第 3 章 · 不等式的性质与基本不等式

项目	内容
课标主题	必修 · 预备知识 · 相等关系与不等关系
人教 A 版	必修第一册 第二章 2.1–2.2
考试地位	常考。不等式的性质多以选择题判断真假出现；基本不等式求最值几乎每年都用，常藏在解三角形、圆锥曲线、函数的最值题里
前置知识	初中的不等式和一元一次不等式、完全平方公式、因式分解

这一章是后面所有“比较大小”和“求最值”的工具箱。不等式的性质本身不难，丢分丢在“两边乘了一个可能是负数的数”；基本不等式公式只有一行，丢分丢在不检查“一正二定三相等”，算出一个根本取不到的最值。

3.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
3.2 等式与不等式的性质	两边加同一个数不变号，乘正数不变号，乘负数变号	常考，多为选择题判断真假和求范围
3.3 作差法和作商法比较大小	看 $a - b$ 的正负，或看 $\dfrac{a}{b}$ 与 1 的大小	常考，也是证明不等式的基本方法
3.4 基本不等式	两个正数的几何平均数不超过算术平均数：$\sqrt{ab} \le \dfrac{a+b}{2}$	常考，多用于证明和比较
3.5 用基本不等式求最值	积为定值时和有最小值，和为定值时积有最大值；一正二定三相等	必考的工具，常和其他章一起考

3.2 等式与不等式的性质

说明

实数大小的基本事实：对任意两个实数 $a$、$b$，

$$a > b \iff a - b > 0,\quad a = b \iff a - b = 0,\quad a < b \iff a - b < 0.$$

这是本章一切推理的出发点：比较两个数的大小，就是看它们的差是正数、零还是负数。

等式的性质：

1. 对称性：若 $a = b$，则 $b = a$。
2. 传递性：若 $a = b$，$b = c$，则 $a = c$。
3. 两边加（减）同一个数：若 $a = b$，则 $a \pm c = b \pm c$。
4. 两边乘同一个数：若 $a = b$，则 $ac = bc$。
5. 两边除以同一个不为 0 的数：若 $a = b$，$c \ne 0$，则 $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{c}$。

不等式的性质：

编号	名称	内容
性质 1	对称性	$a > b \iff b < a$
性质 2	传递性	$a > b$，$b > c \Rightarrow a > c$
性质 3	可加性	$a > b \iff a + c > b + c$
性质 4	可乘性	$a > b$，$c > 0 \Rightarrow ac > bc$；$a > b$，$c < 0 \Rightarrow ac < bc$
性质 5	同向可加	$a > b$，$c > d \Rightarrow a + c > b + d$
性质 6	同向同正可乘	$a > b > 0$，$c > d > 0 \Rightarrow ac > bd$
性质 7	同正可乘方	$a > b > 0 \Rightarrow a^n > b^n$（$n \in \mathbf{N}$，$n \ge 2$）

和等式比，不等式多了两条限制：乘（除以）负数要变号；两个不等式只能同向相加，不能相减；只有同向且两边都是正数时才能相乘，不能相除。

使用场景

• 选择题问“若 $a > b$，则下列一定成立的是”：逐个用性质判断，或用特殊值找反例排除。
• 已知几个字母的范围，求它们组合（和、差、积、商）的范围：用同向可加、同正可乘，减法化成加相反数，除法化成乘倒数。
• 已知 $a + b$、$a - b$ 这类组合的范围，求另一个组合的范围：把目标写成已知组合的线性组合，只用一次同向相加。
• 证明简单的不等式：从已知出发，一步一步用性质推出结论，每一步说清用的是哪条性质。

注意点

• 两边乘一个含字母的式子之前，先确定它的符号：正数不变号，负数变号，可能为 0 时要单独讨论。
• 性质 6、性质 7 要求“两边都是正数”。$-1 > -2$，平方后 $1 < 4$，不等号反了。
• 不等式不能同向相减、相除：$5 > 4$，$4 > 1$，左边相减得 $5 - 4 = 1$，右边相减得 $4 - 1 = 3$，$1 < 3$，方向反了；$6 > 2$，$3 > 1$，相除得 $6 \div 3 = 2$ 与 $2 \div 1 = 2$，两边相等，“大于”也不成立。
• 由范围求范围时，每用一次“同向相加”，范围都可能被放大。所以要尽量从已知的组合直接拼出目标，只相加一次。
• 性质 3 是”$\iff$“（可以倒推），性质 4 到性质 7 是”$\Rightarrow$“（单向）。

证明

所有性质都从“基本事实”出发，用作差证明。挑几条有代表性的：

性质 3：$(a + c) - (b + c) = a - b$。所以 $a - b > 0 \iff (a + c) - (b + c) > 0$，即 $a > b \iff a + c > b + c$。

性质 4：$ac - bc = (a - b)c$。已知 $a - b > 0$：

• 若 $c > 0$，正数乘正数为正，$ac - bc > 0$，即 $ac > bc$；
• 若 $c < 0$，正数乘负数为负，$ac - bc < 0$，即 $ac < bc$。

性质 5：$(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d)$，两个正数的和是正数，所以 $a + c > b + d$。

性质 6：要证 $ac - bd > 0$。

$$ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d).$$

（关键一步：减一个 $bc$ 再加回一个 $bc$，把差拆成两项，每一项都是“已知为正的差”乘一个数。）因为 $c > 0$，$a - b > 0$，所以 $c(a - b) > 0$；因为 $b > 0$，$c - d > 0$，所以 $b(c - d) > 0$。两项都正，所以 $ac > bd$。这一步用到了 $b > 0$ 和 $c > 0$，这就是“同正”这个条件的来源。

性质 7：在性质 6 中取 $c = a$，$d = b$，得 $a^2 > b^2$；再取 $c = a^2$，$d = b^2$，得 $a^3 > b^3$；依次做下去，得 $a^n > b^n$。

例题

例 1　（场景：判断不等式是否一定成立）若 $a > b$，则下列不等式一定成立的是（　）。

A. $ac^2 > bc^2$　B. $a^2 > b^2$　C. $\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$　D. $a^3 > b^3$

解：D。

• A：当 $c = 0$ 时两边都是 0，不成立。
• B：$a, b$ 不一定是正数，不能用性质 7。取 $a = 1$，$b = -2$，$a^2 = 1 < 4 = b^2$，不成立。
• C：取 $a = 1$，$b = -1$，$\dfrac{1}{a} = 1 > -1 = \dfrac{1}{b}$，不成立。
• D：作差 $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$。其中

$$a^2 + ab + b^2 = \left(a + \frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}b^2 \ge 0,$$

