第 29 章 · 圆的方程

项目	内容
课标主题	选择性必修 · 几何与代数 · 平面解析几何（圆与方程）
人教 A 版	选择性必修第一册 第二章 2.4 圆的方程，2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
考试地位	常考。多为选择题、填空题，考弦长、切线、圆上点到直线距离的最值、两圆位置关系；也常作为圆锥曲线解答题里的一个条件出现
前置知识	第 28 章直线的方程（斜率、两直线垂直、点到直线的距离）；初中圆的性质（垂径定理、切线垂直于半径）；第 4 章一元二次方程的判别式

圆是解析几何里第一条曲线。这一章把初中学过的圆的性质“翻译”成方程，再用代数去算距离、弦长和切线。题目一般不难，难在两件事：一是做题时只会联立方程硬算，不会用“圆心到直线的距离”这条捷径；二是条件漏看，比如过圆外一点求切线漏掉斜率不存在的那条、两圆相切只考虑外切、一般方程忘了 $D^2+E^2-4F>0$。

29.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
29.2 圆的标准方程和一般方程	圆心 $(a,b)$、半径 $r$ 的圆是 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$；展开后是 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，要求 $D^2+E^2-4F>0$	常考，多和其他知识点一起考
29.3 直线与圆的位置关系	比较圆心到直线的距离 $d$ 与半径 $r$；弦长 $2\sqrt{r^2-d^2}$；切线垂直于过切点的半径	常考，弦长、切线、距离最值是高频小题
29.4 圆与圆的位置关系	比较圆心距 $d$ 与 $r_1+r_2$、$\lvert r_1-r_2\rvert$；两圆方程相减得公共弦所在直线	常考小题，相切要分内切和外切

29.2 圆的标准方程和一般方程

说明

圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合。定点叫圆心，定长叫半径。

标准方程：圆心为 $C(a,b)$、半径为 $r$（$r>0$）的圆的方程是

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.$$

圆心在原点时简化为 $x^2+y^2=r^2$。

一般方程：把标准方程展开整理，得到

$$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0.$$

反过来，这个方程不一定表示圆。配方得

$$\left(x+\frac{D}{2}\right)^2+\left(y+\frac{E}{2}\right)^2=\frac{D^2+E^2-4F}{4}.$$

条件	方程表示什么
$D^2+E^2-4F>0$	圆，圆心 $\left(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\right)$，半径 $\dfrac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}$
$D^2+E^2-4F=0$	只有一个点 $\left(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\right)$
$D^2+E^2-4F<0$	不表示任何图形

两种方程各有用处：标准方程直接读出圆心和半径，适合已知圆心或半径的题；一般方程没有平方，三个未知数 $D$、$E$、$F$ 地位平等，适合已知圆上三点的题。

一般的二元二次方程 $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ 表示圆，要同时满足三条：$x^2$ 与 $y^2$ 的系数相等且不为 0（$A=C\ne0$）、没有 $xy$ 项（$B=0$）、两边同除以 $A$ 后 $D^2+E^2-4AF>0$。

点与圆的位置关系：点 $P(x_0,y_0)$ 与圆心 $C(a,b)$、半径 $r$ 的圆：

位置	几何条件	代入标准方程
点在圆外	$\lvert PC\rvert>r$	$(x_0-a)^2+(y_0-b)^2>r^2$
点在圆上	$\lvert PC\rvert=r$	$(x_0-a)^2+(y_0-b)^2=r^2$
点在圆内	$\lvert PC\rvert<r$	$(x_0-a)^2+(y_0-b)^2<r^2$

用一般方程时，把点代入左边 $x_0^2+y_0^2+Dx_0+Ey_0+F$，看它大于、等于还是小于 0，结论一样（见本节“常用推论”）。

使用场景

• 已知圆心和半径，或者条件能直接算出圆心和半径（如已知直径的两个端点）：用标准方程直接写。
• 已知圆上三个点，求圆的方程：设一般方程，代入三点解 $D$、$E$、$F$。
• 已知圆心在某条直线上，圆过两个已知点：设标准方程，圆心用一个参数表示。
• 题目给出一般方程，问圆心半径，或者问“方程表示圆时参数的范围”：配方，或者用 $D^2+E^2-4F>0$。
• 判断点在圆内、圆上还是圆外，或者由点的位置求参数：比较点到圆心的距离与半径。
• 动点满足某个几何条件，求它的轨迹方程：设动点坐标 $(x,y)$，把条件翻译成方程；动点随圆上的点运动时，用“代入法”。

注意点

• 标准方程右边是 $r^2$，不是 $r$。$(x-1)^2+y^2=8$ 的半径是 $2\sqrt{2}$。
• 圆心坐标和方程里的符号相反：$(x+2)^2+(y-3)^2=5$ 的圆心是 $(-2,3)$；一般方程的圆心是 $\left(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\right)$。
• 用一般方程的公式之前，先确认 $x^2$、$y^2$ 的系数都是 1。不是 1 就先两边同除。
• 含参数的一般方程，题目说它“是圆”时，要把 $D^2+E^2-4F>0$ 作为一个条件写进去，和其他条件联立。
• 求轨迹方程时，最后要检查有没有要去掉的点（比如动点不能和某个定点重合、三点要构成三角形）。

证明

结论 1：圆心 $C(a,b)$、半径 $r$ 的圆的方程是 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。

设 $P(x,y)$ 是平面上任一点。由两点间距离公式（第 28 章），

$$|PC|=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}.$$

$P$ 在圆上 $\iff$ $|PC|=r$ $\iff$ $\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r$ $\iff$ $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。

（关键一步：两边平方不会多出解，因为左边的根号和右边的 $r$ 都是非负数，非负数相等与它们的平方相等是等价的。）

所以”$P$ 在圆上“和”$P$ 的坐标满足方程“是一回事：圆上每个点的坐标都满足方程，满足方程的点也都在圆上。这正是”曲线的方程“的含义。

结论 2：$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 在 $D^2+E^2-4F>0$ 时表示圆。

