第 33 章 · 直线与圆锥曲线

项目	内容
课标主题	选择性必修 · 几何与代数 · 平面解析几何（圆锥曲线）
人教 A 版	选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程（3.1 椭圆、3.2 双曲线、3.3 抛物线）。教材没有单列“直线与圆锥曲线”一节，这部分方法分散在各节里
考试地位	必考。新高考卷的解答题几乎每年有一道解析几何大题，第一问多求曲线方程，第二问就用本章的方法；小题也常考弦长、中点弦
前置知识	第 4 章一元二次方程的判别式和根与系数的关系，第 28 章直线的方程，第 30–32 章椭圆、双曲线、抛物线

前三章分别研究椭圆、双曲线、抛物线本身，这一章研究一条直线和它们相交以后的事：交点几个、弦多长、中点在哪、哪些量不变、哪些量最大。几乎所有题都走同一条路：设直线、联立、判别式、韦达定理、把条件翻译成坐标。丢分不在思路，而在三处：忘了斜率不存在的直线，忘了 $\Delta > 0$ 的限制，化简时算错。

33.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
33.2 联立与判别式	直线代入曲线得一元二次方程，$\Delta$ 判断交点个数，韦达定理把两个交点“设而不求”	必考，是后面所有知识点的第一步
33.3 弦长公式	$\lvert AB \rvert = \sqrt{1 + k^2}\,\lvert x_1 - x_2 \rvert$，再用韦达定理算 $\lvert x_1 - x_2 \rvert$	常考，常和三角形面积一起考
33.4 中点弦	两个端点的方程相减（点差法），得到弦的斜率和中点坐标的关系	常考，小题多
33.5 定点与定值	把条件化成参数之间的关系，看出直线总过某点、某个量与参数无关	常考，大题第二问
33.6 最值与范围	目标量写成一个参数的函数，$\Delta > 0$ 给出参数范围，再求最值	常考，大题第二问

33.2 联立与判别式

说明

联立：把直线方程代入圆锥曲线方程，消去一个未知数（常消去 $y$），得到关于另一个未知数的方程

$$Ax^2 + Bx + C = 0.$$

二次项系数 $A \ne 0$ 时，用判别式 $\Delta = B^2 - 4AC$ 判断位置关系：

$\Delta$	方程的实根	公共点	位置关系
$\Delta > 0$	两个不等实根	两个	相交
$\Delta = 0$	两个相等实根	一个	相切
$\Delta < 0$	没有实根	没有	相离

二次项系数 $A = 0$ 时，方程是一次方程，只有一个公共点，但这时直线不是切线，是“穿过”曲线。这种情况只出现在两处：

• 双曲线：直线平行于渐近线；
• 抛物线：直线平行于（或就是）对称轴。

椭圆联立后二次项系数总是正的，不会出现这种情况。

设而不求：设两个交点为 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$，不解出它们，而是用韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）

$$x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}, \qquad x_1 x_2 = \frac{C}{A}$$

把题目要的量（弦长、中点、数量积、斜率……）写成 $x_1 + x_2$ 和 $x_1 x_2$ 的式子，整体代入。

设直线的两种写法：

写法	包含的直线	漏掉的直线	什么时候用
$y = kx + m$	所有斜率存在的直线	竖直线 $x = n$	一般情况；直线过 $y$ 轴上已知点时
$x = ty + n$	所有不水平的直线	水平线 $y = m$	直线过 $x$ 轴上已知点 $(n, 0)$ 时；抛物线 $y^2 = 2px$

两种写法都会漏掉一类直线，漏掉的那类要单独看一眼。

整个解题过程是固定的骨架：

使用场景

• 判断直线和椭圆的位置关系，或已知公共点个数求参数：题目出现“相交”“有两个公共点”“没有公共点”，就联立后看 $\Delta$。
• 求曲线的切线：题目出现“相切”“切线”而且已知切线的斜率或切线经过的点，就令 $\Delta = 0$。
• 直线与双曲线、抛物线“只有一个公共点”：除了 $\Delta = 0$，还要考虑二次项系数为 0。
• 条件涉及两个交点坐标的和或积：题目出现 $OA \perp OB$、$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$、斜率之和等，就设而不求，用韦达定理。

注意点

• 联立以后先看二次项系数能不能为 0，再写判别式。双曲线和抛物线的题，这一步最容易漏。
• 设 $y = kx + m$ 时，竖直线 $x = n$ 没包括进来，要单独讨论；设 $x = ty + n$ 时，水平线没包括进来。
• 韦达定理的前提是方程有两个实根。用韦达定理求出参数后，要回头检查 $\Delta > 0$ 是否成立。
• 消 $x$ 还是消 $y$，看哪个简单：抛物线 $y^2 = 2px$ 常消去 $x$，得到关于 $y$ 的方程。
• 对椭圆来说，“只有一个公共点”就是相切；对双曲线和抛物线，“只有一个公共点”不一定是相切。

证明

结论 1：斜率存在时，公共点的个数等于联立后方程不同实根的个数。

公共点 $(x, y)$ 要同时满足直线方程和曲线方程。直线是 $y = kx + m$，所以公共点的纵坐标由横坐标唯一确定（关键一步：直线上的点和它的横坐标一一对应，所以“有几个公共点”就等于“有几个 $x$ 能让 $(x, kx + m)$ 落在曲线上”）。把 $y = kx + m$ 代入曲线方程得到的方程，它的每个实根 $x_0$ 给出一个公共点 $(x_0, kx_0 + m)$，不同的根给出不同的点。

于是公共点的个数就是方程不同实根的个数：$A \ne 0$ 时由 $\Delta$ 的符号决定（第 4 章）；$A = 0$、$B \ne 0$ 时是一次方程，恰有一个根。

高中把 $\Delta = 0$ 作为直线与椭圆（也包括与抛物线、双曲线联立后二次项系数不为 0 的情形）相切的判据。严格地说“相切”要用导数定义：切点处直线的斜率等于曲线在该点的导数，第 24 章会讲；对抛物线 $y = ax^2$ 可以直接验证两种说法一致（见例 2 的另一种解法）。

结论 2：韦达定理。 设 $A \ne 0$，$\Delta \ge 0$，两根为

$$x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{\Delta}}{2A}.$$

两式相加，根号部分抵消，得 $x_1 + x_2 = -\dfrac{B}{A}$。两式相乘，用平方差公式：

$$x_1 x_2 = \frac{B^2 - \Delta}{4A^2} = \frac{B^2 - (B^2 - 4AC)}{4A^2} = \frac{C}{A}.$$

例题

例 1　（场景：判断位置关系、求参数）已知直线 $y = x + m$ 和椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$。$m$ 取什么值时，直线与椭圆有两个公共点？一个公共点？没有公共点？

解：把 $y = x + m$ 代入椭圆方程，两边乘 4：

$$x^2 + 4(x + m)^2 = 4,$$

整理得

$$5x^2 + 8mx + 4m^2 - 4 = 0.$$

二次项系数是 5，不为 0。判别式

$$\Delta = (8m)^2 - 4 \times 5 \times (4m^2 - 4) = 64m^2 - 80m^2 + 80 = 16(5 - m^2).$$

• $\Delta > 0$，即 $-\sqrt{5} < m < \sqrt{5}$ 时，有两个公共点；
• $\Delta = 0$，即 $m = \pm\sqrt{5}$ 时，有一个公共点（相切）；
• $\Delta < 0$，即 $m < -\sqrt{5}$ 或 $m > \sqrt{5}$ 时，没有公共点。

容易卡在：展开 $4(x + m)^2$ 时漏乘 4，或者算 $\Delta$ 时把 $4m^2 - 4$ 整体乘错。

例 2　（场景：求切线）求抛物线 $x^2 = 4y$ 的斜率为 1 的切线方程和切点。

解：设切线为 $y = x + m$，代入 $x^2 = 4y$：

$$x^2 - 4x - 4m = 0.$$

相切要求 $\Delta = 16 + 16m = 0$，得 $m = -1$。切线方程是 $y = x - 1$。此时方程为 $x^2 - 4x + 4 = 0$，$x = 2$，$y = 1$，切点是 $(2, 1)$。

