第 26 章 · 空间向量及其运算

项目	内容
课标主题	选择性必修 · 几何与代数 · 空间向量与立体几何
人教 A 版	选择性必修第一册 第一章 1.1 空间向量及其运算、1.2 空间向量基本定理、1.3 空间向量及其运算的坐标表示
考试地位	必考（作为工具）。单独出题不多，小题偶考共面、基底、坐标运算和数量积；主要用在立体几何解答题：建系、写坐标、算向量，第 27 章求角、求距离全靠本章的运算
前置知识	第 14 章 平面向量的线性运算和基本定理；第 15 章 坐标与数量积；第 18、19 章 空间几何体和位置关系

空间向量是把第 14、15 章的平面向量“搬”到三维空间：加减、数乘、数量积的定义和运算律一条不变，坐标从两个分量变成三个。真正新的只有三件事：三个向量可能不共面，于是有了共面向量定理和“三个不共面向量做基底”；坐标系多了一根 $z$ 轴，要会画、会写点的坐标；平行的坐标条件不能再用一个“交叉相乘”的式子。丢分多丢在写坐标：建系时找的三条棱并不两两垂直、点的坐标写错一个分量，后面全错。

26.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
26.2 空间向量的线性运算	运算同平面向量；平行六面体法则；共面向量定理 $\boldsymbol{p} = x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b}$；四点共面时系数和为 1	常考，多为小题或解答题的一步
26.3 空间向量基本定理	三个不共面的向量做基底，空间任一向量都能唯一写成 $x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b} + z\boldsymbol{c}$	常考，基底判断、用基底表示向量
26.4 空间直角坐标系与坐标运算	点 $P(x, y, z)$；向量 = 终点减起点；按分量运算；距离 $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$	必考，立体几何解答题的第一步
26.5 空间向量的数量积	$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \lvert\boldsymbol{a}\rvert\lvert\boldsymbol{b}\rvert\cos\langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$；求夹角、模、判垂直	必考，求角和距离的计算核心

26.2 空间向量的线性运算（共线、共面向量定理）

说明

空间向量：空间中既有大小又有方向的量。模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行（共线）向量的定义与平面向量完全相同（14.2 节），表示方法也相同：$\overrightarrow{AB}$ 或 $\boldsymbol{a}$。

线性运算：加法（三角形法则、平行四边形法则）、减法（“共起点，连终点，指向被减”）、数乘的定义和运算律，都和 14.3、14.4 节一样。原因很简单：任意两个向量都可以平移到同一个平面里，两个向量之间的运算就是平面向量的运算。

空间里多了一条常用的法则：

平行六面体法则：以 $\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}$、$\overrightarrow{AD} = \boldsymbol{b}$、$\overrightarrow{AA_1} = \boldsymbol{c}$ 为棱作平行六面体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$，则

$$\overrightarrow{AC_1} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}.$$

共线向量定理（同 14.5 节）：设 $\boldsymbol{a} \ne \boldsymbol{0}$，则 $\boldsymbol{b} \parallel \boldsymbol{a} \iff$ 存在唯一的实数 $\lambda$，使 $\boldsymbol{b} = \lambda\boldsymbol{a}$。

直线的向量表示：设直线 $l$ 过点 $A$，与非零向量 $\boldsymbol{a}$ 平行（$\boldsymbol{a}$ 叫 $l$ 的方向向量）。点 $P$ 在 $l$ 上 $\iff$ 存在实数 $t$，使

$$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + t\boldsymbol{a}.$$

共面向量：平行于同一个平面的向量叫共面向量。注意：任意两个向量一定共面；三个向量就不一定了，比如正方体从一个顶点出发的三条棱。

共面向量定理：如果两个向量 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 不共线，那么向量 $\boldsymbol{p}$ 与 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 共面的充要条件是：存在唯一的有序实数对 $(x, y)$，使

$$\boldsymbol{p} = x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b}.$$

四点共面的三种写法：设 $A, B, C$ 三点不共线，$O$ 是空间任意一点。点 $P$ 在平面 $ABC$ 内

$$\iff \overrightarrow{AP} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC} \iff \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC} \iff \overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} + z\overrightarrow{OC} \text{ 且 } x + y + z = 1.$$

第三种是 14.5 节“系数和为 1”的空间版本：三点共线是两个系数和为 1，四点共面是三个系数和为 1。

使用场景

• 在平行六面体、四面体中用几个已知向量表示另一个向量：题目设 $\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}$ 这类记号，要求表示中点、中心、分点连线对应的向量。
• 证明三个向量共面或四点共面：题目问”$E, F, G, H$ 四点是否共面”“向量 $\boldsymbol{p}$ 与 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 是否共面”。
• 由四点共面求参数：题目给出 $\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} + z\overrightarrow{OC}$ 的形式，或一条直线与一个平面相交，求交点的位置。

注意点

• 共面向量定理要求 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 不共线。$\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 共线时，它们只能“撑开”一条直线，表示不出平面内的所有向量。
• “向量共面”和“直线共面”不是一回事。向量可以平移，所以 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{CD}$ 一定共面，但直线 $AB$、$CD$ 可能是异面直线。
• 证明四点共面，用 $\overrightarrow{AP} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}$ 时三个向量要有公共起点 $A$；只说明三个向量共面，得不出四个点共面。
• “系数和为 1”里的三个向量要从同一点 $O$ 出发。$O$ 在平面 $ABC$ 外时，由四点共面推出系数和为 1 才成立（理由见 26.3 节的唯一性）。

证明

结论 1：平行六面体法则。 由三角形法则，$\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1}$。平行六面体的对边平行且相等，所以 $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AA_1} = \boldsymbol{c}$，于是 $\overrightarrow{AC_1} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}$。

结论 2：共面向量定理。

（$\Leftarrow$）若 $\boldsymbol{p} = x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b}$，把 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 平移到同一起点 $O$，它们确定一个平面 $\alpha$。$x\boldsymbol{a}$、$y\boldsymbol{b}$ 都在 $\alpha$ 内，由平行四边形法则，它们的和也在 $\alpha$ 内，所以 $\boldsymbol{p}$ 与 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 共面。

（$\Rightarrow$）若 $\boldsymbol{p}$ 与 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 共面，把三个向量平移到同一个平面 $\alpha$ 里（关键一步：共面的意思就是能平移到同一平面，平移后它们成了这个平面里的平面向量）。$\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 不共线，由 14.6 节平面向量基本定理，存在唯一的 $(x, y)$ 使 $\boldsymbol{p} = x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b}$。

结论 3：四点共面的三种写法。 $P$ 在平面 $ABC$ 内 $\iff \overrightarrow{AP}$ 与 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ 共面（三个向量有公共起点 $A$，共面就是 $P$ 落在平面 $ABC$ 上）$\iff \overrightarrow{AP} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}$（结论 2，$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$ 不共线）。用“终点减起点”换成以 $O$ 为起点：

$$\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA} = x(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) + y(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}),$$

整理得 $\overrightarrow{OP} = (1 - x - y)\overrightarrow{OA} + x\overrightarrow{OB} + y\overrightarrow{OC}$。三个系数 $1 - x - y$、$x$、$y$ 的和是 1。每一步都可逆，所以三种写法等价。

例题

例 1　（场景：用已知向量表示另一个向量）在平行六面体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中，$M$ 是上底面 $A_1B_1C_1D_1$ 的中心（对角线的交点），$N$ 是 $BC$ 的中点。设 $\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD} = \boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AA_1} = \boldsymbol{c}$，用 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$、$\boldsymbol{c}$ 表示 $\overrightarrow{BM}$、$\overrightarrow{MN}$。

解：先把每个点都用从 $A$ 出发的向量表示，再用“终点减起点”。

• $M$ 是 $A_1C_1$ 的中点，$\overrightarrow{A_1C_1} = \overrightarrow{AC} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$，所以

$$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AA_1} + \frac{1}{2}\overrightarrow{A_1C_1} = \frac{1}{2}\boldsymbol{a} + \frac{1}{2}\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}.$$