对 $x$、$y$ 分别配方：

$$x^2+Dx=\left(x+\frac{D}{2}\right)^2-\frac{D^2}{4},\qquad y^2+Ey=\left(y+\frac{E}{2}\right)^2-\frac{E^2}{4}.$$

代入原方程并移项：

$$\left(x+\frac{D}{2}\right)^2+\left(y+\frac{E}{2}\right)^2=\frac{D^2+E^2-4F}{4}.$$

左边是点 $(x,y)$ 到点 $\left(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\right)$ 的距离的平方，一定大于等于 0。（关键一步：右边是“距离的平方”应等于的值，所以右边的符号决定一切。）

• 右边大于 0：这是圆心 $\left(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\right)$、半径 $\dfrac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}$ 的圆的标准方程。
• 右边等于 0：距离为 0，只有圆心这一个点。
• 右边小于 0：距离的平方不能是负数，没有点满足方程。

例题

例 1　（场景：已知圆心半径或能直接求出）已知 $A(1,4)$、$B(3,-2)$，求以线段 $AB$ 为直径的圆的方程，并判断点 $M(4,2)$ 与这个圆的位置关系。

解：圆心是直径的中点 $C\left(\dfrac{1+3}{2},\dfrac{4+(-2)}{2}\right)=(2,1)$。

半径是 $|AC|=\sqrt{(1-2)^2+(4-1)^2}=\sqrt{10}$。

圆的方程是 $(x-2)^2+(y-1)^2=10$。

把 $M(4,2)$ 代入左边：$(4-2)^2+(2-1)^2=5<10$，所以 $M$ 在圆内。

例 2　（场景：已知三点）求过 $O(0,0)$、$A(1,1)$、$B(4,2)$ 三点的圆的方程，并求圆心和半径。

解：设圆的方程为 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$。三点代入：

$$\begin{cases} F=0, \\ 1+1+D+E+F=0, \\ 16+4+4D+2E+F=0. \end{cases}$$

由第一式 $F=0$，后两式化为 $D+E=-2$，$2D+E=-10$。两式相减得 $D=-8$，再得 $E=6$。

所以圆的方程是 $x^2+y^2-8x+6y=0$。配方得 $(x-4)^2+(y+3)^2=25$，圆心 $(4,-3)$，半径 5。

检验：$A(1,1)$ 代入 $1+1-8+6=0$，$B(4,2)$ 代入 $16+4-32+12=0$，都成立。

容易卡在：三点题设标准方程，得到三个含平方的方程，消元很繁。设一般方程得到的是一次方程组。

例 3　（场景：圆心在已知直线上）求圆心在直线 $2x-y-3=0$ 上，且过点 $A(5,2)$、$B(3,-2)$ 的圆的方程。

解：圆心在直线 $y=2x-3$ 上，设圆心 $C(a,2a-3)$。由 $|CA|=|CB|$：

$$(a-5)^2+(2a-3-2)^2=(a-3)^2+(2a-3+2)^2.$$

即 $(a-5)^2+(2a-5)^2=(a-3)^2+(2a-1)^2$。展开：$5a^2-30a+50=5a^2-10a+10$，得 $-20a=-40$，$a=2$。

圆心 $C(2,1)$，半径的平方 $r^2=|CA|^2=(5-2)^2+(2-1)^2=10$。

圆的方程是 $(x-2)^2+(y-1)^2=10$。

另一种解法：圆心到 $A$、$B$ 的距离相等，所以圆心在弦 $AB$ 的垂直平分线上。$AB$ 中点 $M(4,0)$，斜率 $k_{AB}=\dfrac{2-(-2)}{5-3}=2$，垂直平分线的斜率是 $-\dfrac{1}{2}$（第 28 章，两直线垂直斜率之积为 $-1$），方程为 $y=-\dfrac{1}{2}(x-4)$，即 $x+2y-4=0$。与 $2x-y-3=0$ 联立，解得 $x=2$，$y=1$，圆心 $(2,1)$，后面同上。设参数列方程是通用办法，什么条件都能往里套；用垂直平分线不用展开平方，条件里出现“过两点”时更快。

例 4　（场景：一般方程求参数范围）已知方程 $x^2+y^2-2ax+4y+2a^2+a-2=0$ 表示圆。

(1) 求 $a$ 的取值范围；(2) 当半径最大时，求圆的方程。

解：(1) 这里 $D=-2a$，$E=4$，$F=2a^2+a-2$。方程表示圆，要求

$$D^2+E^2-4F=4a^2+16-4(2a^2+a-2)=-4a^2-4a+24>0,$$

即 $a^2+a-6<0$，$(a+3)(a-2)<0$，得 $-3<a<2$。

(2) 半径的平方

$$r^2=\frac{D^2+E^2-4F}{4}=-a^2-a+6=-\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{25}{4}.$$

$a=-\dfrac{1}{2}$ 时（在 $(-3,2)$ 内）$r^2$ 最大，为 $\dfrac{25}{4}$，半径最大为 $\dfrac{5}{2}$。此时圆心 $(a,-2)=\left(-\dfrac{1}{2},-2\right)$，圆的方程为 $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+(y+2)^2=\dfrac{25}{4}$。