另一种解法：抛物线 $x^2 = 4y$ 就是函数 $y = \dfrac{x^2}{4}$ 的图像，求导得 $y' = \dfrac{x}{2}$（第 24 章）。切线斜率为 1，令 $\dfrac{x}{2} = 1$，得切点横坐标 $x = 2$，切点 $(2, 1)$，切线 $y - 1 = x - 2$，即 $y = x - 1$。曲线能写成 $y = f(x)$ 时（开口向上或向下的抛物线）用导数更快，还直接给出切点；椭圆、双曲线和开口向左右的抛物线不能整体写成一个函数，用判别式更通用。

例 3　（场景：只有一个公共点）过点 $P(0, 1)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $x^2 - y^2 = 1$ 只有一个公共点，求 $l$ 的斜率。

解：竖直线 $x = 0$ 与双曲线没有公共点（$-y^2 = 1$ 无解），所以 $l$ 的斜率存在。设 $l$：$y = kx + 1$，代入双曲线方程：

$$x^2 - (kx + 1)^2 = 1,$$

整理得

$$(1 - k^2)x^2 - 2kx - 2 = 0.$$

分两种情况。

1. $1 - k^2 = 0$，即 $k = \pm 1$：方程变成 $-2kx - 2 = 0$，$x = -\dfrac{1}{k}$，恰有一个公共点。这两条直线平行于渐近线 $y = \pm x$。
2. $1 - k^2 \ne 0$：只有一个公共点要求 $\Delta = 0$，即

$$\Delta = 4k^2 + 8(1 - k^2) = 8 - 4k^2 = 0,$$

得 $k = \pm\sqrt{2}$，这两条是切线。

所以 $k$ 的值为 $\pm 1$ 或 $\pm\sqrt{2}$，共四条直线。

容易卡在：只写 $\Delta = 0$，漏掉 $k = \pm 1$ 两条平行于渐近线的直线。

例 4　（场景：设而不求）直线 $y = x + m$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 交于 $A$、$B$ 两点，$O$ 为原点，且 $OA \perp OB$，求 $m$。

解：由例 1，联立得 $5x^2 + 8mx + 4m^2 - 4 = 0$，有两个交点要求 $-\sqrt{5} < m < \sqrt{5}$。设 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$，由韦达定理

$$x_1 + x_2 = -\frac{8m}{5}, \qquad x_1 x_2 = \frac{4m^2 - 4}{5}.$$

$y_1 y_2$ 也用它们表示：

$$y_1 y_2 = (x_1 + m)(x_2 + m) = x_1 x_2 + m(x_1 + x_2) + m^2 = \frac{4m^2 - 4 - 8m^2 + 5m^2}{5} = \frac{m^2 - 4}{5}.$$

$OA \perp OB$ 等价于 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$，即 $x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$：

$$\frac{4m^2 - 4}{5} + \frac{m^2 - 4}{5} = \frac{5m^2 - 8}{5} = 0,$$

得 $m^2 = \dfrac{8}{5}$，$m = \pm\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$。检查：$\dfrac{8}{5} < 5$，满足 $\Delta > 0$。

所以 $m = \pm\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$。

容易卡在：把 $y_1 y_2$ 写成 $x_1 x_2$ 加常数，忘了展开 $(x_1 + m)(x_2 + m)$ 里的交叉项 $m(x_1 + x_2)$。

常用推论

• 直线 $y = kx + m$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 相切 $\iff m^2 = a^2k^2 + b^2$；相交 $\iff m^2 < a^2k^2 + b^2$。推导：联立得 $(b^2 + a^2k^2)x^2 + 2a^2kmx + a^2m^2 - a^2b^2 = 0$，化简判别式得 $\Delta = 4a^2b^2(a^2k^2 + b^2 - m^2)$。
• 直线 $y = kx + m$（$k \ne \pm\dfrac{b}{a}$）与双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 相切 $\iff m^2 = a^2k^2 - b^2$。推导：联立得 $(b^2 - a^2k^2)x^2 - 2a^2kmx - a^2m^2 - a^2b^2 = 0$，$\Delta = 4a^2b^2(m^2 + b^2 - a^2k^2)$。
• 直线 $y = kx + m$（$k \ne 0$）与抛物线 $y^2 = 2px$ 相切 $\iff p = 2km$。推导：把 $x = \dfrac{y - m}{k}$ 代入得 $ky^2 - 2py + 2pm = 0$，$\Delta = 4p^2 - 8kpm$。
• $OA \perp OB \iff x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$；直线为 $y = kx + m$ 时，$y_1 y_2 = k^2 x_1 x_2 + km(x_1 + x_2) + m^2$（展开 $(kx_1 + m)(kx_2 + m)$ 即得）。

易错点

• 错在哪：直线与双曲线（或抛物线）只有一个公共点，只解 $\Delta = 0$。 为什么错：二次项系数为 0 时方程是一次的，也只有一个公共点，这时直线平行于渐近线（或对称轴），不是切线。 正确做法：联立后先讨论二次项系数为 0，再讨论 $\Delta = 0$，两部分合起来。
• 错在哪：设直线为 $y = kx + m$ 后直接往下做，最后的答案漏了一条竖直线。 为什么错：$y = kx + m$ 表示不了竖直线，而竖直线可能正好满足条件。 正确做法：设直线前先问“竖直线行不行”，单独代进去算一次；或者改设 $x = ty + n$。
• 错在哪：用韦达定理解出参数就作为答案，没检查 $\Delta$。 为什么错：韦达定理只在方程有两个实根时才描述交点。$\Delta < 0$ 时 $x_1 + x_2$、$x_1 x_2$ 照样能算，但根本没有交点。 正确做法：联立后先写出 $\Delta > 0$ 对应的参数范围，最后的答案要落在这个范围里。

直观理解

把一条直线平行移动：它先和椭圆不沾边（相离），慢慢靠近，碰到一下（相切），再往里走就穿过去（相交，两个交点）。$\Delta$ 就是记录“直线走到哪一步了”的计数器：负数没碰到，零刚好碰到，正数穿过去了。

双曲线的渐近线方向是一个特殊方向：沿这个方向的直线“追不上”双曲线的一支的尽头，只能从另一头穿进去一次，所以只交一点却不相切。

关联知识点

• 前置：第 4 章一元二次方程，判别式与根的个数、根与系数的关系，本节全部建立在它上面。
• 前置：第 28 章直线的方程，斜截式 $y = kx + m$ 和斜率不存在的直线。
• 前置：第 30–32 章椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，联立用的就是它们。
• 后续：33.3–33.6 的每个知识点都从“联立、韦达”开始。
• 常一起考：第 15 章数量积，$OA \perp OB$ 翻译成 $x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$。
• 常一起考：第 24 章导数的几何意义，抛物线 $y = ax^2$ 的切线可以用导数求。

33.3 弦长公式

说明

直线与曲线相交于 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$，线段 $AB$ 叫弦，它的长度叫弦长。

直线的写法	弦长公式
$y = kx + m$	$\lvert AB \rvert = \sqrt{1 + k^2}\,\lvert x_1 - x_2 \rvert$
$y = kx + m$，$k \ne 0$	$\lvert AB \rvert = \sqrt{1 + \dfrac{1}{k^2}}\,\lvert y_1 - y_2 \rvert$
$x = ty + n$	$\lvert AB \rvert = \sqrt{1 + t^2}\,\lvert y_1 - y_2 \rvert$

其中 $\lvert x_1 - x_2 \rvert$ 不用解出两根，用韦达定理算：

$$|x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2} = \frac{\sqrt{\Delta}}{|A|}.$$

三角形面积：弦 $AB$ 和一个定点 $P$ 组成的三角形，面积有两种算法：

• $S = \dfrac{1}{2}\lvert AB \rvert \cdot d$，$d$ 是 $P$ 到直线 $AB$ 的距离（第 28 章点到直线的距离公式）；
• 直线 $AB$ 与 $x$ 轴交于 $Q(n, 0)$，$P$ 也在 $x$ 轴上时，以 $PQ$ 为公共底边把三角形分成上下两块：$S = \dfrac{1}{2}\lvert PQ \rvert \cdot \lvert y_1 - y_2 \rvert$。