等号只在 $a = b = 0$ 时成立，而 $a > b$，所以它大于 0。又 $a - b > 0$，所以 $a^3 - b^3 > 0$，成立。

另一种解法：A、B、C 用特殊值各举一个反例排除，剩下 D 不用证明直接选。选择题里“一定成立”的选项要证，“不一定成立”的只要一个反例；先用 $0$、$\pm 1$、$-2$ 这类数试，往往比逐条证明快得多。证明适合解答题，特殊值适合选择题。

容易卡在：B、C 默认 $a, b$ 是正数。

例 2　（场景：由范围求组合的范围）已知 $1 < a < 3$，$2 < b < 5$，求 $a - b$ 和 $\dfrac{a}{b}$ 的取值范围。

解：

• 求 $a - b$：由 $2 < b < 5$，两边乘 $-1$ 变号，得 $-5 < -b < -2$（性质 4）。与 $1 < a < 3$ 同向相加（性质 5），得 $-4 < a - b < 1$。
• 求 $\dfrac{a}{b}$：由 $2 < b < 5$，各部分都是正数，取倒数得 $\dfrac{1}{5} < \dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{2}$。与 $1 < a < 3$ 都是正数，同向相乘（性质 6），得 $\dfrac{1}{5} < \dfrac{a}{b} < \dfrac{3}{2}$。

容易卡在：直接用 $a$ 的范围减 $b$ 的范围，写成 $1 - 2 < a - b < 3 - 5$，即 $-1 < a - b < -2$，连左边小于右边都不满足。

例 3　（场景：由组合的范围求另一个组合的范围）已知 $1 \le a + b \le 3$，$-1 \le a - b \le 1$，求 $3a - b$ 的取值范围。

解：设 $3a - b = m(a + b) + n(a - b) = (m + n)a + (m - n)b$，比较系数：

$$\begin{cases} m + n = 3, \\ m - n = -1, \end{cases}$$

解得 $m = 1$，$n = 2$。即 $3a - b = (a + b) + 2(a - b)$。

由 $-1 \le a - b \le 1$ 得 $-2 \le 2(a - b) \le 2$，与 $1 \le a + b \le 3$ 相加，得 $-1 \le 3a - b \le 5$。

检验两端能取到：$a + b = 1$，$a - b = -1$ 时 $a = 0$，$b = 1$，$3a - b = -1$；$a + b = 3$，$a - b = 1$ 时 $a = 2$，$b = 1$，$3a - b = 5$。所以范围是 $[-1, 5]$。

容易卡在：先分别求 $a$、$b$ 的范围再拼，见本节易错点第 3 条。

另一种解法：换元。令 $x = a + b$，$y = a - b$，则 $a = \dfrac{x + y}{2}$，$b = \dfrac{x - y}{2}$，代入得 $3a - b = x + 2y$，其中 $1 \le x \le 3$，$-1 \le y \le 1$，且 $x, y$ 互不牵制，直接得 $[-1, 5]$。待定系数法写得短，适合系数简单的题；换元法不用解方程组的“猜形式”，系数复杂或要求的式子不止一个时更稳。

例 4　（场景：证明简单的不等式）已知 $a > b > 0$，$c < 0$，求证：$\dfrac{c}{a} > \dfrac{c}{b}$。

解：因为 $a > b > 0$，所以 $ab > 0$，$\dfrac{1}{ab} > 0$。

在 $a > b$ 两边乘正数 $\dfrac{1}{ab}$（性质 4），得 $\dfrac{1}{b} > \dfrac{1}{a}$，即 $\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$。

再两边乘负数 $c$（性质 4），不等号变向，得 $\dfrac{c}{a} > \dfrac{c}{b}$。

容易卡在：最后一步乘 $c$ 忘了变号。

常用推论

• 倒数法则：若 $a > b$ 且 $ab > 0$（同号），则 $\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$。推导见例 4 前半段：两边乘正数 $\dfrac{1}{ab}$。若 $a > 0 > b$（异号），则 $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$，因为正数大于负数。
• 若 $a > b > 0$，$0 < c < d$，则 $\dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{d}$。推导：由倒数法则 $\dfrac{1}{c} > \dfrac{1}{d} > 0$，再与 $a > b > 0$ 同正相乘。
• 若 $a > b > 0$，则 $\sqrt[n]{a} > \sqrt[n]{b}$（$n \in \mathbf{N}$，$n \ge 2$）。推导：反证，若 $\sqrt[n]{a} \le \sqrt[n]{b}$，由性质 7 得 $a \le b$，矛盾。
• 若 $a > b$，则 $a^3 > b^3$（不要求正数）。推导见例 1 的 D 选项。

易错点

• 错在哪：由 $ac > bc$ 得 $a > b$。 为什么错：两边除以 $c$，相当于乘 $\dfrac{1}{c}$。$c < 0$ 时不等号要变向，得到的是 $a < b$。例如 $(-1) \times (-2) > 3 \times (-2)$，但 $-1 < 3$。 正确做法：两边除以含字母的式子前，先判断它的符号。同样，由 $a > b$ 也推不出 $ac^2 > bc^2$，因为 $c^2$ 只能保证 $\ge 0$，$c = 0$ 时两边相等。
• 错在哪：由 $a > b$、$c > d$ 得 $a - c > b - d$ 或 $\dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{d}$。 为什么错：性质只允许同向相加、同正同向相乘。相减相当于加上一个反向的不等式。 正确做法：$a - c$ 写成 $a + (-c)$，先由 $c > d$ 得 $-c < -d$，方向和 $a > b$ 相反，此时不能相加。求差的范围要像例 2 那样用另一个字母的范围。
• 错在哪：例 3 先求出 $0 \le a \le 2$，$0 \le b \le 2$，再得 $3a - b \in [-2, 6]$。 为什么错：$a$ 和 $b$ 是互相牵制的，$a = 0$ 时 $b$ 不能取 2（此时 $a + b = 2$，$a - b = -2$，不满足 $a - b \ge -1$）。分别求范围再相加，把取不到的情况也算进来了，范围被放大。 正确做法：把目标直接写成已知组合的线性组合，只做一次同向相加。

直观理解

在数轴上，$a > b$ 就是 $a$ 在 $b$ 的右边。两边加同一个数，相当于两个点一起平移，左右顺序不变。两边乘一个正数，相当于以原点为中心伸缩，顺序也不变。乘 $-1$ 就是关于原点翻折，原来在右边的跑到左边，所以不等号要变向。

