第 30 章 · 椭圆

项目	内容
课标主题	选择性必修 · 几何与代数 · 平面解析几何（圆锥曲线与方程）
人教 A 版	选择性必修第一册 第三章 3.1 椭圆（3.1.1 椭圆及其标准方程，3.1.2 椭圆的简单几何性质）
考试地位	必考。新高考全国卷（2025 年起称全国一卷、二卷）每套卷都有一道圆锥曲线解答题，2021–2026 年共 12 道：椭圆 6 道（2021 年Ⅱ卷，2024 年Ⅰ卷，2025、2026 年一卷和二卷），双曲线 5 道（2021 年Ⅰ卷，2022 年Ⅰ、Ⅱ卷，2023 年Ⅱ卷，2024 年Ⅱ卷），抛物线 1 道（2023 年Ⅰ卷）；椭圆做载体时第一问多是求标准方程。选择题、填空题常考离心率和焦点三角形
前置知识	第 28 章两点间的距离公式；第 29 章圆的方程；第 16 章余弦定理和三角形面积公式

椭圆是三种圆锥曲线里最先学、考得最多的一种，双曲线和抛物线的学法都照它来。这一章的计算量不大，丢分集中在三处：焦点在哪条轴上没判断清楚，把双曲线的 $c^2 = a^2 + b^2$ 套到椭圆上，求离心率时列不出只含 $a$、$c$ 的式子。

30.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
30.2 椭圆的定义和标准方程	到两个定点距离之和为定值 $2a$（大于两定点间距离）的点的轨迹；标准方程 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，$b^2 = a^2 - c^2$	必考，解答题第一问常求标准方程
30.3 椭圆的几何性质	范围、对称性、顶点、长轴 $2a$、短轴 $2b$，都从方程直接读出	常考，小题直接考，大题求方程时要用
30.4 离心率	$e = \dfrac{c}{a}$，$0 < e < 1$，越接近 1 越扁	常考，选择、填空题求离心率的值或范围

30.2 椭圆的定义和标准方程

说明

椭圆的定义：平面内与两个定点 $F_1$、$F_2$ 的距离之和等于常数（这个常数大于 $|F_1F_2|$）的点的轨迹叫椭圆。两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距。

通常把常数记作 $2a$，焦距记作 $2c$，定义写成：

$$|PF_1| + |PF_2| = 2a \quad (2a > 2c > 0).$$

常数和焦距的大小关系决定轨迹是什么：

条件	轨迹
$2a > \lvert F_1F_2\rvert$	椭圆
$2a = \lvert F_1F_2\rvert$	线段 $F_1F_2$
$2a < \lvert F_1F_2\rvert$	不存在

标准方程：以两焦点所在直线为一条坐标轴、线段 $F_1F_2$ 的中点为原点建立坐标系，得到椭圆的标准方程。焦点在哪条轴上有两种写法：

焦点位置	标准方程	焦点坐标
在 $x$ 轴上	$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \ (a > b > 0)$	$(-c, 0)$，$(c, 0)$
在 $y$ 轴上	$\dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1 \ (a > b > 0)$	$(0, -c)$，$(0, c)$

两种写法里都有 $b^2 = a^2 - c^2$，即

$$a^2 = b^2 + c^2.$$

判断焦点在哪条轴上：把方程化成”$= 1$“的形式，哪个变量下面的分母大，焦点就在哪条轴上。大的分母是 $a^2$，小的是 $b^2$。

一般形式：方程 $mx^2 + ny^2 = 1$ 表示椭圆的条件是 $m > 0$，$n > 0$，$m \ne n$。焦点位置不知道时，常设成这个形式求方程。

使用场景

• 题目说动点到两个定点的距离之和是定值，或者条件能化成这种形式（如动圆同时和两个圆相切）：用定义判断轨迹是椭圆，直接写方程。
• 题目里出现椭圆上一点和两个焦点组成的三角形（焦点三角形），求周长、面积或角：用定义 $|PF_1| + |PF_2| = 2a$ 配合余弦定理。
• 给出含参数的方程如 $\dfrac{x^2}{m - 1} + \dfrac{y^2}{5 - m} = 1$，说它表示椭圆或焦点在某条轴上的椭圆，求参数范围：比较两个分母。
• 已知椭圆经过几个点、焦点位置不确定，求标准方程：设 $mx^2 + ny^2 = 1$ 待定系数。

注意点

• 定义里的常数必须大于 $|F_1F_2|$。只说“距离之和为定值”而不比较大小，轨迹可能是线段或不存在。
• 标准方程要求 $a > b > 0$。$a$ 永远是较大的那个分母开方，和它在 $x^2$ 下还是 $y^2$ 下无关。
• 椭圆是 $a^2 = b^2 + c^2$（$a$ 最大），双曲线是 $c^2 = a^2 + b^2$（$c$ 最大）。两章放在一起学，最容易混。
• 方程 $\dfrac{x^2}{p} + \dfrac{y^2}{q} = 1$ 表示椭圆，要同时满足 $p > 0$、$q > 0$、$p \ne q$。$p = q > 0$ 时是圆。
• 标准方程只描述“中心在原点、焦点在坐标轴上”的椭圆。中心不在原点的椭圆高中不要求写标准方程。

证明

推导焦点在 $x$ 轴上的标准方程（课本的推导）。

设 $F_1(-c, 0)$，$F_2(c, 0)$，椭圆上任一点 $P(x, y)$。由定义 $|PF_1| + |PF_2| = 2a$ 和两点间距离公式：

$$\sqrt{(x + c)^2 + y^2} + \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a.$$