容易卡在：$D$ 是 $x$ 的系数 $-2a$，不是 $2a$，平方后没区别，但圆心坐标 $-\dfrac{D}{2}=a$ 的符号要算对。

例 5　（场景：点与圆的位置关系）已知点 $A(1,1)$ 在圆 $(x-a)^2+(y+a)^2=4$ 的内部，求 $a$ 的取值范围。

解：点在圆内，代入左边要小于 $r^2=4$：

$$(1-a)^2+(1+a)^2<4.$$

展开得 $2+2a^2<4$，$a^2<1$，所以 $-1<a<1$。

例 6　（场景：求轨迹方程）已知点 $B(4,2)$，点 $A$ 在圆 $(x+2)^2+y^2=4$ 上运动，求线段 $AB$ 的中点 $M$ 的轨迹方程。

解：设 $M(x,y)$，$A(x_1,y_1)$。由中点坐标公式，

$$x=\frac{x_1+4}{2},\qquad y=\frac{y_1+2}{2},$$

所以 $x_1=2x-4$，$y_1=2y-2$。（用到的是：把已知轨迹上的点 $A$ 用 $M$ 的坐标表示出来，这叫代入法或相关点法。）

$A$ 在圆上，代入圆的方程：$(2x-4+2)^2+(2y-2)^2=4$，即 $(2x-2)^2+(2y-2)^2=4$，两边除以 4：

$$(x-1)^2+(y-1)^2=1.$$

$M$ 的轨迹是以 $(1,1)$ 为圆心、1 为半径的圆。

容易卡在：设了 $M(x,y)$ 后不知道往哪个方程代。要代的是 $A$ 满足的那个方程，所以先把 $x_1$、$y_1$ 用 $x$、$y$ 表示。

另一种解法：已知圆的圆心 $C(-2,0)$，半径 2。取 $CB$ 的中点 $N(1,1)$。在三角形 $ABC$ 中，$M$、$N$ 分别是 $AB$、$CB$ 的中点，$MN$ 是中位线，$|MN|=\dfrac{1}{2}|CA|=1$。所以 $M$ 到定点 $N(1,1)$ 的距离恒为 1，轨迹是 $(x-1)^2+(y-1)^2=1$。（$A$ 落在直线 $CB$ 上时三角形退化，但 $|MN|=\dfrac{1}{2}|CA|$ 仍成立。）代入法是通用办法；几何法要先看出中位线，看得出时一行就写完，选择题、填空题里很省时间。

常用推论

• 直径式：以 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$ 为直径端点的圆是 $(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$。推导：点 $P(x,y)$ 在圆上且不是 $A$、$B$ 时，直径所对的圆周角是直角，$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=0$（第 15 章），用坐标写出来就是这个式子；$P$ 是 $A$ 或 $B$ 时式子也成立。
• 点与圆的位置关系（一般方程）：把 $P(x_0,y_0)$ 代入得 $x_0^2+y_0^2+Dx_0+Ey_0+F$，它大于 0、等于 0、小于 0 分别对应点在圆外、圆上、圆内。推导：由本节证明的配方，这个值恰好等于 $|PC|^2-r^2$。
• 与坐标轴相切：圆 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 与 $x$ 轴相切 $\iff r=|b|$；与 $y$ 轴相切 $\iff r=|a|$。推导：与 $x$ 轴相切就是圆心到 $x$ 轴的距离 $|b|$ 等于半径。
• 圆心在弦的垂直平分线上：求圆心时，任意一条弦的垂直平分线都可以用，两条垂直平分线的交点就是圆心。推导：圆心到弦两端距离相等（都是半径）。
• 阿波罗尼斯圆：到两个定点 $A$、$B$ 的距离之比为常数 $\lambda$（$\lambda>0$，$\lambda\ne1$）的点的轨迹是圆；$\lambda=1$ 时是 $AB$ 的垂直平分线。推导：设 $A(-c,0)$、$B(c,0)$，由 $|PA|^2=\lambda^2|PB|^2$ 展开，$x^2$、$y^2$ 的系数都是 $1-\lambda^2\ne0$，没有 $xy$ 项，所以是圆。例如 $A(-4,0)$、$B(-1,0)$、$|PA|=2|PB|$ 时，$(x+4)^2+y^2=4[(x+1)^2+y^2]$，化简得 $x^2+y^2=4$。

易错点

• 错在哪：$2x^2+2y^2-4x+8y+1=0$，直接读 $D=-4$、$E=8$，说圆心是 $(2,-4)$。 为什么错：圆心公式 $\left(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\right)$ 只对 $x^2$、$y^2$ 系数为 1 的方程成立。 正确做法：先两边除以 2，得 $x^2+y^2-2x+4y+\dfrac{1}{2}=0$，圆心 $(1,-2)$，半径的平方 $1+4-\dfrac{1}{2}=\dfrac{9}{2}$。
• 错在哪：已知点 $(1,2)$ 在圆 $x^2+y^2+kx+2y+k^2-15=0$ 外，只列 $1+4+k+4+k^2-15>0$，得 $k<-3$ 或 $k>2$。 为什么错：这个方程本身要先是圆，还要 $k^2+4-4(k^2-15)>0$，即 $k^2<\dfrac{64}{3}$。 正确做法：两个条件联立，得 $-\dfrac{8\sqrt{3}}{3}<k<-3$ 或 $2<k<\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$。
• 错在哪：$(x+2)^2+(y-3)^2=9$，说圆心是 $(2,-3)$、半径是 9。 为什么错：标准方程是 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，$x+2=x-(-2)$，所以 $a=-2$；右边是半径的平方。 正确做法：圆心 $(-2,3)$，半径 3。读圆心时把括号里的常数变号，读半径时开平方。

直观理解

标准方程就是勾股定理：圆上任一点到圆心的水平距离 $|x-a|$ 和竖直距离 $|y-b|$ 是直角边，半径 $r$ 是斜边（见本节证明里的图）。

一般方程是“拆开了包装”的标准方程。拿到一般方程，第一件事就是配方，把它包回标准方程。$D^2+E^2-4F$ 是“半径平方的 4 倍”，正数才是真正的圆。

一句话记法：圆的题，先找圆心和半径。

关联知识点

• 前置：第 28 章直线的方程。两点间距离公式是标准方程的来源；求圆心常用弦的垂直平分线，要用两直线垂直的斜率关系。
• 前置：第 15 章平面向量的数量积。直径式方程、“直径所对圆周角是直角”都可以用数量积为 0 来写。
• 前置：第 17 章复数。$|z-z_0|=r$ 表示的也是圆，和标准方程是同一件事。
• 后续：29.3、29.4 节。直线与圆、圆与圆的问题都从“找圆心和半径”开始。
• 后续：第 30 至 32 章椭圆、双曲线、抛物线。求曲线方程的方法（设点、列条件、化简、检验）和本节求圆的方程、求轨迹方程完全一样。

