第 24 章 · 导数的概念与运算

项目	内容
课标主题	选择性必修 · 函数 · 一元函数的导数及其应用
人教 A 版	选择性必修第二册 第五章 5.1 导数的概念及其意义、5.2 导数的运算
考试地位	必考。切线方程几乎每年都有，多为选择题、填空题，或大题的第一问；求导是第 25 章所有导数大题的第一步，算错一个符号整题皆错
前置知识	第 5 章函数的概念；第 7–13 章幂、指、对、三角函数；直线的斜率和点斜式（初中一次函数够用，系统讲解见第 28 章）

导数回答的是“函数在某一点变化得有多快”。这一章本身不难，它是第 25 章的工具：判断单调性、求极值、证明不等式，第一步都是求导。丢分集中在三处：切线题分不清“在点”和“过点”；求导公式记混（$(\cos x)'$ 的负号、$(a^x)'$ 的 $\ln a$）；复合函数漏乘内层的导数，比如把 $(e^{2x})'$ 写成 $e^{2x}$。

24.1 知识点一览

知识点	一句话	考试中
24.2 平均变化率与瞬时变化率	平均变化率是 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$，即割线斜率；$\Delta x$ 趋于 0 时它趋近的值是瞬时变化率	偶考，多是物理背景的小题
24.3 导数的定义与几何意义	$f'(x_0)$ 是瞬时变化率，几何上是切线斜率；“在点”给切点，“过点”要设切点	必考，切线方程是高频考点
24.4 基本初等函数的导数	常数、幂、正弦、余弦、指数、对数八个公式	必考，所有求导的基础
24.5 导数的运算法则	和差逐项求；积“前导后不导加前不导后导”；商的分子是“上导下不导减上不导下导”	必考
24.6 简单复合函数的导数	$[f(ax+b)]' = a f'(ax+b)$，外层求导后乘内层的导数	必考，常藏在大题的函数里

24.2 平均变化率与瞬时变化率

说明

设函数 $y = f(x)$，自变量从 $x_1$ 变到 $x_2$。记

$$\Delta x = x_2 - x_1, \quad \Delta y = f(x_2) - f(x_1),$$

$\Delta x$ 叫自变量的改变量（增量），$\Delta y$ 叫函数值的改变量。$\Delta x$ 可正可负，但不能为 0。

平均变化率：

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}.$$

后一种写法把起点记作 $x_0$，终点记作 $x_0 + \Delta x$，求导数时用的都是这种写法。

• 几何上，平均变化率是曲线上两点 $P(x_1, f(x_1))$、$Q(x_2, f(x_2))$ 连线（割线）的斜率。
• 物理上，若 $s = s(t)$ 是位移，平均变化率 $\dfrac{\Delta s}{\Delta t}$ 就是这段时间内的平均速度。

瞬时变化率：让 $\Delta x$ 无限趋近于 0，如果平均变化率 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 无限趋近于一个确定的常数，这个常数就叫函数在 $x_0$ 处的瞬时变化率，记作

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}.$$

“$\lim$“读作”极限”，$\Delta x \to 0$ 读作”$\Delta x$ 趋于 0”。物理上，位移的瞬时变化率就是瞬时速度。

使用场景

• 求某个区间上的平均变化率、平均速度、平均增长率：题目给出两个自变量的值，问“平均”。
• 求某一时刻的瞬时速度、某一点的瞬时变化率（用定义）：题目说”$t = 2$ 时的速度”“在 $x = x_0$ 处的变化率”。
• 比较几个区间上平均变化率的大小，判断函数增长的快慢：题目给图像或问“哪一段增长得快”。

注意点

• $\Delta x$ 是“终点减起点”，$\Delta y$ 也必须是“终点的函数值减起点的函数值”，两个减法的顺序要一致。
• $\Delta y$ 是 $f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$，不是 $f(\Delta x)$。
• 求瞬时变化率时，不能直接把 $\Delta x = 0$ 代进 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$，那样得到 $\dfrac{0}{0}$，没有意义。要先化简，约掉分母里的 $\Delta x$，再让 $\Delta x \to 0$。
• 平均变化率只看两个端点，不管中间怎么走。区间上平均变化率为 0，不代表函数在区间内是常数。

证明

本知识点是两个定义，没有需要证明的定理。只有一处需要说明：平均变化率等于割线斜率。

过 $P(x_1, y_1)$、$Q(x_2, y_2)$（$x_1 \ne x_2$）的直线斜率为 $k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$（第 28 章；初中一次函数里叫“竖直方向的变化除以水平方向的变化”）。把 $y_1 = f(x_1)$、$y_2 = f(x_2)$ 代入，正好是 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$。

“无限趋近”在高中是直观描述，不给严格定义。严格的极限定义（$\varepsilon$-$\delta$ 语言）是大学数学分析的内容。

例题

例 1　（场景：求平均变化率）已知 $f(x) = x^2 + 1$，求 $f(x)$ 从 $x = 1$ 到 $x = 1 + \Delta x$ 的平均变化率，并求 $\Delta x = 0.1$ 时的值。

解：

$$\Delta y = f(1 + \Delta x) - f(1) = (1 + \Delta x)^2 + 1 - 2 = 2\Delta x + (\Delta x)^2,$$ $$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = 2 + \Delta x.$$

$\Delta x = 0.1$ 时，平均变化率为 $2.1$。

例 2　（场景：用定义求瞬时速度）一个小球自由下落，下落的距离 $s$（单位：m）与时间 $t$（单位：s）的关系近似为 $s(t) = 5t^2$。求 $t = 2$ 时的瞬时速度。

解：取时间改变量 $\Delta t$：

$$\Delta s = s(2 + \Delta t) - s(2) = 5(2 + \Delta t)^2 - 20 = 20\Delta t + 5(\Delta t)^2,$$ $$\frac{\Delta s}{\Delta t} = 20 + 5\Delta t.$$

当 $\Delta t \to 0$ 时，$20 + 5\Delta t \to 20$。所以 $t = 2$ 时的瞬时速度是 $20$ m/s。

容易卡在：直接把 $\Delta t = 0$ 代进 $\dfrac{\Delta s}{\Delta t}$ 得到 $\dfrac{0}{0}$。要先约掉 $\Delta t$，化成 $20 + 5\Delta t$，再让 $\Delta t \to 0$。

例 3　（场景：比较增长快慢）比较 $y = \sqrt{x}$ 在区间 $[0, 1]$ 和 $[1, 4]$ 上的平均变化率，说明它的增长是越来越快还是越来越慢。

解：

• $[0, 1]$ 上：$\dfrac{\sqrt{1} - \sqrt{0}}{1 - 0} = 1$；
• $[1, 4]$ 上：$\dfrac{\sqrt{4} - \sqrt{1}}{4 - 1} = \dfrac{1}{3}$。

$1 > \dfrac{1}{3}$，后一段的平均变化率小，说明 $y = \sqrt{x}$ 越往右增长得越慢。

另一种解法：画出 $y = \sqrt{x}$ 的图像，连出两段的割线。前一段割线陡，后一段割线平，一眼就能看出哪个大。选择题、“看图比较快慢”的题用图像最快；需要具体数值时才逐个计算。