第一步，移项后平方。把第二个根式移到右边：

$$\sqrt{(x + c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x - c)^2 + y^2}.$$

两边平方：

$$(x + c)^2 + y^2 = 4a^2 - 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + (x - c)^2 + y^2.$$

展开后 $x^2$、$y^2$、$c^2$ 两边抵消，剩下 $4cx = 4a^2 - 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2}$，整理得

$$a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} = a^2 - cx.$$

第二步，再平方：

$$a^2(x^2 - 2cx + c^2 + y^2) = a^4 - 2a^2cx + c^2x^2,$$

$-2a^2cx$ 两边抵消，整理得

$$(a^2 - c^2)x^2 + a^2y^2 = a^2(a^2 - c^2).$$

第三步，令 $b^2 = a^2 - c^2$（关键一步：定义要求 $a > c > 0$，所以 $a^2 - c^2 > 0$，可以把它记成一个正数的平方 $b^2$，$b > 0$）。方程变为 $b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2$，两边除以 $a^2b^2$：

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0).$$

反过来，满足这个方程的点都在椭圆上。 推导中平方了两次，要检查没有多出点。设 $(x, y)$ 满足方程，则 $y^2 = b^2 - \dfrac{b^2}{a^2}x^2$，且 $-a \le x \le a$。代入：

$$(x - c)^2 + y^2 = x^2 - 2cx + c^2 + b^2 - \frac{b^2}{a^2}x^2 = \frac{c^2}{a^2}x^2 - 2cx + a^2 = \left(a - \frac{c}{a}x\right)^2.$$

（用到了 $1 - \dfrac{b^2}{a^2} = \dfrac{c^2}{a^2}$ 和 $c^2 + b^2 = a^2$。）因为 $|x| \le a$，$c < a$，所以 $a - \dfrac{c}{a}x > 0$，开方得 $|PF_2| = a - \dfrac{c}{a}x$。同理 $|PF_1| = a + \dfrac{c}{a}x$。两式相加等于 $2a$，点在椭圆上。

这两个式子就是焦半径公式，30.3 和 30.4 节要用。

焦点在 $y$ 轴上时，把推导中的 $x$、$y$ 对调，得 $\dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1$。

例题

例 1　（场景：用定义求轨迹）已知圆 $C_1$：$(x + 3)^2 + y^2 = 1$ 和圆 $C_2$：$(x - 3)^2 + y^2 = 81$。动圆 $M$ 与圆 $C_1$ 外切，与圆 $C_2$ 内切，求动圆圆心 $M$ 的轨迹方程。

解：圆 $C_1$ 的圆心 $C_1(-3, 0)$，半径 1；圆 $C_2$ 的圆心 $C_2(3, 0)$，半径 9。设动圆半径为 $r$。

• 与 $C_1$ 外切：$|MC_1| = r + 1$。
• 与 $C_2$ 内切（动圆在 $C_2$ 里面）：$|MC_2| = 9 - r$。

两式相加，$r$ 消掉：

$$|MC_1| + |MC_2| = 10 > |C_1C_2| = 6.$$

由椭圆定义，$M$ 的轨迹是以 $C_1$、$C_2$ 为焦点的椭圆，$2a = 10$，$2c = 6$，所以 $a = 5$，$c = 3$，$b^2 = 25 - 9 = 16$。轨迹方程为

$$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1.$$

容易卡在：想不到把两个相切条件相加。看到“两个距离各含一个 $r$，一个加 $r$、一个减 $r$”，就相加消去 $r$。

例 2　（场景：焦点三角形）$F_1$、$F_2$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ 的两个焦点，点 $P$ 在椭圆上，$\angle F_1PF_2 = 60°$。求 $\triangle F_1PF_2$ 的周长和面积。

解：$a = 5$，$b = 3$，$c = \sqrt{25 - 9} = 4$。

周长：$|PF_1| + |PF_2| + |F_1F_2| = 2a + 2c = 10 + 8 = 18$。

面积：设 $|PF_1| = m$，$|PF_2| = n$。由定义 $m + n = 10$；在 $\triangle F_1PF_2$ 中用余弦定理：

$$|F_1F_2|^2 = m^2 + n^2 - 2mn\cos 60°,$$

即 $64 = m^2 + n^2 - mn = (m + n)^2 - 3mn = 100 - 3mn$，得 $mn = 12$。所以

$$S = \frac{1}{2}mn\sin 60° = \frac{1}{2} \times 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}.$$

容易卡在：想把 $m$、$n$ 分别解出来。其实面积只要 $mn$，用 $(m + n)^2$ 配方就能直接得到 $mn$。

另一种解法：用本节常用推论里的焦点三角形面积公式 $S = b^2\tan\dfrac{\theta}{2}$，直接得 $S = 9\tan 30° = 9 \times \dfrac{\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$。选择、填空题用公式最快；解答题要写过程时用主解法，主解法本身就是公式的推导。

例 3　（场景：含参数的方程）已知方程 $\dfrac{x^2}{m - 1} + \dfrac{y^2}{5 - m} = 1$。（1）若它表示椭圆，求 $m$ 的取值范围；（2）若它表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，求 $m$ 的取值范围。

解：（1）表示椭圆要求两个分母都为正且不相等：

$$\begin{cases} m - 1 > 0, \\ 5 - m > 0, \\ m - 1 \ne 5 - m, \end{cases}$$

解得 $1 < m < 5$ 且 $m \ne 3$。

（2）焦点在 $y$ 轴上，要求 $y^2$ 下的分母更大：$5 - m > m - 1 > 0$，解得 $1 < m < 3$。

容易卡在：（1）漏掉 $m \ne 3$。$m = 3$ 时方程是 $x^2 + y^2 = 2$，是圆。

例 4　（场景：焦点位置不确定，求标准方程）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点 $A(\sqrt{6}, 1)$ 和 $B(-\sqrt{3}, -\sqrt{2})$，求它的标准方程。

