第 9 章 · 对数与对数函数

项目	内容
课标主题	必修 · 函数 · 幂函数、指数函数与对数函数
人教 A 版	必修第一册 第四章 4.3 对数、4.4 对数函数
考试地位	常考。比较大小是选择题的常见题型；对数运算常作填空题；对数函数常和指数函数、函数的单调性和奇偶性一起考；$\ln x$ 是导数大题的常客
前置知识	第 8 章指数与指数函数；第 6 章函数的单调性、奇偶性

对数是指数的“反问”：已知底数和幂，问指数是多少。这一章的公式不多，但每条公式都带着条件：底数大于 0 且不等于 1，真数大于 0。丢分几乎都丢在忘了这些条件上：解方程不验根，求单调区间不先求定义域，底数含参数不分类。

9.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
9.2 对数的概念	$a^b = N \iff b = \log_a N$，对数就是指数	常考，多作为运算和解方程的一步
9.3 对数的运算性质	积的对数等于对数的和，商的对数等于对数的差，幂的对数等于指数乘对数	常考，填空题求值
9.4 换底公式	$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$，不同底化成同底	常考，和运算性质一起用
9.5 对数函数的图像和性质	$y = \log_a x$ 过 $(1, 0)$，$a > 1$ 递增，$0 < a < 1$ 递减	必考，比较大小、解不等式、复合函数单调性
9.6 反函数	$y = a^x$ 与 $y = \log_a x$ 互为反函数，图像关于 $y = x$ 对称	偶考，多以图像对称的形式出现

9.2 对数的概念

说明

对数：设 $a > 0$，$a \ne 1$。如果 $a^b = N$，那么 $b$ 叫作以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作

$$b = \log_a N,$$

其中 $a$ 叫作底数，$N$ 叫作真数。

也就是说，$\log_a N$ 回答的是一个问题：“$a$ 的几次方等于 $N$？“比如 $2^3 = 8$，所以 $\log_2 8 = 3$。

指数式和对数式的互化：

指数式	对数式	例子
$a^b = N$	$b = \log_a N$	$3^{-2} = \dfrac{1}{9} \iff \log_3 \dfrac{1}{9} = -2$
底数 $a$	底数 $a$	底数不变
指数 $b$	对数 $b$	指数变成对数
幂 $N$	真数 $N$	幂变成真数

两个特殊的对数：

• 常用对数：以 10 为底，$\log_{10} N$ 简写为 $\lg N$。
• 自然对数：以 $e$ 为底，$\log_e N$ 简写为 $\ln N$。$e = 2.71828\cdots$ 是一个无理数。

由定义直接得到的结论（$a > 0$，$a \ne 1$）：

• 负数和 0 没有对数，即真数 $N > 0$。
• $\log_a 1 = 0$，$\log_a a = 1$。
• 对数恒等式：$a^{\log_a N} = N$（$N > 0$），$\log_a a^b = b$。

使用场景

• 求一个对数的值，或已知对数式求真数、底数：题目出现 $\log_a N = b$ 而要求 $a$ 或 $N$，就改写成指数式 $a^b = N$。
• 求含对数的式子在什么条件下有意义：题目出现 $\log$ 而底数或真数里含 $x$，就列“底数大于 0 且不等于 1，真数大于 0”。
• 化简 $a^{\log_a N}$ 这类式子：题目出现“底数是某数，指数里有以同一个数为底的对数”，就用对数恒等式。
• 解指数方程，结果化不成同底：题目出现 $a^x = N$ 而 $N$ 不是 $a$ 的整数次方或分数次方，答案就写成 $x = \log_a N$。

注意点

• 底数必须满足 $a > 0$ 且 $a \ne 1$，真数必须满足 $N > 0$。底数或真数含字母时，这两个条件都要写出来。
• $\lg$ 和 $\ln$ 是固定写法：$\lg$ 的底是 10，$\ln$ 的底是 $e$。不写底数的 $\log N$ 在国内教材里不用。
• 对数的值可以是任何实数，正数、负数、0 都行。$\log_2 \dfrac{1}{8} = -3$ 完全合法；受限制的是真数，不是对数值。
• 互化时只有“底数”位置不变。初学时最常见的错误是把 $2^3 = 8$ 写成 $\log_3 8 = 2$。

证明

为什么规定 $a > 0$，$a \ne 1$，$N > 0$。

1. 若 $a < 0$，$a^b$ 对很多 $b$ 没有意义，比如 $(-2)^{\frac{1}{2}}$ 不是实数，所以不能让 $b$ 取遍全体实数。
2. 若 $a = 0$，$0^b$ 在 $b > 0$ 时总等于 0，在 $b \le 0$ 时没有意义，求不出确定的 $b$。
3. 若 $a = 1$，$1^b = 1$ 对所有 $b$ 成立：$N = 1$ 时 $b$ 有无数个，$N \ne 1$ 时 $b$ 不存在。
4. 在 $a > 0$，$a \ne 1$ 时，$a^b > 0$ 对一切实数 $b$ 成立（第 8 章），所以 $N$ 只能是正数。

为什么对每个 $N > 0$，$\log_a N$ 存在且只有一个。

由第 8 章，指数函数 $y = a^x$（$a > 0$，$a \ne 1$）在 $\mathbf{R}$ 上单调，值域是 $(0, +\infty)$。（关键一步：值域是 $(0, +\infty)$ 保证每个正数 $N$ 都能取到，单调保证只在一个 $x$ 处取到。）所以方程 $a^x = N$ 恰有一个解，这个解就是 $\log_a N$。

“值域是 $(0, +\infty)$“高中是从图像上看出来的；严格证明要用到实数的完备性（大学数学分析中的连续函数介值定理）。

对数恒等式。 设 $\log_a N = b$，由定义 $a^b = N$，把 $b$ 换回 $\log_a N$ 就是 $a^{\log_a N} = N$。另一个：$a^b$ 等于 $a$ 的 $b$ 次方，“$a$ 的几次方等于 $a^b$“的答案就是 $b$，所以 $\log_a a^b = b$。

$\log_a 1 = 0$，$\log_a a = 1$：因为 $a^0 = 1$，$a^1 = a$。

例题

例 1　（场景：求对数的值，或由对数式求真数、底数）

(1) 求 $\log_2 8$、$\log_3 \dfrac{1}{9}$、$\lg 0.001$、$\ln \sqrt{e}$；

(2) 已知 $\log_x 27 = \dfrac{3}{2}$，求 $x$；

(3) 已知 $\log_2(\log_3 x) = 1$，求 $x$。

解：

(1) 每个都问“底数的几次方等于真数”：

• $2^3 = 8$，所以 $\log_2 8 = 3$；
• $3^{-2} = \dfrac{1}{9}$，所以 $\log_3 \dfrac{1}{9} = -2$；
• $10^{-3} = 0.001$，所以 $\lg 0.001 = -3$；
• $e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$，所以 $\ln \sqrt{e} = \dfrac{1}{2}$。

(2) 改写成指数式：$x^{\frac{3}{2}} = 27$。两边同时取 $\dfrac{2}{3}$ 次方：$x = 27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^2 = 9$。$x = 9$ 满足底数大于 0 且不等于 1，所以 $x = 9$。