常用推论

• 一次函数 $y = kx + b$ 在任何区间上的平均变化率都是 $k$：$\Delta y = k\Delta x$，相除即得。
• 二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 在 $[x_1, x_2]$ 上的平均变化率等于 $a(x_1 + x_2) + b$，也就是区间中点处的导数 $f'\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}\right)$。推导：$\dfrac{a(x_2^2 - x_1^2) + b(x_2 - x_1)}{x_2 - x_1} = a(x_1 + x_2) + b$；而 $f'(x) = 2ax + b$（24.5 节），在中点处的值正好相等。

易错点

• 错在哪：求 $f(x) = x^2$ 在 $x = 1$ 附近的平均变化率时，把 $\Delta y$ 写成 $f(\Delta x) = (\Delta x)^2$。 为什么错：$\Delta y$ 是两个函数值之差，$f(1 + \Delta x) - f(1)$，不是“把增量代进函数”。 正确做法：照定义写出 $f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$，再展开化简。
• 错在哪：分子写成 $f(x_1) - f(x_2)$，分母写成 $x_2 - x_1$，结果差一个负号。 为什么错：两个减法顺序不一致。 正确做法：分子分母都写“后减前”，或者都写“前减后”。
• 错在哪：认为平均变化率大，函数在区间里每一处都增长得快。 为什么错：平均变化率只看两个端点，中间可以先降后升。 正确做法：要知道每一点附近的快慢，看瞬时变化率（导数）。

直观理解

开车从 A 地到 B 地，路程除以时间是平均速度，对应平均变化率；某一瞬间速度表上的读数是瞬时速度，对应瞬时变化率。把时间段取得越来越短，平均速度就越来越接近那一瞬间的速度表读数。

一句话：平均变化率看割线，瞬时变化率看切线。

关联知识点

• 前置：第 5 章函数的概念，$f(x_0 + \Delta x)$ 就是把 $x_0 + \Delta x$ 代入函数。
• 前置：第 28 章直线的斜率，平均变化率就是割线的斜率。
• 后续：24.3 导数的定义，瞬时变化率就是导数。
• 后续：第 10 章函数模型的增长快慢，可以用平均变化率比较。

24.3 导数的定义与几何意义

说明

导数：函数 $y = f(x)$ 在 $x = x_0$ 处的瞬时变化率，叫做 $f(x)$ 在 $x = x_0$ 处的导数，记作 $f'(x_0)$ 或 $y'|_{x = x_0}$：

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}.$$

令 $x = x_0 + \Delta x$，得到等价写法：

$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.$$

这个极限存在时，称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导。

导函数：$f(x)$ 在某区间内每一点都可导，每个 $x$ 对应一个导数 $f'(x)$，这就得到一个新函数，叫做 $f(x)$ 的导函数，简称导数，记作 $f'(x)$ 或 $y'$。$f'(x_0)$ 是一个数，就是导函数在 $x_0$ 处的函数值。

用定义求导数的三步：

几何意义：$f'(x_0)$ 是曲线 $y = f(x)$ 在点 $P(x_0, f(x_0))$ 处的切线的斜率。

曲线的切线这样定义：在曲线上取 $P$ 和另一点 $Q$，作割线 $PQ$；让 $Q$ 沿曲线无限靠近 $P$，割线 $PQ$ 无限趋近的那个确定位置的直线，就是曲线在点 $P$ 处的切线。

切线方程：曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线方程为

$$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0).$$

“在点”与“过点”：

• “曲线在点 $P$ 处的切线”：$P$ 一定在曲线上，而且 $P$ 就是切点。这样的切线只有一条。
• “曲线过点 $P$ 的切线”：$P$ 只是切线经过的点，可能是切点，也可能不是；$P$ 甚至可以不在曲线上。这样的切线可能有一条、几条，也可能没有。

使用场景

• 用定义求函数在某点的导数：题目明确要求“用导数的定义”。
• 已知 $f'(x_0)$，求含 $f(x_0 + k\Delta x)$ 的极限：题目给出 $\lim$ 式子，分子是两个函数值之差。
• 求曲线在某点处的切线方程：题目说“在点 $P$ 处”或“在 $x = x_0$ 处”。
• 求曲线过某点的切线方程：题目说“过点 $P$”，或 $P$ 不在曲线上。
• 已知切线的条件求参数：题目给出切线方程、切线斜率，或切线与某直线平行、垂直。

注意点

• 导数是一个极限，不是 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 本身。$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 里 $\Delta x \ne 0$，取极限之后才是导数。
• 极限式中，分子里自变量的改变量必须和分母一致：$\dfrac{f(x_0 + 2h) - f(x_0)}{h}$ 的分子改变量是 $2h$，分母是 $h$，所以它的极限是 $2f'(x_0)$，不是 $f'(x_0)$。
• 并非所有函数在每一点都可导。$y = |x|$ 在 $x = 0$ 处，从右边算 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = 1$，从左边算是 $-1$，两边趋近的值不同，没有导数；图像在这里是一个尖角，没有切线。

• 切线的斜率存在，要求 $f'(x_0)$ 存在。切线也可能是竖直的（斜率不存在），比如 $y = \sqrt[3]{x}$ 在原点处的切线是 $y$ 轴，高中题目很少涉及。
• 切线和曲线可以有不止一个公共点。$y = x^3$ 在 $(1, 1)$ 处的切线 $y = 3x - 2$，和曲线还交于 $(-2, -8)$。初中“圆的切线只有一个公共点”的说法不能搬到一般曲线上。

证明

结论 1：几何意义。$f'(x_0)$ 是曲线在 $(x_0, f(x_0))$ 处切线的斜率。

取曲线上两点 $P(x_0, f(x_0))$、$Q(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x))$。由 24.2 节，割线 $PQ$ 的斜率是

$$k_{PQ} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}.$$

$Q$ 沿曲线趋近 $P$，就是 $\Delta x \to 0$。按切线的定义，割线趋近于切线，割线的斜率就趋近于切线的斜率（关键一步：切线是用“割线的极限位置”定义的，所以切线斜率就是割线斜率的极限，这一步由定义直接给出，不需要另外证明）。而 $k_{PQ}$ 的极限正是 $f'(x_0)$，所以切线斜率 $k = f'(x_0)$。

结论 2：切线方程。 切线过点 $(x_0, f(x_0))$，斜率为 $f'(x_0)$，由直线的点斜式立即得到 $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$。

结论 3：$y = |x|$ 在 $x = 0$ 处不可导。

$\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{|0 + \Delta x| - |0|}{\Delta x} = \dfrac{|\Delta x|}{\Delta x}$。$\Delta x > 0$ 时它等于 1，$\Delta x < 0$ 时等于 $-1$。$\Delta x$ 从两边趋于 0 时，比值趋近的值不同，所以不趋近于同一个确定的常数，极限不存在。

这里用到的“极限”“左右两侧趋近”在高中是直观说法，严格的极限定义和左右极限要到大学数学分析里学。

例题

例 1　（场景：用定义求导数）用导数的定义求 $f(x) = x^2 + 3x$ 在 $x = 1$ 处的导数。

解：按三步走。

1. 求增量：$\Delta y = f(1 + \Delta x) - f(1) = (1 + \Delta x)^2 + 3(1 + \Delta x) - 4 = 5\Delta x + (\Delta x)^2$。
2. 算比值：$\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = 5 + \Delta x$。
3. 取极限：$\Delta x \to 0$ 时，$5 + \Delta x \to 5$。