解：焦点在哪条轴上不知道，设方程为 $mx^2 + ny^2 = 1$（$m > 0$，$n > 0$，$m \ne n$）。代入两点：

$$\begin{cases} 6m + n = 1, \\ 3m + 2n = 1. \end{cases}$$

由第一式 $n = 1 - 6m$，代入第二式：$3m + 2 - 12m = 1$，得 $m = \dfrac{1}{9}$，$n = \dfrac{1}{3}$。方程为 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{3} = 1$。

$9 > 3$，焦点在 $x$ 轴上。

容易卡在：设成 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 再分两种情况讨论，计算量翻倍。设 $mx^2 + ny^2 = 1$ 解的是一次方程组，一次算完，焦点位置最后看结果就知道。

常用推论

• 焦点三角形周长：$P$ 在椭圆上时，$\triangle F_1PF_2$ 的周长是 $2a + 2c$。由定义直接得到。
• 过焦点的弦：过 $F_1$ 的弦 $AB$ 与另一个焦点 $F_2$ 组成的 $\triangle ABF_2$ 周长是 $4a$。推导：$|AF_1| + |AF_2| = 2a$，$|BF_1| + |BF_2| = 2a$，相加，$|AF_1| + |BF_1| = |AB|$。
• 焦点三角形面积公式：$P$ 在椭圆上，$\angle F_1PF_2 = \theta$，则

$$S_{\triangle F_1PF_2} = b^2\tan\frac{\theta}{2}.$$

推导：设 $|PF_1| = m$，$|PF_2| = n$，则 $m + n = 2a$。由余弦定理

$$4c^2 = m^2 + n^2 - 2mn\cos\theta = (m + n)^2 - 2mn(1 + \cos\theta) = 4a^2 - 2mn(1 + \cos\theta),$$

所以 $mn = \dfrac{2(a^2 - c^2)}{1 + \cos\theta} = \dfrac{2b^2}{1 + \cos\theta}$。于是

$$S = \frac{1}{2}mn\sin\theta = \frac{b^2\sin\theta}{1 + \cos\theta} = b^2\tan\frac{\theta}{2}.$$

最后一步用二倍角公式：$\sin\theta = 2\sin\dfrac{\theta}{2}\cos\dfrac{\theta}{2}$，$1 + \cos\theta = 2\cos^2\dfrac{\theta}{2}$（第 13 章），相除得 $\tan\dfrac{\theta}{2}$。焦点在 $y$ 轴上时公式不变。

• 两个特例：$\theta = 90°$ 时 $S = b^2$；$\theta = 60°$ 时 $S = \dfrac{\sqrt{3}}{3}b^2$。

易错点

• 错在哪：认为到 $F_1(-3, 0)$、$F_2(3, 0)$ 距离之和为 6 的点的轨迹是椭圆。 为什么错：$|F_1F_2| = 6$，常数等于两定点间距离，点只能在线段 $F_1F_2$ 上，轨迹是线段。 正确做法：用定义前先比较常数和 $|F_1F_2|$，大于才是椭圆。
• 错在哪：椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = 1$，写 $a = 2$，焦点在 $x$ 轴上。 为什么错：$a$ 是大分母开方，和它在哪个变量下面无关。这里 $9 > 4$，$a = 3$，焦点在 $y$ 轴上。 正确做法：先比较两个分母的大小，大的那个变量对应焦点所在的轴。
• 错在哪：由 $a = 3$，$b = 2$ 算出 $c = \sqrt{13}$。 为什么错：$c^2 = a^2 + b^2$ 是双曲线的关系。椭圆里 $a$ 最大，$c^2 = a^2 - b^2 = 5$，$c = \sqrt{5}$。 正确做法：记“椭圆 $a$ 最大”，焦点在椭圆内部，$c$ 一定小于 $a$。
• 错在哪：例 3（1）答成 $1 < m < 5$。 为什么错：$m = 3$ 时两个分母相等，方程表示圆，不是椭圆。 正确做法：$\dfrac{x^2}{p} + \dfrac{y^2}{q} = 1$ 表示椭圆的三个条件 $p > 0$、$q > 0$、$p \ne q$ 一个不少。

直观理解

定义就是“园丁画椭圆”的办法：把一根长 $2a$ 的绳子两端钉在 $F_1$、$F_2$ 两点，用笔把绳子绷紧转一圈，笔尖画出的就是椭圆。绳长必须比两钉之间的距离长，否则绳子绷直了也只能沿线段走。

两个焦点靠得越近，椭圆越圆；两焦点重合时，绳子两端钉在同一点，画出的就是圆。所以圆可以看作焦距为 0 的“特殊椭圆”，但高中教材里椭圆的定义要求两个焦点不同，圆不算椭圆。

关联知识点

• 前置：第 28 章两点间的距离公式，推导标准方程的第一步就是用它写出 $|PF_1|$、$|PF_2|$。
• 前置：第 29 章圆的方程，“到一个定点距离为定值”是圆，“到两个定点距离之和为定值”是椭圆，求轨迹的思路一样。
• 前置：第 16 章余弦定理和面积公式 $S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$，焦点三角形问题全靠它们。
• 后续：30.3 节几何性质、30.4 节离心率，都从标准方程读出。
• 后续：第 31 章双曲线，定义把“距离之和”换成“距离之差的绝对值”，推导方法相同。
• 常一起考：第 33 章直线与圆锥曲线，解答题第一问求椭圆方程，第二问联立直线。