• $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \boldsymbol{a} + \dfrac{1}{2}\boldsymbol{b}$。

于是

$$\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AB} = -\frac{1}{2}\boldsymbol{a} + \frac{1}{2}\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}, \qquad \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\boldsymbol{a} - \boldsymbol{c}.$$

检验 $\overrightarrow{MN}$：$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BN} = \left(\dfrac{1}{2}\boldsymbol{a} - \dfrac{1}{2}\boldsymbol{b} - \boldsymbol{c}\right) + \dfrac{1}{2}\boldsymbol{b} = \dfrac{1}{2}\boldsymbol{a} - \boldsymbol{c}$，一致。

容易卡在：沿棱“走”的路线太长容易漏项。统一用“从 $A$ 出发的向量，终点减起点”最不容易错。

例 2　（场景：证明四点共面）在平行六面体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中，$E, F, G, H$ 分别是棱 $A_1D_1$、$D_1C_1$、$C_1C$、$AB$ 的中点。求证：$E, F, G, H$ 四点共面。

解：设 $\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD} = \boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AA_1} = \boldsymbol{c}$。从 $A$ 出发写出四个点：

$$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}, \quad \overrightarrow{AF} = \frac{1}{2}\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}, \quad \overrightarrow{AG} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \frac{1}{2}\boldsymbol{c}, \quad \overrightarrow{AH} = \frac{1}{2}\boldsymbol{a}.$$

以 $E$ 为公共起点：

$$\overrightarrow{EF} = \frac{1}{2}\boldsymbol{a} + \frac{1}{2}\boldsymbol{b}, \quad \overrightarrow{EG} = \boldsymbol{a} + \frac{1}{2}\boldsymbol{b} - \frac{1}{2}\boldsymbol{c}, \quad \overrightarrow{EH} = \frac{1}{2}\boldsymbol{a} - \frac{1}{2}\boldsymbol{b} - \boldsymbol{c}.$$

设 $\overrightarrow{EG} = x\overrightarrow{EF} + y\overrightarrow{EH}$。$\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 不共面，对应系数相等（26.3 节空间向量基本定理的唯一性）：

$$\begin{cases} \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{2} = 1, \\ \dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{2} = \dfrac{1}{2}, \\ -y = -\dfrac{1}{2}. \end{cases}$$

由第三式 $y = \dfrac{1}{2}$，代入第二式得 $x = \dfrac{3}{2}$；检验第一式：$\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = 1$，成立。所以

$$\overrightarrow{EG} = \frac{3}{2}\overrightarrow{EF} + \frac{1}{2}\overrightarrow{EH}.$$

$\overrightarrow{EF}$、$\overrightarrow{EH}$ 不共线（$\overrightarrow{EF}$ 不含 $\boldsymbol{c}$，$\overrightarrow{EH}$ 含 $\boldsymbol{c}$，不可能成倍数），由共面向量定理，$\overrightarrow{EG}$、$\overrightarrow{EF}$、$\overrightarrow{EH}$ 共面；三者有公共起点 $E$，所以 $E, F, G, H$ 四点共面。

容易卡在：三个方程只有两个未知数，用两个解出 $x, y$ 后忘了代入第三个检验。第三个方程不成立，就说明不共面。

例 3　（场景：由四点共面求交点位置）在四面体 $OABC$ 中，点 $E, F, G$ 分别在棱 $OA$、$OB$、$OC$ 上，且 $OE = \dfrac{2}{3}OA$，$OF = \dfrac{1}{2}OB$，$OG = \dfrac{1}{3}OC$。$Q$ 是 $\triangle ABC$ 的重心，线段 $OQ$ 与平面 $EFG$ 交于点 $P$。求 $\dfrac{OP}{OQ}$。

解：$Q$ 是 $\triangle ABC$ 的重心，由 14.4 节的重心公式（换成从 $O$ 出发）：

$$\overrightarrow{OQ} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}).$$

设 $\overrightarrow{OP} = t\overrightarrow{OQ}$。由条件 $\overrightarrow{OA} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{OE}$，$\overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OF}$，$\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}$，代入：

$$\overrightarrow{OP} = \frac{t}{3}\left(\frac{3}{2}\overrightarrow{OE} + 2\overrightarrow{OF} + 3\overrightarrow{OG}\right) = \frac{t}{2}\overrightarrow{OE} + \frac{2t}{3}\overrightarrow{OF} + t\overrightarrow{OG}.$$

$P$ 在平面 $EFG$ 内，$O$ 在平面 $EFG$ 外，由“系数和为 1”：

$$\frac{t}{2} + \frac{2t}{3} + t = 1, \quad \frac{13t}{6} = 1, \quad t = \frac{6}{13}.$$

所以 $\dfrac{OP}{OQ} = \dfrac{6}{13}$。

容易卡在：想不到把 $\overrightarrow{OA}$ 等换成 $\overrightarrow{OE}$ 等。要用“系数和为 1”，式子里必须出现平面上那三个点对应的向量。

常用推论

• 平行六面体法则：$\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}$。推导见本节“证明”结论 1。
• 四点共面：$O$ 在平面 $ABC$ 外时，$P$ 在平面 $ABC$ 内 $\iff \overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} + z\overrightarrow{OC}$ 且 $x + y + z = 1$。推导见“证明”结论 3。
• 三角形重心：$G$ 是 $\triangle ABC$ 的重心，则对空间任一点 $O$，$\overrightarrow{OG} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$。推导：14.4 节 $\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$，用“终点减起点”换成以 $O$ 为起点。
• 两条线段中点的连线：$M, N$ 分别是 $AB$、$CD$ 的中点，则 $\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}) = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC})$。推导：$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN}$，$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DN}$，两式相加，$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \boldsymbol{0}$，$\overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DN} = \boldsymbol{0}$。四面体中常用。

易错点

• 错在哪：认为“向量 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{CD}$ 共面”就说明直线 $AB$ 与 $CD$ 共面。 为什么错：向量可以平移，任意两个向量都共面；直线不能平移，正方体里的 $AB$ 和 $CC_1$ 就是异面直线。 正确做法：判断直线（点）的位置关系，要用有公共点的向量，如证 $P$ 在平面 $ABC$ 内用 $\overrightarrow{AP} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}$。
• 错在哪：看到 $\overrightarrow{OP} = 2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{OC}$ 就说 $P$ 在平面 $ABC$ 内。 为什么错：系数和是 $2 - 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} \ne 1$。任意一点都能写成三个向量的组合（26.3 节），只有系数和为 1 时才在平面内。 正确做法：先算系数和，等于 1 才共面。
• 错在哪：证明 $\boldsymbol{p}$ 与 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 共面时，没有检查 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 是否共线，或比较系数时只用了两个方程。 为什么错：$\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}$ 时定理不能用；三个方程两个未知数，第三个方程正是“能不能共面”的检验。 正确做法：写一句”$\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 不共线”，解出 $x, y$ 后代入剩下的方程检验。

直观理解

把三个向量的起点放在桌面上同一点：如果三支箭能同时平放在桌面上，它们就共面；有一支必须翘起来，它们就不共面。共面向量定理说的是：两支不共线的箭已经铺满了整张桌面，桌面上的任何箭都是它们的组合。

平行六面体法则是平行四边形法则的“立体版”：平行四边形的对角线 = 两边之和，平行六面体的体对角线 = 三条棱之和。

关联知识点

• 前置：第 14 章 14.3–14.5 节，加减、数乘、共线向量定理和“系数和为 1”在空间原样成立。
• 前置：第 14 章 14.6 节平面向量基本定理，共面向量定理就是它在空间中的说法。
• 前置：第 19 章基本事实，“不共线的三点确定一个平面”是四点共面写法的几何来源。
• 后续：26.3 空间向量基本定理，在共面向量定理上再加一个不共面的方向。
• 后续：第 27 章直线的方向向量、用向量证明线面平行（直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面）。