使用场景

• 已知直线和曲线，求弦长：题目问”$\lvert AB \rvert$““截得的弦长”，就联立、韦达、套公式。
• 已知弦长求参数：题目给出弦长的数值，求直线方程里的 $k$ 或 $m$，就把弦长写成参数的式子，列方程。
• 求以弦为一边的三角形面积：题目问”$\triangle OAB$ 的面积”（$O$ 为原点或焦点），就用 $\dfrac{1}{2}\lvert AB \rvert \cdot d$，或以 $x$ 轴上的线段为底分割。

注意点

• 公式里的 $\sqrt{1 + k^2}$ 不能丢：$\lvert x_1 - x_2 \rvert$ 只是弦在 $x$ 轴上的投影长。
• 用 $\dfrac{\sqrt{\Delta}}{\lvert A \rvert}$ 时，$\Delta$ 和 $A$ 必须是同一个方程的。方程两边同乘了某个数，$\Delta$ 和 $A$ 一起变，结果不变；但不能一个用化简前的、一个用化简后的。
• 斜率不存在的弦（竖直弦）直接把 $x = n$ 代入曲线求出两个纵坐标，相减即可。
• 过焦点的弦（焦点弦）用曲线的定义往往更快：抛物线 $y^2 = 2px$ 的焦点弦 $\lvert AB \rvert = x_1 + x_2 + p$（第 32 章），椭圆用焦半径公式（第 30 章）。

证明

结论：$\lvert AB \rvert = \sqrt{1 + k^2}\,\lvert x_1 - x_2 \rvert$。

由两点间距离公式，

$$|AB| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}.$$

$A$、$B$ 都在直线 $y = kx + m$ 上，所以 $y_1 = kx_1 + m$，$y_2 = kx_2 + m$，相减得

$$y_1 - y_2 = k(x_1 - x_2)$$

（关键一步：两点在同一条直线上，纵坐标之差等于斜率乘横坐标之差，这正是斜率的定义）。代入：

$$|AB| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + k^2(x_1 - x_2)^2} = \sqrt{1 + k^2}\,|x_1 - x_2|.$$

再由 $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = \dfrac{B^2}{A^2} - \dfrac{4C}{A} = \dfrac{B^2 - 4AC}{A^2}$，得 $\lvert x_1 - x_2 \rvert = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{\lvert A \rvert}$。

用 $x = ty + n$ 时同理：$x_1 - x_2 = t(y_1 - y_2)$，所以 $\lvert AB \rvert = \sqrt{1 + t^2}\,\lvert y_1 - y_2 \rvert$。

例题

例 1　（场景：求弦长）直线 $y = x - 1$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$ 交于 $A$、$B$ 两点，求 $\lvert AB \rvert$。

解：代入椭圆方程，两边乘 12：

$$3x^2 + 4(x - 1)^2 = 12,$$

整理得 $7x^2 - 8x - 8 = 0$。$\Delta = 64 + 224 = 288 > 0$。由韦达定理，$x_1 + x_2 = \dfrac{8}{7}$，$x_1 x_2 = -\dfrac{8}{7}$。

$$(x_1 - x_2)^2 = \frac{64}{49} + \frac{32}{7} = \frac{288}{49}, \qquad |x_1 - x_2| = \frac{12\sqrt{2}}{7}.$$

斜率 $k = 1$，所以

$$|AB| = \sqrt{1 + 1^2} \cdot \frac{12\sqrt{2}}{7} = \frac{24}{7}.$$

另一种解法：椭圆 $a = 2$，$c = 1$，右焦点 $F(1, 0)$ 正好在直线 $y = x - 1$ 上，$AB$ 是焦点弦。由焦半径公式（第 30 章），椭圆上一点 $(x_0, y_0)$ 到右焦点的距离是 $a - ex_0 = 2 - \dfrac{x_0}{2}$。所以

$$|AB| = |AF| + |BF| = 4 - \frac{x_1 + x_2}{2} = 4 - \frac{4}{7} = \frac{24}{7}.$$

只用到 $x_1 + x_2$，不用算 $\lvert x_1 - x_2 \rvert$ 和开方。弦过焦点时用焦半径省事；弦不过焦点就只能用弦长公式。

例 2　（场景：已知弦长求参数）直线 $y = x + m$ 被椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 截得的弦长为 $\dfrac{8\sqrt{2}}{5}$，求 $m$。

解：由 33.2 例 1，联立得 $5x^2 + 8mx + 4m^2 - 4 = 0$，$\Delta = 16(5 - m^2)$，要求 $-\sqrt{5} < m < \sqrt{5}$。

$$|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|A|} = \frac{4\sqrt{5 - m^2}}{5}, \qquad |AB| = \sqrt{2} \cdot \frac{4\sqrt{5 - m^2}}{5}.$$

令 $\dfrac{4\sqrt{2}}{5}\sqrt{5 - m^2} = \dfrac{8\sqrt{2}}{5}$，得 $\sqrt{5 - m^2} = 2$，$m^2 = 1$，$m = \pm 1$，都在范围内。

所以 $m = 1$ 或 $m = -1$。

例 3　（场景：求三角形面积）过抛物线 $y^2 = 4x$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $A$、$B$ 两点，$O$ 为原点。若 $\triangle OAB$ 的面积为 $2\sqrt{2}$，求直线 $l$ 的方程。

解：焦点 $F(1, 0)$。直线 $l$ 不能是水平线（水平线与抛物线只有一个交点），所以设 $l$：$x = ty + 1$。代入 $y^2 = 4x$：

$$y^2 - 4ty - 4 = 0.$$

$\Delta = 16t^2 + 16 > 0$ 恒成立。由韦达定理，$y_1 + y_2 = 4t$，$y_1 y_2 = -4$，

$$|y_1 - y_2| = \sqrt{(y_1 + y_2)^2 - 4y_1 y_2} = \sqrt{16t^2 + 16} = 4\sqrt{t^2 + 1}.$$

以 $OF$ 为公共底边，$\triangle OAB$ 被 $x$ 轴分成 $\triangle OFA$ 和 $\triangle OFB$，高分别是 $\lvert y_1 \rvert$、$\lvert y_2 \rvert$，而 $y_1$、$y_2$ 异号（$y_1 y_2 = -4 < 0$），所以

$$S = \frac{1}{2}|OF| \cdot |y_1 - y_2| = \frac{1}{2} \times 1 \times 4\sqrt{t^2 + 1} = 2\sqrt{t^2 + 1}.$$

令 $2\sqrt{t^2 + 1} = 2\sqrt{2}$，得 $t = \pm 1$。直线 $l$ 为 $x = y + 1$ 或 $x = -y + 1$，即 $x - y - 1 = 0$ 或 $x + y - 1 = 0$。

容易卡在：设成 $y = k(x - 1)$ 也能做，但要先算弦长再算点到直线距离，计算量大得多。直线过 $x$ 轴上的已知点时，设 $x = ty + n$ 并以 $x$ 轴上的线段为底，最省事。

常用推论

• $\lvert AB \rvert = \sqrt{1 + k^2} \cdot \dfrac{\sqrt{\Delta}}{\lvert A \rvert}$，$\Delta$ 和 $A$ 是联立后关于 $x$ 的方程的判别式和二次项系数。推导见本节“证明”。
• 抛物线 $y^2 = 2px$ 的焦点弦：$\lvert AB \rvert = x_1 + x_2 + p$。推导：由抛物线定义，$\lvert AF \rvert = x_1 + \dfrac{p}{2}$，$\lvert BF \rvert = x_2 + \dfrac{p}{2}$，相加（详见第 32 章）。
• 椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦）长 $\dfrac{2b^2}{a}$。推导：把 $x = c$ 代入 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，得 $y^2 = b^2 \cdot \dfrac{a^2 - c^2}{a^2} = \dfrac{b^4}{a^2}$，$\lvert y \rvert = \dfrac{b^2}{a}$，弦长是它的 2 倍。双曲线的通径同样是 $\dfrac{2b^2}{a}$。
• 直线 $x = ty + n$ 与曲线交于 $A$、$B$，$P$ 在 $x$ 轴上，则 $S_{\triangle PAB} = \dfrac{1}{2}\lvert PQ \rvert \cdot \lvert y_1 - y_2 \rvert$，$Q(n, 0)$。推导见例 3。