30.3 椭圆的几何性质

说明

以焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \ (a > b > 0)$ 为例：

性质	内容
范围	$-a \le x \le a$，$-b \le y \le b$，椭圆在矩形 $\lvert x\rvert \le a$，$\lvert y\rvert \le b$ 里面
对称性	关于 $x$ 轴、$y$ 轴对称，关于原点中心对称；原点叫椭圆的中心
顶点	与坐标轴的四个交点 $A_1(-a, 0)$，$A_2(a, 0)$，$B_1(0, -b)$，$B_2(0, b)$
长轴、短轴	线段 $A_1A_2$ 叫长轴，长 $2a$；线段 $B_1B_2$ 叫短轴，长 $2b$。$a$、$b$ 分别叫长半轴长、短半轴长
焦点	$F_1(-c, 0)$，$F_2(c, 0)$，在长轴上

特征三角形：中心 $O$、短轴端点 $B_2$、焦点 $F_2$ 组成直角三角形，两条直角边是 $b$ 和 $c$，斜边 $|B_2F_2| = a$。$a^2 = b^2 + c^2$ 在图上就是这个三角形的勾股定理。

两种焦点位置的对照：

	$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	$\dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1$
范围	$\lvert x\rvert \le a$，$\lvert y\rvert \le b$	$\lvert x\rvert \le b$，$\lvert y\rvert \le a$
顶点	$(\pm a, 0)$，$(0, \pm b)$	$(0, \pm a)$，$(\pm b, 0)$
长轴所在直线	$x$ 轴	$y$ 轴
焦点	$(\pm c, 0)$	$(0, \pm c)$

使用场景

• 给出椭圆方程，求长轴长、短轴长、焦距、顶点和焦点坐标：先化成标准方程，再判断焦点在哪条轴上。
• 给出长轴、短轴、焦距、顶点之间的关系，求标准方程：已知的点是哪种顶点、焦点在哪条轴上，可能有两种情况。
• 求椭圆上的点到某个定点（或焦点）距离的最值：用方程消去一个变量化成二次函数，在 $x$ 的范围 $[-a, a]$ 上求最值。
• 过中心的弦、关于坐标轴对称的两点：用对称性，把一条线段换成和它相等的另一条，再用定义。

注意点

• “长轴长”是 $2a$，“长半轴长”才是 $a$；“焦距”是 $2c$。题目给的是哪个，要看清字。
• 只说“长轴长为 10、短轴长为 6”而没说焦点在哪条轴上，标准方程有两个。
• 求最值时 $x$（或 $y$）的范围是 $[-a, a]$（或 $[-b, b]$），不是全体实数。二次函数的对称轴可能落在范围外，最值就在端点取。
• 短轴端点到焦点的距离是 $a$，不是 $c$，也不是 $b$。

证明

各条性质都从标准方程推出。

范围：方程可写成 $\dfrac{x^2}{a^2} = 1 - \dfrac{y^2}{b^2} \le 1$，所以 $x^2 \le a^2$，即 $-a \le x \le a$。同理 $-b \le y \le b$。

对称性：把方程中的 $x$ 换成 $-x$，方程不变（关键一步：方程里只有 $x^2$，$(-x)^2 = x^2$），说明点 $(x, y)$ 在椭圆上时，它关于 $y$ 轴的对称点 $(-x, y)$ 也在椭圆上，所以椭圆关于 $y$ 轴对称。同理，$y$ 换成 $-y$ 不变，关于 $x$ 轴对称；$x$、$y$ 同时变号不变，关于原点对称。

顶点：令 $y = 0$ 得 $x = \pm a$；令 $x = 0$ 得 $y = \pm b$。

特征三角形：$|B_2F_2| = \sqrt{c^2 + b^2} = \sqrt{a^2} = a$。也可以用定义看：$B_2$ 到两焦点的距离相等，和是 $2a$，所以各是 $a$。

例题

例 1　（场景：由方程求几何量）求椭圆 $25x^2 + 16y^2 = 400$ 的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标和焦点坐标。

解：两边除以 400，化成标准方程：

$$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1.$$

$25 > 16$，焦点在 $y$ 轴上，$a = 5$，$b = 4$，$c = \sqrt{25 - 16} = 3$。

• 长轴长 $2a = 10$，短轴长 $2b = 8$，焦距 $2c = 6$。
• 顶点：$(0, -5)$，$(0, 5)$，$(-4, 0)$，$(4, 0)$。
• 焦点：$(0, -3)$，$(0, 3)$。

容易卡在：看到 $x^2$ 在前面就以为焦点在 $x$ 轴上。

例 2　（场景：由几何关系求方程）椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，长轴长是短轴长的 2 倍，且经过点 $P(2, 0)$。求椭圆的标准方程。

解：$P(2, 0)$ 在 $x$ 轴上，是椭圆的一个顶点，但不知道是长轴顶点还是短轴顶点，分两种情况。

1. $P$ 是长轴顶点：焦点在 $x$ 轴上，$a = 2$。由 $2a = 2 \times 2b$ 得 $b = 1$。方程为 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$。
2. $P$ 是短轴顶点：焦点在 $y$ 轴上，$b = 2$，$a = 2b = 4$。方程为 $\dfrac{y^2}{16} + \dfrac{x^2}{4} = 1$。

所以方程为 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 或 $\dfrac{y^2}{16} + \dfrac{x^2}{4} = 1$。