(3) 由外往里剥：$\log_2(\log_3 x) = 1$ 说明 $\log_3 x = 2^1 = 2$，再说明 $x = 3^2 = 9$。

容易卡在：(3) 这种套了两层的式子，先把里面的 $\log_3 x$ 看成一个整体 $t$，由 $\log_2 t = 1$ 得 $t = 2$。

例 2　（场景：对数式有意义的条件）求使 $\log_{(x-1)}(3 - x)$ 有意义的 $x$ 的取值范围。

解：底数大于 0 且不等于 1，真数大于 0：

$$\begin{cases} x - 1 > 0, \\ x - 1 \ne 1, \\ 3 - x > 0, \end{cases}$$

解得 $x > 1$，$x \ne 2$，$x < 3$。所以 $x$ 的取值范围是 $(1, 2) \cup (2, 3)$。

容易卡在：漏掉“底数不等于 1”这一条，答成 $(1, 3)$。

例 3　（场景：用对数恒等式化简）求值：(1) $2^{1 + \log_2 3}$；(2) $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\log_3 2}$；(3) $4^{\log_2 3}$。

解：

(1) 按指数运算拆开：$2^{1 + \log_2 3} = 2^1 \cdot 2^{\log_2 3} = 2 \times 3 = 6$。

(2) $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\log_3 2} = (3^{-1})^{\log_3 2} = \left(3^{\log_3 2}\right)^{-1} = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}$。

(3) $4^{\log_2 3} = (2^2)^{\log_2 3} = \left(2^{\log_2 3}\right)^2 = 3^2 = 9$。

容易卡在：底数和对数的底不一样（$\dfrac{1}{3}$ 和 3、4 和 2）。先把底数写成对数的底的幂，再用指数运算把它们凑到一起。

例 4　（场景：解指数方程，结果化不成同底）解方程 $4^x - 2^{x+1} - 3 = 0$。

解：$4^x = (2^x)^2$，$2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$。设 $t = 2^x$，则 $t > 0$，方程化为

$$t^2 - 2t - 3 = 0,$$

即 $(t - 3)(t + 1) = 0$，得 $t = 3$ 或 $t = -1$。因为 $t > 0$，舍去 $t = -1$。

由 $2^x = 3$，3 不是 2 的整数次方，写成对数：$x = \log_2 3$。

容易卡在：换元后忘了 $t = 2^x > 0$，把 $t = -1$ 也当成解。

常用推论

• $\log_a 1 = 0$，$\log_a a = 1$：由 $a^0 = 1$、$a^1 = a$ 得到。
• $a^{\log_a N} = N$，$\log_a a^b = b$：对数恒等式，推导见本节“证明”。
• $\log_a \dfrac{1}{a} = -1$，$\log_{\frac{1}{a}} a = -1$：由 $a^{-1} = \dfrac{1}{a}$ 得到。考试常用于底数是分数的对数，比如 $\log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$。

易错点

• 错在哪：把 $2^3 = 8$ 写成 $\log_3 8 = 2$ 或 $\log_8 2 = 3$。 为什么错：互化时底数不变，指数式的底数 2 仍是对数式的底数，指数 3 变成对数值，幂 8 变成真数。 正确做法：记“底不动，指数到等号另一边”，$2^3 = 8 \iff 3 = \log_2 8$。
• 错在哪：例 2 只写真数大于 0 和底数大于 0。 为什么错：底数等于 1 时对数没有定义，$x = 2$ 让底数变成 1。 正确做法：底数含字母时写三条：大于 0、不等于 1，加上真数大于 0。
• 错在哪：认为 $\log_2 \dfrac{1}{4}$ 没有意义，因为“对数不能是负的”。 为什么错：受限制的是真数，不是对数值。$\dfrac{1}{4} > 0$，$\log_2 \dfrac{1}{4} = -2$ 有意义。 正确做法：判断有没有意义只看底数和真数。

直观理解

对数就是“指数的名字”：$\log_2 8$ 问“2 要连乘几次才得到 8”，答案是 3。真数比 1 大，要乘正数次；真数在 0 和 1 之间，要“往回除”，所以对数是负的；真数等于 1，一次都不用乘，对数是 0。

一句话记法：“$\log_a N$ 等于 $a$ 的几次方是 $N$”。

关联知识点

• 前置：第 8 章指数与指数函数。对数的定义、存在唯一性都靠指数函数的单调性和值域。
• 后续：9.3 对数的运算性质，由指数的运算性质加上本节的互化推出。
• 后续：9.5 对数函数，定义域 $(0, +\infty)$ 就来自“真数大于 0”。
• 后续：第 10 章函数的应用，解 $a^x = N$ 型的增长模型问题，答案常写成对数。

9.3 对数的运算性质

说明

设 $a > 0$，$a \ne 1$，$M > 0$，$N > 0$，则

$$\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N,$$ $$\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N,$$ $$\log_a M^n = n \log_a M \quad (n \in \mathbf{R}).$$

用文字说：积的对数等于对数的和，商的对数等于对数的差，幂的对数等于指数乘这个数的对数。

几种常见的变形：

• 从右往左用：$\log_a M + \log_a N = \log_a (MN)$，常用于合并。
• $\lg 2 + \lg 5 = \lg 10 = 1$，考试中出现频率最高的一组。
• $\log_a \sqrt[n]{M} = \dfrac{1}{n} \log_a M$，是第三条取 $n$ 为分数的情况。

使用场景

• 对数式求值化简：题目给出一串同底的对数（尤其是 $\lg 2$、$\lg 5$ 这类）要求计算，就把真数分解，拆开或合并。
• 用已知的对数表示其他对数：题目说“已知 $\lg 2 = a$，$\lg 3 = b$，用 $a$、$b$ 表示……”，就把真数分解成 2、3、5、10 的乘积和商。
• 解对数方程：题目出现同底的对数相加或相减等于一个数，就合并成一个对数，再化成指数式，最后验根。
• 估算大数的位数或数量级：题目问”$2^{100}$ 是几位数“或给出 $\lg 2 \approx 0.3010$，就取常用对数，用幂的对数化成乘法。

注意点

• 三条公式都要求 $M > 0$，$N > 0$。$\log_2[(-2)(-4)] = 3$，但不能写成 $\log_2(-2) + \log_2(-4)$。
• 没有“和的对数”公式：$\log_a(M + N) \ne \log_a M + \log_a N$，$\log_a M \cdot \log_a N \ne \log_a(MN)$，$\dfrac{\log_a M}{\log_a N} \ne \log_a \dfrac{M}{N}$。
• $\log_a M^2 = 2\log_a M$ 只在 $M > 0$ 时成立；$M$ 可能为负时要写成 $\log_a M^2 = 2\log_a |M|$。化简时用这条公式会改变定义域。
• 解对数方程时，合并或拆开都可能改变定义域，所以必须验根，最省事的办法是先写出原方程的定义域。

证明

第一条：$\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$。

设 $\log_a M = p$，$\log_a N = q$。由对数的定义，$M = a^p$，$N = a^q$。于是

$$MN = a^p \cdot a^q = a^{p+q}.$$

（关键一步：同底数幂相乘，指数相加，这是第 8 章指数的运算性质。对数的运算性质就是指数运算性质的“翻译”。）

再把 $MN = a^{p+q}$ 写成对数式：$\log_a(MN) = p + q = \log_a M + \log_a N$。

第二条：同样设 $M = a^p$，$N = a^q$，则 $\dfrac{M}{N} = a^{p-q}$，所以 $\log_a \dfrac{M}{N} = p - q$。

第三条：设 $M = a^p$，则 $M^n = (a^p)^n = a^{np}$，所以 $\log_a M^n = np = n \log_a M$。这里用到 $(a^p)^n = a^{np}$ 对一切实数 $n$ 成立（第 8 章）。