一句话记法：加减随便，乘除看号；同向能加，同正能乘；相减相除不能直接做。

关联知识点

• 前置：第 1 章 1.2 集合的概念与表示，不等式的解要写成集合或区间。
• 后续：3.3 作差法和作商法，就是“基本事实”的直接应用。
• 后续：第 4 章一元二次不等式，解不等式的每一步变形都要用这些性质，特别是两边乘负数变号。
• 后续：第 6 章函数的单调性，定义里比较 $f(x_1)$ 与 $f(x_2)$ 用的就是作差和不等式的性质。
• 常一起考：第 8、9 章指数函数、对数函数比较大小，先用函数单调性，再用本节的传递性。

3.3 作差法和作商法比较大小

说明

作差法：比较 $a$ 与 $b$，看差的符号。

$$a - b > 0 \iff a > b,\qquad a - b = 0 \iff a = b,\qquad a - b < 0 \iff a < b.$$

四个步骤：作差 → 变形 → 定号 → 下结论。变形的目的是让差的符号一眼看得出来，常用手段是因式分解、配方、通分、分子（分母）有理化。

作商法：当 $a > 0$，$b > 0$ 时，比较 $\dfrac{a}{b}$ 与 1 的大小。

$$\frac{a}{b} > 1 \iff a > b,\qquad \frac{a}{b} = 1 \iff a = b,\qquad \frac{a}{b} < 1 \iff a < b.$$

作商法适合两边都是积、幂的形式，相除后能约去很多因式的情况。

使用场景

• 比较两个多项式的大小：作差后能配方或因式分解。
• 差的符号随字母的取值而变：作差、因式分解后按字母的范围分类讨论。
• 两个式子都是正数，而且是积或幂的形式（如分式、乘方）：作商，看商与 1 的大小。
• 实际问题里比较两种方案或两个比值（如浓度、单价、效率）：把两个量用字母写出来，作差。

注意点

• 作商法要求两个数都是正数（至少除数是正数，并且被比较的两个数同号）。若 $b < 0$，$\dfrac{a}{b} > 1$ 推出的是 $a < b$。
• 变形要做到底，直到能判断符号为止。留下 $x^2 - 3x + 3$ 这种看不出符号的式子不算完成。
• 结论里要写清相等的情况：差为 0 时两式相等，这往往对应一个“当且仅当”。
• 含字母时，因式分解后每个因式的符号都要看清，必要时分类讨论。

证明

作差法的依据就是 3.2 节的“实数大小的基本事实”。它是实数的定义层面的事实：实数在数轴上从左到右排好，$a - b > 0$ 说的就是从 $b$ 到 $a$ 是向右走的。高中把它当作出发点，不再证明；严格地说，它来自大学课程里实数的有序域公理。

作商法：设 $b > 0$。若 $\dfrac{a}{b} > 1$，两边乘正数 $b$（关键一步：$b > 0$ 才能乘过去不变号，这就是作商法要求正数的原因），得 $a > b$。反过来，若 $a > b$，两边乘正数 $\dfrac{1}{b}$，得 $\dfrac{a}{b} > 1$。等于和小于的情况同理。

例题

例 1　（场景：比较多项式，配方）比较 $x^2 + 3$ 与 $3x$ 的大小。

解：作差并配方：

$$(x^2 + 3) - 3x = x^2 - 3x + 3 = \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}.$$

因为 $\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 \ge 0$，所以差 $\ge \dfrac{3}{4} > 0$。故对任意实数 $x$，$x^2 + 3 > 3x$。

容易卡在：配方时常数项算错。$x^2 - 3x$ 配成 $\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{4}$，再加 3 得 $\dfrac{3}{4}$。

例 2　（场景：差的符号随字母变化，分类讨论）比较 $m^3$ 与 $m$ 的大小。

解：作差并因式分解：$m^3 - m = m(m^2 - 1) = m(m - 1)(m + 1)$。

三个因式在 $m = -1, 0, 1$ 处变号，分段看：

$m$ 的范围	$m + 1$	$m$	$m - 1$	差的符号	结论
$m < -1$	$-$	$-$	$-$	$-$	$m^3 < m$
$-1 < m < 0$	$+$	$-$	$-$	$+$	$m^3 > m$
$0 < m < 1$	$+$	$+$	$-$	$-$	$m^3 < m$
$m > 1$	$+$	$+$	$+$	$+$	$m^3 > m$

$m = -1, 0, 1$ 时差为 0，$m^3 = m$。

容易卡在：漏掉 $-1 < m < 0$ 这一段，以为”$m < 0$ 时一律 $m^3 < m$“。

例 3　（场景：正数的分式或乘方，作商）已知 $a > b > 0$，比较 $\dfrac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$ 与 $\dfrac{a - b}{a + b}$ 的大小。

解：两式的分子分母都是正数，所以两式都是正数，可以作商。

$$\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} \div \frac{a - b}{a + b} = \frac{(a - b)(a + b)}{a^2 + b^2} \cdot \frac{a + b}{a - b} = \frac{(a + b)^2}{a^2 + b^2} = 1 + \frac{2ab}{a^2 + b^2}.$$

因为 $a, b > 0$，$\dfrac{2ab}{a^2 + b^2} > 0$，所以商大于 1，即 $\dfrac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} > \dfrac{a - b}{a + b}$。

容易卡在：作商前没有说明两式都是正数。

例 4　（场景：实际问题中比较两个比值）一杯 $b$ 克的糖水里含糖 $a$ 克（$b > a > 0$）。再加入 $m$ 克糖（$m > 0$），糖水变甜了还是变淡了？用不等式说明。

解：原来的浓度是 $\dfrac{a}{b}$，加糖后是 $\dfrac{a + m}{b + m}$。作差并通分：

$$\frac{a + m}{b + m} - \frac{a}{b} = \frac{b(a + m) - a(b + m)}{b(b + m)} = \frac{m(b - a)}{b(b + m)}.$$

因为 $m > 0$，$b - a > 0$，$b > 0$，$b + m > 0$，所以差大于 0，即 $\dfrac{a + m}{b + m} > \dfrac{a}{b}$，糖水变甜了。

另一种解法：把加进去的 $m$ 克糖看成浓度为 $100\%$ 的“糖水”。两份浓度不同的溶液混合，混合后的浓度一定介于两者之间，所以新浓度在 $\dfrac{a}{b}$ 和 1 之间，比原来大。这个想法不用计算，适合选择题和检查答案；要写出严格过程时，用作差法。

