附录 A · 公式速查表

这张表按章排列，收录第 1 章到第 38 章各节“说明”和“常用推论”里的核心公式，写法和正文一致。复习时先看“条件”一栏，确认公式在什么前提下成立；记不清推导或用法时，按“出处”一栏回到对应的节，那里有证明、例题和易错点。表格只管查，不管讲，第一次学某个公式请先读正文。

第 1 章 · 集合

公式	条件	出处
$\mathbf{N}^* \subsetneqq \mathbf{N} \subsetneqq \mathbf{Z} \subsetneqq \mathbf{Q} \subsetneqq \mathbf{R}$	常用数集的包含关系	1.2 节
子集 $2^n$ 个，真子集 $2^n - 1$ 个，非空真子集 $2^n - 2$ 个	集合含 $n$ 个元素	1.3 节
若 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$，则 $A = B$	证明两个集合相等	1.3 节
$A \cap B = A \iff A \subseteq B \iff A \cup B = B$	任意集合 $A$、$B$	1.4 节
$\complement_U(A \cap B) = (\complement_U A) \cup (\complement_U B)$，$\complement_U(A \cup B) = (\complement_U A) \cap (\complement_U B)$	德摩根律，$A, B \subseteq U$	1.4 节
$\mathrm{card}(A \cup B) = \mathrm{card}(A) + \mathrm{card}(B) - \mathrm{card}(A \cap B)$	有限集，容斥原理	1.4 节
$\mathrm{card}(A \cup B \cup C) = \mathrm{card}(A) + \mathrm{card}(B) + \mathrm{card}(C) - \mathrm{card}(A \cap B) - \mathrm{card}(B \cap C) - \mathrm{card}(A \cap C) + \mathrm{card}(A \cap B \cap C)$	三个有限集	1.4 节

第 2 章 · 常用逻辑用语

公式	条件	出处
“$p$ 是 $q$ 的充分不必要条件”$\iff A \subsetneqq B$；“$p$ 是 $q$ 的必要不充分条件”$\iff B \subsetneqq A$	$A$、$B$ 分别是使 $p$、$q$ 成立的集合	2.2 节
$p$ 是 $q$ 的充要条件 $\iff$ 使 $p$、$q$ 成立的集合相等	同上	2.3 节
$\forall x \in D, \ f(x) \ge a \iff f(x)$ 的最小值 $\ge a$；$\exists x \in D, \ f(x) \ge a \iff f(x)$ 的最大值 $\ge a$	$f(x)$ 在 $D$ 上有最值	2.4 节
$ax^2 + bx + c > 0$ 对一切实数 $x$ 成立 $\iff a = b = 0, \ c > 0$，或 $a > 0, \ \Delta < 0$	系数为实数	2.4 节
“$\exists x \in D, \ f(x) < a$“为假 $\iff$ “$\forall x \in D, \ f(x) \ge a$“为真	含量词命题的否定	2.5 节

第 3 章 · 不等式的性质与基本不等式

公式	条件	出处
$a > b \iff a - b > 0$，$a = b \iff a - b = 0$，$a < b \iff a - b < 0$	实数比较大小的依据	3.2 节
$\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$	$a > b$ 且 $ab > 0$	3.2 节
$\dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{d}$	$a > b > 0$，$0 < c < d$	3.2 节
$\dfrac{a}{b} < \dfrac{a + m}{b + m} < 1$	糖水不等式，$b > a > 0$，$m > 0$	3.3 节
$a^2 + b^2 \ge 2ab$	$a, b \in \mathbf{R}$，当且仅当 $a = b$ 时取等号	3.4 节
$\sqrt{ab} \le \dfrac{a + b}{2}$	$a, b > 0$，当且仅当 $a = b$ 时取等号	3.4 节
$a + \dfrac{1}{a} \ge 2$	$a > 0$，当且仅当 $a = 1$ 时取等号	3.4 节
$\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} \ge 2$	$ab > 0$，当且仅当 $a = b$ 时取等号	3.4 节
$a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$	$a, b, c \in \mathbf{R}$，当且仅当 $a = b = c$ 时取等号	3.4 节
$\dfrac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \le \sqrt{ab} \le \dfrac{a + b}{2} \le \sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}}$	$a, b > 0$，当且仅当 $a = b$ 时都取等号	3.4 节
$y = x + \dfrac{k}{x}$ 在 $x = \sqrt{k}$ 处取最小值 $2\sqrt{k}$	$k > 0$，$x > 0$	3.5 节
$x + y \ge (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$	$a, b, x, y > 0$，$\dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{y} = 1$	3.5 节

第 4 章 · 一元二次函数、方程和不等式

公式	条件	出处
$ax^2 + bx + c = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + \dfrac{4ac - b^2}{4a}$	$a \ne 0$，配方	4.2 节
$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$	$a \ne 0$，$\Delta = b^2 - 4ac \ge 0$	4.2 节
两根一正一负 $\iff \dfrac{c}{a} < 0$	方程 $ax^2 + bx + c = 0$	4.2 节
$\lvert x_1 - x_2 \rvert = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{\lvert a \rvert}$	两实根之差	4.2 节
$(x - x_1)(x - x_2) < 0 \iff x_1 < x < x_2$；$(x - x_1)(x - x_2) > 0 \iff x < x_1 \text{ 或 } x > x_2$	$x_1 < x_2$	4.3 节
$\dfrac{f}{g} > 0 \iff fg > 0$；$\dfrac{f}{g} \ge 0 \iff fg \ge 0 \text{ 且 } g \ne 0$	分式不等式	4.3 节
$ax^2 + bx + c > 0$ 对一切实数恒成立 $\iff$ $a = b = 0, c > 0$ 或 $a > 0, \Delta < 0$	系数为实数	4.5 节
$a > g(x)$ 恒成立 $\iff a > g_{\max}$；$a > g(x)$ 有解 $\iff a > g_{\min}$	分离参数	4.5 节

第 5 章 · 函数的概念与表示

公式	条件	出处
$f(kx + m)$ 的定义域是 $\left[\dfrac{a - m}{k}, \dfrac{b - m}{k}\right]$	$f(x)$ 的定义域是 $[a, b]$，$k > 0$	5.3 节
$y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ 的值域是 $y \ne \dfrac{a}{c}$ 的全体实数	$c \ne 0$，$ad - bc \ne 0$	5.3 节
$y = \sqrt{ax^2 + bx + c}$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ $\iff$ $a = b = 0$ 且 $c \ge 0$，或 $a > 0$ 且 $\Delta \le 0$	系数为实数	5.3 节
$y = f(x + a)$ 是 $y = f(x)$ 左移 $a$；$y = f(x) + b$ 是上移 $b$	平移，$a > 0$，$b > 0$	5.4 节
$\lvert x - a \rvert + \lvert x - b \rvert$ 的最小值是 $\lvert a - b \rvert$	$x$ 介于 $a$、$b$ 之间（含端点）时取到	5.5 节
$\lvert x - a \rvert - \lvert x - b \rvert$ 的值域是 $[-\lvert a - b \rvert, \lvert a - b \rvert]$	任意实数 $a$、$b$	5.5 节

