第 37 章 · 正态分布

项目	内容
课标主题	选择性必修 · 概率与统计 · 随机变量及其分布
人教 A 版	选择性必修第三册 第七章 7.5
考试地位	常考。多为一道选择题或填空题，考对称性和 $3\sigma$ 区间的概率；也常作解答题的一问，和频率分布直方图、二项分布一起考，难度不高
前置知识	第 20 章频率分布直方图和标准差、第 21 章概率的基本性质、第 36 章均值和方差与二项分布、第 8 章指数函数

前面几章的随机变量只取有限个值，可以一个一个列出概率。身高、零件尺寸、测量误差这类量可以取一个区间里的任何值，概率要用“曲线下的面积”来表示，最常见的一种就是正态分布。这一章公式不多，考题几乎都靠一张图解决：画出钟形曲线，标出 $\mu$，涂出要求的那块面积。丢分主要丢在三处：把 $N(\mu, \sigma^2)$ 的第二个参数当成 $\sigma$；求一侧尾巴的概率忘了除以 2；利用对称性求参数时把等式列错。

37.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
37.2 正态曲线及其性质	钟形曲线，$\mu$ 决定对称轴的位置，$\sigma$ 决定胖瘦，曲线下的总面积是 1	常考，多是看图比较 $\mu$、$\sigma$ 或判断说法正误
37.3 正态分布的概率计算	概率就是曲线下的面积；用对称性和 $3\sigma$ 区间的三个数求概率、估计人数、判断异常	常考，本章的主要考点

37.2 正态曲线及其性质

说明

连续型随机变量：取值充满一个区间、不能一一列出的随机变量，如身高、重量、测量误差。它取某个区间内的值的概率，用一条曲线下方的面积表示：$P(a \le X \le b)$ 等于曲线、$x$ 轴和直线 $x = a$、$x = b$ 围成的面积。这条曲线叫概率密度曲线。

正态密度函数：

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad x \in \mathbf{R},$$

其中 $\mu \in \mathbf{R}$，$\sigma > 0$ 是两个参数。它的图像叫正态曲线（形状像一口钟，俗称钟形曲线）。

正态分布：若随机变量 $X$ 落在任一区间 $[a, b]$ 内的概率，都等于正态曲线在 $[a, b]$ 上方与 $x$ 轴围成的面积，就说 $X$ 服从正态分布，记作

$$X \sim N(\mu, \sigma^2).$$

注意括号里第二个参数是 $\sigma^2$（方差），不是 $\sigma$。$\mu = 0$、$\sigma = 1$ 时叫标准正态分布 $N(0, 1)$。

两个参数的意义：

参数	统计意义	在图上
$\mu$	均值，$E(X) = \mu$	对称轴 $x = \mu$ 的位置，也是最高点的横坐标
$\sigma$	标准差，$D(X) = \sigma^2$	曲线的胖瘦：$\sigma$ 越小越瘦高，越大越矮胖

正态曲线的性质：

1. 曲线在 $x$ 轴的上方，与 $x$ 轴不相交；$x$ 往两边走得越远，曲线越贴近 $x$ 轴。
2. 曲线关于直线 $x = \mu$ 对称。
3. 曲线在 $x = \mu$ 处达到最高点，最大值是 $\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$；在 $x = \mu$ 左边上升，右边下降。
4. 曲线与 $x$ 轴之间的总面积为 1。
5. $\sigma$ 一定时，$\mu$ 变化，曲线沿 $x$ 轴平移，形状不变。
6. $\mu$ 一定时，$\sigma$ 越小，曲线越“瘦高”，$X$ 的取值越集中在 $\mu$ 附近；$\sigma$ 越大，曲线越“矮胖”，取值越分散。

课标要求“通过误差模型”认识正态分布，课本以自动包装线上袋装食盐的质量误差（每袋实际质量与标准质量之差）为例引入：误差的频率分布直方图中间高、两边低、左右大致对称，可以用一条钟形曲线来描述。身高、考试成绩、零件尺寸这类“受很多微小的独立因素共同影响”的量，都近似服从正态分布。

使用场景

• 题目给出正态密度函数的表达式：对照 $\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ 和 $2\sigma^2$ 读出 $\mu$、$\sigma$，再求均值、方差或最大值。
• 题目给出几条正态曲线的图，问 $\mu$、$\sigma$ 的大小关系，或比较概率：看对称轴的位置比 $\mu$，看胖瘦比 $\sigma$，看面积比概率。
• 判断关于正态分布的几种说法是否正确：逐条对照六条性质，特别是 $\sigma$ 的作用和“总面积为 1”。