29.3 直线与圆的位置关系

说明

设圆的圆心为 $(a,b)$、半径为 $r$，直线为 $Ax+By+C=0$。圆心到直线的距离（第 28 章）

$$d=\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.$$

位置关系的判定：

位置关系	公共点个数	几何法	代数法（联立消元后的判别式）
相交	2	$d<r$	$\Delta>0$
相切	1	$d=r$	$\Delta=0$
相离	0	$d>r$	$\Delta<0$

几何法只算一个距离，代数法要联立消元再算判别式，判断位置关系时优先用几何法。

弦长：直线与圆相交，截得的弦长

$$|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}.$$

切线：过圆上一点 $P_0(x_0,y_0)$ 的切线只有一条，方程是

$$(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2.$$

圆心在原点时简化为 $x_0x+y_0y=r^2$。过圆外一点的切线有两条：设点斜式，用 $d=r$ 求斜率，斜率不存在的竖直线要单独检验。过圆内一点没有切线。

切线长：从圆外一点 $P$ 到切点的距离 $\sqrt{|PC|^2-r^2}$，$C$ 是圆心。

圆上的点到直线距离的最值：设圆心到直线的距离为 $d$。

• $d>r$（相离）：最大值 $d+r$，最小值 $d-r$。
• $d\le r$：最大值 $d+r$，最小值 $0$。

使用场景

• 判断直线与圆的位置关系，或者已知位置关系（相交、相切、相离）求参数：算圆心到直线的距离 $d$，与 $r$ 比较。
• 求直线被圆截得的弦长，或者已知弦长求直线方程、求参数：用 $|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$。
• 已知圆上一点，求过这点的切线：用切线公式，或者用“切线垂直于过切点的半径”。
• 已知圆外一点，求过这点的切线或切线长：设点斜式用 $d=r$ 求斜率，再检验竖直线；切线长用勾股定理。
• 求圆上的点到直线距离的最值，或者问圆上到直线距离为定值的点有几个：先算圆心到直线的距离 $d$，再加减半径。

注意点

• 点到直线距离公式要求直线是一般式 $Ax+By+C=0$。题目给 $y=kx+m$ 时，先移项成 $kx-y+m=0$。
• 设点斜式 $y-y_0=k(x-x_0)$ 时，已经默认斜率存在，竖直线 $x=x_0$ 被漏掉了。求切线、求已知弦长的直线时，一定要单独检验 $x=x_0$。
• 切线公式 $(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$ 只在 $P_0$ 在圆上时才是切线。$P_0$ 不在圆上时，这个方程表示的是别的直线（见本节“常用推论”的切点弦）。
• 弦长公式里是 $r^2-d^2$ 开方再乘 2，不是 $r-d$。

证明

结论 1：位置关系由 $d$ 与 $r$ 决定，并且相交时弦长是 $2\sqrt{r^2-d^2}$。

设圆心为 $C$，过 $C$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为 $H$，则 $|CH|=d$。对直线上任一点 $P$，三角形 $CHP$ 在 $H$ 处是直角（$P=H$ 时退化），所以

$$|CP|^2=d^2+|PH|^2.$$

（关键一步：$CH\perp l$，所以直线上的点到圆心的距离可以用勾股定理拆成”$d$“和”到垂足的距离“两部分。）

$P$ 在圆上 $\iff |CP|=r \iff |PH|^2=r^2-d^2$。

• $d>r$：右边小于 0，没有这样的 $P$，相离。
• $d=r$：$|PH|=0$，只有 $P=H$ 一个点，相切，并且 $CH$ 就是过切点的半径，切线垂直于这条半径。
• $d<r$：$|PH|=\sqrt{r^2-d^2}>0$，直线上在 $H$ 两侧各有一个这样的点 $A$、$B$，相交，并且 $H$ 是 $AB$ 的中点（垂径定理），弦长 $|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$。

代数法的判别式与几何法等价：联立消元后的一元二次方程，每个实根对应一个公共点，实根个数由 $\Delta$ 决定（第 4 章）。

结论 2：过圆上一点 $P_0(x_0,y_0)$ 的切线是 $(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$。

切线垂直于半径 $CP_0$。点 $P(x,y)$ 在切线上 $\iff \overrightarrow{CP_0}\cdot\overrightarrow{P_0P}=0$，即

$$(x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0.$$

把 $x-x_0$ 写成 $(x-a)-(x_0-a)$，$y-y_0$ 写成 $(y-b)-(y_0-b)$，展开得

$$(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=(x_0-a)^2+(y_0-b)^2.$$

（关键一步：$P_0$ 在圆上，所以右边恰好等于 $r^2$。这一步只有 $P_0$ 在圆上才能走。）

结论 3：切线长是 $\sqrt{|PC|^2-r^2}$。 设切点为 $T$，由结论 1 的相切情形 $CT\perp PT$，在直角三角形 $PTC$ 中用勾股定理即得。

例题

例 1　（场景：判断位置关系、由位置关系求参数）已知直线 $x-y+m=0$ 与圆 $x^2+y^2-2x-1=0$。$m$ 为何值时，直线与圆相交、相切、相离？

解：圆的方程配方：$(x-1)^2+y^2=2$，圆心 $(1,0)$，半径 $\sqrt{2}$。

圆心到直线的距离 $d=\dfrac{|1-0+m|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\dfrac{|m+1|}{\sqrt{2}}$。

• 相交：$d<\sqrt{2}$，即 $|m+1|<2$，$-3<m<1$。
• 相切：$|m+1|=2$，$m=1$ 或 $m=-3$。
• 相离：$|m+1|>2$，$m<-3$ 或 $m>1$。

另一种解法：代数法。由直线得 $y=x+m$，代入圆的方程：$x^2+(x+m)^2-2x-1=0$，整理得

$$2x^2+(2m-2)x+m^2-1=0.$$

$\Delta=(2m-2)^2-8(m^2-1)=-4m^2-8m+12=-4(m+3)(m-1)$。$\Delta>0$ 即 $-3<m<1$ 时相交，$\Delta=0$ 即 $m=1$ 或 $-3$ 时相切，其余相离，结论相同。判断位置关系用几何法更快；题目还要求交点坐标，或者要用到 $x_1+x_2$、$x_1x_2$（第 33 章的做法）时，才需要联立。