第 6 章 · 函数的基本性质

公式	条件	出处
$y = x + \dfrac{a}{x}$ 在 $(0, \sqrt{a}]$ 上递减，在 $[\sqrt{a}, +\infty)$ 上递增	$a > 0$	6.2 节
任意 $x$，$f(x) \ge a \iff f(x)_{\min} \ge a$；存在 $x$，$f(x) \ge a \iff f(x)_{\max} \ge a$	函数能取到最值	6.3 节
$f(x) = f(\lvert x \rvert)$	$f(x)$ 是偶函数	6.4 节
$f(x) + f(-x) = 2c$，最大值与最小值之和为 $2c$	$f(x) = g(x) + c$，$g(x)$ 是奇函数，对称区间上最值存在	6.4 节
$f(x + T) = f(x)$	周期函数的定义，$T \ne 0$	6.5 节
$f(x + a) = f(x + b) \Rightarrow$ 周期 $\lvert a - b \rvert$	$a \ne b$	6.5 节
$f(x + a) = -f(x)$ 或 $f(x + a) = \pm\dfrac{1}{f(x)} \Rightarrow$ 周期 $2\lvert a \rvert$	$a \ne 0$	6.5 节
$f(a + x) = f(a - x)$，即 $f(x) = f(2a - x)$	图像关于直线 $x = a$ 对称	6.6 节
$f(a + x) + f(a - x) = 2b$，即 $f(x) + f(2a - x) = 2b$	图像关于点 $(a, b)$ 对称	6.6 节
$f(a + x) = f(b - x) \Rightarrow$ 对称轴 $x = \dfrac{a + b}{2}$	—	6.6 节
$y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ 关于点 $\left(-\dfrac{d}{c}, \dfrac{a}{c}\right)$ 对称	$c \ne 0$，$ad - bc \ne 0$	6.6 节
周期 $2\lvert b - a \rvert$	对称轴 $x = a$ 和 $x = b$（或两个对称中心）	6.6 节
周期 $4\lvert b - a \rvert$	对称轴 $x = a$，对称中心 $(b, c)$	6.6 节

第 7 章 · 幂函数

公式	条件	出处
$f(x) = x^\alpha$，图像过点 $(1, 1)$	幂函数，$\alpha$ 为常数	7.2 节
$a^3 > b^3 \iff a > b$	任意实数 $a$、$b$	7.3 节
$\sqrt{a} > \sqrt{b} \iff a > b \ge 0$	—	7.3 节
$x^\alpha < x^\beta$（$0 < x < 1$）；$x^\alpha > x^\beta$（$x > 1$）	$\alpha > \beta$	7.4 节
$a^\alpha < b^\alpha$（$\alpha > 0$）；$a^\alpha > b^\alpha$（$\alpha < 0$）	$0 < a < b$	7.4 节

第 8 章 · 指数与指数函数

公式	条件	出处
$\left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a$	$\sqrt[n]{a}$ 有意义	8.2 节
$\sqrt[n]{a^n} = a$（$n$ 为奇数）；$\sqrt[n]{a^n} = \lvert a \rvert$（$n$ 为偶数）	$n > 1$，$n \in \mathbf{N}^*$	8.2 节
$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$，$a^{-\frac{m}{n}} = \dfrac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$	$a > 0$，$m, n \in \mathbf{N}^*$，$n > 1$	8.2 节
$a^r a^s = a^{r+s}$，$(a^r)^s = a^{rs}$，$(ab)^r = a^r b^r$	$a > 0$，$b > 0$，$r, s \in \mathbf{R}$	8.3 节
$\dfrac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$，$\left(\dfrac{a}{b}\right)^r = \dfrac{a^r}{b^r}$	同上	8.3 节
$a^{2x} + a^{-2x} = \left(a^x + a^{-x}\right)^2 - 2 = \left(a^x - a^{-x}\right)^2 + 2$	$a > 0$	8.3 节
$a - b = \left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}\right)$	$a, b > 0$	8.3 节
$y = a^{x - h} + k$ 的图像恒过定点 $(h, 1 + k)$	$a > 0$，$a \ne 1$	8.4 节
$f(x) = a^x - a^{-x}$ 是奇函数，$g(x) = a^x + a^{-x}$ 是偶函数	$a > 0$，$a \ne 1$	8.4 节

第 9 章 · 对数与对数函数

公式	条件	出处
$a^b = N \iff b = \log_a N$	$a > 0$，$a \ne 1$，$N > 0$	9.2 节
$\log_a 1 = 0$，$\log_a a = 1$	$a > 0$，$a \ne 1$	9.2 节
$a^{\log_a N} = N$，$\log_a a^b = b$	对数恒等式，$N > 0$	9.2 节
$\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$	$a > 0$，$a \ne 1$，$M > 0$，$N > 0$	9.3 节
$\log_a \dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$	同上	9.3 节
$\log_a M^n = n \log_a M$	同上，$n \in \mathbf{R}$	9.3 节
$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$	换底公式，$a, c > 0$ 且不等于 1，$b > 0$	9.4 节
$\log_a b \cdot \log_b a = 1$	$a, b > 0$ 且不等于 1	9.4 节
$\log_{a^m} b^n = \dfrac{n}{m}\log_a b$	$m \ne 0$	9.4 节
$\log_a b > 0 \iff (a - 1)(b - 1) > 0$	$a > 0$，$a \ne 1$，$b > 0$	9.5 节
$y = \log_a(x + m) + n$ 恒过定点 $(1 - m, n)$	$a > 0$，$a \ne 1$	9.5 节
$a^{\log_a x} = x$，$\log_a a^x = x$	前者 $x > 0$，后者 $x \in \mathbf{R}$	9.6 节

第 10 章 · 函数的应用

公式	条件	出处
方程 $f(x) = 0$ 有实数根 $\iff$ $y = f(x)$ 的图像与 $x$ 轴有公共点 $\iff$ $y = f(x)$ 有零点	—	10.2 节
$f(a) \cdot f(b) < 0 \Rightarrow f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有零点	零点存在定理，$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上图像连续；再加单调则恰有一个	10.3 节
$2^n > \dfrac{L}{\varepsilon}$，取最小正整数 $n$	二分法，区间长度 $L$，精确度 $\varepsilon$	10.4 节
$\log_a x < kx < a^x$	$a > 1$，$k > 0$，$x$ 足够大	10.5 节
$y = N(1 + p)^x$	初始量 $N$，每期增长率 $p$	10.5 节
$p = \sqrt[x]{\dfrac{M}{N}} - 1$	$x$ 期内从 $N$ 变为 $M$ 的平均增长率	10.5 节
$m = m_0\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T}$	半衰期为 $T$	10.5 节