注意点

• $X \sim N(1, 4)$ 的意思是 $\mu = 1$、$\sigma^2 = 4$，所以 $\sigma = 2$。
• 连续型随机变量取某一个值的概率是 0：$P(X = a) = 0$。所以 $P(X \le a) = P(X < a)$，区间端点取不取等号不影响概率。
• 曲线的纵坐标 $f(x)$ 不是概率，面积才是概率。$f(x)$ 可以大于 1（$\sigma$ 很小时最高点 $\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ 会超过 1），但任何一块面积都不超过 1。
• “$\sigma$ 越大越矮胖”说的是同一个 $\mu$ 下的比较；总面积始终是 1，变矮的同时一定变宽。

证明

性质 1、2、3、5 用高中知识就能证明；性质 4（总面积为 1）以及”$\mu$ 是均值、$\sigma^2$ 是方差“需要大学的积分，这里给高中能懂的说明。

性质 1：曲线在 $x$ 轴上方。 指数函数 $e^u > 0$ 对一切实数 $u$ 成立，$\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} > 0$，所以 $f(x) > 0$，曲线在 $x$ 轴上方，与 $x$ 轴没有交点。当 $|x - \mu|$ 越来越大时，指数 $-\dfrac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}$ 越来越小（趋向负无穷），$e$ 的这个次方越来越接近 0，所以曲线越来越贴近 $x$ 轴。

性质 2：关于 $x = \mu$ 对称。 要证对任意 $t$，$f(\mu + t) = f(\mu - t)$。代入：

$$f(\mu + t) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}}, \qquad f(\mu - t) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(-t)^2}{2\sigma^2}} = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}}.$$

两者相等（关键一步：$x$ 只以 $(x - \mu)^2$ 的形式出现，离 $\mu$ 的距离相同，函数值就相同）。由第 6 章的对称性结论，$f(\mu + t) = f(\mu - t)$ 说明图像关于直线 $x = \mu$ 对称。

性质 3：$x = \mu$ 处最高。 记 $u = -\dfrac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}$，则 $u \le 0$，当且仅当 $x = \mu$ 时 $u = 0$。$y = e^u$ 是增函数（第 8 章），所以 $e^u \le e^0 = 1$，$f(x) \le \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$，等号只在 $x = \mu$ 时成立。$x < \mu$ 时，$x$ 增大，$(x - \mu)^2$ 减小，$u$ 增大，$f(x)$ 增大；$x > \mu$ 时反过来。所以曲线在 $x = \mu$ 左边上升、右边下降。

性质 5、6：$\mu$ 和 $\sigma$ 的作用。 记标准正态的密度为 $\varphi(z) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}}$。把 $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$ 代入，得

$$f(x) = \frac{1}{\sigma}\, \varphi\!\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right).$$

这说明 $N(\mu, \sigma^2)$ 的曲线是由标准正态曲线经过三步得到的：横向伸缩为原来的 $\sigma$ 倍，纵向伸缩为原来的 $\dfrac{1}{\sigma}$ 倍，再向右平移 $\mu$ 个单位（伸缩和平移的做法和第 12 章 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 的图像变换相同）。

• $\mu$ 只出现在平移这一步，所以 $\mu$ 变化时曲线只平移，形状不变。
• $\sigma$ 变大时，曲线横向拉宽 $\sigma$ 倍、纵向压低到 $\dfrac{1}{\sigma}$，所以变得矮胖；$\sigma$ 变小时反过来，变得瘦高。（关键一步：横向乘 $\sigma$、纵向除以 $\sigma$，面积不变。所以无论 $\mu$、$\sigma$ 取什么值，曲线下的总面积都和标准正态曲线的一样。）

性质 4：总面积为 1（高中能懂的说明）。 由上面的关键一步，只要说明标准正态曲线下的总面积是 1。高中没有求这种面积的工具，但可以用小矩形去近似：把 $[-6, 6]$ 分成 1200 个宽 0.01 的小段，每段上用中点的函数值做高，所有小矩形面积加起来约为 $0.999\,999\,998$，再往外的部分面积小于 $10^{-8}$。系数 $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}$ 正是为了让总面积恰好等于 1 而选的。

严格证明要用大学微积分的广义积分和二重积分：先算出 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx = \sqrt{2\pi}$，方法是把这个积分的平方写成平面上的二重积分，再换成极坐标计算。

$\mu$ 是均值、$\sigma^2$ 是方差（高中能懂的说明）。 曲线关于 $x = \mu$ 对称，$X$ 比 $\mu$ 大和比 $\mu$ 小的“分量”一样，所以平均值落在 $\mu$。$\sigma$ 越大，取值离 $\mu$ 越远的可能越大，波动就越大，这正是标准差的含义。严格地说，连续型随机变量的均值和方差是用积分定义的（$E(X) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,dx$），算出来恰好是 $\mu$ 和 $\sigma^2$，这也是大学概率论的内容。