例 2　（场景：弦长）已知圆 $C$：$(x-1)^2+(y-2)^2=9$。

(1) 求直线 $3x+4y-2=0$ 被圆 $C$ 截得的弦长； (2) 过点 $Q(2,6)$ 的直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长为 $4\sqrt{2}$，求 $l$ 的方程。

解：圆心 $(1,2)$，半径 3。

(1) $d=\dfrac{|3\times1+4\times2-2|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{9}{5}$，弦长 $=2\sqrt{9-\dfrac{81}{25}}=2\sqrt{\dfrac{144}{25}}=\dfrac{24}{5}$。

(2) 弦长 $4\sqrt{2}$，半弦长 $2\sqrt{2}$，由 $d^2=r^2-\left(2\sqrt{2}\right)^2=9-8=1$ 得 $d=1$，即圆心到 $l$ 的距离为 1。

• 斜率不存在时，$l$：$x=2$。圆心 $(1,2)$ 到它的距离是 $|2-1|=1$，符合。
• 斜率存在时，设 $l$：$y-6=k(x-2)$，即 $kx-y+6-2k=0$。由

$$\frac{|k-2+6-2k|}{\sqrt{k^2+1}}=1,$$

得 $|4-k|=\sqrt{k^2+1}$，平方得 $16-8k+k^2=k^2+1$，$k=\dfrac{15}{8}$。$l$：$y-6=\dfrac{15}{8}(x-2)$，即 $15x-8y+18=0$。

所以 $l$ 的方程是 $x=2$ 或 $15x-8y+18=0$。

容易卡在：设点斜式后只解出一条直线就交卷。已知弦长求直线，一般是两条，只解出一条时要回头看竖直线。

例 3　（场景：过圆上一点的切线）求圆 $(x-1)^2+(y+2)^2=10$ 在点 $P(2,1)$ 处的切线方程。

解：先检验 $P$ 在圆上：$(2-1)^2+(1+2)^2=10$，成立。

由切线公式，$(2-1)(x-1)+(1+2)(y+2)=10$，即 $x-1+3y+6=10$，整理得 $x+3y-5=0$。

另一种解法：圆心 $C(1,-2)$，半径 $CP$ 的斜率 $k_{CP}=\dfrac{1-(-2)}{2-1}=3$。切线垂直于 $CP$，斜率为 $-\dfrac{1}{3}$，切线 $y-1=-\dfrac{1}{3}(x-2)$，即 $x+3y-5=0$。公式法一步写出，不怕 $CP$ 竖直或水平；斜率法不用记公式，但 $CP$ 平行于坐标轴时斜率不存在或为 0，要单独处理。

例 4　（场景：过圆外一点的切线、切线长）过点 $P(2,3)$ 作圆 $x^2+y^2=4$ 的切线，求切线方程和切线长。

解：$2^2+3^2=13>4$，$P$ 在圆外，有两条切线。圆心 $O(0,0)$，半径 2。

• 斜率不存在时，直线 $x=2$。圆心到它的距离是 2，等于半径，所以 $x=2$ 是一条切线。
• 斜率存在时，设切线 $y-3=k(x-2)$，即 $kx-y+3-2k=0$。由 $d=r$：

$$\frac{|3-2k|}{\sqrt{k^2+1}}=2.$$

平方得 $9-12k+4k^2=4k^2+4$，$k=\dfrac{5}{12}$。切线 $y-3=\dfrac{5}{12}(x-2)$，即 $5x-12y+26=0$。

所以切线方程是 $x=2$ 和 $5x-12y+26=0$。

切线长 $=\sqrt{|PO|^2-r^2}=\sqrt{13-4}=3$。

容易卡在：解 $k$ 时 $k^2$ 项消掉了，只得到一个 $k$。这正是“另一条切线斜率不存在”的信号：圆外一点一定有两条切线，只解出一个斜率，另一条必是竖直线。

例 5　（场景：圆上点到直线距离的最值、定距离的点的个数）已知圆 $x^2+y^2-4x-4y-10=0$。

(1) 求圆上的点到直线 $x+y-14=0$ 的距离的最大值和最小值； (2) 圆上到直线 $x+y=0$ 的距离为 $\sqrt{2}$ 的点有几个？

解：配方得 $(x-2)^2+(y-2)^2=18$，圆心 $C(2,2)$，半径 $3\sqrt{2}$。

(1) $d=\dfrac{|2+2-14|}{\sqrt{2}}=\dfrac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}>3\sqrt{2}$，直线与圆相离。最大值 $d+r=8\sqrt{2}$，最小值 $d-r=2\sqrt{2}$。

(2) 圆心到直线 $x+y=0$ 的距离 $d=\dfrac{|2+2|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。到 $x+y=0$ 的距离为 $\sqrt{2}$ 的点在两条平行线 $x+y=2$ 和 $x+y=-2$ 上（第 28 章，两平行线间距离）。

• 圆心到 $x+y=2$ 的距离 $\dfrac{|2+2-2|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}<3\sqrt{2}$，相交，2 个点。
• 圆心到 $x+y=-2$ 的距离 $\dfrac{|2+2+2|}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}=r$，相切，1 个点。

共 3 个点。

另一种解法：(2) 也可以只比较几个距离。$d=2\sqrt{2}<r$，直线穿过圆，把圆分成两块。靠圆心那一侧，圆上点到直线的距离从 0 一直增大到 $d+r=5\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$ 在中间，这一侧有 2 个点；另一侧距离最大只有 $r-d=\sqrt{2}$，恰好取到，只有 1 个点。共 3 个。画平行线的方法不容易错；比较 $r-d$ 与给定距离的方法更快，熟练后适合选择题。