第 11 章 · 三角函数的概念与诱导公式

公式	条件	出处
$S = \{\beta \mid \beta = \alpha + k \cdot 360^\circ, k \in \mathbf{Z}\}$	与 $\alpha$ 终边相同的角	11.2 节
$\lvert \alpha \rvert = \dfrac{l}{r}$	弧度数，$l$ 为弧长，$r$ 为半径	11.2 节
$180^\circ = \pi$，$1^\circ = \dfrac{\pi}{180}$，$1 = \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^\circ$	角度与弧度互化	11.2 节
$l = \alpha r$，$S = \dfrac{1}{2} l r = \dfrac{1}{2}\alpha r^2$	扇形，$\alpha$ 为圆心角弧度数	11.2 节
$\sin\alpha = \dfrac{y}{r}$，$\cos\alpha = \dfrac{x}{r}$，$\tan\alpha = \dfrac{y}{x}$	终边上一点 $(x, y)$，$r = \sqrt{x^2 + y^2}$；正切要求 $x \ne 0$	11.3 节
$\sin(\alpha + 2k\pi) = \sin\alpha$，$\cos(\alpha + 2k\pi) = \cos\alpha$，$\tan(\alpha + 2k\pi) = \tan\alpha$	公式一，$k \in \mathbf{Z}$	11.3 节
$\sin\alpha < \alpha < \tan\alpha$	$0 < \alpha < \dfrac{\pi}{2}$	11.3 节
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$	平方关系	11.4 节
$\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$	商数关系，$\alpha \ne k\pi + \dfrac{\pi}{2}$	11.4 节
$\dfrac{a\sin\alpha + b\cos\alpha}{c\sin\alpha + d\cos\alpha} = \dfrac{a\tan\alpha + b}{c\tan\alpha + d}$	弦化切，$\cos\alpha \ne 0$	11.4 节
$\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{\tan\alpha}{1 + \tan^2\alpha}$	$\cos\alpha \ne 0$	11.4 节
$(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = 2$	任意角	11.4 节
$\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$，$\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$，$\tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha$	公式二	11.5 节
$\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$，$\cos(-\alpha) = \cos\alpha$，$\tan(-\alpha) = -\tan\alpha$	公式三	11.5 节
$\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$，$\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$，$\tan(\pi - \alpha) = -\tan\alpha$	公式四	11.5 节
$\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha$，$\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha$	公式五	11.5 节
$\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha$，$\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha$	公式六	11.5 节
$\sin(A + B) = \sin C$，$\cos(A + B) = -\cos C$，$\sin\dfrac{A + B}{2} = \cos\dfrac{C}{2}$	三角形中 $A + B + C = \pi$	11.5 节

第 12 章 · 三角函数的图像与性质

公式	条件	出处
$y = \sin x$ 的递增区间 $\left[-\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi, \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right]$，对称轴 $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，对称中心 $(k\pi, 0)$	$k \in \mathbf{Z}$	12.3 节
$y = \cos x$ 的递增区间 $[-\pi + 2k\pi, 2k\pi]$，对称轴 $x = k\pi$，对称中心 $\left(\dfrac{\pi}{2} + k\pi, 0\right)$	$k \in \mathbf{Z}$	12.3 节
$T = \dfrac{2\pi}{\lvert \omega \rvert}$	$y = A\sin(\omega x + \varphi)$、$y = A\cos(\omega x + \varphi)$ 的最小正周期	12.3 节
相邻两条对称轴相距 $\dfrac{T}{2}$，相邻对称轴与对称中心相距 $\dfrac{T}{4}$	正弦型、余弦型曲线	12.3 节
$y = \tan x$ 的定义域 $x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，周期 $\pi$，对称中心 $\left(\dfrac{k\pi}{2}, 0\right)$	$k \in \mathbf{Z}$	12.4 节
$\dfrac{\pi}{\lvert \omega \rvert}$	$y = A\tan(\omega x + \varphi)$ 的最小正周期	12.4 节
$\sin(\omega x + \varphi) = \sin\left[\omega\left(x + \dfrac{\varphi}{\omega}\right)\right]$	平移量看 $\dfrac{\varphi}{\omega}$	12.5 节
奇函数 $\iff \varphi = k\pi$；偶函数 $\iff \varphi = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$	$y = A\sin(\omega x + \varphi)$，$k \in \mathbf{Z}$	12.5 节
$A = \dfrac{M - m}{2}$，$B = \dfrac{M + m}{2}$	$y = A\sin(\omega x + \varphi) + B$（$A > 0$），最大值 $M$、最小值 $m$	12.5 节

第 13 章 · 三角恒等变换

公式	条件	出处
$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$，$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$	任意角	13.2 节
$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$，$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$	任意角	13.2 节
$\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$，$\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$	各正切有意义，分母不为 0	13.2 节
$\tan\alpha\pm\tan\beta=\tan(\alpha\pm\beta)(1\mp\tan\alpha\tan\beta)$	同上	13.2 节
$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$	非直角 $\triangle ABC$	13.2 节
$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$	任意角	13.3 节
$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$	任意角	13.3 节
$\tan 2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$	$\tan\alpha$、$\tan 2\alpha$ 有意义	13.3 节
$1\pm\sin 2\alpha=(\sin\alpha\pm\cos\alpha)^2$	任意角	13.3 节
$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$	辅助角公式，$a$、$b$ 不全为 0，$\tan\varphi=\dfrac{b}{a}$（$a \ne 0$）	13.4 节
$\sin x\cos x=\dfrac{t^2-1}{2}$	$t=\sin x+\cos x\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$	13.4 节
$\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos 2\alpha}{2}$，$\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos 2\alpha}{2}$	降幂公式	13.5 节
$\cos\dfrac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos\alpha}{2}}$，$\sin\dfrac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{2}}$	半角公式，符号由 $\dfrac{\alpha}{2}$ 所在象限定	13.5 节
$\tan\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$	分母不为 0	13.5 节
$\sin\alpha=\dfrac{2t}{1+t^2}$，$\cos\alpha=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$	万能公式，$t=\tan\dfrac{\alpha}{2}$	13.5 节

第 14 章 · 平面向量的概念与线性运算

公式	条件	出处
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$	三角形法则，首尾相接	14.3 节
$\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}$	共起点，“终点减起点”	14.3 节
$\big\lvert \lvert \boldsymbol{a} \rvert - \lvert \boldsymbol{b} \rvert \big\rvert \le \lvert \boldsymbol{a} \pm \boldsymbol{b} \rvert \le \lvert \boldsymbol{a} \rvert + \lvert \boldsymbol{b} \rvert$	三角不等式	14.3 节
$\overrightarrow{AD} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$	$D$ 是 $BC$ 的中点	14.4 节
$\overrightarrow{AD} = \dfrac{n}{m+n}\overrightarrow{AB} + \dfrac{m}{m+n}\overrightarrow{AC}$	$D$ 在线段 $BC$ 上，$BD : DC = m : n$	14.4 节
$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \boldsymbol{0}$，$\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$	$G$ 是 $\triangle ABC$ 的重心	14.4 节
$\boldsymbol{b} \parallel \boldsymbol{a} \iff$ 存在唯一的实数 $\lambda$，使 $\boldsymbol{b} = \lambda\boldsymbol{a}$	共线向量定理，$\boldsymbol{a} \ne \boldsymbol{0}$	14.5 节
$\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$ 且 $x + y = 1$	$P$ 在直线 $AB$ 上	14.5 节
$\boldsymbol{a} = \lambda_1\boldsymbol{e}_1 + \lambda_2\boldsymbol{e}_2$，$\lambda_1$、$\lambda_2$ 唯一	平面向量基本定理，$\boldsymbol{e}_1$、$\boldsymbol{e}_2$ 不共线	14.6 节