所以 $f'(1) = 5$。

例 2　（场景：已知导数求极限）已知 $f'(x_0) = 3$，求：(1) $\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + 2\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$；(2) $\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 - h) - f(x_0)}{h}$。

解：思路是把分母凑成和分子里自变量的改变量一样。

(1) 分子的改变量是 $2\Delta x$。令 $t = 2\Delta x$，$\Delta x \to 0$ 时 $t \to 0$：

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + 2\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = 2 \lim_{t \to 0} \frac{f(x_0 + t) - f(x_0)}{t} = 2f'(x_0) = 6.$$

(2) 分子的改变量是 $-h$。令 $t = -h$：

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 - h) - f(x_0)}{h} = -\lim_{t \to 0} \frac{f(x_0 + t) - f(x_0)}{t} = -f'(x_0) = -3.$$

容易卡在：看到分子有 $f(x_0 + \dots) - f(x_0)$ 就直接写 $f'(x_0)$，没有检查分母和分子的改变量是否一致。

另一种解法：特殊值法。题目只给了 $f'(x_0) = 3$，任何满足这个条件的函数算出来的极限都一样，不妨取 $f(x) = 3x$。

(1) $\dfrac{3(x_0 + 2\Delta x) - 3x_0}{\Delta x} = 6$，极限为 6；(2) $\dfrac{3(x_0 - h) - 3x_0}{h} = -3$，极限为 $-3$。

选择题、填空题用特殊值最快，几秒出答案；解答题或需要说明理由时，用换元凑定义的方法。

例 3　（场景：求在某点处的切线）求曲线 $y = x^3 - 2x$ 在点 $(1, -1)$ 处的切线方程。

解：$(1, -1)$ 在曲线上（$1 - 2 = -1$），题目说“在点”，它就是切点。

$y' = 3x^2 - 2$（求导公式见 24.4、24.5 节），切线斜率 $k = y'|_{x = 1} = 3 - 2 = 1$。

切线方程：$y - (-1) = 1 \cdot (x - 1)$，即 $y = x - 2$。

例 4　（场景：求过某点的切线）求过点 $P(1, 1)$ 且与曲线 $y = x^3$ 相切的直线方程。

解：题目说“过点”，$P$ 不一定是切点，设切点为 $(t, t^3)$。

$y' = 3x^2$，切线斜率为 $3t^2$，切线方程为

$$y - t^3 = 3t^2(x - t).$$

切线过 $P(1, 1)$，代入：$1 - t^3 = 3t^2(1 - t)$，整理得

$$2t^3 - 3t^2 + 1 = 0.$$

$t = 1$ 显然是根，分解得 $(t - 1)^2(2t + 1) = 0$，所以 $t = 1$ 或 $t = -\dfrac{1}{2}$。

• $t = 1$：切点 $(1, 1)$，斜率 3，切线 $y = 3x - 2$。
• $t = -\dfrac{1}{2}$：切点 $\left(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{8}\right)$，斜率 $\dfrac{3}{4}$，切线 $y + \dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{4}\left(x + \dfrac{1}{2}\right)$，即 $y = \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{4}$。

所以所求直线为 $y = 3x - 2$ 或 $3x - 4y + 1 = 0$。

容易卡在：$P$ 在曲线上，就以为它是切点，只求出 $y = 3x - 2$ 一条。“过点”的题一律设切点。

例 5　（场景：已知切线求参数）已知曲线 $f(x) = ax^3 + bx$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y = 2x - 4$，求 $a$、$b$。

解：切点同时满足两个条件：

1. 切点在切线上：$f(1) = 2 \times 1 - 4 = -2$，即 $a + b = -2$。
2. 切线斜率等于导数：$f'(x) = 3ax^2 + b$，$f'(1) = 3a + b = 2$。

两式相减得 $2a = 4$，$a = 2$，$b = -4$。

容易卡在：只用了“斜率等于导数”一个条件，方程不够。切点处有两条信息：切点的纵坐标（在曲线上也在切线上），切线的斜率。

常用推论

• $\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + mh) - f(x_0 + nh)}{h} = (m - n) f'(x_0)$（$m \ne n$）。推导：分子加一项减一项 $f(x_0)$，拆成两个极限，分别按例 2 的方法凑，得 $m f'(x_0) - n f'(x_0)$。最常用的是 $\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{2h} = f'(x_0)$。
• 切线与直线 $y = kx + b$ 平行，则 $f'(x_0) = k$；与它垂直（$k \ne 0$），则 $f'(x_0) = -\dfrac{1}{k}$。由两直线平行时斜率相等、垂直时斜率之积为 $-1$（第 28 章）得到。
• 切线的倾斜角 $\alpha$ 满足 $\tan \alpha = f'(x_0)$。$f'(x_0) > 0$ 时倾斜角是锐角，$f'(x_0) < 0$ 时是钝角，$f'(x_0) = 0$ 时切线水平。
• 已知切线的题，切点 $(x_0, y_0)$ 满足三个方程：$y_0 = f(x_0)$（在曲线上）、$y_0$ 满足切线方程（在切线上）、$k = f'(x_0)$（斜率）。未知数有几个，就从中挑几个用。

易错点

• 错在哪：求“过点 $P$ 的切线”，直接把 $P$ 当切点。 为什么错：过点 $P$ 的切线，切点可以在别处。例 4 中 $P(1, 1)$ 在曲线上，但还有一条以 $\left(-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{8}\right)$ 为切点的切线经过它。 正确做法：“过点”一律设切点 $(t, f(t))$，写出切线后把 $P$ 代入解 $t$。
• 错在哪：$\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + 2\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = f'(x_0)$。 为什么错：导数定义要求分子的改变量和分母相同，这里分子的改变量是 $2\Delta x$。 正确做法：把分母凑成 $2\Delta x$，结果是 $2f'(x_0)$。
• 错在哪：认为与曲线只有一个公共点的直线就是切线，或者认为切线与曲线只有一个公共点。 为什么错：直线 $x = 1$ 与 $y = x^2$ 只有一个公共点，但它不是切线；$y = x^3$ 在 $(1, 1)$ 处的切线 $y = 3x - 2$ 与曲线还交于 $(-2, -8)$。 正确做法：判断切线只看定义：过切点且斜率等于该点的导数。
• 错在哪：先求 $f(x_0)$ 再求导，得到 $f'(x_0) = [f(x_0)]' = 0$。 为什么错：$f(x_0)$ 是一个常数，常数的导数当然是 0；$f'(x_0)$ 是先求导函数 $f'(x)$，再代入 $x_0$。 正确做法：先求导，后代值。

直观理解

几何意义：把曲线在一点附近不断放大，曲线看起来越来越直，最后和那一点的切线几乎重合。导数就是这条“放大后看起来的直线”的斜率，所以导数描述的是函数在一点附近“像一条什么斜率的直线”。

物理意义：位移对时间的导数是瞬时速度，速度对时间的导数是加速度。

一句话记法：导数 = 瞬时变化率 = 切线斜率。

关联知识点

• 前置：24.2 平均变化率与瞬时变化率，导数就是瞬时变化率。
• 前置：第 28 章直线的点斜式、两直线平行和垂直的条件，写切线方程要用。
• 后续：24.4–24.6 求导公式和法则，有了它们就不必每次用定义算。
• 后续：第 25 章导数的应用，导数的正负决定函数的增减。
• 常一起考：第 28、29 章直线与圆，切线与直线平行、垂直，切线与圆相切。

