第 25 章 · 导数的应用

项目	内容
课标主题	选择性必修 · 函数 · 一元函数的导数及其应用
人教 A 版	选择性必修第二册 第五章 5.3 导数在研究函数中的应用
考试地位	必考。解答题几乎每年有一道导数题，常放在最后作压轴；小题常考单调区间、极值、最值和零点个数
前置知识	第 24 章导数的运算；第 6 章单调性和最值的定义；第 4 章恒成立与有解；第 10 章零点存在定理

有了导数，研究函数就有了一套固定的流程：求导，看导数的符号，得到单调性，再得到极值、最值，最后用来证明不等式、求参数范围、数零点。这一章的题目入口都差不多，丢分丢在三处：忘了先求定义域；含参数讨论时漏掉一种情况；已知极值求参数后不检验。

25.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
25.2 导数与函数的单调性	导数为正的区间上函数递增，为负的区间上递减；含参数时按导数零点的有无、位置、大小讨论	必考，解答题第一问的常客
25.3 极值与最值	导数由正变负处是极大值，由负变正处是极小值；闭区间上的最值在极值和端点值里比较	必考
25.4 用导数证明不等式和处理恒成立问题	作差构造函数，把不等式转化为最小值不小于 0；恒成立问题分离参数或直接讨论	常考，解答题第二问的主要题型
25.5 用导数研究函数零点个数	单调性、极值的符号加上零点存在定理，数出零点；或分离参数，数水平线和曲线的交点	常考

25.2 导数与函数的单调性

说明

判定定理：设函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内可导。

• 如果在 $(a, b)$ 内 $f'(x) > 0$，那么 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上单调递增；
• 如果在 $(a, b)$ 内 $f'(x) < 0$，那么 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上单调递减；
• 如果在 $(a, b)$ 内 $f'(x) = 0$ 恒成立，那么 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上是常数函数。

补充两点：

• $f'(x) \ge 0$，并且只在个别点（不是一整段）等于 0，$f(x)$ 仍然单调递增。例如 $f(x) = x^3$，$f'(x) = 3x^2$ 只在 $x = 0$ 处为 0，$f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上递增。
• 反过来，可导函数 $f(x)$ 在某区间上单调递增，只能推出在这个区间上 $f'(x) \ge 0$，推不出 $f'(x) > 0$。

求单调区间的四步：

1. 求定义域。
2. 求 $f'(x)$，尽量因式分解。
3. 在定义域内解 $f'(x) > 0$ 和 $f'(x) < 0$，常用列表看每段的符号。
4. 写出单调区间。同一类的几个区间用逗号或“和”隔开，不用并集符号。

含参数的单调性讨论：$f'(x)$ 的符号随参数变化时，要按参数分情况。讨论的分界点只有四个来源，按顺序问：

1. 决定符号的因式里，最高次项的系数含参数吗？含的话按系数为 0、为正、为负分开。
2. $f'(x) = 0$ 有没有实根（判别式）？
3. 实根在不在定义域内？
4. 有两个根时，谁大谁小、相不相等？

使用场景

• 求一个具体函数的单调区间：题目问“单调区间”“增减性”，函数是多项式，直接求导解不等式。
• 函数里有 $\ln x$、分式或根式：先求定义域，在定义域内看导数的符号。
• 已知函数在某区间上单调，求参数范围：把“递增”翻译成”$f'(x) \ge 0$ 在区间上恒成立”。
• 讨论含参数函数的单调性：题目说“讨论 $f(x)$ 的单调性”，导数的零点含参数。
• 比较几个形式相同的数的大小：如 $\dfrac{\ln 2}{2}$、$\dfrac{\ln 3}{3}$，构造一个函数，用它的单调性比较。

注意点

• 定义域优先。含 $\ln x$ 的函数定义域常是 $(0, +\infty)$，导数的符号只在定义域里看。
• 两个单调区间不能写成并集。$f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ 在 $(-1, 0)$ 和 $(0, 1)$ 上都递减，但在 $(-1, 0) \cup (0, 1)$ 上不递减：$f\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{5}{2} < f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{5}{2}$。
• 单调区间的端点只要函数有定义，写开写闭都可以；习惯上写开区间。
• “$f(x)$ 在区间 $D$ 上单调递增”和”$f(x)$ 的单调递增区间是 $D$“不是一回事：前者说 $D$ 是递增区间的一部分，后者说递增区间恰好是 $D$。
• 已知递增求参数，条件是 $f'(x) \ge 0$（带等号），解完要检验取等号时 $f'(x)$ 是不是只在个别点为 0。

证明

结论 1：$f'(x) > 0 \Rightarrow f(x)$ 递增。 人教 A 版教材这里没有给严格证明，用的是导数的几何意义来说明。

高中能懂的说明：$f'(x_0) > 0$ 表示在 $x_0$ 处切线向上倾斜，也就是 $x$ 稍微增大一点，函数值跟着增大。区间内每一点都这样，函数在整个区间上一直在上升。

严格证明要用大学数学分析里的拉格朗日中值定理：若 $f(x)$ 在 $[x_1, x_2]$ 上连续、在 $(x_1, x_2)$ 内可导，则存在 $\xi \in (x_1, x_2)$，使

$$f(x_2) - f(x_1) = f'(\xi)(x_2 - x_1).$$

取 $x_1 < x_2$，右边两个因子都大于 0，所以 $f(x_2) > f(x_1)$，这就是递增的定义。中值定理本身的证明要用到闭区间上连续函数一定有最值（实数的完备性），超出高中范围。

结论 2：可导函数 $f(x)$ 在区间上递增 $\Rightarrow$ $f'(x) \ge 0$。 这个方向用导数的定义就能证。

任取区间内一点 $x_0$。对很小的 $\Delta x \ne 0$（使 $x_0 + \Delta x$ 仍在区间内）：

• $\Delta x > 0$ 时，$f(x_0 + \Delta x) > f(x_0)$，差商 $\dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} > 0$；
• $\Delta x < 0$ 时，$f(x_0 + \Delta x) < f(x_0)$，分子分母都为负，差商仍大于 0。

差商恒大于 0，它的极限 $f'(x_0) \ge 0$（关键一步：一列正数的极限只能保证不小于 0，不能保证大于 0。比如 $\Delta x^2 > 0$，但 $\Delta x \to 0$ 时极限是 0。所以这里只能写 $\ge$）。

这正是 $f(x) = x^3$ 递增而 $f'(0) = 0$ 的原因。

例题

例 1　（场景：求具体函数的单调区间）求 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1$ 的单调区间。

解：定义域为 $\mathbf{R}$。

$$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3).$$

$f'(x) = 0$ 的根是 $-1$ 和 $3$，把数轴分成三段：

$x$	$(-\infty, -1)$	$(-1, 3)$	$(3, +\infty)$
$f'(x)$ 的符号	$+$	$-$	$+$
$f(x)$	递增	递减	递增

所以 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(-\infty, -1)$ 和 $(3, +\infty)$，单调递减区间是 $(-1, 3)$。