例题

例 1　（场景：对数式求值化简）计算：

(1) $\log_3 18 - \log_3 2$；

(2) $\lg 25 + \dfrac{2}{3}\lg 8 + \lg 5 \cdot \lg 20 + (\lg 2)^2$。

解：

(1) $\log_3 18 - \log_3 2 = \log_3 \dfrac{18}{2} = \log_3 9 = 2$。

(2) 先算前两项：$\lg 25 = 2\lg 5$，$\dfrac{2}{3}\lg 8 = \dfrac{2}{3} \cdot 3\lg 2 = 2\lg 2$，所以

$$\lg 25 + \frac{2}{3}\lg 8 = 2(\lg 5 + \lg 2) = 2\lg 10 = 2.$$

再算后两项：$\lg 20 = \lg 2 + \lg 10 = 1 + \lg 2$，所以

$$\lg 5 \cdot \lg 20 + (\lg 2)^2 = \lg 5 \cdot (1 + \lg 2) + (\lg 2)^2 = \lg 5 + \lg 2 \cdot (\lg 5 + \lg 2) = \lg 5 + \lg 2 = 1.$$

合计 $2 + 1 = 3$。

容易卡在：$\lg 5 \cdot \lg 20$ 是两个对数相乘，没有公式能直接合并。办法是把 20 拆成 $2 \times 10$，让 $\lg 10 = 1$ 冒出来，再提公因式凑出 $\lg 5 + \lg 2$。

另一种解法：后两项也可以都用 $\lg 2$ 表示。设 $t = \lg 2$，则 $\lg 5 = 1 - t$，$\lg 20 = 1 + t$，

$$\lg 5 \cdot \lg 20 + (\lg 2)^2 = (1 - t)(1 + t) + t^2 = 1 - t^2 + t^2 = 1.$$

主解法靠观察凑项，式子短；换元法不用观察，把所有 $\lg 5$、$\lg 20$ 都化成 $\lg 2$ 的多项式，适合式子乱、一眼看不出怎么凑的时候。

例 2　（场景：用已知对数表示其他对数）已知 $\lg 2 = a$，$\lg 3 = b$，用 $a$、$b$ 表示 $\lg 12$、$\lg 15$、$\lg 1.8$。

解：把真数分解成 2、3、10 的乘积和商。

• $12 = 2^2 \times 3$，$\lg 12 = 2\lg 2 + \lg 3 = 2a + b$。
• $15 = \dfrac{3 \times 10}{2}$，$\lg 15 = \lg 3 + \lg 10 - \lg 2 = b + 1 - a$。
• $1.8 = \dfrac{18}{10} = \dfrac{2 \times 3^2}{10}$，$\lg 1.8 = \lg 2 + 2\lg 3 - 1 = a + 2b - 1$。

容易卡在：含 5 的数。5 不能用 2 和 3 表示，但 $5 = \dfrac{10}{2}$，所以 $\lg 5 = 1 - a$。

例 3　（场景：解对数方程）解方程 $\lg x + \lg(x - 3) = 1$。

解：先求定义域：$x > 0$ 且 $x - 3 > 0$，即 $x > 3$。

在定义域内合并：$\lg[x(x - 3)] = 1$，所以 $x(x - 3) = 10$，即

$$x^2 - 3x - 10 = 0,$$

$(x - 5)(x + 2) = 0$，得 $x = 5$ 或 $x = -2$。$x = -2$ 不满足 $x > 3$，舍去。所以 $x = 5$。

容易卡在：合并之后的方程 $\lg[x(x-3)] = 1$ 对 $x = -2$ 也成立（$(-2)(-5) = 10$），但原方程里的 $\lg x$ 在 $x = -2$ 时没有意义。合并让定义域变大了，所以多出一个增根。

例 4　（场景：估算大数的位数）已知 $\lg 2 \approx 0.3010$，$2^{100}$ 是几位数？

解：取常用对数：$\lg 2^{100} = 100\lg 2 \approx 30.10$。所以 $2^{100} \approx 10^{30.10}$，夹在 $10^{30}$ 和 $10^{31}$ 之间。

$10^{30}$ 是 31 位数（1 后面 30 个 0），$10^{31}$ 是 32 位数中最小的。$10^{30} \le 2^{100} < 10^{31}$，所以 $2^{100}$ 是 31 位数。

容易卡在：位数和对数的关系。一个正整数 $N$ 若满足 $10^k \le N < 10^{k+1}$，它就是 $k + 1$ 位数，即位数等于 $\lg N$ 的整数部分加 1。

常用推论

• $\lg 2 + \lg 5 = 1$：由第一条，$\lg 2 + \lg 5 = \lg 10 = 1$。
• $\log_a \dfrac{1}{N} = -\log_a N$：由第二条，$\log_a \dfrac{1}{N} = \log_a 1 - \log_a N = -\log_a N$。
• $\log_a \sqrt[n]{M} = \dfrac{1}{n}\log_a M$：由第三条取指数为 $\dfrac{1}{n}$。
• 正整数 $N$ 的位数等于 $\lg N$ 的整数部分加 1：推导见本节例 4。

易错点

• 错在哪：$\lg(2 + 5) = \lg 2 + \lg 5$。 为什么错：运算性质说的是积的对数，不是和的对数。$\lg 7 \approx 0.845$，$\lg 2 + \lg 5 = 1$。 正确做法：只有真数相乘才能拆成对数相加；真数是和的时候不能拆。
• 错在哪：解 $\lg x + \lg(x - 3) = 1$ 得 $x = 5$ 或 $x = -2$，两个都写。 为什么错：$x = -2$ 时 $\lg x$ 无意义，是合并对数时定义域扩大带来的增根。 正确做法：先写原方程的定义域，最后对照定义域取舍。
• 错在哪：化简 $f(x) = \lg x^2$ 时写成 $f(x) = 2\lg x$，再说 $f(x)$ 的定义域是 $(0, +\infty)$。 为什么错：$\lg x^2$ 的定义域是 $x \ne 0$，$2\lg x$ 只在 $x > 0$ 时有意义，两者不是同一个函数。 正确做法：$\lg x^2 = 2\lg|x|$；求定义域要在化简之前。

直观理解

对数把乘法变成加法。把数轴上的刻度按常用对数排：1 放在 0 处，10 放在 1 处，100 放在 2 处……乘 10 就是往右走一格；2 放在 0.301 处，20 就在 1.301 处，也是往右走一格。

一句话记法：“乘变加，除变减，乘方变倍数”。

关联知识点

• 前置：第 8 章指数的运算性质。三条公式是 $a^p a^q = a^{p+q}$、$\dfrac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$、$(a^p)^n = a^{np}$ 的对数形式。
• 前置：9.2 对数的概念，证明里用到指数式和对数式的互化。
• 后续：9.4 换底公式，证明要用幂的对数这一条。
• 后续：第 24 章导数，对数求导（取对数后用本节性质拆开）是求某些函数导数的办法。
• 常一起考：第 10 章函数模型，增长率问题常要取对数解方程。

9.4 换底公式

说明

设 $a > 0$，$a \ne 1$，$c > 0$，$c \ne 1$，$b > 0$，则

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}.$$

用文字说：任何底的对数都可以换成任何新底，等于“新底下真数的对数”除以“新底下原底数的对数”。最常换成 10 或 $e$：

$$\log_a b = \frac{\lg b}{\lg a} = \frac{\ln b}{\ln a}.$$

由换底公式马上得到三个常用变形（$a$、$b$、$c$ 都大于 0，作底数的不等于 1）：

• $\log_a b \cdot \log_b a = 1$，即 $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$；
• $\log_{a^m} b^n = \dfrac{n}{m}\log_a b$（$m \ne 0$）；
• $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$（链式）。