24.4 基本初等函数的导数

说明

原函数	导函数	条件
$f(x) = c$（常数）	$f'(x) = 0$
$f(x) = x^\alpha$	$f'(x) = \alpha x^{\alpha - 1}$	$\alpha \in \mathbf{R}$，且 $\alpha \ne 0$
$f(x) = \sin x$	$f'(x) = \cos x$
$f(x) = \cos x$	$f'(x) = -\sin x$
$f(x) = a^x$	$f'(x) = a^x \ln a$	$a > 0$，且 $a \ne 1$
$f(x) = e^x$	$f'(x) = e^x$
$f(x) = \log_a x$	$f'(x) = \dfrac{1}{x \ln a}$	$a > 0$，且 $a \ne 1$
$f(x) = \ln x$	$f'(x) = \dfrac{1}{x}$

幂函数公式最常用的几个特例：

函数	导数
$y = x$	$y' = 1$
$y = x^2$	$y' = 2x$
$y = x^3$	$y' = 3x^2$
$y = \dfrac{1}{x} = x^{-1}$	$y' = -\dfrac{1}{x^2}$
$y = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$	$y' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

$e \approx 2.71828$ 是一个无理数，叫自然常数；$\ln x$ 就是 $\log_e x$（第 9 章）。

使用场景

• 函数是根式或分式形式的幂：先化成 $x^\alpha$，再用幂函数公式。题目里出现 $\sqrt{x}$、$\sqrt[3]{x^2}$、$\dfrac{1}{x^2}$。
• 底数不是 $e$ 的指数函数和对数函数：题目里出现 $2^x$、$\log_3 x$，记得带上 $\ln a$。
• 求三角函数、指数函数、对数函数在某点处的导数或切线：题目给出具体的点。
• 判断求导结果是否正确：选择题列出四个求导式子，要逐个检查。

注意点

• 常数的导数是 0。$\ln 2$、$e^2$、$\sin\dfrac{\pi}{3}$、$\pi^2$ 都是常数，导数都是 0。
• 分清 $x^a$ 和 $a^x$：自变量在底数上是幂函数，用 $\alpha x^{\alpha - 1}$；自变量在指数上是指数函数，用 $a^x \ln a$。
• $(\cos x)' = -\sin x$ 有负号，$(\sin x)' = \cos x$ 没有。
• $(\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a}$，$\ln a$ 在分母上；$(a^x)' = a^x \ln a$，$\ln a$ 在分子上。
• 对数函数的导数公式只在定义域 $x > 0$ 上成立。

证明

课标要求能用定义推出 $c$、$x$、$x^2$、$x^3$、$\dfrac{1}{x}$、$\sqrt{x}$ 的导数；其余公式教材直接给出。下面能用高中知识推的都推一遍，推不了的给出说明。

1. 常数函数。 $\Delta y = c - c = 0$，$\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = 0$，极限为 0。

2. $y = x^2$、$y = x^3$。

$$\frac{(x + \Delta x)^2 - x^2}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = 2x + \Delta x \to 2x,$$ $$\frac{(x + \Delta x)^3 - x^3}{\Delta x} = \frac{3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3}{\Delta x} = 3x^2 + 3x\Delta x + (\Delta x)^2 \to 3x^2.$$

一般地，对正整数 $n$，用二项式定理（第 34 章）展开：

$$(x + \Delta x)^n - x^n = nx^{n-1}\Delta x + \mathrm{C}_n^2 x^{n-2}(\Delta x)^2 + \dots + (\Delta x)^n,$$

除以 $\Delta x$ 后，除第一项外每一项都还带着 $\Delta x$（关键一步：展开式里 $x^n$ 被减掉，剩下的每一项至少含一个 $\Delta x$，所以能整个除以 $\Delta x$；除完后只有第一项不含 $\Delta x$），$\Delta x \to 0$ 时它们都趋于 0，所以 $(x^n)' = nx^{n-1}$。

3. $y = \dfrac{1}{x}$。

$$\frac{\frac{1}{x + \Delta x} - \frac{1}{x}}{\Delta x} = \frac{x - (x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)\Delta x} = -\frac{1}{x(x + \Delta x)} \to -\frac{1}{x^2}.$$

4. $y = \sqrt{x}$（$x > 0$）。

$$\frac{\sqrt{x + \Delta x} - \sqrt{x}}{\Delta x} = \frac{(x + \Delta x) - x}{\Delta x(\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}} \to \frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

（关键一步：分子分母同乘 $\sqrt{x + \Delta x} + \sqrt{x}$，叫分子有理化。这样分子变成 $\Delta x$，能和分母约掉，否则一直是 $\dfrac{0}{0}$。）

指数 $\alpha$ 是一般实数时的证明要用到更多的极限知识（如 $x^\alpha = e^{\alpha \ln x}$ 和复合函数求导），教材直接给出公式。

5. $y = \sin x$。 先承认一个重要极限：

$$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1.$$

高中能懂的说明：在单位圆里，$0 < t < \dfrac{\pi}{2}$ 时，比较三角形、扇形、大三角形的面积，可得 $\sin t < t < \tan t$（第 11 章），于是 $\cos t < \dfrac{\sin t}{t} < 1$。$t \to 0$ 时 $\cos t \to 1$，夹在中间的 $\dfrac{\sin t}{t}$ 也只能趋于 1。$t < 0$ 时用 $\sin(-t) = -\sin t$ 化为正的情形。严格证明要用到大学数学分析里的夹逼准则和三角函数的严格定义。

由此还能得到 $\dfrac{\cos t - 1}{t} \to 0$：$\dfrac{\cos t - 1}{t} = \dfrac{-2\sin^2\frac{t}{2}}{t} = -\sin\dfrac{t}{2} \cdot \dfrac{\sin\frac{t}{2}}{\frac{t}{2}} \to -0 \times 1 = 0$（用了二倍角公式，第 13 章）。

现在用两角和公式展开：

$$\frac{\sin(x + \Delta x) - \sin x}{\Delta x} = \sin x \cdot \frac{\cos \Delta x - 1}{\Delta x} + \cos x \cdot \frac{\sin \Delta x}{\Delta x} \to \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x.$$

$(\cos x)' = -\sin x$ 同理，展开 $\cos(x + \Delta x) = \cos x \cos \Delta x - \sin x \sin \Delta x$ 即可。

6. $y = e^x$（高中层面的说明）。 对 $y = a^x$：

$$\frac{a^{x + \Delta x} - a^x}{\Delta x} = a^x \cdot \frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}.$$

后一个因子 $\dfrac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}$ 和 $x$ 无关，它的极限正好是 $y = a^x$ 在 $x = 0$ 处的导数，即曲线在点 $(0, 1)$ 处的切线斜率，记作 $k(a)$。于是 $(a^x)' = k(a) \cdot a^x$：指数函数的导数和它自己成正比。

用计算器取 $\Delta x = 0.001$ 算几个底数：

底数 $a$	2	2.5	2.7	2.72	2.8	3
$\dfrac{a^{0.001} - 1}{0.001}$	0.6934	0.9167	0.9937	1.0011	1.0301	1.0992

底数越大，$k(a)$ 越大；在 2.7 和 2.72 之间有一个底数使 $k(a)$ 恰好等于 1，这个底数就是 $e$。也就是说，$e$ 正是让 $y = a^x$ 在 $(0, 1)$ 处切线斜率为 1 的那个底数，所以 $(e^x)' = e^x$。