例 2　（场景：函数含对数，先求定义域）求 $f(x) = x^2 - 4x + 2\ln x$ 的单调区间。

解：定义域为 $(0, +\infty)$。

$$f'(x) = 2x - 4 + \frac{2}{x} = \frac{2x^2 - 4x + 2}{x} = \frac{2(x - 1)^2}{x}.$$

在 $(0, +\infty)$ 上，分母 $x > 0$，分子 $2(x - 1)^2 \ge 0$，只在 $x = 1$ 处为 0。所以 $f'(x) \ge 0$，且只在一个点等于 0，$f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增，没有递减区间。

容易卡在：看到 $f'(1) = 0$ 就以为 $x = 1$ 两侧单调性不同。导数在 $x = 1$ 两侧都为正，函数一直在增。

例 3　（场景：已知单调性求参数）已知 $f(x) = x^3 - ax$ 在 $[1, +\infty)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围。

解：$f'(x) = 3x^2 - a$。$f(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上递增，所以 $3x^2 - a \ge 0$ 对 $x \ge 1$ 恒成立，即

$$a \le 3x^2 \quad (x \ge 1).$$

$3x^2$ 在 $[1, +\infty)$ 上的最小值是 $3$（$x = 1$ 时），所以 $a \le 3$。

检验等号：$a = 3$ 时 $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$，在 $[1, +\infty)$ 上只在 $x = 1$ 处为 0，$f(x)$ 仍递增，$a = 3$ 可以取。

所以 $a$ 的取值范围是 $(-\infty, 3]$。

容易卡在：写成 $f'(x) > 0$，得到 $a < 3$，丢掉 $a = 3$。

例 4　（场景：讨论含参数函数的单调性）已知 $f(x) = \dfrac{1}{2}x^2 - (a + 1)x + a\ln x$，讨论 $f(x)$ 的单调性。

解：定义域为 $(0, +\infty)$。

$$f'(x) = x - (a + 1) + \frac{a}{x} = \frac{x^2 - (a + 1)x + a}{x} = \frac{(x - 1)(x - a)}{x}.$$

分母 $x > 0$，符号只看分子 $(x - 1)(x - a)$。它的两个根是 $1$ 和 $a$。$1$ 一定在定义域内，$a$ 在不在定义域内、和 $1$ 谁大，要分情况：

1. $a \le 0$：$x > 0$ 时 $x - a > 0$，符号只看 $x - 1$。$f(x)$ 在 $(0, 1)$ 上递减，在 $(1, +\infty)$ 上递增。
2. $0 < a < 1$：两根都在定义域内，$a < 1$。$x \in (0, a)$ 时两个因式都负，乘积为正；$x \in (a, 1)$ 时乘积为负；$x \in (1, +\infty)$ 时乘积为正。$f(x)$ 在 $(0, a)$ 和 $(1, +\infty)$ 上递增，在 $(a, 1)$ 上递减。
3. $a = 1$：$f'(x) = \dfrac{(x - 1)^2}{x} \ge 0$，只在 $x = 1$ 处为 0。$f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上递增。
4. $a > 1$：同理，$f(x)$ 在 $(0, 1)$ 和 $(a, +\infty)$ 上递增，在 $(1, a)$ 上递减。

容易卡在：分界点找不全。$a = 0$ 是“根 $a$ 进不进定义域”的分界，$a = 1$ 是“两根谁大”的分界，两个都要有。

例 5　（场景：构造函数比较大小）设 $a = \dfrac{\ln 2}{2}$，$b = \dfrac{\ln 3}{3}$，$c = \dfrac{\ln 5}{5}$，比较 $a, b, c$ 的大小。

解：三个数都是 $\dfrac{\ln x}{x}$ 的形式。设 $g(x) = \dfrac{\ln x}{x}$（$x > 0$），

$$g'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}.$$

$x > e$ 时 $\ln x > 1$，$g'(x) < 0$，$g(x)$ 在 $(e, +\infty)$ 上递减。

$2 < e$，不在递减区间里，先变形：$a = \dfrac{\ln 2}{2} = \dfrac{2\ln 2}{4} = \dfrac{\ln 4}{4} = g(4)$。

$e < 3 < 4 < 5$，所以 $g(3) > g(4) > g(5)$，即 $b > a > c$。

容易卡在：直接比较 $g(2)$ 和 $g(3)$。2 和 3 分在 $e$ 的两侧，单调性用不上，要先把 $g(2)$ 换成 $g(4)$。

另一种解法：两个两个比，化成整数的大小比较。$b$ 与 $a$：$\dfrac{\ln 3}{3}$ 与 $\dfrac{\ln 2}{2}$ 同乘 6，比较 $2\ln 3 = \ln 9$ 和 $3\ln 2 = \ln 8$，所以 $b > a$。$a$ 与 $c$：同乘 10，比较 $5\ln 2 = \ln 32$ 和 $2\ln 5 = \ln 25$，所以 $a > c$。结论相同。数少、数值小的时候这种方法最快；要比的数多，或者数值大（如 $\dfrac{\ln 2023}{2023}$），构造函数一次就能排好顺序。

常用推论

• 可导函数在区间 $D$ 上单调递增 $\Rightarrow$ $f'(x) \ge 0$ 在 $D$ 上恒成立；求参数时用它列不等式，再检验等号。推导见本节“证明”结论 2。
• 三次函数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$（$a > 0$）：$b^2 - 3ac \le 0$ 时在 $\mathbf{R}$ 上单调递增；$b^2 - 3ac > 0$ 时“增、减、增”。推导：$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ 开口向上，判别式 $\Delta = 4b^2 - 12ac = 4(b^2 - 3ac)$。$\Delta \le 0$ 时 $f'(x) \ge 0$，且至多在一点为 0；$\Delta > 0$ 时 $f'(x)$ 有两个根，两根之间为负。
• $f(x)$ 在区间 $D$ 上不单调 $\iff$ $f'(x)$ 在 $D$ 内有变号零点。常用来求“在某区间上不单调”的参数范围。

易错点

• 错在哪：求 $f(x) = x^2 - 2\ln x$ 的单调区间，由 $f'(x) = \dfrac{2(x + 1)(x - 1)}{x} < 0$ 得递减区间 $(-\infty, -1)$ 和 $(0, 1)$。 为什么错：$\ln x$ 要求 $x > 0$，$(-\infty, -1)$ 根本不在定义域里。 正确做法：先写定义域 $(0, +\infty)$，在它里面解：递减区间 $(0, 1)$，递增区间 $(1, +\infty)$。
• 错在哪：已知 $f(x) = x^3 - ax$ 的单调递减区间是 $(-1, 1)$，按“在 $(-1, 1)$ 上递减”做，得 $a \ge 3$。 为什么错：题目说递减区间恰好是 $(-1, 1)$，那么 $-1$ 和 $1$ 就是 $f'(x) = 3x^2 - a$ 的两个根。 正确做法：由 $f'(1) = 0$ 得 $a = 3$，代回检验：$f'(x) = 3(x - 1)(x + 1)$，递减区间正好是 $(-1, 1)$。
• 错在哪：例 4 只分了 $a < 1$、$a = 1$、$a > 1$ 三种情况。 为什么错：$a \le 0$ 时根 $a$ 不在定义域 $(0, +\infty)$ 里，$(0, a)$ 这个区间不存在。 正确做法：先问根在不在定义域内，再比大小。分界点是 $a = 0$ 和 $a = 1$。
• 错在哪：写“递增区间是 $(-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$”。 为什么错：在两个区间各自上递增，合起来不一定递增，用并集就是断言合起来也递增。 正确做法：用逗号或“和”隔开。