常用推论

• 糖水不等式：若 $b > a > 0$，$m > 0$，则 $\dfrac{a}{b} < \dfrac{a + m}{b + m} < 1$。推导见例 4，右半边作差得 $\dfrac{a - b}{b + m} < 0$。若 $a > b > 0$，则不等号反向：$\dfrac{a}{b} > \dfrac{a + m}{b + m} > 1$。
• $a^2 + b^2 \ge 2ab$（$a, b \in \mathbf{R}$），当且仅当 $a = b$ 时取等号。推导：作差得 $(a - b)^2 \ge 0$。这是 3.4 节基本不等式的起点。
• $a^3 + b^3 \ge a^2 b + ab^2$（$a, b > 0$）。推导：作差 $a^3 + b^3 - a^2 b - ab^2 = a^2(a - b) - b^2(a - b) = (a - b)^2(a + b) \ge 0$。

易错点

• 错在哪：比较两个负数，用作商法得 $\dfrac{a}{b} > 1$，下结论 $a > b$。 为什么错：$b < 0$ 时，由 $\dfrac{a}{b} > 1$ 两边乘 $b$ 要变号，得到的是 $a < b$。例如 $\dfrac{-4}{-2} = 2 > 1$，但 $-4 < -2$。 正确做法：作商前先确认两个数都是正数；都是负数时，可以先比较它们的相反数，或改用作差。
• 错在哪：作差后变形到 $x^2 - x + 1$ 就说“符号不确定”或“大于 0”而不说明理由。 为什么错：定号必须有依据。 正确做法：配方成 $\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4} > 0$，或因式分解后逐个看因式的符号。
• 错在哪：例 2 只讨论 $m > 0$ 和 $m < 0$ 两种情况。 为什么错：差有三个因式，变号点有三个，要分四段。 正确做法：先找出所有让因式为 0 的点，在数轴上分段，每段看各因式的符号。

直观理解

作差是在数轴上量“从 $b$ 走到 $a$“的有向距离：向右为正，向左为负。作商是在问”$a$ 是 $b$ 的几倍”：超过 1 倍就是更大，这只在两个都是正数时才说得通。

糖水不等式就是生活常识：往糖水里加糖，只会更甜。

关联知识点

• 前置：3.2 不等式的性质，作商法的依据是性质 4。
• 后续：3.4 基本不等式，它的证明就是一次作差。
• 后续：第 6 章函数的单调性，证明单调性的标准步骤“取值、作差、变形、定号、下结论”就是作差法。
• 后续：第 25 章用导数证明不等式，构造的 $h(x) = f(x) - g(x)$ 就是作差的思路。
• 常一起考：第 4 章一元二次不等式，例 2 这种按因式的变号点分段定号的做法，解不等式时还会反复用到。

3.4 基本不等式

说明

重要不等式：对任意实数 $a, b$，

$$a^2 + b^2 \ge 2ab,$$

当且仅当 $a = b$ 时，等号成立。

基本不等式：如果 $a > 0$，$b > 0$，那么

$$\sqrt{ab} \le \frac{a + b}{2},$$

当且仅当 $a = b$ 时，等号成立。

$\dfrac{a + b}{2}$ 叫做 $a, b$ 的算术平均数，$\sqrt{ab}$ 叫做 $a, b$ 的几何平均数。基本不等式说的是：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。

几种等价写法（都要求 $a, b > 0$，等号都在 $a = b$ 时取到）：

写法	用途
$a + b \ge 2\sqrt{ab}$	已知积，估计和的下界
$ab \le \left(\dfrac{a + b}{2}\right)^2$	已知和，估计积的上界
$ab \le \dfrac{a^2 + b^2}{2}$	积与平方和互相估计（此式对一切实数成立）

使用场景

• 证明含几个正数的不等式，左边是和、右边是积（或反过来）：对每一对用一次基本不等式，再相乘或相加。
• 实际问题中比较“两次变化”和“平均变化”（如两次提价、两段速度）：写成 $ab$ 与 $\left(\dfrac{a + b}{2}\right)^2$ 的比较。
• 已知两个正数的和（或积、平方和），估计另一个量的范围：选对应的等价写法。

注意点

• 重要不等式 $a^2 + b^2 \ge 2ab$ 对一切实数成立；基本不等式 $\sqrt{ab} \le \dfrac{a + b}{2}$ 要求 $a, b > 0$（$a, b \ge 0$ 也成立，但通常写正数）。
• “当且仅当 $a = b$ 时等号成立”是定理的一部分，不能省。它的意思是：$a = b$ 时取等号，$a \ne b$ 时严格小于。
• 多次使用基本不等式再相乘或相加时，每次取等号的条件要能同时成立，否则最终的等号取不到。
• 相乘之前要确认每个不等式两边都是正数（3.2 节性质 6）。

证明

重要不等式：作差，

$$a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2 \ge 0,$$

所以 $a^2 + b^2 \ge 2ab$。等号成立 $\iff (a - b)^2 = 0 \iff a = b$。

基本不等式（分析法，课本的证法）：要证 $\sqrt{ab} \le \dfrac{a + b}{2}$，

只要证 $2\sqrt{ab} \le a + b$，

只要证 $0 \le a + b - 2\sqrt{ab}$，

只要证 $0 \le (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$。

（关键一步：因为 $a > 0$，$b > 0$，才能写 $a = (\sqrt{a})^2$，$b = (\sqrt{b})^2$，于是 $a + b - 2\sqrt{ab}$ 恰好是一个完全平方。负数开不了平方，这就是基本不等式要求正数的原因。）

最后一式显然成立，所以基本不等式成立。等号成立 $\iff \sqrt{a} = \sqrt{b} \iff a = b$。

也可以直接看成重要不等式的特例：在 $x^2 + y^2 \ge 2xy$ 中取 $x = \sqrt{a}$，$y = \sqrt{b}$，得 $a + b \ge 2\sqrt{ab}$。

例题

例 1　（场景：证明不等式）已知 $a, b, c$ 都是正数，求证：$(a + b)(b + c)(c + a) \ge 8abc$。

解：由基本不等式，

$$a + b \ge 2\sqrt{ab} > 0,\quad b + c \ge 2\sqrt{bc} > 0,\quad c + a \ge 2\sqrt{ca} > 0.$$

三个不等式两边都是正数，同向相乘（3.2 节性质 6，等号情形同理）：

$$(a + b)(b + c)(c + a) \ge 8\sqrt{ab \cdot bc \cdot ca} = 8\sqrt{a^2 b^2 c^2} = 8abc.$$