第 15 章 · 平面向量的坐标与数量积

公式	条件	出处
$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$	$A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$	15.2 节
$\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b} \Leftrightarrow x_1y_2 - x_2y_1 = 0$	$\boldsymbol{a} = (x_1, y_1)$，$\boldsymbol{b} = (x_2, y_2)$，$\boldsymbol{b} \ne \boldsymbol{0}$	15.2 节
中点 $\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)$，重心 $\left(\dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$	坐标平面内	15.2 节
$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \lvert \boldsymbol{a} \rvert \lvert \boldsymbol{b} \rvert \cos\theta$	$\theta$ 为两向量的夹角	15.3 节
$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = x_1x_2 + y_1y_2$	坐标形式	15.3 节
$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \dfrac{1}{4}\left(\lvert \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} \rvert^2 - \lvert \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} \rvert^2\right)$	极化恒等式	15.3 节
$\dfrac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{\lvert \boldsymbol{b} \rvert^2}\boldsymbol{b}$	$\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 上的投影向量，$\boldsymbol{b} \ne \boldsymbol{0}$	15.4 节
$\cos\theta = \dfrac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{\lvert \boldsymbol{a} \rvert \lvert \boldsymbol{b} \rvert} = \dfrac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}\sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$	非零向量	15.5 节
$\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} \Leftrightarrow \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0 \Leftrightarrow x_1x_2 + y_1y_2 = 0$	非零向量	15.5 节
$\lvert \boldsymbol{a} \rvert = \sqrt{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$	模	15.5 节
$\lvert \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} \rvert^2 + \lvert \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} \rvert^2 = 2\left(\lvert \boldsymbol{a} \rvert^2 + \lvert \boldsymbol{b} \rvert^2\right)$	平行四边形对角线	15.5 节

第 16 章 · 解三角形

公式	条件	出处
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$	余弦定理（另两式轮换）	16.2 节
$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$	已知三边求角	16.2 节
$AD^2 = \dfrac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$	$AD$ 是 $BC$ 边上的中线	16.2 节
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$	正弦定理，$R$ 为外接圆半径	16.3 节
$a > b \iff A > B \iff \sin A > \sin B$	同一个三角形中	16.3 节
$a = b\cos C + c\cos B$	射影定理（另两式轮换）	16.3 节
$S = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}ca\sin B$	两边及夹角	16.4 节
$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$，$p = \dfrac{a + b + c}{2}$	海伦公式，已知三边	16.4 节
$S = \dfrac{abc}{4R}$	$R$ 为外接圆半径	16.4 节
$h = \dfrac{d\tan\alpha\tan\beta}{\tan\beta - \tan\alpha}$	同一直线上相距 $d$ 的两点测得仰角 $\alpha < \beta$	16.5 节

第 17 章 · 复数

公式	条件	出处
$i^2 = -1$	虚数单位	17.2 节
$a + bi = c + di \iff a = c \text{ 且 } b = d$	$a, b, c, d \in \mathbf{R}$	17.2 节
$\overline{z} = a - bi$	$z = a + bi$，$a, b \in \mathbf{R}$	17.2 节
$\lvert z \rvert = \lvert a + bi \rvert = \sqrt{a^2 + b^2}$	复数的模	17.3 节
$\big\lvert \lvert z_1 \rvert - \lvert z_2 \rvert \big\rvert \le \lvert z_1 \pm z_2 \rvert \le \lvert z_1 \rvert + \lvert z_2 \rvert$	任意复数	17.3 节
$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$	乘法	17.4 节
$\dfrac{a + bi}{c + di} = \dfrac{ac + bd}{c^2 + d^2} + \dfrac{bc - ad}{c^2 + d^2}i$	$c + di \ne 0$	17.4 节
$i^{4n} = 1$，$i^{4n+1} = i$，$i^{4n+2} = -1$，$i^{4n+3} = -i$	$n \in \mathbf{N}$	17.4 节
$(1 + i)^2 = 2i$，$(1 - i)^2 = -2i$，$\dfrac{1 + i}{1 - i} = i$	—	17.4 节
$z\overline{z} = \lvert z \rvert^2 = a^2 + b^2$	$z = a + bi$	17.4 节
$\lvert z_1 z_2 \rvert = \lvert z_1 \rvert \lvert z_2 \rvert$，$\left\lvert \dfrac{z_1}{z_2} \right\rvert = \dfrac{\lvert z_1 \rvert}{\lvert z_2 \rvert}$	后者 $z_2 \ne 0$	17.4 节
$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{-\Delta}\,i}{2a}$	实系数方程 $ax^2 + bx + c = 0$，$\Delta < 0$	17.4 节
$1 + \omega + \omega^2 = 0$，$\omega^3 = 1$	$\omega = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$	17.4 节
$z_1 z_2 = r_1 r_2\left[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)\right]$	三角形式（选学）	17.5 节
$\left[r(\cos\theta + i\sin\theta)\right]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$	棣莫弗公式，$n \in \mathbf{N}^*$	17.5 节

第 18 章 · 空间几何体

公式	条件	出处
$r = \sqrt{R^2 - d^2}$	球的截面圆，$d$ 为球心到截面的距离	18.2 节
圆锥 $l^2 = r^2 + h^2$；圆台 $l^2 = h^2 + (r - r')^2$	轴截面里的直角三角形	18.2 节
直观图面积 $= \dfrac{\sqrt{2}}{4} \times$ 原图面积	斜二测画法	18.3 节
圆柱 $S_{\text{侧}} = 2\pi rl$，$S_{\text{表}} = 2\pi r(r + l)$	底面半径 $r$，母线 $l$	18.4 节
圆锥 $S_{\text{侧}} = \pi rl$，$S_{\text{表}} = \pi r(r + l)$	底面半径 $r$，母线 $l$	18.4 节
圆台 $S_{\text{侧}} = \pi(r' + r)l$，$S_{\text{表}} = \pi(r'^2 + r^2 + r'l + rl)$	上下底半径 $r'$、$r$，母线 $l$	18.4 节
$S = 4\pi R^2$	球的表面积	18.4 节
$2R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$	长方体（或“墙角”三棱锥）的外接球	18.4 节
外接球半径 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$，内切球半径 $\dfrac{a}{2}$	棱长为 $a$ 的正方体	18.4 节
$V = Sh$	柱体	18.5 节
$V = \dfrac{1}{3}Sh$	锥体	18.5 节
$V = \dfrac{1}{3}h(S' + \sqrt{S'S} + S)$	台体，$S'$、$S$ 为上、下底面积	18.5 节
$V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$	球	18.5 节
$d = \dfrac{3V}{S}$	等体积法求点到平面的距离	18.5 节
体积 $\dfrac{\sqrt{2}}{12}a^3$，外接球半径 $\dfrac{\sqrt{6}}{4}a$，内切球半径 $\dfrac{\sqrt{6}}{12}a$	棱长为 $a$ 的正四面体	18.5 节
$r = \dfrac{3V}{S_{\text{表}}}$	多面体有内切球	18.5 节

第 19 章 · 空间点、直线、平面的位置关系

公式	条件	出处
$\cos\theta = \cos\theta_1 \cos\theta_2$	三余弦公式（拓展）：$\theta_1$ 为斜线与平面所成角，$\theta_2$ 为射影与面内直线的夹角	19.5 节
$\cos\varphi = \dfrac{S'}{S}$	射影面积公式（拓展），$\varphi$ 为二面角（取锐角）	19.5 节
线面角的正弦 $= \dfrac{\text{点到平面的距离}}{\text{斜线段长}}$	—	19.5 节