使用场景

• 底数不同的对数相乘求值：题目出现 $\log_2 9 \cdot \log_3 4$ 这类不同底的乘积，就全部换成同一个底（常用 $\lg$）再约分。
• 用给定的字母表示另一个底的对数：题目已知 $\log_2 3 = a$ 这类，要求另一个底的对数，就换成已知的那个底。
• 连等式 $a^x = b^y = k$ 求 $\dfrac{1}{x}$、$\dfrac{1}{y}$ 的组合：题目出现几个不同底的幂相等，就先写成对数，再用 $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$ 把倒数换成同底。

注意点

• 新底 $c$ 可以任选，但必须 $c > 0$，$c \ne 1$。选哪个底以“能约分、能用已知条件”为准。
• 分子是真数的对数，分母是原底数的对数，不要颠倒。
• $\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ 是两个对数相除，不能写成 $\log_c \dfrac{b}{a}$，也不能写成 $\log_c b - \log_c a$。
• $\log_{a^m} b^n = \dfrac{n}{m}\log_a b$ 中，真数的指数 $n$ 在分子，底数的指数 $m$ 在分母。

证明

设 $\log_a b = x$，则 $a^x = b$。两边取以 $c$ 为底的对数：

$$\log_c a^x = \log_c b.$$

由幂的对数（9.3 节第三条），左边等于 $x\log_c a$，所以 $x\log_c a = \log_c b$。

因为 $a \ne 1$，所以 $\log_c a \ne 0$。（关键一步：要两边除以 $\log_c a$，必须先确认它不为 0；这正是底数 $a \ne 1$ 这个条件起作用的地方。）于是

$$x = \frac{\log_c b}{\log_c a},$$

即 $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$。

三个变形的推导（都换成以 10 为底）：

• $\log_a b \cdot \log_b a = \dfrac{\lg b}{\lg a} \cdot \dfrac{\lg a}{\lg b} = 1$。
• $\log_{a^m} b^n = \dfrac{\lg b^n}{\lg a^m} = \dfrac{n\lg b}{m\lg a} = \dfrac{n}{m}\log_a b$。
• $\log_a b \cdot \log_b c = \dfrac{\lg b}{\lg a} \cdot \dfrac{\lg c}{\lg b} = \dfrac{\lg c}{\lg a} = \log_a c$。

例题

例 1　（场景：底数不同的对数相乘求值）计算：(1) $\log_2 9 \cdot \log_3 4$；(2) $\log_8 9 \cdot \log_{27} 32$。

解：

(1) 都换成常用对数：

$$\log_2 9 \cdot \log_3 4 = \frac{\lg 9}{\lg 2} \cdot \frac{\lg 4}{\lg 3} = \frac{2\lg 3}{\lg 2} \cdot \frac{2\lg 2}{\lg 3} = 4.$$

(2) $8 = 2^3$，$9 = 3^2$，$27 = 3^3$，$32 = 2^5$。用 $\log_{a^m} b^n = \dfrac{n}{m}\log_a b$：

$$\log_8 9 \cdot \log_{27} 32 = \frac{2}{3}\log_2 3 \cdot \frac{5}{3}\log_3 2 = \frac{10}{9}\log_2 3 \cdot \log_3 2 = \frac{10}{9}.$$

容易卡在：(2) 先把每个底数和真数都写成最小的底的幂，否则看不出能约。

例 2　（场景：用给定的字母表示另一个底的对数）已知 $\log_2 3 = a$，$\log_3 7 = b$，用 $a$、$b$ 表示 $\log_{42} 56$。

解：已知的两个对数里，3 出现了两次，换成以 3 为底最方便。先把 $\log_2 3 = a$ 化成 $\log_3 2 = \dfrac{1}{a}$。

$56 = 2^3 \times 7$，$42 = 2 \times 3 \times 7$，所以

$$\log_{42} 56 = \frac{\log_3 56}{\log_3 42} = \frac{3\log_3 2 + \log_3 7}{\log_3 2 + 1 + \log_3 7} = \frac{\frac{3}{a} + b}{\frac{1}{a} + 1 + b}.$$

分子分母同乘 $a$：$\log_{42} 56 = \dfrac{3 + ab}{1 + a + ab}$。

容易卡在：选哪个新底。原则是选已知条件里出现得最多、最容易表示的那个数；本题选 3，已知条件直接能用。

例 3　（场景：连等式求倒数的组合）已知 $3^a = 4^b = 36$，求 $\dfrac{2}{a} + \dfrac{1}{b}$。

解：化成对数：$a = \log_3 36$，$b = \log_4 36$。用 $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$：

$$\frac{1}{a} = \log_{36} 3, \quad \frac{1}{b} = \log_{36} 4.$$

于是

$$\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 2\log_{36} 3 + \log_{36} 4 = \log_{36} 9 + \log_{36} 4 = \log_{36} 36 = 1.$$

容易卡在：$a$、$b$ 本身不好算，要看出求的是倒数，倒过来以后底数都变成 36，就能用运算性质合并。

另一种解法：对 $3^a = 36$、$4^b = 36$ 两边取常用对数：$a\lg 3 = \lg 36$，$b\lg 4 = \lg 36$，所以 $\dfrac{1}{a} = \dfrac{\lg 3}{\lg 36}$，$\dfrac{1}{b} = \dfrac{\lg 4}{\lg 36}$，

$$\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = \frac{2\lg 3 + \lg 4}{\lg 36} = \frac{\lg 36}{\lg 36} = 1.$$

主解法用“倒数换底”，步骤少；取常用对数的方法更机械，不用记 $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$，连等式的值 $k$ 是字母、不是具体数时也照样能用。

常用推论

• $\log_a b \cdot \log_b a = 1$，$\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$：推导见本节“证明”。
• $\log_{a^m} b^n = \dfrac{n}{m}\log_a b$：推导见本节“证明”。常用特例 $\log_{\frac{1}{a}} b = -\log_a b$（取 $m = -1$，$n = 1$）。
• $\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c d = \log_a d$：链式公式连用两次。
• 若 $a^x = b^y = k$（$k > 0$，$k \ne 1$），则 $\dfrac{1}{x} = \log_k a$，$\dfrac{1}{y} = \log_k b$，$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \log_k (ab)$：推导同例 3。

易错点

• 错在哪：把 $\dfrac{\lg 8}{\lg 2}$ 写成 $\lg \dfrac{8}{2} = \lg 4$。 为什么错：两个对数相除不是商的对数。$\dfrac{\lg 8}{\lg 2} = \dfrac{3\lg 2}{\lg 2} = 3$，$\lg 4 \approx 0.602$。 正确做法：两个对数相除，能约就约（化成同一个数的对数的倍数），或者反过来用换底公式写成 $\log_2 8$。
• 错在哪：$\log_{4} 8$ 算成 $\dfrac{2}{3}$。 为什么错：把换底公式的分子分母颠倒了。$\log_4 8 = \dfrac{\log_2 8}{\log_2 4} = \dfrac{3}{2}$。 正确做法：记“真数在上，底数在下”，和 $\log_a b$ 的书写位置一致：$b$ 写在上方（大字），$a$ 写在下方（小字）。
• 错在哪：$\log_{9} 27$ 用 $\log_{a^m} b^n = \dfrac{n}{m}\log_a b$ 算成 $\dfrac{2}{3}$。 为什么错：$9 = 3^2$，$27 = 3^3$，真数的指数 3 在分子，底数的指数 2 在分母，结果是 $\dfrac{3}{2}$。 正确做法：算完用定义验一下：$9^{\frac{3}{2}} = 27$，对。

直观理解

换底公式像换单位。$\log_c b$ 和 $\log_c a$ 是“用 $c$ 当尺子”量出的 $b$ 和 $a$ 的“对数长度”；$\log_a b$ 问的是”$b$ 的长度是 $a$ 的几倍”，自然等于两个长度相除，换成哪把尺子量，比值都一样。