易错点

• 错在哪：弦长写成 $\lvert x_1 - x_2 \rvert$，忘了乘 $\sqrt{1 + k^2}$。 为什么错：$\lvert x_1 - x_2 \rvert$ 是弦在 $x$ 轴上投影的长度，只有水平弦才等于弦长。 正确做法：记住直角三角形：斜边 $=\sqrt{1 + k^2} \times$ 水平直角边。
• 错在哪：$\lvert x_1 - x_2 \rvert$ 写成 $\sqrt{\Delta}$。 为什么错：$\lvert x_1 - x_2 \rvert = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{\lvert A \rvert}$，二次项系数不是 1 时要除以它。 正确做法：稳妥起见，用 $\sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2}$ 来算，不容易错。
• 错在哪：设 $x = ty + n$ 后，弦长写成 $\sqrt{1 + t^2}\,\lvert x_1 - x_2 \rvert$。 为什么错：$x = ty + n$ 中 $t$ 是”$x$ 对 $y$ 的变化率”，对应的是 $\lvert y_1 - y_2 \rvert$。 正确做法：设 $x = ty + n$ 就消去 $x$，得关于 $y$ 的方程，用 $\sqrt{1 + t^2}\,\lvert y_1 - y_2 \rvert$。

直观理解

弦 $AB$ 是一个直角三角形的斜边：水平直角边是 $\lvert x_1 - x_2 \rvert$，竖直直角边是 $\lvert k \rvert \cdot \lvert x_1 - x_2 \rvert$，用勾股定理就得到弦长公式。$\sqrt{1 + k^2}$ 就是“斜边比水平边”，也等于 $\dfrac{1}{\lvert \cos\theta \rvert}$，$\theta$ 是直线的倾斜角。直线越陡，这个倍数越大。

关联知识点

• 前置：第 28 章两点间距离公式和点到直线的距离公式。
• 前置：33.2 联立与判别式，$\lvert x_1 - x_2 \rvert$ 由韦达定理算出。
• 常一起考：第 30 章焦半径公式、第 32 章抛物线焦点弦，过焦点的弦用定义更快。
• 后续：33.6 最值与范围，弦长和面积是最常见的求最值对象。

33.4 中点弦

说明

弦 $AB$ 的中点为 $M(x_0, y_0)$，即 $x_1 + x_2 = 2x_0$，$y_1 + y_2 = 2y_0$。弦的斜率 $k_{AB}$ 和中点坐标之间有固定的关系：

曲线	关系（$x_0 \ne 0$，$y_0 \ne 0$）	用直线 $OM$ 的斜率写
椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	$k_{AB} = -\dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$	$k_{AB} \cdot k_{OM} = -\dfrac{b^2}{a^2}$
椭圆 $\dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1$	$k_{AB} = -\dfrac{a^2 x_0}{b^2 y_0}$	$k_{AB} \cdot k_{OM} = -\dfrac{a^2}{b^2}$
双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	$k_{AB} = \dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$	$k_{AB} \cdot k_{OM} = \dfrac{b^2}{a^2}$
抛物线 $y^2 = 2px$	$k_{AB} = \dfrac{p}{y_0}$	（与 $x_0$ 无关）

得到这些关系的方法叫点差法：把两个端点的坐标分别代入曲线方程，两式相减。

使用场景

• 已知弦的中点，求弦所在直线：题目出现“以 $M$ 为中点的弦”，曲线是椭圆或抛物线，就用点差法求斜率，再用点斜式。
• 双曲线的中点弦：点差法求出直线后，必须联立检验它与双曲线确有两个交点。
• 求中点的轨迹：题目问“一组平行弦的中点”或“斜率为定值的弦的中点在什么线上”，点差法直接给出中点满足的方程。

注意点

• 点差法要求 $x_1 \ne x_2$（弦不竖直），所以中点在 $x$ 轴上、弦竖直的情况要单独看。
• 点差法只用了”$A$、$B$ 在曲线上，$M$ 是中点”，没有用“直线与曲线确实交于两点”。所以求出的直线是必要条件：
  • 椭圆：中点 $M$ 在椭圆内部（$\dfrac{x_0^2}{a^2} + \dfrac{y_0^2}{b^2} < 1$）时，过 $M$ 的直线一定与椭圆交于两点，不用检验；
  • 抛物线 $y^2 = 2px$：中点在开口内部（$y_0^2 < 2px_0$）时一定存在；
  • 双曲线：没有简单判据，必须联立检验 $\Delta > 0$。
• 焦点在 $y$ 轴上的椭圆，$a^2$、$b^2$ 的位置要换过来，不要死记，现场相减最可靠。

证明

结论：椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 的弦 $AB$（$x_1 \ne x_2$）中点为 $M(x_0, y_0)$，则 $k_{AB} = -\dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$（$y_0 \ne 0$）。

$A$、$B$ 都在椭圆上：

$$\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1, \qquad \frac{x_2^2}{a^2} + \frac{y_2^2}{b^2} = 1.$$

两式相减，右边的 1 消掉（关键一步：相减后只剩平方差，平方差恰好分解出 $x_1 - x_2$ 和 $x_1 + x_2$，前者联系斜率，后者联系中点）：

$$\frac{(x_1 + x_2)(x_1 - x_2)}{a^2} + \frac{(y_1 + y_2)(y_1 - y_2)}{b^2} = 0.$$

两边除以 $x_1 - x_2$（不为 0），并代入 $x_1 + x_2 = 2x_0$，$y_1 + y_2 = 2y_0$：

$$\frac{2x_0}{a^2} + \frac{2y_0}{b^2} \cdot \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = 0,$$

即 $\dfrac{x_0}{a^2} + \dfrac{y_0}{b^2}k_{AB} = 0$，解出 $k_{AB} = -\dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$。又 $k_{OM} = \dfrac{y_0}{x_0}$（$x_0 \ne 0$），所以 $k_{AB} \cdot k_{OM} = -\dfrac{b^2}{a^2}$。

双曲线只是把 $\dfrac{y^2}{b^2}$ 前的加号换成减号，结论变号。抛物线 $y^2 = 2px$：两式相减得 $(y_1 + y_2)(y_1 - y_2) = 2p(x_1 - x_2)$，除以 $x_1 - x_2$ 得 $2y_0 k_{AB} = 2p$，$k_{AB} = \dfrac{p}{y_0}$。

例题

例 1　（场景：已知中点求弦所在直线）求椭圆 $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{4} = 1$ 中以 $M(2, 1)$ 为中点的弦所在直线的方程。

解：$\dfrac{4}{16} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2} < 1$，$M$ 在椭圆内部，这样的弦存在。

设弦的端点为 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$，则 $\dfrac{x_1^2}{16} + \dfrac{y_1^2}{4} = 1$，$\dfrac{x_2^2}{16} + \dfrac{y_2^2}{4} = 1$。相减：

$$\frac{(x_1 + x_2)(x_1 - x_2)}{16} + \frac{(y_1 + y_2)(y_1 - y_2)}{4} = 0.$$

代入 $x_1 + x_2 = 4$，$y_1 + y_2 = 2$，除以 $x_1 - x_2$：

$$\frac{4}{16} + \frac{2}{4}k = 0, \qquad k = -\frac{1}{2}.$$

直线方程为 $y - 1 = -\dfrac{1}{2}(x - 2)$，即 $x + 2y - 4 = 0$。（它与椭圆交于 $(0, 2)$ 和 $(4, 0)$，中点正是 $(2, 1)$。）

另一种解法：设直线 $y - 1 = k(x - 2)$，代入椭圆方程，两边乘 16：

$$x^2 + 4(kx + 1 - 2k)^2 = 16,$$

整理得 $(1 + 4k^2)x^2 + 8k(1 - 2k)x + 4(1 - 2k)^2 - 16 = 0$。由 $x_1 + x_2 = 4$：

$$-\frac{8k(1 - 2k)}{1 + 4k^2} = 4,$$

即 $-8k + 16k^2 = 4 + 16k^2$，$k = -\dfrac{1}{2}$。点差法计算量小，适合小题；联立法计算量大，但顺带得到方程，可以直接检验 $\Delta$，后面还要用韦达定理时（比如再求弦长）用联立法。