例题

例 1　（场景：由密度函数读出参数）已知随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x + 1)^2}{8}}$，$x \in \mathbf{R}$。

（1）求 $\mu$、$\sigma$，以及 $f(x)$ 的最大值；（2）求 $E(X)$、$D(X)$；（3）设 $Y = 3X + 2$，求 $E(Y)$、$D(Y)$。

解：（1）和正态密度函数 $\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$ 逐项对照：

• 系数 $\dfrac{1}{2\sqrt{2\pi}} = \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$，得 $\sigma = 2$；
• 指数的分母 $2\sigma^2 = 2 \times 4 = 8$，和题目一致；
• 分子 $(x + 1)^2 = (x - (-1))^2$，得 $\mu = -1$。

所以 $X \sim N(-1, 4)$。最大值在 $x = \mu = -1$ 处取得，为 $\dfrac{1}{2\sqrt{2\pi}}$。

（2）$E(X) = \mu = -1$，$D(X) = \sigma^2 = 4$。

（3）由第 36 章均值和方差的性质：$E(Y) = 3E(X) + 2 = -1$，$D(Y) = 3^2 D(X) = 36$。

容易卡在：$(x + 1)^2$ 读成 $\mu = 1$。要先改写成 $(x - (-1))^2$ 再读。

例 2　（场景：看图比较 $\mu$、$\sigma$ 和概率）三个随机变量 $X_1 \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$、$X_2 \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$、$X_3 \sim N(\mu_3, \sigma_3^2)$ 的正态曲线如图中①②③所示，其中①②的对称轴都是 $y$ 轴，③的对称轴是 $x = 2$，②③形状相同。

（1）比较 $\mu_1, \mu_2, \mu_3$ 和 $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ 的大小；（2）比较 $P(X_2 \le 1)$ 和 $P(X_3 \le 1)$ 的大小。

解：（1）对称轴的位置就是 $\mu$：①②的对称轴都是 $x = 0$，③的对称轴是 $x = 2$，所以 $\mu_1 = \mu_2 < \mu_3$。

①比②瘦高，所以 $\sigma_1 < \sigma_2$；②③形状相同，所以 $\sigma_2 = \sigma_3$。即 $\sigma_1 < \sigma_2 = \sigma_3$。

（2）$X_2$ 和 $X_3$ 的 $\sigma$ 相同，③是②向右平移 2 个单位得到的。$P(X_3 \le 1)$ 是③在 $x = 1$ 左边的面积，平移回去，等于②在 $x = 1 - 2 = -1$ 左边的面积，即

$$P(X_3 \le 1) = P(X_2 \le -1).$$

②在 $x = -1$ 左边的部分包含在 $x = 1$ 左边的部分里，而且少了 $[-1, 1]$ 这一块，所以 $P(X_2 \le -1) < P(X_2 \le 1)$，即 $P(X_2 \le 1) > P(X_3 \le 1)$。

另一种解法：直接用对称性和 0.5 比较。$x = 1$ 在②的对称轴 $x = 0$ 右边，所以 $P(X_2 \le 1) > P(X_2 \le 0) = 0.5$；$x = 1$ 在③的对称轴 $x = 2$ 左边，所以 $P(X_3 \le 1) < P(X_3 \le 2) = 0.5$。于是 $P(X_2 \le 1) > 0.5 > P(X_3 \le 1)$。这种方法不要求两条曲线形状相同，只看 $x = 1$ 在各自对称轴的哪一侧，选择题里更快；平移法适合两条曲线形状相同、要算出具体关系的题。

容易卡在：看到①的峰最高，就以为①的 $\mu$ 最大。峰的高低反映的是 $\sigma$，不是 $\mu$。

例 3　（场景：判断说法正误）设 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，判断下列说法是否正确：

① 正态曲线关于直线 $x = \mu$ 对称；② $\sigma$ 越大，正态曲线越瘦高；③ $P(X = \mu) = 0.5$；④ $\sigma$ 改变时，正态曲线与 $x$ 轴围成的面积随之改变；⑤ $P(X \le \mu) = 0.5$。

解：

• ① 正确，见性质 2。
• ② 错误。$\sigma$ 越大，最高点 $\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ 越低，曲线越矮胖。
• ③ 错误。连续型随机变量取单个值的概率是 0，$P(X = \mu) = 0$。
• ④ 错误。总面积永远是 1。
• ⑤ 正确。曲线关于 $x = \mu$ 对称，总面积 1 被对称轴平分，左边是 0.5。