容易卡在：默认 $(2, 0)$ 是长轴顶点，丢掉第二种情况。

例 3　（场景：椭圆上的点到定点距离的最值）点 $P$ 在椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 上，$A(1, 0)$。求 $|PA|$ 的最小值和最大值。

解：设 $P(x, y)$，由方程 $y^2 = 1 - \dfrac{x^2}{4}$，且 $-2 \le x \le 2$。

$$|PA|^2 = (x - 1)^2 + y^2 = x^2 - 2x + 1 + 1 - \frac{x^2}{4} = \frac{3}{4}x^2 - 2x + 2.$$

这是开口向上的二次函数，对称轴 $x = \dfrac{4}{3}$，在 $[-2, 2]$ 内。

• 最小值在 $x = \dfrac{4}{3}$ 取到：$|PA|^2 = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{16}{9} - \dfrac{8}{3} + 2 = \dfrac{2}{3}$，$|PA|_{\min} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$。
• 最大值在离对称轴较远的端点 $x = -2$ 取到：$|PA|^2 = 3 + 4 + 2 = 9$，$|PA|_{\max} = 3$。

容易卡在：一是忘了 $x$ 的范围，以为最大值不存在；二是以为最近点一定是右顶点 $(2, 0)$。右顶点到 $A$ 的距离是 1，比 $\dfrac{\sqrt{6}}{3} \approx 0.82$ 大。

例 4　（场景：利用对称性）$F$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{12} = 1$ 的右焦点，过原点的直线交椭圆于 $A$、$B$ 两点。求 $|AF| + |BF|$，以及 $\triangle ABF$ 面积的最大值。

解：$a = 4$，$b = 2\sqrt{3}$，$c = 2$。设左焦点为 $F'$。

$A$、$B$ 关于原点对称，$F$、$F'$ 也关于原点对称，所以四边形 $AFBF'$ 的对角线互相平分，是平行四边形，$|BF| = |AF'|$。于是

$$|AF| + |BF| = |AF| + |AF'| = 2a = 8.$$

面积：$\triangle ABF$ 被 $x$ 轴上的线段 $OF$ 分成 $\triangle AOF$ 和 $\triangle BOF$。设 $A(x_0, y_0)$，则 $B(-x_0, -y_0)$，

$$S = \frac{1}{2}|OF| \cdot |y_0| + \frac{1}{2}|OF| \cdot |-y_0| = c|y_0| \le cb = 4\sqrt{3}.$$

当 $A$、$B$ 是短轴端点时取等号，最大值为 $4\sqrt{3}$。

容易卡在：设直线方程联立求 $A$、$B$ 坐标，计算量很大。看到“过中心的弦”就想到对称点和另一个焦点。

常用推论

• 焦半径的范围：椭圆上的点到一个焦点的距离满足 $a - c \le |PF| \le a + c$，最小值在离这个焦点近的长轴端点取到，最大值在远的长轴端点取到。推导：30.2 节证明得到 $|PF_2| = a - \dfrac{c}{a}x$，而 $-a \le x \le a$，代入两端即得。
• 通径：过焦点且垂直于长轴的弦叫通径，长 $\dfrac{2b^2}{a}$。推导：在 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 中令 $x = c$，$y^2 = b^2\left(1 - \dfrac{c^2}{a^2}\right) = \dfrac{b^4}{a^2}$，$|y| = \dfrac{b^2}{a}$。
• 焦点三角形的顶角在短轴端点处最大：$P$ 在椭圆上移动时，$\angle F_1PF_2$ 在 $P$ 为短轴端点时最大。推导：设 $|PF_1| = m$，$|PF_2| = n$，$\angle F_1PF_2 = \theta$，由 30.2 节面积公式的推导 $mn = \dfrac{2b^2}{1 + \cos\theta}$，即 $\cos\theta = \dfrac{2b^2}{mn} - 1$；由基本不等式 $mn \le \left(\dfrac{m + n}{2}\right)^2 = a^2$，等号在 $m = n$（短轴端点）时成立，此时 $\cos\theta$ 最小，$\theta$ 最大。
• 焦点三角形面积的最大值是 $bc$：$S = \dfrac{1}{2} \cdot 2c \cdot |y_P| \le bc$，$P$ 在短轴端点时取到。
• 顶点斜率积：$P(x_0, y_0)$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 上异于长轴端点 $A_1(-a, 0)$、$A_2(a, 0)$ 的点，则 $k_{PA_1} \cdot k_{PA_2} = -\dfrac{b^2}{a^2}$。推导：$k_{PA_1} \cdot k_{PA_2} = \dfrac{y_0}{x_0 + a} \cdot \dfrac{y_0}{x_0 - a} = \dfrac{y_0^2}{x_0^2 - a^2}$（$x_0 \ne \pm a$，分母不为 0），由方程 $y_0^2 = b^2\left(1 - \dfrac{x_0^2}{a^2}\right) = -\dfrac{b^2}{a^2}(x_0^2 - a^2)$，代入得 $-\dfrac{b^2}{a^2}$。焦点在 $y$ 轴上时（长轴端点 $(0, \pm a)$），同样算得 $-\dfrac{a^2}{b^2}$。