例 2　（场景：已知中点求弦所在直线）求抛物线 $y^2 = 8x$ 中以 $M(2, 2)$ 为中点的弦所在直线的方程。

解：$2^2 = 4 < 8 \times 2 = 16$，$M$ 在抛物线开口内部，弦存在。设端点 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$，$y_1^2 = 8x_1$，$y_2^2 = 8x_2$，相减：

$$(y_1 + y_2)(y_1 - y_2) = 8(x_1 - x_2).$$

$y_1 + y_2 = 4$，所以 $k = \dfrac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = \dfrac{8}{4} = 2$。直线方程为 $y - 2 = 2(x - 2)$，即 $2x - y - 2 = 0$。

例 3　（场景：双曲线的中点弦要检验）是否存在直线 $l$，使 $l$ 与双曲线 $x^2 - \dfrac{y^2}{2} = 1$ 交于 $A$、$B$ 两点，且 $M(1, 1)$ 是线段 $AB$ 的中点？

解：假设存在。设 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$，两个端点的方程相减：

$$(x_1 + x_2)(x_1 - x_2) - \frac{(y_1 + y_2)(y_1 - y_2)}{2} = 0.$$

代入 $x_1 + x_2 = 2$，$y_1 + y_2 = 2$，除以 $x_1 - x_2$：$2 - k = 0$，$k = 2$。直线为 $y = 2x - 1$。

检验：代入双曲线方程，$x^2 - \dfrac{(2x - 1)^2}{2} = 1$，两边乘 2 整理得

$$2x^2 - 4x + 3 = 0,$$

$\Delta = 16 - 24 = -8 < 0$，直线与双曲线没有交点。所以这样的直线不存在。

（竖直线 $x = 1$ 与双曲线只交于点 $(1, 0)$，也不满足。）

容易卡在：点差法算出 $k = 2$ 就写答案。双曲线的“中点”可能落在两支之间，这时以它为中点的弦根本不存在。

例 4　（场景：求中点的轨迹）求椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 中斜率为 $\dfrac{1}{2}$ 的弦的中点的轨迹方程。

解：设弦的端点为 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$，中点为 $P(x, y)$。端点方程相减，除以 $x_1 - x_2$：

$$\frac{x_1 + x_2}{4} + (y_1 + y_2) \cdot \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = 0.$$

代入 $x_1 + x_2 = 2x$，$y_1 + y_2 = 2y$，斜率为 $\dfrac{1}{2}$：

$$\frac{2x}{4} + 2y \cdot \frac{1}{2} = 0, \qquad x + 2y = 0.$$

中点要在椭圆内部。直线 $x + 2y = 0$ 与椭圆的交点：$y = -\dfrac{x}{2}$ 代入得 $\dfrac{x^2}{2} = 1$，$x = \pm\sqrt{2}$。所以轨迹方程是

$$x + 2y = 0 \quad (-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}).$$

容易卡在：只写 $x + 2y = 0$，不写范围。轨迹是椭圆内部的一段，不是整条直线。

常用推论

• 中点弦斜率公式：椭圆 $k_{AB} \cdot k_{OM} = -\dfrac{b^2}{a^2}$，双曲线 $k_{AB} \cdot k_{OM} = \dfrac{b^2}{a^2}$，抛物线 $y^2 = 2px$ 中 $k_{AB} = \dfrac{p}{y_0}$。推导见本节“证明”。
• 椭圆上关于原点对称的两点 $A$、$B$ 与椭圆上另一点 $P$（$P$ 与 $A$、$B$ 横坐标不同）连线，$k_{PA} \cdot k_{PB} = -\dfrac{b^2}{a^2}$。推导：设 $P(x, y)$、$A(x_1, y_1)$，则 $B(-x_1, -y_1)$；$P$、$A$ 的方程相减得 $\dfrac{(y - y_1)(y + y_1)}{(x - x_1)(x + x_1)} = -\dfrac{b^2}{a^2}$，左边正是 $k_{PA} \cdot k_{PB}$。双曲线对应的结论是 $\dfrac{b^2}{a^2}$。特别地，$A$、$B$ 取长轴两端点，就是“椭圆上一点与长轴两端点连线的斜率之积为 $-\dfrac{b^2}{a^2}$”。

易错点

• 错在哪：双曲线的中点弦用点差法求出直线就结束。 为什么错：点差法只是必要条件，求出的直线可能和双曲线没有交点（例 3）。 正确做法：双曲线的中点弦，求出直线后一律联立检验 $\Delta > 0$。
• 错在哪：把椭圆的 $k_{AB} \cdot k_{OM} = -\dfrac{b^2}{a^2}$ 记成 $-\dfrac{a^2}{b^2}$，或者焦点在 $y$ 轴上时照搬。 为什么错：比值由方程中 $x^2$、$y^2$ 的分母决定，记反或换了坐标轴都会错。 正确做法：不背公式，每次把两个端点方程写出来相减，一行就推出来。
• 错在哪：中点在 $x$ 轴上（$y_0 = 0$）时，照样用 $k_{AB} = -\dfrac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$。 为什么错：分母为 0。这时由 $\dfrac{x_0}{a^2} + \dfrac{y_0}{b^2}k = 0$ 得 $x_0 = 0$ 或弦竖直，要分别看。 正确做法：用不含除法的形式 $\dfrac{x_0}{a^2} + \dfrac{y_0}{b^2}k_{AB} = 0$，中点在坐标轴上时单独讨论。

直观理解

圆是 $a = b$ 的椭圆，这时 $k_{AB} \cdot k_{OM} = -1$，就是初中的垂径定理：圆心和弦中点的连线垂直于弦（第 29 章）。椭圆是圆在竖直方向上压扁 $\dfrac{b}{a}$ 倍得到的，压扁后两条直线的斜率都乘上 $\dfrac{b}{a}$，中点仍是中点，所以 $-1$ 变成了 $-\dfrac{b^2}{a^2}$。椭圆的中点弦公式就是“压扁了的垂径定理”。

关联知识点

• 前置：第 29 章圆的垂径定理，是本节结论在 $a = b$ 时的特例。
• 前置：第 30–32 章三种曲线的标准方程。
• 前置：33.2 联立与判别式，双曲线的中点弦要靠它检验。
• 后续：33.5 定点与定值，“斜率之积为定值”常由本节推论直接得到。

33.5 定点与定值

说明

定点问题：一族直线（或曲线）随参数变化，但总经过同一个点。证明的办法是把直线方程整理成

$$y - y_0 = k(x - x_0)$$

的形式（或 $x = t(y - y_0) + x_0$），不论 $k$（或 $t$）取何值，直线都过 $(x_0, y_0)$。

定值问题：某个量（斜率之积、数量积、线段长度的倒数和、面积……）不随直线的位置变化。证明的办法是把它写成参数的式子，化简后参数消掉。

两类问题的解法相同，都是 33.2 的骨架再加两步：

1. 翻译条件：把题目条件（垂直、斜率关系、数量积……）用韦达定理写成参数之间的关系；
2. 消参数：定点问题解出”$m$ 用 $k$ 表示“代回直线方程；定值问题把目标量化简到不含参数。

题目不说定点、定值是多少时，先取特殊位置猜出来，再一般地证。

使用场景

• 证明直线过定点：题目出现“求证直线 $AB$ 过定点”，条件常是 $OA \perp OB$、两条弦互相垂直、斜率之积为定值，就设直线、联立、把条件化成 $m$ 与 $k$ 的关系。
• 证明某个量为定值：题目出现“求证 …… 为定值”，就把这个量用韦达定理写成参数的式子，化简消去参数。
• 定点或定值事先不知道：题目问“是否过定点”“是否为定值”，就先取斜率为 0、斜率不存在或关于坐标轴对称的特殊直线猜出答案，再一般证明。

注意点

• 直线过 $x$ 轴上某点时设 $x = ty + n$，过 $y$ 轴上某点时设 $y = kx + m$；选得好，最后的关系式最简单。
• 设 $y = kx + m$ 漏了竖直线，设 $x = ty + n$ 漏了水平线，漏掉的那种要单独验证是否也满足结论。
• 条件化简后常得到两个解，比如 $m = 1$ 和 $m = -\dfrac{3}{5}$，其中一个对应直线过已知点本身（退化），要说明理由舍去。
• “猜”只是找方向，不能代替证明。考试评分时只有特殊情况的计算得分很少。