所以正确的是①⑤。

常用推论

• $P(X \le \mu) = P(X \ge \mu) = 0.5$。由对称性和总面积为 1 得到。
• $P(X = a) = 0$，因此 $P(X \le a) = P(X < a)$，$P(a \le X \le b) = P(a < X < b)$。端点不影响概率。
• 正态曲线的最高点是 $\left(\mu, \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\right)$；比较两条曲线的峰的高低，就是比较 $\sigma$ 的大小（峰越高 $\sigma$ 越小）。推导见本节“证明”性质 3。
• 若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $E(aX + b) = a\mu + b$，$D(aX + b) = a^2\sigma^2$。由第 36 章均值和方差的性质直接得到（这两条性质对连续型随机变量同样成立）。

易错点

• 错在哪：$X \sim N(2, 9)$，写 $\sigma = 9$。 为什么错：$N(\mu, \sigma^2)$ 的第二个参数是方差 $\sigma^2$。 正确做法：$\sigma^2 = 9$，$\sigma = 3$。读题时先把 $\sigma$ 算出来写在旁边。
• 错在哪：认为 $\sigma$ 越大曲线越高。 为什么错：$\sigma$ 是标准差，越大表示越分散。总面积固定为 1，分散开了，中间必然变低。 正确做法：记”$\sigma$ 小，瘦高集中；$\sigma$ 大，矮胖分散”。
• 错在哪：把纵坐标 $f(\mu)$ 当成 $P(X = \mu)$。 为什么错：连续型随机变量的概率是面积，一条竖线没有宽度，面积是 0。 正确做法：$P(X = \mu) = 0$；要求概率就找曲线下对应的那一块面积。

直观理解

把 $\mu$ 想成“钟”放在哪里，$\sigma$ 想成“钟”的胖瘦。一堆沙子（总量固定为 1）堆成钟形：$\mu$ 决定沙堆在哪，$\sigma$ 小就堆得又高又尖，$\sigma$ 大就摊得又低又平，沙子总量不变。

为什么到处都能见到正态分布：一个量如果是很多个微小的、互不影响的随机因素加在一起的结果，它就近似服从正态分布。二项分布就是最简单的例子：$B(20, 0.5)$ 是 20 次独立试验“成功次数”的和，它的分布列画成柱形，轮廓已经和均值 10、方差 5 的正态曲线几乎重合。

严格的说法是大学概率论里的中心极限定理。

关联知识点

• 前置：第 20 章频率分布直方图。组距越来越小时，直方图上方的折线趋向一条光滑曲线，这就是密度曲线的来历；面积表示频率的想法也从那里来。
• 前置：第 20 章标准差。$\sigma$ 的意义就是标准差，衡量数据的离散程度。
• 前置：第 6 章函数的对称性。$f(\mu + t) = f(\mu - t)$ 说明图像关于 $x = \mu$ 对称。
• 前置：第 8 章指数函数。$e^u > 0$ 和 $e^u$ 单调递增，是证明曲线在 $x$ 轴上方、在 $x = \mu$ 处最高的依据。
• 前置：第 12 章 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 的图像变换。$\sigma$、$\mu$ 的作用就是同样的伸缩和平移。
• 前置：第 36 章均值和方差。$E(aX + b)$、$D(aX + b)$ 的公式在这里照用；二项分布在 $n$ 较大时接近正态分布。
• 后续：37.3 正态分布的概率计算，用的就是对称性和总面积为 1。

37.3 正态分布的概率计算

说明

概率就是面积：$X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 时，$P(a \le X \le b)$ 等于正态曲线在 $[a, b]$ 上方的面积。高中不直接算这个面积，而是用两种办法：

一、利用对称性（由 37.2 节的性质 2 和性质 4 得到）：

• $P(X \le \mu) = P(X \ge \mu) = 0.5$；
• 对任意 $a > 0$，$P(X \le \mu - a) = P(X \ge \mu + a)$；
• $P(\mu - a \le X \le \mu) = P(\mu \le X \le \mu + a)$；
• 对立事件：$P(X > a) = 1 - P(X \le a)$。

二、三个特殊区间的概率：

区间	概率（近似值）
$[\mu - \sigma, \mu + \sigma]$	$P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) \approx 0.6827$
$[\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma]$	$P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) \approx 0.9545$
$[\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]$	$P(\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma) \approx 0.9973$

这三个数对所有的 $\mu$、$\sigma$ 都一样，考试一般在题目里给出。

$3\sigma$ 原则：$X$ 落在 $[\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]$ 之外的概率只有约 $0.0027$。在一次试验中，这样小概率的事件几乎不会发生。所以实际应用中，通常认为服从正态分布的 $X$ 只在 $[\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]$ 内取值；如果一次观测就落在这个区间之外，就有理由认为情况出现了异常。