直观理解

导数是切线的斜率。切线向上倾斜，曲线在上坡；向下倾斜，在下坡；水平的地方是坡顶、坡底，或者像 $x^3$ 在原点那样的“平台”。

一句话：导数看正负，函数看升降。

关联知识点

• 前置：第 6 章单调性的定义，本节的判定定理是用导数检验那个定义的快捷办法。
• 前置：第 24 章导数的运算，求导出错，后面全错。
• 前置：第 4 章一元二次不等式，$f'(x)$ 常是二次式，解 $f'(x) > 0$ 就是解二次不等式；含参讨论的分类方法也一样。
• 后续：25.3 极值与最值，单调区间的分界点就是极值点的候选。
• 常一起考：第 9 章对数函数，含 $\ln x$ 的函数先看定义域。

25.3 极值与最值

说明

极值：设 $x_0$ 是函数 $f(x)$ 定义域内的一点。

• 如果在 $x_0$ 附近，除 $x_0$ 外所有点的函数值都比 $f(x_0)$ 小，就说 $f(x_0)$ 是 $f(x)$ 的一个极大值，$x_0$ 是极大值点；
• 如果都比 $f(x_0)$ 大，$f(x_0)$ 是极小值，$x_0$ 是极小值点。

极大值和极小值统称极值，极大值点和极小值点统称极值点。极值是“附近”的比较，是局部的概念。

用导数判断极值（$f(x)$ 在 $x_0$ 附近可导，$f'(x_0) = 0$）：

$x_0$ 左侧	$x_0$ 右侧	结论
$f'(x) > 0$	$f'(x) < 0$	$f(x_0)$ 是极大值
$f'(x) < 0$	$f'(x) > 0$	$f(x_0)$ 是极小值
符号相同	符号相同	$x_0$ 不是极值点

求极值的步骤：求定义域，求 $f'(x)$，解 $f'(x) = 0$，列表看每个根两侧 $f'(x)$ 的符号。

最值：$f(x)$ 在区间 $D$ 上所有函数值里最大的叫最大值，最小的叫最小值。

闭区间上的最值定理：函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，就一定有最大值和最小值。求法：

1. 求 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内的极值（或者所有使 $f'(x) = 0$ 的点处的函数值）；
2. 求端点值 $f(a)$、$f(b)$；
3. 比较，最大的是最大值，最小的是最小值。

使用场景

• 求一个函数的极值：题目问“极大值、极小值”，求导、解 $f'(x) = 0$、列表。
• 已知函数在某点取得极值，求参数：由 $f'(x_0) = 0$ 列方程，解出后必须检验。
• 求闭区间上的最值：题目给出区间 $[a, b]$，比较极值和端点值。
• 含参数函数在区间上的最值：极值点的位置随参数移动，按极值点在区间左边、里面、右边分情况。
• 实际问题中的最优化：用料最省、容积最大、利润最高，先列函数和定义域，再求最值。

注意点

• 极值点是一个数 $x_0$，不是一个点 $(x_0, f(x_0))$。题目问“极值点”答 $x = 1$，问“极值”答 $f(1)$ 的值。
• 对可导函数，$f'(x_0) = 0$ 是 $x_0$ 为极值点的必要不充分条件。$f(x) = x^3$ 在 $x = 0$ 处 $f'(0) = 0$，但两侧都递增，不是极值点。

• 极大值不一定比极小值大。$f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ 的极大值是 $f(-1) = -2$，极小值是 $f(1) = 2$。

• 区间的端点不是极值点（极值要求两侧都有定义），但端点值可能是最值。
• 不可导的点也可能是极值点，如 $y = |x|$ 在 $x = 0$ 处取极小值。高考题里的函数一般处处可导。
• 开区间上的函数不一定有最值；但如果在开区间内只有一个极值点，这个极值就是最值。

证明

结论 1：可导函数在极值点处导数为 0（费马引理）。 教材用切线水平来说明，这里用导数的定义证明。

设 $f(x_0)$ 是极大值，$f(x)$ 在 $x_0$ 处可导。对足够小的 $\Delta x \ne 0$，有 $f(x_0 + \Delta x) \le f(x_0)$，即分子 $f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \le 0$。

• $\Delta x > 0$ 时，差商 $\dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \le 0$，令 $\Delta x \to 0$，得 $f'(x_0) \le 0$；
• $\Delta x < 0$ 时，差商 $\ge 0$，令 $\Delta x \to 0$，得 $f'(x_0) \ge 0$。

（关键一步：$f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，从右边和从左边算出的极限是同一个数 $f'(x_0)$。它既 $\le 0$ 又 $\ge 0$，只能等于 0。）极小值同理。

注意这里只证了“极值点 $\Rightarrow$ 导数为 0”，反过来不成立，反例是 $x^3$。

结论 2：导数变号的判别法。 左正右负时，$f(x)$ 在 $x_0$ 左侧附近递增、右侧附近递减（25.2 节判定定理），所以 $x_0$ 附近的函数值都不超过 $f(x_0)$，$f(x_0)$ 是极大值。左负右正同理。左右同号时，$x_0$ 两侧单调性相同，$f(x_0)$ 比一侧的值大、比另一侧的值小，不是极值。

结论 3：闭区间上的连续函数一定有最值。 教材直接给出结论。高中能懂的说明：连续函数的图像是一条不断开的曲线，闭区间又把两头“封住”了，曲线不能无限升高，也不能逼近某个值却取不到，所以一定有最高点和最低点。去掉任何一个条件都可能没有最值：$y = \dfrac{1}{x}$ 在 $(0, 1]$ 上没有最大值（区间不闭），分段函数在跳跃处可能取不到（不连续）。严格证明要用到大学数学分析里实数的完备性（确界原理或有限覆盖定理）。

例题

例 1　（场景：求函数的极值）求 $f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 1$ 的极值。

解：定义域为 $\mathbf{R}$。

$$f'(x) = x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3).$$

令 $f'(x) = 0$，得 $x = -1$ 或 $x = 3$。列表：

$x$	$(-\infty, -1)$	$-1$	$(-1, 3)$	$3$	$(3, +\infty)$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	递增	极大值	递减	极小值	递增

极大值 $f(-1) = -\dfrac{1}{3} - 1 + 3 + 1 = \dfrac{8}{3}$；极小值 $f(3) = 9 - 9 - 9 + 1 = -8$。

例 2　（场景：已知极值求参数，必须检验）已知 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + a^2$ 在 $x = -1$ 处取得极值 8，求 $a, b$。

解：$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$。由题意

$$\begin{cases} f'(-1) = 3 - 2a + b = 0, \\ f(-1) = -1 + a - b + a^2 = 8. \end{cases}$$