再看表里的数：$k(2) \approx 0.693 \approx \ln 2$，$k(3) \approx 1.099 \approx \ln 3$。事实上 $a^x = e^{x \ln a}$，用 24.6 节的复合函数求导得 $(a^x)' = e^{x \ln a} \cdot \ln a = a^x \ln a$，所以 $k(a) = \ln a$。以上只是数值观察和直观说明，不是证明：表里的数只说明 $k(a)$ 大概是多少，并没有证明极限 $\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}$ 一定存在，最后一步还借用了 24.6 节的法则。严格证明要先严格定义 $e = \displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ 并证明这个极限存在，再证明上面的极限存在且等于 $\ln a$，属于大学数学分析。

7. $y = \ln x$（高中层面的说明）。 $y = \ln x$ 和 $y = e^x$ 互为反函数，图像关于直线 $y = x$ 对称（第 9 章）。$y = \ln x$ 上的点 $(x_0, \ln x_0)$ 对应 $y = e^x$ 上的点 $(\ln x_0, x_0)$，后者的切线斜率是 $e^{\ln x_0} = x_0$。

关于 $y = x$ 对称，就是把横、纵坐标对调，$\Delta x$ 和 $\Delta y$ 也对调，所以斜率 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 变成它的倒数（关键一步：对称不改变“切”的关系，只是把斜率换成倒数）。所以 $y = \ln x$ 在 $x_0$ 处的切线斜率是 $\dfrac{1}{x_0}$，即 $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$。这同样是几何直观：“对称后切线仍是切线”在高中不加证明地承认，严格证明要用大学数学分析里的反函数求导法则。

最后，由换底公式 $\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$，$\dfrac{1}{\ln a}$ 是常数，得 $(\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a}$。

例题

例 1　（场景：根式、分式化成幂再求导）求下列函数的导数：(1) $y = x^2\sqrt{x}$；(2) $y = \dfrac{1}{x^3}$；(3) $y = \sqrt[3]{x^2}$。

解：

(1) $y = x^2 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{5}{2}}$，$y' = \dfrac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} = \dfrac{5}{2}x\sqrt{x}$。

(2) $y = x^{-3}$，$y' = -3x^{-4} = -\dfrac{3}{x^4}$。

(3) $y = x^{\frac{2}{3}}$，$y' = \dfrac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}$。

容易卡在：(2) 指数是负数，$-3 - 1 = -4$，不是 $-2$。

例 2　（场景：底数不是 $e$ 的指数、对数函数）求 $y = 2^x$ 和 $y = \log_3 x$ 在 $x = 1$ 处的导数。

解：

• $y = 2^x$：$y' = 2^x \ln 2$，$x = 1$ 时为 $2\ln 2$。
• $y = \log_3 x$：$y' = \dfrac{1}{x \ln 3}$，$x = 1$ 时为 $\dfrac{1}{\ln 3}$。

例 3　（场景：求三角函数的切线）求曲线 $y = \sin x$ 在点 $\left(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 处的切线方程。

解：$y' = \cos x$，切线斜率 $k = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$。

切线方程：$y - \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1}{2}\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right)$，即 $y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\pi}{6}$。

例 4　（场景：判断求导是否正确）下列求导运算正确的是（　）。

A. $(\ln 3)' = \dfrac{1}{3}$　B. $(x^{-2})' = -2x^{-3}$　C. $(3^x)' = x \cdot 3^{x - 1}$　D. $(\cos x)' = \sin x$

解：B。

• A：$\ln 3$ 是常数，导数为 0。
• B：幂函数公式，$-2 \cdot x^{-2-1} = -2x^{-3}$，正确。
• C：$3^x$ 是指数函数，$(3^x)' = 3^x \ln 3$；$x \cdot 3^{x-1}$ 是把它错当成幂函数。
• D：$(\cos x)' = -\sin x$，漏了负号。

常用推论

• $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$，$(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$。本节证明第 3、4 条直接推出，太常用，建议记住。
• $e^x \ge x + 1$（$x = 0$ 时取等号），$\ln x \le x - 1$（$x = 1$ 时取等号）。几何上，$y = x + 1$ 是 $y = e^x$ 在 $(0, 1)$ 处的切线，$y = x - 1$ 是 $y = \ln x$ 在 $(1, 0)$ 处的切线（本节第 6、7 条和上图），曲线分别在切线上方、下方。严格证明要用第 25 章的单调性：设 $g(x) = e^x - x - 1$，求最小值为 $g(0) = 0$。高考常用它们放缩。
• $(a^x)'$ 与 $(e^x)'$ 只差一个常数因子 $\ln a$；$(\log_a x)'$ 与 $(\ln x)'$ 只差一个常数因子 $\dfrac{1}{\ln a}$。

易错点

• 错在哪：$(\ln 2)' = \dfrac{1}{2}$，$(e^2)' = e^2$。 为什么错：$\ln 2$、$e^2$ 里没有 $x$，是常数。 正确做法：先看式子里有没有自变量 $x$，没有就是常数，导数为 0。
• 错在哪：$(2^x)' = x \cdot 2^{x-1}$。 为什么错：把指数函数当成了幂函数。$x$ 在指数位置。 正确做法：$x$ 在底数上用 $\alpha x^{\alpha-1}$，$x$ 在指数上用 $a^x \ln a$。
• 错在哪：$(\cos x)' = \sin x$。 为什么错：漏了负号。从图像看，$y = \cos x$ 在 $\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 上递减，切线斜率为负，而 $\sin x$ 在这里是正的。 正确做法：记“正弦求导变余弦，余弦求导变负正弦”，拿不准时用 $x = \dfrac{\pi}{2}$ 附近的图像检查符号。
• 错在哪：$(\log_2 x)' = \dfrac{\ln 2}{x}$。 为什么错：$\ln a$ 应在分母上。 正确做法：用换底公式 $\log_2 x = \dfrac{\ln x}{\ln 2}$ 推一遍：$(\log_2 x)' = \dfrac{1}{\ln 2} \cdot \dfrac{1}{x}$。

直观理解

$y = \sin x$ 在 $x = 0$ 处上升最快，切线斜率 1，正好是 $\cos 0$；在 $x = \dfrac{\pi}{2}$ 处到达最高点，切线水平，斜率 0，正好是 $\cos\dfrac{\pi}{2}$；在 $x = \pi$ 处下降最快，斜率 $-1$，正好是 $\cos \pi$。把每一点的斜率画出来，就是余弦曲线。

$y = e^x$ 的特点是：每一点的切线斜率都等于这一点的函数值。函数值越大，涨得越快，这就是“指数增长”。

关联知识点

• 前置：第 7 章幂函数、第 8 章指数函数、第 9 章对数函数与换底公式、第 11–13 章三角函数和两角和公式，推导要用。
• 前置：24.3 导数的定义，本节的公式都是用定义推出来的。
• 后续：24.5、24.6 运算法则和复合函数，把这些公式组合起来求任何初等函数的导数。
• 后续：第 25 章，$e^x \ge x + 1$、$\ln x \le x - 1$ 是证明不等式时最常用的放缩。
• 后续：第 34 章二项式定理，给出 $(x^n)' = nx^{n-1}$ 的一般证明。

24.5 导数的运算法则

说明

设 $f(x)$、$g(x)$ 都可导：

$$[f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x),$$ $$[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x),$$ $$\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} \quad (g(x) \ne 0).$$