易错点

• 错在哪：椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ 的长轴长写成 5。 为什么错：5 是长半轴长 $a$，长轴是两个顶点之间的线段，长 $2a = 10$。 正确做法：带“半”字的是 $a$、$b$，不带的是 $2a$、$2b$。焦距同理是 $2c$。
• 错在哪：例 2 只写出 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$。 为什么错：$(2, 0)$ 也可以是短轴端点，题目没有说焦点在哪条轴上。 正确做法：条件里的点在坐标轴上、又没说焦点位置时，分“长轴顶点”“短轴顶点”两种情况。
• 错在哪：例 3 中化成二次函数后在全体实数上求最值，得出“最大值不存在”。 为什么错：$P$ 在椭圆上，$x$ 只能在 $[-2, 2]$ 里取。 正确做法：消元以后马上写出剩下那个变量的范围，在范围内求最值。

直观理解

椭圆是“压扁的圆”。把圆 $x^2 + y^2 = a^2$ 上每个点的纵坐标乘上 $\dfrac{b}{a}$，圆就被竖直方向压扁成椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$。这样看，范围、对称性、顶点都是从圆“继承”来的：圆关于两轴和原点对称，压扁以后仍然对称。

一句话记法：长轴管 $a$，短轴管 $b$，焦点在长轴上，短轴端点到焦点的距离是 $a$。

关联知识点

• 前置：30.2 节标准方程，所有性质都从方程读出。
• 前置：第 4 章二次函数在闭区间上的最值，例 3 这类距离最值最后都化成它。
• 前置：第 3 章基本不等式，证明短轴端点处顶角最大时用到 $mn \le \left(\dfrac{m + n}{2}\right)^2$。
• 后续：30.4 节离心率，$e = \dfrac{c}{a}$ 就是特征三角形里 $\angle OB_2F_2$ 的正弦。
• 常一起考：第 33 章直线与圆锥曲线，求弦长、面积最值时常用对称性和范围。

30.4 离心率

说明

定义：椭圆的焦距与长轴长的比叫椭圆的离心率：

$$e = \frac{c}{a}.$$

因为 $0 < c < a$，所以 $0 < e < 1$。

几种等价写法（由 $b^2 = a^2 - c^2$ 得到）：

$$e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}, \qquad \frac{b}{a} = \sqrt{1 - e^2}.$$

离心率和形状：$e$ 越接近 1，$\dfrac{b}{a}$ 越小，椭圆越扁；$e$ 越接近 0，$\dfrac{b}{a}$ 越接近 1，椭圆越接近圆。

求离心率的方法：

1. 直接法：求出 $a$、$c$（或 $a$、$b$），代入公式。
2. 齐次方程法：题目只给几何关系、不给具体数值时，把条件翻译成只含 $a$、$b$、$c$ 的等式，用 $b^2 = a^2 - c^2$ 消去 $b$，得到关于 $a$、$c$ 的齐次方程（每一项 $a$、$c$ 的次数之和相同），两边除以 $a^2$（或 $a$）得到 $e$ 的方程。
3. 求范围：把几何约束翻译成 $a$、$b$、$c$ 的不等式，同样化成 $e$ 的不等式，再和 $0 < e < 1$ 取交集。常用的几何约束：焦半径在 $[a - c, a + c]$ 内、点的坐标在 $[-a, a]$ 内、焦点三角形顶角在短轴端点处最大。

使用场景

• 方程已知，或者能直接求出 $a$、$c$（或 $a$、$b$）：直接代 $e = \dfrac{c}{a}$ 或 $e = \sqrt{1 - \dfrac{b^2}{a^2}}$。
• 题目只给角度、垂直、长度比例等几何条件，没有具体数值，问离心率的值：列 $a$、$b$、$c$ 的齐次方程。
• 题目说“椭圆上存在点 $P$ 使……“或”对任意点 $P$ 都有……“，问离心率的范围：找几何量的最值，列齐次不等式。
• 已知离心率，方程里有参数且焦点位置不确定：分焦点在 $x$ 轴、$y$ 轴两种情况。

注意点

• 解出 $e$ 的方程后，只保留 $0 < e < 1$ 的根。二次方程的另一个根常常是负数或大于 1。
• 求范围的结果要和 $0 < e < 1$ 取交集，区间的右端写成”$1)$“。
• 区间端点能不能取等号，看对应的几何情形能不能出现。比如顶角在短轴端点处恰好等于 $90°$ 时，存在点 $P$ 使 $PF_1 \perp PF_2$，端点可以取到。
• 离心率只和形状有关，和大小无关：$\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$ 和 $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{12} = 1$ 的离心率都是 $\dfrac{1}{2}$。

证明

$0 < e < 1$：由定义，常数 $2a$ 大于焦距 $2c > 0$，所以 $0 < \dfrac{c}{a} < 1$。

$e$ 刻画扁的程度：$\dfrac{b}{a} = \dfrac{\sqrt{a^2 - c^2}}{a} = \sqrt{1 - e^2}$（关键一步：把 $b$ 用 $a$、$c$ 表示后，分子分母同除以 $a$，$\dfrac{b}{a}$ 就只依赖 $e$）。$\sqrt{1 - e^2}$ 在 $(0, 1)$ 上随 $e$ 增大而减小，所以 $e$ 越大，短轴和长轴的比越小，椭圆越扁。

焦半径公式：焦点在 $x$ 轴上，$F_1$ 为左焦点、$F_2$ 为右焦点，$P(x_0, y_0)$ 在椭圆上，则

$$|PF_1| = a + ex_0, \qquad |PF_2| = a - ex_0.$$

这就是 30.2 节证明得到的 $|PF_1| = a + \dfrac{c}{a}x_0$、$|PF_2| = a - \dfrac{c}{a}x_0$，把 $\dfrac{c}{a}$ 写成 $e$。