由第一式 $b = 2a - 3$，代入第二式：$-1 + a - 2a + 3 + a^2 = 8$，即 $a^2 - a - 6 = 0$，得 $a = 3$ 或 $a = -2$。

检验：

• $a = 3$，$b = 3$：$f'(x) = 3x^2 + 6x + 3 = 3(x + 1)^2 \ge 0$，$x = -1$ 两侧都为正，不是极值点，舍去。
• $a = -2$，$b = -7$：$f'(x) = 3x^2 - 4x - 7 = (3x - 7)(x + 1)$，在 $x = -1$ 左侧为正、右侧为负，$x = -1$ 是极大值点，符合。

所以 $a = -2$，$b = -7$。

容易卡在：解出两组就都写上。$f'(-1) = 0$ 只是必要条件，每一组都要回去看 $f'(x)$ 在 $-1$ 两侧变不变号。

例 3　（场景：闭区间上的最值）求 $f(x) = x^3 - 3x$ 在 $\left[-2, \dfrac{3}{2}\right]$ 上的最大值和最小值。

解：$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x + 1)(x - 1)$，在区间内的根是 $-1$ 和 $1$。

• $x = -1$ 两侧导数左正右负，极大值 $f(-1) = 2$；
• $x = 1$ 两侧导数左负右正，极小值 $f(1) = -2$；
• 端点值：$f(-2) = -8 + 6 = -2$，$f\left(\dfrac{3}{2}\right) = \dfrac{27}{8} - \dfrac{9}{2} = -\dfrac{9}{8}$。

比较 $2, -2, -2, -\dfrac{9}{8}$：最大值是 $2$（$x = -1$ 时），最小值是 $-2$（$x = -2$ 或 $x = 1$ 时）。

例 4　（场景：含参数函数在区间上的最值）已知 $a > 0$，求 $f(x) = x - a\ln x$ 在 $[1, e]$ 上的最小值。

解：$f'(x) = 1 - \dfrac{a}{x} = \dfrac{x - a}{x}$（$x > 0$）。$f(x)$ 在 $(0, a)$ 上递减，在 $(a, +\infty)$ 上递增，$x = a$ 是极小值点。要看 $a$ 落在区间 $[1, e]$ 的哪一边：

1. $0 < a \le 1$：在 $[1, e]$ 上 $x \ge a$，$f(x)$ 递增，最小值 $f(1) = 1$。
2. $1 < a < e$：$f(x)$ 在 $[1, a]$ 上递减、在 $[a, e]$ 上递增，最小值 $f(a) = a - a\ln a$。
3. $a \ge e$：在 $[1, e]$ 上 $x \le a$，$f(x)$ 递减，最小值 $f(e) = e - a$。

综上，最小值为

$$f(x)_{\min} = \begin{cases} 1, & 0 < a \le 1, \\ a - a\ln a, & 1 < a < e, \\ e - a, & a \ge e. \end{cases}$$

容易卡在：分类不是按 $a$ 的正负分，而是按极值点 $a$ 在区间左边、里面、右边分。

例 5　（场景：实际问题的最优化）用一张边长为 6 的正方形铁皮，在四个角各剪去一个边长为 $x$ 的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子。$x$ 为多少时盒子容积最大？最大是多少？

解：盒子底面边长 $6 - 2x$，高 $x$，容积

$$V(x) = x(6 - 2x)^2, \quad 0 < x < 3.$$

（定义域：边长 $x > 0$，底面边长 $6 - 2x > 0$。）

$$V'(x) = (6 - 2x)^2 + x \cdot 2(6 - 2x) \cdot (-2) = (6 - 2x)(6 - 6x) = 12(3 - x)(1 - x).$$

在 $(0, 3)$ 内，$V'(x) = 0$ 只有 $x = 1$。$0 < x < 1$ 时 $V'(x) > 0$，$1 < x < 3$ 时 $V'(x) < 0$，所以 $x = 1$ 是唯一的极大值点，也是最大值点。最大容积 $V(1) = 1 \times 4^2 = 16$。

容易卡在：忘了写定义域 $0 < x < 3$，或者忘了说明开区间内唯一的极值就是最值。

另一种解法：用三个数的基本不等式（$a, b, c > 0$ 时 $abc \le \left(\dfrac{a + b + c}{3}\right)^3$）。凑出和为定值的三个因子：

$$V = \frac{1}{4} \cdot 4x \cdot (6 - 2x) \cdot (6 - 2x) \le \frac{1}{4}\left(\frac{4x + (6 - 2x) + (6 - 2x)}{3}\right)^3 = \frac{1}{4} \times 4^3 = 16,$$

当且仅当 $4x = 6 - 2x$，即 $x = 1$ 时取等号。能凑出“和为定值”时，基本不等式一步出结果；凑不出来（比如盒子是长方形铁皮做的），求导是通用的办法。三个数的基本不等式课本不单列，用在选择填空里更稳妥。

常用推论

• 若可导函数在开区间内只有一个极值点，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值。推导：只有一个极值点（比如极大值点 $x_0$）时，$f(x)$ 在 $x_0$ 左边递增、右边递减，左右的函数值都比 $f(x_0)$ 小。
• 三次函数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$（$a \ne 0$）有极值 $\iff$ $b^2 - 3ac > 0$。推导：有极值等价于 $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ 有两个不同的根（导数要变号），即 $\Delta = 4(b^2 - 3ac) > 0$。
• $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调时，最值在端点取到：递增时最小值 $f(a)$、最大值 $f(b)$。

易错点

• 错在哪：例 2 写”$a = 3, b = 3$ 或 $a = -2, b = -7$“。 为什么错：$a = 3, b = 3$ 时 $f'(x) = 3(x + 1)^2$，在 $-1$ 两侧不变号，$x = -1$ 不是极值点，不满足题意。 正确做法：解出参数后代回 $f'(x)$，看 $x_0$ 两侧是否变号。
• 错在哪：求闭区间上的最值，只比较极大值和极小值。 为什么错：端点值可能更大或更小。例 3 若区间改成 $\left[-2, \dfrac{5}{2}\right]$，右端点值 $f\left(\dfrac{5}{2}\right) = \dfrac{65}{8}$ 比极大值 2 大，最大值在端点。 正确做法：极值和端点值一起列出来比较。
• 错在哪：认为 $f'(x_0) = 0$ 的点就是极值点。 为什么错：导数为 0 只说明切线水平，两侧不变号就不是极值点，如 $x^3$ 在原点。 正确做法：列表看 $f'(x)$ 在 $x_0$ 两侧的符号。
• 错在哪：题目问极值点，答”$(-1, \dfrac{8}{3})$“。 为什么错：极值点指自变量的值。 正确做法：极值点答 $x = -1$；极值答 $\dfrac{8}{3}$。

