时记两根为 $x_1 < x_2$）：

	$\Delta > 0$	$\Delta = 0$	$\Delta < 0$
图像与 $x$ 轴	两个交点 $(x_1, 0)$、$(x_2, 0)$	一个公共点（相切）	没有公共点
方程的根	两个不相等的实根 $x_1, x_2$	两个相等的实根 $x_1 = x_2 = -\dfrac{b}{2a}$	没有实根
$ax^2 + bx + c > 0$ 的解集	$\{x \mid x < x_1 \text{ 或 } x > x_2\}$	$\left\{x \mid x \ne -\dfrac{b}{2a}\right\}$	$\mathbf{R}$
$ax^2 + bx + c < 0$ 的解集	$\{x \mid x_1 < x < x_2\}$	$\varnothing$	$\varnothing$

三张图都是 $a > 0$。$a < 0$ 时图像上下翻转，或者先把不等式两边乘 $-1$ 化成 $a > 0$ 再看表（见 4.3 节）。

使用场景

• 已知一元二次不等式的解集，求系数：题目给出“解集是 $(m, n)$“或”解集是 $\{x \mid x < m \text{ 或 } x > n\}$“，就想到端点 $m, n$ 是对应方程的两根，并由解集形状定出开口方向。
• 判断方程实根的个数、函数图像与 $x$ 轴公共点的个数：题目问“有几个零点”“有公共点”“只有一个交点”，就算 $\Delta$；如果二次项系数含参数，先看它能不能为 0。
• 求两根的对称式：题目出现 $x_1^2 + x_2^2$、$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$、$|x_1 - x_2|$ 这类式子，又不想解出根，就用韦达定理。
• 方程根的符号或位置（根的分布）：题目说“两根都是正数”“一正一负”“两根都大于 1”，就画抛物线，用 $\Delta$、对称轴、区间端点的函数值列条件。

注意点

• “一元二次”要求 $a \ne 0$。题目写“方程 $mx^2 + 2x + 1 = 0$“而没说它是一元二次方程时，$m = 0$ 也要考虑。
• 韦达定理只在方程有实根时才有意义，用之前先确认 $\Delta \ge 0$。
• 上面的表是 $a > 0$ 时的结论。$a < 0$ 时“大于”和“小于”两行的结论互换，最稳的做法是先化成 $a > 0$。
• $\Delta = 0$ 时 $ax^2 + bx + c > 0$ 的解集不是 $\mathbf{R}$，要去掉切点。
• 零点是数，写成 $x = 1$，不要写成点 $(1, 0)$。

证明

结论 1：配方式。

$$\begin{aligned} ax^2 + bx + c &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c \\ &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - \frac{b^2}{4a} + c \\ &= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}. \end{aligned}$$

（关键一步：括号里加上 $\dfrac{b^2}{4a^2}$ 凑成完全平方，再在括号外减去 $a \cdot \dfrac{b^2}{4a^2} = \dfrac{b^2}{4a}$，式子的值不变。）

结论 2：求根公式和根的个数。 由结论 1，方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 等价于

$$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} = \frac{\Delta}{4a^2}.$$

左边是平方，不小于 0；右边的分母 $4a^2 > 0$，所以右边的符号由 $\Delta$ 决定：

• $\Delta > 0$：右边是正数，开平方得 $x + \dfrac{b}{2a} = \pm \dfrac{\sqrt{\Delta}}{2|a|}$，正负号已经包括了两种情况，所以 $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，两个不相等的实根。
• $\Delta = 0$：$x + \dfrac{b}{2a} = 0$，只有 $x = -\dfrac{b}{2a}$。
• $\Delta < 0$：平方不可能等于负数，没有实根。

结论 3：韦达定理。 把两根相加、相乘：

$$x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{\Delta})^2}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{c}{a}.$$

结论 4：不等式的解集（表的后两行）。 设 $a > 0$。

• $\Delta > 0$：由韦达定理，$ax^2 + bx + c = a\left(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2\right) = a(x - x_1)(x - x_2)$。因为 $a > 0$，它的符号就是 $(x - x_1)(x - x_2)$ 的符号。（关键一步：$x_1 < x_2$，所以 $x - x_1 > x - x_2$。两个因式异号只能是“大的正、小的负”，即 $x - x_1 > 0 > x - x_2$，也就是 $x_1 < x < x_2$。）于是 $x_1 < x < x_2$ 时式子小于 0；$x < x_1$ 时两个因式都负，$x > x_2$ 时两个因式都正，式子大于 0。
• $\Delta = 0$：由结论 1，$ax^2 + bx + c = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 \ge 0$，只在 $x = -\dfrac{b}{2a}$ 时等于 0。
• $\Delta < 0$：由结论 1，$ax^2 + bx + c = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + \dfrac{-\Delta}{4a}$，第一项不小于 0，第二项大于 0，所以式子恒大于 0。

例题

例 1　（场景：已知解集求系数）已知关于 $x$ 的不等式 $ax^2 + bx + 2 > 0$ 的解集是 $\left(-\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2}\right)$，求 $a + b$，并解不等式 $2x^2 + bx + a < 0$。

解：解集是“两根之间”的形式，说明抛物线开口向下，$a < 0$，并且 $-\dfrac{1}{3}$ 和 $\dfrac{1}{2}$ 是方程 $ax^2 + bx + 2 = 0$ 的两根。由韦达定理：

$$\begin{cases} -\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{b}{a}, \\[2mm] -\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{a}. \end{cases}$$

由第二式 $-\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{a}$，得 $a = -12$（满足 $a < 0$）；代入第一式 $\dfrac{1}{6} = \dfrac{b}{12}$，得 $b = 2$。所以 $a + b = -10$。

第二个不等式是 $2x^2 + 2x - 12 < 0$，即 $x^2 + x - 6 < 0$，$(x + 3)(x - 2) < 0$，解得 $-3 < x < 2$，解集为 $(-3, 2)$。

容易卡在：忘了由解集形状判断 $a < 0$。这里 $a$ 恰好由韦达定理算出来是负的；如果题目只问 $b$ 和 $a$ 的比值，不判断符号就会在后面解第二个不等式时翻错方向。

另一种解法：直接写成因式形式。解集是 $\left(-\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2}\right)$，所以

$$ax^2 + bx + 2 = a\left(x + \frac{1}{3}\right)\left(x - \frac{1}{2}\right).$$

比较常数项：$a \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 2$，得 $a = -12$。展开 $-12\left(x^2 - \dfrac{1}{6}x - \dfrac{1}{6}\right) = -12x^2 + 2x + 2$，得 $b = 2$。韦达定理适合只要两根之和、之积的情形；因式形式适合要把整个式子写出来的情形，还不容易记错 $-\dfrac{b}{a}$ 的负号。

