第 5 章 · 函数的概念与表示

项目	内容
课标主题	必修 · 函数 · 函数概念与性质
人教 A 版	必修第一册 第三章 3.1 函数的概念及其表示（3.1.1 函数的概念，3.1.2 函数的表示法）
考试地位	常考。求定义域、分段函数求值和解不等式常单独出选择题、填空题；求值域的方法贯穿后面所有函数题
前置知识	第 1 章集合与区间、第 3 章不等式的性质、第 4 章一元二次不等式

函数是高中数学的主线：后面的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、数列、导数，都是在这一章的定义上展开的。这一章的题目本身不难，丢分丢在三处：求定义域时先化简再求、换元后忘了新变量的范围、分段函数解出的值不检验落没落在那一段里。

5.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
5.2 函数的概念	非空数集 $A$ 中每一个 $x$，在 $B$ 中都有唯一的 $y$ 和它对应	常考，判断“是不是函数”“是不是同一函数”
5.3 定义域和值域	定义域是使式子有意义的 $x$ 的集合；值域是所有函数值的集合，有几种固定的求法	必考，常作为其他题的第一步
5.4 函数的表示法	解析法、列表法、图像法；考试主要考求解析式和由图像读信息	常考
5.5 分段函数	不同区间用不同的式子，仍然是一个函数	常考，求值、解方程、解不等式

5.2 函数的概念

说明

函数：设 $A$、$B$ 是非空的实数集。如果对于集合 $A$ 中的任意一个数 $x$，按照某种确定的对应关系 $f$，在集合 $B$ 中都有唯一确定的数 $y$ 和它对应，那么就称 $f: A \to B$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个函数，记作

$$y = f(x), \quad x \in A.$$

• $x$ 叫自变量，$x$ 的取值范围 $A$ 叫函数的定义域。
• 与 $x$ 对应的 $y$ 叫函数值，函数值的集合 $\{f(x) \mid x \in A\}$ 叫函数的值域。值域是 $B$ 的子集，不一定等于 $B$。
• $f(a)$ 表示 $x = a$ 时的函数值。$f(x)$ 是一个整体记号，不是 $f$ 乘 $x$。

函数的三要素：定义域、对应关系、值域。定义域和对应关系一确定，值域也就确定了，所以：

两个函数是同一个函数，当且仅当它们的定义域相同、对应关系也相同。 用什么字母表示自变量无关紧要，$f(x) = x^2$ 和 $g(t) = t^2$ 是同一个函数。

和初中定义的对比：

	初中（变量说）	高中（对应关系说）
说法	在一个变化过程中，$x$ 每取一个值，$y$ 都有唯一的值和它对应	非空数集 $A$ 到 $B$ 的对应，$A$ 中每个数对应 $B$ 中唯一一个数
强调	变化过程	两个集合之间的对应规则
好处	直观	能处理没有“变化过程”的对应，比如 $y = 1$（$x \in \mathbf{R}$）、按表格给出的对应

使用场景

• 判断一个对应关系是不是函数：题目给出两个集合和对应规则，问“能否构成从 $A$ 到 $B$ 的函数”。
• 判断一个图形能不能是函数的图像：题目给出几条曲线，问“哪个是函数图像”。
• 判断两个函数是不是同一个函数：题目给出几组解析式，问“表示同一函数的是哪组”。
• 求函数值：题目出现 $f(2)$、$f(a + 1)$、$f\left(\dfrac{1}{x}\right)$，或一长串函数值求和。

注意点

• “任意一个”：$A$ 中的每个数都要有对应，一个都不能落下。
• “唯一确定”：一个 $x$ 只能对应一个 $y$。反过来，几个 $x$ 对应同一个 $y$ 是允许的（多对一可以，一对多不行）。
• $B$ 中可以有数没被对应到，所以值域是 $B$ 的子集，不一定等于 $B$。
• 高中阶段的函数要求 $A$、$B$ 是非空数集。定义域是空集的“函数”不存在，比如 $y = \sqrt{-x^2 - 1}$ 不是函数。
• 只给解析式、不写定义域时，默认定义域是使式子有意义的 $x$ 的全体（见 5.3）。实际问题里还要符合实际意义。

证明

函数的定义是规定，没有证明。下面两条结论由定义直接推出，考试常用。

结论 1：两个函数相同，当且仅当定义域和对应关系都相同。

值域是 $\{f(x) \mid x \in A\}$，它完全由定义域 $A$ 和对应关系 $f$ 决定：$A$ 里每个 $x$ 按 $f$ 算出 $f(x)$，所有结果放在一起就是值域。所以三要素里只有两个是独立的，比较两个函数只需比较定义域和对应关系。（关键一步：值域不需要单独比较，因为前两者相同时，算出来的函数值集合必然相同。）

“对应关系相同”指的是：定义域里的每个 $x$，两个函数算出的值都相等。式子长得不同也可以，比如 $f(x) = |x|$ 和 $g(x) = \sqrt{x^2}$ 对每个实数 $x$ 都相等，对应关系相同。

结论 2：竖直线检验。 平面上一条曲线是某个函数 $y = f(x)$ 的图像，当且仅当每一条竖直线 $x = a$ 和它最多有一个交点。

函数图像是点集 $\{(x, f(x)) \mid x \in A\}$。竖直线 $x = a$ 和图像的交点，就是横坐标为 $a$ 的图像上的点，纵坐标是 $a$ 对应的函数值。

• 若 $a \in A$：$f(a)$ 唯一，所以恰好一个交点。
• 若 $a \notin A$：没有对应的函数值，没有交点。

反过来，如果某条竖直线 $x = a$ 和曲线有两个交点 $(a, y_1)$、$(a, y_2)$，$y_1 \ne y_2$，就是一个 $x$ 对应了两个 $y$，违反“唯一”。

例题

例 1　（场景：判断对应关系是不是函数）下列对应中，是从集合 $A$ 到集合 $B$ 的函数的是（　）。

A. $A = \mathbf{R}$，$B = \mathbf{R}$，$f: x \to \dfrac{1}{x}$

B. $A = [0, +\infty)$，$B = \mathbf{R}$，$f: x \to y$，其中 $y^2 = x$

C. $A = \mathbf{R}$，$B = [0, +\infty)$，$f: x \to x^2$

D. $A = \{-1, 0, 1\}$，$B = \{0, 1\}$，$f: x \to x^3$

解：逐个检查“每个 $x$ 都有对应”“对应的 $y$ 唯一”“$y$ 落在 $B$ 里”三件事。

• A：$x = 0$ 时 $\dfrac{1}{x}$ 没有意义，$A$ 中的 0 没有对应，不是函数。
• B：$x = 4$ 时 $y^2 = 4$，$y = 2$ 或 $y = -2$，一个 $x$ 对应两个 $y$，不是函数。
• C：任何实数的平方唯一，且 $x^2 \ge 0$ 落在 $B$ 中，是函数。
• D：$x = -1$ 时 $x^3 = -1 \notin B$，$-1$ 在 $B$ 中找不到对应，不是函数。