一句话记法：“真数在上，底数在下，换成同一个底”。

关联知识点

• 前置：9.3 对数的运算性质，证明用到幂的对数。
• 后续：9.5 对数函数，比较真数相同、底数不同的对数大小，常先换底成倒数。
• 后续：第 10 章函数的应用，用计算器求 $\log_a b$ 时要换成 $\lg$ 或 $\ln$。
• 常一起考：第 8 章指数，“$a^x = b^y = k$“型连等式需要指数式和对数式来回转化。

9.5 对数函数的图像和性质

说明

对数函数：函数 $y = \log_a x$（$a > 0$，$a \ne 1$）叫作对数函数，定义域是 $(0, +\infty)$。

像 $y = 2\log_2 x$、$y = \log_2(x + 1)$ 这样的函数不叫对数函数，要求 $\log_a x$ 的系数是 1、真数就是 $x$。

图像和性质按底数分两类：

	$a > 1$	$0 < a < 1$
定义域	$(0, +\infty)$	$(0, +\infty)$
值域	$\mathbf{R}$	$\mathbf{R}$
过定点	$(1, 0)$	$(1, 0)$
单调性	在 $(0, +\infty)$ 上递增	在 $(0, +\infty)$ 上递减
函数值的符号	$x > 1$ 时 $y > 0$；$0 < x < 1$ 时 $y < 0$	$x > 1$ 时 $y < 0$；$0 < x < 1$ 时 $y > 0$
图像的走向	向右上方，靠近 $y$ 轴时往下无限延伸	向右下方，靠近 $y$ 轴时往上无限延伸

底数对图像的影响：画一条直线 $y = 1$，它和 $y = \log_a x$ 的交点是 $(a, 1)$。所以从左往右看这条直线上的交点，底数依次增大。在 $x > 1$ 的部分，$a > 1$ 时底数越大图像越低（越靠近 $x$ 轴）。

对数型复合函数 $y = \log_a f(x)$：定义域由 $f(x) > 0$ 决定；单调性按“同增异减”判断（第 6 章）：外层 $\log_a t$ 和内层 $t = f(x)$ 单调性相同则递增，相反则递减。

使用场景

• 求含对数的函数的定义域：题目给出 $y = \log_a f(x)$ 或根号下有对数，就列“真数大于 0”，根号下的对数再加“大于等于 0”。
• 比较几个对数（或对数与指数混合）的大小：题目给出 $a = \log_2 3$、$b = 0.3^2$ 这类几个数问大小，就看底数、真数，必要时找中间量 0 和 1。
• 解对数不等式：题目出现 $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ 或 $\log_a f(x) > m$，就把右边写成同底的对数，按单调性去掉 $\log$，再加上真数大于 0。
• 图像过定点：题目说“函数 $y = \log_a(x + m) + n$ 的图像恒过定点”，就令真数等于 1。
• 求对数型复合函数的单调区间：题目问 $y = \log_a f(x)$ 的单调区间，就先求定义域，再按“同增异减”。
• 底数含参数的不等式：题目出现 $\log_a M < \log_a N$ 而 $a$ 是待求的参数，就分 $a > 1$ 和 $0 < a < 1$ 两种情况。

注意点

• 定义域永远在先：研究单调性、解不等式、求值域，第一步都是写出真数大于 0。
• 单调性由底数决定，底数含参数时必须分 $a > 1$ 和 $0 < a < 1$ 讨论。
• 去掉对数符号时，$a > 1$ 不等号方向不变，$0 < a < 1$ 不等号方向改变。
• 对数函数在 $(0, +\infty)$ 上单调，但它没有最大值也没有最小值；求最值要在给定的区间上求。

证明

定点：$x = 1$ 时 $y = \log_a 1 = 0$，所以图像过 $(1, 0)$。

值域是 $\mathbf{R}$：对任意实数 $y_0$，取 $x_0 = a^{y_0} > 0$，则 $\log_a x_0 = y_0$。每个实数都能取到。

单调性：设 $a > 1$，任取 $0 < x_1 < x_2$，要证 $\log_a x_1 < \log_a x_2$。

记 $m = \log_a x_1$，$n = \log_a x_2$，则 $x_1 = a^m$，$x_2 = a^n$。用反证法：假设 $m \ge n$。因为 $a > 1$，指数函数 $y = a^x$ 递增（第 8 章），所以 $a^m \ge a^n$，即 $x_1 \ge x_2$，和 $x_1 < x_2$ 矛盾。所以 $m < n$，即 $\log_a x_1 < \log_a x_2$，$y = \log_a x$ 在 $(0, +\infty)$ 上递增。

（关键一步：把对数的大小问题转成指数的大小问题，靠的是 $x = a^{\log_a x}$；对数函数的单调性完全继承自指数函数的单调性。）

$0 < a < 1$ 时，$y = a^x$ 递减，同样的推理得 $\log_a x_1 > \log_a x_2$，函数递减。

函数值的符号：$a > 1$ 时函数递增且 $\log_a 1 = 0$，所以 $x > 1$ 时 $\log_a x > \log_a 1 = 0$，$0 < x < 1$ 时 $\log_a x < 0$。$0 < a < 1$ 时反过来。

$y = \log_a x$ 与 $y = \log_{\frac{1}{a}} x$ 的图像关于 $x$ 轴对称：由换底公式（9.4 节），$\log_{\frac{1}{a}} x = \dfrac{\log_a x}{\log_a \frac{1}{a}} = -\log_a x$。同一个 $x$，两个函数值互为相反数。

例题

例 1　（场景：求定义域）求函数 $y = \sqrt{\log_{0.5}(4x - 3)}$ 的定义域。

解：根号下要大于等于 0，真数要大于 0：

$$\begin{cases} 4x - 3 > 0, \\ \log_{0.5}(4x - 3) \ge 0. \end{cases}$$

$\log_{0.5}(4x - 3) \ge 0 = \log_{0.5} 1$。底数 $0.5 < 1$，函数递减，所以 $4x - 3 \le 1$。

合起来：$0 < 4x - 3 \le 1$，即 $\dfrac{3}{4} < x \le 1$。定义域是 $\left(\dfrac{3}{4}, 1\right]$。

容易卡在：把 $\log_{0.5}(4x - 3) \ge 0$ 去掉对数时，底数小于 1，不等号要反向，得 $4x - 3 \le 1$，不是 $\ge 1$。

例 2　（场景：比较大小）

(1) 设 $a = 2^{0.3}$，$b = 0.3^2$，$c = \log_2 0.3$，比较 $a$、$b$、$c$ 的大小；

(2) 设 $a = \log_3 6$，$b = \log_5 10$，$c = \log_7 14$，比较 $a$、$b$、$c$ 的大小。

解：

(1) 三个数底数、真数都不同，找中间量 0 和 1：

• $a = 2^{0.3} > 2^0 = 1$；
• $b = 0.3^2 = 0.09$，$0 < b < 1$；
• $c = \log_2 0.3 < \log_2 1 = 0$。

所以 $a > b > c$。

(2) 三个数都是“真数是底数的 2 倍”，先拆开：

$$a = \log_3 (3 \times 2) = 1 + \log_3 2, \quad b = 1 + \log_5 2, \quad c = 1 + \log_7 2.$$

只需比较 $\log_3 2$、$\log_5 2$、$\log_7 2$。换底成倒数：$\log_3 2 = \dfrac{1}{\log_2 3}$，$\log_5 2 = \dfrac{1}{\log_2 5}$，$\log_7 2 = \dfrac{1}{\log_2 7}$。$y = \log_2 x$ 递增，所以 $0 < \log_2 3 < \log_2 5 < \log_2 7$，倒数反过来：$\log_3 2 > \log_5 2 > \log_7 2$。