当且仅当 $a = b$，$b = c$，$c = a$ 同时成立，即 $a = b = c$ 时等号成立。

容易卡在：相乘前没有说明各式都是正数。若某个式子可能是负数，相乘就可能出错。

例 2　（场景：比较两次变化与平均变化）某商品计划两次提价，有两种方案。方案甲：第一次提价 $p$，第二次提价 $q$；方案乙：两次都提价 $\dfrac{p + q}{2}$。其中 $p > 0$，$q > 0$，$p \ne q$。哪种方案提价后的价格更高？

解：设原价为 1。方案甲提价后为 $(1 + p)(1 + q)$，方案乙提价后为 $\left(1 + \dfrac{p + q}{2}\right)^2$。

令 $A = 1 + p > 0$，$B = 1 + q > 0$，则 $\dfrac{A + B}{2} = 1 + \dfrac{p + q}{2}$。由基本不等式的等价写法 $AB \le \left(\dfrac{A + B}{2}\right)^2$，且 $p \ne q$ 时 $A \ne B$，等号不成立，所以

$$(1 + p)(1 + q) < \left(1 + \frac{p + q}{2}\right)^2.$$

方案乙的价格更高。例如 $p = 10\%$，$q = 20\%$，方案甲为 $1.1 \times 1.2 = 1.32$，方案乙为 $1.15^2 = 1.3225$。

容易卡在：看出这是“积与和的平方”的比较。两个因子的和是定值 $2 + p + q$，两个因子相等时积最大。

例 3　（场景：已知和，估计其他量）已知 $a > 0$，$b > 0$，$a + b = 2$。求证：(1) $ab \le 1$；(2) $a^2 + b^2 \ge 2$；(3) $\sqrt{a} + \sqrt{b} \le 2$。

解：

(1) 由 $ab \le \left(\dfrac{a + b}{2}\right)^2 = 1$，当且仅当 $a = b = 1$ 时等号成立。

(2) $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 4 - 2ab \ge 4 - 2 = 2$，用到了 (1)。当且仅当 $a = b = 1$ 时等号成立。

(3) 两边都是正数，比较平方：$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab} = 2 + 2\sqrt{ab} \le 2 + 2 = 4$（$\sqrt{ab} \le 1$ 由 (1) 得到），所以 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \le 2$。当且仅当 $a = b = 1$ 时等号成立。

容易卡在：(3) 想直接对 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 用基本不等式，得到的是下界 $\ge 2\sqrt[4]{ab}$，方向不对。要求上界，先平方。

常用推论

• $a + \dfrac{1}{a} \ge 2$（$a > 0$），当且仅当 $a = 1$ 时取等号；$a + \dfrac{1}{a} \le -2$（$a < 0$），当且仅当 $a = -1$ 时取等号。推导：$a > 0$ 时取 $b = \dfrac{1}{a}$ 用基本不等式；$a < 0$ 时对 $-a > 0$ 用上一条再乘 $-1$。
• $\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} \ge 2$（$ab > 0$），当且仅当 $a = b$ 时取等号。推导：$\dfrac{b}{a}$ 与 $\dfrac{a}{b}$ 都是正数且积为 1。
• $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$（$a, b, c \in \mathbf{R}$），当且仅当 $a = b = c$ 时取等号。推导：把 $a^2 + b^2 \ge 2ab$、$b^2 + c^2 \ge 2bc$、$c^2 + a^2 \ge 2ca$ 相加再除以 2。
• 四个平均数的大小（$a, b > 0$）：

$$\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \le \sqrt{ab} \le \frac{a + b}{2} \le \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}},$$

当且仅当 $a = b$ 时都取等号。从左到右依次叫调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数。推导：中间一个是基本不等式；右边一个两边平方后等价于 $2ab \le a^2 + b^2$；左边一个对 $\dfrac{1}{a}$、$\dfrac{1}{b}$ 用基本不等式得 $\sqrt{\dfrac{1}{ab}} \le \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right)$，两边取倒数（都是正数，倒数后变号）。

易错点

• 错在哪：对 $a = -1$，$b = -4$ 写 $a + b \ge 2\sqrt{ab} = 4$。 为什么错：基本不等式要求 $a, b > 0$。这里 $a + b = -5 < 4$。 正确做法：用之前先看两个数是不是正数；负数时先提出负号。
• 错在哪：例 1 写成”$a + b \ge 2\sqrt{ab}$，所以 $(a + b)(b + c)(c + a) \ge \cdots$“，不写等号成立的条件。 为什么错：证明题里等号条件是结论的一部分；求最值时没有等号条件，最值不成立。 正确做法：每次用完写”当且仅当……时等号成立”，多次使用时检查这些条件能否同时满足。
• 错在哪：把 $a^2 + b^2 \ge 2ab$ 和 $a + b \ge 2\sqrt{ab}$ 的适用范围记反，以为前者也要正数。 为什么错：前者来自 $(a - b)^2 \ge 0$，对一切实数成立；后者要开平方根，才需要正数。 正确做法：记住两个证明的出发点，适用范围就不会记错。

直观理解

半圆图（课本的探究图）：在直径 $AB$ 上取一点 $C$，使 $AC = a$，$CB = b$。过 $C$ 作 $AB$ 的垂线交半圆于 $D$。

• 直径是 $a + b$，所以半径 $OE = \dfrac{a + b}{2}$。
• $\angle ADB$ 是直径所对的圆周角，是直角。三角形 $ACD$ 与三角形 $DCB$ 相似，所以 $\dfrac{AC}{CD} = \dfrac{CD}{CB}$，得 $CD^2 = ab$，$CD = \sqrt{ab}$。
• $CD$ 是半圆里的一条“半弦”，不会超过半径，所以 $\sqrt{ab} \le \dfrac{a + b}{2}$。当 $C$ 移到圆心 $O$，即 $a = b$ 时，$CD$ 正好是半径，取等号。

赵爽弦图：四个全等的直角三角形（两条直角边 $a > b$，斜边 $c$）围成边长为 $c$ 的大正方形，中间空出一个边长为 $a - b$ 的小正方形。大正方形的面积 $a^2 + b^2$（即 $c^2$）等于四个三角形的面积 $4 \times \dfrac{1}{2}ab = 2ab$ 加上小正方形的面积 $(a - b)^2$，所以 $a^2 + b^2 \ge 2ab$；$a = b$ 时小正方形缩成一个点，取等号。