常用推论

• 直线过圆内定点必相交：直线含参数时，先找它过的定点。比如 $kx-y-k+1=0$ 即 $y-1=k(x-1)$，恒过 $(1,1)$；若 $(1,1)$ 在圆内，不论 $k$ 取何值直线都与圆相交。推导：直线上有一点到圆心的距离小于 $r$，所以 $d<r$。
• 过圆内一点的最长弦和最短弦：过圆内点 $P$ 的弦中，最长的是过 $P$ 的直径，最短的是与 $CP$ 垂直的弦，长为 $2\sqrt{r^2-|CP|^2}$。推导：弦长 $2\sqrt{r^2-d^2}$ 随 $d$ 增大而减小，而 $d\le|CP|$，等号在弦垂直于 $CP$ 时取到。
• 切点弦：过圆外一点 $P(x_0,y_0)$ 作圆 $x^2+y^2=r^2$ 的两条切线，两切点所在直线是 $x_0x+y_0y=r^2$。推导：设切点 $A(x_1,y_1)$，$A$ 处切线 $x_1x+y_1y=r^2$ 过 $P$，所以 $x_1x_0+y_1y_0=r^2$，说明 $A$ 在直线 $x_0x+y_0y=r^2$ 上；另一个切点同理。
• 切线长的代入公式：圆为 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 时，从 $P(x_0,y_0)$ 引的切线长是 $\sqrt{x_0^2+y_0^2+Dx_0+Ey_0+F}$。推导：29.2 节“常用推论”已说明代入值等于 $|PC|^2-r^2$，再用本节结论 3。
• 圆上点到直线的距离最值：相离时最大 $d+r$、最小 $d-r$。推导：圆上点到直线的距离夹在“圆心距离减半径”和“圆心距离加半径”之间，过圆心的垂线与圆的两个交点取到两端。

易错点

• 错在哪：过圆外一点求切线，设 $y-y_0=k(x-x_0)$ 解出一个 $k$ 就写答案。 为什么错：点斜式不能表示竖直线，竖直的那条切线被漏掉了。 正确做法：先检验 $x=x_0$ 是不是切线，再设点斜式。圆外一点的切线一定是两条，凑不够两条就说明漏了。
• 错在哪：弦长写成 $2(r-d)$ 或 $\sqrt{r^2-d^2}$。 为什么错：弦长来自直角三角形：斜边 $r$，一条直角边 $d$，另一条直角边是半弦长，要开方，再乘 2。 正确做法：画出圆心、垂足、弦端点构成的直角三角形，写 $\left(\dfrac{|AB|}{2}\right)^2+d^2=r^2$。
• 错在哪：求点 $(1,2)$ 到直线 $y=2x+1$ 的距离，写成 $\dfrac{|2\times1+1|}{\sqrt{5}}=\dfrac{3}{\sqrt{5}}$。 为什么错：直线没化成一般式就套公式，漏了 $-y$ 这一项。 正确做法：先写成 $2x-y+1=0$，再代入得 $\dfrac{|2-2+1|}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$。
• 错在哪：求过 $P(2,3)$ 的圆 $x^2+y^2=4$ 的切线，直接写 $2x+3y=4$。 为什么错：$P$ 不在圆上，$x_0x+y_0y=r^2$ 此时不是切线，而是两个切点所在的直线（切点弦）。 正确做法：用切线公式前先把点代入圆的方程，确认在圆上；在圆外就按例 4 的方法做。

直观理解

把直线固定，让圆心慢慢远离它：圆心到直线的距离 $d$ 比半径小时，直线“切进”圆里，有两个交点；$d$ 等于半径时，直线刚好“擦”着圆，只碰到一点；$d$ 比半径大时，直线和圆分开。

弦长、切线长、最值都是同一个直角三角形：一个顶点是圆心，一个是垂足或切点，斜边或直角边是半径。一句话记法：直线与圆，先算 $d$，再画直角三角形。

关联知识点

• 前置：第 28 章直线的方程。点到直线的距离公式、两平行线间距离、斜率与垂直关系，本节每道题都用。
• 前置：第 4 章一元二次方程的判别式，代数法判断位置关系时用。
• 前置：29.2 节，所有题都要先把圆写成标准方程，读出圆心和半径。
• 后续：第 33 章直线与圆锥曲线。椭圆、双曲线没有“圆心到直线距离”这条捷径，只能联立用判别式；弦长公式 $\sqrt{1+k^2}\,|x_1-x_2|$ 对圆也适用。
• 常一起考：第 3 章基本不等式、第 25 章导数，求面积、弦长的最值时，先用本节写出关于参数的式子，再求最值。

29.4 圆与圆的位置关系

说明

设两圆的圆心为 $C_1$、$C_2$，半径为 $r_1$、$r_2$，圆心距 $d=|C_1C_2|$。

位置关系	圆心距条件	公共点个数	公切线条数
外离	$d>r_1+r_2$	0	4
外切	$d=r_1+r_2$	1	3
相交	$\lvert r_1-r_2\rvert<d<r_1+r_2$	2	2
内切	$d=\lvert r_1-r_2\rvert$（$r_1\ne r_2$）	1	1
内含	$d<\lvert r_1-r_2\rvert$	0	0

同心圆（$d=0$，$r_1\ne r_2$）是内含的特殊情况。

公共弦：两圆 $x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1=0$ 与 $x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2=0$ 相交时，两个方程相减，得公共弦所在直线的方程

$$(D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+(F_1-F_2)=0.$$

求公共弦长：算一个圆心到这条直线的距离，再用 29.3 节的弦长公式。

使用场景

• 判断两圆的位置关系：求出两个圆心和半径，算圆心距 $d$，与 $r_1+r_2$、$|r_1-r_2|$ 比较。
• 已知两圆相切（或相交、外离等）求参数：把位置关系翻译成 $d$ 与半径的等式或不等式；“相切”要分外切和内切两种。
• 求两圆公共弦所在直线方程和公共弦长：两个方程相减得直线，再用一个圆的弦长公式。
• 求两圆公切线的条数：先判断位置关系，再查表。

注意点

• 两圆方程相减之前，$x^2$、$y^2$ 的系数都要化成 1，否则平方项消不掉，得不到直线。
• 相减得到直线的前提是两圆相交，它才是公共弦所在直线。两圆不相交时相减也能得到一条直线，但它不是公共弦（见本节“常用推论”）。
• 题目只说“两圆相切”时，外切、内切都要考虑。内切时用的是 $|r_1-r_2|$，哪个半径大不确定时要加绝对值。
• 只比较 $d$ 和 $r_1+r_2$ 不够：$d<r_1+r_2$ 时可能相交，也可能内切或内含，还要和 $|r_1-r_2|$ 比。