求概率的一般步骤：

使用场景

• 题目给出某个区间的概率（没给 $\sigma$），求另一个区间的概率：画图，把已知区间关于 $\mu$ 翻到另一侧，再用对立事件。
• 题目给出”$P(X < a) = P(X > b)$“之类的等式，求参数：两个端点关于 $\mu$ 对称，$a + b = 2\mu$。
• 题目给出 $\mu$、$\sigma$，所求区间的端点恰好是 $\mu \pm k\sigma$：用 0.6827、0.9545、0.9973，配合对称性拆成两半。
• 实际问题中估计人数、件数：先求概率，再乘以总数。
• 质量控制、判断是否异常：看观测值是否落在 $[\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]$ 之外。
• 和二项分布结合：先用正态分布求出“每一次落在某区间”的概率 $p$，再把 $n$ 次独立观测中落在该区间的次数看成 $B(n, p)$。

注意点

• 题目给的近似值以题目为准。老教材和一些题目用 $0.6826$、$0.9544$、$0.9974$，计算时用哪组都可以，照题目给的写。
• 一侧尾巴要除以 2：$P(X > \mu + \sigma) = \dfrac{1 - 0.6827}{2} \approx 0.15865$，不是 $1 - 0.6827$。
• 区间 $[\mu - \sigma, \mu + 2\sigma]$ 两边不对称，不能直接用表里的数，要拆成 $[\mu - \sigma, \mu]$ 和 $[\mu, \mu + 2\sigma]$ 两半分别算。
• $3\sigma$ 原则说的是“几乎不可能”，不是“不可能”。在大量重复试验中，超出 $\mu \pm 3\sigma$ 的情况平均每 1000 次约出现 3 次。
• 用对称性的前提是题目说了服从正态分布。频率分布直方图形状不对称时，不能套这些结论。

证明

对称性的几条结论（高中可证）。

• 曲线关于 $x = \mu$ 对称，所以左右两半的面积相等；总面积是 1，所以各是 0.5，即 $P(X \le \mu) = P(X \ge \mu) = 0.5$。
• 区域 $\{x \le \mu - a\}$ 和 $\{x \ge \mu + a\}$ 关于直线 $x = \mu$ 互为对称图形，对称图形面积相等，所以 $P(X \le \mu - a) = P(X \ge \mu + a)$。
• 若 $P(X < a) = P(X > b)$ 且 $a \ne b$，则 $a$、$b$ 关于 $\mu$ 对称，$a + b = 2\mu$。理由：$P(X < t)$ 随 $t$ 增大而严格增大（曲线在 $x$ 轴上方，$t$ 每往右挪一点，面积都会多出一块），所以满足 $P(X < a) = P(X > b) = P(X < 2\mu - b)$ 的 $a$ 只有一个，就是 $a = 2\mu - b$。（关键一步：先用对称性把右尾 $P(X > b)$ 翻成左尾 $P(X < 2\mu - b)$，两边都是左尾才能比较端点。）

三个数为什么和 $\mu$、$\sigma$ 无关（高中可证）。 由 37.2 节“证明”中的 $f(x) = \dfrac{1}{\sigma}\varphi\!\left(\dfrac{x - \mu}{\sigma}\right)$，$N(\mu, \sigma^2)$ 的曲线是标准正态曲线横向伸缩 $\sigma$ 倍、纵向伸缩 $\dfrac{1}{\sigma}$ 倍再平移得到的。区间 $[\mu - k\sigma, \mu + k\sigma]$ 正好对应标准正态的 $[-k, k]$，这块面积也是横乘 $\sigma$、纵除以 $\sigma$ 得到的，面积不变。所以

$$P(\mu - k\sigma \le X \le \mu + k\sigma) = P(-k \le Z \le k), \quad Z \sim N(0, 1),$$

与 $\mu$、$\sigma$ 无关（关键一步：区间的端点也用 $\sigma$ 来量，伸缩时区间和曲线一起变，面积的比例不变）。

三个数值本身（高中能懂的说明）。 $0.6827$、$0.9545$、$0.9973$ 是标准正态曲线在 $[-1, 1]$、$[-2, 2]$、$[-3, 3]$ 上的面积。高中可以像 37.2 节那样用很多小矩形求和来近似，结果就是这三个数。严格计算要用大学微积分的定积分；数学上把它们写成误差函数 $\operatorname{erf}$ 的值：

$$P(\mu - k\sigma \le X \le \mu + k\sigma) = \operatorname{erf}\!\left(\frac{k}{\sqrt{2}}\right),$$

