第 38 章 · 成对数据的统计分析

项目	内容
课标主题	选择性必修 · 概率与统计 · 成对数据的统计分析
人教 A 版	选择性必修第三册 第八章 8.1–8.3
考试地位	常考。解答题常考“求经验回归方程并预测”或“列联表加独立性检验”，常和分布列一起考；选择题、填空题常考相关系数的性质、回归直线过样本中心、残差
前置知识	第 20 章统计（平均数、方差）；第 21 章事件的独立性；第 28 章直线的方程

前面的统计只研究一个变量，这一章研究两个变量之间有没有关系、有多强、能不能用一个推算另一个。两个变量都是数值时，用相关系数和回归方程；两个变量都是类别（如“是否近视”“是否经常用手机”）时，用列联表和独立性检验。题目计算量大但套路固定，丢分主要丢在三处：公式里的和式算错、把相关当成因果、独立性检验的结论写错了口径。

38.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
38.2 成对数据的相关性与样本相关系数	散点图看方向，样本相关系数 $r$ 的正负看方向，$	r
38.3 一元线性回归模型与最小二乘法	让残差平方和最小，得到 $\hat{y} = \hat{b}x + \hat{a}$，它一定过样本中心 $(\bar{x}, \bar{y})$	常考，解答题求回归方程并预测，有时要先换元
38.4 列联表与独立性检验	把两个分类变量的计数排成 2×2 表，算 $\chi^2$，和临界值比较后下结论	常考，解答题第一问的高频题型

38.2 成对数据的相关性与样本相关系数

说明

成对数据：对同一批对象同时观测两个变量，得到 $n$ 组数 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$。比如 5 个月的广告费和销售额，每个月一对。

相关关系：两个变量有关系，但一个变量的值不能完全确定另一个变量的值。身高和体重就是相关关系：身高高的人一般更重，但同样身高的人体重各不相同。它和函数关系不同，函数关系里 $x$ 一定，$y$ 就唯一确定。

散点图：把每对数据画成平面上的一个点 $(x_i, y_i)$。从散点图上看两件事：

• 方向：$y$ 随 $x$ 增大而大体增大，叫正相关；大体减小，叫负相关。
• 形状：点大致落在一条直线附近，叫线性相关；落在一条曲线附近，叫非线性相关；看不出趋势，叫不相关。

样本相关系数：用一个数刻画线性相关的方向和强弱。记 $\bar{x}$、$\bar{y}$ 为两组数据的平均数，

$$r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}.$$

题目给的常是各种和，这时用等价写法更快（推导见“证明”）：

$$r = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i y_i - n\bar{x}\bar{y}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\bar{x}^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} y_i^2 - n\bar{y}^2}}.$$

$r$ 的含义：

$r$ 的情况	含义
$r > 0$	正相关
$r < 0$	负相关
$	r
$	r
$	r

$r$ 的取值范围是 $-1 \le r \le 1$。

使用场景

• 题目给出散点图，问正相关还是负相关、哪组相关性更强：看点的走向和贴近直线的程度。
• 题目给出成对数据或各种和，要求算相关系数、判断线性相关强弱：代公式算 $r$，看 $|r|$ 是否接近 1。
• 题目问数据变换（换单位、乘负数、加点、去掉异常点）后 $r$ 怎么变，或比较几组的 $r$：用 $r$ 的性质，不用重算。

注意点

• $r$ 只衡量线性相关。$r \approx 0$ 只说明没有线性关系，不说明没有关系：上图 ④ 的点排成抛物线，关系很明显，$r$ 却等于 0。
• 比较相关的强弱看 $|r|$，不看 $r$。$r = -0.95$ 比 $r = 0.90$ 线性相关更强。
• 教材没有规定”$|r|$ 大于多少算强相关”。题目若给出标准（如”$|r| > 0.75$ 认为线性相关很强”），按题目的标准判断。
• 相关不等于因果。冰淇淋销量和溺水人数正相关，原因是天热，两者之间没有因果关系。
• 分母要求 $x_i$ 不全相等、$y_i$ 不全相等，否则 $r$ 没有意义（散点排成一条竖线或横线）。

证明

结论 1：分子、分母的两种写法相等。

把 $(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ 展开再求和：

$$\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i - \bar{y}\sum_{i=1}^{n} x_i - \bar{x}\sum_{i=1}^{n} y_i + n\bar{x}\bar{y}.$$

因为 $\sum x_i = n\bar{x}$，$\sum y_i = n\bar{y}$，右边等于 $\sum x_i y_i - n\bar{x}\bar{y} - n\bar{x}\bar{y} + n\bar{x}\bar{y} = \sum x_i y_i - n\bar{x}\bar{y}$。令 $y_i = x_i$，就得到 $\sum (x_i - \bar{x})^2 = \sum x_i^2 - n\bar{x}^2$。

结论 2：$|r| \le 1$，且 $|r| = 1$ 当且仅当所有点在一条直线上。

记 $u_i = x_i - \bar{x}$，$v_i = y_i - \bar{y}$，要证 $\left(\sum u_i v_i\right)^2 \le \sum u_i^2 \cdot \sum v_i^2$。

对任意实数 $t$，构造

$$f(t) = \sum_{i=1}^{n}(t u_i - v_i)^2 = \left(\sum u_i^2\right) t^2 - 2\left(\sum u_i v_i\right) t + \sum v_i^2.$$