所以 $a > b > c$。

容易卡在：(2) 直接比看不出来，要先想到把真数拆成“底数乘 2”，让三个数都变成“1 加一个真数相同的对数”。

另一种解法：(2) 拆成 $1 + \log_3 2$ 等以后，比较 $\log_3 2$、$\log_5 2$、$\log_7 2$ 可以看图。在同一坐标系画 $y = \log_3 x$、$y = \log_5 x$、$y = \log_7 x$，在 $x = 2 > 1$ 处，底数越大图像越低，所以 $\log_3 2 > \log_5 2 > \log_7 2$。

换底法每一步都有依据，适合写解答题；看图法只要记住”$x > 1$ 时底大图低”，选择题里几秒就能定。

例 3　（场景：解对数不等式）解不等式 $\log_{0.5}(x - 1) > -1$。

解：先写定义域：$x - 1 > 0$，即 $x > 1$。

把 $-1$ 写成以 0.5 为底的对数：$-1 = \log_{0.5} 0.5^{-1} = \log_{0.5} 2$。不等式化为

$$\log_{0.5}(x - 1) > \log_{0.5} 2.$$

底数 $0.5 < 1$，函数递减，去掉对数不等号反向：$x - 1 < 2$，即 $x < 3$。

结合定义域，解集是 $(1, 3)$。

容易卡在：只解 $x - 1 < 2$ 得 $x < 3$，忘了真数大于 0 这个条件。

例 4　（场景：图像过定点）函数 $y = \log_a(x + 2) - 1$（$a > 0$，$a \ne 1$）的图像恒过哪个定点？

解：对数函数恒过 $(1, 0)$，因为 $\log_a 1 = 0$ 和 $a$ 无关。令真数 $x + 2 = 1$，得 $x = -1$，此时 $y = \log_a 1 - 1 = -1$。所以图像恒过定点 $(-1, -1)$。

容易卡在：令 $x = 1$ 去求。定点由“真数等于 1”决定，不是由”$x$ 等于 1”决定。

例 5　（场景：求对数型复合函数的单调区间）求函数 $y = \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 2x - 3)$ 的单调区间。

解：

第一步，定义域：$x^2 - 2x - 3 > 0$，即 $(x - 3)(x + 1) > 0$，得 $x < -1$ 或 $x > 3$。

第二步，拆成两层：$y = \log_{\frac{1}{2}} t$，$t = x^2 - 2x - 3$。

• 外层 $y = \log_{\frac{1}{2}} t$ 在 $(0, +\infty)$ 上递减。
• 内层 $t = (x - 1)^2 - 4$ 的对称轴是 $x = 1$：在 $(-\infty, -1)$ 上递减，在 $(3, +\infty)$ 上递增（只看定义域内的部分）。

第三步，同增异减：

• 在 $(-\infty, -1)$ 上，内层减、外层减，复合后递增；
• 在 $(3, +\infty)$ 上，内层增、外层减，复合后递减。

所以函数的递增区间是 $(-\infty, -1)$，递减区间是 $(3, +\infty)$。

容易卡在：直接按内层二次函数的对称轴 $x = 1$ 写成”$(-\infty, 1)$ 上递增”。$-1 \le x \le 3$ 这一段函数根本没有定义。

例 6　（场景：底数含参数）若 $\log_a \dfrac{2}{3} < 1$，求 $a$ 的取值范围。

解：把 1 写成 $\log_a a$，不等式化为 $\log_a \dfrac{2}{3} < \log_a a$。按底数分两种情况：

1. $a > 1$：函数递增，得 $\dfrac{2}{3} < a$，和 $a > 1$ 取公共部分得 $a > 1$。（也可以直接看：$a > 1$ 时 $\log_a \dfrac{2}{3} < 0 < 1$，一定成立。）
2. $0 < a < 1$：函数递减，得 $\dfrac{2}{3} > a$，和 $0 < a < 1$ 取公共部分得 $0 < a < \dfrac{2}{3}$。

合起来，$a$ 的取值范围是 $\left(0, \dfrac{2}{3}\right) \cup (1, +\infty)$。

容易卡在：分类后每种情况得到的范围，要和这种情况的前提（$a > 1$ 或 $0 < a < 1$）取交集，最后两种情况再取并集。

常用推论

• $\log_a b > 0 \iff (a - 1)(b - 1) > 0$（$a > 0$，$a \ne 1$，$b > 0$）：口诀“底数和真数在 1 的同侧，对数为正；在异侧，对数为负”。由本节“函数值的符号”一行直接得到。
• $y = \log_a x$ 与 $y = \log_{\frac{1}{a}} x$ 的图像关于 $x$ 轴对称：推导见本节“证明”最后一段。
• 直线 $y = 1$ 与 $y = \log_a x$ 的交点是 $(a, 1)$；$a > 1$ 时，在 $x > 1$ 的部分底数越大图像越低：在 $x_0 > 1$ 处，$\log_a x_0 = \dfrac{1}{\log_{x_0} a}$，$a$ 越大分母越大，函数值越小。
• $y = \log_a(x + m) + n$ 恒过定点 $(1 - m, n)$：令真数 $x + m = 1$。
• $f(x) = \log_a \dfrac{1 + x}{1 - x}$ 是奇函数：定义域 $(-1, 1)$ 关于原点对称，$f(-x) = \log_a \dfrac{1 - x}{1 + x} = -\log_a \dfrac{1 + x}{1 - x} = -f(x)$。
• $f(x) = \log_a(x + \sqrt{x^2 + 1})$ 是奇函数：定义域是 $\mathbf{R}$，$f(x) + f(-x) = \log_a[(\sqrt{x^2 + 1} + x)(\sqrt{x^2 + 1} - x)] = \log_a 1 = 0$。

易错点

• 错在哪：例 5 答成“递增区间 $(-\infty, 1)$，递减区间 $(1, +\infty)$”。 为什么错：没先求定义域，也没看外层底数小于 1 是递减的。 正确做法：三步走：定义域、拆两层各自的单调性、同增异减。单调区间必须是定义域的子集。
• 错在哪：解 $\log_2(x - 1) < 2$ 得 $x < 5$。 为什么错：去掉对数只用了单调性，漏了真数 $x - 1 > 0$。 正确做法：解集是 $(1, 5)$。解对数不等式时把“真数大于 0”和去掉对数后的不等式写成一个不等式组。
• 错在哪：已知 $\log_a 2 < \log_a 3$ 求 $a$，看到 $2 < 3$ 就认为不等式对所有 $a$ 都成立。 为什么错：去掉对数时不等号方向取决于底数。$0 < a < 1$ 时函数递减，$\log_a 2 > \log_a 3$，不等式不成立。 正确做法：分 $a > 1$、$0 < a < 1$ 两类，每类单独判断，最后合并：本题只有 $a > 1$ 成立。
• 错在哪：认为 $y = \log_2(x + 1)$ 是对数函数。 为什么错：对数函数要求真数就是 $x$、系数是 1。$y = \log_2(x + 1)$ 是对数函数 $y = \log_2 x$ 向左平移 1 个单位得到的函数。 正确做法：题目问“是不是对数函数”时，按 $y = \log_a x$ 的形式严格判断。

直观理解

对数函数的图像是“躺倒的指数函数”：把 $y = a^x$ 的图像沿直线 $y = x$ 翻过来就是 $y = \log_a x$（9.6 节）。所以 $y = a^x$ 过 $(0, 1)$，$y = \log_a x$ 就过 $(1, 0)$；$y = a^x$ 的图像贴着 $x$ 轴，$y = \log_a x$ 的图像就贴着 $y$ 轴。