代入 $k = 1, 2, 3$ 得 $0.682\,689$、$0.954\,500$、$0.997\,300$，四舍五入就是表中的数。这个函数在 Python 等编程语言里可以直接调用。

例题

例 1　（场景：已知一个区间的概率，求另一个区间）设 $X \sim N(2, \sigma^2)$，$P(X < 4) = 0.8$，求 $P(0 < X < 2)$。

解：$\mu = 2$。

1. 由对立事件，$P(X \ge 4) = 1 - 0.8 = 0.2$。
2. $0$ 和 $4$ 关于 $x = 2$ 对称，所以 $P(X \le 0) = P(X \ge 4) = 0.2$。
3. $P(0 < X < 2) = P(X < 2) - P(X \le 0) = 0.5 - 0.2 = 0.3$。

另一种解法：先求中间对称的一段，再取一半。$P(0 < X < 4) = 1 - 0.2 - 0.2 = 0.6$，它被 $x = 2$ 平分，所以 $P(0 < X < 2) = 0.3$。两种方法本质相同；所求区间一端是 $\mu$ 时用“0.5 减尾巴”更直接，所求区间关于 $\mu$ 对称时用“1 减两条尾巴”更直接。

容易卡在：不画图，想直接从 $0.8$ 算出 $\sigma$。这道题不需要 $\sigma$，也算不出 $\sigma$。

例 2　（场景：两个概率相等，求参数）设 $X \sim N(3, \sigma^2)$，若 $P(X < 2a - 3) = P(X > a + 2)$，求 $a$。

解：一个是左尾，一个是右尾，概率相等，所以两个端点关于 $x = \mu = 3$ 对称：

$$\frac{(2a - 3) + (a + 2)}{2} = 3,$$

即 $3a - 1 = 6$，$a = \dfrac{7}{3}$。

检验：$2a - 3 = \dfrac{5}{3}$，$a + 2 = \dfrac{13}{3}$，二者的中点是 $3$，符合。

容易卡在：列成 $2a - 3 = a + 2$。“左尾等于右尾”对应的是端点关于 $\mu$ 对称，不是端点相等。

例 3　（场景：端点是 $\mu \pm k\sigma$，用三个数）设 $X \sim N(100, 10^2)$，求 $P(80 < X \le 110)$ 和 $P(X > 120)$。（参考数据：$P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) \approx 0.6827$，$P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) \approx 0.9545$。）

解：$\mu = 100$，$\sigma = 10$，所以 $80 = \mu - 2\sigma$，$110 = \mu + \sigma$，$120 = \mu + 2\sigma$。

区间 $(\mu - 2\sigma, \mu + \sigma]$ 不对称，以 $\mu$ 为界拆成两半：

$$P(80 < X \le 100) = \frac{1}{2} P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) \approx \frac{0.9545}{2}, \qquad P(100 \le X \le 110) \approx \frac{0.6827}{2}.$$

所以 $P(80 < X \le 110) \approx \dfrac{0.9545 + 0.6827}{2} = 0.8186$。

$P(X > 120) = P(X > \mu + 2\sigma) = \dfrac{1 - 0.9545}{2} = 0.02275$。

另一种解法：用“1 减两条尾巴”。左尾 $P(X \le 80) = \dfrac{1 - 0.9545}{2} = 0.02275$，右尾 $P(X > 110) = \dfrac{1 - 0.6827}{2} = 0.15865$，所以 $P(80 < X \le 110) = 1 - 0.02275 - 0.15865 = 0.8186$。两种方法结果一样；所求区间包含 $\mu$ 时“拆两半”步骤少，所求区间在 $\mu$ 一侧（如 $P(110 < X \le 120)$）时用“大尾巴减小尾巴”更方便。

容易卡在：把 $0.9545$ 和 $0.6827$ 直接相加或相减。两个区间都关于 $\mu$ 对称，各取一半才拼得成 $(\mu - 2\sigma, \mu + \sigma]$。

例 4　（场景：估计人数）某校 1000 名学生的一次数学考试成绩 $X$（单位：分）近似服从 $N(90, 15^2)$。估计成绩在 $[75, 105]$ 内的人数和成绩不低于 120 分的人数。（参考数据同例 3。）

解：$\mu = 90$，$\sigma = 15$。

• $[75, 105] = [\mu - \sigma, \mu + \sigma]$，$P(75 \le X \le 105) \approx 0.6827$，人数约 $1000 \times 0.6827 \approx 683$。
• $120 = \mu + 2\sigma$，$P(X \ge 120) = \dfrac{1 - 0.9545}{2} = 0.02275$，人数约 $1000 \times 0.02275 \approx 23$。