例 2　（场景：判断交点个数）已知函数 $y = mx^2 + 2x + 1$ 的图像与 $x$ 轴只有一个公共点，求实数 $m$ 的值。

解：分两种情况。

1. $m = 0$：函数是 $y = 2x + 1$，图像是直线，与 $x$ 轴恰有一个公共点 $\left(-\dfrac{1}{2}, 0\right)$，符合。
2. $m \ne 0$：函数是二次函数，图像与 $x$ 轴只有一个公共点等价于 $\Delta = 0$，即 $4 - 4m = 0$，$m = 1$。

所以 $m = 0$ 或 $m = 1$。

容易卡在：题目没说“二次函数”，$m = 0$ 这一种不能丢。

例 3　（场景：求两根的对称式）已知 $x_1, x_2$ 是方程 $x^2 - 3x - 5 = 0$ 的两根，求 $x_1^2 + x_2^2$、$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$ 和 $|x_1 - x_2|$。

解：$\Delta = 9 + 20 = 29 > 0$，方程有两个实根。由韦达定理，$x_1 + x_2 = 3$，$x_1 x_2 = -5$。

• $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 9 + 10 = 19$。
• $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = -\dfrac{3}{5}$。
• $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = 9 + 20 = 29$，所以 $|x_1 - x_2| = \sqrt{29}$。

例 4　（场景：根的分布）已知关于 $x$ 的方程 $x^2 + (m - 3)x + m = 0$ 的两个实根都是正数，求 $m$ 的取值范围。

解：两根都是正数，要同时满足三条：

1. 有实根：$\Delta = (m - 3)^2 - 4m = m^2 - 10m + 9 = (m - 1)(m - 9) \ge 0$，得 $m \le 1$ 或 $m \ge 9$。
2. 两根之和为正：$x_1 + x_2 = 3 - m > 0$，得 $m < 3$。
3. 两根之积为正：$x_1 x_2 = m > 0$。

三条取交集：$0 < m \le 1$。

容易卡在：只写“和为正、积为正”，漏掉 $\Delta \ge 0$。比如 $m = 2$ 时和、积都为正，但 $\Delta = -7 < 0$，方程根本没有实根。

常用推论

• 方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 两根一正一负 $\iff$ $\dfrac{c}{a} < 0$。推导：两根之积为负就是一正一负；而 $\dfrac{c}{a} < 0$ 时 $ac < 0$，$\Delta = b^2 - 4ac > 0$ 自动成立，不用另列。
• 两根都是正数 $\iff$ $\Delta \ge 0$，$-\dfrac{b}{a} > 0$，$\dfrac{c}{a} > 0$；两根都是负数把第二条改成 $-\dfrac{b}{a} < 0$。推导见例 4。
• 两根之差：$|x_1 - x_2| = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$。推导：$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = \dfrac{b^2}{a^2} - \dfrac{4c}{a} = \dfrac{\Delta}{a^2}$。第 33 章求弦长时常用。
• 二次不等式的解集是“两根之间”的形式，则二次项系数小于 0（对 $> 0$ 型而言）；是“两根之外”的形式，则二次项系数大于 0。推导见本节“证明”结论 4，$a < 0$ 时乘 $-1$ 即得。

易错点

• 错在哪：例 2 只算 $\Delta = 0$，得 $m = 1$。 为什么错：题目说的是“函数”，没说“二次函数”。$m = 0$ 时是一次函数，图像是直线，也和 $x$ 轴只有一个公共点。 正确做法：二次项系数含参数时，先讨论它等于 0 的情况。
• 错在哪：已知 $ax^2 + bx + c > 0$ 的解集是 $(m, n)$，直接写 $ax^2 + bx + c = (x - m)(x - n)$。 为什么错：漏了系数 $a$，而且解集在两根之间说明 $a < 0$，$(x - m)(x - n)$ 的二次项系数是 1。 正确做法：写成 $a(x - m)(x - n)$，并注明 $a < 0$。
• 错在哪：对方程 $x^2 + x + 1 = 0$ 直接写“两根之和为 $-1$”。 为什么错：$\Delta = 1 - 4 < 0$，没有实根，谈不上两根之和。 正确做法：用韦达定理之前先算 $\Delta \ge 0$。

直观理解

一张图记住全部：画抛物线 $y = ax^2 + bx + c$。

• 方程的根：曲线和 $x$ 轴碰在哪里。
• $> 0$ 的解集：曲线在 $x$ 轴上方那部分的横坐标。
• $< 0$ 的解集：曲线在 $x$ 轴下方那部分的横坐标。
• $\Delta$：顶点离 $x$ 轴的位置。$a > 0$ 时顶点的纵坐标是 $-\dfrac{\Delta}{4a}$，$\Delta > 0$ 顶点在 $x$ 轴下方（两个交点），$\Delta = 0$ 顶点在 $x$ 轴上（相切），$\Delta < 0$ 顶点在 $x$ 轴上方（不相交）。

关联知识点

• 前置：初中的二次函数图像和一元二次方程的解法（因式分解、配方、公式法）。
• 后续：4.3 一元二次不等式的解法，就是本节表格的直接应用。
• 后续：第 6 章函数的基本性质，二次函数的单调性和在区间上的最值由对称轴和开口决定。
• 后续：第 10 章函数的零点与方程的根，本节“零点 = 方程的实根 = 交点横坐标”是那一章的特例。
• 常一起考：第 33 章直线与圆锥曲线，联立后得到一元二次方程，用 $\Delta > 0$ 判断相交，用韦达定理求弦长和中点。

4.3 一元二次不等式的解法

说明

只含一个未知数、未知数的最高次数是 2 的不等式，叫一元二次不等式。一般形式是 $ax^2 + bx + c > 0$（或 $< 0$、$\ge 0$、$\le 0$），$a \ne 0$。

解法四步：

1. 化标准形：移项使右边为 0；若二次项系数为负，两边乘 $-1$，不等号反向，化成 $a > 0$。
2. 求根：能因式分解就分解，不能就算 $\Delta$，用求根公式。
3. 画草图：开口向上的抛物线，标出与 $x$ 轴的交点。
4. 写解集：按 4.2 节的表，$\Delta > 0$ 时“大于取两边，小于取中间”；带等号的把根包括进去。