（关键一步：$f(t)$ 是若干个平方的和，所以对一切 $t$ 都有 $f(t) \ge 0$；它又是 $t$ 的二次函数，二次项系数 $\sum u_i^2 > 0$，开口向上且不取负值，判别式只能 $\le 0$。）

$$\Delta = 4\left(\sum u_i v_i\right)^2 - 4\sum u_i^2 \sum v_i^2 \le 0,$$

即 $\left(\sum u_i v_i\right)^2 \le \sum u_i^2 \sum v_i^2$，两边开方得 $|r| \le 1$。

等号成立 $\iff \Delta = 0 \iff$ 存在 $t_0$ 使 $f(t_0) = 0 \iff$ 每一项 $t_0 u_i - v_i = 0$，即 $y_i - \bar{y} = t_0(x_i - \bar{x})$ 对所有 $i$ 成立，也就是所有点 $(x_i, y_i)$ 都在过 $(\bar{x}, \bar{y})$、斜率为 $t_0$ 的直线上。

这个证明用的是二次函数的判别式（第 4 章），和柯西不等式的证明是同一个想法。

例题

例 1　（场景：由散点图判断相关性）观察上面四幅散点图，回答：（1）哪幅是正相关，哪幅是负相关？（2）哪两幅的样本相关系数最接近 0？（3）第 ④ 幅的 $x$ 和 $y$ 有没有关系？

解：

（1）① 的点从左下到右上，$y$ 随 $x$ 增大而增大，是正相关；② 的点从左上到右下，是负相关。两幅的点都紧贴一条直线，线性相关都很强（算出来 $r$ 分别约为 $0.99$ 和 $-0.99$）。

（2）③ 和 ④。③ 的点散乱，没有趋势，$r \approx -0.07$。④ 的点左半边上升、右半边下降，正、负两部分抵消，$r = 0$。

（3）有关系，而且很强：点几乎落在一条抛物线上。$r = 0$ 只说明没有线性关系。

容易卡在：看到 $r$ 接近 0 就说“两个变量没有关系”。

例 2　（场景：计算样本相关系数）某商店 5 个月的广告费 $x$（万元）和销售额增加量 $y$（万元）如下，求样本相关系数 $r$，并判断线性相关的强弱。

$x$	1	2	3	4	5
$y$	2	3	4	6	10

解：$\bar{x} = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = 3$，$\bar{y} = \dfrac{2 + 3 + 4 + 6 + 10}{5} = 5$。列表算离差：

$x_i - \bar{x}$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y_i - \bar{y}$	$-3$	$-2$	$-1$	$1$	$5$
乘积	$6$	$2$	$0$	$1$	$10$

$$\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 6 + 2 + 0 + 1 + 10 = 19,$$ $$\sum (x_i - \bar{x})^2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10, \qquad \sum (y_i - \bar{y})^2 = 9 + 4 + 1 + 1 + 25 = 40.$$ $$r = \frac{19}{\sqrt{10} \times \sqrt{40}} = \frac{19}{\sqrt{400}} = \frac{19}{20} = 0.95.$$

$r = 0.95$，接近 1，广告费和销售额增加量正相关，线性相关很强。

另一种解法：用和式写法。$\sum x_i y_i = 2 + 6 + 12 + 24 + 50 = 94$，$\sum x_i^2 = 55$，$\sum y_i^2 = 4 + 9 + 16 + 36 + 100 = 165$，

$$r = \frac{94 - 5 \times 3 \times 5}{\sqrt{55 - 5 \times 3^2} \sqrt{165 - 5 \times 5^2}} = \frac{19}{\sqrt{10} \sqrt{40}} = 0.95.$$

数据少、平均数是整数时，离差法数字小、不容易错；题目直接给出 $\sum x_i y_i$、$\sum x_i^2$ 这类和时，用和式写法省去列表。

容易卡在：和式写法里漏乘 $n$，写成 $\sum x_i y_i - \bar{x}\bar{y}$。

例 3　（场景：数据变换后 $r$ 怎么变）沿用例 2 的数据（$r = 0.95$），判断下列说法是否正确：

（1）把广告费的单位从万元改成元，$r$ 不变； （2）令 $y' = -2y + 3$，则 $x$ 和 $y'$ 的样本相关系数为 $-0.95$； （3）增加一个样本点 $(3, 5)$ 后，$r$ 变大； （4）另有一组数据的样本相关系数为 $-0.97$，它的线性相关比例 2 弱。

解：

（1）正确。换单位就是 $x' = 10000x$，每个离差都乘 10000，分子、分母同乘 10000，$r$ 不变。

（2）正确。$y' - \bar{y}' = -2(y - \bar{y})$，分子乘 $-2$，分母里 $\sqrt{\sum(y' - \bar{y}')^2}$ 乘 $|-2| = 2$，所以 $r$ 变号，绝对值不变，为 $-0.95$。

（3）错误。$(3, 5)$ 恰好是样本中心 $(\bar{x}, \bar{y})$。加进去后平均数仍是 3 和 5，新点的两个离差都是 0，三个和式都不变，$r$ 仍是 $0.95$。

（4）错误。比较强弱看绝对值，$0.97 > 0.95$，这组的线性相关更强。

容易卡在：（3）以为加点一定改变 $r$；（4）只比较带符号的大小。

常用推论

• 线性变换不改变 $|r|$：若 $x' = kx + m$（$k \ne 0$），则 $x'$ 与 $y$ 的相关系数为 $r$（$k > 0$）或 $-r$（$k < 0$）。推导：每个离差乘 $k$，分子乘 $k$，分母乘 $|k|$。对 $y$ 做变换同理。
• 交换 $x$ 和 $y$，$r$ 不变：公式关于 $x$、$y$ 对称。
• $r$ 与回归系数同号：$\hat{b} = r \cdot \sqrt{\dfrac{\sum (y_i - \bar{y})^2}{\sum (x_i - \bar{x})^2}}$，根号前的式子为正，所以 $\hat{b}$ 与 $r$ 符号相同。由 38.3 节 $\hat{b}$ 的公式和本节 $r$ 的公式相除即得。
• 所有点在斜率为正（负）的直线上 $\iff r = 1$（$r = -1$），推导见本节“证明”结论 2。