一句话记法：两个正数，“平均着来”总比“乘着来再开方”大，两数相等时一样大。

关联知识点

• 前置：3.3 作差法，重要不等式就是一次作差加配方。
• 后续：3.5 用基本不等式求最值，是本节最主要的用途。
• 后续：第 16 章解三角形，余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ 配合 $a^2 + b^2 \ge 2ab$，求面积或周长的最大值。
• 常一起考：第 22、23 章数列，两个正数的等差中项 $\dfrac{a + b}{2}$ 与等比中项 $\pm\sqrt{ab}$ 的比较，就是算术平均数与几何平均数的比较。

3.5 用基本不等式求最值

说明

设 $x > 0$，$y > 0$：

1. 积为定值，和有最小值：若 $xy = P$（定值），则 $x + y \ge 2\sqrt{P}$，当且仅当 $x = y = \sqrt{P}$ 时，$x + y$ 取最小值 $2\sqrt{P}$。
2. 和为定值，积有最大值：若 $x + y = S$（定值），则 $xy \le \dfrac{S^2}{4}$，当且仅当 $x = y = \dfrac{S}{2}$ 时，$xy$ 取最大值 $\dfrac{S^2}{4}$。

口诀：积定和最小，和定积最大。

用之前要依次检查三个条件，称为一正二定三相等：

• 一正：两项都是正数；
• 二定：两项的积（求和的最小值时）或两项的和（求积的最大值时）是定值；
• 三相等：等号能取到，即两项能够相等，而且相等时的取值在允许范围内。

三条缺一条，算出来的数就不一定是最值。

常用的变形技巧：

技巧	什么时候用	例子
加减常数	分母是 $x - a$ 的形式	$x + \dfrac{4}{x - 1} = (x - 1) + \dfrac{4}{x - 1} + 1$
凑系数	求积的最大值，但两因子的和不是定值	$x(3 - 2x) = \dfrac{1}{2} \cdot 2x(3 - 2x)$
“1”的代换	已知一个和或分式和等于 1（或常数），求另一个和的最小值	$x + y = (x + y)\left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{9}{y}\right)$
和积互化	条件等式里和与积同时出现	用 $a + b \ge 2\sqrt{ab}$ 把等式化成关于 $\sqrt{ab}$ 的不等式

使用场景

• 两个正数的积是定值，求和的最小值（或和是定值，求积的最大值）：直接用。
• 实际问题求最大面积、最小用料、最低费用：设出变量写成函数，再看积或和是否为定值。
• 分母是 $x - a$ 这类形式：给分子加减常数，凑出积为定值。
• 求积的最大值，但两个因子的和不是定值：给其中一个因子乘一个系数，凑出和为定值。
• 条件是”$\dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{y} = 1$“或”$px + qy = 1$“，求另一个和的最小值：“1”的代换。
• 条件等式里同时有和与积，求和或积的范围：用基本不等式把等式变成不等式，再解。
• 用了基本不等式但等号取不到（自变量范围不包含取等点）：改用函数单调性。

注意点

• “一正”：$x < 0$ 时 $x + \dfrac{1}{x}$ 没有最小值，只有最大值 $-2$。
• “二定”：$x + \dfrac{1}{x^2}$ 的两项积是 $\dfrac{1}{x}$，不是定值，不能直接用。
• “三相等”：求出的值必须能取到才叫最值。没有检验等号，就不能说“最小值是……”。
• 同一道题连续用两次基本不等式，两次的取等条件必须能同时满足，否则结果偏小（求最小值时）或偏大（求最大值时），而且是错的。
• 答题要写出取最值时变量的值，这既是检验等号，也是评分点。

证明

积定和最小：设 $x, y > 0$，$xy = P$。由基本不等式，$x + y \ge 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{P}$。

（关键一步：仅有”$x + y \ge 2\sqrt{P}$“还不能说最小值是 $2\sqrt{P}$。“最小值”的意思是：所有值都不小于它，并且它能被取到。取 $x = y = \sqrt{P}$，满足 $xy = P$，此时 $x + y = 2\sqrt{P}$，确实取到了。这一步就是“三相等”。）

所以 $x + y$ 的最小值是 $2\sqrt{P}$。

和定积最大：设 $x, y > 0$，$x + y = S$。由 $xy \le \left(\dfrac{x + y}{2}\right)^2 = \dfrac{S^2}{4}$，且 $x = y = \dfrac{S}{2}$ 时 $xy = \dfrac{S^2}{4}$ 能取到，所以 $xy$ 的最大值是 $\dfrac{S^2}{4}$。

为什么“二定”是必须的：如果积不是定值，$2\sqrt{xy}$ 本身还随 $x$ 变化，“$x + y \ge 2\sqrt{xy}$“只是拿一个变量和另一个变量比，得不到一个确定的数。

例题

例 1　（场景：积为定值，直接用）已知 $x > 0$，求 $y = 2x + \dfrac{8}{x}$ 的最小值。

解：

• 一正：$x > 0$，所以 $2x > 0$，$\dfrac{8}{x} > 0$。
• 二定：$2x \cdot \dfrac{8}{x} = 16$，是定值。
• 由基本不等式，$y = 2x + \dfrac{8}{x} \ge 2\sqrt{16} = 8$。
• 三相等：当且仅当 $2x = \dfrac{8}{x}$，即 $x^2 = 4$，$x = 2$（$x > 0$）时取等号。

所以 $x = 2$ 时，$y$ 的最小值为 8。

例 2　（场景：实际问题）用一面足够长的墙作为矩形菜园的一边，另外三边用总长 20 米的篱笆围成。菜园的长、宽各为多少时面积最大？最大面积是多少？

解：设垂直于墙的两边各长 $x$ 米，平行于墙的一边长 $y$ 米，则 $2x + y = 20$，$x > 0$，$y > 0$。面积 $S = xy$。

$xy$ 的两个因子之和 $x + y$ 不是定值，但 $2x + y = 20$ 是定值，所以凑出 $2x$：

$$S = xy = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot y \le \frac{1}{2}\left(\frac{2x + y}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \times 100 = 50.$$

当且仅当 $2x = y$，结合 $2x + y = 20$，即 $x = 5$，$y = 10$ 时取等号。

所以垂直于墙的边长 5 米、平行于墙的边长 10 米时，面积最大，为 50 平方米。

容易卡在：直接写 $xy \le \left(\dfrac{x + y}{2}\right)^2$，但 $x + y$ 不是定值，右边不是一个确定的数。

另一种解法：消元。$y = 20 - 2x$，$S = x(20 - 2x) = -2x^2 + 20x = -2(x - 5)^2 + 50$，$0 < x < 10$，所以 $x = 5$ 时 $S$ 最大为 50。二次函数配方对“一个变量的二次式”最直接；基本不等式在式子不是二次函数时（如例 3、例 5）也能用，适用面更广。