本章其余内容是平行、垂直的判定定理和性质定理，以文字和符号条件为主，见 19.3 节、19.4 节的定理表。

第 20 章 · 统计

公式	条件	出处
$n_i = n \cdot \dfrac{N_i}{N}$	分层随机抽样，比例分配	20.2 节
每个个体被抽到的概率是 $\dfrac{n}{N}$	简单随机抽样、比例分配的分层随机抽样	20.2 节
小矩形的面积 $=$ 组距 $\times \dfrac{\text{频率}}{\text{组距}} =$ 频率	频率分布直方图	20.3 节
中位数 $\approx a + \dfrac{0.5 - F}{h}$	$a$ 为中位数所在组左端点，$F$ 为之前各组频率和，$h$ 为该组小矩形的高	20.3 节
$\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$	样本平均数	20.4 节
$s^2 = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \bar{x}^2$	样本方差	20.4 节
$\bar{y} = a\bar{x} + b$，$s_y^2 = a^2 s_x^2$，$s_y = \lvert a \rvert s_x$	$y_i = ax_i + b$	20.4 节
$\bar{w} = \dfrac{m\bar{x} + n\bar{y}}{m+n}$	两组合并，样本量分别为 $m$、$n$	20.4 节
$s^2 = \dfrac{1}{m+n}\left\{m\left[s_1^2 + (\bar{x} - \bar{w})^2\right] + n\left[s_2^2 + (\bar{y} - \bar{w})^2\right]\right\}$	同上，合并后的方差	20.4 节
第 $p$ 百分位数 $\approx a + \dfrac{p\% - F}{h}$	由直方图估计	20.5 节

第 21 章 · 概率

公式	条件	出处
点数之和为 $k$ 的样本点有 $6 - \lvert k - 7 \rvert$ 个	掷两颗骰子，$2 \le k \le 12$	21.2 节
$\overline{A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n} = \overline{A_1}\,\overline{A_2} \cdots \overline{A_n}$	“至少一个发生”的对立事件	21.3 节
$P(A) = \dfrac{k}{n} = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$	古典概型	21.4 节
$P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_m) = P(A_1) + P(A_2) + \dots + P(A_m)$	$A_1, \dots, A_m$ 两两互斥	21.5 节
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$	任意两个事件	21.5 节
$P(A\overline{B} \cup \overline{A}B) = P(A) + P(B) - 2P(AB)$	恰有一个发生	21.5 节
$P(AB) = P(A)P(B)$	$A$、$B$ 相互独立	21.6 节
$1 - [1 - P(A_1)][1 - P(A_2)] \cdots [1 - P(A_n)]$	相互独立，至少一个发生	21.6 节
$1 - (1 - p)^n$	独立重复 $n$ 次，至少成功一次	21.6 节
$f_n(A) = \dfrac{n_A}{n}$，$P(A) \approx f_n(A)$	频率估计概率，$n$ 越大越可靠	21.7 节

第 22 章 · 数列的概念与等差数列

公式	条件	出处
$a_n = S_1$（$n = 1$）；$a_n = S_n - S_{n-1}$（$n \ge 2$）	由前 $n$ 项和求通项	22.2 节
$a_n = \left(a_1 + \dfrac{q}{p - 1}\right)p^{n-1} - \dfrac{q}{p - 1}$	$a_{n+1} = pa_n + q$，$p \ne 0, 1$	22.3 节
$a_n = a_1 + (n - 1)d$，$a_n = a_m + (n - m)d$	等差数列	22.4 节
$d = \dfrac{a_n - a_m}{n - m}$	$n \ne m$	22.4 节
$2A = a + b$	$A$ 是 $a$、$b$ 的等差中项	22.4 节
$a_m + a_n = a_p + a_q$	等差数列，$m + n = p + q$	22.4 节
$S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} = na_1 + \dfrac{n(n - 1)}{2}d$	等差数列前 $n$ 项和	22.5 节
$S_n = \dfrac{d}{2}n^2 + \left(a_1 - \dfrac{d}{2}\right)n$	同上，整理成 $n$ 的二次式	22.5 节
$S_{2n-1} = (2n - 1)a_n$；$\dfrac{a_n}{b_n} = \dfrac{S_{2n-1}}{T_{2n-1}}$	等差数列	22.5 节
$S_m$、$S_{2m} - S_m$、$S_{3m} - S_{2m}$ 成等差数列，公差 $m^2 d$	等差数列	22.5 节

第 23 章 · 等比数列与数列求和

公式	条件	出处
$a_n = a_1 q^{n-1}$，$a_n = a_m q^{n-m}$	等比数列，$q \ne 0$	23.2 节
$a_m a_n = a_p a_r$	等比数列，$m + n = p + r$	23.2 节
$S_n = na_1$（$q = 1$）；$S_n = \dfrac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} = \dfrac{a_1 - a_n q}{1 - q}$（$q \ne 1$）	等比数列前 $n$ 项和	23.3 节
$S_{n+m} = S_n + q^n S_m$	等比数列	23.3 节
$S_n, S_{2n} - S_n, S_{3n} - S_{2n}$ 成等比数列，公比 $q^n$	$S_n \ne 0$	23.3 节
$1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$，$1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$	$n \in \mathbf{N}^*$	23.4 节
$\dfrac{1}{n(n + 1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1}$	裂项	23.5 节
$\dfrac{1}{n(n + k)} = \dfrac{1}{k}\left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + k}\right)$	裂项，$k \ne 0$	23.5 节
$\dfrac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2n - 1} - \dfrac{1}{2n + 1}\right)$	裂项	23.5 节
$\dfrac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$	裂项	23.5 节
$S_n = (An + B)q^n - B$	错位相减，$b_n$ 为一次式，$c_n = q^n$，$q \ne 1$	23.5 节
$1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$	数学归纳法证明	23.6 节
$1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \left[\dfrac{n(n + 1)}{2}\right]^2$	同上	23.6 节
$(1 + x)^n \ge 1 + nx$	伯努利不等式，$x > -1$，$n \in \mathbf{N}^*$	23.6 节

第 24 章 · 导数的概念与运算

公式	条件	出处
$\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$	平均变化率	24.2 节
$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$	导数的定义，极限存在	24.3 节
$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$	曲线在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线	24.3 节
$\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_0 + mh) - f(x_0 + nh)}{h} = (m - n) f'(x_0)$	$f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，$m \ne n$	24.3 节
$c' = 0$，$(x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1}$	$c$ 为常数；$\alpha \in \mathbf{R}$，$\alpha \ne 0$	24.4 节
$(\sin x)' = \cos x$，$(\cos x)' = -\sin x$	—	24.4 节
$(a^x)' = a^x \ln a$，$(e^x)' = e^x$	$a > 0$，$a \ne 1$	24.4 节
$(\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a}$，$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$	$a > 0$，$a \ne 1$	24.4 节
$\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$，$(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	常用特例	24.4 节
$[f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x)$	$f$、$g$ 可导	24.5 节
$[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$	同上	24.5 节
$\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]' = \dfrac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$	同上，$g(x) \ne 0$	24.5 节
$(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$	$\cos x \ne 0$	24.5 节
$[e^x f(x)]' = e^x[f(x) + f'(x)]$，$\left[\dfrac{f(x)}{e^x}\right]' = \dfrac{f'(x) - f(x)}{e^x}$	构造函数常用	24.5 节
$y'_x = y'_u \cdot u'_x$	复合函数 $y = f(u)$，$u = g(x)$	24.6 节
$[f(ax + b)]' = a f'(ax + b)$	内层为一次函数	24.6 节