易错点

• 错在哪：$r \approx 0$，结论写”$x$ 与 $y$ 没有关系”。 为什么错：$r$ 只刻画线性关系，二次关系、周期关系的 $r$ 也可能接近 0。 正确做法：写”$x$ 与 $y$ 的线性相关性很弱”，必要时看散点图。
• 错在哪：$r_1 = 0.9$，$r_2 = -0.95$，认为第一组相关性更强。 为什么错：$r$ 的正负只表示方向，强弱看 $|r|$。 正确做法：比较 $|r_1| = 0.9 < |r_2| = 0.95$，第二组更强。
• 错在哪：由“两个变量强相关”推出“一个导致另一个”。 为什么错：相关可能来自第三个因素，也可能是巧合。 正确做法：相关系数只说明数据上一起变化，因果要靠实验或专业知识判断。

直观理解

把 $x$ 的离差 $(u_1, \dots, u_n)$ 和 $y$ 的离差 $(v_1, \dots, v_n)$ 看成两个向量，$r$ 的公式就是“数量积除以两个模的乘积”，也就是这两个向量夹角的余弦（第 15 章平面向量夹角公式推广到 $n$ 维）。夹角为 0 时 $r = 1$，两组数据“步调完全一致”；夹角为 $90^\circ$ 时 $r = 0$，“互不相干”；夹角为 $180^\circ$ 时 $r = -1$，“步调完全相反”。所以 $|r|$ 不会超过 1，余弦本来就在 $[-1, 1]$ 里。

一句话记法：正负看方向，绝对值看贴不贴直线。

关联知识点

• 前置：第 20 章样本的数字特征，$r$ 的分母就是 $n$ 倍方差开方后的乘积。
• 前置：第 4 章二次函数，$|r| \le 1$ 的证明用到“恒非负的二次函数判别式 $\le 0$”。
• 后续：38.3 一元线性回归，先用 $r$ 判断线性相关够强，再建立回归方程；$\hat{b}$ 与 $r$ 同号。
• 常一起考：第 15 章平面向量数量积，$r$ 可以看作离差向量夹角的余弦。

38.3 一元线性回归模型与最小二乘法

说明

一元线性回归模型：$y$ 的值由 $x$ 决定一部分，剩下的是随机误差。写成

$$Y = bx + a + e, \qquad E(e) = 0, \quad D(e) = \sigma^2.$$

$x$ 叫解释变量（自变量），$Y$ 叫响应变量（因变量），$e$ 叫随机误差，$a$、$b$ 是未知参数。$E(e) = 0$ 表示误差平均来说不偏高也不偏低。

最小二乘法：用样本数据估计 $a$、$b$。对任一条直线 $y = bx + a$，第 $i$ 个点的竖直偏差是 $y_i - (bx_i + a)$。选 $a$、$b$ 使偏差的平方和

$$Q(a, b) = \sum_{i=1}^{n}(y_i - bx_i - a)^2$$

最小，得到

$$\hat{b} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i y_i - n\bar{x}\bar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\bar{x}^2}, \qquad \hat{a} = \bar{y} - \hat{b}\bar{x}.$$

直线 $\hat{y} = \hat{b}x + \hat{a}$ 叫经验回归直线，这个式子叫经验回归方程（旧教材叫“回归直线方程”）。$\hat{y}$ 上的帽子表示“估计值”。

残差：观测值减预测值，$\hat{e}_i = y_i - \hat{y}_i$。以 $x$ 为横轴、残差为纵轴画的图叫残差图。残差点在横轴上下随机、均匀地分布在一条窄带里，说明模型合适；呈现明显的规律（如 U 形），说明直线模型不够好。

决定系数：

$$R^2 = 1 - \frac{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}.$$

分子是残差平方和，分母是 $y$ 本身的波动。$R^2$ 在 0 和 1 之间，越接近 1，模型能解释的波动越多，拟合效果越好。比较两个模型时，选 $R^2$ 大的（等价于残差平方和小的）。

非线性回归：散点呈曲线时，先换元把它变成线性：

模型	换元	变成
$y = c \cdot e^{dx}$	$z = \ln y$	$z = dx + \ln c$
$y = a + b x^2$	$t = x^2$	$y = a + bt$
$y = a + \dfrac{b}{x}$	$t = \dfrac{1}{x}$	$y = a + bt$
$y = a + b\ln x$	$t = \ln x$	$y = a + bt$

对新变量用最小二乘法，再换回去。

使用场景

• 给出成对数据或各种和，要求经验回归方程并预测：先算 $\bar{x}$、$\bar{y}$，再算 $\hat{b}$、$\hat{a}$，代入求 $\hat{y}$。
• 给出回归方程但数据表里缺一个数，或方程里缺一个系数：用“回归直线过样本中心 $(\bar{x}, \bar{y})$“列方程。
• 题目问某个点的残差、问哪个模型拟合得好、给出残差图让你判断：算残差、残差平方和或 $R^2$，看残差图的形状。
• 散点图呈曲线，或题目给出 $y = c \cdot e^{dx}$、$y = a + \dfrac{b}{x}$ 这类模型：先换元化成线性，再用最小二乘法。

注意点

• 求 $\hat{a}$ 必须用 $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b}\bar{x}$，先算 $\hat{b}$ 再算 $\hat{a}$，顺序不能反。
• 回归方程算出的是估计值，预测结论要写“约为”“预计为”，不能写成确定值。
• 预测只在数据范围附近可靠。用 5 岁到 10 岁儿童的身高数据去预测 40 岁的身高，结果没有意义。
• 回归方程是用 $x$ 预测 $y$ 的。反过来用 $y$ 预测 $x$，要以 $y$ 为自变量重新求，不能直接解方程。
• 残差是“观测值减预测值”，$y_i - \hat{y}_i$，顺序不能反。
• 非线性回归换元后，回归方程是关于新变量的，最后要换回原变量。