证明

结论 1：两圆的位置关系由 $d$ 与 $r_1+r_2$、$|r_1-r_2|$ 决定。

若两圆有公共点 $P$，则 $|PC_1|=r_1$，$|PC_2|=r_2$。$P$、$C_1$、$C_2$ 三点中，任意两边之和不小于第三边、任意两边之差不大于第三边（三点共线时取等号），所以

$$|r_1-r_2|\le d\le r_1+r_2.$$

反过来说，$d>r_1+r_2$ 或 $d<|r_1-r_2|$ 时，两圆没有公共点：前者两圆互相在外（外离），后者小圆在大圆内（内含）。

• $d=r_1+r_2$ 或 $d=|r_1-r_2|$（$d>0$）：等号成立，$P$ 必在直线 $C_1C_2$ 上，并且位置被唯一确定，只有一个公共点，分别是外切、内切。
• $|r_1-r_2|<d<r_1+r_2$：以 $d$、$r_1$、$r_2$ 为三边可以作出三角形（关键一步：三条线段满足“两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”，就能作成三角形）。以 $C_1C_2$ 为一边，在它两侧各作一个这样的三角形，得到两个公共点，并且它们关于直线 $C_1C_2$ 对称。所以两圆相交，有两个公共点。

严格地说“能作出三角形”在初中尺规作图里就已承认；也可以用坐标验证：取 $C_1(0,0)$、$C_2(d,0)$，联立两圆方程解出 $x=\dfrac{d^2+r_1^2-r_2^2}{2d}$，再由条件可证 $r_1^2-x^2>0$，于是 $y$ 有两个值。

结论 2：两圆相交时，两个方程相减得到公共弦所在直线。

设两圆交于 $A$、$B$。$A$ 的坐标同时满足两个圆的方程，所以也满足两方程相减得到的方程；$B$ 也一样。（关键一步：两个方程 $x^2$、$y^2$ 的系数都是 1，相减后平方项消掉，剩下的是一个二元一次方程，表示一条直线。）这条直线过 $A$、$B$ 两点，而过两点的直线只有一条，所以它就是直线 $AB$。

例题

例 1　（场景：判断两圆的位置关系）判断圆 $C_1$：$x^2+y^2-2x-3=0$ 与圆 $C_2$：$x^2+y^2+4x-8y+11=0$ 的位置关系。

解：配方。$C_1$：$(x-1)^2+y^2=4$，圆心 $(1,0)$，$r_1=2$。$C_2$：$(x+2)^2+(y-4)^2=9$，圆心 $(-2,4)$，$r_2=3$。

圆心距 $d=\sqrt{(1+2)^2+(0-4)^2}=5=r_1+r_2$，两圆外切。

例 2　（场景：已知相切求参数）已知圆 $C_1$：$x^2+y^2-2x-3=0$ 与圆 $C_2$：$x^2+y^2+4x-8y+m=0$ 相切，求 $m$。

解：$C_1$ 圆心 $(1,0)$，$r_1=2$。$C_2$ 配方得 $(x+2)^2+(y-4)^2=20-m$，圆心 $(-2,4)$，要求 $20-m>0$，即 $m<20$，$r_2=\sqrt{20-m}$。圆心距 $d=5$。

• 外切：$r_1+r_2=5$，$r_2=3$，$20-m=9$，$m=11$。
• 内切：$|r_2-2|=5$，$r_2=7$（$r_2=-3$ 舍去），$20-m=49$，$m=-29$。

两个值都满足 $m<20$。所以 $m=11$ 或 $m=-29$。

容易卡在：只算外切得 $m=11$。圆心距 5 大于 $r_1=2$，所以 $C_2$ 可以是包住 $C_1$ 的大圆，内切的情况不能丢。

例 3　（场景：公共弦）已知圆 $C_1$：$x^2+y^2=25$ 与圆 $C_2$：$x^2+y^2-10x-10y+25=0$，求公共弦所在直线的方程和公共弦长。

解：先确认相交。$C_1$ 圆心 $O(0,0)$，$r_1=5$；$C_2$ 配方得 $(x-5)^2+(y-5)^2=25$，圆心 $(5,5)$，$r_2=5$。圆心距 $5\sqrt{2}$，满足 $0<5\sqrt{2}<10$，两圆相交。

两方程相减：$(x^2+y^2-25)-(x^2+y^2-10x-10y+25)=0$，得 $10x+10y-50=0$，即公共弦所在直线为 $x+y-5=0$。

$O$ 到这条直线的距离 $d=\dfrac{|0+0-5|}{\sqrt{2}}=\dfrac{5}{\sqrt{2}}$，公共弦长 $=2\sqrt{25-\dfrac{25}{2}}=2\cdot\dfrac{5}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}$。

检验：直线 $x+y=5$ 与 $x^2+y^2=25$ 交于 $(5,0)$、$(0,5)$，它们也都在 $C_2$ 上，两点距离 $5\sqrt{2}$。

例 4　（场景：公切线条数）圆 $x^2+y^2+2x+2y-2=0$ 与圆 $x^2+y^2-4x-2y+1=0$ 有几条公切线？

解：配方。第一个圆 $(x+1)^2+(y+1)^2=4$，圆心 $(-1,-1)$，半径 2；第二个圆 $(x-2)^2+(y-1)^2=4$，圆心 $(2,1)$，半径 2。

圆心距 $d=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$。$|r_1-r_2|=0<\sqrt{13}<4=r_1+r_2$，两圆相交，有 2 条公切线。