例题

例 1　（场景：直接求离心率）求椭圆 $5x^2 + 9y^2 = 45$ 的离心率。

解：化成标准方程 $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{5} = 1$，$a^2 = 9$，$b^2 = 5$，$c^2 = 4$。所以 $a = 3$，$c = 2$，$e = \dfrac{2}{3}$。

也可以不求 $c$：$e = \sqrt{1 - \dfrac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \dfrac{5}{9}} = \dfrac{2}{3}$。

例 2　（场景：几何条件，求离心率的值）$F_1$、$F_2$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \ (a > b > 0)$ 的左、右焦点。过 $F_2$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于点 $P$，若 $\angle PF_1F_2 = 30°$，求椭圆的离心率。

解：由通径（30.3 节常用推论），$|PF_2| = \dfrac{b^2}{a}$。又 $|F_1F_2| = 2c$，在直角三角形 $PF_1F_2$ 中：

$$\tan 30° = \frac{|PF_2|}{|F_1F_2|} = \frac{b^2/a}{2c} = \frac{b^2}{2ac},$$

即 $b^2 = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}ac$。用 $b^2 = a^2 - c^2$ 消去 $b$：

$$a^2 - c^2 = \frac{2\sqrt{3}}{3}ac.$$

两边除以 $a^2$：$1 - e^2 = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}e$，整理得 $\sqrt{3}e^2 + 2e - \sqrt{3} = 0$。

$$e = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2\sqrt{3}} = \frac{-2 \pm 4}{2\sqrt{3}}.$$

舍去负根，$e = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$。

容易卡在：列出 $b^2 = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}ac$ 后不知道怎么办。记住套路：消去 $b$、除以 $a^2$。

另一种解法：用定义。直角三角形 $PF_1F_2$ 中 $\angle PF_1F_2 = 30°$，设 $|PF_2| = t$，则 $|PF_1| = 2t$，$|F_1F_2| = \sqrt{3}t$。由定义 $2a = |PF_1| + |PF_2| = 3t$，又 $2c = \sqrt{3}t$，所以

$$e = \frac{2c}{2a} = \frac{\sqrt{3}t}{3t} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

焦点三角形的三边比例能直接看出来时（有特殊角、直角），用定义 $e = \dfrac{|F_1F_2|}{|PF_1| + |PF_2|}$ 最快；三边比例看不出来时，用齐次方程法。

例 3　（场景：求离心率的范围）若椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \ (a > b > 0)$ 上存在点 $P$，使 $PF_1 \perp PF_2$（$F_1$、$F_2$ 为两焦点），求离心率的取值范围。

解：由 30.3 节常用推论，$\angle F_1PF_2$ 在 $P$ 为短轴端点 $B_2$ 时最大。存在 $P$ 使 $\angle F_1PF_2 = 90°$，当且仅当这个最大角不小于 $90°$，即 $\angle F_1B_2O \ge 45°$（$O$ 为原点）。

在直角三角形 $OB_2F_2$ 中，$\angle OB_2F_2 \ge 45°$ 等价于 $|OF_2| \ge |OB_2|$，即 $c \ge b$。所以

$$c^2 \ge a^2 - c^2, \quad 2c^2 \ge a^2, \quad e^2 \ge \frac{1}{2}.$$

结合 $0 < e < 1$，得 $\dfrac{\sqrt{2}}{2} \le e < 1$。

容易卡在：不知道“存在点 $P$“该怎么用。“存在”化成“最大值够大”，所以要先知道顶角的最大值在哪里取。

另一种解法：数形结合。$PF_1 \perp PF_2$ 等价于 $P$ 在以 $F_1F_2$ 为直径的圆 $x^2 + y^2 = c^2$ 上（直径所对的圆周角是直角）。所以问题变成：圆 $x^2 + y^2 = c^2$ 与椭圆有公共点。圆心是椭圆中心，椭圆上的点到中心的距离在 $[b, a]$ 内，所以有公共点等价于 $b \le c < a$，同样得到 $\dfrac{\sqrt{2}}{2} \le e < 1$。这种解法不需要记“顶角在短轴端点最大”，只适合直角的情形；题目换成 $60°$、$120°$ 这类角时，用主解法。

例 4　（场景：已知离心率求参数）椭圆 $\dfrac{x^2}{m} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ 的离心率为 $\dfrac{1}{2}$，求 $m$。

解：焦点位置由 $m$ 和 4 的大小决定，分两种情况。

1. $m > 4$：焦点在 $x$ 轴上，$a^2 = m$，$b^2 = 4$，$c^2 = m - 4$。由 $e^2 = \dfrac{m - 4}{m} = \dfrac{1}{4}$，得 $m = \dfrac{16}{3}$，满足 $m > 4$。
2. $0 < m < 4$：焦点在 $y$ 轴上，$a^2 = 4$，$b^2 = m$，$c^2 = 4 - m$。由 $e^2 = \dfrac{4 - m}{4} = \dfrac{1}{4}$，得 $m = 3$，满足 $0 < m < 4$。

所以 $m = \dfrac{16}{3}$ 或 $m = 3$。

容易卡在：默认 $m > 4$，只得出一个答案。

常用推论

• $e = \sqrt{1 - \dfrac{b^2}{a^2}}$，$\dfrac{b}{a} = \sqrt{1 - e^2}$。由 $b^2 = a^2 - c^2$ 两边除以 $a^2$ 得到。
• 焦半径公式：$|PF_1| = a + ex_0$，$|PF_2| = a - ex_0$（焦点在 $x$ 轴上，$F_1$ 在左）。推导见本节“证明”。
• 短轴端点处的半顶角：$\sin\angle OB_2F_2 = \dfrac{c}{a} = e$。推导：特征三角形 $OB_2F_2$ 中，$|OF_2| = c$，斜边 $|B_2F_2| = a$。由此，椭圆上存在点 $P$ 使 $\angle F_1PF_2 = \theta$，等价于 $\sin\dfrac{\theta}{2} \le e$（$0 < \theta < \pi$）。
• 由定义：$e = \dfrac{2c}{2a} = \dfrac{|F_1F_2|}{|PF_1| + |PF_2|}$，$P$ 是椭圆上任一点。知道焦点三角形三边比例时直接用。