26.3 空间向量基本定理

说明

空间向量基本定理：如果三个向量 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$、$\boldsymbol{c}$ 不共面，那么对任意一个空间向量 $\boldsymbol{p}$，存在唯一的有序实数组 $(x, y, z)$，使

$$\boldsymbol{p} = x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b} + z\boldsymbol{c}.$$

基底：不共面的 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$、$\boldsymbol{c}$ 叫空间的一个基底，记作 $\{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\}$，每个向量叫基向量。

单位正交基底：三个基向量两两垂直且长度都是 1，这样的基底叫单位正交基底，常记作 $\{\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\}$。用单位正交基底分解向量叫正交分解，分解出的 $(x, y, z)$ 就是 26.4 节的坐标。

和平面的对比：

	平面（14.6 节）	空间（本节）
基底	两个不共线的向量	三个不共面的向量
分解式	$\boldsymbol{p} = x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b}$	$\boldsymbol{p} = x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b} + z\boldsymbol{c}$
基底的条件	不共线	不共面（只要求两两不共线不够）

推论：设 $O, A, B, C$ 四点不共面，则对空间任一点 $P$，存在唯一的 $(x, y, z)$，使 $\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} + z\overrightarrow{OC}$。

使用场景

• 判断三个向量能否构成基底：题目问“下列各组向量中，能（不能）构成空间的一个基底的是”，看三个向量是否共面。
• 选基底表示向量：题目给四面体、平行六面体、三棱柱，要求用从同一顶点出发的三条棱表示别的向量。
• 由分解的唯一性求系数：题目给出 $\overrightarrow{AC_1} = x\overrightarrow{AB} + 2y\overrightarrow{BC} + 3z\overrightarrow{CC_1}$ 这类等式求 $x, y, z$，或求直线与平面的交点位置。

注意点

• 基底的条件是三个向量不共面。三个向量两两不共线，仍可能共面（如 $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$、$\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}$、$\boldsymbol{a} - \boldsymbol{c}$）。
• 零向量与任意两个向量共面，所以基底里不能有零向量。
• 基底不唯一，但选定以后分解式唯一。比较系数之前必须确认三个向量不共面。
• 选基底时优先选从同一顶点出发、长度和夹角都已知的三条棱，后面算数量积（26.5 节）才算得出数。

证明

存在性。 把 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}, \boldsymbol{p}$ 的起点都放在点 $O$，设 $\overrightarrow{OP} = \boldsymbol{p}$。$\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 确定一个平面 $OAB$。

• 过 $P$ 作直线与 $\boldsymbol{c}$ 平行，交平面 $OAB$ 于点 $Q$。（关键一步：$\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 不共面，所以 $\boldsymbol{c}$ 不平行于平面 $OAB$，与 $\boldsymbol{c}$ 平行的直线一定和这个平面相交，$Q$ 一定存在。）
• $\overrightarrow{QP}$ 与 $\boldsymbol{c}$ 共线，由共线向量定理，$\overrightarrow{QP} = z\boldsymbol{c}$。
• $\overrightarrow{OQ}$ 在平面 $OAB$ 内，$\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 不共线，由平面向量基本定理，$\overrightarrow{OQ} = x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b}$。

所以 $\boldsymbol{p} = \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{QP} = x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b} + z\boldsymbol{c}$。

唯一性。 假设还有 $\boldsymbol{p} = x'\boldsymbol{a} + y'\boldsymbol{b} + z'\boldsymbol{c}$，两式相减：

$$(x - x')\boldsymbol{a} + (y - y')\boldsymbol{b} + (z - z')\boldsymbol{c} = \boldsymbol{0}.$$

若 $z \ne z'$，则 $\boldsymbol{c} = -\dfrac{x - x'}{z - z'}\boldsymbol{a} - \dfrac{y - y'}{z - z'}\boldsymbol{b}$，由共面向量定理 $\boldsymbol{c}$ 与 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 共面，矛盾。所以 $z = z'$，剩下 $(x - x')\boldsymbol{a} + (y - y')\boldsymbol{b} = \boldsymbol{0}$，由平面向量基本定理的唯一性，$x = x'$，$y = y'$。

推论由定理直接得到：$O, A, B, C$ 不共面，就是 $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$ 不共面，它们构成一个基底。

例题

例 1　（场景：判断能否构成基底）已知 $\{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\}$ 是空间的一个基底，下列各组向量中，不能构成空间的一个基底的是（　）。

A. $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}$　B. $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}$，$\boldsymbol{c} + \boldsymbol{a}$　C. $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{b} - \boldsymbol{c}$，$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{c}$　D. $\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$

解：C。试着把第三个向量写成前两个的组合：设 $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{c} = x(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) + y(\boldsymbol{b} - \boldsymbol{c})$，比较 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 的系数：

$$\begin{cases} x = 1, \\ x + y = 0, \\ -y = 1, \end{cases}$$

解得 $x = 1$，$y = -1$，三个方程都满足。所以 $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{c} = (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) - (\boldsymbol{b} - \boldsymbol{c})$，三个向量共面，不能作基底。

其余三组可以这样检验，以 B 为例：设 $x(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) + y(\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}) + z(\boldsymbol{c} + \boldsymbol{a}) = \boldsymbol{0}$，比较系数得 $x + z = 0$，$x + y = 0$，$y + z = 0$，三式相加得 $x + y + z = 0$，再逐个减去，得 $x = y = z = 0$。只有零解，说明三个向量不共面（若共面，其中一个能写成另两个的组合，就有不全为 0 的解）。A、D 同理。

容易卡在：C 的三个向量两两都不共线，只看“两两”会误判成能作基底。

例 2　（场景：选基底表示向量）在四面体 $OABC$ 中，$M$ 是 $OA$ 的中点，$G$ 是 $\triangle ABC$ 的重心，点 $N$ 在 $BC$ 上且 $BN = 2NC$。设 $\overrightarrow{OA} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB} = \boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{OC} = \boldsymbol{c}$，用 $\{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\}$ 表示 $\overrightarrow{MG}$、$\overrightarrow{MN}$。

解：$O, A, B, C$ 不共面，$\{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\}$ 是基底。都写成从 $O$ 出发的向量：

• $\overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2}\boldsymbol{a}$。
• $\overrightarrow{OG} = \dfrac{1}{3}(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c})$（26.2 节常用推论）。
• $\overrightarrow{ON} = \overrightarrow{OB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC} = \boldsymbol{b} + \dfrac{2}{3}(\boldsymbol{c} - \boldsymbol{b}) = \dfrac{1}{3}\boldsymbol{b} + \dfrac{2}{3}\boldsymbol{c}$。

于是

$$\overrightarrow{MG} = \overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OM} = -\frac{1}{6}\boldsymbol{a} + \frac{1}{3}\boldsymbol{b} + \frac{1}{3}\boldsymbol{c}, \qquad \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM} = -\frac{1}{2}\boldsymbol{a} + \frac{1}{3}\boldsymbol{b} + \frac{2}{3}\boldsymbol{c}.$$

容易卡在：$BN = 2NC$ 时 $\overrightarrow{BN} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}$，不是 $\dfrac{1}{2}$ 也不是 $\dfrac{1}{3}$。画一条线段标出三等分点再写。

例 3　（场景：由分解的唯一性求系数和交点位置）在平行六面体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中：

（1）若 $\overrightarrow{AC_1} = x\overrightarrow{AB} + 2y\overrightarrow{BC} + 3z\overrightarrow{CC_1}$，求 $x + y + z$；

（2）对角线 $AC_1$ 与平面 $A_1BD$ 交于点 $P$，求 $\dfrac{AP}{AC_1}$。

解：设 $\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD} = \boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AA_1} = \boldsymbol{c}$，它们不共面，构成基底。