选 C。

容易卡在：D 选项只看到对应规则唯一，忘了检查函数值是否落在 $B$ 里。

例 2　（场景：判断图形是不是函数图像）圆 $x^2 + y^2 = 4$ 能不能作为某个函数 $y = f(x)$ 的图像？抛物线 $y = x^2$ 呢？

解：用竖直线检验（本节“证明”结论 2）。

• 圆：竖直线 $x = 1$ 与圆交于 $(1, \sqrt{3})$ 和 $(1, -\sqrt{3})$ 两点，$x = 1$ 对应两个 $y$，所以圆不是函数图像。
• 抛物线 $y = x^2$：任何竖直线 $x = a$ 都只交于一点 $(a, a^2)$，是函数图像。

例 3　（场景：判断同一函数）下列各组中，$f(x)$ 与 $g(x)$ 表示同一函数的是（　）。

A. $f(x) = x$，$g(x) = \sqrt{x^2}$

B. $f(x) = x$，$g(x) = \dfrac{x^2}{x}$

C. $f(x) = |x|$，$g(t) = \sqrt{t^2}$

D. $f(x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$，$g(x) = \sqrt{x^2 - 1}$

解：每组先比定义域，再比对应关系。

• A：定义域都是 $\mathbf{R}$，但 $g(x) = \sqrt{x^2} = |x|$，$x = -1$ 时 $f(-1) = -1$，$g(-1) = 1$，对应关系不同。
• B：$f$ 的定义域是 $\mathbf{R}$，$g$ 的定义域是 $\{x \mid x \ne 0\}$，定义域不同。
• C：定义域都是 $\mathbf{R}$，$\sqrt{t^2} = |t|$，对应关系相同。自变量用 $x$ 还是 $t$ 不影响。是同一函数。
• D：$f$ 要求 $x + 1 \ge 0$ 且 $x - 1 \ge 0$，定义域 $[1, +\infty)$；$g$ 要求 $x^2 - 1 \ge 0$，定义域 $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$。定义域不同。

选 C。

容易卡在：D 选项先把 $\sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ 合并成 $\sqrt{x^2 - 1}$ 再比较。合并会把定义域扩大，要先求定义域再化简。

例 4　（场景：求函数值）已知 $f(x) = \dfrac{x^2}{1 + x^2}$。

(1) 求 $f(2)$、$f\left(\dfrac{1}{2}\right)$；

(2) 求证 $f(x) + f\left(\dfrac{1}{x}\right) = 1$（$x \ne 0$）；

(3) 求 $f(1) + f(2) + \dots + f(2026) + f\left(\dfrac{1}{2}\right) + f\left(\dfrac{1}{3}\right) + \dots + f\left(\dfrac{1}{2026}\right)$。

解：

(1) $f(2) = \dfrac{4}{1 + 4} = \dfrac{4}{5}$，$f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}} = \dfrac{1}{5}$。

(2) 把 $\dfrac{1}{x}$ 代进 $f$ 的式子：

$$f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{1}{x^2 + 1},$$

（分子分母同乘 $x^2$）所以

$$f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{x^2}{1 + x^2} + \frac{1}{1 + x^2} = 1.$$

(3) 把 $f(k)$ 和 $f\left(\dfrac{1}{k}\right)$ 配成一对，$k = 2, 3, \dots, 2026$，共 $2025$ 对，每对的和是 1；单独剩下 $f(1) = \dfrac{1}{2}$。所以原式 $= 2025 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{4051}{2}$。

容易卡在：第 (3) 问硬算。看到 $f(k)$ 和 $f\left(\dfrac{1}{k}\right)$ 成对出现，就先算 $f(x) + f\left(\dfrac{1}{x}\right)$。

常用推论

• 判断同一函数：只比定义域和对应关系，值域不用比。推导见本节“证明”结论 1。
• 竖直线检验：曲线是函数图像 $\iff$ 每条竖直线与它至多一个交点。推导见本节“证明”结论 2。
• 函数值求和题里，若 $f(x) + f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ 或 $f(x) + f(a - x)$ 是常数，就把对应的项配对。推导方法见例 4 (2)：把 $\dfrac{1}{x}$（或 $a - x$）代入式子直接相加。

易错点

• 错在哪：认为 $\sqrt{x^2} = x$，于是 $f(x) = x$ 与 $g(x) = \sqrt{x^2}$ 是同一函数。 为什么错：$x < 0$ 时 $\sqrt{x^2} = -x$，比如 $\sqrt{(-2)^2} = 2 \ne -2$。 正确做法：记住 $\sqrt{x^2} = |x|$；$(\sqrt{x})^2 = x$ 只在 $x \ge 0$ 时成立。
• 错在哪：先化简 $\dfrac{x^2}{x} = x$，再说它和 $y = x$ 是同一函数。 为什么错：化简前 $x$ 在分母上，$x = 0$ 不在定义域里；化简把这个限制丢了。 正确做法：先求定义域，再化简。化简后的式子要带上原来的定义域。
• 错在哪：认为“一个 $y$ 对应两个 $x$“就不是函数，比如说 $y = x^2$ 不是函数，因为 $y = 4$ 时 $x = \pm 2$。 为什么错：定义只要求每个 $x$ 对应唯一的 $y$，不要求反过来唯一。 正确做法：只检查”从 $x$ 出发“的方向：一个 $x$ 只发出一个箭头。

直观理解

函数像一台自动售货机：投进去一个 $x$，出来唯一一个 $f(x)$。同一个按钮不能有时出可乐、有时出雪碧（一对多不行）；但两个按钮可以都出可乐（多对一可以）；机器里也可以有某种饮料没有按钮能买到（$B$ 中有数没被对应到）。

在图像上，“每个 $x$ 对应唯一的 $y$“就是”每条竖直线最多穿过图像一次”。

关联知识点

• 前置：第 1 章集合，定义域和值域都是数集，用描述法或区间表示。
• 前置：第 2 章全称量词，定义里的“任意一个 $x$“就是全称量词。
• 后续：5.3 定义域和值域，是三要素里两个要素的具体求法。
• 后续：第 9 章反函数，只有一一对应（一个 $y$ 也只对应一个 $x$）的函数才有反函数。
• 后续：第 22 章数列，数列是定义域为 $\mathbf{N}^*$（或它的有限子集）的函数。

5.3 定义域和值域

说明

求定义域：只给解析式时，定义域是使式子有意义的 $x$ 的集合。常见要求：

式子	要求
分式 $\dfrac{1}{g(x)}$	$g(x) \ne 0$
偶次根式 $\sqrt{g(x)}$、$\sqrt[4]{g(x)}$	$g(x) \ge 0$
零次幂 $[g(x)]^0$	$g(x) \ne 0$
对数 $\log_a g(x)$	$g(x) > 0$（第 9 章）
正切 $\tan x$	$x \ne k\pi + \dfrac{\pi}{2}$，$k \in \mathbf{Z}$（第 12 章）