易错点

• 错在哪：例 2 解出 $e = \dfrac{-2 \pm 4}{2\sqrt{3}}$ 后，两个根都写上。 为什么错：离心率满足 $0 < e < 1$，负根 $-\sqrt{3}$ 不合题意。 正确做法：解出来马上用 $0 < e < 1$ 筛选。
• 错在哪：例 3 答成 $e \ge \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。 为什么错：椭圆的离心率小于 1，这个条件题目不写，答案里要写。 正确做法：求范围的最后一步和 $0 < e < 1$ 取交集，写成 $\left[\dfrac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$。
• 错在哪：例 4 只算 $m > 4$ 的情况。 为什么错：方程里 $x^2$ 的分母是参数，可能比 4 大也可能比 4 小，焦点位置不同，$a^2$、$b^2$ 也不同。 正确做法：分母含参数时，先分“谁是 $a^2$“两种情况，每种解出后检验是否满足假设。
• 错在哪：列条件时得到 $b = \sqrt{2}c$，直接写 $e = \dfrac{c}{b} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。 为什么错：离心率是 $\dfrac{c}{a}$，不是 $\dfrac{c}{b}$。由 $a^2 = b^2 + c^2 = 3c^2$，$e = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$。 正确做法：得到 $b$、$c$ 的关系后，先换成 $a$、$c$ 的关系再求 $e$。

直观理解

离心率说的是“焦点离中心有多远”：$e = \dfrac{c}{a}$ 是中心到焦点的距离占长半轴的比例。焦点紧挨中心（$e$ 接近 0），绳子两端几乎钉在一点，画出来接近圆；焦点快到长轴端点（$e$ 接近 1），绳子几乎被拉直，画出来又扁又长。

一句话记法：$e$ 越大越扁，$e$ 越小越圆。 求离心率就是找 $a$ 和 $c$ 的比，$b$ 只是中间量，最后都要消掉。

关联知识点

• 前置：30.2 节、30.3 节，$a$、$b$、$c$ 的关系和特征三角形是一切离心率问题的出发点。
• 前置：第 4 章一元二次方程，齐次方程法最后要解 $e$ 的二次方程或二次不等式。
• 前置：第 11 章三角函数，$\sin\angle OB_2F_2 = e$ 把离心率和角联系起来。
• 后续：第 31 章双曲线，离心率同样是 $\dfrac{c}{a}$，但 $e > 1$，求法完全相同。
• 后续：第 32 章抛物线，离心率等于 1，三种圆锥曲线由 $e$ 统一区分。
• 常一起考：第 33 章直线与圆锥曲线，中点弦斜率、焦点弦等条件常用来求离心率。

30.5 知识点之间的关系

本章三个知识点是一条线：定义（30.2）给出 $a$、$c$ 的意义，推导标准方程时引入 $b$，三者满足 $a^2 = b^2 + c^2$；几何性质（30.3）是从标准方程读出 $a$、$b$、$c$ 在图上的位置；离心率（30.4）用 $a$、$c$ 的比刻画形状。

焦点三角形把三个知识点连在一起：周长和面积公式靠定义和余弦定理，顶角的最大值靠几何性质，最大角又反过来决定离心率的范围。

考试里的典型组合是：小题给几何条件求离心率（30.4），大题第一问由离心率、顶点或焦点三角形周长求标准方程（30.2、30.3），第二问联立直线（第 33 章）。所以 $a$、$b$、$c$、$e$ 四个量之间的换算要熟到不假思索。

30.6 自测

1. 椭圆 $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{7} = 1$ 上一点 $P$ 到一个焦点的距离为 3，求它到另一个焦点的距离。
2. 方程 $\dfrac{x^2}{k - 2} + \dfrac{y^2}{6 - k} = 1$ 表示椭圆，求 $k$ 的取值范围。
3. 求椭圆 $9x^2 + y^2 = 36$ 的长轴长和焦点坐标。
4. $F_1$、$F_2$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ 的两个焦点，点 $P$ 在椭圆上且 $PF_1 \perp PF_2$，求 $\triangle F_1PF_2$ 的面积。
5. 椭圆的短轴长等于焦距的 2 倍，求离心率。
6. 椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \ (a > b > 0)$ 上存在点 $P$ 使 $\angle F_1PF_2 = 120°$，求离心率的取值范围。

答案：1. 5；2. $2 < k < 6$ 且 $k \ne 4$；3. 长轴长 12，焦点 $(0, -4\sqrt{2})$、$(0, 4\sqrt{2})$；4. 9；5. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$；6. $\left[\dfrac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$。

30.7 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，有人教版选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程的同步课程和教材电子版。
• GeoGebra 计算器：免费的在线作图工具，输入椭圆方程并用滑动条改变 a、b，可以直接看到离心率和焦点位置怎么变。
• Wolfram MathWorld · Ellipse：椭圆的英文定义、方程和各种性质的汇总，查英文术语时用。
• 维基百科 · 椭圆：椭圆的定义、离心率、焦点性质和画法，比课本多了光学性质和历史背景。