证明

结论：使 $Q(a, b) = \sum (y_i - bx_i - a)^2$ 最小的 $a$、$b$ 是 $\hat{b} = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2}$，$\hat{a} = \bar{y} - \hat{b}\bar{x}$。

把每一项拆成两部分：

$$y_i - bx_i - a = \left[(y_i - \bar{y}) - b(x_i - \bar{x})\right] + (\bar{y} - b\bar{x} - a).$$

记方括号里的式子为 $w_i$，第二部分 $m = \bar{y} - b\bar{x} - a$ 和 $i$ 无关。平方再求和：

$$Q(a, b) = \sum_{i=1}^{n} w_i^2 + 2m\sum_{i=1}^{n} w_i + n m^2.$$

（关键一步：$\sum w_i = \sum (y_i - \bar{y}) - b\sum (x_i - \bar{x}) = 0 - 0 = 0$，因为离差之和为 0。交叉项消失，$Q$ 分成了只和 $b$ 有关的一块与含 $a$ 的一块。）

$$Q(a, b) = \sum_{i=1}^{n}\left[(y_i - \bar{y}) - b(x_i - \bar{x})\right]^2 + n(\bar{y} - b\bar{x} - a)^2.$$

第二项 $\ge 0$，取 $a = \bar{y} - b\bar{x}$ 时为 0，这时最小。

第一项展开，记 $S_{xx} = \sum (x_i - \bar{x})^2$，$S_{xy} = \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$，$S_{yy} = \sum (y_i - \bar{y})^2$：

$$\sum \left[(y_i - \bar{y}) - b(x_i - \bar{x})\right]^2 = S_{xx} b^2 - 2S_{xy} b + S_{yy}.$$

这是 $b$ 的二次函数，开口向上，在 $b = \dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}$ 处最小（第 4 章二次函数的最值）。两块同时取最小，得到 $\hat{b} = \dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}$，$\hat{a} = \bar{y} - \hat{b}\bar{x}$。

例题

例 1　（场景：求经验回归方程并预测）某市 2021 年到 2025 年的新能源汽车充电桩数量 $y$（千个）如下，年份代码 $x$ 取 1 到 5。已知 $\sum x_i y_i = 107$，$\sum x_i^2 = 55$。求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并预测 2026 年的充电桩数量。

年份	2021	2022	2023	2024	2025
$x$	1	2	3	4	5
$y$	3	4	6	7	10

解：$\bar{x} = 3$，$\bar{y} = \dfrac{3 + 4 + 6 + 7 + 10}{5} = 6$。

$$\hat{b} = \frac{\sum x_i y_i - 5\bar{x}\bar{y}}{\sum x_i^2 - 5\bar{x}^2} = \frac{107 - 5 \times 3 \times 6}{55 - 5 \times 9} = \frac{17}{10} = 1.7,$$ $$\hat{a} = \bar{y} - \hat{b}\bar{x} = 6 - 1.7 \times 3 = 0.9.$$

经验回归方程为 $\hat{y} = 1.7x + 0.9$。2026 年对应 $x = 6$，$\hat{y} = 1.7 \times 6 + 0.9 = 11.1$，预计 2026 年约有 11.1 千个充电桩。

另一种解法：用离差算。$x_i - \bar{x}$ 依次为 $-2, -1, 0, 1, 2$，$y_i - \bar{y}$ 依次为 $-3, -2, 0, 1, 4$，乘积之和 $6 + 2 + 0 + 1 + 8 = 17$，$\sum (x_i - \bar{x})^2 = 10$，同样得 $\hat{b} = 1.7$。题目给了 $\sum x_i y_i$ 时用和式写法最快；题目只给原始数据、而 $x$ 是 1 到 5 这种对称的年份代码时，离差都是小整数，离差法更不容易算错。

容易卡在：年份直接用 2021、2022 代入，数字太大；题目规定了年份代码就用代码，预测时也要把 2026 换成 6。

例 2　（场景：利用样本中心求未知量）某种商品的价格指数 $x$ 和销量指数 $y$ 的数据如下，其中 $m$ 被污损。已知 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = 2x + 1$，求 $m$。

$x$	1	3	4	5	7
$y$	4	6	$m$	10	16

解：$\bar{x} = \dfrac{1 + 3 + 4 + 5 + 7}{5} = 4$。经验回归直线过样本中心，所以

$$\bar{y} = 2 \times 4 + 1 = 9.$$

于是 $4 + 6 + m + 10 + 16 = 5 \times 9 = 45$，$m = 9$。

容易卡在：想先用最小二乘公式求 $\hat{b}$，但 $m$ 未知算不出来。题目已经给了方程，只需要“过样本中心”这一条。

例 3　（场景：残差分析与 $R^2$ 比较模型）沿用 38.2 节例 2 的数据（$x$：1, 2, 3, 4, 5；$y$：2, 3, 4, 6, 10）。

（1）求经验回归方程（模型①）和各点的残差； （2）求模型①的 $R^2$； （3）另一个模型② $\hat{y} = 0.32x^2 + 1.44$（系数已四舍五入）的残差平方和约为 $0.87$，哪个模型拟合效果更好？

解：

（1）由 38.2 节例 2，$\bar{x} = 3$，$\bar{y} = 5$，$\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 19$，$\sum (x_i - \bar{x})^2 = 10$。所以 $\hat{b} = 1.9$，$\hat{a} = 5 - 1.9 \times 3 = -0.7$，模型①为 $\hat{y} = 1.9x - 0.7$。