一个式子里有几项，就把各项的要求列成不等式组，取交集。实际问题还要满足实际意义（长度为正、人数为整数等）。

抽象函数的定义域：只知道 $f(x)$ 的定义域、不知道 $f$ 的式子时，规则只有两条：

1. 定义域永远指自变量 $x$ 的取值范围。
2. 同一个 $f$，括号里的整体取值范围相同。

所以若 $f(x)$ 的定义域是 $[a, b]$，则 $f(g(x))$ 的定义域是 $\{x \mid a \le g(x) \le b\}$。

求值域：值域是 $\{f(x) \mid x \in A\}$。先写定义域，再按函数的样子选方法：

方法	适用的函数	做法
观察法	简单的函数，如 $y = \sqrt{x} + 1$	由 $\sqrt{x} \ge 0$ 直接看出 $y \ge 1$
配方法	二次函数，或能化为二次函数	配成 $a(x - h)^2 + k$，看顶点在不在定义域内
换元法	含 $\sqrt{ax + b}$ 的函数	令 $t = \sqrt{ax + b}$，化成 $t$ 的二次函数，注意 $t \ge 0$
分离常数法	$y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$	化成 $\dfrac{a}{c} + \dfrac{k}{cx + d}$，第二项取不到 0
基本不等式、单调性	$y = x + \dfrac{k}{x}$ 等	第 3 章、第 6 章
图像法	分段函数、含绝对值的函数	画出图像，读纵坐标的范围

使用场景

• 给出具体解析式求定义域：式子里有分式、偶次根式、零次幂，就逐项列出要求，解不等式组取交集。
• 抽象函数的定义域：题目说”$f(x)$ 的定义域是……，求 $f(2x - 1)$ 的定义域”，不给 $f$ 的式子。
• 已知定义域求参数：题目说“定义域为 $\mathbf{R}$”，转化成某个不等式对一切实数恒成立。
• 二次函数在区间上的值域：解析式是二次式，定义域是一个区间，用配方法看顶点位置。
• 含根式的值域：解析式里有 $\sqrt{ax + b}$ 和 $x$ 的整式，用换元法。
• 一次比一次的分式的值域：解析式形如 $\dfrac{ax + b}{cx + d}$，用分离常数法。

注意点

• 先求定义域，再化简。$\dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ 化简成 $x + 1$ 之前，要先记下 $x \ne 1$。
• 定义域、值域都是集合，答案要写成集合或区间，不能只写一个不等式。
• 抽象函数里，$f(2x - 1)$ 的定义域是 $x$ 的范围，不是 $2x - 1$ 的范围。
• 求值域必须在定义域内求（定义域优先）。同一个式子，定义域不同，值域就不同（例 4）。
• 换元后新变量有范围：$t = \sqrt{1 - 2x}$ 时 $t \ge 0$，不写就会算错。
• 值域的端点能不能取到，要找到对应的 $x$ 才算取到。

证明

结论 1：抽象函数的定义域规则。 若 $f(x)$ 的定义域是 $A$，则 $f(g(x))$ 的定义域是 $\{x \mid g(x) \in A\}$。

$f$ 只对 $A$ 中的数有定义。要让 $f(g(x))$ 有意义，送进 $f$ 的那个数 $g(x)$ 必须属于 $A$。（关键一步：$f$ 的定义域约束的是“括号里的整体”，不是字母 $x$；字母只是占位。）所以 $x$ 的取值范围是 $\{x \mid g(x) \in A\}$。

结论 2：分离常数法的值域。 设 $c \ne 0$，$ad - bc \ne 0$，则 $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ 的值域是 $\left\{y \,\middle|\, y \ne \dfrac{a}{c}\right\}$。

把分子凑成分母的倍数：

$$ax + b = \frac{a}{c}(cx + d) + \left(b - \frac{ad}{c}\right),$$

所以

$$y = \frac{a}{c} + \frac{bc - ad}{c(cx + d)}.$$

定义域是 $x \ne -\dfrac{d}{c}$，此时 $cx + d$ 取遍所有非零实数。第二项的分子 $\dfrac{bc - ad}{c}$ 是非零常数，分母取遍所有非零实数，所以第二项取遍所有非零实数（关键一步：非零常数除以非零数，结果不会是 0，而任给一个非零数 $m$，都能解出 $cx + d = \dfrac{bc - ad}{cm}$）。于是 $y$ 取遍除 $\dfrac{a}{c}$ 以外的所有实数。

若 $ad - bc = 0$，第二项恒为 0，函数是常数 $\dfrac{a}{c}$（去掉 $x = -\dfrac{d}{c}$ 这一点），值域只有一个数。

结论 3：二次函数在区间上的最值。 $y = a(x - h)^2 + k$（$a > 0$）在顶点左侧递减、右侧递增（初中已知，严格证明见第 6 章单调性）。所以在闭区间 $[m, n]$ 上：

• 顶点横坐标 $h \in [m, n]$：最小值 $k$，最大值是 $f(m)$、$f(n)$ 中较大的那个；
• $h < m$：在 $[m, n]$ 上递增，值域 $[f(m), f(n)]$；
• $h > n$：在 $[m, n]$ 上递减，值域 $[f(n), f(m)]$。

$a < 0$ 时把“最小”和“最大”互换。

例题

例 1　（场景：给出解析式求定义域）求函数 $f(x) = \sqrt{6 - x - x^2} + \dfrac{1}{x - 1}$ 的定义域。

解：两项各有要求，列成不等式组：

$$\begin{cases} 6 - x - x^2 \ge 0, \\ x - 1 \ne 0. \end{cases}$$

第一个不等式两边乘 $-1$：$x^2 + x - 6 \le 0$，即 $(x + 3)(x - 2) \le 0$，解得 $-3 \le x \le 2$（第 4 章）。第二个得 $x \ne 1$。

取交集，定义域是 $[-3, 1) \cup (1, 2]$。

容易卡在：两边乘 $-1$ 时忘了改变不等号方向。

例 2　（场景：抽象函数的定义域）

(1) 已知 $f(x)$ 的定义域是 $[0, 4]$，求 $f(2x - 1)$ 的定义域；

(2) 已知 $f(x + 1)$ 的定义域是 $[-1, 2]$，求 $f(2x)$ 的定义域。

解：

(1) 括号里的整体 $2x - 1$ 要落在 $[0, 4]$ 里：$0 \le 2x - 1 \le 4$，解得 $\dfrac{1}{2} \le x \le \dfrac{5}{2}$。定义域是 $\left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{5}{2}\right]$。

(2) “$f(x + 1)$ 的定义域是 $[-1, 2]$“说的是 $x \in [-1, 2]$。此时括号里的整体 $x + 1 \in [0, 3]$，所以 $f$ 能接受的数是 $[0, 3]$。

再看 $f(2x)$：括号里的整体 $2x$ 要落在 $[0, 3]$ 里，$0 \le 2x \le 3$，得 $0 \le x \le \dfrac{3}{2}$。定义域是 $\left[0, \dfrac{3}{2}\right]$。

容易卡在：第 (2) 问把 $[-1, 2]$ 当成 $x + 1$ 的范围。定义域永远是 $x$ 的范围。

例 3　（场景：已知定义域求参数）函数 $f(x) = \sqrt{ax^2 - ax + 1}$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，求实数 $a$ 的取值范围。