分式不等式：分母含未知数的不等式，转化为整式不等式：

• $\dfrac{f(x)}{g(x)} > 0 \iff f(x) g(x) > 0$；$\dfrac{f(x)}{g(x)} < 0 \iff f(x) g(x) < 0$。
• $\dfrac{f(x)}{g(x)} \ge 0 \iff f(x) g(x) \ge 0 \text{ 且 } g(x) \ne 0$；$\le 0$ 同理。

右边不是 0 时，先移项通分，化成 $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ 与 0 比较。

使用场景

• 直接解一元二次不等式：题目给出 $ax^2 + bx + c$ 与 0 比较，特别是二次项系数为负、或 $\Delta \le 0$ 的情形。
• 解分式不等式：不等式里分母含 $x$，如 $\dfrac{2x - 1}{x + 3} \ge 1$，就移项通分后化成整式。
• 解不等式组、求集合的交集：题目给出两个二次不等式同时成立，或者集合题里 $A$、$B$ 由二次不等式描述，就分别解出再在数轴上取交集。
• 实际问题：题目里利润、面积、距离是某个量的二次式，要求“不低于”“超过”“不超过”某个值，就列一元二次不等式。

注意点

• 两边乘 $-1$ 时不等号必须反向，这是第 3 章不等式性质的直接应用。
• 分式不等式不能直接去分母：分母的正负未知，乘过去不知道不等号要不要反向。
• 带等号的分式不等式，分母为 0 的点要去掉。
• 实际问题里未知数往往还有自身的范围（如价格为正、长度为正），解集要和它取交集。
• $\Delta = 0$ 和 $\Delta < 0$ 时，四种不等号的解集各不相同，见例 1，别一律写成 $\varnothing$ 或 $\mathbf{R}$。

证明

结论 1：$\Delta > 0$ 时“大于取两边，小于取中间”。 这是 4.2 节“证明”结论 4，核心是 $a > 0$ 时 $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$，符号只看两个因式是否同号。

结论 2：分式不等式的转化。

• $\dfrac{f(x)}{g(x)} > 0$ 成立，当且仅当 $f(x)$ 和 $g(x)$ 同号且都不为 0，这正是 $f(x) g(x) > 0$。（关键一步：商和积的符号规则一样，都是“同号得正，异号得负”，所以 $\dfrac{f}{g}$ 与 $fg$ 同号。）
• $\dfrac{f(x)}{g(x)} \ge 0$ 等价于 $\dfrac{f(x)}{g(x)} > 0$ 或 $\dfrac{f(x)}{g(x)} = 0$。前者等价于 $f(x) g(x) > 0$；后者等价于 $f(x) = 0$ 且 $g(x) \ne 0$。合起来是 $f(x) g(x) \ge 0$ 且 $g(x) \ne 0$。（这里要单独写 $g(x) \ne 0$，因为 $f(x) g(x) = 0$ 包括了 $g(x) = 0$，而分母不能为 0。）

例题

例 1　（场景：直接解一元二次不等式）解下列不等式：

（1）$-2x^2 + x + 6 \ge 0$；（2）$x^2 - 4x + 5 > 0$；（3）$4x^2 - 4x + 1 \le 0$。

解：

（1）两边乘 $-1$，不等号反向：$2x^2 - x - 6 \le 0$。因式分解 $(2x + 3)(x - 2) \le 0$，两根是 $-\dfrac{3}{2}$ 和 $2$。开口向上，“小于取中间”，带等号含端点：解集为 $\left[-\dfrac{3}{2}, 2\right]$。

（2）$\Delta = 16 - 20 = -4 < 0$，开口向上的抛物线整个在 $x$ 轴上方，解集为 $\mathbf{R}$。也可以配方看：$x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1 \ge 1 > 0$。

（3）$4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2 \le 0$。平方不会小于 0，只能等于 0，所以 $x = \dfrac{1}{2}$，解集为 $\left\{\dfrac{1}{2}\right\}$。

容易卡在：（1）不先化成正系数，直接对 $-2x^2 + x + 6 \ge 0$ 用“大于取两边”，得到错误答案。

例 2　（场景：解分式不等式）解不等式 $\dfrac{2x - 1}{x + 3} \ge 1$。

解：移项通分：

$$\frac{2x - 1}{x + 3} - 1 \ge 0 \iff \frac{2x - 1 - (x + 3)}{x + 3} \ge 0 \iff \frac{x - 4}{x + 3} \ge 0.$$

转化为 $(x - 4)(x + 3) \ge 0$ 且 $x + 3 \ne 0$。前者解得 $x \le -3$ 或 $x \ge 4$，去掉 $x = -3$，解集为 $(-\infty, -3) \cup [4, +\infty)$。

容易卡在：两边直接乘 $x + 3$ 得 $2x - 1 \ge x + 3$，$x \ge 4$，丢掉了 $x < -3$ 那一段。$x + 3 < 0$ 时乘过去不等号应该反向。

例 3　（场景：解不等式组）解不等式组

$$\begin{cases} x^2 - x - 6 < 0, \\ x^2 + 2x - 3 \ge 0. \end{cases}$$

解：

• 第一个：$(x - 3)(x + 2) < 0$，得 $-2 < x < 3$，记为 $A = (-2, 3)$。
• 第二个：$(x + 3)(x - 1) \ge 0$，得 $x \le -3$ 或 $x \ge 1$，记为 $B = (-\infty, -3] \cup [1, +\infty)$。

不等式组的解集是 $A \cap B$。画在数轴上：

解集为 $[1, 3)$：1 两边都取得到，3 在 $A$ 里取不到。

例 4　（场景：实际问题）某商品每件进价 40 元。试销发现，售价定为 $x$ 元（$40 \le x \le 100$）时，每天能卖出 $(100 - x)$ 件。要使每天的利润不低于 500 元，售价应定在什么范围？

解：每件赚 $(x - 40)$ 元，每天卖 $(100 - x)$ 件，每天利润为 $(x - 40)(100 - x)$ 元。要求

$$(x - 40)(100 - x) \ge 500.$$

展开：$-x^2 + 140x - 4000 \ge 500$，整理得 $x^2 - 140x + 4500 \le 0$。

$\Delta = 140^2 - 4 \times 4500 = 19600 - 18000 = 1600$，两根是 $\dfrac{140 \pm 40}{2}$，即 $50$ 和 $90$。所以 $50 \le x \le 90$，它在 $[40, 100]$ 之内。