证明

结论 1：若直线 $y = kx + m$ 中 $m = \alpha k + \beta$（$\alpha$、$\beta$ 是常数），则直线恒过点 $(-\alpha, \beta)$。

代入得 $y = kx + \alpha k + \beta = k(x + \alpha) + \beta$。当 $x = -\alpha$ 时，$y = \beta$，与 $k$ 无关（关键一步：把方程整理成”$k \times$（含 $x$ 的式子）+（不含 $k$ 的式子）“，令含 $k$ 的那部分为 0，剩下的就是定点坐标）。所以不论 $k$ 取何值，直线都过 $(-\alpha, \beta)$。

结论 2：若 $\dfrac{pk^2 + q}{rk^2 + s}$ 对所有允许的 $k$ 都等于同一个常数 $\lambda$，则 $p : r = q : s$。

$\dfrac{pk^2 + q}{rk^2 + s} = \lambda$ 等价于 $(p - \lambda r)k^2 + (q - \lambda s) = 0$。这是关于 $k^2$ 的一次式，对无穷多个 $k$ 都成立，只能系数全为 0：$p = \lambda r$，$q = \lambda s$。所以判断定值时，看化简后分子和分母是否成比例；分子能约成分母的常数倍，比值就是定值。

例题

例 1　（场景：证明直线过定点）$A$、$B$ 是抛物线 $y^2 = 4x$ 上异于原点 $O$ 的两点，且 $OA \perp OB$。求证：直线 $AB$ 过定点，并求出定点坐标。

解：$OA \perp OB$，$A$、$B$ 分别在 $x$ 轴两侧，直线 $AB$ 不是水平线，设 $AB$：$x = ty + n$。因为 $A$、$B$ 都不是原点，直线不过 $O$，$n \ne 0$。代入 $y^2 = 4x$：

$$y^2 - 4ty - 4n = 0.$$

由韦达定理，$y_1 y_2 = -4n$。由 $x_1 = \dfrac{y_1^2}{4}$，$x_2 = \dfrac{y_2^2}{4}$，得

$$x_1 x_2 = \frac{(y_1 y_2)^2}{16} = n^2.$$

$OA \perp OB$，所以 $x_1 x_2 + y_1 y_2 = n^2 - 4n = 0$。$n \ne 0$，所以 $n = 4$。此时 $\Delta = 16t^2 + 64 > 0$，确有两个交点。

直线 $AB$ 为 $x = ty + 4$，恒过定点 $(4, 0)$。

容易卡在：用 $x_1 x_2 = \dfrac{(y_1 y_2)^2}{16}$ 这一步。抛物线上的点横坐标由纵坐标决定，用 $y$ 表示 $x$，比再算一次 $x_1 x_2$ 简单得多。

例 2　（场景：证明某个量为定值）过抛物线 $y^2 = 4x$ 的焦点 $F$ 的直线交抛物线于 $A$、$B$ 两点，$O$ 为原点。求证：（1）$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$ 为定值；（2）$\dfrac{1}{\lvert AF \rvert} + \dfrac{1}{\lvert BF \rvert}$ 为定值。

解：$F(1, 0)$。过 $F$ 的水平线与抛物线只交一点，所以设直线 $x = ty + 1$，代入得 $y^2 - 4ty - 4 = 0$，$\Delta = 16t^2 + 16 > 0$。由韦达定理

$$y_1 + y_2 = 4t, \qquad y_1 y_2 = -4.$$

（1）$x_1 x_2 = \dfrac{(y_1 y_2)^2}{16} = 1$，所以

$$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 1 - 4 = -3,$$

与 $t$ 无关，是定值。

（2）由抛物线的定义（第 32 章），$\lvert AF \rvert = x_1 + 1$，$\lvert BF \rvert = x_2 + 1$。

$$\frac{1}{|AF|} + \frac{1}{|BF|} = \frac{x_1 + x_2 + 2}{(x_1 + 1)(x_2 + 1)} = \frac{x_1 + x_2 + 2}{x_1 x_2 + x_1 + x_2 + 1}.$$

因为 $x_1 x_2 = 1$，分母就是 $x_1 + x_2 + 2$，比值为 1，是定值。

容易卡在：第（2）问想用 $t$ 表示 $x_1 + x_2$ 再化简。其实不用算出 $x_1 + x_2$，抓住 $x_1 x_2 = 1$，分子分母直接相等。

例 3　（场景：先猜后证）已知椭圆 $C$：$\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 的上顶点为 $A(0, 1)$，$P$、$Q$ 是 $C$ 上异于 $A$ 的两点，且 $AP \perp AQ$。直线 $PQ$ 是否过定点？若过，求出定点。

解：第一步，猜。 取 $AP$ 的斜率为 1：直线 $y = x + 1$ 代入椭圆方程得 $\dfrac{5}{4}x^2 + 2x = 0$，$x = -\dfrac{8}{5}$，$P\left(-\dfrac{8}{5}, -\dfrac{3}{5}\right)$。由对称性，$AQ$ 斜率为 $-1$ 时 $Q\left(\dfrac{8}{5}, -\dfrac{3}{5}\right)$。此时 $PQ$ 是 $y = -\dfrac{3}{5}$。图形关于 $y$ 轴对称，定点若存在应在 $y$ 轴上，所以猜定点是 $D\left(0, -\dfrac{3}{5}\right)$。

第二步，证。 若 $PQ$ 竖直，设 $P(s, y_P)$、$Q(s, -y_P)$，则 $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AQ} = s^2 - y_P^2 + 1 = s^2 - \left(1 - \dfrac{s^2}{4}\right) + 1 = \dfrac{5s^2}{4}$，为 0 时 $s = 0$，$P$、$Q$ 中有一个是 $A$，不合题意。所以 $PQ$ 的斜率存在，设 $PQ$：$y = kx + m$，$m \ne 1$（$PQ$ 不过 $A$）。代入椭圆方程，两边乘 4：

$$(1 + 4k^2)x^2 + 8kmx + 4m^2 - 4 = 0,$$ $$x_1 + x_2 = -\frac{8km}{1 + 4k^2}, \qquad x_1 x_2 = \frac{4m^2 - 4}{1 + 4k^2}.$$

$AP \perp AQ$，即 $x_1 x_2 + (y_1 - 1)(y_2 - 1) = 0$。把 $y_i - 1 = kx_i + (m - 1)$ 代入：

$$(1 + k^2)x_1 x_2 + k(m - 1)(x_1 + x_2) + (m - 1)^2 = 0.$$

代入韦达定理，两边乘 $1 + 4k^2$：

$$(1 + k^2)(4m^2 - 4) - 8k^2 m(m - 1) + (m - 1)^2(1 + 4k^2) = 0.$$

每一项都含因式 $m - 1$，提出来，方括号里展开后含 $k^2$ 的项正好抵消：

$$(m - 1)\left[4(1 + k^2)(m + 1) - 8k^2 m + (m - 1)(1 + 4k^2)\right] = (m - 1)(5m + 3) = 0.$$

$m \ne 1$，所以 $m = -\dfrac{3}{5}$。此时 $\Delta = 16\left(4k^2 + 1 - \dfrac{9}{25}\right) > 0$ 恒成立。直线 $PQ$ 为 $y = kx - \dfrac{3}{5}$，恒过定点 $\left(0, -\dfrac{3}{5}\right)$，与猜测一致。

容易卡在：展开那一长串式子。提出公因式 $m - 1$ 是关键：$m = 1$ 对应“直线过 $A$”，题目条件排除了它，所以式子一定能提出 $m - 1$；先提出来，剩下的一次式就好算了。