直观理解

把函数图像想成一段山路。极大值是山顶，极小值是谷底，它们只和附近比；最大值是整段路上的最高处，要把所有山顶和两个端点都拿来比。

山顶和谷底处路是平的（导数为 0），但路平的地方不一定是山顶或谷底：上坡途中也可能有一小段平台。所以“导数为 0”只是候选，“导数变号”才是确认。

关联知识点

• 前置：25.2 导数与单调性，极值点就是单调性发生改变的点。
• 前置：第 6 章最大值和最小值的定义，以及用单调性求最值的方法。
• 后续：25.4 证明不等式和恒成立，最后都化成求某个函数的最值。
• 后续：25.5 零点个数，极值的正负决定曲线和 $x$ 轴交几次。
• 常一起考：第 3 章基本不等式，求最值时能凑出定值就用它，凑不出来就求导。

25.4 用导数证明不等式和处理恒成立问题

说明

证明不等式：要证 $x \in D$ 时 $f(x) \ge g(x)$，设

$$h(x) = f(x) - g(x),$$

求出 $h(x)$ 在 $D$ 上的最小值，证明它 $\ge 0$。如果 $h(x)$ 在 $D$ 上单调，就看端点值。

恒成立与能成立（有解）的转化：设 $g(x)$ 在 $D$ 上有最大值和最小值。

题目条件	等价于
对任意 $x \in D$，$a \ge g(x)$	$a \ge g(x)_{\max}$
对任意 $x \in D$，$a \le g(x)$	$a \le g(x)_{\min}$
存在 $x \in D$，使 $a \ge g(x)$	$a \ge g(x)_{\min}$
存在 $x \in D$，使 $a \le g(x)$	$a \le g(x)_{\max}$

记法：恒成立要对付最难的那个 $x$，能成立只要找最容易的那个 $x$。

两种思路：

1. 分离参数：把参数 $a$ 单独移到一边，另一边是只含 $x$ 的函数 $g(x)$，再求 $g(x)$ 的最值。
2. 直接讨论：参数分不开，或分开后 $g(x)$ 的最值很难求，就把整个式子设成含参数的 $h(x)$，按参数讨论 $h(x)$ 的单调性和最值。

使用场景

• 证明一个只含 $x$ 的不等式：作差构造 $h(x)$，求最小值；一次求导看不出符号就再求一次导。
• 不等式对某范围内所有 $x$ 恒成立，参数容易单独移到一边：分离参数，求另一边的最值。
• 恒成立，但参数分离后的函数最值取不到或求不出：直接构造含参函数，按参数讨论。
• 题目说“存在 $x$ 使不等式成立”：能成立问题，转化方向和恒成立相反。

注意点

• 分离参数时，两边同除以含 $x$ 的式子，要先确定它的符号；符号不定就要分段，或者改用直接讨论。
• 最值取不到时，等号要单独判断。$g(x) = \dfrac{x}{x + 1}$（$x > 0$）的值域是 $(0, 1)$，取不到 1。“$a \ge g(x)$ 恒成立”和”$a > g(x)$ 恒成立“的答案都是 $a \ge 1$。
• “恒成立”和“能成立”的最值方向相反，做题前先圈出题目里的“任意”还是“存在”。
• 要证 $h(x) \ge 0$，只证出 $h'(x) \ge 0$ 是不够的，还要看起点：$h(x)$ 递增且 $h(x_0) \ge 0$，才能得到 $x \ge x_0$ 时 $h(x) \ge 0$。
• 有时 $h'(x) = 0$ 的根解不出来（例如 $e^x = \dfrac{1}{x}$），可以设这个根为 $x_0$，用 $h'(x_0) = 0$ 的关系去化简 $h(x_0)$，这种方法叫“隐零点”。它多见于压轴题，本书不展开。

证明

结论 1：恒成立与最值的转化。 设 $g(x)$ 在 $D$ 上的最大值为 $M = g(x_1)$。

• 若 $a \ge M$，则对任意 $x \in D$，$a \ge M \ge g(x)$，恒成立。
• 反过来，若 $a \ge g(x)$ 对任意 $x \in D$ 成立，取 $x = x_1$（关键一步：最大值是取得到的，$x_1$ 就在 $D$ 里，可以代进去），得 $a \ge g(x_1) = M$。

所以”$a \ge g(x)$ 恒成立”$\iff$“$a \ge M$”。其他三行同理。能成立的情形：存在 $x$ 使 $a \ge g(x)$，就是 $a$ 至少比 $g$ 的某一个值大，最容易满足的是最小值。

结论 2：$e^x \ge x + 1$，等号仅在 $x = 0$ 时成立。 这是作差构造的标准示范。

设 $h(x) = e^x - x - 1$，$h'(x) = e^x - 1$。$x < 0$ 时 $h'(x) < 0$，$x > 0$ 时 $h'(x) > 0$，所以 $h(x)$ 在 $x = 0$ 处取最小值 $h(0) = 0$。于是 $h(x) \ge 0$，即 $e^x \ge x + 1$，只有 $x = 0$ 时取等号（关键一步：最小值恰好是 0，所以不等式成立而且等号取得到；构造函数时，先找到使两边相等的点，往往就是最值点）。

例题

例 1　（场景：证明只含 $x$ 的不等式）证明：当 $x > 0$ 时，$e^x > 1 + x + \dfrac{x^2}{2}$。

解：设 $h(x) = e^x - 1 - x - \dfrac{x^2}{2}$（$x \ge 0$），则

$$h'(x) = e^x - 1 - x.$$

$h'(x)$ 的符号一眼看不出，再设 $\varphi(x) = h'(x) = e^x - 1 - x$，$\varphi'(x) = e^x - 1 > 0$（$x > 0$），所以 $\varphi(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上递增，$x > 0$ 时 $\varphi(x) > \varphi(0) = 0$，即 $h'(x) > 0$。

于是 $h(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上递增，$x > 0$ 时 $h(x) > h(0) = 1 - 1 - 0 - 0 = 0$，即 $e^x > 1 + x + \dfrac{x^2}{2}$。

容易卡在：一次求导后 $h'(x)$ 的符号看不出来就停住。这时把 $h'(x)$ 当成新函数再求导，这叫“二次求导”。

另一种解法：直接用本节结论 2：$h'(x) = e^x - (1 + x) \ge 0$，且只在 $x = 0$ 处为 0，所以 $h(x)$ 递增，$x > 0$ 时 $h(x) > h(0) = 0$。解答题里如果要用 $e^x \ge x + 1$，要先写两三行证明它；选择填空可以直接用。

例 2　（场景：恒成立，参数容易分离）已知对任意 $x > 0$，不等式 $x\ln x \ge -x^2 + ax - 2$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围。

解：$x > 0$，两边同除以 $x$，不等号方向不变：

$$a \le \ln x + x + \frac{2}{x}.$$

设 $g(x) = \ln x + x + \dfrac{2}{x}$（$x > 0$），

$$g'(x) = \frac{1}{x} + 1 - \frac{2}{x^2} = \frac{x^2 + x - 2}{x^2} = \frac{(x + 2)(x - 1)}{x^2}.$$

$x > 0$ 时 $x + 2 > 0$，所以 $0 < x < 1$ 时 $g'(x) < 0$，$x > 1$ 时 $g'(x) > 0$。$g(x)$ 的最小值是 $g(1) = 0 + 1 + 2 = 3$。