（1）$\overrightarrow{BC} = \boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{CC_1} = \boldsymbol{c}$，由平行六面体法则 $\overrightarrow{AC_1} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}$。所以

$$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c} = x\boldsymbol{a} + 2y\boldsymbol{b} + 3z\boldsymbol{c}.$$

由分解的唯一性，$x = 1$，$2y = 1$，$3z = 1$，即 $x = 1$，$y = \dfrac{1}{2}$，$z = \dfrac{1}{3}$，$x + y + z = \dfrac{11}{6}$。

（2）$P$ 在 $AC_1$ 上，设 $\overrightarrow{AP} = t\overrightarrow{AC_1} = t\boldsymbol{a} + t\boldsymbol{b} + t\boldsymbol{c} = t\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AD} + t\overrightarrow{AA_1}$。

$P$ 在平面 $A_1BD$ 内，$A$ 在这个平面外，由 26.2 节“系数和为 1”（以 $A$ 为起点，$B, D, A_1$ 是平面上的三个点），并且由本节推论这种写法唯一：

$$t + t + t = 1, \quad t = \frac{1}{3}.$$

所以 $\dfrac{AP}{AC_1} = \dfrac{1}{3}$。

另一种解法：用平面几何。设 $AC$ 与 $BD$ 交于 $O$。$A_1$、$O$ 既在平面 $A_1BD$ 内，又在平面 $AA_1C_1C$ 内，所以两平面的交线是 $A_1O$，$P$ 就是 $AC_1$ 与 $A_1O$ 的交点。在平行四边形 $AA_1C_1C$ 中，$AO \parallel A_1C_1$，所以 $\triangle APO \sim \triangle C_1PA_1$，相似比 $\dfrac{AO}{C_1A_1} = \dfrac{1}{2}$，于是 $AP : PC_1 = 1 : 2$，$\dfrac{AP}{AC_1} = \dfrac{1}{3}$。几何法要先找到交线，适合图形规整、交线好找的情况；向量法不用找交线，平面换成任何三点确定的平面都能照做。

容易卡在：（1）中直接比较 $\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1}$ 与原式，得出 $x = 1$、$2y = 1$、$3z = 1$ 是对的，但要知道这一步的依据是”$\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CC_1}$ 不共面，分解唯一”。

常用推论

• $\{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\}$ 是基底时，$x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b} + z\boldsymbol{c} = \boldsymbol{0} \iff x = y = z = 0$。推导见本节“证明”唯一性部分（$\boldsymbol{0} = 0\boldsymbol{a} + 0\boldsymbol{b} + 0\boldsymbol{c}$ 是一种分解）。
• 比较系数：基底下 $x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b} + z\boldsymbol{c} = x'\boldsymbol{a} + y'\boldsymbol{b} + z'\boldsymbol{c} \iff x = x'$，$y = y'$，$z = z'$。就是唯一性。
• 判断共面的方法：三个向量共面 $\iff$ 其中一个能写成另两个的组合（另两个不共线时）$\iff$ 存在不全为 0 的 $x, y, z$ 使 $x\boldsymbol{p} + y\boldsymbol{q} + z\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}$。例 1 用的就是它。
• 平行六面体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中，体对角线 $AC_1$ 过 $\triangle A_1BD$ 的重心，且 $AP = \dfrac{1}{3}AC_1$。推导见例 3（2）；交点 $P$ 满足 $\overrightarrow{AP} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1})$，正是 $\triangle A_1BD$ 重心的表达式。

易错点

• 错在哪：认为 $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$、$\boldsymbol{b} - \boldsymbol{c}$、$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{c}$ 两两不共线，所以能作基底。 为什么错：基底要求三个向量不共面。三支箭两两方向不同，仍可能躺在同一个平面里。 正确做法：试着把一个写成另两个的组合，或者设 $x\boldsymbol{p} + y\boldsymbol{q} + z\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}$ 看是否只有零解。
• 错在哪：选的三个向量共面，却照样比较系数。 为什么错：共面的三个向量表示同一个向量的方法有无数种，系数不唯一。 正确做法：比较系数前写一句”$\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 不共面”。
• 错在哪：用基底表示向量时，各向量的起点不统一，例如把 $\overrightarrow{BN}$ 直接当成 $\overrightarrow{ON}$ 用。 为什么错：分解式 $x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b} + z\boldsymbol{c}$ 表示的是一个确定的向量，和点的位置要靠同一个起点联系起来。 正确做法：先把每个点写成从基底公共起点出发的向量，再用“终点减起点”。

直观理解

三个不共面的向量像房间墙角的三条棱：沿第一条走 $x$ 步、沿第二条走 $y$ 步、再沿第三条走 $z$ 步，能到达房间里任何一点，而且走法只有一种。三条棱一旦共面（墙角被压扁），就只能在一个平面上走，到不了平面外的点。

一句话记法：平面要两个不共线的方向，空间要三个不共面的方向。

关联知识点

• 前置：14.6 平面向量基本定理，本节证明的最后一步直接用它。
• 前置：26.2 共面向量定理，“不共面”的含义和唯一性证明都要用它。
• 后续：26.4 空间直角坐标系，取单位正交基底，$(x, y, z)$ 就是坐标。
• 后续：26.5 数量积的基底法：向量用基底表示后，数量积只需要知道基向量的模和两两夹角。
• 后续：第 27 章，不便建系的题（如斜三棱柱）用基底法求角和距离。

26.4 空间直角坐标系与空间向量的坐标运算

说明

空间直角坐标系：在空间选定一点 $O$ 和一个单位正交基底 $\{\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\}$，以 $O$ 为原点，分别以 $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ 的方向为正方向、以它们的长度为单位长度，建立三条数轴：$x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，得到空间直角坐标系 $Oxyz$。

• 每两条坐标轴确定一个坐标平面：$Oxy$ 平面、$Oyz$ 平面、$Ozx$ 平面。
• 右手直角坐标系：右手拇指指向 $x$ 轴正方向，食指指向 $y$ 轴正方向，中指指向 $z$ 轴正方向。教材和考试用的都是右手系。
• 画法：$x$ 轴画成与 $y$ 轴成 $135°$（即 $\angle xOy = 135°$），$y$ 轴水平向右，$z$ 轴竖直向上（$\angle yOz = 90°$）；$x$ 轴上的长度画成实际的一半。这就是第 18 章的斜二测画法。

点的坐标：对空间任一点 $P$，$\overrightarrow{OP} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k}$ 中的 $(x, y, z)$ 唯一（26.3 节），叫点 $P$ 的坐标，记作 $P(x, y, z)$。$x, y, z$ 分别叫横坐标、纵坐标、竖坐标。

特殊位置的点：

位置	坐标的特点	位置	坐标的特点
$x$ 轴上	$(x, 0, 0)$	$Oxy$ 平面内	$(x, y, 0)$
$y$ 轴上	$(0, y, 0)$	$Oyz$ 平面内	$(0, y, z)$
$z$ 轴上	$(0, 0, z)$	$Ozx$ 平面内	$(x, 0, z)$

对称点（点 $P(x, y, z)$ 关于……对称的点）：

关于	对称点	关于	对称点
$x$ 轴	$(x, -y, -z)$	$Oxy$ 平面	$(x, y, -z)$
$y$ 轴	$(-x, y, -z)$	$Oyz$ 平面	$(-x, y, z)$
$z$ 轴	$(-x, -y, z)$	$Ozx$ 平面	$(x, -y, z)$
原点	$(-x, -y, -z)$

记法：“关于谁对称，谁不变，其余变号”。关于 $x$ 轴，$x$ 不变；关于 $Oxy$ 平面，$x, y$ 不变。

向量的坐标：$\boldsymbol{a} = a_1\boldsymbol{i} + a_2\boldsymbol{j} + a_3\boldsymbol{k}$ 记作 $\boldsymbol{a} = (a_1, a_2, a_3)$。若 $A(x_1, y_1, z_1)$，$B(x_2, y_2, z_2)$，则

$$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1),$$

仍是“终点减起点”。

坐标运算：设 $\boldsymbol{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\boldsymbol{b} = (b_1, b_2, b_3)$，$\lambda \in \mathbf{R}$。