$a > 1$ 时，对数函数增长得越来越慢：$x$ 从 1 到 2，$\log_2 x$ 增加 1；$x$ 从 2 到 4，再增加 1；从 4 到 8，还是增加 1。$x$ 要翻倍，函数值才多 1。

一句话记法：“过 $(1, 0)$，大于 1 增，小于 1 减，定义域永远是正数”。

关联知识点

• 前置：第 8 章指数函数。对数函数的单调性由指数函数的单调性推出。
• 前置：第 6 章函数的单调性、奇偶性，复合函数“同增异减”。
• 前置：第 4 章一元二次不等式，求 $\log_a(x^2 + bx + c)$ 的定义域要解二次不等式。
• 后续：第 10 章函数的应用，对数函数和指数函数、幂函数增长快慢的比较；用零点存在定理判断 $\ln x + x - 3 = 0$ 这类方程的根。
• 后续：第 24、25 章导数，$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$，含 $\ln x$ 的函数是导数大题最常见的对象。
• 常一起考：第 8 章指数函数，比较大小题几乎总是指数、对数、幂混在一起。

9.6 反函数

说明

反函数（高中的说法）：函数 $y = f(x)$，如果对它值域里的每一个 $y$，都能由 $y = f(x)$ 唯一解出 $x$，就得到一个以 $y$ 为自变量的函数；再按习惯把自变量写成 $x$、函数值写成 $y$，得到的函数叫作 $y = f(x)$ 的反函数。

课标对反函数的要求只有一条：知道对数函数 $y = \log_a x$ 与指数函数 $y = a^x$ 互为反函数（$a > 0$，$a \ne 1$）。一般函数的反函数不作要求，这里给出定义只是为了把这一对函数的关系说清楚。

指数函数与对数函数互为反函数：由 $y = a^x$ 解出 $x = \log_a y$，把 $x$、$y$ 互换，得 $y = \log_a x$。所以 $y = a^x$ 和 $y = \log_a x$（$a > 0$，$a \ne 1$）互为反函数。

互为反函数的两个函数：

原函数 $y = a^x$	反函数 $y = \log_a x$
定义域 $\mathbf{R}$	值域 $\mathbf{R}$
值域 $(0, +\infty)$	定义域 $(0, +\infty)$
过 $(0, 1)$	过 $(1, 0)$
点 $(m, n)$ 在图像上	点 $(n, m)$ 在图像上
$a > 1$ 递增，$0 < a < 1$ 递减	单调性相同

图像关于直线 $y = x$ 对称：把一个函数的图像沿直线 $y = x$ 翻折，就得到它的反函数的图像。

使用场景

• 已知一个函数是 $y = a^x$（或 $y = \log_a x$）的反函数，求它的解析式或函数值：题目说”$f(x)$ 与 $y = 2^x$ 互为反函数“或”图像关于直线 $y = x$ 对称”，就写出另一个。
• 已知反函数的图像过某点：题目说“反函数的图像过点 $(m, n)$”，就换成“原函数的图像过点 $(n, m)$”，不必求反函数。
• 一个方程含 $a^x$、另一个含 $\log_a x$，求两根的关系：题目出现 $x + 2^x = 4$ 和 $x + \log_2 x = 4$ 这样“一对”的方程，就利用两条曲线关于 $y = x$ 对称。

注意点

• 反函数的定义域是原函数的值域，不能只看反函数解析式。比如 $y = \log_2 x$（$x \ge 4$）的值域是 $[2, +\infty)$，它的反函数是 $y = 2^x$（$x \ge 2$）。
• “关于直线 $y = x$ 对称”是“互为反函数”的图像特征；“关于 $x$ 轴对称”是 $y = \log_a x$ 与 $y = \log_{\frac{1}{a}} x$ 的关系，两者不要混。
• 不是每个函数都有反函数：$y = x^2$（$x \in \mathbf{R}$）中 $y = 4$ 对应 $x = \pm 2$，解不出唯一的 $x$，没有反函数。单调函数一定有反函数。

证明

$y = a^x$ 与 $y = \log_a x$ 的图像关于直线 $y = x$ 对称。

第一步，点的对应。设点 $(m, n)$ 在 $y = a^x$ 的图像上，即 $n = a^m$。由对数的定义，$m = \log_a n$，所以点 $(n, m)$ 在 $y = \log_a x$ 的图像上。反过来也一样。所以两个图像上的点是“横纵坐标互换”一一对应的。

第二步，$(m, n)$ 和 $(n, m)$ 关于直线 $y = x$ 对称（设 $m \ne n$）：

• 两点的中点是 $\left(\dfrac{m + n}{2}, \dfrac{m + n}{2}\right)$，横纵坐标相等，在直线 $y = x$ 上；
• 两点连线的斜率是 $\dfrac{m - n}{n - m} = -1$，直线 $y = x$ 的斜率是 1，乘积为 $-1$，所以连线和 $y = x$ 垂直。

（关键一步：中点在直线上、连线与直线垂直，就是“关于这条直线对称”的定义。）$m = n$ 时点本身就在 $y = x$ 上。

所以两个图像关于直线 $y = x$ 对称。这个证明对任意一对互为反函数的函数都成立，因为第一步只用了”$n = f(m) \iff m = g(n)$“。

例题

例 1　（场景：已知互为反函数，求解析式或函数值）函数 $y = f(x)$ 与 $y = 2^x$ 互为反函数。

(1) 求 $f(8)$；

(2) 解不等式 $f(x) < 1$。

解：$y = 2^x$ 的反函数是 $f(x) = \log_2 x$，定义域 $(0, +\infty)$。

(1) $f(8) = \log_2 8 = 3$。

(2) $\log_2 x < 1 = \log_2 2$，底数 $2 > 1$ 递增，得 $x < 2$；结合定义域 $x > 0$，解集是 $(0, 2)$。

容易卡在：(1) 也可以不写解析式：$f(8) = t$ 等价于 $2^t = 8$，$t = 3$。反函数的函数值就是“原函数取哪个自变量得到 8”。

例 2　（场景：已知反函数的图像过某点）函数 $f(x) = \log_a(x + b)$（$a > 0$，$a \ne 1$）的反函数的图像经过点 $(1, 2)$ 和 $(0, 1)$，求 $a$、$b$。

解：反函数的图像过 $(1, 2)$ 和 $(0, 1)$，所以原函数 $f(x)$ 的图像过 $(2, 1)$ 和 $(1, 0)$：

$$\begin{cases} \log_a(2 + b) = 1, \\ \log_a(1 + b) = 0. \end{cases}$$

由第二个，$1 + b = 1$，$b = 0$。代入第一个，$\log_a 2 = 1$，$a = 2$。

所以 $a = 2$，$b = 0$。

另一种解法：先求反函数。由 $y = \log_a(x + b)$ 得 $x + b = a^y$，$x = a^y - b$，互换得反函数 $y = a^x - b$。代入两点：$a^1 - b = 2$，$a^0 - b = 1$，得 $b = 0$，$a = 2$。

主解法不求反函数，只把点的坐标互换，适合反函数不好写的题；先求反函数的方法更直接，当后面的小问还要用到反函数的解析式时更划算。

例 3　（场景：一对方程分别含 $a^x$ 和 $\log_a x$，求两根的关系）方程 $x + 2^x = 4$ 的根为 $x_1$，方程 $x + \log_2 x = 4$ 的根为 $x_2$，求 $x_1 + x_2$。