第 25 章 · 导数的应用

公式	条件	出处
单调递增 $\Rightarrow f'(x) \ge 0$	可导函数在区间 $D$ 上	25.2 节
$b^2 - 3ac \le 0$ 时在 $\mathbf{R}$ 上单调递增	$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$，$a > 0$	25.2 节
有极值 $\iff b^2 - 3ac > 0$	三次函数，$a \ne 0$	25.3 节
$h(x) = f(x) - g(x)$	证明 $f(x) \ge g(x)$ 时构造差函数	25.4 节
$e^x \ge x + 1$	当且仅当 $x = 0$ 时取等号	25.4 节
$\ln x \le x - 1$	$x > 0$，当且仅当 $x = 1$ 时取等号	25.4 节
$\ln(x + 1) \le x$	$x > -1$，当且仅当 $x = 0$ 时取等号	25.4 节
$e^x \ge ex$；$\ln x \le \dfrac{x}{e}$	前者 $x = 1$ 时取等；后者 $x > 0$，$x = e$ 时取等	25.4 节
三个零点 $\iff$ 极大值 $> 0$ 且极小值 $< 0$	三次函数，$a > 0$	25.5 节

第 26 章 · 空间向量及其运算

公式	条件	出处
$\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}$	平行六面体法则	26.2 节
$\boldsymbol{p} = x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b}$	共面向量定理，$\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 不共线	26.2 节
$\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} + z\overrightarrow{OC}$ 且 $x + y + z = 1$	$P$ 在平面 $ABC$ 内，$O$ 在平面外	26.2 节
$\overrightarrow{OG} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$	$G$ 是 $\triangle ABC$ 的重心	26.2 节
$\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD})$	$M$、$N$ 分别是 $AB$、$CD$ 的中点	26.2 节
$\boldsymbol{p} = x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b} + z\boldsymbol{c}$，$x, y, z$ 唯一	空间向量基本定理，$\{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\}$ 是基底	26.3 节
$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$	空间直角坐标系	26.4 节
$\lvert AB \rvert = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$	两点间距离	26.4 节
到 $x$ 轴的距离 $\sqrt{y^2 + z^2}$，到 $Oxy$ 平面的距离 $\lvert z \rvert$	点 $P(x, y, z)$	26.4 节
$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \lvert \boldsymbol{a} \rvert \lvert \boldsymbol{b} \rvert \cos\langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$	数量积	26.5 节
$\lvert \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c} \rvert^2 = \lvert \boldsymbol{a} \rvert^2 + \lvert \boldsymbol{b} \rvert^2 + \lvert \boldsymbol{c} \rvert^2 + 2(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} + \boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{a})$	求模	26.5 节

第 27 章 · 用空间向量解立体几何

公式	条件	出处
$\overrightarrow{AP} \cdot \boldsymbol{n} = 0$	$\boldsymbol{n}$ 为平面法向量，$A$、$P$ 在平面内	27.2 节
$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$	过点 $(x_0, y_0, z_0)$、法向量 $(a, b, c)$ 的平面	27.2 节
$l \perp m \iff \boldsymbol{u}_1 \cdot \boldsymbol{u}_2 = 0$；$\alpha \perp \beta \iff \boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2 = 0$	方向向量 $\boldsymbol{u}$，法向量 $\boldsymbol{n}$	27.3 节
$l \parallel \alpha \iff \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n}_1 = 0$ 且 $l \not\subset \alpha$	同上	27.3 节
$\cos\theta = \dfrac{\lvert \boldsymbol{u}_1 \cdot \boldsymbol{u}_2 \rvert}{\lvert \boldsymbol{u}_1 \rvert \lvert \boldsymbol{u}_2 \rvert}$	异面直线所成角，$\theta \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right]$	27.4 节
$\sin\theta = \dfrac{\lvert \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n} \rvert}{\lvert \boldsymbol{u} \rvert \lvert \boldsymbol{n} \rvert}$	直线与平面所成角，$\theta \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$	27.4 节
$\cos\theta = \dfrac{\lvert \boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2 \rvert}{\lvert \boldsymbol{n}_1 \rvert \lvert \boldsymbol{n}_2 \rvert}$	平面与平面的夹角，$\theta \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$	27.4 节
$\lvert \cos\varphi \rvert = \lvert \cos\langle \boldsymbol{n}_1, \boldsymbol{n}_2 \rangle \rvert$	二面角 $\varphi \in [0, \pi]$，符号另判	27.4 节
$d = \dfrac{\lvert \overrightarrow{AP} \cdot \boldsymbol{n} \rvert}{\lvert \boldsymbol{n} \rvert}$	点 $P$ 到平面的距离，$A$ 在平面内	27.5 节
$d = \sqrt{\lvert \overrightarrow{AP} \rvert^2 - \left(\dfrac{\overrightarrow{AP} \cdot \boldsymbol{u}}{\lvert \boldsymbol{u} \rvert}\right)^2}$	点 $P$ 到直线的距离，$A$ 在直线上，$\boldsymbol{u}$ 为方向向量	27.5 节
$d = \dfrac{\lvert \overrightarrow{AB} \cdot \boldsymbol{n} \rvert}{\lvert \boldsymbol{n} \rvert}$	异面直线的距离，$\boldsymbol{n}$ 与两直线都垂直	27.5 节

第 28 章 · 直线的方程

公式	条件	出处
$k = \tan\alpha$	$\alpha \ne 90°$，$0° \le \alpha < 180°$	28.2 节
$k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$	两点斜率公式，$x_1 \ne x_2$	28.2 节
$y - y_0 = k(x - x_0)$	点斜式，不能表示竖直的直线	28.3 节
$y = kx + b$	斜截式，不能表示竖直的直线	28.3 节
$\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}$	两点式，$x_1 \ne x_2$，$y_1 \ne y_2$	28.3 节
$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$	截距式，$a, b \ne 0$	28.3 节
$Ax + By + C = 0$；法向量 $(A, B)$，方向向量 $(B, -A)$	一般式，$A$、$B$ 不同时为 0	28.3 节
$A_1x + B_1y + C_1 + \lambda(A_2x + B_2y + C_2) = 0$	过两相交直线交点的直线系（不含 $l_2$）	28.3 节
平行：$A_1B_2 - A_2B_1 = 0$ 且不重合；垂直：$A_1A_2 + B_1B_2 = 0$	两条直线的一般式	28.4 节
$\lvert P_1P_2 \rvert = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$	两点间距离	28.5 节
$d = \dfrac{\lvert Ax_0 + By_0 + C \rvert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$	点 $(x_0, y_0)$ 到直线 $Ax + By + C = 0$ 的距离	28.5 节
$d = \dfrac{\lvert C_1 - C_2 \rvert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$	平行线 $Ax + By + C_1 = 0$ 与 $Ax + By + C_2 = 0$	28.5 节
$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2}\lvert x_1y_2 - x_2y_1 \rvert$	$\overrightarrow{AB} = (x_1, y_1)$，$\overrightarrow{AC} = (x_2, y_2)$	28.5 节