售价应定在 50 元到 90 元之间（含两端）。

常用推论

• $x_1 < x_2$ 时：$(x - x_1)(x - x_2) < 0 \iff x_1 < x < x_2$；$(x - x_1)(x - x_2) > 0 \iff x < x_1 \text{ 或 } x > x_2$。推导见 4.2 节“证明”结论 4。
• 分式不等式：$\dfrac{f}{g} > 0 \iff fg > 0$；$\dfrac{f}{g} \ge 0 \iff fg \ge 0 \text{ 且 } g \ne 0$。推导见本节“证明”结论 2。
• 高次不等式的“穿根法”：把式子分解成若干个 $(x - x_i)$ 的乘积（每个因式里 $x$ 的系数化成正的），在数轴上标出各根，从最右边的上方开始，依次穿过每个根画一条曲线，曲线在数轴上方的区间使式子为正，在下方的为负。推导：$x$ 比所有根都大时每个因式都正，乘积为正；每向左越过一个根，恰好有一个因式变号，乘积跟着变号。偶数次的重根（如 $(x - 1)^2$）越过时乘积不变号，曲线“穿而不过”。例如 $(x - 1)(x - 2)(x - 3) > 0$ 的解集是 $(1, 2) \cup (3, +\infty)$。

易错点

• 错在哪：解 $-x^2 + 2x + 3 > 0$ 时，算出两根 $-1$ 和 $3$，写解集为 $x < -1$ 或 $x > 3$。 为什么错：“大于取两边”只对二次项系数为正成立。这里系数是 $-1$，抛物线开口向下，在 $x$ 轴上方的是中间一段。 正确做法：先乘 $-1$ 化成 $x^2 - 2x - 3 < 0$，再“小于取中间”，得 $-1 < x < 3$。
• 错在哪：解 $\dfrac{x - 4}{x + 3} \ge 0$ 时，写成 $(x - 4)(x + 3) \ge 0$ 就结束，解集包含 $-3$。 为什么错：$x = -3$ 时分母为 0，原式没有意义。 正确做法：带等号的分式不等式，转化时加上“分母 $\ne 0$”。
• 错在哪：$(2x - 1)^2 > 0$ 的解集写成 $\mathbf{R}$。 为什么错：$x = \dfrac{1}{2}$ 时左边等于 0，不满足“大于 0”。 正确做法：$\Delta = 0$ 时，$> 0$ 的解集是去掉切点的全体实数，即 $\left\{x \mid x \ne \dfrac{1}{2}\right\}$。

直观理解

先把抛物线“扶正”成开口向上，它就像一个碗：碗底浸在 $x$ 轴下面的那段是“小于 0”，碗沿露在 $x$ 轴上面的两边是“大于 0”。所以“大于取两边，小于取中间”。碗底刚好碰到 $x$ 轴（$\Delta = 0$）或整个浮在上面（$\Delta < 0$），“小于 0”就没有解了。

分式不等式可以这样记：除法和乘法的符号规则相同，所以“商为正”就是“积为正”，只是分母不能为 0。

关联知识点

• 前置：4.2 三个“二次”的关系，解法的依据就是那张表。
• 前置：第 3 章不等式的性质，乘负数不等号反向。
• 常一起考：第 1 章集合的运算，集合题里的 $A$、$B$ 经常由二次不等式给出，解出后求交、并、补。
• 后续：第 5 章函数的定义域，$\sqrt{x^2 - 3x + 2}$ 这类式子要求被开方数 $\ge 0$，就是解二次不等式。
• 后续：第 25 章导数的应用，导函数是二次式时，解 $f'(x) > 0$ 就得到增区间。

4.4 含参数的一元二次不等式

说明

不等式的系数里含字母（参数），解集的形状会随参数变化，必须分类讨论。分类的依据按顺序有三层：

1. 二次项系数：含参数时，先讨论它等于 0（这时是一次不等式），再讨论它大于 0、小于 0。小于 0 时两边乘 $-1$ 化成正的。
2. 两根的大小：式子能因式分解时，比较两根大小，分“左根小”“两根相等”“右根小”三种。
3. 判别式：不能因式分解时，讨论 $\Delta > 0$、$\Delta = 0$、$\Delta < 0$。

分类的分界点就是让解集形状发生变化的参数值：二次项系数为 0 的值、两根相等的值（或 $\Delta = 0$ 的值）。

答案的写法：每种情况单独写出解集，最后分条作答，如“当 $a < 2$ 时，解集为……；当 $a = 2$ 时，解集为……”。不能把各情况的解集合并成一个并集，因为参数取定一个值时只有一种情况成立。

使用场景

• 能因式分解、两根大小不确定：题目里的式子可分解为 $(x - a)(x - 2)$ 这类形式，就按两根的大小分三种情况。
• 二次项系数含参数：题目是 $ax^2 + \dots$，就先讨论 $a = 0$，再讨论 $a$ 的正负，最后比较两根。
• 不能因式分解：题目是 $x^2 + ax + 4 > 0$ 这类形式，就讨论 $\Delta$ 的符号。
• 已知解集的特征求参数：题目说“解集中恰有两个整数”“解集包含某个区间”，就先按参数写出解集，再在数轴上列条件。

注意点

• 分类要不重不漏：每个参数值恰好落在一类里。
• 二次项系数为负时，除以它（或乘 $-1$）不等号要反向。
• 两根相等时，$< 0$ 的解集是 $\varnothing$，$> 0$ 的解集是去掉那个根的全体实数，这一档最容易漏。
• 讨论 $\Delta$ 时，$\Delta > 0$ 的两根用求根公式写出，不要写成”$x_1, x_2$“就交卷。

证明

本知识点没有新的定理，用到的是 4.2 节的结论和第 3 章的不等式性质。需要说明的是分类讨论为什么这样分：

• 为什么先看二次项系数：4.2 节的表只在 $a > 0$ 时成立。$a = 0$ 时不是二次不等式，表不能用；$a < 0$ 时两边同除以 $a$，由第 3 章“不等式两边乘（除以）同一个负数，不等号反向”，化成首项系数为 1 的不等式，不等号方向改变。
• 为什么再比较两根：$a > 0$ 时，$a(x - x_1)(x - x_2) < 0$ 的解集是“较小根 $<x<$ 较大根”。两根中谁小，决定了区间怎么写。（关键一步：两根的大小关系只有“小于、等于、大于”三种，三种情况覆盖了参数的所有取值，所以不会漏。）
• 为什么不能分解时看 $\Delta$：由 4.2 节的表，$\Delta$ 的符号决定了解集的三种形状。

例题

例 1　（场景：两根大小不确定）解关于 $x$ 的不等式 $x^2 - (a + 2)x + 2a < 0$。

解：因式分解：$x^2 - (a + 2)x + 2a = (x - 2)(x - a)$，两根是 $2$ 和 $a$。

• $a < 2$：较小根是 $a$，解集为 $(a, 2)$。
• $a = 2$：不等式为 $(x - 2)^2 < 0$，解集为 $\varnothing$。
• $a > 2$：较小根是 $2$，解集为 $(2, a)$。