解：定义域为 $\mathbf{R}$，就是 $ax^2 - ax + 1 \ge 0$ 对一切实数 $x$ 成立。

1. $a = 0$：式子变成 $1 \ge 0$，恒成立，符合。
2. $a \ne 0$：二次函数 $y = ax^2 - ax + 1$ 要始终不在 $x$ 轴下方，需要开口向上且与 $x$ 轴至多一个交点（第 4 章 4.5 节）：

$$\begin{cases} a > 0, \\ \Delta = a^2 - 4a \le 0, \end{cases}$$

解得 $0 < a \le 4$。

合并：$a$ 的取值范围是 $[0, 4]$。

容易卡在：漏掉 $a = 0$。二次项系数含参数时，先问它能不能是 0。

例 4　（场景：二次函数在区间上的值域）求 $f(x) = x^2 - 2x + 3$ 的值域：(1) $x \in [0, 3]$；(2) $x \in [2, 3]$。

解：配方，$f(x) = (x - 1)^2 + 2$，顶点 $(1, 2)$，开口向上。

(1) 顶点横坐标 $1 \in [0, 3]$，最小值 $f(1) = 2$。最大值在离对称轴远的端点：$f(0) = 3$，$f(3) = 6$，所以最大值 6。值域 $[2, 6]$。

(2) 顶点横坐标 $1 < 2$，$f(x)$ 在 $[2, 3]$ 上递增，值域 $[f(2), f(3)] = [3, 6]$。

容易卡在：第 (2) 问照搬顶点值 2 当最小值。顶点不在区间里，取不到。

例 5　（场景：含根式的值域）求函数 $y = x + \sqrt{1 - 2x}$ 的值域。

解：定义域：$1 - 2x \ge 0$，$x \le \dfrac{1}{2}$。

令 $t = \sqrt{1 - 2x}$，则 $t \ge 0$，且 $x = \dfrac{1 - t^2}{2}$。代入：

$$y = \frac{1 - t^2}{2} + t = -\frac{1}{2}t^2 + t + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}(t - 1)^2 + 1, \quad t \ge 0.$$

这是开口向下的二次函数，顶点 $t = 1$ 在 $t \ge 0$ 的范围内，最大值为 1（此时 $x = 0$）；$t$ 越大 $y$ 越小，没有最小值。值域 $(-\infty, 1]$。

容易卡在：换元后不写 $t \ge 0$。这道题顶点恰好在范围内，看不出差别；如果函数是 $y = x - \sqrt{1 - 2x}$，配方后顶点在 $t = -1$，不写 $t \ge 0$ 就会算错。

例 6　（场景：一次比一次的分式）求函数 $y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ 的值域；若 $x \in [2, 4]$，值域又是什么？

解：分离常数：

$$y = \frac{2(x - 1) + 3}{x - 1} = 2 + \frac{3}{x - 1}.$$

定义域 $x \ne 1$。$\dfrac{3}{x - 1}$ 可以取任何非零实数，但不能等于 0，所以 $y \ne 2$。值域 $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$。

$x \in [2, 4]$ 时，$x - 1 \in [1, 3]$，$\dfrac{3}{x - 1} \in [1, 3]$（分母越大分式越小，$x - 1 = 3$ 时最小为 1，$x - 1 = 1$ 时最大为 3），所以 $y \in [3, 5]$。

另一种解法：反解 $x$。由 $y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ 得 $y(x - 1) = 2x + 1$，$(y - 2)x = y + 1$。若 $y = 2$，得 $0 = 3$，矛盾，所以 $y \ne 2$；$y \ne 2$ 时 $x = \dfrac{y + 1}{y - 2}$，再检查它不等于 1（$\dfrac{y + 1}{y - 2} = 1$ 化为 $y + 1 = y - 2$，不可能），所以每个 $y \ne 2$ 都能取到。反解法的思路是“哪些 $y$ 能解出合法的 $x$”，适合求整个定义域上的值域；定义域被限制在区间上时，分离常数后看单调性更直接。

常用推论

• $f(x)$ 的定义域是 $[a, b]$，则 $f(kx + m)$（$k > 0$）的定义域是 $\left[\dfrac{a - m}{k}, \dfrac{b - m}{k}\right]$。推导：由本节“证明”结论 1 解 $a \le kx + m \le b$。
• $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$（$c \ne 0$，$ad - bc \ne 0$）的值域是 $\left\{y \,\middle|\, y \ne \dfrac{a}{c}\right\}$，“$\dfrac{a}{c}$“是两个一次项系数之比。推导见本节”证明“结论 2。
• $y = \sqrt{ax^2 + bx + c}$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ $\iff$ $a = b = 0$ 且 $c \ge 0$，或 $a > 0$ 且 $\Delta \le 0$。推导见例 3（$a = 0$ 时还要 $b = 0$，否则 $bx + c$ 会取到负值）。
• $y = \sqrt{ax^2 + bx + c}$（$a > 0$）的值域为 $[0, +\infty)$ $\iff$ $\Delta \ge 0$。推导：根号里的二次式要取遍所有非负数，它的最小值 $\dfrac{4ac - b^2}{4a}$ 必须 $\le 0$，即 $\Delta \ge 0$；最小值大于 0 时，根号里取不到 $[0, \text{最小值})$ 这一段。注意它和上一条恰好相反。

易错点

• 错在哪：求 $y = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ 的定义域，先化简成 $y = x + 1$，答定义域为 $\mathbf{R}$。 为什么错：原式中 $x - 1$ 在分母上，$x = 1$ 时原式没有意义。 正确做法：对原式求定义域，得 $\{x \mid x \ne 1\}$，再化简。
• 错在哪：$f(x)$ 的定义域是 $[0, 4]$，答 $f(2x - 1)$ 的定义域是 $[0, 4]$，或答成 $2x - 1$ 的范围。 为什么错：$[0, 4]$ 约束的是括号里的整体 $2x - 1$，而定义域问的是 $x$。 正确做法：解 $0 \le 2x - 1 \le 4$，得 $x \in \left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{5}{2}\right]$。
• 错在哪：求 $y = x - \sqrt{1 - 2x}$ 的值域时，令 $t = \sqrt{1 - 2x}$ 后得 $y = -\dfrac{1}{2}(t + 1)^2 + 1$，答最大值为 1。 为什么错：最大值 1 在 $t = -1$ 处取到，但 $t = \sqrt{1 - 2x} \ge 0$，取不到 $-1$。 正确做法：在 $t \ge 0$ 上，这个二次函数递减，最大值在 $t = 0$ 处，为 $\dfrac{1}{2}$。值域 $\left(-\infty, \dfrac{1}{2}\right]$。
• 错在哪：$y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ 的值域答成 $\mathbf{R}$，或 $\{y \mid y \ne 1\}$。 为什么错：前者没看出 $\dfrac{3}{x - 1}$ 不能为 0；后者把定义域的限制 $x \ne 1$ 错当成值域的限制。 正确做法：分离常数后看哪一项“永远不为 0”，值域缺的就是那个常数。