$x_i$	1	2	3	4	5
$y_i$	2	3	4	6	10
$\hat{y}_i$	1.2	3.1	5.0	6.9	8.8
残差 $\hat{e}_i = y_i - \hat{y}_i$	0.8	$-0.1$	$-1.0$	$-0.9$	1.2

（2）残差平方和 $= 0.64 + 0.01 + 1 + 0.81 + 1.44 = 3.9$。由 38.2 节例 2，$\sum (y_i - \bar{y})^2 = 40$。

$$R^2 = 1 - \frac{3.9}{40} = 0.9025.$$

（3）模型②的 $R^2 = 1 - \dfrac{0.87}{40} \approx 0.978 > 0.9025$，模型②拟合效果更好。

从残差图也能看出来：模型①的残差两头正、中间负，排成一个 U 形，说明数据有向上弯的趋势，直线没有抓住。

容易卡在：残差写成 $\hat{y}_i - y_i$，符号全反；$R^2$ 的分母用了残差平方和以外的错数。

例 4　（场景：非线性回归换元）某种细菌培养 $x$ 小时后的数量 $y$（百个）如下。散点图呈指数增长，用 $y = c \cdot e^{dx}$ 拟合。令 $z = \ln y$，已算得 $z$ 的值和 $\sum (x_i - \bar{x})(z_i - \bar{z}) = 5.0$。求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并预测 $x = 6$ 时的数量（$e^{3.5} \approx 33.1$）。

$x$	1	2	3	4	5
$y$	2.5	5.0	8.2	11.0	20.1
$z = \ln y$	0.9	1.6	2.1	2.4	3.0

解：对 $y = c \cdot e^{dx}$ 两边取自然对数：$\ln y = dx + \ln c$，即 $z = dx + \ln c$，$z$ 与 $x$ 是线性关系。

$\bar{x} = 3$，$\bar{z} = \dfrac{0.9 + 1.6 + 2.1 + 2.4 + 3.0}{5} = 2.0$，$\sum (x_i - \bar{x})^2 = 10$。

$$\hat{d} = \frac{5.0}{10} = 0.5, \qquad \widehat{\ln c} = \bar{z} - \hat{d}\bar{x} = 2.0 - 0.5 \times 3 = 0.5.$$

所以 $\hat{z} = 0.5x + 0.5$，换回原变量：$\hat{y} = e^{0.5x + 0.5}$。$x = 6$ 时 $\hat{y} = e^{3.5} \approx 33.1$，预计约 3310 个。

容易卡在：求出 $\hat{z} = 0.5x + 0.5$ 就停，忘了换回 $y$；或者把截距 0.5 当成 $c$，其实 $\ln c = 0.5$，$c = e^{0.5} \approx 1.65$。

常用推论

• 经验回归直线过样本中心 $(\bar{x}, \bar{y})$：由 $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b}\bar{x}$ 移项得 $\bar{y} = \hat{b}\bar{x} + \hat{a}$。
• 残差之和为 0：$\sum (y_i - \hat{y}_i) = \sum y_i - \hat{b}\sum x_i - n\hat{a} = n(\bar{y} - \hat{b}\bar{x} - \hat{a}) = 0$。
• $\hat{b}$ 与 $r$ 的关系：$\hat{b} = r\sqrt{\dfrac{S_{yy}}{S_{xx}}}$，两者同号。把 $\hat{b} = \dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}$ 和 $r = \dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$ 相除即得。
• 一元线性回归中 $R^2 = r^2$：把 $\hat{y}_i - \bar{y} = \hat{b}(x_i - \bar{x})$ 代入，残差平方和 $= \sum [(y_i - \bar{y}) - \hat{b}(x_i - \bar{x})]^2 = S_{yy} - 2\hat{b}S_{xy} + \hat{b}^2 S_{xx} = S_{yy} - \dfrac{S_{xy}^2}{S_{xx}}$，于是 $R^2 = \dfrac{S_{xy}^2}{S_{xx}S_{yy}} = r^2$。例 3 中 $R^2 = 0.9025 = 0.95^2$，正好验证。
• $\hat{b}$ 的含义：$x$ 每增加 1 个单位，$y$ 平均增加 $\hat{b}$ 个单位（$\hat{b} < 0$ 时是平均减少）。解答题常要求解释这一点。

易错点

• 错在哪：先算 $\hat{a}$，或用 $\hat{a} = \bar{x} - \hat{b}\bar{y}$。 为什么错：公式是从 $\bar{y} = \hat{b}\bar{x} + \hat{a}$ 来的，$x$、$y$ 不能互换。 正确做法：记“直线过 $(\bar{x}, \bar{y})$”，由它反推 $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b}\bar{x}$。
• 错在哪：预测结果写“2026 年的充电桩数量是 11.1 千个”。 为什么错：回归方程给的是估计值，实际值还受随机误差影响。 正确做法：写“预计约为 11.1 千个”。
• 错在哪：指数模型换元后，把 $\hat{z} = 0.5x + 0.5$ 当成最终答案。 为什么错：题目要的是 $y$ 关于 $x$ 的方程。 正确做法：$\hat{y} = e^{\hat{z}} = e^{0.5x + 0.5}$。
• 错在哪：认为”$R^2$ 大就说明 $x$ 导致 $y$“。 为什么错：$R^2$ 只说明拟合得好，和相关系数一样不说明因果。 正确做法：$R^2$ 只用来比较模型的拟合效果。

直观理解

最小二乘法像在一堆点中间放一根尺子，转来转去，直到“每个点到尺子的竖直距离的平方加起来”最小。量的是竖直距离，因为我们用 $x$ 预测 $y$，误差出在 $y$ 上。用平方而不用绝对值，是因为平方可以展开、配方，能直接求出最小值，证明里那一步“交叉项消失”就是靠它。