例 2　（场景：二次项系数含参数）解关于 $x$ 的不等式 $ax^2 - (a + 1)x + 1 < 0$。

解：先因式分解：$ax^2 - (a + 1)x + 1 = (ax - 1)(x - 1)$。

1. $a = 0$：不等式为 $-x + 1 < 0$，解集为 $(1, +\infty)$。
2. $a < 0$：两边同除以 $a$，不等号反向：$\left(x - \dfrac{1}{a}\right)(x - 1) > 0$。此时 $\dfrac{1}{a} < 0 < 1$，“大于取两边”，解集为 $\left(-\infty, \dfrac{1}{a}\right) \cup (1, +\infty)$。
3. $a > 0$：两边同除以 $a$，不等号不变：$\left(x - \dfrac{1}{a}\right)(x - 1) < 0$。再比较 $\dfrac{1}{a}$ 与 1：
   • $0 < a < 1$：$\dfrac{1}{a} > 1$，解集为 $\left(1, \dfrac{1}{a}\right)$。
   • $a = 1$：不等式为 $(x - 1)^2 < 0$，解集为 $\varnothing$。
   • $a > 1$：$\dfrac{1}{a} < 1$，解集为 $\left(\dfrac{1}{a}, 1\right)$。

综上：$a = 0$ 时解集为 $(1, +\infty)$；$a < 0$ 时解集为 $\left(-\infty, \dfrac{1}{a}\right) \cup (1, +\infty)$；$0 < a < 1$ 时解集为 $\left(1, \dfrac{1}{a}\right)$；$a = 1$ 时解集为 $\varnothing$；$a > 1$ 时解集为 $\left(\dfrac{1}{a}, 1\right)$。

容易卡在：$a < 0$ 时除以 $a$ 忘了反向，或者漏掉 $a = 0$ 和 $a = 1$ 两个分界点。这道题的分界点正是“系数为 0”的 $a = 0$ 和“两根相等”的 $a = 1$。

例 3　（场景：不能因式分解，讨论 $\Delta$）解关于 $x$ 的不等式 $x^2 + ax + 4 > 0$。

解：二次项系数为 1，开口向上。$\Delta = a^2 - 16$。

• $-4 < a < 4$：$\Delta < 0$，解集为 $\mathbf{R}$。
• $a = 4$：不等式为 $(x + 2)^2 > 0$，解集为 $\{x \mid x \ne -2\}$。
• $a = -4$：不等式为 $(x - 2)^2 > 0$，解集为 $\{x \mid x \ne 2\}$。
• $a < -4$ 或 $a > 4$：$\Delta > 0$，两根为 $\dfrac{-a \pm \sqrt{a^2 - 16}}{2}$，“大于取两边”，解集为

$$\left(-\infty, \frac{-a - \sqrt{a^2 - 16}}{2}\right) \cup \left(\frac{-a + \sqrt{a^2 - 16}}{2}, +\infty\right).$$

容易卡在：$\Delta = 0$ 时 $a$ 有两个值 $\pm 4$，对应的切点不同，要分开写。

例 4　（场景：已知解集的特征求参数）已知关于 $x$ 的不等式 $(x - 1)(x - a) < 0$ 的解集中恰有两个整数，求实数 $a$ 的取值范围。

解：先按两根大小写出解集。

• $a = 1$：解集为 $\varnothing$，没有整数，不符合。
• $a > 1$：解集为 $(1, a)$。区间从 1 往右，前两个整数是 2 和 3。恰有两个整数，要求 3 在区间内、4 不在区间内：$3 < a \le 4$。（$a = 4$ 时区间是 $(1, 4)$，不含 4，所以 $a$ 可以取 4。）
• $a < 1$：解集为 $(a, 1)$。区间从 1 往左，前两个整数是 0 和 $-1$。要求 $-1$ 在区间内、$-2$ 不在：$-2 \le a < -1$。

所以 $a$ 的取值范围是 $[-2, -1) \cup (3, 4]$。

容易卡在：端点 $a = 4$ 和 $a = -2$ 能不能取。把端点值代回去看区间是开是闭，最不容易错。

常用推论

• $a \ne b$ 时，$(x - a)(x - b) < 0$ 的解集是 $(\min\{a, b\}, \max\{a, b\})$；$(x - a)(x - b) > 0$ 的解集是 $(-\infty, \min\{a, b\}) \cup (\max\{a, b\}, +\infty)$。$a = b$ 时前者为 $\varnothing$，后者为 $\{x \mid x \ne a\}$。推导见 4.2 节“证明”结论 4。
• 含参数的二次不等式，分界点 = 二次项系数为 0 的参数值 + 两根相等（或 $\Delta = 0$）的参数值。推导：只有在这些值处，解集才从一种形状变成另一种（一次变二次、开口翻转、区间端点交换、区间消失），在相邻两个分界点之间解集形状不变。

易错点

• 错在哪：例 1 的答案写成“解集为 $(a, 2) \cup (2, a)$”。 为什么错：参数 $a$ 取定一个值时只有一种情况成立，把各情况合并成并集没有意义，而且 $a < 2$ 时 $(2, a)$ 根本不是区间。 正确做法：分条作答：“当 $a < 2$ 时，解集为 $(a, 2)$；当 $a = 2$ 时……”。
• 错在哪：例 2 中 $a < 0$ 时，两边除以 $a$ 后仍写 $\left(x - \dfrac{1}{a}\right)(x - 1) < 0$。 为什么错：除以负数不等号要反向。 正确做法：$a < 0$ 时写成 $\left(x - \dfrac{1}{a}\right)(x - 1) > 0$，再“大于取两边”。
• 错在哪：例 2 只讨论 $a > 0$ 和 $a < 0$，漏掉 $a = 0$。 为什么错：$a = 0$ 时不等式是一次的，$\dfrac{1}{a}$ 也没有意义。 正确做法：二次项系数含参数，第一步永远是讨论它为 0。

直观理解

参数一变，抛物线就动：两根大小不定时，一个根固定、另一个根在 $x$ 轴上滑动，滑过固定根时“中间那段”左右两端换了位置（见例 1 的图）；二次项系数变号时，抛物线上下翻转；$\Delta$ 变化时，抛物线上下平移，穿过 $x$ 轴的交点从两个变成一个再变成零个。分类讨论就是把这些“形状突变”的时刻找出来，一段一段写。