运算	坐标
加法	$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3)$
减法	$\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3)$
数乘	$\lambda\boldsymbol{a} = (\lambda a_1, \lambda a_2, \lambda a_3)$
相等	$\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b} \iff a_1 = b_1, a_2 = b_2, a_3 = b_3$
平行（$\boldsymbol{b} \ne \boldsymbol{0}$）	$\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b} \iff \boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{b} \iff a_1 = \lambda b_1, a_2 = \lambda b_2, a_3 = \lambda b_3$

两点间距离与中点：$A(x_1, y_1, z_1)$，$B(x_2, y_2, z_2)$，

$$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}, \qquad AB \text{ 的中点 } \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right).$$

特别地，$P(x, y, z)$ 到原点的距离 $|OP| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。

使用场景

• 在正方体、长方体、直棱柱、侧棱垂直底面的锥体中建系，写点和向量的坐标：题目图里有“三条两两垂直且交于一点”的直线。
• 求对称点、投影点、点到坐标轴或坐标平面的距离：题目出现“关于 $x$ 轴（$Oxy$ 平面）对称的点”“在 $Oyz$ 平面上的射影”。
• 坐标的线性运算，已知两向量平行求参数：题目给出向量坐标，求 $2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$，或说 $k\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$ 与某向量平行。
• 判断三点共线、求两点距离和中点：题目给三个点的坐标，问是否共线或已知共线求参数，求线段长和中点。

注意点

• 建系必须找三条两两垂直的直线。正方体、长方体自带；直棱柱、侧棱垂直底面的锥体要在底面里再找一对垂直的直线（常用等腰三角形的中线、菱形的对角线）。
• 点在坐标轴负半轴一侧时坐标是负数，写坐标前先看清各点在原点的哪一侧。
• 平行的坐标条件不能再用平面里的 $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$ 一个式子，要三个分量同时成比例。写成 $\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = \dfrac{a_3}{b_3}$ 只在 $b_1, b_2, b_3$ 都不为 0 时可以用；有分量为 0 时用 $\boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{b}$ 逐个分量写。
• 向量的坐标和点的坐标只有在起点是原点时才相同；起点不是原点时用“终点减起点”。

证明

结论 1：坐标运算法则。 设 $\boldsymbol{a} = a_1\boldsymbol{i} + a_2\boldsymbol{j} + a_3\boldsymbol{k}$，$\boldsymbol{b} = b_1\boldsymbol{i} + b_2\boldsymbol{j} + b_3\boldsymbol{k}$。由向量加法和数乘的运算律：

$$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (a_1 + b_1)\boldsymbol{i} + (a_2 + b_2)\boldsymbol{j} + (a_3 + b_3)\boldsymbol{k},$$

由坐标的定义（关键一步：$\{\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\}$ 是基底，分解式唯一，所以前面的系数就是坐标），$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3)$。减法、数乘同理；相等的条件就是分解唯一性。

结论 2：终点减起点。 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$，而 $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$ 的坐标就是 $A$、$B$ 的坐标，再用减法法则。

结论 3：平行的条件。 由共线向量定理，$\boldsymbol{b} \ne \boldsymbol{0}$ 时 $\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b} \iff \boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{b}$，再由相等的条件，逐个分量相等。

结论 4：距离公式。 设 $P(x, y, z)$，它在 $Oxy$ 平面上的投影是 $P'(x, y, 0)$（见本节第一张图）。

• 在 $Oxy$ 平面内，由平面的距离公式（15.5 节），$|OP'|^2 = x^2 + y^2$。
• $PP'$ 垂直于 $Oxy$ 平面，所以 $PP' \perp OP'$（关键一步：直线垂直于平面，就垂直于平面内的每一条直线，19.4 节），$\triangle OP'P$ 是直角三角形，$|PP'| = |z|$。
• 由勾股定理，$|OP|^2 = |OP'|^2 + |PP'|^2 = x^2 + y^2 + z^2$。

一般的 $|AB|$ 就是 $|\overrightarrow{AB}|$，把 $\overrightarrow{AB}$ 的坐标代入即得。26.5 节会用数量积再推一次。

结论 5：对称点。 以关于 $x$ 轴对称为例：$P(x, y, z)$ 与 $P'$ 关于 $x$ 轴对称，即 $PP'$ 的中点在 $x$ 轴上且 $PP' \perp x$ 轴。$PP'$ 垂直于 $x$ 轴，两点横坐标相同；中点在 $x$ 轴上，中点的纵、竖坐标为 0，所以 $P'$ 的纵、竖坐标是 $-y$、$-z$。其余情形同理。

例题

例 1　（场景：建系写坐标）正方体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 2，$E$ 是 $BB_1$ 的中点，$F$ 是 $C_1D_1$ 的中点。以 $D$ 为原点，$DA$、$DC$、$DD_1$ 所在直线分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴建立空间直角坐标系。写出各顶点和 $E$、$F$ 的坐标，求 $\overrightarrow{EF}$、$\overrightarrow{A_1C}$ 的坐标和 $|EF|$。

解：$DA$、$DC$、$DD_1$ 两两垂直，可以这样建系。各点坐标：

点	坐标	点	坐标
$D$	$(0, 0, 0)$	$D_1$	$(0, 0, 2)$
$A$	$(2, 0, 0)$	$A_1$	$(2, 0, 2)$
$B$	$(2, 2, 0)$	$B_1$	$(2, 2, 2)$
$C$	$(0, 2, 0)$	$C_1$	$(0, 2, 2)$

$E$ 是 $B(2, 2, 0)$、$B_1(2, 2, 2)$ 的中点，$E(2, 2, 1)$；$F$ 是 $C_1(0, 2, 2)$、$D_1(0, 0, 2)$ 的中点，$F(0, 1, 2)$。

$$\overrightarrow{EF} = (0 - 2, 1 - 2, 2 - 1) = (-2, -1, 1), \qquad \overrightarrow{A_1C} = (0 - 2, 2 - 0, 0 - 2) = (-2, 2, -2),$$ $$|EF| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}.$$

容易卡在：上底面的点忘了竖坐标是 2，或把 $B$ 写成 $(0, 2, 0)$（那是 $C$）。写坐标的办法：从原点出发，看这个点“沿 $x$ 轴走多少、沿 $y$ 轴走多少、向上走多少”。

例 2　（场景：对称点、投影和到坐标轴的距离）已知点 $P(2, -3, 1)$。

（1）求 $P$ 关于 $x$ 轴、$Oyz$ 平面、原点的对称点；

（2）求 $P$ 在 $Oxy$ 平面上的投影，以及 $P$ 到 $x$ 轴、到 $Oxy$ 平面的距离。

解：

（1）关于 $x$ 轴：$x$ 不变，$y, z$ 变号，得 $(2, 3, -1)$。关于 $Oyz$ 平面：$y, z$ 不变，$x$ 变号，得 $(-2, -3, 1)$。关于原点：全部变号，得 $(-2, 3, -1)$。

（2）在 $Oxy$ 平面上的投影：竖坐标变为 0，得 $(2, -3, 0)$。

$P$ 到 $x$ 轴的距离：过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足是 $(2, 0, 0)$，距离为

$$\sqrt{(2 - 2)^2 + (-3 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{10}.$$

$P$ 到 $Oxy$ 平面的距离就是竖坐标的绝对值 $|1| = 1$。

容易卡在：把“关于 $x$ 轴对称”和“关于 $Oyz$ 平面对称”记混。按“关于谁对称谁不变”：$x$ 轴只管 $x$，$Oyz$ 平面管 $y$ 和 $z$。