容易卡在：人数不是整数时怎么写。题目问“估计”，四舍五入到整数即可。

例 5　（场景：判断异常）某车床生产的零件直径 $X$（单位：mm）服从 $N(10, 0.02^2)$。质检员依次抽测 8 个零件，直径为

$$9.99,\ 10.01,\ 10.02,\ 9.97,\ 10.00,\ 9.95,\ 10.03,\ 10.07.$$

根据 $3\sigma$ 原则，生产过程是否出现异常？

解：$\mu = 10$，$\sigma = 0.02$，$[\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma] = [9.94, 10.06]$。

前 7 个数都在 $[9.94, 10.06]$ 内，第 8 个 $10.07 > 10.06$，落在区间外。在正常生产时，一个零件直径落在区间外的概率只有约 $0.0027$，是小概率事件，一次抽测就发生了，有理由认为生产过程出现了异常，应停机检查。

容易卡在：看到 $9.95$ 离 10 比较远也判为异常。它在 $[9.94, 10.06]$ 内，按 $3\sigma$ 原则属于正常波动。

例 6　（场景：和二项分布结合）接例 5，若生产正常，每个零件的直径是否落在 $[\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma]$ 内相互独立。某天随机抽取 10 个零件，记直径落在 $[\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma]$ 之外的零件个数为 $Y$。求 $E(Y)$ 和 $P(Y \ge 1)$（精确到 0.001，参考数据：$0.9545^{10} \approx 0.6277$）。

解：一个零件的直径落在 $[\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma]$ 之外的概率

$$p = 1 - 0.9545 = 0.0455.$$

10 个零件相互独立，每个“落在外面”的概率都是 $p$，所以 $Y \sim B(10, 0.0455)$（第 36 章）。

• $E(Y) = np = 10 \times 0.0455 = 0.455$。
• $P(Y \ge 1) = 1 - P(Y = 0) = 1 - 0.9545^{10} \approx 1 - 0.6277 = 0.372$。

容易卡在：分不清这道题里的两个分布。直径 $X$ 服从正态分布，只用来求一个零件的概率 $p$；“10 个里有几个”的个数 $Y$ 服从二项分布。

常用推论

• $P(X > \mu + k\sigma) = P(X < \mu - k\sigma) = \dfrac{1 - p_k}{2}$，其中 $p_1 \approx 0.6827$，$p_2 \approx 0.9545$，$p_3 \approx 0.9973$。由对称性和对立事件得到。具体为：$P(X > \mu + \sigma) \approx 0.15865$，$P(X > \mu + 2\sigma) \approx 0.02275$，$P(X > \mu + 3\sigma) \approx 0.00135$。
• $P(\mu - m\sigma \le X \le \mu + n\sigma) = \dfrac{p_m + p_n}{2}$（$m, n \in \{1, 2, 3\}$）。以 $\mu$ 为界拆两半，见例 3。
• $P(\mu + m\sigma \le X \le \mu + n\sigma) = \dfrac{p_n - p_m}{2}$（$m < n$）。大的一半减小的一半。
• 若 $P(X < a) = P(X > b)$（$a \ne b$），则 $\mu = \dfrac{a + b}{2}$。推导见本节“证明”。
• 若 $P(X < a) = p$，则 $P(X > 2\mu - a) = p$，$P(a < X < \mu) = 0.5 - p$（$a < \mu$）。例 1 就是这条。

易错点

• 错在哪：$P(X > \mu + \sigma) = 1 - 0.6827 = 0.3173$。 为什么错：$1 - 0.6827$ 是左右两条尾巴的和，题目只要右边一条。 正确做法：$P(X > \mu + \sigma) = \dfrac{1 - 0.6827}{2} \approx 0.15865$。求一侧尾巴，先想“两侧加起来是多少”，再除以 2。
• 错在哪：$P(\mu - \sigma < X < \mu + 2\sigma)$ 算成 $0.9545 - 0.6827$ 或 $0.6827 + 0.9545$。 为什么错：表里的三个数都是关于 $\mu$ 对称的区间，所求区间两边不对称，不能整块加减。 正确做法：以 $\mu$ 为界拆开，左半 $\dfrac{0.6827}{2}$，右半 $\dfrac{0.9545}{2}$，相加得 $0.8186$。
• 错在哪：$P(X < 2a - 3) = P(X > a + 2)$ 列成 $2a - 3 = a + 2$。 为什么错：左尾和右尾相等，说明两个端点关于 $\mu$ 对称，不是两个端点重合。端点重合时 $P(X < c) = P(X > c)$ 只在 $c = \mu$ 时成立。 正确做法：列 $(2a - 3) + (a + 2) = 2\mu$。
• 错在哪：认为“超出 $\mu \pm 3\sigma$ 的值不可能出现”。 为什么错：概率约 $0.0027$，不是 0。大量重复时一定会出现。 正确做法：$3\sigma$ 原则的结论是“一次试验中几乎不会发生，一旦发生就怀疑异常”，是一种判断依据，不是定理。