解：两个方程都解不出精确的根，改用图像。

• $x + 2^x = 4$ 即 $2^x = 4 - x$，$x_1$ 是曲线 $y = 2^x$ 和直线 $y = 4 - x$ 交点 $A$ 的横坐标，$A(x_1, 4 - x_1)$；
• $x + \log_2 x = 4$ 即 $\log_2 x = 4 - x$，$x_2$ 是曲线 $y = \log_2 x$ 和直线 $y = 4 - x$ 交点 $B$ 的横坐标，$B(x_2, 4 - x_2)$。

$y = 2^x$ 和 $y = \log_2 x$ 关于直线 $y = x$ 对称；直线 $y = 4 - x$ 的斜率是 $-1$，和 $y = x$ 垂直，所以它关于 $y = x$ 的对称图形是它自己。于是 $A$ 关于 $y = x$ 的对称点 $(4 - x_1, x_1)$ 既在 $y = \log_2 x$ 上，又在 $y = 4 - x$ 上，就是交点 $B$。

所以 $x_2 = 4 - x_1$，即 $x_1 + x_2 = 4$。

容易卡在：想先把 $x_1$、$x_2$ 算出来。两个根都不是“好数”（$x_1 \approx 1.386$），要求的只是它们的和，正是对称性在起作用。

另一种解法：代数换元。由 $x_1 + 2^{x_1} = 4$，设 $t = 2^{x_1}$，则 $t = 4 - x_1$，且 $x_1 = \log_2 t$。于是

$$t + \log_2 t = (4 - x_1) + x_1 = 4,$$

说明 $t$ 是方程 $x + \log_2 x = 4$ 的根。$y = x + \log_2 x$ 在 $(0, +\infty)$ 上递增，这个方程只有一个根，所以 $x_2 = t = 4 - x_1$，$x_1 + x_2 = 4$。

图像法一眼看出答案，适合选择填空；换元法每步都有依据，适合解答题，也不依赖画图是否准确。

常用推论

• 若 $f(x)$ 的图像过 $(m, n)$，则它的反函数的图像过 $(n, m)$：推导见本节“证明”第一步。
• 互为反函数的两个函数单调性相同：原函数递增时，$x$ 越大 $y$ 越大，互换后仍是“自变量越大函数值越大”。
• 反函数的定义域是原函数的值域，值域是原函数的定义域：由定义中”$x$、$y$ 互换“得到。
• $a^{\log_a x} = x$（$x > 0$），$\log_a a^x = x$（$x \in \mathbf{R}$）：先用一个函数、再用它的反函数，回到原来的数。这就是 9.2 节的对数恒等式。

易错点

• 错在哪：认为 $y = a^x$ 和 $y = \log_a x$ 的交点一定在直线 $y = x$ 上。 为什么错：对称只说明交点关于 $y = x$ 成对出现，不说明交点都在 $y = x$ 上。比如 $a = \dfrac{1}{16}$ 时，$\left(\dfrac{1}{16}\right)^{\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{4}$，$\left(\dfrac{1}{16}\right)^{\frac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}$，所以 $\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}\right)$ 和 $\left(\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{2}\right)$ 都是两个图像的交点，都不在 $y = x$ 上。 正确做法：$a > 1$（函数递增）时，交点才都在 $y = x$ 上；$0 < a < 1$ 时要具体分析。

• 错在哪：求 $y = \log_2 x$（$x \ge 4$）的反函数，写成 $y = 2^x$，$x \in \mathbf{R}$。 为什么错：反函数的定义域是原函数的值域 $[2, +\infty)$。 正确做法：写成 $y = 2^x$（$x \ge 2$）。
• 错在哪：说 $y = \log_2 x$ 和 $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ 互为反函数。 为什么错：它们的图像关于 $x$ 轴对称，不是关于 $y = x$ 对称。$y = \log_2 x$ 的反函数是 $y = 2^x$。 正确做法：互为反函数看”$x$、$y$ 互换”，即关于 $y = x$ 对称。

直观理解

函数是一台“输入 $x$、输出 $y$“的机器，反函数就是把这台机器倒着开：输入原来的输出，吐回原来的输入。$y = 2^x$ 把 3 变成 8，$y = \log_2 x$ 就把 8 变回 3。

图像上，“输入和输出互换”就是“横纵坐标互换”，也就是沿直线 $y = x$ 照镜子。

一句话记法：“反函数，$x$ 和 $y$ 换个位，图像沿 $y = x$ 折过去”。

关联知识点

• 前置：第 5 章函数的概念，反函数的定义域、值域由原函数的值域、定义域决定。
• 前置：第 8 章指数函数，本节的反函数对就是 $y = a^x$ 和 $y = \log_a x$。
• 前置：9.5 对数函数的图像和性质，很多性质都可以由指数函数的性质“翻折”得到。
• 后续：第 28 章直线的方程，“关于直线 $y = x$ 对称”的点是 $(m, n)$ 与 $(n, m)$，可推广到关于一般直线的对称点。
• 常一起考：第 10 章函数的应用，$a^x = \log_a x$ 这类方程的根的个数，常借助反函数的对称性。

9.7 知识点之间的关系

本章五个知识点都从指数出发。对数的概念（9.2）是把指数式“换个写法”；运算性质（9.3）是指数运算性质的翻译；换底公式（9.4）由运算性质推出，用来把不同底化成同底。对数函数（9.5）的单调性、定义域、值域都从指数函数继承；反函数（9.6）把这种继承关系说清楚：两者互为反函数，图像关于 $y = x$ 对称。

考试里，运算性质和换底公式多是填空题里的计算；对数函数的考法集中在三类：比较大小、解不等式、复合函数的定义域和单调性。比较大小题常把指数、对数、幂函数放在一起，所以本章和第 7、8 章要连起来复习。

9.8 自测

1. 求值：$\log_3 \dfrac{1}{27} + \lg 0.01 + \ln e^2$。
2. 已知 $\log_x 4 = \dfrac{2}{3}$，求 $x$。
3. 计算：$\lg 4 + \lg 25 - \log_3 \sqrt{3}$。
4. 已知 $\lg 2 = a$，$\lg 3 = b$，用 $a$、$b$ 表示 $\lg 72$。
5. 计算：$\log_2 25 \cdot \log_3 4 \cdot \log_5 9$。
6. 已知 $2^a = 3^b = k$（$k > 0$），且 $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = 2$，求 $k$。
7. 求函数 $y = \lg(2 - x) + \sqrt{x + 1}$ 的定义域。
8. 设 $a = \log_{0.5} 0.3$，$b = \log_2 0.3$，$c = 0.5^{0.3}$，比较 $a$、$b$、$c$ 的大小。
9. 解不等式 $\log_2(x + 1) < 2$。
10. 函数 $y = f(x)$ 的图像与 $y = 3^x$ 的图像关于直线 $y = x$ 对称，求 $f(9) + f\left(\dfrac{1}{3}\right)$。

答案：1. $-3$；2. $8$；3. $\dfrac{3}{2}$；4. $3a + 2b$；5. $8$；6. $\sqrt{6}$；7. $[-1, 2)$；8. $a > c > b$；9. $(-1, 3)$；10. $1$。

9.9 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，有人教版必修第一册第四章对数、对数函数的同步课程和教材电子版。
• Khan Academy · Logarithms：对数的定义、运算性质和换底公式的英文视频讲解，配练习题。
• Wolfram MathWorld · Logarithm：对数的英文定义和性质汇总，查英文说法和记号时用。
• GeoGebra 图形计算器：在线画函数图像，输入 log(2, x) 和 2^x 可以对比底数的影响、看反函数关于 y = x 的对称。