例 3　（场景：坐标线性运算与平行求参数）已知 $\boldsymbol{a} = (1, 0, 1)$，$\boldsymbol{b} = (0, 1, -1)$。

（1）求 $2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$、$3\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}$ 的坐标；

（2）若 $k\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$ 与 $2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$ 平行，求实数 $k$。

解：

（1）$2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = (2 - 0, 0 - 1, 2 + 1) = (2, -1, 3)$；$3\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b} = (3 + 0, 0 + 2, 3 - 2) = (3, 2, 1)$。

（2）$k\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (k, 1, k - 1)$。$2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = (2, -1, 3) \ne \boldsymbol{0}$，设 $k\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = \lambda(2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b})$：

$$\begin{cases} k = 2\lambda, \\ 1 = -\lambda, \\ k - 1 = 3\lambda. \end{cases}$$

由第二式 $\lambda = -1$，代入第一式 $k = -2$；检验第三式：$-2 - 1 = -3 = 3 \times (-1)$，成立。所以 $k = -2$。

另一种解法：不算坐标，直接用向量。$\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 不共线（坐标不成比例），设 $k\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = \lambda(2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) = 2\lambda\boldsymbol{a} - \lambda\boldsymbol{b}$，由 14.6 节比较系数：$k = 2\lambda$，$1 = -\lambda$，得 $k = -2$。这个结论与 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 的具体坐标无关，只要它们不共线就成立。题目里的向量是同一组 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 的组合时，比较系数更快；只给了坐标、看不出组合关系时，用坐标逐个分量写。

容易卡在：照搬平面的“交叉相乘”，只用两个分量列一个方程，漏了第三个分量的检验。

例 4　（场景：三点共线、距离和中点）已知 $A(1, 2, -1)$，$B(2, 0, 1)$，$C(4, y, z)$ 三点共线，求 $y, z$，并求 $|AB|$ 和线段 $AC$ 的中点坐标。

解：$\overrightarrow{AB} = (1, -2, 2)$，$\overrightarrow{AC} = (3, y - 2, z + 1)$。三点共线，$\overrightarrow{AB} \ne \boldsymbol{0}$，所以存在 $\lambda$ 使 $\overrightarrow{AC} = \lambda\overrightarrow{AB}$：

$$\begin{cases} 3 = \lambda, \\ y - 2 = -2\lambda, \\ z + 1 = 2\lambda, \end{cases}$$

得 $\lambda = 3$，$y = -4$，$z = 5$。

$|AB| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = 3$。$C(4, -4, 5)$，$AC$ 的中点为

$$\left(\frac{1 + 4}{2}, \frac{2 + (-4)}{2}, \frac{-1 + 5}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, -1, 2\right).$$

常用推论

• 中点公式、三角形重心：$\triangle ABC$ 的重心坐标是三个顶点坐标的平均数 $\left(\dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \dfrac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right)$。推导：26.2 节 $\overrightarrow{OG} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$，取 $O$ 为原点后按分量算。
• 对称点：关于谁对称，谁不变，其余变号。推导见本节“证明”结论 5。
• 点到坐标轴、坐标平面的距离：$P(x, y, z)$ 到 $x$ 轴的距离是 $\sqrt{y^2 + z^2}$，到 $y$ 轴是 $\sqrt{x^2 + z^2}$，到 $z$ 轴是 $\sqrt{x^2 + y^2}$；到 $Oxy$ 平面的距离是 $|z|$，到 $Oyz$ 平面是 $|x|$，到 $Ozx$ 平面是 $|y|$。推导：到 $x$ 轴的垂足是 $(x, 0, 0)$，代入距离公式（例 2）。
• 平行的坐标条件：$\boldsymbol{b}$ 的三个分量都不为 0 时，$\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b} \iff \dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = \dfrac{a_3}{b_3}$。由 $\boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{b}$ 逐个分量除以 $b_i$ 得到。

易错点

• 错在哪：在斜三棱柱或底面不是直角的四棱锥里，直接以某个顶点和从它出发的三条棱建系。 为什么错：坐标系的三条轴必须两两垂直；三条棱不两两垂直时，用距离公式、数量积坐标公式算出的结果都是错的。 正确做法：建系前逐对确认垂直（最好写在答卷上：“因为……所以 $DA, DC, DD_1$ 两两垂直”）；找不到时在底面作垂线构造，或改用基底法（26.5 节）。
• 错在哪：$P(x, y, z)$ 关于 $x$ 轴的对称点写成 $(-x, y, z)$。 为什么错：$(-x, y, z)$ 是关于 $Oyz$ 平面的对称点。关于 $x$ 轴对称，$P$ 绕 $x$ 轴转半圈，$x$ 不变。 正确做法：记“关于谁对称谁不变”，轴管一个坐标，平面管两个坐标。
• 错在哪：判断 $\boldsymbol{a} = (2, 4, 1)$ 与 $\boldsymbol{b} = (1, 2, 3)$ 平行，只看前两个分量成比例。 为什么错：空间向量有三个分量，必须三个同时成比例。这里 $\dfrac{2}{1} = \dfrac{4}{2} \ne \dfrac{1}{3}$，不平行。 正确做法：设 $\boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{b}$，三个分量都写出来，求出 $\lambda$ 后逐个检验。

直观理解

空间直角坐标系像一栋楼的房间编号：$x$ 是“往前走几步”，$y$ 是“往右走几步”，$z$ 是“上几层楼”。点 $P(2, 3, 2)$ 就是从原点往前 2、往右 3、上 2 层。距离公式是勾股定理用两次：先在地面上算斜线，再和楼层高度组成直角三角形。

向量的坐标运算和平面一模一样，只是每个式子多写一个分量。所以第 15 章的公式记住了，本章只要“补上第三项”。

关联知识点

• 前置：第 15 章 15.2 节平面向量的坐标表示，所有法则多加一个分量即可。
• 前置：第 18 章斜二测画法，空间直角坐标系的画法与它一致。
• 前置：第 19 章线面垂直的定义，距离公式的推导和“建系要两两垂直”都靠它。
• 后续：26.5 数量积的坐标公式。
• 后续：第 27 章，立体几何解答题的标准步骤“建系—写坐标—求方向向量和法向量—套公式”，前两步就是本节。

26.5 空间向量的数量积（夹角、模、垂直）

说明

夹角：已知两个非零向量 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$，在空间任取一点 $O$，作 $\overrightarrow{OA} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB} = \boldsymbol{b}$，则 $\angle AOB$ 叫 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角，记作 $\langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle$，范围 $0 \le \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle \le \pi$。$\langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle = \dfrac{\pi}{2}$ 时 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$。

空间里两个向量所在的直线可能异面，但向量能平移，所以总能移到同一起点，夹角的定义和平面完全一样。

数量积：

$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle.$$

规定零向量与任一向量的数量积为 0。运算律（交换律、数乘结合、分配律）、$\boldsymbol{a}^2 = |\boldsymbol{a}|^2$、没有结合律、不能约分，全部同 15.3 节。

坐标公式：设 $\boldsymbol{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\boldsymbol{b} = (b_1, b_2, b_3)$，则

$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3.$$

三个常用公式（$\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 非零）：

求什么	定义形式	坐标形式
夹角	$\cos\langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle = \dfrac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{\lvert\boldsymbol{a}\rvert\lvert\boldsymbol{b}\rvert}$	$\dfrac{a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}$
垂直	$\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} \iff \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0$	$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0$
模	$\lvert\boldsymbol{a}\rvert = \sqrt{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}}$	$\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

投影向量：$\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 上的投影向量仍是 $\dfrac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{\lvert\boldsymbol{b}\rvert^2}\boldsymbol{b}$（15.4 节）。空间里还可以把向量投影到平面上：从 $\boldsymbol{a}$ 的起点和终点分别向平面作垂线，两个垂足连成的向量就是 $\boldsymbol{a}$ 在平面上的投影向量。它是第 27 章线面角的来源。