常用推论

• 公切线条数：外离 4 条、外切 3 条、相交 2 条、内切 1 条、内含 0 条。推导：外离时两条外公切线、两条内公切线（内公切线从两圆之间穿过）；外切时两条内公切线合成过切点的一条；相交时内公切线不存在；内切时只剩过切点的一条；内含时一条都没有。
• 连心线垂直平分公共弦：两圆的公共弦 $AB$，$C_1$、$C_2$ 都在 $AB$ 的垂直平分线上。推导：$|C_1A|=|C_1B|=r_1$，$|C_2A|=|C_2B|=r_2$，到线段两端距离相等的点在它的垂直平分线上。
• 过两圆交点的圆系：两圆相交时，方程 $x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1+\lambda(x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2)=0$（$\lambda\ne-1$）表示过两圆交点的圆（不含第二个圆本身）。推导：交点使两个括号都为 0，所以满足这个方程；$\lambda\ne-1$ 时平方项系数 $1+\lambda\ne0$，除以它后是圆的一般方程，又至少过两个点，所以是圆。$\lambda=-1$ 时就是公共弦所在直线。同理，过直线 $Ax+By+C=0$ 与圆的交点的圆可写成 $x^2+y^2+Dx+Ey+F+\lambda(Ax+By+C)=0$。
• 两圆上点之间距离的最值：两圆外离时，两圆上各取一点，距离最大为 $d+r_1+r_2$，最小为 $d-r_1-r_2$，都在连心线上取到。推导同 29.3 节圆上点到直线距离的最值。

易错点

• 错在哪：两圆“相切”只列 $d=r_1+r_2$。 为什么错：相切包括外切和内切，内切时 $d=|r_1-r_2|$。 正确做法：两种都列，再检验半径为正、方程表示圆等条件。
• 错在哪：圆 $x^2+y^2=4$ 和圆 $2x^2+2y^2-4x-6y-2=0$ 直接相减求公共弦。 为什么错：第二个方程平方项系数是 2，相减后 $x^2+y^2$ 消不掉，得到的不是直线。 正确做法：先把第二个方程除以 2，化成 $x^2+y^2-2x-3y-1=0$，再与第一个相减，得 $2x+3y-3=0$。
• 错在哪：两圆外离或内含时，把两方程相减得到的直线当成公共弦。 为什么错：两圆没有公共点，就没有公共弦。相减得到的直线（叫根轴）仍然存在，但不过任何公共点。 正确做法：求公共弦之前，先用圆心距确认两圆相交。

直观理解

把一个圆固定，让另一个圆沿着连心线从远处慢慢靠近：先是分开（外离），然后外面碰一下（外切），再交叉（相交），然后在里面碰一下（内切），最后完全进去（内含）。五种关系就是圆心距 $d$ 从大到小经过 $r_1+r_2$ 和 $|r_1-r_2|$ 两个“关口”。

公共弦是两个圆“共有”的那段弦，两个圆心都在它的垂直平分线上，所以连心线总是垂直平分公共弦，整个图形关于连心线对称。

一句话记法：两圆问题，算圆心距，和半径的和、差比。

关联知识点

• 前置：29.2 节，先把两个圆都写成标准方程，读出圆心和半径。
• 前置：29.3 节，公共弦长用的就是直线与圆的弦长公式。
• 前置：第 28 章直线的方程，两点间距离公式算圆心距，点到直线距离算弦心距。
• 前置：第 16 章解三角形，两圆相交时 $C_1$、$C_2$ 和交点构成三角形，求交点、求公共弦也可以用余弦定理。
• 后续：第 30 章椭圆、第 31 章双曲线。动圆与两个定圆都相切时，动圆圆心到两定点距离之和（或差）为定值，轨迹是椭圆或双曲线。

29.5 知识点之间的关系

本章三个知识点是一条线：先会写圆的方程、读出圆心和半径（29.2），再用“圆心到直线的距离”处理直线与圆（29.3），最后用“圆心距”处理圆与圆（29.4）。后两节的方法完全一样：不联立方程，而是把问题化成圆心之间、圆心与直线之间的距离，和半径比较。

这一章是第 28 章直线方程的第一个大应用，也是第 30 至 33 章圆锥曲线的预演：求曲线方程的步骤、直线与曲线位置关系的联立判别式、弦长，在圆锥曲线里都会再用一次。区别是圆有“圆心到直线的距离”这条捷径，椭圆、双曲线、抛物线没有，只能联立。所以做圆的题，能用几何关系就不要联立。

29.6 自测

1. 求圆 $x^2+y^2-4x+6y-3=0$ 的圆心和半径。
2. 方程 $x^2+y^2+2kx+4y+3k+8=0$ 表示圆，求 $k$ 的取值范围。
3. 求直线 $x-y+2=0$ 被圆 $x^2+y^2=4$ 截得的弦长。
4. 求圆 $x^2+y^2=4$ 在点 $(1,\sqrt{3})$ 处的切线方程。
5. 直线 $y=k(x-1)+1$ 与圆 $x^2+y^2=4$ 的位置关系是什么？
6. 判断圆 $x^2+y^2=4$ 与圆 $(x-3)^2+(y-4)^2=9$ 的位置关系，并说出公切线条数。
7. 求圆 $x^2+y^2=4$ 与圆 $x^2+y^2-2x-2y-2=0$ 的公共弦所在直线的方程和公共弦长。

答案：1. 圆心 $(2,-3)$，半径 4；2. $k<-1$ 或 $k>4$；3. $2\sqrt{2}$；4. $x+\sqrt{3}y-4=0$；5. 相交（直线恒过圆内的点 $(1,1)$）；6. 外切，3 条；7. $x+y-1=0$，$\sqrt{14}$。

29.7 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，选择性必修第一册“圆的方程”“直线与圆、圆与圆的位置关系”两节有同步课程视频和教材电子版。
• GeoGebra 图形计算器：直接输入圆的方程和直线方程就能画出图形，拖动参数滑块看直线从相离到相切再到相交，适合配合 29.3、29.4 节检查答案。
• Wolfram MathWorld · Circle：圆的英文条目，含标准方程、一般方程和相关公式，查英文说法时用。
• Wolfram MathWorld · Radical Line：两圆方程相减得到的直线（根轴）的英文条目，说明两圆相交时它就是公共弦所在直线，不相交时它是什么。