关联知识点

• 前置：4.3 一元二次不等式的解法，每一类情况最终都是解一个确定的二次不等式。
• 前置：第 3 章不等式的性质，除以负数时不等号反向。
• 后续：4.5 恒成立与有解问题，常需要先像本节一样讨论系数是否为 0。
• 后续：第 25 章导数的应用，导函数含参数时求单调区间，讨论的顺序和本节完全一样。

4.5 恒成立与有解问题

说明

恒成立：对某个范围 $D$ 里的所有 $x$，不等式都成立。有解（也叫能成立）：$D$ 里至少有一个 $x$ 使不等式成立。

在 $\mathbf{R}$ 上的二次不等式（直接看开口和 $\Delta$）：

不等式对一切实数 $x$ 成立	条件
$ax^2 + bx + c > 0$	$a = b = 0, c > 0$；或 $a > 0, \Delta < 0$
$ax^2 + bx + c \ge 0$	$a = b = 0, c \ge 0$；或 $a > 0, \Delta \le 0$
$ax^2 + bx + c < 0$	$a = b = 0, c < 0$；或 $a < 0, \Delta < 0$
$ax^2 + bx + c \le 0$	$a = b = 0, c \le 0$；或 $a < 0, \Delta \le 0$

在区间上：转化为最值。 设 $f(x)$ 在 $D$ 上有最大值和最小值：

问题	等价条件
$f(x) > 0$ 对所有 $x \in D$ 成立	$f(x)$ 在 $D$ 上的最小值 $> 0$
$f(x) > 0$ 在 $D$ 上有解	$f(x)$ 在 $D$ 上的最大值 $> 0$
$f(x) < 0$ 对所有 $x \in D$ 成立	$f(x)$ 在 $D$ 上的最大值 $< 0$
$f(x) < 0$ 在 $D$ 上有解	$f(x)$ 在 $D$ 上的最小值 $< 0$

分离参数：把不等式整理成“参数 $a$ 在一边、只含 $x$ 的 $g(x)$ 在另一边”，则

问题	等价条件
$a \ge g(x)$ 对所有 $x \in D$ 成立	$a \ge g(x)_{\max}$
$a \le g(x)$ 对所有 $x \in D$ 成立	$a \le g(x)_{\min}$
$a \ge g(x)$ 在 $D$ 上有解	$a \ge g(x)_{\min}$
$a \le g(x)$ 在 $D$ 上有解	$a \le g(x)_{\max}$

记法：“恒成立”要对最难满足的那个 $x$ 也成立，所以和最坏的值比；“有解”只要最容易满足的那个 $x$ 成立，所以和最好的值比。

使用场景

• 在 $\mathbf{R}$ 上恒成立：题目说“对一切实数 $x$”“对任意 $x \in \mathbf{R}$”，不等式是二次的，就用开口和 $\Delta$；二次项系数含参数时先讨论它为 0。
• 解集为空集：题目说“不等式 $\dots < 0$ 的解集为 $\varnothing$”，就转化为”$\dots \ge 0$ 恒成立”。
• 在区间上恒成立、参数能分离：参数只以一次的形式出现、能移到一边，就分离参数，求 $g(x)$ 在区间上的最值。
• 在区间上恒成立、不便分离：开口向上的二次函数要求在闭区间上 $\le 0$（或开口向下要求 $\ge 0$），就只看区间两个端点的函数值。
• 有解问题：题目说“存在 $x$”“至少有一个 $x$”“不等式有解”，就转化为和最值的另一边比较。

注意点

• “解集为 $\varnothing$“和”恒成立“是一回事的两种说法：$f(x) < 0$ 的解集为空集，等于 $f(x) \ge 0$ 恒成立。注意不等号从严格变成了带等号，对应的条件是 $\Delta \le 0$ 而不是 $\Delta < 0$。
• 分离参数时如果要除以含 $x$ 的式子，必须先确定它的符号；符号不定就分段，或换用别的方法。
• 如果 $g(x)$ 在区间上取不到最大值（比如开区间上单调），表中的”$g(x)_{\max}$“要换成它无限接近但取不到的那个值 $M$，这时端点要单独检验：$a \ge g(x)$ 恒成立 $\iff a \ge M$，等号能取。
• “恒成立”与“有解”互为否定：$f(x) \ge 0$ 对所有 $x \in D$ 成立的否定是“存在 $x \in D$ 使 $f(x) < 0$”。两个问题的答案正好是补集关系，可以用来检查。

证明

结论 1：$ax^2 + bx + c > 0$ 对一切实数成立 $\iff$ $a = b = 0, c > 0$，或 $a > 0, \Delta < 0$。

$a = 0$ 时，式子是 $bx + c$。$b \ne 0$ 时它是一次函数，总有 $x$ 使它为负，不能恒正；$b = 0$ 时式子是常数 $c$，恒正等价于 $c > 0$。

$a \ne 0$ 时，由 4.2 节的配方式，

$$ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}.$$

• 若 $a > 0$、$\Delta < 0$：第一项 $\ge 0$，第二项 $-\dfrac{\Delta}{4a} > 0$，式子恒正。
• 若 $a > 0$、$\Delta \ge 0$：取 $x = -\dfrac{b}{2a}$，式子等于 $-\dfrac{\Delta}{4a} \le 0$，不是恒正。（关键一步：要否定“恒成立”，只需找到一个反例，顶点就是最好的反例。）
• 若 $a < 0$：开口向下，取 $x$ 离对称轴足够远，第一项 $a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2$ 可以比任何正数都更负，式子一定会变成负的，不是恒正。

其余三行同理。

结论 2：$f(x) > 0$ 对所有 $x \in D$ 成立 $\iff$ $f(x)_{\min} > 0$。

• （$\Rightarrow$）最小值是 $f$ 在某个 $x_0 \in D$ 处的值 $f(x_0)$，而 $f(x_0) > 0$，所以最小值 $> 0$。（关键一步：最小值是能取到的函数值，所以它也受“对所有 $x$ 成立”的约束。）
• （$\Leftarrow$）对任意 $x \in D$，$f(x) \ge f(x)_{\min} > 0$。

有解的情形同理：$f(x) > 0$ 有解时，那个解 $x_0$ 满足 $f(x)_{\max} \ge f(x_0) > 0$；反过来，若 $f(x)_{\max} > 0$，取到最大值的那个 $x$ 就是一个解。

结论 3：端点法。 设 $a > 0$，则 $f(x) = ax^2 + bx + c \le 0$ 对所有 $x \in [m, n]$ 成立 $\iff$ $f(m) \le 0$ 且 $f(n) \le 0$。