求数量积的两条路：

• 基底法：选三个长度和两两夹角都已知的向量做基底，把要算的向量都用基底表示，再像多项式乘法一样展开。
• 坐标法：建系写坐标，套坐标公式。

使用场景

• 用基底法求长度和夹角：图形是一般的平行六面体、斜棱柱，题目给的是棱长和棱之间的夹角（如”$\angle BAA_1 = 60°$“），找不到三条两两垂直的直线。
• 用数量积证明两条直线垂直（不建系）：题目给的是四面体中的垂直条件，要证另一对棱垂直。
• 用坐标法求夹角、判断垂直：图形是正方体、长方体、直棱柱，能建系。
• 已知垂直或夹角的范围求参数：题目给出含参数的向量坐标，说两个向量垂直，或夹角为锐角、钝角。

注意点

• 向量的夹角范围是 $[0, \pi]$；第 27 章异面直线所成的角范围是 $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right]$，要对 $\cos\langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle$ 取绝对值。两者不要混。
• 求模一律“先平方再开方”：$|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}|^2 = |\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 + |\boldsymbol{c}|^2 + 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + 2\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} + 2\boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{a}$，三项平方加三个交叉项。
• 求夹角时两个向量要起点重合。$\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角是 $\pi - \angle ABC$，不是 $\angle ABC$。
• 夹角为锐角 $\iff \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} > 0$ 且不同向；夹角为钝角 $\iff \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} < 0$ 且不反向（同 15.5 节）。
• 坐标公式只在单位正交基底（空间直角坐标系）下成立。斜的基底下不能“对应相乘相加”。

证明

为什么空间的数量积性质和平面一样。 数量积的定义只用到两个向量的模和夹角，而任意两个向量都能平移到同一平面里，所以 15.3 节对两个向量的结论（交换律、数乘结合、$\boldsymbol{a}^2 = |\boldsymbol{a}|^2$）原样成立。分配律 $(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} + \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}$ 涉及三个向量，可能不共面，但 15.3 节的证明是把向量投影到 $\boldsymbol{c}$ 所在的数轴上，“$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$ 的影子等于两个影子之和”在空间里同样成立（从 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 的端点作垂直于 $\boldsymbol{c}$ 的平面，平面与数轴的交点就是影子的端点），所以分配律也成立。

坐标公式。 设 $\boldsymbol{a} = a_1\boldsymbol{i} + a_2\boldsymbol{j} + a_3\boldsymbol{k}$，$\boldsymbol{b} = b_1\boldsymbol{i} + b_2\boldsymbol{j} + b_3\boldsymbol{k}$。由分配律展开，共 9 项：

$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_1b_1\boldsymbol{i}^2 + a_2b_2\boldsymbol{j}^2 + a_3b_3\boldsymbol{k}^2 + (a_1b_2 + a_2b_1)\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{j} + (a_2b_3 + a_3b_2)\boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{k} + (a_1b_3 + a_3b_1)\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{k}.$$

（关键一步：$\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ 是单位向量且两两垂直，所以 $\boldsymbol{i}^2 = \boldsymbol{j}^2 = \boldsymbol{k}^2 = 1$，$\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{j} = \boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{k} = \boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{k} = 0$，六个交叉项全部消失。这也说明斜的基底下坐标公式不成立。）于是 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$。

夹角、垂直、模的公式：由定义 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle$ 变形，推导同 15.5 节。取 $\boldsymbol{b} = \boldsymbol{a}$，得 $|\boldsymbol{a}|^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2$，这是 26.4 节距离公式的另一种推导。

例题

例 1　（场景：基底法求长度和夹角）在平行六面体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB = AD = 2$，$AA_1 = 3$，$\angle BAD = 90°$，$\angle BAA_1 = \angle DAA_1 = 60°$。求 $AC_1$ 的长，以及 $\overrightarrow{AC_1}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 夹角的余弦值。

（图形与 26.2 节平行六面体法则的图相同。）

解：设 $\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD} = \boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AA_1} = \boldsymbol{c}$。先算基向量两两的数量积：

$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 2 \times 2 \times \cos 90° = 0, \quad \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} = 2 \times 3 \times \cos 60° = 3, \quad \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} = 2 \times 3 \times \cos 60° = 3.$$

$\overrightarrow{AC_1} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}$，先平方：

$$|\overrightarrow{AC_1}|^2 = |\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 + |\boldsymbol{c}|^2 + 2(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} + \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}) = 4 + 4 + 9 + 2(0 + 3 + 3) = 29,$$

所以 $AC_1 = \sqrt{29}$。

$$\overrightarrow{AC_1} \cdot \overrightarrow{AB} = (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}) \cdot \boldsymbol{a} = |\boldsymbol{a}|^2 + \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} = 4 + 0 + 3 = 7,$$ $$\cos\langle \overrightarrow{AC_1}, \overrightarrow{AB} \rangle = \frac{7}{\sqrt{29} \times 2} = \frac{7\sqrt{29}}{58}.$$

容易卡在：平方展开时只写了 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 一个交叉项，或忘了乘 2。三个向量和的平方有三个交叉项，每个都乘 2。

例 2　（场景：用数量积证明垂直）在四面体 $OABC$ 中，$OA \perp BC$，$OB \perp AC$。求证：$OC \perp AB$。

解：设 $\overrightarrow{OA} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB} = \boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{OC} = \boldsymbol{c}$。则 $\overrightarrow{BC} = \boldsymbol{c} - \boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{AC} = \boldsymbol{c} - \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}$。

由 $OA \perp BC$：$\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{c} - \boldsymbol{b}) = 0$，即 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$。

由 $OB \perp AC$：$\boldsymbol{b} \cdot (\boldsymbol{c} - \boldsymbol{a}) = 0$，即 $\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$。

于是

$$\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{AB} = \boldsymbol{c} \cdot (\boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}) = \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} - \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} - \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0.$$

$\overrightarrow{OC}$、$\overrightarrow{AB}$ 都不是零向量，所以 $OC \perp AB$。

容易卡在：不知道从哪下手。把每条棱都用从同一顶点 $O$ 出发的三个向量表示，条件和结论就都成了 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$、$\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}$、$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}$ 之间的等式。

例 3　（场景：坐标法求夹角、判断垂直）沿用 26.4 节例 1 的正方体和坐标系（棱长 2，$E$ 是 $BB_1$ 中点，$F$ 是 $C_1D_1$ 中点）。

（1）求 $\overrightarrow{EF}$ 与 $\overrightarrow{DB_1}$ 夹角的余弦值；

（2）判断 $EF$ 与 $A_1C$ 是否垂直。

解：由 26.4 节例 1，$\overrightarrow{EF} = (-2, -1, 1)$，$\overrightarrow{A_1C} = (-2, 2, -2)$；$D(0, 0, 0)$，$B_1(2, 2, 2)$，$\overrightarrow{DB_1} = (2, 2, 2)$。

（1）

$$\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{DB_1} = -4 - 2 + 2 = -4, \quad |\overrightarrow{EF}| = \sqrt{6}, \quad |\overrightarrow{DB_1}| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3},$$ $$\cos\langle \overrightarrow{EF}, \overrightarrow{DB_1} \rangle = \frac{-4}{\sqrt{6} \times 2\sqrt{3}} = \frac{-4}{6\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{3}.$$

（2）$\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{A_1C} = (-2) \times (-2) + (-1) \times 2 + 1 \times (-2) = 4 - 2 - 2 = 0$，所以 $EF \perp A_1C$。

（1）中余弦是负数，向量夹角是钝角；如果题目问的是“异面直线 $EF$ 与 $DB_1$ 所成角的余弦值”，要取绝对值，答 $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$（第 27 章）。

例 4　（场景：已知垂直或夹角范围求参数）已知 $\boldsymbol{a} = (1, 0, 1)$，$\boldsymbol{b} = (0, 1, -1)$。