直线一定穿过样本中心：上下的残差互相抵消，和为 0，就像跷跷板在中心处平衡。

关联知识点

• 前置：38.2 样本相关系数，先确认线性相关足够强再用直线拟合；$R^2 = r^2$。
• 前置：第 4 章二次函数的最值，最小二乘法的推导就是两次配方。
• 前置：第 28 章直线的方程，经验回归方程就是点斜式，过 $(\bar{x}, \bar{y})$、斜率 $\hat{b}$。
• 前置：第 8 章、第 9 章指数与对数，非线性回归用取对数换元。
• 前置：第 36 章随机变量的均值和方差，模型里的 $E(e) = 0$、$D(e) = \sigma^2$。

38.4 列联表与独立性检验

说明

分类变量：取值是类别的变量，如性别（男、女）、是否近视（是、否）。用 $X$、$Y$ 表示两个分类变量，各有两类，记作 $X = 0$、$X = 1$ 和 $Y = 0$、$Y = 1$。

2×2 列联表：把 $n$ 个对象按两个变量交叉分成四组，数出每组的个数：

	$Y = 0$	$Y = 1$	合计
$X = 0$	$a$	$b$	$a + b$
$X = 1$	$c$	$d$	$c + d$
合计	$a + c$	$b + d$	$n = a + b + c + d$

直观判断：比较两行里 $Y = 0$ 所占的比例 $\dfrac{a}{a + b}$ 和 $\dfrac{c}{c + d}$。两者差得越多，越说明 $X$ 和 $Y$ 有关联。画成等高堆积条形图（每根柱子总高代表 100%，按比例分成两段）看得更清楚。

独立性检验：

1. 提出零假设 $H_0$：$X$ 和 $Y$ 相互独立（没有关联）。
2. 计算

$$\chi^2 = \frac{n(ad - bc)^2}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}.$$

3. 按题目给的小概率值 $\alpha$，查出临界值 $x_\alpha$，它满足：$H_0$ 成立时 $P(\chi^2 \ge x_\alpha) = \alpha$。
4. 下结论：
   • $\chi^2 \ge x_\alpha$：推断 $H_0$ 不成立，即认为 $X$ 和 $Y$ 有关联，此推断犯错误的概率不大于 $\alpha$；
   • $\chi^2 < x_\alpha$：没有充分证据推断 $H_0$ 不成立，可以认为 $X$ 和 $Y$ 独立。

这种检验叫“基于小概率值 $\alpha$ 的检验规则”。常用临界值（人教 A 版教材列出的五个）：

$\alpha$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_\alpha$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

$\alpha$ 越小，要求越严，临界值越大。

使用场景

• 给出列联表或等高堆积条形图，问两个变量“是否可能有关”：比较两行的比例，做直观判断。
• 给出列联表和小概率值 $\alpha$，要求做独立性检验：写零假设、算 $\chi^2$、查临界值、按固定口径下结论。
• 题目用文字给出人数和比例，要自己整理列联表再检验：先把四个格子填全、核对合计，再算 $\chi^2$。
• 题目问样本量扩大或缩小后结论会不会变：比例不变时，$\chi^2$ 和样本量成正比。

注意点

• 列联表里填的是人数（频数），不是百分比。题目给比例时先换成人数。
• 公式里 $a$、$b$、$c$、$d$ 的位置要和表对应：$ad$ 是主对角线，$bc$ 是副对角线。行列整体交换不影响 $\chi^2$，因为 $(ad - bc)^2$ 和分母都不变。
• 结论有固定口径。“认为有关联”后面要跟“犯错误的概率不大于 $\alpha$”；$\chi^2 < x_\alpha$ 时不能写“证明了两者无关”，只能写“没有充分证据推断 $H_0$ 不成立”。
• 同一个 $\chi^2$，在不同的 $\alpha$ 下结论可能不同。先看题目指定哪个 $\alpha$。
• 独立性检验说的是“有没有关联”，不是因果，也不说明关联有多强。
• $\chi^2$ 和临界值的比较依赖“样本量足够大”。统计学上一般要求每个格子的期望频数（见“证明”）不太小，高考题不考这一条。

证明

$\chi^2$ 的公式从哪里来。 如果 $X$ 和 $Y$ 独立，由第 21 章，$P(X = 0, Y = 0) = P(X = 0)P(Y = 0)$。用频率估计概率，左上格“应该有”的人数（叫期望频数）是

$$n \cdot \frac{a + b}{n} \cdot \frac{a + c}{n} = \frac{(a + b)(a + c)}{n}.$$

实际人数 $a$ 和期望频数的差为

$$a - \frac{(a + b)(a + c)}{n} = \frac{a(a + b + c + d) - (a + b)(a + c)}{n} = \frac{ad - bc}{n}.$$

（关键一步：分子展开后 $a^2$、$ab$、$ac$ 都消掉，只剩 $ad - bc$。另外三格同理，差分别是 $-\dfrac{ad - bc}{n}$、$-\dfrac{ad - bc}{n}$、$\dfrac{ad - bc}{n}$，四个差的绝对值都相同。）

所以 $ad - bc$ 衡量“实际和独立时的期望差多远”。把四格的“差的平方除以期望频数”加起来：

$$\chi^2 = \sum_{\text{四格}} \frac{(\text{实际} - \text{期望})^2}{\text{期望}} = \frac{(ad - bc)^2}{n^2} \cdot n\left(\frac{1}{a + b} + \frac{1}{c + d}\right)\left(\frac{1}{a + c} + \frac{1}{b + d}\right).$$

括号里 $\dfrac{1}{a + b} + \dfrac{1}{c + d} = \dfrac{n}{(a + b)(c + d)}$，$\dfrac{1}{a + c} + \dfrac{1}{b + d} = \dfrac{n}{(a + c)(b + d)}$，代入化简就是

$$\chi^2 = \frac{n(ad - bc)^2}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}.$$