开口向上的抛物线在闭区间 $[m, n]$ 上的最大值在端点取得：对称轴在区间左半边时最大值是 $f(n)$，在右半边时是 $f(m)$，对称轴在区间外时也是两端中离对称轴远的那一端。所以最大值 $= \max\{f(m), f(n)\}$，由结论 2，最大值 $\le 0$ 就是两端都 $\le 0$。

例题

例 1　（场景：在 $\mathbf{R}$ 上恒成立）不等式 $(m - 1)x^2 + (m - 1)x + 2 > 0$ 对一切实数 $x$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围。

解：

1. $m = 1$：不等式为 $2 > 0$，恒成立，符合。
2. $m \ne 1$：需要开口向上且 $\Delta < 0$：

$$\begin{cases} m - 1 > 0, \\ \Delta = (m - 1)^2 - 8(m - 1) < 0. \end{cases}$$

第二式即 $(m - 1)(m - 9) < 0$，得 $1 < m < 9$，和第一式取交集仍是 $1 < m < 9$。

合并两种情况：$m$ 的取值范围是 $[1, 9)$。

容易卡在：漏掉 $m = 1$，答案写成 $(1, 9)$。

例 2　（场景：解集为空集）已知关于 $x$ 的不等式 $x^2 + ax + a + 3 < 0$ 的解集为 $\varnothing$，求实数 $a$ 的取值范围。

解：解集为空集，等价于 $x^2 + ax + a + 3 \ge 0$ 对一切实数 $x$ 恒成立。二次项系数为 1，开口向上，条件是 $\Delta \le 0$：

$$a^2 - 4(a + 3) = a^2 - 4a - 12 = (a - 6)(a + 2) \le 0,$$

得 $-2 \le a \le 6$。

容易卡在：写成 $\Delta < 0$，丢掉 $a = -2$ 和 $a = 6$。$a = 6$ 时不等式是 $(x + 3)^2 < 0$，解集确实是空集。

例 3　（场景：区间上恒成立，分离参数）对任意 $x \in [1, 4]$，不等式 $x^2 - ax + 4 \ge 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围。

解：$x \in [1, 4]$ 时 $x > 0$，两边除以 $x$，不等号不变：

$$a \le x + \frac{4}{x}.$$

记 $g(x) = x + \dfrac{4}{x}$，问题变成”$a \le g(x)$ 对所有 $x \in [1, 4]$ 成立”，即 $a \le g(x)_{\min}$。

由基本不等式（第 3 章），$x + \dfrac{4}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \dfrac{4}{x}} = 4$，当且仅当 $x = \dfrac{4}{x}$，即 $x = 2$ 时取等号。$2 \in [1, 4]$，等号取得到，所以 $g(x)_{\min} = 4$。

$a$ 的取值范围是 $(-\infty, 4]$。

容易卡在：用基本不等式求最小值后，不检查取等号的 $x = 2$ 在不在区间里。

另一种解法：不分离参数，直接看二次函数 $f(x) = x^2 - ax + 4$ 在 $[1, 4]$ 上的最小值，按对称轴 $x = \dfrac{a}{2}$ 的位置分三种情况：

• $\dfrac{a}{2} \le 1$，即 $a \le 2$：$f$ 在 $[1, 4]$ 上递增，最小值 $f(1) = 5 - a \ge 0$，得 $a \le 5$。结合 $a \le 2$，得 $a \le 2$。
• $1 < \dfrac{a}{2} < 4$，即 $2 < a < 8$：最小值在顶点，$f\left(\dfrac{a}{2}\right) = 4 - \dfrac{a^2}{4} \ge 0$，得 $-4 \le a \le 4$。结合 $2 < a < 8$，得 $2 < a \le 4$。
• $\dfrac{a}{2} \ge 4$，即 $a \ge 8$：$f$ 在 $[1, 4]$ 上递减，最小值 $f(4) = 20 - 4a \ge 0$，得 $a \le 5$，与 $a \ge 8$ 矛盾，无解。

合并得 $a \le 4$。参数只以一次的形式出现、又能除过去时，分离参数只要求一个固定函数的最小值，快得多；参数出现在二次项系数里或除不过去时，只能讨论对称轴。

例 4　（场景：区间上恒成立，不便分离）对任意 $x \in [-1, 2]$，不等式 $x^2 + mx - 3 \le 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围。

解：$f(x) = x^2 + mx - 3$ 开口向上，在闭区间上的最大值在端点取得。由端点法，只需

$$\begin{cases} f(-1) = 1 - m - 3 = -m - 2 \le 0, \\ f(2) = 4 + 2m - 3 = 2m + 1 \le 0, \end{cases}$$

得 $m \ge -2$ 且 $m \le -\dfrac{1}{2}$。$m$ 的取值范围是 $\left[-2, -\dfrac{1}{2}\right]$。

另一种解法：分离参数。区间里 $x$ 有正有负，要分三段：

• $x = 0$：不等式为 $-3 \le 0$，对任何 $m$ 都成立。
• $0 < x \le 2$：除以正数，得 $m \le \dfrac{3}{x} - x$。$\dfrac{3}{x}$ 和 $-x$ 在 $(0, 2]$ 上都递减，所以 $\dfrac{3}{x} - x$ 递减，最小值在 $x = 2$ 处，为 $-\dfrac{1}{2}$。得 $m \le -\dfrac{1}{2}$。
• $-1 \le x < 0$：除以负数，不等号反向，得 $m \ge \dfrac{3}{x} - x$。$\dfrac{3}{x} - x$ 在 $[-1, 0)$ 上也递减，最大值在 $x = -1$ 处，为 $-2$。得 $m \ge -2$。

三段同时成立：$-2 \le m \le -\dfrac{1}{2}$。分离参数要按 $x$ 的符号分段，还要判断两个函数的单调性；端点法两行就完，所以开口向上要求”$\le 0$“（或开口向下要求”$\ge 0$“）时首选端点法。

例 5　（场景：有解问题）若存在 $x \in [1, 4]$，使不等式 $x^2 - ax + 4 < 0$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围。

解：同例 3，$x > 0$，不等式等价于 $a > x + \dfrac{4}{x} = g(x)$。问题变成”$a > g(x)$ 在 $[1, 4]$ 上有解”，即 $a > g(x)_{\min} = 4$。

$a$ 的取值范围是 $(4, +\infty)$。

检查：本题的条件“存在 $x \in [1, 4]$ 使 $x^2 - ax + 4 < 0$“正好是例 3 的条件”对任意 $x \in [1, 4]$，$x^2 - ax + 4 \ge 0$“的否定，所以答案应是例 3 答案 $(-\infty, 4]$ 的补集，确实是 $(4, +\infty)$。