特别地，$c$ 为常数时 $[cf(x)]' = cf'(x)$，常数因子可以提到求导外面。

口诀：和差逐项求；积是“前导后不导，加上前不导后导”；商的分子是“上导下不导，减去上不导下导”，分母是“下的平方”。

使用场景

• 多项式、几个函数的和差：逐项求导，常数项导数为 0。
• 两个函数的积：题目里出现 $x^2 \ln x$、$e^x \sin x$、$xe^x$ 这类乘积。
• 两个函数的商：题目里出现 $\dfrac{\ln x}{x}$、$\dfrac{e^x}{x}$、$\tan x$ 这类分式。
• 能化简的先化简再求导：分式能拆开、乘积能展开、三角式能用公式合并时。
• 函数表达式里含有 $f'(x_0)$ 这样的常数：题目给出 $f(x) = x^2 + 3xf'(2)$ 这种式子。

注意点

• 积的导数不是导数的积：$[f(x)g(x)]' \ne f'(x)g'(x)$。商同理。
• 商的法则分子是减法，顺序不能反：先写 $f'g$（分子求导乘分母），再减 $fg'$。
• 法则的前提是 $f$、$g$ 在这一点都可导。
• 式子里的 $f'(x_0)$、$f(1)$ 这类量是常数，求导时把它当作数字。

证明

和差法则。

$$\frac{[f(x + \Delta x) + g(x + \Delta x)] - [f(x) + g(x)]}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} + \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \to f'(x) + g'(x).$$

积的法则。 记 $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$，$\Delta g = g(x + \Delta x) - g(x)$。

$$f(x + \Delta x)g(x + \Delta x) - f(x)g(x) = \Delta f \cdot g(x + \Delta x) + f(x) \cdot \Delta g.$$

（关键一步：在中间减去再加上 $f(x)g(x + \Delta x)$，把“两个都变”拆成“先变 $f$、再变 $g$”，每一部分只剩一个改变量。）展开验证：右边 $= f(x + \Delta x)g(x + \Delta x) - f(x)g(x + \Delta x) + f(x)g(x + \Delta x) - f(x)g(x)$，中间两项抵消，等于左边。

两边除以 $\Delta x$：

$$\frac{\Delta(fg)}{\Delta x} = \frac{\Delta f}{\Delta x} \cdot g(x + \Delta x) + f(x) \cdot \frac{\Delta g}{\Delta x}.$$

$\Delta x \to 0$ 时，$\dfrac{\Delta f}{\Delta x} \to f'(x)$，$\dfrac{\Delta g}{\Delta x} \to g'(x)$；$g(x + \Delta x) \to g(x)$，因为 $g(x + \Delta x) - g(x) = \dfrac{\Delta g}{\Delta x} \cdot \Delta x \to g'(x) \cdot 0 = 0$（可导的函数一定连续）。所以 $[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$。

商的法则。 先求 $\left[\dfrac{1}{g(x)}\right]'$：

$$\frac{\frac{1}{g(x + \Delta x)} - \frac{1}{g(x)}}{\Delta x} = -\frac{\Delta g}{\Delta x} \cdot \frac{1}{g(x + \Delta x)g(x)} \to -\frac{g'(x)}{[g(x)]^2}.$$

再把 $\dfrac{f}{g}$ 看成 $f \cdot \dfrac{1}{g}$，用积的法则：

$$\left(\frac{f}{g}\right)' = f' \cdot \frac{1}{g} + f \cdot \left(-\frac{g'}{g^2}\right) = \frac{f'g - fg'}{g^2}.$$

教材对运算法则以给出结论和验证为主，以上是用定义的推导，只用到高中的极限直观。

例题

例 1　（场景：和差逐项求导）求下列函数的导数：(1) $y = x^3 - 2x^2 + 5x - 1$；(2) $y = 2\sin x - 3e^x + \ln 2$。

解：

(1) $y' = 3x^2 - 4x + 5$。

(2) $y' = 2\cos x - 3e^x$。$\ln 2$ 是常数，导数为 0。

例 2　（场景：积的导数）求下列函数的导数：(1) $y = x^2 \ln x$；(2) $y = e^x \sin x$。

解：

(1) $y' = (x^2)' \ln x + x^2 (\ln x)' = 2x\ln x + x^2 \cdot \dfrac{1}{x} = 2x\ln x + x$。

(2) $y' = (e^x)' \sin x + e^x (\sin x)' = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x)$。

例 3　（场景：商的导数）求下列函数的导数：(1) $y = \dfrac{\ln x}{x}$；(2) $y = \tan x$。

解：

(1)

$$y' = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}.$$

(2) $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$：

$$y' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}.$$

容易卡在：(2) 分子里 $\sin x \cdot (-\sin x)$ 前面还有一个减号，负负得正，变成 $+\sin^2 x$。

例 4　（场景：先化简再求导）求 $y = \dfrac{x^2 + x + 1}{x}$ 的导数。

解：先拆开：$y = x + 1 + \dfrac{1}{x}$，所以

$$y' = 1 - \frac{1}{x^2}.$$

另一种解法：直接用商的法则。

$$y' = \frac{(2x + 1) \cdot x - (x^2 + x + 1) \cdot 1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2} = 1 - \frac{1}{x^2}.$$

分子是多项式、分母是单项式时，先拆开再求导，算得快、不容易出错；分母是多项式（如 $\dfrac{x}{x^2 + 1}$）拆不开时，才用商的法则。

例 5　（场景：表达式含 $f'(x_0)$）已知 $f(x) = x^2 + 3xf'(2)$，求 $f'(2)$ 和 $f(x)$ 的解析式。

解：$f'(2)$ 是一个常数，设它为 $m$，则 $f(x) = x^2 + 3mx$，求导得

$$f'(x) = 2x + 3m.$$

令 $x = 2$：$m = 4 + 3m$，解得 $m = -2$。所以 $f'(2) = -2$，$f(x) = x^2 - 6x$。

容易卡在：把 $3xf'(2)$ 当成乘积，对 $f'(2)$ 也求导。$f'(2)$ 是一个具体的数，先用字母 $m$ 代替它，就不会弄错。

常用推论

• 线性性：$[af(x) + bg(x)]' = af'(x) + bg'(x)$（$a$、$b$ 为常数）。由和差法则和常数因子法则合起来得到。
• $\left[\dfrac{1}{g(x)}\right]' = -\dfrac{g'(x)}{[g(x)]^2}$。见本节证明。
• 三个函数的积：$(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$。把 $fg$ 看成一个整体用两次积的法则。
• $(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$。见例 3。
• 第 25 章构造函数时常用的四个式子：$[xf(x)]' = f(x) + xf'(x)$，$\left[\dfrac{f(x)}{x}\right]' = \dfrac{xf'(x) - f(x)}{x^2}$，$[e^x f(x)]' = e^x[f(x) + f'(x)]$，$\left[\dfrac{f(x)}{e^x}\right]' = \dfrac{f'(x) - f(x)}{e^x}$。都是积或商的法则直接套出来的：看到题目条件里有 $f(x) + f'(x) > 0$，就想到它是 $e^x f(x)$ 的导数去掉正因子 $e^x$。