（1）若 $k\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$ 与 $2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$ 垂直，求 $k$；

（2）若 $k\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$ 与 $2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$ 的夹角为钝角，求 $k$ 的取值范围。

解：$k\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (k, 1, k - 1)$，$2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = (2, -1, 3)$。

$$(k\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot (2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) = 2k - 1 + 3(k - 1) = 5k - 4.$$

（1）$5k - 4 = 0$，$k = \dfrac{4}{5}$。

（2）夹角为钝角 $\iff$ 数量积小于 0 且两向量不反向。$5k - 4 < 0$ 得 $k < \dfrac{4}{5}$。由 26.4 节例 3，两向量平行时 $k = -2$，此时 $k\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (-2, 1, -3) = -(2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b})$，方向相反，夹角为 $\pi$，要排除。

所以 $k < \dfrac{4}{5}$ 且 $k \ne -2$。

容易卡在：（2）忘了排除反向的情况。数量积小于 0 包括夹角为 $\pi$，而 $\pi$ 不是钝角。

常用推论

• $|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}|^2 = |\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 + |\boldsymbol{c}|^2 + 2(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} + \boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{a})$。由分配律展开（例 1）。
• 从同一顶点出发、长度都为 $l$、两两夹角都是 $60°$ 的三条棱，和向量的长度是 $\sqrt{6}l$。代入上式：$3l^2 + 2 \times 3 \times \dfrac{l^2}{2} = 6l^2$。正四面体、棱长相等且夹角 $60°$ 的平行六面体常用。
• 四面体对棱垂直：若四面体两组对棱分别垂直，则第三组对棱也垂直。推导见例 2。特别地，正四面体的对棱互相垂直：棱长为 $l$ 时 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}) = \dfrac{l^2}{2} - \dfrac{l^2}{2} = 0$。
• 两条线段垂直，就是它们对应的向量数量积为 0；求两点距离，就是求对应向量的模。立体几何里“证垂直”“求长度”都可以翻译成本节的公式。

易错点

• 错在哪：例 1 这类斜平行六面体建了坐标系，用 $(2, 0, 0)$、$(0, 2, 0)$、$(0, 0, 3)$ 表示三条棱。 为什么错：$AA_1$ 与 $AB$、$AD$ 不垂直，三条棱不能当坐标轴，坐标写错，数量积公式也不成立。 正确做法：棱之间有非直角的夹角时用基底法；一定要建系，就先算出 $A_1$ 在底面上的射影，再写坐标。
• 错在哪：求出 $\cos\langle \overrightarrow{EF}, \overrightarrow{DB_1} \rangle = -\dfrac{\sqrt{2}}{3}$，题目问异面直线所成角也答负值。 为什么错：异面直线所成角的范围是 $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right]$，余弦不能是负数；向量的夹角才可以是钝角。 正确做法：看清问的是“向量的夹角”还是“直线所成的角”，后者取绝对值。
• 错在哪：夹角为钝角只写 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} < 0$。 为什么错：两向量反向时夹角是 $\pi$，数量积也小于 0。 正确做法：解出数量积的不等式后，再求出两向量平行时的参数值，把反向的那个去掉（锐角则去掉同向的）。

直观理解

数量积衡量两个向量“有多同向”：同向时最大，垂直时为 0，反向时最小。空间里两个向量哪怕所在直线异面，平移到一起后就是一个平面上的角，所以一切和平面一样。

坐标公式里交叉项全部消失，是因为 $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ 两两垂直，互相之间“没有影子”。这也是为什么能建系就建系：坐标法把立体图形的计算变成三项乘积相加，不用想空间关系；基底法要先算出三个基向量两两的数量积，留给不能建系的图形。

关联知识点

• 前置：第 15 章 15.3–15.5 节，定义、运算律、夹角、垂直、模的公式全部沿用。
• 前置：26.3 空间向量基本定理（基底法）、26.4 坐标运算（坐标法）。
• 后续：第 27 章，异面直线所成角、线面角、二面角都化成两个向量的夹角；点到平面的距离用投影（数量积）求。
• 后续：第 27 章法向量：平面的法向量 $\boldsymbol{n}$ 满足与平面内两个不共线向量的数量积都为 0。
• 常一起考：第 19 章垂直的判定。证明线面垂直时，用数量积说明直线与平面内两条相交直线都垂直。

26.6 知识点之间的关系

本章是第 14、15 章在空间里的“重演”，每一步都多一个维度：线性运算不变，共线向量定理不变，平面向量基本定理在空间里先变成共面向量定理（两个不共线向量撑开一个平面，26.2），再加一个不在这个平面里的方向，就得到空间向量基本定理（26.3）。取三个两两垂直的单位向量做基底，分解系数就是坐标（26.4），向量运算变成三个分量的运算。数量积（26.5）的定义不变，在单位正交基底下展开就得到“对应相乘相加”的坐标公式。

考试里，本章几乎都以“工具”的身份出现在立体几何解答题中：先判断能不能建系（找三条两两垂直的直线），能就用坐标法（26.4、26.5），不能就选三条已知长度和夹角的棱做基底（26.3、26.5）。小题偶尔单独考四点共面的系数和、基底的判断、坐标的平行垂直条件。第 27 章的求角求距离，全部是本章运算的组合。

26.7 自测

1. 在平行六面体 $ABCD\text{-}A_1B_1C_1D_1$ 中，化简 $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B_1C_1} + \overrightarrow{CC_1}$。
2. 设 $O$ 为空间任一点，$A, B, C$ 三点不共线，$\overrightarrow{OP} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{OA} + x\overrightarrow{OB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{OC}$。若 $P, A, B, C$ 四点共面，求 $x$。
3. 已知 $\{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\}$ 是空间的一个基底，$\{\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}, \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\}$ 和 $\{\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}, \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}, 2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}\}$ 中，哪一组能作为空间的基底？
4. 在四面体 $OABC$ 中，$M, N$ 分别是 $OA$、$BC$ 的中点，设 $\overrightarrow{OA} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB} = \boldsymbol{b}$，$\overrightarrow{OC} = \boldsymbol{c}$，用 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 表示 $\overrightarrow{MN}$。
5. 求点 $P(1, -2, 3)$ 关于 $Ozx$ 平面的对称点和关于 $y$ 轴的对称点。
6. 已知 $\boldsymbol{a} = (2, -1, 4)$，$\boldsymbol{b} = (-4, m, n)$，且 $\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}$，求 $m, n$。
7. 已知 $A(1, 0, 2)$，$B(3, -2, 1)$，求 $|AB|$。
8. 已知 $\boldsymbol{a} = (1, 0, 1)$，$\boldsymbol{b} = (1, 1, 0)$，求 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角。
9. 已知 $|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{c}| = 1$，且两两夹角都是 $60°$，求 $|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}|$。
10. 已知 $\boldsymbol{a} = (x, 2, 1)$，$\boldsymbol{b} = (1, -1, x)$，若 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$，求 $x$。

答案：1. $\overrightarrow{AC_1}$；2. $x = \dfrac{1}{4}$；3. 第一组；4. $\overrightarrow{MN} = -\dfrac{1}{2}\boldsymbol{a} + \dfrac{1}{2}\boldsymbol{b} + \dfrac{1}{2}\boldsymbol{c}$；5. $(1, 2, 3)$，$(-1, -2, -3)$；6. $m = 2$，$n = -8$；7. 3；8. $\dfrac{\pi}{3}$；9. $\sqrt{6}$；10. $x = 1$。

26.8 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，有人教版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何的同步课程和教材电子版。
• GeoGebra 3D 计算器：输入点和向量的坐标就能在三维坐标系里画出来，可以旋转视角，适合配合 26.4 节练习写坐标、看对称点。
• Wolfram MathWorld · Dot Product：数量积的英文定义和坐标公式，查记号和英文术语时用。
• 维基百科 · 点积：数量积（点积）的中文条目，可以看到它在任意维数下的定义和几何意义。