$a \le g(x)$ 恒成立 $\iff$ $a \le g(x)_{\min} = 3$。所以 $a$ 的取值范围是 $(-\infty, 3]$。

例 3　（场景：恒成立，不便分离参数）已知当 $x \ge 0$ 时，$e^x \ge ax + 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围。

解：设 $h(x) = e^x - ax - 1$（$x \ge 0$），要求 $h(x) \ge 0$。注意 $h(0) = 0$。

$$h'(x) = e^x - a.$$

$x \ge 0$ 时 $e^x \ge 1$。按 $a$ 和 1 的大小分两种情况：

1. $a \le 1$：$h'(x) = e^x - a \ge 1 - a \ge 0$，$h(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上递增，$h(x) \ge h(0) = 0$，符合。
2. $a > 1$：$h'(x) = 0$ 得 $x = \ln a > 0$。在 $(0, \ln a)$ 上 $h'(x) < 0$，$h(x)$ 递减，所以这一段上 $h(x) < h(0) = 0$，不符合。

所以 $a$ 的取值范围是 $(-\infty, 1]$。

容易卡在：分离参数。$x > 0$ 时可以写成 $a \le \dfrac{e^x - 1}{x}$，但这个函数在 $x \to 0$ 时才接近最小的值 1，又取不到，高中方法很难求它的下界。所以这题直接讨论 $h(x)$。

另一种解法：看图。$y = ax + 1$ 是过点 $(0, 1)$ 的直线，$y = e^x$ 也过 $(0, 1)$，在这点的切线斜率是 $e^0 = 1$。直线斜率不超过 1 时，它在 $x \ge 0$ 一侧始终不高于曲线；斜率超过 1 时，直线从 $(0, 1)$ 出发后先跑到曲线上方，不等式不成立。所以 $a \le 1$。看图适合选择填空快速得答案；解答题仍要按上面的讨论写，因为“斜率不超过切线斜率就在下方”要靠函数的凹凸性说明，课本不讲。

例 4　（场景：能成立问题）若存在 $x \in [1, e]$，使 $x^2 - 2\ln x \le a$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围。

解：设 $g(x) = x^2 - 2\ln x$，$x \in [1, e]$。

$$g'(x) = 2x - \frac{2}{x} = \frac{2(x + 1)(x - 1)}{x} \ge 0,$$

只在 $x = 1$ 处为 0，所以 $g(x)$ 在 $[1, e]$ 上递增，$g(x)_{\min} = g(1) = 1$，$g(x)_{\max} = g(e) = e^2 - 2$。

“存在 $x$ 使 $g(x) \le a$”$\iff$ $a \ge g(x)_{\min} = 1$。所以 $a$ 的取值范围是 $[1, +\infty)$。

对比：如果题目改成“对任意 $x \in [1, e]$，$x^2 - 2\ln x \le a$ 恒成立”，就要 $a \ge g(x)_{\max} = e^2 - 2$。

常用推论

以下几条在选择填空里常直接用来放缩；解答题里用之前要先证。

• $e^x \ge x + 1$，等号当且仅当 $x = 0$。证明见本节“证明”结论 2。
• $\ln x \le x - 1$（$x > 0$），等号当且仅当 $x = 1$。推导：在 $e^t \ge t + 1$ 中令 $t = \ln x$，得 $x \ge \ln x + 1$。
• $\ln(x + 1) \le x$（$x > -1$），等号当且仅当 $x = 0$。推导：在 $\ln x \le x - 1$ 中把 $x$ 换成 $x + 1$。
• $e^x \ge ex$，等号当且仅当 $x = 1$。推导：在 $e^t \ge t + 1$ 中令 $t = x - 1$，得 $e^{x - 1} \ge x$，两边乘 $e$。
• $\ln x \le \dfrac{x}{e}$（$x > 0$），等号当且仅当 $x = e$。推导：在 $\ln t \le t - 1$ 中令 $t = \dfrac{x}{e}$，得 $\ln x - 1 \le \dfrac{x}{e} - 1$。
• 双变量的情形：“对任意 $x_1 \in D_1$，存在 $x_2 \in D_2$，使 $f(x_1) \le g(x_2)$“等价于 $f(x)_{\max} \le g(x)_{\max}$。推导：先对每个固定的 $x_1$ 用能成立（$f(x_1) \le g(x)_{\max}$），再对所有 $x_1$ 用恒成立。

易错点

• 错在哪：已知 $ax \le x^2 + 1$ 对 $x \in [-2, -1]$ 恒成立，两边除以 $x$ 写成 $a \le x + \dfrac{1}{x}$。 为什么错：$x < 0$，除以负数不等号要反向。 正确做法：$a \ge x + \dfrac{1}{x}$ 恒成立。$y = x + \dfrac{1}{x}$ 的导数 $1 - \dfrac{1}{x^2} \ge 0$（$|x| \ge 1$），在 $[-2, -1]$ 上递增，最大值是 $-2$，所以 $a \ge -2$。
• 错在哪：例 4 写成 $a \ge g(x)_{\max} = e^2 - 2$。 为什么错：题目是“存在 $x$”，不是“任意 $x$”。只要有一个 $x$ 满足就行，挑 $g(x)$ 最小的那个。 正确做法：存在性对应 $a \ge g(x)_{\min}$。
• 错在哪：$g(x) = \dfrac{x}{x + 1}$（$x > 0$），由”$a > g(x)$ 恒成立“得 $a > 1$。 为什么错：$g(x)$ 永远小于 1，取不到 1。$a = 1$ 时 $1 > g(x)$ 对所有 $x > 0$ 都成立。 正确做法：最值取不到时，单独把端点值代进去判断等号，答案是 $a \ge 1$。
• 错在哪：证明 $x > 0$ 时 $h(x) > 0$，只写”$h'(x) > 0$，所以 $h(x)$ 递增，所以 $h(x) > 0$“。 为什么错：递增只说明后面的值比前面大，起点的值如果是负的，后面仍可能是负的。 正确做法：补上起点 $h(0) = 0$（或端点的极限值），再说 $h(x) > h(0) = 0$。

直观理解

“$a \le g(x)$ 恒成立”就是：水平线 $y = a$ 整条都在曲线 $y = g(x)$ 的下方（可以碰到）。水平线最高能放到曲线的最低点，所以 $a \le g(x)_{\min}$。“存在 $x$ 使 $a \ge g(x)$“就是：水平线和曲线下方的区域至少碰到一处，只要水平线不低于最低点。

证明 $f(x) \ge g(x)$ 就是说明曲线 $y = f(x)$ 始终在 $y = g(x)$ 上方。两者之差 $h(x)$ 的最小值不小于 0，就是两条曲线之间最近的地方也没有交叉。

关联知识点

• 前置：25.3 极值与最值，本节每道题最后都是求一个函数的最值。
• 前置：第 4 章恒成立与有解问题，转化的逻辑相同，那里的函数是二次函数，这里换成任意可导函数。
• 前置：第 2 章全称量词与存在量词，“任意”“存在”决定用最大值还是最小值。
• 后续：25.5 零点个数，分离参数后数交点的方法和本节一样。
• 常一起考：第 8 章指数函数、第 9 章对数函数，$e^x$ 和 $\ln x$ 是导数大题里最常见的函数。