直观理解

把函数图像想成一块剪纸，用光从上往下照，它在 $x$ 轴上的影子就是定义域；从右往左照，它在 $y$ 轴上的影子就是值域。

求值域的各种方法，本质都是在找“影子的两头在哪”：配方法找最低点或最高点，分离常数找图像永远碰不到的那条水平线（例 6 图里的 $y = 2$），图像法直接看。

关联知识点

• 前置：第 1 章区间，定义域和值域的答案用区间写。
• 前置：第 4 章一元二次不等式，求定义域时常要解二次不等式；“定义域为 $\mathbf{R}$“就是第 4 章的恒成立问题。
• 前置：第 3 章基本不等式，$x + \dfrac{k}{x}$ 型函数的值域。
• 后续：第 6 章单调性和最值，用单调性求值域是最一般的方法。
• 后续：第 8 章、第 9 章指数函数和对数函数的定义域、值域，对数要求真数大于 0。
• 后续：第 25 章导数的应用，复杂函数的值域用导数求最值。
• 常一起考：第 1 章集合运算，两个函数的定义域作为两个集合求交、并、补。

5.4 函数的表示法

说明

同一个函数可以用三种方法表示：

方法	做法	优点	缺点
解析法	用式子表示，如 $y = x^2 + 1$	精确，便于计算和推理	有些函数写不出式子，如一天的气温
列表法	列出表格，写出 $x$ 和对应的 $y$	不用计算，直接查	只能列出有限个值
图像法	画出图像 $\{(x, f(x)) \mid x \in A\}$	直观，能看出变化趋势	读数不精确

求解析式的四种方法（考试里“表示法”主要考这个）：

已知条件	方法	做法
已知函数类型（一次、二次）	待定系数法	设出一般式，按条件列方程求系数
已知 $f(g(x))$ 的式子	换元法	令 $t = g(x)$，把 $x$ 用 $t$ 表示后代入，最后注明 $t$ 的范围
已知 $f(g(x))$，右边容易凑成 $g(x)$ 的式子	配凑法	把右边改写成关于 $g(x)$ 的式子，再整体换成 $x$
$f(x)$ 和 $f(-x)$ 或 $f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ 同时出现	方程组法	把 $x$ 换成 $-x$ 或 $\dfrac{1}{x}$ 再写一个式子，联立消元

画图像：描点法（列表、描点、连线），或者由已知图像变换得到（平移、翻折，见本节“常用推论”）。

使用场景

• 列表给出的函数求值：题目给出表格，求 $f(g(1))$ 或满足某个关系的 $x$。
• 已知函数类型求解析式：题目说”$f(x)$ 是一次函数“或”二次函数”，再给几个条件。
• 已知 $f(g(x))$ 的式子求 $f(x)$：题目形如”$f(\sqrt{x} + 1) = \dots$，求 $f(x)$“。
• $f(x)$ 和 $f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ 或 $f(-x)$ 同时出现在等式里：用方程组法。
• 由图像判断交点个数：题目问方程 $|f(x)| = m$ 的根的个数，或要求画 $y = |f(x)|$ 的图像。

注意点

• 三种表示法表示的是同一个函数，可以互相转化；但不是每个函数都能写出解析式，也不是每个函数都能画出图像。
• 求解析式要写定义域，尤其是换元后，新变量的范围就是所求函数的定义域（例 3）。
• 列表法求复合函数值 $f(g(a))$，从里往外：先查 $g(a)$，再把结果当成 $f$ 的自变量去查。
• 图像法里，端点取不到画空心点，取得到画实心点。

证明

结论 1：换元法为什么可以把 $t$ 换回 $x$。 由 5.2 节“证明”结论 1，函数由定义域和对应关系决定，与用什么字母无关。求出 $f(t) = t^2 - 1$（$t \ge 1$）之后，$f$ 的对应关系是“把输入的数平方再减 1”，定义域是 $[1, +\infty)$，所以写成 $f(x) = x^2 - 1$（$x \ge 1$）表示同一个函数。

结论 2：方程组法为什么可以把 $x$ 换成 $\dfrac{1}{x}$。 已知等式对定义域内的每一个 $x$ 都成立。$x \ne 0$ 时 $\dfrac{1}{x}$ 也是定义域内的数，所以把等式中的每个 $x$ 都换成 $\dfrac{1}{x}$，等式仍成立。（关键一步：替换后的数还在定义域内，等式才能用。$f(-x)$ 的情形要求定义域关于原点对称。）

结论 3：平移。 设 $a > 0$。点 $(x_0, y_0)$ 在 $y = f(x)$ 的图像上，即 $y_0 = f(x_0)$。看 $y = f(x - a)$：取 $x = x_0 + a$，得 $y = f(x_0) = y_0$，所以点 $(x_0 + a, y_0)$ 在 $y = f(x - a)$ 的图像上。原图像上每一点向右移 $a$ 个单位，就得到新图像。同理 $y = f(x + a)$ 是向左移 $a$。

$y = f(x) + b$ 的每一点纵坐标比原来多 $b$，是向上移 $b$（$b < 0$ 时向下）。

结论 4：翻折。

• $y = |f(x)|$：$f(x) \ge 0$ 的部分 $|f(x)| = f(x)$，图像不变；$f(x) < 0$ 的部分 $|f(x)| = -f(x)$，点 $(x, f(x))$ 变成 $(x, -f(x))$，关于 $x$ 轴对称。所以是”$x$ 轴下方的部分翻到上方”。
• $y = f(|x|)$：$x \ge 0$ 时 $f(|x|) = f(x)$，和原图像一样；$x < 0$ 时 $f(|x|) = f(-x)$，函数值等于 $-x$（一个正数）处的值，所以左半边是右半边关于 $y$ 轴的对称图形。做法是“保留 $y$ 轴右侧，去掉左侧，再把右侧对称到左侧”。

例题

例 1　（场景：列表给出的函数求值）函数 $f(x)$、$g(x)$ 由下表给出：

$x$	1	2	3
$f(x)$	2	3	1
$g(x)$	3	2	1

求 $f(g(1))$、$g(f(1))$，并求满足 $f(g(x)) > g(f(x))$ 的 $x$。

解：从里往外查表。

• $f(g(1))$：$g(1) = 3$，$f(3) = 1$，所以 $f(g(1)) = 1$。
• $g(f(1))$：$f(1) = 2$，$g(2) = 2$，所以 $g(f(1)) = 2$。

定义域只有 1、2、3 三个数，逐个列出：

$x$	1	2	3
$f(g(x))$	$f(3) = 1$	$f(2) = 3$	$f(1) = 2$
$g(f(x))$	$g(2) = 2$	$g(3) = 1$	$g(1) = 3$