直观理解

求正态分布的概率，就是在钟形曲线下“切蛋糕”：整块蛋糕是 1，对称轴把它切成两个 0.5，离中心 $1\sigma$、$2\sigma$、$3\sigma$ 的三刀切出的中间部分分别约占 68%、95%、99.7%。记法：68—95—99.7。

所以：一个班的成绩如果服从正态分布，大约三分之二的人在平均分上下一个标准差之内，只有约 2.3% 的人高于平均分两个标准差以上。超出三个标准差的，一千个人里只有约三个（两侧合计）。

关联知识点

• 前置：37.2 正态曲线及其性质。对称性和总面积为 1 是本节所有计算的依据。
• 前置：第 21 章概率的基本性质。对立事件 $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$、互斥事件概率相加，是拆分区间的依据。
• 前置：第 20 章用样本估计总体。由概率估计人数，和用频率估计总体是同一个思路。
• 常一起考：第 36 章二项分布。正态分布求出每次的概率 $p$，二项分布求 $n$ 次中的次数，见例 6。
• 常一起考：第 20 章频率分布直方图。常见题型是先由直方图求样本平均数和标准差，用它们作为 $\mu$、$\sigma$ 的估计，再用正态分布求概率。
• 后续：第 38 章独立性检验。“小概率事件在一次试验中几乎不发生，发生了就怀疑原假设”是 $3\sigma$ 原则和独立性检验共同的推理方式。

37.4 知识点之间的关系

本章两个知识点是“先认图，再算面积”：37.2 讲正态曲线长什么样、$\mu$ 和 $\sigma$ 管什么；37.3 把概率看成面积，用曲线的对称性和三个特殊区间的面积来求概率，再用于估计人数、判断异常。

往前看，正态曲线可以看作两条线索的汇合：频率分布直方图的组距越来越小（第 20 章），二项分布的试验次数越来越多（第 36 章），轮廓都趋向钟形。往后看，$3\sigma$ 原则里“小概率事件一次不发生”的推理方式，在第 38 章独立性检验中再次出现。

考试里的典型组合是：先由频率分布直方图求出平均数和标准差，作为 $\mu$、$\sigma$ 的估计；再用 $3\sigma$ 区间求某一段的概率；最后把”$n$ 个人中落在这一段的人数“看成二项分布，求分布列或均值。三步分别用到第 20 章、本章和第 36 章。

37.5 自测

1. 随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{8\pi}}\, e^{-\frac{(x - 3)^2}{8}}$，求 $\mu$ 和 $\sigma$。
2. 设 $X \sim N(1, \sigma_1^2)$，$Y \sim N(1, \sigma_2^2)$，$\sigma_1 < \sigma_2$。哪条正态曲线的最高点更高？$P(X \le 1)$ 等于多少？
3. 设 $X \sim N(1, \sigma^2)$，$P(X > 3) = 0.15$，求 $P(-1 < X < 1)$。
4. 设 $X \sim N(2, \sigma^2)$，若 $P(X < a) = P(X > a + 2)$，求 $a$。
5. 设 $X \sim N(50, 5^2)$，求 $P(40 < X \le 55)$。（参考数据：$P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) \approx 0.6827$，$P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) \approx 0.9545$。）
6. 某地 2000 名成年男性的身高（单位：cm）近似服从 $N(170, 6^2)$，估计身高超过 182 cm 的人数。（参考数据同第 5 题。）

答案：1. $\mu = 3$，$\sigma = 2$；2. $X$ 的曲线更高，$P(X \le 1) = 0.5$；3. $0.35$；4. $a = 1$；5. $0.8186$；6. 约 46 人。

37.6 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，选择性必修第三册“随机变量及其分布”一章有正态分布的同步课程视频和教材电子版，可以对照课本的引入和例题。
• GeoGebra 概率计算器：输入 μ 和 σ 就能画出正态曲线并涂出任意区间的面积，拖动参数能直接看到 μ 平移曲线、σ 改变胖瘦，也可以核对 3σ 区间的概率。
• Khan Academy · Normal distributions：正态分布和 68–95–99.7 法则的英文视频讲解，配练习题。
• 维基百科 · 正态分布：正态分布的中文条目，有密度函数、性质、3σ 区间的数值和中心极限定理的介绍，想了解总面积为 1 的严格证明时可以从这里往下查。