为什么 $\chi^2$ 大就否定独立。 $H_0$ 成立时，实际和期望只因抽样的偶然性而有差别，$\chi^2$ 一般不大；$\chi^2 \ge x_\alpha$ 的概率只有 $\alpha$（如 0.05），是小概率事件。小概率原则：小概率事件在一次试验中几乎不会发生。现在它发生了，就有理由怀疑 $H_0$。这样推断也可能错（$H_0$ 其实成立、只是碰巧 $\chi^2$ 很大），但出错的概率不超过 $\alpha$。

临界值从哪里来。 “$H_0$ 成立时 $\chi^2$ 近似服从自由度为 1 的 $\chi^2$ 分布”，临界值就是这个分布的上 $\alpha$ 分位数。这一点要用大学概率论的中心极限定理和 $\chi^2$ 分布才能严格证明，高中直接用表。写作时用自由度 1 的 $\chi^2$ 分布的尾概率公式 $P(\chi^2 \ge x) = \mathrm{erfc}\left(\sqrt{x/2}\right)$ 逐个反算核对过表中五个临界值，都与教材一致。

例题

例 1　（场景：由列联表直观判断）某校随机调查 200 名学生，按每天使用电子产品是否超过 2 小时、是否近视分类，得到下表。画等高堆积条形图，直观判断近视与使用时长是否有关。

	近视	不近视	合计
超过 2 小时	60	40	100
不超过 2 小时	35	65	100
合计	95	105	200

解：超过 2 小时的学生中近视的比例为 $\dfrac{60}{100} = 60\%$，不超过 2 小时的为 $\dfrac{35}{100} = 35\%$。

两根柱子的分界线高低差得很明显，直观上近视与使用时长有关：使用时间长的学生近视比例更高。

容易卡在：直接比较 60 和 35 这两个人数。两行合计不相等时，人数没有可比性，要比较比例。本题两行都是 100 人才恰好一样。

例 2　（场景：完整的独立性检验）根据例 1 的数据，依据小概率值 $\alpha = 0.001$ 的独立性检验，分析近视与每天使用电子产品是否超过 2 小时有没有关联。

解：零假设 $H_0$：近视与每天使用电子产品是否超过 2 小时相互独立。

$a = 60$，$b = 40$，$c = 35$，$d = 65$，$n = 200$。$ad - bc = 3900 - 1400 = 2500$。

$$\chi^2 = \frac{200 \times 2500^2}{100 \times 100 \times 95 \times 105} = \frac{1250000000}{99750000} \approx 12.531.$$

查表 $x_{0.001} = 10.828$，$12.531 > 10.828$。

根据小概率值 $\alpha = 0.001$ 的独立性检验，推断 $H_0$ 不成立，即认为近视与每天使用电子产品是否超过 2 小时有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.001。

容易卡在：分母四个合计漏乘一个；结论漏掉“犯错误的概率不大于 0.001”。

例 3　（场景：由文字整理列联表再检验）某社区随机调查 100 名居民，其中 50 人参加了一年的健身打卡活动，这 50 人中有 30 人体检指标改善；未参加的 50 人中有 20 人体检指标改善。分别依据 $\alpha = 0.05$ 和 $\alpha = 0.01$ 的独立性检验，判断体检指标改善与是否参加活动有无关联。

解：先整理列联表：

	改善	未改善	合计
参加	30	20	50
未参加	20	30	50
合计	50	50	100

零假设 $H_0$：体检指标改善与是否参加活动相互独立。

$$\chi^2 = \frac{100 \times (30 \times 30 - 20 \times 20)^2}{50 \times 50 \times 50 \times 50} = \frac{100 \times 500^2}{6250000} = 4.$$

• $\alpha = 0.05$：$x_{0.05} = 3.841$，$4 > 3.841$。推断 $H_0$ 不成立，即认为体检指标改善与是否参加活动有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.05。
• $\alpha = 0.01$：$x_{0.01} = 6.635$，$4 < 6.635$。没有充分证据推断 $H_0$ 不成立，可以认为体检指标改善与是否参加活动独立。

容易卡在：以为两个结论矛盾。$\alpha = 0.01$ 的要求更严，证据（$\chi^2 = 4$）够过低的门槛、不够过高的门槛，所以结论不同。

例 4　（场景：样本量变化的影响）把例 3 的调查规模缩小一半，四个格子分别为 15、10、10、15，比例和例 3 完全相同。依据 $\alpha = 0.05$ 的独立性检验，结论还一样吗？

解：

$$\chi^2 = \frac{50 \times (15 \times 15 - 10 \times 10)^2}{25 \times 25 \times 25 \times 25} = \frac{50 \times 125^2}{390625} = 2.$$

$2 < 3.841$，没有充分证据推断 $H_0$ 不成立，可以认为两者独立。结论和例 3 不同。

另一种解法：四个格子都乘 $k$ 时，$n$ 乘 $k$，$(ad - bc)^2$ 乘 $k^4$，分母乘 $k^4$，所以 $\chi^2$ 乘 $k$。这里 $k = \dfrac{1}{2}$，$\chi^2 = 4 \times \dfrac{1}{2} = 2$，不用重算。选择题、填空题问“扩大几倍后结论如何”时用这个结论最快；格子不是按同一倍数变化时，只能重算。

容易卡在：以为比例一样结论就一样。样本小的时候，同样的比例差可能只是偶然，证据不够。

常用推论

• $\chi^2 = 0 \iff ad = bc \iff$ 两行比例相同：$\dfrac{a}{a + b} = \dfrac{c}{c + d} \iff a(c + d) = c(a + b) \iff ad = bc$。所以 $|ad - bc|$ 越大，两行的比例差得越多。
• 四格同乘 $k$，$\chi^2$ 也乘 $k$：推导见例 4 的另一种解法。
• 期望频数：某格的期望频数 $=$ 该行合计 $\times$ 该列合计 $\div n$，推导见本节“证明”。
• 实际频数与期望频数之差的绝对值四格相同，都是 $\dfrac{|ad - bc|}{n}$，推导见本节“证明”。