25.5 用导数研究函数零点个数

说明

函数 $f(x)$ 的零点个数 = 方程 $f(x) = 0$ 的实根个数 = 图像与 $x$ 轴的交点个数（第 10 章）。

直接研究 $f(x)$ 的三步：

1. 求导，得到单调区间和极值；
2. 求出每个关键点的函数值：极值、区间端点值，端点取不到时在端点附近取一个具体的点算函数值；
3. 在每个单调区间上看两端函数值的符号：异号则恰有一个零点，同号则没有零点（零点存在定理加单调性）。

分离参数，数交点：含参数 $a$ 的方程，能改写成 $a = g(x)$ 时，根的个数就是水平线 $y = a$ 与曲线 $y = g(x)$ 的交点个数。画出 $g(x)$ 的草图（单调性、极值、两端的变化趋势），让水平线上下移动，数交点。

三次函数的零点个数：$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$（$a > 0$）有极大值 $M$ 和极小值 $m$ 时：

极值的符号	零点个数
$M > 0$ 且 $m < 0$	3 个
$M = 0$ 或 $m = 0$	2 个
$M < 0$ 或 $m > 0$	1 个

没有极值（$f(x)$ 单调）时恰有 1 个零点。

使用场景

• 判断一个具体函数有几个零点：求导得单调区间，算极值和端点附近的函数值，逐段用零点存在定理。
• 已知三次函数的零点个数求参数：看极大值和极小值的符号。
• 讨论含参数方程的根的个数：参数能单独分离出来时，画 $y = g(x)$ 的草图，让水平线 $y = a$ 上下扫。

注意点

• 极值的符号不够，单调区间的另一端也要有函数值。区间端点是 $\pm\infty$ 或开端点时，要取一个具体的点算出函数值，不能只凭“图像大致这样”。
• 每个单调区间上至多一个零点，零点个数不会超过单调区间的个数。
• 分离参数时，除掉的式子可能为 0（如方程 $e^x = ax$ 两边除以 $x$），被除掉的 $x$ 值要单独检验是不是方程的根。
• 分离后的函数 $g(x)$ 在定义域端点附近的变化趋势要说清楚（如”$x \to 0^+$ 时 $g(x) \to +\infty$“），因为水平线和曲线在那附近交不交，取决于曲线能不能升到或降到那么高。
• 导数的零点解不出来时（隐零点），可以先说明零点存在、设为 $x_0$，再用它的关系式估计极值的符号。这一般是压轴题的做法，本书不展开。

证明

结论 1：$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调且 $f(a) f(b) < 0$，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内恰有一个零点。

• 至少一个：$f(x)$ 可导，所以连续；$f(a)$、$f(b)$ 异号，由零点存在定理（第 10 章），$(a, b)$ 内至少有一个零点。
• 至多一个：设有两个零点 $x_1 < x_2$，则 $f(x_1) = f(x_2) = 0$，和“单调”（$x_1 < x_2$ 时函数值不相等）矛盾。

（关键一步：零点存在定理只保证“至少一个”，“恰好一个”要靠单调性补上。这就是导数在数零点时的作用。）

结论 2：三次函数零点个数的判别。 设 $a > 0$，$f(x)$ 在 $x_1 < x_2$ 处取极大值 $M = f(x_1)$ 和极小值 $m = f(x_2)$，则 $M > m$（在 $(x_1, x_2)$ 上递减）。$f(x)$ 在 $(-\infty, x_1)$ 上递增，在 $(x_1, x_2)$ 上递减，在 $(x_2, +\infty)$ 上递增；并且 $x$ 足够小时 $f(x) < 0$，$x$ 足够大时 $f(x) > 0$（最高次项 $ax^3$ 起主导作用）。

• $M > 0 > m$：三段两端分别是“负到正”“正到负”“负到正”，由结论 1 各有一个零点，共 3 个。
• $M < 0$：前两段的函数值都不超过 $M < 0$，没有零点；第三段从 $m < 0$ 升到正数，1 个零点。$m > 0$ 时同理，只有第一段有 1 个零点。
• $M = 0$：第一段的值都小于 $M = 0$，没有零点；$x_1$ 本身是零点；第二段在 $x_1$ 右边的值都小于 0；第三段从 $m < 0$ 升到正数，有 1 个。共 2 个。$m = 0$ 同理。

例题

例 1　（场景：判断具体函数的零点个数）判断 $f(x) = e^x - x - 2$ 的零点个数。

解：$f'(x) = e^x - 1$。$x < 0$ 时 $f'(x) < 0$，$x > 0$ 时 $f'(x) > 0$。$f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上递减，在 $(0, +\infty)$ 上递增，最小值 $f(0) = 1 - 0 - 2 = -1 < 0$。

在两侧各取一点：

• $f(-2) = e^{-2} + 2 - 2 = e^{-2} > 0$，又 $f(0) < 0$，$f(x)$ 在 $(-2, 0)$ 上递减，恰有一个零点；
• $f(2) = e^2 - 4 > 0$（因为 $e^2 > 2.7^2 > 4$），又 $f(0) < 0$，$f(x)$ 在 $(0, 2)$ 上递增，恰有一个零点。

$x < -2$ 时 $f(x) > f(-2) > 0$，$x > 2$ 时 $f(x) > f(2) > 0$，没有别的零点。所以 $f(x)$ 有 2 个零点。

容易卡在：看到最小值小于 0 就直接写“2 个零点”。最小值小于 0 只说明曲线到过 $x$ 轴下方，两边能不能再回到上方，要取点说明。

例 2　（场景：已知三次函数零点个数求参数）已知 $f(x) = x^3 - 3x + a$ 有三个零点，求实数 $a$ 的取值范围。

解：$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x + 1)(x - 1)$。$f(x)$ 在 $(-\infty, -1)$ 上递增，在 $(-1, 1)$ 上递减，在 $(1, +\infty)$ 上递增。

极大值 $f(-1) = -1 + 3 + a = a + 2$，极小值 $f(1) = 1 - 3 + a = a - 2$。

有三个零点 $\iff$ 极大值 $> 0$ 且极小值 $< 0$：

$$\begin{cases} a + 2 > 0, \\ a - 2 < 0, \end{cases}$$

得 $-2 < a < 2$。

另一种解法：分离参数。$f(x) = 0 \iff a = 3x - x^3$。设 $g(x) = 3x - x^3$，$g'(x) = 3 - 3x^2$，$g(x)$ 在 $(-1, 1)$ 上递增，在两侧递减，极小值 $g(-1) = -2$，极大值 $g(1) = 2$。水平线 $y = a$ 夹在 $y = -2$ 和 $y = 2$ 之间时和曲线交三次，所以 $-2 < a < 2$。看图法还能一眼读出其他情况：$a = \pm 2$ 时两个交点，$|a| > 2$ 时一个。只问一种个数时用极值符号法写得短；要把各种个数都讨论一遍时，看图法更清楚。