常用推论

• 抛物线 $y^2 = 2px$ 上异于顶点的两点 $A$、$B$ 满足 $OA \perp OB$，则直线 $AB$ 过定点 $(2p, 0)$。推导：同例 1，设 $x = ty + n$，得 $y_1 y_2 = -2pn$，$x_1 x_2 = n^2$，由 $n^2 - 2pn = 0$ 得 $n = 2p$。
• 抛物线 $y^2 = 2px$ 的焦点弦：$y_1 y_2 = -p^2$，$x_1 x_2 = \dfrac{p^2}{4}$，$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = -\dfrac{3p^2}{4}$，$\dfrac{1}{\lvert AF \rvert} + \dfrac{1}{\lvert BF \rvert} = \dfrac{2}{p}$。推导：同例 2，设 $x = ty + \dfrac{p}{2}$，联立得 $y^2 - 2pty - p^2 = 0$。
• 椭圆上一点与长轴两端点连线的斜率之积为 $-\dfrac{b^2}{a^2}$（双曲线为 $\dfrac{b^2}{a^2}$），推导见 33.4”常用推论”。

易错点

• 错在哪：设 $y = kx + m$ 证完定点，没有讨论竖直线。 为什么错：竖直线可能也满足条件，而 $y = kx + m$ 包括不了它；不讨论，证明就不完整。 正确做法：先单独看斜率不存在的情况（满足就验证它也过定点，不满足就说明排除），再设 $y = kx + m$。
• 错在哪：特殊位置猜出定点后就写“所以直线过定点”。 为什么错：几条特殊直线交于一点，不代表所有直线都过这点。 正确做法：猜出的结果只当作目标，一般情况要用韦达定理证出来。
• 错在哪：例 3 中得到 $(m - 1)(5m + 3) = 0$，把 $m = 1$ 也当作答案，说“直线过 $(0, 1)$”。 为什么错：$m = 1$ 时直线过 $A$，$P$ 或 $Q$ 就是 $A$ 本身，与“异于 $A$“矛盾。 正确做法：根据题目条件说明 $m \ne 1$，舍去。

直观理解

定点像风车的轴：直线跟着参数转来转去，总有一个点不动。对称的图形里，这个“轴”一定在对称轴上，这就是“先猜”时能把范围缩到坐标轴上的原因。

定值则是“怎么动都不变的量”。例 2 中焦点弦绕着焦点转，$A$、$B$ 跑来跑去，但 $x_1 x_2 = 1$ 始终不变，后面的定值都是从这个不变量推出来的。找定值，先找这种“藏起来的不变量”。

关联知识点

• 前置：第 28 章直线过定点（直线系 $y - y_0 = k(x - x_0)$），是定点问题最后一步的依据。
• 前置：第 15 章数量积，垂直条件翻译成数量积为 0。
• 前置：33.2 联立与判别式、33.4 中点弦（斜率之积的推论）。
• 常一起考：第 32 章抛物线的定义，焦点弦的定值常用定义把距离化成横坐标。

33.6 最值与范围

说明

最值问题：求弦长、三角形面积、距离等的最大值或最小值。范围问题：求参数（斜率、截距、离心率……）的取值范围。

做法都是三步：

1. 选参数：用一个参数（$k$、$m$、$t$ 或点的坐标）表示直线或动点；
2. 写函数：把目标量写成这个参数的函数；
3. 定范围、求最值：参数的范围来自 $\Delta > 0$、点在曲线上、题目的附加条件（角为锐角、点在圆内……），在这个范围里用二次函数、基本不等式、换元或导数求最值。

几何方法也常用：平移切线（求曲线上的点到直线距离的最值）、用定义转化（把到焦点的距离化成到准线的距离）。

使用场景

• 求面积或弦长的最值：题目问”$\triangle OAB$ 面积的最大值”“弦长的最小值”，就把目标量写成参数的函数，用基本不等式或二次函数求最值。
• 求参数的取值范围：题目给出“有两个交点”和一个附加条件（$\angle AOB$ 为锐角、某点在以 $AB$ 为直径的圆内等），就把两个条件都化成参数的不等式，取交集。
• 求曲线上的点到定直线距离的最值：题目问“椭圆上的点到直线的最小距离”，就平移直线到与曲线相切，或者用三角换元。

注意点

• 先写参数范围，再求最值。$\Delta > 0$ 给出的范围就是目标函数的定义域，最值可能取在端点附近、也可能取不到。
• 用基本不等式要检验等号成立的参数值在范围内；不在范围内，就改用函数单调性。
• 三角形面积为 0（三点共线）的参数值要排除。
• “$\angle AOB$ 为锐角”等价于”$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} > 0$ 且 $O$、$A$、$B$ 不共线”；直线不过原点时后一个条件自动满足。“为钝角”同理用 $< 0$。

证明

本知识点是方法，所用的工具（二次函数、基本不等式、导数）的证明在第 3、4、25 章。这里证明平移切线法的依据。

结论：椭圆上的点到直线 $l$：$x + y - c_0 = 0$ 的距离，最小值和最大值在与 $l$ 平行的两条切线的切点处取得。

椭圆上任一点 $P(x, y)$ 到 $l$ 的距离是 $d = \dfrac{\lvert x + y - c_0 \rvert}{\sqrt{2}}$。记 $c = x + y$，它是过 $P$ 且与 $l$ 平行的直线 $x + y = c$ 的截距。

（关键一步：把“求点到直线距离的最值”变成“求 $c$ 的取值范围”。）$P$ 在椭圆上，等价于直线 $x + y = c$ 与椭圆有公共点，即联立后 $\Delta \ge 0$。所以 $c$ 的范围是一个闭区间 $[c_1, c_2]$，端点 $c_1$、$c_2$ 由 $\Delta = 0$ 给出，正是两条切线。$d = \dfrac{\lvert c - c_0 \rvert}{\sqrt{2}}$ 是 $c$ 的函数，$l$ 与椭圆相离时 $c_0$ 在区间外，$d$ 在区间上单调，最值在端点 $c = c_1$、$c = c_2$ 处取到。

对其他斜率的直线、其他圆锥曲线，道理相同。

例题

例 1　（场景：求面积的最值）直线 $y = x + m$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 交于 $A$、$B$ 两点，$O$ 为原点，求 $\triangle OAB$ 面积的最大值。

解：由 33.3 例 2，$-\sqrt{5} < m < \sqrt{5}$ 时有两个交点，且

$$|AB| = \frac{4\sqrt{2}}{5}\sqrt{5 - m^2}.$$

$O$ 到直线 $x - y + m = 0$ 的距离 $d = \dfrac{\lvert m \rvert}{\sqrt{2}}$。$m = 0$ 时直线过原点，构不成三角形，所以 $m \ne 0$。

$$S = \frac{1}{2}|AB| \cdot d = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\sqrt{2}}{5}\sqrt{5 - m^2} \cdot \frac{|m|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{5}\sqrt{m^2(5 - m^2)}.$$

$m^2 > 0$，$5 - m^2 > 0$，由基本不等式

$$\sqrt{m^2(5 - m^2)} \le \frac{m^2 + (5 - m^2)}{2} = \frac{5}{2},$$

所以 $S \le \dfrac{2}{5} \times \dfrac{5}{2} = 1$。等号在 $m^2 = 5 - m^2$，即 $m = \pm\dfrac{\sqrt{10}}{2}$ 时成立，且 $\dfrac{5}{2} < 5$，在范围内。

$\triangle OAB$ 面积的最大值为 1。

容易卡在：看到 $\lvert m \rvert\sqrt{5 - m^2}$ 想用导数。把 $\lvert m \rvert$ 移进根号变成 $\sqrt{m^2(5 - m^2)}$，两个因式之和是常数 5，用基本不等式一步就出来。

例 2　（场景：求参数的取值范围）直线 $y = kx + 2$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 交于不同的两点 $A$、$B$，且 $\angle AOB$ 为锐角（$O$ 为原点），求 $k$ 的取值范围。

解：代入椭圆方程，两边乘 4：

$$(1 + 4k^2)x^2 + 16kx + 12 = 0.$$

条件一：有两个交点。

$$\Delta = 256k^2 - 48(1 + 4k^2) = 64k^2 - 48 > 0, \qquad k^2 > \frac{3}{4}.$$

条件二：$\angle AOB$ 为锐角。 直线不过原点，$O$、$A$、$B$ 不共线，所以只要 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} > 0$。由韦达定理

$$x_1 + x_2 = -\frac{16k}{1 + 4k^2}, \qquad x_1 x_2 = \frac{12}{1 + 4k^2},$$ $$y_1 y_2 = k^2 x_1 x_2 + 2k(x_1 + x_2) + 4 = \frac{12k^2 - 32k^2 + 4 + 16k^2}{1 + 4k^2} = \frac{4 - 4k^2}{1 + 4k^2}.$$ $$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = \frac{16 - 4k^2}{1 + 4k^2} > 0,$$