易错点

• 错在哪：$(x^2 \ln x)' = 2x \cdot \dfrac{1}{x} = 2$。 为什么错：积的导数不是导数的积。 正确做法：$(fg)' = f'g + fg'$，两项都要写。
• 错在哪：$\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)' = \dfrac{\ln x - 1}{x^2}$。 为什么错：商的法则分子顺序写反了，结果差一个负号。 正确做法：分子先写“分子的导数乘分母”。写完可以代一个值检查：$x = 1$ 时 $\dfrac{\ln x}{x}$ 从 0 往正数增加，导数应为正，$\dfrac{1 - \ln 1}{1} = 1 > 0$。
• 错在哪：例 5 中把 $f'(2)$ 当变量，得 $f'(x) = 2x + 3f'(2) + 3xf''(2)$ 之类。 为什么错：$f'(2)$ 是导函数在 2 处的值，是常数。 正确做法：先用字母代替这个常数，求导后代入 $x = 2$ 列方程。
• 错在哪：$\left(\dfrac{1}{x^2 + 1}\right)' = \dfrac{1}{2x}$。 为什么错：把分母的导数取倒数，没有依据。 正确做法：$\left(\dfrac{1}{g}\right)' = -\dfrac{g'}{g^2}$，得 $-\dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2}$。

直观理解

积的法则可以看矩形面积。长 $f$、宽 $g$ 的矩形面积是 $fg$。长增加 $\Delta f$、宽增加 $\Delta g$ 后，面积多出三块：右边的 $g \cdot \Delta f$，上边的 $f \cdot \Delta g$，角上的 $\Delta f \cdot \Delta g$。

除以 $\Delta x$ 再让 $\Delta x \to 0$，前两块变成 $gf'$ 和 $fg'$；角上那块是两个小量相乘，比前两块小得多，除以 $\Delta x$ 后仍趋于 0，消失了。所以 $(fg)' = f'g + fg'$，不是 $f'g'$：$f'g'$ 恰好对应被丢掉的那一小块。

关联知识点

• 前置：24.4 基本初等函数的导数，法则只告诉你怎么组合，每一块还是要套公式。
• 后续：24.6 简单复合函数的导数，和四则运算法则一起用。
• 后续：第 25 章导数的应用，大题里的函数几乎都是积、商形式，构造函数用的就是本节的常用推论。
• 常一起考：第 4 章一元二次方程，求出导数后常要解方程求切点或参数。

24.6 简单复合函数的导数

说明

复合函数：如果 $y$ 是 $u$ 的函数 $y = f(u)$，$u$ 又是 $x$ 的函数 $u = g(x)$，那么 $y$ 通过 $u$ 成为 $x$ 的函数 $y = f(g(x))$，叫做 $f$ 与 $g$ 的复合函数。$u$ 叫中间变量，$g$ 叫内层函数，$f$ 叫外层函数。

例如 $y = e^{2x+1}$ 由 $y = e^u$ 和 $u = 2x + 1$ 复合而成。

复合函数的求导法则：

$$y'_x = y'_u \cdot u'_x,$$

即 $y$ 对 $x$ 的导数，等于 $y$ 对 $u$ 的导数乘 $u$ 对 $x$ 的导数。

课标要求的是内层为一次函数的情形 $y = f(ax + b)$：

$$[f(ax + b)]' = a f'(ax + b).$$

口诀：外层求导，内层不动，再乘内层的导数。

使用场景

• 函数形如 $f(ax + b)$：题目里出现 $e^{2x+1}$、$\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$、$\ln(1 - 2x)$、$(2x + 1)^5$。
• 复合函数和四则运算混在一起：题目里出现 $xe^{-x}$、$e^{2x}\cos x$ 这类乘积。
• 求复合函数的切线：题目给出 $y = \ln(2x - 1)$ 这类函数和一个点。
• 内层不是一次函数：题目里出现 $\ln(x^2 + 1)$、$e^{x^2}$。课标只要求 $ax + b$ 的情形，但方法完全一样，大题中偶尔会出现。

注意点

• 求导前先分清内外层。$e^{2x}$ 的内层是 $2x$；$e^2 \cdot x$ 不是复合函数，是常数乘 $x$。
• 外层求导时，括号里的内层原样保留：$[\sin(2x)]' = 2\cos(2x)$，不是 $2\cos x$。
• 内层的导数可能是负数：$[\ln(1 - 2x)]' = \dfrac{-2}{1 - 2x}$，最容易丢负号。
• 能化简的先化简：$\ln(3x) = \ln 3 + \ln x$，$\ln x^2 = 2\ln x$（$x > 0$ 时）。化简时注意定义域不能变。

证明

课标要求的情形 $y = f(ax + b)$（$a \ne 0$），可以完整证明。

设 $u = ax + b$。当 $x$ 有改变量 $\Delta x$ 时，$u$ 的改变量为 $\Delta u = a(x + \Delta x) + b - (ax + b) = a\Delta x$。于是

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(u + a\Delta x) - f(u)}{\Delta x} = a \cdot \frac{f(u + \Delta u) - f(u)}{\Delta u}.$$

（关键一步：分子分母同乘 $a$，把分母凑成 $\Delta u = a\Delta x$。因为 $a \ne 0$ 且 $\Delta x \ne 0$，$\Delta u$ 一定不为 0，所以可以放到分母上。）

$\Delta x \to 0$ 时 $\Delta u = a\Delta x \to 0$，后一个分式趋于 $f'(u)$。所以

$$y' = a f'(u) = a f'(ax + b).$$

$a = 0$ 时 $y = f(b)$ 是常数，导数为 0，公式也成立。

一般情形 $y = f(g(x))$。 照同样的思路写

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x},$$

$\Delta x \to 0$ 时 $\Delta u \to 0$，两个因子分别趋于 $f'(u)$ 和 $g'(x)$。这是教材的说明思路。它不严格的地方在于：对一般的 $g(x)$，$\Delta x \ne 0$ 时 $\Delta u$ 仍可能等于 0，不能做分母。严格证明要绕开这一点，属于大学数学分析的内容。

例题

例 1　（场景：形如 $f(ax + b)$）求下列函数的导数：(1) $y = (2x + 1)^5$；(2) $y = e^{-3x+1}$；(3) $y = \sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$；(4) $y = \ln(1 - 2x)$。

解：

(1) 外层 $u^5$，内层 $u = 2x + 1$，$u' = 2$：$y' = 5(2x + 1)^4 \cdot 2 = 10(2x + 1)^4$。

(2) 外层 $e^u$，内层 $u = -3x + 1$，$u' = -3$：$y' = -3e^{-3x+1}$。

(3) 外层 $\sin u$，内层 $u = 2x - \dfrac{\pi}{3}$，$u' = 2$：$y' = 2\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$。

(4) 外层 $\ln u$，内层 $u = 1 - 2x$，$u' = -2$：$y' = \dfrac{1}{1 - 2x} \cdot (-2) = \dfrac{2}{2x - 1}$。

容易卡在：(4) 内层的导数是 $-2$，负号漏掉就全错。

例 2　（场景：复合与四则混合）求下列函数的导数：(1) $y = xe^{-x}$；(2) $y = \cos^2 x$。

解：

(1) 积的法则，其中 $(e^{-x})' = -e^{-x}$：

$$y' = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = (1 - x)e^{-x}.$$

(2) 用降幂公式（第 13 章）先化成一次角：$\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$，所以

$$y' = \frac{1}{2} \cdot (-\sin 2x) \cdot 2 = -\sin 2x.$$

另一种解法：(2) 把 $\cos^2 x$ 看成 $\cos x \cdot \cos x$，用积的法则：

$$y' = -\sin x \cos x + \cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x = -\sin 2x.$$