例 3　（场景：分离参数讨论根的个数）讨论关于 $x$ 的方程 $e^x = ax$ 的实根个数。

解：$x = 0$ 时左边 $e^0 = 1$，右边 $0$，不是根。所以 $x \ne 0$，方程等价于

$$a = \frac{e^x}{x}.$$

设 $g(x) = \dfrac{e^x}{x}$（$x \ne 0$），

$$g'(x) = \frac{e^x \cdot x - e^x}{x^2} = \frac{(x - 1)e^x}{x^2}.$$

• $x < 0$：$g'(x) < 0$，$g(x)$ 递减，且 $g(x) < 0$。$x \to -\infty$ 时 $e^x \to 0$，$g(x) \to 0$；$x \to 0^-$ 时分子趋于 1、分母趋于 0 且为负，$g(x) \to -\infty$。这一段 $g(x)$ 取遍 $(-\infty, 0)$，每个值恰好取一次。
• $0 < x < 1$：$g'(x) < 0$，递减；$x > 1$：$g'(x) > 0$，递增。最小值 $g(1) = e$。$x \to 0^+$ 时 $g(x) \to +\infty$，$x \to +\infty$ 时 $g(x) \to +\infty$（$e^x$ 比 $x$ 增长快，第 10 章）。这一段 $g(x)$ 取遍 $[e, +\infty)$，大于 $e$ 的值各取两次。

让水平线 $y = a$ 上下移动，数交点：

$a$ 的范围	根的个数
$a < 0$	1 个（在 $x < 0$ 的分支上）
$0 \le a < e$	0 个
$a = e$	1 个（$x = 1$，直线和曲线相切）
$a > e$	2 个（都在 $x > 0$ 的分支上）

容易卡在：两头的变化趋势说不清。水平线 $a > e$ 时能不能和右支交两次，取决于右支在 $x \to 0^+$ 和 $x \to +\infty$ 两头是不是都升到 $+\infty$。

常用推论

• 单调函数在一个区间上至多一个零点；零点个数不超过单调区间的个数。推导见本节“证明”结论 1。
• 三次函数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$（$a > 0$）有三个零点 $\iff$ 极大值 $> 0$ 且极小值 $< 0$；有两个零点 $\iff$ 某个极值等于 0。推导见本节“证明”结论 2。
• 方程 $a = g(x)$ 有两个根，通常对应 $a$ 介于 $g(x)$ 的极值和曲线一端的趋势值之间。例 3 中右支两端都趋于 $+\infty$，所以 $a > e$。

易错点

• 错在哪：判断 $f(x) = xe^x$ 的零点个数：最小值 $f(-1) = -\dfrac{1}{e} < 0$，所以有 2 个零点。 为什么错：$x < 0$ 时 $f(x) = xe^x < 0$，左边永远回不到 $x$ 轴上方。只有 $x = 0$ 一个零点。 正确做法：最值的符号之外，还要看每个单调区间另一端的函数值或变化趋势，左边 $x \to -\infty$ 时 $f(x) \to 0^-$，一直是负的。
• 错在哪：方程 $e^x = ax$ 两边直接除以 $x$，不说明 $x \ne 0$。 为什么错：$x = 0$ 可能是原方程的根（换个方程就可能是），除掉就丢了。 正确做法：先单独检验被除掉的值，再分离参数。
• 错在哪：例 3 中把 $a = e$ 算成 2 个根。 为什么错：水平线 $y = e$ 正好经过右支的最低点，只碰到一次（相切）。 正确做法：水平线经过极值点时单独数，一般比相邻情况少一个交点。

直观理解

数零点就是看曲线穿过 $x$ 轴几次。曲线每段要么一直上坡、要么一直下坡，一段上坡（或下坡）最多穿过一次，所以先用导数把曲线切成上坡、下坡几段，再看每段两头一个在轴上、一个在轴下没有。

分离参数后，可以把水平线 $y = a$ 想成一条可以上下滑动的横杆，曲线是固定的山谷山峰。横杆滑到不同高度，和山路相交的次数就是根的个数。极值点和曲线两头的高度，就是交点个数发生变化的那几个高度。

关联知识点

• 前置：第 10 章函数零点与零点存在定理，本节在它的基础上用单调性把“至少一个”变成“恰好一个”。
• 前置：25.3 极值与最值，极值的符号决定曲线能不能穿过 $x$ 轴。
• 前置：第 10 章函数模型，$e^x$、$x$、$\ln x$ 增长快慢的比较，用来说明曲线两头的趋势。
• 常一起考：25.4 恒成立问题，分离参数、画 $g(x)$ 草图的方法完全相同。
• 常一起考：第 6 章奇偶性和对称性，奇函数、偶函数的零点关于原点对称，可以只数一半。

25.6 知识点之间的关系

本章四个知识点是一条主线加两个分支。主线：求导 → 单调性（25.2）→ 极值与最值（25.3）。两个分支都建立在最值上：证明不等式和恒成立问题（25.4）把问题化成“某个函数的最小值不小于 0”；零点个数（25.5）看极值的符号，再用零点存在定理逐段确认。

25.4 和 25.5 共用“分离参数”这个工具：恒成立问题看水平线是否整条在曲线一侧，零点个数问题看水平线和曲线交几次，画的是同一张草图。

高考导数解答题的常见结构：第一问求切线或讨论单调性（第 24 章、25.2），第二问是恒成立求参数、证明不等式或零点个数（25.4、25.5）。第一问的单调性结论，往往就是第二问的入口。

25.7 自测

1. 求 $f(x) = xe^x$ 的单调区间。
2. 已知 $f(x) = x^3 + ax^2 + 3x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围。
3. 求 $f(x) = x - \ln x$ 在 $\left[\dfrac{1}{e}, e\right]$ 上的最大值和最小值。
4. 已知 $f(x) = x^3 - ax$ 在 $x = 1$ 处取得极值，求 $a$ 和 $f(x)$ 的极大值。
5. 已知 $\ln x \le ax$ 对任意 $x > 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围。
6. 若存在 $x \in [1, 2]$，使 $x^2 - ax + 1 \le 0$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围。
7. 判断 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ 的零点个数。
8. 已知关于 $x$ 的方程 $xe^x = a$ 有两个不同的实根，求实数 $a$ 的取值范围。

答案：1. 递减区间 $(-\infty, -1)$，递增区间 $(-1, +\infty)$；2. $[-3, 3]$；3. 最大值 $e - 1$，最小值 $1$；4. $a = 3$，极大值 $f(-1) = 2$；5. $\left[\dfrac{1}{e}, +\infty\right)$；6. $[2, +\infty)$；7. 3 个；8. $\left(-\dfrac{1}{e}, 0\right)$。

25.8 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，选择性必修第二册“导数在研究函数中的应用”一节有同步课程视频和教材电子版。
• GeoGebra 图形计算器：同时输入 f(x) 和 f’(x)，给参数加滑动条，能直接看到导数的符号和函数升降、零点个数怎么随参数变化。
• Khan Academy · Applying derivatives to analyze functions：英文的单调区间、极值、最值和优化问题讲解，配练习题。
• 维基百科 · 极值：极值、最值、驻点的中文条目，查定义和英文术语时用。