只有 $x = 2$ 时 $3 > 1$ 成立，所以 $x = 2$。

例 2　（场景：已知类型求解析式）已知 $f(x)$ 是一次函数，且 $f(f(x)) = 4x + 3$，求 $f(x)$。

解：设 $f(x) = kx + b$（$k \ne 0$），则

$$f(f(x)) = k(kx + b) + b = k^2 x + kb + b.$$

与 $4x + 3$ 比较系数：$k^2 = 4$，$(k + 1)b = 3$。

• $k = 2$：$3b = 3$，$b = 1$；
• $k = -2$：$-b = 3$，$b = -3$。

所以 $f(x) = 2x + 1$ 或 $f(x) = -2x - 3$。

检验第二个：$f(f(x)) = -2(-2x - 3) - 3 = 4x + 3$，正确。

容易卡在：$k^2 = 4$ 只取 $k = 2$，漏掉 $k = -2$。

例 3　（场景：已知 $f(g(x))$ 求 $f(x)$）已知 $f(\sqrt{x} + 1) = x + 2\sqrt{x}$，求 $f(x)$。

解：令 $t = \sqrt{x} + 1$。因为 $\sqrt{x} \ge 0$，所以 $t \ge 1$。由此 $\sqrt{x} = t - 1$，$x = (t - 1)^2$。代入：

$$f(t) = (t - 1)^2 + 2(t - 1) = t^2 - 1, \quad t \ge 1.$$

所以 $f(x) = x^2 - 1$，$x \ge 1$。

容易卡在：漏写 $x \ge 1$。$f$ 只在 $\sqrt{x} + 1$ 能取到的数上有定义。

另一种解法：配凑。注意到 $x + 2\sqrt{x} = (\sqrt{x} + 1)^2 - 1$，所以 $f(\sqrt{x} + 1) = (\sqrt{x} + 1)^2 - 1$，把整体 $\sqrt{x} + 1$ 换成 $x$，得 $f(x) = x^2 - 1$（$x \ge 1$）。配凑法一眼能看出平方结构时最快；看不出时用换元法，换元法对任何 $g(x)$ 都能用。

例 4　（场景：方程组法）已知 $2f(x) + f\left(\dfrac{1}{x}\right) = 3x$（$x \ne 0$），求 $f(x)$。

解：把式中的 $x$ 都换成 $\dfrac{1}{x}$（本节“证明”结论 2），得

$$2f\left(\frac{1}{x}\right) + f(x) = \frac{3}{x}.$$

把 $f(x)$、$f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ 看成两个未知数，与原式联立。原式乘 2：$4f(x) + 2f\left(\dfrac{1}{x}\right) = 6x$，减去新式：

$$3f(x) = 6x - \frac{3}{x}, \quad f(x) = 2x - \frac{1}{x} \quad (x \ne 0).$$

检验：$2\left(2x - \dfrac{1}{x}\right) + \left(\dfrac{2}{x} - x\right) = 4x - \dfrac{2}{x} + \dfrac{2}{x} - x = 3x$，正确。

容易卡在：替换时只换了 $f$ 括号里的 $x$，右边的 $3x$ 没换成 $\dfrac{3}{x}$。

例 5　（场景：由图像判断交点个数）画出 $y = |x^2 - 2x - 3|$ 的图像，并讨论方程 $|x^2 - 2x - 3| = m$ 的实根个数。

解：先画 $y = x^2 - 2x - 3 = (x - 1)^2 - 4$，它与 $x$ 轴交于 $-1$ 和 $3$，顶点 $(1, -4)$。把 $x$ 轴下方的部分（$-1 < x < 3$）翻到上方，顶点变成 $(1, 4)$。

方程的实根个数就是水平线 $y = m$ 与这个图像的交点个数。让水平线从下往上移：

$m$ 的范围	交点个数
$m < 0$	0
$m = 0$	2（$x = -1$、$x = 3$）
$0 < m < 4$	4
$m = 4$	3（中间一个是 $x = 1$）
$m > 4$	2

容易卡在：$m = 4$ 时漏数中间的切点，或者 $m = 0$ 时多数。关键位置（$m = 0$、$m = 4$）单独数。

常用推论

• 平移：“左加右减，上加下减”。$y = f(x + a)$（$a > 0$）是 $y = f(x)$ 左移 $a$；$y = f(x - a)$ 是右移 $a$；$y = f(x) + b$ 是上移 $b$。推导见本节“证明”结论 3。
• 翻折：$y = |f(x)|$ 把 $x$ 轴下方翻到上方；$y = f(|x|)$ 保留右侧、右侧对称到左侧。推导见本节“证明”结论 4。
• $af(x) + bf\left(\dfrac{1}{x}\right) = h(x)$（$a^2 \ne b^2$）总能用方程组法解出 $f(x)$。推导：仿照例 4 联立，消去 $f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ 后 $f(x)$ 的系数是 $a^2 - b^2$，不为 0 才能除。

易错点

• 错在哪：认为 $y = (x + 2)^2$ 是 $y = x^2$ 向右平移 2 个单位。 为什么错：$y = (x + 2)^2$ 的顶点在 $x = -2$，原来 $x = 0$ 处的值现在要 $x = -2$ 才能取到，图像是往左移的。 正确做法：看“括号里等于 0 时 $x$ 是多少”：$x + 2 = 0$ 得 $x = -2$，顶点移到 $-2$，是左移。
• 错在哪：例 3 答 $f(x) = x^2 - 1$，不写定义域。 为什么错：$f$ 只在 $\sqrt{x} + 1$ 能取到的数上有定义，即 $[1, +\infty)$；不写就成了定义域为 $\mathbf{R}$ 的另一个函数。 正确做法：换元后先写新变量的范围，最后答案带上定义域。
• 错在哪：查表求 $f(g(1))$ 时先查 $f(1)$。 为什么错：$f(g(1))$ 是把 $g(1)$ 的结果送进 $f$，里层先算。 正确做法：从最里面的括号往外算。

直观理解

三种表示法像描述同一个人的三种方式：解析式像“公式”（精确，能推导），表格像“花名册”（查起来最快，但只记了几个人），图像像“照片”（一眼看出整体样子，但细节不精确）。考试里常要来回转换：看到 $|f(x)| = m$ 这种方程，就把式子换成图像来数交点。

关联知识点

• 前置：5.2 函数的概念，函数与表示它的字母无关，是换元法的依据。
• 前置：第 4 章三个“二次”的关系，画二次函数图像、找与 $x$ 轴的交点。
• 后续：第 6 章函数的基本性质，奇偶性、对称性都在图像上看最直观。
• 后续：第 8 章、第 9 章、第 12 章，指数、对数、三角函数的图像都用平移和翻折得到变形后的图像。
• 后续：第 10 章函数零点，方程根的个数转化为图像交点个数，就是例 5 的做法。

5.5 分段函数

说明

分段函数：在定义域的不同部分，对应关系用不同的式子表示的函数。例如

$$f(x) = \begin{cases} x + 2, & x \le -1, \\ x^2, & -1 < x < 2, \\ x, & x \ge 2. \end{cases}$$

• 分段函数是一个函数，不是几个函数。
• 定义域是各段自变量范围的并集，各段之间不能重叠（否则一个 $x$ 会对应两个式子）。
• 值域是各段函数值范围的并集。
• 常见的分段函数：含绝对值的函数（去掉绝对值就是分段）、出租车计费、阶梯电价、个人所得税。