易错点

• 错在哪：$\chi^2 < x_\alpha$ 时写“所以两个变量一定无关”或“证明了两者独立”。 为什么错：没能否定 $H_0$，不等于证明了 $H_0$，只是证据不足。 正确做法：写“没有充分证据推断 $H_0$ 不成立，可以认为 $X$ 和 $Y$ 独立”。
• 错在哪：结论写“有 95% 的把握认为有关”之后，又写“犯错误的概率是 0.05”。 为什么错：$\alpha$ 是犯错误概率的上限，不是确切值。 正确做法：写“犯错误的概率不大于 0.05”。
• 错在哪：题目给的是百分比，直接把百分比代入 $a$、$b$、$c$、$d$。 为什么错：$\chi^2$ 和样本量有关，必须用人数，百分比代入相当于把样本量改成了 100。 正确做法：先用比例乘各组人数，换成频数再代入。
• 错在哪：用 $\alpha = 0.05$ 时查成 $x_{0.05} = 2.706$。 为什么错：2.706 是 $\alpha = 0.1$ 的临界值。 正确做法：$\alpha$ 越小临界值越大，0.05 对应 3.841，0.01 对应 6.635。

直观理解

独立性检验像法庭上的“无罪推定”：先假定两个变量无关（$H_0$），再看证据。$\chi^2$ 是证据的分量，临界值是定罪的门槛。证据超过门槛就“认为有关联”，并承认有不超过 $\alpha$ 的可能是冤枉了；证据不够就“不能认为有关联”，但这不等于证明了清白。$\alpha$ 越小，门槛越高，越难定罪，也越不容易冤枉。

$ad - bc$ 可以这样看：$a$、$d$ 是“同向”的两格（如“时间长且近视”“时间短且不近视”），$b$、$c$ 是“反向”的两格。同向的多、反向的少，$ad$ 远大于 $bc$，说明两个变量一起变。

关联知识点

• 前置：第 21 章事件的独立性，$H_0$ 就是 $P(AB) = P(A)P(B)$，期望频数由它算出。
• 前置：第 35 章条件概率，$\dfrac{a}{a + b}$ 是“在 $X = 0$ 的条件下 $Y = 0$“的频率，比较两行比例就是比较两个条件概率的估计。
• 常一起考：第 36 章离散型随机变量，解答题常是“第一问独立性检验，第二问从表中抽人求分布列和均值”。
• 后续：大学统计学里的 $\chi^2$ 检验和假设检验，高中的临界值表就是自由度为 1 的 $\chi^2$ 分布表。

38.5 知识点之间的关系

本章研究两个变量之间的关系，按变量的类型分成两条线。

两个变量都是数值时：先画散点图、算样本相关系数 $r$（38.2），确认大致呈直线、线性相关够强；再用最小二乘法求经验回归方程（38.3），用残差和 $R^2$ 检查拟合得好不好；散点呈曲线时换元化成直线。$r$ 和回归之间有两条纽带：$\hat{b}$ 与 $r$ 同号，一元线性回归中 $R^2 = r^2$。

两个变量都是类别时：排成 2×2 列联表，先比较比例做直观判断，再用 $\chi^2$ 做独立性检验（38.4）。它的零假设”$X$ 与 $Y$ 独立“就是第 21 章的事件独立性。

考试里两条线都会出解答题，而且常和第 36 章的分布列组合：回归题的第二问常是“用方程预测后再算概率”，独立性检验题的第二问常是“从表中按分层抽样抽人，求分布列和均值”。

38.6 自测

1. 四组成对数据的样本相关系数分别为 $r_1 = 0.92$，$r_2 = -0.95$，$r_3 = 0.31$，$r_4 = -0.08$。哪一组的线性相关最强？
2. 若所有样本点都在直线 $y = -3x + 2$ 上，样本相关系数 $r$ 是多少？
3. 已知 $\bar{x} = 4$，$\bar{y} = 10$，$\hat{b} = 1.5$，求经验回归方程，并求 $x = 10$ 时的预测值。
4. 经验回归方程为 $\hat{y} = 2x + 1$，样本点 $(3, 8)$ 的残差是多少？
5. 2×2 列联表中 $a = 40$，$b = 10$，$c = 30$，$d = 20$。求 $\chi^2$（保留三位小数），并写出依据 $\alpha = 0.05$ 的独立性检验能否认为两个变量有关联。
6. 例 3 的四个格子都扩大到原来的 2 倍（60、40、40、60），$\chi^2$ 是多少？依据 $\alpha = 0.005$ 的独立性检验能否认为有关联？

答案：1. 第二组；2. $-1$；3. $\hat{y} = 1.5x + 4$，预测值 19；4. 1；5. $\chi^2 \approx 4.762 > 3.841$，能认为有关联，犯错误的概率不大于 0.05；6. $\chi^2 = 8 > 7.879$，能认为有关联，犯错误的概率不大于 0.005。

38.7 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台 · 高中数学：教育部主办，有按人教版选择性必修第三册第八章排列的成对数据统计分析同步课程和教材电子版。
• Khan Academy · Exploring bivariate numerical data：散点图、相关系数、最小二乘回归直线和残差图的英文视频讲解，配练习题。
• Wolfram MathWorld · Least Squares Fitting：最小二乘法的英文推导，含相关系数与决定系数的关系，适合想看更一般情形的读者。
• 维基百科 · 卡方检验：卡方检验的中文概述，可以看到列联表独立性检验和临界值表背后的卡方分布。