两种方法都在课标范围内。降幂法把它化成 $f(ax + b)$ 的形式，一步出结果；积的法则不用记降幂公式，更机械。三角函数的平方、乘积，两种都可以用；次数更高时（如 $\sin^3 x$），积的法则更通用。

例 3　（场景：复合函数的切线）求曲线 $y = \ln(2x - 1)$ 在点 $(1, 0)$ 处的切线方程。

解：$x = 1$ 时 $y = \ln 1 = 0$，点在曲线上，是切点。

$y' = \dfrac{2}{2x - 1}$，切线斜率 $k = \dfrac{2}{2 - 1} = 2$。

切线方程：$y - 0 = 2(x - 1)$，即 $y = 2x - 2$。

容易卡在：求成 $y' = \dfrac{1}{2x - 1}$，切线斜率算成 1。

例 4　（场景：内层不是一次函数）求 $y = \ln(x^2 + 1)$ 的导数。

解：外层 $\ln u$，内层 $u = x^2 + 1$，$u' = 2x$：

$$y' = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}.$$

常用推论

• $[f(ax + b)]' = af'(ax + b)$。见本节证明。
• $(e^{kx})' = ke^{kx}$，$[\sin(\omega x + \varphi)]' = \omega\cos(\omega x + \varphi)$，$[\cos(\omega x + \varphi)]' = -\omega\sin(\omega x + \varphi)$。都是上一条的特例。
• $(a^x)' = a^x \ln a$。由 $a^x = e^{x\ln a}$，内层 $u = x\ln a$ 是一次函数，系数为 $\ln a$。
• $[\ln(kx)]' = \dfrac{1}{x}$（$k > 0$）。直接用复合函数法则：$\dfrac{1}{kx} \cdot k = \dfrac{1}{x}$；也可以化成 $\ln k + \ln x$ 再求导。
• 可导的奇函数，导数是偶函数；可导的偶函数，导数是奇函数。推导：若 $f(-x) = -f(x)$，两边求导，左边由复合法则（内层 $-x$，系数 $-1$）得 $-f'(-x)$，右边得 $-f'(x)$，所以 $f'(-x) = f'(x)$。偶函数同理。

易错点

• 错在哪：$(e^{2x})' = e^{2x}$，$(\sin 2x)' = \cos 2x$。 为什么错：漏乘内层 $2x$ 的导数 2。 正确做法：每次求导前先问“指数、括号里是不是只有一个 $x$”，不是就要乘内层的导数。
• 错在哪：$[\ln(1 - x)]' = \dfrac{1}{1 - x}$。 为什么错：内层 $1 - x$ 的导数是 $-1$，漏了负号。 正确做法：$[\ln(1 - x)]' = -\dfrac{1}{1 - x} = \dfrac{1}{x - 1}$。
• 错在哪：$[(2x + 1)^5]' = 5(2x + 1)^4$。 为什么错：同样漏乘内层的导数。另一个常见错误是把它展开成多项式再逐项求导，算对但太慢。 正确做法：$5(2x + 1)^4 \cdot 2 = 10(2x + 1)^4$。
• 错在哪：$[\sin(2x)]' = 2\cos x$。 为什么错：外层求导后把内层也改了。外层求导时内层要原样保留。 正确做法：$2\cos 2x$。

直观理解

复合函数像两个咬合的齿轮：$x$ 转一圈，$u$ 转 $a$ 圈；$u$ 转一圈，$y$ 转 $f'(u)$ 圈。所以 $x$ 转一圈，$y$ 转 $a \cdot f'(u)$ 圈。

从图像看（$a > 0$ 时），$y = f(ax + b)$ 是 $y = f(x)$ 横向压缩为原来的 $\dfrac{1}{a}$（再平移）得到的（第 12 章函数图像的变换）。横向压缩为 $\dfrac{1}{a}$，同样的上升高度只用了 $\dfrac{1}{a}$ 的水平距离，所以每一点的斜率都变成原来的 $a$ 倍。

关联知识点

• 前置：第 5 章复合函数的概念，先会拆内外层。
• 前置：24.4、24.5 基本公式和四则运算法则。
• 前置：第 12 章函数 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 和图像的伸缩变换，对应 $f(ax + b)$ 的形式。
• 后续：第 25 章导数的应用，大题里常见 $e^{2x}$、$\ln(x + 1)$、$e^{-x}$ 这类函数。
• 常一起考：第 6 章奇偶性，“奇函数的导数是偶函数”可以用来快速判断导函数的图像。

24.7 知识点之间的关系

本章是一条从“概念”到“计算”的线。平均变化率（24.2）取极限得到瞬时变化率，也就是导数（24.3）；导数的几何意义是切线斜率，这是本章考得最多的地方。用定义可以推出基本初等函数的导数公式（24.4），再加上四则运算法则（24.5）和复合函数法则（24.6），任何初等函数都能求导，不必再回到定义。

考试里，本章的知识点很少单独出现：切线题要先求导（24.4–24.6）再用几何意义（24.3）；第 25 章的大题，第一步就是本章的求导。求导出错是导数大题丢分的第一大原因，所以本章的计算要练到不出错。

24.8 自测

1. 求 $f(x) = x^2 - x$ 从 $x = 1$ 到 $x = 3$ 的平均变化率。
2. 物体的位移 $s(t) = t^2 + 3t$（单位：m），用定义求 $t = 2$ s 时的瞬时速度。
3. 已知 $f'(1) = 2$，求 $\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 - \Delta x) - f(1)}{3\Delta x}$。
4. 求曲线 $y = x^3 + x$ 在点 $(1, 2)$ 处的切线方程。
5. 过原点作曲线 $y = e^x$ 的切线，求切线方程。
6. 求 $y = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ 的导数。
7. 求 $y = \log_2 x$ 在 $x = 1$ 处的导数。
8. 求 $y = x\sin x$ 和 $y = \dfrac{e^x}{x}$ 的导数。
9. 已知 $f(x) = x^3 + 2xf'(1)$，求 $f'(1)$。
10. 求 $y = e^{1 - 2x}$ 的导数。
11. 求曲线 $y = \sin 2x$ 在原点处的切线方程。

答案：1. 3；2. 7 m/s；3. $-\dfrac{2}{3}$；4. $y = 4x - 2$；5. $y = ex$；6. $y' = -\dfrac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$（即 $-\dfrac{1}{2x\sqrt{x}}$）；7. $\dfrac{1}{\ln 2}$；8. $y' = \sin x + x\cos x$，$y' = \dfrac{e^x(x - 1)}{x^2}$；9. $-3$；10. $y' = -2e^{1 - 2x}$；11. $y = 2x$。

24.9 深入阅读

• 国家中小学智慧教育平台：教育部主办，有人教 A 版选择性必修第二册“一元函数的导数及其应用”的同步课程和教材电子版。
• GeoGebra 图形计算器：输入函数后在曲线上取点、作切线，拖动点观察切线斜率怎样变化，适合验证切线方程。
• Wolfram MathWorld · Derivative：导数的英文定义和常见函数的求导公式，查记号和英文说法时用。
• 维基百科 · 导数：导数的定义、几何意义、求导法则和链式法则的中文条目，可以看到严格的极限定义。