使用场景

• 求分段函数的值，包括 $f(f(a))$：先判断自变量落在哪一段，再用那一段的式子。
• 已知函数值求自变量：$f(a) = k$，每段各列一个方程，解出后检验是否落在该段。
• 解分段函数的不等式：$f(x) > k$，每段各解一次，和该段的范围取交集，最后把各段结果取并集。
• 含绝对值的函数求值域或最值：先按绝对值里的零点分段，再画图或逐段求。
• 实际问题：计费、计税、阶梯价格，按“不同区间不同规则”列出分段函数。

注意点

• 端点属于哪一段，看清 $\le$ 还是 $<$。图像上一个端点在两段中只能有一处是实心点。
• 解方程、不等式时，每段解出的结果都要和这一段的范围核对，不在范围内的舍去。
• $f(f(a))$ 从里往外算：先求 $f(a)$，再看 $f(a)$ 落在哪一段。
• 实际问题的分段函数，相邻两段在分界点处的值通常相等（价格不会突然跳），可以用来检验。

证明

分段函数是一种函数的写法，本身没有证明。下面两条由定义推出，是解题步骤的依据。

结论 1：分段函数的值域是各段值域的并集。 设定义域 $A = A_1 \cup A_2$，$A_1 \cap A_2 = \varnothing$，在 $A_1$ 上 $f(x) = f_1(x)$，在 $A_2$ 上 $f(x) = f_2(x)$。由值域的定义，

$$\{f(x) \mid x \in A\} = \{f_1(x) \mid x \in A_1\} \cup \{f_2(x) \mid x \in A_2\}.$$

因为 $A$ 中的每个 $x$ 恰好属于其中一段，它的函数值就在那一段的值域里；反过来，每段的函数值也都是 $f$ 的函数值。

结论 2：分段函数解不等式“先交后并”。 同样设定，$f(x) > k$ 的解集是

$$\{x \in A \mid f(x) > k\} = \{x \in A_1 \mid f_1(x) > k\} \cup \{x \in A_2 \mid f_2(x) > k\}.$$

每一段里的 $\{x \in A_i \mid f_i(x) > k\}$ 就是”$f_i(x) > k$ 的解集“与 $A_i$ 的交集（关键一步：在 $A_i$ 上只能用 $f_i$ 的式子，所以解出的 $x$ 必须同时属于 $A_i$）；各段合起来是并集。

结论 3：绝对值函数可以写成分段函数。 由绝对值的定义 $|u| = \begin{cases} u, & u \ge 0, \\ -u, & u < 0, \end{cases}$ 把 $|x - a|$ 在 $x \ge a$、$x < a$ 两种情况下分别去掉绝对值号。有几个绝对值，就按各自的零点把数轴分成几段。

例题

以下例 1、例 2 中的 $f(x)$ 是“说明”里的分段函数。

例 1　（场景：分段函数求值）求 $f(-3)$、$f\left(\dfrac{3}{2}\right)$、$f(f(-5))$。

解：

• $-3 \le -1$，用第一段：$f(-3) = -3 + 2 = -1$。
• $-1 < \dfrac{3}{2} < 2$，用第二段：$f\left(\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{9}{4}$。
• 先算里层：$-5 \le -1$，$f(-5) = -3$；再算外层：$-3 \le -1$，$f(-3) = -1$。所以 $f(f(-5)) = -1$。

例 2　（场景：已知函数值求自变量）若 $f(a) = 3$，求 $a$。

解：三段分别列方程，解出后检验。

1. $a \le -1$：$a + 2 = 3$，$a = 1$，不满足 $a \le -1$，舍去。
2. $-1 < a < 2$：$a^2 = 3$，$a = \sqrt{3}$ 或 $a = -\sqrt{3}$。$\sqrt{3} \approx 1.73$ 在 $(-1, 2)$ 内，保留；$-\sqrt{3} \approx -1.73 < -1$，舍去。
3. $a \ge 2$：$a = 3$，满足 $a \ge 2$，保留。

所以 $a = \sqrt{3}$ 或 $a = 3$。

容易卡在：解出 $a = \pm\sqrt{3}$ 就停，不检验 $-\sqrt{3}$ 落不落在第二段。

例 3　（场景：解分段函数的不等式）已知 $g(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & x \ge 0, \\ -x, & x < 0, \end{cases}$ 解不等式 $g(x) > 3$。

解：分两段，每段的解与该段范围取交集。

1. $x \ge 0$：$x^2 - 2x > 3$，$x^2 - 2x - 3 > 0$，$(x - 3)(x + 1) > 0$，得 $x < -1$ 或 $x > 3$。与 $x \ge 0$ 取交集：$x > 3$。
2. $x < 0$：$-x > 3$，$x < -3$。与 $x < 0$ 取交集：$x < -3$。

两段取并集，解集为 $(-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$。

另一种解法：画出 $y = g(x)$ 的图像和水平线 $y = 3$，找图像在直线上方的部分。左边一段 $y = -x$ 与 $y = 3$ 交于 $(-3, 3)$，右边抛物线与 $y = 3$ 交于 $(3, 3)$，图像在直线上方对应 $x < -3$ 或 $x > 3$。图像法在选择题、填空题里最快，也不容易漏段；需要写过程的解答题，用代数分段解更严谨。

容易卡在：第 1 段解出”$x < -1$ 或 $x > 3$“就直接作为答案的一部分，忘了和 $x \ge 0$ 取交集。

例 4　（场景：含绝对值的函数求值域）求 $y = |x - 1| + |x + 2|$ 的值域。

解：两个绝对值的零点是 $x = 1$ 和 $x = -2$，把数轴分成三段：

• $x \le -2$：$x - 1 < 0$，$x + 2 \le 0$，$y = -(x - 1) - (x + 2) = -2x - 1$；
• $-2 < x < 1$：$x - 1 < 0$，$x + 2 > 0$，$y = -(x - 1) + (x + 2) = 3$；
• $x \ge 1$：$y = (x - 1) + (x + 2) = 2x + 1$。

即

$$y = \begin{cases} -2x - 1, & x \le -2, \\ 3, & -2 < x < 1, \\ 2x + 1, & x \ge 1. \end{cases}$$

第一段 $x \le -2$ 时 $-2x - 1 \ge 3$；第二段恒为 3；第三段 $x \ge 1$ 时 $2x + 1 \ge 3$。三段值域取并集，值域为 $[3, +\infty)$。

另一种解法：用绝对值的几何意义。$|x - 1|$ 是数轴上点 $x$ 到点 1 的距离，$|x + 2|$ 是点 $x$ 到点 $-2$ 的距离。点 $x$ 在 $-2$ 和 1 之间（含端点）时，两段距离之和恰好是 $1 - (-2) = 3$；点 $x$ 在外面时，和大于 3，而且可以任意大。所以值域是 $[3, +\infty)$。几何意义法不用分段，选择题、填空题里几秒就能出答案；要写出分段表达式（比如还要讨论单调性）时，用分段法。