常用推论

• $ax^2 + bx + c > 0$ 对一切实数恒成立 $\iff$ $a = b = 0, c > 0$ 或 $a > 0, \Delta < 0$；$< 0$ 恒成立 $\iff$ $a = b = 0, c < 0$ 或 $a < 0, \Delta < 0$。推导见本节“证明”结论 1。题目已说明是“一元二次不等式”时，只看后半句。
• 分离参数四句：$a > g(x)$ 恒成立 $\iff a > g_{\max}$；$a > g(x)$ 有解 $\iff a > g_{\min}$；$a < g(x)$ 恒成立 $\iff a < g_{\min}$；$a < g(x)$ 有解 $\iff a < g_{\max}$。推导见本节“证明”结论 2。
• 开口向上的二次函数在 $[m, n]$ 上恒 $\le 0$ $\iff$ $f(m) \le 0$ 且 $f(n) \le 0$；开口向下恒 $\ge 0$ 同理。推导见本节“证明”结论 3。
• 不等式 $f(x) < 0$ 的解集为 $\varnothing$ $\iff$ $f(x) \ge 0$ 恒成立；$f(x) \ge 0$ 恒成立的反面是 $f(x) < 0$ 有解。推导：第 2 章全称量词命题的否定是存在量词命题。

易错点

• 错在哪：例 1 直接列 $m - 1 > 0$、$\Delta < 0$，得 $(1, 9)$。 为什么错：题目没说是一元二次不等式，$m = 1$ 时不等式变成 $2 > 0$，也恒成立。 正确做法：二次项系数含参数，先讨论它为 0。
• 错在哪：把”$a \le g(x)$ 有解“写成 $a \le g(x)_{\min}$。 为什么错：有解只要有一个 $x$ 满足就行，$a$ 只要不超过 $g$ 能取到的最大值，就能找到那个 $x$。$a \le g_{\min}$ 是”恒成立“的条件，范围太小了。 正确做法：恒成立和最坏的值比，有解和最好的值比。做完可以用”两者互为否定、答案互补“检查（例 3、例 5）。
• 错在哪：例 2 写 $\Delta < 0$。 为什么错：$< 0$ 的解集为空集，等价于 $\ge 0$ 恒成立，带等号，允许抛物线和 $x$ 轴相切。 正确做法：先把“解集为空集”翻译成“另一个方向的不等式恒成立”，看清有没有等号，再写 $\Delta$ 的条件。
• 错在哪：例 4 直接除以 $x$，写成 $m \le \dfrac{3}{x} - x$ 对 $x \in [-1, 2]$ 恒成立。 为什么错：$x$ 可能为负，也可能为 0；除以负数要反向，除以 0 没有意义。 正确做法：除以含 $x$ 的式子前先确定它的符号，符号不定就分段，或换用端点法。

直观理解

• $f(x) > 0$ 在 $D$ 上恒成立：$D$ 上那段曲线整个在 $x$ 轴上方，只要最低点在上方就行。
• $f(x) > 0$ 在 $D$ 上有解：那段曲线至少有一点在 $x$ 轴上方，只要最高点在上方就行。
• 分离参数后，$a \le g(x)$ 恒成立就是：水平线 $y = a$ 整个在曲线 $y = g(x)$ 的下面（可以碰到最低点）；$a \le g(x)$ 有解就是：水平线 $y = a$ 至少在曲线的某一点下面，不高过最高点就行。

关联知识点

• 前置：4.2 三个“二次”的关系，$\mathbf{R}$ 上恒成立的条件来自配方式。
• 前置：第 3 章基本不等式，分离参数后常用它求 $g(x)$ 的最值。
• 常一起考：第 2 章全称量词与存在量词，“恒成立”是全称量词命题，“有解”是存在量词命题，二者互为否定。
• 后续：第 6 章函数的最大值和最小值，区间上的二次函数最值按对称轴位置讨论，就是例 3 另一种解法的做法。
• 后续：第 25 章导数的应用，用导数求 $g(x)$ 的最值，处理更复杂的恒成立和有解问题，转化方法和本节一样。

4.6 知识点之间的关系

本章四个知识点是一条线：4.2 把函数、方程、不等式统一到一张抛物线上，4.3 用这张图解具体的不等式，4.4 让系数带上参数、研究解集怎么随参数变，4.5 反过来由“解集的要求”（全体实数、整个区间、至少一个点）去求参数。

跨章看，这一章是几个后续主题的“小样”：零点与方程的根（第 10 章）是 4.2 的推广；用导数求单调区间（第 25 章）时，导函数是二次式，含参数讨论和 4.4 一模一样；导数里的恒成立问题（第 25 章）沿用 4.5 的“转化为最值”；直线与圆锥曲线联立（第 33 章）每题都要用 $\Delta$ 和韦达定理。

4.7 自测

1. 已知不等式 $x^2 + bx + c < 0$ 的解集是 $(-1, 3)$，求 $b + c$。
2. 已知方程 $x^2 + 2x + m = 0$ 的两根一正一负，求实数 $m$ 的取值范围。
3. 解不等式 $-x^2 + 2x + 8 > 0$。
4. 解不等式 $\dfrac{x - 1}{x + 2} \le 0$。
5. 解关于 $x$ 的不等式 $x^2 - (a + 1)x + a > 0$。
6. 不等式 $x^2 + mx + 1 > 0$ 对一切实数 $x$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围。
7. 若存在 $x \in [1, 2]$，使 $x^2 - ax + 1 \le 0$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围。

答案：1. $-5$；2. $m < 0$；3. $(-2, 4)$；4. $(-2, 1]$；5. $a < 1$ 时为 $(-\infty, a) \cup (1, +\infty)$，$a = 1$ 时为 $\{x \mid x \ne 1\}$，$a > 1$ 时为 $(-\infty, 1) \cup (a, +\infty)$；6. $(-2, 2)$；7. $[2, +\infty)$。

4.8 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，必修第一册“二次函数与一元二次方程、不等式”一节有同步课程视频和教材电子版。
• GeoGebra 图形计算器：输入 y = a x^2 + b x + c 并给 a、b、c 加滑动条，拖动参数就能看到 Δ 和解集怎么变，适合配合 4.4 节练习。
• Khan Academy · Quadratic inequalities：英文的二次函数与二次不等式讲解和练习，在 Algebra 2 课程的 Polynomial/Quadratic 单元里。
• 维基百科 · 二次函数：二次函数、判别式、韦达定理的中文条目，查定义和推导时用。