第 29 章 · 圆的方程

公式	条件	出处
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$	标准方程，圆心 $(a, b)$，半径 $r > 0$	29.2 节
$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$	一般方程，$D^2+E^2-4F>0$	29.2 节
$\left(x+\dfrac{D}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{E}{2}\right)^2=\dfrac{D^2+E^2-4F}{4}$	一般方程配方	29.2 节
$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$	直径式，直径端点 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$	29.2 节
$d=\dfrac{\lvert Aa+Bb+C \rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$	圆心到直线的距离，与 $r$ 比较判断位置关系	29.3 节
$\lvert AB \rvert=2\sqrt{r^2-d^2}$	直线与圆相交的弦长	29.3 节
$(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$	过圆上点 $(x_0, y_0)$ 的切线	29.3 节
$x_0x+y_0y=r^2$	切点弦，$P(x_0,y_0)$ 在圆 $x^2+y^2=r^2$ 外	29.3 节
$\sqrt{x_0^2+y_0^2+Dx_0+Ey_0+F}$	从圆外一点引的切线长	29.3 节
$(D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+(F_1-F_2)=0$	两圆相交时公共弦所在直线	29.4 节

第 30 章 · 椭圆

公式	条件	出处
$\lvert PF_1 \rvert + \lvert PF_2 \rvert = 2a$	椭圆定义，$2a > 2c > 0$	30.2 节
$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，$a^2 = b^2 + c^2$	焦点在 $x$ 轴上，$a > b > 0$	30.2 节
$S_{\triangle F_1PF_2} = b^2\tan\dfrac{\theta}{2}$	焦点三角形，$\angle F_1PF_2 = \theta$	30.2 节
$a - c \le \lvert PF \rvert \le a + c$	焦半径的范围	30.3 节
通径长 $\dfrac{2b^2}{a}$	过焦点且垂直于长轴的弦	30.3 节
$k_{PA_1} \cdot k_{PA_2} = -\dfrac{b^2}{a^2}$	$P$ 异于长轴端点 $A_1$、$A_2$，焦点在 $x$ 轴上	30.3 节
$e = \dfrac{c}{a} = \sqrt{1 - \dfrac{b^2}{a^2}}$，$\dfrac{b}{a} = \sqrt{1 - e^2}$	$0 < e < 1$	30.4 节
$\lvert PF_1 \rvert = a + ex_0$，$\lvert PF_2 \rvert = a - ex_0$	焦点在 $x$ 轴上，$F_1$ 在左	30.4 节

第 31 章 · 双曲线

公式	条件	出处
$\big\lvert \lvert PF_1 \rvert - \lvert PF_2 \rvert \big\rvert = 2a$	双曲线定义，$0 < 2a < 2c$	31.2 节
$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，$c^2 = a^2 + b^2$	焦点在 $x$ 轴上	31.2 节
$S_{\triangle F_1PF_2} = \dfrac{b^2}{\tan\frac{\theta}{2}}$	焦点三角形，$\angle F_1PF_2 = \theta$	31.2 节
$e^2 = 1 + \dfrac{b^2}{a^2}$，$\dfrac{b}{a} = \sqrt{e^2 - 1}$	$e > 1$	31.3 节
$\lvert PF_1 \rvert = ex_0 + a$，$\lvert PF_2 \rvert = ex_0 - a$	$P(x_0, y_0)$ 在右支上	31.3 节
通径长 $\dfrac{2b^2}{a}$	过焦点且垂直于实轴的弦	31.3 节
$y = \pm\dfrac{b}{a}x$	渐近线，焦点在 $x$ 轴上	31.4 节
$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = \lambda$	共渐近线的双曲线，$\lambda \ne 0$	31.4 节
焦点到渐近线的距离等于 $b$	—	31.4 节
$e = \sqrt{1 + k^2}$	焦点在 $x$ 轴上，渐近线斜率为 $\pm k$	31.4 节
$k_{PA_1} \cdot k_{PA_2} = \dfrac{b^2}{a^2}$	$P$ 异于顶点	31.4 节

第 32 章 · 抛物线

公式	条件	出处
$y^2 = 2px$：焦点 $\left(\dfrac{p}{2}, 0\right)$，准线 $x = -\dfrac{p}{2}$	$p > 0$，开口向右（其余三种见正文表）	32.2 节
$x^2 = 2py$：焦点 $\left(0, \dfrac{p}{2}\right)$，准线 $y = -\dfrac{p}{2}$	$p > 0$，开口向上	32.2 节
$y = ax^2$ 的焦点 $\left(0, \dfrac{1}{4a}\right)$，准线 $y = -\dfrac{1}{4a}$	$a \ne 0$	32.2 节
$\lvert MF \rvert = x_0 + \dfrac{p}{2}$	焦半径，$M(x_0, y_0)$ 在 $y^2 = 2px$ 上	32.4 节
$\lvert AB \rvert = x_1 + x_2 + p = \dfrac{2p}{\sin^2\theta}$	焦点弦，$\theta$ 为倾斜角	32.4 节
$y_1 y_2 = -p^2$，$x_1 x_2 = \dfrac{p^2}{4}$	焦点弦端点	32.4 节
$\dfrac{1}{\lvert AF \rvert} + \dfrac{1}{\lvert BF \rvert} = \dfrac{2}{p}$	焦点弦	32.4 节
$S_{\triangle AOB} = \dfrac{p^2}{2\sin\theta}$	焦点弦，最小值 $\dfrac{p^2}{2}$（通径时）	32.4 节

第 33 章 · 直线与圆锥曲线

公式	条件	出处
$x_1 + x_2 = -\dfrac{B}{A}$，$x_1 x_2 = \dfrac{C}{A}$	联立得 $Ax^2 + Bx + C = 0$，$A \ne 0$，$\Delta > 0$	33.2 节
相切 $\iff m^2 = a^2k^2 + b^2$	直线 $y = kx + m$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$	33.2 节
相切 $\iff m^2 = a^2k^2 - b^2$	直线 $y = kx + m$ 与双曲线，$k \ne \pm\dfrac{b}{a}$	33.2 节
相切 $\iff p = 2km$	直线 $y = kx + m$（$k \ne 0$）与抛物线 $y^2 = 2px$	33.2 节
$OA \perp OB \iff x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$	—	33.2 节
$\lvert x_1 - x_2 \rvert = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2} = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{\lvert A \rvert}$	联立后的二次方程	33.3 节
$\lvert AB \rvert = \sqrt{1 + k^2} \cdot \dfrac{\sqrt{\Delta}}{\lvert A \rvert}$	弦长，直线斜率为 $k$	33.3 节
椭圆 $k_{AB} \cdot k_{OM} = -\dfrac{b^2}{a^2}$，双曲线 $k_{AB} \cdot k_{OM} = \dfrac{b^2}{a^2}$	中点弦，$M$ 为弦 $AB$ 中点	33.4 节
$k_{AB} = \dfrac{p}{y_0}$	抛物线 $y^2 = 2px$ 的中点弦，中点纵坐标 $y_0$	33.4 节
直线 $AB$ 过定点 $(2p, 0)$	抛物线 $y^2 = 2px$ 上两点满足 $OA \perp OB$	33.5 节
面积最大为 $\dfrac{ab}{2}$	椭圆的弦与中心构成的三角形	33.6 节
$\dfrac{\lvert m - m_0 \rvert}{\sqrt{1 + k^2}}$	曲线上点到直线 $y = kx + m_0$ 的距离最值，$y = kx + m$ 为平行切线	33.6 节