例 3　（场景：分母是 $x - a$，加减常数配凑）已知 $x > 1$，求 $y = x + \dfrac{4}{x - 1}$ 的最小值。

解：$x$ 与 $\dfrac{4}{x - 1}$ 的积不是定值。把 $x$ 写成 $(x - 1) + 1$：

$$y = (x - 1) + \frac{4}{x - 1} + 1.$$

因为 $x > 1$，$x - 1 > 0$；$(x - 1) \cdot \dfrac{4}{x - 1} = 4$ 是定值。所以

$$y \ge 2\sqrt{4} + 1 = 5.$$

当且仅当 $x - 1 = \dfrac{4}{x - 1}$，即 $(x - 1)^2 = 4$，$x = 3$（$x > 1$）时取等号。所以 $x = 3$ 时，$y$ 的最小值为 5。

容易卡在：想到“减 1 再加 1”。看到分母是 $x - 1$，就把其他项也凑成 $x - 1$ 的样子。

例 4　（场景：凑系数）已知 $0 < x < \dfrac{3}{2}$，求 $y = x(3 - 2x)$ 的最大值。

解：$x > 0$，$3 - 2x > 0$。但 $x + (3 - 2x) = 3 - x$ 不是定值。给 $x$ 乘 2，使两个因子的和为定值：

$$y = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot (3 - 2x) \le \frac{1}{2}\left(\frac{2x + (3 - 2x)}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{9}{4} = \frac{9}{8}.$$

当且仅当 $2x = 3 - 2x$，即 $x = \dfrac{3}{4}$ 时取等号，$\dfrac{3}{4}$ 在 $\left(0, \dfrac{3}{2}\right)$ 内。所以 $x = \dfrac{3}{4}$ 时 $y$ 的最大值为 $\dfrac{9}{8}$。

容易卡在：系数凑在哪个因子上。原则是让两个因子里 $x$ 的系数互为相反数，相加时 $x$ 消掉。

例 5　（场景：“1”的代换）已知 $x > 0$，$y > 0$，且 $\dfrac{1}{x} + \dfrac{9}{y} = 1$，求 $x + y$ 的最小值。

解：因为 $\dfrac{1}{x} + \dfrac{9}{y} = 1$，所以 $x + y$ 乘以 1 不变：

$$x + y = (x + y)\left(\frac{1}{x} + \frac{9}{y}\right) = 1 + \frac{9x}{y} + \frac{y}{x} + 9 = 10 + \frac{y}{x} + \frac{9x}{y}.$$

$\dfrac{y}{x} > 0$，$\dfrac{9x}{y} > 0$，两者之积为 9，是定值。所以

$$x + y \ge 10 + 2\sqrt{9} = 16.$$

当且仅当 $\dfrac{y}{x} = \dfrac{9x}{y}$，即 $y = 3x$ 时取等号。代入条件得 $\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{x} = 1$，$x = 4$，$y = 12$。所以 $x + y$ 的最小值为 16。

容易卡在：分别对 $x + y$ 和条件用基本不等式，得到错误答案 12，见本节易错点第 3 条。

另一种解法：消元。由条件得 $y = \dfrac{9x}{x - 1}$，由 $y > 0$ 知 $x > 1$。于是

$$x + y = x + \frac{9x}{x - 1} = x + 9 + \frac{9}{x - 1} = (x - 1) + \frac{9}{x - 1} + 10 \ge 2\sqrt{9} + 10 = 16,$$

$x - 1 = 3$ 即 $x = 4$ 时取等号，回到例 3 的配凑。“1”的代换步骤短、不容易漏条件，是这类题的首选；消元法思路直接，在条件不能整理成“某式 $= 1$“的形式时用它。

例 6　（场景：和与积同时出现的等式）已知 $a > 0$，$b > 0$，$ab = a + b + 3$，求 $ab$ 的取值范围。

解：由基本不等式 $a + b \ge 2\sqrt{ab}$，得

$$ab = a + b + 3 \ge 2\sqrt{ab} + 3.$$

令 $t = \sqrt{ab} > 0$，则 $t^2 - 2t - 3 \ge 0$，即 $(t - 3)(t + 1) \ge 0$。因为 $t + 1 > 0$，所以 $t - 3 \ge 0$，$t \ge 3$，即 $ab \ge 9$。

当且仅当 $a = b$ 时取等号，此时 $a^2 = 2a + 3$，$a = 3$（$a > 0$），确实取到 $ab = 9$。所以 $ab$ 的取值范围是 $[9, +\infty)$。

容易卡在：想不到把 $\sqrt{ab}$ 看成一个整体。式子里有 $ab$ 和 $\sqrt{ab}$，就设 $t = \sqrt{ab}$，变成关于 $t$ 的二次不等式。

例 7　（场景：等号取不到，改用单调性）已知 $x \ge 3$，求 $y = x + \dfrac{4}{x}$ 的最小值。

解：如果直接用基本不等式，$y \ge 2\sqrt{4} = 4$，等号要求 $x = \dfrac{4}{x}$，即 $x = 2$，但 $2 \notin [3, +\infty)$，取不到。所以 4 不是最小值。

改为说明 $y$ 在 $[3, +\infty)$ 上随 $x$ 增大而增大。任取 $3 \le x_1 < x_2$，作差：

$$y_1 - y_2 = (x_1 - x_2) + \left(\frac{4}{x_1} - \frac{4}{x_2}\right) = (x_1 - x_2) - \frac{4(x_1 - x_2)}{x_1 x_2} = \frac{(x_1 - x_2)(x_1 x_2 - 4)}{x_1 x_2}.$$

因为 $x_1 - x_2 < 0$，$x_1 x_2 > 9 > 4$，$x_1 x_2 > 0$，所以 $y_1 - y_2 < 0$，$y_1 < y_2$。$y$ 在 $[3, +\infty)$ 上递增，最小值在 $x = 3$ 处取到：$y = 3 + \dfrac{4}{3} = \dfrac{13}{3}$。