分母为正，所以 $k^2 < 4$。

两个条件取交集：$\dfrac{3}{4} < k^2 < 4$，即

$$k \in \left(-2, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cup \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 2\right).$$

容易卡在：只用锐角条件得 $-2 < k < 2$，忘了 $\Delta > 0$ 的限制。

例 3　（场景：求点到直线距离的最值）求椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 上的点到直线 $x + y - 4 = 0$ 的距离的最小值和最大值。

解：设与 $x + y - 4 = 0$ 平行的直线为 $y = -x + m$。由 33.2”常用推论”，它与椭圆相切 $\iff m^2 = a^2k^2 + b^2 = 4 \times 1 + 1 = 5$，$m = \pm\sqrt{5}$。

两条切线是 $x + y - \sqrt{5} = 0$ 和 $x + y + \sqrt{5} = 0$。$4 > \sqrt{5}$，直线 $x + y - 4 = 0$ 在椭圆外。由平行线间的距离公式：

• 最小值 $= \dfrac{\lvert 4 - \sqrt{5} \rvert}{\sqrt{2}} = \dfrac{4\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}$，在切点 $\left(\dfrac{4\sqrt{5}}{5}, \dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)$ 处取到；
• 最大值 $= \dfrac{\lvert 4 + \sqrt{5} \rvert}{\sqrt{2}} = \dfrac{4\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$，在切点 $\left(-\dfrac{4\sqrt{5}}{5}, -\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)$ 处取到。

另一种解法：$\left(\dfrac{x}{2}\right)^2 + y^2 = 1$，可设椭圆上的点为 $P(2\cos\theta, \sin\theta)$（三角换元）。

$$d = \frac{|2\cos\theta + \sin\theta - 4|}{\sqrt{2}} = \frac{|\sqrt{5}\sin(\theta + \varphi) - 4|}{\sqrt{2}},$$

其中 $\tan\varphi = 2$（辅助角公式，第 13 章）。$\sqrt{5}\sin(\theta + \varphi) \in [-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$，所以 $4 - \sqrt{5}\sin(\theta + \varphi) \in [4 - \sqrt{5}, 4 + \sqrt{5}]$，$d$ 的最小值 $\dfrac{4 - \sqrt{5}}{\sqrt{2}}$，最大值 $\dfrac{4 + \sqrt{5}}{\sqrt{2}}$。平移切线法用到相切条件，适合小题快速出数；三角换元不用判断直线在椭圆内外，求点的坐标、处理更复杂的目标式（如 $x + 2y$ 的范围）时也能直接用。

常用推论

• 椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 的弦 $AB$ 与中心 $O$ 构成的三角形，面积最大为 $\dfrac{ab}{2}$。推导：令 $x = au$，$y = bv$，椭圆变成单位圆 $u^2 + v^2 = 1$，所有面积乘 $\dfrac{1}{ab}$；单位圆中 $\triangle OA'B'$ 的面积 $\dfrac{1}{2}\sin\angle A'OB' \le \dfrac{1}{2}$，所以原面积 $\le \dfrac{ab}{2}$。例 1 中 $a = 2$，$b = 1$，最大值 1 与此一致。
• 抛物线 $y^2 = 2px$ 的焦点弦中，通径最短，长 $2p$。推导：设 $x = ty + \dfrac{p}{2}$，由 33.5 推论 $y_1 + y_2 = 2pt$，$x_1 + x_2 = t(y_1 + y_2) + p = 2pt^2 + p$，$\lvert AB \rvert = x_1 + x_2 + p = 2p(t^2 + 1) \ge 2p$，$t = 0$ 时取等。
• 曲线上的点到直线 $y = kx + m_0$ 的距离最值，用平行切线 $y = kx + m$ 求，$m$ 由 33.2 的相切条件给出，最值为 $\dfrac{\lvert m - m_0 \rvert}{\sqrt{1 + k^2}}$（$l$ 与曲线相离时）。推导见本节“证明”。

易错点

• 错在哪：求出目标函数后直接求最值，没考虑 $\Delta > 0$ 给出的参数范围。 为什么错：参数超出这个范围时直线与曲线没有两个交点，函数值没有意义；最值可能就因为范围受限而变化。 正确做法：联立后第一件事写出 $\Delta > 0$ 对应的参数范围，作为目标函数的定义域。
• 错在哪：用基本不等式求出最值，不验证等号能否取到。 为什么错：等号成立时的参数值如果不在范围内，这个“最值”取不到。 正确做法：写出取等时的参数值，代回范围检查。
• 错在哪：$\angle AOB$ 为锐角写成 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} \ge 0$。 为什么错：数量积为 0 是直角，不是锐角。 正确做法：锐角用 $> 0$，并检查 $O$、$A$、$B$ 是否可能共线。

直观理解

把题目里的直线想成一把尺子在平面上滑动：它和曲线相交的那段时间就是参数的允许范围（$\Delta > 0$），面积、弦长在这段时间里先变大再变小，最值在中间某个位置。范围的两头是“刚好相切”，再往外滑就离开曲线了。

求点到直线的距离最值，就是把直线平行推过去，第一次碰到曲线的位置最近，最后离开曲线的位置最远。

关联知识点

• 前置：第 3 章基本不等式、第 4 章二次函数的最值，是求最值的主要工具。
• 前置：第 13 章辅助角公式，三角换元后化成一个三角函数。
• 前置：33.2 联立与判别式（参数范围）、33.3 弦长公式（目标量）。
• 后续：第 25 章导数的应用，目标函数复杂时用导数求最值。

33.7 知识点之间的关系

本章五个知识点是一个“一生四”的结构：33.2 的联立、判别式、韦达定理是公共的第一步；在它上面，弦长公式算长度，点差法处理中点，定点定值消参数，最值范围求函数的最值。33.3 的弦长和面积又是 33.6 最常见的目标量，33.4 的斜率之积常作为 33.5 的条件或结论出现。

考试里的解析几何大题，第一问多用第 30–32 章的定义和性质求出曲线方程，第二问几乎都按 33.2 的骨架走：设直线、联立、写 $\Delta$、韦达定理、翻译条件。真正拉开分数的是计算：同一道题，直线设成 $y = kx + m$ 还是 $x = ty + n$、消 $x$ 还是消 $y$，计算量可能差一倍。动笔前花半分钟想一想怎么设，比埋头算更省时间。

33.8 自测

1. 直线 $y = kx + 1$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{5} + \dfrac{y^2}{m} = 1$ 对任意实数 $k$ 都有公共点，求 $m$ 的取值范围。
2. 直线 $y = kx + 2$ 与抛物线 $y^2 = 8x$ 只有一个公共点，求 $k$。
3. 直线 $y = x - 1$ 与抛物线 $y^2 = 4x$ 交于 $A$、$B$ 两点，求 $\lvert AB \rvert$。
4. 求椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{2} = 1$ 中以 $(1, 1)$ 为中点的弦所在直线的方程。
5. $A$、$B$ 是抛物线 $y^2 = 2x$ 上异于原点的两点，$OA \perp OB$，求直线 $AB$ 所过的定点。
6. 求椭圆 $\dfrac{x^2}{2} + y^2 = 1$ 上的点到直线 $x + y - 2\sqrt{3} = 0$ 的距离的最小值。

答案：1. $m \ge 1$ 且 $m \ne 5$；2. $k = 0$ 或 $k = 1$；3. 8；4. $x + 2y - 3 = 0$；5. $(2, 0)$；6. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$。

33.9 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台 · 高中数学：教育部主办，有人教版选择性必修第一册“圆锥曲线的方程”一章的同步课程和教材电子版。
• GeoGebra 计算器套件：输入椭圆和带滑动条参数的直线，拖动参数可以直接看到相交、相切、相离和弦长的变化。
• Wolfram MathWorld · Conic Section：圆锥曲线的英文定义、各种方程形式和相关术语，查英文说法时用。
• 维基百科 · 韦达定理：根与系数关系的来历和一般形式，本章“设而不求”的理论依据。