第 34 章 · 计数原理

公式	条件	出处
$N = m_1 + m_2 + \dots + m_n$	分类加法计数原理	34.2 节
$N = m_1 \times m_2 \times \dots \times m_n$	分步乘法计数原理	34.2 节
正约数有 $(a_1 + 1)(a_2 + 1) \cdots (a_k + 1)$ 个	$N = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$，$p_i$ 为不同质数	34.2 节
$\mathrm{A}_n^m = n(n - 1)(n - 2) \cdots (n - m + 1) = \dfrac{n!}{(n - m)!}$	$m \le n$	34.3 节
$\dfrac{n!}{k!} = \mathrm{A}_n^{n - k}$	定序问题，$k$ 个元素顺序固定	34.3 节
$\mathrm{C}_n^m = \dfrac{\mathrm{A}_n^m}{\mathrm{A}_m^m} = \dfrac{n!}{m!(n - m)!}$	$m \le n$	34.4 节
$\mathrm{C}_n^m = \mathrm{C}_n^{n - m}$，$\mathrm{C}_{n + 1}^m = \mathrm{C}_n^m + \mathrm{C}_n^{m - 1}$	组合数的性质	34.4 节
$m \mathrm{C}_n^m = n \mathrm{C}_{n - 1}^{m - 1}$	$1 \le m \le n$	34.4 节
$\mathrm{C}_{n - 1}^{m - 1}$；$\mathrm{C}_{n + m - 1}^{m - 1}$	隔板法：$n$ 个相同元素分给 $m$ 个对象，每个至少 1 个；允许为 0	34.4 节
$(a + b)^n = \mathrm{C}_n^0 a^n + \mathrm{C}_n^1 a^{n - 1} b + \dots + \mathrm{C}_n^k a^{n - k} b^k + \dots + \mathrm{C}_n^n b^n$	二项式定理，$n \in \mathbf{N}^*$	34.5 节
$T_{k + 1} = \mathrm{C}_n^k a^{n - k} b^k$	通项，$k = 0, 1, \dots, n$	34.5 节
$\mathrm{C}_n^0 + \mathrm{C}_n^1 + \dots + \mathrm{C}_n^n = 2^n$	二项式系数之和；奇数项、偶数项各为 $2^{n - 1}$	34.5 节
偶次项系数和 $= \dfrac{f(1) + f(-1)}{2}$，奇次项系数和 $= \dfrac{f(1) - f(-1)}{2}$	赋值法	34.5 节

第 35 章 · 条件概率与全概率公式

公式	条件	出处
$P(B \mid A) = \dfrac{P(AB)}{P(A)}$	$P(A) > 0$	35.2 节
$P(B \mid A) = \dfrac{n(AB)}{n(A)}$	古典概型，$n(A) > 0$	35.2 节
$P(\overline{B} \mid A) = 1 - P(B \mid A)$	$P(A) > 0$	35.2 节
$A$、$B$ 独立 $\iff P(B \mid A) = P(B)$	$P(A) > 0$	35.2 节
$P(AB) = P(A)P(B \mid A)$	乘法公式，$P(A) > 0$	35.3 节
$P(ABC) = P(A)P(B \mid A)P(C \mid AB)$	$P(AB) > 0$	35.3 节
$P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)P(B \mid A_i)$	全概率公式，$A_1, \dots, A_n$ 两两互斥、并为 $\Omega$，$P(A_i) > 0$	35.4 节
$P(B) = P(A)P(B \mid A) + P(\overline{A})P(B \mid \overline{A})$	$0 < P(A) < 1$	35.4 节
$P(A_i \mid B) = \dfrac{P(A_i)P(B \mid A_i)}{\sum_{k=1}^{n} P(A_k)P(B \mid A_k)}$	贝叶斯公式（选学），$P(B) > 0$	35.5 节

第 36 章 · 离散型随机变量及其分布

公式	条件	出处
$E(X) = p$，$D(X) = p(1 - p)$	两点分布	36.2 节
$E(X)=\sum_{i=1}^{n} x_ip_i$	离散型随机变量的均值	36.3 节
$D(X)=\sum_{i=1}^{n} (x_i-E(X))^2p_i$	方差	36.3 节
$D(X)=E(X^2)-(E(X))^2$	方差的简便算法	36.3 节
$E(aX+b)=aE(X)+b$，$D(aX+b)=a^2D(X)$	$a$、$b$ 为常数	36.3 节
$P(X=k)=\mathrm{C}_n^k p^k(1-p)^{n-k}$	二项分布 $X \sim B(n, p)$，$k=0, 1, \dots, n$	36.4 节
$E(X)=np$，$D(X)=np(1-p)$	$X \sim B(n, p)$	36.4 节
$P(X=k)=\dfrac{\mathrm{C}_M^k\mathrm{C}_{N-M}^{n-k}}{\mathrm{C}_N^n}$	超几何分布，$\max\{0, n-N+M\} \le k \le \min\{n, M\}$	36.5 节
$E(X)=\dfrac{nM}{N}$	超几何分布	36.5 节

第 37 章 · 正态分布

公式	条件	出处
$f(x) = \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$	正态密度函数，$x \in \mathbf{R}$，$\sigma > 0$	37.2 节
$P(X \le \mu) = P(X \ge \mu) = 0.5$	$X \sim N(\mu, \sigma^2)$	37.2 节
$E(aX + b) = a\mu + b$，$D(aX + b) = a^2\sigma^2$	同上	37.2 节
$P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) \approx 0.6827$	同上	37.3 节
$P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) \approx 0.9545$	同上	37.3 节
$P(\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma) \approx 0.9973$	同上	37.3 节
$P(X > \mu + k\sigma) = P(X < \mu - k\sigma) = \dfrac{1 - p_k}{2}$	$p_k$ 为上面三个概率，$k = 1, 2, 3$	37.3 节
若 $P(X < a) = P(X > b)$，则 $\mu = \dfrac{a + b}{2}$	$a \ne b$	37.3 节

第 38 章 · 成对数据的统计分析

公式	条件	出处
$r = \dfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}$	样本相关系数	38.2 节
$r = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} x_i y_i - n\bar{x}\bar{y}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\bar{x}^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} y_i^2 - n\bar{y}^2}}$	同上，计算形式	38.2 节
$Y = bx + a + e$，$E(e) = 0$，$D(e) = \sigma^2$	一元线性回归模型	38.3 节
$\hat{b} = \dfrac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2} = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} x_i y_i - n\bar{x}\bar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\bar{x}^2}$	最小二乘估计	38.3 节
$\hat{a} = \bar{y} - \hat{b}\bar{x}$	经验回归直线过样本中心 $(\bar{x}, \bar{y})$	38.3 节
$R^2 = 1 - \dfrac{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}$	决定系数	38.3 节
$\hat{b} = r\sqrt{\dfrac{S_{yy}}{S_{xx}}}$，$R^2 = r^2$	一元线性回归	38.3 节
$\chi^2 = \dfrac{n(ad - bc)^2}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}$	$2 \times 2$ 列联表，$n = a + b + c + d$	38.4 节
期望频数 $=$ 该行合计 $\times$ 该列合计 $\div n$	独立性检验	38.4 节