容易卡在：算出 4 就作为答案，不检查 $x = 2$ 在不在范围里。

常用推论

• 对勾函数 $y = x + \dfrac{k}{x}$（$k > 0$）：$x > 0$ 时，在 $x = \sqrt{k}$ 处取最小值 $2\sqrt{k}$；在 $(0, \sqrt{k}]$ 上递减，在 $[\sqrt{k}, +\infty)$ 上递增。推导：最小值见例 1 的做法；单调性仿照例 7 作差，$y_1 - y_2 = \dfrac{(x_1 - x_2)(x_1 x_2 - k)}{x_1 x_2}$，看 $x_1 x_2$ 与 $k$ 的大小。等号取不到时，就用这个单调性找最值。
• “1”的代换的一般结论：$a, b, x, y > 0$，$\dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{y} = 1$，则 $x + y \ge (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$。推导：$(x + y)\left(\dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{y}\right) = a + b + \dfrac{ay}{x} + \dfrac{bx}{y} \ge a + b + 2\sqrt{ab}$。例 5 是 $a = 1$，$b = 9$ 的情形，$(1 + 3)^2 = 16$。
• $x > a$ 时，$x + \dfrac{k}{x - a} \ge 2\sqrt{k} + a$（$k > 0$），当 $x = a + \sqrt{k}$ 时取等号。推导见例 3。

易错点

• 错在哪：求 $y = x + \dfrac{1}{x}$（$x \ne 0$）的最小值，答 2。 为什么错：$x < 0$ 时两项都是负数，不满足“一正”，此时 $y \le -2$，函数值可以任意小，没有最小值。 正确做法：先看定义域里两项是否都是正数；不是的话分 $x > 0$、$x < 0$ 讨论，$x < 0$ 时提出负号。
• 错在哪：求 $y = \sqrt{x^2 + 2} + \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 2}}$ 的最小值，答 2。 为什么错：等号要求 $\sqrt{x^2 + 2} = 1$，即 $x^2 = -1$，不可能，违反“三相等”。 正确做法：令 $t = \sqrt{x^2 + 2} \ge \sqrt{2}$，$y = t + \dfrac{1}{t}$ 在 $[\sqrt{2}, +\infty)$ 上递增（对勾函数，$\sqrt{2} > 1$），最小值在 $t = \sqrt{2}$ 即 $x = 0$ 处，为 $\sqrt{2} + \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$。
• 错在哪：例 5 写成：由 $1 = \dfrac{1}{x} + \dfrac{9}{y} \ge 2\sqrt{\dfrac{9}{xy}}$ 得 $\sqrt{xy} \ge 6$，再由 $x + y \ge 2\sqrt{xy} \ge 12$，答最小值 12。 为什么错：第一次取等号要 $\dfrac{1}{x} = \dfrac{9}{y}$，即 $y = 9x$；第二次要 $x = y$。两者不能同时成立，所以 12 取不到。实际最小值是 16。 正确做法：尽量只用一次基本不等式（“1”的代换）；必须用两次时，检查两次的取等条件是否相容。
• 错在哪：例 2 直接写 $S = xy \le \left(\dfrac{x + y}{2}\right)^2$。 为什么错：$x + y$ 不是定值，右边随 $x$ 变化，不是最大值。 正确做法：先看已知条件里哪个组合是定值（这里是 $2x + y$），再凑出这个组合。

直观理解

周长一定的矩形，正方形的面积最大；面积一定的矩形，正方形的周长最小。这就是“和定积最大，积定和最小”：两个数越接近，积越大；差得越远，积越小。

$y = x + \dfrac{1}{x}$ 的图像像一个“对勾”：$x > 0$ 的一支最低点在 $(1, 2)$，$x < 0$ 的一支最高点在 $(-1, -2)$。“一正”说的是只能看右边那一支；“三相等”说的是最低点必须落在允许的范围里，落在外面就沿着曲线找最近的端点（例 7）。

一句话记法：一正二定三相等，缺一个就不是最值。

关联知识点

• 前置：3.4 基本不等式。
• 后续：第 4 章一元二次不等式，例 6 这种和积互化最后要解二次不等式。
• 后续：第 6 章函数的最大值和最小值，等号取不到时改用单调性，对勾函数是第 6 章的常见例子。
• 后续：第 25 章导数的应用，求最值的通用方法；基本不等式能做的题，导数也能做，但基本不等式通常更快。
• 常一起考：第 16 章解三角形，已知一边和对角求面积或周长的最大值。
• 常一起考：第 30 章椭圆、第 33 章直线与圆锥曲线，面积、弦长的最值，化简后常用基本不等式收尾。

3.6 知识点之间的关系

本章是一条从“比大小”到“求最值”的线。实数大小的基本事实（$a - b$ 的正负）推出不等式的性质（3.2），也直接给出作差法和作商法（3.3）；作差配方得到 $a^2 + b^2 \ge 2ab$，换成平方根就是基本不等式（3.4）；基本不等式加上“一正二定三相等”，就是求最值的工具（3.5）。

考试里，3.2 和 3.3 常以选择题出现，考的是“变号”和“反例”；3.4 和 3.5 很少单独成大题，更多是作为最后一步嵌在解三角形、圆锥曲线、数列和函数题里。所以求最值的三条检查要练成习惯，否则前面的步骤都对，最后一步还会丢分。

3.7 自测

1. 若 $a < b < 0$，则下列不等式中不成立的是（　）。A. $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$　B. $a^2 > b^2$　C. $|a| > |b|$　D. $a + b > 2b$
2. 已知 $-1 < a < 2$，$1 < b < 3$，求 $2a - b$ 的取值范围。
3. 比较 $x^2 + y^2 + 1$ 与 $2(x + y - 1)$ 的大小。
4. 比较 $2^{30}$ 与 $3^{20}$ 的大小。
5. 已知 $a > 0$，$b > 0$，$2a + b = 1$，求 $ab$ 的最大值。
6. 已知 $x > -1$，求 $y = \dfrac{x^2 + 2x + 5}{x + 1}$ 的最小值。
7. 已知 $x > 0$，$y > 0$，$x + 2y = 1$，求 $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$ 的最小值。

答案：1. D；2. $(-5, 3)$；3. $x^2 + y^2 + 1 > 2(x + y - 1)$（作差得 $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + 1 > 0$）；4. $2^{30} < 3^{20}$（$2^{30} = 8^{10}$，$3^{20} = 9^{10}$）；5. $\dfrac{1}{8}$；6. 4（$x = 1$ 时取到）；7. $3 + 2\sqrt{2}$。

3.8 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台 · 高中数学：搜索“等式性质与不等式性质”“基本不等式”，有对应人教 A 版的课堂视频和课件。
• 人民教育出版社 · 普通高中教科书数学（A 版）：人教 A 版必修第一册第二章的教材和教学参考，基本不等式的半圆图出自这里。
• Wolfram MathWorld · Arithmetic-Logarithmic-Geometric Mean Inequality：英文，平均数之间大小关系的更一般形式，适合想往前多看一步的学生。
• 维基百科 · 平均数不等式：基本不等式推广到 n 个正数的形式，以及几种不同的证明。