例 5　（场景：实际问题中的分段函数）某市出租车计费规则：3 km 以内（含 3 km）收起步价 10 元；超过 3 km 不超过 10 km 的部分，每千米 2 元；超过 10 km 的部分，每千米 3 元。按实际里程连续计费，不考虑等候。

(1) 写出车费 $y$（元）关于里程 $x$（km）的函数；

(2) 某乘客付了 39 元，他坐了多少千米？

解：

(1) 分三段：

• $0 < x \le 3$：$y = 10$；
• $3 < x \le 10$：起步价加超出 3 km 的部分，$y = 10 + 2(x - 3) = 2x + 4$；
• $x > 10$：前 10 km 共 $2 \times 10 + 4 = 24$ 元，再加超出 10 km 的部分，$y = 24 + 3(x - 10) = 3x - 6$。

$$y = \begin{cases} 10, & 0 < x \le 3, \\ 2x + 4, & 3 < x \le 10, \\ 3x - 6, & x > 10. \end{cases}$$

检验分界点：$x = 3$ 时第二段的式子给出 $10$，$x = 10$ 时第三段的式子给出 $24$，都和前一段接上。

(2) 第一段最多 10 元，第二段最多 24 元，$39 > 24$，所以在第三段：$3x - 6 = 39$，$x = 15$。乘客坐了 15 km。

容易卡在：第三段写成 $y = 10 + 3(x - 10)$，忘了 3 到 10 km 那一段已经收了 14 元。先算出“走到分界点一共多少钱”，再加超出的部分。

常用推论

• $|x - a| + |x - b|$ 的最小值是 $|a - b|$，在 $x$ 介于 $a$、$b$ 之间（含端点）时取到；值域是 $[|a - b|, +\infty)$。推导：例 4 的“另一种解法”，把两个绝对值看成两段距离。
• $|x - a| - |x - b|$ 的值域是 $[-|a - b|, |a - b|]$。推导：设 $a < b$，点 $x$ 到 $a$ 和到 $b$ 的距离之差，$x \le a$ 时恒为 $-(b - a)$，$x \ge b$ 时恒为 $b - a$，$x$ 在 $a$、$b$ 之间时为 $(x - a) - (b - x) = 2x - a - b$，从 $-(b - a)$ 连续增大到 $b - a$。
• 分段函数的值域、方程、不等式都按“每段单独求，和段的范围取交集，再把各段并起来”处理。推导见本节“证明”结论 1、结论 2。

易错点

• 错在哪：例 2 中把 $a = 1$、$a = -\sqrt{3}$ 也写进答案。 为什么错：$a = 1$ 是用第一段的式子算出来的，但 1 不在第一段 $x \le -1$ 里，$f(1)$ 实际要用第二段算，等于 1，不等于 3。 正确做法：每段解出的值都要检验是否落在这一段的范围里。
• 错在哪：解 $g(x) > 3$ 时，第一段直接写”$x < -1$ 或 $x > 3$“。 为什么错：这一段只对 $x \ge 0$ 有效，$x < -1$ 那部分用的根本不是这个式子。 正确做法：每段的解先和该段的范围取交集，再把各段并起来。
• 错在哪：画分段函数的图像时，把两段在分界点处连起来，或两端都画实心点。 为什么错：分界点只属于其中一段。“说明”里的函数在 $x = 2$ 处，$f(2) = 2$，$(2, 4)$ 不在图像上。 正确做法：分界点属于哪段，哪段画实心点，另一段画空心点。
• 错在哪：把分段函数的值域写成某一段的值域，或写成“第一段的值域和第二段的值域”两个答案。 为什么错：分段函数是一个函数，值域是一个集合。 正确做法：求出各段的值域后取并集，写成一个集合。

直观理解

分段函数就像阶梯电价：同一个“用电量对应电费”的规则，在不同用量区间按不同的单价算。规则是一套，只是写法分了几段。

画图时，把各段的图像画在各自的区间上拼起来：分界点处接上的，图像连成一条；接不上的，图像在那里“跳”一下，空心点和实心点告诉你那个 $x$ 的函数值到底是多少。

关联知识点

• 前置：5.2 函数的概念，“每个 $x$ 对应唯一的 $y$“要求各段范围不重叠。
• 前置：第 1 章集合运算，解不等式“先交后并”就是集合的交和并。
• 前置：第 4 章一元二次不等式，每一段常要解二次不等式。
• 后续：第 6 章单调性，分段函数在 $\mathbf{R}$ 上单调，除了每段单调，还要分界点处的大小关系衔接上。
• 后续：第 10 章函数零点，分段函数的零点个数常用图像交点数。
• 常一起考：第 8 章、第 9 章，由指数、对数函数构成的分段函数求值和解不等式。

5.6 知识点之间的关系

本章四个知识点是一条线：先有函数的定义（5.2），它规定了三要素；定义域和值域（5.3）是三要素中两个的具体求法；表示法（5.4）给出写出和画出一个函数的三种方式；分段函数（5.5）是解析法的一种特殊写法，求值、求值域、解不等式时，把 5.3 的方法逐段用一遍。

考试里，这一章的内容很少单独出大题，更多是作为“第一步”：求定义域是研究任何函数的第一步，求值域的方法到第 6 章变成用单调性求最值，第 25 章变成用导数求最值；分段函数和图像法则一路用到第 10 章的零点个数问题。

5.7 自测

1. 判断 $f(x) = \sqrt{x^2}$ 与 $g(x) = (\sqrt{x})^2$ 是不是同一函数。
2. 已知 $f(x) = x^2 - 1$，求 $f(f(2))$。
3. 求 $f(x) = \sqrt{x + 1} + \dfrac{1}{2 - x}$ 的定义域。
4. 已知 $f(x)$ 的定义域是 $[-2, 3]$，求 $f(x - 1)$ 的定义域。
5. 求 $y = x^2 - 4x + 1$（$x \in [1, 4]$）的值域。
6. 求 $y = \dfrac{x + 3}{x + 1}$ 的值域。
7. 已知 $f(x - 1) = x^2 + 2x$，求 $f(x)$。
8. 已知 $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \le 0, \\ 2x, & x > 0, \end{cases}$ 若 $f(a) = 5$，求 $a$。
9. 求 $y = |x + 1| + |x - 3|$ 的最小值。

答案：1. 不是，定义域不同（$\mathbf{R}$ 与 $[0, +\infty)$）；2. 8；3. $[-1, 2) \cup (2, +\infty)$；4. $[-1, 4]$；5. $[-3, 1]$；6. $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$；7. $f(x) = x^2 + 4x + 3$；8. $a = -2$ 或 $a = \dfrac{5}{2}$；9. 4。

5.8 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，必修第一册“函数的概念及其表示”一节有同步课程视频和教材电子版。
• GeoGebra 图形计算器：输入解析式即可画图，分段函数可用 If 命令输入，适合检查 5.4、5.5 节的平移、翻折和分段图像。
• Khan Academy · Functions：英文的函数概念、定义域与值域讲解和练习，含竖直线检验和分段函数。
• 维基百科 · 函数：函数的中文条目，有函数定义的历史演变（从变量说到对应关系说），查定义和术语时用。